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IFT1575 Modles de recherche oprationnelle (RO)

2. Programmation linaire

a. Modlisation

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2. Programmation linaire 2

Programmation linaire (PL)

Problme classique de planification : affecter desressources limites plusieurs activits concurrentes

Programme = Plan (solution de ce problme)

Programmation mathmatique (RO) Programmationinformatique Fonction linaire: fonction dans laquelle chaque variable

volue linairement

f(x1, x2, , xn) = c1 x1 + c2x2+ + cnxn Modle de PL = Modle de programmation mathmatique

dans lequel toutes les fonctions sont linaires

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2. Programmation linaire 3

Exemple dun modle de PL

Donnes du problme (Wyndor Glass, sec. 3.1 H&L): Deux types de produits (produit 1, produit 2) Trois usines (usine 1, usine 2, usine 3) Capacit de production pour chaque usine (par semaine) Profit par lot (20 units) de chaque produit

50003000Profit($)/lot

1823Usine 3

1220Usine 2

401Usine 1

Capacit deproduction (h)

Produit 2 (tpsde production,

h/lot)

Produit 1 (tpsde production,

h/lot)

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2. Programmation linaire 4

Exemple dun modle de PL (suite)

Chaque lot du produit 1 (2) est le rsultat combinde la production aux usines 1 et 3 (2 et 3) nonc du problme: Dterminer le taux de

production pour chaque produit (nombre delots/semaine) de faon maximiser le profit total

Variables de dcision: x1 = nombre de lots du produit 1 x2 = nombre de lots du produit 2

Fonction objectif: Z = profit total Z= 3 x1+ 5 x2 (profit total en milliers de $) Maximiser Z

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2. Programmation linaire 5

Exemple dun modle de PL (suite)

Contraintes de capacit de production x1 4 (usine 1) 2 x2 12 (usine 2) 3 x1+ 2 x2 18 (usine 3)

Contraintes de non ngativit x1 0, x2 0 (nombre dunits produites 0)

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2. Programmation linaire 6

Exemple dun modle de PL (suite)

MaximiserZ= 3 x1+ 5 x2

sous les contraintes:x1 4 (usine 1)

2x2 12 (usine 2)3x1+ 2x2 18 (usine 3)x10, x20 (contraintes de non ngativit)

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2. Programmation linaire 7

Rsolution graphique

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2. Programmation linaire 8

Rsolution graphique (suite)

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2. Programmation linaire 9

Mthode graphique

Tracer les droites correspondant aux contraintes Dterminer le domaine ralisable en vrifiant le sens

des ingalits pour chaque contrainte Tracer les droites correspondant la variation de

lobjectif Dans lexemple:Z= 3x1+ 5x2 x2= -(3/5) x1+ (1/5) Z

Ordonne lorigine (dpend de la valeur de Z): (1/5) Z Pente: - 3/5 Maximiser: augmenter Z

Faire cet exemple avec le IOR Tutorial

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2. Programmation linaire 10

Mthode graphique (suite)

Autre exemple dans le OR Tutor Voir aussi Worked Exampleschap. 3 (CD) Uniquement pour les modles deux variables Plus de deux variables: mthode du simplexe Logiciels proposant la mthode du simplexe:

Excel Solver

LINDO (CD) CPLEX (CD)

Problme Wyndor Glassavec Excel Solver

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2. Programmation linaire 11

Excel Solver: conseils dutilisation

Entrer dabord les donnes Les identifier clairement avec des noms dintervalles Entrer chaque donne dans une seule cellule (ne pas

rpter la mme donne dans plusieurs formules) Utiliser des couleurs et des bordures pour distinguer

les diffrents types de cellules: Cellules donnes Cellules variables Cellules rsultats Cellule cible (objectif)

Lire sec. 3.6 (H&L) et chap. 21 (CD)

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2. Programmation linaire 12

Modle gnral de PL

m ressources (3 usines) nactivits (2 produits) Niveau de lactivitj(taux de production du produitj): xj

Mesure de performance globale (profit total): Z Accroissement de Zrsultant de laugmentation dune

unit du niveau de lactivitj: cj Quantit disponible de la ressource i: b

i Quantit de ressource iconsomme par lactivitj: aij

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2. Programmation linaire 13

Modle gnral de PL (suite)

ObjectifMaximiser Z = c1 x1 + c2x2+ + cnxn

Contraintes fonctionnelles

a11x1+ a12x2 + + a1nxn b1a21x1+ a22x2 + + a2nxn b2

am1x1+ am2x2 + + amnxn

bm Contraintes de non ngativit

x1 0, x 2 0, , x n 0

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2. Programmation linaire 14

Modle gnral de PL (suite)

On appelle ce modle forme standard Dautres formes sont possibles et dfinissent aussi

des modles de PL Minimiser au lieu de Maximiser: min f(x)= - max f(x) , = dans certaines contraintes fonctionnelles au lieu de Certaines variables peuvent ne pas tre forces tre 0

x -4 x + 4 0

dfinir y = x + 4, y 0 -10 x -2 0 x + 10 8

dfinir y = x + 10, y 0

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2. Programmation linaire 15

Terminologie de base en PL

Solution ralisable: solution pour laquelle toutes lescontraintes sont satisfaites: domaine ralisable Solution non ralisable: solution pour laquelle au

moins une contrainte est viole: domaine ralisable Solution optimale: solution ayant la meilleure valeur

possible de lobjectif Modle nayant aucune solution optimale:

Domaine ralisable vide Objectif non born

Modle ayant une infinit de solutions optimales

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2. Programmation linaire 16

Domaine ralisable vide

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2. Programmation linaire 17

Objectif non born

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2. Programmation linaire 18

Infinit de solutions optimales

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2. Programmation linaire 19

Interprtation gomtrique

Point extrme du domaine ralisable : solutionralisable correspondant un coin du domaineralisable

En deux dimensions, un coin est la rencontre de deux

droites (ou plus) dfinies par les frontires descontraintes

Thorme: Supposons quun modle de PL a un

domaine ralisable non vide et born; alors il existeau moins une solution optimale correspondant unpoint extrme du domaine ralisable

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2. Programmation linaire 20

Points extrmes