1

Introduction à la radiométrie

Patrick Hébert & Denis Laurendeau (Dernière révision : octobre 2016)

2

Objectif #1• Présenter la théorie de base expliquant la formation des

images du point de vue radiométrique et menant à l’équation fondamentale de formation des images

*trucco

Milieu depropagation

3

Objectif #2

Réflexionspéculaire

Réflexiondiffuse

Ombre

• Présenter quelques modèles de réflexion de surface

4

Modèles simples de réflexion à la surface

Miroir (spéculaire)

Mat (lambertien)

5

Interaction de la lumière avec la matièreConcepts de base

6

Définitions

• Radiométrie: mesure du flux et du transfert d’énergie radiante pour le rayonnement électromagnétique

• Photométrie: mesure de la lumière visible liée au système perceptuel humain

• Dans ce cours de vision, nous traiterons de radiométrie dans le visible pour éviter la dépendance à l’observateur humain

7

Interactions lumière-matière

• réflexion

• absorption

• transmission

• fluorescence: absorption à une longueur d'ondes et réémission à une autre longueur d'ondes

peau

film d'huile

La lumière pénètre dans les matériaux

8

DéfinitionsQuantité radiométrique Symbole unité

Énergie radiante Q w.s (watt.sec)

Puissance et flux radiants F w

Illuminance (réception)(irradiance en anglais)

E w.m-2

Émittance,excitance radiantes (émission)

M w.m-2

Intensité radiante I w.sr-1

* Dépend de l’angle solide

Luminance(radiance en anglais)

L w.(sr.m2)-1

* Dépend de l’angle solide

Note: En photométrie, 1 w équivaut à 680 lumens (lm) et 1 lux = 1 lm/m2 (à la lumière du jour)

9

Quantités radiométriques indépendantesde l’angle solide

10

• A est un élément de surface de la source ou de la surface réceptrice

• Un pixel d’une caméra mesure l’illuminance(E)

• S’il y a réflexion totale, E=M

dt

dQF

Q

w.m-2

w

M E

A

𝛷 =𝑑𝑄

𝑑𝑡

𝑀 =𝑑𝛷

𝑑𝐴

𝐸 =𝑑𝛷

𝑑𝐴

Flux d’énergie

(1)

(2)

(3)

w.m-2

Emittance (émission)

Illuminance (réception)

11

Loi du cosinus de Lambert

E0 E0cosq

q

même énergiesur une plus grandesurface

12

Quantités radiométriques dépendantde l’angle solide

13

Definition: Angle solide

• Ratio entre l’aire de la surface occupée par la projection d’un objet sur une sphère et le carré du rayon de la sphère

• Mesuré en stéradian (sr)

• 2p sr par hémisphère

*http://www.schorsch.com/kbase/glossary/solid_angle.htmlhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Angle_solide

2

)cos(

r

A q

𝛿𝜔 =ሻ𝛿𝐴cos(𝜃

𝑟2(4)

14

L’intensité lumineuse (émission)

L’intensité lumineuse est définie comme le flux par unité d’angle solide dans une direction donnée:

w.sr-1𝐼 =𝑑𝛷

𝑑𝜔(5)

15

LA

La luminance (transport)

Quantité radiométrique fondamentale représentant la quantité de lumière voyageant le long de toutes les droites dans un tube dont la taille est définie par l’angle solide et la section A

16

Définition (opérationnelle) de la luminance

Soit le flux lumineux F émanant d’un point O dans une direction, par unité de surface perpendiculaire à la direction et par unité d’angle solide. La luminance L est définie comme suit pour la transmission, la réception, et l’émission:

w/(sr.m2)𝐿 =𝑑2𝛷

ሻ𝑑𝜔𝑑𝐴cos(𝜃(6)

17

Principales relations entre les quantitésradiométriques

18

L’illuminance est la quantité de flux reçue par un élément de surface:

C’est la quantité radiométrique à laquelle notre œilest sensible.

𝐿 =൰𝑑(

𝑑𝛷𝑑𝐴

ሻ𝑑𝜔cos(𝜃=

𝑑𝐸

ሻ𝑑𝜔cos(𝜃ሻ𝑑𝐸 = 𝐿𝑑𝜔cos(𝜃(7) (8)

Relation entre la luminance (transport) et l’illuminance (réception)

19

Relation entre la luminance (transport) et l’excitance (émission):

On intègre la luminance sur l'hémisphère

𝑀 =𝑑𝛷

𝑑𝐴

𝑀(𝑥ሻ = න

𝛺

𝐿(𝑥, 𝜃, 𝜑ሻcos𝜃𝑑𝜔

Si L est constant (indépendant de l'angle):

(2)

(9)

ሻ𝑀(𝑥ሻ = 𝜋𝐿(𝑥 (10)

20

Comment arrive-t-on au résultat (10)?

𝑀(𝑥ሻ = න

𝛺

𝑑𝐸 = න

𝛺

𝐿cos(𝜃ሻ𝑑𝜔

Ici

et donc:

𝑀(𝑥ሻ =ඳ

0

2𝜋

න

0

𝜋2

𝐿(𝑥ሻcos(𝜃ሻsin(𝜃ሻ𝑑𝜃𝑑𝜙

𝑑𝜔 =𝑅sin(𝜃ሻ𝑑𝜙𝑅𝑑𝜃

𝑅2= sin(𝜃ሻ𝑑𝜃𝑑𝜙

21

On peut écrire

𝑀(𝑥ሻ =

0

2𝜋

0

𝜋2

𝐿(𝑥ሻ1

2sin(2𝜃ሻ𝑑𝜃𝑑𝜙 =

ሻ𝐿(𝑥

2ඳ

0

2𝜋

න

0

𝜋2

sin(2𝜃ሻ𝑑𝜃𝑑𝜙

𝑀(𝑥ሻ =ሻ𝐿(𝑥

2න

0

2𝜋

−1

2cos(2𝜃ሻ| 0

𝜋2 𝑑𝜙

𝑀(𝑥ሻ =ሻ𝐿(𝑥

2න

0

2𝜋

𝑑𝜙

ሻ𝑀(𝑥ሻ = 𝜋 𝐿(𝑥 (10)

22

Echange d’énergie luineuse entre deux surfaces: la loi de l’inverse du carré

23

Loi de l’inverse du carré

L

q1

q2

r

dA1

dA2

Puisque q1 est constant, on voit que l’illuminancedécroît avec l’inverse du carré de la distance pour une source de luminance L.

La loi de l’inverse du carré permet d’établir l’équation reliant l’énergie lumineuse émise par une surface et reçue par une autre surface

𝑑𝜙 =ሻ𝐿𝑑𝐴2cos(𝜃2ሻ𝑑𝐴1cos(𝜃1

𝑟2(11)

𝑑𝐸 = 𝐿cos(𝜃1ሻcos(𝜃2ሻ𝑑𝐴1

𝑟2∝

1

𝑟2(12)

24

Loi de réciprocité de Helmholtz

L

q1

q2

r

dA1

dA2

Du point de vue mathématique, les surfaces émettrice et réceptrice sont équivalentes

𝐿1 =𝑑2𝜙

𝑑𝐴1cos(𝜃1ሻ𝑑𝜔1, 𝑑𝜔1 =

ሻ𝑑𝐴2cos(𝜃2𝑟2

𝐿2 =𝑑2𝜙

𝑑𝐴2cos(𝜃2ሻ𝑑𝜔2, 𝑑𝜔2 =

ሻ𝑑𝐴1cos(𝜃1𝑟2

𝑑𝜙 =ሻ𝐿𝑑𝐴2cos(𝜃2ሻ𝑑𝐴1cos(𝜃1

𝑟2

(13)

(14)

(11)

25

Formation d’une image sur le plan radiométrique

26

Soit une lentille mince. L’image de l’élément de surface dA sur le plan image est p

Formation d’une image - radiométrie

27

On peut écrire l’expression de l’angle solide:

𝑑𝜔𝐴 =ሻ𝜕𝐴cos(𝜃

𝑧ሻcos(𝛼

2 et 𝑑𝜔𝑝 =ሻ𝜕𝑝cos(𝛼

𝐹ሻcos(𝛼

2(15) (16)

or 𝑑𝜔𝐴 = 𝑑𝜔𝑝 (17)

donc𝜕𝐴

𝜕𝑝=

𝑧

𝑓

2ሻcos(𝛼

ሻcos(𝜃(18)

28

L’angle solide sous-tendu par la lentille en A est:

Le flux lumineux capté par la lentille est:

Ce flux est concentré sur p sur le plan image et l’illuminance est:

𝛺 =

ቇ𝜋𝑑2

4cos(𝛼

𝑧ሻcos(𝛼

2 =𝜋

4

𝑑

𝑧

2

ሻcos(𝛼3 (19)

𝑑2𝜙 =𝜋

4

𝑑

𝑧

2

ሻcos(𝛼3cos(𝜃ሻ 𝐿 𝜕𝐴 (20)

𝑑𝐸 =𝜋

4

𝑑

𝑧

2

ሻcos(𝛼3cos(𝜃ሻ 𝐿

𝜕𝐴

𝜕𝑝(21)

29

Avec (18) dans (21) on trouve:

𝑑𝐸 =𝜋

4

𝑑

𝑓

2

cos 𝛼4𝐿 (21)

qui est l’équation fondamentale de formation des images sur le plan radiométrique

30

Remarques importantes sur cette équation:

•E est proportionnel à L

•Le facteur de proportionnalité est l’inverse du f-number de la lentille (f/d) (ce rapport est le degré de ressemblance à un sténopé)

•E ne dépend pas de la distance entre la caméra et la surface éclairante

•Le facteur cos4 crée un effet de vignettage

31

Caractéristiques de réflectivité des surfaces

Introduction à la BRDF

32

Réflectivité des surfaces

Quels sont les facteurs qui déterminent la l’illuminance captée d’une scène par la caméra?

1. La quantité de lumière qui est incidente sur la surface.

2. La proportion de cette quantité de lumière qui est réfléchie en direction de l’observateur.

33

La BRDF

La BRDF (Bidirectional Reflectance Distribution Function) permet d’établir le lien entre la lumière reçue et la lumière réfléchie grâce à la définition suivante:

𝜌(𝜃𝑖 , 𝜑𝑖 , 𝜃𝑒 , 𝜑𝑒 , 𝑇𝑠ሻ =ሻ𝑑𝐿𝑒(𝜃𝑒 , 𝜑𝑒 , 𝑇𝑠

ሻ𝑑𝐸𝑖(𝜃𝑖 , 𝜑𝑖(22)

où est la température de surface en degrés absolus

𝑇𝑠

34

Propriétés de la BRDF

Conservation de l’énergie

1cos

q d

),,,(),,,( iieeeeii qqqq

න

𝛺

𝜌cos(𝜃ሻ𝑑𝜔 ≤ 1 (23)

Symétrie (à cause du principe de réciprocité de Helmholtz-équilibre thermique)

ሻ𝜌(𝜃𝑖 , 𝜑𝑖 , 𝜃𝑒 , 𝜑𝑒 , 𝑇𝑠ሻ = 𝜌(𝜃𝑒 , 𝜑𝑒 , 𝜃𝑖 , 𝜑𝑖 , 𝑇𝑠 (24)

35

Propriétés de la MBRDF

La MBRDF (M pour « monochromatique ») est une fonction de l’état de la surface réceptrice car elle dépend de la température (en degrés absolus) de celle-ci.

Dans ce qui suit, nous allons considérer la BRDF seulement, ce qui revient à dire que nous assumons que les caractéristiques de réflectivité de la surface ne dépendent pas de la longueur d’onde, ceci afin de faciliter les développements.

36

Premier modèle de réflexion de surface: la réflexion diffuse

37

La réflexion diffuse

Définition: la lumière pénètre la surface, des réflexions internes se produisent et la lumière ressort de façon uniforme dans toutes les directions, indépendamment de la lumière incidente

Rugosité microscopique

Il n’existe pas d’explication physique complète pour expliquer ce modèle dit « lambertien ». Le modèle est cependant très pratique pour approximer des problèmes réels (et les simplifier)

38

Expression de la BRDF lambertienne (surface parfaitement diffusante)

• Surface lambertienne: surface parfaitement diffusante qui émet ou réfléchit la lumière tel que L=cte pour toute direction. (une surface matte: papier, peinture matte)

• Une telle surface apparaît aussi brillante selon tous les points de vue

• Pour une surface lambertienne non-idéale, l’émission sur l’hémisphère est appelée albedo (d=[0,1])

39

Le flux incident reçu par est: 𝑑𝐴𝑖

𝑑2𝛷𝑖 = 𝐿𝑖𝑑𝜔𝑖cos(𝜃𝑖ሻ𝑑𝐴𝑖 (24)

Le flux flux diffusé par et reçu par dAest donné par:

𝑑𝐴𝑖

𝑑2𝛷𝑟 = 𝐿𝐸𝑑𝜔𝑑𝐴 (25)

où:

𝑑𝐴 = 𝑅sin(𝜃ሻ𝑑𝜃𝑅𝑑𝜙 = 𝑅2sin(𝜃ሻ𝑑𝜃𝑑𝜙(26)

𝑑𝜔 =ሻ𝑑𝐴𝑖cos(𝜃

𝑅2(27)

40

Par définition, la BRDF a pour expression

𝜌 =𝐿𝐸𝑑𝐸𝑖

En utilisant (24), l’expression pour est:

𝑑𝐸𝑖 = 𝐿𝑖cos(𝜃𝑖ሻ𝑑𝜔𝑖

(22)

(28)

𝑑𝐸𝑖

On a donc pour

𝑑2𝛷𝑟 = 𝜌𝐿𝑖cos(𝜃𝑖ሻ𝑑𝜔𝑖

ሻ𝑑𝐴𝑖cos(𝜃

𝑅2𝑅2sin(𝜃ሻ𝑑𝜃𝑑𝜙 = 𝜌𝐿𝑖cos(𝜃𝑖ሻcos(𝜃ሻsin(𝜃ሻ𝑑𝜔𝑖𝑑𝜃𝑑𝜙 (29)

𝑑2𝛷𝑟

41

Si on intègre sur l’hémisphère, le ,flux total reçu par celui-ci estégal à soit:

𝑑2𝛷𝑟

𝑑2𝛷𝑖

(29)𝑑2𝛷𝑖 = 𝐿𝑖cos(𝜃𝑖ሻ𝑑𝜔𝑖𝑑𝐴𝑖 =ඳ

0

2𝜋

න

0

𝜋2

𝜌𝐿𝑖cos(𝜃𝑖ሻcos(𝜃ሻsin(𝜃ሻ𝑑𝜔𝑖𝑑𝜃𝑑𝜙𝑑𝐴𝑖 = 1

𝜌ඳ

0

2𝜋

න

0

𝜋2

cos(𝜃ሻsin(𝜃ሻ𝑑𝜃𝑑𝜙 = 1 (30)

(30)𝜌𝑙𝑎𝑚𝑏𝑒𝑟𝑡 =1

𝜋

42

Cas plus général: surface grise.

Surface qui diffuse uniformément la lumière reçue dans l’hémishère, mais qui ne diffuse pas toute l’énergie reçue.

𝜌𝑔𝑟𝑖𝑠𝑒 =𝜌𝑑𝜋, 𝑜ù 𝜌𝑑 < 1 (31)

43

Interprétation de la BRDF Lambertienne

)cos(qdA

dIL

La luminance diffusée par la surface lambertienne est la même dans toutes les directions

L’intensité varie en fonctiondu cosinus de l’angled’observation q

ሻ𝑑𝐼 = 𝐿 𝑑𝐴cos(𝜃

44

Autre remarque:

La valeur de la luminance ne dépend que du cosinus de l’angle entre la normale à la surface et la direction de la source.

• La luminance de la surface reste la même peu importe de quel point de vue on l’observe.

𝐿 =𝜌𝑑𝜋പ𝑠𝑡ഫ𝑛

est un vecteur représentant la direction et l’intensité de la lumière incidente (source) et est la normale à la surface.

Seulement fonction de l’angle de la lumière incidente, pas de l’angle d’observation!

(32)

പ𝑠

ഫ𝑛

45

Exemple 1

Si on suppose un modèle lambertien, que peut-on dire sur la position de la source?

46

Exemple 2

Surface lambertienne et surface non-lambertienne

47

Deuxième modèle de réflexion de surface: réflexion spéculaire

48

Modèles de réflexion spéculaire (miroir)

• Deux explications

• Basée sur optique géométrique (l << rugosité de la surface): Torrance-Sparrow

• Basée sur optique ondulatoire: Beckmann-Spizzichino

qi=qr

n

lobe

qiqrs

R

ഫ𝑛

പ𝑠 ഫ𝑅

49

Modèle de Phong

Adapté à l’infographie

Ne repose pas sur des bases physiques rigoureuses

exposant u: rugosité (inverse)

Mesure l’angle entre R et v

qiqr

(direction de l’observateur)

ഫ𝑅പ𝑠

ഫ𝑛 പ𝑣 𝜌𝑠 = പ𝑣𝑡ഫ𝑅 𝑢 avec ഫ𝑅 = 2ഫ𝑛(പ𝑠𝑡ഫ𝑛ሻ − പ𝑠

ഫ𝑛

ഫ𝑅പ𝑠

(33) (34)

50

Modèle de Blinn-Phong

Adaptation du modèle de Phong pour une performance de rendu accrue

Rusinkiewicz et al – cours iccv 2007

𝜌𝑠 = 𝑘 ഫ𝑛𝑡പℎ 𝑢

പℎ =പ𝑠 + പ𝑣

‖പ𝑠 + പ𝑣‖

(35)

(36)

ഫ𝑛

ഫ𝑅പ𝑠

പ𝑣

പ𝑠 + പ𝑣

bissecteur entre la direction de la source et celle de l’observateur

51

Mesure expérimentale de la BRDF

52

1. Utilisation d’un gonioréflectomètre2. Différents systèmes basés sur la vision ont aussi été proposés

• Simplification: isotropie autour de la normale (ex: plastiques)3. Explosion de la complexité si on considère une SVBRDF, i.e. qui

varie à la surface de l’objet ou même la diffusion sous la surface4. Processus complexe qui suscite un intérêt de recherche grandissant

gonioréflectomètre

53

Matériaux anisotropiques

latéral longitudinal Stries dans du métal

La peau humaine: anisotropie dynamique. Allongement des pores de la peau selon l’expression faciale. Les variations subtiles sont facilement détectées par un observateur humain

Le métal brossé

Autres exemples de matériaux anisotropiques: bois vernis, velours, aluminium non poli, etc …

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Autres modèles importants (pour information seulement)

• Cook-Torrance: Adaptation à l’infographie du modèle de Torrance-Sparrow

• Oren-Nayar: révision du modèle diffus sur la base qu’une plus grande quantité de lumière est retournée vers la source

• Ward: révision du modèle spéculaire (plus près de la physique que Phong), il traite l’anisotropie

• Lafortune: amélioration relativement simple et efficace du modèle de Blinn-Phong (somme de lobes)

• Modèles non-paramétriques

55

Base de modèles disponible

56

Inter-réflexions

57

Les inter-réflexions ou réflexions multiples

• On considère des sources secondaires dans les concavités

• Peu d’effet sur la stéréo car elles sont indépendantes du point de vue pour une surface diffuse

• Affectent le shading

• Très complexe à modéliser

a b c

58

Référence pour les personnes intéressées

• M. Pharr, G. Humphreys, Physically Based Rendering Elsevier, 2004