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CINEMATIQUE COURS

Cours - Cinématique.doc 1/13 Créé le 11/08/2009 9:58 – M.A.J. le 10/11/2009 12:49

1/ REFERENTIEL ET PARAMETRAGE

1.1/ REFERENTIEL

La notion de mouvement et des grandeurs associées sont relatives à un solide de référence. De même les mesures du temps pour réaliser l’étude du mouvement dépendent d’une échelle de temps (en général on adopte la seconde) et d’une origine de temps (en général le début du phénomène). Exemple : En prenant la terre comme repère spatial, on observe que le soleil tourne autour du soleil. En observant ce mouvement sur un point lié du système solaire, on observe que la terre tourne sur elle-même et qu’elle est en mouvement de révolution autour du soleil. Par ailleurs, le mouvement d’extension de l’univers ne nous permet pas de définir un repère absolu. Notre échelle des temps (an, mois, jour…) s’est construite sur la périodicité du mouvement de révolution de la terre. Le choix de l’origine temporel (l’an zéro) a subi plusieurs modifications (calendrier julien, grégorien…).

Référentiel : Association d’un repère spatial avec un repère temporel. Le repère spatial est défini par un objet de référence auquel on adjoint un repère (3 dimensions). Le repère temporel est tout simplement le choix d’une échelle de temps (la seconde en général) et d’une origine (date où l’on démarre la mesure du temps).

1.2/ PARAMETRAGE D’UN SOLIDE

Pour réaliser une étude cinématique, nous avons besoin d’exprimer mathématiquement la position et l’orientation du solide. Pour ce faire, nous utilisons un ou plusieurs repères dans lequel on exprime 6 paramètres. Exemple : L’avion de chasse dans l’espace est paramétré par les 3

coordonnées du vecteur OM et 3 angles non représentés.

1.2.1./ Paramétrage de position :

Vecteur position : Vecteur ayant comme origine, l’origine du repère associé au solide de référence, et comme extrémité un point du solide étudié.

Les paramètres qui définissent la position d’un point d’un solide dans un repère sont habituellement :

X

Y

Z O

M

M

φ

θ

X

Y

Z

O

M

θ r

h

X

Y

Z

O X

Y

Z

O M xM

yM

zM

Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques

r

COURS MECANIQUE APPLIQUEE : CINEMATIQUE


Le type de coordonnées choisi est fonction du problème à traiter (problème à symétrie de révolution autour d’un axe, à symétrie sphérique,…)

1.2.2./ Paramétrage d’orientation :

Un solide comporte 3 degrés en rotation. Pour pouvoir exprimer ces angles, il est nécessaire d’utiliser 4 repères : un repère de base, un repère lié au solide et 2 repères intermédiaires. Il existe plusieurs possibilités de combinaison de rotation entre les différents repères, les plus répandus sont les angles d’Euler présentés dans l’exemple ci-dessous. Exemple : Angles d’Euler

1.2.3./ Paramétrage des mécanismes :

Pour étudier les mécanismes on associera généralement un repère pour chaque solide afin d’en définir la position (origine) et l’orientation (base). Généralement les repères seront placés sur les centres ou les axe des liaisons. Suivant le paramétrage adopté, la forme et la résolution des différentes équations de la mécanique sera plus ou moins aisée.

1.3/ STRUCTURE ET LOI D’ENTRE/SORTIE DES MECANISMES A CHAINES FERMEES

1.3.1./ Structures des mécanismes :

Par définition un mécanisme est un ensemble de pièces liées par des liaisons pour réaliser une fonction. La fonction d’un mécanisme pourra être présenté par une fonction exprimant des paramètres de sortie(s) en fonction des paramètres d’entrée(s). Cette fonction est appelée loi d’entrée/sortie du mécanisme. Généralement un mécanisme comporte une entrée et une sortie. Suivant la grandeur des paramètres, on parlera de loi d’entrée/sortie : géométrique ; cinématique ; dynamique ; énergétique. En cinématique nous nous intéresserons à la loi d’entrée/sortie géométrique et cinématique. Les mécanismes peuvent présenter plusieurs types de structures : à chaîne fermée, à chaîne ouverte et à chaîne complexe. La structure d’un mécanisme peut être aisément identifiée grâce à son graphe des liaisons.

MECANISME A CHAINE FERMEE MECANISME A CHAINE OUVERTE

Les pièces forment une boucle fermée unique, il en résulte que la position de chaque pièce est totalement dépendante de la position des autres. L’ensemble des paramètres de position peuvent être exprimés en fonction d’un seul paramètre d’entrée.

Les pièces sont liées bout-à-bout et forme une chaîne ouverte. Par conséquent, la position d’une pièce influe la position des pièces qui suivent dans la chaîne. La position de la pièce finale dépend de chaque paramètre de position du mécanisme. Ces chaînes sont à la base des robots.

X1=X2

Y1

Z0= Z1

X0

Y0

Y2

Z2=Z3

X3

Y3

X0

Y0

X1

Y1 Z1 Z2 Y2 Y3

Y1

Y2

X2

X3

ψ θ φ

0

1

2

n

i

0

1

2

n

i



MECANISME A CHAINE COMPLEXE

Ce sont des mécanismes comportant plusieurs cycles de chaînes fermées voire également des portions de chaînes ouvertes. Leur étude demande d’étudier chaque cycle et portion de chaîne ouverte.

1.3.2./ Loi d’Entrée/Sortie d’un mécanisme à chaîne fermée :

Pour déterminer la loi d’E/S géométrique on pourra exploiter le fait que le mécanisme est continu et se referme sur lui-même. Pour ce faire, on écrira deux équations vectorielles de fermeture géométrique. On aura une équation exprimant le bouclage des paramètres de positons linéaires et une équation exprimant le bouclage angulaire. Les équations sont généralement de la forme suivante :

Bouclage géométrique linéaire : 01 12 12 ... (n 1)n 01O O O O ... O O 0 où Oij sont les origines des pièces.

Bouclage géométrique angulaire : 0 1 1 ... n 0u ,u u ,u ... x ,x 0 où

i ju ,u sont les angles d’orientation des

différentes bases du mécanisme.

2/ TRAJECTOIRES ET MOUVEMENTS

2.1/ TRAJECTOIRE D’UN POINT

Trajectoire : Courbe constituée de l’ensemble des positions successivement occupées par le déplacement d’un point par rapport à un repère donné.

La trajectoire d’un point M par rapport à un repère R se note : T(M/R) si le point considéré appartient à un solide S

alors on note : T(M S/R). Exemple : Prenons le cas du cycliste sur son vélo, nous pouvons distinguer entre autres, les

3 trajectoires suivantes : T(A roue/fourche)

qui est circulaire ; T(B cadre/chaussée) qui est

rectiligne ; T(C roue/chaussée) qui est une épicycloïde.

2.2/ MOUVEMENT D’UN SOLIDE

Mouvement : Déplacement d’un solide ou d’un point dans l’espace ou dans un plan.

Mouvement de translation : Un solide est en mouvement de translation s’il conserve la même orientation durant son mouvement. L’ensemble des trajectoires d’un solide en mouvement de translation sont identiques (superposables l’une sur l’autre).

Point A

Point B

Point C

T(B cadre/chaussée)

T(C roue/chaussée) T(A roue/fourche)

0

1 n

i 2

3

…



Il existe un ensemble de mouvements de translation remarquables :

Mouvement de translation rectiligne :l’ensemble des trajectoires sont des droites parallèles

Mouvement de translation circulaire :l’ensemble des trajectoires sont des arcs de cercles de même rayon. Dans un cas général, on obtient un mouvement de translation quelconque ou curviligne. Exemples de divers mouvements de translation :

Mouvement de rotation : Un solide est en mouvement de rotation, si l’ensemble des points le constituant ont des trajectoires circulaires concentriques.

Exemple : Le mouvement de l’hélice d’un avion par rapport au cockpit est un mouvement de rotation.

2.3/ VECTEUR VITESSE DU POINT D’UN SOLIDE

Le vecteur vitesse d’un point P(t) d’un solide S par rapport à un repère R est la dérivée par rapport à t du vecteur

positionOP(t).

R

dV(P S /R) = OP

dt unité : m/s

2.4/ VECTEUR TAUX DE ROTATION D’UN SOLIDE

La vitesse de rotation d’un solide s’exprime par un vecteur, qui a pour direction l’axe de rotation (confondu avec l’axe d’un repère servant au paramétrage) et pour valeur algébrique la dérivée de l’angle parcouru qui sera ici noté θ.

dθΩ(S / R)= z = θz

dt unité : rad/s

2.5/ VECTEUR ACCELERATION DU POINT D’UN SOLIDE

Le vecteur accélération d’un point P(t) d’un solide S, par rapport à un repère R est la dérivée par rapport à t du

vecteur vitesse du point P(t) ou la dérivée seconde du vecteur positon OP(t).

Mouvement de translation curviligne d’une montgolfière

Mouvement de translation circulaire d’une nacelle d’une grande roue

Mouvement de translation rectiligne de la carrosserie d’une automobile qui roule en ligne droite



2

2

RR

d OP dV(P ∈ S / R)a(P ∈ S / R)= =

dtdt unité : m/s²

3/ STRUCTURE DU CHAMP DES VECTEURS VITESSE D’UN SOLIDE

3.1/ PREAMBULE

Un solide peut être défini comme un ensemble de points. Le solide étant considéré comme indéformable la distance entre deux de ses points reste constante, il en résulte une répartition particulière des vitesses (partie 3.3) et des vecteurs accélération (partie 3.3).

3.2/ DERIVATION DU VECTEUR VITESSE, FORMULE DE LA BASE MOBILE (FORMULE DE BOUR)

Nous avons défini les vecteur vitesse et accélération d’un point. Nous pourrions nous contenter de ces formules pour réaliser l’étude cinématique des solides. Cependant, les calculs seraient lourds. En effet, nous serions obligés d’exprimer les vecteurs que l’on dérive dans la base associée au repère de dérivation.

Soit un vecteur U(t) fixe par rapport à un repère Rn qui est en rotation par rapport à un repère R0. La rotation de Rn

par rapport à R0.est défini par le vecteur taux de rotation n 0Ω(R /R ). La dérivée du vecteur U(t) par rapport à au

repère R0 peut être calculé par la formule ci-dessous.

0 n

n 0

R R

dU(t) dU(t)= +Ω(R / R )∧U(t)

dt dt

La formule de la base mobile est le pilier de la cinématique du solide, car c’est à partir d’elle que l’on peut établir la formule du champ des vecteurs vitesse (voir partie 3.3.1) et la relation de composition cinématique (partie 6.1.1). Conseil : Ne confondez pas la base d’expression de vos vecteurs avec la base associée au référentiel de dérivation. Tout l’intérêt de la formule de la base de mobile est justement de nous affranchir de fastidieux calculs de changement de bases. Qui plus est, un résultat est souvent plus compréhensible en laissant les bases intermédiaires, on obtient une équation plus compacte dont les termes peuvent appréhender par la pensée.

3.3/ CHAMP DES VECTEURS VITESSE D’UN SOLIDE ET TORSEUR CINEMATIQUE

3.3.1./ Loi du champ des vecteurs vitesse d’un solide :

L’idée est ici est de voir s’il existe une relation entre deux vecteurs vitesse de deux points d’un solide. Pour ce faire, on considère un solide S1 et deux de ses points notés A et B. Le solide S1 est en mouvement par rapport à un solide S0.

Dérivons le vecteur AB par rapport à S0.

0 1

1 0

S S

dAB dAB(S / S ) AB

dt dt or

1S

dAB

dt= 0 car le vecteur AB est fixe dans la base associée S1.

La relation devient

0

1 0

S

dAB(S / S ) AB

dt

On peut décomposer AB tel que AB AO OB OB OA , la dérivée de AB devient :

00

SS

d OB OAdAB

dt dt=

0

1 0

S

V(B S /S )

dOB

dt-

0

1 0

S

V(A S /S )

dOA

dt

1 0 1 0 1 0V(B S / S ) V(A S / S ) (S / S ) AB



Par conséquent, la relation entre deux vecteurs vitesse d’un solide est :

1 0 1 0 1 0V(B ∈ S / S )= V(A ∈ S / S )+BA ∧Ω(S / S )

3.3.2./ Conséquences :

On constate que les vecteurs vitesse d’un solide et son vecteur de taux rotation sont liés par un champ de moments. Par conséquent, la vitesse d’un solide peut être représenté par un torseur cinématique. Il suffit de connaître le vecteur vitesse d’un point d’un solide avec son vecteur taux de rotation pour pouvoir calculer la vitesse en tout autre point du même solide par application de la formule du champ des vecteurs vitesse.

3.3.3./ Définition du torseur cinématique :

Nous écrirons le torseur cinématique d’un solide de la manière suivante :

A

Ω(S / R)V(S / R)=

V(A ∈ S / R)

3.3.4./ Propriétés du torseur cinématique :

Le solide hérite de toutes les propriétés du torseur, notamment d’un

axe central sur lequel le moment (ici la vitesse) est au minimum de sa valeur (voire nulle), constante et colinéaire au vecteur résultante

(ici le vecteur taux de rotation). Ainsi, tout mouvement d’un solide peut être considéré comme un mouvement hélicoïdal. L’axe central est alors appelé axe instantané de rotation et de glissement dans le mouvement de S par apport à R, ou axe de viration.

Cet axe central est défini à toute date t. Lorsque t varie, génère dans deux solides S1 et S2 deux surfaces réglées (surface engendrée par une droite) appelées axoïdes du

mouvement de S1 par rapport à S2. Les deux axoïdes sont tangentes suivant .

3.4/ TORSEUR CINEMATIQUE DES LIAISONS

Les centres et axes des liaisons mécaniques seront le lieu privilégié pour accueillir les origines des repères associés aux solides. De même, le torseur cinématique du mouvement d’un solide lié par rapport à un autre sera réduit sur le centre ou l’axe de liaison les reliant. En procédant ainsi, le torseur cinématique prendra une forme canonique correspondant à la liaison.

Champ des vecteurs vitesse d’un avion

Ici les deux cylindres sont les deux axoÏdes de la roue et du pignon



TTOORRSSEEUURR CCIINNEEMMAATTIIQQUUEE DDEESS LLIIAAIISSOONNSS

LIAISON FORME DU TORSEUR

V(1/ 0)

LIEUX OU LA

FORME DU

TORSEUR EST

CONSERVEE

SCHEMA DE LA LIAISON

SPATIAL PLAN

Ponctuelle de normale

)x(O,

x

y y

z zO (x,y,z)

0

V

V

ω

ω

ω

1/ 2

1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2

Points de l’axe

)x,O(

X

Y

Z

Y

X

Linéaire rectiligne

d’axe

)y(O,

et de

normale

)x(O,

x

y y

zO (x,y,z)

0

V

0 V

ω

ω

1/ 2

1/ 2 1/ 2

1/ 2

Points du plan

)y,x,O(

X

Y

Z

X

Z Y

X

Linéaire annulaire

d’axe )x(O,

x x

y

zO (x,y,z)

V

0

0

ω

ω

ω

1/ 2 1/ 2

1/ 2

1/ 2

Au point O X

Y

Z

Y

XZ

Y

Appui plan de normale

)x(O,

x

y

zO (x,y,z)

0

0 V

0 V

ω 1/ 2

1/ 2

1/ 2

En tout point

X

Y

Z

Rotule de centre O

x

y

zO (x,y,z)

0

0

0

ω

ω

ω

1/ 2

1/ 2

1/ 2

Au point O X

Y

Z

Rotule à doigt d’axe

)x(O,

et

)y(O,

x

y

O (x,y,z)

0

0

0 0

ω

ω

1/ 2

1/ 2 Au point O

Pivot glissant

d’axe )x(O,

x x

O (x,y,z)

V

0 0

0 0

ω 1/ 2 1/ 2

Points de l’axe

)x,O(

Z

Y

X

Y

XZ

Y

X

Z

Y

X

YX

Y



Hélicoïdale

d’axe )x(O,

x x

O (x,y,z)

V

0 0

0 0

ω 1/ 2 1/ 2

avec PV

2

Points de l’axe

)x,O(

X

Y

Z

Y

XZ

Y

Glissière

d’axe )x(O,

x

O (x,y,z)

0 V

0 0

0 0

1/ 2

En tout points X

Y

Z

Y

X

Z

Y

Pivot d’axe

)x(O,

x

O (x,y,z)

0

0 0

0 0

ω 1/ 2

Points de l’axe

)x,O(

X

Y

Z X

Y

Z

Y

Encastrement

O (x,y,z)

0 0

0 0

0 0

En tout point

X

Y

Z

4/ LA CINEMATIQUE PLANE

4.1/ PREAMBULE

Beaucoup de mécanismes peuvent être cinématiquement décrit dans un plan où l’ensemble des vecteurs taux de rotation seront normaux à ce plan et l’ensemble des vecteurs vitesse parallèles à ce plan. La compréhension, la description cinématique et le nombre de paramètres et équations se retrouvent fortement réduits. Les résolutions analytiques peuvent aussi alors laisse place à des méthodes de résolutions graphiques (équiprojectivité notamment) qui permettent d’aboutir à des résultats rapides au détriment d’une approximation liée à la précision des tracés.

4.2/ EQUIPROJECTIVITE DES VECTEURS VITESSE D’UN SOLIDE

Les vecteurs moments d’un torseur vérifient la propriété d’équiprojectivité. Par conséquent, les vecteurs vitesse d’un solide sont aussi équiprojectifs.

Propriété d’équiprojectivité : Pour tout solide S en mouvement (spatial ou plan), la projection orthogonale d’un

vecteur vitesse V(A S / R) sur la droite (AB) est égal à la projection du vecteur V(B S / R) sur (AB). Cette propriété

se traduit par la relation : V(A ∈ S / R)AB = V(B ∈ S / R)AB .

Remarque : Les projections des vecteurs vitesse sur une droite sont des valeurs algébriques, on doit donc veiller à construire les projections du même côté par rapport à leurs points. Dans l’exemple ci-contre les projections [AH] et [BK] sont orientées sur la droite des points A et B.

A

B V(A ∈ S / R)

V(B ∈ S / R)

H

K



4.3/ CENTRE INSTANTANE DE ROTATION D’UN SOLIDE

Soit un solide S en mouvement dans un plan P. L’axe central du torseur cinématique du solide coupe perpendiculairement le plan P pour donner un point noté I(S/0) appelé centre instantané de rotation (C.I.R.). Ainsi tout solide en mouvement plan quelconque par rapport à R0 peut se ramer à un mouvement de rotation de centre I(S/0) à l’instant t considéré. Le solide étant en rotation autour de son CIR, le segment [IA] est normal à la trajectoire et la vitesse du point A lié au solide.

4.3.1./ La base et la roulante :

L’intersection des deux surfaces axoïdes du mouvement de deux solides S1 et S2 forment deux courbes appelées base et roulante, roulant l’une sur l’autre sans glisser sur le CIR I(S1/S2).

4.4/ VECTEURS VITESSE ET ACCELERATION DANS UN MOUVEMENT DE ROTATION

Soit un solide S associé à un repère M,n,t,z en mouvement de

rotation d’axe Oz par rapport à un repère R O,x,y,z et M un

point du solide S. Le mouvement de rotation est caractérisé par

le vecteur taux de rotation (S / R) z z et le point M est

défini par le vecteur position OM Rt .

R R

dOM dnV(M S / R) R R (S / R) n R z n

dt dt

V(M ∈ S / R)=Rωt

Le vecteur vitesse est donc normal au rayon et proportionnel à la vitesse angulaire ω et au rayon R.

RR R R

dV(M S / R) d t d dta(M S / R) R R t R R t R (S / R) t R t R z t

dt dt dt dt

2a(M ∈ S / R)=Rωt -Rω n

Le vecteur accélération tangentielle normale (centripète). La composante tangentielle est proportionnelle au rayon R et à l’accélération angulaire et donc est nulle si l’accélération angulaire est nulle. La composante centripète est au proportionnelle au carré de la vitesse angulaire et du rayon R. La composante est généré par le changement de direction par rapport à R0 du vecteur vitesse.

ta = Rω : est la composante tangentielle du vecteur accélération.

2

na = -Rω : est la composante normale (centripète) du vecteur accélération.

I=CIR de l’avion/sol

B

A

V(B ∈ S / 0)

V(A ∈ S / 0)

θ

X

N T

O

M

S

Y



5/ CHAMP DES VECTEURS ACCELERATION D’UN SOLIDE

Soit un solide S1 en mouvement par rapport à un solide S0. Considérons deux points A et B du solide S1 ,par rapport à S0 nous avons établi la relation

1 0 1 0 1 0V(B S / S ) V(A S / S ) BA (S / S )

Dérivons les deux membres de cette égalité pour un observateur lié au solide S0.

0

1 0

S

dV(B S / S )

dt=

0

1 0

S

dV(A S / S )

dt+

0

1 0

S

dBA (S / S )

dt

Soit : 1 0a(B S / S ) =

1 0a(A S / S )+0

1 0

S

dBA (S / S )

dt+

0

1 0

S

dBA (S / S )

dt

0S

dBA

dt=

1S

dBA

dt+ 1 0(S / S ) BA avec le vecteur

1S

dBA

dt qui est nul car BA est constant dans S1.

Par conséquent, la relation entre les deux vecteurs accélération est :

1 0a(B ∈ S / S )= 1 0a(A ∈ S / S )+0

1 0

S

dBA ∧ Ω(S / S )

dt+

1 0 1 0Ω(S / S )∧ BA ∧Ω(S / S )

Les vecteurs accélération des points d’un solide ne vérifient pas la relation des moments d’un torseur.

6/ COMPOSITION CINEMATIQUE

6.1/ COMPOSITION DES VECTEURS VITESSE

6.1.1./ Relation de compositions des vecteurs vitesse :

Un solide S2 en mouvement par rapport à deux solides S1 et S0 eux-mêmes en mouvement l’un par rapport à l’autre. P est un point lié au solide S2.

Par définition : 2 0V(P S / S ) =0

0

S

dO P

dt

or, 0 0 1 1O P O O O P

2 0V(P S / S ) =0

0 1

S

dO O

dt+

0

1

S

dO P

dt

0

0 1

S

dO O

dt= 1 1 0V(O S / S ) ,

0

1

S

dO P

dt=

1

2 1

1

S

V(P S /S )

dO P

dt+ 1 0 1(S / S ) O P = 2 1 1 1 0V(P S / S ) PO (S / S )

2 0V(P S / S ) = 1 1 0V(O S / S ) + 2 1 1 1 0V(P S / S ) PO (S / S )

On peut identifier que 1 1 0 1 1 0 2 1V(O S / S ) PO (S / S ) V(P S / S )

On obtient alors la relation de composition de vecteurs vitesse :

1 12 0 2 0V(P ∈ S / S )= V(P ∈ S / S )+ V(P ∈ S / S )

Définition :

2 0V(P S / S )∈ est appelé vecteur vitesse absolue.

2 1V(P S / S ) est appelé vecteur vitesse relative.

1 0V(P S / S ) est appelé vecteur vitesse d’entraînement.

OO11

OO00

XX11

YY11

ZZ11

ZZ00 XX00

ZZ00

ZZ22

PP

S0=Base rotative S1=Bras

S2=Pince



6.1.2./ Généralisation à un ensemble n solides :

La relation de composition des vecteurs des vitesses peut être généralisée sur un ensemble n de solides.

n 0 n n-1 2 1 1 0V(P ∈ S / S )= V(P ∈ S / S )+... + V(P ∈ S / S )+ V(P ∈ S / S )

n 0 1 0n n 1 2 1

n 0 1 0n n 1 2 1P PP P

(S / S ) (S / S(S / S ) (S / S )...

V(P S / S ) V(P S / SV(P S / S ) V(P S / S

6.1.3./ Glissement entre deux solides :

Pour que 2 solides S1 et S2 restent en contact sur un point I. Il est impératif que les vecteurs vitesse :

1 0V(I S / S ) et 2 0V(I S / S ) soient contenus dans

le plan tangent à S1 et S2 au point I. Dans le cas contraire soit les solides s’écartent ou au contraire s’interpénètre. Par contre, le point I associé à S1 et le point I associé à S2 peuvent s’éloigner dans le plan tangent, c’est le glissement. On défini alors le vecteur vitesse de glissement comme étant :

2 1V(I ∈ S / S )

Ce vecteur vitesse sera calculé au moyen de la composition cinématique, en effet on a :

2 1 2 0 0 1 2 0 1 0V(I S / S ) V(I S / S ) V(I S / S ) V(I S / S ) V(I S / S )

6.1.4./ Mise au point sur les points :

On pourra distinguer jusqu’à trois types de points dans une étude cinématique : le point lié, le point coïncident et le point géométrique. C’est particulièrement dans l’étude du glissement que cette distinction est primordiale. Dans le cas d’une roue qui roule sur la chaussée (voir figure ci-desssus), on a :

Le point géométrique I, qui est le point de contact entre le pneu et la chaussée et qui décrit une droite horizontale pour trajectoire.

Le point I0 lié à la chaussée et le point I1 lié au pneu.

Les points I, I0 et I1 ne restent pas coïncident, pour le calcul de la vitesse de glissement on veillera bien à prendre les points I0 et I1 coïncident au point géométrique I.

6.2/ COMPOSITION DES VECTEURS TAUX DE ROTATION

6.2.1./ Démonstration :

Un solide S2 en mouvement par rapport à deux solides S1 et S0. La formule de la base mobile appliquée à un vecteur U

quelconque donne :

0S

dU

dt=

1S

dU

dt+ 1 0(S / S ) U

avec

1S

dU

dt=

2S

dU

dt+ 2 1(S / S ) U

En combinant les deux relations, on obtient : 0S

dU

dt=

2S

dU

dt+

2 1 1 0(S / S ) (S / S ) U

D’autre part, nous pouvons écrire directement entre S2 et S0 :0S

dU

dt=

2S

dU

dt+ 2 0(S / S ) U



En comparant les deux expressions de 0S

dU

dtnous en déduisons la relation de composition des vecteurs taux de

rotation :

2 0(S / S ) = 2 1(S / S )+ 1 0(S / S )

6.2.2./ Généralisation à un ensemble n solides :

n 0 n n-1 n-1 n-2 2 1 1 0Ω(S / S )= Ω(S / S )+Ω(S /S )+... +Ω(S / S )+Ω(S / S )

6.3/ COMPOSITION DES TORSEURS CINEMATIQUES

6.3.1./ Loi de composition :

Les vecteurs vitesse et les vecteurs taux de rotation d’un ensemble de solides sont liés par une relation de composition cinématique. Il en est donc de même pour leurs torseurs cinématiques. Soit un ensemble de solides notés de 0 à n, on a pour tout point P de l’espace :

n 0 n n-1 n-1 n-2 2 1 1 0V(S / S = V(S / S )+ V(S / S )+ + V(S / S )+ V(S / S )

6.3.2./ Bouclage cinématique et loi d’entrée-sortie cinématique :

Lorsqu’un mécanisme est constitué d’une ou de plusieurs chaînes fermées (=cycles), on peut alors appliquer la relation de composition cinématiques pour chaque cycle de ce mécanisme.

nn n-1 n-1 n-2 1 1 1 0 0V(S / S )+ V(S / S )+ + V(S / S )+ V(S / S )+ V(S / S = 0

Cette relation est permet de trouver de façon systématique la loi E/S cinématique d’un mécanisme et de déterminer l’ensemble des torseurs cinématiques des solides composant le mécanisme. Cependant la démarche est longue et lourde. En effet, il faudra impérativement calculer l’ensemble des torseurs cinématiques sur un même point et les exprimer dans la même base de projection pour résoudre le système d’équation.

6.4/ COMPOSITION DES VECTEURS ACCELERATION

Un solide S2 en mouvement par rapport à deux solides S1 et S0 qui sont eux-mêmes en mouvement l’un par rapport à l’autre. P est un point du solide S2.

On sait que : 2 0V(P S / S ) = 2 1V(P S / S ) + 1 0V(P S / S ) avec 1 0V(P S / S ) = 1 0V(O S / S ) + 1 0PO (S / S )

soit 2 0V(P S / S ) = 2 1V(P S / S ) 1 0V(O S / S ) + 1 0PO (S / S )

Dérivons cette expression par rapport à S0 :

0 0 0 0

er ème ème2 0

2 0 2 1 1 0 1 0

S S S S

1 terme 2 terme 3 termea(P S /S )

d d d dV(P S / S ) V(P S / S ) V(O S / S ) PO (S / S ) PO

dt dt dt dt0

ème

1 0

S

4 terme

d(S / S )

dt

Calculons successivement chaque terme :

Le 1er terme donne 0 1

2 1

2 1 2 1 1 0 2 1

S S

a(P S /S )

d dV(P S / S ) V(P S / S ) (S / S ) V(P S / S )

dt dt

soit : 0

2 1 2 1 1 0 2 1

S

dV(P ∈ S / S ) = a(P ∈ S / S )+Ω(S / S )∧ V(P ∈ S / S )

dt



Le 2ème terme se calcul directement 0

1 0 1 0

S

dV(O ∈ S / S ) = a(O ∈ S / S )

dt

Le 3ème terme : 0 1

1 0 1 0 1 0

S S

d dPO (S / S ) PO (S / S ) PO (S / S )

dt dt

avec 1 1

2 1

S S

d dPO OP V(P S / S )

dt dt

soit 0

1 0 1 0 2 1 1 0 1 0

S

dPO ∧Ω(S / S )= Ω(S / S )∧ V(P ∈ S / S )+ Ω(S / S )∧PO ∧Ω(S / S )

dt

Le 4ème terme n’est pas modifié : 0

1 0

S

dPO ∧ Ω(S / S )

dt

Récrivons l’équation avec ses nouveaux termes :

er ème

ème

2 0 2 1 1 0 2 1 1 0

1 terme 2 terme

1 0 2 1 1 0 1 0

3 terme

a(P S / S ) a(P S / S ) (S / S ) V(P S / S ) a(O S / S )

(S / S ) V(P S / S ) (S / S ) PO (S / S )

0

ème

1 0

S

4 terme

dPO (S / S )

dt

On regroupe les termes entre-eux :

0

2 0 2 1 1 0 1 0 2 1

1 0 1 0 1 0

S

a(P S / S ) a(P S / S ) a(O S / S ) 2 (S / S ) V(P S / S )

d(S / S ) PO (S / S ) PO (S / S )

dt

La relation peut aussi s’écrire dans cet ordre :

0

1 0

2 0 2 1 1 0 1 0 1 0 1 0

S

a(P S /S ) d'après la loi du champ des vecteurs accélérations d'un solide

da(P S / S ) a(P S / S ) a(O S / S ) PO (S / S ) (S / S ) PO (S / S )

dt

1 0 2 12 (S / S ) V(P S / S )

Donc :

1 0 2 1 1 0 1 0 2 1a(P ∈ S / S )= a(P ∈ S / S )+a(P ∈ S / S )+2Ω(S / S )∧ V(P ∈ S / S )

Définition :

2 0a(P S / S ) est appelé vecteur accélération absolue.

12a(P S / S ) est appelé vecteur accélération relative.

1 0a(P S / S ) est appelé vecteur accélération d’entraînement.

1 2 102Ω(S / S ) V(P S / S ) est appelé vecteur accélération de Coriolis.

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