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Facult´ e des Sciences et Techniques de Saint-J´ erˆ ome 2` eme semestre 1999/2000 IMa16 - TD 1 Exercice 1 : D´ ecomposition binaire d’un entier naturel (a) Donner l’´ ecriture d´ ecimale des entiers 110, 1010, 10010, 101101. (b) Ecrire en binaire les entiers 17, 31, 389 et 2000. (c) Effectuer en binaire les op´ erations suivantes : 9+3 , 25 + 11 , 26 + 15 , 29 + 49 , 5 × 3 , 9 × 6 , 17 × 5 et 56 × 13 Exercice 2 : Codage des entiers relatifs On consid` ere une machine codant les entiers sur 8 bits. (a) Rappeler comment se codent les entiers relatifs en binaire puis en d´ eduire l’ensemble des entiers qui peuvent ˆ etre cod´ es. (b) Coder les entiers suivants : 9, 31, 83, 124, -13, -21, -55, -128. (c) Quels sont les entiers cod´ es par : 0|1000110 , 1|0010110 , 1|0000101 . (d) Soit x un entier n´ egatif que l’on veut coder en binaire (-128 <x ≤-1). On suppose que l’on connaˆ ıt le codage de |x|. Montrer que si on change tous les chiffres du codage de |x| par compl´ ementation et si on ajoute 1 ensuite, on obtient alors le codage de x. En d´ eduire une m´ ethode permettant de trouver le codage de |x| ` a partir du codage de x quand x est un entier n´ egatif. (e) Reprendre la question (b) en utilisant la m´ ethode de la question pr´ ec´ edente. (f ) Quel sera le r´ esultat affich´ e des op´ erations suivantes : 23 - 9 , 64 + 95 , 64 - 95 , -17 - 13 , -114 - 31 1

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Faculte des Sciences et Techniquesde Saint-Jerome

2eme semestre 1999/2000

IMa16 - TD 1

Exercice 1 : Decomposition binaire d’un entier naturel(a) Donner l’ecriture decimale des entiers 110, 1010, 10010, 101101.(b) Ecrire en binaire les entiers 17, 31, 389 et 2000.(c) Effectuer en binaire les operations suivantes :

9 + 3 , 25 + 11 , 26 + 15 , 29 + 49 , 5× 3 , 9× 6 , 17× 5 et 56× 13

Exercice 2 : Codage des entiers relatifs

On considere une machine codant les entiers sur 8 bits.(a) Rappeler comment se codent les entiers relatifs en binaire puis en deduire l’ensemble des

entiers qui peuvent etre codes.(b) Coder les entiers suivants : 9, 31, 83, 124, −13, −21, −55, −128.(c) Quels sont les entiers codes par : 0|1000110 , 1|0010110 , 1|0000101.(d) Soit x un entier negatif que l’on veut coder en binaire (−128 < x ≤ −1). On suppose que

l’on connaıt le codage de |x|. Montrer que si on change tous les chiffres du codage de |x|par complementation et si on ajoute 1 ensuite, on obtient alors le codage de x. En deduireune methode permettant de trouver le codage de |x| a partir du codage de x quand x est unentier negatif.

(e) Reprendre la question (b) en utilisant la methode de la question precedente.(f) Quel sera le resultat affiche des operations suivantes :

23− 9 , 64 + 95 , 64− 95 , −17− 13 , −114− 31

1

Exercice 3 : Decomposition p-adique d’un entier naturel

On considere un entier naturel p ≥ 2.(a) Proposer une definition du developpement en base p (ou p-adique) d’un entier (qui generalise

celle connue lorsque p = 2).(b) Donner l’ecriture decimale des nombres suivants, la double barre signifiant que cette ecriture

est en base p et les parentheses separant les differents chiffres, (1)(0) , (3)(1)(0), (1)(0)(p− 1),(p− 1)(p− 2)(p− 1), (p− 1)(0)(0)(0) et (p− 1) · · · (p− 1) (ou (p− 1) est repete k fois).

(c) Ecrire en base p les nombres suivants p+ 1, p2 − 1, p3 + p, p4 − 2p, 4 et 10.(d) On suppose que p = 2n (ou n ≥ 1). Proposer une methode pour deduire le developpement

en base p d’un entier a partir de son developpement binaire.(e) En supposant encore que p = 2n (ou n ≥ 1), prouver l’existence et l’unicite du developpement

p-adique d’un entier naturel.

IMa16 - TD 2

Exercice 1 : Decomposition binaire d’un reel(a) Calculer les reels qui s’ecrivent en base 2 :

0, 101010 . . . , 0, 11010101 . . . , 1, 110110110 . . . , 101, 101101101 . . .

(la periode etant soulignee).(b) Donner le developpement binaire de : 1

3 , 29 , 3

5 , 1615

(c) Effectuer en binaire la division de 22 par 7, de 2 par 5 et de 2, 25 par 3.

Exercice 2

(a) On considere un nombre reel x ∈ [0, 1[, et on note x = 0, d1d2 . . . dn . . . son developpementbinaire. Donner alors les developpements binaires de x+ 1 et de 2kx (ou k ≥ 1).

(b) En considerant l’equation 2kx = x + 1, deduire de la question precedente le developpementen binaire de 1

3 , 17 , 1

15 , . . . ,1

2k−1, . . .

Exercice 3 : Developpement p-adique d’un reel

On considere un entier naturel p ≥ 2 et un nombre reel x ∈ [0; 1[. On definit alors des entiersnaturels ξ1, ξ2, ξ3, . . . par l’algorithme suivant :– ξ1 ∈ {0, · · · , p− 1} est l’entier tel que x ∈

[ξ1p ; ξ1+1

p

[.

– Si ξ1, ξ2, . . . , ξn sont construits, on considere alors l’entier ξn+1 ∈ {0, · · · , p − 1} tel que x −∑nk=1

ξkpk∈[ξn+1pn+1 ; ξn+1+1

pn+1

[.

On dit que la suite (ξn)n≥1 est le developpement p-adique de x.

(a) En tenant compte de la definition du developpement p-adique d’un entier naturel (vue dansl’exercice 3 du TD 1), suggerer une definition du developpement p-adique d’un reel positif(quelconque).

(b) On considere un nombre reel x ∈ [0; 1[ dont le developpement p-adique (ξk)k≥1 est definicomme dans l’introduction de l’exercice.(i) Justifier le fait que :

limn→+∞

(x−

n∑k=1

ξkpk

)= 0

(ii) Montrer qu’il existe une infinite d’entiers k tels que ξk ≤ p− 2.(c) On considere un nombre reel x ∈ [0; 1[ et on pose :

x1 = px et xn = pn(x−

n−1∑k=1

ξkpk

),∀n ≥ 2

(i) Verifier que pour tout n ≥ 1, on a 0 ≤ xn < p et xn = ξn + xn+1p .

(ii) On suppose dans cette question que x est un nombre rationnel que l’on note x = ab avec

(a, b) ∈ N2 premiers entre eux (i.e. tels que la fraction soit irreductible).

Montrer (par recurrence) que pour tout n ≥ 1, il existe an ∈ N avec xn = panb et

0 ≤ an < b.

Puis, montrer qu’il existe deux entiers distincts N et N + k tels que xN = xN+k et endeduire que le developpement p-adique de x est periodique a partir du rang N .

(iii) Dans cette question, on suppose qu’il existe des entiers N ≥ 1 et k > 0, tels que pourtout n ≥ N on ait ξn+k = ξn. Montrer alors que :

x =N−1∑m=1

ξmpm

+( ξNpN

+ξN+1

pN+1+ · · · ξN+k−1

pN+k−1

) pk

pk − 1

(iv) Conclure.(d) Application des resultats precedents :

(i) Si p ≥ 3, donner le developpement p-adique de 1p−1 .

Que peut-on dire lorsque p = 2 ?(ii) Montrer que y = 1

p + 1p4 + 1

p9 + 1p16 + . . . est irrationnel.

(iii) Donner le developpement 7-adique de 359 .

(e) Le but de cette question est de montrer que IR n’est pas denombrable. Pour ce faire, on va enfait demontrer que [0; 1[ n’est pas denombrable en raisonnant par l’absurde i.e. en supposantque l’intervalle [0; 1[ est une suite (xn)n≥1. Pour tout entier n ≥ 1, on notera (ξn,k)k≥0 ledeveloppement p-adique de xn.

En considerant les ξn,n, pour n ≥ 1, prouver l’existence d’un element de [0; 1[ distinctde tous les xn. Conclure.

IMa16 - TD n0 3

Exercice 1

(a) Rappeler comment se code un nombre machine sur 32 bits. En deduire l’intervalle des reelsqui peuvent etre codes.

(b) Donner le codage des reels suivants: 30, 13 ,−43.2,− 1

20 .(c) Quel sera le resultat affiche en machine pour l’operation 30× (− 1

20 )?

Exercice 2

(a) Donner le codage sur 32 bits de x = −14, y = 24, z = 17 , t = − 1

28 et u = 2.(b) Quels seront les resultats affiches pour x+ y, y + u, xz, xt?(c) Pour chacune de ces operations, donner une estimation de l’erreur d’arrondi.(d) Comparer les resultats obtenus pour les operations (x+ y) + u et x+ (y + u).

Exercice 3

Soit a < b des reels et f : [a, b] → [a, b] une fonction continue.(a) Montrer que f a toujours un point fixe (appliquer le theoreme des valeurs intermediaires a

g(x) = f(x)− x).(b) On suppose que, pour tous x, y ∈ [a, b] avec x 6= y, |f(x)− f(y)| < |x− y|. Montrer que f

admet un seul point fixe sur [a, b].(c) On considere l’application f :

[0, 1

2

]→[0, 1

2

]telle que, pour tout t ∈

[0, 1

2

], f(t) = t2.

Montrer que, pour tous x, y ∈ [a, b] avec x 6= y, |f(x)− f(y)| < |x− y| mais qu’il n’existepas de k ∈ [0, 1[ tel que, pour tous x, y ∈

[0, 1

2

], |f(x)− f(y)| ≤ k |x− y|.

Exercice 4

(a) On definit f(x) = arctanx + π − x. Montrer que f possede un unique zero sur l’intervalle[π, 3π

2

].

(b) On pose φ(x) = f(x) − x. En utilisant le theoreme des accroissements finis, montrer qu’ilexiste k ∈ ]0, 1[ tel que, pour tous x, y ∈

[π, 3π

2

], |φ(x)− φ(y)| ≤ k |x− y|.

(c) Utiliser la methode de point fixe pour obtenir une approximation a 10−10 pres du zero de fsur l’intervalle

[π, 3π

2

]. Quelle est la vitesse de convergence de cette methode?

Exercice 5

Soit I un intervalle de IR non reduit a un point, a < b ∈ I, f : I → IR une fonction de classe C2,telle que f(a) < 0, f(b) > 0, f ′(t) > 0 pour tout t ∈ [a, b].

(a) Montrer qu’il existe un unique r ∈ ]a, b[ tel que f(r) = 0.(b) On pose φ(t) = t − f(t)

g(t) ou g est une fonction de classe C2 ne s’annulant pas sur [a, b], eton suppose que |φ′(r)| < 1. Montrer qu’il existe α > 0 tel que, pour tout t ∈ ]r − α, r + α[,|φ′(t)| < 1.

(c) On definit la suite (un)n∈N par {u0 ∈ [a, b] ,un+1 = φ(un).

Montrer que si u0 ∈ ]r − α, r + α[, la suite (un)n∈N est bien definie et converge vers r. Pourmontrer que la suite est bien definie, on montrera par recurrence sur n que, pour tout n ∈ N,un est bien defini et appartient a ]r − α, r + α[. En deduire que r est attractif.

(d) Montrer que

limn→+∞

un+1 − r

un − r= φ′(r).

(e) On suppose que 0 < |φ′(r)| < 1. Montrer que si u0 est assez proche de r et different de r,la suite (un)n∈N est monotone si φ′(r) > 0 et oscillante si φ′(r) < 0 (ce qui signifie que siun > r, alors un+1 < r).

(f) On suppose que φ′(r) = 0. Montrer que

limn→+∞

un+1 − r

(un − r)2=

12φ′′(r).

On utilisera la formule de Taylor-Young. En deduire que si φ′′(r) 6= 0, la convergence de unvers r est quadratique.

IMa16 - TD n0 4

Exercice 1

On pose, pour tout x ∈ IR, f(x) = arctanx+ π − x. Si on utilise la methode de Newton, combienfaut-il detapes pour determiner une valeur approchee a 10−10 pres de l’unique reel r ∈

]π, 3π

2

[tel

que f(r) = 0? Comparer avec la methode du point fixe (cf TD3, exo 4).

Exercice 2 Methode de Newton pour le calcul de√a

Soit a > 0. On definit, pour tout x ∈ IR, f(x) = x2 − a, et on cherche a calculer une valeurapprochee de

√a en appliquant la methode de Newton a f (en resolvant donc f(x) = 0).

(a) Montrer que l’algorithme de la methode de Newton s’ecrit:u0 ∈

[√a− η,

√a+ η

],

un+1 =u2n + a

2un.

(b) Calculer un+1 −√a en fonction de un −

√a. En deduire que, si η > 0 est assez petit, on

a, pour tout n ∈ N, un ∈ [√a− η,

√a+ η] et que lim

n→+∞un =

√a. Quelle est la vitesse de

convergence de cette methode?(c) Application: calculer, par la methode de Newton, une valeur approchee a 10−10 pres de

√7.

Exercice 3

On definit la fonction f(x) = e−x − x.(a) Montrer que f possede un unique zero r sur [0, 1].(b) Ecrire l’algorithme de la methode de Newton pour resoudre f(x) = 0 sur [0, 1].(c) On pose m = min

0≤t≤1|f ′(t)| et M = max

0≤t≤1|f ′′(t)|. Montrer que, si (un)n∈N est la suite donnee

a la question (b), on a, pour tout n ∈ N, |un+1 − r| ≤ M2m |un − r|2. En deduire que, si u0 est

choisi assez proche de r, la suite (un)n∈N converge vers r.(d) Combien faut-il detapes pour calculer une valeur approchee de r a 10−10 pres?

IMa16 - TD n0 5

Exercice 1 Pivot de Gauss

En utilisant la methode du pivot de Gauss, resoudre et discuter suivant les valeurs du parametrem ∈ IR le systeme suivant:

2x + 3y + 4z = 0

mx + 6y + 8z = 0

x − y + z = 1

Exercice 2 Factorisation LU

On definit la matrice A et le vecteur B par

A =

2 1 5

1 −1 2

3 4 6

, B =

9

14

−7

(a) En utilisant la methode du pivot de Gauss, resoudre le systeme AX = B.(b) Ecrire la factorisation LU de la matrice A.(c) Resoudre a nouveau le systeme de la question (a) en utilisant la factorisation LU de A.

Exercice 3 Factorisation LU pour des matrices tridiagonales

Soit A une matrice de Mn(IR) de la forme suivante:

A =

b1 c1 0 0 ... ... 0 0 0

a2 b2 c2 0 ... ... 0 0 0

0 a3 b3 c3 ... ... 0 0 0

... ... ... ... ... ... ... ... ...

0 0 0 0 ... ... an−1 bn−1 cn−1

0 0 0 0 ... ... 0 an bn

Une telle matrice est appelee tridiagonale. On definit la suite

δ0 = 1, δ1 = b1, δk = bkδk−1 − akck−1δk−2, 2 ≤ k ≤ n.

(a) Montrer que, pour tout 1 ≤ k ≤ n, δk est le determinant de la matrice de Mk(IR) formee desk premieres lignes et des k premieres colonnes de A.

(b) On suppose que, pour tout 1 ≤ k ≤ n, δk 6= 0. On definit alors

L =

1 0 0 0 ... ... 0 0 0

a2δ0δ1

1 0 0 ... ... 0 0 0

0 a3δ1δ2

1 0 ... ... 0 0 0

... ... ... ... ... ... ... ... ...

0 0 0 0 ... ... an−1δn−3

δn−21 0

0 0 0 0 ... ... 0 anδn−2

δn−11

et

U =

δ1δ0

c1 0 0 ... ... 0 0 0

0δ2δ1

c2 0 ... ... 0 0 0

0 0δ3δ2

c3 ... ... 0 0 0

... ... ... ... ... ... ... ... ...

0 0 0 0 ... ... 0δn−1

δn−2cn−1

0 0 0 0 ... ... 0 0δnδn−1

Montrer que la factorisation LU de A est A = LU .

(c) Application: resoudre le systeme suivant:

3x + y = 4

4x − 2y − 5z = −3

3y − z + t = 3

8z + 2t = 10

en utilisant la factorisation LU.

IMa16 - TD n0 6

Exercice 1 Factorisation de CholeskyDonner la factorisation de Cholesky de la matrice suivante:

A =

1 2 3 4

2 5 1 10

3 1 35 5

4 10 5 45

Utiliser cette factorisation pour resoudre AX = Y ou

Y =

−3

−21

62

−86

Exercice 2 Matrices de Householder

Soit n ≥ 1. Si v est un vecteur non nul de IRn, on pose

H(v) = I − 2vvt

vtv.

Une matrice A ∈ Mn(IR) est appelee matrice de Householder si A = I ou s’il existe un vecteurv ∈ IRn non nul tel que A = H(v).

(a) Montrer que toute matrice de Householder A verifie A = At et A2 = I.

Soit a ∈ IRn tel quen∑i=2

|ai| > 0. On veut prouver qu’il existe deux matrices de Householder

H telles que les (n− 1) dernieres composantes du vecteur Ha soient nulles. On definit

‖a‖2 =

(n∑i=1

|ai|2) 1

2

et on appelle e1 le vecteur colonne de IRn dont la premiere coordonnee vaut 1 et les autressont nulles.

(b) Montrer que les vecteurs a± ‖a‖2 e1 sont non nuls.(c) Soit ε ∈ {−1, 1} tel que a1 = ε |a1|. Montrer que

H(a+ ε ‖a‖2 e1)a = −‖a‖2 e1, H(a− ε ‖a‖2 e1)a = ‖a‖2 e1.

Exercice 3 Methode de Householder

Soit A ∈ Mn(IR). On veut prouver qu’il existe des matrices de Householder H1, ...,Hn−1 tellesque la matrice Hn−1...H2H1A soit triangulaire superieure. Les matrices Hk seront construites parrecurrence sur k. On posera A1 = A, Ak = Hk−1...H2H1A et, pour tout k, on notera a(k)

i,j le termesitue a la ligne i et la colonne j dans la matrice Ak.

(a) Construction de H1

Soit a1 le vecteur de IRn de composantes (a1,1, ..., an,1).

(i) On suppose quen∑i=2

|ai,1| > 0. D’apres l’exercice 2, il existe v1 ∈ IRn tel que H(v1)a1

ait toutes ses composantes nulles sauf la premiere. Montrer que la matrice A2 = H1A

verifie a(2)i,1 = 0 pour tout i = 2, ..., n.

(ii) On suppose quen∑i=2

|ai,1| = 0. Montrer que, si on pose H1 = I, la matrice A2 = H1A

verifie encore (a(2)i1 ) = 0 pour tout i = 2, ..., n.

(b) On suppose qu’on a construit des matrices de Householder H1, ...,Hk−1 telles qu’on aita(k)i,k−1 = 0 pour i = k, ..., n. On designe par ak le vecteur de IRn−k+1 de composantes

(a(k)k,k, ..., a

(k)n,k).

(i) On suppose quen∑

i=k+1

∣∣∣a(k)ik

∣∣∣ > 0. Soit vk ∈ IRn−k+1 tel que H(vk)ak ait toutes ses

composantes nulles sauf la premiere. Si vk est le vecteur de IRn dont les k premierescomposantes sont nulles et les n−k+1 dernieres sont celles de vk, on pose Hk = H(vk).Montrer que la matrice Ak+1 verifie a(k+1)

i,k = 0 pour i = k + 1, ..., n.

(ii) Sin∑

i=k+1

∣∣∣a(k)ik

∣∣∣ = 0, poser Hk = I et montrer qu’on a encore a(k+1)i,k = 0 pour i =

k + 1, ..., n.(c) Conclure.

Exercice 4 Factorisation QR

Soit A ∈ Mn(IR) et H1, ...,Hn−1 des matrices de Householder telles que R = Hn−1...H2H1A soittriangulaire superieure (Exercice 3). On definit Q = H1...Hn−1.

(a) Montrer que la matrice Q verifie QQt = QtQ = I et qu’on a A = QR.(b) Pour tout 1 ≤ i ≤ n, soit Ri,i le terme situe a la ligne i et la colonne i dans la matrice R,

εi ∈ {−1, 1} tel que Ri,i = ε |Ri,i| et D la matrice diagonale dont le coefficient Di,i est εi. Onpose Q = QD et R = D−1R. Verifier que QQt = QtQ = I, que R est triangulaire superieureavec coefficients diagonaux positifs ou nuls, et que A = QR.

(c) On suppose maintenant A inversible. Soit A = QR avec QQt = QtQ = I et R triangulairesuperieure avec coefficients diagonaux positifs ou nuls. Montrer que R est inversible et endeduire que ses coefficients diagonaux sont strictement positifs.

(d) On suppose toujours A inversible, et on considere deux ecritures A = Q1R1 = Q2R2 avecQ1Q

t1 = Qt

1Q1 = Q2Qt2 = Qt

2Q2 = I et R1, R2 triangulaires superieures avec coefficientsdiagonaux strictement positifs. On definit ∆ = R2R

−11 . Calculer ∆t∆, puis, en utilisant la

factorisation de Cholesky, montrer que Q1 = Q2 et R1 = R2.(e) Quel resultat vient-on de montrer?

Questionnaire

Question I Developpement binaire des nombres reels

Donner la representation en base 2 des nombres suivants :

1) 212 = 2) 1023 =

3)15

= 4)257512

=

Question II Codage des entiers

Donner le codage des entiers suivants sur 8 bits.

113 : −21 :

Quels sont les entiers codes par :

0 0 1 0 1 1 1 0 : 1 0 0 1 0 0 0 0 :

Quels seront les resultats affiches des operations suivantes :

113− 21 : −21− 112 :

Question III Codage des reels

Donner le codage des reels suivants sur 32 = 1 + 8 + 23 bits.

212 :

1285

:

− 140

:

Dans chacun des cas suivants, donner un reel code sur 32=1+8+23 bits par :

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 :

0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 :

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 :

Partiel de IMa16Vendredi 7 avril 2000

Documents et calculatrices interdits.Il sera tenu compte de la presentation et de la clarte de la redaction.

1. Questionnaire

Repondre sur la feuille prevue a cet effet.

2. Exercice

Pour tout x ∈ IR, on definit f(x) = x3 + 3x2 − 9x+ 1 et φ(x) = 19

(x3 + 3x2 + 1

).

(a) Montrer qu’il existe un unique r ∈]0, 1

2

[tel que f(r) = 0. Verifier que r = φ(r).

(b) Trouver un reel k ∈ ]0, 1[ tel que, pour tous x, y ∈[0, 1

2

],

|φ(x)− φ(y)| ≤ k |x− y| .(c) On definit la suite (un)n∈N de la maniere suivante:{

u0 ∈[0, 1

2

],

un+1 = φ(un).

(i) Montrer que, pour tout n ∈ N, 0 ≤ un ≤ 12 .

(ii) En deduire que limn→+∞

un = r et donner une majoration de |un − r| en fonction de k.

(d) Le reel r est-il un point fixe attractif de φ? Est-ce un point fixe tres attractif de φ?(e) Determiner N ∈ N tel que |uN − r| ≤ 10−3.

IMa16 - Examen du 7 juin 2000

Exercice 11. Donner le codage des entiers suivants sur 8 bits :

73 , −41 , 111

2. Quel sera le resultat affiche de la somme des deux entiers codes, sur 8 bits, par :1 0 0 1 0 1 1 1 : 1 1 0 0 0 0 0 1 :

3. Donner un reel code, sur 32=1+8+23 bits, par :1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

Exercice 2

On definit la matrice A et les vecteurs Y1 et Y2 suivants:

A =

1 0 −1 0

0 4 0 −2

−1 0 2 −1

0 −2 −1 3

, Y1 =

0

0

1

−1

, Y2 =

0

−6

0

4

.

(a) Verifier que A est symetrique definie positive.(b) Ecrire la factorisation LU , puis la factorisation de Cholesky de A.(c) En utilisant la factorisation de Cholesky de A, determiner l’ensemble des vecteurs colonne X

de IR4 tels que AX = Y1, puis l’ensemble des vecteurs colonne X de IR4 tels que AX = Y2.

Exercice 3

Pour tout x ∈ IR, on definit la fonction

f(x) = 2e−x2− x

et on pose

m1 = inf1√2≤x≤1

|f ′(x)| et M2 = sup1√2≤x≤1

|f ′′(x)| .

1. Montrer qu’il existe un unique r ∈]

1√2, 1[

tel que f(r) = 0.2. On cherche une valeur approchee de r par la methode de Newton.

(a) Rappeler comment est definie la suite (un)n∈N correspondant a cette methode.(b) Montrer que si un ∈

]1√2, 1[, alors :

|un+1 − r| ≤ M2

2m1|un − r|2 .

(indication: on pourra appliquer la formule de Taylor-Lagrange a f a l’ordre 2 au pointr)En deduire que si u0 est choisi assez proche de r, alors la suite (un)n∈N est bien definie.

(c) Soit k ≥ M22m1

. Deduire de la question precedente que, pour tout n ∈ N,

|un − r| ≤ 1k

(k |u0 − r|)2n

.

(d) Conclure que, si u0 est assez proche de r, la suite (un)n∈N converge vers r.

(e) Combien d’etapes faut-il pour obtenir une valeur approchee de r a 10−10 pres par cettemethode? (on commencera par verifier que l’on peut choisir k =

√2

2 e12 ).

2. On decrit maintenant une methode de point fixe pour calculer r. Pour cela, on pose M1 =sup

1√2≤x≤1

|f ′(x)| et, pour tout λ ∈ IR, on definit la fonction φλ sur IR par

φλ(x) = x− λf(x)

(a) On suppose qu’il existe λ ∈ IR et k ∈ ]0, 1[ tels que, pour tout x ∈[

1√2, 1], |φ′λ(x)| ≤ k.

(i) Montrer qu’il existe x1, X1 ∈[

1√2, 1]

tels que, pour tout x ∈[

1√2, 1]

:

f ′(x1) ≤ f ′(x) ≤ f ′(X1)

(ii) On suppose que λ ≥ 0, montrer qu’alors 1 + λM1 ≤ k. Que peut-on en deduire ?(iii) On suppose maintenant que λ < 0, montrer que :

−k ≤ 1 + λM1 ≤ 1 + λm1 ≤ k

(iv) En deduire que :

k ≥ M1 −m1

M1 +m1

(b) Reciproquement, on choisit k ∈[M1−m1M1+m1

, 1[. Montrer qu’on peut trouver λ < 0 tel que

1− k

m1≤ |λ| ≤ 1 + k

M1.

Verifier que, pour ce choix de λ, on a, pour tout x ∈[

1√2, 1], |φ′λ(x)| ≤ k < 1, et en

deduire que, pour tous x, y ∈[

1√2, 1],

|φλ(x)− φλ(y)| ≤ k |x− y| .(c) On construit une suite (un)n∈N par{

u0 ∈[

1√2, 1],

un+1 = φλ(un).

Montrer que pour tout n ∈ N, un ∈[

1√2, 1]. En deduire que la suite (un)n∈N converge

vers r et qu’on a, pour tout n ∈ N,

|un − r| ≤ kn |u0 − r| .(d) Combien faut-il d’etapes pour calculer, par cette methode, une valeur approchee de r a

10−10 pres? Comparer avec la methode de Newton.

IMa16 - Corrige de l’examen du 7 juin 2000

Exercice 11. 73: 0 1 0 0 1 0 0 1 -41: 1 1 0 1 0 1 1 1 111:

0 1 1 0 1 1 1 12. Le resultat affiche sera 0 1 0 1 1 0 0 0 ce qui ne correspond pas au vrai resultat

de l’operation en raison d’un depassement de capacite.3. Le reel code en base 2 par 0, 100001000010000 . . . est

limN→+∞

N∑n=0

2−5n−1 =12

11− 2−5

=1631.

On obtient donc − 227

31 .

Exercice 2

(a) La matrice A est clairement symetrique. De plus, les determinants de ses mineursprincipaux sont 1, 4, 4 et 4, qui sont tous strictement positifs. Donc A est symetriquedefinie positive.

(b) L’algorithme du pivot de Gauss montre que

E3E2E1A = U

avec

U =

1 0 −1 0

0 4 0 −2

0 0 1 −1

0 0 0 1

, E1 =

1 0 0 0

0 1 0 0

1 0 1 0

0 0 0 1

,

E2 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

012

0 1

, E3 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 1 1

.

On obtient donc A = LU avec

L =

1 0 0 0

0 1 0 0

−1 0 1 0

0 −12

−1 1

.

On pose

D =

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

.

On a alors A = LDD−1U = BBt ou

B =

1 0 0 0

0 2 0 0

−1 0 1 0

0 −1 −1 1

,

ce qui est la factorisation de Cholesky de A.(c) On resout successivement BZ1 = Y1 puis BtX = Z1, ce qui donne

Z1 =

0

0

1

0

, X =

1

0

1

0

.

De meme, pour le deuxieme systeme, on trouve

Z2 =

0

−3

0

1

, X =

1

−1

1

1

.

IMa16 - Examen du 12 Septembre 2000

Exercice 1

1. Donner le codage des entiers suivants sur 8 bits :

127 , −55 , 100

2. Quel sera le resultat affiche de la somme des deux entiers codes, sur 8 bits,a) par :

0 1 1 1 1 1 1 1 et 1 0 0 0 0 0 0 1b) par :

0 1 1 1 1 1 1 1 et 0 0 0 0 0 0 0 1

3. Donner un reel code, sur 32=1+8+23 bits, par :0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Exercice 2

On definit la matrice A suivante :

A =

1 2 3

2 5 7

3 7 13

.

(a) Verifier que A est symetrique. Calculer son determinant. Verifier que A est definie positive.(b) Ecrire la factorisation LU de A.(c) Ecrire la factorisation de Cholesky de A.(d) Calculer l’inverse de la matrice A.

s

Probleme

Soit a un reel positif. On donne diverses methodes de calcul de sa racine carree, par iteration.1. On applique la methode de Newton aux zeros de la fonction f(x) = x2 − a. Exprimer un+1

en fonction de un.2. On rappelle une methode utilisee des l’Antiquite : partant d’une valeur approchee par exces

vn, on pose v′n = a/un puis on pose vn+1 = vn+v′n2 . Montrer que v′n est une valeur approchee

par defaut et que vn+1 est une valeur approchee par exces.3. Comparer les deux methodes ci-dessus.4. Application : Pour calculer la racine carree de 2, on part de u0 = 2. Exprimer u1, u2 et u3

sous forme de fractions. Puis exprimer u3 sous forme decimale avec 5 chiffres apres la virgule.5. Montrer que la methode de Newton revient a la recherche d’un point fixe de la fonction

f(x) = x+a/x2 . En deduire que pour u0 assez proche de

√a, la suite (un) est superconvergente.

6. On applique maintenant la methode de la secante. On donne deux valeurs approchees parexces wn et wn+1. Exprimer wn+2 en fonction de celles-ci.

7. Application : Pour calculer la racine carree de 2, on part de w0 = 2 et w1 = 3/2. Exprimerw2 et w3 sous forme de fractions, puis w3 sous forme decimale avec 5 chiffres apres la virgule.

IMa16 - Corrige de l’examen du 12 septembre 2000

Exercice 11. 127: 0 1 1 1 1 1 1 1

-55: 1 1 0 0 1 0 0 1100: 0 1 1 0 0 1 0 0

2. a- Le resultat affiche sera 0 0 0 0 0 0 0 0 c’est-a-dire 0.b- Le resultat affiche sera 1 0 0 0 0 0 0 0 ce qui ne correspond pas au vrai resultat de

l’operation en raison d’un depassement de capacite.3. Le reel code en base 2 par 0, 1101010 . . . est

12

+ limN→+∞

N∑n=1

2−2n =12

+13

=56

L’entier code sur 8 bits par 1 0 1 0 1 0 1 0 est −86.Donc le reel dont le codage est donne est 2−87 5

3 .

Exercice 2

(a) La matrice A est clairement symetrique, son determinant est 3 et les determinants de sesmineurs principaux sont respectivement 1, 1 et 3 i.e. sont tous strictement positifs. Donc lamatrice A est symetrique definie positive.

(b) L’algorithme du pivot de Gauss montre que

E2E1A = U

avec

U =

1 2 3

0 1 1

0 0 3

, E1 =

1 0 0

−2 1 0

−3 0 1

, E2 =

1 0 0

0 1 0

0 −1 1

On obtient donc A = LU avec

L =

1 0 0

2 1 0

3 1 1

(c) On pose

D =

1 0 0

0 1 0

0 0√

3

On a alors A = LDD−1U = BBt ou

B =

1 0 0

2 1 0

3 1√

3

ce qui est la factorisation de Cholesky de A.

(d)

A−1 =13

16 −5 −1

−5 4 −1

−1 −1 1

Probleme

1. Pour tout n ≥ 0, on pose :

un+1 = un −f(un)f ′(un)

= un −u2n − a

2un

2. Si vn est une valeur approchee par exces, on a v2n − a ≥ 0 donc v2

n−aa2 ≥ 0 i.e. 1

v′2n− 1

a ≥ 0,

d’ou a ≥ v′2n i.e. v′2n − a ≤ 0. Donc v′n est une valeur approchee par defaut.

On a :v2n+1

a=

1a

(vn + a/vn

2

)2

=(v2n + a)2

4av2n

=v4n + 2av2

n + a2

4av2n

Maintenant, on remarque que(v4n + 2av2

n + a2)− 4av2

n = v4n − 2av2

n + a2 =(v2n − a

)2 ≥ 0

i.e.v4n + 2av2

n + a2

4av2n

≥ 1

d’ou :v2n+1

a≥ 1

Donc vn+1 est une valeur approchee par exces.

3. On a pour tout n ≥ 0 :

vn+1 =vn + a/vn

2=v2n + a

2vn= vn −

v2n − a

2vnDonc la methode de la question 2. est en fait la methode de Newton.

4. On a :

u1 =u0 + 2

u0

2=

2 + 22

2=

32

u2 =u1 + 2

u1

2=

32 + 2 · 2

3

2=

1712

u3 =u2 + 2

u2

2=

1712 + 2 · 12

17

2=

577408

' 1, 41422

5. On note f(x) = x2 − a et ϕ(x) = x+a/x2 , alors :

ϕ(x) = x ⇐⇒ x+ a/x

2= x ⇐⇒ x− x2 + a

2x= 0

i.e.

ϕ(x) = x ⇐⇒ x− f(x)f ′(x)

= 0

Chercher le point fixe de φ consiste a construire la suite xn+1 = φ(xn), ce qui redonne ex-actement la suite (un) correspondant a la methode de Newton appliquee a f . Donc appliquerla methode de Newton a f revient a rechercher le point fixe de ϕ.

On a ϕ′(x) = 12 −

a2x2 donc ϕ′(a) = 1

2

(1− 1

a

)i.e.

|ϕ′(a)| < 1

Donc la suite (un) est superconvergente.

6. La droite passant par les points (wn, w2n − a) et (wn+1, w

2n+1 − a) a pour equation y =

(wn + wn+1)x − (a + wnwn+1). Puisque wn+2 est l’abcisse du point d’intersection de cettedroite avec l’axe des abcisses, on a :

0 = (wn + wn+1)wn+2 − (a+ wnwn+1)

i.e.wn+2 =

a+ wnwn+1

wn + wn+1

7. On a :

w2 =2 + w0w1

w0 + w1=

2 + 2 32

2 + 32

=107

w3 =2 + w1w2

w1 + w2=

2 + 32

107

32 + 10

7

=5841

' 1, 41463