Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #10: Le modèle détat (2ième partie) &...

Introduction à l’automatisation

-ELE3202-

Cours #10: Le modèle d’état (2ième partie) & transformée en z

Enseignant: Jean-Philippe Roberge

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Cours # 10

Fin de la matière portant sur les systèmes continus:

Retour sur le cours #9 Modèle d’états et commande par retour d’états

Régulation par placements de pôles

Observateurs d’états

Conception pour le suivi de consigne

2 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Cours # 10

Systèmes discrets (non-continus): Échantillonnage

Transformée en z : propriétés et démonstrations

Bloqueur d’ordre 0

La semaine prochaine (entres autres):

Présentation d’intérêts d’étudiant :

Application des systèmes du contrôle au domaine de la

photographie (1) et des automates programmables (2).

Exercices sur la matière des cours #9 et #103 Jean-Philippe Roberge - Mars

2011


4

Retour sur le cours #9 (I)

Pour faire l’analyse d’un système et/ou la conception d’un contrôleur, deux approches sont disponibles: La première est basée sur la fonction de transfert du système La deuxième est basée sur le modèle d’état du système

Figure tirée de “Modern Control Systems”, Bishop & Al.

2

2

d y t dy tM b ky t u t

dt dt

1 2 et x y t x y t

2 2 1Mx bx kx u t

1 2

2 2 1

1

x x

b kx x x u t

M M M

Modèle d’état:x Ax Bu y Cx Du


5

Retour sur le cours #9 (II)

Du modèle d’état, il est possible d’obtenir directement la fonction de transfert d’un système (Laplace):

Par ailleurs;

Donc les pôles de la fonction de transfert sont aussi les valeurs propres de la matrice A!!

Autre particularité des modèles d’états: Aussi, nous avions vu au dernier cours qu’en général, une fonction de transfert quelconque possède plusieurs représentations d’état équivalentes.

De ces “formes” équivalentes, nous avions vu quatre formes importantes: La forme canonique commandable La forme canonique observable La forme canonique diagonale La forme canonique de Jordan

1Y s

G s C sI A B DU s

Q sG s

sI A

Retour sur le cours #9 (III)

Forme canonique commandable


6

Retour sur le cours #9 (IV)

Forme canonique observable

Note:Jean-Philippe Roberge - Mars

20117

. . . . . . . . . . . .T T T

can obs can com can obs can com can obs can comA A B C C B

Retour sur le cours #9 (V)Forme canonique

diagonale


8

Retour sur le cours #9 (VI)

Forme canonique diagonale


9

Retour sur le cours #9 (VII)

Forme canonique de Jordan


10

Retour sur le cours #9 (VIII)

Forme canonique de Jordan


11

Retour sur le cours #9 (IX) Solution des équations d’état par

Laplace

Au dernier cours, nous avions vu qu’il était possible de solutionner le système d’équation suivant, en utilisant Laplace:

Donc, la solution:

Où: se nomme la « matrice de transition ».


12

x Ax Bu

y Cx Du

0

0t

x t t x t BU d

00

ty t C t x C t BU d

11t sI A L

Retour sur le cours #9 (X) Solution des équations d’état par

Laplace


13

Retour sur le cours #9 (XI) Solution des équations d’état par

Laplace


14

Retour sur le cours #9 (XII) Solution des équations d’état par

Laplace


15

Retour sur le cours #9 (XIII)Commandabilité


16

Retour sur le cours #9 (XIV)Observabilité


17

Retour sur le cours #9 (XV)Exemple – système masse-ressort

avec friction


18

1 21 1

2 22 2 1

0 1 01

1 2 1

x xx x

u tb kx xx x x u t

M M M

Bx xA

1 0 0y x u t D

C

Commandabilité:

Observabilité:

0 1| | 2

1 2rang B AB rang

1 0| | 2

0 1T T Trang C A C rang

Cours #10

Conception à l’aide du modèle d’état (I)

Commande par retour d’états


20

Conception à l’aide du modèle d’état (II)


En effet:


21

1

s

x x

A

B

C

K

1

1

11

1

s BA BCs C

s A BKs BKAs

. 0carP s s A BK

Conception à l’aide du modèle d’état (III)



22

http://www.jproberge.net -- Liens – Pendule de Furuta double #1

http://www.jproberge.net/

Conception à l’aide du modèle d’état (IV)



23

Conception à l’aide du modèle d’état (V)



24

Conception à l’aide du modèle d’état (VI)



25

Conception à l’aide du modèle d’état (VII)



26

Conception à l’aide du modèle d’état (VIII)



27

Conception à l’aide du modèle d’état (IX)



28

Conception à l’aide du modèle d’état (X)

Exemple 2: système de tests automatiques (tiré

de [1], [5])

Soit le système suivant qui sert à tester des pièces électriques: entres autres, des relais, des interrupteurs et des lumières.

Le système utilise un moteur DC (vous avez vu comment modéliser approximativement un moteur à l’aide d’un système de premier ordre dans le cadre du laboratoire) ainsi qu’un encodeur incrémental qui permet de connaître la position ϴ ainsi que la vitesse d(ϴ)/dt.

Variables d’état:Jean-Philippe Roberge - Mars

201129

Tiré de [1] 1 2 3, et x f

dx x i

dt

Conception à l’aide du modèle d’état (XI)


de [1], [5])

Le diagramme fonctionnel du système en boucle ouverte est:

Le modèle d’état associé est:


30

K1

5s 1

1s 1

s

U(s)

Amplificateur

Champ magnétique Moteur

V X3=IfX2 X1=ϴ(s)

0 1 0 0

0 1 1 0

0 0 5

1 0 0

x Ax Bu x u

K

y x

Conception à l’aide du modèle d’état (XII)


de [1], [5])

Le diagramme fonctionnel du système en boucle fermée est:

Le modèle d’état associé est:


31

K1

5s 1

1s 1

s

U(s)

Amplificateur

Champ magnétique Moteur

V X3=IfX2 X1=ϴ(s)

3K2K 1K

-- -

R(s) +

1 2 3

0 1 0 0

0 1 1 0

5

x Ax BKx Br A BK x Br x r

KK KK K K K

Conception à l’aide du modèle d’état (XIII)


de [1], [5])

Les racines du polynôme caractéristique, ou les valeurs propres de la matrice d’intérêt sont déterminées par:

Supposons que nous souhaitons obtenir un temps de réponse à 2% environ égal à 1.08 sec et un dépassement d’environ 2.1%:

Nous avons 4 degrés de liberté et 3 pôles à fixer, nous pouvons donc arbitrairement poser K1=1 et résoudre:

Solution:Jean-Philippe Roberge - Mars

201132

3 2 23 3 2 1

1 2 3

3 23 3 2 1

0 1 0

det 0 1 1 0 6 5

5

6

sI s s s K Ks K Ks KK s KK

KK KK K K

s K K s K K KK s KK

1 2,3

Loin à gauche pour réduire l'impact

10.62 et 3.69 3s s j

3 2 3 23 3 2

Polynôme désiré

18.07 101.5122 241.8078 6s s s s K K s K K KK s K

2 3 1240, 0.35, 0.05, 1K K K K

Observateur d’état (I)

Lorsque nous avons choisi la rétroaction:

pour fermer la boucle, nous avons émis l’hypothèse que le vecteur d’états « x » était disponible. En effet, nous avons sous-entendu qu’il était possible d’obtenir la valeur de tous les états du système afin de générer le signal de rétroaction.

Par contre, dans biens des situations, il vous sera impossible de mesurer physiquement toutes les variables d’état. La sortie « y » ne contiendra pas nécessairement tous les états. Dans ce cas, que peut-on faire?

C’est ici qu’intervient l’observateur d’état!

Un observateur d'état est une extension d’un système représenté sous forme de modèle d'état. Lorsqu’un ou plusieurs état(s) d'un système n'est (ne sont) pas mesurable(s), on construit un observateur qui permet de reconstruire l'état à partir d'un modèle du système dynamique et des mesures disponibles.


33

u Kx

Observateur d’état (II)

Un observateur d’état permet d’estimer x:

Comment peut-on estimer le vecteur d’état?

Démonstration au tableau…


34

ˆ Vecteur d'état estiméx

Observateur d’état (III)

La dynamique de l’observateur d’état est donnée par :

La dynamique de l’erreur est donc donnée par:

Si les valeurs propres de sont négatives, alors la dynamique de l’erreur est stable et l’erreur tend vers 0!!!


35

ˆ ˆ êx Ax Bu K Cx Cx

ê x x

ˆ

ˆ ˆ êx

x

e e

e x x Ax Bu Ax Bu K Cx Cx

Ae K Ce A K C e

eA K C

Observateur d’état (IV)

Ainsi, on peut choisir le gain Ke afin que les valeurs propres de (A-KeC) soient toutes à partie réelle négative. De cette façon, peu importe la condition initiale de l’erreur (e(0)),

l’erreur convergera vers 0. Aussi, puisque les valeurs propres d’une matrice sont toujours égales aux

valeurs propres de cette même matrice transposée;

On peut donc utiliser la formule d’Ackerman pour placer les pôles en remplaçant A par A’, B par C’ et K par Ke’:


36

. . T T Te eval propres A K C val propres A C K

Observateur d’état (V)

Exemple 1


37

Observateur d’état (VI)

Exemple 1


38

Observateur d’état (VII)

Exemple 1


39

Observateur d’état (VIII)

Exemple 1


40

Observateur d’état (IX)

Contrôleur et observateur

Maintenant que nous avons un moyen d’estimer le vecteur état au complet, il est maintenant possible d’utiliser cette information pour la rétroaction en prenant :

Donc, les équations de la dynamique deviennent:

Donc, le système augmenté sera stable si et seulement si les valeurs propres de Aaug. sont à parties réelles négatives.

Ceci étant dit, remarquez-vous une particularité sur la forme de Aaug. ?


41

ˆ ˆu kx k x x x k x e

e

x A BK x BKe

e A K C e

.

Dynamique du système "augmenté" de l'observateur

0

augA

e

A BK BKx x

A K Ce e

Observateur d’état (X)


En fait, la matrice Aaug. est une matrice dite « triangulaire supérieure ». Les valeurs propres de Aaug. sont:

Donc, les pôles de la partie commande ne sont influencés que par le gain de la partie commande! Les pôles de la partie observateur ne sont influencés que par le gain de la partie observateur! On appelle cette particularité, le « principe de séparation ».

Le design de l’observateur peut donc être effectué de manière tout à fait indépendante du design de la partie commande.


42

00 e

e

sI A BK BKsI A BK sI A K C

sI A K C

Observateur d’état (XI)


Par contre, il faut faire une dernière petite remarque en revisitant la forme du système augmenté:

Nous pouvons en effet faire le design de l’observateur de manière indépendante par rapport à la partie commande. Cependant, puisque l’erreur « e » affecte quand même la partie commande, nous avons intérêt à ce cette erreur converge rapidement vers 0. C’est pourquoi il est généralement recommander de faire le design de

l’observateur de sorte à ce que les pôles soient plus rapides (plus à gauche dans le plan complexe) que les pôles de la partie commande. Habituellement, on recommande des pôles de l’observateur de 2 à 5 fois plus rapide.


43

0 e

A BK BKx x

A K Ce e

Observateur d’état (XII)

Contrôleur et observateur : Diagramme

fonctionnel


44

Contrôle intégral pour suivi de consigne

(I)

Sommaire de l’apprentissage par rapport aux modèles d’état:

Nous avons appris ce qu’était un modèle d’état et comment mettre un système

dynamique quelconque sous cette forme.

Lorsque l’état n’est pas complètement disponible à la sortie du système, nous

avons appris comment faire le design d’un observateur d’état afin d’estimer

« x ».

Nous avons appris que nous pouvions alors se servir l’état estimé pour le signal

de rétroaction. Nous avons démontré que le système, ainsi que l’observateur,

seront stables en choisissant des gains K et Ke conséquents.Jean-Philippe Roberge - Mars

201145


(II)

Dans un très grand nombre d’applications, on souhaite faire en sorte que la sortie suive des consignes. Plusieurs exemples ont d’ailleurs déjà été discutés dans le cadre du cours: Régulateur de vitesse, lecteur de disque dur, système de bicyclette

robotisé, suivi de température dans un four, thermostats électroniques et mécaniques, etc…

Dans plusieurs cas, on souhaite suivre des consignes de type échelon (d’une amplitude quelconque).

Nous avons appris comment stabiliser le système par retour d’états, comment faire maintenant pour continuer à stabiliser le système (en la présence possible de perturbations constantes) tout en le rendant apte à suivre des consignes-échelon?


46


(III)

Nous allons maintenant démontrer qu’en ajoutant un intégrateur (suivi d’un certain gain KI) à l’entrée du système, ce dernier sera alors apte à suivre des consignes de type échelon, malgré la présence de perturbations constantes:


47


(IV)

En effet, soient l’erreur « e » et l’intégrale de l’erreur « eI »:

On peut ré-écrire sous forme de modèle d’état (boucle ouverte), tel que:

En fermant la boucle (tout en étant conforme avec le diagramme fonctionnel précédent) avec u=-Kx+KIeI , on obtient le modèle d’état en boucle fermée:


48

I et e

I

e r t y t e t dt r t y t dt

e e r t y t r t Cx t

0 0

0 0 1I

x A x Bu d r

e C e

0 0

0 0 1 0

0

0 1 0

e

II I

I

I

A

x xA B BK K r d

e eC

xA BK BK Br d

eC


(VI)

Le système et l’erreur à la sortie de l’intégrateur seront stables si la matrice Ae à toute ses valeurs propres à partie réelle négative.

Maintenant, si le système est strictement stable, cela implique que lorsque le temps tend vers l’infini:

Si , alors on a (de l’équation du haut):


49

0 0 0

0 0 1 0 0 1 0

ee

II

I I I

AA

x x xA B B A BK BK BK K r d r d

e e eC C

lim l'état x prend une valeur finie constante x=0

lim et lim

t

t t

x t x

r t r d t d

0x

0

constante

constante

0

I I I

I

A BK x BK e Bd A BK x BK e t dt Bd

BK e t dt A BK x Bd

e t

de t dt e t r t y t

dt

Le système est apte à suivre des consignes de type échelon!


(VII)


50


(VIII)

Exemple I : Le lecteur de disque


51


(IX)



52


(X)



53


(XI)



54


(XII)



55


(XII)

Exemple II avec observateur d’états

Exemple des wagons de train…


56

Fin de la matière sur les systèmes continus!!


57

Domaine non-continu et transformée en z

(I)

Jusqu’à maintenant nous avons seulement considéré les systèmes continus…

Ceci est correct tant et aussi longtemps que les signaux sont échantillonnés à haute

fréquence de sorte que l’on puisse « approximer » le système discret par un système

continu sans problème.

On peut faire cette approximation dans plusieurs cas… Cependant, dans d’autre

cas, la période d’échantillonnage est trop grande et le système est trop

« discontinu »: Que peut-on faire?

Dans ces cas, on utilisera la théorie propre aux systèmes discontinus,

particulièrement la transformée en z.


58


(II)

Un signal r(t) échantillonné peut être représenté par r*(t), tel que:

Donc, sous forme équivalente:


59

* entier 0,r t r kT t kT k

0

*k

r t r kT t kT


(III)

Rappel du cours #2:

En prenant la transformée de Laplace d’un signal échantillonné:

Et en définissant simplement:

Alors:

C’est ce qu’on appelle la « transformée en z » de r(t). La transformée en Z est donc simplement l’extension de la transformée de Laplace au domaine non-continu!


60

0

0 0

* ksT ksT

k k

r t r kT t kT e r kT e

L

0

stf t F s f t e dt

L

sTz e

0

* *k

k

r t r kT z Z r t Z r t

L


(IV)

Transformé en z d’un échelon


61


(V)

Transformé en z d’une exponentielle


62


(VI)

Transformé en z d’un sinus


63


64

Transformées en z et propriétés


(VII)

Théorème de la valeur initiale / finale


65


(VIII)

Bloqueur d’ordre zéro

Un bloqueur d’ordre 0 est un système qui permet de garder constante (le temps d’une période d’échantillonnage) la valeur d’un échantillon:

À l’entré du bloqueur, on a: En intégrant, on obtient :

Finalement on obtient la sortie du bloqueur en soustrayant: , c’est-à-dire l’intégrale décalée de:


66

Pour kT t 1 , y =r *k T t kT r kT

0k

r kT t kT

100 0k k

r kT t kT r kT u t kT

10

1k

r kT u t k T

ste

s


(IX)



67

Donc, la fonction de transfert du bloqueur d’ordre 0 est:

Exemple de système en boucle ouverte avec un bloqueur d’ordre 0 à l’entrée:

0

1 1sT ste eG s

s s s


(X)



68

Prochain cours


69

Exercices!

Continuation de la matière concernant le domaine non-

continu:

Transformée en z inverse

Choix d’une période d’échantillonnage

Fonction de transfert pulsée d’éléments en cascade

Fonction de transfert pulsée d’éléments en boucle fermée

Stabilité d’une fonction de transfert pulsée

Références

70

[1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop

[2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise

[3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle

[4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh

[5] R.C. Dorf and A. Kusiak, Handbook of Manufacturing and Automation, John Wiley & Sons, New York, 1994.

[6] Jean-Philippe Roberge, Étude et commande d’un système mécanique avec liens flexible, 2009.


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