Integrais curvilineas

7/21/2019 Integrais curvilineas

1/15

Exercices - Intgrales curvilignes : corrig

Formes diffrentielles

Exercice 1 - - Deuxime anne - Remarquons dabord que U est toil, par exemple par rapport au point (1, 0). On vrifie

ensuite que est ferme. En effet, si on pose

P(x, y) = yx2 +y2

et Q(x, y) = x

x2 +y2,

on vrifie aisment que :P

y =

Q

x =

y2 x2(x2 +y2)2

.

Par le thorme de Poincar, est exacte. Cherchons ses primitives sur U, i.e. les fonctions fde classe C1 surUtelles que :

f

x

=

y

x2

+y2

, f

y

= x

x2

+y2

.

On commence par rsoudre la deuxime quation, en intgrant par rapport y . On trouve :

f(x, y) = arctan

y

x

+H(x),

o Hest une fonction C1 qui ne dpend que de x. On introduit cette expression de f dans ladeuxime galit :

f

x=H(x) y

x2 +y2 = y

x2 +y2.

On a donc H(x) = 0 sur U, ce qui entrane que Hest une constante. Les primitives de sontdonc de la forme :

f(x, y) = arctan

yx

+C,

o Cest une constante relle.

Exercice 2 - - Deuxime anne -

1. En posantP(x, y) = 2xy et Q(x, y) =x2y , on a :

P

y =

Q

x =2x

y2 .

2. La forme diffrentielle est ferme, et louvertUest toil. Daprs le thorme de Poincar,la forme diffrentielle est exacte. On peut aussi prouver quelle est exacte en calculant sesprimitives, i.e. en recherchant f telle que : = df. On doit alors rsoudre :

f

x =

2x

y et

f

y =x2

y .

La premire quation donne :

f(x, y) =x2

y +H(y),

http://www.bibmath.net 1


2/15


et on introduit dans la seconde pour obtenir :

f

y = x

2

y2 +H(y) = x

2

y2 .

On a donc H(y) = Cste, et on vrifie aisment que f(x, y) = x2

/y est une primitive de : est exacte.

3. Le calcul ne dpend pas du chemin choisi, mais uniquement des extrmits pour une formediffrentielle exacte. On trouve :

C = f(3, 8) f(1, 2) = 9/8 1/2 = 5/8.

Exercice 3 - Une forme diffrentielle exacte, une ! - Deuxime anne- En posantP(x, y) =y36xy2 etQ(x, y) = 3xy26x2y, on vrifie aisment que les drives

croises :

Py=Q

x = 3y2

12xy

sont gales. La forme diffrentielle est ferme, et comme elle est dfinie sur R2 qui est toile, elleest exacte. La recherche dune primitive par rsolution successive des deux drives partiellesne pose pas de problmes ! On trouve quune primitive est f(x, y) = xy3 3x2y2. On utiliseenfin cette primitive pour calculer lintgrale curviligne, et on trouve :

C= f(B) f(A) = 236.

Exercice 4 - Forme diffrentielle exacte, et intgration le long dune cardiode -Deuxime anne-

On pourrait remplacer x par r cos , etc..., puis utiliser un paramtrage par . Il est plussimple ici de constater que est une forme diffrentielle exacte et de calculer une primitive. Eneffet, si on note P(x, y) =X+y et Q(x, y) =x y, on a lgalit des drives croises

P

y =

Q

x = 1.

La forme diffrentielle est ferme, et daprs le thorme de Poincar, puisquelle est dfinie surlouvert toil R, elle y est exacte. On cherche une primitive f de sur R2. On doit rsoudre :

f

x =x+y

f

y =x y.La rsolution de ce systme se fait contrainte par contrainte. On a dabord :

f(x, y) =x2

2 +xy+H(y).

On rintroduit dans la seconde quation, et on trouve :

f(x, y) =x2

2 +xy y

2

2.



3/15


On a finalement : C

= f(0, 0) f(2, 0) = 2.

Exercice 5 - Rendre une forme exacte- Deuxime anne-

1. Pour que la forme diffrentielle soit exacte, il faut quelle soit ferme. On a donc :

(x) = 2x

(1 +x2)2.

On en dduit que

(x) = 11 +x2

.

Avec cette condition, la forme diffrentielle est ferme, et comme elle est dfinie sur R2

qui est toil, elle est exacte.

2. Il suffit de rsoudre le systme dquations aux drives partielles : fx =

2xy(1+x2)2

fy =

11+x2

.

On commence par exemple par intgrer la seconde quation :

f(x, y) = y1 +x2

+H(x).

Si on reporte cette forme dans la premire quation, on trouve H(x) = 0, et donc

f(x, y) = y

1 +x2

est une primitive de sur R2.

3. La courbe Cest ferme, et la forme diffrentielle est exacte, donc son intgrale curvilignele long de cette courbe est nulle.

Exercice 6 - Forme non exacte que lon rend exacte- Deuxime anne -

1. Une forme diffrentielle exacte est ferme. Mais dans notre cas, notant P(x, y) = x2 +y2 a2 etQ(x, y) = 2ay, on a :

Py

= 2y et Qx

= 0.

Les drives croises ne sont pas gales, et la forme diffrentielle nest pas ferme, doncnest pas exacte.

2. Il faut que la forme diffrentielle soit ferme. NotantP1(x, y) =f(x)P(x, y)et Q1(x, y) =f(x)Q(x, y), on doit avoir :

P1y

=f(x)2y=Q1

x =f(x)Q(x, y) = f(x)2ay.



4/15


La condition est suffisante, car alors on une forme diffrentielle ferme, dfinie sur unouvert toil R2, et qui est donc exacte. La condition vrifie par fscrit donc :

2ayf(x) = f(x)2y.

On en dduit que f(x) = f(x)a . La fonction f(x) =ex/a vrifie la condition.3. SoitF(x, y)une primitive de . Elle vrifie le systme dquations aux drives partielles :

Fx = e

x/a(x2 +y2 a2)Fy = 2ayex/a.

La seconde quation donne par exemple :

F(x, y) = ay2ex/a +H(x).

On reporte cette formule dans la premire expression :

ex/ay2 +H(x) =ex/a(x2 +y2 a2).On en dduit

H(x) =x2ex/a a2ex/a.Il faut encore intgrer. La partie de droite se fait par intgrations par parties pour lapartie en x2ex/a (et mme double intgration par parties).

4. Aucun calcul faire ! La forme diffrentielle est exacte, et on lintgre sur une courbeferme. On trouve 0 !

Exercice 7 - Primitives en dimension 3 !- Math Sp - On pose :

P = 3x2y+z3, . . . Q= 3y2z+x3, . . . R= 3xz2 +y3.

On vrifie que la forme diffrentielle est ferme, en calculant :

P

y Q

x,

P

z R

x et

Q

z R

y,

et en montrant que ces quantits sont nulles. Comme R3 est un ouvert toil, le thorme dePoincar garantit que est exacte. On cherche donc une fonction f telle que :

f

x =P,

f

y =Q,

f

z =R.

La premire condition donne :f

x= 3x2y+z3,

ce qui donne :f(x,y ,z) =x3y+xz3 +g(y, z),

o g est une fonction de classe C1 sur R2. On a ensuite :

f

y = 3y2z+x3 = x3 + g

y = 3y2z+x3.



5/15


On en dduit que g(y, z) =y3z + h(z), oh est une fonction C1 sur R. On cherche de mme h :

f

z = 3xz2 +y3 = 3xz2 +y3 +h(z) = 3xz2 +y3.

h est constante, et on a prouv que les primitives de sont de la forme :

f(x,y ,z) =x3y+xz3 +y3z+c, c R.

Exercice 8 - Dans lespace- Deuxime anne - On peut bien sr paramtrer et tout et tout... mais cest un peu compliqu. Il est en fait

plus facile de constater que est exacte : pour cela, on peut en rechercher une primitive, et lontrouve f(x,y ,z) = (xy+ xz + yz) (on peut galement utiliser un thorme de Poincar danslespace, laide du rotationnel). Maintenant, (C) est une courbe ferme, et donc lintgralecurviligne de la forme diffrentielle le long de ce cercle est nulle.

Intgrales curvilignes


1. Il faut commencer par paramtrer. Remarquons que lquation de scrit encore :

x2 +

y a

2

2=

a

2

2.

On reconnait le cercle de centre (0, a/2), et de rayon a/2. On le paramtrise en posant

x= a cos()/2 et y = a/2 +a sin()/2. On a alors :

y2dx+x2dy =

20

a

2+

a

2sin

2 a

2sin

+

a2

4 cos2

a

2cos

d

=

20

a2 sin2 4

= a2

4

20

1 cos22

d

= a3

4 .

2. Une autre quation deest :

(x a)2a2

+(y b)2

b2 = 2.

On reconnait lquation dune ellipse, quon paramtrise en posant :

x= a(1 +

2cos ), y = b(1 +

2cos ).



6/15


On a alors :

y2dx+x2dy =

20

b2(1 +

2sin )2a

2sin

+a2(1 +

2cos )2(b

2cos )d

= 20 4ab

2

sin2

+ 4a2

b cos2

d

=

20

4ab2 sin2 + 4a2b cos2 d= 4ab2+ 4a2b= 4ab(a b).

Exercice 10 - Le long dun carr- Deuxime anne - Le carr nest pas une courbe de classe C1, mais est obtenu en recollant des morceaux de

courbes de classe C1. On a donc :

C=

C1

+C2

+C3

+C4

,

o les Ci dsignent les cts successifs du carr. Calculons par exemple lintgrale le long dusegment[AB]. On paramtrise ce segment en posant :

I= [a, a], f(t) =

x(t) = ty(t) =a

.

On a donc :

C1 = a

a

x(t)y(t) y(t)x(t)x2(t) +y2(t)

dt

=

aa

0 +a

a2 +t2dt

=

arctan

t

a

aa

= arctan(1) arctan(1)=

2.

Sur les autres Ci, on trouve la mme chose. On a donc :

C

= 2.

La forme diffrentielle nest pas exacte sur R2\{0, 0}, sinon son intgrale curviligne le long dunchemin ferm serait nulle.


1. C

=

t1

x3 + (x+x2) 2x

dx=

69

4 .



7/15


2. C

=

10

x(sin x+ cos x)dx.

On intgre par parties :

C

= [x( cos x+ sin x)]10 10

( cos x+ sin x)dx= 2sin 1 1.

Exercice 12 - Autour dun carr (bis)- Deuxim anne- On a :

C =

AB

+

BC

+

CD

+

DA

=

11

x 1x+ 1

dx+

11

1 +y1 +y2

dy

+

11

x+ 1

x2 + 1dx+

11

1 +y

1 +y2dy

= 4 1

1

dx1 +x2

= 2.

Exercice 13 - Mme origine, mme extrmit, mais chemins diffrents- Deuximeanne-

On paramtre le segment en posanty = x, 0 x 1. On a donc :

C1 = 1

0(x2 x2)dx= 0.

Un paramtrage de la parabole est dj donn dans lnonc. On a :C2

=

10

2y5 y3dy = 112

.

Les deux contours prcdents ont mme origine et mme extrmit. La forme diffrentielle nepeut donc pas tre exacte, sinon son intgrale curviligne ne dpendrait pas du chemin choisi.On peut galement vrifier que nest pas exacte en vrifiant quelle nest pas ferme. En effet,en posant P(x, y) =x2 etQ(x, y) = xy, on a :

P

y = 0 et

Q

x = y.

Les drives partielles croises ne sont pas gales.

Exercice 14 - Autour dune hlice- Math Sp - On applique simplement la dfinition :

I =

20

(y(t) z(t))x(t) + (z(t) x(t))y(t) + (x(t) y(t))z(t)dt

=

20

R2 +hRt(cos t+ sin t) +hR(cos t sin t)

dt

= 2R(h+R).



8/15


Exercice 15 - Un contour un peu plus dlicat- Deuxime anne- Les deux domaines sont des disques, que lon paramtrise en utilisant les coordonnes po-

laires par rapport au centre. Les points dintersection des cercles tant (0, 0)et (1, 1), le contour

est la runion de :C1:

x = cos ty = 1 + sin t

, t allant de2

0,

C1:

x = 1 +cosuy = sin u

, u allant de2

.

On intgre ensuite :C

=

C1

+

C2

= 0

/2 (1 + sin t)sin t+ 2 cos

2 t dt+

/2 sin2 u+ 2(1 + cos u)cos u du

=

2 1.

Exercice 16 - Le long dune cardiode- Deuxime anne- On pose P(x, y) =x+y et Q(x, y) =x y. Il est clair que :

P

y =

Q

x = 1.

La forme diffrentielle est ferme, et comme elle est dfinie sur R2 qui est -videmment- toil,elle est exacte. On calcule une primitive f de sur R2.

fx

=x+y = f(x, y) = x22

+xy+H(y).

f

y =x+H(y) =x y = f(x, y) = x

2

2 +xy y

2

2

(on a choisi la constante gale 0). Comme est exacte sur R2, on a :C

= f((0, 0)) f((2, 0)) = 2.

Exercice 17 - Autour dun cercle de lespace- Deuxime anne-

Toute la difficult consiste paramtrer le cercle. On introduit z = 1 x dans la secondequation. On obtient, aprs simplifications dusages :

4

x1

2

2+ 2y2 = 1.

Le cercle se paramtrise alors en :

x = 12+ 12cos

y = 12

sin

z = 12 12cos ,



9/15


avec [0, 2]. On obtient :

I =

20

1

2 1

2cos

1

2sin

+

1

2+

1

2cos

1

2cos

+

12

sin 1

2sin d

= 20

1

22 (cos2

+ sin

2

)d=

2

2 .

Circulation dun champ de vecteurs

Exercice 18 - - Deuxime anne - On paramtre le cercle par x(t) = R cos t et y(t) = R sin t, o t dcrit lintervalle [, ].

On a :V(x(t), y(t)) = ( sin(t)/R;cos(t)/R),

tandis que

(x(t), y(t)) = (R sin t; R cos t).On a donc :

C

V .dM =

sin2 t+ cos2 dt

= 2.

Le champ de vecteurs ne peut pas driver dun potentiel, car quand on intgre un tel champ devecteurs le long dune courbe ferme, on trouve ncessairement zro.

Exercice 19 - Dans lespace ! - Deuxime anne-

1. Par dfinition,1

F .dM =

10

(t2 t) 2t 3t2 2t 2 +t4 (1)dt

=

10t4 10t3 2t2dt

=

t5

5 5

2t2 2

3t310

= 10160

.

2. Le segment de droite [O,P] se paramtrise en :

(t, 2t,t).On a donc :

[OP]

F.dM =

10

(t t) 12t2 t2dt

=

1013t2dt

= 13

3 .



10/15


On trouve donc des rsultats diffrents. Ceci signifie que le champ de vecteurs ne drive pasdun potentiel scalaire !

Exercice 20 - Quelques calcul- Deuxime anne-

1. On a : (C)

F . dM=

0

(ab cos2 t+ab sin2 t) =ab.

On pouvait aussi interprter ceci en termes daire, car la formule donne le double de lairede la demi-ellipse (formule de calcul daire issue de la formule de Green-Riemann).

2. On peut faire un calcul direct, ou bien remarquer que la forme diffrentielle associe estferme sur R2 (galit des drives partielles croises). Comme R2 est toil, la formediffrentielle est exacte, ou, autrement dit, le champ de vecteur drive dun potentielscalaire. Comme on cherche sa circulation le long dun chemin ferm, on trouve 0.

3. L-encore, un calcul direct est possible, mais cest plus facile si on remarque que le champ

de vecteurs drive du potentiel scalaire f(x,y ,z) =x2

y2

z2

z2

. A nouveau, la courbe estferme, et la circulation du champ de vecteurs est nulle.

Formule de Green-Riemann

Exercice 21 - - Deuxime anne - Le domaine correspondant a pour paramtrage :

=

(x, y) R2; 0 x 1, x2 y x

.

On pose P(x, y) = 2xy x2

et Q(x, y) =x+y2

. On a :

I =

Q

x P

y

dxdy

=

10

xx2

(1 2x)dydx

=

10

(1 2x)(x x2)dx

=

10

x 2xx x2 + 2x3dx

= 1

30.

Exercice 22 - - Deuxime anne - On va utiliser la formule de Green-Riemann. Pour cela, on commence par chercher P et Q

tels que :Q

x = 2x3 et

P

y =

y2

2 .



11/15


On prend par exemple Q(x, y) = x4/2 et P(x, y) = y2/2. Le domaine considr est lintrieurdune ellipse, que lon paramtrise en posant :

x= a cos ety = b sin .

On a donc :I =

D

P dx+Qdy

=

/20

b2 sin2

2 (a sin ) + b

4 cos4

2 (b cos )d.

On finit de calculer cette intgrale en linarisant :

I= 4

15a4bab

2

3 .

Exercice 23 - Comparaison de deux mthodes de calcul- Deuxime anne-

1. Le bord de Kpeut tre partag en 3 parties :

C1= {(t, 0); t va de 0 1} .C1= {(cos t, sin t); t va de 0 /2} .

C3= {(0, t); t va de 1 0} .Il est facile de vrifier que lintgrale de le long de C1 ou de C3 est nulle, puisque ou xouy est nul et que fait toujours intervenir un produit xy . On a donc :

I=

= /20

cos t(sin t)2(

sin t) + 2(cos t)2 sin tdt.

On utilise les nombres complexes pour linariser les expressions en sinus et cosinus :

(sin t)3 cos t =

eit eit2i

3eit +eit

2

= 1

16i

e4it e4it + 2(e2it e2it)

=

sin4t

8 +

sin 2t

4 .

On a de mme :

cos2

t sin t=

sin3t

4 +

sin t

4 .Do :

I =

/20

sin4t

8 +

sin3t

2 +

sin 2t

4 +

sin t

2

dt

=

16

cos(3t) +1

8cos(2t) cos t

2

/20

= 5

12.



12/15


2. On a : P(x, y) =xy2 et Q(x, y) = 2xy. Daprs la formule de Green-Riemann :

=

K

(2y 2xy)dxdy.

On calcule cette dernire intgrale en passant en coordonnes polaires : x = r cos ety= r sin . On a (x, y) K 0 r 1 et 0 /2. Do :

I =

10

/20

(2r sin 2r2 sin cos )rddr

=

10

/20

(2r2 sin r3 sin2)ddr

=

10

(2r2 r3)dr

= 5

12.

On trouve (bien sr !) le mme rsultat, mais le calcul par la formule de Green-Riemannest plus facile !

Exercice 24 - Aire de lastrode- Deuxime anne- Daprs la formule de Green Riemann, si est le bord orient du domaine, on a :

A=1

2

xdy ydx.

On calcule ensuite lintgrale dune forme diffrentielle de la faon habituelle :

A =

1

2 /20 a cos

3

t

3a cos t sin2

t a sin3 t 3a sin t cos2 tdt

= 3a2

2

/20

cos4 t sin2 t+ sin4 t cos2 tdt.

On linarise les fonctions trigonomtriques laide des nombres complexes :

cos4 t sin2 t =

eit +eit

2

4eit eit

2i

2

= 1

26

ei4t + 4ei2t + 6 + 4ei2t +ei4t

e2it 2 +e2it

= 1

26

ei6t

+ 2ei4t

+ei2t

4 +ei2t

+ 2ei4t

+ei6t

= 1

25 (cos(6t) + 2 cos(4t) + cos(2t) 2) .

On en dduit : /20

cos4 t sin2 t = 1

25

20

cos6t+ 2 cos 4t+ cos 2t 2dt

=

32.



13/15


Un calcul similaire (ou le changement de variables u = /2 t) prouve que /20

sin4 t cos2 tdt=

32.

Laire recherche est donc3a2

32 units daire.

Exercice 25 - Aire dune arche de cyclode- Deuxime anne - Soit le bord du compact. Alors, par la formule de Green-Riemann, on sait que, au signe

prs :

A=

xdy=

ydx =1

2

(xdy ydx).

Choisissons par exemple la premire forme. Lintgrale sur laxe (Ox) de xdy est nulle, il suffitde choisir le paramtrage x(t) = 0 et y (t) =t. Il reste :

A = 2

0a(1 cos t) a(1 cos t)dt

= a2 20

1 2cos t+ cos2 tdt

= a2 20

3

2 2cos t+cos2t

2 dt

= 3a2 units daire.

Exercice 26 - Aire comprise entre un disque et une hyperbole - Deuxime anne -

On recommande de faire un dessin pour suivre la preuve. On va appliquer la formule deGreen-Riemann. Remarquons que lintersection de x2 +y2 4, xy 1, x >0 est donne pardeux points :

x2 + 1

x2 = 4 x4 4x2 + 1 = 0

x2 =4

12

2 ou x2 =

4 +

12

2 ,

ce qui donne, puisque x >0,

x0= 2

3 oux1= 2 +

3.

Les ordonnes correspondantes sont :

y0=

2 +

3 ouy1=

2

3.

Le bord orient de D se constitue donc de deux parties :C1 correspond la partie sur le cerclecomprise entre (x1, y1) et (x0, y0), C2 correspond la partie sur lhyperbole comprise entre(x0, y0) et (x1, y1). On a alors :

aire(D) =

C1

xdy+

C2

xdy.



14/15


On calcule dabord la deuxime intgrale, en utilisant le paramtrage :

C2=

(t, 1/t); t va de

23

2 +

3

.

On a donc : C2

xdy =

2+3

23

t1t2

dt

= [ ln t]

2+3

23

= 12

ln

2 +

323

= ln(

2 +

3).

On va paramtrer C1 laide de coordonnes polaires :

x() = 2cos() y() = 2sin(),

o va de 1 0, i dsignant langle polaire associ (xi, yi). On a donc :C1

xdy =

01

2cos (+2 cos )d

= 2 10

(cos(2) + 1)d

= sin(21) + sin(20) 2(1 0).Il reste valuer ces quantits. Mais :

sin(21) = 2sin(1) cos(1) =f racx1y12 =12

.

On prouve de mme que :

sin(20) = 1

2.

Dautre part,

sin(1 0) = sin(1)cos(0) sin(0) cos(1)=

1

4(23 23)

= 3

2

.

Puisque en outre 0 1 [0, /2], on obtient que :0 1=

3.

Finalement, en regroupant tous nos rsultats, on a prouv que :

aire(D) =2

3 ln(2 +

3),

le rsultat tant bien sr exprim en units daires.



15/15


Longueur dun arc de courbe

Exercice 27 - Longueur dun arche de cyclode- Deuxime anne - En notantf(t) = (a(t

sin t), a(1

cos t)), on a :

f(t) =

4a2 sin2(t/2) = 2a sin(t/2).

Larc a donc pour longueur :

L=

20

2a sin(t/2) = 8a.

Exercice 28 - Longueur dune spire dhlice- Deuxime anne- Un calcul rapide montre que :

x(t)2 +y(t)2 +z(t)2 = a2 +h2.La longueur de la courbe vaut donc :

20

a2 +h2dt= 2

a2 +h2.

Exercice 29 - Longueur de la cardiode- Deuxime anne- On a x() = cos = a(1 + cos )cos ety () = sin = a(1 + cos )sin . On en dduit :

x()2 +y()2 =a

2 + 2 cos = 2a cos(/2).

On en dduit :

L=

20

2a cos(/2) = 8a.

On pouvait aussi, condition de connaitre la formule, utiliser directement lexpression de labs-cisse curviligne en coordonnes polaires :

(ds)2 = (d)2 +2(d)2.


Integrais curvilineas

Documents

Transcript of Integrais curvilineas