Introduction à la géostatistique et variogrammes
-
Upload
bachirhaider -
Category
Documents
-
view
225 -
download
1
description
Transcript of Introduction à la géostatistique et variogrammes
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 1
Introduction la gostatistique et variogrammes
Automne 2003
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 2
Plan
Rappels statistiques 1 v.a. 2 v.a.
Point de vue gostat Gisement vs modle stat
Historique Effet support Effet information Gostatistique linaire
Hypothse de stationnarit Variogramme exprimental Modles Problmes et stratgie de modlisation
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 3
Une v.a. (continue) est entirement caractrise par sa fonction de densit
-10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
Loi normale, m=5, =3
-10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
Loi lognormale, m=5, =3
Intgrale: probabilit
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 4
Rsumer une distribution par certaines statistiques
Tendance centrale (moyenne)
-10 -5 0 5 10 15 20 25 300
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2Loi normale, =3
m=5m=10m=15
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 5
Dispersion autour de la moyenne (cart-type)
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 300
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4Loi normale, m=5
s=1s=3s=6
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 6
Asymtrie
-10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
Loi normale, m=5, =3
-10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
Loi lognormale, m=5, =3
-10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3Loi lognormale, m=5, =9
= 3.84
= 0
= 0.44
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 7
Le type de loi peut avoir une grande influence sur les ressources et la valeur dun gisement.
Exemple : gisement m=2, =2, t.coupure = 1
1.131.40Profit conv
2.703.02Teneur
0.660.69Tonnage/T0
LognormaleNormale
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 8
Deux v.a.
Loi binormale, 1=2 2=5 =0.8 Loi binormale, 1=2 2=5 =0.2
Un couple de v.a. X et Y (continues) est entirement caractris par la loi de densit conjointe f(x,y)
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 9
On peut rsumer une distribution bivariable par diffrentes statistiques dont :
- moyennes des 2 variables- cart-types (ou variances) des 2 variables- corrlation (ou covariance) entre les 2 variables
La covariance mesure le degr dassociation entre 2 v.a.
La corrlation est la covariance entre 2 v.a. normalises pour prsenter un cart-type de 1
YXXY
)Y,X(Cov=
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 10
-4 -2 0 2 4-4
-2
0
2
4
r=0.3
-4 -2 0 2 4-4
-2
0
2
4
r=0.7
-4 -2 0 2 4-4
-2
0
2
4
r=0.96
-4 -2 0 2 40
2
4
6
8
r=0
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 11
0 5 10 15 200
5
10
15
20
r=0.4
0 5 10 15 200
10
20
30
40
r=0.68
0 5 10 15 200
10
20
30
r=0.92
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 12
Esprance mathmatique
Notion fondamentale
Si g(X)=(X-m)2 => E[g(X)] = Var(X)
Si g(X,Y)= (X-mx) (Y-my) = Cov(X,Y)
=
==
dxdy)y,x(f)y,x(g)]Y,X(g[E
dx)x(f)x(g)]X(g[E
dx)x(xf]X[E
Y,X
X
X
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 13
Proprits de lesprance mathmatique
E est un oprateur linaire =>E[c g(X)]= c E[g(X)]E[g(X) + h(X)] = E[g(X)] + E[h(X)]E[g(X,Y) + h(X,Y)] = E[g(X,Y)] + E[h(X,Y)]
En particulier
)X,X(Cov*2)X(Var)X(Var)XX(Var 212121 ++=+)X,X(Cov*ab2)X(Varb)X(Vara)bXaX(Var 212
21
221 ++=+
= ==
=n
1i
n
1jjiji
n
1iii )X,X(Covaa)Xa(Var
Une des expressions qui revient le plus souvent en gostat
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 14
( ) = dxdy))y(z),x(z(Covcdx)x(zcVar 2 Une autre expression qui revient souvent en gostat
( ) = dxdy))y(z),x(z(Covabdy)y(zb ,dx)x(zaCov
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 15
Point de vue de la gostat
Z(x2)
Z(x3)
Z(x1)
Gisement
Gisement => infinit de points ou trs grand nombre de quasi-points x : emplacement gographiquechaque point -> teneur -> Z(x)chaque teneur -> v. a. (ensemble forme une fonction alatoire (de x))
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 16
Impossible destimer partir des donnes la loi de densit conjointe
Impossible destimer partir des donnes la loi de densit bivariable
Impossible destimer partir des donnes la loi de densit dune variable
Cul de sac ? Oui -> zut, cours termin !
Non -> youppi cours pas termin !
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 17
sortie
-Hypothses
-Questions auxquelles le modle permet de rpondre
Gamme de questions Hypothse Gnralit
-Simulations
-Mthodes non-linaires
-Mthodes linairesHypothse
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 18
Historique de la gostatistique
1930-1950 Thorie des fonctions alatoires (Kolmogorov, Wiener) 1955 Daniel Krige : approche empirique (rgression) pour corriger
problmes de biais conditionnel observ dans les minesPourquoi moins que prvu ?Comment prvoir et tenir compte de leffet support ?
1960-1970 Matheron (mines), Matern (foresterie), Gandin (mtorologie) dveloppent ensemble doutils => naissance de la gostat linaire stationnaire. Rponse aux questions de Krige. Matheron donne le nom de krigeage la mthode destimation quil dveloppe.
1970 Polytechnique est la 1re Universit en A. du N. enseigner la gostat (M. David)
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 19
Historique (suite)
1973 gostat linaire non-stationnaire * 1975 gostat non-linaire 1977 1er livre en anglais de gostat (M. David) 1980 gostat linaire multivariable * 1985 simulations *
* Domaines encore actifs de recherche
Aujourdhui, la gostat est applique dans une foule de domaines (mines, ptrole, foresterie, agriculture, environnement, hydrogologie, gotechnique, pches, biologie, biomdical,)
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 20
Effet supportGisement A Gisement B
Comment prvoir ces comportements diffrents ?Quel est limpact $$ ?
0 5 10
0 5 10
0 5 10
0 5 10
0 5 10
0 5 10
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 21
Effet information
VraiMinerai rejet
Strile trait
Estim
Prvoir ltendue des plages derreur et pertes en $ ?valuer $ en information pour rduire les pertes ?
On mine partir destims mais on rcolte des valeurs vraies !
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 22
tonnage extrait gal
on rcupre toujours moins de mtal avec des gros blocs quavec des petits blocs (effet support)
=> on rcupre toujours moins de mtal avec des estims quavec les vraies valeurs (effet information)
La gostatistique permet thoriquement
- Prvoir lampleur de ces effets- Minimiser ces effets- Prendre des dcisions claires au vu de ces effets
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 23
Gostatistique linaire
Questions Estimation de teneurs ponctuelles ou blocs Prcision associe ces estimations
Hypothse Stationnarit du second ordre
Les caractristiques sont moyenne, variance et covariance
Deux paires de points espacs dun mme vecteur h ont des caractristiques
semblables
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 24
Gisement
Z(x1)
Z(x2)
Z(x1)
Z(x2)
Diagramme binaire
Moyenne ? Variance ? Covariance?
+ hypothse stationnarit h scattergram
Z(x)
Z(x+h)
Gisement
hhh
h h
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 25
h1 scattergram
Z(x)
Z(x+h)Faire varier h
Gisement
h1h1h1
h1 h1
h2 scattergram
Z(x)
Z(x+h)
Gisement
h2
h2
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 26
h peut varier en direction et en module.
|h| =1
Z(x)
Z(x+h)
|h| =2
Z(x)
Z(x+h)
|h| =2
Z(x)
Z(x+h)
|h| Cov
On cherche si possible avoir au moins 30 points sur chaque diagramme
-Tolrance sur la direction
-Tolrance sur le module
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 27
Exemple
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 28
Avec tolrance de 0.5 sur |h| et 15o sur direction
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 29
En pratique, on ne sintresse qu la covariance (corrlation)
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1h=3 dir=0-180, Cov = 0.17
Z
(
x
+
h
)
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1h=8 dir=0-180, Cov = 0.085
Z
(
x
+
h
)
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1h=15 dir=0-180, Cov = -0.029
Z(x)
Z
(
x
+
h
)
2 4 6 8 10 12 14 16-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2Fonction de covariance
h 0.5 =0 ou 180 15o
C
o
v
a
r
i
a
n
c
e
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 30
Le variogramme
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1h=3 dir=0-180, Cov = 0.16
Z
(
x
+
h
)
Mesure la dispersion sur cette droite
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 31
Variogramme : dfinition
[ ] ( )[ ]2h)+Z(x-Z(x)E 21h)+Z(x-Z(x)Var
21 = (h) =
DcrotCroth
Doit exister = Cov(h=0)Si existe = palier Var
Constante connueConstantem
CovarianceVariogramme
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 32
Lien entre variogramme et covariance
)h(Cov)h( 2 =
Covariance
Variogramme
h
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 33
Variogramme exprimentalChoisir une direction + tolrance angulaireDiscrtiser |h| en classes distinctesRpartir les paires dans les classes
[ ]=
)h(Ni
iie h)+x Z(- )xZ( N(h) 21 = (h)
1
2
N(h) : nombre de paires dans la direction considr et dans la classe de distance h
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 34
Exemple
1234321
h=1
4213231
1.3334
2.543
1.652
0.561
(h)N(h)h
0.8334
1.12543
1.2552
1.2561
(h)N(h)h
0 1 2 3 4 50
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
3
0 1 2 3 4 50
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
3
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 35
Le variogramme dcrit la continuit spatiale du phnomne
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
2
0o
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
2
45o
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
2
90o
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
2
135o
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 36
10 20 30 40 50
10
20
30
40
50
60
N0 5 10 15 20 25
0
1000
2000
30000o
0 5 10 15 20 250
1000
2000
3000135o
0 5 10 15 20 250
1000
2000
300090o
0 5 10 15 20 250
1000
2000
300045o
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 37
10 20 30 40 50
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50
10
20
30
40
50
60
+
10 20 30 40 50
10
20
30
40
50
60
=
0 5 10 15 20 250
1000
2000
3000
40000o
0 5 10 15 20 250
1000
2000
3000
4000135o
0 5 10 15 20 250
1000
2000
3000
400090o
0 5 10 15 20 250
1000
2000
3000
400045o
Effet ppite caus par le bruit ajoutNotez comme la structure sous-jacentedemeure trs visible
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 38
50 100 150 200
-2
0
2
Z
donnees
0 50 1000
0.5
1
1.5
2
g
(
h
)
Variogramme
50 100 150 200
-2
0
2
Z
donnees
0 50 1000
0.5
1
1.5
2
g
(
h
)
Variogramme
50 100 150 200
-2
0
2
x
Z
donnees
0 50 1000
0.5
1
1.5
2
h
g
(
h
)
Variogramme
3 exmples en 1D
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 39
Le variogramme est une statistique dordre 2
Ce nest pas suffisant pour caractriser tous les aspects dune image ou dun processus
e.g. on peut crer plusieurs images ayant mme m , mme variogramme et prsentant pourtant des textures trs diffrentes
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 40
Variogramme exprimental
(h)
|h|h moyen dans
la classe
?
?
?
Dans les calculs gostat, on doit connatre Cov ou pour tout h
Modle
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 41
(h)
|h|
?Non, le modle doit tre admissible
Modle admissible : modle assurant que toute variance calcule partir de celui-ci est positive
Modles dmontrs admissibles
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 42
Gnralement,
(h)
+ +
+ ++
++Palier : 2 = C0 + C
Effet de ppite : C0
Porte : a|h|
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 43
0 50 100 150 2000
0.5
1
Gaussien
0 50 100 150 2000
1
2
Linaire
0 50 100 150 2000
0.5
1
Linaire avec palier
0 50 100 150 2000
1
2
3
Fractal avec b=1.5
0 50 100 150 2000
0.5
1
1.5
Fractal avec b=0.5
0 50 100 150 2000
2
4
6
DeWijsien
0 50 100 150 2000
1
2
Effet de trou cosinus
0 50 100 150 2000
0.5
1
1.5
Effet de trou sinus
0 50 100 150 2000
0.5
1
Ppite
0 50 100 150 2000
0.5
1
Exponentiel
0 50 100 150 2000
0.5
1
Sphrique
0 50 100 150 2000
0.5
1
Circulaire
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Gravimtrique
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Magntique
0 50 100 150 2000
0.5
1
Cubique
0 50 100 150 2000
0.5
1
Penta-sphrique (Christakos, 1984 p.264)
Exemples de modle
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 44
0 50 100 150 2000
0.5
1
Quadratique (Alfaro, 1984)
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Stable (Lantujoul,1994)
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Hyperbolique (Lantujoul, 1994)
0 500 1000 15000
0.5
1
BK Matern, p.30, 4e, s=2
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Christakos,1984, p.261
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Christakos, 1984, p.262
0 50 100 150 2000
0.5
1
Christakos, 1984, p.262 (74)
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Cosinus hyperbolique
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Stein
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Whittle
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Matern p.30, 2e, n=1
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Matern p.30, 2e, n=3
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
1.5
BJ Matern p.30, 3e, k=0
0 500 1000 15000
0.5
1
BJ Matern p.30, 3e, k=1
0 500 1000 15000
0.5
1
BJ Matern p.30, 3e, k=2
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Bessel 2: Mantoglou et Wilson
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 45
Toute somme (coefficients positifs) de modles de variogramme est admissible
Toute somme (coefficients positifs) de modles de covariance est admissible
Tout produit (coefficients positifs) de modles de covariance est admissible
Chaque modle peut tre isotrope ou anisotrope, les directions danisotropie peuvent varier dun modle lautre
Un modle peut tre admissible en 1D et non-admissible en en 2D, 3D,.
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 46
Modles de base en mineEffet de ppite
h
(
h
)
0h si C 0h si 0)h(
0 >==
-Erreurs de mesure
-Erreurs de localisation
-Erreurs danalyse (Gy)
-Microstructure non-identifiable d au manque de donnes
Presque toujours prsent mais rarement seulEffet de ppite pur => estimation impossible
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 47
Sphrique
h
(
h
)
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 48
Exponentiel
h
(
h
)
Assez commun
Semblable au sphrique
a: porte effective (h)=0.95*Ca=a/3
=
a|h|3exp1Cou
'a|h|exp1C)h(
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 49
Gaussien
h
(
h
)
-Peu frquent en mine-Variables trs continues :e.g. topographie, gravimtrie, magntisme,paisseur,- Problmes numriques si absence deffet de ppite
a: porte effective (h)=0.95*Ca=a/30.5
=
22
a|h|3exp1Cou
'a|h|exp1C)h(
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 50
hb
h
(
h
)
b=1b=1.4b=0.6 -Modles sans palier
-Moyenne, variance et covariance non dfinies
2b0 0,|h| a
|h|C)h(b
=
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 51
Problmes Problmes ProblmesDonnes extrmes influencent beaucoup le variogramme
10 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 60
10
20
30
40
50
60
70
Variogramme exprimental
Distance
g
a
m
m
a
(
h
)
0 0 10 0 0 0
0 1 2 3 4 5 60
5
10
15
20
25
30
35
Variogramme exprimental
Distance
g
a
m
m
a
(
h
)
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 52
Zone A: (pas de 2m)
4 4 5 6 6 7 6 5 4
Zone B: (pas de 1m), zone +variable
8 6 8 10 12 8 10 12 14 10 8 6 12 8 10 10 8 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8
7
6 5
Variogram m e exprim ental
Dis tance
g
a
m
m
a
(
h
)
Zone A
17
16
15
14
13
12
11
10
9
Zone B
17 24
15
21
13
18
11
15 9
Zone A+B
-tudier les zones sparment ?
-Sous-chantillonner la zone B
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 53
Pratique de confirmer prfrentiellement les teneurs riches
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50Variogrammes
h
(h)
Grille regulire Grille+10 doublonsGrille+doublons
A pour effet de fournir beaucoup de paires petite distance et montrant de trs fortes variations
Si on rchantillonne chaque point, pas de problme
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 54
Erreurs de localisation
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8Variogrammes
h
(h)
Localisations vraies Localisations erronnes
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 55
La gologie ne collabore pas toujours
-5 0 5 10 15 20-5
0
5
10
15
20Positions observes
x
y
-5 0 5 10 15 20-5
0
5
10
15
20Positions "dplies"
x
y
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Variogrammes initiaux
h
(h)
Dir. xDir. y
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Variogrammes aprs "dpliage"
h
(h) // strates
Perpendiculaire
Certains logiciels permettent de passer un systme de coordonnes gologiques
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 56
Anisotropies1- Gomtrique : les portes dcrivent une ellipse
agap
{ }
aa a
a ag p
p g
=
+2 2 2 2 1 2cos sin /
= 0
= 30 = 45 = 60 = 90
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 57
2- zonale : toute anisotropie qui nest pas gomtrique
=> somme de composantes isotropes et avec anisotropies gomtriques
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)
h
(
h
)
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,0)
h
(
h
)
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,0)
h
(
h
)
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,0)
h
(
h
)
M o d . a n i s o . 2 D : t y p e , a x a y , r o t ( t r i g o ) , c
3 7 7 0 0 . 5
3 1 7 1 . 0 4 9 e + 0 0 9 4 5 1 . 5
3 - g a u s s i e n
3 - g a u s s i e n
Gaussien isotrope a=7, C=0.5+
Gaussien aniso gom.a45=17a135=
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Ajustement assez bon pour 0-5 pixels dans toutes les directions
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 58
0 5 10 15 200
1000
2000
3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)
h
(
h
)
0 5 10 15 200
1000
2000
3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,0)
h
(
h
)
0 5 10 15 200
1000
2000
3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,0)
h
(
h
)
0 5 10 15 200
1000
2000
3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,0)
h
(
h
)
10 20 30 40 50
10
20
30
40
50
60
N
Modle sphrique avec anisotropie gomtriqueA(135)=20.4, a(45)=13.8
Oh non, je ne vais pas encore
me faire variographer!
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 59
Stratgie de modlisation Dfinition minutieuse du domaine Examen des donnes, donnes extrmes ? Au besoin sous-chantillonnage des donnes pour viter de sur-reprsenter
des zones particulires Variogramme omnidirectionnel => modle isotrope candidat Dterminer directions gologiques principales Calculer variogrammes directionnels (au moins 4 directions) attention aux
paramtres de calculs (classes de distance et tolrance) Comparer variogrammes directionnels au modle isotrope candidat
acceptable => termin Inacceptable => ajuster un modle anisotrope (gomtrique)
anisotrope (gomtrique) acceptable => termin Inacceptable => anisotropie zonale ?
Dans tous les cas, il importe surtout dajuster les premiers points du variogrammeviter de surajuster les donnes
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 60
Remarques concernant le calcul des variogrammes
Objectifs:
au moins 30 paires pour la plupart des points du variogramme 4-6 points avant le palier pour pouvoir ajuster modle h < hmax/2
Doit avoir un minimum de donnes
>30 pour variogramme omnidirectionnel>60 pour variogrammes directionnels
Influence le choix de largeur des classes
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 61
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,90)
h
(
h
)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)
h
(
h
)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,0)
h
(
h
)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,0)
h
(
h
)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,0)
h
(
h
)
Variog. directionnels
Variog. omni
50 100 150 200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Exemple
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 62
N=30 N=60 N=200
0 50 100 1500
0.5
1
1.5
14
38
52 78
64 76
46
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,90)
h
(
h
)
-100 -50 0 50 100-100
-50
0
50
100
0 20 40 600
0.5
1
1.5
16
38 59
70 89 105
137
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,90)
h
(
h
)
-100 -50 0 50 100-100
-50
0
50
100
Effet de ppite apparent
0 20 40 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
51
164 273
341 459 522 593 615 721
769
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,90)
h
(
h
)
-100 -50 0 50 100-100
-50
0
50
100
M o d . i s o . :
1 1 0 .
4 2 5 . 5 0 .
1 - p p i t e
4 - s p h r i q u e
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 63
N=40000 N=200
0 20 40 600
0.5
1
15 39
66
89 126
159 156 154
161 212
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,22.5)
h
(
h
)
0 20 40 600
0.5
1
14
46
62 79
121 113 149 147
181 174
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,22.5)
h
(
h
)
0 20 40 600
0.5
1
5
39 72
82
96 139 152
171
172
200
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,22.5)
h
(
h
)
0 20 40 600
0.5
1
17
40 73
91
116
111 136
143 207 183
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,22.5)
h
(
h
)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)
h
(
h
)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,0)
h
(
h
)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,0)
h
(
h
)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,0)
h
(
h
)
Ajustement bon; ne peut tre amlior sans altrer les autres ajustements
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 64
Pour dtecter une anisotropie, il faut pouvoir calculer le variogramme dans la direction de meilleure continuit. Celle-ci nest pas toujours connue.
= 0
= 30 = 45 = 60 = 90
1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0
10
20
30
Rapport apparent en fonction de la direction (: angle avec ag) et du rapport d'anisotropie
Rapport vrai: ag / ap
R
a
p
p
o
r
t
a
p
p
a
r
e
n
t
:
a
/
a
+
9
0
Tout cart => sous-estimation de lanisotropie
Faible anisotropie peut passer inaperue
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 65
Tolrance angulaire doit tre maintenue faible variogrammes peu directionnels=> sous-estimation de lanisotropie
1 1.5 2 2.5 3 3.5 41
1.5
2
2.5
3
3.5
4
10
20
30
40
0tolrance
Rapport apparent en fonction de la tolrance et du rapport d'anisotropie
Rapport vrai: ag / ap
R
a
p
p
o
r
t
a
p
p
a
r
e
n
t
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 66
En 3D
Meilleures directions pour le calcul => directions des forages
- Permet de bien estimer le variogramme petite distance- Erreurs de localisation et de direction ont moins dimpacts surle variogramme car les distances inter-carottes demeurent inchanges
Hic: - Ncessite des forages ayant diffrentes directions pour pouvoir modliser lanisotropie
-
GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 67
Autres outils utiles-Validation croise de modles candidats (krigeage); eg. Tester un modle
isotrope vs anisotrope; tester un effet de ppite de 10% vs 30%;
-Modle permet de prdire les variances des composites de tailles diffrentes ?
-Modle permet de prdire les variances des valeurs kriges ?
-Variogramme des log(teneurs) pour identifier les anisotropies possibles, la
(les) porte, limportance approximative de leffet de ppite
-Variogramme dune transformation des teneurs (e.g. rang), mme chose que
les log
Introduction la gostatistique et variogrammesPlanDeux v.a.Esprance mathmatiqueProprits de lesprance mathmatiquePoint de vue de la gostatHistorique de la gostatistiqueHistorique (suite)Effet supportEffet informationGostatistique linaireExempleLien entre variogramme et covarianceVariogramme exprimentalExempleExemples de modleModles de base en mineProblmes Problmes ProblmesAnisotropiesStratgie de modlisationRemarques concernant le calcul des variogrammesExempleEn 3DAutres outils utiles