INSA Toulouse 1A Electrocinétique 1&2 2009/2010

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Unités et Grandeurs Exercices d’électricité UV1 et UV2 Edition 2009-2010 Département des sciences et techniques pour l’ingénieur Physique 1 ère année

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Unités et Grandeurs

Exercices d’électricité UV1 et UV2

Edition 2009-2010

Département des sciences et techniques pour l’ingénieur Physique 1ère année

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Chapitre 1 : Les grandeurs physiques et leur mesure

1 - Notion de grandeur

Une grandeur permet d’exprimer quantitativement les propriétés ou les caractéristiques des corps.

2 - Grandeurs physiques G

2.1 Définition

Toute propriété ou qualité caractérisant un système physique, susceptible de variation (continue ou discontinue) et à laquelle on s'efforce de faire correspondre : -soit un nombre - grandeur scalaire : M, U, T, θ,L...

-soit un vecteur - grandeur vectorielle : V , Fr

2.2 Lois de la physique ⇒ relations de dépendance entre grandeurs

Ex : amF =

2.3 Grandeurs mesurables - repérables

♦ Grandeur mesurable directement : (additives) par ex : tension U, poids. ♦ Grandeur mesurable indirectement: (non additives) par ex. ρ , résistivité (relation de

dépendance : R = ρl/s)

♦ Grandeurs repérables : par ex. dureté, date…

3 - Système de grandeurs

4 - Dimensions d’une grandeur

4.1 Définition G = k Lα M β Tγ ... Système de grandeurs fondamentales L, M, T

Grandeurs (lois de la physique)

Système de grandeurs

Dérivées (relations de

dépendance)

Fondamentales (choix arbitraire)

L M T I

Θ

J N

F P S

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équation aux dimensions ou dimension de G

[G] = Lα M β T γ …

4.2 Application

Vérification de l’homogénéité d’une formule [F] = MLT-2 [E] = ML2T-2 Conseil (ou plutôt obligation !) : conserver les expressions littérales dans les calculs

FAUTES D’HOMOGENEÏTE = FAUTES GRAVES

♦ Conséquence : apparition de constantes dimensionnées par ex. rr

'MMGF

3−=

Chapitre II : Systèmes d’unités - Le système S.I. 1 - Généralités - Mesure d’une grandeur

1.1 Grandeur mesurable

a) Grandeur mesurable

Une grandeur est mesurable s’il est possible de concevoir une opération définissant le rapport de deux grandeurs de l’espèce envisagée.

b) Mesure d’une grandeur

La mesure d’une grandeur G, en adoptant la grandeur de même espèce u comme

unité, est le rapport g ( = u

G) de ces deux grandeurs.

La mesure de g n’a de sens que si l’on précise l’unité choisie.

1.2 Principe de mesure d’une grandeur

a) Mesure directe La mesure est dite directe si la comparaison entre la grandeur étudiée et la grandeur choisie comme unité est possible grâce à un instrument de mesure Exemple :

b) Mesure indirecte Si la comparaison précédente de la grandeur à l’unité est difficile, peu précise ou impossible, la mesure doit être indirecte

Exemple :

étalon de V ? on a V = D/T avec D unité de longueur et T unité de temps. La mesure de la grandeur G étudiée est supposée reliée aux mesures de grandeurs auxiliaires, directement mesurable par une loi physique ou mathématique traduite par une formule appelée relation de dépendance, ici V = D/T.

!

Distance à mesurer

Unité

V

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2 - Constitution générale d’un système d’unité

2.1 Coordination des unités Pour chaque espèce de grandeur mesurable, on peut faire un choix d’une grandeur particulière appelée unité, à laquelle seront rapportées toutes les autres grandeurs de cette espèce. Comme les diverses grandeurs sont liées par des théorèmes mathématiques ou des lois physiques, entre leurs mesures vont exister des relations de dépendances. Un système cohérent d’unités comprendra :

♦ un petit nombre d’unités de base ( ou unités fondamentales ), choisies de façon cohérente.

♦ des unités dérivées des précédentes par des formules sans coefficients numériques

2.2 Unités fondamentales

Les grandeurs dont les unités serviront d’unités de base doivent se prêter à des mesures directes très précises. D’autres part, il faut pouvoir réaliser des étalons fixant de façon invariable certaines grandeurs intervenant dans la définition des unités de base.

UNITES FONDAMENTALES S.I.

Mécanique m : longueur : mètre

kg : masse : kilogramme

s : temps : seconde

Electricité A : intensité du courant : ampère

Thermodynamique K : température : Kelvin

Photométrie Cd : intensité lumineuse : candela

Chimie mol : quantité de matière : mole

2.3 Unités dérivées

Les formules retenues pour définir les unités géométriques et mécaniques dérivées sont les mêmes pour tous les systèmes LMT. Par exemple

Vitesse = distance/temps s’exprime en m.s-1. Accélération = vitesse sur temps en m.s-2 Force = masse x accélération en kg. m.s-2 ou N (newton)

2.4 Conventions légales

♦ Nom des unités et symboles ♦ Multiples et sous-multiples

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Facteur multiplicatif Préfixe Symbole

1018

exa

E

1015 peta P 1012 téra T 109 giga G 106 méga M 103 kilo k 102 hecto h 101 déca da —— —— —— 10-1 déci d 10-2 centi c 10-3 milli m 10-6 micro µ

10-9 nano n 10-12 pico p 10-15 femto f 10-18 atto a

Systèmes d’unités

Cohérents Incohérents SI CGS MTS MKpS

Unités fondamentales associées aux grandeurs fondamentales. Nombre mini Etalons - Minimum de coef dans les relations de dépendances

m

kg

cm

g

m t

m

kgf

s s s s Unités A . . . . . . . . . . . . . . .

Unités dérivées relations de dépendance

N

Pa

m2

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3 - Systèmes d’unités

3.1 Grandeurs et unités fondamentales du système SI

Grandeurs G

Unités

nom

dimension

nom

symbole

Longueur L mètre m F o Masse M kilogramme kg n d Temps T seconde s a m e

Intensité de courant électrique

I ampère A

n t a

Température Thermodynamique

θ kelvin K

l e Intensité lumineuse J candela cd s Quantité de matière N mole mol

S u p p l Angle plan radian rad é m e n t a Angle solide stéradian sr i r e s

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3.2 Autres systèmes

Grandeurs Systèmes d’unités

CGS MTS SI nom symbole nom symbole nom symbole

longueur L centimètre

cm mètre m mètre m

masse M gramme g tonne t kilogramme kg

fondamentales

temps T seconde s seconde s seconde s

force F dyne dyn sthène sn newton N

pression p barye pièze pascal Pa

travail W erg Joule J

dérivées

puissance P erg/s watt W

Chapitre 3 : Calcul de petites variations – erreurs de mesure – calcul d’incertitude sur la mesure d’une grandeur

1 - Calcul de petites variations

Soit une grandeur physique G qui dépend d’une autre grandeur physique x. La loi de dépendance s’écrit G=G(x). Exemple : la longueur d’un fil varie avec la température Θ suivant la loi approchée :

L=L0(1+αΘ).

Si la grandeur physique x varie d’une petite quantité dx autour d’une valeur x0, la grandeur G variera également d’une petite quantité δG autour de G(x0). On peut utiliser

la calcul différentiel pour estimer cette variation par :

dxxGdxdx

dGdGG

xx

)(' 0

0

=

=≈=

δ (voir figure)

On voit que l’approximation est d’autant meilleure que la variation de x est petite (sauf si la loi de dépendance est linéaire auquel cas le calcul devient rigoureusement exact).

x0 x0+dx

dg

G(x0+dx)

δG

G(x0)

x

G

Tangente en x0

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Exemple : pour le fil, Θα=Θ

Θ=

Θ=Θd.Ld

d

dLdL 0

0

Généralisation Si la grandeur physique dépend de plusieurs variables x, y, z … la relation précédente se généralise de la façon suivante :

dzz

Gdy

y

Gdx

x

GdGG

0

0

0

0

0

0

0

0

0

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

===

===

===

∂∂+

∂∂+

∂∂=≈δ

dG représente l’estimation de la petite variation de G autour de G(x0, y0, z0) pour une petite variation de dx de x, dy de y et dz de z autour de x0, y0 et z0 respectivement.

2 - Erreurs et incertitudes sur la mesure d’une grandeur

2.1 - Définitions

2.1.a Valeur approchée d’une grandeur, valeur vraie -

♦ Valeur vraie : Toute grandeur physique G, dans des conditions expérimentales fixées, a une valeur parfaitement définie gv qui est inconnue à l’expérimentateur.

♦ Le résultat de mesure gm d’une grandeur G est le résultat numérique obtenu en affectant le résultat brut donné par un instrument de mesure d’un certain nombre de corrections convenables. C’est une valeur approchée dont on voudrait bien connaître le degré d’approximation.

2.1.b Erreurs

On suppose la grandeur G définie avec une approximation bien meilleure que celle que permet d’atteindre l’appareillage utilisé, ce cas (fréquent en T.P. ), permet de parler d’une valeur vraie gv de la grandeur G. Soit gm le résultat d’une mesure de la grandeur G. On appelle :

♦ erreur absolue du résultat de mesure δ g (positif ou négatif) défini par : δδδδg = gm - gv .

♦ erreur relative du même résultat de mesure le réel vg

Ces deux quantités δ g et vg

gδ sont inconnues ; on ignore même leurs signes.

2.1.c Incertitude sur une grandeur très bien définie

On appelle

♦ incertitude absolue du résultat de mesure une limite supérieure raisonnable ∆ g de la

valeur absolue gδ de l’erreur absolue δg entachant ce résultat

♦ incertitude relative (ou précision) du même résultat une limite supérieure raisonnable

de la valeur absolue vg

gδ de l’erreur relative

vg

gδ entachant ce résultat.

Le taux d’incertitude caractérise la qualité d’une mesure. L’approximation est d’autant meilleure que l’incertitude relative est plus petite.

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2.2 - Causes d’erreurs

2.1 Erreur due aux instruments de mesures. On peut citer : temps de réponse, hystérésis, erreur de zéro…

2.2 Erreur due à l’expérimentateur

On peut citer : le choix de la méthode de mesure, choix de l’appareil de mesure, la lecture, le

réglage de l’appareil…

2.3 Détermination de l’incertitude sur une mesure directe

4.1 Causes d’erreurs et d’incertitude

♦ appareil : ∆ ga ⇒ se reporter à la notice.

♦ lecture : ∆ gl

4.2 Incertitude sur la mesure

∆g = ∆ ga + ∆ gl

2.4 - Détermination de l’incertitude sur une mesure indirecte

Le problème est le suivant : soit G une grandeur physique, quelle est l’incertitude absolue ∆ g résultant de la mesure directe de trois grandeurs x, y, z sachant que g = g(x, y, z) (relation de dépendance) , les incertitudes sur x, y, z étant connues ? On utilise le calcul différentiel :

♦ g= g(x, y, z)

♦ différentielle : dzz

gdy

y

gdx

x

gdg

0

0

0

0

0

0

0

0

0

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

===

===

===

∂∂+

∂∂+

∂∂=

♦ erreur : δg ≈ dg avec dx, dy, dz inconnus (on ne connaît que leurs

intervalles probables de variation ∆x, ∆y, ∆z c’est-à-dire que -∆x < dx < +∆x

etc…)

♦ incertitude : zz

gy

y

gx

x

gg

0

0

0

0

0

0

0

0

0

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

∂∂+∆

∂∂+∆

∂∂=∆

===

===

=== : majoration

« raisonnable » de l’erreur.

Astuce de calcul dans le cas (fréquent !) où g a une expression simple du genre produit ou quotient :

♦ on calcule ln g

♦ on différencie cette expression en remarquant que g

dg)g(lnd = (voir exemples de TD)

♦ on calcule l’erreur relative g

♦ on regroupe les termes faisant intervenir les erreurs identiques ♦ on calcule ensuite l’incertitude en se plaçant dans le cas le plus défavorable

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2.5 – Petit formulaire

Expression analytique de la différentielle d’une fonction g(x,y,z) :

dzz

gdy

y

gdx

x

gdg

0

0

0

0

0

0

0

0

0

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

===

===

===

∂∂+

∂∂+

∂∂=

Exemple : f(r,ϑ) = r2 cos(ϑ) alors df = 2r. cos(ϑ)dr - r2 sin(ϑ)dϑ

Opérations sur les différentielles : d(f+g) = df + dg

Exemple : f(x,y) = x2 + y2 alors df = d(x2 + y2) = d(x2 )+ d(y2 ) = 2xdx + 2ydy

d(af + bg) = a.df + b.dg si a et b sont des constantes. d(ln f) = df /f

Exemple : f(p, V) = pV1,4 alors ln f = ln p + 1,4 ln V d(ln f) = d (ln p) + d( 1,4 ln V) Soit df / f = dp/p + 1,4 dV / V

d(1/f ) = -df / f2

La plupart de ces formules n’ont pas besoin d’être mémorisées. Elles se déduisent des relations des dérivées composées à une variable, ainsi par exemple : La relation (1/u)’ = -u’ / u 2 permet par extrapolation de retrouver la relation ci-dessus.

Exemple : (fg)’ = f’g + g’f à une variable → d(fg) = g.df + f.dg

Application La loi de Joule en continu est P= RI2. Initialement la résistance considérée vaut R=R0 = 200.0Ω, I = I0

= 100.0 mA. Faire l’A.N. de P(R= R0 , I= I0 ). Seule l’intensité varie de 100.0 mA à 102.0 mA, la puissance dissipée varie donc d’une quantité exacte δP. Faire une A.N. directe de δP, puis faire l’A.N. sur sa valeur approchée dp en utilisant la

dérivation à une variable. Comparer les valeurs de δP et dP.

L’intensité varie de 100.0 mA à 102.0 mA et en même temps la résistance varie de 200.0 Ω à 199.0

Ω.

Utiliser le calcul différentiel pour estimer le dP correspondant et l’influence quantitative de la variation de I et de R sur la valeur obtenue.

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Tableau 1 – Unités légales

Grandeurs Unités S I Multiples et sous-multiples décimaux

ayant un nom spécial

Unités légales hors -système

Noms Symboles (1)

Dimensions (2)

Noms et symboles Noms et symboles

Valeurs en S I

Noms et symboles

Valeurs en S I (2)

Longueur L mètre (m) mille 1862

Longueur d'onde λ L mètre (m)

Nombre d'onde σ 1L− 1 par mètre (m−1

)

Aire. superficie A 2L mètre carré (2m )

are(a)

hectare(ha) 210

410

Section efficace n 2L mètre carré (m2) barn (b) 2810−

Volume V 3L mètre cube (3m )

litre(l) 310−

Angle plan α radian (rad) tour (tr) grade(gOM) degré(°) minute(') seconde(")

π2

200/π

180/π

80010/π

000648/π

Angle solide Ω stéradian (sr)

Masse m M kilogramme (kg) tonne (t) 310−

carat numérique 410x2 −

Masse atomique am M kilogramme (kg) unité de masse

atomique (u) 2710x66660.1 −

Masse linéique lρ ML 1−

kilogramme par mètre (kg/m) tex(tex) 610−

Masse surfacique Aρ ML 2−

kilogramme par mètre carré

(kg m/ 2)

Masse volumique ρ ML 3−

kilogramme par mètre cube

(kg m/ 3)

Volume massique V 13ML −

mètre cube par kilogramme

(m kg3 / )

Concentration sρ ML 3−

kilogramme par mètre cube

(kg m/ 3)

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Temps t T seconde (s) minute(min)

heure(h)

jour(d) (3)

60 3 600 86 400

Fréquence f 1T −

hertz (Hz)

Vitesse V 1LT −

mètre par seconde (m/s) kilomètre par

heure (km/h)

nœud

1/3,6 1 852/3 600

Vitesse angulaire ω 1T −

radian par seconde(rad/s) tour par minute

(tr/min)

tour par seconde

(tr/s)

60/2π

π2

Accélération a LT−2 mètre par seconde carrée (m/s2

) gal (Gal) 210−

Accélération angulaire a 2T − radian par seconde (rad/s2

)

Force F 2LMT −

newton (N)

Moment d'une force M 22MTL −

newton-mètre (N.m)

Tension capillaire y 2MT −

newton par mètre (N/m)

Travail, énergie, quantité de

chaleur

W

22MTL −

joule (J)

wattheure (Wh)

électronvolt (eV) 3 600

191019602,1 −

Intensité énergétique I 32MTL −

watt par stéradian (W/sr)

Puissance, flux énergétique,

flux thermique P 32MTL −

watt (W)

Contrainte Pression σ

P

21MTL −−

pascal (Pa) bar (bar) 510

Viscosité dynamique v 11MTL −−

pascal seconde(Pa-s)

Viscosité cinématique v 12TL − mètre carré par seconde(m2

/s)

Intensité de courant

électrique I I ampère (A)

Force électromotrice,

différence de potentiel,

tension

U

132 IMTL −−

volt (V)

Résistance électrique R 232 IMTL −−

ohm (Ω)

Intensité de champ électrique E 13ILMT −−

volt par mètre (V/m)

Conductance électrique G 2312 ITML −−

siemens(S)

Quantité d'électricité, charge

électrique Q TI coulomb (C) ampère-heure

(Ah) 3 600

Capacité électrique C 2412 ITML −−

farad (F)

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Inductance électrique L 222 IMTL −−

henry (H)

Flux D'induction magnétique Φ 122 IMTL −−

weber (Wb)

Induction magnétique B 12 IMT −−

tesla (T)

Intensité de champ

magnétique H L I−1

ampère par mètre (A/m)

Force magnétomotrice F I ampère (A)

Température T θ kelvin (K) degré Celsius (°C)

Capacité thermique entropie C

S

L MT2 2 1− −θ

joule par kelvin (J/K)

Capacité thermique

massique, entropie massique

c s

L T2 2 1− −θ joule par kilogramme kelvin

( )[ ]K.kg/J

Conductivité thermique λ LMT − −3 1θ watt par mètre kelvin

K.m/W

Activité A T−1 becquerel (Bq) curie (CI) 1010x7.3

Exposition X TM I−1 coulomb par kilogramme (C/kg) roentgen (R) 410x58.2 −

Dose absorbée D L T2 2− gray (Gy) rad (rd) 210−

Quantité de matière

n N mole (mol)

Intensité lumineuse I J candela (cd)

Flux lumineux Φ J lumen (lm)

Eclairement lumineux E JL 2−

lux (lx)

Luminance lumineuse L L J−2 candela par mètre ( )2m/cd

Vergence des systèmes

optiques

L−1 ( )1m−

dioptrie ( )δ 1

(1) Les symboles des grandeurs sont ceux qui figurent dans les normes françaises. (2) Les formules de dimensions sont établies à partir des grandeurs de base : longueur (L), masse (M), temps (T), intensité de

courant (I), température (θ). Intensité lumineuse (J), quantité de matière (N).

(3) Le symbole de jour est (d) sur le plan international mais le symbole (J) est toléré en France

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Unités accessoires

Grandeurs Symbole Valeur dans le S.I.

Longueur : le parsec pc 1 pc m10.085,3 16=

l'année lumière 1 année lumière m10.46,9 13=

l'unité astronomique UA 1 UA m10.496,1 11=

le mille terrestre 1 mille terrestre m10.609,1 3=

l'angstrom Å m10Å1 10−=

Surface : le barn b 228m10b1 −=

Volume : le stère st 3m1st1 =

Masse : le gramme g kg10g1 3−=

Temps : le jour 1 jour = 86 400 s l'heure h 1 h = 3 600 s la minute mn 1 mn = 60 s Fréquence : le tour par minute Accélération : le gal 1 gal = s/m10 2−

Force : le sthène sn 1 sn = 103 N le kilogramme force kgf 1 kgf = 9,81 N la dyne dyn 1 dyn = 10 5− N Pression : l'atmosphère normale atm Pa10.013,1atm1 5=

.............. le kilogramme force par centimètre carré

2cm/kgf

kgf cm Pa/ , .2 49 81 10=

la pièze pz Pa10pz1 3=

le torr Pa10.334,1torr1 2=

la barye Pa10barye1 1−=

Intervalle de température :

le degré Celsius °C 1°C = 1 K

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Energie : le watt heure Wh J10.6,3Wh1 3=

le kilogrammètre kgm 1 kgm = 9,81 J la calorie cal 1 cal = 4,186 J l'erg 1 erg = J10 7−

l'électronvolt ev 1 eV J10.1602,1 19−=

Puissance : le cheval vapeur cv 1 cv = 736 W Induction magnétique : le gauss 1 10 4gauss T= −

le gamma γ 1 109γ = T

Flux magnétique : le maxwell 1 maxwell = −10 8Wb Le champ magnétique : l'œrsted 1 œrsted = 79,58 A/m

Le système MKpS

Grandeurs

Système d'unité M K p S

nom symbole

longueur L

mètre

M

Force

kilogramme force

Kgf

temps T

seconde

s

Masse

unité de masse

u.m.

pression

kilogramme force /m2

kgf/m2

travail

kilogrammètre

Kgm

puissance

kilogrammètre par s

kgm/s

Fondamentales

Dérivées

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Principales Constantes Physiques

Vitesse de la lumière c 2.99793 108 m/s

Accélération de la pesanteur g 9.807 m s-2

Charge de l’électron e 1.6021 10-19 C

Masse de l’électron au repos me 9.1091 10-31 kg

Charge spécifique de l’électron e / me 1.7588 1011 C kg -1

Electronvolt eV 1.6021 10-19 J

Masse du proton au repos mn 1.6725 10-27 kg

Unité de masse atomique u 1.6604 10-27 kg

Nombre d’Avogadro N 6.02252 1023 particules par mole

Masse de l’atome de Carbone 126C 12.00000 u

Rayon de Bohr a0 5.2917 10-11 m

Température du point triple de l’eau 273.16 K

Volume normal d’un gaz parfait 2.2414 10-2 m3 mol-1

Pression atmosphérique normale 1.01325 105 Pa = 760 torr

Permittivité du vide ε0 8.8544 10-12 N-1 m-2 C2

Perméabilité du vide µ0 1.2566 10-6 m kg C-2

Equivalent mécanique de la Calorie J 4.1855 J cal-1

Constante des gaz parfaits R 8.3143 J K-1 mol-1

Constante de la gravitation G 6.670 10-11 N m2 kg-2

Constante de Coulomb 8.9874 109 N m2 C-2

Constante de Faraday 9.6487 104 C mol-1

Constante de Boltzman k 1.3805 10-23 J K-1

Constante de Planck h

h = h/2π

6.6256 10-34 J s

1.0545 10-34 J s

Constante de Rydberg ℜ 1.0974 107 m-1

Constante de Stefan – Boltzman σ 5.6686 10-3 W m-2 K-4

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Exercices UV1-UV2

UV1 : Généralités et électrocinétique des régimes continus

Exercices Important : La totalité des exercices ne pourra pas être traité dans le temps imparti : les choix pédagogiques seront faits par l’enseignant. Les étudiants sont fortements incités à chercher par ailleurs les applications non couvertes en séance de ce cahier, ou encore sur d’autres sources, l’essentiel étant qu’un réel effort de recherche ait été fourni ! Des corrections ou des pistes de recherche seront alors proposés selon les cas à l’appréciation de l’enseignant.

GENERALITES I - Dimensions 1) Les dimensions en électricité.

a) Quelles sont les dimensions d'un champ électrique, d'une tension, d'une résistance ? b) La tension aux bornes d'un condensateur de capacité C lors de la décharge dans

une résistance R est donnée par RC

t

0eU)t(u−

= . Donner les dimensions de RC.

c) Déterminer les dimensions de R

Let LC . (L est le coefficient d'auto-induction d'une

bobine)

2) Les dimensions dans d’autres domaines

Mécanique classique : Quelles sont les dimensions d'une force, d'une pression, d'une énergie, d'une puissance ? La constante de gravitation G a-t-elle une dimension ? Mécanique des fluides : a) Coefficient de viscosité.

Pour caractériser la nature de l'écoulement, visqueux ou turbulent, d'un fluide dans une canalisation on définit un nombre appelé nombre de Reynolds ℜ.

ℜη

ρ= ..V.D

où D est le diamètre de la canalisation V la vitesse du fluide ρ la masse volumique du fluide

ℜ nombre sans dimension

Déduire de l'équation aux dimensions celle du coefficient de viscosité du fluide η .

b) Analyse dimensionnelle. L'expérience a montré que la force subie par une sphère immergée dans un fluide en mouvement dépend :

Page 20: INSA Toulouse 1A Electrocinétique 1&2 2009/2010

Exercices UV1-UV2

- du coefficient de viscosité η du fluide.

- du rayon r de la sphère. - de leur vitesse relative v.

Trouver l'expression de cette force en la supposant de la forme zyx vrkF η= (k est un

coefficient numérique sans dimension).

II – Unités : Quelques unités pratiques de pression (non traité en TD).

a) L'unité pratique couramment utilisée par les techniciens du vide est le torr (abbréviation de TORRICELLI) ou mm de mercure. Combien un torr vaut-il de

pascal ? La masse volumique du mercure est 3m/t6,13=ρ ?

b) En météorologie les pressions sont exprimées en hPa. Combien la pression

atmosphérique normale (760 torr) vaut-elle d'hectopascal, de 2cm/kgf ?

c) Dans les revues anglaises les pressions sont couramment exprimées en psi ou en

2/inbsl . Il en est de même sur les pneumatiques des véhicules et des cycles.

1 psi = 2in/bsl = 1 pound-weight per square inch, 1 pound-weight = 0,453 kgf et

1 inch = m1054,2 2− .

Donner la valeur de la pression atmosphérique en psi. Réponses a) 1 torr = 133,3 Pa b) 1013,25 hPa ou 1,033 kgf/cm2 c)14,7 psi

III – Calculs de variations et d’incertitudes.

1) Calcul de variations : variation de puissance en régime sinusoïdal

La puissance dissipée par effet Joule dans un dipôle linéaire est donné par la fameuse

relation P= )cos(21 ϕUI , dans laquelle U et I sont les amplitudes de la tension et de

l’intensité aux bornes de ce dipôle, et ϕ le déphasage entre eux.

a) quelle est la puissance dissipée pour un dipôle avec U=2V, I= 100mA et ϕ=45° ?

b) Ce même dipôle subit une variation sur U de +20mV et sur I de –5 mA, le déphasage restant constant. Utiliser le calcul différentiel pour trouver la variation de puissance consommée.

c) On cherche à compenser cette variation de puissance par un ajustement du déphasage ϕ. Trouver par un calcul différentiel la variation de ϕ qui annule la

variation de puissance constatée en b).

James Joule (1818-1889), physicien anglais,est célèbre pour ses travaux en

thermodynamique et en électricité. Cette celèbre loi a été une étape pour la

vérification expérimentale de la conservation de l’énergie.

2) Calcul d’incertitudes : résistance équivalente

Deux dipôles résistifs de résistances R1 et R2 et d’incertitudes relatives respectives p1 et p2 sont montés en dérivation ; On appelle p l’incertitude relative de la résistance équivalente obtenue.

a) Montrez que p s’exprime uniquement en fonction de

2

1

R

Rx = , p1 et p2.

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Exercices UV1-UV2

b) Exploiter ce résultat pour répondre à la question suivante : je possède deux résistances ayant une tolérance (incertitude relative) identique. Si je les monte en parallèle, la tolérance de la résistance équivalente sera-t-elle la même ?

ELECTROCINETIQUE I - Conduction

1. A travers une section droite S d'un fil conducteur en cuivre sont passés N électrons en un intervalle de temps ∆t. Le sens de comptage de l’intensité est opposé au sens de

déplacement des électrons.

a) Calculer la charge électrique ∆q transportée par ces électrons puis l'intensité I du

courant électrique supposé constant traversant le fil.

b) En supposant que chaque atome de cuivre libère un électron libre, calculer la vitesse Ve de déplacement d'ensemble des électrons dans le conducteur en fonction des données. On connaît la masse molaire du cuivre MCu et sa masse volumique ρCu

c) A.N. pour N=7,3.1020 ∆t=15,0 s S = 3 mm2 MCu = 63,5 g.mol-1 ρCu = 8900 Kg.m-3

NA = 6,02.1023 mol-1 e = 1,60.10-19 C , calculer l’intensité I, la norme du vecteur densité de courant j puis Ve.

2. Le champ électrique dans les générateurs [optionnel, complément de cours,

enseignant indispensable]

Pour la clarté de l’exposé on peut considérer que les charges mobiles sont de signe positif, ce qui ne change en rien sa validité. Les champs seront tous sur l’axe de symétrie axiale du générateur. On admettra (sous certaines hypothèses d’uniformité) les relations suivantes qui seront vues en UV3 :

)()(.. PVNVNPEdlE s

P

N

s −==∫ ainsi que 0.. edlEdlE m

P

N

m ==∫ (f.é.m, constante).

sE désigne le champ de nature électrostatique, mE est le champ électromoteur.

a) Générateur déconnecté

Evoquer l’origine des 2 types de champ considérés sE et mE . Montrer que dans le cas

du générateur déconnecté on a la relation UPN = e0 en considérant qu’un porteur de charge est en équilibre électrique.

b) Générateur débitant un courant I. En utilisant la loi d’Ohm locale, valable sur le champ électrique résultant, montrez que

l’on a une relation du type UPN = e0 – RI avec γS

LR = , L,S et γ représentant

respectivement la longueur, la section et la conductivité moyenne du générateur.

c) Dipôle ohmique passif Montrez que dans un tel dipôle d’extrémités axiales A et B, où il n’y a pas de champ électromoteur, on a une relation du type UAB=RI.

Page 22: INSA Toulouse 1A Electrocinétique 1&2 2009/2010

Exercices UV1-UV2

3. Semi-conducteur intrinsèque

Dans un matériau semi-conducteur, le transport de l'électricité est assuré par deux types de porteurs de charge : les électrons portant la charge -e = -1,6.10-19 C et les "trous" portant la charge +e. Dans un semi-conducteur intrinsèque le nombre d'électrons par unité de volume est égal au nombre de trous par unité de volume. Soit n cette grandeur. Sous l'action d'un champ électrique les deux types de porteurs vont se déplacer en sens inverse.

Soient NJ→

et PJ→

les densités de courant

dues respectivement aux charges négatives et positives. La vitesse d'un porteur de charge soumis

à un champ électrique→E est

proportionnelle à E , le coefficient µ de proportionnalité étant appelé mobilité du porteur.

Les mobilités des électrons Nµ et des trous Pµ sont différentes.

a) Etablir la relation liant la conductivité σ au nombre de porteurs, à leur charge et à

leur mobilité.

b) Application : Dans le silicium intrinsèque le nombre de paires électron-trou par unité de volume est n=1,5.1010 cm-3 et les mobilités des porteurs sont µN=1350 cm2 V-1 s-1 et

µP=480 cm2 V-1 s-1

II – Associations de dipôles résistifs

1. Trois résistances égales R sont connectées comme l'indique la figure. Quelle est la résistance mesurée entre A et B ?

2. Déterminer dans chaque cas la valeur de la résistance équivalente entre les points A et B

+

-

-

- +

+

E

2R 0,5 R

2R 2R

0,5 R R

R

2R

R

A

B

A B C

DA

A B

R1

R3 R4

R2

A

B

R

R0

R

α∈[-Π,Π], ci-dessus α<0

α

Page 23: INSA Toulouse 1A Electrocinétique 1&2 2009/2010

Exercices UV1-UV2

Georg Ohm (1789-1854), scientifique allemand, se passionne pour les mathématiques

et l’électromagnétisme, au point d’abandonner son projet de fonder une famille. La

loi fondamentale qu’il établit à Berlin ne lui a même pas permis d’obtenir un poste

d’enseignant titulaire !

III – Diviseur de tension, diviseur de courant

Déterminer les grandeurs recherchées en fonction des données du problème. Les schémas utilisés ci-dessous sont courants en électronique.

A

B

C

D

E

F

G

H

12R

R

12R

R

4R 4R

6R 6R

R

Entraînement : dans le circuit ci-dessus, déterminez également la résistance équivalente vue entre C et D, entre E et F (on suppose A et B déconnectés).

Vcc

VS ?

R1

R2

Vcc

VS ?

R

R

R

R

Vcc

VS ?

R

R

10R

10R

R1

R2

R3

I1 ?

I2 ?

I3 ?

I

Exprimer les intensités en fonction de I et des Gi = 1/Ri.

Page 24: INSA Toulouse 1A Electrocinétique 1&2 2009/2010

Exercices UV1-UV2

IV – Circuit à une maille

a) Dans le circuit A,

déterminer l’expression de I en fonction des données.

b) Dans le circuit B, c’est

UAB que l’on recherche.

c) Aurait-on pu simplifier les 3 résistances pour les calculs de a) ? de b) ?

V – Etude d’un réseau par plusieurs méthodes

On considère le réseau linéaire représenté ci-dessous, comprenant 2 générateurs idéaux et 4 dipôles résistifs.

a) Déterminer littéralement l’intensité I circulant dans la résistance R par les méthodes

suivantes :

• Les lois de Kirchhoff • Le théorème de superposition • Le théorème de Thévenin • Le théorème de Norton • Le théorème de Millman • La méthode de simplification

(Thévenin et Norton déguisés…) • [optionnel] La méthode des courants

de maille.

Vérifiez bien que le nombre d’inconnues est égal aux équations que vous avez écrites, et que tout est bien homogène !

b) On constate qu’une variation de la valeur de R1 ne provoque aucune modification de l’intensité I. En déduire la relation vérifiée par E, R1 et I0 pour qu’il en soit ainsi.

Gustav Kirchhoff (1824-1887), physicien allemand, a apporté sa plus grande

contribution en spectroscopie et non sur les célèbres lois qu’il établit pendant ses

études à l’université de Königsberg.

Pour s’entraîner : Remplacer le générateur de courant par un générateur de tension de fém E et déterminez

le courant circulant dans la branche de R1. Proposez vous-même un circuit à étudier (maximum

raisonnable : 3 inconnues).

2R1

2R1

R A B

E I0

I

R1

E1

E2

R1

R3

R2

I

Circuit A

E1

E2

R

3R

R

Circuit B A B

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Exercices UV1-UV2

VI – Réseau atténuateur

a) Calculer le rapport d’atténuation 1V

Vs=α en

fonction des données. b) Quelle relation doivent vérifier les dipôles pour que

la résistance d’entrée (vue entre A et B) soit égale à R ? Cette relation est supposée satisfaite pour la suite.

c) AN : On choisit le rapport 1V

Vs=α à 0,50 ainsi que R à 100 Ω. Donner les valeurs de Re

et Rh.

On met bout à bout N cellules précédentes ce qui constitue le réseau atténuateur. Un générateur, idéal ou non, est sensé être connecté sur les bornes libres du réseau et impose donc la tension VN. Les tensions disponibles sont alors VN, VN-1 … V1 et VS.

d) Déterminer l’expression de NV

Vsen fonction de α et N.

e) Pour un générateur de tension ayant une fém E et une résistance interne RG, dans quelle mesure sa tension à vide diffère-t-elle de celle à ses bornes (VN) après connexion au réseau ?

f) Pour un générateur de tension ayant une fém E et une résistance interne RG, sa tension après connexion au réseau dépend-t-elle du nombre N de cellules ?

g) Donner les valeurs numériques de tous les éléments pour que le cahier des charges suivant soit respecté :

- les tensions disponibles doivent être de 8,00 4,00 2,00 1,00 Volts (à 1% près) - le générateur a une fém E et une résistance interne RG = 50Ω.

- ce dernier ne doit pas débiter plus de 1 mA - le réseau doit être composé d’un nombre minimal de dipôles.

A déterminer : fém E du générateur ; N, nombre de cellules ; α, R, Rh et Re.

VII – « double triangle »

Soit le réseau ABCD. Calculer la résistance équivalente R entre A et B.

Rh

VS V1 Re R

A

B

Rh

VN Re

Rh

V2 Re

Rh

VS V1 Re R

A B

a b

b a

c

C

D

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Exercices UV1-UV2

Entraînement : quelle serait la résistance équivalente entre C et D, en supposant les nœuds A et B déconnectés d’un circuit externe ?

Arthur Kennelly (1861-1939), ingénieur électricien américain, a notamment proposé

l’utilisation des nombres complexes dans la théorie des régimes sinusoïdaux. Il a

également envisagé l’existence d’une couche atmosphérique ionisée qui expliquerait

les reflexions des ondes radio.

Remarque : les transformations Triangle-étoile ou son inverse interviennent en électronique lors de la

conception de filtres. Dans le domaine de l’électricité de puissance, la configuration triangle ou étoile

représente la base de l’étude des courants triphasés et de leurs applications.

VIII - Puissance

1) Adaptation d’impédance (en puissance)

Un générateur de f.e.m E, de résistance interne r alimente une résistance R. Comment varie la puissance dissipée dans R en fonction de R (E et r sont fixés, et R est un paramètre que peut choisir l’utilisateur) ? Commenter.

2) Transport de l’électricité

Un générateur débite un courant d'intensité I dans un récepteur travaillant sous une tension V' à travers une "ligne" constituée par deux fils de résistance totale r. On définit le rendement η de la ligne par le rapport de la puissance P' disponible aux

bornes du récepteur à la puissance P fournie par le générateur. On désigne par V la ddp aux bornes du générateur. Evaluer η en fonction de r, P et V.

Discuter. IX - Etude des réseaux

1) Exercice Déterminer pour chaque circuit le générateur de Thévenin et de Norton équivalents entre les bornes A et B en fonction des données du circuit :

Proposez vos propres circuits (3 resistances, 2 générateurs maximum) à simplifier. 2) On considère le réseau de conducteurs ci-dessous. Calculer le courant I dans la résistance R située entre A et B en appliquant successivement :

A

B

RG R

E R

B

I0

A

E

R

R

E

I0 R

R

A

B

Circuit 1 Circuit 3 Circuit 2

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Exercices UV1-UV2

a) La méthode des circuits équivalents.

Elle consiste à simplifier progressivement le réseau en utilisant les transformations générateur de tension → générateur de courant, résistance équivalente à des

associations de résistances, générateur de courant équivalent à des associations de générateurs… jusqu'à l'obtention d'une seule maille dans laquelle le calcul de I est immédiat.

b) Le théorème de Norton. c) Le théorème de Thévenin.

Léon Thévenin (1857-1926), ingénieur polytechnicien en télégraphie, établit un moyen

de simplifier les réseaux complexes dans le cadre du développement des transmissions

télégraphiques à longue distance.

Edward Norton(1898-1983), ingénieur américain, a écrit 3 publications officielles dont

aucune ne mentionne le circuit équivalent qui lui est associé. L’équivalence de Norton

figure dans un mémoire technique de la société AT&T dans laquelle il était employé.

Jacob Millman (1911-1991), ingénieur américain spécialisé en RADAR puis professeur à

l’université de Columbia, est reconnu pour la publication de plusieurs ouvrages de

référence en électronique et en informatique.

X – Problème : régulateur à diode Zéner.

On considère le montage suivant, mettant en œuvre une diode Zéner 1N5521A de tension zéner UZ de 4,3 Volts et dont les caractéristiques sont jointes ci-après sur sa fiche de données « data sheet ». Le générateur de tension est supposé idéal et de fém E>Uz. La résistance de charge Rc peut prendre n’importe quelle valeur.

Valeurs numériques (en valeur absolue) : E=8,6 V R=1kΩ RZ = à déterminer Uz = 4,3 V.

1) Remplacer la partie linéaire du réseau comprenant E, R et RC par son générateur équivalent de Thévenin.

2) A quelle condition sur RC a) la diode est-elle bloquée (bloquée ⇔ I=0)?

R

Zéner E Rc US

A

B

I

U UZ

Pente ≈zR

1

I U

E

I0

A

B

2R

R R

R

R

I

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Exercices UV1-UV2

b) la diode est en mode « Zéner » (c’est-à-dire UAB > Uz) ? A.N.

3) On suppose la diode en mode Zéner.

a) D’après les données du constructeur, donner une évaluation de la valeur de Rz.

b) Remplacer la diode par un dipôle linéaire équivalent. c) On suppose que la f.é.m du générateur varie légèrement d’une quantité dE.

Evaluer dE

dUs en tenant compte du fait que R et RC sont grandes devant RZ.

d) Justifier alors la dénomination de « régulateur » de tension.

Clarence Melvin Zener (1905-1993), physicien américain qui a décrit le phénomène

électrique utilisé par la diode qui porte son nom en reconnaissance des laboratoires

Bell. Sa plus grande distinction cependant a été la médaille Bingham pour sa

contribution majeure dans le domaine de la rhéologie (étude des ecoulements de la

matière).

Page 29: INSA Toulouse 1A Electrocinétique 1&2 2009/2010

Exercices UV1-UV2

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Exercices UV1-UV2

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Exercices UV1-UV2

XI – Problème : modèle dynamique de montage amplificateur à transistor.

Dans ce problème une modélisation d’un montage à transitor bipolaire est proposée : aucune connaissance particulière de ce composant n’est requise.

1) Remplacer la partie « générateur » comprenant e, Rg et Rp par son générateur équivalent de Thévenin.

2) Donner les dimensions de hie, hfe et hoe ( ce sont les paramètres hybrides du transistor qui sont référencés dans les fiches de données constructeur)

3) Déterminez la fém du générateur de Thévenin équivalent du montage global déterminé par les bornes A et B, en fonction de hie, hoe, e et Re avec Re = (Rg//Rp )+ hie et l’hypothèse Rg<<Rp.

4) Comment définiriez-vous le gain en tension AV de ce montage ? Faire l’AN avec les valeurs typiques du constructeur pour les hxx et en prenant Rp= 10kΩ, Rg = 50Ω.

B

e

Rg

Rp hie

hfe.iB

oeh

1

A iB

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Exercices UV1-UV2

UV2 : électrocinétique des régimes variables

Régimes transitoires

I - Charge et décharge de condensateurs.

1) Charge du condensateur. On considère un condensateur C1 de capacité C. On le charge sous une ddp V. On donne C = 100 µ F, V = 1000 Volts. n est un réél positif.

1) Calculer la charge Q de ce condensateur ainsi que l'énergie W emmagasinée dans ce condensateur . Faire l’A.N. 2) On débranche le générateur. Un deuxième condensateur C2 de capacité n.C, déchargé, est alors relié au premier, le générateur ayant été préalablement débranché, par l'intermédiaire d'une résistance r. a) lorsque les deux condensateurs ont atteint leur état d'équilibre,

quelle est la charge Q1 et Q2 de chacun d'eux en fonction de Q et n?

b) Quelle est la d.d.p aux bornes de chaque condensateur ? c) Quelle est l'énergie totale W' emmagasinée dans les

condensateurs dans le cas où n=1 ?

3. Etude du phénomène transitoire.

a) Etablir l'équation différentielle permettant de calculer à chaque

instant la charge qB .

b) Résoudre cette équation et en déduire à chaque instant la valeur

du courant i dans la résistance (Cond. initiales : t = 0 qB = 0).

c) Pour n=1, faire un calcul direct de l'énergie totale W" dissipée dans la résistance r. Comparer avec les résultats de la 1ère question.

Michael Faraday (1781-1867), scientifique anglais, a notamment découvert

l’induction électromagnétique et a posé les fondements de l’électrochimie.

C’est plutôt bien pour un fils de famille modeste qui a arrêté ses études très tôt (il

fut apprenti à l’âge de 14 ans) ! Son attirance pour les ouvrages scientifiques a

permis à cet autodidacte la carrière qu’on lui connaît.

II – Mesure d’une résistance élevée. Résistance de fuite.

Pour mesurer une résistance R élevée, de plusieurs mégohms, on réalise le montage électrique ci-dessous : Le voltmètre utilisé a une résistance infinie.

0

2 1

R U0

+

C V

C1 V

C1 C2

r

C C

r

i A B

qA qB

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Exercices UV1-UV2

• On abaisse l'interrupteur double dans la position 0 → 1 ; lorsque le

condensateur C = 10 µF est chargé, le voltmètre électronique V indique la tension

Uo = 6,00 V.

• On ouvre l'interrupteur : au bout du temps 1t = 20 s, le voltmètre V indique la tension

1U = 5,10 V.

• On charge de nouveau le condensateur sous la tension U0 (interrupteur dans la

position 0 → 1) puis on abaisse brusquement l'interrupteur dans la position 0 → 2 ; au

bout du temps t t2 1= = 20 s, le voltmètre indique la tension U2 = 4,60 V.

1) Modéliser le condensateur C imparfait comme une association d’un condensateur

parfait de même capacité et d’une résistance de fuite Rf. En déduire les valeurs de

cette résistance de fuite Rf du condensateur ainsi que de la résistance R.

2) Dans la dernière expérience, déterminer à quels instants : • le condensateur est-il déchargé de la moitié de son énergie totale ? • la tension à ses bornes est-elle la moitié de la tension initiale ?

III – Réseau à deux mailles

Dans chacun des réseaux à deux mailles représentés ci-dessous, le condensateur est déchargé à l'instant t = 0 où on ferme l'interrupteur K. La résistance du générateur de tension est négligeable.

A. Montage 1. On suppose R > r. Déterminer :

1) Les courants i1(t) et i2(t) dans la bobine et dans R.

2) l'instant to où le courant i(t) débité par le générateur de tension est maximum.

Tracer le graphe i(t).

3) Calculer to et i max si L = 10 mH, C = 5 µF, r = 100 Ω, R = 200 Ω et E = 2 V.

B. Montage 2. Déterminer :

1) l'équation différentielle en )t(i2 ,

2) la loi d'évolution du courant )t(i2 dans la résistance R, pour les valeurs

L = 1 H, C = 10 µF, r = 100 Ω , R = 1000 Ω , et E = 200V. 3) le courant minimal min2)i( et la tension maximale maxU aux bornes

du condensateur.

i2

i1

i

r

R

L

C

K

E

+

1 2 i2

i1 r

R

L

C

i

K

E

+

Page 34: INSA Toulouse 1A Electrocinétique 1&2 2009/2010

Exercices UV1-UV2

Régime sinusoïdal forcé I - Modèles équivalents

1) Le schéma réel d'une capacité imparfaite est représenté sur la fig. a. Il peut être

commode de remplacer ces deux éléments R et C en parallèle RC

>>

1

ωpar

deux éléments R' et C' en série (fig. b) tels que l'impédance entre les points A et B soit la même dans les deux schémas.

Calculer R' et C' en fonction de R, C, et ω . Montrer que puisque ω

>>C

1R , C' = C.

2) De même, le schéma réel d'une self imparfaite est représenté sur la fig. a. (R<<L ω ).

Il peut être commode de le remplacer par le schéma de la fig. b. Calculer L' et R' en fonction de L, R et ω pour que l'impédance entre A et B soit la même dans les

deux schémas ? II - Modèle du Quartz

1) Donner l'impédance complexe Z du circuit représenté sur la figure (entre les points A et B).

2) Etudier les variations de l'impédance en

fonction de la pulsation ω . Pour alléger

l’écriture des expressions, on pourra se servir

de LC

10

=ω ainsi que '

111 LCLC

+=ω et

si possible les variables sans dimension

0ωω

et 1ω

ω

3) Ce circuit est alimenté par une tension sinusoïdale v V t= 0 cosω . Calculer les

amplitudes complexes des trois courants : I I I, ' , " . Donner pour chaque courant

l'amplitude et la phase dans chaque gamme de pulsation. Comparer les amplitudes de i' et i".

R

A B C

a b

C’ R’

R L

A B

a

L’

R’

A B

b

A

B

C

L

C’

i

i’’ i’

Page 35: INSA Toulouse 1A Electrocinétique 1&2 2009/2010

Exercices UV1-UV2

III - Etude de circuit

Le circuit représenté sur la figure ci-dessous est alimenté par un GBF avec v(t)=Ecos(ωt).

1) On se place dans le cas l’impédance du

condensateur vérifie la relation RC

=ω1

. Déterminer

explicitement i(t) en fonction de E, R et ω.

2) Déterminez la puissance moyenne fournie par le générateur au circuit.

3) Déterminer, toujours avec la condition RC1=ω ,

l’expression de la tension u(t) aux bornes de la résistance R.

4) Donner l’expression de la puissance moyenne consommée par R. Comparer au 2).

Entraînement : on pourra refaire cet exercice en remplaçant le condensateur de droite par une inductance pure dont l’impédance vérifie la relation Lω = R.

IV - Compensateur

Soit le circuit suivant :

On admet (la démonstation est possible, si on a le temps !) que l’impédance

complexe ZAB est réelle et vaut R quel que soit ω si la relation C

LR = est vérifiée,

ce que l’on supposera pour la suite.

1) On soumet cette portion de circuit AB à une tension sinusoïdale v V tm= cosω .

Calculer modules et arguments ( Φ ) des courants I I IL C, , .

2) Calculer le produit LtgΦ . CtgΦ , en déduire le déphasage entre les courants

i et iL C .

Quelle relation doit lier R à la pulsation ω pour que les courants i et iC L soient

déphasés de ± π4

par rapport à la tension v ?

Un compensateur de Pedersen est en fait constitué par deux résistances égales R intercalées entre deux inductances et deux capacités 2 C, comme l'indique la figure,

telles que RL

C= .

A B

R

R

L

C

i

iL

iC

v(t)=Ecos(ωt)

C C

R

i(t)

u(t)

Page 36: INSA Toulouse 1A Electrocinétique 1&2 2009/2010

Exercices UV1-UV2

De plus, la fréquence de la tension sinusoïdale alimentant le circuit est telle que

i et iC L soient déphasés respectivement de ± π4

par rapport à v.

3) Construction de Fresnel :

Représenter les courants I et Ic L et la tension V sur une construction de Fresnel.

En déduire la représentation des tensions aux bornes des bobines, des résistances et des condensateurs. Un curseur se déplace sur chacune des résistances R. Quelle

doit être la position de chacun d'eux pour que )2

tcos(4

Vvv m π+ω=− βα ?

V – Puissance en régime forcé

1) Amélioration du cos φ d'une installation.

Un récepteur placé entre A et B est alimenté par une tension efficace V imposée (voir figure suivante).

Le récepteur est caractérisé par une impédance Z et un facteur de puissance cos

Φ . Pour améliorer le facteur de puissance de cette installation on place en dérivation entre A et B un condensateur de capacité C. Quelle valeur faut-il donner à C pour obtenir la meilleure utilisation pour le réseau EDF ?

2) Adaptation de l'impédance d'utilisation en puissance.

Soit un générateur de f.é.m e = E tm cosω et d'impédance interne Z R jS' ' '= + Ce

générateur débite dans un tronçon extérieur caractérisé par une impédance

Z R jS= + (voir figure).

Comment choisir R et S pour que la puissance active dépensée dans l'impédance

Z soit maximale ? (On dit alors que l'on a adapté l'impédance d'utilisation à celle du générateur).

B

Z

A

V

A B i

iL

iC

R

R L/2 L/2

2C 2C

α

β

M

M' N'

N

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Exercices UV1-UV2

3) Adaptateur d'impédance en puissance.

Un générateur de f.é.m e Em= cos ωt a une impédance interne qui se réduit à

une résistance R'. Il alimente une impédance d'utilisation Z = R + jS imposée. Pour obtenir le maximum de puissance dans l'impédance équivalente entre A' et B' on intercale entre le générateur et l'appareil d'utilisation un "adaptateur" composé de

deux impédances Z1 et Z2 montées selon le schéma de la figure ci-dessous. Les

résistances de Z1 et Z2 sont négligeables ; on désigne par S et S1 2 leurs

réactances respectives.

Trouver les valeurs optimales de S et S1 2 .

(On posera x = S2 et y = S S S2 1+ + ).

Application numérique : R' = 10 Ω ; l'impédance d'utilisation est caractérisée par

une résistance R = 1 Ω et une inductance de 0,1 H ; fréquence f = 50 Hz. Problème : étude d’un réseau échelle (non traité en TD)

On considère le réseau "‚échelle" à courant alternatif de la fig. 1, supposé‚ infiniment

long : Z1 et Z2 représentent les impédances complexes des portions de circuit

schématisées par les rectangles correspondants.

Fig. 1.

1.

A A

B B

Z1

Z2 Z2 Z2

Z1 Z1 Z1

Z2

Z1/2

Z0

i Z’

Z

générateur utilisation

Z1

R’ Z2 Z

A’

B’

A

B

générateur Impédance

d’utilisation

Page 38: INSA Toulouse 1A Electrocinétique 1&2 2009/2010

Exercices UV1-UV2

a) Montrer que l'impédance Z ZAB = 0 équivalente à ce réseau entre les points A et

B vaut

2/1

21

21 ZZ

4

Z

+ .

Conseil : puisque le réseau est par hypothèse de longueur infinie, on ne change

pas son impédance "caractéristique" Z0 en branchant une "cellule" de plus à

gauche des points A et B (représentée en pointillés sur la fig. 2).

Fig. 2.

b) Z1 est l'impédance d'une bobine de résistance nulle et de coefficient de self-

induction L ; Z2 est l'impédance d'un condensateur sans pertes de capacité C.

Calculer Z0 en fonction de L, de C, et de la pulsation ω de la différence de

potentiel sinusoïdale qu'on impose entre les points A et B.

c) Pour quelle pulsation ω0 le comportement du réseau entre A et B passe-t-il

brusquement de celui d'une résistance pure à celui d'une réactance pure ?

Calculer la puissance électrique moyenne P absorbée par le réseau en fonction

de Z0 et de la valeur maximum I 0 de l'intensité du courant en A, pour ω ω< 0 ;

pour ω ω> 0 .

2. On "isole" par la pensée l'élément de réseau représenté sur la fig. 3, et l'on appelle

V et Vn n+1 respectivement les amplitudes complexes de la tension entre les

points ( )A Bn n, et ( )A Bn n+ +1 1, .

Fig. 3.

a) Montrer que le rapport n

1n

V

V +=α est égal à

10

10

Z2

1Z

Z2

1Z

+

−, sachant qu'à droite de 1nA +

et 1nB + le réseau reste de longueur infinie.

Z0

Z1/2 Z1/2

Z2

A

B

A’

B’

Z2

Bn

Z1

Bn+1

An An+1

Page 39: INSA Toulouse 1A Electrocinétique 1&2 2009/2010

Exercices UV1-UV2

Pour cela on calculera Vn en fonction de Z1, Z0, I n .

b) Exprimer ce rapport en fonction de L, C, et ω lorsque les conditions sont celles

de la question 1.b) pour ω ω< 0 ; pour ω ω> 0 .

c) Calculer alors le module α de α en fonction de Ω = ω ω/ 0 , où ω0 est la

pulsation particulière définie au 1.c). Tracer l'allure du graphique représentatif

correspondant pour 0 2< <Ω (on calculera les valeurs numériques de α pour

Ω Ω= =1 25 2, et .)

3. Avec des bobines de coefficient de self-induction L = 10 millihenrys et des

condensateurs de capacité‚ C, on veut réaliser, suivant le schéma de la fig. 1 (question 1.b), un "filtre passe-bas" destiné à transmettre toutes les tensions sinusoïdales de fréquence ν < 1600 Hz.

a) Calculer en microfarads la capacité des condensateurs C à utiliser.

b) Sachant qu'il existe entre les points A et B1 1 (fig. 2) une différence de potentiel

de valeur efficace 1 volt et de fréquence 1000 Hz, calculer la valeur efficace de

la d.d.p. entre A et B4 4 (fig. 1).

c) Même question que ci-dessus, mais pour une fréquence de 2000 Hz.

d) En conclusion de cette étude, justifier l'appellation de filtre passe-bas.

Page 40: INSA Toulouse 1A Electrocinétique 1&2 2009/2010

Exercices UV1-UV2

Annexe : Formulaire de mathématiques pour l’électrocinétique I – Déterminants

bcaddc

ba−= (produit « en croix »)

ihg

fed

cba

= aei + bfg + cdh – ceg – bdi – fha

ihg

fed

cba

Cette méthode de calcul (règle de Sarrus) ne s’applique qu’aux déterminants 3x3. II – Equations différentielles linéaires à second membres constants.

1er ordre : C)t(Au)t(u =+& avec A et C constantes.

Equation sans second membre 0)()( =+ tAutu&

Equation caractéristique (EC) associée r + A = 0 d’où r=-A et u(t)=αexp(-At)

Solution particulière (SP) u(t)=constante=A

C

La solution générale est u(t)=αexp(-At) + A

C avec α constante à déterminer en fonction

d’une condition initiale (généralement une valeur connue u(t=0+)).

2ème ordre : C)t(Bu)t(uA)t(u =++ &&&

Equation sans second membre 0)t(Bu)t(uA)t(u =++ &&&

Equation caractéristique EC : r2 + Ar + B = 0 3 cas :

* 2 racines réélles, r1 et r2 , u(t)=αexp(r1t) + βexp(r2t)

* racine double r12, u(t)=(α +βt)exp(r12 t)

* 2 racines complexes conjuguées r1,2 = a ± jb,

u(t)= exp(at) (αcos(bt)+ βsin(bt)) OU(au choix)

u(t)= α exp(at) cos(bt+ϕ)

Solution particulière (SP) u(t)=constante=B

C

Solution générale : u(t)= αexp(r1t) + βexp(r2t)+ B

C (1er cas)

u(t)=(α +βt)exp(r12 t)+ B

C(2ème cas)

u(t)= α exp(at) cos(bt+ϕ)+B

C(3ème cas)

ou u(t)= exp(at) (αcos(bt)+ βsin(bt))+ B

C (3ème cas)

Le couple de constantes (α,β) ou (α,ϕ) reste alors à déterminer en fonction de 2

conditions initiales qui seront en général des valeurs connues de u(t=0+) et )0t(u +=&

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Exercices UV1-UV2

III – Nombres complexes. Règles de calcul :

21 ZZZ += alors attention : 21 ZZZ +≠ et Arg Z ≠Arg 1Z +Arg 2Z

21 Z.ZZ = , 21 Z.ZZ = et Arg Z = Arg 1Z +Arg 2Z

21 Z/ZZ = , 21 Z/ZZ = et Arg Z = Arg 1Z -Arg 2Z

jbaZ += : Arg Z = Arctg(b/a) si a>0, π-Arctg(-b/a) si a<0 (faire une figure)

ϕ= jeZZ : Arg Z =ϕ

Remarque : Argument d’un réel positif =0, d’un réel négatif = π.

Pour s’entraîner… 1) Equation différentielle du premier ordre

Soit l’équation différentielle RC

E2)t(u

RC

3)t(u =+& . Déterminer littéralement u(t) sachant que

u(t=0+)=E (R , E et C sont des constantes positives). 2) Equation différentielle du second ordre Résoudre numériquement l’équation différentielle

553 10)t(u10)t(u10)t(u =++ &&& (V.s-2)

avec les conditions initiales u(t=0+)=0 V et )0t(u +=& =106 V.s-1

3) Nombres complexes

Soient jx1Z1 += , )x

1x(jQ1Z2 −+= ,

Q

xjx1Z 2

3 +−= .

Déterminer le module et l’argument de ces trois nombres complexes (x est un réel positif et Q une constante positive).