Introduction à la Thermoacoustique

UEP n AM36B

master 1 mention Ingénierie Mécanique et Acoustique

Support de cours

Introduction à la Thermoacoustique

Auteur : Guillaume Penelet, Maître de Conférences, LAUM, UMR CNRS 6613

année universitaire 2013-2014

Table des matières

Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Introduction 1

1 Effet Thermoacoustique et Machines Thermoacoustiques. 3

1.1 Courte histoire de la thermoacoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Effet thermoacoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Processus moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Processus réfrigérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Machines thermoacoustiques, quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Efficacité, rendement, puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Exemples de machines thermoacoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Sur les différents éléments des machines thermoacoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1 Le fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.2 Le stack/régénérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.3 Les échangeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.4 Le guide d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.5 La source acoustique (le cas échéant) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5 Applications des machines thermoacoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Théorie de la thermoacoustique linéaire 29

2.1 Equations fondamentales et hypothèses simplificatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 Variables acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.2 Les équations fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.3 Les conditions à l’interface fluide-paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.4 Hypothèses simplificatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 L’équation d’onde pour la pression acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1 Relation entre v et p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.2 Relation entre τ et p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.3 Relation entre ρ′ et p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.4 Relation entre s et p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

i

ii Table des matières

2.2.5 L’équation d’onde pour la pression acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Flux de chaleur et de travail thermoacoustiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.1 Cas d’une onde stationnaire sans viscosité en interaction quasi-adiabatique . . . 37

2.3.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.3 Equation différentielle pour le champ de température . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4 Machines thermoacoustiques de Stirling vs machines thermoacoustiques à ondes station-

naires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Applications 45

3.1 Propagation acoustique guidée en fluide dissipatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1 Dimensionnement d’une terminaison anéchoïque . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.2 Résonance d’une colonne de fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Propagation acoustique guidée en présence d’un gradient de température . . . . . . . . 47

3.3 Réfrigérateurs thermoacoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.1 Etude simplifiée d’un réfrigérateur thermoacoustique à ondes stationnaires . . . 49

3.3.2 Etude simplifiée d’une machine de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Estimation du seuil de déclenchement de l’instabilité thermoacoustique dans un moteur

à ondes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.5 Analogies électroacoustiques et thermoacoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5.1 Représentation électrique équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5.2 Application : étude d’un tube de Sondhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

A Paramètres thermophysique ... 61

Introduction

La thermoacoustique est une thématique de recherche qui vise à exploiter l’interaction entre un

fluide siège d’oscillations (en termes de pression et de déplacement) et une paroi afin de générer du

travail (acoustique) ou bien de générer un flux de chaleur. Cette discipline est pratiquée par 100 à

500 personnes dans le monde, et pourrait donc être considérée comme une thématique de recherche

anecdotique au regard d’un grand nombre d’autres thématiques. Cependant, ce thème de recherche a

ceci d’intéressant qu’il est à la frontière entre diverses disciplines de recherche telles que l’acoustique,

la thermique ou encore la mécanique des fluides, et peut trouver des applications dans les domaines de

l’énergétique, de la cryogénie ou de la réfrigération domestique.

Aussi, l’objectif de ce cours n’est pas de dresser une synthèse exhaustive de tous les champs de la

thermoacoustique, mais simplement de décrire les machines thermoacoustiques avec le point de vue

de l’acousticien. Les éléments qui doivent être acquis dans ce cours n’ont donc pas vocation à n’être

appliqués qu’aux machines thermoacoustiques, mais plus généralement à l’acoustique linéaire et non

linéaire dans les fluide visqueux et conducteurs de la chaleur, et dans des guides d’ondes présentant

éventuellement des inhomogénéités de température.

Ce support de cours comporte quatre chapitres. Le premier chapitre est consacré à la description

conceptuelle (par une approche lagrangienne) des processus de réfrigération et d’amplification ther-

moacoustiques. Quelques exemples de machines thermoacoustiques sont également présentés, et les

applications potentielles de ce type de machine sont également répertoriées. Le second chapitre, qui

constitue l’essentiel des connaissances à acquérir dans ce cours, présente la théorie classique de la ther-

moacoustique linéaire. Le troisième chapitre vient à l’appui du second chapitre, et vise à illustrer et

appliquer la théorie de la thermoacoustique linéaire sur des exemples choisis, relevant directement ou

non de la thermoacoustique. Enfin, le dernier chapitre constitue une ouverture sur l’étude des effets

non linéaires mis en jeu dans les machines thermoacoustiques (tels que le vent acoustique, la propa-

gation non linéaire, ou encore les pertes de charges singulières) et qui font encore à ce jour l’objet de

nombreuses études pour optimiser leur fonctionnement.

Ce support de cours, qui s’inspire essentiellement des références [3, 20, 17, 27, 28] comporte

vraisemblablement des insuffisances, voire des erreurs. L’auteur serait reconnaissant à tout lecteur

de l’informer de celles qu’il pourrait relever.

1

Chapitre 1

Effet Thermoacoustique et Machines

Thermoacoustiques.

Les machines thermoacoustiques sont de façon plus générale des machines thermiques cycliques

qui ont vocation à échanger de l’énergie avec des sources extérieures sous forme de travail et de

chaleur. Comme la plupart des machines thermiques cycliques, les machines thermoacoustiques peuvent

fonctionner suivant deux modes, à savoir le mode réfrigérateur (ou plus généralement le mode pompe

à chaleur) et le mode moteur (Fig. 1.1).

Le réfrigérateur assure le transfert de chaleur d’une source froide vers une source chaude, ce qui

nécessite un apport d’énergie sous forme de travail (cf. Fig. 1.1, « Heat pump »). A l’inverse, dans

le cas du moteur, la chaleur QH reçue par la machine depuis la source chaude est, hors pertes, pour

une part convertie en travail W et, pour l’autre part restituée à la source froide (cf. Fig. 1.1, « Prime

mover »).

Fig. 1.1 – Représentation schématique des cycles moteur (prime-mover) et pompe à chaleur (heat

pump) d’une machine (engine) thermique cyclique

3

4 1 Effet Thermoacoustique et Machines Thermoacoustiques.

Dans les machines thermoacoustiques, le travail intervenant dans le cycle thermique est de nature

acoustique. Les mouvements particulaires liés à une onde acoustique, l’état de compression-détente

d’une particule (et donc son état instantané de température) en contact thermique avec une paroi

peuvent être associés à un flux hydrodynamique de chaleur transitant depuis une source de chaleur

vers l’autre.

1.1 Courte histoire de la thermoacoustique

Les générateurs d’ondes (ou moteurs) thermoacoustiques sont des résonateurs acoustiques dans

lesquels l’interaction des oscillations acoustiques et thermiques au voisinage de parois solides soumises

à un fort gradient de température engendre une conversion d’énergie thermique en énergie acoustique.

Ce processus d’amplification thermoacoustique suscita l’intérêt de la communauté scientifique dès la

fin du 18e siècle lorsque Byron Higgins réussit à créer des oscillations acoustiques dans un tube grâce

à une flamme judicieusement placée sur la paroi d’un résonateur [15]. D’autres réalisations de ce type

de machine virent le jour à la fin du 19e siècle avec le tube de Sondhaus [26] représenté sur la figure

1.2(a) ou le tube de Rijke [23]. La théorie de l’interaction thermoacoustique (entre champs acoustique

et thermique) a été décrite de façon générale en 1868 par Kirschhoff, qui introduisit la conduction de

la chaleur dans la théorie de la propagation du son. C’est sur la base de ces travaux qu’une première

interprétation qualitative du tube de Sondhaus a été donnée par Lord Rayleigh en 1896 [21], qui

souligne en particulier que les oscillations de température subies au cours d’un cycle acoustique par

une particule de fluide (située au voisinage d’une paroi du résonateur soumise à un fort gradient de

température) doivent nécessairement être en retard de phase relativement au déplacement particulaire

acoustique pour que le processus d’amplification thermoacoustique se produise.

L’histoire du processus de réfrigération thermoacoustique, qui consiste à utiliser l’énergie sonore

pour pomper de la chaleur, est bien plus récente que celle du processus moteur. On peut éventuellement

considérer que la première machine de réfrigération thermoacoustique est le prototype de Tube à Gaz

Pulsé (cf. Fig 1.2(b)) développé par Gifford et Longsworth en 1966 [14] permettant d’accéder à de très

basses températures (en deçà de 170 K) en imposant de fortes oscillations de pression en très basses

fréquences (≈ 1 Hz) à la colonne de gaz dans le tube. Un peu plus tard (1975), Merkli et Thomann

[18] reportèrent l’observation d’un faible pompage de chaleur d’origine acoustique au niveau du ventre

de vitesse acoustique dans un résonateur cylindrique, et ces auteurs fournirent une théorie précise de

l’effet mis en jeu.

Dans les années 1960, une étape importante fut franchie lorsque Carter et coll. [5] mirent au point

un tube de Sondhaus « optimisé »par l’ajout d’un empilement de plaques (stack) dans le résonateur,

permettant ainsi d’accroître significativement l’efficacité de la machine, et donnant par suite naissance

aux machines thermoacoustiques « modernes », i.e. dont les éléments de base sont un guide d’onde,

un stack, ainsi que des échangeurs de chaleur. La figure 1.3 donne une représentation simplifiée de ces

machines.

Sur la base des découvertes de Carter, des travaux ont été engagés depuis et plusieurs prototypes

1.1 Courte histoire de la thermoacoustique 5

Fig. 1.2 – Les premières machines thermoacoustiques. (a) Le tube de Sondhaus. (b) Le tube à gaz

pulsé. D’après [27]

Fig. 1.3 – Machines thermoacoustiques. Schémas de principe.

de moteurs thermoacoustiques ont été réalisés en laboratoire. Parallèlement, Rott (de 1970 à 1990)

[24] établit les bases théoriques de la discipline et propose une modélisation analytique de l’instabilité

engendrée par l’interaction thermoacoustique dans les tubes de Taconis et de Sondhaus. Les travaux

expérimentaux de Yazaki et coll. [33, 34] en 1980 confirment qualitativement la validité de la théorie de

Rott. Depuis le début des années 80, époque à laquelle l’équipe de John Wheatley et Greg Swift (voir

par exemple [27]) au Los Alamos National Laboratory s’investit dans le domaine, les recherches en

thermoacoustique s’intensifient. Car si le processus « moteur thermoacoustique »(conversion d’énergie

thermique en énergie acoustique) peut être considéré au premier abord comme une curiosité scientifique,


son utilisation en tant que source de travail mécanique (acoustique) pour transférer un flux de chaleur

d’une source froide vers une source chaude (par effet thermoacoustique [18]) n’en constitue pas moins

un enjeu réel justifiant à lui seul l’apparition de cette nouvelle discipline qu’est la thermoacoustique.

En effet, les applications potentielles de ce nouveau type de machines réfrigérantes alliant simplicité

(donc faible coût de production), robustesse (pas de pièces mobiles autres que le fluide oscillant) et

rendement raisonnable sont multiples (voir par exemple [10]). Reste à ce jour qu’un important effort

doit encore être effectué en vue d’optimiser ces machines, effort qui doit notamment porter sur la

compréhension des processus non linéaires mis en jeu à fort niveau dans ces machines.

1.2 Effet thermoacoustique

Le processus d’interaction entre fluide et paroi solide donnant lieu à la conversion d’énergie

thermique en énergie acoustique (ou vice-versa) met en jeu des processus complexes et nécessite

une modélisation précise [24], qui est présentée au chapitre 2. Une approche conceptuelle simplifiée

à l’extrême, qui permet d’appréhender les mécanismes mis en jeu dans ces machines, est proposée

ci-dessous.

1.2.1 Processus moteur

Comme mentionné précédemment la première explication convaincante de l’effet d’amplification

thermoacoustique fut donnée au 19e siècle par Lord Rayleigh [21] :

In almost all cases where heat is communicated to a body expansion ensues, and this

expansion may be made to do mechanical work. If the phases of the forces thus operative

be favorable, a vibration may be maintained . . .. For the sake of simplicity, a tube, hot at

the closed end and getting gradually cooler towards the open end, may be considered. At

a quarter of period before the phase of greatest condensation . . .the air is moving inwards,

i.e. towards the closed end, and therefore is passing from colder to hotter parts of the

tube ; . . .but in fact the adjustment of temperature takes time, and thus the temperature

of the air deviates from that of the neighboring parts of the tube, inclining towards the

temperature of that part of the tube from which the air has just come. From this it follows

that at the phase of greatest condensation heat is received by the air, and at the phase of

greatest rarefaction heat is given up from it, and thus there is a tendency to maintain the

vibrations.

L’explication qualitative proposée par Lord Rayleigh est correcte, et cette explication met notamment

l’accent sur l’importance, et la nécessité du déphasage entre oscillations de température et déplacement.

Nous allons reprendre et préciser ce point ci-après.

Considérons un moteur thermoacoustique dans sa version la plus simple (dite à ondes stationnaires),

représentée sur la Fig. 1.4. Considérons une particule de fluide située au voisinage d’une paroi solide

du stack, le long duquel est imposé un fort gradient de température ∇T (Fig. 1.5 (a)). La température

1.2 Effet thermoacoustique 7

de cette particule, au repos sous une pression statique donnée P0, est imposée par la présence de

la paroi (dont « l’inertie thermique »est supposée très grande devant celle du fluide du fait d’une

capacité calorifique volumique et d’une conduction thermique bien supérieures). Supposons à présent

que l’état de cette particule fluctue sous l’effet d’un champ acoustique stationnaire sinusoïdal. Elle

prend dès lors un mouvement oscillant sinusoïdal, auquel sont associées des oscillations infinitésimales

de pression acoustique p(t) (p << P0), en phase avec le déplacement particulaire acoustique ξ(t), ou

en quadrature de phase avec la vitesse acoustique (propriété des ondes stationnaires dans un tube).

Aux oscillations de pression acoustique sont associées des oscillations de température supposées, en

première approximation, en phase avec les oscillations de pression acoustique (Fig. 1.6 (a), trait plein),

hypothèse valide si le mouvement de la particule est (quasi) adiabatique.

Fig. 1.4 – Représentation schématique d’un moteur thermoacoustique à ondes stationnaires

A titre d’exemple (ordres de grandeur), pour une particule d’air soumise en champ libre à une

onde acoustique sinusoïdale à la fréquence de 1 kHz, et dont l’amplitude atteint le seuil de douleur

de l’oreille humaine (pmax ≈ 20Pa), l’amplitude des oscillations acoustiques de température atteint

τmax ≈ 10−2 K, pour un déplacement particulaire ξmax de l’ordre de 10−5 m.

Pour la clarté de l’exposé, et parce que le propos est ici limité à la compréhension physique des

phénomènes fondamentaux mis en jeu, supposons tout d’abord que le mouvement présente non pas un

profil temporel sinusoïdal mais un profil « articulé »voisin (cf. Fig. 1.6 (a), trait tireté). Le cycle suivi

par la particule se déroule alors suivant quatre phases distinctes : compression adiabatique, expansion

isobare, détente adiabatique, contraction isobare. Les phases de compression-détente sont supposées

adiabatiques1, tandis qu’aux phases d’expansion et contraction sont associés des transferts de chaleur

entre fluide et paroi. Le cycle suivi par la particule présente alors l’allure indiquée sur la Fig. 1.5 (b)-

(e), lorsque le gradient de température ∇T appliqué à la paroi est tel que ξmax∇T > τmax. Ainsi, la

particule reçoit une quantité de chaleur Q durant sa phase de compression et restitue une quantité de

chaleur Q′ durant sa phase de détente. Ce même cycle à quatre phases peut être représenté de façon

1il faut comprendre globalement adiabatique car la quantité de chaleur échangée avec la paroi durant ces deux phases

est globalement nulle (voir par exemple Fig. 1.8)


schématique suivant un diagramme de Clapeyron (Fig. 1.6(b)). Il apparaît alors clairement qu’au cours

du mouvement de la particule, une quantité de chaleur Q−Q′ a été convertie en énergie ordonnée (i.e.

en énergie acoustique), représenté par la zone hachurée de la Fig. 1.6 (b).

Fig. 1.5 – Cycle moteur suivi par une particule de fluide sous l’effet d’une onde acoustique stationnaire

au voisinage d’une paroi soumise à un gradient de température ∇T . (a) particule initialement au repos.

(b) compression adiabatique. (c) expansion isobare. (d) détente adiabatique. (e) contraction isobare.

Fig. 1.6 – (a) évolutions temporelles sinusoïdale (trait plein) et « articulée »(trait tiretée) des variables

de pression, température et déplacement acoustiques p, τ, ξ pour une onde acoustique stationnaire.

Les points O,A,B,C,D correspondent respectivement aux état (a),(b),(c),(d) et (e) de la Fig. 2. (b)

Diagramme de Clapeyron au cours d’un cycle acoustique « articulé ». (c) Diagramme de Clapeyron

« réel ».

1.2 Effet thermoacoustique 9

Evidemment, le mécanisme d’échange de chaleur entre fluide et paroi est plus complexe que

ne le laissent entendre les propos tranchés précédents. En réalité, pour comprendre en profondeur

le processus réel d’amplification thermoacoustique, une attention particulière doit être portée sur

les relations de phase entre oscillations de pression, de déplacement particulaire et de température

acoustiques. Comme indiqué précédemment, les variations de température d’une particule de fluide

sont liées aux phénomènes de compressions-détentes et aux échanges de chaleur avec la paroi qui

dépendent de sa température locale. La distance entre particule fluide et paroi est dès lors un paramètre

important concernant la nature du processus d’échange de chaleur : « loin »de la paroi, le processus est

adiabatique et la température acoustique oscille dans le temps en phase avec la pression acoustique ;

« à proximité »immédiate de la paroi, le processus est isotherme et la température acoustique est

imposée à chaque instant par la température locale de la paroi ; mais pour une particule de fluide

située à une distance de l’ordre d’une épaisseur de couche limite thermique δκ2 de la paroi, le contact

thermique entre particule et paroi est « suffisamment bon »pour qu’un échange de chaleur ait lieu, mais

« suffisamment mauvais »pour que cet échange de chaleur se traduise par un changement consécutif de

la température du fluide, non pas instantanément mais avec un retard, en raison du déphasage entre

le mouvement acoustique et le transfert de chaleur qui n’obéissent pas au même constantes de temps.

C’est bel et bien ce déphasage qui est responsable de la conversion d’énergie, et le cycle suivi par la

particule est alors analogue au schéma de la Fig. 3(c). En résumé, seules les particules de fluide situées à

une distance de l’ordre d’une épaisseur de couche limite thermique contribuent à la conversion d’énergie

thermoacoustique. On comprend dès lors aisément pourquoi l’emploi d’un stack dont les pores (i.e. la

distance inter-parois) sont correctement dimensionnés relativement à la distance δκ permet d’optimiser

le processus de conversion thermoacoustique en maximisant la proportion de fluide « efficace ».

1.2.2 Processus réfrigérateur

Dès lors que les propos ci-avant ont été bien assimilés, il est alors très aisé de comprendre le

processus de réfrigération thermoacoustique (Fig. 1.7). En effet, il apparaît directement au regard du

cycle schématique de la Fig. 1.5, que si le gradient de température appliqué le long de la paroi est

tel que ξmax∇T < τmax, le sens des transferts de chaleur s’en trouvera alors inversé, tout comme le

sens des cycles des Fig. 1.6 (b) et (c). Au cours d’un cycle, du travail acoustique est alors consommé

pour transférer de proche en proche un flux de chaleur thermoacoustique d’une extrémité du stack à

l’autre (de gauche à droite sur la Fig. 1.5, de droite à gauche sur la Fig. 1.7), de sorte qu’un gradient

de température s’établit et se maintient le long du stack.

Là encore, il convient de garder en mémoire que les mouvement particulaires et les flux de chaleur

qui prennent lieu au voisinage des parois du stack sont plus complexes que ne le laisse entendre

l’explication ci-avant. En particulier, la viscosité du fluide impose qu’au voisinage de la paroi l’amplitude

du mouvement particulaire soit diminuée du fait du cisaillement imposé par la présence de la paroi, ce

2l’épaisseur de couche limite thermique acoustique dépend de la pulsation acoustique ω et de la diffusivité thermique

κ du fluide : δκ =p

2κ/ω. Cette quantité représente la distance sur laquelle la chaleur est diffusée durant une période

acoustique


Fig. 1.7 – Mouvement particulaire et transfert

de chaleur dans un réfrigérateur thermoacous-

tique demi-onde

Fig. 1.8 – Représentation schématique du mou-

vement d’un particule de fluide visqueux et des

transferts de chaleurs au voisinage d’une paroi

solide

qui joue bien sûr un rôle important dans les échanges thermiques entre fluide et paroi (cf. Fig. 1.8).

1.3 Machines thermoacoustiques, quelques exemples

Ce paragraphe a pour objet, non pas de dresser une liste exhaustive des différentes machines

thermoacoustiques mise au point à ce jour, mais de donner quelques exemples judicieusement choisis

de machines réalisées ces dernières années. Aussi, il est nécessaire en premier lieu de rappeler quelques

définitions qui seront utiles pour caractériser les performances des dites machines (paragraphe 1.3.1).

1.3.1 Efficacité, rendement, puissance.

Il y a différents critères qui peuvent permettre de définir les performances d’une machine. Outre la

puissance mécanique délivrée par (pour un moteur) ou la chaleur pompée par (pour un réfrigérateur)

la machine, un critère important est le « coût »énergétique de la conversion opérée par la machine.

Pour un fonctionnement en moteur, ce critère est défini par le rendement η, rapport de la puissance

mécanique en sortie W sur la puissance thermique QH délivrée par la source chaude (l’indice H est

utilisé pour « Hot »). Pour un fonctionnement en réfrigérateur, ce critère est défini par l’efficacité COP

(Coefficient Of Performance), rapport de la puissance QC pompée à la source froide sur la puissance

mécanique W absorbée par la machine (voir Fig. 1.1).

Les première et seconde lois de la thermodynamique permettent de définir la limite haute de

l’efficacité/rendement de ces machines, connaissant les températures chaude et froide TH et TC des 2

sources de chaleur. D’après la première loi de la thermodynamique, l’énergie est conservée , de sorte

1.3 Machines thermoacoustiques, quelques exemples 11

que3 :

QH + QC + W = 0. (1.1)

La seconde loi de la thermodynamique impose quant à elle que l’entropie reçue par le système soit

négative ou nulle, ce qui implique :

QC

TC+

QH

TH≤ 0. (1.2)

Par suite, la limite haute du rendement η = W/QH du moteur peut être obtenue en combinant les

équations précédentes pour éliminer QC :

η ≤ TH − TC

TH. (1.3)

Le rapport de température du membre de droite de l’équation est appelé rendement de Carnot (noté

ηC) et il représente le rendement maximal que le moteur peut atteindre.Un raisonnement analogue

pour le cas d’un réfrigérateur permet de définir l’efficacité de Carnot

COPC =TC

TH − TC(1.4)

qui représente la limite haute d’efficacité de la machine réfrigérante.

Ainsi, pour connaître les performances d’une machine (thermoacoustique ou non), il faut non

seulement connaître la puissance (thermique ou mécanique) délivrée par la machine, mais également

son rendement/efficacité et son rendement/efficacité relativement aux limites de Carnot.

1.3.2 Exemples de machines thermoacoustiques

Dans les exemples présentés dans les paragraphes qui suivent, nous montrons qu’il est possible

de dissocier les machines thermoacoustiques en deux classes, i.e. les machines à ondes stationnaires

et les machines à ondes progressives4. L’explication par une approche Lagrangienne du processus

thermoacoustique proposé au paragraphe 1.2 vaut pour la première classe de machine. La principale

différence entre les 2 classes de machines est liée au déphasage entre déplacement et oscillation de

température, et par suite à la nature du cycle thermique suivi par la particule de fluide. De plus,

et c’est sans doute là la raison principale amenant à dissocier les machines thermoacoustiques en

deux classes, les machines à ondes progressives nécessitent non pas l’emploi d’un stack, pour lequel

le contact thermique entre fluide et stack est imparfait, mais celui d’un régénérateur, pour lequel le

contact thermique est quasiment parfait.

3Les quantités QH,C et W sont des quantités algébriques dont le signe, par convention, est positif si le flux de chaleur

ou de travail est reçu par le système, et négatif dans le cas contraire4Bien qu’il soit commode pour la clarté de l’exposé de dissocier les machines thermoacoustiques suivant qu’elles sont

de type stationnaire ou progressive, l’appartenance d’une machine thermoacoustique réelle à l’une ou l’autre des deux

classes n’est pas forcément toujours très claire


Fig. 1.9 – Photographie du Space ThermoA-

coustic Refrigerator. D’après [11]

Fig. 1.10 – Représentation schématique du

Space ThermoAcoustic Refrigerator. D’après

[11]

1.3.2.1 Machines thermoacoustiques à ondes stationnaires

Le premier exemple de machine que nous décrivons ici est le Space ThermoAcoustic Refrigerator

[11] dont une photographie et un schéma de principe sont représentés sur les figures 1.9 et 1.10. Ce

réfrigérateur, mis au point par l’équipe de Steve Garret à l’université de Penn State, a été embarqué

sur la navette Discovery (STS-42) en 1992. On peut noter ici que la géométrie du guide d’onde est bien

différente de celles jusque là rencontrées dans les exemple académiques décrits ci-avant 5. Le résonateur

de cette machine est rempli d’un mélange Hélium-Argon sous une pression statique de 10 bars. Un

haut-parleur électrodynamique génère une onde acoustique de fréquence 400 Hz dans le résonateur.

Cette machine atteint une efficacité relative (i.e. relativement à celle de Carnot) de 20 %.

Le TALSR (ThermoACoustic for Life Science Refrigerator [12]) présenté aux Fig. 1.11 et 1.12

est quant à lui relativement proche du STAR, à ceci près qu’il est constitué de deux empilements

de plaques dans un tube à chaque extrémité duquel un haut-parleur assure le transfert d’énergie

acoustique. Dans cette configuration, à une « surface dissipatrice »(surface du tube) correspond une

« surface productrice »double (deux empilements). Cette machine , capable d’extraire 200 W à une

enceinte froide à 4 C pour une efficacité relative de 0.42, a été installée dans le « Spruance Class

destroyer USS Deyo (DD 989) »en 1995 afin de refroidir des ensembles d’appareillages électroniques.

Le tableau 1.1 présente quelques ordres de grandeur de performances des 2 machines décrites

5ceci vaut pour toutes les machines thermoacoustiques optimisées.


Fig. 1.11 – Photographie du Space ThermoA-

coustic Refrigerator. D’après [12].


Space ThermoAcoustic Refrigerator. D’après

[12].

ci-avant, en comparaison avec celles d’un réfrigérateur domestique (utilisant un cycle d’évapora-

tion/compression et un fluide caloporteur de type CFC).

STAR TALSR Réfrigérateur domestique

∆T (K) ≤ 80 ≤ 50 10-30

QC (W) ≤ 5 260 450

Pelec (W) 200

Pacoust (W) 120

fluide 97 % He, 3 % Ar 89 % He, 11 % Xe Fréon

P0 (bar) 10 20

f (Hz) 400 320

COPR (%) 20 40 40

Tab. 1.1 – Ordres de grandeurs des performances des machines STAR et TALSR comparées à celle

d’un réfrigérateur domestique. La quantité de chaleur QC désigne la chaleur pompée à la source froide,

Pelec la puissance électrique fournie au tranducteur électroacoustique, Pacoust la puissance acoustique

fournie au résonateur, COPR l’efficacité de la machine relativement à la limite de Carnot, P0 la pression

statique.

Les deux machines décrites précédemment présentent un inconvénient de taille, à savoir la présence

d’un piston mobile pour exciter le champ acoustique, responsable a priori d’une perte de fiabilité en

raison de l’usure des pièces mobiles. Or, en combinant les effets moteur et pompe à chaleur, il est

possible de concevoir une machine réfrigérante sans aucune pièce mobile autre que le fluide de travail.

C’est le cas par exemple du « Beer Cooler », machine de démonstration conçue au Los Alamos National



« beer cooler ». D’après [27]

Fig. 1.14 – Température TC au niveau

de l’échangeur froid en fonction de la

« charge »froide QC , pour une puissance de

chauffage QH de 380 W au niveau de l’échan-

geur chaud du stack primaire

Laboratory dans les années 80, dont un schéma de principe en donné sur la Fig. 1.13. Deux empilements

sont logés dans le même résonateur, l’un fonctionnant en moteur, l’autre en réfrigérateur. Le résonateur

est rempli d’Hélium sous 3 bars. Lorsque l’échangeur chaud de la partie moteur atteint une température

suffisamment élevée (environ 400 C), l’échangeur froid atteint une température au dessous de 0 C,

permettant par suite de rafraîchir une cannette de bière qui serait placée dans une enceinte calorifugée

connectée à cet échangeur froid. Il convient à ce propos de préciser que la température de l’échangeur

froid, mais également la puissance calorifique pompée par cette machine dépendent de la charge qui

est en contact avec l’échangeur froid 6 (cf. Fig. 1.14).

1.3.2.2 Machines thermoacoustiques à ondes progressives

Comme mentionné précédemment, la différence entre machine thermoacoustique à ondes station-

naires et machine thermoacoustique à ondes progressives réside d’une part dans la relation de phase

entre déplacement particulaire et oscillations de température et d’autre part dans l’emploi d’un régé-

nérateur en lieu et place du stack. Le régénérateur se comporte comme une « éponge thermique »pour

le fluide, puisqu’il a pour fonction d’emmagasiner et de restituer alternativement l’énergie thermique.

6De façon plus générale, toute machine thermique cyclique doit être dimensionnée pour un besoin précis, qui nécessite

de connaître la puissance thermique à pomper et la température à laquelle cette chaleur doit être pompée, car l’efficacité

de la machine dépend en effet de son point de fonctionnement (QC ,TC)


Cet élément peut être un empilement de plaques comparable à celui utilisé dans les machines thermoa-

coustiques à ondes stationnaire, à ceci près que la distance entre 2 plaques doit être très inférieure à

l’épaisseur de couche limite thermique ; cet élément impose donc sa température au fluide avec qui il est

en contact thermique le plus parfait possible. La figure 1.15 présente le mouvement oscillatoire d’une

particule de fluide soumise à une onde progressive au voisinage d’une paroi. Dans le cas d’une onde

progressive pure, pression acoustique et déplacement particulaire oscillent en quadrature de phase.

Un cycle d’oscillation d’une particule proche de la paroi peut être schématisé de façon très simplifiée

en quatre phases distinctes : deux phases de compression (AB) et détente (CD) (avec variation de

température) durant lesquelle la particule est peu mobile, et deux phases de déplacement (BC et DA)

entre les deux positions extrêmes à température et pression constantes (durant lesquelles un tranfert

de chaleur s’opère entre fluide et paroi). Les quatres phases de ce cycle sont comparables à celles du

cycle thermique de Stirling ; cependant les particules en question ne participent a priori à aucun flux de

chaleur effectif dans la direction de propagation de l’onde. En fait, l’utilisation d’une onde progressive

dans les machines thermiques réfrigérantes implique un fonctionnement à très basses fréquences (asso-

cié à de grands déplacement particulaires) de sorte que pendant les phases (AB) et (CD), les particules

qui subissent une compression (respectivement une détente) soit en contact thermique non plus avec

le régénérateur mais avec la source chaude (respectivement froide). C’est durant ces deux dernières

phases que le transport effectif de chaleur depuis la source froide à la source chaude est assuré (par

l’intermédiaire du fluide).

Fig. 1.15 – Oscillations particulaires pour le fluide siège d’une onde acoustique progressive proche

d’une paroi. D’après [3].

La machine réfrigérante de type Stirling est généralement appliquée à la cryogénie 7. Le tube à Gaz

Pulsé mentionné au paragraphe 1.1 est en fait classé parmi ce type de cryogénérateur8, et ce dispositif

a fait l’objet de nombreuses améliorations visant notamment à obtenir le meilleur déphasage (celui

7c’est à dire pour l’obtention de très basses températures, typiquement inférieure à 100 K8On peut néanmoins se demander, à plus ou moins bon escient, si la machine de Gifford et Longsworth peut/doit être

qualifiée de thermoacoustique car elle ne nécessite pas la présence d’un résonateur acoustique


d’une onde progressive) entre débit massique et pression au niveau de l’échangeur froid.

Du fait du rendement potentiellement très bon inhérent à l’utilisation du cycle de Stirling, les

thermoacousticiens ont cherché à mettre au point des machines thermoacoustiques de ce type. C’est

ainsi qu’une idée remarquable fut proposée en 1979 par Ceperley (cf. Fig. 1.16), consistant à faire usage

d’un guide d’onde annulaire pour favoriser le développement d’une onde progressive. Le réfrigérateur à

ondes progressive est mis en fonctionnement grâce à la transformation d’énergie calorifique en énergie

acoustique par un moteur thermoacoustique à ondes progressives. L’onde progressive générée dans le

tube est telle que la longueur d’onde correspond à la longueur déroulée du résonateur.

Fig. 1.16 – Schéma de principe de la machine thermoacoustique tri-therme à ondes progressives

proposée par ceperley en 1979, d’après [6].

Les tentatives infructueuses de Ceperley pour faire fonctionner ce type de machine laissèrent

cependant cette idée dans l’oubli. Il fallut attendre plus de 20 ans avant que la première machine

thermoacoustique à ondes progressives soit mise au point par Yazaki et al. [35]. Puis, seulement

un an plus tard, Backhaus et Swift [1] présentent un prototype de machine thermoacoustique de

Stirling permettant de générer une puissance acoustique considérable, et surtout, de multiplier par 2

les rendements jusqu’alors obtenus avec des systèmes à ondes stationnaires grâce à l’utilisation d’un

régénérateur placé dans une boucle. Depuis lors, nombre de machines de ce type ont été mises au point

de par le monde, et les travaux d’optimisation et de compréhension fine de ces machines sont encore

en cours.

La figure 1.17 présente une photographie du prototype mis au point par Swift et Backhaus, et

un schéma de principe du même prototype est présenté sur la Fig. 1.18. Très schématiquement, cette

machine est constituée d’un long résonateur quart d’onde (i.e la fréquence d’auto-oscillations de l’onde

générée est telle que la longueur d’onde correspond approximativement à 4 fois la longueur du guide

droit) connecté à une boucle dans laquelle est placé le régénérateur. C’est l’existence même de cette

boucle qui permet (par « rétroaction ») d’obtenir, localement au niveau du régénérateur, une onde

à caractère progressif. Cette machine, renfermant de l’Hélium sous 30 bars, permet de générer une

puissance acoustique de plus de 700 W, pour un rendement de 30 %, soit 42% du rendement de

Carnot !

1.4 Sur les différents éléments des machines thermoacoustiques 17

Fig. 1.17 – Photographie du ThermoAcoustic Stirling Heat Engine. D’après [1].

Fig. 1.18 – Représentation schématique du ThermoAcoustic Stirling Heat Engine. D’après [1].

1.4 Sur les différents éléments des machines thermoacoustiques

1.4.1 Le fluide

Dès lors que l’on veut concevoir une machine thermoacoustique de forte puissance, il faut en premier

lieu pressuriser le fluide, afin d’augmenter la puissance acoustique générée dans le guide d’onde. En

effet, si l’on considère une cavité remplie d’air sous pression atmosphérique P0 = Patm ≈ 105Pa à la


température ambiante TC de 300 K, siège d’un champ acoustique diffus de très fort niveau, par exemple

140 dB SPL (20 dB au delà au seuil de douleur de l’oreille humaine), soit une amplitude efficace de

pression acoustique prms de 200 Pa, ou encore un « drive ratio »9 de 0.2%, l’intensité sonore qui règne

dans la cavité s’écrit

I =p2

rms

4ρmc0,

où

ρm =MmolP0

RTC,

désigne la masse volumique moyenne (non oscillante) du fluide (Mmol = 29.10−3kg et R = 8.31

désignent respectivement la masse d’une mole d’air et la constante des gaz parfaits) et où

c0 =

√

γRTC

Mmol

désigne la célérité adiabatique du son dans le fluide (γ = 1.4 =Cp

Cvest le rapport des chaleurs spécifiques

isobare et isochore). Dans les conditions décrites ci-avant, l’intensité I du champ sonore est de 24.8

W.m−2. Supposons à présent que la cavité soit pressurisée à 20 bars, et que l’amplitude du champ

acoustique soit maintenue à un drive ratio de 0.2 %. L’intensité du champ sonore est alors de 495.6

W.m−2, soit une multiplication par ≈ 20 de la puissance sonore.

Hormis la nécessité de pressuriser le gaz 10, les paramètres importants pour le choix du fluide de

travail sont son nombre de Prandtl σ et son nombre γ. Le nombre de Prandtl σ = νκ, rapport de

la viscosité cinématique du fluide sur sa diffusivité thermique joue en effet un rôle important et doit

être le plus faible possible afin de favoriser les échanges thermique entre fluide et paroi plutôt qu’un

réchauffement global dû aux pertes visqueuses. L’emploi d’un gaz monoatomique favorise la propagation

des ondes acoustiques (la compressibilité adiabatique du fluide est en effet proportionnelle à γ), mais

il est souvent préférable d’utiliser un gaz polyatomique ou un mélange de gaz monoatomique (comme

par exemple un mélange Hélium-Argon) car ce type de fluide possède un facteur γ plus important et

un facteur de transfert de chaleur double de celui d’un gaz monoatomique [13].

1.4.2 Le stack/régénérateur

Les principales caractéristiques de l’empilement (qu’il s’agisse d’un stack ou d’un régénérateur)

discutées dans la suite concernent sa position dans le résonateur, le matériau le constituant, le rayon

géométrique de ses pores.

La connaissance de la position optimale de l’empilement dans le guide d’onde n’est pas accessible

de façon triviale, car elle dépend de la géométrie du guide d’onde, de la position de la source acoustique

9le drive ratio, rapport de l’amplitude des oscillations de pression acoustique sur la pression statique, est couramment

utilisé en thermoacoustique. Il permet notamment de qualifier l’amplitude du champ acoustique indépendamment de

l’amplitude de pression statique10ou le liquide (certaines machines utilisent du sodium liquide comme fluide de travail . . .)


Fig. 1.19 – Un exemple de stack, utilisé dans

une machine à ondes stationnaires (d’après

[28]). Il s’agit d’un ruban d’acier inoxydable

d’une épaisseur de 50 µm enroulé en spirale de

sorte que la distance « interplaque »soit d’envi-

ron 250 µm.

Fig. 1.20 – Un exemple de régénérateur

(d’après [28]) utilisé dans la machine TASHE

[1], constitué d’un empilement de grilles d’acier

inoxydable.

(si source acoustique il y a . . .) et de quel optimum est recherché11. Néanmoins, il est clair que

l’empilement doit être placé entre un noeud et un ventre de pression (ou de vitesse acoustique) car le

processus thermoacoustique nécessite qu’il existe simultanément des oscillations de température (donc

de pression) et un déplacement (donc une vitesse acoustique non nulle). Seule une modélisation précise

du système considéré peut permettre de définir la position la plus favorable de l’empilement.

Le matériau constituant l’empilement doit présenter une capacité calorifique élevée et une faible

conductivité thermique (qui devra cependant rester grande devant celle du fluide, ce qui est générale-

ment le cas). Les matières plastiques peuvent être utilisées dans la confection des empilements pour des

machines fonctionnant autour de la température ambiante. Pour des températures plus élevées, l’acier

inoxydable (conductivité λ ≈ 5 à 20W.m−1.K−1) ou les matériaux céramiques (λ ≈ 1 à 5W.m−1.K−1)

sont régulièrement utilisés.

Les géométries de l’empilement sont assez diverses et nombre de configurations ont été étudiées. On

trouve par exemple des stacks en céramique à pores carrés (détourné de leur application initiale pour les

pots catalytiques), des enroulements de ruban d’acier inoxydable (cf Fig. 1.19), des mousses réticulées

de carbone vitreux, ou bien encore des empilement de plaques d’acier inoxydable. La plupart des

régénérateurs sont quant à eux généralement constitués d’un empilement de grilles d’acier inoxydable

très fines (cf. Fig. 1.20). Là encore, la question du choix d’un stack/régénérateur optimal n’est pas

triviale, et n’est pas traitée ici.

11Par exemple, la position de l’empilement permettant de générer le plus facilement l’instabilité thermoacoustique dans

un générateur d’ondes thermoacoustique n’est pas la même position que celle qui permet de maximiser le rendement de

ce moteur après déclenchement de l’onde


1.4.3 Les échangeurs

Les échangeurs de chaleur assurent le transport de chaleur aux extrémités de l’empilement. La

majorité des échangeurs ont été réalisés par analogie avec les « radiateurs »courants : aux extrémités

de chaque plaque de l’empilement se trouve un empilement de lamelles de métal conducteur (cuivre ou

aluminium par exemple) ; le lien entre les lamelles de l’échangeur et les sources de chaleur (à l’extérieur

du guide d’onde) est réalisé grâce à un contact métallique ou grâce à un circuit d’écoulement de liquide

(cf. Fig 1.21).

Fig. 1.21 – Exemple d’un échangeur de chaleur froid, constitué d’un empilement de lamelles de cuivre,

traversé de 6 tubes dans lesquels circule de l’eau à température ambiante (d’après [28]).

Ces éléments sont pour l’heure source d’une baisse d’efficacité importante des machines, car

malgré l’attention récente de la communauté des thermoacousticiens, les règles claires concernant les

caractéristiques optimales des échangeurs sont encore mal connues tant sur la distance optimale entre

empilement et échangeurs, que sur la longueur des échangeurs et leur géométrie. L’une des raisons

essentielles de cette méconnaissance des échangeurs vient du fait que, dans le secteur de la thermique,

la recherche et le développement ont porté principalement sur le transfert de chaleur en écoulement

stationnaire et non pour un fluide soumis à un champ acoustique.

1.4.4 Le guide d’onde

Le choix de la géométrie du guide d’onde est bien entendu d’une importance cruciale, car il

détermine le mode de fonctionnement de la machine. Le guide d’onde doit être réalisé de sorte

que le facteur de qualité de la résonance soit le plus élevé possible, et doit également satisfaire des

contraintes de réalisation technologique liées à la forte pressurisation du fluide de travail et à la présence

d’inhomogénéités de températures. Là encore, la discussion sur le choix idéal de la géométrie du guide

d’onde n’est pas triviale, mais quelques concepts de base peuvent ici être discutés.

Concernant les dispositifs à ondes stationnaires tels que ceux discutés au paragraphe 1.3.2.1, le

résonateur doit être dimensionné de sorte que le facteur de qualité de la résonance acoustique soit

le plus élevé possible. A titre d’exemple, la figure 1.22 présente diverses géométries envisageables de


Fig. 1.22 – Diverses géométrie de résonateurs

à ondes stationnaire (d’après [27])

Fig. 1.23 – Exemple d’un machine thermoa-

coustique fonctionnant suivant un mode radial.

résonateurs à ondes stationnaires. Il s’avère que les géométrie (b) ou (c) sont bien préférables12 à la

géométrie classique de la Fig1.22(a), et ce pour plusieurs raisons :

– Pour une même fréquence de fonctionnement, les géométries (b) et (c) sont plus compactes que

la géométrie (a). En d’autres termes, un résonateur de Helmholtz résonant à 100 Hz est plus

court qu’un résonateur quart d’onde résonant à la même fréquence.

– Le facteur de qualité associé à la résonance acoustique est plus élevé pour les guides d’onde (b)

et (c) que pour le guide d’onde (a). En effet, le facteur de qualité d’un guide d’onde, rapport de

l’énergie acoustique emmagasinée dans le guide sur l’énergie dissipée par effets viscothermiques

à proximité des parois, est proportionnel au rapport (volume/surface) du guide d’onde, et une

cavité sphérique présente un meilleur rapport (volume/surface) qu’une cavité cylindrique.

– A la différence de la configuration (a), les résonateurs (b) et (c) sont inharmoniques (i.e. les

fréquences des harmoniques supérieurs ne sont pas des multiples entiers de la fréquence du

fondamental). Cette propriété est importante ici car les niveaux acoustiques atteints dans les

machines thermoacoustiques sont très élevés, de sorte que des harmoniques supérieurs de pression

sont générés par effet de propagation acoustique non linéaire, et dans le cas de la configurations

(a), ces harmoniques sont « renforcés »car ils concordent avec les résonances supérieures du guide

d’onde.

Outre un facteur de qualité élevé, le résonateur doit par ailleurs être conçu de manière à favoriser une

distribution du champ acoustique optimale (pour l’effet thermoacoustique) à l’endroit de l’empilement.

12Notons à ce sujet que les machines « beer cooler », TALSR et STAR sont conçues suivant une géométrie analogue à

la Fig. 1.22(c).


D’autres géométries de résonateur à ondes stationnaires sont également envisageables, comme par

exemple la machine à mode radial dont un schéma de principe est donné sur la Fig. 1.23 : les

dimensions du résonateur cylindrique sont ici choisies de manière à favoriser la résonance du premier

mode acoustique radial, ce qui présente notamment l’avantage d’augmenter la surface de l’empilement,

qui prend dans ce cas la forme d’un empilement de plaques annulaires.

Concernant les machines thermoacoustiques de Stirling 13, plusieurs géométries de guide d’onde

sont également envisageables : nous avons déjà vu au paragraphe 1.3.2.2 qu’une possibilité peut

consister en l’emploi d’une boucle de guide d’onde favorisant le développement d’une onde à caractère

progressif dans l’ensemble du guide d’onde (Fig. 1.16) ou localement dans l’empilement (Fig. 1.18). Il est

également envisageable de concevoir une machine thermoacoustique coaxiale, comme le réfrigérateur

conçu récemment par Tijani et coll. [30], dont un schéma de principe est donné sur la Fig. 1.24.

Le principe consiste à placer le régénérateur de sorte qu’il n’occupe pas la totalité de la section du

guide d’onde : l’espace annulaire restant constitue une masse acoustique en parallèle (d’un point de vue

électroacoustique) avec le régénérateur, tandis que le volume fluide en aval (i.e. à droite du régénérateur

sur la Fig.1.24) constitue une compliance acoustique . Il est dès lors possible, par un ajustement

judicieux des dimensions de chaque élément, d’obtenir localement au niveau du régénérateur une onde

à caractère progressif.

Fig. 1.24 – Réfrigérateur thermoacoustique co-axial (d’après [30]).

D’autres géométries de guide d’onde ont également été étudiées concernant les tubes à gaz pulsé,

géométries qui sont reportées sur la Fig. 1.25. Notons que ce qui sera discuté ci-après sort un peu (pour

certains) du cadre de la thermoacoustique : il est discutable ici de considérer que les tubes à gaz pulsé

sont des machines thermoacoustiques car il n’y a pas dans ces systèmes de résonance acoustique. Reste

que ces cryogénérateurs peuvent être vus (par d’autres) comme des machines thermoacoustiques de

Stirling, car ils sont le siège de l’interaction entre un fluide oscillant et un régénérateur. La configuration

(a) de la Fig.1.25 est celle d’une machine de Stirling, à comparer avec le tube à gaz pulsé « classique »(i.e.

la machine de Gifford et Longsworth déjà mentionné ci-avant et illustré à la Fig. 1.2) que l’on peut

13Une distinction est faîte ici (par l’auteur) entre machines thermoacoustiques de Stirling et machines thermoacous-

tiques à ondes progressives, distinction qui porte sur le fait qu’une machine thermoacoustique de Stirling nécessite

l’emploi d’un régénérateur (assurant une condition d’échange isotherme entre fluide oscillant et parois solides), tandis

que dans une machine à ondes progressives le résonateur est dimensionné de sorte que l’onde soit à caractère progressif

(indépendamment du type d’empilement).


voir comme une machine de Stirling dépourvue d’un piston ; les configurations (b)-(d) de la Fig. 1.25

correspondent à des améliorations du tube à gaz pulsé. Ces améliorations portent toutes sur l’ajout

d’éléments (compliance, masse et/ou résistance acoustique) en bout de tube, dont le rôle consiste

essentiellement à assurer que l’impédance de charge en sortie du régénérateur soit réglée de sorte que

la phase entre pression et débit oscillants soit proche de zéro (i.e. la phase d’une onde progressive).

Fig. 1.25 – (a) Machine de Stirling, (b) Orifice Pulse Tube Refrigerator (OPTR), (c) Inlet Pulse Tube

Refrigerator (IPTR), (d) Double Inlet Pulse tube Refrigerator (DIPTR)

1.4.5 La source acoustique (le cas échéant)

Pour un fonctionnement en pompe à chaleur, la machine thermoacoustique est nécessairement

munie d’un actionneur électroacoustique14. Lorsque la machine en question est une maquette d’étude,

un haut-parleur électrodynamique est généralement employé pour assurer cette fonction. En revanche,

lorsqu’il s’agit d’une machine thermoacoustique de forte puissance, le haut-parleur est remplacé

par un moteur linéaire. La Fig. 1.26 présente une photographie d’un moteur linaire tel que ceux

couramment utilisés en thermoacoustique. Les moteurs/alternateurs linéaires sont dans leur principe

de fonctionnement assez proche des haut-parleurs électrodynamiques mais la principale différence

réside dans le fait qu’un moteur/alternateur linéaire est dimensionné pour opérer dans une gamme

14ou bien d’un générateur d’ondes thermoacoustique, comme dans le cas du « Beer Cooler »


de fréquence très restreinte, à savoir autour de sa résonance, alors même que les haut-parleurs

électrodynamiques ont pour fonction d’opérer uniformément dans une large gamme de fréquences. Les

moteurs/alternateurs développés sont des transducteurs électrodynamiques (de type bobine mobile ou

aimant mobile) et présentent tous principalement 2 caractéristiques importantes, à savoir l’utilisation

d’une suspension basée sur la flexion de plaques/poutres (ce type de suspension est dénommée «

flexure bearing »en anglais) et d’un moteur magnétique convenablement dimensionné. La suspension

est caractérisée par une faible rigidité dans la direction axiale (i.e. la direction du mouvement du piston)

et une très forte rigidité dans les directions radiale et azimuthale, assurant ainsi un mouvement presque

parfaitement linéaire (à quelques microns près) du piston, permettant d’insérer directement ce piston

dans une enceinte cylindrique ajustée au diamètre extérieur du piston avec un espacement de seulement

quelques microns. Cette caractéristique importante permet d’assurer au piston un mouvement linéaire

sans friction (pas de contact), sans utilisation d’huile, et avec une course importante (de quelques

millimètres). Les moteurs magnétiques sont de géométrie diverses (qui diffèrent notamment suivant

que la transduction soit à aimant ou à bobine mobile) mais ont tous en commun l’utilisation d’aimants

permanents de forte puissance (de type Néodyme-Fer-Bore). Lors du dimensionnement d’une machine

thermoacoustique, le couplage du moteur linéaire au guide d’onde relève d’une grande importance, et

ce couplage doit être optimisé pour maximisé le rendement électroacoustique du moteur.

Fig. 1.26 – Photographie du moteur/alternateur linéaire STAR 1S102M/A commercialisé par la société

CFIC Inc.

1.5 Applications des machines thermoacoustiques

Les machines thermoacoustiques présentent un certain nombre de caractéristiques qui les rendent

intéressantes dans diverses applications, telles leur simplicité de mise en oeuvre, leur haute fiabilité,

leur efficacité ou leur rendement de bon niveau, leur faible coût à la production, leur neutralité en

termes de pollution environnementale, leur compacité possible, etc. En contrepartie, elles impliquent

des phénomènes physiques complexes en raison des niveaux acoustiques élevés générés à l’intérieur du

résonateur et des couplages avec les phénomènes thermiques qui prennent place. La thermoacoustique

1.5 Applications des machines thermoacoustiques 25

possède déjà une longue histoire, mais elle ne concerne les machines thermiques réelles que depuis une

vingtaine d’années seulement.

A ce jour, les quelques réalisations « industrielles »de machines thermoacoustiques restent assez

anecdotiques, mais la recherche universitaire en thermoacoustique demeure néanmoins très active de

par le monde, car les applications potentielles sont bien réelles, notamment lorsque faible coût et

fiabilité sont les critères essentiels.

A titre d’exemple en Europe, plus particulièrement à l’ECN (Energy Centre of Netherlands), des

recherches sont actuellement menées en vue de développer des systèmes thermoacoustiques permettant

de récupérer la chaleur rejetée à basse température dans l’environnement par certains process industriels

pour augmenter la température de cette réserve de chaleur afin de la rendre réutilisable dans ces mêmes

process [8].

Les propos qui suivent visent à donner un aperçu sur quelques machines thermoacoustiques réalisées,

en plus de celles déjà présentées au paragraphe 1.3.2, mais également sur les études menées en vue de

l’utilisation future de machines thermoacoustiques à des fins industrielles.

Applications en cryogénie. Machines hybrides. Une part importante des recherches en ther-

moacoustique concerne les études menées en vue d’applications dans le domaine des températures

cryogéniques. En particulier, un effort de recherche important est actuellement consacré (notamment

aux Etats-Unis et en Chine) au développement de machines thermoacoustiques dérivées du tube à

gaz pulsé. Ces machines, qui peuvent être considérées comme thermoacoustiques en ce sens que leur

fonctionnement repose sur les phénomènes d’échanges thermiques entre un fluide compressible oscillant

et un tube, ont fait l’objet ces dernières années de nombreux développements. En particulier, l’usage

d’un tube à gaz pulsé couplé à un (ou plusieurs [9]) générateurs d’ondes thermoacoustiques (donc sans

aucune partie mobile) est en cours de développement et plusieurs types de machines aux performances

intéressantes ont déjà vu le jour. A titre d’exemple, certaines de ces machines peuvent atteindre des

températures cryogéniques inférieures à 60K pour une puissance de chauffage (source pour la partie

moteur) de l’ordre de 2 kW [7]. Les applications industrielles potentielles de ces machines sont réelles

comme l’illustre un projet ambitieux entre le laboratoire de Los Alamos et le gazier Praxair [32], ac-

tuellement en cours de développement, qui consiste à mettre au point une machine thermoacoustique

d’une puissance réfrigérante de 7 kW embarquée sur les méthaniers (cf. Fig. 1.27), qui permettrait de

liquéfier le méthane (-164 C à la pression atmosphérique) en utilisant la combustion d’environ 30 %

de ce même gaz pour liquéfier les 70 % restants !

Energétique. Comme les autres types de machines thermiques, les machines thermoacoustiques

peuvent être utilisées pour produire de la puissance électrique. Quelques études et prototypes ont ainsi

été réalisés en ce sens. Par exemple, un générateur d’ondes thermoacoustique peut être utilisé pour

fournir l’énergie mécanique suffisante au mouvement de pistons, qui reliés à un alternateur, permettent

de produire un courant électrique alternatif [2], comme le prototype représenté à la Fig. 1.28. La

production d’énergie électrique peut également être envisagée par l’usage, comme fluide de travail,


Fig. 1.27 – Machine thermoacoustique tri-

therme pour la liquéfaction du méthane,

d’après [32]. Le haut du guide d’onde est équipé

du bruleur de gaz, et le moteur thermoacous-

tique (à ondes progressives) se trouve en des-

sous du bruleur de gaz. Dans le bas du guide

d’onde se trouve un tube à gaz pulsé, permet-

tant de liquéfier le gaz.


transducteur thermo-électrique développé par

Backhaus et al. [2]. Le dispositif est consti-

tué principalement d’un guide d’onde annulaire

équipé d’un régénérateur (b), d’un échangeur

froid (a), d’un échangeur chaud (c), et de 2

transducteurs électrodynamique vibrant dans

la direction perpendiculaire au plan du dessin

(g). Le rendement thermo-électrique global de

cette machine peut atteindre 18 % pour une

puissance électrique de 40 W.

1.5 Applications des machines thermoacoustiques 27

d’un métal liquide [19], ou bien par l’usage d’un liquide conducteur comme piston oscillant [16], de

telle sorte que les oscillations de liquide à travers un transducteur magnétohydrodynamique permettent

de produire de l’énergie électrique (cf. Fig. 1.29).

Fig. 1.29 – Représentation schématique d’une maquette d’étude de transducteur thermo-acousto-

électrique mise au point par Castrejon-Pitaa et al.[16]. La transduction électrique est assurée par

procédé magnétohydrodynamique : le fluide oscillant et conducteur électrique est placé dans un champ

magnétique, ce qui crée un champ électrique dans la direction perpendiculaire à l’écoulement et au

champ magnétique.

Refroidissement de composants électroniques. Les flux de chaleur qu’il est nécessaire d’extraire

de composants électroniques tels que les microprocesseurs peuvent atteindre aujourd’hui 50 W.cm−2

et ne cessent d’augmenter, les densités d’intégration sur puces silicium et les cadences d’horloge

des microprocesseurs allant toujours croissant. Les systèmes actuellement utilisés pour assurer cette

extraction de chaleur (cellules à effet Peltier, ventilateurs, caloducs, etc.) restent encore de dimensions

trop importantes en regard de celles, de plus en plus réduites, des composants à refroidir. La

miniaturisation de ces divers systèmes fait donc l’objet de nombreuses études, tant sur le plan

fondamental (les systèmes étudiés révélant des comportements non conventionnels au delà d’un certain

degré de miniaturisation) que sur le plan technologique.

C’est dans ce contexte que des recherches ont été engagées depuis le début des années 2000 sur la

miniaturisation des systèmes thermoacoustiques, notamment aux Etats Unis, en Chine et en France.

Quelques prototypes de moteurs ou réfrigérateurs thermoacoustiques de dimensions décimétriques ont

été réalisés [29, 22], et quelques brevets ont été déposés sur le sujet [4]. Ces systèmes fonctionnent pour

la plupart à des fréquences élevées, proches de l’ultrasonore, en raison des dimensions réduites des

résonateurs. Leur principale faiblesse reste pour l’heure un rendement (ou une efficacité) insuffisant(e)

en regard des applications visées. C’est l’un des buts des recherches en cours que d’améliorer les

performances de ces systèmes thermoacoustiques miniatures.

Chapitre 2

Théorie de la thermoacoustique linéaire

L’objet de ce chapitre est de présenter la théorie thermoacoustique classique. Les équation fonda-

mentales du processus thermoacoustique sont tout d’abord énoncées, puis l’équation de propagation de

la pression acoustique dans un pore soumis à un gradient de température est établie. Le cas simplifié

d’une onde stationnaire en interaction quasi-adiabatique dans un pore de géométrie rectangulaire ou

cylindrique et sans viscosité est ensuite abordé, qui permet une première quantification des quanti-

tés thermoacoustique (les flux de chaleur et de travail thermoacoustique, l’efficacité/rendement de la

machine et la notion de gradient critique sont notamment abordées). Enfin, le cas général d’un fluide

visqueux oscillant dans un pore de dimensions quelconques est abordé.

2.1 Equations fondamentales et hypothèses simplificatrices

Nous nous intéressons ici au mouvement acoustique d’un fluide dans un pore de type fente (cf. Fig.

2.1) ou bien tube (cf. Fig. 2.2) de longueur ls le long duquel un gradient de température ∇Tm non nul

est imposé. Il convient de noter que dans toute la suite du document, la convention temporelle e+iωt

est adoptée (un changement de convention en cours pourrait avoir des conséquences dramatiques sur

les résultats obtenus).

2.1.1 Variables acoustiques

Les quantités mises en jeu dans la description du mouvement acoustique sont la pression P , la vitesse

particulaire ~V , la masse volumique ρ, la température T et l’entropie S. Chacune de ces variables peut

être décomposée suivant sa composante statique (indice m) et sa composante acoustique

29

30 2 Théorie de la thermoacoustique linéaire

P (x, y, z, t) = Pm + p(x, y, z, t) + o(p), (2.1)

~V (x, y, z, t) = ~Vm + ~v(x, y, z, t) + o(~v), (2.2)

ρ(x, y, z, t) = ρm(x) + ρ′(x, y, z, t) + o(ρ′), (2.3)

T (x, y, z, t) = Tm(x) + τ(x, y, z, t) + o(τ), (2.4)

S(x, y, z, t) = Sm(x) + s(x, y, z, t) + o(s). (2.5)

La coordonnée x indique la direction de propagation de l’onde acoustique (cf. Fig. 2.1) et les

variables acoustiques ξ (ξ désignant indifféremment p, v, ρ′, τ ou s) oscillent à la pulsation ω :

ξ(x, y, z, t) = ℜ(

ξ(x, y, z)eiωt)

(2.6)

Les variations de température dans le solide (plaques de l’empilement) amènent à prendre en compte

la variable de température du solide

Ts(x, y, z, t) = Tsm(x) + τs(x, y, z, t) + o(τs), (2.7)

avec τs = ℜ(

τs(x, y, z)eiωt)

. Il convient de noter que la dépendance suivant la variable x des

composantes non oscillantes ρm, Tm, Sm et Tsm est liée à l’existence éventuelle d’un gradient de

température suivant x.

2.1.2 Les équations fondamentales

Les équations régissant le mouvement acoustique et les échanges fluide-paroi sont données ci-

dessous.

L’équation de Navier-Stokes

ρd~v

dt= −~∇P + µ∇2~v +

(

η +µ

3

)

~∇(

~∇.~v)

, (2.8)

où µ et η désignent respectivement les coefficients de viscosité de cisaillement et de volume.

L’équation de conservation de la masse

∂ρ

∂t+ ~∇. (ρ~v) = 0. (2.9)

L’équation de propagation de la chaleur dans le fluide

ρTdS

dt= λ∆T + O2(~v), (2.10)

où λ désigne la conductivité thermique du fluide1 et où O2(~v) est un terme quadratique en vitesse non

explicité ici et qui traduit la transformation d’énergie cinétique en chaleur.

1on prendra garde à ne pas confondre λ avec la longueur d’onde acoustique qui sera noté λ dans la suite

2.1 Equations fondamentales et hypothèses simplificatrices 31

L’équation d’état du fluide Le gaz considéré est un milieu bi-variant, dont l’état dépend de

2 variables thermodynamiques indépendantes (T et P par exemple), à partir desquelles les autres

variables thermodynamiques peuvent être exprimées. Ainsi, il est possible d’exprimer les différentielles

totales exactes des variables S et ρ en fonction des variables P et T :

dS =Cp

TdT − α

ρdP, (2.11)

dρ = −ραdT + ρχtdP, (2.12)

où Cp désigne la capacité calorifique massique à pression constante, α le coefficient de dilatation isobare,

et χt désigne le coefficient de compressibilité isotherme.

L’équation de propagation de la chaleur dans le solide

ρsTs∂S

∂t= λs∆Ts, (2.13)

où λs désigne la conductivité thermique du solide.

2.1.3 Les conditions à l’interface fluide-paroi

Le problème complet peut-être décrit en ajoutant aux équations fondamentales précédentes les

conditions suivantes à l’interface fluide-paroi :

– condition de non glissement du fluide sur la paroi solide (vitesse acoustique nulle dans la direction

tangentielle à la paroi),

– condition de paroi parfaitement rigide (vitesse acoustique nulle dans la direction normale à la

paroi)

– condition de continuité des températures,

– condition de continuité des flux de chaleur.

2.1.4 Hypothèses simplificatrices

Dans toute la suite du document, sauf indication contraires, on considèrera les hypothèses énoncées

ci-après. D’autres hypothèses simplificatrices seront également ajoutées lorsque nécessaire.

– l’onde acoustique est à caractère plan et se propage suivant x : p(x, y, z, t) = p(x)eiωt.

– La vitesse d’entrainement des particules est nulle : ~Vm = ~0.

– Le mouvement particulaire est laminaire (pas de turbulences).

– La longueur de l’empilement est très inférieure à la longueur d’onde acoustique λ, de sorte que

l’amplitude des oscillations acoustiques est quasi constante le long de l’empilement.

– Les effets de la conduction thermique suivant l’axe x des plaques comme du fluide sont négligés

à l’échelle de temps du mouvement acoustique.

– La capacité calorifique des plaques est grande devant celle du fluide et leur conductivité suivant

y est grande devant celle du fluide, ce qui impose τs = τ = 0 au niveau de l’interface.


Fig. 2.1 – Repère et système de coordonnées

choisis pour un stack de type empilement de

plaques. L’onde se propage suivant la coordon-

nées x. Les plaques sont de longueur ls et de lar-

geur L. Les ordonnées y = ±y0 correspondent

aux positions des plaques.

ux

ur

uθ

A

AA−A

Fig. 2.2 – Repère et système de coordonnées

choisis pour un stack de type matériau à pores

cylindriques. L’onde se propage suivant la co-

ordonnées x. Chaque pore est de longueur ls et

de rayon R.

– La température moyenne dans le fluide est égale à celle du solide et est indépendante de

la coordonnée transverse du fait de sa très faible variation à l’échelle de temps acoustique :

Tm(x) = Tsm(x).

2.2 L’équation d’onde pour la pression acoustique

2.2.1 Relation entre v et p

Les ondes acoustiques sont supposées se propager en onde plane suivant x ; ainsi la pression et la

masse volumique ne dépendent que de la coordonnée axiale x : P = Pm + p(x, t) et ρ = ρm + ρ(x, t).

Faisant usage de l’approximation de l’acoustique linéaire (|p| ≪ Pm, |ρ| ≪ ρm et ||~v|| ≪ c0), la

projection sur la coordonnée x de l’équation 2.8 s’écrit :

iωρm(x)vx(x, ~n) = −dxp + µ~∇2vx(x, ~n) +(

η +µ

3

)

∂x

(

~∇.~v(x, ~n))

, (2.14)

où ~n désigne le vecteur unitaire dans la direction transverse (~n = ~uy pour le cas considéré en Fig. 2.1,

~n = ~ur pour le cas considéré en Fig. 2.2), et où ~∇ = ~ux∂x+~n∂~n. Or, faisant usage de l’approximation des

couches limites, pour laquelle la composante transverse de la vitesse particulaire est faible en regard

de sa composante axiale (|vn| ≪ |vx|) mais ses variations sont plus importantes dans la direction

transverse que dans la direction axiale (|∂x~v| ≪ |∂n~v|), l’équation 2.14 s’écrit :

iωρm(x)vx(x, ~n) = −∂xp + µ∆nnvx(x, ~n), (2.15)

où la notation ∆nn est utilisée ici pour désigner la partie transverse du laplacien (∆nn = ∂2yy dans

le cas d’une fente et ∆nn = 1r∂r (r∂r) en géométrie cylindrique). Il est dès lors possible d’exprimer la

vitesse acoustique moyenne 〈v〉 sur la section du pore, ou bien encore le débit acoustique u dans le

pore, en fonction du gradient de pression ∂xp, et pour une géométrie de pore donnée.

2.2 L’équation d’onde pour la pression acoustique 33

2.2.1.1 Cas d’une fente

Si le pore est une fente d’épaisseur 2y0 (cf. Fig. 2.1) et de largeur L infinie ( L >> y0, absence

d’effets de bords suivant la coordonnées ~z) alors les quantités introduites ne dépendent plus de la

coordonnée z, et le vecteur normal ~n peut être assimilé au vecteur ~y. L’application des conditions aux

limites v(±y0) = 0 conduit à la solution suivante de l’équation de diffusion (2.15) :

vx(x, y) =i

ωρm(x)

∂p

∂x[1 − Fν(y)] , (2.16)

avec

Fν(y) =cosh

(

(1+i)yδν

)

cosh(

(1+i)y0

δν

) , (2.17)

où

δν =

√

2ν(x)

ω(2.18)

désigne l’épaisseur de couche limite visqueuse acoustique (ν = µ/ρm désigne la viscosité cinématique

du fluide).

L’expression du débit acoustique u(x) à travers la section S = 2Ly0, est obtenue en moyennant le

champ de vitesse sur la section du guide d’onde :

u(x) = 2Ly0 〈vx〉 , (2.19)

avec

〈vx〉 = 12y0

∫ y0

−y0vx(x, y).dy (2.20)

= iωρm

∂p∂x

[1 − fν ] , (2.21)

où la fonction fν (appelée fonction visqueuse)

fν =δν

(1 + i) y0tanh

(

(1 + i)y0

δν

)

(2.22)

caractérise le couplage visqueux entre le pore et le fluide oscillant. Finalement, en introduisant le nombre

d’onde k0 = ω/c0, une relation est obtenue entre le débit acoustique u et la pression acoustique p :

u(x) =i

k0Z(x)∂xp(x), (2.23)

où la fonction Z(x) est définie par l’expression :

Z(x) =ρm(x)c0

S (1 − fν(x))(2.24)


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y/y0

(1−

Fν)

/ (1−

f ν)

y0/δ

ν=1

y0/δ

ν =10

y0/δ

ν =100

Fig. 2.3 – Distribution de vitesse normalisée |v(y)/ 〈v〉| = |(1 − Fν(y)) / (1 − fν)| dans le cas d’une

fente de hauteur 2y0, et pour diverses valeurs du rapport y0/δν

2.2.1.2 Cas d’un pore cylindrique

Si le pore est un cylindre de rayon R (cf. Fig. 2.2) alors les quantités introduites ne dépendent pas

de la coordonnée θ, et le vecteur normal ~n peut être assimilé au vecteur ~r. L’application des conditions

aux limites vx(R) = 0 conduit à la solution suivante de l’équation de diffusion (2.15) :

vx(x, r) =i

ωρm(x)

∂p

∂x[1 − Fν(r)] , (2.25)

où la fonction Fν(r) est définie par

Fν(r) =J0

(

(1−i)rδν

)

J0

(

(1−i)Rδν

) , (2.26)

où J0 désigne la fonction de Bessel cylindrique de première espèce et d’ordre 0. Par suite la vitesse

moyenne 〈v〉 sur la section du pore s’écrit :

〈vx〉 (x) =i

ωρm(x)

∂p

∂x[1 − fν] , (2.27)

avec

fν = 〈Fν(r)〉 =2δν

(1 − i) R

J1 ((1 − i) R/δν)

J0 ((1 − i) R/δν). (2.28)

2.2.2 Relation entre τ et p

Si l’on néglige les termes d’ordre supérieur à 1 (approximation de l’acoustique linéaire), et que l’on

reporte l’expression (2.11) de la différentielle totale exacte de l’entropie dans l’équation de la chaleur

(2.10), en considérant (approximation des couches limites) que ∂xxτ ≪ ∂nnτ , il vient :

ρmCp

(

iωτ + vxdTm

dx

)

− iωp = λ∆nnτ . (2.29)

2.2 L’équation d’onde pour la pression acoustique 35

2.2.2.1 Cas d’une fente

Si le pore considéré est une fente de largeur L infinie, le report de l’expression (2.16) de la vitesse

acoustique vx dans (2.29) conduit à une équation de diffusion pour la température fluctuante τ . La

solution de cette équation satisfaisant aux conditions aux limites τ(±y0) = 0 s’écrit :

τ =p

ρmCp[1 − Fκ(y)] − 1

ρmω2

∂p

∂x

∂Tm

∂x

[

1 − σFν(y) − Fκ(y)

σ − 1

]

, (2.30)

où σ = ν/κ = µCp/λ est le nombre de Prandtl du fluide, où la fonction Fκ est définie par

Fκ(y) =cosh

(

(1+i)yδκ

)

cosh(

(1+i)y0

δκ

) , , (2.31)

et où

δκ =

√

2κ(x)

ω(2.32)

désigne l’épaisseur de couche limite thermique acoustique (κ = λ/(ρmCp) désigne la diffusivité

thermique du fluide).

Par suite, la valeur moyenne sur une section 〈τ〉 des oscillations de température acoustique s’écrit :

〈τ〉 =p

ρmCp[1 − fκ] − 1

ρmω2

∂p

∂x

∂Tm

∂x

[

1 − σfν − fκ

σ − 1

]

, (2.33)

avec

fκ =1

y0

∫ y0

0Fκ(y).dy =

δκ

(1 + i) y0tanh

(

(1 + i)y0

δκ

)

, (2.34)

2.2.2.2 Cas d’un pore cylindrique

Dans le cas d’un pore cylindrique, l’expression (2.30) reste valide (sous les mêmes hypothèses

formulées au paragraphe précédent), à ceci près que les fonctions Fν et Fκ doivent être respectivement

remplacées par (2.17) et par

Fκ(r) =J0

(

(1−i)rδκ

)

J0

(

(1−i)Rδκ

) . (2.35)

De même, l’expression de la valeur moyenne sur une section 〈τ〉 des oscillations de température

acoustique reste l’équation (2.33) où les fonctions fν et fκ sont remplacées respectivement par (2.28)

et par

fκ =2δκ

(1 − i) R

J1 ((1 − i) R/δκ)

J0 ((1 − i) R/δκ). (2.36)


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

−0.5

0

0.5

1

δκ/R

ℜ (fκ)

ℑ (fκ)

Fig. 2.4 – Evolution des parties réelle et imaginaire de la fonction fκ, lorsque le pore est un canal

cylindrique de rayon R, en fonction de δκ/R

2.2.3 Relation entre ρ′ et p

L’expression des oscillations de masse volumique ρ en fonction de p peut être obtenue à partir de

l’équation d’état (2.12) linéarisée sous l’hypothèse d’un gaz parfait2

ρ′ = −ρm

Tmτ +

γ

c20

p, (2.37)

et de l’équation (2.30), ce qui conduit à :

ρ′ =1

ω2

[

1 − σ

σ − 1Fν +

1

σ − 1Fκ

]

dxTm

Tmdxp +

1

c20

[1 + (γ − 1)Fκ] p (2.38)

2.2.4 Relation entre s et p

L’expression des oscillations d’entropie s en fonction de p peut être obtenue à partir de l’équation

d’état (2.11) linéarisée et de l’équation (2.30) :

s = − p

ρmTmFκ − Cp

ρmω2

∂p

∂x

dxTm

Tm

[

1 − σFν − Fκ

σ − 1

]

, (2.39)

2.2.5 L’équation d’onde pour la pression acoustique

Le report dans l’équation de conservation de la masse (2.9) linéarisée

∂tρ′ + ρm∂xvx + vx∂xρm = 0, (2.40)

2pour un gaz parfait, le paramètre α de l’équation (2.12) vaut 1/Tm et la compressibilité isotherme du gaz χt est liée

à la célérité c0 du son par la relation c2

0 = γ/(ρ0χt)

2.3 Flux de chaleur et de travail thermoacoustiques. 37

de l’expression (2.37) de ρ′, ainsi que le report dans l’équation de conservation de la masse linéarisée

de la dérivée suivant x de l’équation (2.15), permettent d’obtenir une relation entre les variables τ , vx

et p. Par suite, suivant la géométrie considérée (fente ou cylindre), le report de l’expression (2.30) de

τ et de l’expression (2.16) de vx dans cette équation, puis l’intégration suivant la variable n (~n = ~y

ou ~r) compte tenu que vy(±y0) = 0 (ou vr(R) = 0) et que seul le mode plan se propage (vn(0) = 0),

permettent d’aboutir à l’équation de propagation pour la variable p :

ρmd

dx

(

1 − fν

ρm

dp

dx

)

− 1

Tm

fκ − fν

1 − σ

dTm

dx

dp

dx+

(

ω

c0

)2

(1 + (γ − 1) fκ) p = 0. (2.41)

L’équation de propagation (2.41) est une équation différentielle ordinaire du second ordre à coefficients

non constants3 dont la résolution analytique n’est pas triviale4. La résolution de cette équation pour

des applications particulières et sous réserve de certaines hypothèses simplificatrices sera abordée au

chapitre suivant.

2.3 Flux de chaleur et de travail thermoacoustiques.

2.3.1 Cas d’une onde stationnaire sans viscosité en interaction quasi-adiabatique

2.3.1.1 Flux de chaleur

Afin de favoriser la compréhension des éléments essentiels qui contrôlent l’effet thermoacoustique,

nous allons tout d’abord considérer le problème

– où une onde stationnaire p(x) = pS(x) = Asin(k0x) est entretenue au voisinage d’un empilement

placé en x0

– où le fluide est supposé non visqueux,

– et où l’empilement est constitué d’un réseau de fentes séparées d’une distance 2y0 grande devant

l’épaisseur de couche limite thermique (δκ ≪ y0, hypothèse dite d’interaction quasi adiabatique).

Le flux de chaleur moyen ([q2] = W.m−2) sur une période s’écrit

q2 = ρmTms.vx = ρmTm1

2ℜ (sv∗x) , (2.42)

où la notation * représente le complexe conjugué et où l’indide 2 spécifie que ce flux de chaleur est une

quantité du second ordre. Le report de l’expression (2.11) de l’entropie massique donne

q2 =1

2ρmCpℜ (τ v∗x) − 1

2Tmαℜ (pv∗x) (2.43)

où le coefficient Tmα vaut 1 dans le cas d’un gaz parfait. Le second terme du membre de droite est nul

en raison du caractère stationnaire de l’onde (p = pS ∈ R et vx = i/(ωρm)k0Acos(k0x) = ivSx ∈ iR).

De plus, le premier terme du membre de droite se simplifie sous la forme

q2 =1

2ρmCpv

Sℑ (τ) , (2.44)

3Les coefficients ρm, c0, fν et fκ dépendent tous de la température, non constante le long du pore.4il est cependant possible d’exprimer une solution analytique implicite à l’équation (2.41) en la transformant sous la

forme d’une équation intégrale de Volterra de seconde espèce [3, 17]


où ℑ() représente la partie imaginaire de l’expression entre parenthèses. Dans le cas d’une onde

stationnaire et d’un fluide parfait, le flux de chaleur thermoacoustique est proportionnel à la partie

imaginaire de τ (qui est elle même proportionnelle, si dxTm = 0, à ℑ(1 − Fκ)). La figure 2.5 présente

la distribution spatiale de ℑ(1−Fκ(y)) en fonction du parametre y/δκ lorsque le pore est une fente de

demi-largeur y0 = 10δκ. Il apparaît clairement sur cette figure que le flux hydrodynamique de chaleur

attribuable à l’effet thermoacoustique est principalement localisé dans une couche de fluide située à

une distance de quelques couches limites thermiques de la paroi, ce qui confirme l’intérêt de l’usage

d’un empilement de plaques dont les dimensions doivent être choisies pour maximiser le flux de chaleur

thermoacoustique.

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ℑ (1−Fκ)

dist

ance

a la

par

oi y

/δκ

Fig. 2.5 – Distribution spatiale de la quantité ℑ(1−Fκ(y)) lorsque le pore est une fente de demi-largeur

y0 = 10δκ

Le flux total de chaleur à travers une fente du stack s’écrit

Q2 = L

∫ y0

−y0

q2.dy = LρmCpvS

∫ y0

0ℑ (τ(y)) .dy. (2.45)

Par ailleurs, compte-tenu que σ = 0 et de l’hypothèse de quasi adiabaticité (δκ ≪ y0), le report de

l’expression asymptotique fκ ≈ (1 − i) δκ/(2y0) dans l’équation (2.30) puis le calcul de∫

ℑ(τ(y).dy

permettent d’obtenir après quelques calculs l’expression suivante pour Q2 :

Q2 = pSvSx L

δκ

2[1 − Γ] (2.46)

avec

Γ =dxTm

dxT |crit, (2.47)

et

dxT |crit =pSω

ρmCpvSx

. (2.48)

Au regard de l’expression (2.46) de Q2, il apparaît que le flux de chaleur thermoacoustique est propor-

tionnel à la surface du pore S = 2Ly0, ainsi qu’au produit pSvSx . Le flux de chaleur thermoacoustique


est donc nul si le stack est placé sur un noeud de pression ou de vitesse5. Enfin, le flux de chaleur est

proportionnel au terme (1 − Γ). Si l’on suppose que 2 échangeurs de chaleur aux températures chaude

TH et froide TC sont installés aux extrémités du stack (de longueur ls) de sorte que TH −TC = dxTmls,

alors si dxTm > dxT |crit, le flux de chaleur Q2 est négatif, ce qui traduit que de la chaleur est trans-

portée vers la source froide (fonctionnement en moteur). Inversement, si dxTm < dxT |crit, alors Q2

est positif, et la chaleur est transportée depuis la source froide vers la source chaude. Enfin, lorsque le

champ de temperature le long de la plaque est tel que dxTm = dxT |crit, il n’y a pas de flux de chaleur

thermoacoustique, car la température de toute particule fluide oscillant à proximité de la paroi est à

chaque instant égale à celle de la paroi située en vis à vis de la particule fluide considérée.

2.3.1.2 Flux de travail

Le puissance W2 produite ou consommée par le processus thermoacoustique peut être obtenue en

considérant que le travail reçu par un volume élémentaire dx.dy.dz de fluide lorsqu’il s’expand (ou se

contracte) d’un volume dV s’écrit P.dV = −(P/ρ)dx.dy.dz.dρ, de sorte que la puissance reçue6 par

unité de volume s’écrit :

w = −P

ρ

dρ

dt, (2.49)

avec P = P0 + p et dtρ = dtρ′ = ∂tρ

′ + vx∂xρm. Par suite, la moyenne sur une période acoustique de

cette puissance volumique (après quelques calculs) s’écrit

w2 =ω

2ρmℜ

(

−ipρ′∗)

, (2.50)

où l’indice 2 spécifie que la puissance considérée est une quantité du second ordre7. Par ailleurs, le

report de l’expression (2.37) des fluctuations de masse volumique donne

w2 =1

2

ω

Tmℜ(ipτ∗) = −1

2pSℑ(τ) (2.51)

car ℜ(ipp∗) est nulle (p = pS ∈ R). Par suite la puissance acoustique totale produite ou consommée par

interaction thermoacoustique, est obtenue en intégrant w2 sur tout le volume de la fente, ce qui donne,

compte tenu de l’expression (2.30) de τ et de l’hypothèse de quasi adiabaticité (fκ ≈ (1 − i) δκ/(2y0)) :

W2 = Lls

∫ y0

−y0

w2(y).dy = Llsδκ

2

ω(

pS)2

ρmCpTm[Γ − 1] . (2.52)

Il apparaît que la puissance acoustique produite ou consommée par l’effet thermoacoustique est pro-

portionnelle au volume Llsδκ de fluide occupant la couche limite thermique au voisinage des plaques8.

5Dans ce cas très simplifié, il apparaît que la position optimale du stack est au milieu d’un noeud et d’un ventre de

pression, position pour laquelle le produit pSvSx est maximum

6Là encore, il convient de noter que cette puissance est une quantité algrébique qui est positive si un travail est

effectivement reçu par le volume de fluide, ou en d’autre termes si le processus thermoacoustique produit du travail.7La moyenne temporelle des quantités d’ordre 0 et 1 est nulle, et les termes d’ordre supérieurs à 2 sont éliminés du

fait de la linéarisation.8si δκ ≪ y0, le fluide situé au centre du pore ne participe pas activement au processus thermoacoustique


Cette puissance est une grandeur quadratique, proportionnelle au produit(

pS)2

, qui s’annule sur les

noeuds de pression. W2 est également proportionnelle au paramètre ω/ (ρmCpTm) = ω (γ − 1) /(

ρmc20

)

,

ce qui montre que le choix des propriétés thermodynamiques du fluide est important9. Enfin, le flux de

travail thermoacoustique W2 est proportionnel au facteur [Γ − 1]. Pour dxTm > dxT |crit, de la puissance

acoustique est produite, alors que pour dxTm < dxT |crit la puissance acoustique est absorbée.

Finalement, il apparaît au regard des expressions (2.46) et (2.52) des flux de chaleur et de travail

thermoacoustiques que l’empilement de plaques considéré ici joue effectivement le rôle d’une machine

thermique. Si la différence de température TH −TC entre les sources de chaleur est suffisamment faible

pour que [Γ − 1] < 0, alors Q2 < 0 et la chaleur est transportée depuis la source froide vers la source

chaude, ce qui nécessite la consommation d’énergie mécanique (donc W2 < 0)

2.3.2 Cas général

En procédant à un raisonnement analogue à celui du paragraphe 2.3.1, il est possible d’obtenir les

expressions du flux de chaleur thermoacoustique q2 par unité de surface et du flux de travail acoustique

w2 par unité de volume. Nous ne presentons pas ici les détails de calculs.

2.3.2.1 Puissance acoustique

Il peut être intéressant de décomposer la densité de puissance acoustique 〈w2〉 (où, 〈. . . 〉 désigne la

moyenne sur une section d’un pore de l’empilement) produite ou consommée par effet thermoacoustique

en 4 composantes comme suit [31] :

〈w2〉 = 〈wκ〉 + 〈wν〉 + 〈wSW 〉 + 〈wTW 〉 , (2.53)

où

〈wκ〉 =1

2

γ − 1

ρmc20

ℑ(fκ)ω |p|2 , (2.54)

〈wν〉 =1

2ωρm

ℑ(fν)

|1 − fν |2|〈v〉|2 , (2.55)

〈wSW 〉 =dxTm

Tmℑ(h)J, (2.56)

〈wTW 〉 =dxTm

Tmℜ(h)I, (2.57)

où I = 12ℜ (p〈v∗x〉) et J = 1

2ℑ (p〈v∗x〉) désignent respectivement les intensités acoustiques active et

réactive dans la direction x, et où la fonction h est définie par

h =fκ − fν

(1 − σ)(1 − fν). (2.58)

.

9le parametre (γ − 1) est appelé paramètre de travail et doit être préférentiellement maximisé.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

δκ/Rh

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ℜ (h)

ℑ (fν)

|1−fν|2

ℑ (h)ℑ (fκ)

Fig. 2.6 – Evolution en fonction de la fréquence (ou plutôt du paramètre δκ/Rh, où Rh désigne

le rayon hydraulique d’un pore du stack) des différents termes mis en jeu dans l’expression de la

densité de puissance produite par effet thermoacoustique. Les calculs sont faits ici pour le cas de pores

cylindriques

La densité de puissance 〈wν〉 est une quantité négative décrivant les pertes visqueuses en proche

paroi, tandis que la densité de puissance 〈wκ〉, elle aussi négative, traduit les pertes par diffusion

thermique10.

Les densités de puissance wSW et wTW , représentent les densités de puissances acoustiques

produites (ou consommées) par les composantes stationnaire (« Standing Wave ») et progressive

(« Traveling Wave ») de l’onde acoustique (pour une onde progressive pure, J = 0 ⇒ wSW = 0).

NB : Chacun des quatre termes de puissance convertie dans un pore cylindrique de rayon R et de

longueur ls est obtenu par intégration :

Wκ,ν,TW,SW = πR2

∫ ls

0〈wκ,ν,TW,SW 〉 (x)dx. (2.59)

et la puissance totale convertie dans l’empilement s’écrit Wtot = nC .(Wκ + Wν + WTW + WSW ) (où

nC représente le nombre de canaux constituant l’empilement).

2.3.2.2 Flux de chaleur thermoacoustique

De manière analogue, le flux de chaleur thermoacoustique 〈q2〉 moyen sur une section peut être

décomposé en trois termes comme suit :

〈q2〉 = 〈qSW 〉 + 〈qTW 〉 + 〈qD〉 (2.60)

10ces pertes par diffusion sont liées à la nature irréversible des échanges fluide/paroi : la quantité de chaleur cédée (ou

récupérée) par la particule à la paroi durant sa phase de compression est différente de la quantité de chaleur récupérée

(ou cédée) durant la phase de détente


où

〈qSW 〉 = −ℑ(g)J, (2.61)

〈qTW 〉 = ℜ(g)I, (2.62)

〈qD〉 = − ρmCp

2ω(1 − σ2)dxTmℑ(gD) |〈v〉|2 (2.63)

et où les fonctions g et gD sont respectivement définies par

g =f∗

ν − fκ

(1 + σ) (1 − f∗ν )

, (2.64)

et

gD =(σf∗

ν − fκ)

|1 − fν|2. (2.65)

Fig. 2.7 – Evolution en fonction de la fréquence (ou plutôt du paramètre δκ/Rh, où Rh désigne le

rayon hydraulique d’un pore du stack) des différents termes mis en jeu dans l’expression du flux de

chaleur thermoacoustique. Les calculs sont faits ici pour le cas de pores cylindriques

Les flux de chaleur 〈qSW 〉 et 〈qTW 〉 représentent les composantes stationnaire (« Standing Wave »)

et progressive (« Traveling Wave ») du flux de chaleur thermoacoustique. 〈qD〉 exprime quant à lui une

perte de chaleur, i.e. un flux de chaleur induit par les oscillations acoustique et opposé au gradient de

température dxTm . Ce flux, qui dépend de dxTm à l’instar des flux 〈qSW 〉 et 〈qTW 〉, traduit notamment

l’existence d’un gradient critique dxTm pour lequel 〈q2〉 = 0).

2.4 Machines thermoacoustiques de Stirling vs machines thermoacoustiques à ondesstationnaires 43

2.3.3 Equation différentielle pour le champ de température

Comme mentionné ci-avant, les diverses quantités d’intérêt en thermoacoustique peuvent être

exprimées en fonction du champ de pression p. Ce champ de pression peut être obtenu à l’aide de

l’équation d’onde (2.41). Cependant, il convient de noter que d’une part la résolution de (2.41) suppose

de connaître le champ de température Tm et que d’autre part la distribution du champ de température

est déterminée par les sources de chaleur et le champ de pression acoustique. La seule equation (2.41)

ne suffit donc pas à résoudre le problème et une équation pour le champ de température, couplée

à l’équation d’onde, est nécessaire. Cette équation peut être obtenue en dressant le bilan du flux

d’énergie totale suivant l’axe de l’empilement. Nous verrons au chapitre suivant, sur la base d’exemples

simples, comment cette équation régissant le champ de température et couplée à celle régissant le

champ acoustique, peut être obtenue.

2.4 Machines thermoacoustiques de Stirling vs machines thermoa-

coustiques à ondes stationnaires

A la lumière des résultats énoncés ci-avant, il est maintenant possible de reconsidérer la classification

des machines thermoacoustiques mentionnée au chapitre 1, suivant qu’il s’agisse de machines à ondes

stationnaires (i.e. à stack) ou bien de machines thermoacoustique de Stirling (i.e. à régénérateur)

également appelées (abusivement) à ondes progressives. Pour ce faire, nous n’allons considérer que le

cas des générateurs d’ondes, mais les propos formulés ci-après sont aisément transposables aux pompes

à chaleur thermoacoustiques.

La figure 2.8 présente l’évolution en fonction du paramètre δκ/R des parties réelle et imaginaire de la

fonction h définie ci-avant, et pour différentes géométries de stack, présentées sur la Fig. 2.9. Comme

nous l’avons vu précédemment, la puissance généré par effet thermoacoustique dans une machine à

ondes stationnaire est directement proportionnelle à ℑ(h), tandis que celle produite par une onde à

caractère progressif est directement proportionnelle à ℜ(h). Par ailleurs, il importe de noter que |ℑ(h)|et ℜ(h) sont des quantités inférieures ou égales à l’unité. Cependant, l’analyse de la Fig. 2.8 montre

clairement que quelle que soit la géométrie de stack considérée, |ℑ(h)| est toujours bien inférieure à

l’unité, même dans la zone de fréquence pour laquelle le processus thermoacoustique est optimisé, i.e.

pour δκ ∼ R. Cet état de fait est une conséquence du fait qu’une machine thermoacoustique à ondes

stationnaire est une machine intrinsèquement irréversible, dans la mesure où elle nécessite un contact

thermique imparfait entre le fluide oscillant et les parois du stack. En revanche, au regard de la Fig.

2.8, il apparaît que la fonction ℜ(h) peut atteindre l’unité, lorsque δκ ≫ R : en d’autres termes, si un

fluide est soumis à des oscillations acoustiques au sein d’un régénérateur (δκ > R) et que la relation

de phase entre oscillations de pression et de vitesse est celle d’une onde progressive (donc pression

et vitesse en phase) alors le cycle thermique associé au processus thermoacoustique est, du moins en

théorie, réversible (car ℜ(h) ≈ 1).

Ces considérations sont celles qui ont été avancées par P. Ceperley en 1979 [?], mais la première


Fig. 2.8 – Evolution en fonction de la fréquence des parties réelles et

imaginaires de la fonction h, et pour les diverses géométries représentées

sur la Fig. 2.9.

��

��

��

x

yz

CYLINDER

2Rh

��

x

yz

2Rh

2Rh

��

��

SQUARE

2ri

hR

R = 3 rh i

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

PIN−ARRAY

Fig. 2.9 – Géométries

considérées pour le cal-

cul de ℜ(h) et ℑ(h)

machine thermoacoustique de Stirling n’a vu le jour qu’en 1999 [1]. A ce jour, il semble que les machines

thermoacoustiques de Stirling (ou “ à ondes progressives”) sont effectivement les plus performantes,

mais il convient de nuancer les propos précédents en mentionnant que si l’emploi d’un régénérateur

doit permettre d’augmenter l’efficacité du processus thermoacoustique, il se traduit également par une

augmentation très significative des pertes visqueuses (voir Fig. 2.6). Le dimensionnement proposé par

Backhaus et al. (cf. Fig. 1.18) est un dimensionnement qui permet, via l’emploi d’une boucle, d’assurer

localement au sein du régénérateur que les oscillations de pression et de vitesse soient (presque) en

phase, mais il est abusif de qualifier la dite machine de machine à onde progressive, notamment parce

que l’impédance acoustique (Z = p/v) au niveau du régénérateur est de plusieurs ordres de grandeurs

plus élévée que celle d’une onde progressive (Z ≫ ρmc0). Il est d’ailleurs nécessaire d’assurer une “forte

impédance” (donc une “faible” vitesse acoustique) au niveau du régénérateur, car cela permet de limiter

l’augmentation des pertes visqueuses qui résulte directement de l’emploi d’un régénérateur.

Chapitre 3

Applications

Ce chapitre a pour objet d’appliquer la théorie linéaire de la thermoacoustique à divers problèmes,

qui seront grandement simplifiés afin de mettre en lumière les éléments fondamentaux qu’il convient

d’acquérir dans ce cours. Ce chapitre se présente sous la forme d’énoncés d’exercices. Le premier

paragraphe traite de problèmes d’acoustique dans les guides d’ondes sans stack et sans gradients de

température, mais avec prise en compte des pertes viscothermiques pariétales. Le second paragraphe

traite de problèmes d’acoustique linéaire sans pertes, mais en présence d’un champ de température

inhomogène. Une modélisation simplifiée à l’extrême d’un réfrigérateur thermoacoustique à ondes

stationnaires est proposée dans le second paragraphe. Enfin le troisième paragraphe a pour objet de

décrire les conditions de déclenchement de l’instabilité thermoacoustique dans un générateur d’ondes

thermoacoustique à ondes stationnaires.

3.1 Propagation acoustique guidée en fluide dissipatif

3.1.1 Dimensionnement d’une terminaison anéchoïque

Le problème traité ici a pour objet calculer la longueur d’un guide d’onde pour que ce dernier soit

anéchoïque (suivant un critère que l’on définira1) du fait de la dissipation acoustique prenant lieu à

proximité des parois.

R 0 x

Fig. 3.1 –

On considère pour cela un guide d’onde cylindrique à section circulaire de rayon R, supposé (pour

le moment) illimité suivant la direction x (voir Fig. 3.1). Une source acoustique S monochromatique

1En fait, pour que le guide soit parfaitement anéchoïque, sa longueur doit être infinie

45

46 3 Applications

crée un champ acoustique harmonique (sous une forme non précisée dans le cadre de l’exercice) en un

point d’abcisse x = xS < 0. On suppose par ailleurs que la pulsation acoustique ω est en deça de la

première fréquence de coupure du guide d’onde, de sorte que seul le mode plan se propage. Le domaine

d’étude considéré ici est la région des x > 0.

⋆ Exercice

a.- Montrer que l’équation de propagation de la pression acoustique (2.41) dans un guide d’onde

inhomogène en température peut s’écrire de la façon suivante :

d2xxp +

(

1 +fν − fκ

(1 − σ) (1 − fν)

)

dxTm

Tmdxp − 1

1 − fνdxfνdxp + k2

wp = 0, (3.1)

avec

k2w = k2

0

(

1 +fν + (γ − 1) fκ

1 − fν

)

(3.2)

et k0 = ω/c0. On rappelle pour cela que la masse volumique moyenne du fluide ρm est liée à

sa température Tm par l’équation d’état ρm = (MmolPm)/(RgpTm) où Mmol et Rgp désignent

respectivement la masse molaire du fluide et la constante des gaz parfaits.

b.- Supposons à présent que le champ de température est uniforme, i.e. Tm(x) = Tm, et que le tuyau

considéré présente en réalité une longueur finie L. Ce tuyau est supposé être fermé à son extrémité.

Montrer que l’amplitude complexe de la pression acoustique s’écrit comme suit

p(x) = p+e−ikwx + p−eikwx (3.3)

dans la région des x > 0 (la convention temporelle retenue ici est eiωt), c’est à dire sous forme de deux

ondes contrapropagatives.

c.- Déterminer l’expression analytique de la longueur L pour laquelle, à la position x = 0, l’amplitude

de l’onde se propageant suivant les x ց ne représent qu’ 1 % de l’onde se propageant suivant les x ր.

d.- Le fluide considéré ici est de l’air sous pression atmosphérique et à température ambiante. Les

caractéristiques thermophysiques de ce fluide sont données en annexe. Le rayon du guide d’onde R

est de 2 cm. Calculer les épaisseurs de couche limites acoustique visqueuse δν et thermique δκ à la

fréquence f=50 Hz.

g.- Compte tenu que δκ,ν << R (approximation d’interaction quasi adiabatique), les expressions des

fonctions visqueuse et thermique fκ,ν se simplifient comme suit :

fκ,ν ≈ (1 − i)δκ,ν

R. (3.4)

En déduire l’expression approchée de la longueur L (définie à la question d.-) de tube en fonction de

ω, γ, δν , σ et R et faire l’application numérique dans le cas où la fréquence de la source acoustique est

de 50 Hz.

3.2 Propagation acoustique guidée en présence d’un gradient de température 47

3.1.2 Résonance d’une colonne de fluide

On considère un guide d’onde cylindrique de longueur L et de rayon R dont une extrémité (en

x = L) est parfaitement réfléchissante (la dissipation visco-thermique sur la paroi en x = L est

négligée) et dont l’autre extrémité est munie d’un piston oscillant (Fig. 3.2). La pulsation ω est en deça

de la première pulsation de coupure du guide d’onde de sorte que l’hypothèse d’onde plane est retenue

ici.

e−jω t

��

��

��

��0 L

V0

Fig. 3.2 –

⋆ Exercice

a.- Poser le problème (équation de propagation et conditions aux frontières).

b.- Exprimer la solution pour le champ de pression acoustique p(x).

c.- Supposons que les épaisseurs de couches limites viscothermiques sont faibles en regard du

rayon du guide d’onde. Déterminer l’expression approchée du nombre d’onde complexe sous la forme

kw ≈ k0 (1 + (1 − i)α) et exprimer α en fonctions des paramètres géométriques et des propriétés

thermophysiques du fluide.

d.- Etant donné que α ≪ 1 donner la solution approchée pour le champ de pression acoustique, puis

calculer la valeur approchée de la première fréquence de résonance ainsi que l’amplitude de pression

acoustique atteinte à la première résonance.

3.2 Propagation acoustique guidée en présence d’un gradient de

température

L’objectif de l’exercice qui suit est d’analyser l’influence de la présence d’un gradient de température

sur la propagation d’ondes planes dans un résonateur. Afin de ne pas alourdir les calculs, les effets

viscothermiques (et donc thermoacoustique) sont ici négligés.

On considère donc un tube de longueur L, fermé en x = 0 et ouvert en x = L. On néglige le

rayonnement acoustique en x = L. Ce tube est soumis à un gradient de température axial, et on

suppose ici que la distribution du champ de température est linéaire :

Tm(x) = T1 + ∇Tx, (3.5)

où ∇T désigne ici le gradient de température, constant, le long du guide d’onde.

48 3 Applications

a.- Ecrire l’équation d’onde associée à ce problème, dans le domaine fréquentiel.

b.- On introduit une nouvelle variable, s, définie de la façon suivante :

s =√

aTm, (3.6)

où la constante a est définie par

a =4ω2

(∇T )2Mmol

γR. (3.7)

Montrer que l’équation d’onde s’écrit alors sous la forme suivante :

∂2ssp +

1

s∂sp + p = 0. (3.8)

c.- Montrer que le champ de pression acoustique s’écrit sous la forme

p = c1J0

(ω

b

√

Tm

)

+ c2N0

(ω

b

√

Tm

)

(3.9)

où la constante b est définie par

b =|∇T |

2

√

γR

Mmol

=ω√a, (3.10)

et que le champ de vitesse particulaire acoustique s’écrit :

vx = − ∇T

|∇T |i

ρm

√

γRTm/Mmol

[

c1J1

(ω

b

√

Tm

)

+ c2N1

(ω

b

√

Tm

)]

(3.11)

d.- En prenant en compte les conditions aux limites du problème, montrer que la relation

J0

(ω

b

√

T2

)

N1

(ω

b

√

T1

)

− J1

(ω

b

√

T1

)

N0

(ω

b

√

T2

)

= 0 (3.12)

doit être satisfaite, où T2 = Tm(x = L) = T1 + ∇TL.

T1 f1 f2 f2/f1 f3 f3/f1 f4 f4/f1

(K) (Hz) (Hz) (Hz) (Hz)

300 21.72 65.16 3 108.6 5 152.04 7

500 23.61 74.23 3.14 124.15 5.26 173.97 7.37

700 25.15 81.61 3.25 136.8 5.44 191.81 7.63

Tab. 3.1 – Valeurs des 4 premières fréquences propres d’un tube fermé/ouvert d’une longueur de 4 m,

en fonction du gradient de température ∇T = T1−T2

L, avec T2 = 300K

Conclusion : L’équation caractéristique 3.12 peut être résolue numériquement. Le tableau 3.1

présente les résultats obtenus pour un guide d’onde de longueur L=4 m, pour T2=300 K, et pour

différentes valeurs de T1. ces résultats sont présentés en termes de fréquences propres, fn, où l’indice n

représente le nieme zéro de l’équation caractéristique 3.12. Les résultats font clairement apparaître que

la présence d’un gradient de température rend le résonateur acoustique (à la base, un “quart d’onde”)

inharmonique . . .

3.3 Réfrigérateurs thermoacoustiques 49

3.3 Réfrigérateurs thermoacoustiques

3.3.1 Etude simplifiée d’un réfrigérateur thermoacoustique à ondes stationnaires

On considère un réfrigérateur thermoacoustique à ondes stationnaires constitué d’un guide d’onde

de section carrée d’arête a, fermé à son extrémité x = L, et équipé d’un haut-parleur électrodynamique

en x = 0 (Fig. 3.3). Dans ce résonateur est inséré un stack constitué d’un empilement de plaques

d’épaisseur 2es et séparées d’un intervalle 2y0 grand devant l’épaisseur des plaques (es << y0). La

longueur ls du stack est supposée très faible devant la longueur d’onde de sorte que la pression et la

vitesse acoustiques peuvent être supposées indépendantes du point le long du stack.

xS

y02

eS2��

��

��

��

��

��L0

a

Fig. 3.3 –

Le haut-parleur est supposé entretenir un champ acoustique dont la fréquence correspond à la

première résonance de la colonne de fluide. Afin que le problème considéré ici reste simple à traiter,

le couplage entre le haut-parleur et le guide d’onde est supposé tel que le haut-parleur puisse être

considéré comme une source « idéale »de pression acoustique, et que la fréquence de résonance est

exactement celle d’un guide demi-onde sans pertes (ce qui suppose notamment que le stack n’influence

pas la résonance du guide d’onde). De plus, on considère que la porosité du stack est égale à 1 (puisque

es ≪ y0), de sorte que ce dernier ne provoque pas de réflexion localisée sur ses interfaces. Compte-tenu

des hypothèse précédentes, les champs de pression et de vitesse acoustiques s’écrivent respectivement

∀x ∈ [0, L], p(x) ≈ PA cos (k0x) , (3.13)

∀x ∈ [0, L], 〈vx(x)〉 ≈ −iPA

ρ0c0sin (k0x) , (3.14)

avec k0 = ω/c0 = π/L. On considère que les équation ci-dessus sont également valides dans le stack,

dans la mesure où l’hypothèse de quasi adiabaticité (δν,κ << y0) est retenue i.e. :

fν,κ ≈ (1 − i)δν,κ

2y0, (3.15)

et donc que la partie imaginaire du nombre d’onde est faible en regard de sa partie réelle. De plus,

le stack étant supposé court (ls ≪ 2π/k0), on admettra que la pression et la vitesse acoustique sont

indépendantes de la variable axiale dans le stack. En posant ǫν,κ =δν,κ

2y0, les parties imaginaires des

fonctions g et gD définies au paragraphe 2.3.2 ont pour valeurs approchées

ℑ (g) ≈ 1 +√

σ

1 + σǫκ, (3.16)

ℑ (gD) ≈ (1 + σ√

σ)ǫκ, (3.17)

50 3 Applications

et que

1 −ℜ (fν)

|1 − fν|2≈ (1 − ǫν) =

(

1 −√

σǫκ

)

. (3.18)

⋆ Exercice

a.- Exprimer le flux thermoacoustique moyen dans une fente du stack, compte-tenu que ǫν,κ << 1.

b.- Retrouver l’expression 2.46 de ce flux moyen lorsque ν = 0. (NB : afin de retrouver exactement

l’équation (2.46), vous pourrez opérer le changement de variable u = x − L2 )

On suppose qu’aucun échangeur de chaleur n’est placé aux extrémités du stack, de sorte qu’en régime

stationnaire, le flux thermoacoustique de chaleur s’équilibre avec le flux de conduction 〈qcond〉 retour à

travers les parois du stack et le fluide2

〈qcond〉 = −λfy0 + λses

y0 + esdxTm = −λeqdxTm, (3.19)

où λf et λs désignent respectivement les conductivités thermiques du fluide et du solide. Après quelques

calculs , il est dès lors possible, compte-tenu que 〈q2〉+〈qcond〉 = 0 d’obtenir l’expression de la différence

de température ∆T = dxTm/ls entre les 2 extrémités du stack :

dxTm ≈ ∆T

ls≈ −xκ

4

1+√

σ1+σ

P 2

A

ρ0c0sin (2k0xs)

λeq + xκ

4P 2

ACp

ρ0c20ω

1−σ√

σ1−σ2 (1 − cos (2k0xs))

(3.20)

c.- Donner le sens du gradient de température si xs < L2 . Donner le sens du gradient de température

si xs > L2 . Donner la position optimale du stack, c’est à dire celle qui permet de maximiser ∆T ?

On suppose à présent que le système décrit précédemment est une véritable machine équipée

d’échangeurs de chaleurs à chaque extrémité du stack (Fig. 3.4). L’échangeur de chaleur chaud, supposé

parfait, permet de maintenir l’extrémité chaude du stack à la température ambiante T∞ = 290K.

L’échangeur de chaleur froid, également supposé parfait3, permet d’extraire de la chaleur depuis une

enceinte calorifugée dans laquelle est introduite un verre contenant 25 cl de bière. Afin de ne pas

alourdir les calculs, le fluide de travail est supposé non visqueux et le flux de conduction retour 〈qcond〉à travers le stack est négligé.

2Ici, on prend en compte l’épaisseur finie es des parois du stack, notamment parce que λs ≫ λf .3le qualificatif « parfait »signifie que l’échangeur de chaleur transfère instantanément l’intégralité de la quantité de

chaleur depuis l’extrémité chaude du stack vers la source chaude ou bien depuis la source froide vers l’extrémité froide

du stack.


xS��

��

��

��

��

��

��

��

��

L0

Fig. 3.4 –

d.- La température initiale Tb de la bière (et de son contenant) est supposée être celle de la

température ambiante T∞. Montrer que la loi d’évolution de Tb peut s’écrire comme suit :

dTb

dt+ c1Tb = c2, (3.21)

avec

c1 =1

4

a2pSvSδκ

lsy0∇TcritρbCbVb

, (3.22)

où ρb, Cb et Vb désignent respectivement la masse volumique, la capacité calorifique et le volume du

système « bière + verre », et où

c2 =1

4

a2pSvSδκ

y0ρbCbVb

(

1 +T∞

ls∇Tcrit

)

. (3.23)

e.- Que vaut la température de la bière en régime stationnaire, i.e. lorsque dtTb = 0 ? Résoudre

l’équation (3.21).

Applications numériques. Les paramètres thermophysiques de l’eau, l’hélium et l’air sont donnés

dans l’annexe A. Par ailleurs, le tableau 3.2 fournit les données complémentaires nécessaires aux

applications numériques.

f.- Supposons que le guide d’onde est rempli d’air (supposé ici non visqueux) à pression atmosphérique

(P0 ≈ 1 bar). Calculer le temps nécessaire pour que la température de la bière diminue de 10 K?

Reprendre ce même calcul est supposant que le fluide de travail est de l’Helium sous une pression

statique de P0 =30 bars.

g.- Traiter à nouveau la question e.-, dans le cas où le flux de conduction retour est pris en compte.

h.- Expliquer qualitativement l’impact sur la température du verre de bière et les différents flux de

chaleur si la viscosité du fluide de travail est prise en compte.

52 3 Applications

Longueur du guide d’onde L 1 m

Longueur du stack ls 10 cm

Position du stack xs 0.75 m

Diamètre géométrique du guide d’onde a 10 cm

Espace interplaque y0 5 δκ

Epaisseur de plaque esy0

10

Masse volumique du verre (contenant) ρver 2500 kg.m−3

Capacité calorifique du verre (contenant) Cver 720 J.kg−1.K−1

Volume du verre (contenant) Vver 1.10−4m3

Amplitude de pression acoustique PA 5.10−2 × P0

Tab. 3.2 –

3.3.2 Etude simplifiée d’une machine de Stirling

On propose dans ce problème l’étude simplifiée d’une machine de Stirling à piston libre avec le

formalisme de la thermoacoustique. Un schéma de principe de la machine est présenté sur la figure 3.5.

x 0 x0 x∆+

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

regenerateur echangeurs de chaleur

ω

partie excitatrice

piston libre

Fig. 3.5 –

La machine comporte :

– une partie excitatrice constituée d’un système bielle manivelle qui impose au piston de gauche

un déplacement oscillant d’amplitude constante A et de pulsation ω.

– un noyau thermoacoustique, constitué d’un régénérateur et de 2 échangeurs de chaleurs.

– un piston libre caractérisé par sa masse M , sa raideur k, et son amortissement R.

On formule ici l’hypothèse que les 2 sources de chaleur en contact avec la machine sont des parfait

puits thermiques pouvant absorber ou céder de la chaleur sans changer de température, et que ces

2 sources de chaleur sont à la température T = TC . On considère également que les échangeurs de

chaleur sont parfaits. dans le régénérateur, l’équation d’onde se réduit donc à :

∂2xxp + k2

s p = 0, (3.24)


avec

k2s = k2

0

(

1 + (γ − 1)fκ

1 − fν

)

(3.25)

a.- Ecrire la forme de solution pour la pression acoustique dans la région [x0, x0 + ∆x].

b.- Exprimer le débit acoustique u(x) en fonction du gradient de pression acoustique ∂xp, du nombre

d’onde k0, de la fonction fν , et de l’impédance Z0 = ρ0c0/S (où ρ0 désigne la masse volumique du

fluide à la température TC , et S désigne la section du cylindre et des pistons)

Puisque l’on considère que l’élément actif est un régénérateur, il en résulte que les épaisseurs de

couche limites visqueuse δν et thermique δκ sont grandes devant le rayon d’un pore Rs. Les expressions

des fonctions visqueuses et thermiques peuvent alors être approchées par :

fν,κ ≈ 1 − i

4

(

Rs

δν,κ

)2

(3.26)

c.- En déduire que

k ≈ k0(1 − i)√

2γδν

Rs(3.27)

d.- On suppose que le régénérateur est « très court », c’est à dire que

k0∆x ≪(

Rs

δν,κ

)2

≪ 1. (3.28)

En déduire que les champs de pression p et de débit acoustique u à l’intérieur du régénérateur peuvent

s’écrire sous la forme :

x ∈ [x0, x0 + ∆x] , p(x) ≈ p(x0) + µAu(x0) (3.29)

x ∈ [x0, x0 + ∆x] , u(x) ≈ u(x0) + µBp(x0) (3.30)

où

µ = k0(x − x0), |µ| ≪ 1,

et préciser les expressions des constantes A et B.

e.- On s’intéresse au flux de chaleur thermoacoustique Q généré le long du noyau thermoacoustique.

Justifier que ce flux de chaleur s’écrive :

Q =1

2

∫ x0+∆x

x0

ℜ [p(x)u∗(x)] .dx (3.31)

54 3 Applications

f.- Soient Z(x0) = p(x0)/u(x0) et Z(x0 + ∆x) = p(x0 + ∆x)/u(x0 + ∆x) les impédances acoustiques

de part et d’autre du noyau thermoacoustique. Montrer que

Z(x0 + ∆x) ≈ Z(x0) − 4Z0k0∆x

(

δν

Rs

)2

(3.32)

g.- Exprimer l’impédance mécanique Zm = F /V (où F est la force appliquée par le fluide sur la

masse M, et V est la vitesse vibratoire de cette masse M) en fonction de M, K, R et ω.

h.- En déduire l’expression de l’impédance Z(x0) vue par le piston excitateur en fonction des

paramètres M,K, et R du piston libre et des caractéristiques du noyau thermoacoustique. A priori,

quelle valeur doit prendre l’impédance Z(x0) pour maximiser le flux de chaleur thermoacoustique ?

3.4 Estimation du seuil de déclenchement de l’instabilité thermoa-

coustique dans un moteur à ondes stationnaires

L’exercice qui suit vise à décrire les conditions de déclenchement de l’instabilité thermoacoustique

dans le système représenté sur la figure 3.6. Le guide d’onde est un cylindre de rayon Rw et de longueur

L. Le stack est un matériau poreux à pores cylindriques de rayon Rs, et dont la porosité est supposée

égale à 1. La région du guide d’onde inhomogène en température [xH − lS, xH + lW ] constitue ce que

l’on appelle le noyau thermoacoustique.

xH Sl− xH l W+xH

TC

TH

��

��

0 L

Fig. 3.6 –

L’approche utilisée dans l’exercice qui suit consiste à utiliser les expressions données au paragraphe

2.3.2.1 des densités de puissance thermoacoustique dans le stack, et à procéder à un bilan énergétique

afin de prédire le gradient de température seuil pour lequel l’instabilité thermoacoustique est déclenchée.

Afin de pouvoir mener tant que possible les calculs à l’aide d’un papier et d’un crayon, un certain nombre

d’hypothèses (très) simplificatrices sont retenues. Ces hypothèses sont les suivantes :

– (i) La fréquence de déclenchement de l’instabilité thermoacoustique est celle du premier mode

acoustique de la colonne de gaz renfermée par le guide d’onde, comme si ce dernier ne comportait

ni stack, ni inhomogénéités de température. Cette fréquence vaut donc f0 = c02L

.

– (ii) La porosité du stack est égale à 1, ce qui revient à considérer que les parois du stack sont

infiniment fines.

3.4 Estimation du seuil de déclenchement de l’instabilité thermoacoustique dans unmoteur à ondes stationnaires 55

– (iii) Le stack est supposé très court devant la longueur d’onde, de sorte que la pression et la

vitesse acoustiques peuvent être supposées indépendantes du point le long du stack.

– (iv) L’hypothèse de quasi-adiabaticité est retenue dans le stack (δκ,ν << RS) et donc a fortiori

dans le guide d’onde (δκ,ν << RW ).

– (v) L’essentiel des pertes viscothermiques est supposé localisé dans le stack, de sorte que le reste

du guide d’onde est supposé sans pertes.

– (vi) Le champ de température dans le noyau thermoacoustique est supposé linéaire, comme

indiqué sur la figure (3.6).

– (vii) La viscosité cinématique et la diffusivité thermique du fluide de travail sont supposées

indépendantes de la température.

Compte-tenu des hypothèses précédentes, les champs de pression et de vitesse acoustiques dans le

stack s’écrivent respectivement

∀x ∈ [xH − ls, xH ] , p(x) ≈ p(xH) ≈ PA cos (k0xH) , (3.33)

∀x ∈ [xH − ls, xH ] , 〈vx(x)〉 ≈ 〈vx(xH)〉 ≈ −iPA

ρ0c0sin (k0xH) , (3.34)

avec k0 = π/L, et où l’on désigne par ρ0 = ρ0(TC) et c0 = c0(TC) la masse volumique et la

célérité adiabatique à la température ambiante TC . Par ailleurs, compte-tenu de l’hypothèse de quasi

adiabaticité, les fonctions visqueuse fν et thermique fκ (qui représentent les couplages visqueux et

thermiques dans le stack) définies aux équations (2.28) et (2.36) ont pour expression approchée :

fν,κ ≈ (1 − i) xν,κ, (3.35)

avec xκ = δκ/Rs et xν = δν/Rs =√

σxκ. Dans le stack, la température suit une évolution linéaire

suivant la variable x comme suit :

x ∈ [xH − ls, xH ], Tm(x) = TC +TH − TC

lS(x − (xH − lS)) , (3.36)

où TH et TC désignent respectivement les températures chaude et froide. Par suite, le terme dxTm/Tm

s’écrit :dxTm

Tm=

∆T

∆T (x − xH) + lsTH, (3.37)

où ∆T = TH − TC .

a.- Donner les expressions approchées des diverses composantes de la densité de puissance 〈w2〉définies au paragraphe 2.3.2.1.

b.- En déduire l’expression de la puissance acoustique globale W2 produite (ou consommée) dans le

stack. On indique pour cela que∫ xH

xH−ls

dxTm

Tm.dx = · · · = log

(

TH

TC

)

. (3.38)

56 3 Applications

c.- Pour quelle valeur de W2 y-a-t-il déclenchement de l’instabilité thermoacoustique ?

d.- En déduire que le rapport TH/TC qui correspond aux conditions de déclenchement de l’instabilité

thermoacoustique satisfait à l’équation :

log

(

TH

TC

)

= −k0ls(

1 +√

σ) (γ − 1) cos2 (k0xH) +

√σ sin2 (k0xH)

sin (k0xH) cos (k0xH)(3.39)

e.- Supposant que ν = 0, donner la position optimale xH du stack pour laquelle le rapport TH/TC

au déclenchement est minimal. Existe-t-il des positions du stack pour lesquelles le déclenchement de

l’instabilité thermoacoustique ne peut pas avoir lieu ?

f.- Formuler à nouveau la condition de déclenchement (question c.-) de l’instabilité thermoacoustique,

lorsque les pertes dans le reste du guide d’onde ne sont pas négligées devant celles dans le stack.

7L/10 8L/10 9L/101.35

1.4

1.45

1.5

1.55

1.6

1.65

1.7

1.75

TH

/TC

(K

/K)

x

Fig. 3.7 – Rapport TH/TC au déclenchement en fonction de xH calculé à l’aide de l’équation (3.39)

pour ls = 5cm, L = 1m, en prenant comme fluide de travail de l’air sous pression atmosphérique.

3.5 Analogies électroacoustiques et thermoacoustique

3.5.1 Représentation électrique équivalente

L’exercice qui suit vise à proposer une description simplifiée des machines thermoacoustiques à

partir de la représentation électrique équivalente des phénomènes (effet thermoacoustique, élasti-

cité/inertie, pertes viscothermiques) mis en jeu dans les stack/régénérateur et les réseaux de guide

d’onde qui constituent une machine thermoacoustique. Cette approche peut s’avérer particulièrement

judicieuse lorsque la plus grande dimension du système considéré est faible en regard de la longueur

3.5 Analogies électroacoustiques et thermoacoustique 57

d’onde de travail. Cet exercice vise à démontrer l’existence d’une analogie électro/thermoacoustique et à

proposer le schéma électrique équivalent d’une portion d’un stack/régénérateur “court” sous forme d’un

quadripôle électrique. L’exploitation de ce schéma électrique équivalent pour la description simplifiée

d’un tube de Sondhaus est ensuite proposée (exercice 3.5.2)

p~

T0 T +dT0 0

p+dp~ ~

u+du~ ~u~

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

dx

Fig. 3.8 – Système élémentaire considéré

Le système que l’on considère, présenté sur la Fig. 3.8 est une portion de stack/régénérateur “court”

d’axe x, et soumis à une différence de température dT sur une longueur dx. On note respectivement p et

p+dp les amplitudes complexes de pression acoustique en “entrée” et en “sortie” du stack/régénérateur

(notation similaire concernant le débit acoustique u).

a.- Reformuler les équations fondamentales de la thermoacoustique linéaire (cf. chapitre II) en termes

de pression et de débit acoustique et/ou leur gradient, pour montrer que

dp = − iωρ0dx

φS

1

1 − fνu (3.40)

du = − iωφSdx

γP0[1 + (γ − 1)fκ] p +

(fκ − fν)

(1 − fν)(1 − σ)

dT0

T0u (3.41)

en retenant l’hypothèse d’un stack/régénérateur “court” (longueur dx “infinitésimale), et en désignant

par φ la porosité du stack/régénérateur.

b.- Réécrire ces mêmes équations sous la forme

dp = −(iωM + Rν)u, (3.42)

du = − (iωC + 1/Rκ) p + Gu, (3.43)

58 3 Applications

et montrer que

M =ρ0dx

φS

1 −ℜ(fν)

|1 − fν|2(3.44)

C =φSdx

γP0(1 + (γ − 1)ℜ(fκ)) (3.45)

Rν =ωρ0dx

φS

ℑ(−fν)

|1 − fν |2(3.46)

1

Rκ=

γ − 1

γ

ωφSdxℑ(−fκ)

P0(3.47)

G =fκ − fν

(1 − fν)(1 − σ)

dT0

T0(3.48)

c.- Montrer en usant des lois de base de l’électrocinétique que le schéma électrique équivalent de la

Fig. 3.9 traduit fidèlement les équations de couplage (3.42-3.43).

Rν~u(x)

p(x)~ ~p(x+dx)

~u(x+dx)

C Rκ ~ u(x)

G

M

Fig. 3.9 – Schéma électrique équivalent

d.- Donnez les expressions approchées des divers éléments du quadripôle dans les cas limites

asymptotiques d’une interaction quasi-adiabatique (δν,κ << Rs) et d’une interaction quasi-isotherme

δν,κ >> Rs.

3.5.2 Application : étude d’un tube de Sondhaus

Considérons le système représenté sur la Fig. 3.10. Ce système, très proche du tube de Sondhaus,

est constitué d’un cavité de volume V couplée à un tube de rayon a, de section S = πa2 et de longueur

L + Ls débouchant sur l’espace libre. Un stack de longueur Ls et de rayon a est placé dans le tube,

à sa jonction avec la cavité. Ce stack est constitué d’une multitude de canaux cylindriques de rayon

Rs, et sa porosité est supposée égale à l’unité. Un écart de température (TH − TC) est imposé le long

du stack grâce à un apport de chaleur QH au niveau de l’extrémité gauche du stack, tandis que son

extrémité droite est supposée être maintenue à la température constante TC grâce à un échangeur de

chaleur parfait non représenté sur le schéma. Les parois du tube et de la cavité sont supposées être non

conductrices de la chaleur, de sorte que le champ de température est supposé uniforme sur la section

3.5 Analogies électroacoustiques et thermoacoustique 59

du stack, de la cavité et du tube, et de sorte qu’en régime stationnaire, la distribution axiale du champ

de température est linéaire conformément au schéma de la Fig. 3.10.

��

��

TH

TC

Tm

Ls L

��

��

volume V

��

��

Fig. 3.10 – Tube de Sondhaus

a.- Montrer que sous l’hypothèse des basses fréquences, le tube de Sondhaus peut-être représenté

par le schéma électrique équivalent de la Fig. 3.11, dans la mesure où l’on néglige le rayonnement

acoustique à l’extrémité ouverte du tube et que l’on considère que le rayon moyen Rs d’un pore est

grand devant lépaisseur de couche limite thermique δκ. Vous préciserez les expressions de chacun des

éléments du circuit.

Rν

p~C ~ u

M~u ~u

~p

M

G1

12

2

S

1

Fig. 3.11 – Schéma électrique équivalent au système thermoacoustique de la Fig. 3.10

b.- Utilisez les lois de l’électrocinétique pour montrer que la relation suivante

(iω)2 MCu1 + iωRνCu1 + u1 = 0, (3.49)

60 3 Applications

doit être satisfaite et précisez l’expression de la masse acoustique M.

c.- Les paramètres M et Rν qui sont mis en jeu dans l’équation 3.49 dépendent de la température

TH mais également de la pulsation acoustique ω. Il en résulte d’une part que la solution de l’équation

3.49 n’est pas triviale, et d’autre part qu’il n’existe pas, en général, de solution purement réelle pour la

pulsation acoustique ω. En posant ω = ω′ + iω′′ et en supposant que ω′′ ≪ ω′, quelles relations doivent

satifaire la partie réelle ω′ et la partie imaginaire ω′′ de ω ?

d.- Quelle est la signification physique d’une pulsation acoustique à partie imaginaire ω′′ non nulle ?

e.- Quelle valeur doit prendre la température TH pour que le système considéré soit précisément au

seuil de déclenchement de l’instabilité thermoacoustique ?

Annexe A

Paramètres thermophysiques de l’air, de

l’hélium et de l’eau

propriété unité air Hélium eau

Conductivité thermique λ W.m−1.K−1 2.26 10−2 0.142 0.6

Masse volumique ρ = MmolP0

RgpTmkg.m−3 1.16 0.16 1000

Capacité calorifique isobare Cp J.kg−1.K−1 1003 5193 4186

Capacité calorifique isochore Cv J.kg−1.K−1 716 3115

Coefficient polytropique γ =Cp

Cv1.4 1.667

Diffusivité thermique κ = λρCp

m2.s−1 2.24 10−5 1.7 10−4 1.43 10−7

Viscosité dynamique µ Pa.s 1.84 10−5 1.86 10−5 ≈ 1.10−3

Viscosité cinématique ν m2.s−1 1.56 10−5 1.16 10−4 ≈ 1.10−6

Nombre de Prandtl σ = ν/κ 0.7008 0.68 ≈ 7

Coefficient de compressibilité isotherme χt Pa−1 10−5 10−5 ≈ 5.10−10

Célérité adiabatique du son c0 =√

γRgpT0/Mmol m.s−1 347 1019 ≈ 1480

Masse molaire Mmol kg.mol−1 29.10−3 4.10−3 18.10−3

Tab. A.1 – Caractéristiques thermophysique de l’air, de l’hélium et de l’eau à la pression statique P0 =

1 bar, et à la température T0 =300 K. NB : la constante des gaz parfaits Rgp vaut 8.31.

NB : Il faut noter que dans les gaz parfaits, la diffusisvité thermique et la viscosité cinématique

varient de façon significative avec la température, et que cette variation peut être approchée par la loi

de puissance κ, ν ∝ T 1+β0 avec β = 0.73 [24].

61

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Introduction à la Thermoacoustique

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