II. 10

B. Fonction du 1 er degré

Activité N°1

Le fils de mon voisin propose ses services pour des travaux de jardinage et demande 4 € l’heure ; le prix à

payer pour un travail est bien sûr fonction de la durée de celui-ci.

Etablis la formule ou équation mathématique qui donne le prix y à payer en € pour une intervention de x heures

( dans un premier temps, on ne tiendra pas compte des frais de déplacement ) complète le tableau des valeurs et trace le graphe cartésien de cette fonction.

Equation :

Fais de même dans le cas où il y a à payer des frais de déplacement s’élevant à 2 €

Equation :

Les grandeurs x et y sont-elles proportionnelles dans les deux cas évoqués ci-dessus ?

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

Activité N°2

Pour chacune des fonctions données ci-dessous par leur équation, fais un tableau de valeurs ( 4 ou 5 suffisent )

et établis leur graphique cartésien dans un repère orthonormé :

y ( € )

x

Durée du

travail ( h )

x

y ( € )

x ( exemplaires )

y ( prix en € )

x 0 1

f1 y = 2x

f2 y = 2x + 5

x

f3 y = 0,5x

f4 y = 0,5x - 4

II. 11

Constatations :

……………………………………………………… ………………………………………………………..

……………………………………………………… ………………………………………………………..

……………………………………………………… ………………………………………………………..

……………………………………………………… ………………………………………………………..

……………………………………………………… ………………………………………………………..

Y

X

0

1

1

Y

X

0

1

1

Y

X

0

1

1

Y

X

0

1

1

x 0 1

f5 y =

4

3x

f6 y =

4

3x + 4

x 0 1

f7 y =

3

1x

f8 y = 3

1x + 6

II. 12

Constatations :

……………………………………………………… ………………………………………………………..

……………………………………………………… ………………………………………………………..

……………………………………………………… ………………………………………………………..

……………………………………………………… ………………………………………………………..

……………………………………………………… ………………………………………………………..

Constatations :

……………………………………………………… ………………………………………………………..

……………………………………………………… ………………………………………………………..

……………………………………………………… ………………………………………………………..

……………………………………………………… ………………………………………………………..

……………………………………………………… ………………………………………………………..

x 0 1

f9 y = - x

f10 y = - x + 6

Y

X

0

1

1

X

Y

0

1

1

x 0 1

f11 y = -2x

f12 y = -2x - 5

II. 13

k = 0 k > 0 k < 0

Notions

Remarque préalable : certaines propriétés qui découlent directement des constatations faites dans les

activités précédantes , seront admises pour l’instant sans démonstrations

1. Fonctions du type y = k.x ( k réel constant )

P1 Le graphe cartésien de la fonction définie par y = k. x est la droite passant par l’origine du repère ( 0 , 0 ) et par le point de coordonnée ( 1 , k )

P2 Réciproquement , la droite passant par l’origine du repère et par le point de coordonnée ( 1 , k )

est le graphe d’une fonction qui est définie par l’équation y = k. x

x -2 -1 0 1 2 3 4

y = k . x -2k -k 0 k 2k 3k 4k

Lorsque y = k. x , on dit que les grandeurs y et x sont ( directement ) proportionnelles car l’une est

multiple fixe de l’autre : le rapport x

y = k est constant .

Le coefficient k qui est en fait le facteur de proportionnalité , est appelé coefficient angulaire de la droite

ou encore pente de la droite .

Lorsque le coefficient angulaire k est positif , y augmente de k unités lorsque x augmente de 1 unité et la droite

s’élève quand on s’y déplace dans le sens des x positifs ; on dit que la fonction y = k . x avec k > 0 est

croissante .

Lorsque le coefficient angulaire k est négatif , y diminue de | k | unités lorsque x augmente de 1 unité et la droite

descend quand on s’y déplace dans le sens des x positifs ; on dit que la fonction y = k . x avec k < 0 est

décroissante .

Lorsque le coefficient angulaire k est nul , y conserve toujours la même valeur 0 et la droite est l’axe X des

abscisses ; on dit que la fonction définie par y = 0 est constante .

. k

Y

1

1

( 0 , 0 )

k

k

X

y = k . x

( 1 , k )

Y

( 0 , 0 )

1

X 1

y = k . x

| k |

k ( 1 , k )

X

Y

y = 0

( 0 , 0 ) ( 1 , 0 )

II. 14

k = 0 k > 0 k < 0

k = 0 k > 0 k < 0

2. Fonctions du type y = k.x + t ( k et t réels

constants )

P3 Le graphe cartésien de la fonction définie par l’équation y = k. x + t est une droite ;

cette droite est la parallèle à celle d’équation y = k. x passant par le point de coordonnée ( 0 , t )

P4 Réciproquement , toute droite non parallèle à l’axe Y des ordonnées est le graphe d’une fonction

définie par une équation du type y = k. x + t

x -2 -1 0 1 2 3 4

y = k . x -2k -k 0 k 2k 3k 4k

y = k. x + t -2k + t -k + t t k + t 2k + t 3k + t 4k + t

t > 0

t < 0

+ t

X

Y

( 0 , 0 )

Y

X

y = k . x

( 0 , t )

y = k . x + t

t ( 0 , t )

X

y = k . x

( 0 , 0 )

y = k . x + t

t

( 0 , t )

Y

y = 0

( 0 , 0 ) ( 1 , 0 )

y = t

t

X

Y

y = 0 ( 0 , 0 )

y = k . x + t

( 0 , 0 )

Y

X

y = k . x

( 0 , t )

t

y = t

( 0 , t )

t

( 0 , t ) y = k . x

y = k . x + t

X

Y

( 0 , 0 )

t

II. 15

Vocabulaire : soit l’équation y = k . x + t d’une droite

L’ordonnée à l’origine t est l’ordonnée correspondant à x = 0 ; la droite coupe l’axe Y au point de

coordonnée ( 0 , t )

La fonction définie par y = k. x + t

est croissante ssi k > 0

est décroissante ssi k < 0

est constante ssi k = 0 ( droite d’équation y = t parallèle à l’axe X )

P4 Deux droites qui ont même coefficient angulaire sont parallèles

En effet , si A et B sont deux droites de même coefficient angulaire k :

A a une équation du type y = k.x + t et A est donc parallèle à la droite D d’équation y = k.x

B a une équation du type y = k.x + m et B est donc parallèle à la droite D d’équation y = k.x A et B , étant parallèles à D , sont parallèles entre elles .

P5 Deux droites parallèles entre elles (et non parallèles à l’axe des ordonnées*) , ont même

coefficient angulaire En effet , supposons que deux droites A d’équation y = k’.x + t et B d’équation y = k’’.x + m

soient parallèles entre elles ;

A est parallèle à la droite C d’équation y = k’. x passant par l’origine

B est parallèle à la droite D d’équation y = k’’. x passant par l’origine

Mais, comme A et B sont parallèles, C et D sont deux droites parallèles passant par l’origine et elles

sont donc confondues k’ = k’’

3. Equation d’une droite du plan

1er cas : envisageons une droite non parallèle aux axes du repère

D est le graphe cartésien d’une fonction définie par une équation du type y = k.x + t Exprime que les coordonnées des points a et b vérifient cette équation et déduis-en les valeurs de k et t :

1° Comment déterminer le coefficient angulaire et l’équation d’une droite passant par

deux points dont on donne les coordonnées dans le plan muni d’un repère ?

D

a ( 2 ,1 )

b ( 5 , 3 )

Y

X 0

1

1

équation ?

coefficient

angulaire ordonnée à

l’origine

II. 16

On a donc D …………………………………. L’équation de D peut aussi s’écrire sous une autre forme :

On a donc D ………………………………….

2eme cas : D X 3eme cas : D Y ( * )

D est le graphe cartésien de la fonction ………………

Définie par l’équation y = ……..

Le coefficient angulaire de D vaut …….

ex : A X par le point a ( -5 , 7 )

Y

X

D

a ( -1 , 2 ) b ( 3 , 2 )

Y

X

D

a ( 3 , -1 )

b ( 3 , 2 )

D est elle le graphe d’une fonction ? ………..

Justifie : …………………………………………………... …………………………………………………... Quelle est le point commun de tous les points de

D et d’eux seuls ? …………………………………………………… Déduis-en une équation qui caractérise D : D ………………..

La parallèle à l’axe Y des ordonnées et passant par le

point de coordonnée ( m , p ) aura pour équation

……..…….….. Ce n’est pas le graphe d’une fonction

Il n’existe pas de coefficient angulaire pour cette

droite

La parallèle à l’axe X des abscisses et passant par le

point de coordonnée ( m , p ) aura pour équation

……..…….…..

Le coefficient angulaire de cette droite vaut ……..

ex : B Y par le point b ( -5 , 7 )

B ………………………

0 1

1

0 1

1

II. 17

A ………………………

2° Détermination d’une formule qui donne le coefficient angulaire et l’équation d’une

droite non parallèle à l’axe Y des ordonnées passant par deux points

a ( xa , ya ) et b ( xb , yb )

Pour déterminer cette formule , il suffit de généraliser la méthode utilisée dans le 1er cas ci-dessus :

coeff. de D passant par a ( xa , ya ) et b ( xb , yb ) : k = =

l’équation cartésienne de D peut s’écrire : D ……………………………………………………………..

ex : D passant par a ( 2 , 4 ) et b ( 5 , -2) :

D y = k. x + t

a ( xa , ya )

b ( xb , yb )

Y

X 0

1

1 xa

ya

xb

yb

1

1

Y

X

0

II. 18

3° Forme générale de l’équation d’une droite du plan muni d’un repère :

D a x + b y + c = 0

Si a 0 et b 0

D a x + b y + c = 0

b y = - a x - c

y = - b

a x -

b

c

qui est l’équation d’une droite non parallèle aux

axes de coordonnées

Si a = 0 et b 0

D b y + c = 0

b y = - c

y = - b

c qui est l’équation d’une

droite parallèle à l’axe …………………………..

son coefficient angulaire vaut …………………..

Si b = 0 et a 0

D a x + c = 0

a x = - c

x = - a

c qui est l’équation d’une

droite parallèle à l’axe …………………………..

son coefficient angulaire ………………………..

où a et b sont des réels qui ne sont pas

tous les deux nuls

coeff. ang. Ordonnée à

l’origine.

Ex : D 4 x + 2 y - 5 = 0

Ex : D 2 y + 6 = 0

Ex : D 2 x - 3 = 0

II. 19

Problèmes classiques à savoir résoudre :

1. Comment déterminer le coeff et l’équation d’une droite passant par deux points dont on

donne les coordonnées a ( xa , ya ) et b ( xb , yb ) ? ( voir pages précédentes )

2. Comment déterminer le coeff et construire une droite dont on donne l’équation ? Si l’équation est de la forme y = k . x + t , on a de suite le coefficient angulaire k et pour construire la

droite , on pourra soit en déterminer 2 points , soit procéder comme au point 4 ci-dessous Si l’équation est de la forme a x + b y + c = 0 avec a 0 et b 0 , on pourra en déterminer 2 points

pour la construire et mettre l’équation sous la forme y = k . x + t pour déterminer le coeff. Si l’équation est de la forme a x + b y + c = 0 avec a = 0 ou b = 0 , la droite est parallèle à un des

axes de coordonnées et sa construction est immédiate ( voir p 28 ) ex : D x – 2 y + 4 = 0

3. Comment déterminer si un point donné appartient à une droite dont on donne l’équation ? En remplaçant dans l’équation de la droite x et y respectivement par l’abscisse et l’ordonnée du point ,

l’égalité doit être vérifiée ex : les points a ( 2 , 5 ) et b ( -3 , -2 ) appartiennent-ils à D 4x – 3y + 6 = 0 ?

4. Comment construire une droite dont on donne un point et le coefficient angulaire k ? On place le point donné et on utilise l’interprétation graphique du coefficient angulaire :

Si k > 0 , quand x augmente de 1 , y augmente de k, quand x augmente de 2 , y augmente de 2k etc..

Si k < 0 , quand x augmente de 1 , y diminue de | k | , quand x augmente de 2 , y diminue de 2 | k | etc..

Ex : A passant par a ( -1 , -3 ) et de coeff 2 B passant par b ( -2 , 4 ) et de coeff - 1,5

Y

1

1

X

0

Y

1

1

X

0

II. 20

Un peu d’Histoire...

Exercices

Ex1Détermine les graphes cartésiens et les zéros des fonctions suivantes a) xy 2 et 52 xy

b) xy2

1 et 4

2

1 xy

c) 62 xy ; en déduire les solutions des inéquations 062 x ; 062 x

062 x ; 062 x

d) x

y1

f ) x

y4

Ex2 On donne le graphe cartésien de la fonction xfy :

René Descartes : l’inventeur de la Géométrie Analytique

( sources : Espace Math 3 et encyclopédie Encarta 98 )

Philosophe , scientifique et mathématicien français né en 1596 en Touraine , fondateur du

rationalisme moderne

Descartes reçut, de 1607 à 1614, l'enseignement, décisif pour lui, des pères jésuites du Collège royal

de La Flèche : il méprisait les idées philosophiques des Anciens et de ses Maîtres et décida de

remodeler le monde de la pensée et des sciences.

Il reçut une formation de juriste en 1616. Tout jeune, il devint soldat au service de la Hollande, puis de la Bavière.

Grand voyageur, il parcourut la Hongrie, l’Allemagne, la Pologne, la Hollande , la Suisse , l’Italie … En mathématique, une de ses idées géniales fut de représenter les points du plan par des couples de nombres, les droites et les

courbes par des équations. En son honneur, le repère de référence reçu le nom de « repère cartésien »

Ainsi, il inventait la Géométrie Analytique , sorte de fusion entre la géométrie et l’algèbre, qui fournira de base au

développement futur des mathématiques ( Newton , Leibniz …) En optique, il découvrit la loi de la réfraction et ouvrit la voie à la théorie ondulatoire de la lumière. Fuyant la vie mondaine de Paris, il s’exila en Hollande, où il resta une vingtaine d’années. En 1637, il y publia son célèbre

« Discours de la Méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences» , synthèse de sa pensée

philosophique . Descartes passe parfois pour le fondateur de la philosophie moderne. Dans le langage quotidien ,un

«raisonnement cartésien» est identifié à un raisonnement clair , précis , rationnel . A la fin de sa vie, il accepta de partir en Suède pour devenir le précepteur de la jeune reine Christine. Une méchante grippe

due au froid nordique l’emporta , à Stockholm, en 1650.

X

Y

0 1

1

II. 21

Détermine : a) 5f ………. 5f ……… 3f ………

b) xxf 2 ……………………………………………………………..

c) Les zéros de la fonction

Résous d) 0xf ………………………………………………………………………..

e) 0xf ……………………………………………………………………….. i) 0xf ……………………………………………………………………….. j) 0xf ………………………………………………………………………..

EX3 Deux piétons marchent dans la même direction à vitesse constante ;

A part du km 3 à 0h et fait du 4 km/h ; B part du km 0 à 2h et fait du 6 km/h .

a) Détermine les équations du mouvement de A et B

b) Où B se trouve-t-il à 4h25min ?

c) Quelle est l’heure d’arrivée de A au km 30 ?

d) A et B se rencontrent-ils et si oui à quel endroit et à quelle heure ?

EX4 Voici le graphe cartésien de la fonction f : R R : x y = 4x³-9x

a) Détermine algébriquement et vérifie graphiquement si possible :

1f ………. 2f ………. 50,f …………………………………..….

X

Y y = 4x³-9x

II. 22

b) Quels sont les zéros de la fonction ? …………………………………………………...

Vérifie cela algébriquement ( verso )

c) Résous graphiquement

094 3 xx : …………………………………………………………………………………..

094 3 xx : …………………………………………………………………………………..

d) Combien y a-t-il de réels dont l’image vaut 5 ? …………..

Peux-tu donner des valeurs approchées de ces réels ? ………………………………………………..

Détermine algébriquement les valeurs exactes de ces réels :

EX5 Quelles sont parmi les fonctions définies par les équations suivantes celles dont le graphe cartésien est une droite ?

1) 43 xy

2) xy 75,0

3) 52 xy 4)

xy

5

2

5) 12

5 xy

6) 3y

7) 22xy

8) xy + 4

9) 231 xy

10) xy 31 11)

5

810

xy

12) 5y

13) xxy 23 2

14) xy 2

15) xy 2

16) 01232 yx

Pour celles dont le graphe cartésien est une droite : détermine le coefficient angulaire et les intersections

avec les axes , dis s’il s’agit de fonctions croissantes , décroissantes ou constantes et trace le graphe cartésien

de la manière la plus économique possible . Parmi ces droites , y en a-t-il qui sont parallèles ? Lesquelles ?

EX6 Voici une série d’équations de droites et une série de graphes cartésiens : associe à chaque équation le

graphe correspondant : D1 0y D2 632 yx D3 xy 5

D4 15 xy D5 032 yx D6 3x

D7 12 xy D8 yx 5,0 D9 105 x

II. 23

EX7 Parmi les droites ci-dessous, quelles sont celles qui sont parallèles ? Justifie !

A passant par a ( 3 , 4 ) et de coefficient angulaire 3

2 F 0632 yx

B passant par les points de coordonnées ( 0 , 0 ) et ( 2 , -3 ) G 0564 yx C passant par les points de coordonnées ( 0 , 0 ) et ( -3 , 2 ) D coupant X en ( -3 , 0 ) et Y en ( 0 , -2 ) E passant par les points a ( 1 , 2 ) et b ( 7 , -2 )

EX9 Détermine les équations de : D1 passant par ( 0 , 0 ) et ( 1 , 4 ) D2 passant par ( 0 , 0 ) et ( 2 , -6 ) D3 parallèle à D1 et d’ordonnée à l’origine –1 D4 parallèle à D2 et passant par le point de coordonnée ( 2 , -1 ) D5 de coefficient angulaire 0,5 et coupant X en ( -6 , 0 ) D6 passant par a( -1 , -3 ) et b( 5 , 7 )

EX8

II. 24 D7 parallèle à D6 et passant par le point de coordonnée ( 0 , -3 ) D8 parallèle à A 2x –4 y +7 = 0 par (-4 , 1 ) D9 passant par a( -4 , 6 ) et b( 45 , 6 ) D10 parallèle à Y par a( -4 , 6 )

Les points a(-3 , 4 ) , b ( 2 , -1 ) et c ( 5 , -6 ) appartiennent-ils aux droites d’équations

D1 632 yx D2 01043 yx D3 0145 yx ?

EX10 Construis de façon économique les droites dont on donne les équations :

D1 32 xy D5 02 yx

D2 042 yx D6 05x

D3 0932 yx D7 0843 yx

D4 025 y

II. 25