Instabilité et mécanique végétale :exemple d’une plante carnivore

Yoël Forterre

Laboratoire IUSTI, CNRS & Aix-Marseille Université

J. Skotheim (Stanford), J. Dumais, L. Mahadevan (Havard), B. Moulia,H. Cochard (INRA Clermont), Y. Kim (Bayreuth)

1 mm

Pollinisation, dispersion de graines…

Mécanisme de défense

Nutrition(plantes

carnivores)

mouvements rapides...sans muscle

Dionée (Venus Flytrap)

Film temps réel

“the most wonderful plant in the world” C. Darwin

1 cm

principales hypothèses à l’échelle cellulaire

- mouvement rapide d’eau (osmose)

- croissance rapide (fluage de la paroi cellulaire)

rôle de la géométrie et de l’élasticité à l’échellemacro ?

1) mécanisme de fermeture ?

2) temps de fermeture ?

P

P ~10 Bars !

Lumière UV

miroirs

Caméra rapide (400 i/s)

Etude de la dynamique de fermeture

150 images/s

t (!t=0.04 s)Ouvert : convexe Fermé : concave

Courbure moyenne "m=("1+"2)/2

Courbure de Gauss "g="1"2

t(s) t(s)

dynamique typique de fermeture

accumulation et libération d’énergie élastique

8

t(s) t(s)

Très différent de l’ouverture («!croissance!lente!»)…

Manip Hervé Pelloux-Prayer

Vmax

Courbure moyenne Courbure de Gauss

9

- Surface interne : pas de déformation ( < 1%)

- surface externe : extention anisotrope (5-10 %)

Champs de déformation associé à la fermeture

y

x

seul "xn change ‘activement’ lors de la fermeture

Courbures naturelles "xn et "yn

dissection dans l’état final

libère les contraintes

géométriques

"yn revient

spontanément dansl’état initial ouvert

"xn reste

dans l’étatfinal fermé

Mécanisme de fermeture : un flambage de coque élastique

Le système change ‘activement’ "xn

MAIS feuille = coque doublement courbée

Barrière d’énergie élastique d’étirement : instabilité

état ouvert

lentrapide

état fermé

Modèle de coque élastique : statique

- feuille = coque élastique mince (épaisseur h, taille L, courbures "x "y)

- paramètre contrôlé par la plante : "xn

!

Uélastique =Ucourbure +Uétirement-

!

Ucourbure

~ Eh3L2 "x #"nx( )

2

+ "y #"ny( )2

[ ]

!

Uétirement ~ EhL6 "x"y #"x0"y0( )

2

!

"m

# > #c

# < #c

!

" =L4# 2

h2

~U

étirement

Ucourbure

Forme d’équilibre :

!

"# xUelastique = 0

!

"# yUelastique = 0

#

!

" =L

4#2

h2

!

d"

dt

#

$ %

&

' (

max

(s)1)

Vitesse de fermeture

Une forme optimale ?

!

"t (s)

#

Feuille typique: # ~ (1cm)4(0.1cm-1)2/(0.1cm)2 ~ 1

!

" =L

4#2

h2

150 images/s 2000 images/s

Dionée : L ~1 cm, h ~0.5 mm, $ ~10-3 kg/m3, E ~10 MPa

Temps de fermeture

mécanisme de dissipation interne : poroélasticité ?

Tissu végétal = milieu poreux mouimbibé d’eau

!

"p ~#h2

kE

% ~10-3 Pa.s, h ~ 0.5 mm, E ~ 107 Pa,, k ~ 10-16 m2 ???

~0.1-1 s

Estimation de &p : Rhéologie du tissu

!

"i~ 5ms

X(t)

!

" p ~ 0.3#1s

impulsion échelon

X (

mm

)

t (s)

X (

mm

)

t (s)

19

!

˙ ̇ ̇ X + ˙ ̇ X +(1+ C)

16" 2˙ X +

1

16" 2X = 0

!

X

!

t /" p

relaxation

impulsion

!

˙ ̇ X (0) = "1

16# 2X(0)

!

˙ ̇ X (0) = "1+ C

16# 2X(0)

Une poutre poroélastique ?

!

"p ~#h2

kE

Modèle complet de fermeture :un flambage de coque poroélastique piloté par unchangement de courbure naturelle

- pression fluide (Darcy) :

- Bilan d’énergie (pas d’inertie):

- changement de courbure naturelle :

Forterre et al. Nature 2005

et chez d’autres plantes ?

Film P. Marmottant

Utricularia

0.5 mm

séquence

200 ms !!!

O.Vincent et al, soumis (2010)

une application biomimétique

Holmes & Crosby Adv. Mat. (2007)

PDMS

h

L