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Intégration de cabri dans les pratiques géométriques à l’école

primaire

Teresa AssudeDidirem (Paris 7)& IUFM de Versailles

Franceassude@math.jussieu.fr

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PlanI - Présentation du cadre de la recherche

II - Problématique et cadres théoriques

III- Chronologie du travail des élèves

IV - Conditions et contraintes de l’intégration

1- Analyse des séances d’initiation

2- Types de tâches et types de techniques

3 - Dialectique ancien-nouveau et juste distance

4 -Dimension temporelle de la gestion du travail

5 - Institutionnalisation, évaluation et synthèses

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I - Présentation du cadre de la recherche

• constitution de l’équipe– 2 chercheurs et 3 instituteurs-maîtres

formateurs• réponse à un appel d’offre de l’IUFM de

Versailles• méthodologie de travail

– définition d’un contrat de recherche autour des modalités de travail, du choix des thèmes,des données à recueillir, du travail d’analyse: les différentes responsabilités

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Différentes étapes du travail - brève initiation des collègues au logiciel- travail commun sur nos hypothèses de départ pour l’intégration du logiciel- initiation des élèves au logiciel par les chercheurs- choix du thème des quadrilatères pour le travail avec les élèves- proposition par les chercheurs d’un ensemble de tâches sur les quadrilatères, discussion en groupe de ces activités (boîte à tâches) ;

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- choix des tâches par les enseignants- mise en œuvre dans les classes et observation par un des chercheurs- analyse conjointe des situations de classe et perspectives pour la séance suivante ;- choix des tâches par les enseignants, mise en œuvre et observations- rediscussion et ainsi de suite…

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II- Problématique et cadres théoriques

• problématique de l’intégration de cabri dans des classes de cycle 3– conditions et contraintes de cette intégration du

double point de vue du travail des élèves et des pratiques des enseignants

– la dialectique ancien-nouveau dans les dimensions instrumentales et conceptuelles du travail de l’élève, et dans la gestion du travail par l’enseignant

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- approche multidimensionnelle de l’intégration

a) dimensions instrumentale et conceptuelle

b) types de tâche et types de techniques

c) dessin/figure

d) dialectique ancien-nouveau

e) gestion du travail par le maître: institutionnalisation, évaluation

f) la dimension temporelle de l’organisation et de la gestion du travail par le maître

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III - Chronologie du travail des élèves28 novembre 2000 initiation à cabri (collective + individuelle)30 novembre 2000 initiation à cabri (individuelle)11 décembre 2000 initiation à cabri (individuelle)19 décembre 2000 1) analyse collective d’un exercice du travail d’initiation

mise en évidence du rôle des remarques écrites et de leur pertinence : lien avecl’énoncé et les manipulations2) Synthèse des découvertes : au niveau géométrique ; au niveau descaractéristiques du logiciel

21 décembre 2000 Les quadrilatères : travail en 2 groupes (individuel)utiliser le logiciel cabri et les outils usuels pour construire des quadrilatèresparticuliers :- dégager la notion de propriétés- aborder le critère de stabilité et permanence de la figure- aborder l’observation de lien entre les différents types de quadrilatères

11 janvier 2001 construire des quadrilatères particuliers à partie de leurs diagonalesanalyser les propriétés liées aux côtés, aux angles, aux diagonalesutiliser ces propriétés pour la construction (cabri ou papier-crayon)

16 janvier 2001 identifier les quadrilatèresinventaire et comparaison de leurs propriétésanalyse d’un tableau synthèse

18 janvier 2001 exercice avec Cabriobserver des “ transformations ” de quadrilatères : dégager des propriétés

22 janvier 2001 correction des exercices avec cabri sur les quadrilatèresvisionnement collectif des “ transformations ” : analyse des propriétés etvérificationsnotion de figurefiche d’exercices à compléter individuellementconclusions sur les liens entre les différents quadrilatères

25 janvier 2001 analyse de l’historique par rapport à la construction d’un carréélaboration d’un programme de construction à partir de l’historiquenotion de figure et lien entre la construction et les propriétés

1er février 2001 évaluation individuelleconstruction d’un carré (figure stable) avec cabri à partir de ses diagonalesexercices sur une fiche : repérage des propriétés des quadrilatères et du vocabulairelié aux quadrilatères

8 février 2001 synthèse du travail sur les quadrilatèresconstruction d’un carré à partir d’un côté (cabri et papier-crayon)synthèse sur ce qu’on appris en géométrie et sur la complémentarité cabri et outilsusuels ; spécificité de cabri

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IV- Conditions de l’intégration1 - Les séances d’initiation

• Choix explicites– mise en contact des élèves avec le maximum

de fonctionnalités– pas d’objets mathématiques nouveaux– institutionnalisation de connaissances liées au

logiciel– les élèves doivent agir, observer et écrire des

remarques

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ExempleExercice 4Trace 3 points A, B et C. Construis le triangle ABC. Bouge les points.Cherche “ milieu ” dans les menus.Construis le milieu I du côté [AB] et le milieu J du côté [AC].Bouge encore les points.Que remarques-tu ?Construis le segment [IJ]. Mesure les segments [IJ] et [BC].Bouge les points.Que remarques-tu ?Enregistre la figure (appelle-la pierre 4 si tu t’appelles Pierre)

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Eléments d’analyse

• conflit entre la souris et le crayon– l’action d’abord

• conflit entre l’ancien et le nouveau– demander des remarques était prématuré

• conflit entre une direction et l’errance– difficulté de lire et suivre les consignes

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“ Ce logiciel informatique nous permet d’utiliser la géométrie tout en apprenant à utiliser l’informatique. Tout d’abord on a regardé comment on pourrait l’utiliser et ensuite c’était à nous, on nous a donné des exercices à faire et à chaque fois, on avait une petite question “ Que remarques-tu ? ” après chaque exercice. On nous a dit qu’on allait utiliser ça toutes les semaines à la place de la géométrie. C’est sur que c’est un peu plus dur que d’habitude parce que c’est nouveau mais on devra s’y faire. ”

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“ quand on se sent maître de la souris, on veut en faire toujours plus. Mais, mon voisin ne fait que jouer ! Il ne fait que bouger la souris, cliquer et bouger la figure, tandis que moi, j’écris ! Un voisin pareil, c’est très embêtant ! Moi, je voudrais être toute seule, être maîtresse de la souris ! ”

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• institutionnalisation de connaissances-cabri- on peut choisir trois sortes de points :

- le point libre qui peut se déplacer partout ;- le point sur objet qui ne se déplace que sur l’objet (segment, cercle) ;- le point fixe qui ne peut pas se déplacer tout seul (milieu, intersection) ;

- le déplacement des points permet d’invalider ou de vérifier perceptivement les propriétés des constructions effectuées.

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- les connaissances-cabri ne sont pas tout de suite opératoires

exemple: les élèves n’utilisent pas le déplacement pour vérifier leur construction

- les trois types de points sont bien identifiés mais ils deviennent opératoires plus tard lors de la construction de «carrés fixes»

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“ Nous sommes allés dans la bibliothèque pour observer un carré, sur ordinateur qui était relié à la télé. J’ai appris pourquoi lors de la dernière séance nos carrés bougeaient de forme et devenaient des rectangles ou des losanges ou des parallélogrammes. C’est parce que nos carrés n’étaient pas des points fixes. ”

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IV - Conditions de l’intégration2 - Types de tâches et types de techniques

• tâche et technique au sens de la théorie anthropologique (Chevallard)

• tâche: ce qu’on a à faire• technique: manière d’accomplir une tâche

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Huit types de tâchest1 : construire des quadrilatèrest2 : construire des quadrilatères à partir des diagonales étant donnés des segments de longueur donnéet3 : reconnaître des quadrilatères dans une figure complexet4 : décrire les différents éléments d’une figure et notamment d’un quadrilatèret5 : décrire les propriétés de certains quadrilatèrest6 : établir des liens entre différents quadrilatèrest7 : élaborer un programme de constructiont8 : construire un carré à partir de ses diagonalest9 : construire un carré à partir de ses côtés

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Types de techniques

- technique perceptive (TP)

- technique perceptivo-théorique (TPT)

- technique discursive algorithmique (TDA)

- technique analytique (TA)

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Evolution des types de tâches et des techniques

Cabri (C) Papier-crayon (PC)S1 t1 TP t2° TPS2 t8° TP t2° et t5 TA et TPTS3 t3, t4 et t5 TP, TA, TPTS4 t5 et t6° TA et TPTS5 t5 et t6° TA et TPTS6 t7 et t8° TDA t7 et t8° TDAS7 t8° TDA et TPTS8 t9 TDA et TPT t9 TDA et TPT

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- entrelacement des tâches en cabri et en papier-crayon

- entrelacement des tâches anciennes et des tâches nouvelles

- deux types de tâches organisent le travail conceptuel des élèves (t1 et t5) même si ces tâches se déploient ensuite dans d’autres tâches (t2, t8, t6)

- évolution des techniques visées: de TP à TPT mais en passant par d’autres techniques comme TA ou TDA

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- un principe est à la base du choix des types de tâches: une connaissance doit apparaître en tant qu’outil pour résoudre une difficulté ou une question

- ce principe de base est un des éléments pour trouver la «juste distance» entre l’ancien et le nouveau qui est l’une des conditions de l’intégration

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IV - Conditions de l’intégration3 - Dialectique ancien/nouveau et «juste distance»

• Description de la première séance– travail collectif et oral sur les quadrilatères– travail en deux groupes (chaque élève travaille

individuellement et ensuite change de groupe): le premier groupe travaille avec cabri et a comme tâche t1 «construire des quadrilatères», le second travaille avec le papier-crayon et a comme tâche t2 «construire des quadrilatères particuliers à partir des diagonales étant donnés deux segments de longueurs 5cm et 8cm»

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- Séance organisée autour d’une tâche ancienne qui doit être accomplie par une technique nouvelle instrumentée par cabri, et d’une tâche nouvelle en utilisant des instruments anciens : situation très ouverte

- l’ouverture de la situation ne résidait pas dans la variété des quadrilatères ou des techniques pour les construire mais dans les potentialités par la suite (dialectique ancien/nouveau)

- cette ouverture a posé beaucoup de problèmes de gestion

- utilisation de techniques perceptives: des carrés et des rectangles essentiellement

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- Problèmes dans la gestion: manque de temps pour les deux tâches, beaucoup de demandes d’aide, trop de difficultés conceptuelles, trop de difficultés instrumentales, beaucoup d’éclatement dans les procédures des élèves, peu de variété de quadrilatères, difficulté de prise d’informations pour la synthèse

- Le non respect de la «juste distance» entre l’ancien et le nouveau a fait infléchir le travail prévu dans de nouvelles directions

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IV - Conditions de l’intégration4 - Dimension temporelle de la gestion du travail

• La gestion du temps didactique - découpage d’un savoir dans une durée- est une des difficultés du travail des enseignants débutants et des enseignants experts qui doivent, par exemple, intégrer les nouvelles technologies dans l’enseignement

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-Passage d’une gestion «au jour à jour» à la maîtrise du temps didactique

- reconstrution a posteriori du temps didactique

- acceptation de l’instabilité temporelle qui est celle d’une non encore maîtrise de ce qui vient après: pas de vision globale du temps didactique

- trop d’irrégularités, trop de «trous» dans le temps cela allait contre un autre principe du fonctionnement de ces classes: on travaille par périodes

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Comparaison de deux progressions

1) Reproduction de figures planes2) Construction de figures géométriques à partir d’unprogramme de construction, d’un énoncé

- construction d’un parallélogramme- notion de parallèles

- construction d’un carré- notion de symétrie

- construction d’un rectangle- notion de cercle, de diamètre

- construction d’un losange- distance entre deux points

- construction d’un tangram- reconnaissance des différents polygones- récapitulation des propriétés des différentsparallélogrammes– connaître les propriétés géométriques des figures

3) Description, représentation et construction- écriture du programme de construction d’unefigure- élaboration d’un langage géométrique

1 – Reproduction de figures planes2 – Initiation au logiciel Cabri3 – Construction de figures géométriques,notamment des quadrilatères

- construction de quadrilatères quelconquesen utilisant cabri et les instruments usuels- construction de quadrilatères particuliers àpartir de leurs diagonales- inventaire et comparaison des propriétésdes quadrilatères- liens entre les différents quadrilatères- notion de figure- élaboration d’un programme deconstruction- construction d’un carré à partir d’unprogramme de construction- tracé de perpendiculaires et de parallèles

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- pas de ruptures globales : des activités de reproduction, de construction, de description, d’identification de propriétés;

- des changements locaux : travail plus explicite sur les liens entre les quadrilatères que dans l’année 1999-2000

- conservation de pratiques telles que l’élaboration d’un programme de construction et son utilisation pour la construction de quadrilatères

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- cette reconstruction a posteriori du temps didactique montre qu’il y a une «juste distance» entre l’ancienne et la nouvelle progression

- cette condition d’intégration n’a pas été identifiée en tant que telle par les enseignantes qui ont dit plusieurs fois l’inconfort de travailler dans l’urgence, sans savoir ce qui venait après, la prise de risques, le changement radical de leurs manières de faire et de concevoir les séances

- et pourtant ... une cohérence s’est construite par l’entrelacement de l’ancien et du nouveau (au niveau des principes, des tâches et des techniques)

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Paradoxe temporel

- on a passé trop de temps sur les quadrilatères et les élèves n’ont pas eu assez de temps

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Gestion de plusieurs temporalités

- temps didactique

- temps de l’outil

- temps de travail de l’élève

- temps personnels

- temps de l’enseignement

Ces différentes temporalités sont parfois enchêvetrées les unes dans les autres

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Capital de temps

La gestion temporelle est faite par l’enseignant de manière à estimer le coût des différents rapports:

- rapport entre le temps de l’outil et le temps didactique

- rapport entre le temps de travail et le temps de l’outil

pour économiser le maximum du capital de temps

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«on a passé trop de temps et les élèves n’ont pas eu assez de temps» : on a dépensé trop de capital de temps sans que le temps didactique avance et sans que le temps de manipulation (temps de l’outil) soit important

- besoin de faire avancer plus rapidement le temps didactique tout en augmentant le temps de manipulation : comment? relation entre individuel et collectif; savoir aller à l’essentiel

- l’économie temporelle est l’une des conditions de l’intégration

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IV - Conditions de l’intégration5 - Institutionnalisation, évaluation et phases de synthèse

• Cycles d’institutionnalisations locales à partir des séances d’initiation: caractère opératoire des connaissances cabri;

• trois moments d’évaluation : deux en C et PC pendant les séances, et un trois mois plus tard– difficultés de la prise d’informations, de la rapidité des

stratégies, le manque de traces écrites ou le conflit entre la souris et le crayon

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Evaluation

- contraintes externes: montrer ce qu’on fait, problème de la légitimité institutionnelle («on a des comptes à rendre»)

- contraintes internes : pouvoir prendre des informations sur le travail de chacun (avoir besoin de savoir où les élèves en sont)

- trouver d’autres moyens d’évaluation

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Phases de synthèse

- difficultés de gestion :

- diversité et quantité importante de stratégies (expansion et éclatement, comment revenir à une réduction?)

- rareté des traces écrites

- rapidité du travail

- importance de ces phases à chaque étape du travail avec cabri:

- homogénéiser la classe, institutionnaliser certaines techniques, sortir de l’individuel

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Conclusion

La «juste distance» entre l’ancien et le nouveau est l’une des conditions d’intégration de cabri dans une classe ordinaire:

- au niveau des tâches et des techniques

- au niveau des principes qui fondent les pratiques d’enseignement

L’économie temporelle est un autre facteur d’intégration ainsi que la prise en compte des différents moments didactiques, notamment le moment d’institutionnalisation et le moment d’évaluation.