InfiltrationetDrainage - Université Laval€¦ · InfiltrationetDrainage Notesdecours Préparépar...

Infiltration et Drainage

Notes de cours

Préparé par

ROBERT LAGACÉ, ing. et agr., professeur

GAA--7003

Janvier 2016

� Robert Lagacé, 2016

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TABLE DES MATIÈRES

CHAPITRE 1Notions de base en physique des sols 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1 INTRODUCTION 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 LES COMPOSANTES DU VOLUME DE SOL 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 MASSES RÉELLES ET APPARENTES 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 POROSITÉS 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 TENEUR EN EAU 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6 TENEURS EN EAU CARACTÉRISTIQUES 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7 PROFIL D’HUMIDITÉ 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.8 NOTIONS DE PRESSION --- TENSION --- SUCCION 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.9 TENSIOMÈTRES 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.10 TENSIONS SUPERFICIELLES ET ASCENSION CAPILLAIRE 9. . . . . . . . . . . . . . . . .1.11 COURBES DE TENEUR EN EAU --- SUCCION 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.12 HYSTÉRÈSE DE LA COURBE TENEUR EN EAU --- SUCCION 12. . . . . . . . . . . . . . . .1.13 POTENTIELS ET DIAGRAMME DE POTENTIEL 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.14 PROFIL D’HUMIDITÉ À ÉQUILIBRE 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.15 POROSITÉ ÉQUIVALENTE DE DRAINAGE 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.15.1 Le rabattement de la nappe 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.15.2 Le rabattement de la nappe en condition réelle 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.15.3 Porosité équivalente de drainage 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.15.4 Porosité équivalente de drainage constante 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.15.5 Courbe teneur en eau---succion et volume d’eau drainée 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE 2Lois de base de l’écoulement 27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 INTRODUCTION 27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 ÉQUATION DE DARCY 27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 VITESSE RÉELLE, VITESSE APPARENTE, FLUX 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4 PERMÉABILITÉ INTRINSÈQUE 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5 LOI DE DARCY GÉNÉRALISÉE 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6 MILIEU HÉTÉROGÈNE --- NOTION DE TENSEUR 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8 SOLUTION DE PROBLÈMES 32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.1 Solution graphique 32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.2 Solution analytique 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.3 Colonne de sol composée de deux type de sol 34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9 CONDUCTIVITÉ HYDRAULIQUE ÉQUIVALENTE 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.9.1 Écoulement en série 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.9.2 Écoulement en parallèle 37. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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CHAPITRE 3Écoulements en régime permanent 43. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1 INTRODUCTION 43. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 RÉSEAU D’ÉCOULEMENT 43. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 ÉCOULEMENT D’UNE NAPPE CONFINÉE VERS UN PUITS. 48. . . . . . . . . . . . . . . . .3.4 CAS D’UN DRAIN HORIZONTAL AVEC UNE NAPPE À LA SURFACE DU SOL 503.5 CAS DE DRAINS PARALLÈLES AVEC UNE NAPPE À LA SURFACE DU SOL 52. .3.6 CAS D’UN DRAIN DANS UN CYLINDRE --- ÉCOULEMENT RADIAL 55. . . . . . . . . .3.7 CEFFICIENT DE DRAINAGE 55. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE 4Hypothèse de Dupuit--Forcheimer 61. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 INTRODUCTION 61. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2 HYPOTHÈSE DE DUPUIT---FORCHEIMER 61. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ 62. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4 ÉCOULEMENT ENTRE DEUX RÉSERVOIRS 63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5 ÉCOULEMENT ENTRE DEUX RÉSERVOIRS EN PRÉSENCE DE PRÉCIPITATION . . . . . .

654.6 ÉCOULEMENT ENTRE DEUX DRAINS PARALLÈLES 66. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.7 ÉCOULEMENT SUR UN PLAN INCLINÉ 67. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.8 RÉGIME VARIABLE SANS PRÉCIPITATION 71. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.9 RÉGIME VARIABLE AVEC PRÉCIPITATION 75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.10 SOLUTIONS NUMÉRIQUES 76. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE 5Méthode des potentiels de vitesse 87. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1 INTRODUCTION 87. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2 REPRÉSENTATION D’UN SYSTÈME DE DRAINAGE 87. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3 CONCEPT DE BASE 88. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4 LE MODÈLE EN RÉGIME VARIABLE (GUYON) 90. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.1 Forme de la nappe 94. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.5 PROFONDEUR ÉQUIVALENTE DE DRAINAGE 96. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.1 Le concept de profondeur équivalente de drainage. 96. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.5.2 La profondeur équivalente de drainage de Hooghoudt. 97. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.5.3 La profondeur équivalente de drainage et le drain réel. 98. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE 6Écoulement en milieu non saturé 105. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1 INTRODUCTION 105. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2 LOI GÉNÉRALISÉE DE DARCY EN MILIEU NON SATURÉ 105. . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ 106. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.4 CAS D’ÉCOULEMENT NON SATURÉS 109. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.1 Écoulement au---dessus de la nappe 109. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.4.2 Infiltration dans un sol sec 111. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5 CONDUCTIVITÉ HYDRAULIQUE NON SATURÉE 112. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.6 ESTIMATION DE K(q), K(h) ET D(q) 112. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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CHAPITRE 7Modèles macroscopiques ou de bilan 119. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1 INTRODUCTION 119. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.2 MODÈLES DE BILAN MACROSCOPIQUE 119. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3 ANALYSE DU PROBLÈME 121. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3.1 Identification des variables de sorties désirées 121. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3.2 Identification des phénomènes qui doivent être modélisés 121. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3.3 Identification des hypothèses qui doivent être posées 122. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.3.4 Identification des variables nécessaires et disponibilité des données 122. . . . . . . . . . . . . . .7.3.5 Identification du pas de temps de la simulation. 122. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4 CRÉATION DUMODÈLE 123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.4.1 Définition d’une représentation conceptuelle du système 123. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.4.2 Identification des variables de système pouvant décrire les réservoirs 123. . . . . . . . . . . . . .7.4.3 Identification des équations pouvant décrire les entrées et les sorties 124. . . . . . . . . . . . . .7.4.4 Identification de équations pouvant décrire les phénomènes internes aux réservoirs 125.7.4.5 Identification de tous les cas limites et des contraintes et leurs répercussions sur les équations

1257.4.6 Transformation des équations décrivant les phénomènes en terme de variables de système . . . .

1267.4.7 Transformation des équations décrivant les phénomènes en terme de modification des variables de

systèmes avec leurs contraintes 127. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.4.8 Introduction de ces équations dans les équations de la continuité 127. . . . . . . . . . . . . . . . .7.4.9 Transformation des variables de système en variables de sorties 128. . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE 8Infiltration 129. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.1 INTRODUCTION 129. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2 INFILTRATION ET DÉFINITIONS 129. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.3 PROCESSUS D’INFILTRATION 130. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.4 PROFIL D’HUMIDITÉ ET INFILTRATION 131. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.5 CAPACITÉ D’INFILTRATION 133. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.5.1 Entrée de l’eau à la surface du sol 133. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.5.2 La transmission de l’eau 133. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.5.3 Le temps 134. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.5.4 Valeurs typiques de la capacité d’infiltration. 135. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.6 MESURE DE LA CAPACITÉ D’INFILTRATION 135. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.6.1 Submersion 135. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.6.2 Aspersion 136. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.6.3 Analyse des hydrogrammes 136. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.7 ÉQUATIONS 136. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.7.1 Équations basées sur la masse infiltrée 136. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.7.2 Équations basées sur le temps 138. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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CHAPITRE 9Évapotranspiration 143. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.1 INTRODUCTION 143. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2 DÉFINITIONS 143. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3 BILAN D’ÉNERGIE 144. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3.1 Radiation globale 144. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3.2 Réflexion 146. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3.3 Réémission 146. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3.4 Radiation extra terrestre 148. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.4 PRINCIPE DE LA DIFFUSION 150. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.5 BILAN DE MASSE --- BILAN D’ÉNERGIE 150. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.6 MESURES 151. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.7 ÉCOULEMENT DE L’EAU DANS LA PLANTE 152. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.8 FORMULES D’ESTIMATION 154. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.8.1 Basées sur le bilan de masse 154. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.8.2 Basées sur le bilan d’énergie 155. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.8.3 Méthodes basées sur la température de l’air 158. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.9 ÉVAPOTRANSPIRATION RÉELLE (ETR) 160. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.10 EVAPOTRANSPIRATION EN SERRES 161. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE 10Bilan hydrique au Québec 165. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.1 INTRODUCTION 165. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.2 LE BILAN HYDROLOGIQUE OU HYDRIQUE 166. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.3 RÉGIME HYDRIQUE AU QUÉBEC 167. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE 11Migration des substances 171. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.1 INTRODUCTION 171. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2 LOIS DE MIGRATION DES SUBSTANCES 171. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.3 BILAN DE SUBSTANCES 173. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.4 CYCLE DE L’AZOTE 174. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.5 EXEMPLES 176. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE 12Calcul de l’erreur 179. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.1 INTRODUCTION 179. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.2 NOTION DE LIMITE DE CONFIANCE 179. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.3 TYPES D’ERREURS 180. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.4 ESTIMATION DE L’ERREUR D’UNE FONCTION 181. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.5 FORMES D’ERREURS 182. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.6 EXEMPLES D’ESTIMATION DES ERREURS 183. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.6.1Erreur de l’évaluation d’une somme 183. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.6.2Erreur de l’évaluation d’une moyenne 183. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.6.3Erreur sur bilan hydrique 184. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

CHAPITRE 13Autres types d’écoulement 189. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.1 INTRODUCTION 189. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.2 ÉCOULEMENT SATURÉ 189. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.3 ÉCOULEMENT NON SATURÉ 190. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.4 ÉCOULEMENT SOUS FORME DE VAPEUR 190. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.5 ÉCOULEMENT SOUS FORME LIQUIDE ET DE VAPEUR 191. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.6 ÉCOULEMENT BIPHASIQUE 191. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.7 ÉCOULEMENT AVEC GRADIENT DE TEMPÉRATURE 191. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.8 ÉCOULEMENT OSMOTIQUE 191. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.9 ÉCOULEMENTS MULTIPLES 192. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.10 TRANSPORT DE SOLUTÉS 192. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE 1Notions de base en physique des sols

1.1 INTRODUCTION

Les principaux objectifs de la physique des sols consistent à établir les lois générales décrivantde manière quantitative le comportement à court terme des sols, de sorte qu’elles puissent êtreutilisées à la solution de problèmes. Les phénomènes rapides de transfert d’eau, d’air, de cha-leur et de solutés exercent une influence déterminante sur les conditions et la croissance desplantes, mais aussi sur la protection et la conservation des sols et la protection des nappesphréatiques contre les contaminants.

Ce chapitre présente les notions de physique des sols nécessaires à la compréhension des prin-cipaux phénomènes d’écoulement de l’eau en milieu poreux.

1.2 LES COMPOSANTES DU VOLUME DE SOL

En première analyse, le sol peut être représenté schématiquement comme constitué d’unvolume de solides et d’un volume de vides (figure 1.1). Le volume des solides est constitué des

Figure 1.1 Représentation schématique d’un volume de sol.

Solides

Vides

GazLiquides

différents minéraux et des particules de matière organique et les vides occupent les espaceslibres entre les particules (minéraux et matière organique). À son tour, le volume des vides estdivisé en une phase liquide et gazeuse. La phase liquide est constituée principalement de l’eauet des éléments (sels, nitrates, etc.) en solution dans celle--ci. La phase gazeuse est constituée

2 NOTIONS DE BASE EN PHYSIQUE DES SOLS

d’azote gazeux (N2), d’oxygène (O2), d’argon (Ar), de gaz carbonique (CO2), de vapeur d’eauet d’autres gaz (CH4, H2S, etc.). L’air atmosphérique sec est actuellement composé, sur unebase volumique, de 78,08%deN2, de 20,95%deO2, de 0,934%deAr et de 0,038%deCO2 et0,002 % d’autres gaz. Dans les sols bien aérés, la proportion des différents gaz est près de cellede l’air atmosphérique alors que dans les sols mal aérés, l’oxygène est remplacée par le gazcarbonique (CO2) et d’autres gaz résultant de l’activité anaérobique (CH4, H2S, etc.). La phasegazeuse est le complément de la phase liquide, les gaz remplaçant l’eau lorsque celle--ci seretire. Le volume des solides est considéré comme constant pour autant que le sol est considérécomme indéformable. Le volume des vides est aussi appelée porosité totale. Un bon sol agri-cole a une porosité d’environ 50%.

Les volumes de solides, de liquides et de gaz sont généralement exprimés en terme de m3 oucm3 et parfois en terme de fractions ou pourcentages (m3/m3 ou cm3/cm3). Les relations entreles différents volumes sont représentées par les équations suivantes :

[1.1]Vt = Vs + Vv = Vs + Ve + Va

[1.2]Vv = Ve + Va

Vt = volume total du sol (cm3)Vs = volume des solides (cm3)Vv = volume des vides (cm3)Ve = volume d’eau ou de liquide (cm3)Va = volume d’air ou de gaz (cm3)

1.3 MASSES RÉELLES ET APPARENTES

Les paramètres fondamentaux sur lesquels reposent la description générale d’un sol relèventdes relation de masse et de volume caractérisant sa constitution. Le premier est lamasse volu-mique réelle “ρs“ qui est le rapport de la masse des constituants solides sur leur volume :

[1.3]�s =Ms

Vs

ρs = masse volumique réelle du sol (g/cm3)Ms = masse des solides (g)

Lamasse volumique réelles des éléments constituants le sol est fonction du type dematériaux :

minéraux argileux 2,00 -- 2,65 g/cm3

quartz et feldspath (limon et sable) 2,50 -- 2,60 g/cm3

minéraux contenant des éléments métalliques 4,90 -- 5,30 g/cm3

fraction organique 1,30 -- 1,40 g/cm3

Les valeurs moyennes des masses volumiques réelles sont généralement comprises entre lesvaleurs suivantes :

sols minéraux 2,60 -- 2,70 g/cm3

sols organiques 1,40 -- 2,00 g/cm3

Le second paramètre, lamasse volumique apparente sèche “ �as“ permet de tenir compte del’importance relative du volume des solides et des vides du sol :

POROSITÉS 3

Édition 2016

[1.4]�as =Ms

Vt=

Ms

Vs + Vv

ρas = masse volumique apparente sèche du sol (g/cm3)

La masse volumique apparente sèche d’un sol est toujours inférieure à sa masse volumiqueréelle, puisque la masse solide est toujours rapportée au volume total apparent et non seule-ment au volume de solides. Les ordres de grandeur des masses volumiques apparentes sèchessont pour différents types de sols :

sols sableux 1,40 -- 1,70 g/cm3

sols argileux 1,00 -- 1,50 g/cm3

sols tourbeux 0,30 -- 1,00 g/cm3

Lamasse volumique réelle“ �e“ de la phase liquide est définie comme le rapport de lamasse duliquide sur son volume :

[1.5]�e =Me

Ve

ρe = masse volumique du liquide (g/cm3)Me = masse de liquides (g)

Comme la phase liquide est constituée principalement de l’eau et des éléments (sels, nitrates,etc.) en solution dans celle--ci et que les sols présentent généralement de faibles concentrationset qu’ils sont soumis à de faibles variations de température, la masse volumique liquide estassimilée à celle de l’eau pure, soit 1,00 g/cm3.

1.4 POROSITÉS

Laporosité “p“, définie comme le rapport du volumedes vides sur le volume total du sol (aussiappelé le volume apparent), permet aussi de caractériser les espaces entre les particules de sol :

[1.6]p =Vv

Vv + Vs= 1 −

�as

�s

Dans les sols minéraux, la porosité varie entre 30 % et 60 %, alors que les tourbes peuventprésenter des porosités de près de 90 %.

Le volume relatif des vides peut aussi être exprimé par l’indice des vides “e” qui est peu utiliséen agronomie mais très utilisée en ingénierie :

[1.7]e =Vv

Vs

e = indice des vides


Il existe une relation entre l’indice des vides et la porosité :

[1.8]e =p

1 − p

[1.9]p = ee + 1

Le système poral, considéré comme un réseau de pores et de conduits de faibles dimensionscommuniquant entre eux, peut être décomposé en plusieurs classes de porosité. Les deux plusimportantes sont :

Macroporosité : la partie des pores dans laquelle se déroulent la majorité des transfertd’eau et d’air. Les phénomènes de mouvement de l’eau se font principalement sous l’ac-tion des forces de la gravité dans les macropores. Ce sont ces pores qui sont libérés deleur eau suite au drainage. L’espace des teneurs en eau entre la capacité au champ et lasaturation provient des macropores.

Microporosité : la partie des pores de faibles diamètres qui retiennent l’eau suite au drai-nage. Ils réagissent peu aux forces de la gravité mais sont le site des force capillaires.

Les diamètres apparents de 30--60 µm sont généralement considérés comme la limite entre lamacroporosité et la microporosité.

1.5 TENEUR EN EAU

La quantité de liquide ou d’eau contenu dans le sol est variable dans le temps et dans l’espace.Sa caractérisation est importante et elle est définie par la teneur en eau volumique et la teneuren eau pondérale. La teneur en eau volumique “θ” est définie comme le rapport du volumed’eau contenu dans le sol à son volume apparent de sol (ou volume total de sol) :

[1.10]θ =Ve

Vt

La teneur en eau pondérale “w” est quant à elle définie comme le rapport de la masse d’eaucontenu dans le sol à la masse des particules de sol :

[1.11]w =Me

Ms

En hydrologie, les teneurs en eau volumiques sont utilisées car elles facilitent les calculs alorsqu’en agronomie, il est de tradition d’utiliser les teneurs en eau pondérales. Il existe une rela-tion entre la teneur en eau volumique et la teneur en eau pondérale d’un sol :

[1.12]θ =�as

�ew

TENEURS EN EAU CARACTÉRISTIQUES 5

Édition 2016

1.6 TENEURS EN EAU CARACTÉRISTIQUES

Différents concepts et définitions relatifs à l’humidité des sols ont été développés dans l’opti-que d’une utilisation pratique en agronomie. Les concepts d’humidités caractéristiques sontprésenté à la figure 1.2 et ils sont aussi en relation avec l’utilisation de l’eau par la plante.

Figure 1.2 Teneurs en eau caractéristiques des sols et croissance des plantes.

Croissance

PF PC CC SAT

RU

RFU

θ

SolidesVides

GazLiquides

Les définitions des humidités caractéristiques sont :

Saturation (Sat) : teneur en eau à saturation du sol en condition de champ. En réalité, le soln’atteint jamais une saturation complète car une certaine quantité d’air y reste toujoursemprisonnée.

Capacité au champ (CC) : teneur en eau du sol après que l’excédent d’eau se soit drainé etque le régime d’écoulement vers le bas soit devenu négligeable, ce qui se produit habi-tuellement de un à trois jours après une pluie ou une irrigation.

Point de flétrissement (PF) : teneur en eau du sol où la plante ne peut y puiser l’eau néces-saire à sa survie, y subit des dégâts irréversible et elle meure.

Point critique (PC) : la teneur en eau du sol lorsque la plante commence à souffrir d’unmanque d’eau et que sa croissance en est affectée. Cette teneur en eau est utilisé en ges-tion de l’irrigation. Il est aussi appelé point de flétrissement temporaire par certains.Cette valeur se situe entre le tiers et les deux tiers de la différence entre le point de flétris-sement et la capacité au champ et varie selon le type de plante, son stade de croissance etle pouvoir évaporant de l’air.


Deux autres concepts utilisés en gestion de l’eau en découlent et ils sont :

Réserve utile (RU) : quantité d’eau contenu dans le sol que les plantes peuvent utiliser.C’est la différence entre la capacité au champ et le point de flétrissement.

Réserve facilement utilisable (RFU) : quantité d’eau contenu dans le sol que les plantespeuvent utiliser facilement pour leur croissance et sans subir de stress dommageable.

Toutes ces définitions et les concepts qui y sont reliés sont basés unmodèle statique et simplifiédu mouvement de l’eau dans le sol. Il ne fait pas intervenir le mouvement dynamique de l’eaudans le sol, mouvement qui sera traité aux sections 1.11 et suivantes.

1.7 PROFIL D’HUMIDITÉ

Le profil d’humidité appelé aussi le profil hydrique est la représentation graphique de la teneuren eau du sol en fonction de la profondeur (figure 1.3).

Figure 1.3 Description du profil d’humidité.

Teneur en eau

Profon

deur

CC Sat

Si le profil d’humidité présente la teneur en eau volumique, la surface comprise entre deuxprofils représente la différence de volume d’eau par unité de surface contenu dans le sol. Sicette différence est due à une précipitation, ce volume correspond au volume infiltré. Si cettedifférence est due à la transpiration des plantes, ce volume correspond à l’évapotranspirationpour la période. Un exemple simple permettra d’illustrer le concept. Pour des plants de maïsayant une profondeur effective des racines de 90 cm dans un sol ayant une capacité au champde 0,40 cm3/cm3 et un point critique de 0,30 cm3/cm3, la quantité d’eau nécessaire pour rame-ner ce sol du point critique à la capacité au champ sera :

Veau = (CC − PC) Profracines = �0, 40 cm3

cm3 − 0, 30 cm3

cm3� 90 cm = 9 cm = 90 mm

Le volume d’eau exprimé en cm correspond à 9 cm3/cm2 ou 90 mm.

NOTIONS DE PRESSION -- TENSION -- SUCCION 7

Édition 2016

1.8 NOTIONS DE PRESSION -- TENSION -- SUCCION

Référence : Musy et M. Soutter, 1991. Physique du sol. pp. 56--59.

L’ensemble de la phase liquide d’un sol est soumise à la pression atmosphérique.Dans le sol, lapression de l’eau peut varier autour de cette valeur selon les forces présentes. La pression à lasurface d’un liquide exposée à l’air libre est en équilibre avec la pression atmosphérique et elleest égale à cette dernière. Dans un souci de simplification, il est plus simple de définir la pres-sion en termede pression relative qui est la différence entre la pression et la pression atmosphé-rique. Ainsi, à la surface d’un liquide exposée à l’air libre, la pression relative est nulle. Leterme pression utilisé dans les sols fait référence à cette pression relative.

Si le point considéré est sous la surface du liquide, nous sommes en présence d’une pressionhydrostatique et positive comme le montre la figure 1.4. La pression relative s’exprime alors :

[1.13]p = � g h

p = pression (N)ρ = masse spécifique du liquide (kg/m3)g = constante gravitationnelle (9,8 m/s2)h = hauteur (m)

Figure 1.4 Pression sous et au--dessus de la surface d’un liquide.

h--h

Comme la phase liquide est considérée commehomogène et incompressible, samassevolumi-que est constante, si bien que la pression peut aussi s’exprimer sous la forme d’énergie parunité de poids ou hauteur de la colonne de liquide :

[1.14]p =� g h� g = h

Dans ce cours et dans lamajorité des traités de physique des sols, l’unité de pression utilisée estla hauteur de la colonne de liquide qui est ici la hauteur de la colonne d’eau.

Pour un point au--dessus de la nappe, la pression est négative et elle dénommée tension ou suc-cion. Le concept de tension ou succion est pratique car il permet d’enlever le signe négatif de lavaleur et de lui donner une dimension positive. La tension ou la succion sont très utilisés dansle domaine des sols :

[1.15]Tension = Succion = − Pression


1.9 TENSIOMÈTRES

Référence : Musy et M. Soutter, 1991. Physique du sol. pp.(p. 263--265)

La figure 1.5 présente le schéma d’un tensiomètre, appareil qui permet de mesurer des pres-sions positives ou négatives (tension ou succion) de l’eau dans les sols. Le tensiomètre estconstitué d’une capsule poreuse en porcelaine enfoncée dans le sol et reliée à un manomètre depression au moyen d’un tube généralement en nylon. Le tensiomètre de la figure 1.5 est munied’un manomètre à mercure. La pression au niveau de la capsule est déterminée par le bilan desforces :

[1.16]pA = patm = 0 = hHg �Hg g − hHg �e g − Z �e g + pB

[1.17]pB = hHg��e − �Hg

� g + Z �e g

En exprimant cette dernière équation en terme de hauteur de colonne d’eau, elle s’écrit :

Figure 1.5 Schéma d’un tensiomètre.

Z

PA

PB

hHg

[1.18]hB =pB� g =

hHg

�e g��e − �Hg

� g +Z �e g�e g

[1.19]hB = hHg �1 −�Hg

�e�+ Z = Z − hHg ��Hg

�e− 1�

Le manomètre àmercure peut être remplacé par unmanomètre à bourdon (vacuum) ou un cap-teur électronique de pression et la pression de l’eau dans le sol est estimé :

[1.20]hB = Z − PA

TENSIONSSUPERFICIELLESETASCENSIONCAPILLAIRE 9

Édition 2016

La succion ou la tension que peutmesurer un tensiomètre est limitée par la pression d’entrée del’air dans la capsule de porcelaine (grosseur des pores) et le désamorçage de la colonne se pro-duit aussi lorsque la pression dans la colonne devient inférieure à la pression de vapeur d’eau.

1.10 TENSIONS SUPERFICIELLES ET ASCENSION CAPILLAIRE


Tous se souviennent de la fabrication de bulles de savon. Un petit cercle trempé dans une eausavonneuse crée une membrane tendu entre la circonférence du cercle. Si vous soufflez surcettemembrane, vous pouvez former une bulle de savon.C’est le phénomène de tension super-ficielle qui permet d’explique ce phénomène.

Lorsqu’un tube capillaire transparent est plongé dans un récipient contenant un liquide(figure 1.6), une différence peut être observée entre le niveau du liquide dans le tube et celuidans le récipient. Cette différence de niveau est accompagnée d’unménisque incurvée au som-met de la colonne de liquide contenue dans le tube. La courbure de ce ménisque est fonction del’angle de contact liquide--solide--air.

Figure 1.6 Coupe d’un tube capillaire placé dans un récipient (Musy et Soutter, 1991).

hj

z

B

C

La hauteur d’ascension du liquide dans le tube est déterminée par la loi de Jurin qui suppose laformation d’une membrane tendue à la surface du liquide dans le tube :

[1.21]hj =2 σ cosα�e g r

hj = hauteur capillaire (m)σ = tension superficielle (N/m)α = angle de contact liquide--surface--airr = rayon du tube (m)

La pression en tout point du tube capillaire (C) peut y être déterminée :

[1.22]hC = − 2 σ cosα�e g r + �hj − z�

La tension (pression négative) est maximale sous le ménisque.


Le tableau 1.1 présente les tensions superficielles de l’eau et du mercure en fonction de la tem-pérature. Le tableau 1.2 présente les angles de contact de l’eau et du mercure avec quelquessurfaces.

Tableau 1.1 Tensions superficielles

Température[�C]

Eau[N/m]

Mercure[N/m]

--5 0,0764

0 0,0756

5 0,0749

10 0,0742

15 0,0735 0,4100

20 0,0728 0,4355

25 0,0720

30 0,0712

Tableau 1.2 Angle de contact

liquide -- solide -- gaz Angle de contact

eau -- argile -- air 0�

eau -- quartz -- air 5�

eau -- matière organique -- air 180�

mercure -- quartz -- air �

Dans les sols composés principalement de minéraux de quartz ou argileux, l’angle de contactest très faible et il est généralement assumé à 0� car des angles de contact de quelques degrésconfèrent à l’équation de Jurin [1.21] des cos proche de 1,0.

1.11 COURBES DE TENEUR EN EAU -- SUCCION


C’est le concept des tensions superficielles qui permet d’expliquer la courbe de teneur en eau--succion dans un sol. Les pores du sol sont assimilés à une multitude de tubes capillaires dedifférentes grosseurs qui retiennent l’eau aussi longtemps que la tension exercée par le milieuenvironnant ne dépasse pas la tension capillaire exercée par les pores. Si la tension exercée parle milieu est supérieure à celle exercée par les pores, ces derniers se videront de leur eau. Lesplus gros pores libèrent leur eau à de faibles tensions alors que les plus petits pores le font à deplus grandes tensions.

La courbe de teneur en eau -- succion (figure 1.7) est la représentation de la relation entre lateneur en eau dans un sol et la succion exercée sur ce dernier en laissant suffisamment de tempsà l’équilibre de ce réaliser. Cette courbe est déterminée au moyen de la table à tension

COURBES DE TENEUR EN EAU -- SUCCION 11

Édition 2016

(figure 1.8) et/ou des marmites à pression. Cette courbe est aussi appelée courbe caractéristi-que d’humidité.

Figure 1.7 Relation teneur en eau -- succion d’un sol.

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0 50 100 150 200 250

Succion (cm)

Tene

uren

eau

Sol du tableau 1.4

Sol de la question 1.14

Figure 1.8 Le schéma de la table à tension.


1.12 HYSTÉRÈSE DE LA COURBE TENEUR EN EAU -- SUCCION


La courbe de la teneur en eau -- succion (figure 1.9) ne suit pas le même chemin lorsqu’elle estréalisée en mode de drainage ou d’humidification. Le phénomène d’hystérèse est du principa-lement à l’interconnexion de pores de différentes grosseurs et les forces capillaires impliquées.

L’exercice 1.10 permet de démontrer l’effet d’hystérèse pour un cas théorique simple.

Un gros pore coincé entre deux pores plus petits ne peut libérer son eau tant que les petits poresne sont pas vidés de leur eau, donc à de plus grandes tensions. En mode humidification, un despetits pores ne pourra pas se remplir d’eau tant que le plus gros pore ne sera pas rempli, donc àune tension plus faible qu’il ne le ferait s’il était en contact direct.

Figure 1.9 Relation teneur en eau -- succion d’un sol.

1.13 POTENTIELS ET DIAGRAMME DE POTENTIEL


Le premier concept en écoulement de l’eau est le potentiel. Le potentiel est le niveau d’énergieque possède l’eau en un point. Le potentiel total en un point est la somme du potentiel de gra-vité, du potentiel de pression, du potentiel de vitesse et du potentiel osmotique. Il s’exprimesimplement :

[1.23]φ = φz + φh + φv + φo

φz = potentiel d’élévation ou de gravitéφh = potentiel de pressionφv = potentiel de vitesseφo = potentiel osmotique

POTENTIELS ET DIAGRAMME DE POTENTIEL 13

Édition 2016

Comme les vitesses d’écoulement dans les sols sont relativement lentes, le potentiel de vitesseest considéré comme négligeable. Le potentiel osmotique est le résultat de la concentration ensels et ses variations se manifestent principalement au niveau microscopique comme dans levoisinage des racines. Dans une approche macroscopique comme celle des problèmes d’écou-lement, ces variations sont négligeables et le potentiel osmotique est considéré comme cons-tant et sans contribution. Dans l’étude des problèmes d’écoulement, l’expression simplifiéesuivante du potentiel est utilisée :

[1.24]φ = φz + φh

L’unité la plus utilisée pour exprimer le potentiel est la hauteur de la colonne d’eau. Le poten-tiel d’élévation est l’élévation du point considéré au--dessus du point de référence. Le potentielde pression est simplement la hauteur de la colonne d’eau au--dessus du point considéré. Si leconcept semble simple, il n’est pas évident à utiliser et c’est pourquoi il est nécessaire de pré-senter quelques exemples pour mieux le comprendre.

La figure 1.10 présente les potentiels dans un bocal d’eau. La première étape est d’établir unniveau de référence qui est laissé à la discrétion de l’utilisateur. Certains niveaux de référencesont plus intuitifs que d’autres comme le fond du bocal. La seconde étape est d’établir lespotentiels aux points connus. Ainsi, à la surface de l’eau, le potentiel de pression est nul(φh = 0) et le potentiel d’élévation est égal à l’élévation du niveau de l’eau au--dessus du pointde référence (φz = h). Au niveau du fond du bocal, le potentiel d’élévation correspond auniveau de référence (φz = 0) et le potentiel de pression est égal à la hauteur de la colonne d’eauau--dessus du fond (φh = h). La figure à droite représente le diagramme des potentiels. Ainsi,le potentiel total qui est la somme des potentiels de pression et d’élévation est ici égal en toutpoint du bocal à la hauteur de la colonne d’eau au--dessus du fond (φ = h). Il est laissé au lec-teur d’établir le même diagramme des potentiels en fixant le niveau de référence au niveau del’eau dans le bocal.

Figure 1.10 Potentiels dans un bocal d’eau.

h

h

φh φz

φ

Potentiel

z

Réf.

La nappe phréatique se définit comme le lieu dans le sol où la pression de l’eau est nulle(φh = 0). Elle correspond au niveau de l’eau qui se stabilise dans un trou creusé dans le sol.


La figure 1.11 présente les potentiels dans un bocal de sol où une nappe d’eau est présente. Leniveau de référence est fixé au fond du bocal. La seconde étape est d’établir les potentiels auxpoints connus. Ainsi, à la surface de la nappe, le potentiel de pression est nul (φh = 0) et lepotentiel d’élévation est égal à l’élévation du niveau d’eau au--dessus du point de référence(φz = h). Au niveau du fond du bocal, le potentiel d’élévation correspond au niveau de réfé-rence (φz = 0) et le potentiel de pression est égal à la hauteur de la colonne d’eau au--dessus dufond (φh = h). À la surface du sol, le potentiel d’élévation est φz = h+ d. La figure à droitereprésente le diagramme des potentiels. Le potentiel de pression à la surface du sol peut êtredéduit en prolongeant la ligne du potentiel de pression. La pression est négative d’une valeurégale à la distance à la nappe. Cette pression négative est appelée succion ou potentiel matri-ciel. Le potentiel total qui est la somme des potentiels de pression et d’élévation est ici égal entout point du bocal à la hauteur de la colonne d’eau au--dessus du fond (φ = h). Dans un sys-tème au repos comme celui--ci et le précédent, le potentiel total est constant sur toute la profon-deur.

Figure 1.11 Potentiels dans un bocal de sol avec une nappe.

h

h

φh φzφ

Potentiel

z

d

--d

Réf.

De l’analyse des exemples précédents, il se dégage les règles suivantes :

1. Le niveau de référence doit être établi au point de départ,2. Le potentiel de pression est nul au niveau de la nappe ou d’une surface d’eau,3. La pression se transmet intégralement dans un espace occupé par l’eau,4. Dans un système au repos, il n’y a pas d’écoulement et le potentiel total est constant.

1.14 PROFIL D’HUMIDITÉ À ÉQUILIBRE

Un profil d’humidité est à équilibre lorsqu’il ne bouge pas et que la teneur en eau est en équili-bre avec le potentiel de pression (succion). Cette situation se produit lorsque le potentiel totalest constant sur toute la profondeur du sol considéré. Le tableau 1.3 présente le cas d’un solpossédant la courbe teneur en eau -- succion du tableau 1.4 pour une nappe à 60 cm de profon-deur. La première étape est d’établir le potentiel total (ici la référence est à la surface du sol) etle potentiel de pression (succion) à chaque profondeur. À chaque profondeur, correspond unesuccion (pression) et à cette succion correspond la teneur en eau en équilibre à cette succion. Sila pression est positive, le sol est saturé et la teneur en eau est celle de la saturation (φh = 0).

POROSITÉ ÉQUIVALENTE DE DRAINAGE 15

Édition 2016

Tableau 1.3 Profil d’humidité à équilibre d’un sol possédant la courbe teneur en eau -- suc-cion du tableau 1.4 pour une nappe à 60 cm de profondeur.

Profondeur(cm)

ϕz(cm)1

ϕ(cm)1

Pression(cm)

Succion(cm)

θ

0 0 --60 --60 60 0,310

20 --20 --60 --40 40 0,328

40 --40 --60 --20 20 0,350

60 --60 --60 0 0 0,365

80 --80 --60 20 --20 0,365

100 --100 --60 40 --40 0,3651 Référence à la surface du sol

1.15 POROSITÉ ÉQUIVALENTE DE DRAINAGE

1.15.1 Le rabattement de la nappe

Dans un sol homogène, le rabattement de la nappe correspond, si l’équilibre est atteint, à retirerle surplus d’eau du profil d’humidité pour le ramener à équilibre. Ceci équivaut à déplacer leprofil d’humidité vers le bas d’une distance correspondant au rabattement de la nappe(figure 1.12). Le potentiel s’écrit alors :

[1.25]�2 = �1 + ∆h

�1 = potentiel quand la nappe est au niveau ”1”�2 = potentiel quand la nappe est au niveau ”2”∆h = rabattement de la nappe

Figure 1.12 Changement du profil d’humidité lors du rabattement de la nappe.


Le volume unitaire d’eau drainée (∆V) lors du rabattement de la nappe s’écrit :

[1.26]∆V = �h2

0

θ�z, h1� dz −�h2

0

θ�z, h2� dz

∆V = volume unitaire d’eau drainée (L3/L3 L)h1 et h2 = position de la nappe au niveau ”1” et “2”

1.15.2 Le rabattement de la nappe en condition réelle

En condition réelle, le rabattement de la nappe n’est jamais suffisamment lent pour permettrel’équilibre complet (figure 1.13). La teneur en eau (θ) et la porosité efficace sont fonction d’untroisième paramètre, le temps. Le volume unitaire d’eau drainé s’écrit alors :

[1.27]∆V = �h1

0

θ�z, h1, t1� dz −�h2

0

θ�z, h2, t2� dz

Les simplifications que permettait ∇� = 0 ne peuvent être utilisées.

Figure 1.13 L’équilibre dynamique d’un profil d’humidité en condition de drainage (Childs,1957).

1.15.3 Porosité équivalente de drainage

L’utilisation par les différents modèles de drainage de la porosité de drainage comme unvolume unitaire d’eau libérée lors du rabattement de la nappe a amené la création de la notionde porosité équivalente de drainage (µ’) (Taylor, 1960). La porosité équivalente de drainageest le volume unitaire d’eau libérée par le profil de sol lors du rabattement de la nappe d’uneposition à une autre (figure 1.14) :

[1.28]��(h) =

∆Veau drainé

∆Vsol drainé

=Quantité d�eau restituée par le sol

Volume de sol libéré de la nappe


Édition 2016

[1.29]��(h) = ∆V(h)∆h

[1.30]��(h) =

�∞

0

θ(z, h, t) dz −�∞

0

θ(z, h + ∆h, t + ∆t) dz

∆h

Cette fonction permet d’évaluer la quantité d’eau drainée lors du rabattement de la nappe entredeux points donnés. Le volume d’eau drainé provient de tout le profil de sol au--dessus de lanappe alors que le volume de sol drainé correspond au volume où la nappe s’est rabattue.Comme l’eau ne provient pas uniquement de la zone où la nappe s’est rabattue, cette porositéest appelée “porosité équivalente de drainage“, un peu comme si l’eau ne provenait que de lazone où la nappe s’est rabattue.

Figure 1.14 Schémaprésentant le volume d’eau drainé et la porosité équivalente de drainage.

CCPF SAT θθθθ

z

ς

∆V

∆h

Cette définition a l’avantage d’être pratique et de pouvoir traiter des cas où la nappe est presqueà la surface du sol (figure 1.15) et où la porosité de drainage n’est pas constante. En réalité,c’est à cette notion de porosité équivalente de drainage que réfèrent les modèles même si leterme porosité de drainage est largement utilisé. Dans la réalité tel qu’exprimé par lafigure 1.14, le terme µ’ représentent la quantité unitaire d’eau restituée par le sol suite aurabattement de la nappe.

1.15.4 Porosité équivalente de drainage constante

Si en réalité, les changements constants des conditions externes (nappes, précipitations) nepermettent pas au profil d’humidité d’atteindre l’équilibre, l’observation des courbes teneuren eau--succion (figure 1.9) et des profils d’humidité en période de drainage (figure 1.12) per-met de tirer les trois constatations suivantes pour l’établissement d’un modèle :


� Immédiatement au--dessus de la nappe où la succion est faible, un accroissement de lasuccion ne provoque qu’un léger changement de l’humidité de cette région car peu depores sont suffisamment gros pour que leurs forces capillaires soient vaincues par l’ac-croissement de succion. Cette zone au--dessus de la nappe où une variation de succiona peu d’influence sur l’humidité est presque saturée et elle est appelée frange capillaire(Childs, 1957).

� Au--dessus de cette frange, un faible accroissement de la succion provoque une diminu-tion significative de la teneur en eau. Les forces capillaires d’une assez grande portiondes pores sont alors vaincues par la succion et une quantité significative d’eau est libé-rée. C’est cette zone du sol qui libère son eau lors du drainage et s’aère. I1 est intéressantde remarquer la distance qui sépare la zone d’aération de la nappe.

� Avec l’augmentation de la succion, les pores qui sont remplis d’eau sont de plus en pluspetits et difficiles à drainer et un gradient élevé de succion est nécessaire pour libérer unetrès petite quantité d’eau (− K(θ) ∆� ≈ 0) que 1e drainage ne peut évacuer efficacementque sur une longue période de temps (de l’ordre des semaines).

C’est de cette dernière constatation, que sont nées les notions de capacité au champ (C.C.) et deporosité constante d’aération ou porosité de drainage constante (figure 1.16). Viehmeyer etHendrickson (1949) définissent la capacité au champ comme étant la teneur en eau d’un solaprès que le mouvement descendant ait matériellement décru. Childs (1957) arrive à la définircomme la plus faible teneur en eau à laquelle un sol peut être amené par drainage dans un tempsraisonnable. La porosité de drainage (µ) est alors la quantité d’air contenue dans le sol aprèsdrainage ou plutôt la quantité d’eau libérée par le drainage par unité de volume de sol (Luthin,1960).

Cette notion de capacité au champ constante est une notion pratique et approximative qui estprincipalement utilisée en irrigation. Le mouvement de l’eau qui est un phénomène dynami-que et continu est en contradiction avec la notion de constance de la capacité au champ ou de la

porosité de drainage. Les valeurs de la capacité au champ et de la porosité de drainage ne serontpas lesmêmes en condition de drainage avec une nappe que sans nappe à la suite d’une précipi-tation ou d’une irrigation.

La capacité au champ comme la porosité de drainage sont en soi des valeurs dynamiques. Sileurs valeurs peuvent varier selon les conditions de drainage, les variations sont en réalité fai-bles (Childs,1957) et permettent d’accepter ce concept de porosité de drainage constante. Deplus, en condition de drainage souterrain où le rabattement de la nappe est relativement lent(10 -- 30 cm/j), le profil atteint un équilibre dynamique (figure 1.13) que l’on peut considérercomme stable (Childs,1957) :

[1.31]θ(z, h, t) = θ�(z, h)

Cette constatation permet de justifier le concept de porosité équivalente de drainage constantedans de nombreux modèles de drainage (figure 1.16) :

[1.32]� = ∆V∆h

Toutefois, ce concept est limité aux cas où la nappe est plus profonde que la hauteur de lafrange capillaire et de la zone intermédiaire. Quand la nappe est près de la surface du sol ou à


Édition 2016

Figure 1.15 Évolution du profil d’humidité pour des nappes à la surface du sol et à faibleprofondeur.

Nappe à la surface du sol

Nappe à faible profondeur

faible profondeur (figure 1.15), le volume d’eau drainée est beaucoup plus faible que celuiprévu par l’expression [1.32]. Dans le cas extrêmeoù la nappe est à la surface du sol, le rabatte-ment de la nappe s’effectue avec un très faible volume d’eau drainé.

Figure 1.16 Schéma présentant la porosité de drainage.

CCPF SAT

µ

frange capillaire

θθθθ

PF : point de flétrissement

CC : capacité au champ

SAT : saturation

µ : porosité de drainage

θ : teneur en eau

z


1.15.5 Courbe teneur en eau--succion et volume d’eau drainée

La figure 1.17 présente le processus de drainage d’un profil de sol possédant la courbe teneuren eau--succion du tableau 1.4 en assumant que le drainage est suffisamment lent pour permet-tre que les potentiels soient en équilibre avec la nappe. Dans ces conditions, le potentiel totalest constant (ϕ = cte) et le potentiel de pression peut facilement être déterminé en tout pointet tout particulièrement au niveau de la nappe (ϕh = 0). En connaissant la succion (pressionnégative) en chaque point au--dessus de la nappe, la teneur en eau en chaque point en estdéduite et elle a comme valeur la teneur en eau correspondante à la succion de la courbeteneur--en--eau--succion. Sous la nappe, la teneur en eau est celle de la saturation. La premièreétape est de déterminer le potentiel de pression (succion) pour en déduire la teneur en eau cor-respondante.

Figure 1.17 Profils des potentiels de pression et de teneur en eau en fonction de la profon-deur de la nappe.

0

20

40

100

80

60

--40 80400--80

Potentiel de pression

Nappe

40 cm

100 cm

20 cm

0 cm

0

20

40

100

80

60

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5Teneur en eau

Nappe

0 cm

100 cm

40 cm

20 cm

Le volume d’eau drainé d’une couche de sol, est la différence entre la teneur en eau saturéeet la teneur en eau résultant de la nappe à la profondeur de drainage considérée fois l’épaisseurde la couche de sol comme présenté dans l’équation suivante :

[1.33]Vdz1−z2 = �θsat − �θz1 + θz22�� ∆Z

La figure 1.17 et la tableau 1.5 présentent les courbes de potentiels de pression (succion) enfonction de la profondeur de la nappe et les teneurs en eau correspondantes pour le sol dutableau 1.4. Le tableau 1.5 présente aussi les volumes d’eau drainée de chaque couche de solet le volume total drainé du profil de sol.


Édition 2016

Tableau 1.4 Exemple de relation entre la teneur en eau et la succion d’un sol .

Succion (cm) 0 10 20 30 40 50 60 80 100

θ 0,365 0,360 0,350 0,340 0,328 0,319 0,310 0,297 0,288

Tableau 1.5 Potentiel de pression, teneur en eau et volume d’eau drainé (mm d’eau) en fonc-tion de la profondeur de la nappe pour le sol du tableau 1.4. Les volume d’eaudrainé sont exprimés en mm.

Profondeur(cm)

Nappe = 10 cm Nappe = 20 cm Nappe = 30 cmProfondeur(cm) ϕh θ Vd (mm) ϕh θ Vd (mm) ϕh θ Vd (mm)

0 --10 0,360 --20 0,350 --30 0,34010 0 0,365 0,25 --10 0,360 1,00 --20 0,350 2,0020 10 “ 0,00 0 0,365 0,25 --10 0,360 1,0030 20 “ “ 10 “ 0,00 0 0,365 0,2540 30 “ “ 20 “ “ 10 “ 0,0050 40 “ “ 30 “ “ 20 “ “60 50 “ “ 40 “ “ 30 “ “80 70 “ “ 60 “ “ 50 “ “100 90 “ “ 80 “ “ 70 “ “

Vdrainé (mm) 0,25 1,25 3,25µ’ 0,0025 0,010 0,020

Tableau 1.5 (suite)

Profondeur(cm)

Nappe = 40 cm Nappe = 60 cm Nappe = 100 cm(cm)

ϕh θ Vd (mm) ϕh θ Vd (mm) ϕh θ Vd (mm)

0 --40 0,328 --60 0,310 --100 0,288

10 --30 0,340 3,10 --50 0,319 5,05 --90 0,2921

7,50

20 --20 0,350 2,00 --40 0,328 4,15 --80 0,297 7,05

30 --10 0,360 1,00 --30 0,340 3,10 --70 0,3031

6,50

40 0 0,365 0,25 --20 0,350 2,00 --60 0,310 5,85

50 10 “ 0,00 --10 0,360 1,00 --50 0,319 5,05

60 20 “ “ 0 0,365 0,25 --40 0,328 4,15

70 30 “ “ 10 “ 0,00 --30 0,340 3,10

80 40 “ “ 20 “ --20 0,350 2,00

90 50 “ “ 30 “ “ --10 0,360 1,00

100 60 “ “ 40 “ “ 0 0,365 0,25

Vdrainé (mm) 6,35 15,55 42,45

µ’ 0,031 0,046 0,0671 Valeur interpolée


BIBLIOGRAPHIE

Childs, E.C., 1957. The physics of land drainage. De: J,N, Luthin (ed.). Drainage of agricultu-ral lands. Agronomy 7 : 1--78. Amer, Soc. Agron., Madison, Wisconsin.

Luthin, J.N., 1959. The falling water table in tile drainage. III -- Factors affecting the rate offall. Amer. Soc. Agr. Eng., Trans. 4:45--47.

Luthin, J,N. 1966. Drainage engineering. John Wiley and Sons, New York.

Musy A. et M. Soutter. 1991. Physique des sols. Presses Polytechniques et UniversitairesRomandes.

Taylor, G. S., 1960. Drainable porosity evaluation from out flow measurements and its use indrawdown equations, Soïl Sci. 90 : 338--343,

Veihmeyer, F.J. et A.H. Hendrickson, 1949. Methods of measuring field capacity and perma-nent wilting percentage of soils. Soil Sci. 68 : 75--94.

PROBLÈMES 23

Édition 2016

PROBLÈMES

1.1 Pour un sol typique ayant une porosité de 50% et une masse volumique réelle (ρs) de2650 kg/m3, calculez les masses volumiques apparentes humides pour des teneurs eneau volumique de 50%, 40%, 30%, 20% et 10%.

1.2 Un sol possède un profil d’humidité avec une teneur en eau volumique constante de 30%sur les 100 premiers cm de sol.

a) tracez le profil d’humidité.

b) calculez le volume d’eau contenu dans les 50 premiers cm de sol et exprimez cettevaleur en kg/m3, g/cm3 et mm H2O.

c) calculez la pluie nécessaire pour ramener la teneur en eau à 40% sur les 50 premierscm.

1.3 Pour un tensiomètre dans le sol utilisant un manomètre au mercure, développez l’équa-tion décrivant la pression au bout de la pointe de céramique.

1.4 Si vous utilisiez un capteur de pression et un système d’acquisition de données (voltage-- pression) au lieu d’utiliser unmanomètre aumercure, présentez l’équation décrivant lapression au bout de la pointe de céramique.

1.5 Un tensiomètre muni d’un manomètre au mercure dont le récipient est installé à 30 cmau--dessus du sol est installé à 90 cm de profondeur. Quelle est la profondeur de la nappela plus élevée que ce système peut mesurer pratiquement? À quelle élévation doit--oninstaller le manomètre pour mesurer une nappe à la surface du sol.

1.6 À une température de 30°C, quelle est la plus grande tension qu’un tensiomètre peutmesurer si sa pointe de céramique est installée à 90 cm de profondeur et que le contenantde mercure est installé à 50 cm au--dessus du sol?

1.7 Quelle est la pression sous le ménisque dans un tube plongé dans un liquide (ex. l’eau)?

1.8 Quelles sont les ascensions capillaires de l’eau et du mercure dans des tubes en verrepossédant des diamètres respectifs de 0,5 mm, 1 mm, 2 mm et 5 mm?

1.9 Un sol est constitué d’unemultitude de tubes capillaires ayant un cmdehauteur et possé-dant trois différents diamètres (d1 = 0,30 mm, d2 = 0,06 mm, d3 = 0,03 mm). Les pluspetits tubes sont plus nombreux de sorte les volumes des vides occupés par chaque typede tube sont égaux et occupent 15 % du volume total. Ce sol est placé sur une table àtension et est initialement saturé (le niveau du tube de drainage correspond à la surfacedu sol). Le tube de drainage est par la suite abaissé par étape et le volume d’eau drainé yest mesuré. Si la tension superficielle du liquide de drainage est de 0,073 N/m et quel’angle de contact est de 0°,

a) déterminez la tension où chaque type de tubes capillaires va débuter son drainage,

b) tracez la courbe teneur en eau -- succion de ce sol pour lemode de drainage et d’humi-dification.


1.10 Un matériel poreux est constitué d’une multitude de tubes capillaires tel que présentés àla figure suivante. La porosité totale de cematériel est de 0,45 et les volumes des vides dechacun des types de tubes sont égaux. Tracez la courbe teneur en eau -- succion de ce solpour le mode de drainage et d’humidification.

R1 = 0,015 cm R3 = 0,0015 cmR2 = 0,008 cm

σ = 0,073 N/m

0,5 cmR2

R1

R1

R2

R3

0,5 cm

1.11 Un échantillon de sol (100 cm3) de la sérieWagram a été placé sur une table à tension et aété amené à la saturation. Le tube de drainage de la table à tension a été par la suiteabaissé par étape successives. À chaque étape, le drainage s’est réalisé jusqu’à ce que lateneur en eau à l’équilibre soit atteinte. Les volumes suivants de drainage ont été mesu-rés à chaque étape :

Tension Volume d’eau drainé Tension Volume d’eau drainé

(cm) (cm3) (cm) (cm3)

0 0,0 60 3,010 0,3 80 3,720 1,4 100 1,430 3,1 150 1,640 3,6 200 1,550 3,4 500 2,1

À la fin des mesures, l’échantillon a été pesé (169,1 g) et séché à l’étuve pour y mesurerun poids de sol sec de 164,0 g. Déterminez et tracez la courbe teneur en eau -- succion dece sol.

1.12 Une colonne de 100 cm du sol de la question précédente a été saturé en y amenant lanappe à la surface. Le drain placé au bas de la colonne de sol y est ouvert pour permettrele drainage jusqu’à ce que l’équilibre soit atteint.

a) Tracez la courbe du profil d’humidité lorsque l’équilibre est atteint.

b) Calculez le volume d’eau drainé.

c) Si le drain avait été placé à 10 cmde la surface, quel aurait été le volume d’eau drainé?

d) Quel aurait été le volume d’eau drainé si le drain avait été placé à des profondeursrespectives de 20 cm, 30 cm, 40 cm, 50 cm, 60 et 80 cm?

e) Tracez la courbe du volume d’eau drainé en fonction de la profondeur de la nappe.

f) Tracez la courbe de la porosité équivalente de drainage en fonction de la profondeurde la nappe.

PROBLÈMES 25

Édition 2016

1.13 Une colonne de sol est constitué d’une couche de 50 cmde sol de la série Wagram (ques-tion 1.11 ) déposée au dessus d’une couche de 50 cmd’un autre sol qui possède les carac-téristiques suivantes (teneur en eau volumique -- succion) :

Succion Teneur en eau Succion Teneur en eau

(cm) (cm)

0 0,482 60 0,39610 0,444 70 0,39220 0,429 80 0,38830 0,418 100 0,38140 0,410 150 0,37250 0,402 200 0,368

La colonne est initialement saturée et, par la suite, elle est drainée à l’équilibre en abais-sant la nappe à 100 cm de profondeur.

a) Tracez la courbe du profil d’humidité lorsque l’équilibre est atteint.

b) Calculez le volume d’eau drainé en fonction des profondeurs respectives de 10 cm,20 cm, 30 cm, 40 cm, 50 cm, 60 cm, 80 cm et 100 cm.

c) Tracez la courbe du volume d’eau drainé en fonction de la profondeur de la nappe.

d) Tracez la courbe de la porosité équivalente de drainage en fonction de la profondeurde la nappe.

1.14 Un échantillon de sol de la série Wagram du problème 1.11 a été saturé lentement sur latable à tension dans la laboratoire et les caractéristiques suivantes (teneur en eau volumi-que -- succion) ont été obtenues :

Succion Teneur en eau Succion Teneur en eau

(cm) (cm)

0 0,380 60 0,17010 0,356 70 0,13820 0,325 80 0,12030 0,287 100 0,10340 0,245 150 0,08750 0,205 200 0,072

a) Calculez le volume d’eau drainé en fonction des profondeurs respectives de 10 cm,20 cm, 30 cm, 40 cm, 50 cm, 60 cm, 80 cm et 100 cm.

b) La courbe teneur en eau -- succion est utilisée dans la question 1.11 avait de l’airemprisonné pour les conditions saturées alors que celle--ci n’en avait pas. En suppo-sant qu’il y aura de l’air emprisonné dans les conditions au champ, estimez l’erreursur les volumes d’eau drainé et de la porosité équivalente de drainage si la présentecourbe teneur en eau -- succion était utilisée.

CHAPITRE 2Lois de base de l’écoulement

2.1 INTRODUCTION

Ce chapitre présente les principales lois de l’écoulement et les concepts fondamentaux. Il trai-tera de l’équation de Darcy qui est le fondement de toutes les théories d’écoulement, de l’équa-tion de la continuité et la solution de quelques problèmes simples d’écoulement.

2.2 ÉQUATION DE DARCY

Dans le cadre de ses expérimentations pour améliorer la qualité des filtres utilisés à la purifica-tion des eaux d’alimentation de la ville de Dijon en France, Henry Darcy fut le premier à obser-ver en 1856 la relation entre le débit à travers le sable et la perte de charge qui lui était associée.Quoique expérimental au début, les observations subséquentes en ont fait une loi de portéegénérale qui porte son nom. Le débit au travers d’un matériel poreux présenté à la figure 2.1s’exprime :

[2.1]Q = − K ∆H

∆LA = − K

∆φ

∆LA

Q = débit (m3/j)K = coefficient de proportionnalité appelé conductivité hydraulique du

sol (m/j)H = charge hydraulique (m)L = longueur de l’écoulement (m)A = section d’écoulement (m2)

Le débit est proportionnel à la perte de charge par unité de longueur et proportionnel à la sec-tion de l’écoulement. Le débit est aussi proportionnel à un coefficient dépendant du type desol, coefficient qui a été appelé conductivité hydraulique. La charge hydraulique est synonymede potentiel dans le monde de l’hydraulique.

28 LOIS DE BASE DE L’ÉCOULEMENT

Figure 2.1 Schéma représentant l’écoulement au travers d’un matériel poreux.

Sol

Q

Réf.

Potentiel

H1

H2

∆φ

∆L

La figure 2.1 présente aussi le diagramme des potentiels. À l’entrée de l’échantillon, la pres-sion est H1 et le potentiel d’élévation est nul si le bas de l’échantillon est considéré commeréférence. À la sortie de l’échantillon, la pression estH2 et le potentiel d’élévation est aussi nul.Ainsi, les potentiels totaux ou charges hydrauliques à l’entrée et à la sortie de l’échantillon sontrespectivement HI et H2.

L’équation de Darcy montre que la perte de charge ou de potentiel varie linéairement dans unmilieu de section constante. Ainsi, si le potentiel est connu en deux points, il variera linéaire-ment entre ces deux points et le diagramme des potentiels peut être facilement tracé commemontré à la figure 2.1.

La rapport de la perte de charge ou de potentiel par unité de longueur est appelé gradienthydraulique ”i”:

[2.2]i = ∆H∆L

=∆φ

∆L

2.3 VITESSE RÉELLE, VITESSE APPARENTE, FLUX

Le flux est la vitesse apparente d’écoulement, la vitesse de déplacement du fluide dans l’es-pace comme s’il n’y avait pas de matériel poreux. Le flux ou vitesse apparente s’exprimealors :

[2.3]q =Q

A= − K ∆H

∆L= − K

∆φ

∆L

q = flux ou vitesse apparente d’écoulement (m/j)

La vitesse réelle est la vitesse de circulation de l’eau dans les pores du sol. Cette vitessemoyenne réelle est obtenue en divisant la vitesse apparente par la porosité.

PERMÉABILITÉ INTRINSÈQUE 29

Édition 2016

2.4 PERMÉABILITÉ INTRINSÈQUE

La conductivité hydraulique à saturation apparaissant dans l’équation de Darcy est une mani-festation de la résistance à l’écoulement que provoquent les forces de frottement. La conducti-vité hydraulique est fonction de la perméabilité intrinsèque du sol ”κ”, de la masse volumiquedu liquide ”ρw”, de la viscosité dynamique du liquide ”ηw” et de la gravité comme le montrel’équation suivante :

[2.4]K = ��w gηw

La perméabilité intrinsèque représente l’effet de la matrice solide face à un liquide. Elle estfonction des caractéristiques du sol comme la granulométrie, la structure du sol, la distributionporale, la tortuosité, etc. La perméabilité représente les caractéristiques intrinsèques d’unmilieu à laisser circuler tout liquide alors que la conductivité hydraulique représente cettecapacité pour un liquide en particulier, l’eau.

2.5 LOI DE DARCY GÉNÉRALISÉE

La généralisation de la loi de Darcy en milieu saturé s’effectue en prenant la limite de l’équa-tion [2.3] :

[2.5]q→= lim∆L→0− K ∆H

∆L= − K dH

dl= − K

dφ

dl

Le long de l’axe des “x”, le flux s’exprime :

[2.6]q→x = − K

dφ

dx

Le flux est directionnel et son expression vectorielle est la suivante :

[2.7]q→= qx i

→+ qy j

→+ qz k

→

[2.8]q→= − Kx

dφ

dxi→− Ky

dφ

dyj→− Kz

dφ

dzk→

Pour un milieu homogène et isotrope, l’équation s’écrit :

[2.9]q→= − K �dφ

dxi→+

dφ

dyj→+

dφ

dzk→�

[2.10]q→= − K < dφ > {i} = − K ∇φ

→


2.6 MILIEU HÉTÉROGÈNE -- NOTION DE TENSEUR

En milieu hétérogène et anisotrope, les flux selon les axes orthogonaux sont :

[2.11]q→x = − Kxx

dφ

dx− Kxy

dφ

dy− Kxz

dφ

dz

[2.12]q→y = − Kyx

dφ

dx− Kyy

dφ

dy− Kyz

dφ

dz

[2.13]q→z = − Kzx

dφ

dx− Kzy

dφ

dy− Kzz

dφ

dz

[2.14]q→== − [K] ∇φ→ �

2.7 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ

L’équation de Darcy ne permet pas de solutionner les problèmes complexes puisqu’elle ne per-met pas d’évaluer le potentiel aux différents points du domaine. L’équation de Darcy nécessiteplutôt la connaissance des potentiels pour estimer le flux.

L’équation de la continuité permet d’évaluer les potentiels. La figure 2.2 permet de définir lebilan sur un élément de référence infinitésimal.

Figure 2.2 Bilan des flux d’eau au travers d’un élément infinitésimal.

x

y

z

qx

qy

qz

Compte tenu que le milieu est saturé et que le fluide (l’eau) est incompressible, la somme desdébits entrants et sortants de cet élément est nul.

[2.15]∆Qx + ∆Qy + ∆Qx = 0

Le débit est le produit du flux (q) par la section d’écoulement (A) :

[2.16]Qx = qx A

ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ 31

Édition 2016

La variation de débit selon l’axe x est :

[2.17]∆Qx = Qx+∆x

2

− Qx−∆x

2

= �qx+∆x

2

− qx−∆x

2

∆y ∆zEn utilisant l’expansion de Taylor, cette équation peut s’écrire :

[2.18]∆Qx = ��qx +12

ddx

(qx) ∆x − �qx −12

ddx

(qx) ∆x � ∆y ∆z

[2.19]∆Qx = � ddx

(qx)� ∆x ∆y ∆zLa loi de Darcy [éq. 2.6] permet d’estimer le flux (qx) :

[2.20]qx = − Kx∂φ∂x

En introduisant l’équation de Darcy [2.20] dans l’équation [2.19], cette équation peut s’écrire :

[2.21]∆Qx = � ddx�− Kx∂φ∂x � ∆x ∆y ∆z = �− Kx

∂2φ

∂x2� ∆x ∆y ∆z

Les variations de débit selon les axes “y” et “z” sont dérivées de la même façon et s’écrivent :

[2.22]∆Qy = � ddy�− Ky∂φ∂y � ∆x ∆y ∆z = �− Ky

∂2φ

∂y2� ∆x ∆y ∆z

[2.23]∆Qz = � ddz�− Kz∂φ∂z � ∆x ∆y ∆z = �− Kz

∂2φ

∂z2� ∆x ∆y ∆z

En utilisant les différentes expressions de la variation des débits, l’équation [2.15] devientl’équation de la continuité qui s’écrit :

[2.24]�− Kx∂2φ

∂x2 − Ky∂2φ

∂y2 − Kz∂2φ

∂z2� ∆x ∆y ∆z = 0

[2.25]Kx∂2φ

∂x2 + Ky∂2φ

∂y2 + Kz∂2φ

∂z2 = 0

Si le sol est isotrope, (Kx =Ky =Kz), l’équation de la continuité devient l’équation de Laplace :

[2.26]∂2φ

∂x2 +∂2φ

∂y2 +∂2φ

∂z2 = 0

En coordonnées cylindriques, l’équation de la continuité s’écrit :

[2.27]1r∂φ∂r +

∂2φ

∂r2 + 1r2

∂2φ

∂θ2 +∂2φ

∂z2 = 0


L’équation de Laplace ou de la continuité a comme caractéristiques :

� le potentiel est défini en tout point du domaine,

� la solution est unique en chaque point, i.e. une seule valeur de potentiel est définieen un point donné,

� la solution particulière est déterminée avec les conditions limites particulières duproblème.

2.8 SOLUTION DE PROBLÈMES

La solution d’un problème simple d’un écoulement dans une colonne de sol, le cas d’un échan-tillon dans un perméamètre (figure 2.3) va permettre de présenter la démarche.

2.8.1 Solution graphique

La première méthode utilisée est la méthode graphique. La figure 2.3 présente le diagrammedes potentiels dans un perméamètre. Le niveau de référence est fixé au bas de l’échantillon. Àla surface de l’échantillon, la pression est φh = d, le potentiel d’élévation est φz = L et le poten-tiel total est φ = L+ d. Au bas de l’échantillon, la pression est φh = a, le potentiel d’élévationest nul et le potentiel total est φ = a. Le diagramme des potentiels est par la suite tracé en rejoi-gnant les points au bas et au haut de l’échantillon. Cette variation est linéaire. Il y a une diffé-rence de potentiel total entre le haut et le bas de l’échantillon qui provoque l’écoulement.

Figure 2.3 Diagramme des potentiels d’un échantillon de sol dans un perméamètre.

a

L + d

φh

φz

φ

Potentiel

z

d

Réf.

L

da

Sol

a

z

0

z1

L

SOLUTION DE PROBLÈMES 33

Édition 2016

2.8.2 Solution analytique

La solution analytique passe par la définition du domaine, l’établissement de la solution géné-rale, l’établissement des conditions aux limites et la solution aux conditions limites.

Domaine : 0≤ z≤ z1

Équation (équation de la continuité qui se réduit à une dimension) :

[2.28]Kz∂2φ

∂z2 = 0∂φ∂x = 0 ,

∂φ∂y = 0

Solution générale :

[2.29]φ = A z+ B

Conditions aux limites :

z = 0, φ = a

z = z1, φ = z1 + d

Solution aux conditions limites :

z = 0, φ = a = A . 0 + B

z = z1, φ = z1 + d = A . z1 + B

Après substitution :

B = a

A =z1 + d− a

z1

La solution particulière du potentiel est :

φ =z1 + d− a

z1z+ a

La pression s’exprime alors :

φh = φ− z =z1 + d− a

z1z+ a− z = d− a

z1z+ a


2.8.3 Colonne de sol composée de deux type de sol

La figure 2.4 présente le cas d’une colonne de sol composée de deux sols ayant des conductivi-tés hydrauliques différentes. Cette colonne de sol est composée de deux domaines ayant cha-cun une solution. La solution de ce problème est laissée comme exercice.

Figure 2.4 Écoulement dans une colonne de sol composée de deux types de sol.

d

e

KA

KB

LA

LB

c

CONDUCTIVITÉ HYDRAULIQUE ÉQUIVALENTE 35

Édition 2016

2.9 CONDUCTIVITÉ HYDRAULIQUE ÉQUIVALENTE

Un sol stratifié horizontalement en plusieurs couches homogènes et isotropes constitue un casparticulier de milieu hétérogène d’intérêt. Comme la conductivité hydraulique varie d’un hori-zon à l’autre, le comportement hydraulique d’un tel sol sera différent selon la direction del’écoulement. L’écoulement vertical dans un tel sol est considéré comme un écoulement ensérie alors que l’écoulement horizontal est considéré comme un écoulement en parallèle.

2.9.1 Écoulement en série

Pour un écoulement en série schématisé par la figure 2.5, la conductivité hydraulique équiva-lente de tels sols peut être facilement déterminée.

Figure 2.5 Schéma d’un écoulement en série.

d

L1 K1

c

Ln--1

Ln

L2

Kn

Kn--1

K2

φ2

φ1

Réf

. . . .

Comme le débit passe successivement dans chacune des couches, les débits dans chacune descouche sont égaux et correspondent au débit du système :

[2.30]q1 = q2 = q3 = . . . = qn = q

[2.31]K1∆φ1L1

= K2∆φ2L2

= K3∆φ3L3

= . . . = Kn∆φn

Ln= Ke

∆φT

LT= q

Ke = Conductivité hydraulique équivalenteLT = Longueur totale∆φT = Perte de charge totale dans le système

La perte de charge dans chacune des couches est :

∆φ1 = qL1K1

∆φ3 = qL3K3

∆φ2 = qL2K2

∆φn = qLn

Kn∆φT = q

LT

Ke


Comme la perte de charge dans le système est égale à la somme des pertes de charge dans cha-cune des couches, elle s’exprime :

[2.32]∆φT = ∆φ1 + ∆φ2 + ∆φ3 + . . . + ∆φn

[2.33]qLT

Ke= q �L1

K1+

L2K2

+L3K3

+ . . . +Ln

Kn�

Comme la longueur totale est égale à la somme de chacune des longueurs, la conductivitéhydraulique équivalente s’énonce :

[2.34]Ke =L1 + L2 + L3 + . . . + Ln

�L1

K1+ L2

K2+ L3

K3+ . . . + Ln

Kn

�=�Li

� Li

Ki

Le débit peut être facilement calculé au travers d’un sol stratifié lorsque la conductivitéhydraulique de chacune des couches est connue. Le calcul de la conductivité hydraulique équi-valente permet aussi de faciliter la détermination des potentiels dans un écoulement en série.La conductivité hydraulique équivalente est déterminée dans une première étape, le flux y estpar la suite déterminé et la perte de charge dans chacune des couches est alors déduite :

[2.35]q = Ke

∆φT

∆LT

[2.36]∆φi = qLi

Ki

Par la suite, le potentiel à l’interface de chacune des couches est déterminé en procédant d’unpoint où le potentiel est connu, soit le bas ou le haut de l’échantillon, en additionnant ou sous-trayant (selon le cas) la perte de charge dans une couche au potentiel connu à la limite de lacouche. Cette méthode est intéressante lorsque le sol contient plusieurs couches, le nombre decalculs étant “2 + 2 n” (n = nombre de couches) alors que la solution analytique requiertapproximativement “n2“ calculs.

CONDUCTIVITÉ HYDRAULIQUE ÉQUIVALENTE 37

Édition 2016

2.9.2 Écoulement en parallèle

Quant à l’écoulement parallèle, il est représenté schématiquement par la figure 2.6.

Figure 2.6 Schéma d’un écoulement en parallèle.

. . . . . . . .

L1

Ln

L2

∆φ

∆x

K1

K2

Kn

Q1

Qn

Q2

Le débit total est égal à la contribution de chacune des couches :

[2.37]Q = Q1 + Q2 + Q3 + . . . + Qn = Ke∆φ

∆xLT

Connaissant le débit de chaque couche par l’éqaution de Darcy[équ. 2.1], l’équation précé-dente s’écrit :

[2.38]K1∆φ

∆xL1 + K2

∆φ

∆xL2 + K3

∆φ

∆xL3 + . . . + Kn

∆φ

∆xLn = Ke

∆φ

∆xLT

Comme la perte de charge est la même pour chacune des couches, la conductivité hydrauliqueéquivalente s’écrit après simplification :

[2.39]Ke = �K1 L1 + K2 L2 + K3 L3 + . . . + Kn Ln

LT

=�Ki Li

�Li


PROBLÈMES

2.1 Pour le perméamètre suivant (figure 2.7),

a) tracez le profil (diagramme) des potentiels de pression, gravitationnel et total.

b) présentez la solution analytique (équation différentielle, conditions limites, équa-tions du potentiel de pression et du potentiel total.

Figure 2.7 Écoulement dans un perméamètre.

d

Sol

b

L

a

a = 1 cm

L = 40 cm

d = 10 cm

b = 10 cm

2.2 Pour la colonne de sol suivante (figure 2.8),

a) présentez la solution analytique (équation différentielle, conditions limites, équa-tions du potentiel de pression et du potentiel total.

b) tracez le profil (diagramme) des potentiels de pression, gravitationnel et total.

c) présentez la solution en utilisant la méthode de la conductivité équivalente

Figure 2.8 Écoulement dans une colonne de sol composée de deux types de sol.

d

b

KA

KB

LA

LB

a

a = 1 cm

LA = 40 cm

KA = 1,0 m/j

KB = 5,0 m/j

LB = 45 cm

d = 15 cm

b = 10 cm

PROBLÈMES 39

Édition 2016

2.3 Pour la colonne de sol suivante (figure 2.9),

a) déterminez la conductivité hydraulique équivalente

b) déterminez les potentiels aux limites de chaques couches

c) tracez le profil (diagramme) des potentiels de pression, gravitationnel et total.

d) évaluez le débit passant au travers de la colonne si sa section est de 100 cm2.

20 cm

5 cm

40 cm

30 cm

20 cm

2 cm15 cm

KC = 1,0 m/j

KB = 2,0 m/j

KD = 0,2 m/j

KA = 0,5 m/j

Figure 2.9 Écoulement dans une colonne de sol composée de quatre types de sol.

2.4 Des piézomètres sont installés côte à côte dans un champ, avec leur ouverture au bas à 2,4, 6 mètres de la surface du sol respectivement. Les profondeurs du niveau d’eau parrapport à la surface du sol sont 20, 50 et l00 cm respectivement.

a) a) Quels sont les gradients hydrauliques?

b) b) Dans quelle direction l’eau s’écoule--t--elle?

c) c) Si la conductivité hydraulique entre le premier et le deuxième piézomètre est de5 cm/h, quelle est la conductivité entre les deux autres piézomètres?

d) d) Quelle est la conductivité hydraulique équivalente?

2.5 Un sol est constitué d’une couche de sable grossier (1 mètre d’épaisseur ayant uneconductivité hydraulique de 0,1 cm/sec) surmontant 20 cm de limon argileux (conducti-vité hydraulique de 0,0001 cm/sec). Calculez la conductivité hydraulique équivalentepour ces deux couches,

a) si l’écoulement est vertical?

b) si l’écoulement est horizontal?

2.6 De l’eau s’écoule horizontalement au travers de trois strates parallèles de sol ayant pourconductivité hydraulique respectivement 0,5, 1,0, 0,1 m/j, et pour épaisseur 1, 2, 0,5 m.Si le gradient hydraulique est unitaire, quel sera le débit par unité de largeur?


2.7 Un coteau ayant un pente de 10 % est constitué de granit recouvert de 1 m de sol homo-gène ayant un conductivité hydraulique de 0,5 m/ j .

a) Quel débit (par unité de largeur) s’écoulera--t--il dans le fossé d’interception au pieddu coteau si la nappe a une épaisseur de 60 cm et qu’elle coule parallèlement roc?

b) Si la porosité est de 50 %, quelle serait la vitesse réelle de l ’eau?

2.8 Le fond d’une lagune est construit de la façon suivante (du bas vers le haut) :

� 10 cm de sable à l’intérieur duquel un drain est installé pour drainer l’effluent(K = l.0 m/j)

� 20 cm d’argile compacte (K = 0,0l m/j)

L’épaisseur de liquide dans la lagune est de 2,5 m.

a) Tracez le profil des potentiels total et de pression au travers du fond de la lagune,

b) Calculer le débit d’effluent au travers du fond de la lagune (dimension 30 m x40 m),

c) Si les boues au fond de la lagune colmate la couche d’argile sur un cm (K = 0,0001m/j), évaluez son influence sur la question a) et b).

2.9 Pour un sol homogène,

a) Tracez le profil des potentiels total et de pression lorsque la nappe est stable à 80 cmde profondeur.

b) Maintenant, considérons que ce même sol possède une couche indurée de 1 cmd’épaisseur sous la couche de labour (20 cm d’épaisseur) et que cette couche pos-sède une conductivité hydraulique égale à 1/3 de celle du reste du profil. Suite à unepluie, il se forme, comme nous pouvons le prévoir, une nappe perchée dans la cou-che de labour qui remonte à 10 cm de la surface du sol. Tracez le profil des potentielstotal et de pression si la nouvelle nappe profonde est située à 70 cm de profondeur.Quelles hypothèses devez vous poser pour solutionner le problème?

c) Avec quel débit la nappe perchée alimentera la nappe profonde si la conductivitéhydraulique est de 0,5 m/j?. Exprimez ce débit en terme de hauteur de lame d’eau.

PROBLÈMES 41

Édition 2016

2.10 Pour le perméamètre suivant (figure 2.10), déterminez la conductivité hydraulique dechacune des couches de sol. Le débit est de 3,2 ml/s et la section est de 62 cm2.

A

B

36,1 cm

31 cm

20 cm

20 cm

16 cm

10 cm

1 cm

29,3 cm

Figure 2.10 Écoulement dans une colonne de sol munie de piézomètres.

C

2.11 Dans le cadre d’un projet de recherche d’essais de pompage de l’eau du fleuve St--Lau-rent pour combler les besoins en eau d’irrigation des cultures sur l’Île d’Orléans, il étaitnécessaire de contrôler la propagation des moules zébrés dans le réseau hydrique del’Île. Pour réaliser ce contrôle, il a été décidé de filtrer l’eau du fleuve à l’aide d’un filtreau sable.

Le système a été conçu de la façon suivante. L’eau est pompée du fleuve par une pompedébitant 5 l/s dans un étang dont le fond est constitué d’un filtre au sable. Le fond et lestalus inclinés à 45� de l’étang sont recouverts d’une géomembrane étanche. Le systèmede filtration est construit de la façon suivante sur cette membrane au fond de l’étang (dubas vers le haut) :

� une couche de 40 cm d’épaisseur de pierre concassée 20 mm net;

� un géotextile Novatex III

� une couche de 80 cm d’épaisseur de sable ayant un d85 de 0,60 mm pouvant retenirles particules de plus de 65 µm.

Un réseau de drains de 10 cm de diamètre est installer dans la pierre concassée pourrecueillir les eaux filtrées et les acheminer dans un tuyau vers un grand étang. Sur cetuyau, un système de contrôle du niveau d’eau y est installé pour ajuster le niveau d’eaudans la pierre concassée. Lors des premiers essais de cet été, l’épaisseur d’eau au--dessusdu sable était de 85 cm et la différence entre le niveau d’eau dans l’étang au--dessus dusable et le niveau d’eau dans le système de contrôle du niveau d’eau à la sortie était de 58cm. À la profondeur moyenne du sable, la surface du filtre est d’environ 7 m x 7 m.

a) Tracez le schéma de l’écoulement dans le filtre,


b) Identifiez les conditions limites,

c) Quelles sont les hypothèses que vous devez poser pour résoudre le problème?

Lors des premiers essais,

d) Quelle est la perte de charge dans le sable?

e) Quel est le gradient hydraulique dans le sable?

f) Tracez la courbe de répartition de la pression et des potentiels dans le filtre,

g) Quel est le flux dans le sable?

h) Quel est la conductivité hydraulique du sable?

Comme l’eau pompée contient des substances fines en suspension (moules, sédiments,algues, etc.), le filtre se colmate avec le temps. À la fin du dernier essais, la différenceentre le niveau d’eau dans l’étang au--dessus du sable et le niveau d’eau dans le systèmede contrôle du niveau d’eau à la sortie était de 81 cm. À la fin du pompage, le filtre a étéasséché et une couche fine d’environ 3 mm d’épaisseur gisait sur la surface du sable.

i) Si l’on suppose que l’accroissement de la perte de charge n’est du qu’à cette couche,quelle serait la conductivité hydraulique de cette couche?

CHAPITRE 3Écoulements en régime permanent

3.1 INTRODUCTION

Ce chapitre décrit les solutions de problèmes d’écoulement en régime permanent et en deuxdimensions. Il traitera des réseaux d’écoulement (une méthode graphique) et de la solutionanalytique de l’écoulement vers un puits dans un aquifère confiné, du cas d’un drain horizontalavec une nappe à la surface du sol, du cas des drains parallèles avec une nappe à la surface dusol et du cas d’un drain dans un cylindre (écoulement radial).

3.2 RÉSEAU D’ÉCOULEMENT

La solution d’un problème en deux dimensions comme celui de la figure 3.1 est plutôt difficileanalytiquement. Par contre, en suivant une goutte d’eau qui se déplace dans le sol saturé, cettegoutte trace une ligne appelée ”ligne de courant” et l’espace entre deux lignes de courant défi-nit un tube de courant. Ce chemin V

→que suit la goutte est déterminé par la direction du gradient

de potentiel et il correspond au déplacement vectoriel du flux d’écoulement :

[3.1]V→=

dφ

dxi→+

dφ

dyj→

Les propriétés mathématiques qui se dégagent sont :

� les lignes de courants sont perpendiculaires aux lignes équipotentielles dues à la dérivée,� la définition d’une nouvelle fonction ψ représentant les lignes de courants et qui a

comme propriétés :

[3.2]∂ψ∂x = −

∂φ∂y

[3.3]∂ψ∂y =

∂φ∂x

44 ÉCOULEMENTS EN RÉGIME PERMANENT

Figure 3.1 Écoulement dans un bac de sol.

Si nous remplaçons les fonctions ∂φ∂x et

∂φ∂y dans l’équation de Laplace par leur équivalent des

fonctions de ligne de courant, nous obtenons :

[3.4]∂2ψ∂x2

+∂2ψ∂y2

= 0

Les propriétés des fonctions de potentiel (ϕ) et de courant (ψ) permettent de déterminer unesolution graphique aux problèmes d’écoulement en deux dimensions, approche qui est dépas-sée face aux méthodes numériques mais qui est fort pratique pour aider à comprendre rapide-ment un problème étudié. Cette solution graphique est appelée réseau d’écoulement. Il fautnoter que le traçage d’un réseau d’écoulement se fait par tâtonnement (essais et erreur). Lasolution procède comme suit :

1. Identification des conditions limites :-- les limites de potentiels constants sont des équipotentielles ϕ;-- les limites imperméables sont des lignes de courantψ et correspondent aux limites

d’un tube de courant;-- les zones de suintement sont des limites de pression nulle (pression atmosphéri-

que). Le potentiel n’est pas constant mais peut y être calculé.2. Identification d’une ou des zones d’écoulement uniforme et division de cette ou

ces zones en un nombre de tubes de courant entiers et égaux. L’utilisation des pro-priétés de symétrie de certains problèmes facilite le travail.

3. À partir de ces zones de départ, traçage d’un réseau de carreaux où les lignes decourant sont perpendiculaires aux lignes équipotentielles. Il est souvent nécessaired’effacer certaines parties du réseau et de le corriger quand les propriétés d’ortho-gonalité entre les lignes équipotentielles et les lignes de courant ne sont plus res-pectées ou que les carreaux deviennent plutôt des rectangles. La régularité descarreaux est réalisée en s’assurant que les diagonales sont égales dans chaque car-reau,

RÉSEAU D’ÉCOULEMENT 45

Édition 2016

Le traçage des carreaux permet de définir des divisions aux propriétés intéressantes :

-- les pertes de charge dans chaque carreau sont les mêmes (∆ϕ = constante)-- le débit entre deux lignes de courant est lemême quelque soit les lignes de courant(∆ψ = constante).

Le tracage d’un tel réseau à la main a une précision de l’ordre de 20 à 30 %.

De ce réseau, il est facile de définir les valeurs des équipotentielles, des débits et des gradientshydrauliques. Le ∆ϕtotal étant la perte de charge totale entre l’entrée et la sortie de l’écoule-ment, le nombre de carreaux (ne) le long d’une ligne de courant définit le nombre de pertes decharge et permet de définir la perte de charge dans un carreau :

[3.5]∆φ =∆φtotalne

Àpartir d’une situation de potentiels connus, les valeurs des équipotentielles sont déterminéespar addition ou soustraction des pertes de charge ∆ϕ dans chaque carreau en procédant le longd’une ligne de courant.

La configuration des carreaux permet de calculer le débit dans un tube de courant (figure 3.2) :

[3.6]∆Q = ψ2 − ψ1 = q→∆n

[3.7]∆Q = − Kφ2 − φ1

∆s∆n = − K

∆φ

∆s∆n

Figure 3.2 Configuration d’un carreau d’un réseau.

φ1φ3φ2

Ψ1

Ψ2

q→

∆S

∆n

En utilisant l’expression de ∆ϕ dérivée de l’équation [3.5] et en considérant ∆n et ∆s égauxconséquemment à la construction de carreaux, le débit d’un tube s’exprime :

[3.8]∆Q = − K∆φtotalne

Connaissant le nombre de tubes de courant nf, le débit total s’écrit :

[3.9]Q = nf ∆Q = − Knfne

∆φtotal


Le débit total est fonction du rapport entre le nombre de tubes de courant nf et le nombre depertes de charges ne. Ce rapport est indépendant du nombre de tubes de courant choisi au débutdu traçage.

La figures 3.3 présente des exemples de réseaux d’écoulement sous des structures de type bar-rage.

Figure 3.3 Exemples de réseaux d’écoulement pour des structures de type barrage.

a) Réseaux d’écoulement sous un barrage où l’imperméable est très profond et peuprofond (adapté de Polubarinova--Kochina, 1962).

b) Réseau d’écoulement sous une palplanche (adapté de Polubarinova--Kochina,1962).

c) Réseaux d’écoulement sous un barrage avec une palplanche (adapté de Polubari-nova--Kochina, 1962).

RÉSEAU D’ÉCOULEMENT 47

Édition 2016

La figure 3.4 présente des exemples de réseaux d’écoulement autour d’un drain lorsque lalame d’eau est à la surface du sol. La figure 3.4 a) présente la solution du cas traité à la section3.4.

Figure 3.4 Exemples de réseaux d’écoulement autour d’un drain lorsque la lame d’eauest à la surface du sol.

b) Imperméable à deux fois la profondeur du drain et pour différents écartements(adapté de Luthin, 1957, p.260).

a) Imperméable à très grande profondeur (adapté de Luthin 1957, p.154).

c) Terrain en pente (adapté de Luthin, 1957, p.180).

LAME D’EAU

SURFACE DU SOL

PIÉZOMÈTRE

RÉFÉRENCE


3.3 ÉCOULEMENT D’UNE NAPPE CONFINÉE VERS UN PUITS.

La solution du problème d’écoulement d’une nappe confinée vers un puit (figure 3.5) estdécrite dans Kirkham (1957) et elle illustre très bien la solution analytique de problèmesd’écoulement en régime permanent. L’écoulement se produit dans un aquifère confinéd’épaisseur ”D” vers un puits de rayon ”rw”. Le potentiel ou la charge hydraulique à la limitedu domaine est considéré constant avec une valeur deϕ =HR.Dans le puits, le potentiel ou lacharge hydraulique est de Hw.

Figure 3.5 Écoulement radial vers un puits.

DHw

rw

R

HR

Q

AQUIFÈRE

r

φ

Le problème peut être décrit par l’équation de la continuité ou l’équation de Laplace en coor-donnés cylindriques :

[3.10]1r∂φ∂r +

∂2φ∂r2

+ 1r2

∂2φ∂θ2

+∂2φ∂z2

= 0

Comme l’écoulement est symétrique autour du puits, il n’y a pas d’écoulement dans la direc-tion θ, alors ∂2φ�∂θ2 = 0. De même, il n’y a pas d’écoulement vertical et ∂2φ�∂z2 = 0. L’équa-tion différentielle se réduit alors à :

[3.11]1r∂φ∂r +

∂2φ∂r2

= 0

Les conditions limites sont :

r = Rw , φ = Hw

r = R , φ = HR

L’équation [3.11] peut être écrite plus simplement :

[3.12]ddr�r ∂φ

∂r�= 0

ÉCOULEMENT D’UNE NAPPE CONFINÉE VERS UN PUITS. 49

Édition 2016

Les étapes d’intégration sont :

[3.13]r∂φ∂r = C1

[3.14]∂φ =C1r dr

[3.15]φ = C1 ln r+ C2

En utilisant les conditions limites :

r = rw , HW = C1 ln rw + C2

r = R , HR = C1 lnR+ C2

Après les manipulations algébriques, les valeurs de C1 et C2 sont obtenues :

[3.16]C1 =HR − Hw

ln�R�rw�

[3.17]C2 = Hw −HR − Hw

ln�R�rw�ln rw

La solution générale est :

[3.18]φ =HR − Hw

ln�R�rw�ln r+ HW−

HR − Hw

ln�R�rw�ln rw

[3.19]φ =HR − Hw

ln�R�rw�ln�r�rw� + Hw

Le débit vers le puits peut être obtenu en utilisant l’équation de Darcy et l’équation [3.19] :

[3.20]qr = − K∂φdr

= − KHR − Hw

ln�R�rw�1r

Le débit ”Q” peut être déterminé en évaluant le flux à n’importe quel ”r” et en intégrant sur lasurface d’écoulement. En prenant r = rw, nous obtenons :

[3.21]qr = − KHR − Hw

ln�R�rw�1rw

[3.22]Q = A

qr | r=rw dA = 2π

θ=0

− KHR − Hw

ln�R�rw�1rw

rw dθ D

[3.23]Q = − 2 π K DHR − Hw

ln�R�rw�

Il faut noter que le débit est négatif car celui--ci est vers le puits (en sens inverse de la directionde l’axe des “r”).


3.4 CAS D’UN DRAIN HORIZONTAL AVEC UNE NAPPE À LASURFACE DU SOL

Le drainage vers un drain solitaire de rayon ”rd” installé à une profondeur ”d” sous la surfacedu sol est illustré à la figure 3.6. Une nappe d’épaisseur ”t” stagne à la surface du sol. L’imper-méable est considéré à une profondeur infinie. Toute l’eau s’infiltrant dans le sol doit s’écoulerpar le drain. Le drain s’évacue dans un fossé où le niveau de l’eau est à une élévation ”s” au--dessus du centre du drain. La solution de ce problème est présentée parKirkhamdansDrainageof Agricultural Lands (J. M. Luthin. 1957) aux pages 145--155.

Figure 3.6 Schéma d’un drain solitaire.

t

d

x

y

s

r+

r--Fossé dans lequelse vide le drain

2 rd

d

Ce problème peut être décrit par l’équation de Laplace ∇2φ = 0 en coordonnées cartésiennes.

En supposant le centre du drain comme la référence (y = 0), les conditions limites sont les sui-vantes :

y = d , −∞ ≤ x ≤ +∞ , φ = d+ t

x2 + y2 = r2d , φ = s

Le problème peut être solutionné par laméthode des images, méthode queKirkham attribue ladécouverte originale à Lord Kelvin Thomson en 1850. La méthode des images est utilisée enimaginant unmiroirmontrant une image réfléchie du sol et du drain au--dessus de la surface dusol. Le sol est considéré comme s’étandant alors d’une façon infinie vers le haut. L’eaus’écoule du drainmiroir imaginaire (la source) vers le drain réel (le puits). La surface du sol estla ligne de symétrie entre la source et le puits et correspond à une équipotentielle (potentielconstant). Le drain miroir imaginaire est à une distance ”d” au--dessus de la surface du sol.Pour comprendre la méthode des images, il s’agit de penser à de la limaille de fer déposée surune feuille de papier sous laquelle est placé un aimant. Le pôle sud correspond au drain et lepôle nord correspond au drain imaginaire. La limaille de fer va tracer l’équivalent des tubes decourant. Dans ce problème, toute l’eau s’infiltrant à la surface du sol est considérée commeprovenant du drain imaginaire.

CAS D’UN DRAIN HORIZONTAL AVEC UNE NAPPE À LA SURFACE DU SOL 51

Édition 2016

La solution de l’équation de Laplace pour ce type de problème est de la forme suivante :

[3.24]φ = 2 q ln r− − ln r+ � + B

[3.25]φ = 2 q ln x2 + y2� − ln x2 + (2 d− y)2� �+ B

Cette équation satisfait l’équation de Laplace et à la première condition limite où r-- = r+ si :

y = d , φ = B = d+ t

Alors, B = d + t et la deuxième condition limite peut alors s’écrire :

s = 2 q ln rd − ln x2d + �2 d− yd�2� �+ d+ t

Alors.

[3.26]2 q = d+ t− s

lnx2d+�2 d−yd�

2�rd

Il est à noter que ”2 q” ne peut être défini exactement parce que ”yd” et ”xd” peuvent varier enfonction de la relation x2d+ y2d= r2d . Par contre, cette variation est petite si ”rd” est petit en com-paraison avec ”d”. La valeur de “2 q” peut être évaluée pour certains cas. Pour x = 0 et y = rd,

[3.27]2 q = d+ t− s

ln2d−rd

rd

= d+ t− s

ln�2drd − 1�

Pour y = 0 et x = rd,

[3.28]2 q = d+ t− s

ln4 d2+r2

d�

rd

= d+ t− s

ln �2 drd�2 + 1�

Pour y = --rd et x = 0,

[3.29]2 q = d+ t− s

ln2d+rd

rd

= d+ t− s

ln�2drd + 1�

Si rd� 4 d, rd< 2 d et r2d� 4 d2, alors 2 d�rd� 1 et nous pouvons écrire une approximation pourla valeur de ”2 q” :

[3.30]2 q � d+ t− s

ln 2drd


Alors, l’équation [3.25] peut s’écrire :

[3.31]φ = 2 q ln x2 + y2� − ln x2 + (2 d− y)2� �+ d+ t

[3.32]2 q = d+ t− s

ln 2drd

La solution (potentiels et lignes de courant) est présentée graphiquement à la figure 3.4 a).

Kirkham (1957) a cité une expression exacte de ”2 q” qui a été développée par Smythe (1939) :

[3.33]2 q = d+ t− s

cosh−1 d�rd

Le débit entrant dans un drain par unité de longueur est décrit par l’équation suivante qui estobtenue en déterminant le gradient à y = d et en intégrant dans la direction des “x“ de x = --∞ àx = ∞ :

[3.34]qi = 4 π K q = 2 π K d+ t− s

ln 2drd

3.5 CAS DE DRAINS PARALLÈLES AVEC UNE NAPPE À LA SUR-FACE DU SOL

La figure 3.7 présente schématiquement une nappe d’épaisseur ”t” stagnante à la surface du solse drainant vers des drains parallèles de rayon ”rd” installé à une profondeur ”d” sous la surfacedu sol. L’imperméable est considéré à une profondeur “h”. Toute l’eau s’infiltrant doit sortirpar les drains.

Figure 3.7 Schéma d’un système avec des drains parallèles.

x

y

2 rd

t

Z

d

h E E

CAS DE DRAINS PARALLÈLES AVEC UNE NAPPE À LA SURFACE DU SOL 53

Édition 2016

La solution analytique de ce problème comme celle de plusieurs problèmes d’écoulement enrégime permanent a été développée par Kirkham (1957) et elle est présentée par Kirkhamdans Drainage of Agricultural Lands (J. M. Luthin. 1957) aux pages 155 --165.

Les règles de symétrie permettent de simplifier l’analyse du problème en considérant que ledébit est le même pour tout drain situé entre deux drains à égale distance de sorte qu’il n’estnécessaire de solutionner que pour une région limitée par des plans verticaux entre deux drainsx� E�2. Tout écoulement dans cette région se fera vers le drain central et il est opportun defixer l’origine des axes au centre du drain. Kirkham (1957) considère qu’une feuille de métalpourrait être insérée verticalement à mi--chemin entre chaque drain sans modifier l’écoule-ment.

L’équation différentielle décrivant ce problème est l’équation de Laplace ∇2φ = 0 en deuxdimensions.

Les conditions aux limites peuvent être décrites de la façon suivante :

x = − E�2 ,∂φ∂x = 0

φ = d+ t

− Z ≤ y ≤ d ,

x = E�2 , − Z ≤ y ≤ d ,

1.

4.

3.

2.∂φ∂x = 0

− E�2 ≤ x ≤ E�2 , y = d ,

− E�2 ≤ x ≤ E�2 , y = − Z ,∂φ∂y = 0

5. x2 + y2 = r2d , φ = rd

La condition 5 considère que le drain coule tout juste plein. Si la sortie du drain est située sousle niveau de l’eau comme à la figure 3.6, la condition limite 5 est remplacée par :

φ = sx2 + y2 = r2d ,5.

Commepour le problème de la section précédente, la solution peut être obtenue par laméthodedes images. Le potentiel s’exprime de la façon suivante :

[3.35]

φ = d+ t+ q �∞m=−∞

ln

cosh π(x−m E)2 h

− cos π y

2 h

cosh π(x−m E)2 h

+ cos π y

2 h

·

cosh π (x−m E)2 h

+ cos π (2 d−y)2 h

cosh π (x−m E)2 h

− cos π (2 d−y)2 h

où “q” est le flux moyen au niveau du drain et il est défini :

[3.36]q = �t+ d− rd��f


[3.37]f = 2 ln

tanπ �2 d−rd

�4 h

tanπ rd4 h

+ 2 �

∞

m=1

ln

cosh π m E2 h

+ cosπ rd2 h

cosh π m E2 h

− cosπ rd2 h

·cosh π m E

2 h− cos

π �2 d−rd�

2 h

cosh π m E2 h

+ cosπ �2 d−rd

�2 h

La fonction ligne de courant s’écrit :

[3.38]

ψ = − 2 q �∞m=−∞

tan−1� sinhπ (x− m E)

2 h��sinπ y

2 h��

+ tan−1� sinhπ (x− m E)2 h

� sinπ (2 d− y)2 h

��Le débit entrant dans un drain est décrit par l’équation suivante qui est obtenue en déterminantle gradient à y = d et en intégrant dans la direction des “x” de x = --E/2 à x = E/2 :

[3.39]qi = 4 π K q

Kirkham (1949) a analysé (figure 3.8) un cas particulier où les drains de 183mm (0,6’) de dia-mètre sont installés avec un écartement de 12,2 m (40’) à une profondeur de 1,4 m (4,5’) dansun sol ayant 1,8 m (6’) de profondeur. Dans la portion gauche de la figure, les équipotentiellessont présentées avec des unités arbitraires 0, 1, 2, . . . alors que dans la portion de droite, ellessont présentées en hauteur de charge hydraulique (en pieds) par rapport au plan horizontal pas-sant par le centre des drains. Les lignes de courant sont identifiées en % du débit total entrantdans le drain. Le réseau d’écoulement présenté à la figure 3.8montre que plus de 95%du débitprovient du sol situé à plus oumoins 3,3m (10’) de part et d’autre du drain et quemoins de 5%provient de la zone au--delà de 3,3 m. Comme l’eau pénètre le sol principalement dans la zonedu drain, il a un avantage pratique à abaisser la surface du sol dans la zone au--dessus du drainpour faciliter l’accumulation de l’eau au--dessus du drain et faciliter son infiltration verscelui--ci. Un remblayage important au--dessus de la tranchée est non désirable.

Figure 3.8 Réseau d’écoulement pour deux drains parallèles de 183mm(0,6’) de diamètrecoulants tout juste plein et installés avec un écartement de 12,2 m (40’) à uneprofondeur de 1,4 m (4,5’) dans un sol ayant 1,8 m (6’) de profondeur. Tiréede Kirkham (1949). .

Kirkham (1949) a aussi fait les observations suivantes. Le réseau d’écoulementmontre qu’unelarge portion (environ 40%) de l’écoulement entre par le bas du drain et ceci implique que le

CAS D’UN DRAIN DANS UN CYLINDRE -- ÉCOULEMENT RADIAL 55

Édition 2016

tuyau ne doit pas être installé juste au--dessus de la couche imperméable. Pour vérifier ce point,l’auteur a réalisé des expériences dans un réservoir en sable avec des drains (grillage métalli-que cylindrique) où le drain a été placé sur le fond du réservoir et par la suite placé un peu au--dessus du fond. Le débit s’est accrue pour le dernier cas en dépit que la charge hydraulique(différence entre la surface du réservoir et le drain) était réduite par l’élévation du drain. Il estévident que le débit ne pourra pas augmenter continuellement avec l’élévation du drain carau--delà d’une certaine hauteur, le gain de débit du à la plus grande facilité d’entrée de l’eau parle bas du drain va être contrebalacé par la diminution de la charge hydraulique.

3.6 CAS D’UN DRAIN DANS UN CYLINDRE -- ÉCOULEMENT RADIAL

L’écoulement d’un drain installé dans un cylindre de sol immergé dans un bac d’eau est pré-senté à la figure 3.9. Le bout du cylindre de sol est scellé et le drain sort du bac d’eau.Unniveaud’eau est maintenu constant dans le drain. La solution de ce cas est identique au cas du puitsforé dans un aquifère confiné (section 3.3). Ce montage est utilisé pour déterminer la résis-tance à l’écoulement d’un drain réel et de déterminer son rayon équivalent à un drain idéal pro-voquant le même débit.

Figure 3.9 Écoulement d’un drain de rayon rd dans un cylindre de sol.

EAU

SOL

Drain

H0

H1

R

La solution de ce problème est identique à celle du problème de l’écoulement d’une nappeconfinée vers un puit (section 3.3). La démonstration est laissée comme exercice.

3.7 CEFFICIENT DE DRAINAGE

Le coefficient de drainage est la hauteur d’eau équivalente drainé par le systèmede drainage aucours d’une période de 24 heures. Le coefficient de drainage est utilisé pour décrire la capacitéou la performance d’un systèm de drainage en agriculture.


PROBLÈMES

3.1 Pour les cas suivants, présentez les conditions limites, tracez le réseau d’écoulement etdéterminez le débit unitaire.

A)

5 cm

40 cm

20 cm15 cm

80 cm

K = 1,0 m/j

IMPERMÉABLE

10 cm3 m

4 m6 m

BARRAGE

IMPERMÉABLE

PROBLÈMES 57

Édition 2016

3.2 Présentez l’équation différentielle appropriée et les conditions limites pour les cas sui-vants.

A)

DH0

rw

R

H1

AQUIFÈRE

B)

t

d

2 rd

Z


C)

2 rd

t

Z

d

h E E

D)

EAU

SOL

Drain

Rayon du drain : rd

H0

H1

R

PROBLÈMES 59

Édition 2016

3.3 Un laboratoire décide d’utiliser lemontage de la figure 3.9 pour déterminer la résistancede nouveaux tuyaux de drainage et leur rayon équivalent. La conductivité du sable dansle cylindre de sol est connue. Le débit de chaque type de tuyaux estmesuré plusieurs foispour déterminer une moyenne représentative. Déterminez la formule du rayon équiva-lent.

3.4 Un sol possédant une conductivité hydraulique de 1,0 m/j est utilisé comme système defiltration des eaux usées. La couche imperméable est située à 2,5 m de profondeur. Lesystème d’épandage des eaux usées maintient la nappe à la surface du sol (une lamed’eau de quelques cm). Un système de drainage souterrain (tuyaux de 10 cm de diamè-tre) est installé à un mètre de profondeur pour récupérer les eaux filtrées par le sol.

a) Déterminez le débit d’un drain de 100 m de longueur si un seul drain y est installé.

b) Déterminez le débit d’un drain de 100 m de longueur si des drains parallèles y sontinstallés avec un écartement de 20 m? 40 m?.

c) Calculez les coefficients de drainage.


BIBLIOGRAPHIE

Gustafsson, Y. 1946. Untersuchungen über die Strömungsverhälnisse in gedräntem Boden.Acta Agr. Suecana 2(1):1--157. (Stocklolm).

Kirkham, D. 1949. Flow of ponded water into drain tubes in soil overlying an imperviouslayer. Trans. Amer.Geophys. Un. 30:369--385.

Kirkham, D. 1957. Theory of land drainage, III. The ponded water case. Dans: Drainage ofAgricultural Lands (Luthin, J. M. 1957 éd.). American Society of Agronomy,Madison,Wisconsin, Vol. 7:139--141.

Luthin, J. M. 1957. Drainage of Agricultural Lands. American Society of Agronomy, Vol. 7,Madison, Wisconsin, 620 pages.

Polubarinova--Kochina, P.YA. 1962. Theory of groundwatermovement. (traduiit du russe parJ.M. Roger de Weist). Princeton University Press, Princeton, New Jersey. 613 pages.

CHAPITRE 4Hypothèse de Dupuit--Forcheimer

4.1 INTRODUCTION

Ce chapitre présente l’hypothèse de Dupuit--Forcheimer, l’équation de la continuité utilisantl’hypothèse de Dupuit--Forcheimer et la solution de différents problèmes que permet l’utilisa-tion de cette hypothèse.

4.2 HYPOTHÈSE DE DUPUIT--FORCHEIMER

Dans le cas d’un écoulement quasi horizontal, la composante verticale de la vitesse est quasinulle et les équipotentielles sont quasi verticales. Cette situation permet de définir l’hypothèsede Dupuit--Forcheimer, du nom des chercheurs français et allemand qui ont présenté de façonindépendante cette hypothèse. La figure 4.1 montre les éléments de cette hypothèse.

Figure 4.1 Écoulement quasi horizontal.

Référence

φ h

62 HYPOTHÈSE DE DUPUIT--FORCHEIMER

Les équipotentielles étant quasi verticales, le potentiel en un point est approximativement lahauteur de la nappe au--dessus du point de référence.

[4.1]φ ≈ h

Le gradient de potentiel est approximativement la pente de la surface libre de la nappe :

[4.2]∂φ∂x ≈ ∂h

∂x ,∂φ∂y ≈ ∂h

∂y ,∂φ∂z ≈ 0

et les flux sont :

[4.3]q→x ≈ − Kx

∂h∂x , q

→y ≈ − Ky

∂h∂y , q

→z ≈ 0


L’utilisation de l’hypothèse de Dupuit--Forcheimer dans un élément de référence (figure 4.2)permet d’écrire l’équation des débits dans les directions “x” et “y“ :

[4.4]Qx = − Kx∂h∂x h ∆y

[4.5]Qy = − Ky∂h∂y h ∆x

Figure 4.2 Bilan de l’écoulement dans un élément de référence.

Référence

h

∆x

∆y

∆h

R

Le bilan de l’écoulement dans un élément de référence (figure 4.2) permet d’écrire l’équationde la continuité. La variation de la quantité d’eau dans le volume de référence (rabattement dela nappe dh/dt et l’apport de précipitation R) doit être égale à la somme des débits dans lesdirections “x” et “y” :

[4.6]− � dhdt

∆x ∆y+ R ∆x ∆y= � ddx(Qx)� ∆x+ � ddx Qy� ∆y

ÉCOULEMENT ENTRE DEUX RÉSERVOIRS 63

Édition 2016

La variable “µ” représente la porosité équivalente de dranage. En introduisant l’expression dudébit des équations [4.4] et [4.5], l’équation de la continuité s’écrit :

[4.7]

− � dhdt

∆x∆y+ R ∆x∆y= � ddx− Kx

∂h∂x h ∆y

� ∆x+ � d

dy− Ky

∂h∂y h ∆y� ∆y

Après simplification, l’équation de la continuité s’écrit :

[4.8]� dhdt

= ddxKx ∂h∂x h+ d

dyKy ∂h

∂y h+ R

Cette équation est non linéaire et complique la résolution analytique des problèmes.

L’intérêt de cette équation est qu’elle permet de solutionner des problèmes où la connaissancede la position de la nappe est l’élément principal. L’utilisation de l’hypothèse de Dupuit--For-cheimer dans les situations où elle est valide permet de réduire d’une dimension le problèmeétudié, ce qui est un avantagemathématique non négligeable dans certains cas. Un problème àdeux dimensions est réduit à une dimension et un problème à trois dimensions est réduit à deuxdimensions.

4.4 ÉCOULEMENT ENTRE DEUX RÉSERVOIRS

L’écoulement entre deux réservoirs en régime permanent est présenté à la figure 4.3.

Figure 4.3 Écoulement entre deux réservoirs.

SUBSTRATUM IMPERMÉABLE

h

x

hH1

H2

Le système peut être décrit par l’équation de la continuité [4.8] et comme la nappe ne bougepas, l’équation de la continuité se réduit à :

[4.9]0 = ddxKx h ∂h

∂x

[4.10]ddxh ∂h

∂x= 0


avec les conditions aux limites suivantes :

x= 0 , h= H1

x= E , h= H2

Après une première intégration, l’équation [4.10] s’écrit :

[4.11]h ∂h∂x = C1

Cette équation peut aussi s’écrire :

[4.12]12∂ (h)2

∂x = C1

Son intégration donne :

[4.13]h2 = 2 C1 x+ C2

Aux conditions limites, l’équation s’écrit :

x= 0 ,

x= E ,

H21 = 2 C1· 0+ C2

H22 = 2 C1· E+ C2

Elle a comme solution :

C2 = H21

2 C1 =H22− H2

1E

La solution générale s’écrit :

[4.14]h2 =H22− H2

1E

x+ H21

L’équation [4.14]montre qu’avec l’hypothèse deDupuit--Forcheimer, la forme de la nappe estparabolique pour cette situation.

Le débit par unité de largeur peut être estimé :

[4.15]Q= − Kx h∂h∂x = − Kx

2d h2

dx= − Kx

2

H22− H2

1E

D’autres démonstrations partent du fait qu’aucun écoulement n’entre ou ne sort au--dessus dela nappe phréatique et que le débit sera constant le long de l’axe des “x”. Les mêmes résultatssont obtenus en partant de l’équation suivante appliquée aux conditions limites :

[4.16]Q= − Kx h∂h∂x = − Kx

2d h2

dx

[4.17]h2 = − 2 QKx

x+ C

ÉCOULEMENT ENTRE DEUX RÉSERVOIRS EN PRÉSENCE DE PRÉCIPITATION 65

Édition 2016

4.5 ÉCOULEMENT ENTRE DEUX RÉSERVOIRS EN PRÉSENCEDE PRÉCIPITATION

La figure 4.4 présente le cas étudié précédemment mais où il pleut.

Figure 4.4 Écoulement entre deux réservoirs avec précipitations.


h

x

hH1

H2

R Précipitations

Le système peut être décrit par l’équation de la continuité [4.8] qui se réduit à :

[4.18]0 = ddxKx h ∂h

∂x+ R

[4.19]ddxh ∂h

∂x= − R

Kx

avec les conditions aux limites suivantes (les mêmes que celles du cas précédent) :

x= 0 , h= H1

x= E , h= H2

Après une première intégration, l’équation [4.19] s’écrit :

[4.20]h ∂h∂x = − R

Kxx+ C1

[4.21]12∂ h2∂x = − R

Kxx+ C1

[4.22]h2 = − 2 RKx

x2

2+ 2 C1 x+ C2

Aux conditions limites, l’équation s’écrit :

x= 0 ,

x= L ,

H21 = − R

Kx· 0+ 2 C1· 0+ C2

H22 = − R

Kx· E2+ 2 C1· E+ C2


Elle a comme solution :

C2 = H21

2 C1 =H22+ R

KxE2− H2

1

E

La solution générale s’écrit :

[4.23]h2 = − RKx

x2+H22+ R

KxE2− H2

1

Ex+ H2

1

L’élévation de la nappe peut être évaluée directement par l’équation [4.23] pour tous lesendroits entre les deux réservoirs. Il est à noter que l’équation [4.23] se réduit à l’équation[4.14] lorsque la précipitation est nulle (R = 0).

Le cas de l’évapotranspiration est traité en considérant l’évapotranspiration comme une préci-pitation négative.

Le débit par unité de largeur peut peut être évaluée pour tous les endroits entre les deux réser-voirs en dérivant l’équation [4.23] :

[4.24]Q= − Kx h∂h∂x = − Kx

2d h2

dx= R x−

Kx H22− H2

1+ R E2

2 E

4.6 ÉCOULEMENT ENTRE DEUX DRAINS PARALLÈLES

L’écoulement entre deux fossés ou deux drains a été un des premiers problèmes étudiés endrainage. La figure 4.5 représente schématiquement le cas. Le débit vers le fossé ou le drain etla détermination de l’écartement nécessaire sont les deux éléments d’intérêt.

Figure 4.5 Drainage en régime permanent avec précipitation.

dxIMPERMÉABLE

xh

E

h

δ

qc

Ce cas est appelé régime permanent et correspond à une nappe en équilibre avec l’infiltration.Son développement est simple. Le débit passant au travers un élément dx de largeur unitaire est

ÉCOULEMENT SUR UN PLAN INCLINÉ 67

Édition 2016

estimé avec l’hypothèse de Dupuit--Forcheimer et est aussi égal à la précipitation qc fois ladistance contributive x (surface contributive de largeur unitaire) :

[4.25]Q= qx→A= − Kx

dhdx

(h+ δ) = qc x

La réorganisation de l’équation donne :

[4.26]qc x dx= − Kx (h+ δ) dh=Cette équation peut être intégrée :

[4.27]qc�E�2

0

x dx= − Kx�0

h

(h+ δ) dh

[4.28]qcx2

2|E�20

= − Kxh2E�2

2+ δ h

E�2|0hE�2

[4.29]qcE2

8= − Kx

h2E�2

2+ δ h

E�2

[4.30]qc = 4Kx h2E�2

E2+ 8

Kx δ hE�2

E2

L’écartement s’exprime :

[4.31]E2 = 4Kx h2E�2qc

+ 8Kx δ hE�2

qc

Le débit unitaire (débit par mètre de drain) s’écrit :

[4.32]qi = qc E= 4Kx h2E�2

E+ 8

Kx δ hE�2E

La solution de ce cas est appelé modèle de Hooghoudt.

Le terme qc est appelé coefficient de drainage et correspond au termeR des sections précéden-tes. Il a les mêmes unités que la conductivité hydraulique (m/j).

Il serait intéressant de comparer la solution présentée dans cette section avec celle de la sectionprécédente.

4.7 ÉCOULEMENT SUR UN PLAN INCLINÉ

L’écoulement au--dessus d’un plan incliné imperméable peut être analysé en utilisant l’hypo-thèse de Dupuit--Forcheimer à conditions que la pente soit faible. Cette situation est représen-tée à la figure 4.6.

Selon l’hypothèse de Dupuit--Forcheimer, le débit peut être exprimé de la façon suivante :

[4.33]Qx = − Kx hdy

dx

Où h = y -- x tan α,


Figure 4.6 Écoulement au--dessus d’un plan incliné imperméable.

x

y

h

α

[4.34]Qx = − Kx (y− x tanα)dy

dx

En supposant aucune perte par évapotranspiration ou percolation ou gain par précipitation, ledébit est constant tout le long de la pente. L’équation [4.34] peut s’écrire :

[4.35]dxdy

− Kx x tanαQx

+Kx y

Qx= 0

Cette équation correspond à une équation aux dérivées partielles d’une forme familière

[4.36]dxdy

+ f (y) x+ g(y) = 0

dont la solution générale est :

[4.37]x=y

tanα+ Q

K tan2α− C

tan α eK y tanα

Q

Cette solution a deux constantes Q et C qui doivent être déterminées à partir des conditionslimites ou de la connaissance de l’élévation yde la nappe en deux points différents. En connais-sant l’élévation y de la nappe en deux points différents, les valeurs deQ etC peuvent être déter-minées et par le fait même, la forme de la nappe. L’équation [4.37] peut être réécrite :

[4.38]y− x tanα = C eK y tanα

Q − Q

K tanα

La partie gauche de l’équation représente la hauteur de la nappe au--dessus de la couche imper-méable. Lorsque C = 0, une solution particulière est obtenue :

[4.39]y− x tanα = − Q

K tanα

ÉCOULEMENT SUR UN PLAN INCLINÉ 69

Édition 2016

L’écoulement est appelé écoulement uniforme par analogie à l’écoulement dans les canauxouvert où, lorsque la pente est suffisamment longue, la pente de la nappe ou de la surface del’eau approche asymptotiquement la pente de la couche imperméable ou du fond du canal.L’épaisseur de l’écoulement ou de la nappe est appelée profondeur normale avec :

[4.40]ho = y− x tanα

[4.41]Q= − K ho tanα

Dans les discussions qui suivent, ho est définie :

[4.42]ho = − Q

K tanα

Harr (1962) a discuté trois cas d’écoulement sur un plan incliné imperméable (figure 4.7). Lestrois cas dépendent de l’orientation de l’écoulement par rapport à celui de la pente de l’imper-méable et des hauteurs des têtes d’eau à l’entrée et la sortie du massif de sol. Si tan α > 0 etC > 0 (figure 4.7 a), la surface de la nappe est concave et elle est toujours au--dessus de laprofondeur normale (i.e. y -- tan α > ho). Si tan α > 0 et C < 0 (figure 4.7 b), la surface de lanappe est convexe et elle est toujours au--dessous de la profondeur normale (i.e. y -- tanα< ho ).Pour un écoulement à contre--pente (figure 4.7 c), tan α < 0 et ho est négatif. La solution estalors représentée par une nappe convexe qui a une forme parabolique avec une patte de la para-bole approchant asymptotiquement la profondeur normale négative ho mais sans significationphysique.

Si l’élévation “y” de la nappe est connu en deux points différents (x1, y1) et (x2, y2), les valeursdeQ et C peuvent être déterminées pour l’équation du débit et de la forme de la nappe à partirde l’équation [4.38] :

[4.43]y− x tanα+ Q

K tan α= C e

K y tanαQ

Comme ho peut être estimé de l’expression [4.42] ,

[4.44]− ho =Q

K tanα

Alors,

[4.45]y1− x1 tanα− ho = C e−y1�ho

[4.46]y2− x2 tanα− ho = C e−y2�ho

et

[4.47]C= y1− x1 tanα− ho e y1�ho

[4.48]C= y2− x2 tanα− ho e y2�ho

[4.49]y2− x2 tanα− ho = y1− x1 tanα− ho e y1�ho e−y2�ho

[4.50]y2− y1 = ho lny1− x1 tanα− ho

y2− x2 tanα− ho


Comme y1 et y2 sont connus, ho peut être obtenus de l’équation [4.50] par itération. L’équation[4.50] peut être simplifiée en remplaçant h = y -- x tan α :

[4.51]h2− h1+ x2− x1 tanα = ho lnh1− ho

h2− ho

Figure 4.7 Trois cas possibles de forme de la nappe sur un plan incliné.

a ) Surface concave

b ) Surface convexe

c ) Écoulement à contre pente

αααα >>>> 0000

αααα <<<< 0000

αααα >>>> 0000

C >>>> 0000

C <<<< 0000

RÉGIME VARIABLE SANS PRÉCIPITATION 71

Édition 2016

4.8 RÉGIME VARIABLE SANS PRÉCIPITATION

Jusqu’à date, seulement les cas en régime permanent où la nappe est stationnaire ont été consi-déré. Nous allons étudier le cas d’une nappe initiale horizontale et où le niveau d’eau dans lefossé est abaissé de façon instantané. L’abaissement du niveau d’eau dans le fossé provoquepar la suite le rabattement de la nappe que nous allons étudier. Le premier cas étudié est celui oùla précipitation et l’évapotranspiration sont nulles (figure 4.8).

Figure 4.8 Drainage en régime variable avec une nappe initiale horizontale (sans précipi-tation).

IMPERMÉABLE

x

E

h

δ

ho

Le système peut être décrit par l’équation de la continuité [4.8] qui se réduit à :

[4.52]� dhdt

= ddxKx h ∂h

∂x

Cette équation est appelée l’équation de Boussinesq en régime variable.

Il est bon de noter que l’équation de Boussinesq utilise l’hypothèse de Dupuit--Forcheimer etl’hypothèse que le volume d’eau “µ dh” est drainé immédiatement de la zone non saturée lors-que la nappe se rabat. Les erreurs qu’occasionne cette approximation dépend du type de sol etdes conditions aux limites, ce qui est fonction de chaque cas. Par contre, la solution de l’équa-tion [4.52] est beaucoup plus facile à obtenir que celles d’approches plus rigoureuses commecelle de l’équation de Richard décrivant l’écoulement saturé et non--saturé en deux dimen-sions. Les conditions aux limites du problème sont les suivantes :

0 ≤ x≤ E , h= ho

x= 0 ,

x= E2

,

t= 0 ,

t≥ 0 ,

t> 0 , h= δ

dhdx

= 0


La première solution de l’équation [4.52] sujette aux conditions limites a été présentée parDunn (1954) et elle utilise laméthode de séparation des variables. Si nous considérons que ”h”est petit par rapport à ”E”, l’équation [4.52] peut être réécrite de la façon suivante :

[4.53]� dhdt

= Kxddxh ∂h

∂x

[4.54]dhdt

= Kx h�

∂2h∂x2

où h est la valeur moyenne de ”h”.

Pour simplifier les conditions limites, nous utiliserons :

g= h− δ

α = Kx h�

et réécrivons l’équation différentielle et ses conditions limites :

[4.55]∂g∂t = α

∂2g∂x2

0 ≤ x≤ E , g= h− δ

x= 0 ,

x= E2

,

t= 0 ,

t≥ 0 ,

t> 0 , h= 0

dg

dx= 0

Cette équation est une équation linéaire et elle peut être solutionnée par la méthode de sépara-tion des variables. La solution est de la forme :

[4.56]g= X(x) T(t)

où X est une fonction de “x” uniquement et T est une fonction de “t” uniquement.

Alors,

[4.57]∂g∂t = X dT

dx

[4.58]∂2g∂x2

= T d2X

dx2

En substituant [4.57] et [4.58] dans l’équation [4.55], nous obtenons après réarangement :

[4.59]1α T

dTdt

= 1Xd2X

dx2

Comme le côté gauche de l’équation est fonction de “t” seulement et que le côté droit del’équation est fonction de “x” seulement et que les deux côtés sont égaux, les deux côtés doi-vent égaler une constante.

[4.60]1α T

dTdt

= 1Xd2X

dx2= − λ

RÉGIME VARIABLE SANS PRÉCIPITATION 73

Édition 2016

La seule solution possible est λ > 0 avec λ= + �2. Le membre droit de l’équation [4.60] per-met de déterminer la relation pour tout “x” :

[4.61]d2X

dx2+ �2 X= 0

Avec comme solution générale :

[4.62]X= A cos � x+ B sin� x

À x = 0, g = 0, alors X = 0, cos µ x = 1, A = 0 et la seule solution possible est :

[4.63]X= B sin� x

et

[4.64]dXdx

= � B cos � x

Pour x = E/2,

[4.65]dXdx

= 0 = � B cos � E2

Cette condition est valide pour υ = π�E, 3π�E, 5π�E, . . .

Une gamme de solutions acceptable est :

[4.66]X= B sinnπ x

E, n= 1, 3, 5, . . .

Le membre droit de l’équation [4.60] permet de déterminer la relation pour “t” :

[4.67]dTdt

+ α υ2 T= 0

qui a pour solution où “C” est une constante :

[4.68]T= C e−υ2αt

La substitution des équations [4.66] et [4.68] dans l’équation [4.56] donne :

[4.69]g(x, t) = Dn e−nπ

E2α t sin n π x

E, n= 1, 3, 5, . . .

Par superposition, les solutions données par les différentes valeurs de “n“ peuvent être addi-tionnées pour donner la solution générale :

[4.70]g(x, t) = �∞n=1,3,5,...

Dn e−nπ

E2α t sin n π x

E

La valeur de Dn peut être obtenue en satisfaisant aux conditions initiales g(x,0) = ho -- d.

[4.71]g(x, 0) = ho− d= �∞n=1,3,5,...

Dn sinn π xE


Le côté droit de l’équation [4.71] est une série de Fourrier. La valeur deDn peut être obtenue enmultipliant les deux côtés par “sin n π x

Edx” et en intégrant entre les limites x = 0 à x = E :

[4.72]Dn = 1n4 (ho− δ)

π n= 1, 3, 5, ...

La solution particulière décrivant la hauteur de la nappe en fonction de la distance “x” et dutemps ’t” est :

[4.73]h(x, t) = δ+ �∞n=1,3,5,...

1n4 (ho− δ)

π e−nπ

E2Kx h� t sin n π x

E

Le flux à n’importe quel point peut être obtenu de l’équation [4.3] où dh/dx est déterminé endérivant l’équation [4.73]. Le débit par unité de longueur entrant d’un côté du fossé est :

[4.74]q

2= Kx h

dhdx

|x=0

[4.75]qi = 2 Kx hdhdx

|x=0

[4.76]dhdx

= �∞n=1,3,5,...

1n4 (ho− δ)

π e−nπ

E2 Kx h� t n π

E sin n π x

E

À x = 0, cos n π xE

= 1 et h = d, de sorte que le débit s’écrit:

[4.77]qi = − 2 Kx δ �∞n=1,3,5,...

1n4 (ho− δ)

πn πE e−nπ

E2 Kx h� t

Il est à souligner que les équations [4.73] et [4.77] utilisent l’hypothèse deDupuit--Forcheimeret linéarise l’équation différentielle. De plus, la solution utilise l’hypothèse que l’écoulementdans la zone non saturée au--dessus de la nappe se fait instantanément à la suite du rabattementde la nappe et que cette eau drainée forme la porosité équivalente de drainage “µ’ ”.Malgré ceslimites, la linéralisation de l’équation différentielle et sa solution permet de démontrer l’équa-tion de Glover qui fut la première à permettre de calculer l’écartement entre les fossés ou lesdrains en régime variable.

L’équation de Glover présentant la hauteur de la nappe à mi--chemin entre les fossés(h1 = h(E�2, t)) peut. être obtenue en utilisant le premier terme de l’équation [4.73] :

[4.78]h1 = δ+ 4 (ho− δ)π e

−πE2 Kx h� t

Après quelques manipulations algébriques, nous obtenons :

[4.79]ln �π4

h1− δ(ho− δ)

�= − π2

E2Kx h� t

[4.80]E2 = π2Kx h t� ln �π

4(ho− δ)h1− δ

�

RÉGIME VARIABLE AVEC PRÉCIPITATION 75

Édition 2016

4.9 RÉGIME VARIABLE AVEC PRÉCIPITATION

La figure 4.9 présente le cas d’une nappe initiale horizontale et où le niveau d’eau dans le fosséest abaissé de façon instantanémais où la précipitation et l’évapotranspiration sont considérés.

Figure 4.9 Drainage en régime variable avec une nappe initiale horizontale en présencede précipitations).

IMPERMÉABLE

x

E

h

δ

R

ho

Lorsque les précipitations sont non nulles, l’équation [4.52] s’écrit

[4.81]� dhdt

= Kxddxh ∂h

∂x+ R

[4.82]� dhdt

= Kx h∂2h∂x2

+ R

Les conditions limites sont les mêmes que celles du cas précédent sauf qu’une précipitationd’intensité uniforme est considérée.

La solution de ce cas a été présentée par Kraijenhoff van de Leur (1958) et Maasland (1959).La hauteur de la nappe à mi--chemin entre deux fossés (x = E/2) au temps “t” est :

[4.83]h− δ= 4 Rπ � j

�∞n=1,−3, 5, ...

1n3

1− e−n2t�j

[4.84]j=� E2

π2 K δ

Le débit par unité de longueur entrant dans le fossé est :

[4.85]qi =8 R Eπ2

�∞n=1,−3, 5, ...

1n2

1− e−n2t�j

Les équations [4.83] et [4.85] sont valides aussi longtemps que la rechargeR ou l’évapotrans--piration sont constantes. Lorsque la pluie est suffisamment longue ( t→ ∞), l’écoulement


atteindra le régime permanent avec un équilibre entre la nappe et la précipitation. Le débit audrain correspondra alors à la précipitation multipliée par l’écartement :

[4.86]q= 8 R Eπ2

�∞n=1, 3, 5, ...

1n2

= 8 R Eπ2

π2

8= R E

Il est aussi possible de déterminer la hauteur de la nappe en équilibre avec la précipitation( t→ ∞) :

[4.87]h− δ= 4 Rπ � j

�∞n=1,−3, 5, ...

1n3

= 4 Rπ � j

π3

32= π2 R

8 �j= R

8E2

K δ

Comme une précipitation complexe peut être représentée par la somme de précipitations sim-ples, la solution d’un problème présentant une précipitation complexe sera constituée de lasuperposition des solutions correspondant à chacune des précipitations simples.

4.10 SOLUTIONS NUMÉRIQUES

Skaggs (1979) a présenté une solution numérique de l’équation de Boussinesq [4.81] pour lescas d’un fossé ou d’un drain fonctionnant en mode drainage (figure 4.10) ou mode irrigation(figure 4.11). Ce sont des variantes des cas décrits aux figures 4.8 et 4.9.

Figure 4.10 Fossés ou drain en mode drainage souterrain.

IMPERMÉABLE

x

E/2

hδ

hE�2

hd

ho

Drain

h(x, t)

R R

L’équation [4.81] peut être réécrite sous une forme adimensionnelle en opérant les transforma-tions suivantes :

[4.88]H=h(x, t)hd

= hhd

[4.89]ξ = xE

[4.90]β = e E2

K h2d

SOLUTIONS NUMÉRIQUES 77

Édition 2016

Figure 4.11 Fossés ou drain en mode irrigation souterraine.

IMPERMÉABLE

x

E/2

hδ

hE�2

hd

ho

ee

Drain

h(x, t)

[4.91]τ =K hd

� E2t

[4.92]∂H∂τ = ∂

∂ξ�H ∂H

∂ξ�+ β

hd = élévation dans le fossé ou le drain du niveau de l’eau au--dessus del’imperméable (m)

e = taux d’évapotranspiration (négatif) (m/j) ou de précipitation (positif)E = écartement (m)

h0 = l’élévation initiale de la nappe au dessus de l’imperméable

L’équation [4.92], sujette aux conditions limites appropriées, peut être résolue numérique-ment.

Les figures 4.12 et 4.13 présentent les solutions Y= (hE�2− hd) � (ho− hd)en fonction de τ pourle cas du drainage sans précipitation (β=0) etβ= --1 où le niveau d’eau dans le fossé ou le drainest rabattu du niveau ho au niveau hd. La figure 4.13 présente les solutions pour le cas de l’irri-gation souterraine sans évapotranspiration (β = 0) où le niveau d’eau dans le fossé ou le drainest remonté du niveau hi au niveau ho. Les solutions sont données pour le pointmilieu entre lesdrains (ξ = x/E = 0,5) pour différentes valeurs de D= hd � ho.

Les figures 4.14 à 4.17 présente les solutions H= hE�2 � hd en fonction de τ pour le cas de l’irri-gation souterraine avec différents taux d’évapotranspiration adimensionnels (µ) où le niveaud’eau dans le fossé ou le drain est remonté du niveau ho au niveau hd. Les solutions sont don-nées pour le pointmilieu entre les drains (ξ=x/E=0,5) pour différentes valeurs de D= ho � hd.

Les variables suivantes sont définies :

Y=hE�2− hdho− hd

H=hE�2

hd


PROBLÈMES

4.1 Pour le schéma suivant, l’écoulement atteint un régime permanent pour une infiltrationconstante ”e”. Déterminez le rapport ”e/K” et la surface libre de la nappe au--dessus del’imperméable.

IMPERMÉABLE

E = 30 m

7 m

5 m

5 m5 m

4.2 Si les niveaux de l’eau n’étaient pas les mêmes dans les plans d’eau du problème précé-dent, démontrez que la ligne de séparation des eaux est plus proche du plan d’eau ayant laplus grande élévation.

4.3 Le schéma suivant présente un système de contrôle de la nappe dans un sol possédantune conductivité hydraulique de 1,5 m/j. Tracez le profile de la nappe lorsque l’évapo-transpiration est de 6mm/j. Veuillez généraliser votre solution pour ne pas avoir à déter-miner une nouvelle solution pour chaque nouvelle valeur des paramètres.

IMPERMÉABLE40 m

1,5 m

0,7 m

PROBLÈMES 79

Édition 2016

4.4 Pour le schéma suivant:

a) Déterminez le débit unitaire en régime permanent dans le canal de gauche et le canalde droite si la précipitation (infiltration) est de 10mm/j. La conductivité hydrauliquedu sol est de 1,0 m/j (spécifiez si les canaux sont alimentés ou s’ils alimentent lanappe.

b) Déterminez l’équation de la surface libre de la nappe.c) Déterminez l’élévation de la nappe au--dessus de l’imperméable à une distance de

400 m du canal de gauche.d) Déterminez le taux d’infiltrationminimal (R) nécessaire pour que le canal de gauche

n’alimente plus la nappe.e) Quelles sont les hypothèses que vous devez poser pour solutionner le problème?


60 m

30 m900 m

Cours d’eau

Canal

4.5 Si la nappe est initialement à la surface du sol dans le schéma suivant, déterminez leniveau de la nappe àmi--chemin entre les deux fossés en fonction du temps. La conducti-vité hydraulique est de 1,0 m/j, la porosité équivalente de drainage de 0,05 et il n’y a pasde précipitations.

60 m

1,0 m

1,0 m


4.6 Déterminez les conditions aux limites des cas présentés aux figures 4.11 et 4.10.


BIBLIOGRAPHIE

Dumm, L.D., 1954. Drain spacing formula. Amer. Soc. Agr. Eng, 35 : 726--730.

Harr, M. E. 1962. Groundwater and seepage. McGraw--Hill, New--York, 315 p.

Kraijenhoff Van de Leur, D.A., 1958. A study of non--steady groundwater flow with specialreference to a reservoir--coefficient, De Ingénieur 40 : 87--94.

Luthin, J. M., 1957. Drainage of Agricultural Lands. American Society of Agronomy, Vol. 7,Madison, Wisconsin.

ILRI, 1973. Drainage principle and applications -- II Theories of field drainage and watershedrunoff. International institute for land reclamation and improvement. Wagenningen,The Netherlands, Publication 16 -- Vol.II, 374 pages.

Maasland, M., 1959. Water table fluctuations induced by intermittent recharge. J. Geophys.Res. 64 : 549--559.

Skaggs, R.W.; 1979. Water movement factors important to design and opération of subirriga-tion systems, ASAE Paper 79--2543.

81

Figure

4.12SolutionsdécrivantlerabattementdelanappeY=(hE/2--h d

/h o--h d)àmi--chem

inentredeuxdrains(x/E=0,5)

lorsquelanappemigred’unepositionD=h d/hoàunepositiond’équilibresousuneprécipitationnulleβ=0(d’après

Skaggs,1979).

τ=Khd

�E2t

Y=hE�2−hd

ho−hd

β

82

Figure

4.13SolutionsdécrivantlerabattementdelanappeY=(hE/2--h d

/h o--h d)àmi--chem

inentredeuxdrains(x/E=0,5)

lorsquelanappemigred’unepositionD=h d/hoàunepositiond’équilibresousuneprécipitationnulleβ=--1

(d’après

Skaggs,1979).

τ=Khd

�E2t

Y=hE�2−hd

ho−hd

β

83

Figure

4.14Solutionsdécrivantlemouvem

entdelanappeH=h E/2/h d

àmi--chem

inentredeuxdrains(x/E=0,5)lorsque

lanappemigre

d’unepositionD=h o/hdàunepositiond’équilibre

sousuneévapotranspirationadim

ensionnelle

β=

0(d’aprèsSkaggs,1979).

τ=Khd

�E2t

H=hE�2

hd

β

84

Figure



àmi--chem


lanappemigre



ensionnelle

β=--1,0

(d’aprèsSkaggs,1979).

τ=Khd

�E2t

H=hE�2

hd

β

85

Figure



àmi--chem


lanappemigre



ensionnelle

β=

--2,0


τ=Khd

�E2t

H=hE�2

hd

β

86

Figure


entdelanappeH=h E/2/h o

àmi--chem


lanappemigre



ensionnelle

β=

--3,0


τ=Khd

�E2t

H=hE�2

hd

β

CHAPITRE 5Méthode des potentiels de vitesse

5.1 INTRODUCTION

Pour solutionner les problèmes d’écoulement, les chapitres 3 et 4 ont cherché à déterminer lespotentiels en solutionnant l’équation de Laplace. Le chapitre 5, en utilisant l’hypothèse deDupuit--Forcheimer a cherché à déterminer l’élévation de la nappe en solutionnant l’équationde Boussinesq. Le présent chapitre va explorer une approche différente basée sur les écoule-ment à potentiel de vitesse qui, au lieu d’essayer de solutionner une équation différentielle,transforme le problème en une forme intégrale. Le problème étudié est celui d’une tranchéedrainante solutionné par Guyon. Ceux qui veulent étudier plus en profondeur le modèle deGuyon peuvent consulter la référence suivante :

Guyon, G. 1972. Les formules de l’hydraulique des nappes rabattues par tranchéesdrainantes. Bulletin technique d’information. Ministère de l’agriculture, France.No 271--172: 859--865.

Pour ceux qui veulent étudier plus en profondeur la théorie des potentiels de vitesse, peuventconsulter la référence suivante :

Polubarinova--Kochina, P. YA., 1962. Theory of Ground Water Movement. PrincetonUniversity Press. pp. 281--308

5.2 REPRÉSENTATION D’UN SYSTÈME DE DRAINAGE

Tout système de drainage peut être représenté par la figure 5.1. Le drain peut être remplacé parun fossé dans le schéma. Il faut dire que la majorité des modèles de drainage ont, comme il étévu jusqu’à présent, été développés pour le cas de fossés. Le drain est un cas particulier qui seratraité de façon plus spécifique dans ce chapitre.

88 MÉTHODE DES POTENTIELS DE VITESSE

Figure 5.1 Schéma d’un système de drainage souterrain.

K1

K2

E

ho

h1

d

q

Z

Les paramètres identifiés se divisent en :

-- limites physiques :

-- la profondeur des drains ”d”

-- la profondeur de sol perméable sous les drains “Z”

-- l’écartement entre les drains “E”

-- le rayon du drain “r”

-- en propriétés des sols :

-- les conductivités hydrauliques des couches de sol au--dessus et au--dessous des drains“K1 et K2”

-- la porosité de drainage

-- les caractéristiques hydrauliques :

-- les hauteurs de la nappe au--dessus des drains “h0 et h1”

-- le débit unitaire du drain “qi”

5.3 CONCEPT DE BASE

La figure 5.2 décrit les cas d’une tranchée drainante qui est assimilée à un fossé. Les hypothè-ses suivantes sont posées :

� la loi de Darcy est valide,

� le sol est homogène et isotrope,

� les tranchées drainantes sont remblayées par des éléments grossiers et se comportentcomme des fossés à ciel ouvert,

� le substratum est horizontal,

� l’écoulement est plan.

CONCEPT DE BASE 89

Édition 2016

Figure 5.2 Le schéma de fonctionnement d’une tranchée drainante (adapté de Guyon,1972).

Il faut noter que la référence est ici placée au niveau de l’eau dans le fossé et non au niveau dusubstratum imperméable comme cela a généralement été le cas au chapitre précédent.

En tout point du domaine, les composantes horizontales et verticales de la vitesse d’écoule-ment sont selon Darcy:

[5.1]u(x, z) = − K∂φ∂x

[5.2]v(x, z) = − K∂φ∂z

Le débit de la nappe au travers d’une section verticale de largeur unitaire a pour expression :

[5.3]qi(x) = �h

0

u dz= − K �h0

∂φ∂x dz

Comme pour la démonstration rigoureuse de la formule deDupuit relative aux digues, présen-tée par Polubarinova--Kochina (1962), la fonction auxiliaire suivante est introduite :

[5.4]ψ(x) = �h0

φ(x, z) dz

En dérivant cette dernière expression par rapport à “x” et en considérant φ(x, z)� h, nous obte-nons :

[5.5]dψ

dx= �h

0

∂φ∂x dz+ φ(x, z) dh

dx= �h

0

∂φ∂x dz+ h dh

dx


[5.6]dψ

dx= �h

0

∂φ∂x dz+

12d (h2)dx

d’où

[5.7]qi = − K�h0

∂φ∂x dz= K �1

2d (h2)dx

−dψ

dx�

[5.8]qi dx= K � 12d (h2)− dψ�

En intégrant entre x = 0 et x = L, nous obtenons :

[5.9]�L0

qi dx=K2� h2L− h20

�− K �ψL− ψ0�

Le travail de Guyon a été d’évaluer les expression ψL et ψ0 .

5.4 LE MODÈLE EN RÉGIME VARIABLE (GUYON)

À la suite de son développement, Guyon (1972) obtient les équations générales du débit audrain en fonction de la hauteur de la nappe àmi--chemin entre deux drains et du temps de rabat-tement de celle--ci :

[5.10]qi(h) =2 P E K �h2(0, t)+ 2 δ h(0, t)�

N E2+ 4 R ( h(0, t)+ δ )2

[5.11]t1 =�

K�N E24 δ

+ R δ� ln��2δ+ h12δ+ h0

� h0h1 + 2 R �h0− h1�

qi(h) = débit unitaire en fonction de la hauteur de la nappe (m3/m--j)

h(0,t) = hauteur de la nappe au--dessus du niveau d’eau dans le fossé(ou le drain) au temps “t” et à la distance x = 0 de l’origine desaxes (à mi--chemin entre deux drains) (m)

h0 = h(0,t0)

h1 = h(0,t1)

K = conductivité hydraulique du sol (m/j)

E = écartement entre les lignes de drains (m)µ = porosité équivalente de drainaget0, t1 = temps initial et au moment d’intérêt (j)δ = profondeur d’eau dans le fossé (m)N et P = coefficients adimensionnels dépendant de la forme de la nappe

R = coefficients adimensionnels dépendant de la répartition des vitessesle long de l’entre--axe

CONCEPT DE BASE 91

Édition 2016

Les coefficients adimensionnels N et P dépendent de la forme de la nappe et sont décrit :

[5.12]N= �1

0

dX �X0

f (X) dX

[5.13]P= �1

0

f (X) dX

f (X) = h(x, 0)h(0, 0)

X= 2 xE

Le coefficient adimensionnel R dépendant de la répartition de la vitesse verticale le long del’entre--axe :

[5.14]R= �1

0

dZ �1

Z

f (Z) dZ

Z= zh0+ δ

La composante vertcale de la vitesse d’écoulement le long de l’entre--axe varie d’une valeurmaximale à la surface de la nappe à une valeur nulle au niveau du substratum imperméable. Lafonction f(Z) varie de 0 à 1 et respecte les conditions suivantes :

f (Z) = 0 , pour Z= 0 , (z= 0)

f (Z) = 1 , pour Z= 1 , (z= 0)

Plusieurs fonctions peuvent répondre à ces conditions dont F(Z) = Za avec a>0. Alors,

[5.15]R= �1

0

dZ �1

Z

Za dZ= 1a+ 2

La valeur deR est toujours inférieure à 1/2. L’examen desmodèles analogiques ou des réseauxd’écoulement montre que le potentiel le long de l’entre--axe est d’autant plus constant que lerapport δ�h0+ δ est plus prêt de 1, et dans ce cas, a→ ∞ et R→ 0. La valeur deR dépend doncde ho et δ.L’approximation suivante de “a” qui respecte la dernière observation permet d’esti-mer R :

[5.16]a=h0+ δ

h0

[5.17]R= 1h0+δ

h0+ 2

Selon l’équation [5.17], la valeur deR est toujours inférieure à 1/3. Dans les conditions norma-les rencontrées en drainage souterrain, la contribution des termes influencés par le coefficientR est inférieure à 5%. L’influence deR se fait sentir à de très faibles écartements entre les lignesde drains. En négligeantR, l’erreur sur le débit q(h) est inférieure à 1%siE/h>18 (δ=0),E/h>30 (δ = h) et inférieure è 5% si E/h > 8 (δ = 0), E/h > 13 (δ = h).


En négligeant R, les relations [5.10] et [5.11] se simplifient et deviennent :

[5.18]qi(h) = 2 PNKEh2(0, t)+ 4 P

NKEδ h(0, t)

[5.19]t1 =N4�

KE2

δln��2δ+ h1

2δ+ h0� h0h1

De ces dernières expressions, il est possible de tirer celle de l’écartement “E” entre les files dedrains, du rabattement de la nappe “h(o, t)” et du tarissement du débit “qi(t)” :

[5.20]E2 = 4NK δ�

t1

ln ��2δ+h12δ+h0

� h0h1

[5.21]h(0, t) = h(0, 0)eαt+ γ (eαt− 1)

= h(0, 0) G(α, γ, t)

α = 4NK�

δE2

γ = 12h(0, 0)δ

[5.22]qi(t) = qo �γ G2(α, γ, t)+ G(α, γ, t)γ+ 1

Dans le cas où les drains reposent sur le substratum imperméable (δ = 0), l’utilisation de larègle de l’Hôpital permet d’obtenir les expressions [5.18] à [5.22] :

[5.23]qi(h) = 2 PN

K1Eh2(0, t)

[5.24]t1 =N2

�

K1E2

�ho− h1�ho h1

[5.25]E2 = 2N

K1� t1

ho h1�h0− h1�

[5.26]h(0, t) = h(0, 0)1+ β t

ou h1 =h0

1+ β t

[5.27]qi(t) =qo

�1+ β t�2

β = 2N

K1�h(0, 0)

E2

CONCEPT DE BASE 93

Édition 2016

Lorsque la profondeur de sol perméable sous les drains est grande par rapport à la hauteur de lanappe (δ >> h), les expressions [5.18] à [5.22] s’écrivent :

[5.28]qi(h) = 4 PN

K2E

δ h(0, t)

[5.29]t1 =N4

�

K2

E2

δlnh0h1

[5.30]E2 = 4N

K2 δ�

t1

ln �h0�h1�[5.31]h(0, t) = h(0, 0) e−α t ou h1 = h0 e

−α t

[5.32]qi(t) = qo e−α t

En analysant l’équation [5.18] et les cas limites des équations [5.23] et [5.28], le premier termede l’équation [5.18] utilise la conductivité hydraulique au--dessus des drains (K1) et le secondterme de l’équation [5.18] utilise la conductivité hydraulique sous les drains (K2). Si l’on tientcompte des conductivitésK1 etK2 des couches de sol situées respectivement au--dessus et au--dessous du plan horizontal passant par la surface libre de l’eau dans le fossé (ou par le drain),les expressions [5.18] à [5.22] deviennent :

[5.33]qi(h) = 2 PN

K1Eh2(0, t)+ 4 P

N

K2E

δ h(0, t)

[5.34]t1 =N4

�

K2

E2

δln�2δ+ h1 K1�K2

2δ+ h0 K1�K2� h0h1

[5.35]E2 = 4N

K2 δ�

t1

ln ��2δ+h1 K1�K2

2δ+h0 K1�K2

� h0h1

[5.36]h(0, t) = h(0, 0)eαt+ γ (eαt− 1)

= h(0, 0) G(α, γ, t)

α = 4N

K2�

δE2

γ = 12K1K2

h(0, 0)δ


En raisonnant à partir de l’hypothèse simplificatrice de Dupuit--Forchheimer qui donne uneexpression approchée du gradient hydraulique (ϕ = h), des résultats analogues sont obtenuspour le cas δ=0 (Boussinesq, 1903; Dumm, 1954;Guyon, 1966) et pour le cas δ=h (Dumm,1954; Kraijenhoff, 1958; Maasland, 1959; Guyon, 1966). Le développement de Guyon utili-sant la théorie des écoulements à potentiel des vitesses, tout en confirmant le bien--fondé del’hypothèse de Dupuit--Forchheimer, a l’avantage de décrire le cas général.


5.4.1 Forme de la nappe

Laméthode des intégrales appliquée à la théorie des écoulements à potentiel des vitesses tellequ’utilisée par Guyon ne permet pas de déterminer directement les valeurs numériques de N etP (il serait nécessaire d’expérimenter), ce que permet par contre l’hypothèse deDupuit--Forch-heimer en déterminant analytiquement la forme de la ligne d’eau, elliptique pour le cas δ= 0 etsinusoïdale pour le cas δ>>h. Par contre, laméthode des intégrales n’oblige pas la ligne d’eauà aboutir au niveau du drain et, plusieurs solutions représentant la forme de la nappe et répon-dant à l’expression suivante peuvent être envisagées:

[5.38]h(x, t) = h(0, t) f �2 xE�

La figure 5.3 montre un cas de la forme de la nappe entre deux drains lors de son rabattement.

Figure 5.3 Évolution de la nappe entre deux drains lors de son rabattement.

Outre la sinusoïde et l’ellipse, les formes possibles de la ligne d’eau sont la parabole et la droitehorizontale. La forme de la nappe a peu d’influence sur les coefficients 2P/N et 4/N comme entémoigne le tableau 5.1. Pour les cas théoriques de l’ellipse et la sinusoïde, l’écart maximumn’est que de 11%, alors qu’entre la droite horizontale (le cas limite) et la sinusoïde, il n’est quede 20%. L’écart maximum ainsi occasionné lors du calcul de l’écartement serait de 10%.

En n’envisageant que le cas où la nappe n’aboutit pas au drain (comme le veut la théorie deGuyon (1960, 1970, 1972)) et le montre la figure 5.3, nous avons étudié diverses expressionspouvant décrire la forme de la nappe. La figure 5.4 présente le lissage des différentes formesthéoriques de la nappe sur 230 observations réparties en 20 points de relevés dans un champdrainé par quatre lignes de drains. La parabole est la meilleure approximation des quatre for-mes analysées, ce qui confirme les hypothèses de Guyon (1966): les deux cas limites théori-ques étant l’ellipse et la sinusoïde, les cas intermédiaires peuvent être décrits par la parabole.

CONCEPT DE BASE 95

Édition 2016

Figure 5.4 Forme de la nappe.

DISTANCE X= 2 xE

Y= h(x, t)h(0, t)

COURBE “ρ”

Droite 0,90

Ellipse 0,92

Sinusoïde 0,92

Parabole 0,94

Puits d’observation 20

Nombre d’observations 230

Y= 1, 069− 0, 654 X

Y2= 0, 977− 0, 892 X2

Y= 1, 010− 0, 666 X2Y= 0, 395− 0, 655 cosπ

2X

Tableau 5.1 Les valeurs de N et P en fonction de la forme de la nappe.

Forme de la nappe N P 2 P / N 4 / N

Sinusoïde 4/π2 (0,40) 2/π (0,64) π (3,14) π2 (9,87)

Parabole 0,42 0,67 3,20 9,60

Ellipse 0,45 0,78 3,47 8,84

Droite horizontale 0,50 1,00 4,00 8,00

Droite inclinée 0,33 0,50 3,00 12,00

Expérimental (fig. 5.4) 0,45 0,79 3,5 8,9

La connaissance de la forme de la nappe montre un grand intérêt car elle permet d’évaluer lescoefficientsN etP des équations théoriques. Leurs valeurs numériques sont obtenues en intro-duisant l’approximation parabolique obtenue suite à la régression des données de la forme dela nappe (figure 5.4) dans les expressions [5.12] et [5.13] :

[5.39]N= �1

0

dX �X0

�1, 01− 0, 666 X2� dX= 0, 45

[5.40]P= �1

0

�1, 01− 0, 666 X2� dX= 0, 79

Les valeurs expérimentales des coefficientsN etP (tableau 5.1) se comparent aux coefficientsthéoriques. Les valeurs correspondent à celles de l’ellipse quoique la forme de la nappe soitplutôt parabolique. La différence est due au fait que la ligne d’eau n’aboutit pas au drain.


En connaissant les coefficients N et P, les expressions théoriques [5.33] à [5.37] s’écrivent :

[5.41]qi(h) = 3, 5K1Eh2(o, t)+ 7

K2E

δ h(0, t)

[5.42]t1 =18, 9

�

K2

E2

δln�2δ+ h1 K1�K2

2δ+ h0 K1�K2� h0h1

[5.43]E2 = 8, 9K2 δ�

t1

ln ��2δ+h1 K1�K2

2δ+h0 K1�K2

� h0h1

[5.44]h(0, t) = h(0, 0)eαt+ γ (eαt− 1)

= h(0, 0) G(α, γ, t)

α = 8, 9K2�

δE2

γ = 12K1K2

h(0, 0)δ


Il est à remarquer que l’équation [5.41] est très semblable à l’équation [4.32] de Hooghoudt enrégime permanent.

L’expression de l’écartement (équations [5.20] et [5.43]) est identique à celle présentée parVan Schilfgaarde (1965) excepté que le coefficient de cette dernière vaut 9 par rapport à 4/Nqui est 8,9.

Les équation [5.42] et [5.43] peuvent être utilisées lorsque le drain ou le fossé repose sur l’im-perméable en utilisant une valeur de ”δ“ très petite comme 1 mm ou 1 cm.

Les modèles dérivés de l’expression exacte des potentiels sont fondamentalement plus préciset permettent de valider les approches utilisant l’hypothèse de Dupuit--Forchheimer. De plus,l’approche de Guyon manifeste beaucoup d’intérêt à cause de sa simplicité d’utilisation pourle design et sa capacité de décrire toutes les composantes reliées au drainage souterain.

5.5 PROFONDEUR ÉQUIVALENTE DE DRAINAGE

5.5.1 Le concept de profondeur équivalente de drainage.

La plupart des modèles dans les chapitres 4 et 5 considèrent un fossé creusé jusqu’à l’imper-méable et où apparaît une épaisseur d’eau “δ” (sections 4.6, 4.8, 4.9, 5.2 et 5.3) ou “hd” (section4.10). Dans la réalité, les fossés sont rarement creusés jusqu’à l’imperméable et les fossés sontsouvent remplacés par des drains souterrains. Pour aider à solutionner les problèmes réels,Hooghoudt a proposé le concept de la profondeur équivalente de drainage δ’ (figure 5.5), cequi permet d’utiliser les modèles de drainage développés pour les fossés en y remplaçant laprofondeur d’eau dans la fossé par la profondeur équivalente de drainage.

PROFONDEUR ÉQUIVALENTE DE DRAINAGE 97

Édition 2016

Hooghoudt ramène par analogie le cas du drain au cas d’un fossé ouvert de profondeur équiva-lente δ’ provoquant le même débit. La profondeur équivalente “δ’ “ dépend en fait de l’écarte-ment “E”, de la profondeur réelle “Z” de sol perméable sous les drains et, dans une moindremesure, du diamètre des drains. L’évaluation de la profondeur équivalente “δ’ “ deHooghoudtest complexe et sera présentée dans la prochaine section.

Figure 5.5 Notion de la profondeur équivalente de drainage de Hooghoudt.

[≡]

Substratum imperméable

Substratum imperméable

δ’ = profondeur équivalente(Hooghoudt)Z

K1

K2

5.5.2 La profondeur équivalente de drainage de Hooghoudt.

Pour estimer la profondeur équivalente de drainage, Hooghoudt a divisé la résistance à l’écou-lement en trois composantes (figure 5.6) : une résistance verticale, une résistance horizontaleet une résistance radiale près du drain. La somme de ces trois résistances est égale à la résis-tance horizontale d’un fossé équivalent.

Figure 5.6 Résistances de l’écoulement vers un drain.

Résistance horizontaleRésistanceradiale

Résistanceverticale



Après son développement, Hooghoudt a obtenu l’expression suivante pour décrire la profon-deur équivalente de drainage :

[5.46]

1δ�

= 8E

1π ln

Z

2� r− 1

π�∞n=1

ln(n E)2− Z2�2

n E2+ 1

2�∞n=0

ln�n E+ Z� 2� �2

(n E)2+ 4 Z2

+ 12�∞n=1

ln�n E+ Z 2� �2+ 4 Z2

(n E)2+ 4 Z2+�E− Z 2� �2

8 Z E

L’équation précédente est difficile d’utilisation à cause de la présence de sommations de sériesinfinies. Labye (1960) reprit l’équation précédente deHooghoudt pour la présenter sous formetrigonométrique :

[5.47]1δ�

= 8E

1π ln Z

2� r+ 1

π ln

sin�� π Z2� E� cosh 4 π Z

E− cos 2� π Z

E� �π ZE

sinh 2 π ZE

+�E− Z 2� �2

8 Z E

Le premier terme correspond à la résistance radiale, le second correspond à la résistance verti-cale et le dernier correpond à la résistance horizontale. Cette dernière équation peut se traduiresous forme graphique (figure 5.8). Lorsque Z/E<0,25, le terme central de l’équation [5.47]peut être négligé car sa contribution est inférieure à 1 %. Ce terme correspond à la résistanceverticale.

VanBeers (195 ) a développé une équation semblable pour les fossés n’atteignant pas l’imper-méable :

[5.48]δ� = Z

1+ 8 Zπ E ln Zu

u = périmètre mouillé du fossé ou du drain

Pour le drain, celui--ci est considéré à demi plein (u = π r ).

Le calcul de l’écartement des drains nécessite la connaissance de la profondeur équivalente dedrainage qui est fonction de l’écartement des drains. Cette situation ne peut être solutionnéeque par itération mais où il est nécessaire de fixer les conditions de départ. L’utilisation desconditions suivantes lors de la première itération s’est avérée efficace et où la solution estgénéralement trouvée en trois itérations :

δ’ = Z si Z < 1,0 m

δ’ = Z� si Z > 1,0 m

5.5.3 La profondeur équivalente de drainage et le drain réel.

Lors du développement de leurs solutions pour déterminer la profondeur équivalente de drai-nage, Hooghoudt et Van Beers ont considéré un drain qui n’offre aucune résistance à l’entréede l’eau, un drain qui n’a donc pas de parois. Dierickx (1982) a étudié la résistance à l’écoule--

PROFONDEUR ÉQUIVALENTE DE DRAINAGE 99

Édition 2016

ment d’un drain ondulé (figure 5.7) possédant des fentes non continues. Il a déterminé le fac-teur de résistance à l’entrée “ac” :

[5.49]

ac= C

2 π2 (ro+ dr)�ln 2 C

π Bv− C

4 π�+ C

2 π N lpln2 sinh�2 π dr

Bv�

sin2�π Bs2 Bv� − 1

2 πlnro+ drro

ac = facteur de résistance à l’entréeC = distance axiale entre les pertuist = taux de cisaillement (M/L T2 ou F/L2)Bv = largeur des vallées des ondulationsBs = largeur des pertuislp = longueur des pertuisdr = profondeur des ondulations ou distance entre les pertuis et le dia-

mètre extérieur du drain.N = nombre de rangées de pertuisro+ dr = rayon extérieur du drain

Figure 5.7 Caractéristiques des perforations d’un drain ondulé.

Connaissant le facteur de résistance, le rayon équivalent peut être estimé :

[5.50]re = (ro+ dr) e−2 π ac

Pour les drains de polyéthylène de 10 cm de diamètre qui sont couramment utilisés, le rayonéquivalent est d’environ 5,1mm (ou diamètre équivalent de 10,2mm). Ces drains ont une sur-face d’ouverture d’environ 2 % de leur surface de parois et ont diamètre équivalent représen-tant le 1/10 de leur diamètre.

La profondeur équivalente de drainage d’un drain réel peut être estimée en remplaçant dans leséquations de la profondeur équivalente de drainage le rayon du drain par son rayon équivalent.La figure 5.9 présente la profondeur équivalente de drainage de l’équation de Hooghoudt(équation [5.47]) pour un drain ayant un diamètre équivalent de 10,2 mm. Si l’on compare lafigure 5.9 par rapport à la figure 5.8, la profondeur équivalente de drainage est réduite de 5% à30 % avec une moyenne de 10 %.

100

Figure 5.8 Profondeur équivalente de drainage selon l’équation[5.47] pour un drain idéalde 10 cm de diamètre.

101

Édition 2016

Figure 5.9 Profondeur équivalente de drainage selon l’équation[5.47] pour un drain de10 cm de diamètre ayant un diamètre équivalent de 10,2 mm (adapté deCPVQ, 1989).

ÉCARTEMENT (m)

PROFONDEUREQUIVALE

NTE(m

)

102

PROBLÈMES

5.1 Pour une nappe qui a atteint la surface du sol à la fin d’une pluie, calculez sa profondeuren fonction du temps (0, 1, 2, 3, 5, 8 et 10 jours après la pluie) lorsqu’elle se rabat sousl’influence de systèmes de drainage repondant aux différentes combinaisons de profon-deur des drains et du taux de rabattement de la nappe suivants ;

Profondeur des drains: Écartement des drainsa) 1,0 m 1) 30 m

b) 1,2 m 2) 45 m

c) 1,5 m 3) 60 m

Le sol est homogène sur une profondeur de 3m et possède une conductivité hydrauliquede 1,0 m/j et une porosité équivalente de drainage de 0,04.

5.2 Des drains sont installés à une profondeur de 1,1 m avec un écartement de 40 m dans unsol ayant une conductivité hydraulique de 1,0 m/j, une porosité équivalente de drainagede 0,04 sur un profil de 4m de profondeur. À la suite d’une pluie, la nappe est remontée à10 cm de la surface.

a) a) À quelle profondeur sera la nappe après 1 jour, 3 jours et 7 jours?b) b)Quel sera le débitmaximumd’un latéral de 400mau cours de la période de tarisse-

ment sous ces conditions?

5.3 Un sol possède une conductivité hydraulique Ko--l m de 1,0 m/j, K1+ de 0,7 m/j et uneporosité équivalente de drainage de 0,04. Avec le modèle de Guyon en régime variable,calculez l’écartement qui devrait avoir le système de drainage pour un rabattement de 30cm/j lorsque la nappe est à la surface du sol (profondeur des drains 1,0 m) si la profon-deur de sol perméable est de:

a) 4,0 m b) 3,0 m c) 2,0 m d) 1,5 m e) 1,2 m f) 1,0 m

5.4 Pour une nappe à 1,0 m au--dessus des drains, calculez l’influence sur le rabattementthéorique de la nappe (∆h/∆t) de 0,30m/j si l’écartement réel (E) est modifié par rapportà l’écartement théorique (Eo) de la façon suivante:

E = Eo E = 1,5 Eo E = 2,0 Eo E = 0,5 Eo

Les drains sont à une profondeur de 1,0 m et les autres facteurs sont constants.

5.5 Dans une parcelle régulière de 9 ha, un système de drainage est installé avec un écarte-ment de 30m à une profondeurmoyenne de 1,10m. Le sol est homogène et possède uneépaisseur de 3 m.

a) Suite à une forte pluie, la nappe est remontée à une profondeur moyenne de 30 cm.Si le système débite alors 6,5 l/sec, évaluez la conductivité hydraulique moyenne decette parcelle.

b) Si après 18 heures, la profondeur moyenne de la nappe entre ces drains est de 45 cm,quel serait le taux de rabattement de (pour 24 heures) si celle--ci était à la surface dusol?

BIBLIOGRAPHIE 103

Édition 2016

5.6 Dans un sol argileux d’une superficie de 10 hectares et de conductivité hydraulique de0,8 m/j, un système de drainage a été installé avec un écartement de 30 m. À la suited’une forte précipitation, la nappe est remontée près de la surface du sol et s’est rabattuede 28 cm dans les 24 heures qui ont suivi. Le débit du collecteur était de 12,3 l/sec audébut de la période et de 8,2 l/sec après 24 heures. Calculer la porosité équivalente dedrainage approximative de ce sol.

BIBLIOGRAPHIE

Dumm, L.D., 1954. Drain spacing formula. Amer. Soc. Agr. Eng, 35 : 726730.

Guyon, G., 1966. Considérations sur l’hydraulique du drainage des nappes. Bull. Tech. deGénie Rural, No 79. C,T.G,R.E.F., Antony, France.

Guyon,G. 1972. Les formules de l’hydraulique des nappes rabattues par tranchées drainantes.Bulletin technique d’information. Ministère de l’agriculture, France. No 271--172:859--865.

Labye, Y., 1960. Note sur la formule de Hooghoudt. Bull, Tech, de Génie Rural, No 49,C.T.G.R.E.F., Antony, France.

Kraijenhoff Van de Leur, D.A., 1958. A study of non--steady groundwater flow with specialreference to a reservoir--coefficient, De Ingénieur 40 : 87--94.

Maasland, M., 1959. Water table fluctuations induced by intermittent recharge. J. Geophys.Res. 64 : 549--559.

Polubarinova--Kochina, P. YA., 1962. Theory of Ground Water Movement. Princeton Uni-versity Press. pp.281--308

Van Beers 195

Van Schilfgaarde, J., 1963. Design of tile drainage for falling water table. Journal of Irrigationand Drainage Division, Am. Soc. Civ. Eng., Proc. 89 (1R2) : 1--12.

Van Schilfgaarde, J., 1965. Transient design of drainage systems, Journal of Irrigation andDrainage Division, Am. Soc. Civ. Eng., Proc. 91 (1R3): 9--22.

CHAPITRE 6Écoulement en milieu non saturé

6.1 INTRODUCTION

L’écoulement en milieu non saturé est le type d’écoulement le plus fréquemment rencontrédans les couches de sol à la surface du sol, identifiées comme la zone vadoze. Il est donc impor-tant d’y connaître les lois de l’écoulement qui le régisse.

6.2 LOI GÉNÉRALISÉE DE DARCY ENMILIEU NON SATURÉ


En milieu non saturé, la conductivité hydraulique ”K” diminue avec la baisse de la teneur eneau car la section d’écoulement rétrécie et la tortuosité augmente. Ainsi, la conductivitéhydraulique est une fonction de la teneur en eau ”θ” ou de la succion “h”et la loi généralisée deDarcy s’écrit :

[6.1]q(x) = − K(θ)∂φ∂x

[6.2]q(x) = − K(h)∂φ∂x

φ = potentiel total

q(x) = flux

θ = teneur en eau volumique

h = succion ou potentiel de pression

K(θ) = conductivité hydraulique fonction de la teneur en eau

K(h) = conductivité hydraulique fonction de la succion

106 ÉCOULEMENT EN MILIEU NON SATURÉ



L’équation de la continuité s’écrit :

[6.3]∂θ∂t = − � ∂∂x (qx)+ ∂

∂y�qy�+ ∂

∂z(qz)�

[6.4]∂θ∂t = − � ∂∂x�--Kx(θ)

∂φ∂x�+ ∂

∂y�--Ky(θ)∂φ∂y�+ ∂

∂z�--Kz(θ)∂φ∂z��

[6.5]∂θ∂t =

∂∂x�Kx(θ)

∂φ∂x�+ ∂

∂y�Ky(θ)∂φ∂y�+ ∂

∂z�Kz(θ)∂φ∂z�

Cette dernière équation est difficile à solutionner car “θ” et “ϕ” sont deux inconnues. Parcontre, la courbe caractéristique de la teneur en eau est une fonction de la succion “h” :

[6.6]θ = f (h)

La loi des potentiels permet d’écrire :

[6.7]φ = h+ z

z = potentiel gravitationnel

[6.8]∂φ∂z = ∂h

∂z + 1

[6.9]∂φ∂x = ∂h

∂x

[6.10]∂φ∂y = ∂h

∂y

Nous pouvons aussi réécrire :

[6.11]∂h∂x = ∂h

∂θ∂θ∂x

L’équation de la continuité devient alors :

[6.12]∂θ∂t =

∂∂x�Kx(θ)

∂h∂θ

∂θ∂x�+ ∂

∂y�Ky(θ)∂h∂θ

∂θ∂y�+ ∂

∂z�Kz(θ)

∂h∂θ

∂θ∂z + Kz(θ)�

En définissant la diffusivité de l’eau D(θ) :

[6.13]D(θ) = K(θ) ∂h∂θ

L’équation de la continuité s’écrit :

[6.14]∂θ∂t =

∂∂x�D(θ) ∂θ∂x

�+ ∂∂y�D(θ) ∂θ∂y�+ ∂

∂z�D(θ) ∂θ∂z

�+ ∂∂z K(θ)

ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ 107

Édition 2016

Pour un écoulement vertical, l’équation de la continuité est connue sous le nom d’équation deRichard :

[6.15]∂θ∂t =

∂∂z�D(θ) ∂θ∂z

�+ ∂∂z K

(θ)

Le premier terme de l’équation de la continuité peut aussi être réécrit :

[6.16]∂θ∂t =

∂θ∂h

∂h∂t = C(h) ∂h

∂t

C(h) = ∂θ∂h

= capacité de restitution

En utilisant cette dernière équation [6.16] et les équations [6.8], [6.9] et [6.10], l’équation de lacontinuité s’écrit alors :

[6.17]C(h) ∂h∂t =∂∂x�Kx(h)

∂h∂x�+ ∂

∂y�Ky(h)∂h∂y�+ ∂

∂z�Kz(h)

∂h∂z + Kz(h)�

En définissant

[6.18]h = φ− z

L’équation de la continuité peut être réécrite de la façon suivante :

[6.19]C(φ−z)∂φ∂t =

∂∂x�Kx(φ−z)

∂φ∂x�+ ∂

∂y�Ky(φ−z)∂φ∂y�+ ∂

∂z�Kz(φ−z)∂φ∂z�

L’équation [6.14] ne peut être utilisée lorsque la teneur en eau approche la saturation

(θ → SAT) car ∂h∂θ → ∞. L’équation [6.14] est moins non linéaire que les équations [6.17] et

[6.19]. L’équation [6.19] est la forme la plus facile à utiliser avec les éléments finis.

La figure 6.1 présente les différentes formes des coefficients de conductivité hydraulique, dif-fusivité et capacité de restitution utilisés dans les différentes formes de l’équation de la conti-nuité. Elle montre les limites de chacune des formes.


Figure 6.1 Forme des différentes fonctions utilisées dans les équations de la continuité.

Succion

θ

Succion

K

Succion

dhdθ

Succion

dθdh

C(h)

K

θSat

θSat

dhdθ

θSat

dhdθK(θ)D(θ)

CAS D’ÉCOULEMENT NON SATURÉS 109

Édition 2016

6.4 CAS D’ÉCOULEMENT NON SATURÉS

Pour aider à la compréhension desmouvements de l’eau enmilieu non saturé, deux cas tirés dela littérature sont présentés et analysés sommairement.Musy et Soutter (1991) traitent aussi dequelques cas aux pages 95 à 97.

6.4.1 Écoulement au--dessus de la nappe

Zimmer (1988) a étudié le fonctionnement de systèmes de drainage souterrain installés dansun sol agricole. Il a mesuré les profils de pression et de potentiel au moyen de tensiomètresinstallés aux profondeurs de 25, 35, 50, 80 et 110 cm dans la tranchée de drainage, à 50 cm et150 cm de la tranchée de drainage. La figure 6.2 présente les profils types de pression et depotentiel observés lors du rabattement de la nappe en régime de tarissement non influencé(précipitation nulle) alors que la figure 6.3 présente les profils types de pression et de potentielobservés pour un système de drainage en présence de précipitation. Les drains étaient installésà une profondeur d’environ 85 cm. La cote de référence choisie pour les profils étudiés est letensiomètre le plus profond (environ 1,1 m).

En phase de tarissement (figure 6.2), chaque profil de potentiel total peut être découpé en troissegments.

Figure 6.2 Profils types de potentiel et de pression en tarissement non influencé(exemple : 28 mars 1986, 19 h) (adapté de Zimmer, 1988).


Potentiel total

Potentiel gravitaire z

Localisation des tensiomètre

dans la tranchée

0,5 m de la tranchée


.

Surface du sol

D : Drain

FN : Plan de flux nul

Dans le segment inférieur compris entre 0,7menviron et 1,1mde profondeur, chaque profil depotentiel total est quasi--vertical. Ce segment correspond à la zone dans la nappe. La constancedu potentiel total le long de chaque verticale indique l’absence d’écoulements verticaux vers laprofondeur; sa décroissance des tensomètres éloignés de la tranchée (1,5 m) vers ceux de latranchée traduit des écoulements essentiellement horizontaux vers celle--ci et met en évidencela courbure de la surface de la nappe.

Dans le segment intermédiaire, entre une profondeur de 0,35 m et 0,7 m environ, le potentieltotal de l’eau augmente avec la cote, ce qui traduit l’existence d’une composante verticale des-cendante de l’écoulement; la valeur de la composante verticale du gradient de potentiel total


est plus prononcée dans la tranchée. Ce segment semble sous la dominance de deux conditionsaux limites : la condition inférieure est constituée par la limite supérieure de la zone saturée (lanappe) et la condition supérieure est un plan horizontal de flux vertical nul.

Dans le segment supérieur, à proximité de la surface et au--dessus du plan de flux nul, le poten-tiel total de l’eau diminue lorsque la cote augmente, ce qui révèle un écoulement verticalascendant qui lié à l’évapotranspiration.

Les profils types de potentiel observés en phase d’infiltration lors d’une précipitation sontprésentés à la figure 6.3. Leur examen montre que tout le sol est saturé (h > 0) ou presquesaturé (h ≅ 0) et qu’il peut être divisé en deux zones.

Figure 6.3 Profils types de potentiel et de pression au cours du débit de pointe (exemple: 24 mars 1986, 14 h) (adapté de Zimmer, 1988).


Potentiel total

Potentiel gravitaire z

Localisation des tensiomètre

dans la tranchée



.

D : Drain

Surface du sol

Dans la partie inférieure du profil, la pression de l’eau est strictement positive (h> 0). Les pro-fils de potentiel total y restent presque verticaux, ce qui indique une composante verticale nulledu gradient hydraulique et donc des flux essentiellement horizontaux indiqués par unedécroissance des potentiels en s’approchant de la tranchée. La limite supérieure de cette zoneest le niveau de la nappe sensu--stricto.

Dans la partie supérieure du profil, la pression de l’eau est quasi--nulle (h≅ 0); en conséquence,

la composante verticale du gradient hydraulique est unitaire (∂φ∂z � 1) et sa composante hori-

zontale est nulle (∂φ∂x � 0). L’infiltration de la pluie est donc purement gravitaire et le flux estessentiellement vertical dans toute cette zone, y compris dans la couche labourée.

Les schémas de potentiel observés pendant les deux phases de fonctionnement du drainagesont donc comparables. Lors des écoulements en présence de précipitations, il peut être noté latendance à la disparition de la zone caractérisée par des équipotentielles verticales au--dessusde la nappe stricto--sensu; cette tendance est causée par l’infiltration de la pluie.

CAS D’ÉCOULEMENT NON SATURÉS 111

Édition 2016

6.4.2 Infiltration dans un sol sec

Cette section présente le cas de l’écoulement lors de percolation de l’eau dans un sableDior (auSénégal) initialement relativement sec (Biton, 1976). La percolation a été initiée par un arro-sage. La figure 6.4 présente les profils d’humidité mesurés à différents moments après l’arro-sage.Quatre heures après l’arrosage, le frontmouillant est à environ 120 cmde profondeur. Parla suite, le profil du sol se ressuie et l’eau de ressuyage migre en profondeur. L’évolution desprofils d’humidité est plus lente entre le 14 et le 23 juillet (9 jours après l’arrosage) qu’entre le9 et le 14 juillet (5 jours après l’arrosage).

Figure 6.4 Évolutions des profils d’humidité dans sable Dior suite à un arrosage(Biton, 1976).


6.5 CONDUCTIVITÉ HYDRAULIQUE NON SATURÉE


Cette section présente quelques formes identifiées dans la littérature pour décrire la conducti-vité hydraulique non saturée.

Gardner :

[6.20]K(h) = a(b− hm)

Exponentielle inverse :

[6.21]K(h) = Ks e−a h

Brooks et Corey :

[6.22]K(θ) = Ks � θ− θrθs − θr

�3+λ�2

Van Genuchten :

[6.23]K(θ) = � θ− θrθs − θr

�1�21−

1− � θ− θr

θs − θr�1�m

m

2

h = succion ou tension

θ = teneur en eau

θs = teneur en eau à saturation

θr = teneur en eau résiduelle

Ks = conductivité hydraulique saturéea, b, m = constantes

Les valeurs a, b et m sont des constantes empiriques déterminées par lissage des donnéesobservées. “λ” est un paramètre réflétant la porosimétrie du sol. La teneur en eau résiduelle estdéfinie comme la teneur en eau lorsque le potentiel de succion tend vers l’infinie(− h→ −∞).

6.6 ESTIMATION DE K(θ), K(h) ET D(θ)


Une des techniques utilisée pour mesurer in situ la conductivité hydraulique non saturée ou lecoefficient de diffusivité est d’effectuer le suivie de l’évolution des tensions et des teneurs eneau dans le sol d’intérêt suite à une application d’eau sur le sol sec. Le processus de ressuyagepermet d’observer une gamme de tensions et de teneur en eau. Le sol est recouvert d’un plasti-que pour empêcher toute évaporation et définir une condition de flux nul à la surface du sol.

CONDUCTIVITÉ HYDRAULIQUE NON SATURÉE 113

Édition 2016

L’évolution des tensions et des teneurs en eau est représentée schématiquement par lafigure 6.5. À chaque pas de temps, le potentiel et la teneur en eau sont mesurés à chaque pro-fondeur qui correspond à une couche de sol d’épaisseur “∆z”.

Figure 6.5 Schéma de mesure des teneurs en eau et des potentiels dans le temps et enprofondeur.

q(t j, zi)

q(t j, zi+1)

z i

z i+1

θ(tj+1, zi)

tj+1tjtj−1

φ(tj, z i+1)

θ(tj+1, zi+1)

θ(tj, z i)

θ(tj, z i+1)

φ(tj, z i)

φ(tj+1, z i+1)

φ(tj+1, z i)

q(t j+1, zi+1)

q(t j+1, zi)

tj+2

∆z

∆z

z

Le bilan d’eau sur un élément permet d’estimer le flux d’eau. Le flux moyen à la sortie “qs” dela couche ”zi” pendant la période de ”tj” à ”tj+1” correspond au flux entrant “qe” dans la couche”zi+1” et il s’écrit :

[6.24]qe(tj → tj+1, zi+1) = qs(tj → tj+1, zi) =12�qs(tj, zi)+ qs(tj+1, zi)�

Le flux sortant d’une couche est éagal au flux entrant dans la couche moins les variations deteneur en eau (pertes ou gains d’humidité) :

[6.25]qs(tj → tj+1, zi) = qe(tj → tj+1, zi)− �∆θ(zi)∆t�tj→tj+1

∆z

Le flux sortant peut aussi s’exprimer selon la loi de Darcy :

[6.26]qs(tj → tj+1, zi) = K(θ) �∆φ∆z�zi+∆z�2, tj→tj+1

[6.27]qs(tj → tj+1, zi) = K(h) �∆φ∆z�zi+∆z�2, tj→tj+1

Les conductivité hydrauliques non saturées K(θ) et K(h) peuvent alors être estimées :

[6.28]K(θ) = K(h) =

�qe(tj → tj+1, zi)− �∆θ(zi)∆t�tj→tj+1

∆z��∆φ∆z�zi+∆z�2, tj→tj+1


En terme de variables discrètes, chacun des termes est estimé de la façon suivante :

[6.29]�∆θ(zi)∆t�tj→tj+1

=θ(tj+1, zi)− θ(tj, zi)

�tj+1 − tj�

[6.30]

�∆φ∆z�zi+∆z�2, tj→tj+1

= 12

�φ(tj, zi+1)+ φ(tj+1, zi+1)�− �φ(tj, zi)+ φ(tj+1, zi)�zi+1 − zi

Comme le flux se situe à la limite de deux couches, la teneur en eau moyenne et la succionmoyenne à la limite des deux couches est estimée, en supposant une variation linéaire, commela moyenne des deux couches :

[6.31]

θ = θ(tj → tj+1, zi + ∆z�2) = 14�θ(tj, zi)+ θ(tj+1, zi)+ θ(tj, zj+1)+ θ(tj+1, zi+1)�

[6.32]

h = h(tj → tj+1, zi + ∆z�2) = 14�h(tj, zi)+ h(tj+1, zi)+ h(tj, zj+1)+ h(tj+1, zi+1)�

[6.33]h = φ− z

BIBLIOGRAPHIE

Lesaffre, B. 1989. Fonctionnement hydologique et hydraulique du drainage souterrain dessols temporairement engorgés. Étude du CEMAGREF, Série Hydraulique agricole, 4,1--334.


Tyano, B., 1976. Hydrodynamique en sol sableux--Dior: étude expérimentale et étude analyti-que par la méthode des éléments finis. Thèse de maitrise es sciences, Université Laval.

Zimmer, D. 1988. Transferts hydriques en sol drainé par tuyaux enterés. Compréhension desdébits pointe et essais de typologie des schémas d’écoulement. Thèse Univesité ParisVI, 327 p.

PROBLÈMES 115

Édition 2016

PROBLÈMES

6.1 Une expérience de drainage interne a été réalisée à Bambey (Sénégal) pour évaluer lespropriétés hydrodynamique du sol sableux DIOR (Tyano, B., 1976. Hydrodynamiqueen sol sableux--Dior: étude expérimentale et étude analytique par la méthode des élé-ments finis. Thèse demaîtrise es sciences, UniversitéLaval.). L’expérience a été réaliséesur un périmètre de 200 cmx300 cmoù des tensiomètres et un tube d’accès de 360 cmdelong en PVC (pour sonde à neutron) ont été installés comme décrit à la figure 6.6.

Figure 6.6 Schéma de localisation des tensiomètres et du tube d’accès pour la sonde àneutrons (Byton, 1976).

Les tensiomètres No 1 et 2 munis de manomètres à mercure ont leurs bougies poreusesen céramiques installées à 10, 20, 30, 40 et 50 cm sous la surface du sol. Le tensiomètre


No 3 a ses cinq bougies installées respectivement à 30, 60, 90, 120 et 150 cm sous lasurface du sol. Les sondes à neutrons utilisées ont été préalablement calibrées. Lesteneurs en eau sont évaluées en prenant des lectures de la sonde à neutrons dans le tubed’accès à tous les dix (10) cm à partir de 10 cm de la surface du sol. La sonde à neutronsévalue la teneur en eau du volume d’une sphère variant de 20 à 30 cm de diamètre.

L’expérience de drainage interne a débuté le 8 juillet par l’irrigation du périmètre de11h30 à 14h15. Par la suite, le périmètre a été recouvert d’un polyéthylène pour empê-cher l’évaporation et l’infiltration des pluies. Des mesures simultanées des tensions parles tensiomètres et des teneurs en eau par la sonde à neutrons ont été prises à partir dudébut de l’irrigation jusqu’au 23 juillet.

Le tableau 6.1 présente les mesures des tensions prises aux profondeurs de 10 à 150 cmdu 8 juillet 16h11 au 23 juillet. Le tableau 6.2 présente les mesures des teneurs en eau(base volumique) pour les mêmes dates. Le polyéyhylène n’a pas réussi à empêchercomplètement l’infiltration lors des pluies importantes (10 mm et plus).

a) Tracez les profils d’humidité initial, 1 heure, 3 heures, 6 heures, 21 heures, 2 jours,5 jours, 10 jours et 15 jours après le début de l’arrosage.

b) Tracez les profils de tension 1 heure, 3 heures, 6 heures, 21 heures, 2 jours, 5 jours,10 jours et 15 jours après le début de l’arrosage.

c) Tracez les profils de potentiel 1 heure, 3 heures, 6 heures, 21 heures, 2 jours, 5 jours,10 jours et 15 jours après le début de l’arrosage.

Avec les données et pour les horizons 0 -- 30 cm, 30 -- 60 cm, 60 -- 150 cm

d) Tracez la courbe teneur en eau -- succion θ(h),e) Évaluez et tracez la courbe de la conductivité hydraulique en fonction de la succion

-- K(h),f) Tracez la courbe de conductivité hydraulique en fonction de la teneur en eau -- K(θ),g) Évaluez et tracez la courbe de la diffusivité en fonction de la teneur en eau -- D(θ).

PROBLÈMES 117

Édition 2016

Tableau 6.1 Tensions mesurées en cm d’eau.

Date 8/7 8/7 8/7 8/7 8/7 8/7 8/7 9/7 9/7 10/7 11/7 12/7Heure 12h32 13h45 14h37 15h25 16h11 16h56 18h00 8h40 15h50 8h15 8h00 8h00

Profon-deur

TensioNo

10 1 6 0 0 2 43 50 54 64 65 72 76 822 0 0 0 0 39 47 48 60 60 67 72 74

20 1 7 2 0 4 37 43 46 57 58 66 70 742 0 0 0 0 31 39 42 52 53 60 64 68

30 1 124 6 5 7 28 35 38 48 50 56 62 652 0 0 0 0 24 30 32 42 42 49 54 603 0 0 0 0 20 27 31 46 48 55 60 65

40 1 364 9 9 10 28 34 35 46 46 52 57 622 230 8 4 11 28 34 37 45 45 50 54 56

50 1 334 12 13 18 32 39 42 52 53 56 60 642 293 10 10 12 22 27 29 35 37 42 45 50

60 3 230 98 17 16 22 29 33 44 45 47 52 5590 3 148 148 148 148 148 148 148 152 24 54 63 35120 3 192 192 192 192 192 131 48 52 55 60 66 70150 3 227 227 227 218 246 215 220 35 32 36 42 64

Date 13/7 14/7 15/7 16/7 17/7 18/7 19/7 20/7 21/7 22/7 23/7Heure 8h30 8h20 10h45 8h30 8h30 9h30 8h30 8h45 8h45 8h20 8h25Profon-deur

TensioNo

10 1 84 86 66 82 88 92 94 95 96 100 1012 76 78 74 76 82 84 86 88 89 92 92

20 1 77 80 70 76 82 84 85 88 88 90 902 71 74 72 72 76 79 81 82 84 86 87

30 1 68 71 68 69 74 76 77 80 80 82 832 62 66 66 65 68 70 73 74 76 77 783 66 70 67 66 72 74 75 78 80 82 83

40 1 64 67 68 67 70 72 73 76 76 78 802 60 63 65 64 66 68 70 71 73 74 75

50 1 65 68 69 70 71 72 73 75 76 78 782 52 55 58 58 60 61 63 65 67 68 69

60 3 56 60 60 61 62 63 64 65 67 68 6890 3 42 49 52 55 54 50 48 48 46 44 40120 3 72 74 76 77 80 81 82 83 83 84 84150 3 68 72 74 76 79 80 82 84 84 86 87


Tableau 6.2 Teneur en eau volumiques mesurées.

Date 8/7 8/7 8/7 8/7 8/7 8/7 8/7 8/7 9/7 9/7 10/7 11/7 12/7Heure 11h30 12h32 13h45 14h37 15h25 16h11 16h56 18h00 8h40 15h50 8h15 8h00 8h00Pluie 14,5 2,0

Profon-deur10 6,5 34,1 36,1 33,1 31,6 34,1 32,0 31,6 23,1 20,3 18,1 14,8 14,220 4,0 31,2 32,4 29,8 29,0 30,2 29,0 28,9 23,0 21,6 19,7 17,4 16,630 1,4 28,4 28,6 26,4 26,4 26,4 26,1 26,1 22,8 22,8 21,4 20,1 19,040 2,7 18,1 26,9 26,1 26,1 26,1 26,1 26,1 24,2 24,2 23,6 22,8 22,350 3,0 7,1 26,9 27,2 26,9 26,9 26,1 26,4 24,7 24,7 23,6 22,5 22,360 3,3 4,7 20,6 24,7 26,4 26,4 25,1 24,8 22,0 21,7 20,6 20,6 20,370 3,3 8,5 22,2 25,6 25,6 23,7 22,9 19,6 18,4 17,9 17,3 16,580 3,5 5,5 7,4 23,9 24,7 23,7 22,9 17,9 17,9 17,1 16,2 16,290 3,5 4,7 5,5 12,3 25,3 24,7 23,6 18,7 18,4 17,9 16,4 16,2100 4,4 4,7 11,5 21,2 21,9 23,1 18,9 18,7 17,9 17,3 16,4110 8,2 12,9 15,1 20,4 18,9 18,4 17,9 17,3 16,4120 4.4 7,3 7,3 7,3 12,3 18,4 17,6 17,1 15,9 16,7130 5,2 5,2 5,2 7,1 17,6 17,3 16,7 15,1 15,6140 5,2 5,2 5,2 17,1 16,7 16,7 15,6 15,6150 5,0 5,2 5,2 5,2 14,6 16,5 16,7 16,2 15,6160 5,2 5,2 5,2 5,2 9,6 14,0 16,5 15,9 15,9

Date 13/7 14/7 15/7 16/7 17/7 18/7 19/7 20/7 21/7 22/7 23/7Heure 8h30 8h30 10h45 8h30 8h30 9h30 8h30 8h45 8h45 8h20 8h25Pluie 0,8 13,5 1,0 6,7 14,8

Profon-deur10 13,7 14,0 18,7 15,3 14,0 13,0 12,3 12,5 12,8 12,3 10,220 16,2 16,4 19,1 16,8 14,9 15,5 14,3 14,3 14,1 14,6 12,030 18,7 18,8 19,5 18,4 15,9 17,9 16,3 16,1 15,3 16,8 13,840 21,2 20,6 20,9 21,4 20,6 18,7 19,0 18,6 18,4 18,0 17,650 21,7 21,2 20,9 20,6 20,9 17,4 18,4 18,2 17,5 16,4 17,660 19,5 17,8 17,6 18,4 16,5 14,5 15,2 14,7 15,3 14,0 15,470 15,9 14,8 14,8 14,8 14,8 12,8 13,6 13,2 13,2 12,8 13,180 15,6 15,1 14,6 14,6 14,8 13,3 13,2 13,1 12,8 13,2 12,290 15,9 15,9 15,6 15,6 14,8 13,6 13,5 13,5 13,5 13,5 13,2100 16,2 15,9 15,6 15,1 14,6 13,9 13,8 13,5 13,7 13,6 13,6110 16,2 15,6 15,6 14,6 14,6 13,1 13,2 13,2 13,5 13,1 13,6120 15,9 15,1 15,1 14,8 14,0 12,5 13,2 13,0 13,2 12,2 12,8130 15,1 14,3 14,3 13,8 13,4 12,2 12,7 12,2 12,1 11,7 11,9140 15,1 14,6 14,3 13,8 13,8 13,0 12,9 12,4 12,6 12,6 12,0150 15,4 14,6 14,6 14,6 14,0 13,3 13,6 12,9 13,1 12,8 12,8160 15,6 14,6 14,6 14,6 15,1 13,0 13,6 13,5 12,8 12,7 12,8

CHAPITRE 7Modèles macroscopiques ou de bilan

7.1 INTRODUCTION

De façon simplifiée, les modèles sont comme des boîtes noires contenant des fonctions detransfert réagissant à des variables d’entrée pour produire un résultat (variables de sorties).

Fonction de transfertVariables d’entrée Variables de sortie

Les modèles sont une représentation simplifiée de la réalité. Des hypothèses simplificatricesdoivent être posées pour aider à représenter une réalité complexe. Pour être acceptables, leserreurs causées par la simplification de la réalité doivent être inférieure à la précision du phé-nomène que l’on veut estimer.

7.2 MODÈLES DE BILAN MACROSCOPIQUE

Lesmodèles de typemacroscopique essaient de décrire les systèmes en terme de bilan des phé-nomènes dans des réservoirs. Les principaux modèles que nous devons utiliser peuvent êtrereprésentés par des modèles macroscopiques. L’évolution du niveau d’eau dans un réservoir,dans un barrage ou dans un lac est le cas le plus typique où unmodèlemacroscopique peut êtreutilisé pour simuler la réalité. La production d’une forêt, la production d’un réacteur chimique,et les besoins en eau d’irrigation sont d’autres exemples.

120 MODÈLES MACROSCOPIQUES OU DE BILAN

Les modèles de bilan macroscopique sont basés sur l’équation de la continuité:

[7.1]Stocki = Stocki−1 +�∆Stockphenomene

[7.2]∆Stock = Debitphenomene ∆T

∆Stock = Variation du stockage

∆T = Pas de temps

Le stockage peut être assimilé au niveau d’eau dans un réservoir, niveau que les débits entrantset sortants dus aux différents phénomènes font varier. Les équations décrivant les débits peu-vent être de nature physique, déterministe, statistique, stochastique ou un mélange et le choixdépendra des objectifs du modèle et des hypothèses posées.

L’approche de bilan macroscopique permet de réduire un problème complexe en un modèlesimple à comprendre.

La construction d’un modèle doit être précédée par une analyse du problème dont les étapessont:

1. l’identification des variables de sorties désirées,

2. l’identification des phénomènes qui doivent être modélisés,

3. l’identification des hypothèses qui doivent être posées,

4. l’identification des variables nécessaires à l’alimentation du modèle et vérificationde la disponibilité des données pouvant décrire ces variables, et

5. l’identification du pas de temps de la simulation.

La création d’un modèle de bilan procède de la façon suivante:

1. définition d’une représentation conceptuelle du système à être décrit en terme deréservoirs indépendants et/ou interconnectés,

2. identification des variables de système pouvant décrire les réservoirs,

3. identification de toutes les équations pouvant décrire les entrées et les sorties desréservoirs,

4. identification de équations pouvant décrire les phénomènes internes aux réser-voirs,

5. identification de tous les cas limites et des contraintes et leurs répercussions surles équations,

6. transformation des équations décrivant les phénomènes (les entrées, les sorties etles transformations internes) en terme de variables de système,

7. transformation des équations décrivant les phénomènes (les entrées, les sorties etles transformations internes) en terme de modification des variables de systèmeavec leurs contraintes,

8. introduction de ces équations dans les différentes équations de la continuité, et

9. transformation des variables de systèmes d’intérêt en variables de sorties.

INTRODUCTION 121

Édition 2016

7.3 ANALYSE DU PROBLÈME

Pour illustrer la méthodologie, nous allons prendre un problème de réservoir relativementcomplexe tel que présenté à la figure 7.1.. Nous avons un réservoir de 5mde diamètre (superfi-

Précipitations

TOIT

RÉSERVOIR

P

ABREUVOIR

FOSSÉ

Figure 7.1 Système de captage des précipitations.

DÉVERSOIR

cie de 19,6m2) et de 3mde profondeur qui collecte les eaux de pluie d’un toit de 120m2. L’eaude ce réservoir est utilisée pour faire fonctionner une salle de bain (2 toilettes et deux éviers) etalimente par gravité un abreuvoir pour animaux. Le réservoir est munie en son sommet d’undéversoir rectangulaire de 50 cm de largeur et 20 cm de hauteur qui contrôle le trop plein et quise déverse dans un fossé. Le réservoir est exposé au soleil et subit l’évaporation.

7.3.1 Identification des variables de sorties désirées

Les variables de sortie désirées dans ce cas--ci peuvent être le niveau d’eau dans le réservoir parrapport au bord supérieur, le nombre de jours où le système ne peut fournir la salle de bain oul’alimentation des animaux, ou le volume d’eau que le système ne peut fournir. Pour cetteapplication, nous nous limiterons au niveau d’eau par rapport au haut du réservoir et aunombrede jours où les besoins de la salle de bain ne sont pas comblés.

7.3.2 Identification des phénomènes qui doivent être modélisés

Les phénomènes àmodéliser sont l’apport des précipitations, l’alimentation de la salle de bain,l’alimentation des animaux, l’évaporation et l’opération du déversoir.

L’apport des précipitation provient de la collecte des précipitations par le toit et la surface duréservoir. La connaissance des précipitations est nécessaire.

L’alimentation de la salle de bain est fournie par pompage et peut être estimée sur une base dunombre de personne--heures fréquentant le site.


L’alimentation des animaux est effectuée par gravité dans un abreuvoir de type réservoir. Unrobinet est ouvert en continu et y laisse couler l’eau dans l’abreuvoir. L’alimentation peut aussiêtre contrôlée par une valve à flotteur. Dans le premier cas, la consommation est basée sur ledébit que peut fournir le tuyau (pertes de charge, diamètre du tuyau et type de tuyau) maislimité par l’ouverture du robinet. Dans le second cas, la consommation peut être basée sur lenombre d’animaux et leur consommation individuelle.

L’évaporation peut être fournie par le service météorologique ou être estimée en fonction desconditions météorologiques (température). La formule de Blaney--Criddle peut être utilisée.Elle nécessite la connaissance de la température.

Le déversoir rectangulaire laisse s’échapper le surplus d’eau au--dessus de son seuil. Les équa-tions prédisant le débit des déversoirs peuvent être utilisées comme le concept de trop plein.

7.3.3 Identification des hypothèses qui doivent être posées

Les principales hypothèses sont :

-- toute l’eau de précipitation est recueillie par le toit (pas de pertes),

-- 100 personnes--heures visitent le site à chaque jour sur semaine et 200 les fins de semaineet les jours fériés,

-- chaque 3 personnes--heures qui visitent le site font une visite à la salle de bain (une chassede 10 litres + 0,5 litre de lavage),

-- le troupeau est composé de 10 chèvres et chaque chèvre peut consommer en moyenne 20litres d’eau par jours; lorsque les animaux sont alimentés en continu, le robinet estajusté pour laisser couler 12 litres/heure,

-- le site opère du 1er mai au 30 septembre,

-- le réservoir est étanche et,

-- le réservoir est plein lorsque le site ouvre le 1er mai.

7.3.4 Identification des variables nécessaires et disponibilité des données

Dans cet exemple, les données de précipitation et de température sont nécessaires. Les don-nées d’une station météorologique proche doivent être disponibles.

7.3.5 Identification du pas de temps de la simulation.

Le pas de temps doit être raisonnable; il ne doit pas être trop court car cela amène des calculsinutiles ni trop long car cela biaise les résultats. Le principal critère pour le choix d’un pas detemps est que les phénomènes doivent être relativement constant au cours du pas de temps. Ladisponibilité des données est souvent un facteur limitant dans le choix d’un pas de temps.

Pour cet exemple, un pas de temps journalier est acceptable. Les données météorologiquessont disponibles sur une base journalière.

INTRODUCTION 123

Édition 2016

7.4 CRÉATION DUMODÈLE

Maintenant, la construction du modèle peut débuter.

7.4.1 Définition d’une représentation conceptuelle du système

La première étape consiste à définir conceptuellement notre système en terme de réservoirsindépendants et/ou interconnectés. C’est l’étape principale. Dans ce cas--ci, la représentationconceptuelle est simple comme le montre la figure 7.2.

Figure 7.2 Représentation conceptuelle du système en terme de réservoir.

Qp

Pte

Evapo

HaHp

H

DÉVERSOIRHd

Pro

Qd

Qa

7.4.2 Identification des variables de système pouvant décrire les réservoirs

La variable qui réagit à tous les phénomènes est la hauteur d’eau (H) dans le réservoir. Elle estinfluencée par le pompage (∆Hp), l’alimentation des animaux (∆Ha), l’apport par les précipi-tations (∆Hpte), l’évaporation (∆Hevapo) et le déversoir (∆Hd). C’est la variable du systèmedans ce cas--ci.

[7.3]Hi = Hi−1 +�∆Hphenomene

[7.4]Hi = Hi−1 + ∆Hpte− ∆Hp− ∆Ha− ∆Hevapo− ∆Hd


7.4.3 Identification des équations pouvant décrire les entrées et les sorties

Les équations décrivant les phénomènes de pompage, d’alimentation des animaux, d’apportpar les précipitations, d’évaporation et de fonctionnement du déversoir doivent être identi-fiées.

L’apport des précipitations est :

[7.5]Vpte = Pte (Stoit+ Sres)

Vpte = Volume de précipitation journalier (l)

Pte = précipitation journalière (mm)

Stoit = Superficie du toit (m2)

Sres = Superficie du réservoir (m2)

L’alimentation de la salle de bain est fournie par pompage et peut être estimée :

[7.6]Vp = Nb f (Vtoil+ Vevier)

Vp = Volume de pompage par jour (l)

Nb = Nombre de personne--heures fréquentant le site

f = fréquence d’usage de la salle de bain par une personne--heure

Vtoil = Volume d’eau utilisé lors de la chasse d’une toilette (l)

Vevier = Volume d’eau utilisé pour le lavage des mains (l)

Si les animaux sont alimentées en continu, il est nécessaire d’estimer le débit du robinet. Celaest possible en utilisant les formules de pertes de charges dans les tuyaux ou en mesurant ledébit. Pour les fins de l’exemple, considérons que ce débit (Qa) est de 12 litres par heure.Ainsi,le volume journalier (Va) d’eau nécessaire est :

[7.7]Va = Qa Ta = 24 Qa ∆T

Va = volume journalier pour l’alimentation des animaux (l)

Qa = débit du robinet (l/h)

Ta = temps d’ouverture du robinet (h)

∆Τ = pas de temps (jour)

Comme le robinet est ouvert en continu, le temps d’ouverture correspond au pas de temps (∆T)de la simulation.

Si les animaux sont alimentés à volonté (abreuvoir contrôlé par une valve avec un flotteur), laconsommation est estimée en connaissant le nombre d’animaux et leur consommation indivi-duelle :

[7.8]Va = Na Ca

Na = nombre d’animaux

Ca = Consommation journalière d’un animal (l)

INTRODUCTION 125

Édition 2016

Le débit d’un déversoir rectangulaire (Qd) peut être estimé :

[7.9]Qd = Constante B hd32

Qd = débit du déversoir (l/s)

B = largeur du déversoir rectangulaire (cm)

hd = hauteur d’eau au--dessus du seuil du déversoir (cm)

Compte tenu de la grandeur du débit que peut évacuer le déversoir et la variation rapide duniveau d’eau qu’il entraîne, le débit ne peut être considéré constant pendant le pas de temps dela simulation à moins de diminuer considérablement ce pas de temps. Par contre, comme ledéversoir évacue en quelques heures le surplus (la hauteur d’eau au--dessus du seuil), le déver-soir peut être considéré comme un trop plein, c’est--à--dire qu’il évacue quasi instantanémentle surplus (Vd) :

[7.10]Vd = Hi − �Pro− Hd) si, Hi > Pro− Hd

Hi = hauteur d’eau dans le réservoir (cm)

Pro = profondeur du réservoir (cm)

Hd = hauteur du déservoir (cm)

7.4.4 Identification de équations pouvant décrire les phénomènes internesaux réservoirs

L’évaporation peut être assimilée à un phénomène interne ou externe au réservoir. Au fin de cetexemple, nous l’assimilons à un phénomène interne. La formule de Blaney--Criddle est la for-mule la plus simple pour estimer l’évaporation (elle est présentée au chapitre 9) :

[7.11]Evapo = P118

�95

T+ 32�Evapo = évaporation journalière (mm/j)

P = pourcentage mensuel d’heures de clarté (%)

T = température moyenne de l’air (�C)

Pour notre latitude (47�), les valeurs de (P) sont respectivement 10,12, 10,62, 10,37, 9,52 et8,43 pour les mois de mai, juin, juillet, août et septembre.

7.4.5 Identification de tous les cas limites et des contraintes et leurs réper-cussions sur les équations

Le niveau d’eau dans le réservoir ne peut être plus bas que le fond du réservoir et ne peut dépas-ser que temporairement le seuil du déversoir qui agit comme trop plein :

[7.12]0 < H ≤ Pro− Hd


La pompe ne peut pomper lorsque le niveau d’eau est inférieur au niveau de la prise d’eau de lapompe. L’équation 7.6 s’écrit alors :

[7.13]Vp = Nb f (Vtoil+ Vevier)

Vp = 0 si, Hi−1 ≤ Hp

si, Hi−1 > Hp

Comme le niveau d’eau n’est pas connu au moment des calculs, le niveau d’eau du pas précé-dent est utilisé pour la vérification.

Les animaux ne sont plus alimentés lorsque le niveau d’eau devient inférieur au niveau de laprise d’eau d’alimentation des animaux. Les équation 7.7 et 7.8 s’écrivent alors :

[7.14]Va = 24 Qa ∆T

Va = 0 si, Hi−1 ≤ Ha

si, Hi−1 > Ha

[7.15]Va = Na Ca

Va = 0 si, Hi−1 ≤ Ha

si, Hi−1 > Ha

7.4.6 Transformation des équations décrivant les phénomènes en terme devariables de système

Chaque équation décrivant un phénomène doit être transformée en terme de modification(variation) des variables de système. Comme la variable de système est la hauteur d’eau (H)dans le réservoir, sa variation est noté (∆H) ; la hauteur d’eau (H) et sa variation (∆H) sontdéfinis en centimètres dans notre exemple. Une précipitation (éq. 7.5) amène une augmenta-tion de la hauteur d’eau (∆Hpte) dans le réservoir :

[7.16]∆Hpte =Vpte

10 Sres= Pte

10�StoitSres

+ 1�

Le pompage (éq. 7.6) amène une diminution de la hauteur d’eau dans le réservoir :

[7.17]∆Hp = −Vp

10 Sres= −

Nb f

10 Sres(Vtoil+ Vevier)

L’alimentation des animaux (éq. 7.7 et 7.8) amène une diminution de la hauteur d’eau dans leréservoir :

[7.18]∆Ha = − Va10 Sres

= −Qa Ta

10 Sres= −

24 Qa

10 Sres∆T

[7.19]∆Ha = − Va10 Sres

= −Na Ca

10 Sres

L’évaporation amène une diminution de la hauteur d’eau dans le réservoir :

[7.20]∆Hevapo = − Evapo = − 110

P118

�95

T+ 32� ∆T

INTRODUCTION 127

Édition 2016

7.4.7 Transformation des équations décrivant les phénomènes en terme demodification des variables de systèmes avec leurs contraintes

En reprenant les contraintes exprimées à la section 7.4.5, les équations 7.17, 7.18 et 7.19 s’écri-vent :

[7.21]∆Hp = −Nb f

10 Sres(Vtoil+ Vevier)

∆Hp = 0 si, Hi−1 ≤ Hp

si, Hi−1 > Hp

[7.22]∆Ha = −24 Qa

10 Sres∆T

∆Ha = 0 si, Hi−1 ≤ Ha

si, Hi−1 > Ha

[7.23]∆Ha = −Na Ca

10 Sres

∆Ha = 0 si, Hi−1 ≤ Ha

si, Hi−1 > Ha

Le trop plein ne peut être calculé directement car il exprime un surplus de l’ensemble desautres phénomènes. Il sera calculé à la section suivante.

7.4.8 Introduction de ces équations dans les équations de la continuité

Les équations décrivant l’apport des précipitations (éq. 7.16), l’alimentation de la salle de bain(éq. 7.21), l’alimentation des animaux (éq. 7.22 et 7.23), l’évaporation (éq. 7.20) peuventmaintenant être introduites dans l’équation de la continuité qui s’exprime dans le cas présent :

[7.24]Hi = Hi−1 + ∆Hpte− ∆Hp− ∆Ha− ∆Hevapo

Comme la variable de système (la hauteur d’eau dans le réservoir) est soumise à des contrain-tes (éq. 7.12), une variable intermédiaire (H’) peut être introduite pour faciliter les calculs :

[7.25]Hi = Hi−1 + ∆Hpte− ∆Hp− ∆Ha− ∆Hevapo

La hauteur d’eau (H’) est déterminée en vérifiant les contraintes :

[7.26]Hi = 0 si, Hi < 0

Hi = Pro− Hd si, Hi > Pro− Hd

Hi = Hi

si, 0 ≤ Hi ≤ Pro− Hd

et le trop plein peut être calculé :

[7.27]∆Hd = Hi− (Pro− Hd) si, Hi

> Pro− Hd


7.4.9 Transformation des variables de système en variables de sorties

Dans cet exemple--ci, les variables de sortie désirées sont le niveau d’eau par rapport au haut duréservoir et le nombre de jours où les besoins de la salle de bain ne sont pas comblés. Le niveaud’eau par rapport au haut du réservoir (h) est :

[7.28]hi = Prof− Hi

Le nombre de jours où les besoins de la salle de bain ne sont pas comblés (JP) se calcule encumulant les jours où Hi > Hp . Dans ce cas--ci, JP est une variable dérivée.

[7.29]JPi = JPi−1 + 1 si, Hi < Hp

JPi = JPi−1 si, Hi ≥ Hp

PROBLÈMES

7.1 Pour une pelouse constituée d’un sol sablonneux et sans nappe près de la surface dusol, établissez le modèle de bilan hydrique pour déterminer les besoins d’arrosage.Le sol possède une capacité au champ de 0,30 et un point de flétrissement de 0,15. Laprofondeur des racines est de 15 cm. Les données météo sont les suivantes :

Date Précipitation Évapotranspirationréelle

(mm) (mm)

1 6

2 2 5

3 10 4

4 6

5 30 4

6 6

7 7

8 7

9 7

10 5 5

Vous devez présenter vos hypothèses, les équations de votre modèle et vos résultats.

Ce genre de modèle est utilisé pour déterminer les besoins en arrosage des pelouses.

7.2 Programmez sous forme de feuille de calcul EXCEL (ou autre chiffrier) le modèledéveloppé dans ce chapitre. Pour le tester, vous pouvez utiliser les donnéesmétéo dis-ponibles sur le site WEB du cours.

CHAPITRE 8Infiltration

8.1 INTRODUCTION

L’infiltration est le phénomène de passage de l’eau de la surface du sol à l’intérieur de celui--ci.L’infiltration revêt une grande importance car c’est elle qui contrôle plusieurs processus enhydrologie comme le ruissellement, l’humidification des sols et la percolation profonde. Lesprincipales références sont :

Référence : Musy et Soutter, 1991. pp. 215--225.

Référence : Gray, 1972. pp. 5.1--5.17

8.2 INFILTRATION ET DÉFINITIONS

Il est important de définir les principaux termes utilisés :

Taux d’infiltration (f) : quantité d’eau qui s’infiltre dans le sol par unité de temps(mm/h).

Masse infiltrée -- Infiltration (F) : quantité totale d’eau infiltrée dans le sol pour unepériode de temps donnée (mm).

[8.1]F = �t

0

f dt

Capacité d’infiltration (fmax) : taux maximum d’infiltration que permet un sol donné(mm/h).

Le taux d’infiltration est en réalité le flux d’eau entrant à la surface du sol.

130 INFILTRATION

8.3 PROCESSUS D’INFILTRATION

Le processus d’infiltration peut être décrit par les figures 8.1. Lors d’une précipitation, la pluies’infiltre dans le sol tant que l’intensité de précipitation est inférieure à la capacité d’infiltra-tion. Lorsque l’intensité de précipitation dépasse la capacité d’infiltration, le surplus s’accu-mule dans les micro--dépressions du sol. Lorsque ces dernières sont pleines, elles débordentpour créer une lame d’eau qui commence à s’écouler à la surface du sol, ce qui est le ruisselle-ment. Le ruissellement est en réalité contrôlé par le processus d’infiltration.

Figure 8.1 Processus d’infiltration.

PRÉCIPITATION

INFILTRATION

ACCUMULATION

RUISSELLEMENT

OUI NON

Microdépressionspleines

OUI NONf= Pte � ∆t

∆S= 0

R= 0 f= fmax

∆S= 0

R= Pte− fmax ∆t

f= fmax

R= 0

∆S= ∆Si+ Pte− fmax ∆t

Pte � ∆t< fmax

f = taux d’infiltration fmax = capacité d’infiltration R = RuissellementPte = Précipitation ∆S = Variation de stockage ∆t = Pas de temps

a) Processus impliqués

b) Organigramme de cheminement

Le processus d’infiltration est contrôlé par :

1. les phénomènes contrôlant l’entrée de l’eau à la surface du sols (battance, pré-sence de végétation, etc.),

2. l’écoulement de l’eau vers le bas au travers du profil du sol (écoulement selon laloi de Darcy), écoulement aussi appelé percolation,

3. l’écoulement par les fissures du sol ou écoulement préférentiel.

La gravité et la capillarité sont les deux principales forces qui influencent le processus d’infil-tration. La gravité agit principalement sur l’eau libre qui se retrouve principalement dans lesmacropores et qui agit vers le bas. La capillarité ou les forces de tension agissent principale-ment au niveau de l’eau capillaire contenue principalement dans lesmicropores. Ces dernièresforces agissent dans toutes les directions.

PROFIL D’HUMIDITÉ ET INFILTRATION 131

Édition 2016

8.4 PROFIL D’HUMIDITÉ ET INFILTRATION

La figure 8.2 montre un profil d’humidité typique lors du processus d’infiltration. Il se forme àla surface du sol une zone de très faible épaisseur quasi saturée appelée zone de saturation. Audelà de cette zone, il s’établit une zone de transmission où la teneur en eau est supérieure à lacapacité au champ mais inférieure à la saturation. Dans cette zone, l’eau circule principale-ment par les macropores interconnectés ensembles. Cette zone de transmission se termine parla zone de mouillage, zone de très faible épaisseur qui est en train de s’humidifier et où lesgradients de potentiels sont très prononcés. Le frontmouillant est la limite de la zone demouil-lage séparant le sol humide du sol sec et il est visible à l’oeil nu lorsque l’on observe le proces-sus d’infiltration dans un sol sec.

Figure 8.2 Description du profil d’humidité lors de l’infiltration.

Teneur en eau

Profondeur

Zone de saturation

Zone detransmission

Zone de mouillageFront mouillant

CC Sat

La figures 8.3 présente les trois principales étapes se produisant lors de la progression du frontmouillant lors de l’infiltration. Le front mouillant progresse en profondeur (figure 8.3 a)jusqu’à ce que ce dernier rejoigne la frange capillaire au--dessus de la nappe. C’est l’étape del’humidification du profil. Si l’infiltration se poursuit, l’eau qui migre par la zone de transmis-sion rejoint la nappe et celle--ci remonte graduellement vers la surface du sol (figure 8.3 c).C’est l’étape de la remontée de la nappe. Lorsque l’infiltration cesse à la fin de la précipitationou de l’irrigation, le profil du sol se ressuie (figures 8.3 b et d) à une teneur en eau appeléecapacité au champ (CC) et l’excédent d’eau alimente le profil inférieur en alimentant le frontmouillant si celui--ci n’a pas atteint la frange capillaire (figures 8.3 b) ou la nappe dans lesecond cas (figures 8.3 d). C’est l’étape du ressuyage.

Il faut retenir que, suite à une précipitation, le sol s’humidifie du haut vers le bas et que la nappequi n’est alimentée que lorsque le sol est complètement humidifié remonte du bas vers la sur-face du sol. Le sol doit s’humidifier avant que la nappe ne puisse être alimentée.

Le modèle hydrique décrit ici est un modèle statique qui fait intervenir les humidités caracté-ristiques (saturation et capacité au champ). Ce modèle est un modèle simplifié par rapport aumodèle dynamique de l’écoulement en milieu non saturé présenté au Chapitre 6. Ce modèle

132 INFILTRATION

considère la masse de sol comme homogène et ne considère pas l’infiltration par les fissures etles craques du sol qui accélèrent la migration de l’eau vers les profondeurs.

Figure 8.3 Évolution du profil d’humidité lors de l’infiltration.

Teneur en eau

Profondeur

CC Sat

Teneur en eau

Profondeur

CC SatTeneur en eau

Profondeur

CC Sat

a) Profil en phase d’humidification

c) Profil en phase de réalimentation dela nappe

d) Profil en phase de ressuyage lors dela réalimentation de la nappe

Teneur en eau

Profondeur

CC Sat

b) Profil en phase de ressuyage

CAPACITÉ D’INFILTRATION 133

Édition 2016

8.5 CAPACITÉ D’INFILTRATION

La capacité d’infiltration est contrôlée par :

1. le phénomène de transmission de l’eau,2. les phénomènes contrôlant l’entrée de l’eau à la surface du sol,3. le temps.

8.5.1 Entrée de l’eau à la surface du sol

L’entrée de l’eau à la surface du sol est contrôlée par l’intensité et la nature des précipitations etles conditions de surface.

La principale caractéristique des précipitations influençant la capacité d’infiltration est l’éner-gie de la pluie qui est fonction de la grosseur des gouttes de pluie et de l’intensité des précipita-tions. La grosseur des gouttes de pluie est fortement corrélée à l’intensité de la précipitation.Le rôle de l’énergie de la pluie dans l’infiltration se joue lors de l’impact des gouttes de pluieavec le sol. L’énergie de l’impact pulvérise les mottes de sol pour créer une couche de surfacecomposée de particules de sol très fines et peu perméable. Ce phénomène est appelée ”bat-tance” et il se manifeste surtout dans les sols limoneux.

Les conditions de surface du sol réagissent à l’énergie de la pluie. La principale condition desurface est la couverture végétale qui absorbe l’énergie de la pluie. Plus la végétation est dense,plus les feuilles intercepteront les gouttes de pluie et absorberont l’énergie des gouttes. La sur-face du sol sera préservée. De plus, la présence de végétation favorise une plus grande porositéà la surface du sol, ce qui favorise l’infiltration.

En condition de sol nu, ce sont les caractéristiques du sol qui influencent la réaction du sol facel’impact des gouttes de pluie. Lamatière organique favorisera la stabilité structurale et la résis-tance du sol face à l’impact des gouttes de pluie. La texture du sol joue aussi un rôle, les solslimoneux étant plus sensibles.

8.5.2 La transmission de l’eau

La transmission de l’eau dans les couches de sol est contrôlée par la loi de Darcy.

L’épaisseur des couches et leur conductivité hydraulique ont un impact majeur sur la capacitéd’infiltration. La capacité d’infiltration est contrôlée à long terme par la conductivité hydrauli-que de l’horizon le moins perméable.

La structure du sol, sa stabilité structurale et la porosité favorisent de meilleures conductivitéshydrauliques et une meilleure capacité d’infiltration. Toutes les interventions qui favorisent lastabilité structurale et la porosité ont un impact positif sur la capacité d’infiltration. Commel’eau circule principalement par lesmacropores et que la compaction des sols affecte pricipale-ment les macropores, la compaction des sols réduit rapidement la macroporosité et la capaitéd’infiltration.

L’accroissement de la teneur en eau du sol a tendance à faire décroître la capacité d’infiltrationdu sol. Lorsque la teneur en eau augmente, la tension du sol diminue et le gradient de potentielau front mouillant diminue, ce qui entraîne une diminution du flux d’eau.

134 INFILTRATION

La température a aussi un impact par l’intermédiaire de la viscosité. Une augmentation de latempérature de l’eau entraîne une diminution de la viscosité de l’eau et par le fait même uneaugmentation de la conductivité hydraulique et de la capacité d’infiltration.

Les propriétés chimique ont un impact important. La présence de sodium qui est un agent dedispersion entraînera une dégradation de la structure du sol et une diminution importante de laconductivité hydraulique et de la capacité d’infiltration.

Il faut noter que la transmission de l’eau et la capacité d’infiltration sont surtout influencéespar les phénomènes qui modifient la macroporosité du sol.

8.5.3 Le temps

La capacité d’infiltration en fonction du temps est principalement décrite par la figure 8.4.Avec le temps, la surface du sol se détériore ce qui entraîne une plus faible porosité et une dimi-nution de la capacité d’infiltration. Au niveau de la percolation, le front mouillant s’éloigne deplus en plus augmentant la distance de parcourt pour une même différence de potentiel; le gra-dient hydraulique diminue.

Figure 8.4 Capacité d’infiltration en fonction du temps.

Il est démontré que le gradient hydraulique devient unitaire lorsque le front mouillant s’éloi-gne de la surface du sol (ce qui est le cas lors de précipitations prolongées -- figure 6.3) et que lacapacité d’infiltration qui correspond au flux de Darcy tend alors vers la valeur de la conducti-vité hydraulique en autant que la surface du sol n’offre pas de contraintes à l’infiltration.

MESURE DE LA CAPACITÉ D’INFILTRATION 135

Édition 2016

8.5.4 Valeurs typiques de la capacité d’infiltration.

Le tableau 8.1 présente quelques valeurs typiques de la capacité d’infiltration lorsqu’elle tendà se stabiliser avec le temps. Il est à noter que la capacité d’infiltration augmentede façon signi-ficative avec le couvert végétal. L’annexe de ce chapitre présente les capacités d’infiltration dedifférentes séries de sols du Québec; les données sont extraites de Côté et al., 2008.

Tableau 8.1 Capacité d’infiltration (mm/h) de quelques catégories de sols (Gray, 1972).

Catégoriede sol

Sol nu Cultureen rang

Pâturagepauvre

Céréales Pâturagede qualité

Forêt

I 7,5 12 15 18 25 75II 2,5 5 7,5 10 12 22II 1,2 1,8 2,5 3,8 5 6IV 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Catégorie I : Sols de texture grossièreCatégorie II : Sols de texture moyenneCatégorie III : Sols de texture fineCatégorie IV : Sols minces

8.6 MESURE DE LA CAPACITÉ D’INFILTRATIONLa mesure de la capacité d’infiltration se fait au moyen d’un infiltromètre. Il existe deux typesd’infiltromètre : à submersion et à aspersion.

8.6.1 SubmersionLes deux systèmes de mesure de l’infiltration à submersion sont le système à simple anneau età double anneau. La figure 8.5 présente le système à double anneau.

Figure 8.5 Infiltromètre à double anneau.

Q

Surface du sol

La capacité d’infiltration est déterminée :

[8.2]fmax =

Q

A

Q = débit d’infiltrationA = surface d’infiltration

136 INFILTRATION

8.6.2 Aspersion

Pour reproduire les précipitations, des simulateurs de pluie peuvent être utilisé. Ils sont consti-tués de buses qui essaient de reproduire la même énergie que la pluie. L’intensité de la pluie estsimulée en faisant varier le nombre de buses en opération et leur temps d’action. La capacitéd’infiltration est déterminée lorsque le ruissellement débute pour une intensité donnée.

8.6.3 Analyse des hydrogrammes

L’analyse des hydrogrammes des bassins versants de très petite taille ou des parcelles permetd’estimer la capacité d’infiltration. La capacité d’infiltration correspond à la différence entrela précipitation et le ruissellement. Pour les bassins de grande taille, seule la capacitémoyenned’infiltration peut être estimée.

8.7 ÉQUATIONS

Cette section présente les principales équations utilisées pour décrire la capacité d’infiltrationd’un sol.

8.7.1 Équations basées sur la masse infiltrée

Ce premier groupe décrit la capacité d’infiltration en fonction de la masse infiltrée.

Holtan (1961) Référence : Gray, 1972. pp. 5.5

Holtan (1961) a proposé une expression de la capacité d’infiltration en fonction de l’épuise-ment de l’emmagasinement de l’humidité dans le sol :

[8.3]fmax = a (S− F)n+ fc

S = volume potentiel (possible) d’emmagasinement ou différence volu-métrique entre la saturation et le point de flétrissement dans la zonesituée au--dessus de la couche de contrôle (qui limite l’infiltration)

≅ (θSAT -- θPF) dc

dc = profondeur de contrôleF = masse d’eau infiltrée ou déjà emmagasinée dans le solfc = taux d’infiltration final constant de l’horizon de contrôle≅ conductivité hydraulique de l’horizon de contrôle

a, n = constantes dépendant du sol, n ≅ 0,5

Green-Ampt (1911) Référence : Musy et Soutter, 1991. pp. 215--225.

L’équation deGreen--Ampt a été développée à l’origine pour un sol profond et homogène. Elleutilise les hypothèses suivantes :

� le front mouillant est bien défini et sépare la zone humide de la zone sèche,� le profil est saturé au--dessus du front mouillant,� l’infiltration est contrôlée par la vitesse de transmission de Darcy.

ÉQUATIONS 137

Édition 2016

En se référant à la figure 8.6 et en utilisant la loi de Darcy, la capacité d’infiltration qui corres-pond au flux d’eau entrant à la surface du sol peut s’écrire :

[8.4]fmax = q= − Ks�H2 − H1

�Lf

Ks = conductivité hydraulique saturée

H1 = potentiel à la surface du sol

H2 = potentiel au front mouillant

dRéf. θ

θi θsat

Front mouillant

Lf

Figure 8.6 Schéma du processus d’infiltration utilisé par Green--Ampt.

H2

H1

Le niveau de référence étant à la surface du sol, les potentiels peuvent être définis et la capacitéd’infiltration s’écrit :

H1 = d = épaisseur de la lame d’eau à la surface du sol

H2 = hf -- Lfhf = pression au front mouillant

[8.5]fmax = − Ks

�hf− Lf− d�Lf

Si hf = pression = -- Sf = -- succion, la capacité d’infiltration peut s’écrire :

[8.6]fmax = Ks

�Sf+ Lf+ d�Lf

À n’importe quel moment, la masse infiltrée “F” :

[8.7]F = �θsat− θi� Lf

[8.8]= ∆θ Lf

138 INFILTRATION

Ce qui entraîne,

[8.9]Lf =F∆θ

Si l’épaisseur de la lame d’eau est très petite d << Sf + Lf, d devient négligeable :

[8.10]fmax = Ks+ Ks Sf∆θF

En réalité,

� la teneur en eau au--dessus du front mouillant n’est pas saturée mais presque saturée,� l’écoulement est presque saturé K < Ks,� la teneur en eau initiale n’est pas uniforme sur le profil,� la teneur en eau initiale est différente d’un essai à l’autre.

la forme générale devient alors :

[8.11]fmax = B+ AF

A, B = constantes dépendantes des conditions initiales et du type de solA --> Ks Sf ∆θB --> Ks ou fc

Si G = 1/F,

[8.12]fmax = A G+ B

8.7.2 Équations basées sur le temps

Cette section regroupe les équations qui expriment la diminution de la capacité d’infiltrationen fonction du temps.

Gardner + Widstoe (1921), Horton (1940) Référence : Gray, 1972. pp.5.8;

Llamas, 1993. pp. 237.

Gardner et Windstoe (1921) et Horton (1940) utilisent l’hypothèse suivante : la réduction dutaux d’infiltration correspond à un processus d’épuisement, ce signifie que le taux de travailest proportionnel à la quantité de travail qui reste à faire. Dans le cas du processus d’infiltra-tion, le travail qui reste à accomplir à un certain moment “t” est celui qui est nécessaire pourmodifier le taux d’infiltration de sa valeur actuelle “f” à sa valeur finale “fc” (fmax --> fc).Comme la vitesse de travail est associée à la dérivée de la capacité d’infiltration en fonction dutemps et comme la capacité d’infiltration diminue avec le temps, la dérivée est négative ets’exprime :

[8.13]∂fmax∂t = − k (fmax − fc)

k = constante de proportionnalité

ÉQUATIONS 139

Édition 2016

L’intégration de l’équation précédente réarrangée donne :

[8.14]� ∂fmax(fmax − fc)

= �− k ∂t

[8.15]ln (fmax − fc) = − k t+ C1

À t = 0, fmax = fo, ce qui permet d’écrire :

[8.16]C1 = ln (fo− fc)

[8.17]fmax = fc+ �f0 − fc� e−kt

[8.18]fmax−fcf0 − fc

= e−kt

La masse infiltrée peut être dérivée de la capacité d’infiltration :

[8.19]F = � fmax dt = ��fc+ �f0 − fc� e−kt� dt

[8.20]F = fc t− 1k�f0 − fc� e−kt+ C2

Avec t = 0, F = 0 et C2

[8.21]C2 = + 1k�f0 − fc�

[8.22]F = fc t+ 1k�f0 − fc� �1 − e−kt�

Cette dernière équation est parfois représentée sous cette forme suivante, forme qui n’est paséquivalente :

[8.23]F = fc t+ d e−kt

Kirkham + Feng (1949) Référence : Gray, 1972. pp.5.9

L’équation de Kirkham et Feng (1949) décrit la masse d’eau absorbée dans une colonne hori-zontale de sol sec. La force prédominante est la capillarité.

[8.24]F = C t + a

[8.25]fmax = dFdt

= 12C

t

a, C = constantes déterminées expérimentalement

140 INFILTRATION

Philip (1957) Référence : Gray, 1972. pp.5.9

L’équation de Philip (1957) décrit la masse d’eau absorbée dans une colonne de sol préalable-ment séchée et où les forces capillaires et de gravité agissent :

[8.26]F = S t + A t

[8.27]fmax = 12S

t+ A

S, A = constantes déterminées expérimentalement

La constante A correspond à fc des équations précédentes.

Kostiakov (1932), Lewis (1937) Référence : Gray, 1972. pp.5.8

L’équation de Kostiakov (1932) et Lewis (1937) a été développée de façon expérimentale :

[8.28]F = a tn

[8.29]fmax = a n tn−1

a, n = constantes déterminées expérimentalement

Avec les équations 8.25 et 8.29, la capacité d’infiltration tend vers une valeur nulle lorsque letend devient très grand. Lesmodèles deKostiakov (1932) et Lewis (1937) sont utilisés dans lesétudes d’irrigation où les applications d’eau ne sont généralement pas faites sur de longuespériodes.

BIBLIOGRAPHIE

ASAE, 1983. Advances in infiltration. Proceeding ofnthe National Conference on Advancesin Infiltration, Chicago, Illinois. American Society of Agricultural Engineers. St--Jo-seph, Michigan. ASAE Publication 11--83.

Chow, Ven Te, 1964. Handbook of applied hydrology. McGraw--Hill, New York.

Côté, D., M. O. Gasser, et D. Poulin. 2008. Guide de conception des amas de fumier au champII. Institut de recherche et de développement en agroenvironnement. Québec. 48 p. etannexes.

Gray, 1972. Manuel des principes d’hydrologie. Comité canadien de la décennie hydrologi-que internationale, Ottawa, Canada.


Llamas, J. 1993. Hydrologie générale : principes et applications. 2e édition. Gaétan Morin.Boucherville.

PROBLÈMES 141

Édition 2016

PROBLÈMES

8.1 Pour les deux conditions de sol présentées aux schémas A et B de la figure 8.7.

a) déterminez le profil d’humidité et la hauteur de la nappe après une pluie de 40 mm,b) déterminez le profil d’humidité et la hauteur de la nappe après une pluie de 80 mm,c) déterminez la précipitation nécessaire pour faire remonter la nappe à un mètre de la

surface,d) déterminez la précipitation nécessaire pour faire remonter la nappe à 0,5 mètre de

la surface,

Figure 8.7 Profils d’humidité.

A) Teneur en eau

Profondeur

CC Sat

0

(cm)

40

20 40

80

120

160

200

CC = 42 %

PF = 22 %

Sat = 50 %

FrangeCapillaire

Teneur en eau

Profondeur

CC Sat

0

(cm)

40

20 40

80

120

160

200

FrangeCapillaire

B)

142 INFILTRATION

8.2 Voici les mesures d’un imfiltromètre par aspersion effectuées sur un loam sableux. Letaux d’application était de 50 mm/h maximum.

Temps Masse infiltrée

(min) (mm)

0 0,03* 2,55 4,0

10 6,020 10,040 15,560 18,090 22,5

120 30,0150 32,5180 37,5210 41,0

* apparition d’une lame d’eau à la surface du sol

a) Déterminez le taux moyen d’infiltration pour chaque interval de temps considéré,b) Déterminez le taux d’infiltration instantané pour chaque mesure,c) Calez les requations théoriques suivantes sur les mesures pour obtenir les coeffi-

cients appropriés:

-- Green--Ampt

-- Horton

-- Philip

d) Pour chacune des équations et les coefficients que vous avez déterminés en c), déter-minez le taux d’infiltration et lamasse infitrée pour chacun des temps d’observation.Comparez ces valeurs avec celles observées.

CHAPITRE 9Évapotranspiration

9.1 INTRODUCTION

Ce chapitre traite des phénomènes d’évaporation, de transpiration et d’évapotranspiration.Pour ceux et celles voulant approfondir ces thèmes, vous pouvez consulter les ouvrages sui-vants :

ASCE, 1990. Evaporation and irrigation water requirement. ASCE manuals and reports on

Engineering Practice No 70.

Brutsaert, W., 1991. Evaporation into the atmosphere. Kluwer Academic publishers, Boston

9.2 DÉFINITIONS

L’évaporation est le phénomène du passage de l’eau de l’état liquide à l’état de vapeur. L’éva-poration d’une surface d’eau, d’un bassin ou d’un lac ou de la surface d’un sol en sont desexemples.

La transpiration est le phénomène d’évaporation de l’eau par les plantes au travers des stoma-tes.

Dans la nature, il n’est pas facile de différentier le phénomène de l’évaporation du phénomènede la transpiration et le terme évapotranspiration a été créé pour représenter la combinaison desdeux phénomènes.

144 ÉVAPOTRANSPIRATION

9.3 BILAN D’ÉNERGIE

Les phénomènes d’évaporation et de transpiration ont besoin d’énergie pour réaliser le chan-gement de phase de l’eau de l’état liquide à l’état de vapeur. Cette source d’énergie est le soleil.La figure 9.1 présente le bilan radiatif et la terminologie utilisée.

Figure 9.1 Bilan radiatif.

EXTRA TERRESTRE

NETTE

RÉÉMISSION

RÉFLEXION

GLOBALE

INCIDENTE

Ra

Rb

Rr

Rs

RN

Ro

La radiation nette s’établie comme suit :

[9.1]RN= Rs− Rr− Rb

RN = Radiation netteRs = Radiation globaleRr = RéflexionRb = Radiation nette grande longueur d’onde

9.3.1 Radiation globale

La radiation globale est mesurée aumoyen d’un pyranomètre qui est constitué d’un capteur deflux thermique installée horizontalement sous un petit hémisphère en verre non absorbant etanti--réfléchissant sous vide. Le capteur de flux thermique est constituée de thermocouplesgénéralement groupés en série sur une surface noire qui absorbe le rayonnement solaire et pro-duit un signal électrique proportionnel à l’énergie reçue. Malheureusement, peu de stationsclimatiques au Canadamesurent la radiation globale au sol. La radiation globale peut être esti-mée à partir de la radiation extra terrestre :

[9.2]Rs= Ra �a+ b n�N�

Ra = Radiation extra terrestren = Durée d’insolation (h)N = Durée possible d’insolation (h)a, b = Constantes

BILAN D’ÉNERGIE 145

Édition 2016

Le tableau 9.1 présente quelques valeurs des constantes “a” et “b”. Les valeurs de “a” et “b”varient géographiquement et selon la période de l’année et sont influencés par la quantité d’eaudans l’air, la quantité de poussière et de pollution et la masse d’air (épaisseur de la coucheatmosphérique).

La durée d’insolation “n” est mesurée avec un héliographe et la durée possible “N” peut êtreestimée du tableau 9.2. Le nombre d’heures possibles d’insolation “N” pour unmois donné estobtenu en multipliant la valeur du tableau 9.2 par 360 heures (30 x 12 h). Le nombre d’heurespossibles d’insolation de la journée moyenne pour un mois donné est obtenu en multipliant lavaleur du tableau 9.2 par 12 heures et par le ratio (30 / nombre de jours du mois visé).

Tableau 9.1 Valeurs des constantes “a” et “b” de l’équation 9.2.

Auteur Pays a b

Penman (1948) Angleterre 0,18 0,55

Angström France 0,18 0,62

Kimball (1914) Virginia, USA 0,22 0,54

Prescott (1940) Canberra, Australie 0,25 0,54

Mckay (1962) Southern Sask. 0,25 (mai--août) 0,60

Tableau 9.2 Insolation moyenne possible (heures), exprimée en unités de 30 jours de12 heures chacun (Gray, 1972).

Lat.nord J F M A M J J A S O N D0� 1,04 0,94 1,04 1,01 1,04 1,01 1,04 1,04 1,01 1,04 1,01 1,04

10� 1,00 0,91 1,03 1,03 1,08 1,06 1,08 1,07 1,02 1,02 0,98 0,99

20� 0,95 0,90 1,03 1,05 1,13 1,11 1,14 1,11 1,02 1,00 0,93 0,94

30� 0,90 0,87 1,03 1,08 1,18 1,17 1,20 1,14 1,03 0,98 0,89 0,88

35� 0,87 0,85 1,03 1,09 1,21 1,21 1,23 1,16 1,03 0,97 0,86 0,85

40� 0,84 0,83 1,03 1,11 1,24 1,25 1,27 1,18 1,04 0,96 0,83 0,81

45� 0,80 0,81 1,02 1,13 1,28 1,29 1,31 1,21 1,04 0,94 0,79 0,75

50� 0,74 0,78 1,02 1,15 1,33 1,36 1,37 1,25 1,06 0,92 0,76 0,70

La radiation globale peut aussi être estimée à partir de la radiation incidente d’une journéeensoleillée :

[9.3]Rs= Ro �a+ b n�N�

Ro = Radiation incidente

a, b = Constantes

Mateer (1955) propose les valeurs respective de 0,355 et 0,68 pour les coefficient “a” et “b”pour le Canada. Gray (1972) présente les cartes pour chaque mois de l’année des valeurs de laradiation incidente mesurées au Canada.


9.3.2 Réflexion

La réflexion peut estimée à partir du coefficient de réflexion ou d’albédo selon différentessources :

[9.4]Rr= r Rs

Le tableau 9.3 présente quelques valeurs du coefficient de réflexion ou d’albédo.

Tableau 9.3 Valeurs des coefficients de réflexion ou d’albédo.

Type de surface Coefficient de réflexion

Musy et Soutter,1991

Réméniéras, 1972 Gray, 1972

Surface d’eau 0,03 -- 0,10 0,05 -- 0,15 0,05 -- 0,15

Champ et prairie 0,10 -- 0,30

Herbes, savanes 0,22

Cultures vertes 0,25

Forêt 0,05 -- 0,20 0,11 0,05 -- 0,20

Sol nu 0,15 -- 0,40

Rochers 0,16

Neige fraîche < 0,95 0,80 -- 0,90

Neige fondante 0,40 -- 0,60

Glace (sans neige) 0,40 -- 0,50

9.3.3 Réémission

La réémission ou la radiation nette de grande longueur d’onde peut être estimée (Gray, 1972) :

[9.5]Rb= � σ T4a �0, 56− C ea� � �0, 1+ 0, 9 n�N�

ε = émissivité ≅ 1,0σ = constante de Stefan Boltzman

1,17 x 10--7 cal / cm2 °K4 j2,01 x 10--9 mm / °K4 j4,90 x 10--7 J / cm2 °K4 j4,90 x 10--9 MJ / m2 °K4 j

Ta = température de l’air (°K) ( = T (°C) + 273 )

ea = pression de vapeur d’eau (mb) (kPa) (mmHg)

C = Contante = 0,08 mb--½

0,25 kPa--½

0,092 mmHg--½

n = Durée d’insolation (h)

N = Durée possible d’insolation (h)


Édition 2016

La pression de vapeur saturée peut déterminée au tableau 9.8 ou par l’équation suivante :

[9.6]es(T) = 0, 6108 e�17,27 T� T+273,3�

es = pression de vapeur d’eau saturée à la température T en °C (kPa)

La pression de vapeur réelle est déterminée :

[9.7]ea = es RH

RH = humidité relative de l’air (%)

La FAO (Allen et al., 1998) et l’ASCE (2005) proposent l’équation suivante qui utilise desdonnées plus généralement disponibles :

[9.8]

Rb= σ(Tmax + 273)4 + �Tmin + 273�

4

2

0, 34− 0, 14 e0,5r � 1, 35 RsRso

− 0, 35�σ = constante de Stefan Boltzman (4,90 x 10--9 MJ m--2 j--1)

Tmax = température maximale journalière de l’air (°C)

Tmin = température minimale journalière de l’air (°C)

er = pression de vapeur d’eau à la température du point de rosé (kPa)

Rso = radiation incidente

Le rapport Rs / Rso doit être inférieur à 1,0.

La radiation incidente peut estimée par l’équation suivante :

[9.9]Rso= �0, 75+ 2 z �105� Raz = élévation au dessus du niveau de la mer (m)

La pression de vapeur moyenne à la température du point de rosé (Tr) est déterminée pour latempérature moyenne du point de rosé :

[9.10]er= es�Tr�

Tr = température moyenne au point de rosée de l’air (°C)

Lorsque la température moyenne du point de rosée n’est pas disponible, la pression de vapeurpeut être estimée avec les températures et les humidités relatives de la façon suivante :

[9.11]er= 12 es�Tmin

� RHmax100

+ es(Tmax)RHmin100�

RHmax = humidité relative journalière max. de l’air (%)

RHmin = humidité relative journalière min. de l’air (%)

La plus grande partie de la radiation nette sera utilisée par les plantes pour la transpiration oupar les surfaces humides pour l’évaporation.


9.3.4 Radiation extra terrestre

La radiation extra terrestre Ra peut être estimée de différentes façons. Le tableau 9.4 présenteles valeurs mensuelles moyennes du rayonnement extra--terrestre sur un plan horizontal pourl’hémisphère nord.

Tableau 9.4 Rayonnement extra--terrestre mensuel moyen sur un plan horizontal (mm/j) --Hémisphère nord (Gray, 1972).

Lat. Nord 90� 80� 70� 60� 50� 40� 30� 20� 10� 0�

Jan. 1,3 3,6 6,0 8,5 10,8 12,8 14,5

Fév. 1,1 3,5 5,9 8,3 10,5 12,3 13,9 15,0

Mars 1,8 4,3 6,8 9,1 11,0 12,7 13,9 14,8 15,2

Avril 6,9 7,8 9,1 11,1 12,7 13,9 14,8 15,2 15,2 14,7

Mai 14,9 14,6 13,6 14,6 15,4 15,9 16,0 15,7 15,0 13,9

Juin 18,1 17,8 17,0 16,5 16,7 16,7 16,5 15,8 14,8 13,4

Juil. 16,8 16,5 15,8 15,7 16,1 16,3 16,2 15,7 14,8 13,5

Août 11,2 10,6 11,4 12,7 13,9 14,8 15,3 15,3 15,0 14,2

Sept. 2,6 4,0 6,8 8,5 10,5 12,2 13,5 14,4 14,9 14,9

Oct. 0,2 2,4 4,7 7,1 9,3 11,3 12,9 14,1 15,0

Nov. 0,1 1,9 4,3 6,7 9,1 11,2 13,1 14,6

Déc. 0,9 3,0 5,5 7,9 10,3 12,4 14,3

La radiation extra terrestre est fonction de la constante solaire, la distance de la terre au soleil,la latitude, la déclinaison et du jour de l’année. Elle peut être estimée à partir des données astro-nomiques :

[9.12]Ra= 24π Gsc dr [ ωs sin(φ) sin(δ)+ cos(φ) cos(δ) sin(ωs) ]

Gsc = constante solaire = 4,92 MJ m--2 j--1

dr = inverse de la distance relative de la terre au soleilϕ = latitude (radians)δ = déclinaison du soleil (radians)ωs = angle du coucher du soleil (radians)

L’inverse de la distance relative de la terre au soleil peut être estimé :

[9.13]dr= 1+ 0, 033 cos�2 π J365�

J = jour julien

Le jour Julien est le numéro ordinal du jour dans l’année, le 1er janvier étant le jour 1 et le 31décembre le jour 365. Il peut être défini par un tableau ou l’équation suivante :

[9.14]

J= D− 32+ Int�275 M9�+ 2 Int� 3

M+ 1�

+ Int� M100

−Mod(Y, 4)

4+ 0, 975�


Édition 2016

D = jour du mois

M = mois de l’année

Y = année (4 chiffres)

Int = fonction déterminant l’entier entier d’une division

Mod = fonction déterminant le reste d’une division

La latitude en radiant est :

[9.15]ω = π180

Lat

Lat = latitude (°)

La déclinaison solaire est :

[9.16]δ = 0, 409 sin�2 π J365

− 1, 39�L’angle du coucher du soleil est :

[9.17]ωs= arccos[− tan(φ) tan(δ) ]

Sous nos latitudes (45� -- 50�), la radiation extra--terrestre Ra peut aussi être approximée parl’équation suivante :

[9.18]Ra= C Ra+ ∆R cosF+ 7 (1− cos 2 F)�

[9.19]Ra=Rmax + Rmin

2

[9.20]∆R=Rmax − Rmin

2

[9.21]Rmax = 1021, 6− 0, 2 (Lat− 45)

[9.22]Rmin = 252, 8− 14, 8 (Lat− 45)

[9.23]F= 2 π(J− 173)

365

Rmax et Rmin = Radiation extra terrestre maximale et minimale

C = constante d’unité= 1 (cal/cm2 j)= 4,1868 (J/cm2 j)= 0,0171 (mm/j)= 0,041868 (MJ/m2 j)


9.4 PRINCIPE DE LA DIFFUSION

Lors du processus d’évaporation, la vapeur d’eau diffuse dans l’atmosphère grâce au gradientde pression de vapeur d’eau au--dessus de la surface tel que le montre la figure 9.2.

Figure 9.2 Principe de la diffusion.

Lac

Feuille

eo eo

ea ea

Les équations de diffusion s’expriment sous la forme suivante :

[9.24]E= f (vent, surface, etc.) (eo− ea)

E = évaporation

eo = pression de vapeur à la surface

ea = pression de vapeur dans l’air

9.5 BILAN DE MASSE -- BILAN D’ÉNERGIE

Dans la nature, il s’établie un équilibre entre le bilan de masse (diffusion) et le bilan d’énergie(figure 9.3). Lorsque le soleil brille, la feuille ou la surface se réchauffe et il se crée un gradientde pression de vapeur entre la surface et l’air. Le taux de diffusion de la vapeur d’eau deviendraen équilibre avec le taux d’évaporation en terme d’énergie. Lorsque le soleil cesse de briller, leflux de chaleur diminue et l’évaporation doit prendre son énergie dans lemilieu qui se refroiditpour atteindre à la limite la température du point de rosée.Àcemoment, la pression de vapeur àla surface est en équilibre avec la pression de vapeur de l’air et l’évaporation cesse.

Figure 9.3 Équilibre entre le bilan de masse et le bilan d’énergie.

ea

eo

BILAN deMASSE

BILANd’ÉNERGIE

[≅]

Rs

RbRrE

∆∆∆∆T


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9.6 MESURES

Les méthodes de mesures de l’évaporation ou l’évapotranspiration sont basées sur le bilan demasse ou de bilan d’énergie, les deux étant reliées.

Une autre technique demesure consiste à utiliser des lysimètres drainants ou à pesée. Les lysi-mètres à pesée sont plus précis que les lysimètres drainantsmais plus dispendieux à construireet à opérer. La figure 9.4 présente un lysimètre drainant. Dans le cas du lysimètres drainant,l’évapotranspiration est estimée en effectuant le bilan d’eau entre deux épisodes pluvieux oud’arrosage :

[9.25]ETr= Pte− Drainage

L’équation fait l’hypothèse que le sol est à la capacité au champ après chaque précipitation ouarrosage, ce qui amène une variation nulle du stock d’eau dans les sol.

Figure 9.4 Schéma d’un lysimètre drainant.

Dans le cas des lysimètres à pesée, leur poids est pesé régulièrement, ce qui permet demesurerles variations de stock d’eau et d’estimer l’évapotranspiration sur de courtes périodes (quel-ques heures à une journée). L’équation d’estimation de l’évapotranspiration s’écrit alors :

[9.26]ETr= Pte− Drainage− ∆PA �

∆P = Variation de masse du lysimètre

A = Surface du lysimètre

ρ = masse spécifique de l’eau


9.7 ÉCOULEMENT DE L’EAU DANS LA PLANTE

Le chemin de l’écoulement de l’eau du sol à l’atmosphère au travers d’une plante forme unsystème continu qui peut être analysé en évaluant l’énergie potentielle en tout point du sys-tème. L’analyse est analogique à l’écoulement de l’eau dans le sol. En tout point du système, leflux d’eau est proportionnel au gradient de potentiel et inversement proportionnel à la résis-tance à l’écoulement dans la plante qui peut être assimilée à l’inverse de la conductivitéhydraulique dans l’équation de Darcy. Le cheminement de l’eau suit le trajet suivant : le mou-vement de l’eau au travers du sol pour rejoindre les poils des racines, l’entrée de l’eau dans cesderniers, lamigration de l’eau dans la plante (racine, tige, feuille) par translocation, l’évapora-tion dans l’espace intercellulaire des feuilles, la diffusion au travers des stomates et de la cou-che de grand gradient d’humidité et finalement diffusion dans l’atmosphère. Ce processus aété décrit par Philip (1957) et est présenté à la figure 9.5. Les termes déficit de pression devapeur, de tension de l’eau dans le sol et de potentiel de l’eau sont des termes équivalents etdécrivent le niveau d’énergie. La pression de vapeur s’exprime de la façon suivante en termede potentiel :

[9.27]φ = − �RTg� ln

edes

ϕ = potentielR = constante de gaz parfaitT = température absolueg = constante gravitationnelleed = pression de vapeur actuellees = pression de vapeur saturée

La figure 9.5 présente différents cas de transpiration des plantes. Dans les conditions normales(courbe 1), la différence de potentiel entre le sol et les racines est faible. Au niveau des cellulesmésophyles (F), le potentiel est au--dessous du point critique auquel la cellule perd sa turges-cence et le flétrissement ne se produit pas. Pour la courbe 2, le sol est moins humide mais laplante transpire à un taux similaire au cas précédent. Une plus grande quantité d’énergie estnécessaire pour faire circuler l’eau dans la plante; un flétrissement temporaire se produit alorsdans plusieurs types de plantes. Le changement de déficit de pression de vapeur au niveau descellules mésophyles est petit en comparaison du changement de gradient de potentiel entre lasurface de la cellule et l’atmosphère. Cette courbe montre que la transpiration continue mêmesi la teneur en eau du sol est réduite. La fermeture des stomates qui se produira tôt ou tardréduira considérablement la transpiration. Pour la courbe 3, la teneur en eau du sols est forte-ment réduite, la succion exercée pa r le sol est élevée et la plante entière flétrit et des dommagespermanents commence à se produire.

Pendant les journées ensoleillées, plusieurs plantes peuvent transpirer à un taux plus grand quecelui de l’absorption de l’eau par les racines mais pendant la nuit, le phénomène inverse seproduit. Pendant la journée, la plante subit alors un flétrissement temporaire qui n’est pas dom-mageable car la plante retrouve sa turgescence pendant la nuit. L’énergie avec laquelle l’eauest retenue par les pores du sol et la conductivité hydraulique non saturée sont des caractéristi-ques qui affectent la croissance des plantes. Philip (1957) a montré que la teneur en eau aupoint de flétrissement varie grandement avec le taux de transpiration, le déficit de vapeur d’eauau point de flétrissement, la densité des racines et la profondeur des racines. La plante com-


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Figure 9.5 Relation entre le déficit de pression de vapeur, la tension de l’eau dans le solet l’énergie potentielle dans le système sol--plante (adapté de Schawb et al.,1966).

Déficitdepressiondevapeur,suction,potentiel(cmx10000)

20 Déficitdepressiondevapeur,suction,potentiel

300

10

100

40

30

1200

1000

500

(atm

ou10

00cm

d’ea

u)mence à subir des dommages permanent (flétrissement permanent) lorsque le flux d’eau du solaux racines des plantes est inférieur à l’évapotranspiration.


9.8 FORMULES D’ESTIMATIONCette section présente les principales équations qui sont utilisées présentement ou qui présenteun intérêt historique pour estimer l’évaporation ou l’évapotranspiration. Elles peuvent êtresimples ou complexes, de nature empiriques ou plus théoriques. Elles sont regroupées selonqu’elles sont basées sur le bilan de masse, le bilan d’énergie ou la température de l’air.

9.8.1 Basées sur le bilan de masseLes deux équations suivantes qui sont basées sur le bilan demasse utilisent la forme de l’équa-tion [9.24].

Meyer (1915 - USA - Lac peu profond)

L’équation de Mayer a été développée aux États--Unis en 1915.

[9.28]E= C �1+ 0, 062 V8� �eo− e8�

E = évaporation (mm/mois)C = constante [80 -- 110 ]

= 80 (grande étendue d’eau)= 110 (lac peu profond)

eo = pression de vapeur à la surface du lac (kPa)e8 = pression de vapeur dans l’air à 8 m (kPa)V8 = vitesse du vent à 8 m (km/h)

Penman

[9.29]Ea = K �1+ Cv V2� (es− ea)

[9.30]Ea = K �1+ 0, 74 Cv V10� (es− ea)

Ea = évaporation (mm/j)es = pression de vapeur saturée à la température de l’air (kPa) (mbar)

(mmHg)ea = pression de vapeur actuelle (kPa) (mbar) (mmHg)K = constante d’unité

= 2,6 mm / j kPa (es, ea en kPa)= 0,26 mm / j mbar (es, ea en mbar)= 0,235 mm / j mbar (es, ea en mmHg)

V2, V10 = vitesse du vent à 2 m et 10 (m/s) (km/h)Cv = coefficient de vitesse du vent

= 0,54 s/m (V en m/s)= 0,149 h/km (V en km/h)

La vitesse du vent “Vo” mesurée à une autre élévation “ho” peu être convertie par l’équationsuivante pour une élévation “hx” :

[9.31]Vx= Vo�hxho�n

n ≅ 1/7Les équations [9.40] et [9.41] peuvent aussi être utilisées.


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9.8.2 Basées sur le bilan d’énergie

Penman

Penman a développé une équation combinant la composante de l’énergie nécessaire pour sou-tenir l’évapotranspiration et la composante du bilan de masse liée au gradient de vapeur. Elleessaie de faire une moyenne pondérée des deux composantes :

[9.32]ETp=∆ H+ γ Ea∆+ γ

ETp = évapotranspiration (mm/j)

H = radiation nette (mm/j) (équation [9.1])

Ea = évaporation due au bilan de masse (mm/j) (équation [9.29])

∆ = pente de la pression de vapeur saturée à la température moyenne del’air (kPa/°C) (mbar/°C) (mmHg/°C)

γ = constante psychrométrique (même unités que ∆)= 0,065 kPa/°C= 0,65 mbar/°C= 0,486 mmHg/°C

La pente de la pression de vapeur saturée “∆” à la température moyenne de l’air peut être esti-mée à partir des pressions de vapeur du tableau 9.8 en utilisant l’équation suivante :

[9.33]∆ = ∆e∆T�T

ou directement avec l’équation suivante mais où les unités sont en kPa/°C :

[9.34]∆ = 2504 e�17,27 T� T+273,3�

(T+ 273, 3)2

T = température moyenne journalière de l’air (°C)


ASCE Standardized Penman-Monteith

La recherche en évapotranspiration a permis demieux définir certains termes et coefficients del’équation de Penman. L’évolution de l’équation de Penman a été connu sous les noms deFAO--Penman, Penman--Monteith et l’American Society of Civil Engineering (ASCE, 2005)a adopté une version au pas journalier. Elle estime l’évapotranspiration potentielles des cultu-res bien approvisionnées en eau :

[9.35]ETp=1�λ ∆ �RN− G�+ γ Eo

∆+ γ �1+ Cd V2�

[9.36]Eo =Cn

T+ 273(es− er) V2

RN = radiation nette à la surface de la culture (MJ m--2 j--1)G = flux de chaleur au sol (MJ m--2 j--1)∆ = pente de la pression de vapeur saturée à la température moyenne de

l’air (kPa/°C) (équation [9.34])γ = constante psychrométrique (kPa/°C)λ = chaleur latente de l’eau (2,45 MJ kg--1 d’eau = MJ m--2 mm--1) à

20°C => 1/λ = 0,408T = température moyenne de l’air (°C)V2 = vitesse moyenne du vent à une hauteur de 1,5 à 2,5 m (m/s)es = pression moyenne de vapeur saturée à une hauteur de 1,5 à 2,5 m

(kPa)er = pression moyenne de vapeur du point de rosé à une hauteur de 1,5

à 2,5 m (kPa)Cn = constante du numérateur fonction de la culture de référence

(tableau 9.5)Cd = constante du dénominateur fonction de la culture de référence

(tableau 9.5)

Cette équation est valide au pas de temps journalier. Pour une utilisation à d’autres pas detemps que journaliers, elle doit être utilisée avec d’autres coefficients et autres approxima-tions.

La radiation nette “RN”peut estimée en utilisant les équations développées localement etbasées sur la radiation extra--terrestre ou en utilisant les équations [9.1] (RN) et [9.8] (Rb) avecun coefficient d’albédo de 0,23. Le flux de chaleur au sol (G) est généralement faible au pas detemps journalier par rapport à RN et il est alors négligé.

La constante psychrométrique “γ” varie légèrement en fonction de la pression atmosphériqueet est ainsi influencée par l’élévation “z” au--dessus du niveau de la mer :

[9.37]γ = 0, 000665 P

[9.38]P= 101, 3 �293− 0, 0065 z293

�5,26


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La pressionmoyenne de vapeur saturée est estimé à partir des températures journalièresmaxi-males (Tmax) et minimales (Tmin) :

[9.39]es= 12 es�Tmin

�+ es(Tmax)�

Lapressionmoyenne de vapeur au point de rosé est déterminée par l’équation [9.10] ou [9.11].

Si la vitesse du vent estmesurée à une hauteur “zw” différente de 2mau--dessus de la surface dusol, l’équation [9.40] est utilisée si la vitesse du vent a été mesurée au--dessus d’une surfaced’herbe et l’équation [9.41] si la vitesse du vent a été mesurée au--dessus d’une surface devégétation plus haute que de l’herbe comme de la luzerne ou toute végétation d’environ 0,5 mde hauteur :

[9.40]V2 = Vzw 4, 87ln(67, 8 zw− 5, 42)

�

[9.41]V2 = Vzw 3, 44ln(16, 26 zw− 5, 42)

�

Tableau 9.5 Valeurs Cn et Cd pour les équations [9.35] et [9.36] au pas de temps journa-lier (Itenfisu et al., 2003).

Culture de référence Cn Cd

Basse (herbe) 900 0,34

Haute (herbe) 1600 0,38

Turc (1962)

La formule de Turc est basée sur l’étude de nombreuses cases lysimétriques en Europe, enAfrique du nord, en Asie et aux Indes.

[9.42]ETp= 0, 40 (Rs+ 50) TT+ 15

Si l’humidité relative de l’air est inférieure à 50 %, la formule s’écrit :

[9.43]ETp= 0, 40 (Rs+ 50) TT+ 15

�1+ 50− RH70

�ETp = évapotranspiration (mm/mois)

Rs = radiation solaire globale (cal/cm2 j)

T = température moyenne mensuelle de l’air (°C)

L’équation de Turc estime l’évapotranspiration potentielle pour un mois de 30 jours. Elle estaussi utilisée pour estimer l’évapotranspiration potentielle décadaire (10 jours) en remplaçantla constante 0,40 par 0,13.


9.8.3 Méthodes basées sur la température de l’air

Thornthwaite (1944)

L’équation de Thornthwaite a été la première équation publiée permettant d’estimer l’évapo-transpiration. Elle a été développée à partir des mesures sur des cases lysimétriques dans l’estdes États--Unis.

[9.44]ETp= c Ta= 1, 6 �10I�a Ta LA

ETp = évapotranspiration (cm/mois)T = température moyenne mensuelle de l’air supérieure à 0 °C (°C)a, C = constantesI = indice thermiqueL = rapport de la longueur du jour

L’indice thermique est calculé de la façon suivante :

[9.45]I=�12i=1

�Ti5�1,514

Ti = température moyenne mensuelle de l’air supérieure à 0 °C (°C)

La constante ”a” est calculé de la façon suivante :

[9.46]a= 67, 5 10−8 I3 − 77, 1 10−6 I2 + 0, 0179 I+ 0, 492

[9.47]a≈ 0, 016 I+ 0, 492

Le rapport de la longueur du jour est calculé par rapport à un mois de 30 jours de 12 heures declarté :

[9.48]LA=N

30 . 12

N = durée potentielle d’insolation mensuelle (h)

La valeur de LA est estimée au tableau 9.2.

Blaney - Criddle

Laméthode deBlaney--Criddle a été développée principalement pour les zones arides et semi--arides de l’ouest américain et sert principalement à estimer les besoins d’irrigation. Elle estimel’évapotranspiration réelle :

[9.49]CU= K T P100

= K F

CU = évapotranspiration réelle (po/mois)K = coefficient de cultureT = température moyenne mensuelle de l’air (°F)P = % du nombre d’heure de clarté pour le mois par rapport au nombre

annuel (%) (tableau 9.6)


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L’équation s’écrit sous la forme suivante en unité SI :

[9.50]CU= 25, 4 K P100

�95T+ 32�

CU = évapotranspiration réelle (mm/mois)

T = température moyenne mensuelle de l’air (°C)

Les valeurs de “P“ sont estimées au tableau 9.6.

Les valeurs de “K” sont estimées au tableau 9.7.

Tableau 9.6 Pourcentage mensuel d’heures de clarté “P” par rapport au total annuel pourdifférentes latitudes.

Lat.nord J F M A M J J A S O N D

40 6,76 6,72 8,33 8,95 10,02 10,08 10,22 9,54 8,29 7,75 6,72 7,52

42 6,63 6,65 8,31 9,00 10,14 10,22 10,35 9,62 8,40 7,69 6,62 6,37

44 6,49 6,58 8,30 9,06 10,26 10,38 10,49 9,70 8,41 7,63 6,49 6,21

46 6,34 6,50 8,29 9,12 10,39 10,54 10,64 9,79 8,42 7,57 6,36 6,04

48 6,17 6,41 8,27 9,18 10,53 10,71 10,80 9,89 8,44 7,51 6,23 5,86

50 5,98 6,30 8,24 9,24 10,68 10,91 10,99 10,00 8,46 7,45 6,10 5,65

Baier et Robertson (1965)

Lemodèle deBaier et Robertson a été développé à partir desmesures d’un atomètre deBellani:

[9.51]ETp= − 5, 39+ 0, 157 Tmax + 0, 158 �Tmax − Tmin�+ 0, 00457 RA

ETp = évapotranspiration potentielle (mm/j)

Tmax = température journalière maximale de l’air (°C)

Tmin = température journalière minimale--de l’air (°C)

RA = Radiation extra terrestre (cal/cm2 j = Langleys)

Rochette et Dubé (1989a) ont calibré l’équation deBaier et Robertson sur les données préditespar lemodèle de Penman pour la vallée du Saint--Laurent et ils ont obtenu l’équation suivante :

[9.52]ETp= − 2, 40+ 0, 065 Tmax + 0, 083 �Tmax − Tmin�+ 0, 00414 RA


9.9 ÉVAPOTRANSPIRATION RÉELLE (ETR)

La quantité d’eau nécessaire pour rendre une plante à maturité sont les besoins en eau d’uneplante. Une plante a besoin entre 400 et 1000 kg d’eau pour produire un kg de matière sèche.

L’évapotranspiration réelle représente l’évapotranspiration en conditions réelles, ce qui inclutle stade végétatif de la plante et les conditions d’humidité du sol. L’évapotranspiration réelleest représentée par l’équation suivante :

[9.53]Etr= K(Sol) K(Plante) Etp

K(Sol) = facteur sol, 0,0 ≤ K(Sol) ≤ 1,0

K(Plante) = facteur plante, 0,0 ≤ K(Plante) ≤ 1,0

Le facteur sol est présenté par la figure 9.6.

Figure 9.6 Le rapport ETR/ETP en fonction de la teneur en eau du sol.

PF PC CC SATθ

EtrEtp

1,0

Le facteur plante varie de 0,4 à 1,2 selon le stade de croissance et le type de plante. Lors de leurplein développement, les plantes ont généralement un facteur de 1,0. Le tableau 9.7 présentequelques valeurs des coefficients d’évapotranspiration pour les cultures irriguées dans l’ouestdes États--Unis.


Édition 2016

Tableau 9.7 Coefficients d’évapotranspiration pour les cultures irriguées dans l’ouest desÉtats--Unis.

Culture Longueur de la saison oupériode de croissance

Coefficient sai-sonnier d’éva-potranspiration

(K)

Maximummensuel*

(K)

Luzerne Jusqu’aux gelées 0.85 0.95--1.25

Fèves 3 mois 0.65 0.75--0.85

Mais 4 mois 0.75 0.80--1.20

Verger, plantes caduques Jusqu’aux gelées 0.65 0.70--0.75

Pâturage, herbes, annuelles,foin

Jusqu’aux gelées 0.75 0.85--1.15

Patates 3 mois 0.70 0.86--1.00

Céréales à paille 3 mois 0.75 0.85--1.00

Sorgo 5 mois 0.70 0.85--1.10

Betterave à sucre 5 1/2 mois 0.85--1.00

* II est fonction de la température mensuelle moyenne et du stage de croissance des cultures.

9.10 EVAPOTRANSPIRATION EN SERRES

Selon Villère, l’évapotranspiration en serre peut être estimée par l’équation suivante :

[9.54]ETp= 0, 267 τ Rs

τ = coefficient de transmission du rayonnement solaire pour le matériaude couverture [0,6 -- 0,9]

Rs = radiation solaire globale (MJ/m2 j)


Tableau 9.8 Quelques propriétés de l’air.

Température Pression devapeur saturée

Massevolumique

air sec

Massevolumiqueair saturé

Humiditéabsolue

Enthalpieair saturé

°C Pa kg/m3 kg/m3 kg/kg kJ/kg

--10 261 1,342 1,338 0.00161 --6.072--9 286 1.336 1.333 0.00176 --4.691--8 312 1.331 1.327 0.00192 --3.278--7 340 1.326 1.322 0.00210 --1.831--6 371 1.321 1.317 0.00229 --0.347--5 404 1.317 1.311 0.00249 1.176--4 440 1.312 1.306 0.00271 2.743--3 479 1.307 1.301 0.00295 4.355--2 521 1.302 1.295 0.00321 6.016--1 566 1.297 1.290 0.00349 7.7310 615 1.292 1.285 0.00380 9.5021 658 1.286 1.279 0.00406 11.1832 707 1.283 1.274 0.00437 12.9593 759 1.278 1.269 0.00469 14.7864 814 1.274 1.264 0.00504 16.6695 873 1.269 1.258 0.00540 18.6096 936 1.265 1.253 0.00580 20.6117 1002 1.260 1.248 0.00621 22.67î8 1073 1.256 1.242 0.00666 24.8129 1148 1.251 1.237 0.00713 27.02010 1228 .1.247 1.232 0.00763 29.30411 1313 1.242 1.226 0.00816 31.66812 1403 1.238 1.221 0.00873 34.11913 1498 1.234 1.216 0.00933 36.65914 1599 1.229 1.210 0.00997 39.29515 1705 1.225 1.205 0.01064 42.03116 1818 1.221 1.199 0.01136 44.87317 1937 1.217 1.193 0.01212 47.82718 2064 1.213 1.188 0.01293 50.89919 2197 1.208 1.182 0.01378 54.09520 2338 1.204 1.177 0.01469 57.42321 2486 1.200 1.171 0.01564 60.88822 2643 1.196 1.165 0.01666 64.50023 2809 1.192 1.159 0.01773 68.26524 2983 1.188 1.153 0.01887 72.19325 3167 1.184 1.147 0.02007 76.29026 3361 1.180 1.141 0.02133 80.56827 3565 1.176 1.135 0.02268 85.03628 3779 1.172 1.129 0.02409 89.70429 4005 1.168 1.122 0.02559 94.582


Édition 2016

PROBLÈMES

9.1 Calculez l’évapotranspiration potentielle à Québec pour le 1er juillet 2009 par lesméthodes de :

a) Penmanb) Penman--Monteithc) Turcd) Blaney--Criddlee) Baier et Robertson

Données :

Tmax°C

Tmin°C

Trosé°C

Humiditérelative

Vent à 10 m(km/h)

20,9 13.8 14,9 88 8

9.2 À l’aide des normales climatiques que vous pouvez obtenir des sitesWEBd’Environne-ment Canada ou de Météo Média, estimez l’évapotranspiration potentielle des mois demai, juin, juillet, août et septembre pourQuébec ou toute autre ville de votre choix. Vousdevez le faire avec au moins deux méthodes que vous jugerez appropriées et que vousdevez justifier.

9.3 Sur le siteWEB d’Environnement Canada (http://www.climate.weatheroffice.ec.gc.ca/Welcome_f.html), vous pouvez obtenir les données météorologiques quotidiennes dedifférentes stations météorologiques canadiennes. Pour Québec ou une ville de votrechoix, téléchargez les donnéesmétéorologiques dumois de juillet 2010 et estimez l’éva-potranspiration potentielle avec au moins deux méthodes que vous jugerez appropriéeset que vous devez justifier. Pouvez--vous estimer l’évapotranspiration sur une base quo-tidienne?


BIBLIOGRAPHIE

Allen, R. G., L. S. Pereira, D. Raes et M. Smith. 1998. Crop Evapotranspiration -- Guidelinesfor Computing Crop Requirements. FAO Irrigation and Drainage Paper No 56. Rome,Food and Agriculture Organization.

ASCE, 1990. Evaporation and irrigation water requirement. ASCE manuals and reports onEngineering Practice No 70. American Society of Civil Engineering.

ASCE, 2005. The ASCE Standardized Reference Evapotranspiration Equation. Report ofASCE Standardization of Reference Evapotranspiration Task Commitee. AmericanSociety of Civil Engineering.

Baier W. et G. W. Robertson. 1965. Evaluation of latent evaporation from simple weatherobservations. Canadian Journal of Plant Sciences 45: 276--284.

Brutsaert, W., 1991. Evaporation into the atmosphere. Kluwer Academic publishers, Boston

Doorenbos, J et W. O. Pruit. 1977. Crop Evapotranspiration -- Guidelines for Predicting CropRequirements. FAO Irrigation andDrainagePaperNo24, 2nd ed.Rome, Food andAgri-culture Organization.

Gray, D.M., 1972.Manuel des principes d’hydrologie. Comité canadien de la décennie hydro-logique internationale, Ottawa, Canada.

Jensen, M. E., R. D. Burman, et R. G. Allen (ed). 1990. Evapotranspiration and Irrigationwater requirements. American Society of Civil Engineering.

Kimball, H.H., 1914. Monthly Weather Review 42:474.

Mateer, C. L., 1955. A preliminary estimate of average insolation in Canada. Can. J. Agr. Sci.35:579--594.

McKay, G. A., 1962. Evaporation fromWeyburn Reservoir. Progress Rept. 1960--61, CanadaDept.of Agric. PFRA, march, 1962

Musy A. et M. Soutter, 1991. Physique du sol. Presses Polytechniques et UniversitairesRomandes.

Penman, H. L., 1948. Natural evaporation from open water, bare soil and grass. Proc. RoyalSoc. London. 193:120--145.

Philip, J. R., 1957. The physical principles of soil water movement during the irrigation cycle.Proc. 3rd Inter. Congr. Irrigation Drainage 8, 125--154.

Prescott, J. A., 1940. Trans. Royal Society S. Australia 64:114.

Rochette P. et P. A. Dubé, 1989a. Calibration d’une équation simple pour l’estimation d l’éva-potranspiration potentielle. Naturaliste can. (Rev. Ecol. Syst.), 116:193--203.

Rochette P. et P. A. Dubé, 1989b. Variabilité spatiale de l’estimation d l’évapotranspirationpotentielle au Québec méridional. Naturaliste can. (Rev. Ecol. Syst.), 116:267--278.

Schawb, G. O., R. K. Frevert, T.W. Edminster et K. K/ Barnes, 1966. Soil and water conserva-tion engineering. second edition. John Wiley and sons, New--York

CHAPITRE 10Bilan hydrique au Québec

10.1 INTRODUCTION

Au cours des millénaires, l’homme a surtout observé de l’eau les phénomènes de précipitationet d’écoulement dans les cours d’eau, parce que la pluie lui tombait sur la tête et que l’eau descours d’eau pouvait lui être utile ou lui causer des problèmes d’inondation.

Le comportement de l’eau est décrit par le cycle hydrologique (figure ) où interviennent lesprécipitations, l’infiltration, le ruissellement, l’évapotranspiration, la percolation et l’écoule-ment souterrain. L’énergie solaire et la gravité sont les moteurs du cycle10.1.

Figure 10.1 Le cycle hydrologique.

PrécipitationÉvapotranspiration

Évaporation

Mer

Ruissellement

InfiltrationPercolation

Écoulementsouterrain

166 BILAN HYDRIQUE AU QUÉBEC

10.2 LE BILAN HYDROLOGIQUE OU HYDRIQUE

L’étude des problèmes de gestion de l’eau en agriculture (drainage ou irrigation) passe par lacompréhension du bilan hydrologique au niveau du sol (figure 10.2) appelé aussi bilan hydri-que. Le bilan débute avec les précipitations ou les irrigations dont une partie est interceptée parles plantes. La partie qui atteint le sol essaie de s’infiltrer et lorsqu’elle n’y parvient pas, unelamed’eau se forme à la surface du sol et elle ruisselle. La partie qui s’infiltre contribue à humi-difier le sol et à alimenter la nappe phréatique. De l’autre côté, la plante et la surface du solpuisent l’eau dans le sol pour contribuer à l’évapotranspiration. La nappe contribue à l’écoule-ment souterrain et à réalimenter le profil du sol et la plante (remontée capillaire).

Figure 10.2 Bilan hydrologique au niveau de la parcelle.

Évapotranspiration

Écoulement souterrain

Remontée capillaire

Nappe phréatique

Précipitation

Infiltration

Évaporation

Alimentationde la nappe

Humidification

Ruissellement

Le bilan hydrique peut être décrit d’une façon simplifiée par les équations suivantes :

[10.1]Precipitation− Interception = Infiltration+ Ruissellement

[10.2]Infiltration= Humidification+ Alimentation nappe

[10.3]

Evapotranspiration = Infiltration− Ecoul. souterrain

+ Remontee capillaire− ∆Humidification

RÉGIME HYDRIQUE AU QUÉBEC 167

Édition 2016

10.3 RÉGIME HYDRIQUE AU QUÉBEC

Le régime hydrique d’une région s’établit en réalisant le bilan hydrique au cours des différen-tes saisons. À titre d’exemple, le régime hydrique de la plaine du Saint--Laurent est présenté àla figure 10.3

À la fin de l’hiver (figure 10.3), le sol est en général gelé et recouvert d’une couche de neige.Avec le réchauffement des températures, la fonte des neiges débute. Comme le sol est gelé,l’eau s’infiltre peu et elle n’a pas d’autre choix que de ruisseler. Avec la fin de la fonte des nei-ges débute la dégel du sol. Lorsque celui--ci se termine, l’eau accumulée à la surface du soldans les dépressions s’infiltre et rejoint la nappe pour la faire remonter près de la surface du sol.En l’absence de drainage naturel ou autre, la nappe restera près de la surface du sol.

À la fin du printemps, la saison de végétation débute et l’évapotranspiration augmente pro-gressivement. Lorsque l’évapotranspiration dépasse les précipitations, le profil du sol s’assè-che et la nappe s’abaisse alors graduellement car la plante y puise l’eau qu’elle a besoin.

Avec la fin de l’été, l’évapotranspiration diminue et elle devient inférieure aux précipitations.Le profil du sol recommence à s’humidifier, la nappe est éventuellement réalimentée et elleremonte graduellement au cours de l’automne pour atteindre parfois la surface du sol.

Avec l’arrivé de l’hiver, le sol gèle, les précipitations sont principalement sous forme de neigeet elles s’accumulent à la surface du sol. Comme la nappe est peu alimentée, elle s’abaisse len-tement dépendant des conditions de drainage naturel.

La figure 10.4 présente un bilan hydrique typique de la plaine du Saint--Laurent. Le régime desprécipitations est relativement uniforme. L’évapotranspiration est généralement supérieureaux précipitations pendant l’été, créant ainsi un déficit hydrique et expliquant les besoins enirrigation de certaines cultures. Le ruissellement est important au moment de la fonte des nei-ges et à l’automne. La nappe est élevée au printemps et à l’autommne, créant des problèmeslors des semis et aumoment des récoltes. Lemêmebilan réalisé lors d’une année humidemon-trerait des nappes élevées au cours de la saison de croissance des plantes et des ruissellementsimportants lors des orages.

La figure 10.5 montre l’évolution de la nappe dans un champ sous production de luzerne dansla région de Saint--Clet (ouest de Montréal) pour les années 1976 et 1977.

168

Figure 10.3 Évolution du régime hydrique dans la plaine du Saint--Laurent.

Neige

Sol gelé

PRINTEMPS

ÉTÉ

Sol gelé

Pte > Etr

Etr > Pte Etr > Pte Pte > Etr

Pte >> EtrPte > Etr

AUTOMNE

Neige

Sol gelé HIVERSol gelé

Sol gelé

Neige Neige

Pte >> Etr

169

Édition 2016

Figure 10.4 Bilan hydrique moyen au Québec.

J F M A M J J A S O N D

PrecipitationEvapotrans--

piration

PluieNeige

Hauteurd’eau


Ruissellement

Debit


Nappe phréatique

Profondeur

170

Figure 10.5 Évolution de la nappe dans un champ sous production de luzerne dans larégion de Saint--Clet (ouest de Montréal) pour les années 1976 et 1977.

Avril Mai Juin Juillet Aout Sept Oct

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

210

220

1 6131 92 123 153 184

Niveau

des drains

Surface du sol

1976

1977

Période de croissance (jours)

Profondeurdelanappe(cm)

CHAPITRE 11Migration des substances

11.1 INTRODUCTION

L’application d’engrais minéraux ou organiques apportent des quantités d’azote qui se trans-forment en nitrates. Ces nitrates sont prélevés par les plantes pour leur croissance. Ils sont aussitransportés vers les nappes par l’eau qui percole dans le sol et les nappes les transportent à leurtour vers les cours d’eau. Les autres substances solubles dans le sol subissent les mêmes phé-nomènes. Dans une perspective de protection de l’environnement, les phénomènes de diffu-sion, de transport et de lessivage des solutés doivent être considérés. Ce chapitre présente som-mairement ces phénomènes et quelques lois de base qui les régissent.

11.2 LOIS DE MIGRATION DES SUBSTANCES

Les flux de soluté dans un sol peuvent être décrits sommairement par l’équation suivante :

[11.1]q→s = [C] q→− [D]{∇[C]}

→+ fn([C], x, y, z, t)

flux = �ConvectionDispersion

�+ Diffusion+ Réaction

qs = Flux de soluté (g/s)q = Flux d’eau (m/s)

[C] = Concentration de soluté (g/l)

D = Coefficient de diffusion (m2/s)x,y,z = directions (m)

t = temps (s)fn = production de soluté (g/s)

172 MIGRATION DES SUBSTANCES

La diffusion est le phénomène de migration d’une substance sous l’influence du gradient deconcentration. Ce phénomène est très important au niveau des racines. Celles--ci prélèvent lessubstances comme les nitrates et créent ainsi une plus faible concentration de cet élément prèsd’elles. La différence de concentration entre lemilieu ambiant et la proximité des racines (gra-dient de concentration) provoque la migration des substances de la plus grande concentrationvers la plus petite. Ce phénomène se produit principalement au voisinage des racines dans lesol. Il se produit aussi entre les micropores (solution du sol) et les macropores (eau de percola-tion).

La convection/dispersion est le phénomène de transport des substances par le flux d’eau. L’eauqui percole dans le sol suite à une infiltration vient en contact avec l’eau du sol dans les micro-pores qui contient des substances en solution. Sous l’effet du gradient de concentration, cessubstances migrent des micropores vers les macropores par diffusion jusqu’à équilibre desconcentrations (ce phénomène est aussi appelé mélange). L’eau des macropores continue sonchemin chargée de nouvelles substances. Le phénomène est appelé convection pour exprimerle transport des substances par le flux d’eau (sans flux, pas de déplacement). Le phénomène estaussi appelé dispersion car, dans le sol, les pores ne sont pas tous de même dimensions et ledéplacement de l’eau se fait à des vitesses différentes d’un pore à l’autre donnant l’impressionque la substance se disperse avec le flux. Le phénomène de transport des substances par perco-lation de la zone de surface du sol où les concentrations sont élevées vers le bas de la colonnedesol est aussi appelé lessivage ou lixiviation car la percolation de l’eau d’infiltration y produitune déperdition des substances des couches de surface.

Le phénomène de réaction permet d’exprimer toutes les réactions comme celles du cycle del’azote (minéralisation, fixation, etc.).

En lien avec les processus d’infiltration présentés au chapitre CH--8, le processus de transportou lessivage peut être présenté schématiquement par la figure 11.1. Le sol peut être représenté

Figure 11.1 Représentation schématique du phénomène de lessivage dans une couche de sol

θPte

PF

SAT

CCq→· [C]

N--NH4

N--NO3

BILAN DE SUBSTANCES 173

Édition 2016

par une suite de couches de sol et chaque couche de sol peut être représentée par un réservoircomme celui de la figure 11.1. Lors d’une pluie, le sol se réhumidifie et correspond au remplis-sage du réservoir. L’eau est retenue par les micropores. Lorsque le sol atteint la capacité auchamp, le surplus doit être évacué par le trop plein (les macropores) et il va humidifier la cou-che de sol suivante. Ce surplus quitte la couche de sol avec la concentration des substances ensolution, ce qui constitue le phénomène de lessivage parfois appelé lixiviation.

11.3 BILAN DE SUBSTANCES

L’équation 11.1 permet d’exprimer les phénomènes à un niveau plus oumoinsmicroscopique.L’approche des bilans de masse est souvent suffisante pour analyser les situations. Au niveaud’un hectare de sol, l’équation du bilan de masse d’une substance due à un flux pendant uncertain temps (volume d’eau) s’exprime :

[11.2]Vs =[C]100

Vq

Vs = Volume de la substance (kg/ha)

Vq = Volume d’eau (mm)

[C] = Concentration de la substance (mg/l)

Cette équation représente la convection. Le volume d’eau représente le volume percolé et paranalogie avec la précipitation, il est exprimé en mm sachant qu’un mm représente 1 l/m2. Lefacteur 100 correspond à la conversion des unités de mm en l/m2, de m2 en ha et de mg en kg.

174 MIGRATION DES SUBSTANCES

11.4 CYCLE DE L’AZOTE

Pour comprendre la lessivage des nitrates, il est important de comprendre la cycle de l’azote etson interaction avec le cycle de l’eau qui est défini localement par le bilan hydrique tel queprésenté à la figure 5.2. La figure 11.2 présente les principales réactions qui sont présentesdans le cycle de l’azote. La figure permet de distinguer la localisation dans le sol des différen-tes formes de l’azote (fixé aux particules de sol, dans les macropores et les micropores).

Figure 11.2 Schéma des réactions du cycle de l’azote.

N--ORG N--NH4 N--NO3N--NH4fixé

Nitrification

SOLFixé

Désorption

Immobilisation

Minéralisation

Adsorption

MicroporesSoluble

MacroporesSoluble

Plante

Prélèvement

Résidus

La figure 11.3 ajoute le bilan hydrique au cycle de l’azote et permet d’identifier les éléments ducycle qui sont associés au cycle de l’eau et les interactions avec ce dernier.

La figure 11.4 présente schématiquement l’introduction de matières fertilisantes azotées sousforme organique ou autre dans le cycle de l’azote. La matière fertilisante est divisée en troiscomposantes, la fraction organique (N--ORG), la fraction soluble sous forme de nitrates(N--NO3) et d’azote ammoniacale (N--NH4).

175

Édition 2016

Figure 11.3 Schéma du cycle de l’azote couplé au bilan hydrique.


Nitrification

SOLFixé

Désorption

Immobilisation

Minéralisation

Adsorption

MicroporesSoluble

MacroporesSoluble

Plante

Prélèvement

Résidus

RUISSELLEMENT

PERCOLATION

LESSIVAGE

Dénitrification

Figure 11.4 Fertilisants dans le cycle de l’azote.


Nitrification

SOLFixé

Désorption

Immobilisation

Minéralisation

Adsorption

MicroporesSoluble

MacroporeSoluble

Plante

Prélèvement

Résidus

FERTILISANT + PRÉCIPITATION

N--ORG N--NH4 N--NO3

Volatilisation

176

11.5 EXEMPLES

Les exemples qui suivent proviennent d’expériences réalisées sur des cases lysimétriquesdrainantes (figure 11.5) installés sur des sols sableux de la région de Portneuf (Gasser et al.,2000). Le récipient collecteur permettait de recueillir l’eau de percolation au bas de la colonnede sol et de lamesurer la concentration des différentes substances d’intérêt. La surface du lysi-mètre a 1 m2 et chaque litre d’eau représente 1 mm.

Figure 11.5 Diagramme d’un lysimètre drainant.

La figure 11.6 présente l’évolution des concentrations en nitrates au bas de la colonne de solpour une culture de pommes de terre en 1996. La figure montre des concentrations relative-ment faibles au printemps mais qui s’accroissent en été lorsque le front de lessivage atteint laprofondeur du lysimètre. Elles semaintiennent élevées jusqu’en automne et elles commencentpar la suite à décroître lorsque la masse de nitrates diminue dans le sol suite au lessivage. Pen-dant les étés secs, le lessivage se produit plus tard à l’automne. Desmesures ont aussi été faitesavec des applications de lisiers et le même phénomène a été observé. Les nitrates accumulésdans le sol à la fin de la période de culture est lessivé par la percolation des pluies d’automne etles concentrations en nitrates diminuent par la suite pour devenir relativement faible le prin-temps suivant. La figure montre des concentrations en nitrates largement supérieures à lanorme de 10 mg/l et elle montre un cas avec une concentration approchant 200 mg/l.

Sur ce site, la précipitation demai à octobre a été de 739mm, la percolation au bas du lysimètrede 286 mm et la concentration moyenne en nitrates de 42 mg/l. L’évapotranspiration peut enêtre déduite, soit 453 mm (739 mm -- 286 mm). La masse de nitrates lessivés est selon l’équa-tion 11.2 de :

[11.3]120 kg�ha =286 mm . 42 mg�l

100

BIBLIOGRAPHIE 177

Édition 2016

Figure 11.6 Évolution des concentrations de nitrates mesurées dans les eaux de lysimètresdrainants sous une culture de pomme de terre dans la région de Portneuf(Gasser, 2000).

Sur ce site, les concentrations en nitrates dans le sol ont étémesurées au printemps et à la fin del’automne. Les rendements de pomme de terre ont été de 36 mg/ha. Le bilan des nitrates estprésenté au tableau suivant. Il présente aussi le bilan pour une culture de trèfle et de mil.

Pdt trèfle mil mil

Stocks dans le sol au printemps 17 kg/ha -- -- --

Engrais 160 kg/ha 0 kg/ha 49 kg/ha 43 kg/ha

Prélevés par les plantes 100 kg/ha 119 kg/ha 105 kg/ha 70 kg/ha

Lessivé 120 kg/ha 20 kg/ha 15 kg/ha 7 kg/ha

Stocks dans le sol à l’automne 20 kg/ha + 7 kg/ha -- 5 kg/ha +24 kg/ha

Minéralisation -- pertes 63 kg/ha 147 kg/ha 66 kg/ha 58 kg/ha

BIBLIOGRAPHIE

Gasser, M.O. 2000. Transformation et transfert de l’azote dans les sols sableux cultivés enpomme de terre. Thèse de Ph. D., Université Laval.

CHAPITRE 12Calcul de l’erreur

12.1 INTRODUCTION

L’évaluation ou la mesure de tout phénomène amène une certaine imprécision ou erreur :

[12.1]mesure = mesure � precision

[12.2]valeur = valeur � erreur

12.2 NOTION DE LIMITE DE CONFIANCE

Lorsque plusieurs mesures sont effectuées, la précision ou l’erreur de mesure correspond àl’écart type des mesures (Sx) :

[12.3]precision ou erreur = Sx

Cette précision ou erreur d’une valeur X correspond à un probabilité de 68 % :

[12.4]p(X− Sx � X � X+ Sx) = 0, 68

Ainsi, l’erreur ou la précision peut être associée à une probabilité :

[12.5]mesure = mesure � E(probabilite)

Unemesure ou une valeur est définie avec zone d’erreur ou de précision qui est appelée limitesde confiance :

[12.6][X− E, X+ E]

180 CALCUL DE L’ERREUR

Si l’on considère les limites de confiance avec une probabilité “p”, l’erreur se définit :

[12.7]E(p) = K(p) Sx

K(p) = Facteur de fréquence pour une probabilité “p”

Si le nombre de mesures est grand (n→∞), les probabilités d’une distribution normale sontutilisées :

[12.8]E(p) = Z(p) Sx

Z(p) = Facteur de fréquence de la distribution normale pour uneprobabilité “p”

Si le nombre de mesures est faible (n<20)), les probabilités d’une distribution de student sontutilisées.

[12.9]E(p) = τ(p, n) Sx

τ(p,n) = Facteur de fréquence de la distribution de Student pour uneprobabilité ”p” et un degré de liberté ”n”

De façon courante, les limites de confiance sont considérées avec une probabilité de 95% (5%de probabilité d’incertitude) dans le monde scientifique alors que le monde de l’ingénieriepeut considérer une probabilité de 90 %. Avec une probabilité de 95 % et un grand nombre demesures, les limites de confiance sont :

[12.10]E = 2 Sx

12.3 TYPES D’ERREURS

Les types d’erreur sont :

� les erreurs de mesures (ε ) liées principalement aux limites de l’appareil,

� les erreurs de manipulations (Smx) liées principalement aux limites humaines,

� la variabilité du milieu échantillonné (Svx)

En considérant l’hypothèse d’une distribution normale des sources d’erreur et la loi d’additionde la variance, l’écart type total s’exprime :

[12.11]S2x = S2

mx + S2vx + �2

ESTIMATION DE L’ERREUR D’UNE FONCTION 181

12.4 ESTIMATION DE L’ERREUR D’UNE FONCTION

Dans plusieurs cas, nous devons estimer un phénomène à partir d’une fonction et de mesuresentachées d’erreurs. Si le phénomène est décrit par la fonction suivante :

[12.12]y = f �x1, x2, x3, ..., xn�

Selon le théorème de Taylor, la variation de cette fonction est :

[12.13]dy = ∂F∂x1

dx1 +∂F∂x2

dx2 + ... + ∂F∂xn

dxn

Lorsque réécrit sous forme de différences finies, elle s’écrit :

[12.14]∆y = ∂F

∂x1∆x1 +

∂F∂x2

∆x2 + ... + ∂F∂xn

∆xn

[12.15]∆y = ∆y�x1

�+ ∆y�x2�+ ... + ∆y(xn)

L’erreur étant une différence due à une variation,

[12.16]Ey = ∆y = E�x1�+ E�x2

�+ ... + E(xn)

[12.17]Ey =∂F∂x1

E∆x1+ ∂F

∂x2E∆x2

+ ... + ∂F∂xn

E∆xn

Comme l’erreur de la diférence correspond à l’erreur de la variable E∆x= Ex ,

[12.18]Ey =∂F∂x1

Ex1+ ∂F

∂x2Ex2

+ ... + ∂F∂xn

Exn

En considérant une fonction simple,

[12.19]y = A+ B

et en faisant un retour aux statistiques, la variance et l’écart--type de cette fonction s’écrivent :

[12.20]Var(y) = Var(A+ B) = Var(A) + Var(B)

[12.21]S2y = S2

A+B = S2A + S2

B

Cette dernière équation est valide si A est considéré indépendant de B.

En considérant une probabilité de 95 %, l’erreur s’écrit :

[12.22]E2y = �2 Sy�

2

[12.23]E2y = E2

A+B = E2A + E2

B = 22 S2A + 22 S2

B


En considérant la fonction suivante :

[12.24]y = f �x1, x2, x3, ..., xn�

et x1, x2, . . ., xn étant indépendant, nous obtenons par analogie l’expression de l’erreur de cettefonction :

[12.25]E2y = E2�x1

�+ E2�x2�+ ... + E2(xn)

[12.26]E2(x1) = E2 �∂F

∂x1dx1�= �∂F∂x1

�2

E2�dx1�= �∂F∂x1

�2

Ex1

2

[12.27]E2y = �∂F∂x1

�2

Ex1

2 + �∂F∂x2�2

Ex2

2 + ... + �∂F∂xn�2

Exn2

Cette expression de l’erreur est appelée erreur probable car basée sur les probabilités ou erreurquadratique car exprimant l’erreur au carré.

12.5 FORMES D’ERREURS

En résumé, voici les principales formes de l’erreur.

Erreur absolue :

[12.28]Ey = E�x1�+ E�x2

�+ ... + E(xn)

Erreur relative :

[12.29]Ey

y =E�x1

�+ E�x2�++ E(xn)

f �x1, x2, , xn�

Erreur probable ou quadratique :

[12.30]E2y = E2�x1

�+ E2�x2�+ ... + E2(xn)

EXEMPLES D’ESTIMATION DES ERREURS 183

12.6 EXEMPLES D’ESTIMATION DES ERREURS

Cette section va présenter l’évaluation de l’erreur de quelques cas d’intérêt.

12.6.1 Erreur de l’évaluation d’une somme

Dans la vie de tous les jours, il est courant d’évaluer la somme dune série de mesure :

[12.31]Val =n

i=1

Xi

L’erreur sur le calcul de cette somme s’effectue comme suit car la dérivée d’une somme estégale à la somme des dérivées :

[12.32]EVal =∂Val∂X EX =

n

i=1

∂Xi

∂X EX =n

i=1

1 EX = n EX

L’erreur quadratique ou probable s’évalue de la même façon :

[12.33]E2Val = �∂Val

∂X�2EX

2 =n

i=1

�∂Xi

∂X�2

E2X =

n

i=1

1 E2X = n E2

X

Elle s’exprime lorsque la racine carrée est extraite à la forme suivante :

[12.34]EVal = n� EX

Cette dernière expression montre que l’erreur probable s’accumule selon la racine carrée dunombre de mesures, les erreurs cherchant à se compenser.

12.6.2 Erreur de l’évaluation d’une moyenne

Il est courant d’évaluer une moyenne :

[12.35]Moy = 1nn

i=1

Xi

L’erreur absolue s’exprime :

[12.36]EMoy =∂Moy

∂X EX = 1nn

i=1

∂Xi

∂X EX = 1nn

i=1

1 EX = EX

L’erreur quadratique ou probable s’exprime :

[12.37]E2Val = �∂Moy

∂X�2

EX2 = 1

n2n

i=1

�∂Xi

∂X�2

E2X = 1

n2n

i=1

1 E2X = 1

n2 n E2X = 1

n E2X

[12.38]EMoy =1n�EX


Cette formulation est identique à l’estimation statistique de l’écart type d’une moyenne :

[12.39]SMoy =1n�SX

Ces deux dernières expressionsmontrent que plus le nombre demesures augmente plus la pré-cision de l’estimation de la moyenne augmente.

12.6.3 Erreur sur bilan hydrique

Les bacs flottants (figure 12.1) sont utilisés pourmesurer l’évaporation d’un surface de liquidecomme un lac, un étang, un réservoir, une lagune ou une fosse à lisier. En flottant sur le milieu,l’eau qu’il contient est à la même température que le milieu avoisinant et reproduit bien lesconditions et les phénomènes impliqués.

Figure 12.1 Schéma d’un bac d’évaporation flottant.

FlotteurTige graduée

Réservoir1,2 m diam.

PteET

VUE EN PLAN

VUE EN COUPE

En étant un système fermé, l’évaporation peut facilement être estimée en mesurant les varia-tions du niveau de l’eau et les précipitations :

[12.40]ETR = Hj − Hj+1 +n

i=1

Ptei

L’erreur probable de mesure de l’évaporation peut facilement être estimée :

[12.41]E2ETR = 2 E2

H + n Etp2

Le tableau 12.1 présente les mesures effectuées (niveaux d’eau et précipitations) avec un bacflottant au--dessus d’une fosse à lisier et l’estimé de l’erreur. L’erreur de mesure du niveaud’eau a été estimée à 5 mm et l’erreur de mesure de chaque précipitation à 1,0 mm (certainspluviomètres ont une précision 0,2 mm)

BIBLIOGRAPHIE 185

Que les périodes soient courtes ou longues, l’erreur de mesure de l’évaporation reste du mêmeordre de grandeur car elle est dominée par l’erreur de mesure du niveau d’eau dans le bac audébut et à la fin de la période. Des mesures intermédiaires du niveau d’eau n’ont pas d’impactsur l’erreur. Avec une évaporation de l’ordre de 5mm/j dans ce cas--ci et la précision desmesu-res, il est impossible de mesurer l’évaporation sur une base journalière. La période minimalede mesure pour une erreur inférieure à 2% est de l’ordre de 7 à 10 jours.

Tableau 12.1 Bilan réalisé autour d’un bac flottant installé sur une fosse à lisier (Lehoux,1994).

Période Nb de jours Précipita-tions(mm)

Niveau bac(mm)

Évaporation(mm)

Erreurévaporation

(mm)

25 mai -- -- 533 -- --

25/05 au 9/06 15 20 502 51 9

9/06 au 18/06 9 9 467 44 9

Fin bilan #1 24 29 95 9

18 juin -- -- 530 -- --

18/0 au 22/06 4 26 546 8 9

22/06 au 6/07 14 59 560 47 9

6/07 au 17/07 11 85 611 34 9

Fin bilan #2 29 170 89 10

17 juillet -- -- 527 -- --

17/07 au 29/07 12 62 546 43 9

29/07 au 3/08 5 30 565 17 9

3/08 au 12/08 9 30 559 36 9

12/08 au 28/08 16 6 529 36 9

28/08 au 12/09 15 42 532 39 9

Fin bilan #3 57 176 171 10

Bilan global 110 375 355 17

BIBLIOGRAPHIE

Lehoux, N., 1994. L’évaporation du lisier et fumier pour quelques sites au Québec. Thèse demaitrise es sciences, Université Laval.


PROBLÈMES

12.1 Estimez l’erreur de mesure du volume d’eau d’un contenant rectangulaire dont lesdimensions sont 3,50 m de largeur, 4,50 m longueur et de 2,50 m de profondeur si l’er-reur de mesure (ou de construction) sur les dimensions est de ±1 cm.

12.2 Estimez l’erreur sur le volume d’eau contenu dans une colonne de sol d’unmètre de pro-fondeur si la teneur en eau est mesurée par horizons de 20 cm et l’erreur de mesure de lateneur en eau est de 1,5 % (base volumique).

12.3 Estimez l’erreur sur le volume d’eau drainé de la colonne de sol du problème précédent.

12.4 Estimez l’erreur sur le volume d’eau évacué d’un réservoir si le débit est mesuré aux 10minutes avec une précision de 5 %.

12.5 Pour déterminer le profil d’humidité d’un sol, vous prélevez cinq échantillons de sol surune profondeur de 100 cm à intervalles de 20 cm. Vous répétez l’échantillonnage surtrois profils pour améliorer la précision. Les échantillons de sol sont séchés à l’étuve à105 oC pendant 24 heures et ils sont pesés avant et après séchage avec une balance sensi-ble au 0,2 g pour en déterminer la teneur en eau. Le poids des échantillons de sol est d’en-viron 60 g. Les masses volumiques apparentes sèches ont été déterminées auparavantauxmêmes profondeurs avec cinq échantillons par profondeur. Les résultats sont les sui-vants :

Teneur en eau (base pondérale) Masse Écart typeProfondeur volumique masse

(cm) Profil 1 Profil 2 Profil 3 apparente volumique(kg/m3) (kg/m3)

0 -- 20 24.8 25.2 26.7 1280 42

20 -- 40 21.1 22.4 21.7 1560 33

40 -- 60 19.3 20.4 22.2 1570 41

60 -- 80 20.1 21.1 20.7 1660 35

80 --100 20.0 20.7 20.2 1620 29

a) Déterminez le profil moyen des teneurs en eau volumiques,b) Estimez l’erreur de mesure des teneurs en eau pondérales,c) Estimez l’erreur de mesure des teneurs en eau volumiques,d) Estimez l’erreur du volume d’eau stockée dans le profil du sol.

PROBLÈMES 187

12.6 Vous voulez estimer l’évaporation d’un réservoir où les seules entrées sont les précipita-tions et les seules sorties sont l’évaporation. L’évaporation est estimée par l’équationsuivante

[12.42]ET =n

i=1

Ptei − ∆S =n

i=1

Ptei + Ho − Hn

Pte = précipitation (mm)

Ho = niveau d’eau au temps ”0”

Hn = niveau d’eau au temps ”n”

Estimez l’erreur sur l’évaporation si les précipitations sont mesurées avec une précisionde 0,2 mm et les niveaux d’eau avec une précision de 2 mm et qu’il tombe 10 précipita-tions pendant la période.Quelle est l’erreur si la période demesure est coupée demoitié?

12.7 Le volume d’eau est estimé par l’intégration des débits dans le temps en les sommant surune période de temps

[12.43]V =n

i=1

Qi ∆t

Qu’elle est l’erreur d’estimation du volume?

Qu’elle est l’impact sur l’erreur d’estimation du volume si le pas de temps est coupé demoitié (double la fréquence des mesures)? Est--ce intéressant?

12.8 Si vous connaissez la courbe des débits classés journaliers d’une rivière (courbe de fré-quence des débits), comment pouvez vous estimer l’erreur sur le volume annuel de ruis-sellement si les débits sont mesurés avec une précision de 10%?

12.9 Pour les problèmes du CH--6, estimez l’erreur sur la conductivité hydraulique non satu-rée si vous ne lissez pas les données. Estimez cette erreur si vous lissez les données.

��

CHAPITRE 13Autres types d’écoulement

13.1 INTRODUCTION

Il existe plusieurs formes d’écoulement : les écoulements sous forme liquide, les écoulementssous forme de vapeur d’eau, les écoulements biphasiques et les écoulement de solutés. Ce cha-pitre essaie de les traiter sommairement et de les présenter dans un esprit de perspective enfaisant certains rappels. L’ouvrage suivant traite certains des thèmes plus en profondeur.


Pour chacun des types d’écoulement, l’équation du flux et l’équation de la continuité serontprésentés.

13.2 ÉCOULEMENT SATURÉ

L’équation du flux est représentée par l’équation de Darcy :

[13.1]qx = − Kx∂φ∂x , qy = − Ky

∂φ∂y , qz = − Kz

∂φ∂z ,

[13.2]q = − Kx∂φ∂x i

→− Ky

∂φ∂y j

→− Kz

∂φ∂z k

→= − K ∇φ

L’équation de la continuité est représentée par l’équation de Laplace :

[13.3]Kx∂2φ∂x2

+ Ky∂2φ∂y2

+ Kz∂2φ∂z2

= K ∇2φ = 0

En utilisant l’hypothèse deDupuit--Forcheimer, le flux s’exprime en fonction de gradient de lahauteur de la nappe (H)

[13.4]q→x ≈ − Kx

∂H∂x , q

→y ≈ − Ky

∂H∂y , q

→z ≈ 0

190 AUTRES TYPES D’ÉCOULEMENT

L’équation de la continuité s’exprime alors :

[13.5]f dHdt

= ddx�Kx H

∂H∂x+ d

dy�Ky H

∂H∂y+ R

Pour simplifier l’écriture, le reste du chapitre va utiliser la notation vectorielle abrégée.

13.3 ÉCOULEMENT NON SATURÉ

En milieu non saturé, le flux peut s’écrire sous trois formes :

[13.6]q = − K(h) ∇(h+ z)

[13.7]q = − K(φ− z) ∇φ

[13.8]q = − D(θ) ∇θ

L’équation de la continuité s’écrit aussi sous trois formes :

[13.9]C(h) ∂h∂t = ∇ (− K(h) ∇h )+ ∂∂z Kz(h)

[13.10]C(φ− z)∂φ∂t = ∇ (− K(φ− z) ∇φ )

[13.11]∂θ∂t = ∇ (− D(θ) ∇θ )+ ∂

∂z Kz(θ)

13.4 ÉCOULEMENT SOUS FORME DE VAPEUR

L’écoulement sous forme de vapeur est traité par Musy et Soutter (1991) aux pages 137--141.Le flux est représenté par une équation de diffusion sous forme de gradient de teneur en eau oude pression de vapeur d’eau (pa), ρ étant la masse volumique du gaz et θa la teneur en air volu-mique :

[13.12]q = − Dv∂�∂θ

∇θ

[13.13]q = − Kra ∇pa

L’équation de la continuité s’écrit aussi sous deux formes :

[13.14]∂θ∂t = ∇ �− Dv

∂�∂θ

∇θ

[13.15]θa∂pa

∂t = ∇ (− Kra pa ∇pa )

ÉCOULEMENT SOUS FORME LIQUIDE ET DE VAPEUR 191

Édition 2016

13.5 ÉCOULEMENT SOUS FORME LIQUIDE ET DE VAPEUR

L’écoulement sous forme liquide et de vapeur combine les équations des deux formes d’écou-lement en utilisant la même variable (θ) :

[13.16]q = − �D(θ)+ Dv∂�∂θ ∇θ

L’équation de la continuité additionne les deux équations [13.11] et [13.14] :

[13.17]∂θ∂t = −∇ � �D(θ)+ Dv

∂�∂θ ∇θ + ∂

∂z Kz(θ)

13.6 ÉCOULEMENT BIPHASIQUE

L’écoulement biphasique est traite est traité par Musy et Soutter (1991) aux pages 141--145.L’infiltration dans une colonne de sol dont les bas est fermé est un bon exemple d’écoulementbiphasique. L’eau en s’infiltrant sature le haut de la colonne et sous l’effet de cette infiltration,l’air devient emprisonné sous le front mouillant et il doit s’échapper au travers du front pourlaisser pénétrer l’eau. L’air devient alors sous pression et le gradient de pression va alors pro-voquer son écoulement vers la surface en sens inverse du mouvement de l’eau.

13.7 ÉCOULEMENT AVEC GRADIENT DE TEMPÉRATURE

Ungradient de température provoque un écoulement. Cet écoulement est lentmais peut provo-que des phénomènes importants sur une longue période. C’est le type d’écoulement qui provo-que la formation de lentilles de glace dans les sols et les phénomènes de ”panse de vache” auprintemps lors du dégel, la terreur pour les routes. L’équation du flux est :

[13.18]q = DT(θ) ∇T

et l’équation de la continuité s’exprime :

[13.19]∂θ∂t = ∇ � DT(θ) ∇T

13.8 ÉCOULEMENT OSMOTIQUE

Un gradient de concentration en sel va provoquer un écoulement de l’eau du milieu le moinsconcentré vers le milieu le plus concentré :

[13.20]q = Do(θ) ∇C

et l’équation de la continuité s’exprime :

[13.21]∂θ∂t = ∇ ( Do(θ) ∇C )

192 AUTRES TYPES D’ÉCOULEMENT

13.9 ÉCOULEMENTS MULTIPLES

L’écoulement total peut être vue comme la somme des écoulements dues à chacune des forces.Le flux est la somme des flux :

[13.22]q = − D(θ) ∇θ− Dv∂�∂θ

∇θ+ DT(θ) ∇T+ Do(θ) ∇C

L’équation de la continuité est la somme des équations :

[13.23]∇ � DT(θ) ∇T +∇ ( Do(θ) ∇C )

∂θ∂t = ∇ (− D(θ) ∇θ )+ ∂

∂z Kz(θ)+∇ �− Dv∂�∂θ

∇θ+

13.10TRANSPORT DE SOLUTÉS

Le flux de matière qs est décrit par :

[13.24]qs = [C] q→− D ∇[C]+ fn([C], t)

L’équation de la continuité s’exprime :

[13.25]ddt

([C] θ) = ∇ �[C] q→ + ∇ (− D ∇[C] )+ Fn([C], t)

ConvectionDispersion

�+ Diffusion+ Réaction

BIBLIOGRAPHIE


1

GAA--7003 -- INFILTRATION ET DRAINAGE

Projet -- 2016

INTRODUCTION

Dans le cadre de ce cours, vous devez réaliser un projet qui vaut pour 35% de la note du trimestre.

SUJET

Vous pouvez choisir tout sujet qui vous intéresse à condition qu’il soit en relation avec le cours etque vous utilisez certains aspects théorique du cours. Il doit être approuvé par le professeur. Le sujetpeut être de nature théorique, pratique ou une revue de littérature. Vous pouvez approfondir un sujetque vousavez déjà étudiémaisvous nepouvez présenter un travail que vousavez réalisé dans le cadred’un autre cours.

Voici quelques exemples de sujets réalisés les années passées :� Modèle de bilan hydrique pour la gestion de réservoirs de rétentions� Drainage sous la chaussé des rues� Drainage de résidus miniers� Infiltration des hydrocarbures dans un milieu non saturé� Optimisation des systèmes de drainage pour les canneberges� Écoulements dans le biofiltres aérobies

ÉTAPES DE RÉALISATION

Le tableau suivant résume les principales étapes de la réalisation de votre projet et les dates qui y sontassociées :

9 février 2015 Remise du sommaire de votre projet

16 février 2015 Acceptation du sujet par le professeur et commentaires

15 mars 2015 Remise de la description de votre projet

22 mars 2015 Acceptation par le professeur de la description de votre projet etcommentaires

26 avril 2015 -- 9h00 Présentation informelle de votre projet devant vos confrères

28 avril 2015 -- 17h00 Date limite de remise de votre rapport

AMPLEUR DU PROJET

Le projet ne se définit pas en terme de nombre de pages. Le projet correspond à un travail de 15 à20 heures et sa présentation se fera en trois étapes : un sommaire du projet, une description du projetet un rapport accompagnée d’une présentation informelle.

SOMMAIRE DU PROJET

Le sommaire du projet comprend le titre et un résumé d’une dizaine de lignes décrivant le projet.Il a pour but de déterminer par le professeur la faisabilité de votre projet dans le cadre du cours etd’en limiter l’ampleur.

DESCRIPTION DU PROJET

La description du projet (2 à 3 pages) comprend :� le titre révisé,

2

� la description de la problématique (25 lignes),� les objectifs,� le plan détaillé,� la méthodologie de travail qui sera utilisée.

Cette étape a pour but de vous permettre de bien définir votre projet avec le professeur.

RAPPORTLa partie principale du projet est réalisée sous forme d’un rapport. Comme les sujets sont variés, ilspeuvent être traités de différentes façons. Il est alors difficile d’imposer une structure trèsparticulièreau corps du rapport. Vous jouissez d’une certaine liberté que vous devez mettre à profit. Le rapportaura en gros la structure suivante :

� Introduction qui présentera la problématique et les objectifs du rapport,� Corps du rapport structuré selon vos besoins,� Conclusion,� Annexes si nécessaires.

Le rapport doit être dactylographié. Pour celles et ceux qui s’interrogent sur la rédaction techniquedes rapports, je recommande le “Guide de réaction d’un rapport technique”, écrit par IsabelleLeclerc, Éric Kavanagh, René Lesage et Christian Bouchard pour le cours COM--1901 Ingénierie,design et communications. Le guide est disponible sur le site WEB du cours.Le rapport peut contenir des annexes qui sont tout document que vous jugez pertinent mais qui nefait pas partie du corps du rapport (ex. feuilles de relevés individuels, calculs, etc.). Les annexesn’ontpas l’obligation d’être dactylographiées.Il est important de référencer tout matériel, documents et sources que vous utilisez sinon vouspouvez être accusé de plagiat. Le plagiat est une infraction académique passible de sanctions.Aucun plagiat ne sera toléré. Vous êtes tenu de consulter le site suivant dès le début du cours :http://www.fsaa.ulaval.ca/plagiat.html qui vous informera sur le plagiat et ses conséquences(http://www.ulaval.ca/sg/reg/Reglements/Reglement_disciplinaire.pdf). Dans le respect du droitd’auteur, il est important de citer toute source que vous utilisez et de donner la référence. S’appuyersur le travail des autres donne de la crédibilité à son travail et la référence est la façon de le faire.

PRÉSENTATION INFORMELLELa présentation informelle a pour but de permettre aux consoeurs et confrères de prendre connais-sance de votre travail, d’échanger sur le sujet et de profiter de votre expérience. La présentation sefait de façon informelle autour d’une table à partir de votre rapport. Il n’y a aucune évaluation dela présentation informelle mais elle peut vous permettre de corriger certains aspects de votre rapport.

ÉVALUATIONL’évaluation des différentes composantes du projet se fera selon la pondération suivante :

Sommaire du projet (9 février) 1 %Description du projet (15 mars) 4 %Rapport (28 avril) 35 %

La remise du sommaire du projet à la date prévue donnera une évaluation de 100%.L’évaluation de la description du projet et du rapport se feront selon les grilles en annexe.Vous pouvez soumettre au professeur une copie préliminaire de votre travail pour correction avantsa remise finale pour évaluation.

8 janvier 2016

GAA--7003 INFILTRATION ET DRAINAGE

Évaluation du projet -- Description

Nom de l’étudiant(e) : _____________________________________________________

Titre : __________________________________________________________________

Fond

Titre revisé/1

ProblématiqueDescription de la problématique du sujet /4

ObjectifsPrésentation des objectifs du travail /2

Plan détailléPrésentation du plan projeté détaillé du travail /3

Méthodologie de travailPrésentation de la méthodologie de travail qui sera utilisée /2

TOTAL /12

Commentaires :

Date :

GAA--7003 INFILTRATION ET DRAINAGE

Évaluation du projet -- Rapport

Nom de l’étudiant(e) : _____________________________________________________

Titre : __________________________________________________________________

Fond

Introduction et problématiqueL’étudiant(e) a réussi à bien cerner et présenter la problématique duprojet. /5

Corps du travailL’étudiant(e) analyse bien le problème et utilise les éléments théoriquesappropriés du cours.

/65

ConclusionL’étudiant(e) résume bien les conclusions de son travail. /5

RéférencesBibliographie suffisante, appropriée et présentée selon les normes. /5

Forme

FrançaisPhrases bien structurées, facile à lire, vocabulaire, orthographe. /10

PrésentationPropreté, figures lisibles et tableaux informatifs, appel de références /10

TOTAL /100

Commentaires :

Date :

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