INSA Toulouse 1A Maths Integration
of 51
date post
29-May-2018Category
Documents
view
221download
2
Embed Size (px)
Transcript of INSA Toulouse 1A Maths Integration
8/9/2019 INSA Toulouse 1A Maths Integration
1/51
Mathematiques
Regroupement 2Integration
Formation Continue
Cycle preparatoire
Fabrice DoduSandrine Scott
Annee 2007-2008
8/9/2019 INSA Toulouse 1A Maths Integration
2/51
2
1 Remerciements
Je tiens a remercier Fabrice Dodu qui a elabore un cours dintegration pour le cycle preparatoire dela formation continue dont ce cours-ci sinspire beaucoup. Jen profite egalement pour le remercier pourlaide tres precieuse quil ma apportee lorsque jai eu des problemes avec le logiciel polytex.
8/9/2019 INSA Toulouse 1A Maths Integration
3/51
Chapitre I
Integrales simples
I.1 Integration des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.2 Integrales de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.3 Proprietes des fonctions integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.4 Primitive dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.5 Integration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.6 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.7 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.8 Primitives de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I.9 Primitives de fractions rationnelles en sin x et cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.10 Primitives de fractions rationnelles en shx et en chx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.11 Primitives de fractions rationnelles de type F
x, n
ax+bcx+d
. . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.12 Primitives de fractions rationnelles de type Fx, ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . 16I.13 Primitives de fonctions de type eat Pn (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17I.14 Quelques exercices en plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8/9/2019 INSA Toulouse 1A Maths Integration
4/51
4 Integrales simples
I.1 Integration des fonctions en escalier
Definition I.1 Soit [a, b] un intervalle ferme, borne de R. est appelee subdivision de [a, b] si
= {a = x0 < x1 < < xn = b}. Le pas de la subdivision est le reel P() = sup1jn (xj xj1).Chaque intervalle [xj , xj+1] pour j = 1, , n est appele intervalle de la subdivision. Si pour toutj, 0 j n, xj = a +j ban alors on dit que est une subdivision reguliere dordre n de [a, b].
Definition I.2 Soit [a, b] un intervalle ferme, borne de R.Une application f : [a, b] R est dite en escalier (sur [a, b]) sil existe une subdivision
= {a = x0 < x1 < < xn = b} telle que f soit constante sur chaque intervalle ]xj , xj+1[ , (1 j n).Remarque 1 :
- Toute fonction en escalier sur un intervalle de R est necessairement bornee.- Il existe une infinite de subdivision associee a une fonction en escalier.
y
xa=x0 x 1
xn1
b=xn
y
xa=x0 x 1
x
b=xn
n2
xn1
Definition I.3 Soit f une fonction en escalier sur [a, b] et a valeur dans R.On appelle integrale de f sur [a, b] lelement de R note
ba
f(x)dx
defini par ba
f(x)dx =
nj=1
(xj xj1) fj (I.1)
ou {a = x0 < x1 < < xn = b} est une subdivision de [a, b] et fj la valeur prise par f sur chaqueintervalle ]xj1, xj [.
Remarque 2 :- Dapres la remarque 1, lintegrale de f sur [a, b] ne depend pas de la subdivision choisie.
- Une fonction nulle partout sauf sur un ensemble fini de points de [a, b] est une fonction en escalier,son integrale est nulle.
Lemme I.4 Lintegrale dune fonction numerique positive en escalier est positiveDemonstration : document C.1.1
Proposition I.5 Soient f une fonction en escalier sur [a, b] et c un point de ]a, b[.Alors f est en escalier sur chaque intervalle [a, c] et [c, b].
Consequence : Relation de chasles
b
a
f(x)dx = c
a
f(x)dx + b
c
f(x)dx
8/9/2019 INSA Toulouse 1A Maths Integration
5/51
Integrales simples 5
I.2 Integrales de Riemann
Definition I.6 Une fonction f : [a, b] R est dite integrable sur [a, b] si, quel que soit le reel > 0,il existe un couple (g, h) de fonctions numeriques en escalier sur [a, b] tel que, pour tout x [a, b] on ag (x) f(x) h(x) et
b
a
(h(x) g(x)) dx
Remarque 3 : pour que lintegrale de f existe, necessairement f doit etre bornee (car g et h le sont).
Proposition I.7
Si f est une fonction numerique positive et integrable sur [a, b] alors son integrale est positive (even-tuellement nulle).
Proposition I.8
i) Lensemble E des fonctions integrables sur [a, b] est un sous espace vectoriel duR-espace vectorielde toutes les fonctions reelles sur [a, b].
ii) Lapplication I : E
R qui, a une fonction f
E associe son integrale
I(f) =
ba
f(x)dx
est une application lineaire sur E. Ceci signifie que (, ) R2, (f, g) E E,
I(f + g) =
ba
(f(x) + g(x))dx =
ba
f(x)dx +
ba
g(x)dx = I(f) + I(g)
Proposition I.9
Soit c un point de [a, b].
Pour que f soit integrable sur [a, b], il faut et il suffit que f soit integrable sur chaque interval le [a, c]et [c, b]
Proposition I.10
Toute fonction numerique monotone sur [a, b] est integrable.
Theoreme I.11
Toute fonction numerique f continue sur [a, b] est integrable.Demonstrat ion : document C.1.2
Interpretation geometrique de lintegrale
Si f est une fonction positive en escalier sur [a, b], son integrale definie par la formule (I.1) est lasomme des aires des rectangles. On admettra que lintegrale de f, fonction integrable positive quel-conque, est laire du domaine hachure Df = {a x b, 0 y f(x)}.
! ! ! ! ! ! !
! ! ! ! ! ! !
"
"
"
"
"
#
#
#
#
#
$ $ $ $ $ $ $ $
$ $ $ $ $ $ $ $
$ $ $ $ $ $ $ $
$ $ $ $ $ $ $ $
$ $ $ $ $ $ $ $
% % % % % % % %
% % % % % % % %
% % % % % % % %
% % % % % % % %
% % % % % % % %
y
xab
8/9/2019 INSA Toulouse 1A Maths Integration
6/51
6 Integrales simples
Remarque 4 : Lorsque f est continue sur [a, b], lintegrale
ba
f(x)dx est majoree(resp. minoree ) par
la quantite
1jn(xj xj1) sup
x[xj1,xj ]f(x) (resp.
1jn
(xj xj1) inf x[xj1,xj ]
f(x)) appelee somme de
Darboux superieur (resp. inferieur).
Exemple et remarque
Si f est integrable sur [a, b] alorsba
f(x)dx = (b a) limn+
1
n
nk=1
f
a + k
b an
Lintegration numerique consiste a approcher le reel
ba
f(x)dx par une somme finie de la forme
Ni=1
(xi xi1) f(i) ou i est un point appartenant a lintervalle [xi1, xi].
8/9/2019 INSA Toulouse 1A Maths Integration
7/51
Integrales simples 7
I.3 Proprietes des fonctions integrables
Dans cette section, on supposera que f est une fonction numerique integrable sur [a, b].
Jusqua present, on a defini lintegrale
ba
f(x)dx pour a < b.
Par convention, on posera
i)ba
f(x)dx = ab
f(x)dx
ii)
aa
f(x)dx = 0
Proposition I.12
Le produit de deux fonctions integrables sur [a, b] est une fonction integrable sur [a, b].
Proposition I.13
Si f est integrable sur [a, b] alors |f| lest aussi et lon a :
ba f(x)dx ba |f(x)|dx (b a) f
ou f = supx[a,b] |f(x)|.Demonstrat ion : document C.1.3
Proposition I.14
Soient f et g deux fonctions numeriques et integrables sur [a, b].Alors on a :i) Inegalite de Schwarz :
ba f(x)g(x)dx2
ba
|f(x)|2dx ba
|g(x)|2dx
ii) Inegalite de Minkowsky :
ba
|f(x) + g(x)|2dx1/2
ba
|f(x)|2dx1/2
+
ba
|g(x)|2dx1/2
Demonstrat ion : document C.1.4
8/9/2019 INSA Toulouse 1A Maths Integration
8/51
8 Integrales simples
I.4 Primitive dune fonction continue
Exemples :
Exemple A.1.1
Exemple A.1.2
Exercices :Exercice B.1.1
Definition I.15
On appelle primitive dune fonction f, une fonction F telle que F(x) = f(x).
Theoreme I.16
Soit f une fonction numerique et continue sur [a, b]. Alors la fonction F definie pour tout x [a, b]parF(x) =
xa
f(t)dt est la primitive de f sur [a, b] qui sannule en a.
Si G est une autre primitive de f sur [a, b], on a :
ba
f(x)dx = G(b) G(a) = [G (x)]ba (I.2)
Demonstration : document C.1.5
La fonction F definie pour tout x [a, b] par F(x) =xa
f(t)dt est continue si f est integrable
sur [a, b] et derivable si f est continue sur [a, b]. Une fonction integrable nadmet pas necessairement de primitive (par exemple les fonctions en
escalier).
Theoreme I.17 (1ere formule de la moyenne)Si f est une fonction numerique et continue sur [a, b], alors il existe c ]a, b[ tel queb
a
f(x)dx = (b a) f(c)
Demonstration : document C.1.6
Theoreme I.18 (2eme formule de la moyenne)S