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Pierre Amiot, 2012

Dpartement de Physique, de Gnie physique et dOptique,

Universit Laval,

Qubec.

Initiation aux Tenseurs

Scalaires, vecteurs et autres sous transformation Note : Il est conseill de lire dabord le module sur les transformations de coordonnes ou lquivalent. Il y a une table des matires en page 45

1. Nomenclature et critre tensoriel

La notation tensorielle est une nomenclature, i.e. une faon systmatique dappeler les

variables et champs dintrt physique et mathmatique. La notation tensorielle permet de

faire simplement des oprations sur nos quations de physique mathmatique qui autrement

seraient beaucoup plus lourdes. Cette notation nest pas difficile apprendre, mais exige

quon apprenne certains termes et concepts.

Les tenseurs tudis ici sont les variables et champs qui notent et mesurent les

proprits et caractristiques de phnomnes physiques, mathmatiques, chimiques,

dingnierie comme la position dun objet, sa vitesse, sa largeur un champ lectrique ou

magntique..., la pression dun fluide, lnergie, la force agissant sur un objet

Nous sommes habitus une nomenclature o ces quantits sont appeles scalaire,

vecteur, dyadique Dans un espace N dimensions, un scalaire a une ou N0 composante, un

vecteur en a N ou N 1, un dyadique en a N 2 , etc.

Nous verrons que le classement des quantits en tant que tenseurs sera plus restrictif,

mais plus prcis. Le tenseur dordre zro est un (vrai) scalaire et a une seule composante, mais

ce nest pas suffisant davoir une seule composante, i.e. dtre un nombre isol pour tre un

tenseur dordre zro. Un tenseur dordre un est un (vrai) vecteur et a N composantes, mais ce

nest pas suffisant davoir N composantes pour tre un tenseur dordre N , etc. Un exemple

vident est que la composante dun vecteur nest pas un scalaire, ce que certains pensent, mais

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elle est la composante dun vecteur et cela fera toute la diffrence. Imaginez par exemple un

segment de droite qui a une longueur et une orientation mesure p/r un systme daxes. Si

vous faites tourner le systme daxes, lorientation du segment de droite nest plus la mme

mesure p/r au nouveau systme, mais la longueur du segment na pas chang. Il sagit donc

de deux types diffrents de quantit.

Le critre de slection pour le classement tensoriel est le comportement des quantits

lorsque nous oprons une transformation affectant les coordonnes qui supportent notre

espace, gnrant une transformation des composantes des champs reprsentant nos quantits

physiques. Un exemple simple de transformation est une transformation de systme de

coordonnes, par exemple dun systme cartsien un systme sphrique. Un autre exemple

peut tre une rotation dun systme cartsien. Il y a un nombre infini de transformations

possibles. Dune faon gnrale, nous noterons ces coordonnes xi, lindice i tant plac en

position suprieure par pure convention (pour linstant), mais une fois cette convention

accepte, on doit la respecter, parce quen gnral, xi ! xi , comme nous le verrons.

De faon gnrale, une transformation affectant les coordonnes signifie que nous

passerons dun ensemble (ancien) {xi | i =1, 2, 3,N} un ensemble (nouveau) {xi | i =1, 2,

3,N}. Chaque ensemble compte N nombres, les coordonnes dun mme point. Ce point

peut tre strictement le mme, par exemple lors dune transformation dite des coordonnes

(cartsiennes vers sphriques, par exemple), ou peut rsulter dune translation, dune rotation,

ou auquel cas il y a dplacement o chaque nouveau point provident dun seul ancien point

et on peut dire quil sagit du mme point, ce qui est vrai de tout ce qui est transport avec la

transformation, pour tout isomorphisme. Nous dirons alors quil sagit du mme point, quil y

ait dplacement ou non. Il existe une liste pratiquement infinie dautres transformations,

comme les rotations daxes de rfrence, les contractions de ces axes, leur inversion,

2. Transformation et matrice de Jacobi Notation : Certains auteurs priment les coordonnes et crivent x'i , alors que dautres,

comme nous faisons ici, priment lindice et crivent xi'. Un exemple serait la transformation

des coordonnes de cartsiens sphriques

Dans ce cas, si les anciennes coordonnes sont cartsiennes, alors les trois coordonnes de la

position dun objet ponctuel seraient

x1 = x

3

x2 = y

x3 = z

et si les nouvelles coordonnes, i.e. rsultant de la transformation, sont les coordonnes

sphriques du mme point, alors nous crirons

x1 = r

x2 =

x3 =

Les {xi | i =1, 2, 3,N}, ici {x, y, z} sont les anciennes coordonnes et les {xi | i =1, 2,

3,N}, ici r,! ,"{ } sont les nouvelles coordonnes du mme point P. Puisque ici

N = 3, trois coordonnes sont ncessaires et suffisantes pour dfinir ce point, il sensuit que

seules N de ces coordonnes sont indpendantes, alors que les N autres ne seront pas

linairement indpendantes des N premires. Dun autre ct, les deux ensembles de N

coordonnes dsignent le mme point. Il doit donc, physiquement et gomtriquement exister

P

x

y

z

r

!

"

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des relations entre N coord. indpendantes et N coord. dpendantes. Si nous choisissons les

anciennes comme indpendantes, alors ces relations scrivent comme donnant les nouvelles

en fonction des anciennes, i.e.

xi = xi(xi), i, i = 1, 2, 3,N

Puisque le point existe, indpendamment du choix de coordonnes, ces relations doivent tre

rversibles, i.e. les relations inverses doivent exister

xi = xi(xi)

On dit des premires relations quelles dfinissent la transformation de coordonnes et les

deuximes dfinissent la transformation inverse. Lexistence de cet inverse implique que la

matrice de Jacobi de la transformation est non singulire. Nous noterons A cette matrice dont

les lments sont dfinis en utilisant les N relations dfinissant la transformation

Aj!i="x

!i

"xj

2.1. Notation concernant la matrice de Jacobi (seulement)

1. Ici, lindice suprieur, appel indice contravariant, sera par convention utilis comme indice de ligne de la matrice, alors que lindice infrieur, appel indice

covariant est lindice de colonne

2. Lalgbre des indices est similaire lalgbre des fractions composes

cb

da

d

c

b

a

= exactement comme dans les fractions composes

1

2

3

4

=1! 4

2 ! 3

Ces rgles sont trs simples et connues. Ce sont celles des fractions composes. gauche, a

est au numrateur (haut) du numrateur, alors que b est au dnominateur (bas) du mme

numrateur, alors que c est au numrateur du dnominateur et d est au dnominateur du

dnominateur. Plaant tout cela au mme niveau nous donne ad sur bc. On voit que, replacs

sur une mme ligne, d qui tait au bas du bas monte au haut, alors que c qui tait au haut du

bas reste au bas, alors que b qui tait au bas du haut sen va au bas, et que a qui tait au haut

du haut reste au haut. Ainsi, on voit que lutilisation des mmes rgles pour fixer la position

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des indices sur 'iiA permet didentifier que i tait comme a et reste donc en haut, alors que i

tait comme c et reste donc au bas.

De faon similaire, nous avons

Aij ' =!xi

!xj '

Toujours de la mme faon, nous avons aussi

Ai '

i=!x

i

!xi '

Il est important de raliser que

'iiA iiA '

Afin de dterminer la diffrence entre ces deux quantits, dbutons avec lexpression de la

transformation xi = xi(xj) dont nous calculons la diffrentielle

dxi ' =!x

i '

!xjdx

j

j=1

N

" = Aji 'dx

j

j=1

N

"

Nous calculons maintenant la diffrentielle de lexpression pour la transformation inverse

x j = x j x j '( ) ! x j = x j x j '( ) ! dxi =!x

j

!xj 'dx

j '= Aj '

jdx

j '

j '=1

N

"j '=1

N

"

Remplaant la deuxime dans la premire donne

dxi ' = Aji 'Aj '

jdx

j '

j '=1

N

!j=1

N

!

La double somme droite fait intervenir tous les dx j ' , pour j = 1,2,3N. Mais cette somme

ne doit donner quune seule de ces diffrentielles, parce que nous savons, gauche, que la

somme sur j DOIT se limiter au seul terme correspondant j = i qui est fix gauche. La

seule faon pour que la somme sur j se limite au seul terme j = i est que

Aji 'Aj '

j

j=1

N

! = " j 'i ' = delta de Kronecker, o

!i

j '= 1 si i = j ' et = 0 si i " j ' (mme convention dindice ici que la matrice 'iiA ).

De cette faon, nous fermons la boucle, puisqualors nous garantissons que dx j = dx j .

Vu de faon matricielle, le est un lment de la matrice unit. Le produit entre les matrices

A ci-dessus est donc un produit dune matrice par son inverse, la somme sur j portant sur les

colonnes du A de gauche et sur les indices de ligne du A de droite. Cest donc bien un produit

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matriciel qui donne ici la matrice unit. Il sagit donc du produit dune matrice par son

inverse. On conclut donc que

Aij ' est un lment de la matrice de transformation et

Aj 'j est un lment de la matrice inverse.

Le produit de la matrice de Jacobi par son inverse donne donc la matrice unit, donc linv