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VAUDON Patrick – Master Recherche Télécommunications Hautes Fréquences et Optiques 1 IRCOM –Université de Limoges II) Deuxième partie : la synthèse de réseau La synthèse de réseau a pour objet de déterminer les caractéristiques d’un réseau d’antennes qui permettent de s’approcher au mieux de contraintes de rayonnement fixées (abaissement des lobes secondaires) ou d’un gabarit de rayonnement imposé (lobe sectoriel ou cosecanté). La synthèse de réseau repose toujours sur le choix d’une méthode d’optimisation numérique, méthode qui n’est pas unique. Pour présenter le problème d’optimisation, nous nous placerons dans le cas d’un réseau linéaire à n éléments régulièrement espacés. Des généralisations sont possibles, mais elles sont extrêmement lourdes, de part la complexité du problème. Le facteur de réseau dans le plan du réseau a déjà été établi en (XI-9), pour un réseau alimenté à phase et à amplitude constante : θ θ θ θ sin jkd ) 1 n ( sin jkd 3 sin jkd 2 sin jkd e .......... e e e 1 F − + + + + + = (XI-30) Le problème consiste à déterminer les amplitudes A i et les phases β i que l’on doit appliquer à chaque élément du réseau afin de répondre à un certain nombre de contraintes. Ces contraintes peuvent être par exemple de tendre vers un maximum pour des directions θ max1 , θ max2 , θ max3 , ….qui représentent les directions des lobes de rayonnement et vers un minimum pour des directions θ min1 , θ min2 , θ min3 , …..qui peuvent représenter des lobes secondaires que l’on souhaite les plus bas possibles, ou des zéros dans le diagramme de rayonnement. On recherche donc les A i et β i tels que la norme des fonctions suivantes soient maximum : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n 1 max 3 1 max 2 1 max 1 1 max sin kd ) 1 n ( j 1 n sin kd 3 j 3 sin kd 2 j 2 sin kd j 1 e A .......... e A e A e A 1 − β + θ − − β + θ β + θ β + θ + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n 2 max 3 2 max 2 2 max 1 2 max sin kd ) 1 n ( j 1 n sin kd 3 j 3 sin kd 2 j 2 sin kd j 1 e A .......... e A e A e A 1 − β + θ − − β + θ β + θ β + θ + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n 3 max 3 3 max 2 3 max 1 3 max sin kd ) 1 n ( j 1 n sin kd 3 j 3 sin kd 2 j 2 sin kd j 1 e A .......... e A e A e A 1 − β + θ − − β + θ β + θ β + θ + + + + + (XI-31) et tels que la norme des fonctions suivantes soient minimum : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n 1 min 3 1 min 2 1 min 1 1 min sin kd ) 1 n ( j 1 n sin kd 3 j 3 sin kd 2 j 2 sin kd j 1 e A .......... e A e A e A 1 − β + θ − − β + θ β + θ β + θ + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n 2 min 3 2 min 2 2 min 1 2 min sin kd ) 1 n ( j 1 n sin kd 3 j 3 sin kd 2 j 2 sin kd j 1 e A .......... e A e A e A 1 − β + θ − − β + θ β + θ β + θ + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n 3 min 3 3 min 2 3 min 1 3 min sin kd ) 1 n ( j 1 n sin kd 3 j 3 sin kd 2 j 2 sin kd j 1 e A .......... e A e A e A 1 − β + θ − − β + θ β + θ β + θ + + + + + (XI-32)
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II) Deuxième partie : la synthèse de réseau
La synthèse de réseau a pour objet de déterminer les caractéristiques d’un réseaud’antennes qui permettent de s’approcher au mieux de contraintes de rayonnement fixées(abaissement des lobes secondaires) ou d’un gabarit de rayonnement imposé (lobe sectoriel oucosecanté).
La synthèse de réseau repose toujours sur le choix d’une méthode d’optimisationnumérique, méthode qui n’est pas unique.
Pour présenter le problème d’optimisation, nous nous placerons dans le cas d’un réseaulinéaire à n éléments régulièrement espacés. Des généralisations sont possibles, mais elles sontextrêmement lourdes, de part la complexité du problème.
Le facteur de réseau dans le plan du réseau a déjà été établi en (XI-9), pour un réseaualimenté à phase et à amplitude constante :
θθθθθθθθθθθθθθθθ sinjkd)1n(sinjkd3sinjkd2sinjkd e..........eee1F −+++++= (XI-30)
Le problème consiste à déterminer les amplitudes Ai et les phases βi que l’on doitappliquer à chaque élément du réseau afin de répondre à un certain nombre de contraintes.
Ces contraintes peuvent être par exemple de tendre vers un maximum pour desdirections θmax1, θmax2, θmax3, ….qui représentent les directions des lobes de rayonnement etvers un minimum pour des directions θmin1, θmin2, θmin3, …..qui peuvent représenter des lobessecondaires que l’on souhaite les plus bas possibles, ou des zéros dans le diagramme derayonnement.
On recherche donc les Ai et βi tels que la norme des fonctions suivantes soientmaximum :
( ) ( ) ( ) ( )1n1max31max21max11max sinkd)1n(j1n
sinkd3j3
sinkd2j2
sinkdj1 eA..........eAeAeA1 −β+θ−
−β+θβ+θβ+θ +++++
( ) ( ) ( ) ( )1n2max32max22max12max sinkd)1n(j1n
sinkd3j3
sinkd2j2
sinkdj1 eA..........eAeAeA1 −β+θ−
−β+θβ+θβ+θ +++++
( ) ( ) ( ) ( )1n3max33max23max13max sinkd)1n(j1n
sinkd3j3
sinkd2j2
sinkdj1 eA..........eAeAeA1 −β+θ−
−β+θβ+θβ+θ +++++
(XI-31)
et tels que la norme des fonctions suivantes soient minimum :
( ) ( ) ( ) ( )1n1min31min21min11min sinkd)1n(j1n
sinkd3j3
sinkd2j2
sinkdj1 eA..........eAeAeA1 −β+θ−
−β+θβ+θβ+θ +++++
( ) ( ) ( ) ( )1n2min32min22min12min sinkd)1n(j1n
sinkd3j3
sinkd2j2
sinkdj1 eA..........eAeAeA1 −β+θ−
−β+θβ+θβ+θ +++++
( ) ( ) ( ) ( )1n3min33min23min13min sinkd)1n(j1n
sinkd3j3
sinkd2j2
sinkdj1 eA..........eAeAeA1 −β+θ−
−β+θβ+θβ+θ +++++
(XI-32)
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Si on impose au plus une contrainte tous les degrés, il y a donc 180 relations de type àprendre en compte, ce qui rend le problème d’optimisation extrêmement complexe.
Différentes simplifications sont possibles : plutôt que de rechercher un minimum pourles lobes secondaires, on peut fixer un niveau à ne pas dépasser : on se ramène alors à unproblème d’optimisation sous contrainte. On peut également rechercher une optimisation sur laphase seulement en choisissant les Ai égaux à 1, ou sur l’amplitude seulement en choisissantles βi égaux à 0.
Lorsque l’alimentation du réseau est symétrique, les exponentielles s’ajoutent 2 à 2pour donner des termes réels en cosinus : on parle alors de synthèse réelle, par opposition à lasynthèse complexe définie ci-dessus.
Le logiciel utilisé à l’IRCOM (développé par Mohamed RAMMAL pour l’analysenumérique, Michel VERGNAUD pour l’interface WINDOWS) utilise une méthode désignéepar MIN-MAX qui consiste globalement à minimiser l’écart maximum entre le diagramme derayonnement obtenu et le gabarit imposé. Il ne s’applique qu’aux réseaux alignés.
L’utilisateur définit le nombre et la position des éléments, le diagramme derayonnement de l’antenne élémentaire, et l’optimisation porte sur l’amplitude et la phase dusignal appliqué à chaque antenne. Il permet éventuellement la prise en compte du couplageentre éléments, à condition d’être en mesure de donner un fichier de couplage.
La description complète de la méthode d’optimisation sort du cadre d’un cours de basesur les réseaux d’antenne, mais quelques exemples précis permettent d’illustrer son efficacité.
II-1) Synthèse d’un réseau sectoriel avec des lobes secondaires inférieurs à 45 dB
La synthèse est réalisée sur un réseau de 20 éléments, espacés de λ / 2, et alimentés demanière symétrique par rapport à l’origine.
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90Téta
dB
Position des éléments amplitude Phase
0.25 1 0
0.75 0.80243 0
1.25 0.531468 0
1.75 0.253072 0
2.25 0.018028 0
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2.75 -0.126049 0
3.25 -0.173288 0
3.75 -0.136238 0
4.25 -0.082659 0
4.75 -0.026182 0
Figure XI-12 : Synthèse d’un réseau à lobe sectoriel avec de très bas lobes secondaires
On notera la cassure particulièrement nette qui fait chuter le rayonnement de 40 dB auxenvirons de θ = +,-15°
II-2) Synthèse d’un réseau à deux lobes de rayonnement
La synthèse est réalisée sur un réseau de 20 éléments, espacés de λ / 2, et alimentés demanière symétrique par rapport à l’origine.
L’objectif plus général de ce type de synthèse est le multiplexage spatial descommunications avec les mobiles, en permettant la réutilisation des mêmes caractéristiques deliaisons dans plusieurs directions différentes.
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90Téta
dB
Position des éléments amplitude Phase
0.25 0.343725 900.75 -0.907644 901.25 -1.111111 2701.75 0.652514 -902.25 -0.241916 -902.75 0.203509 -2703.25 -0.49379 903.75 -0.460852 -904.25 -0.297879 -2704.75 0.00046 90
Figure XI-13 : Synthèse d’un réseau avec deux lobes de rayonnement
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II-3) Synthèse d’un réseau à rayonnement cosécanté.
La synthèse est réalisée sur un réseau de 20 éléments, espacés de λ / 2, et alimentés demanière symétrique par rapport à l’origine.
Ce type de rayonnement est utilisé pour des liaisons à amplitude constante, alors que ladistance de liaison varie, et ce tant pour des applications indoor que des applications outdoor.
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90Téta
dB
Position des éléments amplitude Phase
0.25 1 200.75 0.51 -271.541.25 -0.52 -0.751.75 0.32 -101.672.25 0.32 -10.422.75 0.22 71.773.25 -0.26 -16.343.75 0.13 -113.224.25 0.20 -30.294.75 0.15 -254.89
Figure XI -14 : Synthèse d’un réseau à lobe de rayonnement cosécanté
III) Un exemple concret de synthèse de réseau
Il n’existe pas de méthodologie générale conduisant à la réalisation pratique d’unréseau d’antennes car l’élaboration concrète du réseau dépend fortement de la nature desantennes (antennes imprimées, cornets, dipôles, fentes dans un guide ….) et de la manière dontl’énergie est distribuée à ces antennes (guide, coaxial, ligne ……).
Dans tous les cas, les contraintes sont nombreuses, et l’exemple présenté a pour objetde mettre en évidence quelques unes de ces contraintes sur un cas particulier.
III-1) Le cahier des charges
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Il s’agit de réaliser un réseau directif, avec des contraintes sur les lobes secondairesassez sévères :
- Nature du réseau : antennes imprimées.- Fréquence centrale : 12GHz- Rayonnement axial de gain supérieur ou égal à 20dB- Angle d’ouverture du plan E à –3 dB : 40°- Angle d’ouverture du plan H à –3 dB : 6°- Niveau des lobes secondaires plan H : < - 30 dB- Niveau des lobes secondaires plan E : < - 12 dB- Bande passante pour un coefficient de réflexion < -12dB : environ 2%
III-2) Les éléments qui font l’objet d’un choix
Il n’existe pas une solution unique répondant au cahier des charges, et à cette étape del’élaboration du réseau, il existe un certain nombre de degrés de liberté.
Quelques uns de ces choix sont faits de manière empirique : leur opportunité estsouvent guidée par l’expérience acquise.
Ainsi l’élément de base sera choisi de forme carrée, alimenté en coin (Figure XI-15),car le diagramme de rayonnement du plan H décroît vers 0 lorsque l’on s’approche del’horizon (Figure XI-16), ce qui va contribuer à abaisser le niveau des lobes secondaires dansce plan.
Plan H
Figure XI-15 : réseau de patch alimentés en coin
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-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90Degrés
dB
Figure XI-16 : Diagramme de rayonnement plan H d’une antenne imprimée
L’’alimentation en coin est privilégiée car elle va permettre un calcul simple de larépartition d’énergie entre les antennes qui pourront être considérées comme montées enparallèle sur la ligne d’alimentation.
Le choix du substrat constitue un élément déterminant dans la synthèse de réseauxd’antennes imprimées : il conditionne les dimensions des patchs, les dimensions des lignes, etl’espacement entre les éléments du réseau. Il est cependant restreint aux matériaux disponiblessur le marché. Il doit de plus minimiser les pertes diélectriques à la fréquence defonctionnement.
Le substrat choisi est en verre-téflon, et ses caractéristiques physiques annoncées sontles suivantes :
εr = 2,55 tg(δ) = 2 . 10-3 Hauteur = 0,76 mm
La largeur de la ligne d’alimentation peut elle aussi faire l’objet d’une certaine latitude,une contrainte minimum étant de l’ordre du mm afin de garder une précision de réalisationsuffisante pour ne pas affecter les performances du réseau. La largeur choisie va conditionnerl’impédance caractéristique de la ligne, ainsi que les dimensions des transformateurs quartd’onde utilisés.
III-2) Les éléments calculés
Du cahier des charges, et des choix effectués, découlent méthodiquement un certainnombre de résultats.
Une fréquence de fonctionnement de 12GHz implique que la longueur d’onde dans levide sera égale à λ0 = 2.5 cm.
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Un logiciel simple de calcul de ligne et d’antennes imprimées doit être utilisé afin dedimensionner ces éléments dont les dimensions sont fonction du substrat.
A 12 GHz, avec une perméabilité relative de 2,55, le patch carré aura 7,3 mm de côté.Sa résistance d’entrée calculée pour une alimentation sur un coin est de 276 Ω.
Une ligne de 1mm de largeur aura une impédance caractéristique Zc = 78,4 Ω. Laperméabilité relative effective sera εeff = 2,02 ce qui donne une longueur d’onde guidée λG =17,6 mm, soit donc λG = 0,7 λ0 . Cette dernière relation justifie à posteriori le choix du substratqui a été fait, car il a été montré dans les paragraphes précédents que le maximum dedirectivité était obtenu pour une distance entre éléments voisine de 0,7 λ0 .
La cohérence entre les angles d’ouverture et le gain peut être vérifiée par la formuleapprochée suivante valide pour des réseaux directifs :
Glinéaire = 30 000 / (θE . θH) (XI-33)
où θE et θH sont exprimés en degrés
soit donc G = 30 000 / (40 x 6) = 125 et GdB = 10 log(125) = 21 dB
Le gain va imposer le nombre minimum d’éléments du réseau. L’antenne impriméeayant un gain voisin de 6dB, le tableau suivant montre l’évolution du gain en fonction dunombre d’éléments :
Nombre d’éléments 1 2 4 8 16 32Gain (dB) 6 9 12 15 18 21
Compte tenu des angles d’ouverture demandés dans les plan E (40°) et H (6°), le réseauqui doit comporter 32 éléments au minimum pour garantir un gain de 20 dB, sera décomposéen un réseau de 2 X 16 éléments : 2 éléments dans le plan E et 16 éléments dans le plan H.
III-3) Utilisation du logiciel de synthèse de réseau
Nous avons précisé le diagramme de rayonnement élémentaire, la distance entreéléments du réseau et le nombre d’éléments dans chaque plan. Nous pouvons maintenantutiliser le logiciel de synthèse afin de déterminer les amplitudes et phases à appliquer à chaqueélément pour obtenir le diagramme désiré.
Puisqu’il s’agit d’un rayonnement axial, nous attendons une phase identique sur chaqueélément du réseau. Par contre l’amplitude de l’excitation doit permettre d’abaisser les lobessecondaires jusqu’au niveau désiré.
La simulation donne les résultats suivants, dans le plan H, pour 16 éléments, alimentésde manière symétrique par rapport à l’origine (Figure XI-17) :
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-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90Téta
dB
N° des éléments Position des éléments amplitude phase1 0.35 λ0 1 02 1.05 λ0 0.93 03 1.75 λ0 0.82 04 2.45 λ0 0.68 05 3.15 λ0 0.53 06 3.85 λ0 0.39 07 4.55 λ0 0.25 08 5.25 λ0 0.19 0
Figure XI-17 : Résultat du logiciel de synthèse pour un réseau directif à 16éléments symétriques, avec abaissement des lobes secondaires.
III-4) La répartition de l’énergie entre les antennes élémentaires.
Cette répartition va se faire par l’utilisation de transformateurs quart d’onde qui vontpermettre d’ajuster chaque impédance d’antenne par rapport à la précédente. Considérons pourcommencer la répartition entre les éléments 7 et 8 situés à l’extrémité du réseau. Désignons parZc l’impédance caractéristique de la ligne de 1 mm que nous avons choisie pour amenerl’énergie. (Figure XI-18)
L’antenne 8 se comporte comme un élément passif de résistance d’entrée Z8 = ZA =276 Ω. Son impédance ramenée au niveau de l’antenne 7 vaut :
22c
2c
A8 ZZ
Z'Z = (XI-34)
Tout se passe comme si, au point d’alimentation de l’antenne 7, on avait deux antennesen parallèle : l’antenne 7 d’impédance ZA, et l’antenne 8 d’impédance ramenée Z’8.
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E7 E8
Z7 Z8
Zc Zc2 Zc
λg / 4 λg / 4 λg / 2
Figure XI-18 : Détail de l’alimentation du réseau
Par analogie avec des résistances en parallèles R7 et R’8 alimentées sous une mêmetension U, on en déduit le rapport des puissances rayonnées par chaque antenne en fonction deleur résistance d’entrée :
8
7
72
82
7
82
'RR
R/U'R/U
PP ===αααα (XI-35)
soit encore :
2c
22c
22c
2c
A
A2
ZZ
ZZ
Z
Z ==αααα (XI-36)
Or le coefficient α représente précisément la pondération en amplitude du champélectromagnétique que l’on doit appliquer à l’antenne 8 par rapport à l’antenne 7, rapport quiest donné par le résultat de la synthèse de réseau (XI-17) :
α = 0,19 / 0,25 = 0,76 et donc : Zc2 = Zc x 0,76 = 78,4 x 0,76 = 60 Ω
De cette impédance caractéristique, on déduit la largeur de ligne du transformateurquart d’onde : l = 1,6 mm.
La procédure un peu laborieuse décrite ci-dessus doit être répétée (en remplaçant Z8 parZ7 // Z’8 ……) de proche en proche jusqu’au premier élément du réseau afin de permettre lecalcul de chaque transformateur. Enfin, si nécessaire, il faudra adapter la partie réelle del’impédance du réseau à 50 Ω, la partie imaginaire étant en général ajustable à l’aide d’un stub.
III-5) Réalisation du réseau et mesures.
La première étape consiste à réaliser le réseau à une dimension. La figure (XI-19)représente une photo du masque et du réseau, sur lequel on distingue les 16 antennesélémentaires, la ligne d’alimentation, les transformateurs quart d’onde, et le stub qui, prévusuffisamment long, a été rogné jusqu’à l’annulation de la partie imaginaire de l’impédance.
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Figure XI-19 : Photo du masque et du réseau de 8 éléments destiné à former le lobedans le plan H.
La mesure du coefficient de réflexion permet de rendre compte de l’adaptation del’antenne, et de sa bande passante en adaptation. La contrainte d’une bande passante de 2% à –12 dB, centrée sur 12 Ghz, est encore très largement tenue sur la figure XI-20. Mais cela estnécessaire, car le réseau est incomplet, et la bande passante diminue lorsque le nombred’éléments augmente.
Figure XI-20 : Coefficient de réflexion du réseau aligné à 16 éléments.
On notera sur la figure XI-21 l’impédance à 12GHz qui est idéalement voisine de 50Ω.
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Figure XI-21 : Impédance d’entrée du réseau aligné de 16 éléments.
Enfin, une mesure du diagramme de rayonnement dans le plan H (Figure XI-22) vientconfirmer un angle d’ouverture proche de 6°, et des lobes secondaires inférieurs ou égaux à -30 dB.
Le réseau complet sera chevé en disposant deux branches de 16 éléments parallèles, eten prévoyant le dispositif d’alimentation adéquat pour ces deux branches.
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Figure XI-22 : Diagramme de rayonnement plan H du réseau aligné à 16 éléments.
