Inférence bayésienne : Une approche enthousiasmante pour l'exploitation des incertitudes de mesure

6ème Conférence Internationale de Métrologie, du 21 au 24 mars 2016, à Dakar, Sénégal/6th International Conference of Metrology, from March 21st to 24th 2016, at Dakar, Senegal

Bayes, ou une façon si enthousiasmante de (re)considérer les mesures…

6ème Conférence Internationale de Métrologie, du 21 au 24 mars 2016, à Dakar, Sénégal/ 6th International Conference of Metrology, from March, 21st to 24th 2016, at Dakar, Senegal


Sommaire

• Quelques rappels sur l’incertitude de mesure• Rappels statistiques nécessaires• Réflexion autour des propriétés de la valeur

mesurée• Quelle valeur vraie pour une mesure ?• Rôle du métrologue dans l’entreprise• Vos questions



Incertitude de mesure

Le monde des mesures est un monde probabiliste.

Chaque facteur apporte son imperfection dans le résultat de mesure :


Maind’oeuvre

Moyen

Milieu

_______________ __________ __________ _________________________ _______ _______ _______

Mesurande

Mode Opératoire



Chaque facteur qui contribue à une mesure présente :• Un caractère prévisible qu’il est possible de

corriger ;• Un caractère aléatoire qu’il n’est pas possible de

connaitre exactement pour chaque mesure.




L’erreur de mesure globale est la somme des erreurs de tous les facteurs qui contribuent à la mesure :

Cette erreur étant en partie aléatoire (du fait du caractère aléatoire des erreurs qui la composent), elle n’est pas prévisible. C’est pourquoi on évalue l’incertitude de mesure qui se présente comme un majorant, à un niveau de confiance donné (souvent 95%), de l’erreur de mesure qui risque de se produire.




En langage statistique, l’erreur de mesure est la réalisation de la variable aléatoire « Incertitude de mesure » :

Note : En lançant 1 dé, on obtient une réalisation de la variable aléatoire « 1 Dé ».



Loi de probabilité

Pour définir un phénomène aléatoire, il est nécessaire de connaitre sa loi de probabilité.Une loi de probabilité permet de calculer la probabilité d’apparition de tel ou tel événement possible.


0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

1 2 3 4 5 6

Pour

cent

age

de la

ncés

Face du dé

Résultats de 2000 lancés d'un dé

Histogramme

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

1 2 3 4 5 6

Pour

cent

age

de la

ncés

Face du dé

Résultats de 4 lancés d'un dé

Histogramme


Loi de probabilité

Certaines lois sont dites « théoriques ». Elles peuvent être décrites par une fonction mathématique


34,135 %

99,73%

95,45%

68,27%

34,135 %

13,59 % 13,59 %

2,14 %2,14 %

2 3 3 2

Loi normale


Loi de probabilité

Il existe une infinité de lois de probabilité.1 : Des lois théoriques décrites par des fonctions :

• Loi Normale• Loi Uniforme• Loi Exponentielle• Loi de Weibull• …



Loi de probabilité

2 : Des lois empiriques définies par des histogrammes


Histogramme


Loi de probabilité

Lorsqu’une loi de probabilité est connue, il est possible de déterminer la probabilité de telle ou telle des valeurs qu’elle peut produire.

Dans le cas du lancer de 1 dé :

• La probabilité de faire 1 est égale à 1/6• La probabilité de faire 2 est égale à 1/6• …• La probabilité de faire 6 est égale à 1/6



La représentation traditionnelle d’une valeur mesurée et de l’incertitude de mesure ne respecte pas les considérations précédentes …

En effet, dans une telle de représentation, la valeur mesurée est considérée comme la valeur la plus probable.

Propriété d’une mesure


Valeur mesurée

Représentation classique

Incertitude-type±1 Sglobal


Or, une valeur mesurée est la combinaison de 2 valeurs :

Et rien ne garantit que l’erreur de mesure soit toujours égale à 0 … (Ce que laisse pourtant supposer la représentation graphique précédente)




L’incertitude de mesure, et ses réalisations , font l’objet de beaucoup de discussions depuis ces 25 dernières années (sans être toujours vraiment exploitée).

Mais c’est la valeur vraie qui nous intéresse en réalité, et elle a elle aussi des propriétés particulières.




Dans une grand nombre de cas, la valeur vraie d’une entité mesurée est la réalisation d’une variable aléatoire (une entité dans une production).Sla loi de probabilité qui décrit les différentes possibilités des valeurs vraies, on peut noter

Quelle valeur vraie ?





Compte-tenu des remarques et notations précédentes, une valeur mesurée peut s’écrire comme la réalisation de deux variables aléatoires :

Plusieurs combinaisons peuvent expliquer une même valeur mesurée. En connaissant et , il est possible de calculer la probabilité de chacune des combinaisons.




Note : En statistique bayésienne, la colonne « Valeur vraie » s’appelle « a priori ».

Résultat de mesure 10,12

Combinaisons possiblesValeur Vraie Erreur de mesure

10 0,1210,02 0,110,04 0,0810,06 0,0610,08 0,0410,1 0,02

10,12 010,14 -0,0210,16 -0,0410,18 -0,0610,2 -0,08

10,22 -0,110,24 -0,12




Résultat de mesure 10,12Combinaisons possibles

Valeur Vraie Erreur de mesure10 0,12

10,02 0,110,04 0,0810,06 0,0610,08 0,0410,1 0,02

10,12 010,14 -0,0210,16 -0,0410,18 -0,0610,2 -0,08

10,22 -0,110,24 -0,12

Sachant les propriétés des lois de probabilité de et de , il est possible de calculer la probabilité de chacune des combinaisons :


Application numérique :

Représentation graphiquedes lois en présence →

On peut alors déterminer la combinaison la plus probable, donc la valeur vraie la plus probable associée à une valeur mesurée (sachant l’incertitude de mesure et l’a priori)



9 9.5 10 10.5 11 11.5

Révision de la loi mesureà partir de la loi a priori

A priori Mesure A posteriori

A priori Moyenne 10,6Ecart-type 0,2

Loi mesure Biais 0Ecart-type 0,3

Valeur mesurée

10,12 Valeur révisée

10,44




On appelle inférence bayésienne la technique statistique qui permet, à partir de l’a priori et de la valeur mesurée associée de son incertitude, de réviser la valeur mesurée et l’incertitude associée pour obtenir la loi a posteriori, c’est-à-dire la distribution des valeurs vraies possibles de l’entité mesurée.


Rôle du métrologue ?


La métrologie s’est focalisée sur les incertitudes de mesure.La métrologie a comme « oublié » de s’intéresser aux propriétés intrinsèques des entités mesurées.Or, les 2 composantes de la valeur mesurée doivent être considérées pour prendre de bonnes décisions : a priori et mesureLe métrologue doit donc désormais s’intéresser à :

l’a priori


Des questions ?


Merci pour votre attention

Jean-Michel POUPrésident-Fondateur de la société Delta MuPrésident du cluster d’excellence

Auvergne Efficience [email protected]+33 4 73 15 13 00

mailto:[email protected]


AnnexeMerci à M. Laurent Leblond, P.S.A Peugeot Citroën, qui a réaliser cette démonstration


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