1

Sommaire:

I. Introduction........................................................................................................................... 4

II. Solvency 2, présentation et contexte actuel....................................................................... 4

III. Approche standard, approche par les modèles internes ................................................ 6

III.1. Présentation ................................................................................................................... 6

III.2. Utilités d’un modèle de risque globale ......................................................................... 6

III.3. Etapes de calcul d’un modèle interne............................................................................ 7

IV. Provision Best Estimate, marge de risque, approche "coût du capital" ...................... 9

IV.1. Présentation................................................................................................................... 9

IV.2. Best estimate ................................................................................................................. 9

IV.3. Marge de risque (MVM), approche de calcul par le coût du capital (Cost of Capital)

.................................................................................................................................................. 10

V. Capital de solvabilité requis (SCR).................................................................................. 13

V.1. Mesures de risque VaR ou TVaR................................................................................. 13

V.2. Horizon temporel.......................................................................................................... 14

V.3. Capital porteur de risque .............................................................................................. 14

V.4. Minimum du capital requis (MCR) .............................................................................. 15

V.5. Capital de solvabilité requis (SCR) .............................................................................. 15

VI. Actif et risques de marché............................................................................................... 19

VI.1. Présentation................................................................................................................. 19

VI.2. Modélisation des actions et des actifs immobiliers..................................................... 19

VI.2.1. Introduction...................................................................................................... 20

VI.2.2. Présentation du modèle .................................................................................... 21

VI.3. Modélisation des obligations, modèle de taux ............................................................ 21

VI.3.1. Présentation...................................................................................................... 22

VI.3.2.Le modèle de COX, INGERSOLL et ROSS .................................................... 23

VI.3.3.Limites de ce modèle ........................................................................................ 23

VI.4. Corrélation et dépendance........................................................................................... 24

VII.4.1. Présentation..................................................................................................... 24

VI.4.2. Les limites de la covariance ............................................................................. 24

VI.4.3. Théorie des copules.......................................................................................... 25

VI.4.3.1. Quelques définitions ............................................................................ 25

VI.4.3.2.Copule archimédienne, copule elliptique.............................................. 27

2

VII. Passif et risque d’assurance non-vie ............................................................................. 30

VII.1. Présentation................................................................................................................ 30

VII.2. Modélisation dynamique des cash-flows futurs ........................................................ 30

VII.3. Calcul de la provision Best Estimate à la date t = 0 (BE (0)) .................................... 32

VII.4. Calcul de la distribution du montant total de sinistres payés de 0 à 1 ....................... 33

VII.5. Calcul du Best Estimate à la date t = 1 (BE(1))......................................................... 33

VIII. Outils mathématiques et statistiques .......................................................................... 34

VIII.1. Processus stochastiques usuelles .............................................................................. 34

VIII.2. Méthodes statistiques pour l’estimation des paramètres .......................................... 35

VIII.2.1. Modèle de régression linéaire, moindres carrées ordinaires (MCO)............. 35

VIII.2.2. Modèle de régression non linéaire, moindres carrées non ordinaire ............. 36

VIII.2.3. Méthode des moments, méthode mu maximum de vraisemblance............... 37

VIII.3. Méthode de simulation Monte-Carlo ....................................................................... 37

VIII.3.1. Présentation ................................................................................................... 38

VIII.3.2. Simulation de distributions discrètes............................................................. 38

VIII.3.2. Simulation de distributions continues ........................................................... 40

IX. Estimation des paramètres et application numérique.................................................. 44

IX.1. Modèles des actifs ....................................................................................................... 44

IX.1.1. Modèle de Merton............................................................................................ 44

IX.1.2. Modèle de taux (CIR) ...................................................................................... 48

IX.1.3. Copule Student ,vt∑ .......................................................................................... 49

IX.2. Modèles des passifs..................................................................................................... 51

IX.2.1. Application du modèle ..................................................................................... 51

IX.2.2. Estimation des paramètres ............................................................................... 52

IX.3. Application numérique................................................................................................ 54

IX.3.1 Modèle de Merton............................................................................................. 54

IX.3.2. Modèle de taux (CIR): ..................................................................................... 55

IX.3.3. Copule Student ,vt∑ .......................................................................................... 55

IX.3.4. Valeur du portefeuille ...................................................................................... 57

IX.3.5. Provision Best Estimate………………..……………………………….…….64

IX.3.6. Résultat du calcul du SCR ............................................................................... 72

X. Provision technique « fair value » (juste valeur ou valeur de marché) ........................ 75

3

X.1. Présentation .................................................................................................................. 75

X.2. Transformation de WANG........................................................................................... 76

XI. Conclusion ........................................................................................................................ 78

XII. Annexes ........................................................................................................................... 79

Bibliographies…...………..……………………………………………………………….…82

4

I. Introduction:

Un des sujets les plus sensibles actuellement dans le monde de l’assurance européen

porte le nom de « Solvency II ». Ce mémoire va se consacrer pleinement à cette

problématique. D’abord, un bref rappel de Solvency II sera présenté avec ses approches de

calculs. Ensuite, je développerai une approche de calcul du capital de solvabilité requis par un

modèle interne appliqué à un assureur non-vie fictif. Pour cela, je considérerai un portefeuille

d’actifs composé d’actions, de titres immobiliers et d’obligations d’état, le passif de l’assureur

sera constitué uniquement des provisions pour les sinistres connus ou non déclarés, mais

survenus, toutes les autres provisions ne seront pas prises en compte. Les modèles

stochastiques seront développés judicieusement, à savoir Merton pour les actions et les titres

immobiliers, Cox-Ingersoll-Ross pour les obligations d’état et le mouvement brownien

géométrique pour les sinistres. Par la suite, je calculerai le capital de solvabilité requis en

projetant le bilan de l’assureur dans 1 an avec l’aide de méthodes de simulation Monte-Carlo.

La marge de risque (MVM) et le minimum du capital requis (MCR) seront évoqués mais ne

seront pas calculés explicitement. Les risques pris en compte sont : risque de taux d’intérêt,

risque d’actions, risque de titre immobilier et le risque d’assurance, tous les autres risques

sont négligés.

II. Solvency 2, présentation et contexte actuel :

La réforme de la réglementation européenne sur les nouvelles normes de solvabilité

est très nettement engagée, dans un cadre global Solvency II, sur les traces de la réforme

bancaire Bâle II. Les réflexions en cours et travaux d’analyses relatifs à cette réforme sont

assurés au sein du Ceiops, comité européen réunissant les autorités de contrôles des vingt-cinq

pays associés.

Dans ce contexte, les assureurs européens ont été interrogés en 2005 sur leurs

provisions techniques et les méthodes d’évaluation harmonisées, comme le Best Estimate ou

l’évaluation par Quantiles qui est présentée notamment dans l’étude d’impacts QIS1

(Quantitative Impact Study). Les études suivantes, le QIS2, lancée en 2006 et le QIS3 en 2007

ont eu pour objectif de mieux cerner les contours d’une formule standard d’évaluation du

capital de solvabilité requis, le SCR (Solvency Capital Requirement), et la méthode de

détermination des besoins en capital minimum, le MCR (Minimum Capital Requirement).

5

Selon l’idée que la marge de solvabilité correspond aux fonds propres, c’est-à-dire la

différence entre les actifs et les engagements de passifs, le principe directeur dans la recherche

des besoins de couverture de la solvabilité des assureurs est la mise en œuvre d’une

probabilité de ruine à moins de 0,05 %.

Un des principes le plus important de Solvency II est basé sur le fait que les actifs (les

placements) et les passifs (les engagements) doivent tous être évalués à leur valeur de marché.

La différence entre la valeur de marché actuelle des passifs, d’une part, et l’estimation non

biaisée de la valeur actualisée (discounted best estimate) de l’espérance mathématique des

flux de paiements afférents, d’autre part, est appelée marge sur la valeur de marché ou

« market value margin » (MVM).

Les risques considérés dans le Solvency II sont les risques de marché, de crédit, de

souscription vie et non vie et le risque opérationnel.

6

III. Approche standard, approche par les modèles internes :

III.1. Présentation:

Le projet de Solvabilité II a pour but d’établir un référentiel harmonisé et cohérent à

l’ensemble des sociétés d’assurance européennes. Deux modes de calcul du besoin en capital

d’une compagnie d’assurance, à priori opposés, sont à l’étude : la formule standard et les

modèles internes.

Dans le premier cas, un ensemble de calculs simplifiés reposant sur des données

comptables et des indicateurs connus, permettent d’établir un besoin minimum de capital,

admis comme relativement arbitraire. Cependant, cette approche s’avère très coûteuse pour

les assureurs, car ses formules sont calibrées pour tous les assureurs et du coup, le capital

requis est généralement supérieur à celui qu’il doit réellement disposer.

Dans le deuxième cas, le CEIOPS prévoit notamment d’inciter les sociétés à mieux

modéliser leurs risques en les autorisant à construire des modèles internes. Cette voie est bien

plus complexe à mettre en œuvre. L’idée de départ est néanmoins simple et pragmatique : la

réalisation de modélisations personnalisées et globales des portefeuilles d’assurance à travers

la prise en compte des passifs, des actifs, et surtout de leurs interactions respectives. Le besoin

en capital pour la solvabilité peut alors s’apprécier directement à la lecture des résultats

générés par le modèle. Ces modèles peuvent être envisagés complètement libres ou structurés

par branche de risques.

Dans quelques années, gageons que les modèles internes mis en place par les

compagnies serviront principalement à leur gestion quotidienne des risques, et accessoirement

aux obligations réglementaires de solvabilité ; ceci est d’ailleurs un des souhaits du projet de

la directive Solvency II.

III.2. Utilités d’un modèle de risque globale :

Cette partie est extraite du livre de FITOUCHI [2005]

a) Les raisons internes à la compagnie :

Le premier objectif est l’identification et la mesure des risques liés à l’activité. En

particulier, l’assureur essaie de quantifier le niveau de capital minimum qui correspond au

7

risque de ruine qu’il estime acceptable. L’optique de l’assureur est de gérer ses risques à un

niveau qu’il juge correct compte tenu de sa structure.

Le deuxième objectif d’un modèle interne est de fournir au groupe d’assurances un

cadre de référence où la rentabilité exigée d’une activité dépend du risque qu’elle fait

supporter à la compagnie. Le modèle permet de déterminer quelles branches sont les plus

risquées et pour quelles rentabilités afin de pouvoir réaliser des arbitrages en ce qui concerne

les stratégies de développement de certaines d’entre elles.

Le modèle permet aussi de disposer d’un outil pour la gestion opérationnelle (politique

de prise ou cession de risque, mesure de performance, allocation d’actif, politique

d’intéressement, de participation aux bénéfices).

b) Les raisons externes à la compagnie

L’objectif principal est la nécessité de pouvoir répondre aux attentes ou aux exigences

d’acteurs externes à l’entreprise (les banques, les agences de notation, les marchés financiers).

Certains groupes anticipent également une évolution des exigences réglementaires.

D’une façon très générale, les modèles de risques globaux essaient :

- de modéliser la distribution de probabilité des fonds propres réels, ou « capital

économique », à un horizon de temps donné ;

- de calculer « un besoin de capital économique », indicateur qui correspond à un

niveau de risque global accepté par l’entreprise ;

- de définir, enfin, sur la base du cadre formulé précédemment, une règle

d’allocation du capital économique aux différentes activités.

III.3. Etapes de calcul d’un modèle interne:

D’après PLANCHET, THEROND, JACQUEMIN [2005], un modèle interne consiste

à simuler les flux futurs de l’entreprise de manière à déterminer une fonction reliant le niveau

des fonds propres au « risque » de l’entreprise. Sa mise en place nécessite donc la

détermination de ce qui caractérise le risque de l’entreprise (la faillite), le choix d’une mesure

de risque (VaR, TVaR) et enfin la modélisation de l’entreprise (actif, passif, actif-passif).

La simulation des flux futurs de l’entreprise va donc nécessiter de modéliser les

éléments qui sont à la source de ces flux : les sinistres et les placements. Généralement, le

8

choix d’un modèle se fonde sur l’hypothèse implicite que la variable modélisée aura dans le

futur le même comportement que par le passé. Ceci se traduit notamment dans le choix des

paramètres qui sont estimés sur des données historiques.

N.B. Pour certaines variables pour lesquelles les données historiques sont trop peu

nombreuses, les modèles devront être déterminés de manière ad hoc (avis d’experts par ex.).

Le modèle doit notamment intégrer, à l’actif :

- évolution des cours et des dividendes/loyers des actifs financiers (actions,

OMPCVM, immobilier, etc.),

- évolution des taux d’intérêt,

- évolution de l’inflation,

- dépendance entre ces différents éléments,

- défaut des émetteurs d’obligations

et au passif :

- survenance et montants de sinistres,

- sinistres catastrophiques,

- défaut des réassureurs,

- dépendance entre les branches.

Dans ce mémoire, par souci de simplicité, certaines des éléments cités ci-dessus ne

seront pas pris en compte.

Voici le schéma de la structure d’un modèle interne :

Figure 1 : Structure d’un modèle interne

Générateur de nombres aléatoires

Estimation des paramètres &

Tests d’adéquation

Modèles

Actif Discrétisation

9

V. Provision Best Estimate, marge de risque, approche par le coût du

capital:

IV.1. Présentation:

Un des principes essentiels de Solvency II est que les actifs (placements) et les passifs

(engagements) doivent être évalués à leur valeur de marché actuelle. Pour de nombreuses

positions financières telles que les actions ou les obligations, la valeur de marché est connue

puisque ces actifs font l’objet d’un négoce. Les passifs techniques ont quant à eux une valeur

de marché que l’on ne peut pas relever et des flux de trésorerie dont l’espérance

mathématique peut seulement être estimée. C’est pourquoi, lorsqu’on veut calculer la valeur

de marché d’une position actuarielle, il faut d’abord modéliser la marge sur la valeur de

marché. Lorsqu’un portefeuille est en liquidation (run-off), l’assuré ne subit aucun dommage si

un tiers prend en charge le risque inhérent au portefeuille en liquidation. Tel est le cas lorsque

l’assureur dispose d’un capital porteur de risque suffisant pour supporter le risque, ou

lorsqu’une instance extérieure (un autre assureur, un investisseur, un bailleur de fonds)

reprend le portefeuille ou injecte du capital dans l’entreprise – ce qui revient au même. Dans

le deuxième cas, l’instance extérieure doit mettre du capital-risque à disposition pour la

liquidation. Elle sera prête à le faire en contrepartie d’une indemnisation.

Le prix d’un passif technique se compose donc d’un montant correspondant à sa

liquidation attendue et d’une indemnisation pour le risque encouru, indemnisation dont la

définition recoupe parfaitement celle de la marge sur la valeur de marché donnée ci-dessus.

Le projet de directive actuel indique que la valeur des provisions techniques sera égale

à la somme du best estimate et d’une marge de risque.

IV.2. Best estimate:

La notion de best estimate est définie par l’extrait suivant : « La meilleure estimation

est égale à la moyenne pondérée par leur probabilité des flux de trésorerie futurs, compte tenu

de la valeur temporelle de l’argent (valeur actuelle probable des flux de trésorerie futurs),

déterminée à partir de la courbe des taux sans risque pertinente. Le calcul de la meilleure

10

estimation est fondé sur des informations actuelles crédibles et des hypothèses réalistes et il

fait appel à des méthodes actuarielles et des techniques statistiques adéquates »

IV.3. Marge de risque (MVM), approche de calcul par le coût du capital (Cost of

Capital):

Comme un passif n'arriverait pas à trouver preneur au prix du 'Best Estimate', une

quantité complémentaire doit être ajoutée au 'Best Estimate' pour pouvoir qualifier l'ensemble

de "valeur de marché" des provisions. Cette quantité supplémentaire qui permettrait alors de

vendre ces passifs, c'est la marge de risque ou 'Market Risk Margin' (MVM).

Il existe encore deux écoles qui s'affrontent en IARD pour pouvoir déterminer cette

'Market Risk Margin', soit le 'Cost of Capital', soit l'approche par les quantiles.

Le 'Cost of Capital' est défini comme le coût du capital qu'un tiers, un réassureur par

exemple, reprenant le stock de provisions', devrait immobiliser pour supporter le risque

jusqu'à extinction complète de ces provisions.

La notion de la marge sur la valeur de marché est valable en tout temps. En règle

générale, on veut connaître la valeur de marché actuelle, soit en t=0. Dans le Swiss Solvency

Test (SST), c’est surtout à la valeur en fin d’année soit t=1 qu’on s’intéresse, je traiterai donc

la marge sur la valeur de marché sous cet angle.

D’après la méthode « coût du capital », sur la base de l’écart de taux d’intérêt (spread)

et du capital risque nécessaire chaque année après t = 1, on peut définir la marge sur la valeur

de marché comme

_31 2(0) (0) (0) 2 (0) 3 (0) _

1 1 2 3 _

(1)(0) ...1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

run offspread run off

run off

SCRSCRSCR SCRMVMMVM ir r r r r

⎛ ⎞= = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + + +⎝ ⎠

1SCR : inclure les risques de marchés et de crédit.

iSCR (i > 1) : limités aux risques de souscription et risques opérationnels, risques de

crédit/concentration du réassureur.

6%spreadi CoC= = : Coût du capital pour un assureur qui est noté BBB.

11

Remarque : La marge sur la valeur de marché n’appartient pas au bailleur de capital risque

mais à l’assuré.

Il est important de comprendre aussi que la marge sur la valeur de marché doit

indemniser le repreneur pour les risques techniques, mais pas pour tous les risques encourus.

Imaginons un portefeuille qui se compose d’une part de passifs techniques et d’autre part

d’instruments existants (actifs) qui répliquent au mieux les passifs. Pour un portefeuille non-

vie, ce pourraient par exemple être des emprunts souverains générant le flux de trésorerie

attendu par les passifs. La marge sur la valeur de marché ne doit indemniser que les risques de

ce portefeuille. En revanche, elle ne doit pas couvrir les risques de marché du portefeuille

d’actifs existant, dont la composition est généralement différente de ce qu’elle serait dans un

portefeuille de réplication optimale.

Simplification :

Le futur SCR de l’année 1 (SCR1) inclura les risques de marché et de crédit, et les

futurs SCR à partir de l'année 2, seront limités au risque de souscription et au risque

opérationnel et aux risques de crédit/concentration du réassureur. Pour calculer les substituts

des futurs SCR, on estime que l’assureur a calculé le futur SCR à l’année 1(SCR’1) en

incluant uniquement les risques de souscription, opérationnel et de réassurance.

12

Voici le schéma pour calculer la marge de risque :

1

2

3

1 2

Discount the cost of holding future SCR's at the risk-free rate to get the CoC Risk Margin (RM)

3 4 5 ...

Steps to calculate the Risk Margin under a Cost-of-Capital approach

1 2 3 4 5 ...

Project the SCR for future years until run-off of the current liability portfolio

Determine the cost of holding future SCRs, by multiplying the projected SCR by the CoC factor

in

ii vSCRfactorCoCRM ××= ∑

=1_

Figure 2 : Etapes de calcul de la marge de risque.

13

V. Capital de solvabilité requis (SCR):

Notons SCR (Solvency Capital Requirement) le capital de solvabilité requis pour

l’assureur.

Avant de définir le capital requis, il convient d’introduire deux notions de mesure de

risque : la Value at Risk (VaR) et Tail Value At Risk (TVaR).

V.1. Mesures de risque VaR ou TVaR:

Le but de la mesure de risque est généralement de pouvoir représenter par un chiffre

réel une incertitude ou une grandeur dont la valeur est inconnue, à l’aide d’un étalon de

mesure adéquat, de manière à pouvoir exprimer l’exposition au risque de cette grandeur. Dans

ce mémoire, on va utiliser la mesure Value At Risk ou VaR.

a) Définition de la VaR :

La Value-at-Risk (VaR) de la variable aléatoire X au niveau de sécurité 1-α est

définie par

( , ) inf{ | Pr( ) }VaR X x X xα α= ≤ ≥

b) Définition de la TVaR :

La Tail Value at Risk (TVaR) de la variable aléatoire X au niveau de sécurité 1-α est

définie comme l’espérance mathématique conditionnelle E de X, pour X plus petit ou égal à la

VaR au niveau de sécurité 1-α :

[ ]( ) | ( )TVaR X E X X VaR Xα α= ≤

Au même niveau de sécurité, la TVaR est un étalon de mesure de risque plus prudent

que la VaR. Dans la réalité, une distribution des dommages présentera certainement quelques

pertes extrêmement élevées mais dont la probabilité est très faible. Pour ces cas, la TVaR est

plus appropriée que la VaR car elle intègre aussi l’ampleur de ces pertes extrêmes.

14

Contrairement à la VaR, la TVaR quantifie le coût moyen de l’un des 100. %α pires

événements. En pratique, on constate que la TVaR est plus stable que la VaR De plus, elle

présente aussi d’autres propriétés mathématiques intéressantes comme la cohérence.

Malgré tous les avantages de la TVaR par rapport à la VaR, la mesure de risque

utilisée pour déterminer le capital de solvabilité requis dans ce mémoire est la VaR afin de

permettre la comparaison des résultats du calcul de la formule standard.

Un autre objet qui intervient dans le calcul du capital de solvabilité requis est le capital

porteur de risque.

V.2. Horizon temporel:

L’horizon temporel retenu dans ce modèle interne est d’un an. Les calculs doivent

inclure tous les risques provenant de la poursuite du business pendant cet horizon. Toute

l’information reçue durant cet horizon et affectant la position financière de l’assureur doit être

prise en compte pour l’estimation du SCR.

V.3. Capital porteur de risque:

Le capital porteur de risque (CR) est le capital qui peut être utilisé pour compenser les

fluctuations des affaires. Il est défini comme la différence entre la valeur de marché actuelle

des actifs et l’estimation non biaisée de la valeur actualisée de l’espérance mathématique des

passifs.

à la date t = 0 : CR(0) = A(0) – BE(0)

à la date t = 1 : CR(1) = A(1) – BE(1)

Le capital porteur de risque en t = 0 (CR(0)) se détermine à partir des actifs et des

passifs, à l’aide du bilan établi à la valeur de marché actuelle. Il est donc connu. En revanche,

le capital porteur de risque futur (CR(1)) est une inconnue, car l’environnement de

l’entreprise est elle-même inconnue : il s’agit donc d’une valeur aléatoire.

Le montant du capital porteur de risque en fin d’année est indicatif de la valeur de

marché des actifs par rapport à celle des passifs :

15

CR < 0 Actifs < Passifs Best Estimate

0 < CR < MVM Passifs Best Estimate < Actifs < Valeur de marché des passifs

MVM < CR Valeur de marché des passifs < Actifs

Si le capital porteur de risque en fin d’année est supérieur à la marge sur la valeur de

marché, la valeur des actifs est supérieure à la valeur de marché des passifs.

Si CR(1) < MVM(1), le portefeuille en liquidation n’est pas suffisamment capitalisé.

Le risque inhérent à ce portefeuille ne peut donc pas être couvert par le capital porteur de

risque et aucun bailleur de fonds externe ne serait intéressé à l’assumer. Ce risque est donc

supporté entièrement et exclusivement par les assurés.

Tant que le capital porteur de risque reste positif, l’espérance mathématique des

passifs est certes inférieure à la valeur des actifs, mais le risque que les règlements de sinistre

excèdent cette valeur peut cependant être très élevé. Si le capital porteur de risque est négatif,

les actifs ne couvrent même pas l’espérance mathématique des passifs.

V.4. Minimum du capital requis (MCR):

MCR : Niveau de fonds propres en deçà duquel l’entreprise d’assurance présente un

risque inacceptable de ne pas pouvoir faire face à ses engagements.

Le calcul de ce montant ne sera pas abordé dans le cadre de ce mémoire. On peut

prendre simplement MCR = 1/3 SCR.

V.5. Capital de solvabilité requis (SCR):

SCR : niveau de capital qui permet à l’assureur d’absorber des pertes significatives. Il

doit être calibré de telle sorte à jouer un rôle d’alarme. Autrement dit, il est le capital

nécessaire pour couvrir le risque pendant 1 an. Le SCR est donc formulé de façon à ce que la

probabilité de réalisation de l’événement CR(1) < MVM(1) soit la plus faible possible.

Mathématiquement :

[ ](1) | (0) (0) (1)VaR CR CR SCR MVM MVMα = + =

16

Soit (0)1

(1) (0)1CRSCR VaR CR

rα

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟+⎝ ⎠

Où CR(t) = A(t) – BE(t) : capital porteur de risque à la date t.

A(t) : valeur du portefeuille d’actif à la date t.

BE(t) : valeur de la provision best estimate à la date t.

t = 0 : date de calcul

t = 1 : l’horizon du calcul

Remarque : Bien que le capital porteur de risque dépend de la marge (MVM), la

variation de ce capital ne l’est pas.

Preuve :

On a :

(0) (0)1 1

(1) (1) (1)(0) (0) (0)1 1CR FP MVMCR FP MVM

r r+

− = − −+ +

Or

(0)1

(1) (0)1

MVM MVMr

=+

Par construction

Donc

(0) (0)1 1

(1) (1)(0) (0)1 1CR FPCR FP

r r− = −

+ + qui est indépendant de la marge.

Avec FP(t) =Actif(t) –Provision technique(t) représentant le niveau du fond propre à la date t.

On peut comprendre ainsi : MVM(1) est l’indemnisation que l’assureur doit payer à

l’acquéreur en plus des montants de sinistres attendus à la date t=1 s’il devait céder ses passifs

à la fin de l’exercice. Pour cela il doit construire une provision pour cette marge à la date t=0

qui est noté MVM(0).

Preuve de la formule de calcul du SCR :

α =0,05%, on cherche le niveau de SCR qu’il faut disposer aujourd’hui pour que l’actif dans

1 an soit inférieur au passif dans 1 an à moins de 0,05%.

17

( )( )( )

(0) (0)1 1

(0)1

(1) (1) | (0) (0)

(1) (1) (1) (1) | (0) (0)

(1) (1) | (0) (0)

(1) (1) | (0) (0)1 1

(1) ((0)1

P Actif Passif CR SCR MVM

P Actif BE Passif BE CR SCR MVM

P CR MVM CR SCR MVM

CR MVMP CR SCR MVMr r

CR MVMP CRr

α

α

α

α

≤ = + ≤

⇔ − ≤ − = + ≤

⇔ ≤ = + ≤

⎛ ⎞⇔ ≤ = + ≤⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

⇔ − ≤+ (0)

1

(0) (0)1 1

(0)1

(0)1

1) (0) | (0) (0)1

(1) (1)(0) (0)1 1

(1) (0)1

(1) (0)1

CR CR SCR MVMr

CR MVMP CR MVM SCRr r

CRP CR SCRr

CRSCR VaR CRrα

α

α

α

⎛ ⎞− = + ≤⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞⇔ − ≤ − − ≤⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞⇔ − ≤ − ≤⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞⇔ = − −⎜ ⎟+⎝ ⎠

La valeur des actifs dans 1 an est égale à la valeur de marché de nos actions,

immobiliers et obligations dans 1 an plus la valeur des coupons tombés et diminuées des flux

payés pour les sinistres pendant l’année. Toutes ces valeurs sont inconnues à la date t = 0 sauf

les coupons des obligations d’état.

La valeur des passifs Best Estimate dans 1 an est également inconnue en t = 0, elle est

calculée comme l’espérance des montants de sinistres payés en t>1 actualisés

conditionnellement aux aléas de la période 0 à 1.

Ici, j’ai considéré que la composition du portefeuille est inchangée pendant l’année, les

sinistres sont payés en fin d’année et si les coupons ne sont pas suffisants pour payer les

sinistres, il y aura la liquidation de certaines actions ou obligations…

18

Je termine ce chapitre par un schéma simplifié du bilan économique d’une compagnie

d’assurance.

Figure3 : Bilan économique simplifié

Actifs

Placements: Actions, obligations…

Fair Value

Capital Libre

MCRMMVVMM

Best Estimate

FFoonnddss PPrroopprreess SSCCRR

PPrroovviissiioonnss TTeecchhnniiqquueess

19

VI. Actifs et risques de marché :

VI.1. Présentation:

Le risque de marché est le risque de fluctuation du capital porteur de risque sous l’effet

de modifications de la situation conjoncturelle ou de facteurs économiques, désignés ici par

facteurs de risque.

Dans le modèle présenté ici, une allocation d’actifs est fixée initialement (en t=0). Elle

est censée représenter l’allocation optimale reflétant l’équilibre que la compagnie souhaite

maintenir à long terme dans son portefeuille. Cette allocation cible s’exprime en pourcentages

représentant les différentes lignes d’actifs.

Mon portefeuille simplifié se compose de 2 actions, 1 obligation d’état et 1 actif

immobilier.

Les cours des actions et des immobiliers sont modélisés par le processus de Merton

tandis que l’obligation d’état est déduite de la courbe de taux d’intérêt sans risque dont

l’évolution suit le modèle de Cox-Ingersoll-Ross (CIR).

Ensuite, ces actifs n’évoluent pas indépendamment, ils sont corrélés entre eux et avec

les indices des marchés sur lesquels ils sont côtés. Les deux indices choisis sont le CAC 40

pour les actions et l’Euronext CAC Real Estate IX pour les actifs immobiliers. Les structures

de dépendance seront modélisées par la copule de Student qui est choisie pour prendre en

compte la dépendance des valeurs extrêmes.

Enfin, pour connaître la valeur de marché de l’actif en t > 0, les scénarios

économiques doivent projeter des primes de risque d’où la nécessité d’être en « monde réel ».

Exemple : Les actions ne doivent pas évoluer simplement au taux sans risque car il est

primordial de connaître leur vrai rendement pour évaluer correctement les occurrences de

ruine.

Donc, l’espace de travail utilisé dans la modélisation des actifs est celui de probabilité

historique.

VI.2. Modélisation des actions et des actifs immobiliers :

Cette partie s’inspire de l’article « L’impact de la prise en compte des sauts boursiers

dans les problématiques d’assurance », PLANCHET, THEROND [2005].

20

VI.2.1. Introduction:

Pour modéliser l’évolution du prix d’un actif risqué, le modèle de Black & Scholes est

actuellement la référence pour les praticiens de l’assurance. Cependant, confronté à la réalité,

ce modèle n’est pas suffisamment robuste : en effet, il ne tient pas compte de toutes les

données économiques observées sur les marchés financiers. Notamment, ce modèle n’intègre

pas les variations brutales du cours du sous jacent dues à l’arrivée d’information, bonnes ou

mauvaises.

Dans le contexte actuel d’utilisation du modèle de Black et Scholes en assurance,

essentiellement dans le cadre de la détermination d’allocations stratégiques et de l’évaluation

d’options (pour des garanties « plancher » sur des contrats en unités de compte par exemple),

cette relative inadéquation du modèle à la réalité s’avère assez peu pénalisante. En pratique

elle est largement compensée par la facilité de mise en œuvre du modèle.

Toutefois, le projet Solvabilité 2 en cours d’élaboration modifie profondément les

règles de fixation du niveau des fonds propres en assurance en introduisant comme critère

explicite le contrôle du risque global supporté par la société. Ce risque devra notamment être

quantifié au travers de la probabilité de ruine.

Dans ce nouveau contexte, les inconvénients principaux de modélisations de type «

brownien géométrique » et notamment l’insuffisance de l’épaisseur des queues de distribution

(qui conduit à une trop faible représentation des évènements rares) et la non prise en compte

des chocs, à la hausse ou à la baisse, sur les cours (qui conduit à ne pas intégrer au modèle

d’évènements exceptionnels et brutaux) peuvent avoir des conséquences importantes sur

l’appréciation du niveau de capital nécessaire pour contrôler la ruine au niveau fixé. Ce point

est par exemple abordé dans BALLOTTA [2004] pour le cas des options cachées d’un contrat

d’épargne, et dans PLANCHET et THEROND [2005] dans le cadre d’un modèle mono

périodique simplifié en assurance non-vie pour la détermination d’un capital cible et

l’allocation d’actifs.

Compte tenu de la place privilégiée du mouvement brownien géométrique, je

m’intéresse ici aux modèles généralisant cette approche et incluant le mouvement brownien

géométrique comme cas particulier. Le modèle proposé par MERTON [1976] est de ce point

de vue assez naturel; c’est donc le modèle que je retiendrai. Je reprends le modèle proposé par

MERTON [1976] et je m’inspire pour cela de la démarche proposée par RAMEZANI et

ZENG [1998] pour l’estimation des paramètres par la méthode du maximum de

vraisemblance.

21

Pour conclure, les hypothèses de mes modèles me permettront, dans le cadre de

l’approche Solvabilité II, de mieux évaluer l’impact de variations du cours d’une action que

par le modèle classique de Black&Scholes. Si l’adéquation du modèle à nos échantillons n’est

pas acceptée, il est possible que cela provienne de la simplicité des hypothèses. Toutefois, il

est ardu de rajouter des paramètres sans que le modèle proposé devienne trop compliqué à

manipuler.

VI.2.2. Présentation du modèle:

Les actions, les titres immobiliers ainsi que les indices CAC40 et Euronext CAC Real

Estate IX sont modélisés par le modèle de Merton, l’évolution des prix est donnée par

l’équation suivante :

1

²( ) (0)exp ( )2

tN

t kk

S t S t B Uσμ σ=

⎧ ⎫= − + +⎨ ⎬

⎩ ⎭∑

Où :

S(t) : prix de l’actif à l’instant t.

0( )t tB B ≥= : Mouvement brownien.

0( )t tN N ≥= : Processus de Poisson homogène d’intensitéλ .

1( )k kU U ≥= : Suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de

loi Normale (0, )uN σ .

Les processus B, N, U sont mutuellement indépendants.

Les sauts sont ici, dans un souci de simplicité, supposés symétriques et en moyenne nuls.

VI.3. Modélisation des obligations, modèle de taux :

Cette partie est tirée du livre de PLANCHET F., THEROND P et JACQUEMIN J.

[2005], « Modèles financiers en assurance », Editions Economica.

22

VI.3.1. Présentation:

Le prix d’une obligation quelconque de nominal N, de maturité T et de taux facial

ρ s’écrit :

( ) ( )1

1 11 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , )

T

t i t T ti t

O Nr t i spread t i r t T spread t T

ρ − −= +

⎛ ⎞= × +⎜ ⎟

⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠∑

Où ( , )r t i est le taux sans risque à la date t et de maturité i.

Le spread de taux dépend de la probabilité de défaut de l’émetteur, cette probabilité

pouvant être modélisée à l’aide des copules gaussiennes.

Si l’obligation est sans risque, son prix se déduit des prix des zéros-coupons P(t, T) via

la formule :

1

( , ) ( , )T

ti t

O N P t i P t Tρ= +

⎛ ⎞= × +⎜ ⎟⎝ ⎠∑

Il faut donc pour valoriser ces titres obligataires déterminer le prix des zéros-coupons

ou bien construire une courbe de taux. Il existe 3 approches concernant les modèles de taux :

- Les modèles d’équilibre partiel reposant sur un raisonnement d’arbitrage.

Citons, par exemple, celui de VASICEK [1997] qui comporte une variable d’état et celui

de BRENNAN et SCHWARTZ [1979] qui en comporte deux.

- Les modèles d’équilibre général, tel que le modèle de COX, INGERSOLL et

ROSS [1985] basés sur une description globale de l’économie.

- Les modèles de déformation qui partent de la structure des taux d’intérêt

observés et lui font subir des chocs. Le modèle de HO et LEE [1986] ainsi que sa

généralisation proposée par HEATH, JARROW et MORTON [1987] sont sans aucun

doute les plus connus dans cette catégorie.

Le modèle de VASICEK donne parfois des valeurs négatives, donc on va utiliser le

modèle de COX, INGERSOLL et ROSS (CIR) dans ce mémoire.

23

VI.3.2.Le modèle de COX, INGERSOLL et ROSS [1985] :

Ce modèle, présenté en 1985, introduit un processus en racine carrée qui interdit à un

taux initialement positif de prendre des valeurs négatives, tout en conservant la simplicité du

processus de d’ORNSTEIN-UHLENBECK. Le processus de taux d’écrit sous la forme :

( )t t t tdr a b r dt r dBσ= − +

Où tr est le taux sans risque instantané, tB est un mouvement Brownien en « proba

historique ».

a, b, σ sont des paramètres à estimer

La valeur du zéro-coupon à l’instant t qui paie 1 en T est déterminée, par la formule

suivante :

[ ]( , ) ( , ) exp ( , ) tP t T A t T B t T r= − Où tr est le taux sans risque à la date t

et t < T,

{ }{ }

{ }{ }

22 /

2 2

2 exp ( )( ) / 2( , )

( )(exp ( ) 1) 2

2exp ( ) 1( , )

( )(exp ( ) 1 ) 2

2

aba T t

A t Ta T t

T tB t T

a T t

a

σγ γ

γ γ γ

γγ γ γ

γ σ

⎧ ⎫+ −⎪ ⎪= ⎨ ⎬+ − − +⎪ ⎪⎩ ⎭− −

=+ − − +

= +

VI.3.3.Limites de ce modèle:

Ce modèle présente l’inconvénient de stabiliser la queue de la structure des taux, le

taux à long terme est réduit à une constante indépendante de la forme de la structure. Or, d’un

point de vue purement économique, il n’est pas toujours approprié d’expliquer le marché des

titres obligataires par une seule variable explicative, le taux sans risque instantané. Ces

processus mono-factoriels, ne dépendant que d’une variable d’état, supposent une parfaite

corrélation entre les taux r(t, T), non satisfaite dans la pratique.

Toutes ces limites ont poussé les chercheurs à construire des modèles prenant en

considération plusieurs facteurs (notamment par BRENNAN et SCHWART [1979], [1980] et

LONGSTAFF [1989]).

24

VI.4. Corrélation et dépendance:

VII.4.1. Présentation:

Les actifs n’évoluent pas indépendamment, ils sont corrélés entre eux et avec les

indices des marchés sur lesquels ils sont côtés. Les deux indices choisis ici sont le CAC 40

pour les actions et l’Euronext CAC Real Estate IX pour les actifs immobiliers.

Pour connaître la distribution des valeurs d’un portefeuille, il est nécessaire de pouvoir

anticiper l’évolution conjointe des facteurs de risque. Les facteurs de risque d’un portefeuille

sont les rendements de ses sous-jacents qui sont modélisés à l’aide des Browniens et des

sauts. Ils constituent les composantes aléatoires des prix futurs.

Dans le modèle de Merton, la composante à sauts représente l’information propre au

titre, le brownien associé au marché. Donc négliger la dépendance entre les composantes à

sauts c’est dire que les informations spécifiques à l’entreprise sont indépendantes des

informations d’autres entreprises, ce qui peut se concevoir.

Il s’agit donc d’estimer la distribution conjointe d’une série des browniens. Mais

comme on dispose déjà de la loi marginale de chacun de ces browniens, il reste à déterminer

la manière dont ils évoluent ensemble, c’est-à-dire la structure de dépendance entre ces

browniens.

VI.4.2. Les limites de la covariance:

Une première solution serait d’utiliser la matrice de covariance (décomposition de

Cholesky) pour approximer la dépendance entre les Browniens. Toutefois, la covariance ne

permet pas de décrire correctement la dépendance entre ces derniers et ce pour 2 raisons.

La première est d’ordre théorique. La covariance ne permet de caractériser qu’une

dépendance linéaire entre 2 variables aléatoires. On peut rencontrer des situations où il n’y a

pas de dépendance linéaire entre 2 variables (leur covariance est donc nulle) sans pour autant

qu’elles soient indépendantes. Pratiquement, supposons que, suite à une modélisation

particulière, on obtient une covariance entre 2 taux de rendements de 2 actions appartenant à

un même secteur industriel. Il est évident qu’on ne peut pas conclure l’absence de dépendance

entre ces rendements.

La deuxième raison est d’ordre empirique. Les taux de rendements représentent un

comportement de dépendance extrême qui ne peut être modélisé par la covariance. Tant qu’ils

25

ne prennent pas des valeurs trop grandes, ils varient indépendamment. Mais lorsqu’ils

prennent des valeurs extrêmes, ils les prennent tous en même temps. On parle dans ce cas de

dépendance extrême. C’est typiquement le phénomène que l’on observe lors d’un crash

boursier. Tous les prix chutent très fortement ensemble.

Par conséquent, on ne peut donc se contenter de modéliser la dépendance entre les

rendements ou bien les Browniens par leur matrice de covariance. Il faut chercher à

approximer plus précisément la distribution conjointe des Browniens. La théorie des copules

présente des résultats qui permettent de modéliser une distribution conjointe. Et de parvenir à

une description plus complète de la dépendance entre les variables aléatoires.

VI.4.3. Théorie des copules :

VI.4.3.1. Quelques définitions :

Définition de la copule :

Soit [0,1]1 : ii n u U∀ ≤ ≤ , une copule C est définie comme une fonction de répartition

multivariée :

1 2 1 2:[0,1] [0,1] : ( , ,..., ) ( , ,..., )nn nC u u u C u u u→ →

Dont les marginales sont uniformes sur [0,1].

Théorème de Sklar :

Le théorème suivant fournit un lien entre les distributions multivariée, leurs

marginales, et une copule.

On a 1( ,..., )nX X un vecteur de variable aléatoire dimension n, avec la fonction de

distribution jointe 1,..., nX XF et les distributions marginales

1,...,

nX XF F , i.e. :

1 ,..., 1 1 1( ,..., ) ( ,..., )

nX X n n nF x x P X x X x= ≤ ≤ et ( ) ( )iX i i iF x P X x= ≤ { }1 1,..., n∀ ∈

Alors, il existe une unique copule telle que :

1 1,..., 1 1( ,..., ) ( ( ),..., ( ))

n nX X n X X nF x x C F x F x= [ ]1( ,..., ) , nnx x∀ ∈ −∞ +∞

26

Le théorème de Sklar est central dans la théorie des copules. En gros, il dit qu’on peut

généralement associer une copule à une distribution multivariée. Par conséquent une fonction

de distribution peut être divisée en 2 parties :

+ D’une part, les n fonctions de distributions marginales.

+ D’autre part, une copule reliant ces fonctions.

La copule caractérise entièrement la structure de dépendance stochastique de n

variables aléatoires.

Le théorème dit également que si les lois marginales d’un vecteur aléatoire sont

connues, chaque copule définit une et une seule distribution jointe. Autrement dit, il existe

une et une seule copule qui permet de reconstruire la distribution jointe à partir des

distributions marginales.

Mesure de dépendance de queue :

Une des propriétés des copules qui nous intéresse le plus dans le cadre de Solvency 2

est la dépendance de queue. Soit (X, Y) un couple aléatoire. On définit les coefficients de

queue inférieure et supérieure, respectivement par,

1 1

0lim Pr[ ( ) | ( )]L X Yu

X F u Y F uλ − −

→= ≤ ≤ et 1 1

1lim Pr[ ( ) | ( )]U X Yu

X F u Y F uλ − −

→= > >

Quand les limites existent.

Notons que ces coefficients dépendent uniquement de la copule du couple (X, Y) et

nullement des lois marginales : si (X, Y) admet la copule C, les coefficients de dépendance de

queue sont définis, dès lors que la limite existe, par

0

( , )limL u

C u uu

λ→

= et __

0

( , )lim1U u

C u uu

λ→

=−

où __

C désigne la copule de survie associé à C (c’est-à-dire la fonction de répartition du couple

(1-U, 1-V) si (U, V) admet pour la fonction de répartition C).

Les cas intéressants sont ceux où ces coefficients sont strictement supérieurs à 0

comme ils indiquent la propension des copules pour générer conjointement les évènements

27

extrêmes. Si Lλ > 0 par exemple, il y a une dépendance de queue dans la queue inférieure et si

Lλ = 0, il y a une dépendance asymptotique dans la queue inférieure.

VI.4.3.2.Copule archimédienne, copule elliptique :

En générale il existe 2 familles de copules, les copules archimédiennes et les copules

elliptiques.

a) Les copules archimédiennes :

Définition :

La copule archimédienne de générateur ϕ est définie par

l’égalité ( )11 1( ,..., ) ( ) ... ( )n nC u u u uϕ ϕ ϕ−= + + , dès lors que

1( ) (0)

n

ii

uϕ ϕ=

≤∑

et 1( ,..., ) 0nC u u = , sinon. Le générateur choisi doit être de classe 2C de sorte que (1) 0ϕ = ,

' ( ) 0uϕ ≤ et '' ( ) 0uϕ > .

La notion de la copule archimédienne regroupe un certain nombre de copules comme

CLAYTON, GUMBEL, FRANCK.

Nom Copule

Clayton ( ) 1/( , , ) 1C u v u v

θθ θθ−− −= + −

Franck 1 (exp( ) 1)(exp( ) 1)( , , ) ln 1exp( ) 1u vC u v θ θθ

θ θ⎛ ⎞− − − − −

= +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Gumbel

( ) ( )1/

( , , ) exp ln( ) ln( )C u v u vθθ θθ ⎛ ⎞⎡ ⎤= − − + −⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

b) Les Copules elliptiques :

Les copules elliptiques sont des copules de distributions elliptiques. Un vecteur

aléatoire X de dimension n suit une distribution elliptique si leurs fonctions caractéristiques

peuvent s’exprimer comme suivant :

1( ) exp( . . ). ( . . . )2

T TX t i t t tϕ μ ϕ= ∑

28

Où

μ est le vecteur colonne des moyennes, et ∑ est la matrice de covariance.

ϕ est la fonction caractéristique.

Parmi les copules elliptiques, les copules Normale et Student ont des propriétés

intéressantes :

-Elles sont symétriques, i.e. si un vecteur 1( ,..., )nU U est distribué selon une de

ces 2 copules, on a 1 1( ,..., ) (1 ,...,1 )n nU U U U− − . Il en résulte que 2 mesures de

dépendance de queues Lλ et Uλ sont égales et sont dénotéesλ .

-Il existe un lien simple entre les composantes de la matrice ∑ et le Tau de

Kendall d’une paire de variables aléatoires. Nelsen(1999) et Embrechts(2001) ont

montré que le Tau de Kendall dépend de la copule et non des distributions marginales.

Il existe 2 copules phares dans la famille des copules elliptiques :

b.1) Copule Normale :

Une copule Normale est une copule de la distribution normale multivariée. Cette

copule a une matrice R comme paramètre. La densité de la copule Normale est de la forme :

11 1/ 2

1 1( ,..., ) .exp '( ).| | 2

NormaleR nc u u S R I S

R−⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

où 1( )j jS u−= Φ , 1−Φ est l’inverse de la fonction de répartition de la loi N(0,1) et I est

la matrice d’identité de dimension n.

Cependant la copule Normale ne présente pas la dépendance de queue, i.e. 0Normaleλ = .

b.2) Copule Student :

La copule Student a comme paramètres un nombre réel v et une matrice R de

dimension ( n n× ). La densité de la copule Student s’écrit :

21

1/ 2, 1 2 1

2

1

11 '. .( ) ( )2 2( ,..., ) | | . . .1( ) ( ) (1 )2 2

v nn

StudentR v n vn

j

j

v n v S R Svc u u R v v S

v

+−

−

−+

−

=

⎛ ⎞+ ⎛ ⎞ +Γ Γ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠= ⎜ ⎟+⎜ ⎟Γ Γ +⎝ ⎠ ∏

29

Où 1( )j v jS T u−= , 1vT − est l’inverse de la fonction de répartition de la loi Student univariée de v

degré de liberté.

b.3) Copule Normale et Copule Student :

Contrairement à la copule Normale, la copule Student montre une dépendance de

queue positive. Cela veut dire qu’il y a moins de valeurs extrêmes générées par la copule

Normale que par la copule Student.

c) Distinction entre les copules elliptiques et les copules archimédienne :

Les copules archimédiennes sont souvent utilisées mais elles ont un

désavantage majeur : elles représentent la structure de dépendance avec peu de paramètres (un

ou deux dans la plupart des cas), qui ne sont pas très cohérents en pratique avec la complexité

des structures observées. Ces copules sont donc irréalistes pour modéliser la dépendance dans

des dimensions supérieures à deux.

Par contre, les copules elliptiques sont particulièrement adaptées à la modélisation des

structures de dépendance en dimension n≥ 2. En effet, l’introduction de la matrice de

corrélation ∑ comme un paramètre multidimensionnel donne une grande flexibilité pour ce

qui est de la forme de la structure et est plus facile à interpréter que les paramètres des copules

archimédiennes.

Donc pour des raisons de facilité de calibration et pour ses qualités dans la prise en

compte des mouvements extrêmes, je vais utiliser la copule Student pour modéliser la

structure de dépendance entre mes titres d’actifs.

30

VII. Passif et risque d’assurance non-vie:

VII.1. Présentation:

Le risque d’assurance, ou risque technique, est le risque de fluctuation du capital

porteur de risque sous l’effet de la réalisation aléatoire des risques assurés d’une part et des

incertitudes propres à l’estimation des paramètres actuariels d’autre part. Il peut être aussi

défini comme le risque que la réserve doit être réévaluée suite à des nouvelles informations.

Ce risque est divisé en risque stochastique et risque de paramètre. Le premier est le risque que

la fluctuation aléatoire des paiements de sinistres rend insuffisants les réserves établies par

l’assureur et le deuxième est le risque concernant l’estimation des paramètres du modèle.

Dans ce mémoire, le passif de l’assureur sera constitué uniquement des provisions

pour les sinistres connus ou non déclarés, mais survenus.

Provisions = IBNR + PSAP

Avec IBNR : provisions pour les sinistres survenus mais pas encore déclarés

PSAP : provisions pour les sinistres survenus dont les coûts n’ont pas été

entièrement réglés.

Ces deux provisions seront estimées à partir d’un triangle de paiement, avec les années

de survenance et les années de développement.

Pour commencer, je vais exposer la méthode de modélisation des paiements de

sinistres.

VII.2. Modélisation dynamique des cash-flows futurs :

Les assureurs doivent de plus en plus raisonner sur la base d’une gestion actif-passif

de leurs risques en donnant toute l’intensité de leurs efforts sur le passif, et non plus se

contenter des modèles historiques ALM, dont l’objectif est principalement lié à une correcte

allocation des actifs. Ce renversement de tendance en direction d’une gestion des risques de

passif constitue une opportunité rare dans l’histoire de l’assurance.

Normalement, les cash-flows futurs (coûts des sinistres…) sont modélisés de manière

statique, i.e. pour quelques dates dans l’avenir, à 1 an, à 2 ans par exemple. On en déduit la

provision technique en actualisant ces cash-flows à la date d’évaluation au taux

correspondant.

31

Dans ce mémoire, j’utilise un modèle dynamique pour représenter les cash-flows

futurs. Cela permet d’être cohérent avec la modélisation des actifs financiers d’où une gestion

actif-passif plus efficace cependant cette idée ne sera pas développé par la suite du mémoire.

En effet, l’actualisation sera effectuée avec les cash-flows aux dates spécifiques (en fin

d’année).

Ce qui suit dans cette partie s’inspire de l’article de HAYER [2001]. Le modèle

développé est une généralisation du modèle « Lognormal age-to-age », HAYNE [1985]. Le

modèle de HAYNE suppose que le facteur de développement suit une loi log-normale.

L’évolution du montant cumulé des sinistres tP se décrit par un processus

stochastique :

( ) ( )t t t tdP t Pdt t PdBμ σ= +

Où tB est un mouvement Brownien, ( )tμ , ( )tσ sont respectivement le taux

d’augmentation marginal et le coefficient proportionnel des montants cumulés.

On en déduit que le facteur de développement suit la loi log-normale :

2 2

2

1 1 1

2 21( ) ( ) , ( )2

t tt

t t t

PLN t t dt t dt

Pμ σ σ

⎛ ⎞⎛ ⎞→ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫ (*)

Ce modèle est appelé le mouvement Brownien géométrique et est fréquemment utilisé

dans le monde financier, l’exemple le plus connu est la formule d’évaluation du prix d’option

de Black-Scholes.

Les éléments que l’on souhaite connaître concernant les passifs sont la provision Best

Estimate à la date 0, la distribution de la provision Best Estimate à la date 1 et la distribution

du montant total de sinistres payés de 0 à 1.

Supposons qu’on a un triangle de paiement suivant avec n années de développements

et la dernière année de survenance est 2006 (rappelons que la date de calcul est 29/12/2006).

32

Année de développement

1 2 n

2006-n+1

Ann

ée d

e su

rven

ance

2006

Les données dans les cases blanches sont disponibles.

VII.3. Calcul de la provision Best Estimate à la date t = 0 (BE (0)):

Pour calculer le BE(0), je dois remplir les cases jaunes du tableau par les montants

moyennes des paiements futurs actualisés aux taux sans risque. Ensuite, la provision Best

Estimate à la date 0 est la somme de ces cases jaunes.

De 1 1

, 1 2 2

,

1( ) ( ) , ( )2

j ji j

i j j j

PLN t t dt t dt

Pμ σ σ

+ ++

⎛ ⎞⎛ ⎞→ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫

En appliquant la formule de calcul de la fonction génératrice de moment d’une

variable aléatoire suivant la loi normale, je trouve :

1 1 12 21 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2, 1

,

j j j

j j j

t t dt t dt t dtdti j

i j

PE e e

P

μ σ σ μ+ + +⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠+∫ ∫ ∫⎡ ⎤

= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Où i : année de survenance du sinistre et j : année de développement.

Les taux d’actualisation sont obtenus à partir de la courbe de taux sans risque actuelle.

De manière générale, la 2ème diagonale est actualisée avec le taux 1 an, la 3e avec le

taux 2 ans, et ainsi de suite jusqu’à la dernière valeur en bas à droite du triangle.

33

VII.4. Calcul de la distribution du montant total de sinistres payés de 0 à 1 :

En utilisant la technique de Monte Carlo, je simule un nombre important de fois la

deuxième diagonale en se basant sur la distribution log-normale des facteurs de

développement. Le montant total de sinistres payés de 0 à 1 est la somme des éléments de

cette diagonale.

VII.5. Calcul du Best Estimate à la date 1 (BE(1)) :

Dans cette partie, je vais utiliser une méthode dite « simulations dans les

simulations ». Pour cela, je simule tous les aléas qui peuvent survenir dans la période 0 à 1

(ici les paiements de sinistres et le taux d’intérêt sans risque), la provision Best Estimate à la

date 1 doit être construite conditionnellement à ces aléas.

En fait, pour chaque 2ème diagonale simulée, en supprimant la première ligne et la

première colonne, j’obtiendrai un nouveau triangle de taille diminuée de 1. Ensuite, je

procède de la même manière que pour le calcul du BE(0) avec les nouvelles données tout en

gardant les mêmes hypothèses sur la distribution des facteurs de développements ainsi que la

forme des fonctions ( )tμ et 2 ( )tσ . Par contre suite aux aléas en 2007, les paramètres de ces

dernières fonctions vont changer.

Un autre paramètre qui va changer aussi est le taux d’actualisation. Avec le modèle

CIR, j’obtiens un échantillon de taux sans risque instantané dans 1 an noté 1r ; les taux

d’actualisations en t = 1 sont obtenus par :

[ ]1(1, ) (1, ) exp (1, )P T A T B T r= −

34

VIII. Outils mathématiques et statistiques:

Avant d’aborder le calibrage des modèles, je voulais présenter brièvement quelques

objets mathématiques importants, et des méthodes d’estimations usuelles qui seront utilisés

dans le cadre de ce mémoire.

VIII.1. Processus stochastiques usuelles :

a) Mouvement brownien :

On rappelle ici les propriétés essentielles de cet objet.

Le mouvement brownien est le plus célèbre des processus de Lévy. C’est un processus

stable, continu (il ne fait aucun saut), ce qui ne l’empêche pas d’être complexe (il est à

variation infinie).

Le mouvement brownien est un processus qui satisfait par construction les trois

propriétés suivantes :

- Accroissements indépendants : les bouts de trajectoires sont indépendants les uns des

autres.

- Accroissements stationnaires.

- Continuité : la continuité est l’absence de saut.

Un processus de Lévy est simplement un processus qui vérifie les deux premières mais

pas forcément la troisième.

b) Processus de Poisson :

Le processus de Poisson est un outil extrêmement utilisé tant pour la modélisation des

sinistres (dans les modèles de type Poisson-composé) que dans les modèles d’actifs dans

lesquels on souhaite introduire des sauts.

On considère des évènements qui se produisent à des dates aléatoires, et on s’intéresse,

pour tout t > 0 au nombre d’évènements qui se sont produits au cours de l’intervalle ]0, ]t , que

l’on note N(t).

Définition et quelques propriétés intéressantes :

35

On définit alors le processus de Poisson d’intensité 0λ > comme le processus N(t)

satisfaisant les conditions suivantes :

- P1 : le processus est à accroissements indépendants, i.e. 1 20 ... nt t t∀ ≤ < < , les

variables aléatoires 1( ) ( ), 1,...,i iN t N t i n−− = sont globalement indépendantes.

- P2 : Le processus est à accroissements stationnaires, i.e. , 0t h∀ > , la loi de

( ) ( )N t h N t+ − ne dépend que de h.

- P3 : ( ( ) ( ) 1) ( )P N t h N t h o hλ+ − ≥ = + et ( ( ) ( ) 2) ( )P N t h N t o h+ − ≥ =

La condition P3 signifie que sur un petit intervalle de temps, on observe 0 ou 1

événement, et que la probabilité d’observer un événement est proportionnelle au temps

écoulé. On peut remarquer que N(0) = 0.

Les trajectoires sont par définition croissantes, continues à droite avec une limite à

gauche. Elles croissent par sauts d’une unité.

On vérifie par ailleurs sans difficulté que si ( )1tN et ( )2

tN sont deux processus de

Poisson indépendants d’intensité respectives 1λ et 2λ , alors 1 2t t tN N N= + est un processus de

Poisson d’intensité 1 2λ λ+ . Pour le vérifier on remarque que tN est un processus à

accroissements indépendants et stationnaire, et qu’il vérifie également P3.

Ce résultat admet la réciproque suivante : si tN est un processus de Poisson et que nT

désigne l’instant du ièmen saut, et si on se donne des variables aléatoires de Bernoulli nX

indépendantes des instants de saut et de paramètre p, on peut construire deux processus en

affectant les sauts de tN à l’un si 1nX = , à l’autre sinon, les 2 processus ainsi obtenus sont

des processus de Poisson indépendants, de paramètre respectifs pλ et (1 )p λ− .

VIII.2. Méthodes statistiques pour l’estimation des paramètres:

VIII.2.1. Modèle de régression linéaire, moindres carrées ordinaires (MCO) :

Soit le modèle suivant Y XB σε= + où 2(0, )Nσε σ→ . Les paramètres à estimer sont

B et σ .

36

On considère une variable d’intérêt y appelée variable dépendante et un ensemble de K

variables dites explicatives auquel on adjoint une constante. On dispose de N observations

notés ( )_

1 2, ,..., Ny y y y= de la variable dépendante. On définit de même les vecteurs _ _

1,..., Kx x

et _

x la matrice des variables explicatives à laquelle on adjoint le vecteur constant

'(1,...,1)e = : _ _ _

1, ,..., Kx e x x⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

est donc une matrice de dimension N x (K+1).

Définition :

L’estimateur des moindres carrés ordinaires est défini comme le vecteur b de

dimension K + 1, ( )_ '

0 ,..., Kb b b= , des coefficients de la combinaison linéaire de _ _

1, ,..., Ke x x

réalisant le minimum de la distance de _

y à l’espace vectoriel de NR engendré par

_ _

1, ,..., Ke x x , pour la norme euclidien : 2_ _^

arg minmcob y xb= −

Proposition 1 :

Sous l’hypothèse H1 : les vecteurs _ _

1, ,..., Ke x x sont indépendants,

L’estimateur des moindres carrés existe, est unique et a pour expression

1_ _ _ _^

' 'mcob x x x y−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Et pour les résidus, on a : :

2^

1

( 1)

n

mcoi ii

y b x

n Kσ∧

=

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠=− +

∑

VIII.2.2. Modèle de régression non linéaire, moindres carrées non ordinaire:

De même que la régression linéaire, on a le modèle suivant ( )Y X B σε= + où

2(0, )Nσε σ→ . Les paramètres à estimer sont B et σ .

Sauf qu’ici X(B) est une fonction non linéaire, mais le principe d’estimation des

paramètres reste le même.

37

A savoir 2_ _^

arg min ( )mcob y x b= −

VIII.2.3. Méthode des moments, méthode mu maximum de vraisemblance:

Définissons une population par :

( ; ),

( ) ( ; )

m

k kk k

X f x R

E X x f x dx

θ θ

μ μ θ θ

∈

⎡ ⎤ = = =⎣ ⎦

→

∫

Et 1

1

,...,1n

nk

k ii

x x

M xn =

= ∑ statistique observable

a) Méthode des moments :

L’estimateur de moment est obtenu en égalant les moments théoriques et les moments

empiriques.

θ∧

est solution de ( ) 1,...,k kM k mμ θ= = .

En effet, on doit résoudre m équations à m inconnus 1,..., mθ θ

b) Méthode du maximum de vraisemblance :

C’est la plus populaire des méthodes d’estimations.

L’estimateur du maximum de vraisemblance (MLE) de θ est obtenu comme

1 1( ,..., ) arg max ( , ,..., )n nx x l x xθ

θ θ∧

=

Où l est la fonction de vraisemblance qui est définie par : 11

( , ,..., ) ( ; )n

n ii

l x x f xθ θ=

=∏

VIII.3. Méthode de simulation Monte-Carlo :

Le projet Solvency II implique le passage des méthodes déterministes aux méthodes

stochastiques. Le terme « stochastique » amène à l’utilisation de tirages aléatoires respectant

38

des lois de probabilité et permettant d’obtenir une distribution des résultats et ainsi de

représenter le plus fidèlement possible la réalité des risques portés par une compagnie

d’assurance.

Le développement nécessaire de modèles internes en particulier fait donc appel aux

méthodes et outils stochastiques présentés ci-après

VIII.3.1. Présentation:

L’idée sous-jacente est d’approcher le résultat théorique (qui peut être une statistique

associée à une distribution, comme son espérance, sa fonction de répartition, ou, plus

généralement, toute fonctionnelle associée à la distribution étudiée) en effectuant des tirages

dans la loi du phénomène observé.

Pour pouvoir utiliser les modèles de simulations, que ce soit en Assurance Vie, avec

les méthodes de tirages aléatoires, en Assurance Non-Vie, avec les modèles « fréquence-coûts

», ou en finance avec les processus stochastiques il est donc nécessaire de savoir simuler des

réalisations des différentes lois de probabilité.

L’ensemble de ces techniques est généralement regroupé sous le vocable de «

méthodes de Monte-Carlo ». Il en existe de différents types, adaptés à la loi que l’on souhaite

simuler et au contexte. Mais, dans tous les cas, la génération de nombres aléatoires de loi

uniforme est essentielle à toute technique de simulation, du fait de l’utilisation de méthodes

type « inversion de la fonction de répartition ».

VIII.3.2. Simulation de distributions discrètes:

a) Méthode d’inversion :

Le principe est ici de découper l’intervalle [0;1] en sous intervalles dont les bornes

sont les Σ pi croissantes. Ce découpage est dû au fait qu’il n’existe pas obligatoirement de

bijection entre les différentes modalités de la distribution entière et l’intervalle [0;1], puisque

la fonction de répartition d’une distribution entière est en escaliers. L’indice de la borne

supérieure de l’intervalle ainsi créé dans lequel se trouvera le nombre aléatoire de loi

uniforme simulé donnera la valeur simulée de notre distribution.

39

Algorithme :

Si Y a pour loi ( ) ,k kP Y y p k N= = ∈ et si [ ]0,1U Uniforme→

alors, 10

0 0

01

1 1 i n

j jj j

U p ip U pi

y y−

= =

≤ ⎧ ⎫⎪ ⎪< ≤≥ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

+∑ ∑

∑ a même loi que Y.

Exemple : Simuler une réalisation de la loi Poisson(3)

P (X = k) = pk = !

k

ek

λ λ− , k ∈ N, F(k) fonction de répartition/ F(k) = P(X ≤ k)

p0 = 0,049

Simuler une réalisation u de la loi uniforme U(0,1)

+ Si u ≥ p0, on a une réalisation de 0 de la loi simulé

+ Si u < p0, on prend k tel que u > F(k)

Remarque : Il est à noter que cette méthode, très générale, peut être coûteuse en temps de

calcul suivant les cas. Pour chacune des lois entières connues, il existe des méthodes de

simulations particulières, qui s’avèrent beaucoup plus performantes.

b) Méthode de la composition :

Seconde méthode “classique” de simulation pour les distributions entières, ou même

absolument continues, la méthode de la composition a pour objectif de décomposer la densité

de probabilité de la variable aléatoire en mélange de fonctions de densité. Cette

décomposition peut se faire à partir des probabilités conditionnelles.

Méthodologie :

Soit X la variable aléatoire réelle dont nous cherchons une réalisation x.

La méthode de la composition propose de chercher g et Y telles que

( ) ( ) ( )i ii

P X x P Y y g x Y Y= = = =∑

Pour simuler une réalisation de X, il faut simuler un premier nombre aléatoire 1u pour

trouver y réalisations de Y tell que 1( )P Y y u= = puis générer un autre nombre aléatoire 2u

afin d’en déduire 2( )x g u Y y= =

40

Exemple : Une distribution Binomiale Négative BN(r, p) est une distribution Poisson-

Gamma (r, p/q)

Ainsi, il est possible d’utiliser cette propriété pour simuler une distribution Binomiale

Négative, à partir de la méthode de la composition, en deux étapes :

+ Simulation d’une réalisation λ de la loi Gamma (r, p/q),

+ Simulation d’une réalisation de la loi de Poisson de paramètre λ.

On obtient ainsi une réalisation de la loi BN(r, p).

Remarque : Dans cet exemple, et contrairement à la présentation de la méthode, c’est la loi

discrète (loi de Poisson) à laquelle nous appliquons le conditionnement, et non pas la loi

absolument continue, mais il est bien évident que le principe reste le même.

VIII.3.2. Simulation de distributions continues:

a) Méthode de l’inversion de la fonction de répartition :

Classiquement, c’est l’une des méthodes les plus utilisées en simulation, au moins

lorsque la puissance de l’outil informatique permet les calculs, et que l’inversion de la

fonction de répartition est possible, ce qui nécessite le plus souvent une expression analytique

simple de cette fonction.

Proposition : Soit Y une variable aléatoire réelle à valeurs dans R de fonction de répartition

YF . On pose :

1( ) inf{ : ( ) }Y YF u y F y u− = ∈ ≥ , [0,1]u∈

Si 1( )Ydom FU U −→ alors 1( )YF U− et Y ont la même loi.

Ainsi, pour simuler un n-échantillon i.i.d. d’une loi ayant pour fonction de répartition

F, il suffit de simuler n réalisations indépendantes d’une v.a.r. de loi uniforme sur l’intervalle

[0;1], puis d’appliquer l’inverse de la fonction de répartition à chacune de ces valeurs. Ceci

montre tout l’enjeu d’une simulation “optimale” des réalisations d’une loi uniforme, puisque

les seules approximations résident dans cette opération quand l’inversion de la fonction de

répartition est possible de manière analytique.

41

Exemple : Loi Exponentielle ε (q)

Cette loi dépend d’un unique paramètre θ > 0.

La fonction de répartition F de la loi exponentielle est donnée par :

( ) 1 xF x e θ−= −

Grâce à l’expression analytique de cette fonction de répartition, nous pouvons

facilement extraire :

1 1( ) ln(1 )F u uθ

− = − − .

Ainsi, on simule une réalisation u de la loi normale U(0,1), et on obtient une

simulation de X par x = 1( )F u−

Avantage:

+ Facile à comprendre et à implémenter.

+ Cette méthode permet de simuler, notamment, les lois suivantes :

- La loi exponentielle ( )E θ

- La loi de Pareto ( , )P a α

- La loi de Weibull ( , )W τ α

- La loi Normale 2( , )N μ σ

Inconvénient :

+ L’inverse de la fonction de répartition est rarement disponible.

+ Lemme d’inversion ne s’applique qu’en dimension 1.

+ Algorithme résident sur machine seulement pour lois usuelles.

b) Méthode du rejet :

Dans le cas où l’on ne connaît pas la forme exacte de la fonction de répartition, une

solution est de simuler une loi de proposition « plus simple » et d’utiliser un algorithme

d’acceptation-rejet.

Algorithme d’acceptation-rejet :

Soit une loi d’intérêt de densité f et une loi de proposition g telle que ( ) ( )f x Mg x≤

sur le support de f. Alors, on peut simuler suivant f avec l’algorithme suivant

42

Générer x g→ et ([0,1])u U→

Accepter y = x si

( )( )

f xuMg x

≤

Retourner en 1) si rejet

Remarque : Le choix de g et de M doit être fait comme suit :

+ g est une fonction de densité “simple”, que nous savons simuler,

+ M est une constante le plus proche de 1 que possible (ce qui améliore la

qualité du générateur),

+ La probabilité d’acceptation est égale à 1/M, donc la valeur de M règle

l’efficacité (vitesse) de l’algorithme.

Exemple :

On cherche à simuler une loi X qui admet comme densité la fonction

( ) exp( ² / 2)f x x= −

On sait que 2( 1) 1xe− − ≤ soit

2 2 1 1x xe− + − ≤ soit 2

12

x

x

e ee

−

− ≤

Donc, on va prendre 2( ) 2 xg x e−= qui est la densité de la loi d’exponentielle de

paramètre 2 et le constant M = e/2.

Probabilité d’acceptation = 1/M = 2/e = 0,74

Appliquons maintenant l’algorithme de simulation :

Nous simulons un couple (u1, x1) de v.a.r. indépendantes de lois respectives U ([0;1])

et Exponentielle(2).

Si u1 ≤ ( 1)( 1)

f xMg x

, alors nous gardons X = x1

Si u1 > ( 1)( 1)

f xMg x

, alors nous rejetons X = x1, simulons un autre couple (u2, v2)

c) Méthode de la composition :

Utilisée pour les simulations de distributions entières, la méthode de la composition se

généralise aux distributions absolument continues.

43

Méthodologie : Soit X la v.a.r. dont nous cherchons une réalisation x.

Soit Xf la densité de probabilité de X.

La méthode de la composition se propose de chercher g et YF telles que :

( ) ( ) ( ( ))X Yf x g x y d F y= ∫

Pour simuler une réalisation de X, il faut alors simuler un premier nombre aléatoire u1

pour trouver y réalisation de Y telle que F = u1 puis de générer un autre nombre

Aléatoire u2 afin d’en déduire x = g (u2 | Y = y).

Exemple :

Nous voulons simuler une loi qui est un mélange de 2 autres lois continues connues

( )X Exponentielle λ→ et ( , )gamma a bλ →

+ Simulation d’une réalisation λ de la loi Gamma (a, b),

+ Simulation d’une réalisation de la loi d’Exponentielle de paramètre λ.

Nous obtenons ainsi une réalisation de la loi de X.

Avantage :

+ Cette méthode donne une meilleure précision que la méthode de rejet.

Inconvénient :

+ Normalement, il est difficile de décomposer une loi quelconque en 2 lois connues.

d) Conclusion :

Il faut remarquer que certaines lois ne sont pas simulées à partir des trois méthodes

précédentes.

La meilleur méthode (et la plus simple) reste la méthode d’inversion de la fonction de

répartition, viens ensuite la méthode de décomposition, mais il faut savoir décomposer la

densité qui est une tâche difficile. Si ces 2 méthodes ne tiennent pas, on applique la méthode

de rejet.

44

IX. Estimation des paramètres et application numérique:

Normalement, la modélisation d’une variable passe par trois étapes de choix de

modèle, d’estimation des paramètres du modèle sur la base des données historiques et d’étude

de la robustesse du modèle en vue d’accepter ou de rejeter le modèle choisi. Dans ce

mémoire, comme je travaille sur un portefeuille fictif, et par souci de simplicité, je vais passer

la troisième étape. Les logiciels utilisés sont SAS (surtout le proc iml) et R (pour les

graphiques).

IX.1. Modèles des actifs:

IX.1.1. Modèle de Merton:

L’évolution de prix d’un actif financier est donnée par l’équation suivante :

1

²( ) (0)exp ( )2

tN

t kk

S t S t B Uσμ σ=

⎧ ⎫= − + +⎨ ⎬

⎩ ⎭∑ (*)

Où :

S(t) : prix de l’actif à l’instant t.

0( )t tB B ≥= : Mouvement brownien.

0( )t tN N ≥= : Processus de Poisson homogène d’intensitéλ .

1( )k kU U ≥= : Suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de

loi Normale (0, )uN σ .

Les processus B, N, U sont mutuellement indépendants.

Les paramètres à estimer sont ( ), , ,uμ σ σ λ .

La démarche d’estimation de ces paramètres suit celle proposée dans RAMEZANI et

ZENG [1998]. Dans un premier temps des estimateurs sont obtenus par la méthode des

moments. Ils seront ensuite utilisés pour initialiser un algorithme de maximisation de la

vraisemblance qui donne des résultats plus précis avec des propriétés classiques comme :

convergence, efficacité asymptotique, normalité asymptotique.

45

D’après l’équation (*), le rendement de l’actif sur l’intervalle [t, t+h] s’écrit :

1

1

²exp ( )( )2

²exp ( )2

t h

t

N

t h kkt h

r h Nt

t kk

t h B USrS

t B U

σμ σ

σμ σ

+

+=+

+

=

⎧ ⎫− + + +⎨ ⎬

⎩ ⎭=⎧ ⎫

− + +⎨ ⎬⎩ ⎭

∑

∑

ce qui conduit après simplification à l’expression :

²exp ( ) ( )2

t h

t

Nt h

t h t h t kNt

Sr h B B US

σμ σ+

++ +

⎧ ⎫⎪ ⎪= = − + − +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

∑

J’en déduis que, si l’on dispose de n observations des cours équi-réparties aux instants

iiTtn

= sur un intervalle [0, T], les variables 1

( )( ) ln( )

ii i

i

S tx x tS t −

= = sont telles que :

( 1) //

1 1

² ( 1)( ) ( ) ( )2

i T niT n NN

i t k kk k

T iT i Tx B B U Un n n

σμ σ−

= =

−⎡ ⎤= − + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑

Cela prouve que les variables aléatoires 1,..., nx x sont indépendantes et identiquement

distribuées. En d’autres termes les rendements sur des intervalles disjoints sont indépendants,

et la distribution dépend de la longueur et non pas de la position.

Proposition 1: La densité de r sur une période s’écrit :

2

2 22 20

²( )2( ) exp

2( )2 !

n

rn uu

xef xnn n

λσμλ

σ σπ σ σ

− ∞

=

⎡ ⎤⎡ ⎤⎧ ⎫− +⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎪= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎨ ⎬++⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎪

⎢ ⎥⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦⎣ ⎦

∑

Démonstration : Annexes

46

a) Méthode des moments :

La méthode des moments consiste à égaliser les moments empiriques avec les

moments théoriques. Comme j’ai 4 paramètres à estimer 2 2, , ,uμ σ σ λ , je dois résoudre un

système non linéaire de 4 équations à 4 inconnus.

Compte tenu de la loi du rendement, je m’intéresse aux moments centrés.

Si ²( )2

m E r σμ= = − , je vais donc calculer ( )kkm E r m⎡ ⎤= −⎣ ⎦ , un argument de

symétrie conduit à conclure que 2 1 0km + = . Il suffit donc de déterminer les moments d’ordre

pair.

Je pose alors :

12

2 24

3 46

4 6

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

F x E r mF x E r m mF x E r m mF x E r m m

= −⎧⎪ = − −⎪⎨ = − −⎪⎪ = − −⎩

où x = ( 2 2, , ,uμ σ σ λ )

Pour trouver les estimateurs par la méthode de moment, je construits une fonction du

type : 2 2 2 2

1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )h x F x F x F x F x= + + + . Résoudre le système non linéaire revient à minimiser

la fonction h(x). Pour cela, j’utilise la méthode de « Trust-Region » disponible dans le proc

iml du logiciel SAS, ainsi j’obtiendrai plusieurs solutions dépendant du vecteur

d’initialisation 0x . En effet pour chaque vecteur 0x , on a une solution qui minimise la fonction

h(x) localement. De manière empirique, chaque paramètre varie entre 0 et 1. Par conséquent

pour avoir une solution globale qui minimise le plus la fonction h(x), j’ai simulé 500 vecteurs

0x dont les composantes suivent indépendamment une loi uniforme [0, 1]. Ensuite j’ai retenu

comme solution du système le vecteur solution qui donne le minimum des h(x).

Proposition 2: Le moment centré d’ordre 2k de r s’écrit :

2 2 22

0

(2 )!( ) ( )2 ! !

nk k

k ukn

km E r m e nk n

λ λ σ σ∞

−

=

⎡ ⎤= − = +⎣ ⎦ ∑

Démonstration : Annexe

47

b) Méthode du maximum de vraisemblance :

La méthode des moments a permis d’obtenir un premier jeu d’estimateurs pour les

paramètres du modèle; j’utilise ce jeu comme valeur initiale pour déterminer le maximum

local de la vraisemblance dans son voisinage. Compte tenu de la proposition 1, j’obtiens

l’expression suivante de la vraisemblance :

2

2 21 2 22 2

01

²( )2( ,..., , , , , ) exp

2( )2 !

nn i

n uni uu

xeL x xnn n

λσμλμ σ σ λ

σ σπ σ σ

− ∞

==

⎡ ⎤⎡ ⎤⎧ ⎫− +⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎪= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎨ ⎬++⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎪

⎢ ⎥⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦⎣ ⎦

∑∏

Le but est ici de maximiser la vraisemblance (ou de manière équivalente de minimiser

- 2 2ln ( , , , , )uL x μ σ σ λ ). Concernant les contraintes, il vient de manière évidente que 2 0σ ≥

et 2 0uσ ≥ . Ensuite, je vais étudier les valeurs des estimateurs issues de la méthode des

moments pour encadrer les autres paramètres.

En fait, je dispose des estimateurs obtenus par la méthode des moments. Je considère

que ces estimateurs approchent à plus ou moins 50 % les estimateurs du maximum de

vraisemblance. Par conséquent, je retiens d’imposer quatre contraintes d’inégalité pour

l’optimisation de la log-vraisemblance. Je suis ainsi amené à un classique problème de

maximisation sous contraintes, dont la résolution numérique n’appelle pas de remarque

particulière.

Le système des contraintes se décrit comme suivant :

2 2 2

2 2, ,

0,5 1,50,5 1,5

0,5 1,50,5 1,5

mom mom

mom mom

u mom u mom

mom mom

μ μ μσ σ σσ λ σλ λ λ

≤ ≤⎧⎪ ≤ ≤⎪⎨ ≤ ≤⎪⎪ ≤ ≤⎩

Donc le problème revient à maximiser la vraisemblance sur un compact 4V R∈ .

Comme elle est continue, elle atteint donc son maximum.

48

En résumé, le problème à résoudre est :

4

2 21

2 2 2

2 2, ,

max ( ,..., , , , , )

0,5 1,50,5 1,50,5 1,50,5 1,5

n ur R

mom mom

mom mom

u mom u mom

mom mom

L r r μ σ σ λ

μ μ μσ σ σ

σ λ σ

λ λ λ

∈

⎧⎪⎪ ≤ ≤⎪⎨ ≤ ≤⎪

≤ ≤⎪⎪ ≤ ≤⎩

Remarque :

Par la méthode de l’estimation du maximum de vraisemblance, pour les grands

échantillons et sous certaines hypothèses peu strictes, l’estimateur sera asymptotiquement

sans biais, normal et efficace. On ne sait rien sur l’unicité des solutions de l’équation de

vraisemblance. De plus, cette méthode ne sera valable utilement que pour de grands

échantillons à cause de ses propriétés asymptotiques.

IX.1.2. Modèle de taux (CIR):

Le processus ( )t t t tdr a b r dt r dBσ= − + peut être discrétisé en :

( )t h t t tr r a b r h hr σε+ − = − + avec (0, )Nσε σ→ et h est le pas de discrétisation.

Soit

( )t h t t

t t

t h tt

tt

r r a b r hhr hr

abr r h r harhr

σ

σ

ε

ε

+

+

− −= +

⎛ ⎞⎛ ⎞−⇔ = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎝ ⎠

Il s’agit d’un modèle de régression linéaire, alors, par la méthode de moindres carrés

ordinaires (MCO), j’obtiens les valeurs ab et –a, et en résolvant le système de 2 équations à 2

variables, j’obtiendrai les estimateurs de a et de b. La valeur de σ est obtenue directement par

MCO.

49

IX.1.3. Copule Student ,vt∑ :

Cette partie s’inspire des travaux de KARIM CHEIKH BENANI [2003]

Notons désormais la copule Student par t-copule :

Supposons qu’on désire approximer par une t-copule la structure de dépendance d’un

vecteur aléatoire de distribution jointe inconnue mais dont les lois marginales sont connues et

qu’on dispose d’un échantillon de réalisations { }1,..., nX X X= avec 1( ,..., )ni i iX x x= . On va

chercher à estimer les paramètres ( , )v∑ .

Zeevi et Mashal [2002] sur la base des travaux de Lingskog(2000) ont proposé une

méthode pour estimer ces paramètres.

Cette méthode utilise la fonction de vraisemblance de l’échantillon ( )iG X où,

1( ) ( ( ),..., ( ))ni v i v iG X t x t x= et vt est la fonction de répartition de la Student univariée à v degrés

de liberté. Cette fonction de vraisemblance s’écrit :

1

( , ) ( ( ), , )m

m ii

L v c G X v=

∑ = ∑∏

Où c est la densité de la t-copule. La fonction de log vraisemblance de ( )iG X s’écrit :

1

( , ) log[ ( ( ), , )]m

m ii

l v c G X v=

∑ = ∑∑

Zeevi et Mashal [2002] adoptent une approche différente du maximum de

vraisemblance. Ils ne calculent pas les estimateurs du maximum de vraisemblance de ( , )v∑ .

Dans leur méthode, la fonction de vraisemblance n’est pas simultanément maximisée suivant

∑ et suivant v . Le paramètre ∑ est en premier estimé, puis à partir de cette estimation∧

∑ , ils

cherchent le nombre v qui maximise la fonction de vraisemblance.

a) Estimation de ∑ :

L’estimation de la matrice de corrélation ∑ d’un vecteur aléatoire se ramène à

rechercher le coefficient de corrélation ( , )X Yρ entre chaque couple (X, Y) de composantes.

J’introduis ici 2 mesures de dépendances des variables aléatoires, à savoir le

coefficient de Pearson et le Tau de Kendall.

50

Coefficient de corrélation de Pearson :

Définition : Soit 2 variables aléatoires et soit un échantillon

d’observations{ }( , ) | 1,...,i ix y i m= , la corrélation entre X et Y peut être estimée par

l’estimateur empirique

1

2 2

1 1

( )( )( , )

( ) ( )

m

i ii

pearson m m

i ii i

x x y yX Y

x x y yρ

∧ ∧

∧=

∧ ∧

= =

− −=

− −

∑

∑ ∑

Toutefois, cet estimateur présente un biais important si les variables aléatoires X et Y

possèdent des distributions à queues épaisses. De plus, il présente une variance élevée.

Dans la suite, nous allons présenter un autre estimateur de dépendance entre variables

aléatoires qui correspond bien à la distribution Student multivariée.

Le Tau de Kendall :

Définition : Soit (X, Y) un vecteur aléatoire à valeurs dans 2R . On appelle taux de

Kendall de (X, Y), la constante réelle :

{ } { }( , ) ( )( ) 0 ( )( ) 0i j i j i j i jX Y P X X Y Y P X X Y Yτ = − − > − − − <

Où ( , )i iX Y et ( , )j jX Y sont des réalisations de (X, Y), indépendantes entre elles.

Le tau de Kendall décrit les propriétés de concordance de la relation entre deux

variables aléatoires X et Y.

Cet estimateur de dépendance correspond bien à la distribution Student multivariée.

Matrice de corrélation de ,vt∑ :

LINDSKOG [2001b] a présenté une relation entre le tau de Kendall et la matrice de

corrélation∑ de la variable aléatoire suivant la distribution de Student multivariée.

En effet, si ,vt∑ est une Student multivariée à valeurs dans nR alors :

sin( )2π τ∑ = ou bien ( , ) sin( ( , ))

2i j i jX X X Xπρ τ= avec { }, 1,...,i j n∈

Dans mon problème, je cherche à approximer par une t-copule la structure de

dépendance d’un vecteur aléatoire (des browniens) à valeurs dans R de distribution jointe

51

inconnue (et à priori n’étant plus une Student multivariée) mais dont les distributions

marginales sont connues (normales) et pour lequel je dispose d’un échantillon de réalisations.

b) Estimation de v :

Pour estimer le paramètre v, on recherche la valeur v qui maximise la log

vraisemblance.

1

arg max log[ ( ( ), , )]m

iv V i

v c G X v∧ ∧

∈ =

⎡ ⎤= ∑⎢ ⎥⎣ ⎦∑ où { }3,4,5,...V =

IX.2. Modèles des passifs:

IX.2.1. Application du modèle:

La première étape dans l’application du modèle de marche aléatoire est de vérifier si

les facteurs de développement année par année observés sont indépendants, identiquement

distribués selon la loi Log-Normale. Après il faut identifier des fonctions appropriées pour

( )tμ , ( )tσ et estimer les paramètres pour ces fonctions.

Remarque : une violation sur les hypothèses n’implique pas nécessairement que le calibrage

du modèle est mauvais. Au contraire, elle veut dire que les tests statistiques basés sur les

résultats sont biaisés. L’amplitude de ce biais dépend du degré de la violation.

Sélection de la forme de ( )tμ et ( )tσ :

L’étape suivante dans le processus de modélisation est de choisir la forme appropriée

pour ( )tμ et ( )tσ . Ce n’est pas une tâche triviale : les fonctions polynomiales seront

généralement non-appropriées.

Pour les problèmes de calculs de provisions pour sinistres à payer avec l’hypothèse

que l’assuré n’obtient pas de recours, i.e. il ne peut pas y avoir de paiement négatif, les

fonctions ( )tμ et ( )tσ sont imposées par les mêmes restrictions : elles doivent être positives,

décroissantes, et tendre vers 0 à run-off. Ces types de fonctions sont généralement référés

sous le nom de fonctions de queue.

52

Quelques fonctions pourraient être considérées pour ( )tμ et 2 ( )tσ par exemple :

1

.

1

.

t

e

t

t

γ

β

γ

β

α

α γβ

α γ

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

−

−

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦+

Ici, ces fonctions sont choisies parce qu’elles couvrent une large propriété de queue.

En pratique, plusieurs fonctions de queues peuvent être obtenues en étendant la fonction de

survie des lois de probabilités.

Choisir la fonction la plus appropriée parmi les 3 citées ci-dessus est très compliqué

car on ne peut pas observer directement les valeurs de ( )tμ ou 2 ( )tσ .

IX.2.2. Estimation des paramètres:

Pour chacune des fonctions ( )tμ et 2 ( )tσ , on a 3 paramètres à estimer, à savoir

1 1 1, ,α β γ pour la fonction ( )tμ et 2 2 2, ,α β γ pour la fonction 2 ( )tσ .

Il y a 2 méthodes pour estimer ces paramètres : méthode du maximum de

vraisemblance et celle des moindres carrés. Comme la première a été utilisée pour le calibrage

des modèles des actifs financiers, je vais appliquer la méthode des moindres carrées dans cette

partie.

On a :

2 2

2

1 1 1

2 21( ) ( ) , ( )2

t tt

t t t

PLN t t dt t dt

Pμ σ σ

⎛ ⎞⎛ ⎞→ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫

D’où

2 2

2

1 1 1

2 21ln ( ) ( ) , ( )2

t tt

t t t

PN t t dt t dt

Pμ σ σ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ et

22

1 1

2

2

1 1

2

2

1ln ( ) ( )2

ln ( )

tt

t t

tt

t t

PE t t dt

P

PV t dt

P

μ σ

σ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫

∫

53

La méthode des moindres carrées consiste à minimiser la distance entre les valeurs

théoriques et les valeurs empiriques.

Supposons que les sinistres soient totalement payés au bout de n années.

Pour chaque année de développement i, on calcule la moyenne et la variance des

logarithmes des facteurs de développement notés iμ et 2iσ avec i = {1, 2,…, n-1}, il s’agit ici

des valeurs empiriques.

Les valeurs théoriques sont calculées ainsi :

222

11 1

323

22 2

21

1 1

ln ( )

ln ( )

..............................

ln ( )n

nn

n n

Pg V t dtP

Pg V t dtP

Pg V t dtP

σ

σ

σ−− −

⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫

∫

∫

et

222

11 1

323

22 2

21

1 1

1ln ( ) ( )2

1ln ( ) ( )2

..............................

1ln ( ) ( )2

nn

nn n

Pf E t t dtP

Pf E t t dtP

Pf E t t dtP

μ σ

μ σ

μ σ−− −

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

∫

∫

∫

En conséquence, les estimateurs sont obtenus par les programmes suivants :

, ,σ σ σα β γ∧ ∧ ∧

= argmin22g σ− et , ,μ μ μα β γ

∧ ∧ ∧

= argmin 2f μ−

Où { }1 2 1, ,..., nf f f f −= et { }1 2 1, ,..., ng g g g −=

Pour résoudre ces programmes d’optimisations, je commence par estimer les

paramètres , ,σ σ σα β γ∧ ∧ ∧

, puis je les remplace dans le vecteur f, et enfin j’utilise de nouveau la

méthode de moindres carrées pour trouver les valeurs de , ,μ μ μα β γ∧ ∧ ∧

.

Obtention des résultats :

On a :

22

11

11 2 2 1

1 12 1 2 1

( , ) ( ) ( )1

( )1

tt

tt

h t t t dt t t t

t t t t

β β

β β

αα γ γβ

αγβ

− −

− −

⎡ ⎤= + = − + ⎣ ⎦−

⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦−

∫

54

Pour chaque couple 1 2( , )t t je trouve 1 2( , )h t t ou 1t

g en fonction de α , β et γ et aussi

sa valeur numérique notée 1

2tσ . Il s’agit ensuite de résoudre le programme d’optimisation

suivant :

( )21

2

0, , 0

1

1

111

n

ii

i iMinα β γ

β β σαγβ

−

≥ ≥ =

− −⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝⎡

⎠⎤+ + −⎣ ⎦−∑

Les contraintes 0γ ≥ et 0α ≥ sont posées pour assurer la positivité de la variance.

Une fois les paramètres de la fonction 2 ( )tσ estimés et notés , ,σ σ σα β γ∧ ∧ ∧

, je vais chercher

ceux de ( )tμ en résolvant le programme d’optimisation suivant :

( ) ( )

2

1

0, , 0 1

1 1 11 11 11 2 1

n

ii

Min i i i iσ σβ β β

α

β

β γ

σσ

σ

ααγ γ μβ β

∧ ∧−

≥ ≥

∧∧−

=

− −−∧

⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤+ + − − + + −⎢ ⎥

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎣ ⎦⎢ ⎥⎜ ⎟− ⎣ ⎦−⎝ ⎠⎣ ⎦∑

Encore une fois, les contraintes 0, 0α γ≥ ≥ assurent la positivité de ( )tμ .

Les solutions obtenues sont notées , ,μ μ μα β γ∧ ∧ ∧

.

La valeur du passif Best Estimate dans 1 an est calculée comme l’espérance des flux

futurs actualisés conditionnellement aux aléas de la période 0 à 1. Ici, on suppose que les

facteurs de développements suivent toujours la loi log-normale mais les paramètres des

fonctions ( )tμ , 2 ( )tσ vont changer.

En t = 0, ( )tμ , 2 ( )tσ prennent la forme de la fonction .t βα γ− + .

En t = 1, ( )tμ , 2 ( )tσ prennent la forme de la fonction 11 1.t βα γ− + .

IX.3. Application numérique:

IX.3.1 Modèle de Merton:

Mon portefeuille se compose de deux actions : Alcatel et Atos, et d’un titre

immobilier : Affine. Les indices choisis sont le CAC40 et l’Euronext CAC Real Estate IX.

Les données historiques des cours sont extraites de Bloomberg. Il s’agit des données

hebdomadaires du 08/01/1999 au 29/12/2006 (date d’évaluation), ce qui donne 417 valeurs

pour chaque titre. La période choisie reflète un cycle complet.

En appliquant les démarches présentées ci-dessus, j’obtiens les résultats suivants :

55

Les estimateurs de la méthode des moments sont :

12121,

1

0,005190,001290,4824

0,0220u

Alcatelμσσλ

= −⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩

2

22

22,

2

0,00080,00550,0389

0,0042u

Atosμσσλ

= −⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩

323

23,

3

400,00080,00040,0006

0,0045u

CACμσσλ

=⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩

42424,

4

_ _0,0030 0,00020,0003

0,0025u

CAC REAL ESTATEμσσλ

=⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩

52424,

4

0,003230,00040,0006

0,0295u

Affineμσσλ

=⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩

Les estimateurs de la méthode du maximum de vraisemblance sont :

12121,

1

0,00260,0020,24

0,033u

Alcatelμσσλ

= −⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩

2

2222,

2

0,000770,0030,0410,05

u

Atosμσσλ

= −⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩

32323,

3

400,00110,00060,00990,027

u

CACμσσλ

=⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩

42424,

4

_ _0,00330,00030,007

0,023u

CAC REAL ESTATEμσσλ

=⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩

5

24

24,

4

0,0020,0005

0,010,027

u

Affineμσσλ

=⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩

IX.3.2. Modèle de taux (CIR):

Les données choisies sont les cours historiques hebdomadaires du taux EONIA (Euro

OverNight Index Average) du 08/01/1999 au 29/12/2006. Cet indice de taux est choisi parce

qu’il est le taux sans risque le plus court disponible à ma connaissance (taux overnight), qui

est indispensable pour le calibrage du modèle de taux instantané.

La méthode MCO donne :

0,0010337

-0,03433

0,000169

ab

a

σ

∧ ∧

∧

∧

⎧ =⎪⎪− =⎨

⎪⎪ =⎩

d’où

0,03433

0,03011

0,000169

a

b

σ

∧

∧

∧

⎧ =⎪⎪

=⎨⎪⎪ =⎩

IX.3.3. Copule Student ,vt∑ :

Les rendements des titres dans le portefeuille et le taux d’intérêt sans risque instantané

sont décrits par les processus suivants :

56

1,

2,

3,

4,

21 1 11, 1 1

1

22 2 22, 2 2

1

23 3 33, 3 3

1

24 4 44, 4 4

1

25 5, 5

: ( )2

: ( )2

40 : ( )2

_ _ : ( )2

: (2

t h

t h

t h

t h

N

t h t kk

N

t h t kk

N

t h t kk

N

t h t kk

t h

A L C A T E L r h h U

A T O S r h h U

C A C r h h U

C A C R E A L E ST A T E r h h U

A F F IN E r

σμ σ ε

σμ σ ε

σμ σ ε

σμ σ ε

σμ

=

=

=

=

= − + +

= − + +

= − + +

= − + +

= −

∑

∑

∑

∑5,

5 55

1

6 6 6 6 6

)

_ : ( )

t hN

t kk

t h t t t t

h h U

IN T E R E ST R A T E r r a b r h hr

σ ε

σ ε=

+

+ +

= + − +

∑

En fait je cherche à simuler le vecteur aléatoire ( )1 2 3 4 5 6, , , , ,t t t t t tε ε ε ε ε ε . Pour cela, j’ai

besoin de connaître sa distribution conjointe dont la structure de dépendance est décrite par la

copule de Student (t-copule).

Les paramètres ( , )vΣ sont estimés à partir des taux de rendements dévolatilisés des

titres financiers et du taux EONIA.

L’estimation du taux de Kendall est :

1 0.3596 0.4662 0.1717 0.0645 -0.04910.3596 1 0.4302 0.1274 0.0069 -0.03440.4662 0.4302 1 0.2909 0.0326 -0.05430.1717 0.1274 0.2909 1 0.0142 -0.0226 0.0645 0.0069 0.0326 0.0142 1 -0.0709-0.0491 -0.0344 -0.0543 -0

.0226 -0

τ∧

=

.0709 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Et l’estimation de la matrice de corrélation correspondante est :

1 0.1012 -0.07700.5350 1 0.6253 0.1987 0.0109 -0.05400.6683 0.6253 1 0.4410 0.0512 -0.08510.2663 0.1987 0.4410 1 0.0223 -0.0355 0.1012 0.0109 0.0512 0.0223 1 -0.1111-0.07

0.5350

70 -0.0

0.6683 0.2663

540 -0.0851 -0.03 0

55 -

∧

Σ =

.1111 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

57

La fonction de vraisemblance est représentée sur la figure ci-dessous :

Figure 4 : Fonction de vraisemblance

Le v optimal semble être infini. Ceci signifie que la structure de dépendance entre les

rendements des titres dans le portefeuille et le taux d’intérêt sans risque est celle décrite par

une copule gaussienne. Je prends 1100v∧

= . En effet, ZEEVI, MASHAL [2002] a montré qu’à

partir de v=1000, une copule Student est semblable à la copule de même matrice de

corrélation linéaire.

IX.3.4. Valeur du portefeuille:

a) Valeur du portefeuille initiale (t=0) :

Le portefeuille se compose de 7 titres d’ALCATEL, 8 titre d’ATOS, 9 titres

d’AFFINE et 10 obligations d’état de maturité 5 ans, de coupon 5 et de nominal 50.

Les valeurs initiales des actifs financiers sont

10

20

30

10,9€44,93€135€

SSS

⎧ =⎪ =⎨⎪ =⎩

En t=0, les facteurs d’actualisations sont donnés dans le tableau suivant :

58

Facteur d'actualisation

1 an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans

discount 0,9638853 0,9338853 0,8961447 0,8643775 0,8339238

D’où, on en déduit que la valeur de l’obligation en t=0, notée 0O , est égale à 64,13 €.

Finalement la valeur du portefeuille en t=0 est calculée par :

1 2 30 0 0 0 07* 8* 9* 10* 2292,04€A S S S O= + + + =

b) Valeur du portefeuille dans 1 an (t=1) :

Les évolutions des actifs composant le portefeuille étant entièrement définies, leurs

distributions ainsi que celui du portefeuille dans 1 an seront obtenus en utilisant la méthode de

simulation Monte-Carlo.

Rappelons les résultats obtenus des étapes précédents: 1,

2,

3,

21 1 1 11

1 11

22 2 2 22

2 21

23 3 3 33

3 31

4

: exp ( )2

: exp ( )2

40 : exp ( )2

_ _ :

t h

t h

t h

N

t h t t kk

N

t h t t kk

N

t h t t kk

t h

ALCATEL S S h h U

ATOS S S h h U

CAC S S h h U

CAC REAL ESTATATE S S

σμ σ ε

σμ σ ε

σμ σ ε

+=

+=

+=

+

⎧ ⎫⎪ ⎪= − + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪= − + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫⎪ ⎪= − + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

=

∑

∑

∑4,

5,

24 4 44

4 41

25 5 5 55

5 51

6 6 6 6 6

exp ( )2

: exp ( )2

_ : ( )

t h

t h

N

t t kk

N

t h t t kk

t h t t t t

h h U

AFFINE S S h h U

INTEREST RATE r r a b r h hr

σμ σ ε

σμ σ ε

σ ε

=

+=

+

⎧ ⎫⎪ ⎪− + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪= − + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

= + − +

∑

∑

Où ,

2,

6

(0,1)

( )

(0, )

(0,1)

it

it h i

ik u i

t

N

N P h

U N

N

ε

λ

σ

ε

avec i = {1,2,…,5}

59

1212

1,

1

0,00260,0020,24

0,033u

Alcatelμσσλ

= −⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩

2

2222,

2

0,000770,0030,0410,05

u

Atosμσσλ

= −⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩

32323,

3

400,00110,00060,00990,027

u

CACμσσλ

=⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩

42424,

4

_ _0,00330,00030,007

0,023u

CAC REAL ESTATEμσσλ

=⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩

5

24

24,

4

0,0020,0005

0,010,027

u

Affineμσσλ

=⎧⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ =⎩

La valeur du zéro-coupon est déterminée, par la formule suivante :

[ ]( , ) ( , ) exp ( , ) tP t T A t T B t T r= − où tr est le taux sans risque à la date t

Avec t < T,

{ }{ }

{ }{ }

22 /

2 2

2 exp ( )( ) / 2( , )

( )(exp ( ) 1) 2

2exp ( ) 1( , )

( )(exp ( ) 1 ) 2

2

aba T t

A t Ta T t

T tB t T

a T t

a

σγ γ

γ γ γ

γγ γ γ

γ σ

⎧ ⎫+ −⎪ ⎪= ⎨ ⎬+ − − +⎪ ⎪⎩ ⎭− −

=+ − − +

= +

avec

0,03433

0,03011

0,000169

a

b

σ

∧

∧

∧

⎧ =⎪⎪

=⎨⎪⎪ =⎩

Le vecteur aléatoire ( )'1 2 3 4 5 6,, , , , , Student

t t t t t t vCε ε ε ε ε ε Σ

Avec

1 0.1012 -0.07700.5350 1 0.6253 0.1987 0.0109 -0.05400.6683 0.6253 1 0.4410 0.0512 -0.08510.2663 0.1987 0.4410 1 0.0223 -0.0355 0.1012 0.0109 0.0512 0.0223 1 -0.1111-0.07

0.5350

70 -0.0

0.6683 0.2663

540 -0.0851 -0.03 0

55 -

∧

Σ =

.1111 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

et 1100v∧

=

Les variables itε évoluent indépendamment dans le temps (pour i fixé).

Obtention de résultat :

Commençons à t=0 avec les valeurs initiales des titres et du taux EONIA (0 ,0369).

1) Simuler le vecteur ( )1 2 3 4 5 6, , , , ,t t t t t tε ε ε ε ε ε d’après la t-copule

2) Simuler , ( )it h iN P hλ→ , 2(0, )i

k iU N σ→ , les valeurs des actions et titres immobiliers

sont obtenues par

60

,2

1

exp ( )2

it hN

i i i iit h t i i t k

k

S S h h Uσμ σ ε+=

⎧ ⎫⎪ ⎪= − + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

∑ Avec i = {1,2,…,5}

3) Le taux sans risque instantané est obtenu par 6( )t h t t t tr r a b r h hrσ ε+ = + − +

Comme les paramètres ont été estimés en utilisant les valeurs historiques

hebdomadaires, je vais prendre le pas de simulation h = 1 semaine. Supposons que l’année

financière se divise en 37 semaines, je vais répéter l’algorithme précédent 37 fois, les

dernières valeurs obtenues sont les prix des actifs dans 1 an. En t=1, l’obligation gardera les

mêmes coupons et le même nominal qu’au début mais sa maturité sera réduite à 4 ans, son

prix sera donc déduit du taux sans risque instantané à t=1.

En répétant l’étape précédente 200 fois, j’obtiens les échantillons des titres Alcatel,

Atos, Affine, ainsi que le prix de l’obligation 1 an. Leurs histogrammes sont présentés ci-

dessous :

61

Figure 5 : Histogramme du prix de l’obligation dans 1 an

62

Figure 6 : Histogramme du prix du titre Alcatel dans 1 an

63

Figure 7 : Histogramme du prix du titre Atos dans 1 an

64

Figure 8 : Histogramme du prix du titre Affine dans 1 an

IX.3.5 Provision Best Estimate:

Les données utilisées dans cette partie sont extraites de l’article de Nobuyasu Iwakiri

et Tomoi Noda : « Study of Insurance IFRS » présenté à « 12th East Asian Actuarial

Conference » en 2003.

65

Le triangle des montants de sinistres payés par année de survenance est décrit comme:

(Euros)

Année de développement

1 2 3 4 5 6

2001 449 711 274 81 11 1

2002 435 735 307 74 16

2003 398 651 318 83

2004 437 715 303

2005 327 703

Ann

ée d

e su

rven

ance

2006 409

Le triangle des paiements de sinistres cumulés est le suivant :

(Euros)

Année de développement

1 2 3 4 5 6

2001 449 1160 1434 1515 1526 1527

2002 435 1170 1477 1551 1567

2003 398 1049 1367 1450

2004 437 1152 1455

2005 327 1030

Ann

ée d

e su

rven

ance

2006 409

Ensuite, je calcule les facteurs de développement :

Année de développement

1 à 2 2 à 3 3 à 4 4 à 5 5 à 6

2001 2,5835 1,2362 1,0565 1,0073 1,0007

2002 2,6897 1,2624 1,0501 1,0103

2003 2,6357 1,3031 1,0607

2004 2,6362 1,2630 Ann

ée d

e

surv

enan

ce

2005 3,1498

Enfin, je calcule les logarithmes des facteurs de développements, leurs moyennes, et leurs

écart-types :

66

Année de développement

1 à 2 2 à 3 3 à 4 4 à 5 5 à 6

2002 0,9492 0,2120 0,0549 0,0072 0,0007

2003 0,9894 0,2330 0,0489 0,0103

2004 0,9691 0,2648 0,0589

2005 0,9693 0,2335 Ann

ée d

e

surv

enan

ce

2006 1,1474

Moyenne 1,0049 0,2358 0,0543 0,0087 0,0007

Ecart-type 0,0809 0,0217 0,0051 0,0021 0,0000

Résultat :

Le triangle des paiements de sinistres cumulés est le suivant :

(Euros)

Année de développement

1 2 3 4 5 6

2001 449 1160 1434 1515 1526 1527

2002 435 1170 1477 1551 1567

2003 398 1049 1367 1450

2004 437 1152 1455

2005 327 1030 2005,5P

Ann

ée d

e su

rven

ance

2006 409

En appliquant les hypothèses et les méthodes d’estimations présentées ci-dessus, on

obtient les résultats suivants : 1 1

, 1 2 2

,

1( ) ( ) , ( )2

j ji j

i j j j

PLN t t dt t dt

Pμ σ σ

+ ++

⎛ ⎞⎛ ⎞→ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫

Avec i = {2002, 2003, 2004, 2005, 2006} : années de survenance

j = {1, 2, 3, 4, 5} : années de développement

,i jP : Montant des paiements cumulés en i+j-1 pour les sinistres survenus en i

2

( ) .

( ) .

t t

t t

μ

σ

βμ μ

βσ σ

μ α γ

σ α γ

∧

∧

∧ ∧−

∧ ∧−

= +

= + Avec

0.8693384

2.4519832

0.020589

σ

σ

σ

α

β

γ

∧

∧

∧

⎧ =⎪⎪

=⎨⎪⎪ =⎩

et

0.0029673

5.2126884

0.0000568

μ

μ

μ

α

β

γ

∧

∧

∧

⎧ =⎪⎪

=⎨⎪⎪ =⎩

67

En utilisant ces estimateurs, je retrouve les logarithmes des facteurs de développement

qui sont présentés dans le tableau suivant :

Logarithme du facteur de développement théorique

1 à 2 2 à 3 3 à 4 4 à 5 5 à 6

Moyenne = 1

21( ) ( )2

j

jt t dtμ σ

+⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ 1.0053 0.2145 0.7268 0.0236 0.0003

Ecart-type = 1

2 ( )j

j

t dtσ+

∫ 0.0874 0.0157 0.0089 0.0069 0.0058

La moyenne du facteur de développement est obtenue par la formule

1 1 12 21 1( ) ( ) ( ) ( )

2 2, 1

,

j j j

j j j

t t dt t dt t dtdti j

i j

PE e e

P

μ σ σ μ+ + +⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠+∫ ∫ ∫⎡ ⎤

= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, d’où ce tableau :

Facteur de développement

1 à 2 2 à 3 3 à 4 4 à 5 5 à 6

Moyenne 2,7528 1,2510 1,0766 1,0231 1,0003

La moyenne du sinistre cumulé est estimée par le produit entre le facteur de

développent et le paiement fait l’année précédente.

(Euros)

Triangle de paiements cumulés en moyenne

Année de développement

1 2 3 4 5 6

2001 449 1160 1434 1515 1526 1527

2002 435 1170 1477 1551 1567 1568

2003 398 1049 1367 1450 1484 1484

2004 437 1152 1455 1566 1603 1603

2005 327 1030 1289 1387 1419 1420

Ann

ée d

e su

rven

ance

2006 409 1126 1409 1516 1551 1552

68

Le triangle non-cumulé est :

(Euros)

Triangle de paiements non cumulés en moyenne

Année de développement

1 2 3 4 5 6

2001 449 711 274 81 11 1

2002 435 735 307 74 16 0,53

2003 398 651 318 83 34 0,50

2004 437 715 303 111 36 0,54

2005 327 703 259 99 32 0,48

Ann

ée d

e su

rven

ance

2006 409 717 283 108 35 1

Contrairement aux règlementations actuelles, Solvency II demande d’actualiser les

flux futurs aux taux sans risque pour obtenir le montant de provision.

En regardant la courbe de taux actuelle, je trouve les valeurs suivantes :

Facteur d'actualisation

1 an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans

discount 0,9638853 0,9338853 0,8961447 0,8643775 0,8339238

D’où le triangle de paiements non cumulés actualisés est obtenu en multipliant la

deuxième diagonale par 0,9638853, la 3ème par 0,9638853, la 4ème par 0,8961447, la 5ème par

0,8643775 et la 6ème par 0,8339238.

69

(Euros)

Triangle de paiements non cumulés en moyenne actualisés

Année de développement

1 2 3 4 5 6

2001 449 711 274 81 11 1

2002 435 735 307 74 16 0,51

2003 398 651 318 83 32 0,46

2004 437 715 303 107 34 0,48

2005 327 703 249 92 29 0,41

Ann

ée d

e su

rven

ance

2006 409 691 263 97 30 0,43

La provision Best Estimate à la date t = 0 est la somme des cases en jaune, donc

BE(0) = 1626 €

Enfin, avec la simulation selon la méthode de Monte-Carlo, je trouve un échantillon de

paiement total au cours de l’année 2007 (de 0 à 1), i.e. la 2ème diagonale dont l’histogramme

est donné ci-dessous :

70

Figure 9 : Histogramme du sinistre en 2007

Calcul de la provision Best Estimate dans 1 an :

En procédant de la même manière que précédemment sur les nouveaux triangles,

j’obtiens un échantillon du montant de provision Best Estimate dans 1 an.

Par exemple :

Pour la 2ème simulation, j’ai des résultats suivants :

Logarithme du facteur de développement théorique

2 à 3 3 à 4 4 à 5 5 à 6

Moyenne 0,3510 0,0747 0,0284 0,0139

Ecart-type 0,0395 0,0145 0,0107 0,0098

71

Paramètres estimés

Alpha Beta Gamma

Mu 0,8806 2,7685 0,0000

Sigma^2 0,0054 4,2641 0,0001

Facteur de développement théorique

2 à 3 3 à 4 4 à 5 5 à 6

Moyenne 1,4227 1,0778 1,0289 1,0141

Facteur d'actualisation

1 an 2 ans 3 ans 4 ans

discount 0,9226 0,8527 0,7893 0,7319

Et BE(1) = 495,1789€

Pour la 40ème simulation, les résultats sortis sont :

Logarithme du facteur de développement théorique

2 à 3 3 à 4 4 à 5 5 à 6

Moyenne 0,3504 0,0759 0,0292 0,0145

Ecart-type 0,0413 0,0202 0,0129 0,0093

Paramètres estimés

Alpha Beta Gamma

Mu 0,8717 2,7369 0,0000

Sigma^2 0,0040 2,5715 0,0001

Facteur de développement théorique

2 à 3 3 à 4 4 à 5 5 à 6

Moyenne 1,4221 1,0793 1,0298 1,0147

Facteur d'actualisation

1 an 2 ans 3 ans 4 ans

discount 0,9515 0,9059 0,8631 0,8229

Et BE(1) = 568,1582€

72

Pour 200 simulations, j’obtiens 200 valeurs de Best Estimate dans 1 an dont l’histogramme

est donné ci-dessus.

Figure 10 : Histogramme de la provision Best Estimate dans 1 an

IX.3.6. Résultat du calcul du SCR:

Rappelons la formule de calcul du capital de solvabilité requis :

(0)1

(1) (0)1CRSCR VaR CR

rα

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟+⎝ ⎠

Où CR(t) = A(t) – BE(t) : capital porteur de risque à la date t.

A(t) : valeur du portefeuille d’actif à la date t.

BE(t) : valeur de la provision best estimate à la date t.

73

t = 0 : date de calcul

t = 1 : l’horizon du calcul

0,05%α = (0)

1 3,75%r =

On a :

CR(0) = A(0) – BE(0) = 2292,4 – 1626 = 666,4 €

La valeur des actifs dans 1 an est égale à la somme des prix de marché des actions, des

titres immobiliers et des obligations dans 1 an plus les coupons tombés, diminuée des flux

payés pour les sinistres dans la période 0 à 1.

Dans les sections précédentes, j’ai déjà trouvé les distributions empiriques des actifs

financiers dans le portefeuille ainsi que ceux des flux payés de 0 à 1 et la provision Best

Estimate en t=1.

La distribution empirique de la marge actif-passif est donnée par l’histogramme

suivant :

Figure 10: Histogramme de la marge Actif-Passif

74

Le capital de solvabilité est déterminé à partir du quantile 0,05% de cette distribution, ce qui

donne :

SCR = 568,9336 €

Ce montant est inférieur au capital porteur de risque en t=0 (666,4) mais on ne peut

rien conclure pour l’instant. En fait tant que le capital porteur de risque reste positif,

l’espérance mathématique des passifs est certes inférieure à la valeur des actifs, mais le risque

que les règlements de sinistres excèdent cette valeur peut cependant être très élevé. Il faut

calculer la marge de risque avant de savoir si l’assureur dispose suffisamment de capital pour

pouvoir assumer tous ses risques.

75

X. Provision technique « fair value » (juste valeur ou valeur de marché :

X.1. Présentation:

Dans cette partie, je vais présenter brièvement une technique qui pourrait être utile

pour la détermination de la provision technique « fair value ».

Le principe de prudence dans les provisions de sinistres ne semble pas devoir être

remis en cause. Toutefois, ce principe s’accommode aujourd’hui de pratiques trop disparates,

qui aboutissent à des niveaux de prudence hétérogènes au sein du marché européen.

La connaissance de la « fair value » des provisions techniques d’assurance est de plus

en plus demandée depuis plusieurs années. Elle est le résultat de changements dans la

réglementation comptable internationale (IFRS 4 phase 2, Solvency II), d’une part, et du

besoin de clarté des provisions pour les actuaires par le biais de cette méthode pour évaluer

les passifs d’assurance, d’autre part.

La « fair value » peut être interprétée comme le montant pour lequel un actif pourrait

être échangé, ou un passif réglé, entre des parties bien informées et consentantes dans le cadre

d’une transaction effectuée dans des conditions de concurrence normale. Elle permet aux

assurés d’évaluer précisément la valeur de l’entreprise d’assurance. Une variété de différentes

techniques d’évaluation était utilisée pour les provisions techniques « fair value ».

En absence des prix de marché observables, il y a théoriquement au moins 3 méthodes

pour estimer la valeur des cash-flows futurs.

1) Actualiser la vraie valeur des cash-flows futurs avec le taux d’actualisation qui est

égal au taux sans risque plus une prime de risque (approche de déflateur).

2) Modifier la probabilité des cash-flows futurs risqués et les actualiser avec le taux

sans risque (approche de la transformation de Wang).

3) Modifier les cash-flows futurs risqués et les actualiser avec le taux sans risque.

La logique économique de la marge de risque est qu’une tierce partie n’accepterait pas

la compensation pour ce transfert si un tel paiement reflète seulement la valeur présente des

cash-flows au taux sans risque. Dès lors, un échange des provisions devrait requérir une prime

ou marge de risque en plus de la valeur présente des engagements actualisés au taux sans

risque.

76

Le QIS3 suggère l’utilisation de la méthode « coût du capital » pour calculer la marge

de risque en plus du best estimate pour avoir la provision technique souhaitée. Cependant,

comme n’importe quel méthode, elle possède un défaut c’est qu’on ne sait pas exactement

quand est le « run-off ». La méthode proposée par WANG [2003] pourrait corriger ce

problème. Elle est basée sur « l’approche des cash-flows » i.e. la probabilité des cash-flows

futurs risqués sera modifiée en appliquant la transformation de Wang et le taux d’actualisation

est le taux sans risque. En gros, cette méthode consiste à transformer la variable aléatoire

initiale en une autre variable pour laquelle on aura juste besoin de calculer l’espérance.

X.2. Transformation de WANG:

On sait qu’on peut calculer l’espérance d’une variable aléatoire (un risque) par sa

fonction de survie.

0 0

( ) ( ) ( )X XE X xf x dx S x dx∞ ∞

= =∫ ∫ où ( ) 1 ( )X XS x F x= −

L’idée de Wang est de changer cette fonction de survie en lui appliquant une fonction

g qui capture tous les risques que peut entraîner la variable X. Autrement dit, on doit chercher

une fonction g qui va créer une autre distribution Y tel que ( ) ( ( ))Y XS t g S t=

Prime de risque ajustée:

'

'

( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ))

( ( )) ( ( )) 1

X X X

X X

H X E Y g S x dx xg S x d F x

g S x d F x

= = =

=

∫ ∫∫ (Intégration par partie)

Comparé à E(X), H(X) peut être interprétée comme une espérance corrigée de X où le

paiement x reçoit un poids ' ( ( ))Xg S x , et la somme de ces poids est égale à 1.

La fonction g possède des caractéristiques qui rendent H(X) > E(X)

77

WANG [2000] propose une fonction g qui a les caractéristiques suivantes :

1( ) [ ( ) ]g u uλ λ−= Φ Φ + où Φ est la fonction de répartition de la loi normale standard.

λ est un paramètre à estimer représentant le « market price of risk »

1) H est une fonction croissante de λ , et préserve « the first and second order stochastic

dominance ».

2) Cette fonction satisfait 4 approches :

+ Le traditionnel principe d’écart-type

+ La théorie du risque économique de Yaari

+ Le modèle CAPM

+ La théorie de pricing des options.

Cas particulier :

Si ( , ²)X N μ σ→ alors ( , ²)Y N μ λσ σ→ +

Si ( , ²)X LN μ σ→ alors ( , ²)Y LN μ λσ σ→ +

La détermination du paramètre λ est l’élément clé de cette méthode. En fait, le « Draf

Statement of Principles (DSOP) suggère que le paramètre λ devrait être déterminé pour

refléter « market’s risk preference ».

Pour la méthode de quantile proposée dans le QIS1 et QIS2, le quantile 75% est

comparable au 1(0,75) 0,67λ −= Φ = .

78

XI. Conclusion:

Dans l’étude que j’ai proposé, l’actif (taux d’intérêt, actions, titre immobiliers) et le passif

(provisions) ont tout deux été modélisés en vue d’obtenir le capital de solvabilité requis. Le

choix de modèle ainsi que son calibrage demande beaucoup de compétences techniques, de

même que les ordinateurs puissants pour l’application numérique avec la méthode de

simulation Monte-Carlo.

Toutefois, il est important de signaler que certains éléments et distinctions (que je n’ai pas

détaillés faute de temps), constituent des facteurs importants du Solvency II, à savoir :

- évolution des cours et des dividendes/loyers des actifs financiers comme OPCVM,

obligations convertibles…

- évolution de l’inflation,

- défaut des émetteurs d’obligations

- modélisation et traitement particulier des sinistres catastrophiques,

- réassurance de tout types (proportionnelle, excédent de sinistre, stop loss...)

- défaut des réassureurs,

- dépendance entre les branches.

- provisions pour primes

- évolution de la souscription

Finalement, la méthode de calcul de provision technique « fair value » par la transformation

de Wang est très intéressant et mérite d’être étudiée plus profondément.

79

XII. Annexes:

Annexe 1 :

Loi du rendement du modèle à sauts :

La densité de r sur une période s’écrit :

2

2 22 20

²( )2( ) exp

2( )2 !

n

rn uu

xef xnn n

λσμλ

σ σπ σ σ

− ∞

=

⎡ ⎤⎡ ⎤⎧ ⎫− +⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎪= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎨ ⎬++⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎪

⎢ ⎥⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦⎣ ⎦

∑

Démonstration :

D’après le théorème des probabilités totales :

( ) ( )( ) | *s sn

P r x P r x N n P N n= = = = =∑

Deux cas se présentent alors :

( ) ( ) ( ) ( )( ) | 0 * 0 | 1 * 1s s s sP r x P r x N P N P r x N P N= = = = = + = ≥ ≥

On note :

( ) ( )| 0 * 0s sA P r x N P N= = = = le cas où il n’y a pas de saut entre t et t+s

( ) ( )| 1 * 1s sB P r x N P N= = ≥ ≥ le cas où il se produit au moins un saut (à la hausse ou à la

baisse) sur la période [t, t+s].

Donc

( ) ( )1

| *s sn

B P r x N n P N n∞

=

= = = =∑

Ainsi, grâce aux densités conditionnelles, on trouve la loi de r(s) :

( ) ( )|0 |1

( ) ( )* 0 ( )*r r s r n sn

f x f x P N f x P N n∞

=

= = + =∑

On va maintenant déterminer les lois conditionnelles du rendement connaissant le

nombre de sauts afin d’en expliciter la loi.

80

Cas 1 : n=0

2 2 20

22

|0 2

1 1( , ) ( ) ,2 2

1 1 1( ) *exp *2 22r

r t t s s Z s N s s

f x x sss

μ σ σ μ σ σ

μ σσσ π

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ = − − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠

Cas 2 : 1n ≥

( ) ( )

( ) ( )

2

1

2 2

1

2 2 2

22

| 2 22 2

1( , ) ( )2

0, 0,

1( ) ,2

1 1 1( ) *exp *222

n

n ii

n

i u i ui

n u

r nuu

r t t s s Z s U

U N U N n

r s N s s n

f x x ss ns n

μ σ σ

σ σ

μ σ σ σ

μ σσ σπ σ σ

=

=

⎛ ⎞+ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒

⎛ ⎞⎛ ⎞⇒ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎣+ ⎝ ⎠

→

⎦

→

∑

∑

De plus,

( ) ( )( ) exp!

n

s sN P P N nnλλ λ⇒ = = −→

Finalement, le rendement sur une période s’écrit :

( ) ( )

( )( ) ( )

|0 |1

22

2 22 20

( ) exp * ( ) exp ( )!

1exp 2( ) *exp

2 2! 2

n

r r r nn

n

rn uu

f x f x f xn

x sf x

s nn s n

λλ λ

μ σλ λ

π σ σπ σ σ

∞

=

∞

=

= − + −

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⇒ = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟++⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

∑

∑

81

Annexe 2 :

Le moment centré d’ordre 2k de r s’écrit :

2 2 22

0

(2 )!( ) ( )2 ! !

nk k

k ukn

km E r m e nk n

λ λ σ σ∞

−

=

⎡ ⎤= − = +⎣ ⎦ ∑

Démonstration :

( )( )

( ) ( ) [ ] ( )2 2 2

2 22 20

1 1*exp * exp!22

nk k

n uu

E r m x m x m dxnnn

λλσ σπ σ σ

∞∞

= −∞

⎛ ⎞⎜ ⎟− = − − − −⎜ ⎟++ ⎝ ⎠

∑ ∫

Posons :

( )( )2 2

2 2

1 *( ) u

u

u x m x m u nn

σ σσ σ

= − ⇒ − = ++

D’où

( )2 2

1

u

du dxnσ σ

=+

On a alors :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 222 2 2

0

2 222 2

0

exp exp! 22

exp exp! 22

n k kku

n

n kk

un

u uE r m n dun

u un dun

λλ σ σπ

λλ σ σπ

∞∞

= −∞

∞∞

= −∞

⎡ ⎤− = − + −⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∫

∑ ∫

Or 2 2 2 !exp

2 2 !2

k

k

u u kdukπ

∞

−∞

⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ (par intégration par parties)

Donc,

2 2 2

0

(2 )!( ) ( )2 ! !

nk k

ukn

kE r m e nk n

λ λ σ σ∞

−

=

⎡ ⎤− = +⎣ ⎦ ∑

82

Bibliographies:

BAGARRY M. [2006] “Economic capital: a plea for the Student copula”, présenté à l’ICA

2006 à Paris.

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Mémoire ISFA : Sadek Hami « Modèles DFA : présentation, utilité et application »