Induction électromagnétique. Aspects énergétiques...

Sebastien BourdreuxAgregation de PhysiqueUniversite Blaise Pascal - Clermont-Ferrand

Induction electromagnetique.

Aspects energetiques.

Applications.

Novembre 2002

TABLE DES MATIERES 2

Table des matieres

1 Mise en lumiere du phenomene physique 51.1 Deux approches experimentales possibles . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Circuit mobile dans un champ permanent . . . . . . . 51.1.2 Circuit fixe dans un champ variable . . . . . . . . . . 51.1.3 Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Loi de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Mise en equations de l’induction 82.1 Cadre d’etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Force electromotrice de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Force et champ electromoteurs . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 Roue de Barlow : generateur unipolaire . . . . . . . . 10

2.3 Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.1 Expression generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Rail de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.3 Tension aux bornes d’un dipole electrocinetique . . . . 14

2.4 Champ electromoteur de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Les notions d’auto-induction et d’inductances 163.1 Auto-induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Aspects energetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Couplage magnetique de circuits . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.1 Couplage de deux circuits . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.2 Principe du transformateur . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Applications 234.1 Moteur asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Acceleration de particules : le betatron . . . . . . . . . . . . . 264.3 Courants de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Machines tournantes generatrices . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4.1 Alternateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4.2 Dynamos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Convertisseurs electromecaniques 325.1 Le haut-parleur electrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . 325.2 Moteur a courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2.2 Equation mecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

TABLE DES MATIERES 3

5.2.3 Equation electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2.4 Regime transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2.5 Regime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2.6 Fonctionnement en generateur . . . . . . . . . . . . . 38

Agregation : Lecon de Physique 24Niveau : 1er cycle universitaire (ou PC)Prerequis : les points suivants doivent etre acquis

– (les equations de Maxwell)– les forces de Lorentz et de Laplace– les lois de l’electrostatique et de la magnetostatique– la loi d’Ohm generalisee

Introduction

La decouverte par Oersted de l’action d’un courant electrique sur uneaiguille aimantee incita plusieurs physiciens a se demander si, inversement,le magnetisme ne pourrait pas creer des effets electriques. Bref, si le cou-rant electrique produit des effets magnetiques, le magnetisme ne doit -il pasproduire dans certaines conditions du courant electrique ?Toutes les tentatives aboutirent a des resultats negatifs jusqu’aux travaux duchimiste et physicien britannique Michael Faraday. Contrairement a Ampere,Faraday etait avant tout un experimentateur. Apres des centaines d’experiences,il parvient en 1831 a produire du courant electrique a l’aide d’un aimant.L’experience fondamentale qui demontre cette production de courant en l’ab-sence de pile se realise tres simplement. Tous les autres physiciens avaientcherche un phenomene permanent ; nous allons voir que la decouverte inat-tendue de Faraday bouscula fortement les idees recues de l’epoque...

Aujourd’hui, le phenomene de l’induction, est a la base de la productiond’electricite dans les dynamos, les moteurs, les transformateurs et les alter-nateurs, et trouve ainsi d’innombrables applications dont nous regarderonsquelques exemples simples.

4

1 MISE EN LUMIERE DU PHENOMENE PHYSIQUE 5

1 Mise en lumiere du phenomene physique

Les phenomenes d’induction concernent l’action a distance d’un circuitelectrique ou de toute source de champ magnetique sur un autre circuitelectrique. L’existence de ces phenomenes est liee a une evolution dans letemps de conditions de ”couplage magnetique” existant entre ces elements ;cette evolution peut avoir pour origine un mouvement dans l’espace (ie appa-rition d’une vitesse relative), et plus generalement toute variation en fonctiondu temps de ce couplage.

1.1 Deux approches experimentales possibles

1.1.1 Circuit mobile dans un champ permanent

On suppose que les sources du champ permanent sont exterieures au cir-cuit, constitue d’une bobine par exemple, reliee a un oscilloscope. Le champmagnetique permanent peut etre celui d’un aimant en U.Il existe une tension u(t) aux bornes de la bobine alors qu’aucun generateurn’est present. On note

– que si la bobine est immobile, u = 0– que u(t) est positive lorsque la bobine s’approche de l’aimant et negative

quand elle s’en eloigne– que l’amplitude de u(t) croıt avec la vitesse de deplacement de la

bobine,ve

La bobine est le siege d’un phenomene d’induction, qu’on appelle inductionde Lorentz.

1.1.2 Circuit fixe dans un champ variable

Si l’on deplace cette fois l’aimant en laissant la bobine fixe, on observeles memes phenomenes que dans le premier cas.Le systeme se comporte comme un generateur. Comme l’aimant se deplacedans le referentiel du laboratoire, la bobine voit un champ magnetique va-riable au cours du temps. Ce sont ces variations temporelles qui sont al’origine du phenomene d’induction observe : on parle ici d’induction deNeumann.On aurait pu creer un champ variable en utilisant une deuxieme bobinereliee a un generateur de tension variable, observee par la deuxieme voie del’oscilloscope. La bobine (fixe) detecte alors le champ genere par la bobinereliee au generateur (comme une antenne !).


1.1.3 Synthese

Dans la premiere experience, il apparaıt une force magnetique de Lorentzde la forme −→

FL = q−→v ×−→B0 (1)

susceptible de faire circuler les charges de conduction du circuit. Nous met-trons ceci en equations ulterieurement.Dans la seconde experience, le circuit voit apparaıtre un champ magnetiquevariable cree par l’aimant. D’apres l’equation de Maxwell-Faraday,

−→rot−→E = −∂

−→B

∂t(2)

on sent que les variations temporelles du champ magnetique entraınent l’ap-parition d’un champ electrique induit, capable alors de mettre les chargesdu circuit en mouvement.Cependant, on peut remarquer finement que pour un observateur qui sedeplacerait avec l’aimant, la bobine se deplacerait dans un champ magnetiquepermanent : les deux experiences correspondent au meme phenomene phy-sique, la difference etant liee au choix du referentiel d’etude. L’inductionelectromagnetique est un phenomene unique : inductions de Lorentzet de Neumann en sont deux facettes differentes.

1.2 Loi de Lenz

Les experiences precedentes soulevent egalement un autre aspect im-portant dans les phenomenes d’induction : il existe un lien entre les effetsmagnetiques (creation d’une tension induite) et les effets mecaniques (mou-vement). Une experience simple permet d’illustrer ce lien.Il s’agit de placer une bobine reliee a un court-circuit (R=0) dans les ma-choires de l’aimant, et de lui donner un mouvement de balancement enl’ecartant de sa position d’equilibre. On observe que les oscillations de labobine sont amorties, beaucoup plus rapidement dans ce cas que lorsque lecircuit est ouvert (simple amortissement mecanique par frottements).Or, les seules forces qui sont suscetibles d’exister sont les forces de Laplaceliees au courant i(t) induit dans la bobine (longueur infinitesimale d

−→l ) par

la relationd−−→FLap = i d

−→l ×

−→B (3)

Examinons les deux cas suivants :


Fig. 1 – La bobine entre dans le champ magnetique de l’aimant : ce champ devient de plus en plus intense,de la gauche vers la droite. Le courant induit i(t) etant uniforme dans la bobine, les forces de Laplace sontpreponderantes dans le domaine de champ fort : leur resultante freine le mouvement en s’opposant a la vitesse.Il faut remarquer que le courant induit cree un champ magnetique appele champ magnetique induit, oppose a lavariation du champ (augmentation) vu par la bobine.

Fig. 2 – La bobine sort du champ magnetique de l’aimant : ce champ devient de moins en moins intense, dela droite vers la gauche. Le courant induit i(t) etant uniforme dans la bobine, les forces de Laplace sont toujourspreponderantes dans le domaine de champ fort : leur resultante freine le mouvement en s’opposant a la vitesse.Il faut remarquer que le courant induit cree un champ magnetique appele champ magnetique induit, oppose a lavariation du champ (augmentation) vu par la bobine.

Dans le referentiel du laboratoire, l’induction est due au deplacement dela bobine, et le systeme reagit en produisant une force qui s’oppose a sonmouvement.Dans le referentiel de la bobine, l’induction est provoquee par la variationdu champ

−→B vu par la bobine : le systeme reagit en produisant un champ

magnetique induit oppose a la variation du champ magnetique appliqueimposee a la bobine.On resume ces lois de comportement par la loi de Lenz

Les effets magnetiques, electrocinetiques et mecaniquesde l’induction sont orientes de facon a s’opposer a sescauses

et on illustre tout ceci par la figure suivante :

2 MISE EN EQUATIONS DE L’INDUCTION 8

2 Mise en equations de l’induction

2.1 Cadre d’etude

Il faut etre conscient que, si un circuit est suffisamment etendu et si, enun point de ce circuit, une grandeur electromagnetique varie au cours dutemps, les effets electriques et magnetiques de cette variation ne se font passentir instantanement a distance : on observe une propagation, de proche enproche, des actions electromagnetiques, a vitesse bien determinee suivant lanature du milieu et caracterisee par une longueur d’onde de propagation. Ilfaut dans ce cas determiner les grandeurs electromagnetiques en tout point.En revanche, si les dimensions du circuit sont petites devant la longueurd’onde du phenomene en propagation, on peut considerer qu’a un instantdonne une grandeur donnee a meme valeur en tous les points equivalentsdu circuit. Il devient alors possible de calculer cette grandeur en appliquantles lois de la statique. On dit que le circuit fonctionne en regime quasi-stationnaire ou dans l’approximation des regimes quasi-stationnaires (ARQS).Dans la suite de cet expose, nous nous placerons dans de telles conditions.

2.2 Force electromotrice de Lorentz

2.2.1 Force et champ electromoteurs

On a vu que l’experience montrait que le deplacement d’un circuit jouele role d’un generateur electrique. On peut par consequent definir une femappelee force electromotrice de Lorentz eL.Nous avons vu que cette fem induite est liee au champ magnetique

−→B0 ap-

plique, de la meme facon que le sont les efforts de Laplace subis par le circuit :


ce sont des manifestations des effets du terme magnetique de la force de Lo-rentz exercee sur une particule chargee. Or, on sait que la puissance associeea ce terme est nulle (le terme magnetique ne travaille pas, il est normal a lavitesse) : comme

−→B0 n’apparaıt pas dans le bilan energetique, la puissance

de la fem de Lorentz et celle des actions de Laplace doivent se compenser :

PLaplace + eL i = 0 (4)

Considerons maintenant une portion de circuit mobile. Dans notre referentield’etude, la vitesse d’une particule de conduction est composee et s’ecrit

−−−→vLabo = −−−−−−−→vdeplacement +−−−−−−→vconduction (5)

ce qui implique que chaque charge q est soumise a la force

−−−−−→FLorentz = q (

−→E +−→vd ×

−→B0 +−→vc ×

−→B0 +

−→EH) (6)

Le terme −→vc×−→B0, homogene a un champ electrique, est responsable de l’effet

Hall : normal a −→vc , donc aux lignes de courant, il ne peut pas etre la caused’un courant induit. Le terme

−→EH represente le champ de Hall qui se cree

en regime permanent par effet Hall. Ces deux termes precedents tendent parailleurs a se compenser.Par contre, le terme q−→vd ×

−→B0 correspond a une force supplementaire qui ne

s’applique que si le circuit est en mouvement. Dans ce cas, elle peut mettre lesporteurs en mouvement et generer une fem d’induction. On appelle champelectromoteur de Lorentz la grandeur

−→Em = −→vd ×

−→B0 (7)

Sur une portion lineique AB qui se deplace, la puissance des efforts deLaplace a pour expression

PLaplace = (∫ B

Ai d−→l ×

−→B0) · −→vd (8)

ce qui s’ecrit encore de maniere equivalente

PLaplace = −i∫ B

A(−→vd ×

−→B0) · d

−→l (9)

= −i∫ B

A

−→Em · d

−→l (10)


et sachant d’apres le bilan initial que PLaplace = −eL, i, nous en tirons l’ex-pression de la force electromotrice de Lorentz

eL =∫ B

A

−→Em · d

−→l (11)

L’existence de courants induits est liee au caractere non conservatif de lacirculation du champ electromoteur : ils existent si et seulement si la femtotale d’une maille est non nulle.

2.2.2 Roue de Barlow : generateur unipolaire

Parfois appele disque de Faraday, ce dispositif est constitue par un disquede cuivre tournant uniformement autour de son axe, dans un champ magnetiquestationnaire et uniforme. Deux contacts glissants, l’un sur l’axe en M etl’autre sur la peripherie en N, permettent de refermer le circuit sur undipole electrocinetique exterieur D. Le circuit n’est pas defini de facon uniquepuisque le conducteur n’est pas filiforme mais massif entre le centre O dudisque et N. En outreles points materiels qui assurent la conduction entreO et N changent au cours du temps


On peut calculer la fem de par son expression generale sur le contourMONDM ; le champ magnetique applique est stationnaire, et tel que

−→B =

B−→ez . Le disque a un rayon R et tourne a la vitesse angulaire ω. La vitessedes seuls points mobiles du contour, comme P situe entre O et N, s’ecritdans la base cylindrique

−→v = ω ρ−→eθ (12)

et ainsie(t) =

∮C(−→v ×

−→B ) · d−→r (13)

c’est-a-dire

e(t) =∫ R

0Bω ρdρ =

B ω

2R2 (14)

Ordre de grandeur : pour un champ de 0, 2 T , une roue de 10 cm de rayonet une vitesse angulaire de ω = 3000 tr.min−1, on obtient

e ∼ 0, 63 V (15)

2.3 Loi de Faraday

2.3.1 Expression generale

Avec les conventions de la section precedente, appelons maintenant−→λ

la translation d’un point M du circuit dans l’intervalle de temps dt, ce quirevient a dire que d

−→λ = −→vd dt. La fem induite aux bornes de d

−→l s’ecrit dans

ce cas

deL =−→Em · d

−→l = (d

−→l × d

−→λ

dt) ·−→B0 (16)

Or, la grandeur (d−→λ × d

−→l ) ·

−→B0 represente le flux coupe d2φc par l’element

de circuit d−→l lors du deplacement d

−→λ . Il vient donc que, lorsque l’ensemble

du circuit se deplace de d−→λ pendant dt, il est le siege d’une fem induite

eL = − dφc

dt(17)

On montre facilement que le flux coupe par un circuit en deplacement estegal a la variation de flux traversant le circuit mobile ; par ailleurs, la va-riation de flux a travers le circuit peut avoir une cause quelconque, autreque le mouvement de ce dernier (dans le cas de l’induction de Neumann par


exemple). On generalise donc l’egalite precedente pour atteindre la loi deFaraday1

eL = − dφ

dt(18)

Remarque :Dans les probleme d’induction de Lorentz, le champ electrique peutetre mis sous la forme

−→E = −

−−→gradV +

−→Em (19)

La loi de Faraday donne

e(t) =∮

(C)

−→Em ·d

−→l =

∮(C)

−→E ·d

−→l = − dφ(t)

dt= − d

dt

∫S

−→B ·d

−→S (20)

soit encore par le theoreme de Stokes∮(C)

−→E · d

−→l =

∫S

−→rot−→E · d

−→S =

∫S

− ∂−→B

∂t· d−→S (21)

d’ou l’on tire l’equation locale dite de Maxwell-Faraday

−→rot−→E = − ∂

−→B

∂t(22)

Exemple : rotation d’un cadre dans un champ magnetique constant. Le flux estde la forme φ = abB0 cos(ωt) ; le phenomene d’induction implique que le cadre estparcouru par un courant alternatif du a l’existence aux bornes du cadre de la femalternative induite

eL = − dφ

dt= abB0 ω sin(ωt) (23)

2.3.2 Rail de Laplace

Prenons un exemple de calcul de fem par la loi de Faraday.On considere la configuration suivante :

La tige NP de masse m peut glisser sans frottements ; le circuit est par-couru par un courant continu I et place dans un champ magnetique normal−→B0, uniforme et constant.

1On ne peut pas definir de flux si le circuit n’est pas filiforme ou si l’on ne connaıtpas B en tout point d’une surface s’appuyant sur le circuit. Par ailleurs, la demonstrationde la loi de Faraday par le flux coupe est valable si la vitesse des points du circuit estdiscontinue (roue a contact mobile).


Sous l’action de ce champ, la tige est soumise a la force de Laplace−→F =

IaB0−→ex ; le flux magnetique a travers le circuit, φ = axB0, varie au cours

du temps puisque la tige se deplace, et il apparaıt aux bornes du circuit unefem induite.Si la tige est initialement animee d’une vitesse v0 a la distance b de MQ,l’application du PFD donne

F = md2x

dt2= IaB0 (24)

ce qui donne apres deux integrations

x(t) =IaB0

2mt2 + vo t+ b (25)

d’ou l’expression du flux magnetique

φ(t) =Ia2B2

0

2mt2 + av0B0 t+ abB0 (26)

On en tire alors l’expression de la fem induite aux bornes du circuit

e(t) = − dφ

dt= − Ia2B2

0

mt− av0B0 (27)


2.3.3 Tension aux bornes d’un dipole electrocinetique

Quel que soit son mode de fonctionnement, un voltmetre est un appareildont l’indication est reliee directement a la quantite∫

AV B

−→E · d

−→l (28)

qui est la circulation du champ electrique entre les bornes A et B, le longde la branche de mesure AVB dans laquelle est insere voltmetre.Considerons un dipole electrique D fixe, place dans une region ou existe unchamp magnetique variable

−→B (t), et placons un voltmetre entre les points

A et B :

On a, si la courbe (C) correspond au trajet ferme ADBVA,∮(C)

−→E ·d

−→l =

∫ADB

−→E ·d

−→l +

∫BV A

−→E ·d

−→l =

∫ADB

−→E ·d

−→l −uAB = −

∫S

∂−→B

∂t·d−→S

(29)soit par consequent

uAB =∫

ADB

−→E · d

−→l +

dφ

dt(30)

ou apparaıt le taux de variation du flux de−→B a travers une surface s’ap-

puyant sur tout le contour (C) : si l’on deplace le voltmetre, l’indicationqu’il donne n’est pas modifiee a condition que le flux de ∂

−→B

∂t soit negligeabledans la zone consideree. La tension uAB n’est definie qu’a cette condition


qui, dans la pratique, est peu contraignante car les champs intenses sontlocalises a l’interieur de machines electriques.Dans le cas ou le dipole est une resistance R, on observe

uAB = Ri+dφ

dt(31)

2.4 Champ electromoteur de Neumann

Nous avons vu que, bien que l’approche du phenomene d’induction soitdifferente, les points de vue de Lorentz ou de Neumann sont equivalents. Eneffet, dans l’approximation non relativiste (B, donc φ, sont les memes dansles referentiels), la fem induite obtenue au bornes d’une bobine ne dependpas du referentiel choisi :

eN = eL = − dφ(t)dt

(32)

Reprenons l’equation de Maxwell-Faraday, selon laquelle

−→rot−→E = − ∂

−→B

∂t(33)

Pour un circuit filiforme, soumis a un champ magnetique−→B (M, t), le flux

peut s’exprimer a l’aide du potentiel-vecteur−→A (M, t) en vertu du theoreme

d’Ostrogradski,

φ(t) =∫ ∫

Σ

−→B (M, t) · d

−→S =

∮Γ

−→A (M, t) · d

−→l (34)

donc, si le circuit est fixe,

eN = − dφ

dt=

∮Γ− ∂

−→A (M, t)∂t

· d−→l (35)

ce qui revient a associer au phenomene d’induction le champ electromoteur

−→Em = − ∂

−→A

∂t(36)

et ainsi calculer la fem correspondante sous la forme generiqueeN =

∮Γ

−→Em · d

−→l 1

1Le choix du champ electromoteur−→Em n’est bien sur pas unique et depend du choix

de jauge effectue. Ce choix n’est pas determinant dans la pratique, puisqu’on se ramenele plus souvent au calcul de la fem pour un circuit boucle (maille).

3 LES NOTIONS D’AUTO-INDUCTION ET D’INDUCTANCES 16

Remarque : on admettra que, si les deux causes de l’induction (Lorentzet Neumann) existent simultanement, il faut additionner leurs effets :einduite = eL + eN .

3 Les notions d’auto-induction et d’inductances

Jusqu’a present, nous avons systematiquement considere les interactionsentre un aimant et une bobine, ou bien entre deux bobines. Cependant, si lepassage d’un courant dans une bobine genere une fem et un courant induits,il genere egalement un champ magnetique induit de maniere a s’opposer a lavariation de flux. Ne serait-il pas logique de considerer l’action de ce champsur le circuit generateur lui-meme ? Peut-on generaliser a plusieurs circuits ?

3.1 Auto-induction

Un element de circuit filiforme est en fait soumis au champ magnetiquetotal −→

B =−−−−−−→Bexterieur +

−−−−→Bpropre (37)

De meme, la force electromotrice d’induction est la somme de deux termes ;en pratique, epropre n’est appreciable que si Bpropre est lui-meme intense, cequi est le cas pour de grands bobinages (nombre de spires eleve) parcouruspar de forts courants.On definit un flux propre φpropre, qui represente le blux du champ cree parla bobine a travers toute surface s’appuyant sur le contour du circuit. Cettegrandeur (comme Bpropre) etant proportionnelle a l’intensite, on pose

φpropre = L i (38)

ou L represente l’inductance du circuit. C’est un coefficient positif purementgeometrique1 qui ne depend que de la forme du circuit a l’instant t, et quis’exprime en henry (H).Ainsi,

epropre = − d(L i)dt

= −L didt

(39)

pour un circuit rigide (L est alors constante).1La proportionnalite est une consequence de la linearite des equations du champ

magnetique dans le vide : ce n’est plus le cas dans le fer par exemple. Le modele ducircuit filiforme est cependant souvent inutilisable dans le calcul d’inductances propres(integrales divergentes) ; pour des nappes de courant surfaciques (coaxes), on ne definirapas de surface s’appuyant sur le contour, mais on utilisera une definition energetique.


Exemple : la bobine torique de section rectangulairePour une bobine torique constituee de N spires jointives d’axe (Oz), leslignes de champ sont des cercles de rayon ρ et d’axe (Oz). L’applicationdu theoreme d’Ampere donne

B(ρ) =µ0N I

2πρ(40)

Le flux ϕ a travers une spire du cricuit depend de sa forme. Pour unesection rectangulaire,

ϕ =∫ b

a

B(ρ) c dρ =µ0N I

2πcLn(

b

a) (41)

Le flux total s’ecrit φ = N ϕ, et on en deduit l’inductance

L =φ

I=µ0N

2

2πcLn(

b

a) (42)

3.2 Aspects energetiques

Pour une bobine rigide prise aux bornes d’un generateur, la loi d’Ohms’ecrit

u = Ri− epropre − eext = Ri+ Ldi

dt− eext (43)

equation differentielle faisant apparaıtre la constante de temps τ = LR . En

l’absence de champ exterieur, et si u est une tension constante, l’equation apour solution

i(t) =u

R[1− e−

tτ ] (44)

Remarquons que la puissance fournie par le generateur Psource = ui et lapuissance dissipee par effet Joule PJoule = Ri2 ne sont pas egales :

Psource − PJoule = L idi

dt(45)

Pendant le regime transitoire, le solenoıde, qui absorbe donc une pussancesupplementaire, accumule une energie magnetique1

εm =∫ t

0Ld(

i2

2) =

12Li2 (46)

1Cette energie magnetique emmagasinee est de meme nature que l’enegieelectrostatique emmagasinee dans une capacite. On peut le mettre en evidence a l’aided’un circuit simple : en parallele, resistance+diode et bobine sur un generateur de tension ;un commutateur permet de charger la bobine et de la decharger sur la branche capacitive...


La densite volumique d’energie associee a un champ electromagnetiqueest

$em =B2

2µ0+ε0E

2

2(47)

Prenons un solenoıde ideal de longueur l, comportant N spires de sectionS. Le champ propre a pour valeur (cf. magnetostatique)

B = µ0N

li (48)

a l’interieur (nul a l’exterieur). L’energie magnetique associee au champ Bs’ecrit

εm = $m × V =B2

2µ0Sl (49)

=µ0N

2 S

2 li2 (50)

d’ou l’on deduit l’expression de l’inductance du solenoıde,

L =µ0N

2 S

l(51)

Cette methode de calcul, faisant appel a des considerations energetiques, esttres commobe pour le calcul d’inductances.

Ordre de grandeur : si N = 1000 spires, de surface S = 50 cm2 sur unelongueur l = 10 cm, on obtient (µ0 = 4π.10−7H.m−1)

L ∼ 63mH (52)

3.3 Couplage magnetique de circuits

Soit deux circuits filiformes et fermes reperes par les indices (1) et (2).Pour une position donnee des circuits, le flux de

−→B1 cree par (1) a travers

(2) est proportionnel a i1 ; ce flux de (1) a travers (2) peut se mettre sousla forme

φ1→2 =∫ ∫

S2

−−−→B1→2 · d

−→S2 =

∮C2

−−−→A1→2 · d

−→l2 (53)

d’apres le theoreme de Stokes. Par ailleurs, le potentiel-vecteur cree enchaque point du circuit (2) a pour expression

−−−→A1→2 =

µ0

4πI1

∮C1

d−→l1r

(54)


Ainsi, on obtient l’expression du flux

φ1→2 =µ0

4πI1

∮C2

∮C1

d−→l1 · d

−→l2

r= M1→2I1 (55)

De la meme facon, on montrerait que

φ2→1 =µ0

4πI2

∮C1

∮C2

d−→l2 · d

−→l1

r= M2→1I2 (56)

On note immediatement que M1→2 = M2→1 = M ou le coefficient M estdonne par la formule de Neumann

M =µ0

4π

∮C1

∮C2

d−→l1 · d

−→l2

r(57)

3.3.1 Couplage de deux circuits

Soit deux circuits constitues chacun d’une bobine rigide et d’une source.Pour chaque circuit, en l’absence d’autre champ magnetique,

φi = φi→i + φj→i (58)

avec i 6= j. Dans ce cas, e1 = −L1di1dt −M

di2dt et e2 = −L2

di2dt −M

di1dt . Les

tensionsu1 = R1i1 + L1

di1dt

+Mdi2dt

(59)

etu2 = R2i2 + L2

di2dt

+Mdi1dt

(60)

qui regissent les deux circuits sont donc couplees par le terme d’inductancemutuelle.La resolution de problemes de ce type, dont les flux et les intensites sont reliespar des relations lineaires, conduit habituellement a introduire un formalismematriciel, a l’aide de matrices inductance, qui sont symetriques et a diagonalepositive (coefficients d’auto-induction L).

Exemple : Bobines en seriePour deux bobines, (1) et(2), parcourues par un courant i, le flux duchamp magnetique a travers l’ensemble des spires est

φ = φ1 + φ2 = (L1i+Mi) + (L2i+Mi) (61)

Ce flux est de la forme φ = Li avec L = L1 +L2 + 2M : on voit qu’enregle generale, Lequivalente 6= L1 + L2 !


Les sources fournissent la puissance

Psources = u1i1 + u2i2 (62)

= (R1i1 + L1di1dt

+Mdi2dt

)i1

+(R2i2 + L2di2dt

+Mdi1dt

)i2

La puissance dissipee par effet Joule s’ecrit

PJoule = R1i21 +R2i

22 (63)

et par consequent le bilan energetique Psource = PJoule + dεmdt devient

dεmdt

= L1i1di1dt

+ L2i2di2dt

+Mi1di2dt

+Mi2di1dt

(64)

c’est-a-dire, en prenant εm = 0 lorsque les courants sont nuls,

εm =12L1i

21 +

12L2i

22 +M i1i2 (65)

L’inductance mutuelle des deux circuits depend de leur position relative.Pour en fixer les limites, il suffit de poser que l’energie magnetique est posi-tive, voire nulle s’il n’existe pas de courant dans l’espace. En posant X = i1

i2,

il vientL1X

2 + 2MX + L2 > 0 (66)

condition satisfaite pour tout X si le discriminant de cette equation estnegatif :

M2 < L1 L2 (67)

Le cas limite d’egalite est en realite celui du couplage parfait, n’ayant pasd’existence reelle, pour lequel toutes les lignes de champ creees par un circuittraversent l’autre. En fait, il existe toujours des pertes de flux magnetique.Pour les transformateurs cuirasses, on pose habituellement

M = k√L1 L2 (68)

ou k est un coefficient inferieur a l’unite traduisant la qualite de couplage.


3.3.2 Principe du transformateur

Il s’agit d’un cadre de fer assurant la ”canalisation” des lignes de champ−→B cree par deux bobines de N1 et N2 spires.La bobine (1), appelee primaire, est alimentee par une tension u1(t) et labobine (2), appelee secondaire, alimente un appareil (ou charge). On ecritconventionnellement le diagramme suivant :

Au primaire, ecrivons

u1 = R1 i1 + L1di1dt

+Mdi2dt

(69)

et au secondaireu2 = R2 i2 + L2

di2dt

+Mdi1dt

(70)

Si les resistances sont nulles (ou en l’absence de charge pour le secondaire),

u1 = L1di1dt

+Mdi2dt

(71)

u2 = L2di2dt

+Mdi1dt

(72)

On montre par recurrence que, pour un bobinage de N spires,

Ltotal = N2L0

. Par ailleurs, en introduisant le facteur de couplage k, il vient

M = k√L1 L2


.et le champ parfaitement canalise, le flux de

−→B a la meme valeur φ0 a

travers toutes les spires :

u1 = N1dφ0

dt(73)

etu2 = N2

dφ0

dt(74)

Nous obtenons alors la relation tres simple u2 = N2N1u1.

Dans le cas general, on peut ramener chaque circuit a un equivalentelectrocinetique serie du type (exemple du primaire)– impedance Zp

– inductance propre iLω– inductance mutuelle iMωavec la loi d’Ohm ep = (Zp + iLpω)Ip + iMω Is. De meme pour lesecondaire, 0 = (Zs + iLsω)Is + iMω Ip. On obtient donc le systemed’equations

Is = − iMω Ip

Zs,T

ep = (Zp,T + M2ω2

Zs,T) I − p

cette derniere equation permettant de donner l’equivalent serie. De lameme facon, pour le secondaire, on obtient l’equation

−i Mω

Zp,Tep = (

M2ω2

Zp,T+ Zs,T )Is (75)

ce qui donne l’equivalent serie du secondaire. Si l’on suppose le trans-formateur parfait, Rp iLpω et ainsi Zp,T ≈ iLpω. L’expression de lafem du secondaire devient

es = −i Mω

Zp,Te = −i

√Lp Ls ωe

iLpω= −

√Ls

Lpe (76)

et sachant que Ls

Lp= n2

s

n2p, il vient finalement la relation simple

es

ep= − ns

np(77)

et on retrouve le theoreme d’Ampere en ecrivant Is

Ip= − ns

np.

L’utilisation du transformateur est simple :– sans charge, Is = 0 dont ep = e = Zp,T Ip,0

4 APPLICATIONS 23

– en charge, e = Zp,T Ip,0 = Zp,T Ip + iMω Is, ce qui donne encore

Ip − Ip,0

Is= − iMω

Zp,T(78)

et sachant que dans le cas d’un transformateur parfait,M = k√Lp Ls

avec k = 1, on aboutit finalement a

np(Ip − Ip,0) + ns Is = np Ip,0 (79)

En chargeant le secondaire, l’accroissement de courant qui passe dansle primaire est np(Ip − Ip,0) et est compense par le courant dans le se-condaire (−ns Is) exactement : le flux d’induction magnetique a traversle fer ne change pas, qu’on soit en en charge ou non.

4 Applications

4.1 Moteur asynchrone

Pour les installations de forte puissance, la distribution de l’energieelectrique se fait en ”triphase”. Par rapport a une tension de reference,le neutre, les trois fils de phase sont portes a des tensions de meme valeurefficace et dephasees de 2π

3 . Pour realiser un champ tournant, il suffit dedisposer trois electroaimants faisant des angles de 2π

3 entre eux et relies auxsources du triphase.

4 APPLICATIONS 24

Les trois electroaimants creent, au voisinage du point O, trois champsproportionnels respectivement aux tensions correspondantes (avec la memeconstante de proportionnalite), qui s’ajoutent :

−→B (O, t) =

32Bm (cos(ω0t)−→ex + sin(ω0t)−→ey) (80)

Si on place une bobine de N spires d’aire S, fermee sur elle-meme, deresistance R, d’inductance L et de moment d’inertie J par rapport a l’axe(Oz), elle peut tourner sur elle-meme sous l’action du champ tournant,moyennant un couple resistant Γ qui maintient sa vitesse constante. Onrepere cette bobine par l’angle θ(t) = (−→ex,

−→S ) et le champ tournant est tel

que (−→B,−→ex) = ωt

1.Le flux de

−→B a travers la bobine varie dans le temps, ce qui provoque un

courant induit. La loi de Lenz montre que l’effet mecanique de ce courants’oppose a la cause de l’induction : la bobine subit des efforts de Laplace quitendent a la placer dans l’etat ou le flux ne varie pas (la vitesse angulaireetant egale a ω0)2.Classiquement, le probleme se decompose en deux parties :

– une equation mecaniqueLa bobine est assimilable a un dipole de moment magnetique

−→M =

Ni−→S . Le theoreme du moment cinetique donne alors

(−→M ×

−→B ) · −→ez − Γ = J θ (81)

soit encoreJθ − φ0 i sin(ω0t− θ(t)) + Γ = 0 (82)

– une equation electriquePour la spire orientee, le flux du champ exterieur est tel qu φext =φ0 cos(ω0t− θ(t)) d’ou l’expression de l’equation

Ri+ Ldi

dt+dφext

dt= 0 (83)

qui devient

Ri+ Ldi

dt− (ω0 − θ)φ0 sin(ω0t− θ(t)) = 0 (84)

1On suppose que le champ est uniforme2Le moment des actions de Laplace est donc positif si ω est inferieure a ω0

4 APPLICATIONS 25

C’est en regime permanent que les deux equations se decouplent. L’equationelectrique est alors une equation lineaire, dont le second membre est unefonction sinusoıdale de pulsation Ω = (ω0 − ω) :

Ri+ Ldi

dt= Ωφ0 sin(Ωt) (85)

La solution d’une telle equation s’obtient par les complexes :

i = im sin(Ωt− ψ) (86)

avec les grandeurs

im =Ωφ0√

R2 + L2 Ω2et ψ = Arctan(

LΩR

) (87)

L’equation mecanique permet alors d’obtenir l’expression du moment

Γ(t) =Ωφ2

0√R2 + L2 Ω2

sin(Ωt− ψ) sin(Ωt) (88)

de moyenne

< Γ >=Ωφ2

0

2√R2 + L2 Ω2

cos, ψ (89)

soit encore en remplacant ψ par sa valeur, et en posant X = ωω0

,

< Γ >=Γ0 (1−X)

1 + λ2 (1−X)2(90)

ou λ = Lω0R . On peut alors tracer l’evolution de Γ

Γ0en fonction de X, puis

celle de la puissance mecanique < Pm >=< Γ > ω en fonction de X. On selimite a l’intervalle [0, ω0]

On a les cas suivants :

4 APPLICATIONS 26

– si ω = ω0, le couple < Γ > est nul car le flux est constant– si ω < ω0, on observe < Γ >> 0 et le moteur tourne moins vite que le

champ, d’ou son nom de moteur asynchrone– si le facteur λ < 1, le couple est une fonction decroissante de la pul-

sation, mais en general on a toujours λ > 1, ce qui implique que lecouple passe par un maximum. Si deux valeurs de ω correspondent ala valeur imposee < Γ >, seule la plus grande est relatvie a un etatstable (< Γ > (ω) etant decroissante, une augmentation de la vitessese traduit par une diminution du couple moteur, qui ramene la vitessea sa valeur d’equilibre.

4.2 Acceleration de particules : le betatron

La possibilite d’exercer des forces electriques par des variations de champmagnetique est mise a profit dans l’accelerateur de particules chargees appelebetatron.Un electroaimant cree un champ magnetique

−→B de revolution autour d’un

axe (Oz) et parallele a cet axe. On injecte dans la zone peripherique, a unedistance r de l’axe des electrons de charge −e et de masse m, de vitesse−→v perpendiculaire a (Oz). L’intensite du champ magnetique est choisie defacon a ce qu’ils decrivent le cercle de rayon r et d’axoe (Oz). On fait croıtre−→B : le potentiel-vecteur

−→A croıt de meme, et un champ electrique induit

tangentiel accelere les electrons sur leur orbite.On peut montrer que, moyennant certaines conditions sur la geometrie de

−→B ,

ce procede d’acceleration peut s’effectuer sans modifier le rayon de l’orbite.

4.3 Courants de Foucault

Toute piece de metal placee pres d’un circuit electrique parcouru par uncourant variable, ou en mouvement pres d’un aimant, est le siege de courants

4 APPLICATIONS 27

volumiques induits appeles courants de Foucault, non guides par les fils, cequi les rend souvent impossibles a calculer analytiquement.De maniere generale, les courants de Foucault se developpent dans uneconducteur en mouvement ou soumis a un champ magnetique

−→B variable,

s’il peut exister des lignes de champ sur lesquelles la circulation de−→Ji – et

donc celle du champ electromoteur –, est positive.Ainsi, il n’y a pas de courant de Foucault dans un conducteur solide en ro-tation autour d’un axe parallele au champ

−→B uniforme, car alors

−→Em est le

gradient de ωB2 r2 (cf. calcul de la roue de Barlow) ; en revanche, si

−→B est

normal a l’axe, il existe des courants de Foucault dans le conducteur.

Placons par exemple un conducteur cylindrique de volume V dans unchamp magnetique uniforme

−→B0 applique selon l’axe de revolution et cree par

des sources exterieures. En regime variable, il apparaıt un champ electriqueinduit

−→Ei tel que

−→rot−→Ei = − ∂

−→B0

∂t(91)

d’ou l’existence dans le conducteur de courants induits, appeles courants deFoucault, de densite volumique

−→Ji = γ

−→Ei.

En premiere approximation, supposons que le champ−→B applique reste

egal a−→B0. Par ailleurs, tout plan passant par M et contenant l’axe (Oz)

est plan d’antisymetrie pour l’ensemble conducteur + sources de champmagnetique : le champ electrique (et le courant volumique) est normal a ceplan. Dans le systeme de coordonnees cylindriques adequat, nous pouvonsecrire −→

B =−→B0 = B0(t)−→ez (92)

et −→Ji = γ Ei(ρ, t) −→eφ (93)

4 APPLICATIONS 28

Les lignes de courant sont des cercles concentriques centres sur l’axe desplans z = cte. On adopte le contour (C) correspondant a une telle ligne decourant, de rayon ρ et orientee selon −→eφ. La relation de Maxwell-Faradaydonne

e =∮

(C)

−→Ei · d

−→l = − d

dt

∫S

−→B0 · d

−→S (94)

ce qui s’ecrit donc, si d−→S est orientee selon −→ez ,

2πρEi = −πρ2 dB0

dt(95)

d’ou l’on extraitEi = −1

2ρdB0

dt(96)

et ainsi−→Ji = − γ

2ρdB0

dt−→eφ (97)

Remarquons que ces courants induits de Foucault– sont plus intenses a la peripherie du conducteur. Leur sens, selon −→eφ si

dB0dt < 0, obeit a la loi de Lenz : le champ additionnel

−→Bi cree par

−→Ji ,

dirige selon −→ez , tend a compenser la diminution du champ exterieur−→B0

– sont d’autant plus intenses que−→B0(t) varie rapidement dans le temps :

si B0(t) = B0m cos(ωt),−→Ji =

γω

2ρB0m sin(ωt) −→eφ (98)

4 APPLICATIONS 29

La puissance elementaire dissipee par effet Joule dans le conducteur est

δP =−→Ei ·

−→Ji dV =

J2i

γdV (99)

soit sur tout le volume du conducteur

P =γω2

4B2

0m h sin2(ωt)∫ a

0ρ2 2πρ dρ =

π

8γω2B2

0m a4 h sin2(ωt) (100)

soit, puisque V = πa2h,

P =V

8γω2B2

0m a2 sin2(ωt) (101)

Ainsi, en moyenne dans le temps,

<P

V>t=

116γω2B2

0m a2 (102)

Cette puissance dissipee est d’autant plus grande que la conductivite γ et lapulsation ω sont grandes, et que le conducteur est massif (rayon a grand).On voit par ailleurs que l’on peut diminuer les courants de Foucault dans leconducteur en divisant ces derniers en feuilles ou fibres que l’on separe pardes isolants : en remplacant le conducteur massif cylindrique de rayon a pardes fils conducteurs de rayon b = a

n tel que le volume total reste inchange,les pertes moyennes par unites de volume sont divisees par n2 :

<P ′

V>t=

116γω2B2

0m b2 =1n2

<P

V>t (103)

C’est ce qui est realise dans les noyaux des bobines et dans les transforma-teurs.En revanche, si l’on veut obtenir un echauffement important dans le conduc-teur, a γ et V fixes, on augmente en principe la frequence (ω) du champmagnetique : c’est ce qu’on realise dans un four a induction, ou le materiauest chauffe alors que son support isolant reste froid ; un tel echauffement estefficace puisque ce type de fours permet d’atteindre la fusion du conducteur !

Enfin, les courants de Foucault engendres par le mouvement d’un conduc-teur dissipent une puissance proportionnelle au carre de la vitesse et creentune action de freinage proportionnelle a la vitesse et au carre du champ.De tels dispositifs sont utilises comme ralentisseurs sur certains poidslourds mais ne peuvent neanmoins se substituer aux freinages a friction,car la force de freinage du ralentisseur n’est intense qu’a grande vitesse.

4 APPLICATIONS 30

4.4 Machines tournantes generatrices

4.4.1 Alternateurs

Une bobine comportant N spires de surface S tourne a vitesse angulaireconstante ω dans un champ magnetique uniforme

−→B , autour d’un de ses

diametres perpendiculaires a−→B .

A l’instant t, le flux a travers la bobine s’ecrit

φ = N−→B ·

−→S = NBS cos(ωt+ ϕ) (104)

Une fem est donc induite, et donnee par le loi de Faraday

e(t) = −dφdt

= ωNBS sin(ωt+ ϕ) (105)

Elle est sinusoıdale et de valeur moyenne nulle (le circuit se retrouve dans lameme position apres un tour complet). Deux contacts glissants permettentde l’utiliser pour alimenter un circuit fixe externe : on parle d’alternateur ainduit mobile.On peut eviter de tels contacts pour les forts courants en prenant une bo-bine fixe et en faisant tourner la source de champ magnetique (aimant ouelectroaimant suivant la taille de l’alternateur) : ce sont des alternateurs ainduit fixe.Les alternateurs de puissance ont un bobinage enroule sur une carcasse en

4 APPLICATIONS 31

fer doux pour ”canaliser” les lignes de champ magnetique. L’inducteur estune bobine a noyau animee d’une vitesse de rotation constante. Si l’induitpossede deux poles, la frequence de la fem induite est celle de la rotationde l’inducteur ; pour obtenir du 50 Hz, la vitesse de rotation doit etre del’ordre de 3000 tr.min−1, c’est-a-dire assez elevee, mais obtenue directementpar certaines turbines. Les fem industrielles obtenues sont au maximum de20000 V .Pour operer avec une vitesse de rotation moindre, il faut augmenter lenombre de poles de l’induit et de l’inducteur : avec 2p poles par exemple, lafrequence de la fem sera p fois celle de la rotation.

4.4.2 Dynamos

Une spire tournante dans un champ magnetique est le siege d’une femsinusoıdale.

5 CONVERTISSEURS ELECTROMECANIQUES 32

Il est possible d’obtenir une fem toujours de meme sens si l’on prend soinde realiser, en synchronisme avec la rotation, une commutation chaque foisque la fem s’annule. C’est le role du ”collecteur”.L’induit est en fait constitue d’un nombre important de conducteurs ”actifs”,convenablement relies entre eux, avec un collecteur comportant k lamesdistinctes : la fem obtenue est quasi constantes et est de l’ordre de

e = N nφ0 (106)

ou N est le nombre de tours par seconde, n le nombre de conducteurs actifset φ0 le flux maximal a travers une spire.Le flux magnetique externe est produit par un circuit auxiliaire, l’induc-teur fixe : ce dernier peut etre alimente par un generateur externe (excita-tion ”separee”) ou par une fraction derivee du courant produit (excitation”parallele”), ou bien encore en mettant en serie l’inducteur avec le circuitd’utilisation (cas rare, excitation ”serie”).

5 Convertisseurs electromecaniques

5.1 Le haut-parleur electrodynamique

Il s’agit d’une application tres importante et extremement repandue. Onpeut representer un haut-parleur comme suit :

L’aimant permanent annulaire cree un champ radial constant−→B = B(r)−→er

au niveau des fils de la bobine. Celle-ci est solidaire de la membrane, ce qui


permet de conferer a la membrane un mouvement de translation ; elle estrappelee vers sa position d’equilibre par une force elastique qu’on modelisele plus souvent par un ressort de raideur k. Les frottements mecaniques sontrepresentes par un frottement proportionnel a la vitesse.L’etude de ce dispositif peut faire l’objet d’une seance de travaux pratiques ;la resolution du probleme est typique. Lorsqu’un circuit electrique est mobiledans un champ magnetique, les grandeurs electriques et mecaniques ne sontpas independantes : on parle de couplage electromecanique. Comme nousallons le voir sur l’exemple suivant, plus simple, l’analyse consiste en deuxetapes :

– une equation mecanique, faisant intervenir les actions de Laplace,c’est-a-dire les courants

– une equation electrique tenant compte des fem d’induction (donc dela vitesse des conducteurs)

La caracteristique electrocinetique depend des contraintes mecaniques, dela meme facon que le comportement mecanique depend des composants ducircuit.


5.2 Moteur a courant continu

5.2.1 Principe

Une bobine constituee de N spires enroulees sur un cadre rectangulairede cotes a et b, est en rotation autour d’un axe ∆. Sa position est reperee parl’angle θ ; sa resistance totale est R et son inductance L. Elle est reliee toutd’abord a une source de tension E par des contacts H et K qui commutenta chaque demi-tour.L’extremite K de la bobine est reliee

– au pole ⊕ si sin(θ) > 0– au pole si sin(θ) < 0

Le systeme mobile a un moment d’inertie J par rapport a l’axe ∆. Un aimantpermanent produit un champ magnetique

−→B , suppose radial et de norme

uniforme au niveau des fils MN et PQ1.Un systeme mecanique S exerce sur l’axe un couple mecanique resistant, denorme supposee constante, note (−Γ).

1On se rapproche de cette structure en jouant sur la forme des pole et en placant uncylindre de fer sur l’axe de la bobine. Il existe une zone de transition ou le champ n’a pastout a fait la structure voulue, mais nous la negligerons ici.


5.2.2 Equation mecanique

Les forces de Laplace sur les cotes NP et QM sont paralleles a l’axe :leur moment par rapport a ce dernier sera donc nul.Les forces de Laplace exercees sur les cotes MN et PQ sont egales a Bib ennorme ; en raison de la commutation, leur moment a toujours le meme signe.


Ce moment a pour expression Mδ = a2 Bib. Au total, le moment des

forces de Laplace est

MLaplace = 2N ×Bib a2

= iφ0 (107)

ou φ0 = N B ab a bien les dimensions d’un flux. Il vient donc l’equationdifferentielle

J θ = MLaplace − Γ = i φ0 − Γ (108)

5.2.3 Equation electrique

La puissance des actions de Laplace est

PLaplace = −eLorentz i = MLaplace θ = i φ0 θ (109)

On en deduit l’expression de la force electromotrice de Lorentz, eL = −φ0 θ.D’un point de vue electrocinetique, la rotation equivaut a un generateurideal de tension e = φ0θ opposee au courant qui engendre cette rotation (onappelle parfois cette quantite force contre-electromotrice). On a l’equation

R i+ Ldi

dt+ φ0 θ = E (110)

5.2.4 Regime transitoire

Il est possible d’eliminer i(t) dans les equations precedentes. On obtientalors l’equation differentielle en termes de ω(t) = θ(t)

L

Rω + ω + ω

φ20

RJ+

ΓJ

=E φ0

RJ(111)


Dans la pratique, il est raisonnable de faire l’approximation que

L

Rω ω (112)

L’equation se reduit au premier ordre : ω + ωφ2

0RJ = E φ0

RJ − ΓJ .

Cette equation lineaire admet une solution simple si Γ est constant et si lemoteur est initialement arrete :

ω = ωl(1− e−tτ ) (113)

avec les grandeurs

ωl =E

φ0− RΓφ2

0

etτ =

RJ

φ20

. Pendant ce regime transitoire, le courant

i(t) =E − ωφ0

R

decroıt donc de ER a Γ

φ0.

5.2.5 Regime permanent

En regime permanent, le moment des forces de Laplace, oppose au coupleresistant, est egale a Γ et la vitesse angulaire limite ωl est une fonction affinedecroissante de Γ :

– la valeur maximale de cette vitesse est obtenue a vide pour Γ = 0 etvaut E

φ0

– si le couple verifie Γ > Eφ0

R , le moteur ne peut pas tourner.La pussance mecanique fournie par le moteur s’ecrit

Pmeca = Γ× ω =φ0E

Rω(1− ω

ωmax) (114)

soit encore, utilisant le bilan,

Psource = Pmeca +Ri2 = E i (115)

avec i = E−φ0ωR . On obtient donc le graphe


sur lequel on se rend compte que la puissance est maximale lorsqueω = 1

2 ωmax et vaut alors E2

4R .

5.2.6 Fonctionnement en generateur

Ce dispositif peut egalement fonctionner en generateur. Supposons qu’unoperateur impose un regime permanent de rotation a vitesse constante ω0 enexercant un couple moteur Γ′ = −Γ. Remplacons la source par une resistanceR0.

– l’equation electrique donne

i = − φ0ω0

R0 +R(116)

– l’equation mecanique donne Γ′ = −i φ0, soit

Γ′ =φ2

0 ω0

R0 +R(117)

D’un point de vue mecanique, le couplage se traduit par un couple defrottement proportionnel a la vitesse, qui depend de la valeur de R0.D’un point de vue electrique, le systeme est equivalent a un generateur deThevenin de fem E(t) = φ0 ω0.


S’il etait possible de faire abstraction des resistances et des frottementsinternes, le rendement energetique de ces convertisseurs electromecaniquesserait de 100% : en effet, la puissance de l’operateur, opposee en moyenne acelle des forces de Laplace, est egale a la fem du generateur1. Ici, la puissanceest dissipee dans le resistance de charge, et on obtient bien

Γ′ × ω0 = (R0 +R)i2 (118)

Notons que l’on regroupe plus generalement les moteurs et generateurselectriques sous le terme de convertisseurs de puissance, susceptibles deproduire de la puissance mecanique a partir d’une source electrique ou in-versement de la puissance electrique a partir d’une excitation mecanique.Theoriquement, les deux sens de conversion sont possibles, mais les appareilssont en realite concus techniquement pour un seul mode de fonctionnement.

1La puissance mecanique est celle des actions de Laplace, et la puissance electrique est,en l’absence de resistance, celle de la fem de deplacement. D’apres les lois de l’induction,des deux grandeurs sont egales en valeur absolue.

Conclusion

La decouverte du phenomene d’induction electromagnetique par Faradaya constitue un grand pas dans la physique. Faraday avait appris le travail ducuir et la refection des ouvrages chez un libraire francais de Londres, mais ilse prit tres vite d’une passion pour les sciences chimiques et electriques ; sesfabuleuses qualites d’experimentateur l’amenerent a postuler l’existence delignes de force appelees lignes de champ, mais il restait a expliquer commentelle se propageaient dans l’espace.

Faraday franchit le pas, supprime toute reference a la matiere, et suggereque les forces observees sont creees par un ensemble de champs electriques,magnetiques ou gravitationnels qui traversent l’espace vide. C’est ainsi qu’ilpose les bases d’une physique nouvelle, par ce saut conceptuel. Cependant,son langage est trop approximatif, et il lui manque la puissance du forma-lisme mathematique.

Ce sont des mathematiciens et des physiciens tels que Hamilton, Thom-son (futur Lord Kelvin) ou Maxwell qui poursuivirent la route s’ouvrant surune theorie electromagnetique de plus en plus consistante. La progressionamene ensuite vers les celebres equations vectorielles de Maxwell (ecritessous leur forme actuelle par l’anglais Heaviside) et a la propagation d’ondes.

Comme nous l’avons vu a travers quelques exemples, les phenomenesd’induction sont aujourd’hui encore au gout du jour

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Induction électromagnétique. Aspects énergétiques...

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