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RESISTANCE DES MATERIAUX

Travaux dirigés

Mercredi 22/04/2020Séance du 16h30 à 18h30

EXERCICE 1

Soit une poutre modélisée par sa ligne moyenne AB, le bâti supporte la poutre en A et B.1. Calculer la réaction en A et la réaction en B ;2. Calculer l’effort tranchant T et le moment fléchissant M.3. Tracer le diagramme de T et de MOn donne : la réaction en C égale 200 daN, la distance a=2m et la distance l=3m.

Corrigé

Les réactions RA et RB

(𝑀)𝐴 = 0 ⟹ 𝑅𝑎 × 0 + (𝑅𝑐 × 𝑎) − (𝑅𝐵 × 𝑙) = 0

⟹ 𝑅𝐵 × 𝑙 = (𝑅𝑐 × 𝑎)

⟹ 𝑅𝐵 =(𝑅𝑐×𝑎)

𝑙=

(2𝑂𝑂×2)

3

⟹ 𝑅𝑩= 133,33 daN

𝐹𝑦 = 0

⟹ 𝑅𝐴 − 𝑅𝑐 + 𝑅𝐵 = 0⟹ 𝑅𝐴 = 𝑅𝑐 − 𝑅𝐵 = 200 − 133,33 = 66,66 𝑑𝑎𝑁

⟹ 𝑹𝒂= 66,66 daN

𝑅𝑩= 133,33 daN

𝑹𝒂= 66,66 daN

Corrigé• Effort tranchant et moment fléchissantSi 0< 𝑥 < a (𝑥𝜖 0, 𝑎 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 = 2𝑚)

En utilisant les équations d’équilibre, nous avons:

• 𝐹𝑦 = 0 ⟹ 𝑅𝐴 + 𝑇 = 0⟹ 𝑇 = −𝑅𝐴

⟹ 𝑻 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔 𝒅𝒂𝑵

• 𝑀 = 0 ⟹ 𝑀 − 𝑅𝐴 × 𝑥 = 0

⟹ 𝑀 = 𝑅𝐴 × 𝑥

⟹ 𝑴 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔 𝒙 (𝒅𝒂𝑵.𝒎)

Effort tranchant et moment fléchissant• Si a< 𝑥 < l (𝑥𝜖 𝑎, 𝑙 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 = 2𝑚 𝑒𝑡 𝑙 = 3𝑚)

Corrigé

En utilisant les équations d’équilibre, nous avons:

𝐹𝑦 = 0 ⟹ 𝑅𝐴 − 𝑅𝑐 + 𝑇 = 0

⟹ 𝑇 = 𝑅𝑐 − 𝑅𝐴

⟹ 𝑻 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑 𝒅𝒂𝑵

𝑀 = 0 ⟹ 𝑀− 𝑅𝐴 × 𝑥 + 𝑅𝑐 × (𝑥 − 𝑎) = 0

⟹ 𝑀 = 𝑅𝐴 × 𝑥 − 𝑅𝑐 × 𝑥 − 𝑎

⟹ 𝑀 = 𝑅𝐴 − 𝑅𝑐 𝑥 + 𝑅𝑐 𝑎

⟹ 𝑴 = −𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑 𝒙 + 𝟒𝟎𝟎 (𝒅𝒂𝑵.𝒎)

Corrigé

𝑥𝜖 0, 2 𝑻 = −𝟔𝟔, 𝟔𝟔 𝒅𝒂𝑵 𝑴 = 𝟔𝟔,𝟔𝟔 𝒙 (𝒅𝒂𝑵.𝒎)

𝑥𝜖 2, 3 𝑻 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑 𝒅𝒂𝑵 M= −𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑 𝒙 + 𝟒𝟎𝟎 (𝒅𝒂𝑵.𝒎)

𝑥 = 0 𝑻 = −𝟔𝟔, 𝟔𝟔 𝒅𝒂𝑵 𝑴 = 0 (𝒅𝒂𝑵.𝒎)

𝑥 = 2 𝑻 = −𝟔𝟔, 𝟔𝟔 𝒅𝒂𝑵𝑻 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑 𝒅𝒂𝑵

𝑴 = 133,33(𝒅𝒂𝑵.𝒎)

𝑥 = 3 𝑻 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑 𝒅𝒂𝑵 𝑴 = 0 (𝒅𝒂𝑵.𝒎)

Effort tranchant et moment fléchissant

EXERCICE 2

Soit une poutre AB sous l’action de trois forces extérieures : 𝑅𝐴 action d’appui en A, 𝑅𝐵 action d’appui en B et la charge répartie1) Déterminer l’action en A et B2) Déterminer T et M et tracer leur diagramme le long de AB

Corrigé• Les réactions Ra et RbCalcul de 𝐹𝑞 et de 𝑥𝐹𝑞 = 𝑞 × 𝐿 = 3 × 30 𝑑𝑎𝑁 = 90 𝑑𝑎𝑁

𝑥 =𝐿

2=

3

2= 1.5 𝑚

En utilisant les équations d’équilibre, nous avons:

• 𝐹𝑦 = 0 ⟹ 𝑅𝑎 − 𝐹𝑞 + 𝑅𝑏 = 0⟹ 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 = 𝐹𝑞

• (𝑀)𝐴 = 0⟹ 𝐹𝑞 × 𝑥 − 𝑅𝑏 × 𝑙 = 0

⟹ 1.5𝐹𝑞 − 3𝑅𝑏 =0

⟹ 𝑹𝒃 = 𝟒𝟓 𝒅𝒂𝑵

Donc 𝑹𝒂 = 𝑹𝒃 = 𝟒𝟓 𝒅𝒂𝑵 DCL

Corrigé• Effort tranchant et moment fléchissantCalcul de 𝐹𝑞 et de 𝑥

𝐹′𝑞 = 𝑞 × 𝐿 = 30 × 𝑥 = 30 𝑥 (𝑑𝑎𝑁)

𝑥′ =𝐿

2=

𝑥

2( 𝑚)

En utilisant les équations d’équilibre, nous avons:

• 𝐹𝑦 = 0 ⟹ 𝑅𝑎 − 𝐹′𝑞 + 𝑇 = 0⟹ 𝑇 = 𝐹′𝑞 − 𝑅𝑎

⟹ 𝑻 = 𝟑𝟎𝒙 − 𝟒𝟓 (𝒅𝒂𝑵)

• 𝑀 = 0 ⟹ 𝑀+ 𝐹′𝑞 × (𝑥 − 𝑥′) − 𝑅𝑎 × 𝑥 = 0

⟹ 𝑀 = 45 × 𝑥 − 30𝑥 ×𝑥

2

⟹ 𝑴 = −𝟏𝟓𝟎𝒙𝟐 + 𝟒𝟓𝒙 (𝒅𝒂𝑵.𝒎)

Corrigé

Nous avons:

X (m) T (daN) M (daN.m)

0 -45 0

1.5 0 33.75

3 45 0

𝑻 = 𝟑𝟎𝒙 − 𝟒𝟓 (𝒅𝒂𝑵)

𝑴 = −𝟏𝟓𝟎𝒙𝟐 + 𝟒𝟓𝒙 (𝒅𝒂𝑵.𝒎)

Diagramme des efforts tranchant et moment fléchissant

EXERCICE 3

Soit une poutre AB sous l’action de trois forces extérieures : 𝑅𝐴 action d’appui en A, 𝑅𝐵 action d’appui en B et la charge répartie1) Déterminer l’action en A et B2) Déterminer T et M et tracer leur diagramme le long de AB3) Calculer la contrainte normale max4) Représenter les contraintes normales si le diamètre de AB est égale à 40 sur un schéma.

• Les réactions Ra et Rb

Calcul de 𝐹𝑞 et de 𝑥𝐹𝑞 = 𝑞 × 𝐿 = 3 × 30 𝑑𝑎𝑁 = 90 𝑑𝑎𝑁

𝑥 =𝐿

2=

3

2= 1.5 𝑚

En utilisant les équations d’équilibre, nous avons:

• 𝐹𝑦 = 0 ⟹ 𝑅𝑎 − 𝐹𝑞 − 𝑅𝑐 + 𝑅𝑏 = 0⟹ 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 = 𝐹𝑞 + 𝑅𝑐 = 900 + 1200 = 2100 𝑁

• (𝑀)𝐴 = 0⟹ (𝐹𝑞× 𝑥) + (𝑅𝑐× 𝑎) − (𝑅𝑏 × 𝑙) = 0

⟹ 1.5 𝐹𝑞−3𝑅𝑏 + 2𝑅𝑐 =0

⟹𝑹𝒃 = 𝟏𝟐𝟓𝟎 𝑵

Donc 𝑹𝒂 = 𝟖𝟓𝟎 𝑵

Corrigé

Corrigé• Effort tranchant et moment fléchissantSi 0< 𝑥 < 2 (𝑥𝜖 0, 2 )

Calcul de 𝐹𝑞′ et de 𝑥

• 𝐹𝑞′ = 𝑞 × 𝐿 = 𝑞 × 𝑥 = 300 𝑥 (N)

• 𝑥 =𝐿

2=

𝑥

2

En utilisant les équations d’équilibre, nous avons:

• 𝐹𝑦 = 0 ⟹ 𝑅𝑎 − 𝐹𝑞′ + 𝑇 = 0

⟹ 𝑇 = 𝐹𝑞′−𝑅𝑎

⟹ 𝑻 = 𝟑𝟎𝟎 𝒙 − 𝟖𝟓𝟎 (𝑵)

• 𝑀 = 0 ⟹ 𝑀 + (𝐹𝑞′ ×

𝑥

2) − 𝑅𝑎 × 𝑥 = 0

⟹ 𝑀 = 𝑅𝑎 × 𝑥 − 𝐹𝑞′ ×

𝑥

2= 850𝑥 − 300 𝑥 ×

𝑥

2

⟹ 𝑴 = −𝟏𝟓𝟎 𝒙𝟐 + 𝟖𝟓𝟎𝒙 (𝑵.𝒎)

Corrigé• Effort tranchant et moment fléchissantSi 2< 𝑥 < 3 (𝑥𝜖 2, 3 )

Calcul de 𝐹𝑞′ et de 𝑥

• 𝐹𝑞′ = 𝑞 × 𝐿 = 𝑞 × 𝑥 = 300 𝑥 (N)

• 𝑥 =𝐿

2=

𝑥

2

En utilisant les équations d’équilibre, nous avons:

• 𝐹𝑦 = 0 ⟹ 𝑅𝑎 − 𝐹𝑞′ − 𝑅𝑐 + 𝑇 = 0

⟹ 𝑇 = 𝐹𝑞′+ 𝑅𝑐− 𝑅𝑎

⟹ 𝑻 = 𝟑𝟎𝟎 𝒙 + 𝟑𝟓𝟎 (𝑵)

• 𝑀 = 0 ⟹ 𝑀 + (𝐹𝑞′ ×

𝑥

2) + 𝑅𝑐× (𝑥 − 𝑎) − 𝑅𝑎 × 𝑥 = 0

⟹ 𝑴 = −𝟏𝟓𝟎 𝒙𝟐 − 𝟑𝟓𝟎𝒙 + 𝟐𝟒𝟎𝟎 (𝑵.𝒎)

𝑥𝜖 0, 2 𝑻 = 𝟑𝟎𝟎 𝒙 − 𝟖𝟓𝟎 (𝑵) 𝑴 = −𝟏𝟓𝟎 𝒙𝟐 + 𝟖𝟓𝟎𝒙 (𝑵.𝒎)

𝑥𝜖 2, 3 𝑻 = 𝟑𝟎𝟎 𝒙 + 𝟑𝟓𝟎 (𝑵) 𝑴 = −𝟏𝟓𝟎 𝒙𝟐 − 𝟑𝟓𝟎𝒙 + 𝟐𝟒𝟎𝟎 (𝑵.𝒎)

𝑥 = 0 𝑻 = −850 𝑁 𝑴 = 0 𝑵.𝒎

𝑥 = 1.5 𝑻 = −400 𝑁𝑴 = 937.5 𝑵.𝒎

𝑥 = 2 𝑻 = −250 𝑁𝑻 = 950 𝑁

𝑴 = 1100 𝑵.𝒎

𝑥 = 3 𝑻 = 1250 𝑁 𝑴 = 0 𝑵.𝒎

Effort tranchant et moment fléchissant

Corrigé

• Contrainte normale due au moment fléchissant

Corrigé

𝜎𝑚𝑎𝑥 =𝑀

𝐼𝑧(±𝑦𝑚𝑎𝑥)

𝐼𝑧 =𝜋 𝐷4

64

or

donc 𝜎𝑚𝑎𝑥 = ±𝑀 × 64

𝜋 𝐷4 (𝑦𝑚𝑎𝑥)

𝜎𝑚𝑎𝑥 = ±1100×64

𝜋 40420 = ± 175,16 MPa

EXERCICE 4 Répondre en cochant la bonne réponse

Les matériaux des poutres étudiées sont supposés :

☐ Homogène et isotrope

☐ Continu et anisotrope

Les équations qui régissent le principe fondamental de la statique dans le plan sont au nombre de :

☐ Deux

☐ Trois☐ Six

Une section est dite soumise à la flexion pure si

☐𝑁 ≠ 0, 𝑇 ≠ 0 et 𝑀 ≠ 0

☐𝑁 = 0, 𝑇 = 0 et 𝑀 ≠ 0☐𝑁 = 0, 𝑇 ≠ 0 et 𝑀 ≠ 0

Pour qu’une poutre résiste en toute sécurité au cisaillement, il faut que :☐ 𝜎𝑚𝑎𝑥= 0☐ 𝜎𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒☐ 𝜏𝑚𝑎𝑥 < 𝜏𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒

L’appui simple comporte ☐ Trois réactions inconnues☐ Une réaction inconnue☐ Deux réactions inconnues

L’axe neutre est le lieu des points où☐ La contrainte est maximale dans la section droite☐ La contrainte est nulle dans la section droite