J. Gu erin, N. Lahrichi, S. Le Digabel Polytechnique Montr eal · 2019-11-15 · Valeurs propres...
Transcript of J. Gu erin, N. Lahrichi, S. Le Digabel Polytechnique Montr eal · 2019-11-15 · Valeurs propres...
Valeurs propres Diagonalisation
11. Valeurs propres et diagonalisationSections 6.1 et 6.2
MTH1007
J. Guerin, N. Lahrichi, S. Le DigabelPolytechnique Montreal
A2019(v3)
MTH1007: algebre lineaire 1/20
Valeurs propres Diagonalisation
Plan
1. Valeurs et vecteurs propres
2. Diagonalisation d’une matrice
MTH1007: algebre lineaire 2/20
Valeurs propres Diagonalisation
1. Valeurs et vecteurs propres
2. Diagonalisation d’une matrice
MTH1007: algebre lineaire 3/20
Valeurs propres Diagonalisation
Definitions
Soit A une matrice carree de taille n× n, x ∈ Rn un vecteurnon nul et λ ∈ R
SiAx = λx
alors
I x est un vecteur propre de A
I λ est une valeur propre de A
MTH1007: algebre lineaire 4/20
Valeurs propres Diagonalisation
Exemples d’applicationsSource : Wikipedia.
I Etude des phenomenes vibratoires (Ex. : Mouvements d’unecorde vibrante).
I “Mise au point d’algorithmique rapide de resolutiond’equations lineaires.”
I Cryptologie.
I Chimie : “les etats stables des electrons sont modelises pardes vecteurs propres dont les valeurs propres correspondent ades etats d’energie.”
I PageRank : Base sur l’approximation d’un vecteur propre de lamatrice d’adjacence du graphe du Web. Voir ce lien.
etc.
MTH1007: algebre lineaire 5/20
Valeurs propres Diagonalisation
Remarques (1/2)I L’ensemble des valeurs propres de A est note λ(A) et est
appele le spectre de A
I Les vecteurs propres associes a la valeur propre λ = 0 sont lesvecteurs de N(A)
I Si λ = 0 est une valeur propre alors A est singuliere (noninversible).
I Les vecteurs propres associes a la valeur propre λ sont lesvecteurs de N(A− λI)
I Si λ est une valeur propre de A, alors A− λI est singuliere.
I Tous les x ∈ Rn sont les vecteurs propres de I avec la valeurpropre associee λ = 1
I Si x est un vecteur propre alors tout multiple kx l’est aussi.
MTH1007: algebre lineaire 6/20
Valeurs propres Diagonalisation
Remarques (2/2)I Une matrice a coefficients positifs peut avoir des valeurs
propres negatives.
I Anx = λnx : Les vecteurs propres de An sont les memes queA tandis que les valeurs propres sont elevees a la puissance n(fonctionne aussi avec n = −1)
I Si le rang de A est r, on aura n− r valeurs propres nulles.
I Commandes MATLAB :I La fonction [S,L] = eig(A) donne les valeurs propres de A
dans la matrice diagonale L et les vecteurs propres comme lescolonnes de S. On ainsi SL = AS
I Le programme eigshow permet d’illustrer le concept desvaleurs/vecteurs propres.
MTH1007: algebre lineaire 7/20
Valeurs propres Diagonalisation
Outil : Determinant des matrices 2× 2 et 3× 3
I det
[a bc d
]=
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = ad− bc
I
∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣∣ = aei+ dhc+ gbf − gec− ahf − dbi
MTH1007: algebre lineaire 8/20
Valeurs propres Diagonalisation
Polynome caracteristique de A
I Le nombre λ est une valeur propre de la matrice A si etseulement si
p(λ) := det (A− λI) = 0
I Autrement dit, les valeurs propres sont les racines dupolynome caracteristique p(λ) de la matrice A
I Si A est de taille n× n alors p est un polynome de degre n
I On va donc avoir au plus n valeurs propres reelles.
MTH1007: algebre lineaire 9/20
Valeurs propres Diagonalisation
Trouver les valeurs et vecteurs propres de A
1. Former la matrice A− λI et calculer p(λ) = det (A− λI)
2. Trouver les racines du polynome caracteristique p pour obtenirles valeurs propres de A
3. Pour chaque valeur propre λ trouvee a la deuxieme etape,resoudre
Ax = λx ou (A− λI)x = 0
pour trouver le vecteur propre correspondant.
MTH1007: algebre lineaire 10/20
Valeurs propres Diagonalisation
Trouver les valeurs et vecteurs propres de A
1. Former la matrice A− λI et calculer p(λ) = det (A− λI)
2. Trouver les racines du polynome caracteristique p pour obtenirles valeurs propres de A
3. Pour chaque valeur propre λ trouvee a la deuxieme etape,resoudre
Ax = λx ou (A− λI)x = 0
pour trouver le vecteur propre correspondant.
MTH1007: algebre lineaire 10/20
Valeurs propres Diagonalisation
Trouver les valeurs et vecteurs propres de A
1. Former la matrice A− λI et calculer p(λ) = det (A− λI)
2. Trouver les racines du polynome caracteristique p pour obtenirles valeurs propres de A
3. Pour chaque valeur propre λ trouvee a la deuxieme etape,resoudre
Ax = λx ou (A− λI)x = 0
pour trouver le vecteur propre correspondant.
MTH1007: algebre lineaire 10/20
Valeurs propres Diagonalisation
Remarques (1/2)
I Il est possible que p(λ) possede une racine de multiplicitesuperieure a 1. Dans ce cas, il est possible que plusieursvecteurs propres soient associes a cette valeur propre.
I Il est aussi possible que p(λ) possede une racine complexe etdes vecteurs propres complexes.
I Les operations elementaires sur les lignes changent les valeurset les vecteurs propres.
MTH1007: algebre lineaire 11/20
Valeurs propres Diagonalisation
Remarques (2/2)
I Pour une matrice triangulaire, les valeurs propres sont seselements diagonaux.
I Si A est de taille n× n alors
λ1 + λ2 + · · ·+ λn = a11 + a22 + · · ·+ ann = trace A
I Si A est de taille n× n alors
λ1λ2 · · ·λn = det A
MTH1007: algebre lineaire 12/20
Valeurs propres Diagonalisation
Multiplicites geometrique et algebrique
Si λ est une valeur propre de A alors il y a deux points de vue :
1. Geometrique : il existe des vecteurs non nuls tels queAx = λx
2. Algebrique : det (A− λI) = 0
I Ceci correspond a deux nombres :
1. Multiplicite geometrique (MG) : le nombre de vecteurs propreslineairement independants associes a λ
2. Multiplicite algebrique (MA) : la multiplicite de λ commeracine du polynome caracteristique p(λ)
I Pour chaque valeur propre d’une matrice on a MG ≤ MA
MTH1007: algebre lineaire 13/20
Valeurs propres Diagonalisation
Exemples
Illustrer les differents concepts sur les matrices[2 00 1
],
[0 11 0
],
[0 1−1 0
],
[1 −11 −1
],
[1 10 1
], et
[1 00 0
]
Et avec des valeurs propres complexes, pour A =
[0 −11 0
]
MTH1007: algebre lineaire 14/20
Valeurs propres Diagonalisation
1. Valeurs et vecteurs propres
2. Diagonalisation d’une matrice
MTH1007: algebre lineaire 15/20
Valeurs propres Diagonalisation
Theoreme
Supposons que la matrice A de taille n× n possede n vecteurspropres lineairement independants x1,x2, . . . ,xn et soitS =
[x1 x2 · · · xn
]. On a alors
S−1AS = Λ =
λ1 0
λ2. . .
0 λn
ou λ1, . . . , λn sont les valeurs propres de A
Ce theoreme affirme que A peut etre diagonalisee si ses vecteurspropres sont lineairement independants.
MTH1007: algebre lineaire 16/20
Valeurs propres Diagonalisation
Remarques
I La diagonalisation est possible seulement si les vecteurspropres sont lineairement independants.
I Les matrices A et Λ ont les memes valeurs propres mais pasles memes vecteurs propres.
I Les matrices A et Ak ont les memes vecteurs propres mais pasles memes valeurs propres.
MTH1007: algebre lineaire 17/20
Valeurs propres Diagonalisation
Theoreme
Des vecteurs propres x1,x2, . . . ,xk d’une matrice quicorrespondent a des valeurs propres distinctes (non egales)λ1, λ2, . . . , λk sont lineairement independants.
MTH1007: algebre lineaire 18/20
Valeurs propres Diagonalisation
PuissancesSi A est diagonalisable alors A = SΛS−1 et Ak = SΛkS−1, ou
Λk =
λk1 0
λk2. . .
0 λkn
Application :
Resolution d’equations de recurrence de la forme uk+1 = Auk,avec u0 fixe. Si A est diagonalisable alors la solution est
uk = Aku0 = SΛkS−1u0
MTH1007: algebre lineaire 19/20