مختلط اعداد

1394 بهمن 19

پور رمضان محمد تدوین:دکتر

اعمال همراه به × = (x, y) | x, y ∈ مجموعه ي تعریف:(x١, y١) + (x٢, y٢) = (x١ + x٢, y١ + y٢)

(x١, y١)(x٢, y٢) = (x١x٢ − y١y٢, x١y٢ + x٢y١), a(x, y) = (ax, ay)

می دهیم. نمایش Z,W, ... با را مختلط عدد هر می دهیم. نمایش C با را آن و می نامیم مختلط اعداد مجموعه ي را

.x, y ∈ که Z = (x, y) صورت این در Z ∈ C اگر پس

می شود. داده نمایش ImZ و ReZ با ترتیب به و نامیده Z موهومی قسمت را Y و Z حقیقی قسمت را xداریم. Z٢ = (x٢, y٢) و Z١ = (x١, y١) مرتب هاي زوج تساوي تعریف به توجه با

Z1 = Z2 =⇒ x1 = x2, y1 = y2 =⇒ ImZ1 = ImZ2, R2Z1 = R2Z2

داریم: پس

Z1Z2 = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1), Z1 + Z2 = (x1 + x2, y1 + y2)

است. قبلی هاي ضرب همان روي ضرب و جمع تمدید صورت این در x ∈, x = (x,٠) اگر که نمائید توجه

است. فوق نمایش دکارتی:همان نمایش (1) : مختلط: اعداد نمایشصورت به می توان را مختلط عدد هر استاندارد. نمایش :(2)

Z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1)

داریم. Z = x+ iy داریم. x = (x,٠) به توجه با صورت این در i = (٠,١) می دهیم قرار

i2 = i× i = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1

می آیند. در زیر صورت به استاندارد نمایش در حاصلضرب و مجموع فوق عبارت به توجه با

Z1 + Z2 = x1 + iy1 + x2 + iy2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2

= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1)

α(x+ iy) = αx+ iαy

.Z = (x, y) اگر داریم. صفحه نقاط قطبی مختصات به توجه با قطبی: نمایش (3)x = r cos θr =

√x٢ + y٢

y = r sin θθ = arctan y

x ,−π ≤ θ ≤ πz = x+ iy = r cos θ + ir sin θ = r(cos θ + i sin θ)

1

با و گوئیم Z مطلق قدر r =√

x٢ + y٢ مقدار به و دهیم می نمایش eiθ با را cos θ + i sin θ عبارت.Z = |z|eiθ یا Z = x+ iy = reiθ پس می دهیم. نمایش |z|

بیابید. را z۴ = i, z٣ = −١ + i, z٢ = ١ − i, z١ = ١ + i مختلط اعداد قطبی نمایش مثال:حل: راه

|z١| =√

١ + ١ =√

٢, θ١ = arctan١١ = π

۴ ⇒ z١ =√

٢e iπ۴

|z٢| =√

١ + ١ =√

٢, θ٢ = arctan−١١ = −π

۴ ⇒ z٢ =√

٢e−iπ

۴

|z٣| =√

١ + ١ =√

٢, θ٣ = arctan ١−١ = ٣π

۴ ⇒ z٣ =√

٢e i٣π۴

|z۴| =√

١ + ٠ = ١, θ٣ = arctan١٠ = π

٢ ⇒ z۴ = eiπ٢

می شود. تعریف Z١ − Z٢ = (x١ − x٢, y١ − y٢) صورت به مختلط عدد دو تفاضل نکته:

می کنیم. تعریف z = x− iy صورت به می شود داده نمایش z با که را z مزدوج Z = x+ iy کنید فرض.α ∈ اگر αz = αz, ¯z = z که نمائید توجه

z.z = |z|٢ دهید نشان مثال:

داریم z = x+ iy اگر حل:zz = (x+ iy)(x− iy) = x2 − iyx+ iyx+ y2 = x2 + y2 = |z|2

دهید نشان تمرین:|z١z٢| = |z١||z٢| ¯Z١ + Z٢ = Z١ + Z٢, ¯Z١Z٢ = Z١Z٢,Rez ≤ |Rez| ≤ |z|, Imz ≤ |Imz| ≤ |z||z| = |z|

که w مانند منحصربفردي عدد باشد مختلط عدد یک z اگر مختلط: عدد یک معکوسzw = wz = 1

فوق مثال به توجه با z−١ = ١/z یا zz−١ = ١ پس می شود. داده نمایش z−١ با و شده نامیده z معکوسz−١ = ١

z = z|z|٢ داریم

z = x+ iy اگر ١/z محاسبه ي مطلوبست مثال:١z = z

|z|٢ = x−iyx٢+y٢ = x

x٢+y٢ + i −yx٢+y٢ حل:

کنیم. تعریف z١z٢

= z١.١z٢

= z١z−١٢ صورت به را مختلط عدد در تقسیم می توانیم حال

z١z٢

= و z١ = r١e−iθ١ صورت این در z٢ = r٢e

iθ٢ و z١ = r١eiθ١ اگر دهید نشان تمرین:

z١z٢ = r١r٢ei(θ١+θ٢) و r١

r٢ei(θ١−θ٢)

−٣+١i٢−i محاسبه ي مطلوبست مثال:

−٣+١i٢−i = −١ + ٣i× ٢+i

۴+١ = ١/۵(−٢ − ٣ + i(−١ + ۶)) = −۵+i۵۵ = −١ + i

دهید تمرین:نشان١)| z١

z٢| = |z١|

|z٢|٢)(z−١) = z−١

٢(٣Rez = z + z,٢iImz = z − z۴)|z١ + z٢| ≤ |z١|+ |z٢|۵)||z١| − |z٢|| ≤ |z١ − z٢|

2

داریم. z = x+ iy اگر پس (چرا؟) |١z | =

١|z| دهیم نشان حل:(1)کافیست

|1z| = 1

x2 + y2

√x2 + y2 =

1√x2 + y2

=1

|z|

(z−1) = (z

|z|2) =

¯z

|z|2= (z)−1

است. واضح (3۴)|z١ + z٢|٢ = (z١ + z٢)( ¯z١ + z٢) = |z٢|١ + z١z٢ + z١z٢ + |z٢|٢= |z٢|١ + |z٢|٢ + ٢Rez١z٢ ≤ |z٢|١ + |z٢|٢ + ٢|z١z٢|= (|z١|+ |z٢(|٢ =⇒ |z١ + z٢| ≤ |z١|+ |z٢|

تمرین: (5(x−۵)٢+(y−٢)i

(١+i)٣ − ٢+i٢−١i , x١y =?

|az+bbz+a

| = ١ دهید نشان b و a مختلط عدد دو هر براي |z| = ١ کنید فرض تمرین:

پس. |bz + a|| ¯az + b| بنابراین z = ١/z پس zz = |z|٢ = ١ چون حل:

a٢ + b٢ = ١ دهید نشان x−iyx+iy = a+ ib کنید فرض تمرین:

|z + w|٢ + |z − w|٢ = ٢(|z|٢ + |w|٢) دهید نشان مختلط عدد دو هر براي

.θ١ − θ٢ = ٢kπ اگر فقط و اگر Re(z١z٢) = |z١||z٢| دهید نشان z١z٢ = ٠ اگر

n ≥ ٠ هر براي باشد مختلط عدد یک z اگر مختلط: اعداد هاي ریشه و توانها

z٠ = ١, zn = z.zn−١

n < ٠, zn = (z−١)n هر براي و

(٣ − ٧i)٣ محاسبه ي مطلوبست مثال:

(٣ − ٧i)٢ = (٩ − ۴٩) + i(−۴٢) = −۴٠ − ۴٢i(٧−٣i)٣ = (٧−٣i)(−۴٠−۴٢i) = (−٢٩−١٢٠۴)+i(−١٢۶+٢٨٠) = −۴١۴+١۵۴i

(استقراء) n ∈ z هر براي zn = rneinθ صورت این در z = reiθ اگر نکته:

به معروف که (cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ r = ١ اگر یا (reiθ)n = rneinθ پساست. دموآر قانون

(√

٣ + i)۶ = (٢eiπ/۶)۶ = ٢۶eiπ = −٢۶ = −۶۴ محاسبه ي تمرین:مطلوبست

z = ١ اگر ١ + z + z٢ + . . .+ zn = ١−zn+١

١−z دهید نشان تمرین:

پس s = ١ + z + . . .+ zn می دهیم قرار حل:

3

zs = z + z٢ + . . .+ zn+١

s− zs = ١ − zn+١ =⇒ s = ١−zn+١

١−z

دهید نشان تمرین:

cos θ = eiθ+e−iθ

٢ , sin θ = eiθ−e−iθ

٢i

١ + cos θ + . . .+ cosnθ = ١٢ +

sin(٢n+١)θ

٢٢ sin θ/٢

است. حقیقی عددي همواره zn + zn دهید نشان تمرین:

zn + zn = rne−inθ + rneinθ = rn(einθ + e−inθ) = ٢rn cosnθ ∈

پس z = ρeiφ اگر zn = w هرگاه گوئیم w ام n ریشه ي را z عدد w = reiθ اگر تعریف:

zn = ρneinφ = reiθ =⇒ ρ =√r, nφ = ٢kπ + θ =⇒ φ = θ + ٢kπ

w ام n هاي ریشه اند w متمایز هاي ریشه z =√rei(

θn+ ٢kπ

n , z = ٠,١, . . . , n− ١ مختلط اعداد پسمی دهیم. نمایش w١/n با را

(−٨i)١/٣ محاسبه ي مطلوبست مثال:حل:

−٨i = ٨e−iπ/٢ ⇒ (−٨i)١/٣ = ٢ei(π/۶+٢kπ/٣)k = ٠,١,٢=⇒ w٠ =

√٣ − i, w١ = ٢i, w٢ = −

√٣ − i

z۴ + ۴ = ٠ معادله ي حل مطلوبست تمرین:

حل:

z۴ = −۴ ⇒ z۴ = ۴e+iπ ⇒ z =√

۴ei(π/۴+ ٢kπ۴ )

z٠ =√

٢ei(π/۴) = ١ + i, z١ =√

٢ei٣π/۴ = −١ + iz٢ =

√٢ei۵π/۴ = −١ − i, z٣ = ١ − i

|z − i| ≤ |z + i| که بیابید را صفحه از نقاطی هندسی مکان تمرین:داریم. z = (x, y) فرض با حل:

|z − i| =√x٢ + (y − ٢(١

|z + i| =√x٢ + (y + ٢(١

|z − i| ≤ |z + i| ⇒ x٢ + (y − ٢(١ ≤ x٢ + (y + ٢(١ ⇒ (y − ٢(١ ≤ (y + ٢(١ ⇒ ۴y ≥٠ ⇒ y ≥ ٠

آن در که |z − z١| = |z − z٢| که بیابید را z ∈ C نقاط هندسی مکان تمرین:z١ = ٣ + ۴i, z٢ = ١ + ٢i

پس z = x+ iy کنید فرض حل:z − z١ = (x− ٣) + i(y − ۴)z − z٢ = (x− ١) + i(y − ٢)⇒ (x− ٢(٣ + (y − ۴)٢ = (x− ٢(١ + (y − ٢(٢ =⇒ x+ y = ۵

که بیابید را z ∈ C نقاط هندسی مکان تمرین:

4

١)|z| ≤ |٢z + ١|٢)| z−١

z+٢i | = ۵| z−١z+٢ = ١/٢

ولی ندارد وجود خاصی روش کلی حالت در مختلط: معادالت حل

دارد. ریشه n دقیقا مختلط ضرائب با n درجه ي معادله ي هر میر: اساسی قضیه

نمائید. حل را z٣ + z٢ + z + ١ = ٠ تمرین:

پس z۴ = ١ یعنی ١ − z۴ = ٠ پس ١ + z + z٢ + z٣ = ١−z۴

١−z داریم. z = ١ فرض با حل:z = −١, i,−i پس z = ١, i,−i,−١

١ + w + . . .+ wn−١ = ٠ دهید نشان باشد واحد یک، غیر ام n ریشه w اگر مسئله:

آن کمک با z = −b+(b٢−۴ac)١/٢

٢a داریم: a = ٠ که az٢ + bz + c = ٠ اگر دهید نشان تمرین:نمائید. حل را z٢ + ٢z + ١ − i = ٠

حل:az٢ + bz + c = ٠ ⇒ ۴a(az٢ + bz + c) = ٠ ⇒ ۴a٢z٢ + ۴abz + ۴ac = ٠⇒ (٢az)٢ + ٢(٢az)(b) + b٢ − b٢ + ۴ac = ٠⇒ (٢az + b)٢ = b٢ − ۴ac ⇒ ٢az + b = (b٢ − ۴ac)١/٢

⇒ z = −b+(b٢−۴ac)١/٢

٢a

z٢ + ٢z + ١ − i = ٠ ⇒ z = −٢+(۴−۴+۴i)١/٢

٢ = −٢+٢(i)١/٢

٢

= −١ + i١/٢ = −١ + eiπ/۴,−١ − eiπ/۴

معادالت حل مطلوبست تمرین:١)z٢ + z + ١ = ٠٢)z۴ − z٣ + z٢ − z + ١ = ٠٣)z۶ + ٢z٣ + ٢ = ٠۴)z٣ − ٨z = ٠۵)z٣ − (١ + i)z + i = ٠۶)z٢ − (۵i+ ١)z + (۴i− ۴) = ٠

داریم. و است معادله جواب یک z = ١ پس می کند صدق معادله در z = ١ چون ۵ حل

z٣ − (١ + i)z + i∫

z−١z٢+z−i ⇒ z٢ + z − i = ٠ ⇒ z = −١+(١+۴i)١/٢

٢(١ + ۴i)١/٢ = (

√١٧eiθ)١/٢ = ∓

√١٧eiθ/٢

θ = arctan۴e

iθ٢ = cos θ

٢ + i sin θ٢

5

ها ومدل ها تابع از هایی تمرین و ها مثالزارع مصطفی دکتر آوري: گرد

ها تابع نمایش براي راه چهارکنید. پیدا را آن برد و دامنه و کنید رسم را تابع نمودار مورد هر در :2 مثال

y(x) = ٢x− ١ الف)g(x) = x٢ ب)

کنید. پیدا را زیر هاي تابع از یک هر دامنه :6 مثال

f(x) =√x+ ٢ الف)

g(x) = ١x٢−x ب)

فرد. نه است زوج نه یا است، فرد است، مزدوج زیر هاي تابع از یک کدام که کنید مشخص :11 مثال

f(x) = x۵ + x الف)g(x) = ١ − x۴ ب)

h(x) = ٢x− x٢ ج)زمان از تابعی جمعیت کردیم: بررسی را روزمره زندگی از معمولی هایی تابع از هایی مثال بخش این در :4 تمرینبه مربوط هاي تابع از دیگر نمونه سه است. زمان از تابعی آن دماي و است نامه وزن از تابعی نامه پست هزینه است،این از یک هر تقریبی نمودار می توانید اگر چیست؟ هایتان تابع از یک هر برد و دامنه کنید. پیدا را روزمره زندگی

بکشید. را ها تابع

مشخص را آن برد و دامنه بود اگر خیر. یا است x از تابعی نمودار شده داده منحنی که کنید مشخص مورد هر درکنید.

کنید. رسم را نمودارش و کنید پیدا را h(x) =√

۴ − x٢ تابع برد و دامنه :32 تمرین

بیابید. را اش دامنه و کنید پیدا شدع توصیف تابع براي دستوري مورد هر در

مالیات ندارد. مالیات دالر 10000 تا درآمد می شود: حساب زیر طریق به درآمد بر مالیات کشوري در :59 تمریناست. درصد 15 دالر 20000 باالي درآمد مالیات است. درصد 10 دالر 20000 سقف تا دالر 10000 باالي درآمد

کنید. رسم ، I درآمد، از تابعی برحسب را ، R مالیات، نمودار الف)چقدر؟ دالر 26000 است؟ چقدر دالر 14000 درآمد مالیات ب)

کنید. رسم ، I درآمد، از تابعی حسب بر را ، T کل، مالیات نمودار ج)

است. شده رسم زیر در آن نمودار از قسمتی و است [−۵,۵] بازه ي f تابع دامنه ي :64 تمرینکنید. رسم کامل را نمودارش است، زوج f بدانیم اگر الف)

f بدانیم اگر ب)کنید. رسم کامل را نمودارش است، فرد

6

:1 شکل

اصلی هاي تابع از کامل فهرستی ریاضی: هاي مدل : 1.2

که می دهد نشان میلیون، در قسمت حسب بر را، جو در موجود کربن اکسید دي میانگین 1 جدول :2 مثالاندازه براي مدلی 1 جدول اطالعات از استفاده با است. کرده ثبت 2002 تا 1980 سال از مائونالوآ خانه رصد

کنید. پیدا جو در موجود کربن اکسید ديمقدار میانگین است c = ١/۵۵١٩٢t− ٢٧٣۴/۵۵ اش معادله که خطی مدل از استفاده با :3 مثال

:2 شکل

مقدار مدل این اساس بر کنید. بینی پیش 2010 سال در را آن مقدار و بزنید تخمین 1987 سال در را co٢می شود؟ بیشتر میلیون یک هر در قسمت 400 از وقت چه co٢

زمین، سطح از توپ ارتفاع می شود. رها زمین، سطح باالي متر 450 کانادا، ملی برج بام پشت از توپی :4 مثالها داده این به که کنید پیدا مدلی است. شده ثبت 2 جدول در ثانیه 1 طول به زمانی هاي فاصله در ، h

کنید. بینی پیش را زمین با توپ برخورد زمان مدل ازاین استفاده با و بخورددارند؟ مشترکی ویژگی چه f(x) = ١ +m(x+ ٣) مانند خطی هاي تابع خانواده اعضاي :6 تمرین

کنید. رسم را خانواده این عضو چند نمودار

f(−١) = f(٠) = و f(١) = ۶ که شرطی به کنید پیدا را f سوم درجه تابع ضابطه :9 تمرینf(٢) = ٠

برخی می یابد. افزایش مداوم زمین هواي دماي میانگین که می دهد نشان اخیر مطالعات :10 تمرینبر دما T آن در که اند، کرده سازي مدل T = ٠٫٠٢t + ٨٫۵٠ خطی تابع با را دما اندیشمندان

است. بعد به 1900 از سال دهنده ي نشان t و گراد سانتی درجه حسبهستند؟ چیزهایی چه نشانه خطی تابع این مبدأ از عرض و شیب الف)

کنید. بینی پیش 2100 سال در را زمین سطح کل دماي میانگین معادله این از استفاده با ب)

7

:3 شکل

کرایه دالر x را غرفه هر اگر که می داند است قبلی تجربیات اساس بر ها فروش کهنه بازار مدیر :12 تمرینمی آید. دست به y = ٢٠٠ − ۴x معادله ي از ، y دهد، کرایه می تواند که هایی غرفه تعداد دهد،

نمی تواند ها غرفه تعداد و غرفه هر کرایه که باشید داشته یاد به ) کنید. رسم را خطی تابع این نمودار الف)باشد.) منفی عددي

هستند؟ چیزهایی چه نشانه نمودار این مبدأ از طول و مبدأ از عرض شیب، ب)قبلی هاي تابع از جدید هااي تابع ساختن 1.3

y =√x− ٢ ، y =

√x−٢ نمودار ها، انتقال از استفاده با است. شده داده y =

√x نمودار :1 مثال

کنید. رسم را y =√−x و y = ٢

√x ، y = −

√x ،

کنید. رسم را زیر هاي تابع نمودار :3 مثالy = sin٢x الف)

y = ١ − sinx ب)کنید. رسم را y = |x٢ − ١| تابع نمودار :5 مثال

کنید. پیدا را اش دامنه و زیر هاي تابع از یک هر ، g(x) = √٢ − x و f(x) = √

x اگر :7 مثالfog الف)gof ب)fof ج)gog د)

F = fogoh که کنید پیدا h و g ، f مانند هایی تابع ، F (x) = cos٢(x+ ٩) اگر :9 مثال

کنید. رسم را زیر هاي تابع نمودار آن از استفاده با است. شده داده f نمودار :5 تمرین

8

y = f(٢x) الف)y = f(١/٢x) ب)y = f(−x) ج)

y = −f(−x) د)

:4 شکل

که را اصلی هاي تابع از یکی نمودار بلکه نکنید، استفاده گذاري نقطه از کنید، رسم را زیر هاي تابع نمودارکنید. استفاده مناسب هاي تبدیل از و بگیرید نظر در است شده رسم 1.2 بخش در

y = x٢ − ۴x+ ٣ .12y = ١ + ٢ cosx .13

y = | sinx| .23y = |x٢ − ٢x| .24

(54 (صفحه .27 تمریندارد؟ f نمودار به ربطی چه y = f(|x|) نمودار الف)

کنید. رسم را y = sin |x| نمودار ب)کنید. رسم را y =

√|x| نمودار ج)

در را اهمیت بیشترین f هاي ویژگی کدام کنید. رسم را y = ١f(x) نمودار است. شده داده f نمودار :28 تمرین

می شود. استفاده ها آن از چگونه که دهید توضیح دارند؟ y = ١f(x) رسم

کنید. پیدا را هایشان دامنه و gog (د) و fof (ج) ، gof (ب) ، fog (الف) هاي تابع

f(x) = x+ ١x , g(x) =

x+١x+٢ .35

g(x) = sin٢x, f(x) = x١+x .36

بنویسید. fogoh شکل به را شده داده تابع

H(x) =√

٢ + |x|.48

H(x) = sec۴(√x).49

کنید. حساب را شده خواسته هاي مقدار زیر جدول از استفاده با .50 تمرینf(g(١)) الف)g(f(١)) ب)f(f(١)) ج)

9

:5 شکل

g(g(١)) د)(gof)(٣) ه)(fog)(۶) و)

:6 شکل

طرف به ۶٠cm/s سرعت با که می کند تولید اي دایره موجی و می افتد اي دریاچه درون به سنگی .53 تمرینمی کند. حرکت بیرون

بنویسید. ثانیه)، حسب بر ) t زمان، از تابعی حسب بر را ، r دایره، این شعاع الف)کنید. بیان را آن تعبیر و کنید پیدا را Aor باشد، شعاعش از تابعی حسب بر دایره این مساحت A اگر ب)

.61 تمریناین به ) fog = h که کنید پیدا f مانند تابعی ، h(x) = ۴x٢ + ۴x+ ٧ و g(x) = ٢x+ ١ اگر الف)

برسید.) h دستور به نهایت در تا کنید اعمال g دستور روي باید را ها عمل کدام که کنید فکرfog = h که کنید پیدا g مانند تابعی ، h(x) = ٣x٢ + ٣x+ ٢ و f(x) = ٣x+ ۵ اگر ب)

حد از هایی تمرین و ها مثالحیدري حنیف دکتر گردآوري:

کنید. بررسی را limx→٠ sinπx .1

کنید. حساب را lim x١−٢x−١ .2

کنید. پیدا g(x) = آن در که را limx→١ g(x) .3ندارد. وجود limx→٠

|x|x کنید ثابت .4

limx→٠ x٢ sin ١

x = ٠ دهید نشان .5

10

limx→٣ x٢ = ٩ کنید ثابت .6

limx→٠١x٢ = ∞ کنید ثابت تعریف از استفاده با .7

د) f(x) = ج) f(x) = ب) f(x) = x٢−x−٢x−٢ الف) است. ناپیوسته کجا در زیر هاي تابع از یک هر .8

L(x) = [x]

دارد. 2 و 1 بین اي ریشه ۴x٣ − ۶x٢ + ٣x− ٢ معادله کنید ثابت .9

صورت در را، زیر حدهاي از یک هر ها آن از استفاده با است. شده داده زیر در g و f هاي تابع نمودار .1کنید. پیدا وجود

limx→٢(f(x) + g(x)) الف)limx→١(f(x) + g(x)) ب)

limx→٠(f(x)g(x)) ج)limx→−١

f(x)g(x) د)

limx→٣(x٣f(x)) و)

limx→١√

٣ + f(x) ه)رسم با را حکم این درستی lim(x٢ cos٢٠πx) = ٠ که دهید نشان فشردگی قضیه از استفاده با -2

دهید. نشان نیز صفحه یک روي فشردگی) قضیه گذاري نماد با ) h و g ، f هاي تابع نمودار کردن

نیست. f(٢) با برابر اما دارد وجود limx→٢ f(x) که دهید نشان ، f(x) = [x] + [−x] اگر -3

از تابعی حسب بر و ، L جسم، طول L = L٠√

١ − x٢

c٢ لورنس انقباض دستور نسبیت نظریه در -4نور سرعت c و است سکون حال در جسم طول L٠ آن در که می کند، مشخص ، v ناظر، به نسبت آن سرعت

است؟ الزم طرفه یک حد چرا کنید. تفسیر را نتیجه و کنید پیدا را limx→c −L

با متناظر δ براي هایی مقدار کردن پیدا با limx→١(۴ − x + ٣x٣) = ٢ حد براي را 2 تعریف -5کنید. روشن ξ = ٠٫١ و ξ = ٠٫۵

براي راه بهترین شود معلوم تا می شود استفاده ها کریستال کردن متبلور براي تحقیقاتی اي کوزه از -6کردن متبلور براي چیست. می شود استفاده هواپیماها الکترونیکی تجهیزات در که هایی کریستال تولیداینها میان رابطه کنید فرض کرد. کنترل دقت به ورودي برق کردن تنظیم با را دما باید کریستال، درستبرق w و است سلسیوس درجه حسب بر دما T آن در که باشد T (W ) = ٠٫١w٢ + ٢٫١۵۵w+ ٢٠

وات حسب بر ورودي

است؟ الزم ٢٠٠c در دما داشتن نگه ثابت براي برق میزان چه الف)

است؟ الزم حدودي چه تا ورودي برق تغییرات باشد، مجاز ±١c تا ٢٠٠c از دما تغییر اگر ب)

چه چیست؟ L چیست؟ a چیست؟ f(x) چیست؟ x ، limx→a f(x) = l اي δ − ξ تعریف در ج)چیست؟ δ براي متناظر مقدار است؟ شده داده ξ از مقداري

دارد. ریشه شده مشخص بازه در شده داده معادله که کنید ثابت میانی مقدار قضیه از استفاده با -7٢x٣ + ٢x٢ + ٢ = (١−,٢−)٠ الف)

٢ sinx = ٣ − ٢x(٠,١) ب)کنید. حساب را limx→١

√x−١√x−١ -8

11

limx→٠√ax+b−٢

x که کنید پیدا طوري را b و a هاي عدد -9

کنید. حساب را limx→٠|٢x−٢|−|١x+١|

x -10

کنید. حساب وجود صورت در را زیر حدهاي -11limx→٠

|x|x الف)

limx→٠ x[١x ] ب)

باشد. پیوسته جا همه f(x) = که که کنید پیدا طوري را b و a هاي مقدار -12

کنید. حساب را شده داده حد پیوستگی از استفاده با -13limx→۴

۵+√x√

۵+xالف)

limx→π sin(x+ sinx) ب)limx→π/۴ x cos

٢ x ج)limx→٢(x

٣ − ٣x+ ٣−(١ د)تابعی است، شدنی رفع ناپیوستگی اگر دارد؟ شدنی رفع ناپیوستگی a نقطه ي در زیر هاي تابع از کدامیک -14

باشد. پیوسته a در و باشد برابر f با x = a که وقتی بجز که کنید پیدا g مانندf(x) = x۴−١

x−١ , a = ١ الف)f(x) = x٣−x٢−٢x

x−٢ , a = ٢ ب)f(x) = [sinx], a = π ج)

ندارد. وجود چرا که دهید توضیح ندارد وجود حد این اگر کنید. پیدا وجود، صورت در را، شده داده حد -15کنید. حساب وجود، صورت در را، شده داده حد -16 limx→٢)٣x+ |x− ٣|)

limh→٠√

١+h−١h (1

limx→−۴√x٩+٢−۵x+۴ (2

مشتق از هایی تمرین و ها مثالفرهادي مجید دکتر گردآوري:

آن اهمیت و نقطه یک در مماس خط تعریف

بنویسید. (3و1) نقطه ي در را y = ٣x هذلولی بر مماس خط معادله ي :140 صفحه 2 مثال

یک ) 141 صفحه 3 مثال متوسط سرعت به راجع بحث مماس- خط شیب عنوان به اي لحظه سرعت تعریفخوب) فیزیکی مثال

است. شده رها زمین، سطح در متر 450 ارتفاع در کانادا ملی برج باالي طبقه از توپی کنید فرض

است؟ چقدر ثانیه 5 گذشت از پس توپ سرعت الف)

است؟ چقدر زمین با برخوردش هنگام توپ سرعت ب)

نقطه یک در تابع مشتق و مشتق تابع مفاهیم تفاوت :152 صفحه مشتق تابع تعریف

بازه یک روي بر و نقطه یک در پذیري مشتق -تعریف

صفر نقطه ي در مطلق قدر تابع مشتق چپ- مشتق و راست مشتق مفاهیم و 156 صفحه 5 -مثال

12

باشد. مفید می تواند |x| تابع مشتق مثال پیوستگی و پذیري مشتق ارتباط 4 -قضیه

ناپذیري مشتق مختلف حاالت 158 صفحه 7 شکل

:7 شکل

باالتر مراتب مشتقات براي متفاوت هاي نمادگذاري -معرفی

شود. یادآوري گیري مشتق دستورات 170 صفحه

موازي ٣x + y = ٠ خط با مماس خط xy = ١٢ هذلولی روي نقاطی چه در 177 صفحه 13 مثالاست؟

نمودار مقادیري چه ازاي به بگیرید. مشتق f(x) = secx١+tanx از 186 صفحه 2 مثال مثلثاتی توابع مشتق

دارد. افقی مماس f

کنید. حساب را limx→٠ xcotx 186 صفحه 6 مثال

بگیرید. مشتق 193 صفحه 2 مثال زنجیري: قاعده يy = sin(x٢) الف)y = sin٢ x ب)

un مشتق براي زنجیري قاعده ي از استفاده

بگیرید. مشتق y = (٢x+ ١)۵(x٣ − x+ ٢(١ از : 195 صفحه 6 مثال

مبدأ مرکز به و 5 شعاع به اي دایره مثال با رابطه یا تابع نمایش انواع شمردن به ضمنی: گیري مشتق

: 204 صفحه 2 مثالبیابید. را y′ ، x٣ + y٣ = ۶xy اگر الف)

بیابید. (3و3) نقطه در را x٣ + y٣ = ۶xy دکارت، برگی منحنی بر مماس خط ب)است. افقی مماس خط اول ربع در نقاطی چه در ج)

متوسط) سرعت و اي لحظه سرعت تفاوت درك براي ) :148 صفحه 12 تمرین

و اند داده مسابقه را متر 100 که است شده رسم ، B و A دونده دو موقعیت تابع نمودار زیر شکل دراند. رسیده پایان خط به همزمان

13

:8 شکل

کنید. مقایسه را آنها و کنید توصیف را ها دونده این مسیر کردن طی نحوه الف)است؟ بوده مقدار بیشترین ها دونده فاصله زمانی چه ب)

است؟ بوده برابر آنها سرعت زمانی چه ج)149 صفحه 36 و 35 و 34 و 32 تمرینات خاص یکحد صورت به مشتق مفهوم درك

را a عدد و f تابع مورد هر در است a مانند اي نقطه در f مانند تابعی مشتق زیر حدهاي از یک هرکنید. مشخص

limh→٠√

١۶+h−٢h (32

limx→π/۴tanx−١x−π/۴ (34

limh→٠cos(π+h)+١

h (35

limt→١t۴+t−٢t−١ (36

صفحه 52 و 51 تمرینات151

شود.) بررسی xn sin ١x حالت براي ) خیر یا دارد وجود f ′(٠) که کنید مشخص

f(x) =

{x sin١/x ;x = ٠

٠ x = ٠ (51

f(x) =

{x٢ sin١/x x = ٠

٠ x = ٠ (52

165 صفحه تمرینات

براي دستوري نیست؟ پذیر مشتق کجاها در f(x) = [x] صحیح جزء تابع : 165 صفحه 50 تمرینکنید. رسم را نمودارش و بیابید f ′

165 صفحه 51 تمرینکنید. رسم را f(x) = x|x| تابع نمودار الف)است؟ پذیر مشتق f مقادیري، چه ازاي به ب)

بیابید. f ′ براي دستوري ج)165 صفحه 53 تمرین

است. فرد تابعی زوج تابع مشتق الف)

است. زوج تابعی فرد تابع مشتق ب)صورت به ام n درجه اي جمله چند کلی شکل : 178 صفحه 43 تمرین

p(x) = anxn + an−١x

n−١ + . . .+ a٢x٢ + a١x+ a٠

14

کنید. پیدا را p مشتق an = ٠. آن در که است

خط f(x) = x٣ + ٣x٢ + x + ٣ نمودار x از مقدارهایی چه ازاي به : 180 صفحه 72 تمریندارد؟ افقی مماس

x−٢y = ٢ خط با که را y = x−١x+١ منحنی بر مماس هاي خط معادله ي : 180 صفحه 76 تمرین

کنید. پیدا اند موازي

و p′(٢) = ٣ و p(٢) = ۵ که کنید پیدا دوم درجه اي جمله چند :180 صفحه 83 تمرینp′′(٢) = ٢

که کنید پیدا y = ax٣ + bx٢ + cx + d مانند سوم درجه ي تابعی :180 صفحه 85 تمرینباشد. داشته افقی مماس (٢,٠) و (−٢,۶) نقاط در نمودارش

است؟ پذیر مشتق عددهایی چه در زیر تابع :181 صفحه 90 تمرین

g(x) =

{ −١ − ٢x ;x < −١x٢ ;−١ ≤ x ≤ ١x x > ١

کنید. رسم را g′ و g نمودار و کنید پیدا g′ براي دستوري

کنید فرض : 181 صفحه 96 تمرین

f(x) =

{x٢ ;x ≤ ٢

mx+ b ;x > ٢باشد. پذیر مشتق جا همه f که بیابید طوري را m, b مقادیر

کنید. حساب را limx→١x١−١٠٠٠x−١ مقدار :181 صفحه 99 تمرین

:189 صفحه 31 تمریندیگر؟ مشتق f(x) = tanx−١

secx تابع از نسبت قاعده ي از استفاده با الف)کنید. محاسبه را f ′(x) بعد و بنویسید cosx و حسب بر را f عبارت ب)

است. یکسان ب و الف قسمت هاي پاسخ دهید نشان ج)190 صفحه 48 و 44 و 42 تمرینات

بیابید. را زیر حدود

limθ→٠cos θ−١sin θ (42

lim sin٢ ٣tt٢ (44

limx→١sin(x−١)x٢+x−٢ (46

و گرفته قرار PQR الساقین متساوي مثلث روي PQ قطر به اي دایره نیم :190 صفحه 50 تمرینB(θ) و دایره نیم مساحت A(θ) اگر است شده تشکیل بعدي دو قیفی شبیه اي ناحیه شکل مانند

بیابید. را limθ→٠A(θ)B(θ) باشد مثلث مساحت

بگیرید. مشتق :198 صفحه 45 و 42 و 40 و 35 تمرینy = (١−cos ٢x

١+cos ٢x )۴ (35

y = sin(sin(sinx)) (40

15

:9 شکل

y = cos√sin(tanπx) (45

y =

√x+

√x+

√x (42

f ′(٠) = ٢ و f(٠) = ٠ اینجا در که ، F (x) = f(ef(۴f(x))) اگر :199 صفحه 71 تمرینکنید. پیدا را F ′(٠) ،

:200 صفحه 85 تمرین

باشد طبیعی عددي n اگر کنید ثابت الف)ddx (sin

n x cosnx) = n sinn−١ x cos(n+ ١)xبیابید. الف مشابه y = cosn x sinnx مشتق براي ب)دستوري

:200 صفحه 88 تمرینddx (|x|) =

x|x| دهید نشان تا کنید استفاده زنجیري قاعده ي از و |x| =

√x٢ بنویسید الف)

کنید. رسم را f ′ و f نمودارهاي و کنید پیدا را f ′(x) و f(x) = | sinx| اگر ب)است. پذیر مشتق کجاها در f

مشتق کجاها در g کنید. رسم را g′ و g نمودار و کنید پیدا را g′(x) ، g(x) = sin |x| اگر ج)است؟ پذیر

بیابید. ضمنی گیري مشتق با را dydx :207 صفحه 8 و 6 تمرین

۶)٢√x+

√y = ٣,٢x٣ + x٢y − xy٣ = ٢

بیابید. را dxdy ضمنی مشتق کمک با و وابسته متغیر را x و مستقل متغیر را y :208 صفحه 24 تمرین

٢۴)ysecx = xtany

بیابید. ضمنی گیري مشتق با را y′′ :209 صفحه 34 تمرین

٢۴)√x+

√y = ١

16

x٢

a٢ +y٢

b٢ = که بیضی بر مماس که دهید نشان ضمنی گیري مشتق از استفاده با :209 صفحه 40 تمریناست. xox

a٢ + yoyb٢ = ١ خط (x٠, y٠) نقطه در ١

دایره بر p نقطه ي در مماس خط دهید نشان ضمنی گیري مشتق از استفاده با :209 صفحه 43 تمریناست. عمود op شعاع بر o مرکز به اي

کنید. حساب را y′ : 245 صفحه 4 و 26 تمرین

٢۶)x٢ cos y + sin٢y = xy

۴٠) sin٢(cos√sinπx)

بیابید. را limx→٠sin x

١−secx حد :245 صفحه 45 تمرین

(٢,١) نقطه ي در را x٢ +۴xy+y٢ = ١٣ منحنی بر قائم و مماس خط :245 صفحه 50 تمرینبیابید.

بنویسید. g′ و f ′ حسب بر را h′ : 246 صفحه 71 تمرینh(x) = f(g(sin۴x))

:247 صفحه 89 تمرینlimx→٠

√١+tanx−

√١+

x٣

:251 صفحه 19 تمرینlimx→٠

sin(a+٢x)−٢ sin(a+x)+sin ax٢

مشتق کاربرد از هایی تمرین و ها مثالابري محمد دکتر گردآوري:

ب- نباشد. کلی ماکسیمم ولی باشد نسبی ماکسیمم الف- که بیاورید تابع یک از نقطه یک از مثالی -1نباشد. پیوسته نقطه آن در تابع ولی باشد نسبی ماکسیمم پ- باشد. کلی هم و نسبی ماکسیمم هم

باشد. نداشته مشتق ولی بوده پیوسته نقطه آن در تابع و باشد نسبی ماکسیمم ت-

کلی ماکسیمم ولی داشته نسبی ماکسیمم الف- که بیاورید بسته فاصله یک روي تابع یک از مثالی -2داشته کلی ماکسیمم پ- باشد. داشته کلی مینیمم و ماکسیمم ولی بوده ناپیوسته ب- باشد. نداشته

باشد. نداشته نسبی ماکسیمم دامنه از بخشی روي ولی

بیابید. را f(x) = x٣/۵(۴ − x) تابع بحرانی نقاط ( 4-1 بخش 7 مثال ) -3

بیابید. را f(x) = x٣ − ٣x٢ + ١ تابع کلی اکسترممهاي ( 4-1 بخش 8 (مثال -4

بیابید. وجود صورت در شده داده فاصله روي را زیر توابع نسبی و کلی مینیمم و ماکسیمم -5

f(x) = ١ −√

١ − x; [−١,١] الف)

f(x) = secx; [−π۴ ,

π٣ ] ب)

f(x) =

{١ − x ;٠ ≤ x ≤ ٢

٢x− ۴ ;٢ < x ≤ ٣ پ)

بیابید. را زیر توابع بحرانی نقاط -6

f(x) = ٣x۴ + ۴x٣ − ۶x٢ الف)

f(x) = x−١x٢−x+١ ب)

17

f(x) =√

١ − x٢ پ)

f(x) = |١ − ٣x| ت)

f(x) = ۴x− tanx ث)

f(x) =√x۴(x− ۴)٢ ج)

بیابید. را زیر توابع کلی اکسترممهاي -7

f(x) = (x٢ − ٣(١; [−١,٢] الف)f(x) = x٢−۴

x٢+۴ ; [−۴,۴] ب)f(x) = ٢ cosx+ sin٢x; [٠,٢π] پ)

نقطه این در تابع ولی است f(x) = ٢ + (x − ۵)٣ تابع بحرانی نقطه 5 عدد دهید نشان -8ندارد. نسبی اکسترمم

کنید. بحث 3 درجه اي جمله چند نسبی اکسترمم و بحرانی نقاط تعداد مورد در -9

f(x) = x٣ − x;٠ ≤ x ≤ ٢ تابع مورد در را میانگین مقدار قضیه (4-2 بخش 3 (مثال -10کنید. بررسی

کنید. بررسی زیر موارد در را رل قضیه حکم امکان صورت در و فرضیات -11

f(x) = ١ −√x٢ پ) f(x) = cos٢x; [π٨ ,

٧π٨ ] ب) f(x) =

√x − x

٣ ; [٠,٩] الف)f(x) = tanx; [٠, π] ت)

کنید. بررسی زیر موارد در را میانگین مقدار قضیه حکم امکان صورت در و فرضیات -12

f(x) = ١(x−٣)٢ ; [١,۴] پ) f(x) = x

x+٢ ; [١,۴] ب) f(x) = x٣+x−١; [٠,٢] الف)f(x) = ٢ − |٢x− ١|; [٠,٣] ت)

دارند. ( (جواب حقیقی ریشه یک تنها زیر معادالت از یک هر دهید نشان -13

x− cosx = ٠ پ) ٢x− ١− = ٠ ب) ١ + ٢x+ x٣ + ۴x۵ = ٠ الف)

دارد. حقیقی ریشه 2 حداکثر x۴ + ۴x+ c = ٠ معادله دهید نشان -14

f(٢) براي ممکن مقدار حداکثر f(٠) = −٣, f ′(x) ≤ ۵ فرضیات با ( 4-2 بخش 5 (مثال -15است؟ چقدر

١٨ ≤ f(٨)− f(٢) ≤ ٣٠. کنید ثابت ٠ ≤ f ′(x) ≤ ۵ فرض با -17

یک حداکثر f(x) = x معادله آنگاه باشد 1 مخالف نقطه هر در f تابع مشتق اگر دهید نشان -18دارد. جواب

را f(x) = ٣x۴ − ۴x٣ − ١٢x٢ + ۵ تابع نزول و صعود فواصل (4-3 بخش 1 مثال ) -19بیابید.

بیابید. را f(x) = x+ ٠;٢ ≤ x ≤ ٢π تابع موضعی اکسترممهاي (4-3 بخش 3 مثال ) -20

کنید. ترسیم را f(x) = x٢/٣(۶ − x)١/٣ تابع نمودار (4-3 بخش 7 مثال ) -21

18

فواصل و عطف اکسترمم- بحرانی- نقاط شامل ) تغییرات کامل جدول نوشتن با را زیر توابع نمودار -22کنید. ترسیم نمودار)، هاي مجانب همچنین و تحدب و تقعر و نزول و صعود

f(x) = ٢ + ٣x− x٣ الف-f(x) = (x+ ١)۵ − ۵x− ٢ ب-

f(x) = x+ cosx;−٢π ≤ x ≤ ٢π پ-f(x) = sin x

٢+cosx ج- f(x) = x√x١−٢ ث- f(x) = x

x٩+٢ ت-ندارد. دوم مشتق ولی دارد عطف نقطه مبدا در f(x) = x|x| تابع دهید نشان -23

کنید. رسم را f(x) = x٢√x+١ تابع نمودار (4-5 بخش 2 مثال ) -24

کنید. رسم را f(x) = x٣

x١+٢ تابع نمودار (4-5 بخش 4 مثال ) -25

کنید. ترسیم ر f(x) = ١x٢+٢x+c توابع پارامتري خانواده نمودار (4-6 بخش 5 مثال ) -26

هزینه کمترین تا باشد چقدر روغن لیتري یک اي استوانه قوطی یک ابعاد (4-7 بخش 2 مثال )-27آید. بدست ساخت

بیابید. را R شعاع به دایره نیم یک در محاط مستطیل بزرگترین مساحت (4-7 بخش 5 مثال ) -28

باشد. ممکن مقدار کمترین آنها حاصلضرب و 100 برابر آنها تفاضل که بیابید عدد دو -29

باشد. کمترین آن محیط و داشته 1000 مساحت که بیابید را مستطیلی ابعاد -30

دو به اضالع موازات به سپس و کشی حصار را متر 1000 مساحت با شکل مستطیل زمینی چگونه -31بپردازیم. حصارکشی براي کمتري هزینه نهایتا که کنیم جدا حصار با مساوي قسمت

بیابید. را (0و1) نقطه به ۴x٢ + y٢ = ۴ بیضی از نقطه دورترین -32

بیابید. را R شعاع به کره یک در محاط استوانه بزرگترین حجم -33

را می شود حاصل ها لبه چسباندن و کاغذي دایره یک از قطاع یک برش از که را قیفی بزرگترین -34بیابید.

کیلومتري 1 فاصله به اي نقطه از می خواهیم است. مفروض کیلومتر 2 عرض به مستقیمی رودخانه -35اگر کنیم. کشی لوله دورتر رودخانه موازات به کیلومتر 6 و دیگر کرانه روي اي نقطه به رودخانه کرانه ازآب به ورود نقطه باشد. تومان هزار 800 و 400 کیلومتري ترتیب به آب و خشکی در کشی لوله هزینه

شویم. متحمل را هزینه کمترین تا باشد کجا

مسیر طی زمان کمترین در که قسمی به می شود شکسته آب از عبور در نور فیزیکی اصلی طبق -36آب و هوا در شکست زوایاي و نور سرعت ترتیب به v١, v٢, θ١, θ٢ اگر کنید ثابت ترتیب بدین کند.

است. برقرار sin θ١sin θ٢

= v١v٢

تساوي باشند

انتگرال از هایی تمرین و ها مثالشعبانی سعید دکتر گردآوري:

روي انتگرالی شکل به را limn→∞∑

i=٠(x٣i + xi sinxi)△ x عبارت : 379 صفحه 1 مثال

بنویسید؟ [٠, π] بازه ي

کنید؟ پیدا را g(x) =∫ π

٠

√١ + t٢dt تابع مشتق :397 صفحه 2 مثال

کنید؟ پیدا را ddx

∫ x۴

١ sectdt :398 صفحه 4 مثال

19

کنید؟ پیدا را 1 تا 0 از y = x٢ سهمی زیر مساحت :400 صفحه 6 مثال

پیدا ٠ ≤ b ≤ π/٢ جا این در که را b تا 0 از کسینوس منحنی زیر مساحت :400 صفحه 7 مثالکنید؟

است؟ غلط چیزي چه زیر محاسبات در :400 صفحه 8 ∫مثال ٣−١

١x٢ dx = x−١

−١ ] = −١٣ − ١ = −۴

٣

کنید؟ پیدا را∫(١٠x۴ − ٢sec٢x)dx کلی نامعین انتگرال :408 صفحه 1 مثال

کنید؟ حساب را∫ ٩

١٢t٢+t٢√t−١

t٢ dt :409 صفحه 5 مثال

کنید؟ حساب مساحت حسب بر آن از تعبیري یافتن با را زیر هاي انتگرال از یک هر :382 صفحه 4 مثال

∫ ١٠

√١ − x٢dx ∫الف) ٣

٠ (x− ١)dx ب)

این است. برابر شده داده حد با مساحتش که کنید مشخص را اي ناحیه :375 صفخه 20-21 تمریننکنید؟ حساب را حد

٢٠) limn→∞∑n

i=١٢n (۵ + ٢i

n )١٠

٢١) limn→∞∑n

i=١π

۴n taniπ۴n

که: دهید نشان باشد، پیوسته [a, b] روي f اگر :391 صفحه 65 تمرین|∫ b

af(x)dx| ≤

∫ b

a|f(x)|dx

(limn→∞∑n

i=١٢n (۵ + ٢i

n )١٠ راهنمایی: )

که: دهید نشان 65 تمرین نتیجه ي از استفاده با :391 صفحه 66 تمرین|∫ ٢π

٠ f(x) sin٢xdxdx| ≤∫ b

a|f(x)|dx

[٠,١] روي f که دهید نشان f(x) =

{٠ x ∈ Q١ x /∈ Q کنید فرض :391 صفحه 67 تمرین

نیست؟ پذیر انتگرال

[٠,١] روي f که دهید نشان f(x) = ١x و f(٠) = ٠ کنید فرض :391 صفحه 68 تمرین

می توان را f(xi)△x ریمان، مجموع در اول جمله ي که دهید نشان راهنمایی: ) نیست؟ پذیر انتگرالکرد.) بزرگ دلخواه به

انتگرال و دیفرانسیل حساب اساسی قضیه اول بخش از استفاده با : 2-4 صفحه 11 سؤال : 7-18 تمرینکنید؟ پیدا را شده داده تابع مشتق

١١)f(x) =∫ π

x

√١ + sectdt

کنید؟ حساب را نظر مورد انتگرال :36 و 35 هاي سؤال 19-36 تمرین

٣۵)f(x) ={

sinx ٠ ≤ x ≤ π/٢∫ π

٠ f(x)dxcosx π/٢ ≤ x ≤ π

٣۶)f(x) ={

٢ −٢ ≤ x ≤ ٠∫ ٢−٢ f(x)dx

۴ − x٢ ٠ ≤ x ≤ ٢

20

کجاست؟ در شده داده تساوي اشتباه : 403 صفحه 40 و 37 هاي سؤال 37-40 تمرین

٣٧)∫ ١−٢ x

−٢dx = x−٣

−٣ ]٢−١ = −٣٨

۴٠)∫ π

٠ sec٢xdx = tanx]π٠ = ٠کنید؟ پیدا را شده داده تابع مشتق : 403 صفحه 47 سؤال 47-50 تمرین

۴٧)g(x) =∫ ٣x

٢xu١−٢u١+٢du ∫ ٣x

٢x f(u)du =∫ ٠

٢x f(u)du+∫ ٣x

٠ f(u)du راهنمایی: )

x = سهمی چپ سمت و y محور راست سمت در که اي ناحیه مساحت :414 صفحه 45 تمرینسرتان ) است.

∫ ٢٠ (٢y − y٢)dy انتگرال با برابر شکل) در دار سایه ناحیه ي ) دارد، قرار ٢y − y٢

y = ٠ از x = ٢y− y٢ منحنی زیر که است همان ناحیه این که کنید فکر و بچرخانید ساعتگرد راکنید؟ پیدا را ناحیه این مساحت دارد.) قرار y = ٢ تا

:10 شکل

F ′′(٢) ، f(t) =∫ t٢

١

√١+u٢

u du آن در که F (x) =∫ x

١ f(t)dt اگر :404 صفحه 51 تمرینکنید؟ پیدا را

به رو مقعر آن روي y =∫ x

٠١

١+t+t٢ dt منحنی که کنید پیدا را اي بازه :404 صفحه 52 تمرینباالست؟

روي که تابعی ریمان مجموع شکل به را حد در شده داده مجموع ابتدا : 58 و 404 صفحه 57 تمرینکنید؟ حساب را نظر مورد حد مجد و بنویسید است شده تعریف [٠,١]

۵٧) limn→∞ sumni=١

i٣

n۴

۵٨) limn→∞١n (

√١n +

√٢n +

√٣n + . . .+

√nn )

21