8/9/2019 INSA Toulouse 1A Maths Integration

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Mathematiques

Regroupement 2Integration

Formation Continue

Cycle preparatoire

Fabrice DoduSandrine Scott

Annee 2007-2008

8/9/2019 INSA Toulouse 1A Maths Integration

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1 Remerciements

Je tiens a remercier Fabrice Dodu qui a elabore un cours dintegration pour le cycle preparatoire dela formation continue dont ce cours-ci sinspire beaucoup. Jen profite egalement pour le remercier pourlaide tres precieuse quil ma apportee lorsque jai eu des problemes avec le logiciel polytex.

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Chapitre I

Integrales simples

I.1 Integration des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.2 Integrales de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.3 Proprietes des fonctions integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.4 Primitive dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.5 Integration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.6 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.7 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.8 Primitives de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I.9 Primitives de fractions rationnelles en sin x et cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.10 Primitives de fractions rationnelles en shx et en chx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

I.11 Primitives de fractions rationnelles de type F

x, n

ax+bcx+d

. . . . . . . . . . . . . . . . 15

I.12 Primitives de fractions rationnelles de type Fx, ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . 16I.13 Primitives de fonctions de type eat Pn (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17I.14 Quelques exercices en plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

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4 Integrales simples

I.1 Integration des fonctions en escalier

Definition I.1 Soit [a, b] un intervalle ferme, borne de R. est appelee subdivision de [a, b] si

= {a = x0 < x1 < < xn = b}. Le pas de la subdivision est le reel P() = sup1jn (xj xj1).Chaque intervalle [xj , xj+1] pour j = 1, , n est appele intervalle de la subdivision. Si pour toutj, 0 j n, xj = a +j ban alors on dit que est une subdivision reguliere dordre n de [a, b].

Definition I.2 Soit [a, b] un intervalle ferme, borne de R.Une application f : [a, b] R est dite en escalier (sur [a, b]) sil existe une subdivision

= {a = x0 < x1 < < xn = b} telle que f soit constante sur chaque intervalle ]xj , xj+1[ , (1 j n).Remarque 1 :

- Toute fonction en escalier sur un intervalle de R est necessairement bornee.- Il existe une infinite de subdivision associee a une fonction en escalier.

y

xa=x0 x 1

xn1

b=xn

y

xa=x0 x 1

x

b=xn

n2

xn1

Definition I.3 Soit f une fonction en escalier sur [a, b] et a valeur dans R.On appelle integrale de f sur [a, b] lelement de R note

ba

f(x)dx

defini par ba

f(x)dx =

nj=1

(xj xj1) fj (I.1)

ou {a = x0 < x1 < < xn = b} est une subdivision de [a, b] et fj la valeur prise par f sur chaqueintervalle ]xj1, xj [.

Remarque 2 :- Dapres la remarque 1, lintegrale de f sur [a, b] ne depend pas de la subdivision choisie.

- Une fonction nulle partout sauf sur un ensemble fini de points de [a, b] est une fonction en escalier,son integrale est nulle.

Lemme I.4 Lintegrale dune fonction numerique positive en escalier est positiveDemonstration : document C.1.1

Proposition I.5 Soient f une fonction en escalier sur [a, b] et c un point de ]a, b[.Alors f est en escalier sur chaque intervalle [a, c] et [c, b].

Consequence : Relation de chasles

b

a

f(x)dx = c

a

f(x)dx + b

c

f(x)dx

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Integrales simples 5

I.2 Integrales de Riemann

Definition I.6 Une fonction f : [a, b] R est dite integrable sur [a, b] si, quel que soit le reel > 0,il existe un couple (g, h) de fonctions numeriques en escalier sur [a, b] tel que, pour tout x [a, b] on ag (x) f(x) h(x) et

b

a

(h(x) g(x)) dx

Remarque 3 : pour que lintegrale de f existe, necessairement f doit etre bornee (car g et h le sont).

Proposition I.7

Si f est une fonction numerique positive et integrable sur [a, b] alors son integrale est positive (even-tuellement nulle).

Proposition I.8

i) Lensemble E des fonctions integrables sur [a, b] est un sous espace vectoriel duR-espace vectorielde toutes les fonctions reelles sur [a, b].

ii) Lapplication I : E

R qui, a une fonction f

E associe son integrale

I(f) =

ba

f(x)dx

est une application lineaire sur E. Ceci signifie que (, ) R2, (f, g) E E,

I(f + g) =

ba

(f(x) + g(x))dx =

ba

f(x)dx +

ba

g(x)dx = I(f) + I(g)

Proposition I.9

Soit c un point de [a, b].

Pour que f soit integrable sur [a, b], il faut et il suffit que f soit integrable sur chaque interval le [a, c]et [c, b]

Proposition I.10

Toute fonction numerique monotone sur [a, b] est integrable.

Theoreme I.11

Toute fonction numerique f continue sur [a, b] est integrable.Demonstrat ion : document C.1.2

Interpretation geometrique de lintegrale

Si f est une fonction positive en escalier sur [a, b], son integrale definie par la formule (I.1) est lasomme des aires des rectangles. On admettra que lintegrale de f, fonction integrable positive quel-conque, est laire du domaine hachure Df = {a x b, 0 y f(x)}.

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y

xab

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6 Integrales simples

Remarque 4 : Lorsque f est continue sur [a, b], lintegrale

ba

f(x)dx est majoree(resp. minoree ) par

la quantite

1jn(xj xj1) sup

x[xj1,xj ]f(x) (resp.

1jn

(xj xj1) inf x[xj1,xj ]

f(x)) appelee somme de

Darboux superieur (resp. inferieur).

Exemple et remarque

Si f est integrable sur [a, b] alorsba

f(x)dx = (b a) limn+

1

n

nk=1

f

a + k

b an

Lintegration numerique consiste a approcher le reel

ba

f(x)dx par une somme finie de la forme

Ni=1

(xi xi1) f(i) ou i est un point appartenant a lintervalle [xi1, xi].

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Integrales simples 7

I.3 Proprietes des fonctions integrables

Dans cette section, on supposera que f est une fonction numerique integrable sur [a, b].

Jusqua present, on a defini lintegrale

ba

f(x)dx pour a < b.

Par convention, on posera

i)ba

f(x)dx = ab

f(x)dx

ii)

aa

f(x)dx = 0

Proposition I.12

Le produit de deux fonctions integrables sur [a, b] est une fonction integrable sur [a, b].

Proposition I.13

Si f est integrable sur [a, b] alors |f| lest aussi et lon a :

ba f(x)dx ba |f(x)|dx (b a) f

ou f = supx[a,b] |f(x)|.Demonstrat ion : document C.1.3

Proposition I.14

Soient f et g deux fonctions numeriques et integrables sur [a, b].Alors on a :i) Inegalite de Schwarz :

ba f(x)g(x)dx2

ba

|f(x)|2dx ba

|g(x)|2dx

ii) Inegalite de Minkowsky :

ba

|f(x) + g(x)|2dx1/2

ba

|f(x)|2dx1/2

+

ba

|g(x)|2dx1/2

Demonstrat ion : document C.1.4

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8 Integrales simples

I.4 Primitive dune fonction continue

Exemples :

Exemple A.1.1

Exemple A.1.2

Exercices :Exercice B.1.1

Definition I.15

On appelle primitive dune fonction f, une fonction F telle que F(x) = f(x).

Theoreme I.16

Soit f une fonction numerique et continue sur [a, b]. Alors la fonction F definie pour tout x [a, b]parF(x) =

xa

f(t)dt est la primitive de f sur [a, b] qui sannule en a.

Si G est une autre primitive de f sur [a, b], on a :

ba

f(x)dx = G(b) G(a) = [G (x)]ba (I.2)

Demonstration : document C.1.5

La fonction F definie pour tout x [a, b] par F(x) =xa

f(t)dt est continue si f est integrable

sur [a, b] et derivable si f est continue sur [a, b]. Une fonction integrable nadmet pas necessairement de primitive (par exemple les fonctions en

escalier).

Theoreme I.17 (1ere formule de la moyenne)Si f est une fonction numerique et continue sur [a, b], alors il existe c ]a, b[ tel queb

a

f(x)dx = (b a) f(c)

Demonstration : document C.1.6

Theoreme I.18 (2eme formule de la moyenne)S