Integration Calcul Integral Suite Numerique

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  • Intgration et suites Calcul intgral et suite numrique Exercices corrigs

    SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)

    1

    Objectifs abords dans cette fiche : (cliquez sur lexercice pour un accs direct)

    Exercice 1 : tudier le sens de variation dune suite dfinie par une intgrale

    Exercice 2 : montrer quune suite dfinie par une intgrale est majore ou minore

    Exercice 3 : dterminer la limite dune suite dfinie par une intgrale (avec le thorme des gendarmes)

    Exercice 4 : justifier la convergence dune suite dfinie par une intgrale

    Exercice 5 : dmontrer quune suite dfinie par une intgrale est convergente et en prciser la limite

    Exercice 6 : dterminer la limite dune suite dfinie par une intgrale (aprs calcul du terme gnral)

    Exercice 7 : donner la limite dune suite dfinie par une intgrale (avec un changement de variable)

    Accs direct au site www.sos-devoirs-corriges.com

    Calcul intgral et suite numrique Intgration

    Exercices corrigs

  • Intgration et suites Calcul intgral et suite numrique Exercices corrigs

    SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)

    2

    Soit ( ) la suite numrique dfinie par :

    Montrer que la suite ( ) est croissante.

    Rappel : Linarit de lintgrale (linarit additive et linarit multiplicative)

    Soient deux rels et . Si et sont deux fonctions continues sur un intervalle [ ] avec , alors :

    ( ( ) ( ))

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    Pour tout entier naturel ,

    ( )

    Daprs la linarit de lintgrale, il vient que :

    (

    )

    ( )

    Or, pour tout rel [ ], daprs la croissance de la fonction exponentielle, il vient que ,

    cest--dire . Par consquent, pour tout rel [ ], . Par ailleurs, pour tout rel

    [ ], , do . Enfin, pour tout rel [ ] et pour tout entier naturel , .

    Lintgrande est donc une fonction positive ou nulle sur [ ], cest--dire ( )

    .

    Rappel de la notion dintgrande : Dans une intgrale, la fonction qui est intgre est appele intgrande.

    Rappel : Positivit de lintgrale

    Soit une fonction continue sur un intervalle [ ] avec . Alors, pour tout rel [ ] :

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    Exercice corrig 1 (1 question) Niveau : facile

    Correction de lexercice 1 Retour au menu

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    3

    Daprs la positivit de lintgrale, en intgrant sur [ ], il vient finalement que :

    ( )

    ( )

    Pour tout entier naturel , donc la suite ( ) est croissante.

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    SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)

    4

    Soit ( ) la suite numrique dfinie par :

    Montrer que la suite ( ) est minore.

    Pour tout rel [ ] et pour tout , et . Do pour tout [ ].

    Par consquent, daprs la positivit de lintgrale, en intgrant sur [ ] (avec ), on a :

    pour tout entier naturel donc la suite ( ) est minore par 0.

    Exercice corrig 2 (1 question) Niveau : facile

    Correction de lexercice 2 Retour au menu

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    Soit ( ) la suite numrique dfinie par :

    ( )

    Dterminer la limite de la suite ( ) .

    Rappel : Conservation de lordre par intgration (ordre et intgrale / intgration dune ingalit)

    Soient et deux fonctions continues sur un intervalle [ ] avec . Alors, pour tout rel [ ] :

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    Remarques :

    On dit que lintgrale conserve lordre. La rciproque nest pas vraie.

    Pour tout rel [ ], . Or, la fonction logarithme nprien est continue et croissante sur

    lensemble des rels strictement positifs, do ( ) , cest--dire ( ) .

    De plus, pour tout rel [ ], donc, en multipliant lingalit ( ) par , il

    rsulte que ( ) .

    Ainsi, comme lintgrale conserve lordre, en intgrant sur [ ], il vient que :

    ( ) ( )

    [

    ]

    [ ]

    ( )

    Rappel : Thorme des gendarmes (aussi appel thorme dencadrement)

    Soient ( ), ( ) et ( ) trois suites de nombres rels et soit un rel.

    Si, pour tout entier suprieur un certain entier ,

    Alors,

    Exercice corrig 3 (1 question) Niveau : moyen

    Correction de lexercice 3 Retour au menu

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    Or,

    donc la suite ( ) est encadre par deux suites de limite nulle.

    Finalement, daprs le thorme des gendarmes,

    . Autrement dit, la suite ( ) tend vers 0.

    Fonction dfinie par ( ) Primitives dfinies par ( ) Conditions sur et

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    SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)

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    Soit ( ) la suite numrique dfinie par :

    1) Dmontrer que, pour tout entier naturel , .

    2) Etudier la monotonie de la suite ( ) .

    3) En dduire la convergence de la suite ( ) .

    1) Dmontrons que, pour tout entier naturel , .

    La fonction sinus est continue et positive ou nulle sur [ ], si bien que pour tout entier naturel , .

    De surcrot, lintgrale dune fonction continue et positive tant positive, pour tout , .

    2) Etudions la monotonie de la suite ( ) .

    Pour tout entier naturel ,

    ( )

    ( )

    Or, pour tout rel [ ], dune part , cest--dire et, dautre part,

    . Donc, pour tout , ( ) . En vertu de la conservation de lordre par

    intgration, il vient que , cest--dire . La suite ( ) est dcroissante.

    3) Concluons.

    Rappel : Convergence dune suite monotone

    Toute suite croissante et majore est convergente.

    Toute suite dcroissante et minore est convergente.

    Daprs la premire question, la suite ( ) est minore par 0. En outre, daprs la question prcdente, elle

    est dcroissante. Il rsulte que la suite ( ) est convergente.

    Exercice corrig 4 (3 questions) Niveau : facile

    Correction de lexercice 4 Retour au menu

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    Soit ( ) la suite numrique dfinie par :

    1) Calculer les deux premiers termes de la suite ( ) .

    2) Montrer que la suite ( ) est croissante.

    3) Montrer que la suite ( ) est majore.

    4) En dduire la convergence de la suite ( ) .

    5) Montrer que

    .

    6) En dduire la limite de la suite ( ) .

    1) Calculons les deux premiers termes de la suite ( ) .

    [

    ]

    Soit la fonction dfinie sur [ ] par ( ) . Cette fonction est drivable sur [ ] et, pour tout rel

    [ ], ( ) . De plus, cette fonction est positive sur [ ] do le rsultat suivant :

    ( )

    ( )

    [ ( ( )

    )]

    [ ( )]

    Fonction dfinie par ( ) Primitives dfinies par ( ) Conditions sur

    ( )

    ( ) ( ( )) drivable et

    Remarque :

    , cest--dire . On peut conjecturer que la suite ( ) est croissante.

    2) Etudions la monotonie de la suite ( ) .

    Pour tout rel [ ], ( ). Or, pour tout rel [ ], et

    donc , cest--dire . Il vient lingalit puis, en

    vertu de la dcroissance de la fonction inverse sur ,

    .

    Exercice corrig 5 (6 questions) Niveau : moyen

    Correction de lexercice 5 Retour au menu

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    Ainsi, en intgrant sur [ ], il rsulte de la conservation de lordre par intgration que :

    Finalement, pour tout entier naturel . La conjecture mise la question prcdente est vrifie : la

    suite ( ) est croissante.

    3) Montrons que la suite ( ) est majore.

    Pour tout rel [ ], , do . Et, par passage linverse, il sensuit que

    .

    Ainsi, en intgrant sur [ ], il rsulte de la conservation de lordre par intgration que :

    [

    ]

    [ ]

    Finalement, . La suite ( ) est donc majore par le rel 1.

    4) Montrons que la suite ( ) est convergente.

    Daprs la 2me question, la suite ( ) est croissante et, daprs la 3me

    question, la suite ( ) est majore.

    Par consquent, la suite ( ) est convergente ; elle converge vers un rel que la dernire question

    permettra de prciser.

    5) Etudions la limite de la suite ( ) .

    Pour tout rel [ ], on a :

    Or, . Ainsi, comme la fonction inverse est dcroissante sur , on a :

    De plus, . Ainsi, comme la fonction oppos est dcroi