incertitude de la mesure en physique - Claude Bernard...
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introduction de la notion de mesure et d'incertitude en physique Aspects Théoriques Jérôme Morville (MC) Institut Lumière matière Groupe de Spectroscopie Moléculaire UMR5306 - UCBL - CNRS 10 rue Ada Byron 69622 Villeurbanne CEDEX, France [email protected]
Transcript of incertitude de la mesure en physique - Claude Bernard...
introduction de la notion de mesure et
d'incertitude en physique
Aspects Théoriques
Jérôme Morville (MC)
Institut Lumière matière
Groupe de Spectroscopie Moléculaire
UMR5306 - UCBL - CNRS
10 rue Ada Byron
69622 Villeurbanne CEDEX, France
Objectifs
En physique, la précision infinie ne peut exister
Même avec un dispositif de mesure théoriquement parfait
Même avec un expérimentateur parfait
Toute mesure s’inscrit dans le temps!
Impact majeur sur la précision ultime
la précision infinie ne peut exister
La grandeur mesurée fait appel
aux lois de la physique quantique
Le dispositif de mesure fait appel,
parfois de façon ultime,
aux lois de la physique quantique
Physique quantique
résultats des interactions décrits par des probabilités
exemple
La désexcitation spontanée d’un atome excité
L’atome (simplifié !)
temps∆t
on réitère l’expérience…
τ
durée de vie de l’état excité
exemple
Mesure d’un flux lumineux
photons
e-
iph
électronsphoto-courant
probabilité qu’un photon soit absorbé
pour générer un électron
temps
iph
[Watt]
[Ampère]
δiph La précision de la mesure de
iph se fait en évaluant
l’amplitude des fluctuations
δiph
approche statistique
Construction d’un histogramme :
C(x)
La densité de probabilité :∫
=dx)x(C
)x(C)x(p
donc 1dx)x(p =∫
La densité de probabilité :
La valeur moyenne
∑∑=
=>=<n
1i
ixn
1)x(xpx
La variance :
∑∑=
><−=><−=σn
1i
2
i
22 )xx(n
1)x(p)xx(
Où σ est l’écart type
ou encore déviation standard
Rq : ces définitions nécessitent
une infinité de mesure !
p(x) d’obtenir une mesure entre x et x+dx
approche statistique
Convergence temporelle
approche statistique
En général, le bruit aléatoire résulte de plusieurs causes…
… de plusieurs variables aléatoires
Fluctuation d’électron de conduction, fluctuation de résistance, proba de conversion
photon/electron etc…
Lorsqu’un bruit est issue d’un grand nombre de variables aléatoires :
Sa loi de probabilité est en général une
gaussienne :
<x> <x>+σ <x>+2σ<x>-σ<x>-2σ
68%
95%
99,7%
approche statistique
0 1 103× 2 10
3×1.6
1.8
2
2.2
2.42.378
1.63
X .mk
Moy j
25000 k j 1+( ) N⋅,
1.8 2 2.20
0.1
0.20.22
0
Dist p
0
N.bin 1−
k
Dist k∑=
Distm p
0
N.bin 1−
k
Distm k∑=
max X.m( )min X.m( ) x.mp
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001.7
1.8
1.9
2
2.1
2.22.196
1.777
X.mk
Moy j
1000 k j 1+( ) N⋅,
Loi de la moyenne pour les distributions gaussiennes :
Chaque valeur est issue de la moyenne de N valeurs
approche statistique
Rapport Signal / Bruit : S/B = <X>/σLa précision relative : B/S = σ/<X>
augmentée par effet de moyenne : N.xx
B/S1N σ><=
σ><=
N
1N
σ=σ
1σ Faire une moyenne de N échantillons au cours du temps
� intégrer le signal sur τint où τint = N x τacq
Donc :intB/S τ∝ int/1S/B τ∝ou encore
Temps pour
l’acquisition d’un
échantillon
la loi en √N s’applique tant que les sources de bruit ont une statistique gaussienne.
Nb. de moyenne
σ
⇒ 1/√N
Nb. max de
moyenne
Le S/B maximum que l’on peut obtenir est donc déterminé
par Nmax, soit un temps d’intégration maximum
Il existe donc un nombre de
moyenne au-delà duquel la
déviation standard cesse de
diminuer pour remonter.
elles doivent l’être sur toute la durée de la mesure τint
il existe toujours un temps au bout duquel les conditions de la mesure changent
( température en générale et tout les effets induits & oscillations propres du système)
approche statistique - limites
4− 2− 0 2 40
0.02
0.04
0.060.055
0
DistBp
0
N.bin 1−
k
DistBk∑=
3.1882.833− xbp
4− 2− 0 2 40
0.02
0.04
0.060.053
0
DistRp
0
N.bin 1−
k
DistRk∑=
2.8922.477− xrp
0 500 1 103×
4−
2−
0
2
43.112
3.056−
sbk
ssfk
tNpt1
2 µs⋅0 tk
µs
approche statistique - limites
Nécessité d’analyser les fluctuations au cours du temps
Bruit stationnaire / non stationnaire
Une valeur x(t) est
corrélée aux valeurs des
instants précédents
Chaque valeur x(t) est
indépendante des valeurs
aux instants précédents
<x>(t) et σ(t)
<x> et σ sont cte
Description temporelle
Fonction d’autocorrélation
dt)t(x)t(xT
1lim)t(x)t(x)( Tx ∫
+∞
∞−∞→ τ+>=τ+=<τφ
tττ
principe
0 2 4 6 8 103.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Sblancp
Sblancp
xp xp 3−,
X(t) X(t+τ)
τ
f(t) f(t+τ)
� � � � � + � ����
�
Si le bruit est non corrélé, représenté par une statistique gaussienne :
0)(x =τφ sauf si τ=0
τ0
)(x τφ
La fonction d’autocorrélation est une fonction de Dirac
0 2 4 6 8 103.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Sblancp
Sblancp
xp xp 3−,
X(t) X(t+τ)
Description temporelle
Si le bruit présente des corrélations :
0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
Sfp
Sfp
xp xp 3−,
τ0
)(x τφ
La fonction d’autocorrélation a une certaine forme et une largeur
qui caractérise le temps pendant lequel subsiste les corrélations
Description temporelle
La densité spectrale de puissance DSP de bruit :
Identifier les fréquences qui composent un bruit
� Faire une analyse spectrale du bruit
[ ] ∫ τ>τ+<=τφ=ν πντde)t(x)t(x)(TF)(DSP 2i
x V2/Hz
Souvent on représente la densité spectral de bruit du signal : DSB
)(DSP)(DSB ν=ν
Propriété remarquable : Ou encore
Unité Hz/V
Description Spectrale
� = � �� � ����������
= � �� � ����������
�
Bruit blanc
0 0.001 0.002 0.003 0.0040.2
0.1
0
0.1
Sp
tp
Soit un signal :
0.1 0.05 0 0.05 0.10
50
100
150
H1⟨ ⟩
H0⟨ ⟩
dont la distribution statistique correspond à une gaussienne
τ
)(x τφ
Sa fonction d’autocorrélation
est alors un DiracTF[δ]=cte
ν
DSP (ν)
et sa densité spectrale est constante (blanche)
]Hz/volt[22
Nσ
Description Spectrale
Bruit blanc
En pratique la mesure possède un temps d’acquisition minimum Tacq = 1/(2xfmax)
mais peut être intégrée (�moyennée) sur un temps d’intégration τint=1/fint
ν
DSP (ν)
La variance :
Et donc la déviation standard :
On retrouve le résultat : int/1S/B τ∝
Et σN correspond à la déviation standard obtenue sur un temps d’intégration de 1 sec!
]Hz/volt[ 22
Nσ
Description Spectrale
Cette mesure intégrée peut être répétée pendant un temps long T=1/fmin
fmin fmax
� = � �� � ���������� = ��. ���� − �!�� =��. ����
= �. �����
fint
Bruit rose - Bruit 1/f
500 1000 1500 2000
0SRk
t k
µs
2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 20
1
2
Rok
N 1+
tk tNpt1
2
−
ms
0.1 1 10 100 1 .1031 .10
5
1 .104
1 .103
0.01
0.1
TFf q
q dF⋅
kHz
2 1 0 10
0.02
0.04
0.06
Dist p
0
Nbin 1−
k
Dist k∑=
xp
Soit un signal avec corrélation : Distribution non gaussienne
Une fonction d’autocorrélation décroissante Une DSB qui décroit en 1/f
Description Spectrale
La variance :
La plus petite fréquence qui
peut être considérée dans le
signal : 1/T
Le temps total
d’acquisition
Soit :
Comme fint >> fmin
La déviation standard est donc :
La bande passante du dispositif n’affecte pas la précision
Elle se dégrade avec la durée de l’enregistrement!
! L’unité de σN est le VxHz1/2
Bruit rose - Bruit 1/f
Description Spectrale
� = � �� � ����������
= � ���� ��
��������
� = �� · 1�!�� −
1����
� = ���!��
= ��!���
Le bruit 1/f est présent dans tout les dispositifs
Cependant, il peut se manifester qu’a partir de durées suffisamment longues.
Pour les temps plus court le bruit blanc est dominant
0 100 200 300 400 500
0
SRk
t k
µs
à cette échelle de temps,
le bruit est blanc
Bruit rose - Bruit 1/f
Description Spectrale
1E-3 0,01 0,1 1 10 100
1E-4
1E-3
0,01
0,1
fluctu
ation long
ueur
rms /H
z1
/2
frequence kHz
résolution 1Hz
le 29/10/2010
DSB cavité STAR
Spectre de bruit d’un AOP :
Spectre de bruit en général
Spectre de bruit d’une distance entre deux
miroirs « fixes » montés sur une table optique.
avec ou sans
climatisation
Description Spectrale
nm
/ H
z1/2
Conclusion
Discours uniquement dédié à la notion de précision et non d’exactitude
introduire dans le système de mesure une référence stabilisée
La précision ultime est obtenue lorsqu’elle est gouvernée par les fluctuations quantiques
La temporalité de la mesure est un facteur dominant de la précision
Les paramètres du système doivent être stables (sans dérive) pendant le
temps de mesure
