ISTLS Simulation Trafic

5/11/2018 ISTLS Simulation Trafic - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/istls-simulation-trafic 1/81

Modélisation et Contrôledu trafic

Habib HAJ SALEM (IFSTTAR/ GRETTIA)



Plan du cours Problématique Définition des variables fondamentales Modélisation du trafic

Objectifs Modèles microscopiques Du microscopique vers le macroscopique Modèles macroscopiques Problème du calibrage des modèles

Aperçu sur la régulation du trafic

Détection automatique d’incident (DAI)



France: la route en quelques

chiffres Nombre de véhicules

26.8M de voitures particulières et 5.5M d’utilitaires

Longueurs 980000 de Km de voiries 80 % des RN sont à 2 ou 3 voies

Trafic Autoroute 30000 Véh /J RN 10000 Véh /J Répartition : voyageurs, marchandises Évolution : 3.3% annuels sur 15 ans

C’est aussi 8 078 tués, 162 117 blessés et 3000 handicapés à plus de 50% Congestion : 8600Km

Pollutions

RN

3%

RD

36%

VC

60%

AUT

1%

Longueurs

RN

48%

AUT

52%

Volume de trafic

Route

75.3%

V. nav

1.9% Oléod

6.6%

Fer

16.2%

Transport de marchandises

Voitures

84.3% Fer

8.9%

Air

1.7%

Autocars

5.1%

Transport de voyageurs



En Tunisie :la route en quelques

chiffres Population : ~10 millions Nombre de véhicules

1.3 M de voitures Longueurs

q.q millier de Km de voirie ~ 500 Km d’autoroute

Trafic

Localisé autour des grandes villes C’est aussi

11000 accidents /an (26% l’été) ~1500 tués, 16000 blessés Congestion : autour des grandes villes Pollutions



PROBLEMATIQUE GENERALE



Modélisation du trafic



Objectifs généraux Pourquoi a-t-on besoin de modèle du trafic?

Comprendre la dynamique du trafic (congestion) pour agir

Développer des stratégies de contrôle Estimation et prévision des états du trafic

Simulation permet: Evaluation des stratégies de contrôle

Evaluation des modifications de l’infrastructure, des travaux Disposer en temps réel d’un outil d’aide-à-la décision

(exploitants routier et autoroutier)



Aperçu des Problèmes de la

physique du trafic Trafic = somme de comportement individuel ->La physique de l’écoulement

nécessite la définition des variables caractéristiques (e.g analogiehydrodynamique)

Un flux du trafic est constitué de particules (véh) de grande taille et peunombreuses.

Pb1: Le phénomène étudié est de la taille du véh Pas de séparation d’échellepermettant une description cohérente (micro Macro)

Pb2: Les véh. sont dotés d’une énergie intrinsèque(motorisés): les équationsclassiques de conservation de la quantité de mouvement sont inapplicables car

peu pertinents (définition de potentiel ou champ de force n’a pas de sens) Pb3: Les particules du trafic sont: le véh+conducteur possédant un projet

(origine/destination précise) donc il choisissent leur itinéraire en conséquenced’où la difficulté de modéliser correctement les divergents



Aperçu des Problèmes de la

physique du trafic (2) Pour des raisons de simplicité:

Tous les modèles d’écoulement du trafic sont définis pour une sectionhomogène et à sens unique

Ce sont des modèles unidimensionnels ( pas de différenciation de voies) L’écoulement du trafic est homogène Les échangeurs autoroutiers, les carrefours urbains sont des extensions du

modèle de base

Sur la base de ces hypothèses que les définitions des

variables fondamentales sont introduites.



Variables Fondamentales du traficTrafic est composé par l’ensemble des

trajectoires définissants en Fn dutemps: position(xn), vn = dx/dt et

gn = ¨x(t)

2 points de vue sur l’écoulement de trafic:

1. On observe l’écoulement en un point x

donnée pendant un intervalle de temps dt2. On observe dans l’espace à un instantdonné dt.

Les variables associées à chacun des cas

sont différentes

x

tt1 t2

* * **



Variables en un point x entre deux instants t1 et t2:

débit :

Les unités de temps le plus répandues sont: 1 min, 6 min, heure et la journée, année (TJMA : Trafic Journalier Annuel Moyen)

L’unité standard est le vh/h.Exemple : pour une autoroute à 3 voies: le débit max est de 6200 vh/h

pour une voirie urbaine 3 voies : 3900 vh/h

Variables Temporelles0)(

),,(lim),(

),,(),,( 12

12

21

12

2121

2

1

t t siCalculde pbt t

t t x N t xq

t t

t t x N t t xq

t t t t

0

)2

,2

,(

),(

et petit t avect

t t

t t x N

t xq



Variables Temporelles Vitesse moyenne temporelle:

On définit une vitesse moyenne instantanée

N

i

iT v N t t xV 1

21

1

),,(

)2

,2

,(),(t

t t

t xV t xV T T



Variables TemporellesIntervalle inter-véhiculaires:

Headway: intervalle de temps en un point x séparant le passage de l’avant de

chaque véh.(# du Gap = passage de l’arrière du leader et l’avant du suiveur)

Pour t2-t1 grand:

Ecart moyen instantané ( pareil que le débit)

iiih 1

),,(),,(),,(

21

11

21

121

t t x N t t x N

h

t t xhmoyen Intervalle N

N

i

i

),,(1

),,(),,(

2121

1221

t t xqt t x N

t t t t xh

),(

1),(

t xqt xh



Variables Spatiales Densité, notée r(x,t) nombre de véhicule observé à t entre x1 et x2

Pareil que le débit, on définit un r sur xComme:

12

2121

),,(),,(

x x

t x xnt x x

r

x2

tt

x1

*

*

*

t

x x

x xt x ,

2

,

2

),( r r



Variables Spatiales Distance inter-véhiculaire : duale à l’intervalle inter véhiculaire

),(

1

),,(,

2,

2),(

),,(1

),,(),,(

),,(

),,(

1),,(

21

12

2121

1221

121

21

1

1

121

21

t xt x xn

x xt x

x x

xSt xS

t x xt x xn x xt x xS

x x x pour

t x xnS

SavecS

t x xn

t x xS

j j

j j

j

j j j

n

i

j

r

r



Variables Spatiales Vitesse moyenne spatiale

t x

x x

xV V

vt x xnt x xV

E E

n

i

i E

,2

,2

),,(

1),,(

121

21

Même hypothèses que précédemment et enun point x:



Variables Spatiales Vitesse du flot

Cas isovélique ( v= const pour tous)

Si x la longueur de la chaussée, le nb de veh présent : n = r x

Soit u = vitesse il faut t =x/u unité de temps pour que tous les veh sortent q= n/ t = r x (u/ x) = ru

Cas général:

la vitesse moyenne du flot:

On peut démontrer que cette vitesse correspond à la moyenne spatiale

(exercice)

),(

),(),(

t x

t xqt xv

r



Variables Spatiales Propriété de la vitesse du Flot

On démontre que: V = moyenne harmonique des vitesses mesurées

Exo : démontrer ( piste: décomposition du flot en flotisovélique)



Définition du Diagramme

fondamental Relation qui lie le débit à la densité: Relation phénémologique, basé sur les mesures

(vitesse,densité)

0

20

40

60

80

100

120

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Débit (Vh/min)

Taux d'occupation (%)



Dispositifs de mesures Boucle électromagnétique

Electronique(Détecteur)

t

s

s

Sb

temps

Sb

lb



Boucles Electromagnétiques



Mesures de la vitesse

lb d

Exo : Donner, en fonction du temps, l’allure des deux signaux deboucles.Donner la formule du calcul de la vitesse en fn de lb et d

t=t0

t=t1

t=t2



Radars à effet DOPPLER-Fizeau

f

Axe du faisceau radar

f )cos(2V F d

Fd = fréquence du signal réfléchi

F= angle (faisceau, vecteur vitesse) = 25°, = long. d’onde = 9GH



Traitement d’Image Début vers les années 90 Basé sur la morphologie mathématique

(analyse des formes) Similitude en médecine l’INRETS: développement d’un outil en

1990, commercialisé par CITILOG Fonction: mesures spatiales, DAI etc.




Principe et Familles des

modèles microscopiques



Modèles microscopiques: Principe Lois de poursuite (longitudinal) + dépassement (latéral) Ajustement de la vitesse du suiveur/leader

11 j j j xS L x x

Véh j+1

Véh j

X j

X j+1

L

Reuschel (1950):

Pipes (1953) : ( )11

1

j j j x x

S

x



Modèles microscopiques(2) Addition d’un retard = facteur de sensibilité

Plus généralement:

Pour des valeurs de (m,l) on défini des familles de modèle micro: (eg:

(0,0) modèle Tous les modèles microscopiques sont utilisés uniquement comme outil de

simulation

( )S

avect xt xt x j j j

1)()()(

11

( )lt xt x

mt x

j j

j

)()(

)(

1

1

0



Modèles microscopiques(3) Remarques:

Distance de sécurité

Pourquoi? Aucune accé./décél. spécifique dynamique (autre que celle dûe à )Modèle stationnaire du type vitesse/distance de la forme:

Les deux équations sont mathématiquement équivalentes. La différence réside dans lescondition initiales qui doivent satisfaire:

Helly (1961) (simplifié):

Possibilité simple:

0)()(0 11

t xt xSi x j j j

j j j j jx xF xonaccélerati xF x )()(

'

)0()0( j j xF x

) 0,)(()()()(21

1

211

C C Avect xF t xC t xC t x j j j j

)())(()(1

t xt xF C t x j j j



Stabilité des modèles Micro. Variables: Position x j(t), vitesse V j(t), distances h j=x j-x j+1

V j+1 (t)= F[x j(t) – x j+1(t)] pour un train de véhicules:

h

V

h*

instable

stable

)()()()(

)(11

'1

t vt vt xt xF dt

t dV j j j j

j

Si F’(h j) ≈ Const = m > 0 j alors les fluctuationssont amorties car:

V2 = m (V1-V2)

V3 = m (V2-V3).

.

Constamment stable

Modèle simple et stable de loi de poursuite



Stabilité des modèles Micro.(2) Introduction du Temps de réaction : F’(hj) =m const

Possibilité d’avoir des instabilités Locales : augmentation dans le temps des fluctuations de la

vitesse des suiveurs (m > П /2)

Assymtotiques : (m > 1/2)

)()()(

1

1 m

t vt v

dt

t dV j j

j



Extension des modèle Micros. Paramètres stochastiques

Contrôle ( limitation des vitesses) Lois de poursuite à trois véh: 2 leaders Utilisation des lois asymétriques

d’accélération et de décélération



Stabilité des modèles Micro. Prise en compte du temps de réaction avec F’(h j) ≈ Const = m

Des instabilités apparaissent: Instabilité local : augmentation progressive dans le temps des amplitudes des fluctuations de

la vitesse en fn de celle du leader et des suiveurs.

Instabilité asymptotique: si

Distance critique h* (peut être violée)Congestion peuvent apparaître de rienSi le peloton est important apparition d’un régime « stop-and-go »

)()()(

11

m

t vt vdt

t dV j j

j

2

m

2

1

m



Modèles de Changement de voie Lié au comportement du conducteur

Plusieurs modèles existent basés pour laplus part: Créneaux inter véhiculaire (Gap acceptance) Sélection de l’usager de sa voie (sortie)



Panorama des Outils de simulation

Microscopique existants TEXAS

Carrefours à feux ou non Traitement des priorité au feux Calcul d’indicateurs : retard moyen au feu, nb

de stop par mouvement (TTD, TAD, TAG),longueurs des queues, consommation

Prise de en compte de deux types de véh: VLet PL.




Microscopique existants ROADSIM (FHWA)

Modèle à deux voies dans chaque sens

Changement de la géométrie et la composition du trafic Formation de peloton, modèle de dépassement Statistique par catégorie de veh.( distance parcourue,

temps de parcours

Par tronçon: vitesse, distribution des intervalles-Veh,distribution de la taille des pelletons)




Microscopique existants NETSIM (FHWA)

Réseau urbain Carrefour à feux ou non Prise en compte des bus, conflits

véhicules/piétons, friction inter-voies

Calcul des indicateurs: consommation,émission de polluants, etc.




Microscopique existants INRAS/FRESIM (FHWA)

Réseau autoroutier +réseau de surface Accès autoroutier Détection des incidents et régulation du trafic

sur autoroute

Simulation des boucles simples, doubles,radar)

CORSIM = NETSIM+FRESIM (FHWA)




Microscopique existants INTEGRATION ( Canadien)

Réseau urbain/autoroutier Carrefour à feux ou non Modélisation de l’affectation ( matrice OD): choix d’itinéraires

TRAFFICQ ( MVA: UK) Modèle urbain

FLEXSYT (NL: RWS) Urbain/autoroute/ mixte

SIMNET, MISSION, DYNEMO, SITRA-B, MITSIM, AIMSUN, VISSIM (3d), PARAMICS, TRANSSIM, ARCHISIM (INRETS)




MODELISATION

MACROSCOPIQUE



Du Microscopique ->Macroscopique

max

nnn )t (l)t ( x)t ( x r

111

)t ( xdt

)t (dxn

n

)t ( xdt

)t ( xd

dt

)t ( xd n

nn

2

n+1 n

0

Lxn

1/rmax

Ln+1

xn+1

Leadersuiveur

débit

x

Distance inter véhiculaire (headway):

Vitesse :

Accélération :

Différentiel des vitesses: )t (l)t ( x)t ( x nnn 11



Du Microscopique ->Macroscopiquen+1 n

0

Lxn

1/rmaxLn+1

Xn+1

Leadersuiveur

débit

x

Loi de poursuite simple: ))t ( x)t ( x(a)t (la)T t ( x nnnn 111

Avec a = facteur de sensibilité (~0.37 s-1)

T = Temps de réaction des usagers (~1.5 sec)

Questions:1. Est-ce que ce modèle de poursuite est pertinent?2. Y-a-t-il une relation avec la modélisation macroscopique?




)1(Q)(Qmax

max r

r r

)0T (;))t ( x)t ( x(a)t ( x 1nn1n

Loi de poursuite simple (pas de temps de réaction):

A partir de cette loi peut-on déduire le diagrammefondamental ?




t

0

1n

t

0

1n dy) y(lady) y( x

))0(l)t (l(a)0(u)t (u 1n1n1n1n

Démonstration: )) y( x) y( x(a) y( x 1nn1n

dy) y(lady)) y( x) y( x(ady) y( x1n1nn1n

)0(al)t (al)0(u)t (u 1n1n1n1n

Si l n+1(t) = 0 alors un+1(t) =0 0)0(al)0(u 1n1n




)1(Q)(Qmax

max r

r r

max1n

1n1n

1

)t (

1a)t (al)t (u

r r

max

max

Qaalors)1(aaqsiOr

aqalors0Si

r

r

r

max

11

au r r

maxmax

1a11

auq r

r r

r r r

?? physiquesensu0Si:marque Re r



Modèle non linéaire de loi de

poursuite

5.0

maxmax 1)( r

r r r uQSi T =0

5.1

max1

105.1

1

101

1

)(

)(

)()(

)()()(

r t l

t la

t xt x

t xt xaT t x

n

n

nn

nnn



Familles des relations: débits/densités

l

nn

nnm

nt xt x

t xt xt xaT t x

)]()([

)()()()(

1

1101n

)1(Q)(Qmax

max r

r r

max

f 1expV )(Q r

r r r

l m Relation débit-densité

0 0

1 0

1.5 0

2 0

2 1

3 1

r

r r r max f lnV )(Q

5.0

max

f 1V )(Q r

r r r

max

f 1V )(Q r

r r r

2

max

f

2

1expV )(Q

r

r r r



Variables utilisées Par analogie à la mécanique des fluides

Densité r(x,t) vh/km Débits q(x,t) vh/h Vitesse du flot v(x,t) km/h



Ondes cinématiques

Ondes de choc



Plan du chapitre Postulats de la théorie hydrodynamique Représentation continue

Loi de conservation Équation de continuité

Analogie hydrodynamique et trafic

Ondes cinématiques Ondes de choc Goulot de trafic



Théorie hydrodynamique du trafic

Analogie avec les lois physiques régissantl'écoulement des fluides incompressibles cas des fortes concentrations

Trois postulats de base la représentation continue la loi de conservation le diagramme fondamental.



Représentation continue Débit q(x,t) et concentration r (x,t) au point x et à l'instantt , définis par

Fonctions q(x,t) et r( x,t) supposées continues.

Il en est de même pour la vitesse moyenne u(x,t) définie,par analogie avec l'écoulement d'un fluide dans un conduit,par le rapport :

u(x,t) = q(x,t)/ r(x,t) avec r (x,t) ≠ 0

t 0

t t

q( x,t ) lim q( t ,t , x ) 2 2

),2,2(lim),( 0 t

x

x

x

xt x x

r r



Nombre N de véhicules sur [a, b]

Nombre N de véhicules sur un segment [a,b]a b

b

a

dxt x N ),( r



Variation de N dans le temps S’il n’y a ni entrée ni sortie entre a et b, N

peut néanmoins varier dans le temps.

La variation de N ne dépend que des débitsen a et b :

),(),( t bqt aqdt

dN



Loi de conservation Loi de conservation intégrale (positions a et

b dépendantes de t) :

Loi de conservation locale (positions a et

b indépendantes de t) :

),(),(),( t bqt aqdxt xdt d

b

a

r

)()(),( bqaqdxt xt

b

a

r



Équation de continuité On établit alors l’équation dite de continuité :

0),(),(

x

t xq

t

t x r

Avec l’hypothèse q= vr, elle s’écrit :

La théorie des ondes s’attache à la résolution de cette

équation aux dérivées partielles linéaire du 1er ordre .

0),(

)(),( '

x

t xqt

t x r r

r



Analogie hydrodynamique et

traficCaractéristiques Hydrodynamique Trafic

Continuité fluideunidimensionnel

flot

Unité dediscrétisation

molécule véhicule

Variables densité massique r vitesse v

concentration r vitesse v

Équation d’état P = crTP pressionT température

q = rv

Équation decontinuité

∂r∂t +

∂(rv)∂x = 0

∂r∂t +

∂(rv)∂x = 0

Paramètres vitesse critique vc flot critique Qc

moment rv

vitesse critique uc capacité

flot rv



Ondes cinématiques Dans le repère (temps, espace), les droites d'équationx = t q'(r) + constante sont appelées caractéristiques ou ondes cinématiques .

Sur ces droites, concentration r, débit q et vitessemoyenne u sont constants.

Ces droites iso-débit correspondent à des fronts d'ondes propageant une valeur q du débit à la vitessec = q'(r).



Représentation du phénomène dansles plans (r,q) et (t,x)

La vitesse de ces ondes cinématiques correspond à la pente

de la tangente au diagramme fondamental.

O k

q

A

x

O t

Vitesse et trajectoire des ondes et des vé hiculesp lans dé bit/concentration et espace/temps

u



Vitesse des ondes cinématiques

La vitesse des ondes cinématiquescorrespond à c = q’(r).

c est inférieure à la vitesse moyenne v duflot : c = v + r (dv/dr) et u fonction monotone

décroissante de r, donc dv/dr ≤ 0, d’où c ≤ v.



Propagation des ondes

Les ondes cinématiques se propagent : vers l'avant, dans le sens du trafic, lorsque r<rc vers l'arrière, lorsque r>rc

Cette propriété permet de distinguer 2

régimes d'écoulement : un régime fluide, pour r< rc et un régime congestionné, pour r> rc.



Ondes de choc Changement d'état dans l'écoulement du flot : un peloton

de véhicules rapides (A : q A , r A , u A) rejoint un flot pluslent (B : qB, rB, uB).

Les ondes cinématiques de plus grande vitesse rejoignentcelles de plus faible vitesse, pour former une onde de choc.

Formellement, l'onde de choc correspond à un point dediscontinuité de la fonction concentration r(x, t) : celle-cipasse brusquement d'une valeur r A à une valeur rB.



Vitesse w de l’onde de choc Pour un observateur attaché à l'onde de choc, les véhicules

se déplacent : dans la zone de concentration r A à une vitesse (u A - w)

dans la zone de concentration rB à une vitesse (uB - w). Conservation du nombre de véhicules durant une période de

temps t, de part et d’autre de l’onde de choc :

r A (u A - w) t = rB (uB - w) t

La vitesse w est donnée par la pente de la corde AB sur lediagramme fondamental (r, q) :

w = q/r = (qB – q A)/(rB – r A)



Représentation du phénomène

Onde de choc, plans débit/concentration et espace/temps

O k

q

B

x

état B

état A

O

véhicule

t

onde de choc

A



Représentation (2) En amont de l'onde de choc, dans la région A, les ondes

cinématiques ont une vitesse supérieure correspondant àdes débits faibles.

Dans la région B, en aval de l'onde de choc, les ondes deplus faible vitesse, tracées parallèlement à la tangente enB, correspondent à des débits forts.

L'onde de choc, séparant les 2 zones, se déplace à unevitesse intermédiaire. Sa pente est parallèle à celle de la

corde AB. On peut représenter le trajet suivi par un véhicule, sur

deux segments parallèles aux cordes OB et OAsuccessivement.



Exemple d’application Blocage total d’une

section de route enraison d’un incident (dû

à un poids lourd).

Détermination de lalongueur de la file

d'attente (à la fin del'incident).



Exemple d’application

Ralentissement dû àun véhicule

Analyse et évaluationdu phénomène



Ralentissement Premier point de fonctionnement A :

vA = 60 mi/h ; r A = 3.26 veh/mi ; qA = 195 veh/h. Un peloton de véhicules se forme avec comme point de

fonctionnement le point B : vB = 15 mi/h ; rB = 98.31 veh/mi ; qB = 1475 veh/h.

L’onde de choc AB se propage à la vitesse : wAB = q/r = (195 - 1475)/(3.26 - 98.31) = 13.47 mi/h

C’est aussi la vitesse de la queue du peloton. Le véhicule de tête roule à 15 km/h. La queue du peloton avance dans le sens du trafic à la vitesse

de 13.47 mi/h. Donc, le peloton évolue à la vitesse : 15 - 13.47 = 1.53 mi/h.

Au bout de 120 s, la longueur du peloton est 1.53 (120/3600) = 0.051 mi (82 m)



Goulot de trafic Une sous-section de route d’une section

principale constitue un goulot si sa capacité estinférieure à celle de la section principale.

Goulots permanents diminution du nombre de voies section en aval d’une bretelle d’entrée

section en rampe (pente du profil en long élevée) …

Goulots aléatoires Incidents, accidents, …

D d ité d



Demande < capacité dugoulot

Vitesse de l’onde dechoc entre les points 1et 2 w = Q/r = 0

L’onde de choc eststationnaire .

Pas de file d’attente en

amont du goulot. Les véhicules subissent

une baisse de leurvitesse sur la section en

goulot.

u

u

u

k

k

k

k

Q

D d ité d



Demande > capacité dugoulot

Vitesse de l’onde dechoc entre les points 1et 4 w = Q/r < 0

La vitesse de l’onde dechoc est négative:l’onde se propage ensens contraire du trafic.

Il y a formation d’une

file d’attenteimmédiatement enamont du goulot.

L’arrière de la file sepropage à la vitesse w.

Q

kk k k k

k

k

k

k

u

uu

u



1 er Ordre: Equations de base(continu)

1- Équation de conservation

dr (x,t)/ d t +d q(x,t)/ d x = 0

2- Relation débit-densité: q(x,t) = r (x,t) v(x,t) ; analogie théorie hydrodynamique

3- Relation vitesse-densité

v(x,t) = F( r (x,t)) ; Diagramme fondamental

F: fonction monotone décroissante

[x] [x+dx]

qe qsr

[t, t+dt]



Discrétisation

Subdivision spatiale et temporelle de l’équation deconservation selon un schéma précis (Godonov)

)k (iq)k (

1iq

x

T )k (i

)1k (i

r r

…… …… 1 N

i

ri

x, t, (k) sont choisis tel que : Vmax t < x

Stabilité de la discrétisation



MODELE 1er Ordre: Equationsdiscrétisées

i

ri

vi

ri+1

vi+1

ri-1

vi-1

qi

1.2.

3.

)k (i)k (i)k (i V q r

max

)k (i1

f )k (i V V

r

r

)k (i)k (1i)k (i)1k (i qqT r r

é è



Discrétisation du modèle du 1er ordre

Onde de choc discontinuité Pb: trouver la solution mathématique en

X0 résolution du Problème de Riemann(conditions limites)

x0

gauche droite



Résolution : Offre/demande

Demande

offre

x0

gauche droiteQ e

Q e = Min(offre, demande)

Equations des modèles



Equations des modèlesmacroscopique du 2ème

1- Equation conservation: t r (x,t) + x q(x,t) = 0

2- Relation Débit-Densité-Vitesse: 1er ordre

q(x,t) = r (x,t) v(x,t)3- Diagramme fondamentale 2ème

v(x,t) = Qe( r (x,t)) avec F monotone décroissante ordre

4- Equation de la vitesse ( Accélération)

dv(x,t)/dt= t v(x,t) + v(x,t) x v(x,t)= G( r (x,t), v(x,t))



Processus de calibrage:

Trouver {W} qui minimise e = EQ (y, ym) (Pb.d’o timisation

Aperçu du P.B du Calibrage

EQUATIONS

DU MODELE

{W}

Entrées

Um(k)

Conditions initiales

Sorties

y(k)

Mesures

ym(k)

e(k)



Formulation du Problème

Minimiser e EQ ( Mesures, Simulation)

Assujetti aux équations du modèle:

X(k+1) = F[X(k),W, d(k)]

Avec: X(k) = [r(k) v(k)]T

W Parmètres du modèle ( Diagramme fondamental)



Equation de conservation

x1 x2

r

( ) ( ) ( ) ( ) 2

1

2

1

,,,, 2112

t

t

x

xdt t xqt xqdxt xt x r r

N(x1,x2,t2) - N(x1,x2,t1) = N(t1,t2,x2) - N(t1,t2,x1)

( ) ( ) 0xtx,q

ttx,

r

( ) ( ) ( )q

r

Démo: D.L au voisinage (x1,t1)

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