Incertitude et Probabilités en Théorie de la Décision · Axiomes de VnM :! A1."Préordre total:...
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Incertitude et Probabilités en Théorie de la Décision Olivier lʼHaridon Univ. Rennes 1 & IUF 1
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Incertitude et Probabilités en Théorie de la Décision!
Olivier lʼHaridon"Univ. Rennes 1 & IUF!
1!
Definitions!
Incertitude"
- Knight (1921)!
- Incertitude mesurable: existence dʼune mesure de probabilité!- Incertitude non mesurable: non existence dʼune mesure de probabilité!
- Keynes (1921)!
- Probabilité: “balance of evidence” en faveur dʼune proposition particulière.!
- Poids de lʼevidence: quantité de preuve supportant cette balance.!
- Incertitude fondamentale (radicale): pas dʼevidence!
- De Finetti (1937), Ramsey (1931)!
- Des probabilités subjectives peuvent toujours être dérivées des choix observables.! 2!
Exemples!
" " " " une Loterie"" " " " " " " un “Acte”!
3!
100
0
1/2
1/2
100
0
Cac >= 4000
Cac < 4000
{100,1/2;0,1/2}!
{100,1/2;0}!{100,p;0}!
{x,p;y}!
{100,cac>=4000;0,cac<4000}!
{100,cac>=4000;0}!{100,E;0}!
{x,E;y}!
Plan!
1. Incertitude et probabilités connues"
2. Applications"
3. Incertitude et probabilités inconnues "
4. Quelques exemples de choix." "
5. Quelques prolongements"
4!
1. Incertitude et probabilités connues"
5
Distributions de probabilités (1/3)!
100
0
1/2
1/2
P = {100,1/2;0}!
50
10
3/4
1/4
Q = {50,3/4;10}!
1/2
0 0 100
1/4
0 0 100 10 50
3/4
6!
7!
100
0
1/3
1/3
R = {100,1/3;50,1/4,10,1/12;0}!
1/4 50
1/12 10
1/3 1/4
0 1/12
0 100 10 50
Distributions de probabilités (2/3)!
Distributions de probabilités (3/3)!
P = {100,1/2;0}!
1/2
0 0 100
Q = {50,3/4;10}!
1/4
0 0 100 10 50
3/4
8!
x 2/3!
0 0 100
1/3
x 1/3!
1/4
1/12
10 50
2/3 P + 1/3 Q!
Operation: Combinaison!
9!
100
0
1/2
1/2
P = {100,1/2;0}!50
10
3/4
1/4
Q = {50,3/4;10}!
100
0
1/3
1/3
R = {100,1/3;50,1/4,10,1/12;0}!
1/4 50
1/12 10
x 2/3! +! x 1/3!
Operation: Réduction des loteries composées (1/2)!
10!
100
0
1/2
1/2
50
10
3/4
1/4
2/3
1/3
P = {100,1/2;0}!
1/2
0 0 100
x 2/3!
Q = {50,3/4;10}!
1/4
0 0 100 10 50
3/4
x 1/3!
Operation: Réduction des loteries composées (2/2)!
11!
100
0
1/2
1/2
50
10
3/4
1/4
2/3
1/3
100
0
1/3
1/3
1/4 50
1/12 10
0 0 100
1/3 1/4
1/12
10 50
2/3 P + 1/3 Q!
Choix!
1/2
0 0 100
1/4
0 0 100 10 50
3/4
12!
P = {100,1/2;0} vs. Q = {50,3/4;10}!
100
0
1/2
1/2
50
10
3/4
1/4
E(X)=50!σ (X)=50!Sk=0;!Ku=1;!
E(X)=40!σ (X)=17!Sk=-1.15;!Ku=2.33;!
13!
P = {96,0.9;14,0.05;12} vs. Q = {96,0.85;90,0.05;12}!
96
12
0.90
0.05
14 0.05
96
12
0.85
0.10
90 0.05
Un autre choix!
14!
96 au moins
12 au moins
0.90
1
14 au moins 0.95
96 au moins
12 au moins
0.85
1
90 au moins 0.90
… et le même choix!
Comment évaluer des situations incertaines?!
- Pascal/ Fermat: Valeur espérée!
- Paradoxe de Saint Petersbourg (1713): prix pour la participation à une loterie!! ! !! ! 1. Une pièce équilibrée est lancée.!
! ! 2. Si pile apparaît au nth tirage, alors le paiement est 2n!
- D. Bernouilli (1738): utilité marginale décroissante (relation non linéaire entre richesse et utilité).!
- Zzzzzz jusquʼà von Neumann (1928, and Morgenstern, 1944).!15!
Modéliser les choix!
Approche par les relations de preference"
1. Identifier lʼensemble de choix est ses propriétés structurelles.!
2a. Définir une relation binaire de base: la relation de préférence.!
2b. Définir des propriétés plus spécifiques pour cette relation.!
3. Poser et prouver un thérorème de représentation (pour obtenir une fonction)!
4. Conditions pour lʼunicité de la représentation.!
! !
16!
Si les axiomes sont vérifiés! La représentation est possible!Axiomes sont suffisant !
Si la représentation est vérifiée! Les axiomes doivent être vérifiés!Axiomes sont nécessaires!
Relation de Preference!
Comparison de paires dʼalternatives!
! !
17!
(complétude)!
(transitivité)!
(complete) & (transitive): preference relation!
au moins aussi bon que : !
rational preference relation, weak order, complete preorder…!
Peut être représentée par une fonction (Cantor, 1895) !
la relation entre les paires est bien définie, “meditation”.!
Impossible de cycler!
Les axiomes: Ordre faible et continuité!
Le décideur a des préférences sur lʼensemble des loteries X.!
Axiomes de VnM :!
A1."Préordre total: la relation de préférence est rationnelle.!
A2."Continuité: !
Axiome Technique."
P: traverser la rue pour faire un achat.!
Q: ne pas traverser la rue (et ne pas faire lʼachat)!
R: être heurté par une voiture au milieu de la rue.!
-Prévenir lʼexistence de conséquences à effets infinis (enfer, paradis).!18!
Les Axiomes: Independance!
A3. Independance"
Axiome comportemental"
! ! ! ! : mélange de probabilités de P et C!! ! ! ! donne α fois la probabilité de P + (1-α) fois la probabilité de C !! ! ! ! pour chaque conséquence.!
- Remplacer un ingrédient de Q dans un mélange, par un meilleur ingrédient P améliore le mélange.!
- Comparer deux paquets= comparer leur pieces individuelles.!
- La lotterie commune nʼa pas dʼimpact sur le choix.!
- Pas de complémentarités entre les évènements.! 19!
Théorème de von Neumann & Morgenstern!
satisfiait A1-A3, si et seulement, il existe ! ! ! ! tel que, pour tout! :!
u est unique à une transformation affine près:!
- Fondé sur des préférences entre des distributions de probabilités.!
- Espérance en termes dʼutilité: !
- Le comportement est entièrement décrit par la fonction dʼutilité.!
- P FSD Q!
20!
Continuity!
If distributions do not have finite support, it is necessary to add a dominance axiom:!
A4. Dominance: "
If all outcomes of the distribution P are preferred to c, then P is prefered to the degenerate distribution on c.!
If X is already ordered (e.g ), it is necessary to impose a monotonicity axiom to ensures compatibility of orderings.!
A5. Monotonicity:"
21!
2. Applications"
22
Aversion au risque!
Valeur actuarielle de P:!
Valeur espérée de la richesse:!
: aversion pour le risque!
: neutralité au risque!
: goût pour le risque!23!
x
y
p
1-p
P:
Représentation graphique!
24!
u(E[P])
pu(x)+(1-p)u(y)=u(CE)
E[P]: px+(1-p)y CE: u-1(pu(x)+(1-p)u(y))
Risk Premium"
y x
Aversion au risque et prime de risque (1/2)!
Avec une fonction croissance et deux fois dérivable, uʼʼ(W) peut servir dʼindice dʼaversion au risque.!
Pb: dépend de toute transformation linéaire arbitraire de u Nécessaire de contrôler par u′(W).
Indice dʼaversion au risque (Arrow-Pratt index): r(W)=-uʼʼ(W)/uʼ(W)."
Pari actuariellement neutre (risque pur): E[G]=px-(1-p)y=0.!
La prime de risque! ! est:!
! ! ! ! ! ! ! ! !
25!
x
-y
p
1-p
G:
=0
Aversion au risque et prime de risque (2/2)!
Taylor:!
26!
la richesse actuelle est sûre!
G est actuariellement neutre!
Partie objective!
Partie subjective!
3. Incertitude et probabilités inconnues "
27
Probabilités Subjectives!Ramsey (1931), de Finetti (1937): des probabilités subjectives peuvent être dérivées de choix observables.!
« Quand est ce que les croyances des individus sur les vraisemblances relatives des évènements peuvent être considérées comme cohérentes avec la théorie des probabilités? ».!
Les choix portent sur des paris sur des états de la nature.!Le cheval i va gagner la course (evènement Ei).!
La relation de préférence est sur les paris.!D1. Weak order (complete and transitive).!
D2. Continue.!
D3. Additive.!
D4. Monotone (prefer more to less).!
D5. Non triviale (au moins un des paris est préféré à un autre) ).!28!
E2
En
-1 E1
2
-1
Théorème de de Finetti!
D3 Additivité"
Améliorer un événement améliore la somme.!
satisfait D1-D5, si et seulement si il existe un unique vecteur de probabilité p tel que pour tout x, y in X:!
Maximisation de valeur espérée avec probabilité subjective.! 29!
E2
En
-1 E1 2
-1
E2
En
2 E1 -1
-1
E2
En
0 E1 3
0
E2
En
3 E1 0
0
4. Quelques exemples de choix"
30
Exemple 1!
31!
Decision (1):!
1000, 000 100%
1000, 000
0
89%
1%
10% 5000, 000
5000, 000
0
10%
90%
1000, 000
0
11%
89%
Decision (2):!
Paradoxe dʼAllais (1953)!
32!
Decision (1):!
1000, 000 10%
1000, 000
0
89%
1%
10% 5000, 000
1000, 000
1000, 000
89%
1%
Decision (2):!
1000, 000 10%
0
0
89%
1%
10% 5000, 000
0
1000, 000
89%
1%
Exemple 2!
Decision (1): est ce que vous préférez parier 100 sur rouge !! ! ! ou sur noir!
Decision (2): est ce que vous préférez parier 100 sur rouge ou jaune ou sur noir ou jaune.!
33!
Red Black Yellow
f 100 0 0
g 0 100 0
f’ 100 0 100
g’ 0 100 100
Paradoxe dʼEllsberg!
34!
Decision (2):! 0 black
0
100
red
yellow
black 100
100
100
red
yellow
Violation de lʼindépendance!Impossible dʼavoir une mesure de probabilité subjectives!! ! Decision (1): P(black)<P(red)=1/3!
Decision (2): P(red)+ P(yellow) < P(black) + P(yellow)=2/3.!
Decision (1):! 0 black
0
0
red
yellow
black 100
100
0
red
yellow
5. Quelques prolongements"
35
Nouvelles approches!
Allais:! les individus sont sensibles à la certitude et à lʼimpossibilité.!! ! !! ! Transformation de probabilités!
Ellsberg:! les individus sont averses à lʼambiguité.!
! ! croyances « multiples »!
! ! paris sur la composition de lʼurne!
! ! utilité à la Choquet.!
36!
Merci de votre attention"
37
