Integration Numérique Avec Matlab

7/21/2019 Integration Numérique Avec Matlab

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ba

f (x)dx



I = h

2 · (f (a) + 2 ·

n−11

f i + f (b))

function [E] = trpz( a,b,n )

g=input('Donnez f : ')

f=inline (g);

h=(b−a)/n;

S=(h/2)*(f(a)+f(b));

for(i=1:n−1)

S=S+h*f(a+i*h);

end

I=S;

disp('I v aut : ')

I

h=int(sym(g),a,b);

E=abs(h−I)

end

I =n−1i=0

h

3(f 2i + 4 · f 2i+1 + f 2i+2)

function [ E ] = simpson( a,b,m )

g=input('Donnez f : ')

f=inline (g);

n=m/2;



h=(b−a)/(2*n);

S=0;

for(i=0:n−1)

S=S+(h/3)*(f(a+2*i*h)+4*f(a+(2*i+1)*h)+f(a+(2*i+2)*h))

end

I=S;

disp('I vaut : ')

I h=int(sym(g),a,b);

E=abs(h−I);

end

T 1,j =

b

−a

2 j [f (a) + 2 ·2j−1−1

i=1

f (xij) + f (b)]

xij = a + i b−a2j−1

T k,j = 4k−1 × T k−1,j+1 − T k−1,j

4k−1 − 1

function [ E ] = rmbrg( a,b,n )

g=input('Donnez f : ') f=inline (g);

T=zeros(n);

T(1,1)=((b−a)/2)*(f(a)+f(b));

for(j=2:n)

S=0;

for(i=1:(2^(j−1)−1))

x=a+i*(b−a)/(2^(j−1));

S=S+2*f(x);

end

T(1,j)=(b−a)/(2^j)*(f(a)+f(b)+S);

end

for(k=2:n)

for(l=1:n

−k+1)

T(k,l)=(4^(k−1)*T(k−1,l+1)−T(k−1,l))/(4^(k−1)−1); end

end

T

disp('I v aut : ')

I=T(n,1)

h=int(sym(g),a,b);

E=abs(h−I)

end



xi

P n(x) = 1

n! · 2n · dn

dxn[(x2

−1)n]

ni=1

Aixki = {

2k+1

,k− pair0,k−impair

x = 1

2(b + a + (b− a)t)

I = b− a

2

ni=1

Aif (b + a

2 +

b − a

2 ti)

function [ E ] = gaussl( a,b,g )

n=input('donnez le nombre de points pour la methode : ');

x=[1 0 −1];% le polynome intervenant dans la formule ( x 2̂−1)

if (n==0)

P =[0 0 1 ];

else

E=conv(x,x) ;%eleve le polynome au carre. if (n>1)

q=E;

for (i=2 :n−1)

q=conv(q,x) ;%eleve le polynome jusqu au degre n.

end

end

if (n==1)

D=x;

else

if (n>1)

D=polyder(q);% derive une premiere fois.

for j=1:n−1

D=polyder(D);% derive (n−1) autre fois. end

end

end

P= (1/(factorial(n)*(2^n)))*D;% polynome de degre n.

end

y=roots(P);%racines du polynome de degre n.

% calcul des coefficients

C=zeros(n,n);

for(r=1:n)

for(s=1:n)



C(r,s)=y(s)^(r−1) ;%calcule les valeurs de f(xi) et les mets dans une matrice

end

end

Z=zeros(n,1);

for( k =1 : (n))

if (mod((k−1),2)==0)

Z(k,1)=(2/(k)); else

Z(k,1)=0;

end

end

A=zeros(n,1);

A= inv(C)*Z ;%solutions de notre systeme d equation (Ai).

f=inline (g);

I=0;

for(v=1:n)

I=(I+ ( (b−a)/2)*(f( ((b+a)/2)+((b−a)/2)*y(v)) )*A(v));

end

I

format long

h=int(sym(g),a,b);

E=abs(h−I);

end

1

−1

f (x)√ 1 − x2

≈ π

n

ni=1

f (cos(2i− 1

2n ))

function [ E ] = gausst(a,b,g)

n=input('Donnez le nombre de points : ')

f=inline (g);

if(a==0)

S=0; for(i=1:n)

S=(S+(pi/n)*f(cos((2*i−1)*pi /(2*n) ) ));

end

I=S/2;

else

S=0;

for(i=1:n)

S=S+(pi/n) *f(cos((2*i−1)*pi/(2*n) ));

end

end

disp('I v aut : ')



I

h=int(sym(g),a,b);

E=abs(h−I);

end

function [ ] = integration(methode)

a=input('Entrez la borne inferieure : ');

b=input('Entrez la borne superieur : ');

switch (methode)

case 'trapeze'

n=input('Entrez le nombre de sub : ');

trpz(a,b,n);

case'simpson'


simpson(a,b,n);

case 'romberg'


rmbrg(a,b,n)

case'gausslegendre'

g=input(' donn ez f : ');

k=zeros(5,1);

for(i=1:5)

k(i)=gaussl(a,b,g);

end

v=[2;4;8;12;16];

plot(v,k,'b')

title('Erreur en fonction du nombre de points')

case'gausstchebychev'

g=input('Donnez la fonction f(x) qui est au nominateur ponderee par racine de (1−x^2) ') ;

k=zeros(3,1);

for(i=1:3)

k(i)=gaussl(a,b,g);

end

v=[2;3;4];

plot(v,k,'b')

title('Erreur en fonction du nombre de points')

end

end

f (x) = sin(x) x ∈ [0;π/2]



>> integration('gausslegendre')

Entrez la borne inferieure : 0

Entrez la borne superieur : pi/2

donnez f : 'sin(x)'

donnez le nombre de points pour la methode : 2

I =

0.998472613404115


I =

0.999999977197114


I =

1


I =

1.000000000000398


I =

0.999999999996684



h(x) = x3 x ∈ [0;2]



Entrez la borne superieur : 2

donnez f : 'x^3'


I =

3.999999999999999


I =

3.999999999999996


I =

4.000000000000002


I =

4.000000000000729


I =

3.999999999968925

g(x) = 1/x2 x ∈ [1;2]




donnez f : '1/(x^2)'


I =

0.497041420118343


I =

0.499995147562620


I =

0.499999999992918




I =

0.500000000000201


I =

0.499999999997659

S (x) = 1/(1 + x2

)

x ∈ [0; 1]




donnez f : '1/(1+x^2)'


I =

0.786885245901639


I =

0.785402976311451


I =

0.785398163379778




I =

0.785398163397791


I =

0.785398163394261

f (x) = 1√ 1−x2

>> integration('gausstchebychev')



Donnez la fonction f(x) qui est au nominateur ponderee par racine de (1−x^2) '1'


I =

1


I =

1.000000000000000


I =

0.999999999999999

f (x) = x2√ 1−x2




Donnez la fonction f(x) qui est au nominateur ponderee par racine de (1−x^2) 'x^2'


I =

0.333333333333333


I =

0.333333333333333




I =

0.333333333333333

f (x) = x4√ 1−x2




Donnez la fonction f(x) qui est au nominateur ponderee par racine de (1−x^2) 'x^4'


I =

0.194444444444444


I =

0.200000000000000


I =

0.200000000000000

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