Integrales num©riques

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  • 1. UNIVERSITE SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH
    FACULTE DES SCIENCES
    DHAR EL MEHRAZ
    FES
    MASTER DE CHIMIE
    OPTION: CIS
    Les mthodes d'intgration numrique
    2010 / 2011
    Samir Chtita
    1
  • 2. Introduction
    La mthode des rectangles
    PLAN
    La mthode des trapzes
    Le mthode de Simpson
    2
  • 3. L'intgration numrique est une partie importante de l'analyse numrique et un outil indispensable en physique numrique.
    On intgre numriquement dans deux cas principaux:
    Introduction
    3
  • 4.
    • Lorsquon ne peut pas intgrer analytiquement.
    • 5. Lorsque l'intgrande (la fonction intgrer) est fourni non pas sous la forme d'une fonction mais de tableaux de mesures, cas d'ailleurs le plus frquent dans la vraie vie.
    4
  • 6. 5
    En analyse numrique, il existe toute une famille d'algorithmes permettant d'approcher la valeur numrique d'une intgrale.
  • 7. 6
    Toutes consistent approcher l'intgrale :
    Par une formule dite de quadrature, de type
    Le choix de p, des pondrations i et des nuds xi dpendent de la mthode employe.
  • 8. 7
    Les mthodes numriques d'intgration sont nombreuseset les techniques sont trs diverses. Des trs simples, comme la mthode des rectanglesaux trs complexes comme certaines varits de la mthode de Monte-Carlo.
    Mon but est de vous donner un outil pour intgrer des fonctions pas trs tourmentes.
  • 9. La mthode
    des
    rectangles
    8
  • 10. 9
  • 11. 10
    Considrons donc une fonction continue sur un intervalle [a,b].
    Je ne vais pas vous faire un cours sur l'intgration!
    Intgrer pour nous, signifie calculer l'aire sous la courbe de la fonction entre a et b.
  • 12. 11
    La premire mthode qui vienne l'esprit, c'est de dcouper l'aire entre la courbe f(x), l'axe des x et les droites x= a et x = b, en une multitude de petits rectangles de largeur faible, appelons la h, et de hauteur f(h).
    L'aire sous la courbe est obtenue en sommant tous ces petits rectangles. Voyons cela sur un schma:
  • 13. 12
  • 14. 13
    Comme vous le constatez, on a le choix entre trois techniques:
    1 - on fait concider le sommet haut gauche du rectangle avec la courbe : c'est la mthode des rectangles gauche,
    2 - on fait concider le sommet haut droit du rectangle avec la courbe : c'est la mthode des rectangles droite,
    3 - on fait concider le milieudu cot haut du rectangle avec la courbe: c'est la mthode du point milieu.
  • 15. 14
    Posons h = (b - a)/n,
    o n est le nombre de rectangles avec lesquels nous allons paver l'aire calculer.
    videment, plus n sera grand et plus la prcision du calcul sera grande.
    Un rapide calcul nous montre que dans le cas:
  • 16. 15
    1 - mthode des rectangles gauche, on obtient
    2 - mthode des rectangles droite, on obtient
    3 - mthode du point milieux, on obtient
  • 17. Mthode trs simple mais pas trs prcise. Mais facile coder!
    Pour des fonctions (polynomiales, sin, cos, exp), cette mthode donne des rsultats acceptables.
    conclusion
    16
  • 18. 17
    PROGRAM rectangles
    *Intgration par la mthode des rectangles (point milieu* a = borne inferieure d'intgration* b = borne suprieure d'intgration* n = nombre de pas (rectangles)* aire = surface retourneSUBROUTINE IntRectangles (fn,a,b,n,aire) REAL a,b,fn,aire INTEGER n EXTERNAL fn REAL x,h* Initialisation des variables
    aire = 0 x = a h = (b-a)/n* Boucle de calcul
    DO WHILE (x .LT. b) aire = aire + h*(fn(x+h)+fn(x))/2 x = x+h ENDDO END
    Sur Fortron
  • 19. La mthode
    des
    trapzes
    18
  • 20. 19
    La mthode des trapzes est du mme tonneau que celle des rectangles.
    Vous avez sans doute compris qu'on utilise non plus des rectangles pour paver l'aire mais des trapzes. Ainsi, la partie du pav qui touche la courbe est plus proche.
  • 21. 20
    Comme plus haut, je partage l'intervalle [a,b] en n petits trapzes de largeur h = (b-a)/n. Je sais que l'aire de chaque petit trapze est :
    Ai = (h/2)*(f(a+ih) + f(a+(i-1)h)).
  • 22. 21
    Nous obtenons l'aire recherche en sommant l'aire de tous les trapzes entre a et b, ce qui nous donne :
  • 23. 22
    La mthode des trapzes standard est une mthode d'ordre 2,(dmonstration par dveloppement de Taylor). On peut la pousser l'ordre 4 en estimant f"(x) par (f'(b)-f'(a))/(b-a). On appelle cette mthode la mthode des trapzes avec correction aux extrmits. Elle donne :
  • 24. 23
    * Intgration par la mthode des trapzes
    * a = borne inferieure d'intgration* b = borne suprieure d'intgration* n = nombre de pas* aire = surface retourne SUBROUTINE Int Trapzes (fn,a,b,n,aire) REAL a,b,fn,aire INTEGER n EXTERNAL fn REAL h, app INTEGER i* Boucle d'intgration* Initialisation des variables aire = 0 h = (b-a)/n* Calcul de l'aire approximative du trapze f(a) f(b)
    app = (h/2)*(fn(a)+fn(b))* Boucle de calcul
    DO i=1, n-1aire = aire + fn(a+i*h) ENDDO* Calcul final de l'aire aire = app + aire*hEND
    Sur Fortron
  • 25. La mthode
    de
    Simpson
    24
  • 26. 25
    Dans la mthode des trapzes, nous avons en fait interpol f(x) par une droite entre les points i et i+h de l'intervalle.
    Dans la mthode de Simpson, nous n'allons plus interpoler par une droite mais par un polynme de degr 2, ce qui va amliorer notre prcision.
  • 27. 26
    Plaons nous autour d'un point x0 appartenant l'intervalle [a,b], dans la maille de calcul x0-hetx0+h.
    Pour un accroissement(x-x0), le dveloppement de Taylor limit au second ordre nous donne:
    f(x) = f(x0) + (x-x0)f'(x0) + (1/2)(x-x0)^2f"(x0) + O((x-x0)^3).
  • 28. 27
    Nous savons que :
    f'(x0) = f(x0+h) - f(x0-h)/2h
    et que :
    f"(x0) = (f(x0+h) - 2f(x0)+ f(x0-h))/h^2
    Si nous remplaons ces valeurs dans le dveloppement limit et que l'on intgre entre x0-h et x0+h,
    on obtient l'aire lmentaire :
    (f(x0+h) + 4f(x0)+ f(x0-h))*h/3.
  • 29. 28
    L'intgrale recherche s'obtient en sommant toutes les aires lmentaires. Il faut quelques petites manip calculatoires sans intrt Et l'on obtient :
  • 30. 29
    La mthode de Simpson est une mthode d'ordre 4.
  • 31. En Fortran
    30
    PROGRAM mthodedeSimpson* a = borne inferieure d'intgration* b = borne suprieure d'intgration* n = nombre de pas* aire = surface retourne SUBROUTINE Int Simpson(fn,a,b,n,aire) REAL a,b,fn,aire INTEGER n EXTERNAL fn REAL h,SommePaire, SommeImpaire INTEGER i* Boucle d'intgration* Initialisation des variables
    aire = 0 h = (b-a)/(n*2)SommePaire = 0SommeImpaire = 0* Calcul de la somme des indices impaires DO i=1, n-1SommeImpaire = SommeImpaire + fn(a+h*2*i) ENDDO*Calcul de la somme des indices paires DO i=1, nSommePaire = SommePaire + fn(a+h*(2*i-1)) ENDDO*Calcul final de l'aire aire = h*(fn(a) + fn(b)+ 2*SommePaire + 4*SommeImpaire)/3END
  • 32. Merci
    pour votre attention
    Samir Chtita
    31