identification simultan©e des param¨tres de rigidit©s et d'amortissements des plaques isotropes

École Nationale Supérieur d’Arct et Métiers École doctorale de l’UTT

N : 2008-UTT-xxxx

T H È S E

pour obtenir le grade de

DOCTEURde

L’UNIVERSITÉ DE TECHNOLOGIE DE TROYES

Spécialité : Systèmes Mécaniques et Matériaux

présentée et soutenue publiquement

par

The Vinh TRAN

le 15 décembre 2008

IDENTIFICATION DU COMPORTEMENT DES MATÉRIAUX MÉTALLIQUES

AU DELÀ DE LEUR LIMITE D’ÉLASTICITÉ PAR LA

MÉTHODE DES CHAMPS VIRTUELS

Directeur de thèse : Fabrice PIERRON

Codirecteur de thèse : Stéphane AVRIL

Jury :

M. Jean-Louis CHABOCHE Directeur de recherche à l’ONERA PrésidentM. Rodolphe LE RICHE Chargé de recherches au CNRS, HDR, ENSM, Saint-Étienne RapporteurM. Laurent TABOUROT Professeur à l’ESIA, Annecy RapporteurM. Stéphane AVRIL Maître Assistant HDR, ENSM, Saint-Étienne ExaminateurM. Michel GREDIAC Professeur, Université Blaise Pascal Clermont II ExaminateurM. Fabrice PIERRON Professeur, ENSAM Châlons en Champagne Examinateur

Laboratoire de Mécanique et Procédés de Fabrication

ENSAM, CER de Châlons-en-Champagne

L’ENSAM est un Grand Établissement dépendant du Ministère de l’Éducation Nationale, composé de huit centres :AIX-EN-PROVENCE ANGERS BORDEAUX CHÂLONS-EN-CHAMPAGNE CLUNY LILLE METZ PARIS

À ma fille Khanh Ngoc Jade

ma femme et toute ma famille au Vietnam . . .

Remerciements

Les travaux de cette thèse ont été effectués au Laboratoire de Mécanique et Procédés

de Fabrication de l’École Nationale Supérieure d’Arts et Métiers, CER de Châlons-en-

Champagne. Le support financier de la Région Champagne-Ardenne et ainsi que les condi-

tions offertes par la direction du centre de L’ENSAM de Châlons-en-Champagne m’ont

permis d’effectuer cette thèse dans d’excellentes conditions.

A l’issue de la rédaction de cette recherche, je suis convaincue que la thèse est loin d’être

un travail solitaire. En effet, je n’aurais jamais pu réaliser ce travail doctoral sans le

soutien d’un grand nombre de personnes. Je commencerai donc ce document en adressant

quelques remerciements.

En premier lieu, je tiens à remercier mon directeur de thèse, Monsieur Fabrice PIERRON,

Professeur des Universités au centre Arts et Métiers Paristech de Châlons-en-Champagne,

pour la confiance qu’il m’a accordée en acceptant d’encadrer ce travail doctoral, pour ses

multiples conseils et pour toutes les heures qu’il a consacrées à diriger cette recherche.

Je souhaiterais exprimer ma gratitude à mon co-directeur de thèse, Monsieur Stéphane

AVRIL, Maître Assistant à l’École des Mines de Saint-Étienne, pour toute l’aide qu’il a pu

m’apporter, tout le temps qu’il a pu me consacrer, tout le savoir qu’il a pu me transmettre,

et surtout tout le soutien qu’il a pu m’apporter. Ce fut un immense plaisir pour moi de

travailler ces quelques années avec lui, années pendant lesquelles j’ai beaucoup appris,

autant d’un point de vue scientifique que relationnel. J’aimerais également lui dire à quel

point j’ai apprécié ses qualités humaines d’écoute et de compréhension.

Je considère comme un grand honneur que Monsieur Jean-Louis CHABOCHE, Directeur

de recherche à l’ Office National d’Etudes et de Recherches Aérospatiales, pour avoir

accepté de participer à ce jury de thèse et de le présider. Je voudrais donc le remercier

vivement.

Je sais infiniment gré aux Messieurs Rodolphe LE RICHE, Chargé de recherche au CNRS,

habilité à diriger les recherches à l’Ecole des Mines de Saint-Étienne, et Laurent TABOU-

5

ROT, Professeur à l’Ecole Supérieure d’Ingénieurs d’Annecy, pour avoir accepté de juger

ce manuscrit et pour leurs deux rapports élogieux.

Je remercie également Monsieur Michel GREDIAC, Professeur à l’Université Blaise Pascal

Clermont II, pour sa présence très appréciée en tant qu’examinateur.

Je tiens également à remercier quelques personnes pour leur aide sur des aspects précis

de ce travail :

– Madame Laurence FOUILLAND-PAILLÉ Maître de Conférences au centre Arts et Mé-

tiers Paristech de Châlons-en-Champagne, pour son aide sur les aspects matériaux et

observation micrographique ;

– Monsieur René ROTINAT, Maître de Conférences au centre Arts et Métiers Paristech

de Châlons-en-Champagne, pour la mise en place de moyens expérimentaux ;

– Monsieur Cédric PERSON , respectivement Assistant Ingénieur et Technicien au centre

Arts et Métiers Paristech de Châlons-en-Champagne, pour son aide technique au quo-

tidien.

Mes remerciements vont également à l’ensemble des membres du Laboratoire de Mé-

canique et Procédés de Fabrication (LMPF-ENSAM Châlons-en-Champagne) pour leur

soutien logistique et moral ainsi que pour la très bonne ambiance que j’ai toujours trouvée

au centre. Je souhaite témoigner mon amitié a tous les collaborateurs avec qui j’ai passé de

formidables moments au laboratoire et en dehors : José, Régine, Patrick, Alain, Edoardo,

Raphaël, Jin, Ibrahim, Benjamin, Sylvain, Nathanael, Cédric, Guillaume et surtout Bao-

qiao GUO pour ses nombreux conseils et le soutien qu’il m’a apporté tout au long de ces

trois années.

Je voudrais aussi remercier l’Ecole doctorale de l’Université de Technologies de Troyes où

j’ai fait mes inscriptions universitaires. Je remercie particulièrement à madame Isabelle

LECLERCQ pour les moyens qu’elle a mis en œuvre afin de faciliter mes inscriptions.

Ma reconnaissance va à ceux qui ont plus particulièrement assuré le soutien affectif de ce

travail doctoral : ma famille ainsi que la famille MARCHI. Un grand merci à Geneviève et

Paul MARCHI pour leur soutien affectif sans faille. Enfin, je remercie ma mère qui pense

toujours à moi, ainsi que mon père, mon frère et ma belle-sœur pour leur soutien. Merci

également à ma petite famille que j’ai fondé au cours de cette thèse. Un grand merci à

ma femme, Thuy pour sa patience et sa compréhension ainsi qu’à ma fille, Khanh Ngoc

qui m’a donné une grande bouffée d’oxygène.

Table des matières

1 Position du problème - revue bibliographique 1

1.1 Revue bibliographique des essais mécaniques sur matériaux . . . . . . . . . 2

1.2 Revue des méthodes de mesure de champs cinématiques . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Techniques de mesure non interférométriques . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1.1 Méthodes utilisant un motif périodique . . . . . . . . . . . 5

1.2.1.2 Méthodes utilisant un motif aléatoire . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Techniques de mesure interférométriques . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2.1 Interférométrie sur réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2.2 Interférométrie de speckle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 Bilan des méthodes de mesure de champs cinématiques . . . . . . . 11

1.2.4 Reconstruction des champs cinématiques à partir des données me-

surées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.4.1 Reconstruction par approximation polynomiale . . . . . . 14

1.2.4.2 Reconstruction par approximation éléments finis . . . . . . 15

1.2.4.3 Reconstruction par approximation diffuse . . . . . . . . . 15

1.2.4.4 Conclusions sur les approches abordées . . . . . . . . . . . 16

1.3 Revue bibliographique des méthodes de résolution de problèmes inverses . 16

1.3.1 Présentation du problème inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1.1 Définition du problème direct en élastoplasticité . . . . . . 17

1.3.1.2 Définition du problème inverse en élastoplasticité . . . . . 17

1.3.2 Présentation des méthodes de résolution du problème inverse . . . . 19

1.3.2.1 Méthode du recalage par éléments finis . . . . . . . . . . . 19

1.3.2.2 Méthode de l’erreur en relation de comportement . . . . . 21

1.3.2.3 Méthode de l’écart à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.2.4 Méthode de l’écart à la réciprocité . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.2.5 Méthode des champs virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4 Conclusion du chapitre et position du problème . . . . . . . . . . . . . . . 25

I

2 Le comportement mécanique des matériaux métalliques au-delà de leur

limite d’élasticité 27

2.1 Formulation générale des lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.1 Le potentiel thermodynamique et les lois d’état . . . . . . . . . . . 28

2.1.2 Les lois complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Modélisation des lois de comportement élastoplastiques . . . . . . . . . . . 29

2.2.1 Elasticité linéaire isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.2 Elastoplasticité avec écrouissage cinématique et isotrope combinés . 31

2.2.2.1 Elastoplasticité avec écrouissage cinématique et isotrope

combinésPotentiel thermodynamique . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2.2 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Relation incrémentale entre contrainte et déformation totale en élastoplas-

ticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.1 Hypothèse des contraintes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.2 Le cas de l’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.3 Le cas de l’élastoplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.4 Détermination de la matrice tangente [M ] . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Méthode des champs virtuels en élastoplasticité 41

3.1 La méthode de champs virtuels existante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.1 Mise en œuvre de MCV en élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.2 La mise en œuvre de MCV en plasticité . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 MCV par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.1 Principe de reconstruction des champs réels et de construction des

champs virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.2 Nouvelle formulation de la méthode des champs virtuels basée sur

les champs par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.2.1 Application à l’identification de paramètres élastiques . . . 49

3.2.2.2 Application à l’identification de paramètres plastiques . . 51

3.3 Nouveaux développements apportés à la MCV en élastoplasticité . . . . . . 52

3.3.1 Procédure d’identification générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3.1.1 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3.1.2 Résolution de problème inverse . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.2 Procédure de sélection des champs virtuels optimisés en plasticité . 55

3.3.2.1 L’erreur sur la fonction coût en présence de bruit de me-

sure en élastoplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.2.2 Choix des champs virtuels optimisés en élastoplasticité . . 56

II

3.3.3 Implantation de la méthode de Newton-Raphson dans la procédure

de minimisation de la fonction coût . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3.4 Procédure d’intégration pour le calcul des contraintes en plasticité . 61

3.3.5 Extension aux lois de comportements élastoplastiques avec écrouis-

sage cinématique et chargements non monotones . . . . . . . . . . . 65

3.3.6 Conclusion sur la MCV en élastoplasticité . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Validation numérique des nouveaux développements apportés à la MCV

en plasticité 67

4.1 Présentation de l’essai modélisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Simulation de l’essai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3 Validation de la nouvelle approche de calcul des contraintes . . . . . . . . . 69

4.4 Vérification de la faisabilité de la géométrie de l’éprouvette pour l’identi-

fication des paramètres d’écrouissage cinématique combiné à l’écrouissage

isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5 Validation de l’algorithme de Newton-Raphson pour minimiser la fonction

coût . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.6 Validation du choix des champs virtuels optimaux en plasticité . . . . . . . 75

4.6.1 Validation du choix des champs virtuels optimaux avec les données

numériques sans bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.6.2 Validation du choix des champs virtuels optimaux avec les données

numériques bruitées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.6.2.1 Pas de grille simulée de 0,2 mm . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.6.2.2 Pas de grille simulée de 0,1 mm . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.7 Conclusions du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5 Validation expérimentale de la MCV appliquée à l’identification de lois

de comportement élastoplastiques 83

5.1 Présentation du matériau testé pour la validation expérimentale . . . . . . 84

5.1.1 Tôle d’acier inoxydable austénitique X2CrNiMo17-12-2 (316L) . . . 84

5.1.2 Caractérisation de la réponse mécanique en traction et compression

uni-axiale par essai normalisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.1.3 Choix d’un modèle de comportement permettant de reproduire la

réponse mécanique en traction et compression uniaxiale . . . . . . . 89

5.1.3.1 Ecrouissage isotrope linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1.3.2 Ecrouissage isotrope exponentiel . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1.3.3 Ecrouissage cinématique linéaire . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1.3.4 Ecrouissage cinématique non linéaire . . . . . . . . . . . . 91

III

5.1.3.5 Améliorations du modèle d’écrouissage cinématique non

linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.1.3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2 Description des essais hétérogènes et méthodes de mesure . . . . . . . . . . 95

5.2.1 Forme des éprouvettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2.2 Montage mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2.3 Méthode de mesure de champs cinématiques . . . . . . . . . . . . . 96

5.2.3.1 Principe de la méthode de la grille . . . . . . . . . . . . . 96

5.2.3.2 Mise en œuvre de la méthode de grille . . . . . . . . . . . 100

5.2.4 Reconstruction par une approximation éléments finis du champ des

déplacements et du champ des déformations à partir des déplace-

ments mesurés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.3 Résultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.3.1 Identification des paramètres élastoplastiques pour la première phase

de chargement (traction monotone) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.3.1.1 Identification des paramètres élastiques en traction . . . . 111

5.3.1.2 Identification des paramètres plastiques dans la phase de

traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3.1.3 Discussion des résultats identifiés en traction . . . . . . . 114

5.3.1.4 Conclusions des résultats obtenus pour la première phase

de chargement (traction) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.3.2 Identification des paramètres élastoplastiques en traction suivie d’une

compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.3.2.1 Identification des paramètres élastiques . . . . . . . . . . . 124

5.3.2.2 Identification des paramètres plastiques pour le modèle

ECNL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.3.2.3 Discussion des résultats identifiés . . . . . . . . . . . . . . 127

5.3.2.4 Conclusions des résultats obtenus du modèle ECNL1 . . . 135

5.3.3 Tentative d’amélioration du modèle d’écrouissage cinématique non

linéaire ECNL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.3.4 Conclusions du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6 Conclusion générale 143

A Annexe 147

A.1 Biais dû au bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

A.2 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

IV

B Annexe 151

B.1 Méthodes à direction de descente classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

B.1.1 Méthodes de recherche du pas d’arrête tk . . . . . . . . . . . . . . . 152

B.1.1.1 Méthode des itérations à pas variable . . . . . . . . . . . . 153

B.1.1.2 Méthode d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

B.1.2 Méthodes du gradient pour la recherche de la direction de descente dk153

B.1.2.1 Méthode de la plus grande de pente . . . . . . . . . . . . 154

B.1.2.2 Méthodes de gradient conjugué . . . . . . . . . . . . . . . 154

B.1.2.3 Méthodes Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

B.1.2.4 Méthodes quasi-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

B.1.2.5 Méthode de Gauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

B.1.3 Méthodes de descente classiques pour PNL avec contraintes . . . . 157

B.2 Méthodes d’ordre 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

B.2.1 Méthodes de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

B.2.2 Méthodes du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

B.2.3 Méthodes génétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

B.3 Conclusion sur les méthodes abordées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

B.3.1 Méthodes à direction de descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

B.3.2 Méthodes d’ordre 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

B.3.3 Méthodes hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

C Annexe 165

C.1 Développement du logiciel Camfit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

C.2 Présentation du logiciel Camfit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

C.2.1 Préprocesseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

C.2.2 Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

C.2.3 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

C.2.4 PostProcessor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

C.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Bibliographie 173

V

Liste des tableaux

1.1 Comparaison de performances des méthodes de mesure des champs [39]. . . 12

1.2 Comparaison entre le problème direct et le problème inverse. . . . . . . . . 18

4.1 Paramètres identifiés pour les différents cas de chargement. . . . . . . . . . 73

4.2 Étude de convergence de l’identification en fonction des points de départ. . 73

4.3 Les différents champs virtuels ont été testés pour l’identification (axes x et

y présentés dans la figure 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4 Paramètres élastiques identifiés par la MCV en fonction de la taille du

maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.5 Comparaison des résultats obtenus entre les différents champs virtuels avec

bruit d’écart-type 0,2 µm et taille de maillage 0,5 mm (pas de grille 0,2 mm). 78






bruits d’écart-type 0,5 µm et taille de maillage 0,7 mm (pas de grille 0,1

mm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


bruits d’écart-type 0,5 µm et taille de maillage 1,3 mm (pas de grille 0,1

mm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


bruit d’écart-type 1 µm et taille de maillage 1,3 mm. . . . . . . . . . . . . 81


bruit d’écart-type 1 µm et taille de maillage 1,7 mm. . . . . . . . . . . . . 81

5.1 Composition chimique (hormis le fer) de la tôle 316L. . . . . . . . . . . . . 84

5.2 Paramètres élastiques identifiés à partir des courbes contrainte-déformation

issues des essais normalisés (coefficient de variation noté C.V.) . . . . . . . 89

VII

5.3 Paramètres plastiques identifiés pour le modèle de Voce à partir des courbes

contrainte-déformation issues des essais normalisés selon la DP. . . . . . . . 91

5.4 Paramètres plastiques identifiés pour le modèle cinématique non linéaire

ECNL1 à partir des courbes contrainte-déformation issues des essais nor-

malisés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.5 Paramètres plastiques identifiés pour le modèle ECNL4 à partir des courbes

contrainte-déformation issues des essais normalisés. . . . . . . . . . . . . . 93

5.6 Paramètres plastiques identifiés pour le modèle ECNL5 à partir des courbes

contrainte-déformation issues des essais normalisés. . . . . . . . . . . . . . 94

5.7 Paramètres élastiques identifiés par la MCV en fonction de la taille du

maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.8 Paramètres plastiques du modèle de Voce identifiés par la MCV en fonction

de la taille du maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.9 Jeux de paramètres ayant servi à initier la procédure d’optimisation. . . . . 117

5.10 Comparaison des résultats obtenus avec différents champs virtuels (taille

de maillage de 1,3 mm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.11 Paramètres plastiques du modèle de Voce identifiés par la MCV en fonction

du nombre d’étapes choisi dans la fonction coût. . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.12 Paramètres plastiques du modèle CNL1 identifiés par la MCV en fonction

de la taille du maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.13 Jeux de paramètres ayant servi à initier la procédure d’optimisation pour

le modèle ECNL1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.14 Paramètres plastiques du modèle ECNL1 identifiés par la MCV en fonction

du champ virtuel utilisé avec taille de maillage 1,3 mm. . . . . . . . . . . . 131

5.15 Influence de la valeur de prédéformation totale à la fin de la première phase

de chargement (traction) pour l’identification des paramètres du modèle

ECNL1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.16 Paramètres plastiques identifiés pour le modèle ECNL5 avec hypothèse de

connaissance apriori du paramètre B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

VIII

Table des figures

1.1 Revue de quelques approches d’identification utilisant des essais mécaniques

statiquement indéterminés et des mesures de champs :(a) [11, 12, 28, 29] ;

(b) [30] ; (c) [31] ; (d) [13, 19, 32] ; (e) [33] ; (f) [27] ; (g) [34, 35] ; (h)[24]. . . 3

1.2 Types de motifs utilisé pour réaliser des mesures de champs cinématiques. . 5

1.3 Vue du dispositif expérimental pour un essai de flexion/cisaillement sur

composite verre époxyde [28]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Vue du dispositif expérimental pour un essai de vibrations forcées sur plaque

en PMMA [43]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Principe de la profilométrie par projection de grille. . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Imagette répétée à l’état initial et à l’état final [45]. . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Photographie de speckle (granularité laser) [61]. . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8 Mesure quantitative des déplacements dans le plan par interférométrie de

speckle. Principe du montage expérimental [61] . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.9 Schéma de principe de la technique de recalage (d’après [14]). . . . . . . . 20

2.1 Surface de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1 Essai de flexion cisaillement appliqué sur un matériau composite verre-

époxyde [28]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Schéma de l’évolution de la surface de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3 Diagramme de la nouvelle procédure d’identification. . . . . . . . . . . . . 66

4.1 Géométrie de l’éprouvette de traction plane bi-entaillée de 2 mm d’épais-

seur. Les dimensions sont en mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2 Modèle éléments finis de l’essai de traction sur éprouvette bi-entaillée (élé-

ments PLANE182). La zone d’étude utilisée pour l’identification comporte

7200 éléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3 Schéma de chargement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

IX

4.4 Comparaison entre les contraintes calculées par la nouvelle approche de

calcul des contraintes à partir des déformations directement issues du calcul

par Ansys avec les contraintes directement issues d’Ansys. . . . . . . . . . 72

4.5 Courbes de niveaux de la fonction coût autour des valeurs de référence avec

les chargements 1 et 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.6 Comparaison des paramètres plastiques identifiés par les différents champs

virtuels en fonction de la taille du maillage (sans bruit). . . . . . . . . . . . 77


virtuels en fonction de la taille du maillage avec bruits d’écart-type 0,5 µm. 80


virtuels en fonction de la taille du maillage avec bruit d’écart-type 1 µm. . 82

5.1 Microstructure d’un échantillon de tôle. La photo (a) ne montre pas d’orien-

tation privilégiée des grains dans le plan de la tôle, tandis que dans l’épais-

seur (b) et (c), les grains sont légèrement écrasés en raison du procédé de

laminage. (x est la direction de laminage ; y est la direction perpendiculaire

à la direction de laminage ; z est l’épaisseur de la tôle). . . . . . . . . . . . 85

5.2 Dimensions des éprouvettes des essais normalisés (en mm). . . . . . . . . . 87

5.3 Courbes contrainte-déformation issues des essais normalisés dans les deux

directions de la tôle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.4 Comparaison entre réponses expérimentales et réponses prévues par diffé-

rents modèles : (a) modèle EIL, (b) modèle EIE, (c) modèle ECL, (d) mo-

dèle ECNL1, (e) modèle ECNL2, (f) modèle ECNL3, (g) modèle ECNL4,

(h) modèle ECNL5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.5 Géométrie de l’éprouvette de traction plane bi-entaillée de 3 mm d’épaisseur

(dimensions en mm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.6 Dispositif expérimental : éprouvette en traction-compression (distance entre

les mors égale à 60 mm) munie d’une grille de pas 100 µm. . . . . . . . . . 101

5.7 Comparaison entre la déformation longitudinale fournie par la jauge sur

une surface et celle fournie par la mesure de champ sur l’autre face. . . . . 105

5.8 Distributions d’écarts entre deux mesures successives pour une charge nulle,

lissage par éléments finis avec un maillage de taille 13 pixels, et différences

entre les deux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.9 Reconstruction de la déformation à partir des écarts de la figure 5.8 lissés

afin d’estimer la résolution en déformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.10 Champs de déplacement mesurés en fonction du niveau de charge. . . . . . 108

X

5.11 Champs de déformation reconstruits à partir de la mesure en fonction du

niveau de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.12 Champs de déformation continus reconstruits à partir de la mesure en fonc-

tion du niveau de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.13 Courbe contrainte moyenne en fonction de la déformation moyenne au cours

d’un des essais réalisés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.14 (a) Maillage utilisé dans la mesure à l’état initial. (b) Champ virtuel opti-

misé pour l’identification du coefficient de Poisson. . . . . . . . . . . . . . 112

5.15 Superposition du faisceau de courbes uniaxiales issues des essais homogènes

et des courbes calculées à partir de la moyenne des paramètres identifiés

sur six essais hétérogènes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.16 Comparaison entre le travail virtuel intérieur et le travail virtuel extérieur

le long de l’essai (travail par unité d’épaisseur). . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.17 Courbes de niveaux de la fonction coût autour des valeurs de références

pour un essai avec CVOP1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118


pour un essai avec CVC5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.19 Champs de contrainte reconstruits en fonction du niveau de charge. . . . . 122

5.20 Champs de contrainte équivalente de Von Mises et champs de contraintes

principales reconstruits, représentés en fonction du niveau de charge. . . . 123

5.21 Positionnement des points matériels de l’éprouvette dans l’espace des contraintes

principales en fonction du niveau de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.22 Courbe contrainte moyenne en fonction de déformation moyenne tout au

long d’un des essais réalisés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125



par la MCV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.24 Comparaison entre le travail virtuel intérieur et le travail virtuel extérieur

le long de l’essai (travail par unité d’épaisseur). . . . . . . . . . . . . . . . 128


pour un des essais réalisés avec CVOP1 et CVC5. . . . . . . . . . . . . . . 129

5.26 Comparaison entre les courbes σ/ε calculées à partir des valeurs de para-

mètres identifiés avec les champs virtuels CVOP1, CVC2 et CVC3, et la

réponse expérimentale d’un des essais normalisés. . . . . . . . . . . . . . . 131

5.27 Champs virtuels optimisés CVOP1 en fonction du niveau de charge. . . . . 132

5.28 Champs de contrainte reconstruits en fonction du niveau de charge. . . . . 136

XI

5.29 Champs de contrainte équivalente de Von Mises et champs de contraintes

principales reconstruits, représentés en fonction du niveau de charge. . . . 137

5.30 Positionnement des points matériels de l’éprouvette dans l’espace des contraintes

principales en fonction du niveau de charge. (a) : première phase de char-

gement ; (b) : deuxième phase de chargement . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.31 Comparaison des champs de contrainte obtenus avec le modèle ECNL1 en

traction et des champs de contrainte obtenus avec le modèle de Voce. . . . 139



pour le modèle ECNL5 sur six essais hétérogènes (avec hypothèse d’un

paramètre connu). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

C.1 Interface graphique de la routine « Preprocessor ». . . . . . . . . . . . . . . 170

C.2 Interface graphique de la routine « Fitting ». . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

C.3 Interface graphique de la routine « Identification ». . . . . . . . . . . . . . 171

XII

La caractérisation mécanique des matériaux métalliques au-delà de leur limite d’élasti-

cité est de plus en plus au cœur des préoccupations des laboratoires travaillant dans le

domaine de la fabrication mécanique. En effet, les procédés d’usinage, d’emboutissage ou

de forgeage ont maintenant recours systématiquement à la simulation numérique pour

mettre en place une gamme de fabrication. Cela demande une connaissance précise de

la loi de comportement des matériaux travaillés afin de représenter les comportements,

reliant les causes et les effets des phénomènes mécaniques étudiés (dans le cadre de notre

étude, nous nous sommes limités au cas de petites déformations, déformation < 10%).

Pour caractériser cette loi, l’idée est de choisir un modèle adéquat puis d’identifier les

paramètres régissant ce modèle à partir d’essais mécaniques appropriés.

Cette identification se fait classiquement à partir de courbes globales force-déplacement

obtenues dans des essais mécaniques, dits « statiquement déterminés » [1–3] pour lesquels

la répartition spatiale du champ de contrainte est connue a priori dans la partie utile des

éprouvettes testées (traction simple, cisaillement simple. . . ). Cette approche est tout à fait

justifiée pour les matériaux homogènes, soumis à un chargement mécanique connu. Tou-

tefois, les modèles de comportement anélastiques étant complexes [4], cette méthodologie

peut s’avérer très lourde à mettre en place. De plus, elle ne permet pas de caractériser

le comportement de matériaux hétérogènes ou anisotropes ou encore des phénomènes de

localisation comme la striction [1–3], la fissuration [5, 6] . . . Ainsi des essais plus élaborés,

statiquement indéterminés, utilisant le même type d’instrumentation, ont été proposés

dans la littérature pour arriver à identifier plus de paramètres en une seule fois [7–10].

L’avènement des mesures optiques de champ a ouvert la voie à l’utilisation d’essais mé-

caniques encore plus complexes (statiquement indéterminés) menant à des champs ci-

nématiques hétérogènes qui contiennent beaucoup plus d’informations que les simples

mesures extensométriques classiques. Ces mesures permettent de développer des essais

statiquement indéterminés qui engendrent des champs de contraintes hétérogènes mul-

tidirectionnels dans la structure étudiée. Cela permet alors d’impliquer dans la réponse

mécanique un maximum de paramètres constitutifs de la loi de comportement du maté-

riau. La mesure des champs cinématiques rend possible l’identification de l’ensemble de

ces paramètres à partir d’un essai unique [11–13]. Néanmoins, le traitement des données

doit recourir à une identification inverse puisque le champ de contrainte n’est pas connu

a priori. Pour traiter ce problème, il est nécessaire de mettre en œuvre des techniques

de résolution adaptées. De telles techniques existent dans la littérature, on peut citer :

méthode du recalage par éléments finis [14], méthode de l’erreur en relation de comporte-

ment [15], méthode de l’écart à l’équilibre [16, 17], méthode de l’écart à la réciprocité [18]

ou encore la méthode de champs virtuels [19]. La méthode des champs virtuels (MCV)

est un outil de choix pour la résolution de ce type de problème inverse car elle permet

XIII

d’identifier des paramètres de comportement à partir de champs cinématiques en assurant

robustesse et efficacité [20–22].

La MCV est le fruit d’un travail de recherche riche d’au moins quinze ans d’études. Elle

a déjà été appliquée avec succès pour identifier les paramètres de lois de comportement

élastiques linéaires (voir chapitre 3), et élastoplastiques avec écrouissage isotrope linéaire

et exponentiel, en utilisant des données simulées [23] puis expérimentales [22, 24]. La

première étude apportait un fondement théorique à la MCV pour pouvoir traiter l’élas-

toplasticité [23]. Ensuite, la MCV a été appliquée expérimentalement. Plusieurs essais de

traction ont été réalisés sur deux types d’éprouvette plane, les champs cinématiques étant

mesurés par la méthode de grille. Le premier type d’éprouvette avait une section lente-

ment variable ce qui a permis de supposer un état de contrainte quasiment uniaxial en

première approximation. Cette application a été choisie pour valider la MCV et la mesure

de champ sur un cas plus facile à traiter. Elle a conduit à l’identification de six paramètres

pilotant la loi de comportement élastoplastique (critère de Von Mises, loi d’écoulement de

Prager, écrouissage isotrope non linéaire) coïncidant avec les valeurs de référence [24]. Le

deuxième type d’éprouvette est une éprouvette avec deux entailles circulaires engendrant

un état de contrainte plane multiaxial. Les mesures réalisées avec la méthode de grille ont

été traitées avec la MCV, conduisant cette fois-ci à l’identification de quatre paramètres de

la loi de comportement élastoplastique (critère de Von Mises, loi d’écoulement de Prager,

écrouissage isotrope linéaire) coïncidant avec les valeurs de référence [22].

Ces études précédentes ont été limitées à des lois de comportement avec un faible nombre

de paramètres à identifier. Cette limitation s’explique par des questions de robustesse de

la MCV, qui n’avait pas encore pu être résolues. La possibilité de pouvoir traiter des

situations plus complexes a donc été la principale motivation de cette thèse. L’objectif

de ce travail est de rendre la MCV plus robuste dans le cadre de l’identification de lois

de comportement élastoplastiques, et de l’étendre à des modèles plus complexes. Cette

thèse repose donc principalement sur des travaux effectués antérieurement au Laboratoire

de Mécanique et Procédés de Fabrication (LMPF, Arts et Métiers Paris Tech), travaux

auxquels elle apporte des compléments et des améliorations.

Afin de présenter ce travail, le mémoire est composé de 6 chapitres.

– Le chapitre 1 présente d’abord une revue bibliographique des essais mécaniques ap-

pliqués à la caractérisation des matériaux élastoplastiques, une revue bibliographique

des méthodes optiques de mesure de champs cinématiques, puis une revue bibliogra-

phique des méthodes inverses permettant d’extraire des paramètres pilotant une loi de

comportement à partir de données expérimentales.

– Le chapitre 2 présente une formulation générale des lois de comportement mécanique

XIV

qui seront considérées dans les chapitres ultérieurs.

– Le chapitre 3 présente en détails la MCV appliquée à l’identification des paramètres

de lois de comportement d’abord simplement linéaires élastiques, puis élastoplastiques

ainsi que les nouveaux développements apportés à la MCV en plasticité.

– Le chapitre 4 porte sur la validation numérique des nouveaux développements apportés

à la MCV en élastoplasticité décrits dans le chapitre 3.

– Le chapitre 5 est consacré à la mise en œuvre expérimentale de la nouvelle procédure

d’identification par la MCV décrite dans le chapitre 3 et validée numériquement dans

le chapitre 4.

Le manuscrit se termine par une conclusion sur la méthode et les résultats obtenus et offre

quelques perspectives sur les développements à venir.

XV

Chapitre 1

Position du problème - revue

bibliographique

La mécanique expérimentale des solides a pour objectifs, entre autres, d’alimenter en

paramètres les modèles mathématiques qui permettent de prévoir la réponse d’un matériau

ou d’une structure à une sollicitation donnée. L’atteinte de cet objectif est basée sur les

trois étapes suivantes :

– le choix d’essais adaptés permettant d’exercer des sollicitations de manière contrôlée et

d’impliquer dans la réponse mécanique les paramètres constitutifs de la loi de compor-

tement du matériau ;

– le choix d’une technique de mesure permettant d’observer des réponses mécaniques

durant l’essai et d’enregistrer ces réponses sous différentes formes ;

– le choix d’une technique de résolution de problème inverse lorsque cela est nécessaire

(essais statiquement indéterminés) pour extraire les paramètres recherchés à partir des

réponses enregistrées.

Ce premier chapitre présente une revue de la littérature concernant les trois points précé-

dents : essais mécaniques, méthodes de mesure (fondées sur l’extensométrie de champs)

et méthodes de résolution de problèmes inverses.

1

2 Chapitre 1

1.1 Revue bibliographique des essais mécaniques sur

matériaux

L’identification de paramètres pilotant des lois de comportement repose sur la réalisation

d’essais mécaniques adaptés aux lois étudiées. En général, plusieurs essais mécaniques

simples, où le champ de contraintes est supposé uniforme ou connu analytiquement, per-

mettent d’identifier les paramètres inconnus [25]. Cependant, ces essais, dits statiquement

déterminés, présentent plusieurs limites :

– dans le cas des matériaux anisotropes, il est nécessaire de réaliser plusieurs essais. Il

conduit à un accroissement de la dispersion des résultats provenant à la fois de la

dispersion des propriétés du matériau dans un même lot et des erreurs de mesure [26] ;

– leur mise en œuvre est soumise à des conditions très strictes (voir normes qui régissent

ces essais : norme française AFNOR NF EN 10002-1 à 10002-5, norme américaine ASTM

E8M-96, ou norme internationale ISO 6892). Par exemple, concernant l’essai de traction

simple sur éprouvette axisymétrique, l’alignement des axes d’amarrage de l’éprouvette

doit être contrôlé pour assurer une sollicitation de traction pure et éviter tout autre

effet ;

– ils ne permettent pas toujours d’activer tous les paramètres des lois de comportement,

et lorsqu’ils le peuvent, ils nécessitent souvent le recours à plusieurs types d’essai [27].

Afin de pallier aux limites des essais statiquement déterminés, des essais dits statiquement

indéterminés sont étudiés. Ils mènent généralement à des états de contrainte dont la

répartition dans l’éprouvette n’est pas uniforme, et ne vérifie pas non plus de loi analytique

simple. Pour ces essais, la distribution des contraintes dans l’éprouvette est donc inconnue

a priori. Dans ce cas, l’inconvénient est que l’essai est difficile à interpréter, puisque l’écart

entre le modèle et l’expérience ne peut pas être visualisé simplement sur une courbe

contrainte-déformation. En revanche, la réponse contient d’avantage d’informations que

celle des essais statiquement déterminés. Si la forme de l’éprouvette et les sollicitations

sont choisies astucieusement en fonction du comportement étudié, la réponse implique

l’ensemble des paramètres recherchés. Reste à séparer les différentes contributions de ces

paramètres dans la réponse. Cela est plus facile si cette réponse est enregistrée sous forme

de champs, avec une grande quantité de points de mesures. Déjà, plusieurs études ont

été basées sur ce type d’approche avec essais statiquement indéterminés et mesure de la

réponse sous forme de champs. Un certain nombre de références sont récapitulées dans le

tableau 1.1.

Revue bibliographique 3

Loi comportement

identifiée

(a)

Essai flexion/cisaillement

d’Iosipescu

- Elasticité linéaire

orthotrope ;

- loi d’endommagement

d’un matériau composite

(b)

Essai de compression d’un

anneau.


anisotrope

(c)

Essai de traction d’une

plaque trouée.


anisotrope

(d)

Essai de flexion sur une

plaque.


anisotrope

(e)

Essai de traction biaxiale.


anisotrope.

- Elastoplasticité.

(f)

Essai de traction sur une

éprouvette plane, entaillée

en son milieu


(g)

Eprouvette planes de

traction bi-entaillée.

- Elastoplasticité

(h)

Eprouvette planes de

traction bi-entaillée.


Figure 1.1: Revue de quelques approches d’identification utilisant des essais mécaniques

statiquement indéterminés et des mesures de champs :(a) [11, 12, 28, 29] ; (b) [30] ; (c)

[31] ; (d) [13, 19, 32] ; (e) [33] ; (f) [27] ; (g) [34, 35] ; (h)[24].

4 Chapitre 1

1.2 Revue des méthodes de mesure de champs cinéma-

tiques

Introduction

L’application des méthodes de mesure de champs cinématiques à la caractérisation mé-

canique des matériaux s’est beaucoup développée depuis une dizaine années, grâce à la

diminution du coût des ordinateurs, à la diminution du coût de l’acquisition vidéo (ca-

méras CCD numériques), et à l’augmentation des puissances de traitement informatique.

Ces méthodes de mesure de champs permettent d’avoir accès à toute une cartographie de

grandeurs comme le relief, les déplacements, les déformations, les pentes, les courbures

etc. . . Elles apportent de grands avantages à la mécanique expérimentale : possibilité de

réaliser des essais mécaniques dans des conditions ne vérifiant plus les hypothèses de

Saint-Venant [36], possibilité d’identifier plusieurs paramètres d’une loi de comportement

au cours d’un essai unique [13], possibilité d’identifier le comportement des composants

d’une structure en service de manière non destructive [37], possibilité d’étudier expéri-

mentalement des phénomènes de localisation en plasticité [38], etc. . .

Une grande variété de techniques existe [39, 40]. La nature du mesurande (déplacement,

élévation, pente) permet déjà de distinguer les techniques non interférométriques et les

techniques interférométriques. Dans les premières, le mesurande est codé dans la variation

spatiale d’une intensité lumineuse. Les secondes utilisent la phase d’une onde lumineuse

cohérente pour coder la quantité mesurée.

L’objet des deux paragraphes suivants est de présenter brièvement les principales mé-

thodes permettant de mesurer des champs de déplacement sans rentrer trop dans les

détails techniques. Le premier paragraphe traite des techniques non interférométriques,

le second paragraphe traite des techniques interférométriques. Enfin, le troisième para-

graphe est consacré à la reconstruction des champs cinématiques à partir des mesures

expérimentales, car les différentes techniques présentées fournissent en réalité un grand

nombre de données réparties de manière dense sur une zone d’étude, mais pas le champ

stricto sensu. Nous verrons les difficultés soulevées lors de la phase de reconstruction, et

les méthodes disponibles pour les traiter.

1.2.1 Techniques de mesure non interférométriques

Nous présentons ici des méthodes qui utilisent l’image d’un objet acquise par une caméra

en différents instants pour mesurer sur la surface de cet objet un champ cinématique


(déplacement, élévation, pente). Le principe de base de toutes ces méthodes est de suivre

les déplacements d’un motif grâce à une caméra par des méthodes de traitement d’images,

puis de relier celui-ci au mesurande. La nature du motif distingue deux types de méthodes :

des méthodes utilisant un motif périodique et des méthodes utilisant un motif aléatoire

(figure 1.2).

Figure 1.2: Types de motifs utilisé pour réaliser des mesures de champs cinématiques.

1.2.1.1 Méthodes utilisant un motif périodique

Ces méthodes utilisent un même motif qui se répète de manière périodique le long de

la surface à étudier (lignes unidirectionnelles ou croisées de traits noirs sur fond blanc

appelées porteuse). Cette grille ou motif peut être obtenu par différentes techniques, soit

par transfert d’un réseau sur la surface analysée, soit par projection de franges ou ré-

flexion de grille à distance. Le principe de toutes ces méthodes est le même. A cause des

chargements appliqués, mais aussi du système optique, l’image que l’on a de la grille par

la caméra est déformée. La grille initiale non déformée sert de référence. L’objectif est de

déterminer à chaque instant quel est le point de cette grille de référence qui est observé

par chaque pixel. En un pixel donné, la distance qui sépare le point observé à l’état initial

et à l’état final peut être reliée au mesurande par des relations simples consistant en la

démodulation de la phase présente dans les images d’intensité. Ce principe sera détaillé

au chapitre 6 qui est consacré à la présentation des résultats expérimentaux. Parmi les

méthodes utilisant un motif périodique, on distingue : la méthode de la grille qui mesure

des champs de déplacement plan ; la méthode de réflexion de grille (ou déflectométrie)

qui mesure des pentes ; la méthode de projection de grille (ou projection de franges) qui

mesure des champs d’élévation [39, 40].

6 Chapitre 1

Méthode de la grille pour la mesure de champs de déplacement plan

Dans cette technique, la grille peut être collée, gravée, imprimée, ou déposée par des

procédés photolithographiques sur la surface d’un échantillon [41]. On suppose que la

grille suit fidèlement les déplacements et les déformations du substrat sur lequel elle est

déposée. A partir d’algorithmes de démodulation de phase, les composantes ux(x, y) et

uy(x, y) du champ de déplacement sont calculées au travers des différences de phase entre

l’état initial et l’état final :

ux(x, y) = −

p

2πφx(x, y)

uy(x, y) = −p

2πφy(x, y)

(1.1)

où p est le pas de la grille et φx et φy sont les différences de phase entre l’état initial

et l’état final respectivement suivant les directions horizontale et verticale.

Figure 1.3: Vue du dispositif expérimental pour un essai de flexion/cisaillement sur com-

posite verre époxyde [28].

La méthode de grille a été utilisée avec succès pour des mesures à une échelle macrosco-

pique afin de mesurer les champs de déplacements d’un matériau composite [28] et pour

mesurer les champs de déplacements d’un acier doux [24] ou encore pour la mesure des

champs de déplacements d’un acier doux à l’échelle microscopique [42].

Méthode de réflexion de grille pour la mesure de champs de pentes

Dans cette technique [43], la grille de référence est collée, déposée ou gravée sur une

surface observée par réflexion sur l’échantillon. L’échantillon doit pour cela posséder une

surface suffisamment réfléchissante (type miroir). Lorsque l’échantillon fléchit sous l’effet

d’un chargement appliqué, deux phénomènes sont présents localement : la flèche varie, et

la pente locale est modifiée. Si la variation de la flèche reste faible devant la distance entre


l’échantillon et la grille, l’effet très largement prépondérant est la variation de pente. Pour

mesurer les champs de pentes, la technique se base sur l’analyse de l’image de la grille qui

se réfléchit sur la surface de l’échantillon. Un exemple de dispositif expérimental complet

utilisant la méthode de réflexion de grille est présenté sur la figure 1.4.

Grille

Flash

Potélectrodynamique

Montaged’excitation

CaméraCCD

Plaqueen essai

Figure 1.4: Vue du dispositif expérimental pour un essai de vibrations forcées sur plaque

en PMMA [43].

Méthode de projection de grille pour la mesure de champs d’élévations

Dans cette technique, la grille de référence est projetée sur la surface d’une plaque à

étudier en utilisant un système d’éclairage avec des traits alternativement clairs et sombres.

Lorsque la plaque avance ou recule en direction de la caméra, par exemple sous l’effet d’un

chargement, l’image de la grille projetée sur l’objet étudié est déplacée. Par une analyse des

variations de phase, si la direction d’observation est perpendiculaire à la surface observée

dans son état initial, le vecteur mesuré est égal à l’élévation ou au déplacement hors plan

projeté sur la grille de référence parallèlement à la direction des traits d’illumination [39,

40]. L’élévation est calculée par la relation suivante :

uz(−→R ) =

p

2πtanθφ(

−→R ) (1.2)

où : p est le pas de la grille, φ est la différence de phase entre l’état initial et l’état final,

θ est l’angle de projection.

1.2.1.2 Méthodes utilisant un motif aléatoire

Les méthodes utilisant un motif aléatoire mesurent les déplacements par corrélation d’image

numérique [44]. Pour mettre en œuvre ces méthodes, il est nécessaire d’avoir à l’état initial

8 Chapitre 1

Figure 1.5: Principe de la profilométrie par projection de grille.

une surface de référence codée par un motif aléatoire. Le motif peut être obtenu soit par

un dépôt de peinture projetée formant un « mouchetis » à la surface de la pièce étudiée,

soit en illuminant la surface avec un laser (granularité). Le motif peut aussi exister natu-

rellement sur la surface à condition qu’elle soit suffisamment texturée et qu’il puisse être

mis en évidence par la méthode d’imagerie retenue.

Corrélation d’images

La corrélation d’images numériques mesure le champ de déplacement entre deux images

correspondant à deux états de déformation d’un objet. À l’état initial, le capteur (CCD

par exemple) reçoit une intensité lumineuse (ou toute donnée équivalente) Ii provenant

d’un point de coordonnées (x, y) (Fig. 1.5a). À l’état final, cette intensité est devenu If .

On définit alors une fonctionnelle de corrélation :

C(u, v) =

∫

S

[Ii(x, y) − If (x− u(x, y), y − v(x, y))]2 dS (1.3)

où u(x, y) et v(x, y) sont les deux composantes du déplacement plan du point de coordon-

nées (x, y) de la surface considérée. En minimisant de manière numérique la fonctionnelle

de corrélation, on peut déterminer ces deux composantes (la valeur « vraie » du dépla-

cement est celle pour laquelle C(u, v) est nulle, au bruit de mesure près). Cela se fait en

décomposant les champs d’intensités lumineuses en régions d’intérêt ou « imagettes » sur

lesquelles l’algorithme de corrélation est appliqué. On détermine ainsi les composantes

du déplacement moyen pour chaque sous-image, généralement carrées de taille petite par

rapport à l’image totale [45] (figure 1.6).

Les techniques de corrélation d’images sont appliquées pour la mesure de champs de dé-

placement 2D sur des surfaces planes [46–48]. Concernant le dernier cas [48], la corrélation


Figure 1.6: Imagette répétée à l’état initial et à l’état final [45].

d’images n’est pas réalisée par sous-imagettes, mais de manière globale sur l’ensemble de

l’image avec une approche éléments finis. De plus, ces techniques peuvent être étendues

à l’étude des déplacements 3D d’une surface (stéréocorrélation avec l’utilisation de deux

caméras par exemple [49–52]) voire à la mesure cinématique dans le volume d’un matériau

(par exemple à l’aide de mesures en tomographie [53]).

1.2.2 Techniques de mesure interférométriques

Les mesures par interférométrie reposent sur l’analyse de franges d’interférences. Une

source de lumière cohérente, de type laser, est utilisée pour éclairer la surface étudiée,

et les déplacements ou les déformations sont obtenus en mesurant la différence de phase

des franges d’interférence entre les ondes lumineuses relatives à un état initial et à un

état déformé. Il existe deux familles de techniques en mécanique expérimentale [39, 40] :

l’interférométrie de speckle (ESPI : electronic speckle pattern interferometry) et l’interfé-

rométrie sur réseau (IR), autrement dit l’interférométrie de moiré. Ces deux techniques

mesurent les déplacements dans le plan ou hors plan. Les deux techniques sont brièvement

présentées dans les paragraphes qui suivent.

1.2.2.1 Interférométrie sur réseau

L’interférométrie sur réseau (IR) [54, 55] repose sur les propriétés de diffraction de lumière

sur un réseau en relief solidaire de la surface analysée. La surface est éclairée par deux

faisceaux laser d’angles incidents opposés par rapport à un plan normal à la surface

de l’échantillon. À cause des chargements appliqués, la surface se déforme, des franges

d’interférence apparaissent et leur écartement permet de calculer un déplacement par

démodulation de phase.

10 Chapitre 1

Le moiré interférométrique présente une forte résolution spatiale et, associé à un algo-

rithme de démodulation de phase, permet d’obtenir de très faibles déplacements. En re-

vanche, cette méthode est très délicate à mettre en œuvre du fait de sa grande sensibilité

aux vibrations et autres perturbations atmosphériques. Le moiré interférométrique a été

utilisé, par exemple dans les applications micrométriques pour détecter les hétérogénéités

de déformation de polycristaux dans le domaine plastique [56, 57].

1.2.2.2 Interférométrie de speckle

Cette technique a été inventée dans les années 1970 pour pallier aux insuffisances de l’holo-

graphie dans le domaine de l’interférométrie en ce qui concerne le milieu d’enregistrement

(en général des plaques et films argentiques puis des films thermoplastiques). Contrai-

rement à l’interférométrie holographique classique, l’interférométrie de speckle permet

l’utilisation de caméras CCD pour calculer et visualiser le champ des déplacements d’un

objet diffusant. Elle s’est notamment développée en Grande-Bretagne avec [58, 59]. Lors-

qu’on éclaire une surface par une source laser on observe une figure de diffraction d’aspect

granulaire appelée « speckle » qui est reliée à la rugosité de la surface (figure 1.7). Une

utilisation de ce phénomène pour la mesure de déplacement d’une surface est la technique

dite « d’interférométrie de speckle » [59] ou « d’electronic speckle pattern interferome-

try » (ESPI) [60] ou de « TV holographie » ou bien encore, de manière plus rigoureuse,

« d’interférométrie en lumière diffuse ».

Figure 1.7: Photographie de speckle (granularité laser) [61].

Il existe des montages de mesure de déplacement dans le plan [62] et d’autres de mesure de

déplacement hors-plan [63]. Si on éclaire l’objet simultanément par deux faisceaux lasers

symétriques, les deux figures de speckle interfèrent (figure 1.8). Elles sont superposées à

la surface de l’objet en l’absence de déplacement. En présence d’un déplacement dans le

plan, les deux figures de speckle sur l’objet se décalent de la même quantité. Le traitement


des franges mesure le champ de déplacement. Lorsqu’on s’intéresse aux déplacements hors-

plan, ces derniers peuvent être isolés par un éclairage normal à la surface.

Figure 1.8: Mesure quantitative des déplacements dans le plan par interférométrie de

speckle. Principe du montage expérimental [61]

.

1.2.3 Bilan des méthodes de mesure de champs cinématiques

La présente étude s’intéresse à la caractérisation mécanique des matériaux métalliques

dans le domaine élastoplastique. Pour cela, des éprouvettes planes sont utilisées, l’hypo-

thèse des petites perturbations est généralement respectée et les champs de contraintes

présentent des hétérogénéités marquées. Pour l’étude choisie, les performances des dif-

férentes méthodes de mesure de champs qui viennent d’être présentées sont évaluées en

fonction de plusieurs critères.

La résolution spatiale : c’est la plus petite distance séparant deux mesures indépen-

dantes. Il n’existe pas de méthode normalisée permettant d’évaluer la résolution spatiale

d’une technique. Toutefois, il est conseillé de fournir une valeur de résolution spatiale à

toute mesure de champ de déformation.

Le nombre de mesures indépendantes : c’est le rapport entre la taille du champ et

la résolution spatiale. Plus ce rapport est élevé, mieux l’hétérogénéité des déformations à

l’échelle d’observation choisie pourra être appréhendée.

12 Chapitre 1

La résolution : c’est la plus petite valeur du mesurande qu’il est possible de détecter

en dehors du bruit. Elle peut être évaluée en faisant deux mesures consécutives sur une

surface sans déformer celle-ci. Le champ mesuré devrait être nul, mais le bruit de mesure

apparaît. Si chaque point de mesure donne une valeur indépendante de celle de son voisin,

l’écart-type de l’ensemble des valeurs sur le champ est considéré comme la résolution de

la méthode de mesure.

La résolution en déformation : c’est la plus petite valeur qu’il est possible de détecter

en dehors du bruit après dérivation de déplacement mesuré. Elle dépend à la fois de la

technique de dérivation utilisée et de la résolution de la mesure.

En général, pour une méthode donnée, la résolution et la résolution spatiale varient de

manière inverse. Par exemple pour la technique de grille dans le plan, on peut amélio-

rer la résolution en utilisant l’information contenue sur plusieurs périodes. Par contre,

la résolution spatiale sera dégradée [20, 21]. On peut alors juger la performance d’une

méthode en rapportant la résolution en déformation au nombre de points de mesure de

déformation indépendants sur tout le champ. Plus ce paramètre est petit, plus la méthode

sera considérée comme performante pour le type d’application considéré. Un tableau com-

parant les performances des méthodes géométriques à codage périodique, des méthodes

géométriques à codage aléatoire et des méthodes interférométriques montre que plus la

méthode est difficile à mettre en œuvre, plus sa performance sera grande [39, 40].

méthodes géométriques méthodes géométriques méthodes

codage aléatoire codage périodique interférométriques

performance - -+ ++

simplicité ++ + -

coût – - +

Tableau 1.1: Comparaison de performances des méthodes de mesure des champs [39].

Le choix de l’une ou l’autre des méthodes de mesure de champ dépend d’abord de l’ap-

plication envisagée puis du coût, de la facilité de mise en œuvre, de la taille du champ de

mesure, ou encore des performances. Dans le cadre de l’identification du comportement

élastoplastique des métaux, il est nécessaire de mesurer des déformations de l’ordre de

10−4 pour identifier les paramètres élastiques ainsi que détecter l’apparition de la plasti-

cité. Les essais envisagés sont des essais de traction-compression sur éprouvette de faible

épaisseur en supposant un état de contrainte plane. Une méthode de mesure de champ

permettant de mesurer le champ de déplacements plans conviendrait tout à fait. On cite

trois méthodes assez couramment utilisées qui satisfont aux exigences de notre étude : la

corrélation d’images 2D, l’interférométrie de speckle ou la méthode de grille.


Compte tenu par ailleurs de l’expérience acquise par le laboratoire dans la mise en œuvre

des méthodes de mesures de champs, la méthode de grille a été retenue pour la mesure de

champs de déplacement dans cette étude.

1.2.4 Reconstruction des champs cinématiques à partir des don-

nées mesurées

Le développement important des mesures de champs de déplacement présentées précédem-

ment offre de nombreuses perspectives en terme d’identification en mécanique du solide.

En ce sens le groupe de recherche (GDR) CNRS 2519 « Mesures de champs et identifi-

cation en mécanique des solides » a été créé le 1er janvier 2003 pour les activités liées

au développement des techniques de mesure de champs ainsi que de l’identification de

propriétés mécaniques de matériaux à partir de ces mesures [64].

Les essais et les méthodes doivent s’adapter à cette nouvelle richesse des mesures. Tou-

tefois, les différentes techniques présentées précédemment fournissent en réalité un grand

nombre de données réparties de manière dense sur une zone d’étude (sous forme de ma-

trices), mais le champ n’est pas mesuré stricto sensu. Il est nécessaire d’interpoler ou

d’approximer les valeurs du champ entre les points de mesure. Dans ce cas, lors de cette

phase de reconstruction des champs de déplacement et de déformation, la résolution spa-

tiale de la technique de mesure utilisée devient un point crucial, puisque l’information

nécessaire à la caractérisation d’un phénomène particulier, ou nécessaire à l’identification,

peut être filtrée faute de résolution spatiale suffisante.

De plus, l’information mécaniquement pertinente qui intéresse plus particulièrement le

mécanicien est la déformation, plus que le déplacement. Il est donc nécessaire d’obte-

nir ces déformations à partir des mesures, ce qui nécessite d’estimer numériquement le

gradient de données espacées et surtout bruitées. En effet, les données fournies par les

méthodes optiques présentées précédemment sous toujours entachées d’un bruit blanc,

principalement dû à la numérisation et au capteur CCD (nous ne considérons pas ici

les cas de modèles optiques et géométriques inappropriés ou imprécis). La présence du

bruit dans les mesures complique les opérations de reconstruction et de différentiation des

champs [65–67], ce qui se répercute in fine sur les résultats d’identification [21].

L’objectif de la reconstruction est donc de reconstituer les champs cinématiques en tout

point à partir de la matrice des mesures et de traiter les erreurs dues au bruit de me-

sure. Pour cela, plusieurs approches existent, parmi lesquelles deux sont présentées dans

les paragraphes qui suivent : l’une globale s’appuyant sur des approximations de type

polynômiales ou éléments finis et l’autre locale s’appuyant sur l’approximation diffuse.

14 Chapitre 1

1.2.4.1 Reconstruction par approximation polynomiale

Principe : présentée dans [24, 30], cette approche consiste à utiliser a priori une hypothèse

de régularité suffisante de la forme globale du champ de déplacement pour le projeter sur

une base de polynômes. La différentiation pour obtenir les champs de déformation peut

alors se faire de manière analytique sur le champ projeté. On écrit :

Px(x, y) =

N∑

i=0

N∑

j=0

aijxiyj (1.4)

Py(x, y) =N∑

i=0

N∑

j=0

bijxiyj (1.5)

Les champs de déplacement expérimentaux ux, uy sont approximés par deux polynômes

Px, Py de degré N définis par les coefficients aij et bij . Les coefficients aij et bij sont calculés

par régression au sens des moindres carrés. Cela revient à minimiser les résidus suivants :

R2x =

1

pq

[∑

q

∑

p

w(xp, yq)[Px(xp, yq) − ux(xp, yq)]2

]

R2y =

1

pq

[∑

q

∑

p

w(xp, yq)[Py(xp, yq) − uy(xp, yq)]2

] (1.6)

où (xp, yq) sont les coordonnées des pixels et w(xp, yq) est une fonction de pondération.

La minimisation est réalisée deux fois. La première fois, la fonction de pondération est

nulle là où les données sont manquantes et vaut un partout ailleurs. Les résidus de cette

première estimation sont alors calculés et la fonction de pondération est mise à zéro lors

de la deuxième minimisation pour tous les pixels où l’écart est supérieur à deux ou trois

fois le résidu moyen lors de la deuxième itération [24].

Propriétés : le paramètre important de la procédure est le choix du degré du polynôme

utilisé, car les résultats d’identification ultérieurs sont sensibles à ce paramètre [24].

Avantages et inconvénients : il est possible de donner un poids différent aux pixels

suivant qu’ils correspondent à un point où la mesure est fortement bruitée ou un point

où le bruit est faible. De plus, la méthode permet d’interpoler les valeurs du déplace-

ment pour les pixels où les données sont perdues. Toutefois, le caractère global est apparu

problématique puisque la recherche d’une reconstruction précise en une partie de la zone

d’intérêt, obtenue par augmentation du degré des polynômes utilisés, a tendance à dégra-

der la reconstruction dans les parties voisines. Des oscillations ont été constatées quand

on augmente le degré [68].


1.2.4.2 Reconstruction par approximation éléments finis

Principe : présenté dans [21, 65], le principe, comme dans l’approximation polynomiale

consiste à effectuer des moindres carrés globaux sur l’ensemble de la zone de mesure. Le

champ recherché est ici décomposé sur une base de type éléments finis. En fait, la surface

de l’éprouvette où des mesures de champs sont effectuées peut être maillée en éléments

finis, rectangulaires ou triangulaires par exemple. Les champs de déplacements recons-

truits (notés respectivement U(x, y) et V (x, y)) sont donc cherchés comme les champs

minimisant :

θ(U, V ) =

I∑

i=1

(U(xi, yi) − ux(i))2 + (V (xi, yi) − uy(i))

2

avec U(x, y) =n∑

i=1

UiNi(x, y), V (x, y) =n∑

i=1

ViNi(x, y) (1.7)

où Ui et Vi sont les déplacements au noeud i respectivement selon x et y , Ni(x, y) repré-

sente les fonctions de forme de l’élément considéré, I est le nombre total d’éléments finis

et n est le nombre de nœuds de chaque élément.

Le problème d’optimalité associé fournit alors les vecteurs de degrés de liberté U et

V . Le champ de déformation est alors cherché sur la même base de fonctions de forme

que le champ de déplacement dont il dérive et s’obtient par minimisation d’un critère au

sens des moindres carrés entre les champs de déformation recherchés et la déformation

dérivée des champs de déplacement initialement reconstruits [21].

Avantages

– Chaque fonction de forme a un support fini, ce qui limite le caractère global de la mini-

misation. C’est alors la taille de maille locale qui joue le rôle de paramètre régularisant.

– L’utilisation d’une base de fonctions de forme, telle que celles utilisées dans l’équa-

tion 1.7, facilite la mise en œuvre de la méthode des champs virtuels (voir chapitre

3).

1.2.4.3 Reconstruction par approximation diffuse

Principe : l’approximation repose sur l’utilisation de moindres carrés locaux [69]. Ici,

l’outil de régression locale utilisé est l’approximation diffuse [70]. Le déplacement en un

point de coordonnées (x, y) est considéré comme un développement limité d’ordre 2 du

déplacement reconstruit au point de coordonnées (xi, yi). Pour déterminer en chaque point

16 Chapitre 1

(xi, yi) la valeur des déplacements reconstruits selon x et y, on considère que le dévelop-

pement limité ci-dessus est valable uniquement à l’intérieur d’une fenêtre rectangulaire

centrée sur le point (xi, yi) et de longueurs Rx et Ry respectivement dans les directions x

et y. L’influence des points est pondérée en fonction de leur distance au point considéré à

travers une fonction poids, w(x, y, Rx, Ry). En minimisant l’écart au carré pondéré entre

les déplacements mesurés en chaque point et les déplacements générés par le développe-

ment limité, on obtient les déplacements reconstruits ainsi que leurs dérivées premières et

secondes au point de coordonnées (xi, yi).

Avantages : le paramètre régularisant est alors le rayon d’influence de chaque point de

mesure, ce qui limite le caractère global de la minimisation. De plus, l’intérêt de cette

approche est de fournir directement un champ de déplacements continu ainsi que ses

dérivées au sens diffus.

1.2.4.4 Conclusions sur les approches abordées

Parmi les trois approches abordées, l’approche polynomiale présente un inconvénient consi-

dérable : son caractère global car la reconstruction précise en une partie par augmentation

du degré des polynôme dégrade la reconstruction dans les parties voisines. Par contre, les

deux dernières approches permettent de limiter le caractère global de la minimisation.

Toutefois, l’approche par éléments finis présente encore un autre avantage important pour

la MCV : il est possible d’utiliser la même base de fonctions pour définir les champs vir-

tuels ce qui rend plus efficace la mise en œuvre de la MCV (voir au chapitre 3). C’est

pourquoi, l’approximation par éléments finis a été retenue dans cette étude.

1.3 Revue bibliographique des méthodes de résolution

de problèmes inverses

Lorsque les techniques de mesure de champs ont commencé à se répandre, les réponses

mesurées se sont étendues aux champs de déplacement sur une partie de l’éprouvette. La

richesse de ces informations a nécessité l’élaboration de procédures efficaces de minimi-

sation pour résoudre le problème inverse posé [64]. Ce problème s’oppose au problème

dit direct qui consiste à calculer la réponse d’un système mécanique, pour une géométrie,

un chargement et une loi de comportement donnés. Pour traiter le problème inverse, il

existe des méthodes d’identification basées sur des mesures cinématiques soit à la fron-

tière, soit sur l’ensemble du domaine étudié. Dans le cadre de cette étude, le dernier cas

sera considéré et la section suivante lui est consacrée.


1.3.1 Présentation du problème inverse

1.3.1.1 Définition du problème direct en élastoplasticité

Soit V le volume d’étude et Sf U Su une partition de la frontière de V , noté ∂V . Un

champ de forces volumiques, noté fv, est donné sur V et un champ de forces surfaciques,

noté T , est donné sur Sf . On se place en petites déformations dans l’hypothèse des petites

perturbations et l’évolution du volume est étudiée dans un intervalle de temps noté [t0, tf ].

On cherche alors un champ de déplacement u (pour simplifier les notations, u désigne ici

les 2 composantes du champ vectoriel) tel que :

div[C : (∇u− εpl)] = fv

−[C : (∇u− εpl)] · n = T

u = u sur Su (1.8)

où C est le tenseur de Hooke du solide, ∇ est l’opérateur du gradient et εpl est un champ

de déformations anélastiques (dans le cas élastique, εpl = 0) dont la cinétique d’évolution

εpl dans le cas anélastique (plastique par exemple) est donnée par une loi faisant intervenir

la contrainte et un certain nombre de paramètres de comportement notés sous forme d’un

vecteur noté p :

εpl = g(σ, p, C) (1.9)

Le problème direct consiste donc à calculer le champ u vérifiant l’équation 1.8 avec pour

conditions initiales u = 0, et le champ εpl pendant la phase plastique vérifiant l’équa-

tion 1.9 avec pour conditions initiales εpl = 0 au moment de l’apparition de la plasticité.

Les efforts d’accélération peuvent éventuellement être pris en compte dans fv si les varia-

tions de T sont rapides.

1.3.1.2 Définition du problème inverse en élastoplasticité

Le problème inverse est opposé au problème direct (voir le tableau 1.2). Il s’agit d’un

problème de détermination des paramètres de comportement qui interviennent dans la

réponse de la structure à partir de la connaissance de grandeurs mesurées (déplacement,

déformation. . . ) et éventuellement de la sollicitation appliquée.

La donnée principale dans notre cas est la mesure du champ des déplacements disponible

sur V durant l’intervalle [t0, tf ] , notée u (pour simplifier les notations u désigne ici les

18 Chapitre 1

2 composantes du champ expérimental reconstruit à partir des mesures). On dispose

d’une grande quantité d’informations puisqu’on connaît aussi la distribution des forces

volumiques sur V et une partie des forces surfaciques sur Sf , limitée aux bords libres où

T = 0 et à la mesure éventuelle d’une ou plusieurs résultantes d’efforts sur tout l’intervalle

[t0, tf ]. On retrouve alors une forme générale de problème inverse qui s’énonce ainsi :

trouver C et les paramètres p ainsi que les champs u et εpl tel que u soit le plus proche

de u et que les conditions suivantes soient vérifiées :

div[C : (∇u− εpl)] = fv sur V

−[C : (∇u− εpl)] · n = T sur Sf

εpl = g(σ, p, C) sur V (1.10)

avec condition supplémentaire : εpl = 0 pour une étape élastique ou bien au moment de

l’apparition de la plasticité.

Comme l’identification de tous ces paramètres est compliquée et coûteuse en temps de

calcul, on la réalise souvent en deux temps. Dans un premier temps, on détermine C sur

une plage de réponse où le matériau reste dans le domaine élastique, ce qui supprime la

présence de εpl dans les équations ci-dessus 1.10. Dans un deuxième temps, on cherche

les paramètres plastiques p avec C connu. On met en œuvre la technique classique de

résolution du problème inverse, qui consiste à minimiser la fonction coût :

J(u, εpl, p) = ‖u(εpl, p) − u‖

Type de problème direct inverse

Loi de comportement (LDC) connue connue

Paramètre de la LDC connus inconnus

Conditions aux limites connues partiellement connues

Champs cinématiques inconnus partiellement connus

Tableau 1.2: Comparaison entre le problème direct et le problème inverse.

Problème mal posé

Les problèmes inverses sont répartis en deux catégories. Ceux qui, pour toute mesure (u

et résultantes d’efforts), admettent une solution unique des paramètres identifiés continue


par rapport à la mesure (u et résultantes d’efforts), sont dits « bien posés ». Ils sont géné-

ralement résolus de manière exacte ou approchée par des méthodes classiques (la solution

est peu sensible aux perturbations sur les données). Cependant, les problèmes inverses

peuvent être « mal posés », c’est-à-dire qu’ils ne respectent pas les conditions d’existence,

d’unicité et de continuité de la solution par rapport aux mesures u. Les principales causes

peuvent être des données expérimentales bruitées, des erreurs de modélisation, des erreurs

numériques inévitables, un choix inadéquat de la loi de comportement à identifier [71]. La

régularisation des problèmes « mal posés » est indispensable pour que la solution trouvée

soit la plus proche possible de la réalité. Les problèmes inverses dans le domaine non

linéaire se présentent donc sous la forme d’un problème de minimisation d’une fonction

objectif permettant de s’assurer de l’existence d’au moins une solution au problème [72].

1.3.2 Présentation des méthodes de résolution du problème in-

verse

L’identification des paramètres pilotant une loi de comportement à partir de mesures de

champs cinématiques constitue un problème inverse. Pour traiter ce problème, la méthode

la plus utilisée est celle du recalage de modèle éléments finis (REF) [14]. Il y a actuel-

lement des alternatives à cette procédure, comme la méthode de l’erreur en relation de

comportement (ERC) [15], la méthode de l’écart à l’équilibre (EE) [16, 17], la méthode

de l’écart à la réciprocité (ER) [18] et la méthode des champs virtuels (MCV) [19]. Le

principe, les applications, les avantages ainsi que les inconvénients de chaque méthode

sont présentés dans cette section.

1.3.2.1 Méthode du recalage par éléments finis

Principe : le REF a été introduit en mécanique des matériaux par [14]. Il se base sur

une modélisation de type éléments finis de l’essai puis une minimisation, en fonction des

paramètres recherchés, de l’écart entre une grandeur du modèle et cette même grandeur

mesurée.

La figure 1.9 présente le fonctionnement général d’une méthode d’identification par REF.

Apparaît un processus itératif basé sur un jeu de valeurs initiales pour les paramètres

pilotant la loi de comportement qui est recherchée. Ce jeu de valeurs permet de résoudre le

problème direct à l’aide d’une modélisation par éléments finis de l’essai, puis de construire

une fonction coût traduisant l’écart entre les grandeurs calculées et les grandeurs mesurées.

Ce jeu est réactualisé à chaque itération de l’algorithme d’optimisation jusqu’à ce que le

résidu soit suffisamment faible.

20 Chapitre 1

Avantages et inconvénients : La méthode de recalage est la plus utilisée car elle est

flexible et peut s’adapter à un très grand nombre de problèmes. En revanche, la modélisa-

tion de type éléments finis de l’essai est d’une part compliquée et coûte cher en temps de

calcul. D’autre part, sa solution est sensible aux conditions aux limites appliquées dans le

modèle, ce qui pose des difficultés.

Figure 1.9: Schéma de principe de la technique de recalage (d’après [14]).

Applications : cette approche a été utilisée pour des mesures de champs par plusieurs

auteurs pour différentes applications dans le comportement linéaire ainsi que non linéaire.

Les applications proposées par [73, 74] sont itératives, par recalage en déplacement. Celle

de [13] a conduit à l’établissement d’une procédure d’identification de lois de comporte-

ment élastique et viscoélastique sur des panneaux de contre-plaqués (composites à base

de bois) par mesure de champs à partir d’un seul essai de flexion ou torsion (différent

selon les panneaux). La conception de l’essai mécanique utilisé est optimisée pour acti-

ver toutes les rigidités qu’on souhaite identifier. Par une approche similaire, les travaux

de [31] s’intéressent à l’identification des constantes élastiques d’une plaque composite

mince orthotrope.

Identification de comportements élastoplastiques : la méthode REF a été utilisée

également par plusieurs auteurs pour l’identification du comportement des matériaux mé-

talliques au-delà de leur limite d’élasticité. Un exemple d’application est proposé par [27].

Il s’agit de l’identification d’une loi élastoplastique à écrouissage isotrope, à partir d’un

essai de traction monotone mené sur une éprouvette plane entaillée.

Kajberg et Lindkvist [38] ont réalisé récemment des essais de traction jusqu’à rupture sur

éprouvette plane entaillée afin de faciliter la localisation de la plasticité dans le champ de

mesure. Les champs de déplacement ont été mesurés par speckle interférométrique puis

dérivés numériquement. La fonction coût est une somme de résidus au sens des moindres


carrés de quantités mesurées et obtenues par simulation par éléments finis. Ces quantités

sont les déplacements et la déformation équivalente (entre 600 et 700 points sur une carte)

et la résultante de l’effort longitudinal appliqué (10 à 15 pas de chargement). Deux modèles

d’écrouissage ont été considérés : un modèle linéaire par morceaux à cinq paramètres et

un modèle parabolique à trois paramètres.

Plus récemment, la méthode REF a été appliquée par Lecompte [33] pour identifier les

paramètres du comportement élastique isotrope ainsi qu’orthotrope d’un matériau com-

posite en utilisant respectivement des essais de traction uniaxiale et bi-axiale. Les dépla-

cements ont été mesurés par corrélation d’images numériques. L’utilisation du même essai

de traction bi-axiale permet aussi d’identifier des paramètres plastiques anisotropes selon

le critère de Hill pour des tôles minces en contraintes planes.

1.3.2.2 Méthode de l’erreur en relation de comportement

L’ERC a été introduite pour les problèmes linéaires et directs par [15]. Le problème de

référence est décrit par les équations 1.8. Il est discrétisé par la méthode des éléments finis

en déplacement. Pour évaluer la qualité d’un calcul par éléments finis, il faut résoudre

deux problèmes directs : un problème en déplacement (i.e. problème de Dirichlet, résolu

par la plupart des méthodes éléments finis classiques [75] et problème en contrainte, i.e.

problème de Neumann et puis vérifier que ce couple déplacement-contrainte est admissible

à travers l’équation de comportement pour en déduire une erreur sur les contraintes.

Principe : pour les problèmes inverses, cette méthode s’appuie sur une formulation va-

riationnelle d’erreur en relation de comportement, basée donc sur l’écriture de la somme

des énergies potentielle et complémentaire. Afin de s’appliquer dans les deux domaines

élastique et plastique, elle s’écrit sous forme incrémentale [76] :

E(t, p) =

∫

Ω(σ −

∫M(x, y, t) : ε(x, y, t) dt) : M−1 : (σ −

∫M(x, y, t) : ε(x, y, t) dt) dV (1.11)

où ε = dε/dt, σ = dσ/dt sont respectivement l’incrément de déformation et de contrainte,

M est soit le tenseur de rigidité dans le cas de l’élasticité, soit le tenseur tangent dans le

cas de la plasticité. Dans les deux cas, le tenseur M dépend des paramètres p à identifier.

Ces paramètres peuvent alors être identifiés via la minimisation de l’équation 1.11 vérifiant

l’admissibilité des champs de déplacement et de contrainte.

Avantages et inconvénients : l’identification se fait seulement à partir de quelques pas

de chargement[76]. Toutefois, comme la REF, l’ERC nécessite une modélisation de type

éléments finis de l’essai ce qui coûte cher en temps de calcul.

22 Chapitre 1

Applications : cette méthode a été utilisée sur des mesures de champs pour identifier des

propriétés élastiques isotropes dans [76] en utilisant des données à l’intérieur du domaine.

Plus récemment, le modèle élastoplastique hétérogène à écrouissage cinématique a été

identifié en petites déformations par [77]. Pour pouvoir définir une erreur en relation de

comportement élastoplastique, une description incrémentale de la plasticité a été néces-

saire. Cette description est retenue par de nombreux codes de calcul par éléments finis qui

traitent la plasticité avec un algorithme de retour radial. Cette étude a permis d’écrire des

tenseurs tangents associés à un modèle de Prager. La fonctionnelle d’erreur en relation de

comportement associée à ces tenseurs exprime alors de façon variationnelle le problème

élastoplastique sur chaque incrément de chargement considéré. La minimisation de cette

fonctionnelle séparément convexe se fait par une méthode de relaxation et s’appuie sur un

calcul de type éléments finis dont la particularité est le recours à des fonctions d’Airy per-

mettant au champ de contrainte de vérifier les équations d’équilibres sur chaque élément

formulé en contrainte [77].

1.3.2.3 Méthode de l’écart à l’équilibre

Principe : la méthode EE a été introduite dans [16, 17]. Elle se base sur une formulation

de l’équilibre où les données sont les champs cinématiques mesurés et où les inconnues du

problème sont les propriétés élastiques locales, ou une distribution de paramètres d’en-

dommagement [17]

Soit une structure continue. En l’absence de sources externes et de forces volumiques, les

équations d’équilibre mécanique sont décrites par :

div(σ) = 0 (1.12)

Dans cette approche, l’hétérogénéité des propriétés élastiques a été réduite à un champ

scalaire d’endommagement isotrope D(x) [17]. Le coefficient de Poisson du milieu reste

constant et les coefficients de Lamé s’écrit :

λ(x) = λ0(1 − d(x)) , ∀x ∈ Ω

µ(x) = µ0(1 − d(x)) , ∀x ∈ Ω (1.13)

Dans le cas de champs de propriétés continus et différentiables, les équations 1.13 de-

viennent :

[2µ0ε+ λ0tr(ε)1] grad[ln(1 −D)] + div[2µ0ε+ λ0tr(ε)1] = 0 (1.14)


En cas de présence de sauts d’endommagement, pour chaque normale n associée à une

discontinuité, il est possible d’écrire :

[[σ · n]] = 0 (1.15)

Pour n = ex (vecteur unitaire de la surface plane de mesure), cette équation s’écrit :

[[(1 −D)λ0(εxx + εyy) + 2µ0εxx]] = 0; (1.16)

L’avantage de la formulation 1.16 est que les forces extérieures ne sont pas prises en

compte car on identifie avec cette méthode uniquement des variations par rapport à un

état initial qui n’est pas recherché. On applique les conditions 1.15 à une formulation

éléments finis. Le problème revient alors à déterminer les coefficients élastiques avec les

champs cinématiques mesurés (connus). L’endommagement est constant par élément et on

écrit les équations 1.16 sur chaque frontière entre deux éléments voisins du domaine. On

aboutit ainsi à un système linéaire où les inconnues sont les variables d’endommagement.

Ce système est résolu à l’aide d’une méthode de gradient conjugué [17].

Avantages et inconvénients : la méthode présentée n’a pas besoin de connaissance des

efforts extérieurs dans la procédure d’identification ce qui rend la méthode insensible à

la distribution des efforts externes. Toutefois, cette méthode donne seulement des valeurs

élastiques relatives ou des valeurs d’endommagement. Elle ne peut donc pas être appliquée

dans le domaine plastique.

Applications : cette approche a été appliquée pour un essai bi-axial sur matériau com-

posite [16]. Le champ mesuré a permis d’identifier un champ d’endommagement cohérent

avec l’observation directe sur le champ de déplacement mesuré. Cette méthode a ensuite

été étendue à l’identification de conductivités thermiques [16, 17].

1.3.2.4 Méthode de l’écart à la réciprocité

Principe : l’ER est basé sur une formulation variationnelle qui consiste à écrire le principe

de réciprocité de Maxwell-Betti, entre une solution élastique sur le domaine renfermant

potentiellement des fissures et une solution du problème élastique posé sur le domaine non

fissuré (par exemple dans l’identification de fissure planes).

Avantages et inconvénients : la méthode n’a pas besoin de réaliser un calcul par

éléments finis ce qui réduit le nombre de calculs. Toutefois, elle ne peut que s’appliquer

dans le domaine élastique, pour les problèmes spécifiques comme l’identification de fissures.

Applications : l’écart à la réciprocité a été appliquée à l’identification de fissures [18]. Un

écart à la réciprocité instantané, introduit par [129], a permis une extension de la méthode

24 Chapitre 1

à des problèmes élastodynamiques plans. L’identification de fissures pour des problèmes

dynamiques a également été traitée par [18].

1.3.2.5 Méthode des champs virtuels

Principe : introduite par [19], la MCV est une méthode d’identification de paramètres

de lois de comportement à partir de mesures de champs cinématiques. Elle est fondée sur

le principe des travaux virtuels (PTV). Ce principe repose sur l’équation suivante, valable

pour tout champ u∗ cinématiquement admissible.

−

∫

V

σijε∗ijdV +

∫

∂Vf

Tiu∗idS +

∫

V

fiu∗idV = 0 (1.17)

où :

– V est le volume sur lequel l’équilibre global est écrit,

– ∂Vf est la surface sur laquelle s’exercent des conditions aux limites en contrainte impo-

sée,

– T est le vecteur contrainte en un point donné de ∂Vf ,

– u∗ est un champ de déplacement virtuel,

– σij est le champ de contrainte,

– ε∗ij est le champ de déformation virtuel dérivé de u∗,

– f est la force volumique.

L’utilisation de différents champs virtuels dans l’équation 1.17 permet l’écriture d’une

relation entre les paramètres à identifier, la résultante des efforts appliqués et le champ

cinématique mesuré [35]. Cette relation peut être soit explicite ou implicite. En effet, elle

dépend du comportement du matériau étudié (linéaire ou non linéaire, voir chapitre 3

pour plus de détails).

Applications : la MCV a été appliquée avec succès dans plusieurs cas : l’identification de

rigidités de flexion de plaques en statique [78–80] et en dynamique [81], l’identification dans

le plan de propriétés élastiques de matériaux composites [30, 81, 82], l’identification de

l’amortissement matériau d’une plaque en vibration forcée [43, 83], l’identification du com-

portement non linéaire en cisaillement d’un matériau composite [28, 84], l’identification

des rigidités du bois et leur variabilité [29], l’identification de paramètres élastoplastiques

de métaux [22, 24].

Avantages et inconvénients : la MCV est une alternative à la méthode REF. Les points

forts de la MCV sont :

– tout d’abord, on n’a pas besoin de réaliser un calcul par éléments finis ce qui réduit le

nombre de calculs.


– ensuite, le choix de champs virtuels particuliers en impliquant seulement la résultante

des efforts extérieurs mais pas leur distribution rend la méthode insensible à la distri-

bution des efforts dont la méconnaissance pose des difficultés dans l’approche REF.

– par contre, cette méthode nécessite un champ de mesure.

Conclusion

On a donc trois méthodes proposées REF, ERC et MCV pour traiter le problème élas-

toplastique. Parmi elles, la MCV présente clairement plus d’intérêts. Tout d’abord, elle

n’est pas sensible à la distribution des efforts ou des déplacements appliqués qui posent

des difficultés pour les deux autres. Ensuite, elle ne nécessite pas de réaliser un calcul

éléments finis ce qui réduit considérablement le temps de calcul. Elle est robuste, même

si cette thèse va encore améliorer plus ce point.

1.4 Conclusion du chapitre et position du problème

Des essais mécaniques, des méthodes de mesure de champs cinématiques et des méthodes

d’identification variés sont présentés. Concernant l’identification en élastoplasticité, on

constate que la méthode avancée et prometteuse est la MCV, bien qu’elle nécessite des

mesures de champs.

La MCV est maintenant validée en élasticité et en plasticité [22, 35]. Dans le cas du com-

portement élastique linéaire (isotrope ou anisotrope, en contraintes planes ou en flexion),

les développements théoriques ont conduit à la réalisation d’algorithmes robustes et ra-

pides. Avec l’utilisation des champs virtuels optimisés spéciaux [20], il a été montré que la

solution au maximum de vraisemblance du problème inverse peut être trouvée de manière

directe, prouvant la robustesse et la rapidité de la méthode pour le problème élastique.

Par contre, elle nécessite encore des développements avant de pouvoir identifier de manière

plus robuste les paramètres de lois élastoplastiques.

Il reste à traiter les points suivants :

– reformulation de la procédure d’identification en prenant en compte la sensibilité au

bruit de mesure ;

– extension du domaine d’application de la MCV aux modèles plus complexes.

Une fois les développements obtenus, ils doivent être tout d’abord validés numérique-

ment. Ensuite, des essais statiquement indéterminés doivent être réalisés en utilisant une

26 Chapitre 1

des méthodes de mesures de champs cinématiques présentées ci-dessus pour valider expé-

rimentalement les nouvelles améliorations apportées à la MCV. C’est l’objectif de cette

thèse.

Chapitre 2

Le comportement mécanique des

matériaux métalliques au-delà de leur

limite d’élasticité

L’étude du comportement de tôles métalliques est le plus souvent abordée dans le cadre

d’une approche élastoplastique pour la plupart des procédés de mise en forme de tôles. La

théorie élastoplastique se divise en deux classes en fonction de l’échelle d’étude du com-

portement : la première est appelée phénoménologique (ou macroscopique) définie par

des fonctions constitutives reliant un certain nombres de variables internes, qui peuvent

tenir compte de la structure interne du matériau ainsi que de l’histoire des sollicitations.

La deuxième est appelée approche microscopique (modèles micro-macro) dans laquelle

les grandeurs macroscopiques telles que le tenseur des contraintes et le tenseur des dé-

formations sont typiquement déduites de la modélisation numérique du comportement

des grains constituant le matériau. Les deux consistent à décrire l’évolution de l’état de

contrainte et de déformation lors d’une succession de déformations.

Bien que l’approche microscopique soit plus consistante et plus proche de la physique de

la déformation plastique, elle reste cependant d’une utilisation assez limitée et ce en raison

des coûts de calcul associés. L’approche phénoménologique est plus répandue en raison

de sa commodité, sa relative facilité de mise en œuvre, sa rapidité mais aussi souvent

pour la précision suffisante de ses résultats. Par ailleurs, les deux approches peuvent

être complémentaires dans la mesure où l’étude microscopique permet de comprendre les

mécanismes de la déformation plastique et de formuler des modèles phénoménologiques

sur des bases physiques.

27

28 Chapitre 2

Cette étude est limitée à la modélisation phénoménologique des tôles laminées en adoptant

une loi d’écoulement associée et une loi d’écrouissage isotrope. Elle reste dans le cadre

des petites perturbations notées HPP (petits déplacements et petites déformations) avec

l’hypothèse d’incompressibilité plastique.

Rappelons tout d’abord la formulation générale des lois de comportement [4] avant de pré-

senter la modélisation des lois de comportement élastoplastiques étudiées dans ce travail.

Ensuite, la relation incrémentale entre contrainte et déformation totale en élastoplasticité

sera présentée.

2.1 Formulation générale des lois de comportement

2.1.1 Le potentiel thermodynamique et les lois d’état

Dans le cadre thermodynamique, à température constante, les variables d’état sont définies

comme suit :

- variable observable : la déformation totale ε ;

- variables internes notés Vk : la déformation plastique εp qui traduit des phénomènes irré-

versibles du matériau sous des sollicitations mécaniques imposées ; la déformation élastique

εe ; la déformation plastique cumulée p qui permet de décrire le phénomène d’écrouissage.

On postule l’existence d’un potentiel thermodynamique duquel dérivent les lois d’état. En

général il s’agit de l’énergie libre spécifique Ψ.

Ψ = Ψ(ε, Vk) (2.1)

Les processus décrits par ce potentiel seront thermodynamiquement admissibles si à

chaque instant l’inégalité de Clausius-Duhem est vérifiée. On obtient alors les lois d’états :

σ = ρ∂Ψ

∂ε= ρ

∂Ψ

∂εe= −ρ

∂Ψ

∂εp(2.2)

On constate que la contrainte est la variable associée à la déformation [4].

Par analogie, les variables forces thermodynamique Ak associées aux variables internes

sont définies par :

Ak = ρ∂Ψ

∂Vk(2.3)

Lois de comportement 29

2.1.2 Les lois complémentaires

Le potentiel thermodynamique permet d’écrire les relations d’état entre les variables ob-

servables et leurs variables associées. Cependant pour les variables internes, il ne définit

que les variables forces associées, et non leur évolution. En présence de phénomènes ir-

réversibles, la connaissance du potentiel thermodynamique est insuffisante pour décrire

complètement l’évolution du système. Il faut donc un formalisme complémentaire. C’est

l’objet des lois complémentaires [4].

εp = λ∂f

∂σ(2.4)

Vk = −λ∂f

∂Ak(2.5)

où λ est un multiplicateur plastique déterminé par la condition de consistance f = 0.

La première équation 2.4 conduit aux lois de plasticité tandis que la deuxième 2.5 exprime

les lois d’évolution des variables internes (i.e le taux de déformation plastique cumulée)

présentées ci-après.

2.2 Modélisation des lois de comportement élastoplas-

tiques

Choix des variables d’état : dans ce qui suit, nous nous limitons à un cadre d’élasto-

plasticité avec écrouissage cinématique et isotrope combinés où les variables d’état sont :

- la déformation totale ε (variable observable), dans le cadre de l’HPP, égale à la partie

symétrique du tenseur gradient du champ de déplacement −→u , qui s’écrit :

ε =1

2

[grad(−→u ) + grad(−→u )T

](2.6)

- la déformation plastique εp (variable interne)

- la déformation plastique cumulée p (variable interne)

p =

∫ t

0

√2

3εp(τ) : εp(τ)dτ (2.7)

30 Chapitre 2

La déformation plastique εp est une variable interne permettant de décrire un écrouis-

sage cinématique. L’écrouissage isotrope peut quant à lui être décrit par la déformation

plastique cumulée p. En se limitant aux transformations quasi-statiques isothermes, la

phénoménologie des lois élastoplastiques est basée essentiellement sur les deux hypothèses

suivantes.

Première hypothèse : les effets élastiques et plastiques sont découplés, ce qui implique :

- la décomposition de la déformation totale en une partie élastique réversible εe et en une

partie plastique irréversible εp. Lorsque la partie élastique est suffisamment faible, il est

courant d’adopter une décomposition additive du tenseur des déformations.

ε = εe + εp (2.8)

- l’énergie libre Ψ est décomposée en une partie élastique Ψe et une partie plastique Ψp :

Ψ = Ψe(ε− εp) + Ψp(εp, p) (2.9)

Deuxième hypothèse : le comportement plastique est supposé indépendant de la vitesse

de déformation. La loi de comportement est homogène de degré zéro par rapport à la

vitesse de la déformation plastique, d’où l’existence d’un seuil de plasticité (ceci sera

détaillé par la suite).

2.2.1 Elasticité linéaire isotrope

En chargement imposé, le comportement du matériau passe tout d’abord par une phase

purement élastique avant de passer en phase élastoplastique. L’élasticité traduit une dé-

formation réversible du matériau. Le plus souvent, elle est considérée comme linéaire et

isotrope dans le cas des aciers à froid, ce qui est généralement suffisant pour décrire le

comportement élastique des matériaux métalliques usuels.

La variable d’état observable à faire intervenir est la déformation élastique qui est égale à

la déformation totale. La linéarité de la loi de comportement impose alors que le potentiel

thermodynamique soit une combinaison linéaire du carré du premier invariant du tenseur

des déformations ε2I = [tr(εe)]2 et du second invariant εII = 1

2tr((εe)2) :

Ψ =1

2p(λε2

I + 2µεII) (2.10)

A partir de la loi d’état (équation 2.2), le tenseur des contraintes de Cauchy dérive du

potentiel Ψ pour donner la loi d’élasticité linéaire (loi de Hooke) :


σ =∂Ψ

∂ε= λTr(εe)I + 2µεe (2.11)

où I est le tenseur identité, λ et µ sont les coefficients de Lamé déduits à partir des

coefficients de Poisson ν et du module d’Young E par les relations suivantes :

λ =νE

(1 + ν)(1 − 2ν); µ =

E

2(1 + ν)(2.12)

avec E défini positif et −1 < ν < 12

2.2.2 Elastoplasticité avec écrouissage cinématique et isotrope

combinés

2.2.2.1 Elastoplasticité avec écrouissage cinématique et isotrope combinés-

Potentiel thermodynamique

Pour décrire la phase élastoplastique, le découplage entre comportement élastique et

écrouissage impose d’écrire l’énergie libre sous la forme de l’équation 2.9. La variable

cinématique souvent utilisée est la déformation plastique elle même. Les variables forces

thermodynamiques associées s’en déduisent par :

R = ρ∂ψ

∂p; X = ρ

∂ψ

∂εp(2.13)

Le rôle de ces deux variables dans la description de l’état d’écrouissage est de représenter

l’évolution du domaine d’élasticité. En fait, la taille de ce domaine est une fonction de la

variable isotrope R tandis que son centre est repéré par la variable cinématique X.

Dans le cadre des transformations isothermes, l’inégalité de Clausius-Duhem exprime le

caractère positif de la dissipation intrinsèque [4] sous la forme :

φ = σ : εp − Rp−X : εp = (σ −X) : εp −Rp ≥ 0 (2.14)

2.2.2.2 Notions de base

La théorie de la plasticité en se basant sur les principes de la thermodynamique fournit

les relations mathématiques permettant la description de l’apparition et de l’évolution

des déformations plastiques dans le matériau. Elle se compose des principales notions

suivantes : le critère de plasticité, la loi d’écoulement plastique, la loi d’écrouissage.

32 Chapitre 2

Critère de plasticité

L’apparition de la plasticité se décrit généralement dans l’espace des contraintes de Cau-

chy à l’aide d’une fonction seuil associée à une surface d’écoulement, qui caractérise le

domaine d’élasticité noté f qui n’est autre qu’une description mathématique de la forme

de la surface de charge initiale appelée fonction de charge et qui définit les limites du

domaine d’élasticité du matériau à l’intérieur desquelles toute variation de contrainte ne

engendre que des variations de déformation élastique. On désigne aussi couramment par

critère de limite d’élasticité, ou critère de plasticité la condition f = 0. Toutefois, en

pratique, la fonction f elle-même est souvent appelée « critère de plasticité » sans risque

de confusion. En plasticité associée, cette fonction de charge est égale à une fonction

potentielle plastique.

Dans les transformations plastiques à écrouissages cinématique et isotrope combinés, l’évo-

lution de cette surface est décrit par une contrainte cinématique de rappel X et une va-

riable d’écrouissage isotrope R (équation 2.13). La fonction seuil f est nulle sur la surface

d’écoulement et négative dans le domaine élastique. Dans ce travail on se limite à l’emploi

du critère de Von Mises et d’une fonction σeq linéaire en fonction de l’invariant J2(σ−X) :

f = σeq −R− σ0 ≤ 0 (2.15)

σeq = J2(σ −X) =

[3

2(σ

′

−X) : (σ′

−X)

] 1

2

(2.16)

où : σ0 est la limite d’élasticité initiale, σeq la contrainte équivalente qui indique la forme du

critère de limite d’élasticité, σ′

le déviateur des contraintes, qui s’écrit : σ′

= σ− 13Tr(σ)I·,

R et X sont déterminés selon les modèles d’écrouissages étudiés.

Loi d’écoulement plastique

La loi d’écoulement est la fonction qui représente le flux des déformations plastiques εp.

Il s’agit de l’expression du taux de déformation plastique, partie irréversible du taux de

déformation de l’élément de matière, en fonction du taux de contrainte dans l’état de

charge considéré.

L’écoulement se produit si les deux conditions suivantes sont réunies simultanément (fi-

gure 2.1) :

1. Le point représentatif de l’état de contrainte est situé sur la surface de charge :


f(σ, p) = 0 (2.17)

2. Le schéma de la plasticité classique impose que le point représentatif de l’état de

contrainte ne puisse sortir de la surface (f > 0 est impossible). Pendant l’écoulement,

on introduit donc la condition de consistance.

df =∂f

∂σ: dσ +

∂f

∂X: dX +

∂f

∂p· dp = 0 (2.18)

La condition de consistance implique que le point représentatif de l’état (σ + dσ)

reste sur la surface de charge.

Ecoulement : f = 0, 0f

Elasticité

f < 0

f0

p

Zone interdite

f > 0Contraintes

Variable

interne

Figure 2.1: Surface de charge.

Dans le cadre de la plasticité associée, on suppose l’existence d’un potentiel de dissipation

et la surface de charge est identifiée à une surface équipotentielle. On suppose de plus que

la direction de la vitesse de déformation plastique se fait perpendiculairement à la surface

de charge (hypothèse de normalité). Alors, selon les lois complémentaires d’évolution

(équation 2.4), les variables flux εp

et p associés respectivement aux variables duales (σ−

X) et R (équation 2.14) sont définies en fonction du multiplicateur plastique λ. La loi

d’écoulement (propriété de normalité) s’écrit donc comme suit :

εp

= λ∂f

∂(σ −X); p = −λ

∂f

∂R(2.19)

où : λ est le multiplicateur plastique dont on tire l’expression de la condition de consis-

tance.

34 Chapitre 2

Loi d’écrouissage

L’écrouissage désigne l’évolution de la frontière du domaine d’élasticité lors de l’écoule-

ment plastique. On ne considère dans cette étude que deux modèles d’écrouissage.

L’écrouissage isotrope : c’est le type d’écrouissage pour lequel l’évolution de la surface de

charge est gouvernée par une seule variable scalaire : soit le travail plastique dissipé, soit

la déformation plastique cumulée p. Il correspond à une dilatation du domaine d’élasti-

cité identique dans toutes les directions de l’état des contraintes. Le centre du domaine

élastique reste inchangé. La taille du domaine élastique est alors définie par un scalaire

noté σ0 à l’état initial (la limite d’élasticité initiale) et σs à l’état écroui. Dans ce travail,

la déformation plastique cumulée a été utilisée comme variable scalaire pilotant l’évolu-

tion de la surface de charge. La loi d’écrouissage notée R(p) est telle que R(0) = 0 et

σs(p) = σ0 +R(p).

Quatre lois différentes sont étudiées dans le cadre de travail :

1. une loi d’écrouissage linéaire :

R(p) = H · p (2.20)

où : H est le coefficient d’écrouissage

2. une loi d’écrouissage exponentielle (modèle de Voce [85]) :

R(p) = R0 · p+Rinf [1 − exp(−bp)] (2.21)

où : σ0 est la limite d’élasticité initiale, R0 est le module d’écrouissage asymptotique,

Rinf et b décrivent la partie non linéaire de la courbe lors de l’apparition de la

plasticité.

3. une loi d’écrouissage puissance [4] :

R(p) = KY · p(1/MY ) (2.22)

KY et MY sont des paramètres d’écrouissage.

4. une loi d’écrouissage non linéaire [4] :

R = B(Q− R)p (2.23)

où : B et Q désignent deux constantes du matériau : Q donne la valeur asymptotique

correspondant au régime cyclique stabilisé, B indique la rapidité de stabilisation.

La valeur initiale de R est supposée égale à zéro. Ce modèle est utilisé pour décrire

le comportement pour des chargements cycliques.


L’écrouissage cinématique : il s’agit de la translation de la surface de charge. La variable

d’écrouissage X indique la position actuelle de la surface de charge. Quatre lois différentes

sont étudiées dans le cadre de ce travail :

1. une loi d’écrouissage cinématique linéaire de Prager [4] :

X(εp) = Cεp (2.24)

où : C est le module d’écrouissage cinématique du matériau. On suppose générale-

ment que le tenseur X est nul dans l’état initial.

2. une loi d’écrouissage cinématique non linéaire, notée L1 [4]

X(εp) = Cεp − γXp (2.25)

où : γ est une constante caractéristique du matériau.

3. une loi d’écrouissage cinématique non linéaire, notée L2 (modèle de Marquis, [86]) :

X(εp) = Cεp − φ(p)γXp

φ(p) = φ∞ + (1 − φ∞)e−ωp(2.26)

où : φω et ω sont des constantes caractéristiques du matériau.

4. une loi de superposition de plusieurs modèles d’écrouissage cinématique non li-

néaire [4] :

X =n∑

i=1

Xi

Xi(εp) = Ciε

p − φ(p)γiXip

φ(p) = φ∞ + (1 − φ∞)e−ωp

(2.27)

Cependant, cette loi n’est pas utilisée dans la suite de cette étude. Elle a néanmoins

été également programmée dans logiciel Camfit présenté à l’annexe C, l’objectif

étant de fournir plusieurs lois aux utilisateurs.

La linéarité de la loi de Prager présente l’avantage de rendre les algorithmes de calculs

numériques plus stables et moins coûteux. Dans le cas de chargements cycliques, il permet

de représenter qualitativement l’effet Bauschinger : après un premier chargement ayant

généré des déformations plastiques, la limite d’élasticité est plus grande pour un nouveau

chargement dans le même sens que le premier, et plus faible pour un nouveau chargement

dans le sens opposé. Par contre, les effets de rochet (asymétrie de la réponse dans les

cycles traction/compression [4]) ne sont pas décrits par la loi de Prager.

36 Chapitre 2

Cet inconvénient de la loi de Prager vis-à-vis des effets de rochet est levé par le terme de

rappel φ(p)γXp dans l’équation 2.25. Ce terme de rappel introduit un effet de mémoire

évanescente du trajet de déformation qui permet de rendre compte de la non-linéarité de

l’écrouissage cinématique.

Le terme φ(p) introduit par Marquis [86] dans l’équation 2.26 enrichit encore le modèle

précédent ce qui permet de retarder l’apparition de l’asymptote horizontale obtenue par

le premier modèle non linéaire L1 (équation 2.25).

Malgré la richesse relative du modèle d’écrouissage cinématique non linéaire par rapport

au modèle d’écrouissage linéaire, celui-ci fournit toutefois une description insuffisante des

réponses observées expérimentalement lorsque le domaine de variation des déformations

est important. La non-linéarité n’intervient que dans un domaine intermédiaire : pour les

très faibles déformations, on retrouve le cas linéaire, avec une mauvaise représentation

de la transition élastoplastique ; par contre dans le cas des déformations importantes la

valeur limite est atteinte trop rapidement, comme cela est mentionné par [4]. Il est facile

de remédier à une telle insuffisance en superposant plusieurs modèles cinématiques, d’où

le modèle de l’équation 2.27.

Les deux modèles d’écrouissage présentés ci-dessus, isotrope et cinématique, ne rendent

évidemment pas compte de tous les aspects des résultats expérimentaux. Ils peuvent

toutefois être combinés. Il s’agit de superposer à l’écrouissage cinématique un écrouissage

isotrope et vice-versa. Alors, le domaine d’élasticité se modifie par translation et aussi

par dilatation. L’objectif est d’exploiter les avantages de chacun des deux modèles pour

représenter le plus fidèlement possible les réponses observées expérimentalement.

2.3 Relation incrémentale entre contrainte et déforma-

tion totale en élastoplasticité

2.3.1 Hypothèse des contraintes planes

Dans le cas d’une plaque mince chargée dans son plan (Oxy), le tenseur des contraintes

est plan, s’écrivant ainsi :

σ =

σxx σxy 0

σxy σyy 0

0 0 0

(2.28)


2.3.2 Le cas de l’élasticité

A partir de l’équation 2.11, la relation contrainte-déformation en deux dimensions en

élasticité s’écrit :

σxx

σyy

σxy

︸︷︷︸σ

=

Qxx Qxy 0

Qxy Qxx 0

0 0 (Qxx−Qxy)2

︸︷︷︸Q

εxx

εyy

2εxy

︸︷︷︸ε

(2.29)

avec : Qxx = E1−ν2 ; Qxy = νE

1−ν2 , Q est la matrice de rigidité, εxz = εyz = 0 mais

εzz = ν1−ν

(εxx + εyy)

Les deux vecteurs σ et ε sont fonction de trois variables : le temps t et les variables spatiales

x et y. La quantité ε(x, y, t) est calculée par la dérivation des champs de déplacements

u(x, y, t) par rapport à x et y. Elle est la partie symétrique de l’opérateur gradient du

déplacement.

2.3.3 Le cas de l’élastoplasticité

Pour déterminer la contrainte σ(x, y, t), l’équation constitutive doit être introduite. Il est

possible de décrire la relation contrainte-déformation à travers une matrice tangente. Pour

cela on introduit une dérivée temporelle de contrainte σ = dσ/dt qui s’exprime :

σ = [M ] · ε (2.30)

où : [M ] est la matrice tangente dont l’expression est explicitée dans le paragraphe qui

suit (équation 2.45) ; ε = dε/dt la dérivée temporelle de la déformation totale mesurée.

σ =

σxx

σyy

σxy

; ε =

εxx

εyy

2εxy

(2.31)

2.3.4 Détermination de la matrice tangente [M ]

A partir de la théorie élastosplastique présentée précédemment, l’idée est de déterminer

les contraintes planes à partir de la matrice tangente [M ]. L’emploi du critère de Von

mises permet d’écrire :

38 Chapitre 2

f =

[3

2(σ

′

−X) : (σ′

−X)

] 1

2

− R− σ0 ≤ 0 (2.32)

Où :

σ′

=

sxx sxy 0

sxy syy 0

0 0 szz

avec szz = −(sxx + syy)

sxx

syy

sxy

=

2σxx/3 − σyy/3

2σyy/3 − σxx/3

2σxy

(2.33)

X =

Xxx Xxy 0

Xxy Xyy 0

0 0 Xzz

; Xzz = −(Xxx +Xyy) (2.34)

Dans le cas général avec une superposition de n modèles d’écrouissage cinématique (équa-

tion 2.27), on a :

Xxx

Xyy

Xxy

=

∫ tn

0

[(C1 εplxx(t) − γ1X

1

xx(t − 1) p) + . . . + Cn εplxx(t) − γnXn

xx(t − 1) p)] dt∫ tn

0

[(C1 εplyy(t) − γ1X

1

yy(t − 1) p) + . . . + Cn εplyy(t) − γnXn

yy(t − 1) p)] dt∫ tn

0

[(C1 εplxy(t) − γ1X

1

xy(t − 1) p) + . . . + Cn εplxy(t) − γnXn

xy(t − 1) p)] dt

(2.35)

L’expression de f donnée dans l’équation 2.32 est introduite sous la condition de consis-

tance donnée par l’équation 2.18. Ainsi, la condition de consistance devient :

df =∂f

∂σ: σ +

∂f

∂X: X +

∂f

∂p· p = 0 (2.36)

Pour simplifier l’écriture, les produits tensoriels dans l’équation 2.36 sont transformés en

produits scalaires. Pour cela, posons :

X =

Xxx

Xyy

Xxy

Xzz = −(Xxx + Xyy)

; p =

[2

3(εp

xx)2 + (εp

yy)2 + (εp

xx + εpyy)

2 + 2(εxyp)2

] 1

2

(2.37)


S =

[∂f

∂σxx; ∂f

∂σyy; 2 ∂f

∂σxy

]= 3

2σeq[sxx −Xxx; syy −Xyy; 2(sxy −Xxy)] est un vecteur colonne,

le coefficient "2" dans le terme 2 ∂f∂σxy

provient de la transformation du produit tensoriel

en produit scalaire.

S1 =

[∂f

∂Xxx; ∂f

∂Xyy; 2 ∂f

∂Xxy; ∂f

∂Xzz

]= 3

2σeq[sxx−Xxx; syy −Xyy; 2(sxy −Xxy); szz −Xzz] est un

vecteur de colonne, le coefficient "2" dans le terme 2 ∂f∂Xxy

provient de la transformation du

produit tensoriel en produit scalaire. Ainsi, la condition de consistance devient en utilisant

les produits scalaires et la nouvelle notation vectorielle :

df = ST · σ − S1T · X −∂σs

∂pp = 0 (2.38)

où : ·T désigne la transposée d’un vecteur. Selon la loi d’écoulement de l’équation 2.19

et selon la loi d’écrouissage cinématique de l’équation 2.35, X s’écrit alors :

X = (C1 + . . .+ Cn)3λ

2σeq

sxx −Xxx

syy −Xyy

sxy −Xxy

szz −Xzz

︸︷︷︸s2

−λγ1

X1xx

X1yy

X1xy

X1zz

︸︷︷︸X1

− . . .− λγn

Xnxx

Xnyy

Xnxy

Xnzz

︸︷︷︸Xn

= (C1 + . . .+ Cn)λS2 − λγ1X1 − . . .− λγnXn; avec p = λ (2.39)

ici :

S2 =3λ

2σeqs2

Finalement, en introduisant l’expression de X dans l’équation 2.39, p = λ et l’expression

de σeq 2.16, la condition de consistance de l’équation 2.38 devient alors :

df = ST σ− γ

((C1 + . . .+Cn)S1T S2︸︷︷︸

= 3

2

−γ1S1TX1 − . . .− γnS1TXn

)−∂σs

∂pγ = 0 (2.40)

Finalement, le multiplicateur plastique s’exprime :

λ =ST · σ

[32(C1 + . . .+ Cn) − γ1S1TX1 − . . .− γnS1TXn] + ∂σs

∂p

(2.41)

40 Chapitre 2

Dans le cadre d’une formulation incrémentale, la dérivée temporelle de contrainte s’ex-

prime :

σ = [Q](ε− εpl) = [Q](ε− λS) (2.42)

où [Q] la matrice de rigidité, introduite à l’équation 2.29.

On note ε la dérivée temporelle de la déformation totale et εp la dérivée temporelle de

la déformation plastique. On constate que la dérivée temporelle de déformation dans

l’épaisseur, noté εzz (que l’on ne mesure pas en pratique avec les mesures de champ surfa-

cique 2D), fait partie de cette expression. Néanmoins, grâce à l’hypothèse d’incompressi-

bilité plastique, la partie plastique de εzz est exprimée en fonction des seules composantes

planes :

εpxx + εp

yy + εpzz = 0 (2.43)

La partie élastique est quant à elle extraite de la loi d’élasticité en contraintes planes :

εezz =

−ν

1 − ν

(εe

xx + εeyy

)(2.44)

On ferme la résolution en introduisant l’expression de λ donnée par l’équation 2.41 dans

l’équation 2.42. On peut finalement écrire la dérivée temporelle de la contrainte sous la

forme suivante :

σ =

[[Q]−1 +

S · ST

(32(C1 + . . .+ Cn) − γ1S1TX1 − . . .− γnS1TXn

)+∂σs

∂p

]−1

︸︷︷︸matrice tangente [M ]

εxx

εyy

2εxy

(2.45)

Il est remarqué ici que l’on peut aussi déterminer directement la contrainte plane avec

le multiplicateur plastique λ. Cette alternative a été utilisée pour traiter des mesures de

champs par [22, 24, 87].

Toutefois, la formule directe de l’équation 2.45 est plus adaptée pour évaluer l’effet du bruit

sur la MCV, qui sera l’objet de la partie 3.3. C’est pour cette raison que cette équation

a été retenue dans cette étude comme relation incrémentale de base entre contrainte et

déformation totale.

Chapitre 3

Méthode des champs virtuels en

élastoplasticité

Introduction

L’identification des paramètres pilotant une loi de comportement à partir de mesures de

champs cinématiques constitue un problème inverse. Pour traiter ce problème, la méthode

la plus utilisée est celle du recalage par éléments finis [14, 38, 74]. Elle se base sur une

modélisation de type éléments finis de l’essai puis une minimisation de l’écart entre une

grandeur du modèle et cette même grandeur mesurée en fonction des paramètres recher-

chés. Il y a actuellement des alternatives aux procédures de recalage par éléments finis qui

existent dans certains cas telles que la méthode de l’écart à l’équilibre [88, 89], l’écart à la

réciprocité ou l’erreur en relation de comportement [73, 90]. Ces méthodes sont utilisées le

plus souvent dans le cas de l’élasticité linéaire, mais peu dans le cas de lois non linéaires.

La MCV [11] est une alternative aux procédures de recalage par éléments finis qui a

été proposée à la fois pour les cas de lois linéaires et non linéaires. Les points forts de

cette méthode sont considérables. Tout d’abord, on n’a pas besoin de réaliser un calcul

par élément finis ce qui permet de réduire le nombre de calculs. Ensuite, le choix de

champs virtuels particuliers en impliquant seulement la résultante des efforts extérieurs

mais pas leur distribution rend la méthode insensible à la distribution des efforts dont

la méconnaissance peut poser des difficultés dans les approches de recalage par éléments

finis.

41

42 Chapitre 3

Ce chapitre présente tout d’abord l’état de l’art de la MCV avant de cette thèse. Ensuite,

les améliorations apportées à cette méthode en élastoplasticité seront détaillées.

3.1 La méthode de champs virtuels existante

La méthode des champs virtuels (MCV) est une méthode d’identification de paramètres de

lois de comportement à partir de mesures de champs cinématiques. Elle a été proposée par

Grédiac en 1989 [19]. Elle a été appliquée avec succès dans plusieurs cas : l’identification

de rigidités de flexion de plaques en statique [78, 79] et en dynamique [81], l’identification

dans le plan de propriétés élastiques de matériaux composites [91] etc.

La MCV est fondée sur le principe des travaux virtuels (PTV). Ce principe repose sur

l’équation suivante, valable pour tout champ u∗ cinématiquement admissible.

−

∫

V

σijε∗ijdV +

∫

∂Vf

Tiu∗idS +

∫

V

fiu∗idV = 0 (3.1)

où :

– V est le volume dans lequel l’équilibre global est écrit,

– ∂Vf est la surface sur laquelle s’exercent des conditions aux limites en contrainte impo-

sée,

– T est le vecteur contrainte en un point donné de ∂Vf ,

– u∗ est un champ de déplacement virtuel,

– σij est le champ de contrainte,

– ε∗ij est le champ de déformation virtuel dérivé de u∗,

– f est la force volumique,

Le PTV est aussi appelé la « forme faible » des équations d’équilibre, qui s’écrivent de

manière locale :

σij,j+fi = 0 sur V Equation d’équilibre local ou « forme forte » de l’équilibre

σijnj = Ti sur ∂Vf Conditions aux limites(3.2)

L’utilisation de différents champs virtuels dans l’équation 3.1 permet l’écriture d’une re-

lation entre les paramètres à identifier, la résultante des efforts appliqués et le champ

cinématique mesuré. Cette relation peut être explicite ou implicite. En effet, elle dépend

du comportement du matériau étudié (linéaire ou non linéaire).

Méthode des Champs Virtuels 43

3.1.1 Mise en œuvre de MCV en élasticité

Afin d’illustrer la procédure générale, on va étudier sa mise en œuvre sur un essai de

flexion/cisaillement appliqué sur un matériau composite verre-époxyde (figure 3.1).

Figure 3.1: Essai de flexion cisaillement appliqué sur un matériau composite verre-

époxyde [28].

Dans cet essai, une plaque de faible épaisseur est chargée dans son plan. Le matériau

de la plaque a une loi de comportement élastique linéaire orthotrope. Cette loi s’écrit en

utilisant la convention habituelle de contraction des indices (xx→ x, yy → y, xy → s) :

σx

σy

σs

=

Qxx Qxy 0

Qxy Qyy 0

0 0 Qss

εx

εy

εs

(3.3)

L’objectif est d’identifier Qxx, Qyy, Qxy, Qss à partir du champ de déformation hétérogène

mesuré à la surface de l’éprouvette par une méthode de mesure de champ. D’après le PTV

(voir l’équation 3.1), l’équilibre global statique de l’éprouvette s’écrit en absence de forces

de volume :

−

∫

V

σijε∗ijdV +

∫

∂Vf

Tiu∗idS = 0 (3.4)

Les déformations sont supposées constantes dans l’épaisseur, ce qui permet de factoriser

le travail des efforts intérieurs par l’épaisseur b. Il est possible d’exprimer les contraintes

en fonction des déformations en introduisant les paramètres constitutifs de la loi de com-

portement dans l’équation 3.4. En supposant le matériau homogène, on sort les rigidités

des intégrales et on obtient :

44 Chapitre 3

Qxx

∫

S2

εxε∗xdxdy +Qyy

∫

S2

εyε∗ydxdy

+Qxy

∫

S2

(εxε∗y + εyε

∗x)dxdy +Qss

∫

S2

εsε∗sdxdy =

1

b

∫

S2

Tiu∗idS (3.5)

Il suffit alors d’écrire l’équation 3.5 avec quatre champs virtuels différents afin d’obtenir

un système linéaire de quatre équations à quatre inconnues. Ces champs virtuels doivent

satisfaire des conditions aux limites cinématiques particulières, de manière à impliquer la

résultante des efforts extérieurs mais pas leur distribution, qui est inconnue.

On constate toutefois qu’il existe une infinité de possibilités de choix pour ces champs

virtuels. On choisit alors des champs virtuels permettant de rendre la matrice du système

d’équations égale à la matrice identité. Ces champs sont appelés « champs spéciaux » [82].

On a alors :

Qxx =1

b

∫

∂Vf

Tiu∗1i dS ; Qyy =

1

b

∫

∂Vf

Tiu∗2i

Qxy =1

b

∫

∂Vf

Tiu∗3i dS ; Qss =

1

b

∫

∂Vf

Tiu∗4i

(3.6)

où : les u∗1, u∗2, u∗3, u∗4 sont les quatre champs virtuels spéciaux.

Le problème d’identification est alors résolu sans difficulté en utilisant ces « champs spé-

ciaux ».

Ces champs virtuels ont été programmés sur une base de fonctions polynomiales [92] :

u∗x(x, y) =x(x− L)

L2

(m∑

i=0

n∑

j=0

aij

(x

L

)i(y

H

)j)

u∗y(x, y) =x(x− L)

L2

(p∑

i=0

q∑

j=0

bij

(x

L

)i(y

H

)j) (3.7)

où :

– L, H sont les dimensions de l’éprouvette ;

– x et y sont les coordonnées des points matériels sur la surface de l’éprouvette ;

– aij et bij sont des coefficients qui définissent les champs virtuels.

Le choix des champs virtuels est donc réduit à la détermination des coefficients des mo-

nômes aij et bij qui sont calculés selon les conditions d’admissibilité et de continuité [92].

Pour optimiser ce choix, une technique permettant de minimiser la sensibilité des résultats

à un bruit blanc inclus dans les mesures a été proposée [93].


3.1.2 La mise en œuvre de MCV en plasticité

Contrairement au cas élastique présenté à la partie précédente, dans ce cas, la loi de

comportement n’est pas linéaire. Il n’est pas possible de construire un système d’équations

linéaires comme précédemment. L’identification des paramètres de lois élastoplastiques est

donc plus compliquée [34, 35, 94]. Néanmoins, le problème mécanique posé se base encore

sur les relations fondamentales de la mécanique, mais avec la loi de comportement qui

représente la relation contraintes-déformations sous une forme quelconque :

σ = f ∗(ε) (3.8)

où f ∗ désigne la loi de comportement en fonctions de paramètres à identifier.

Dans ce cas, une procédure de calcul des contraintes dans le cas 2D (contraintes planes)

est nécessaire, elle est directement inspirée du travail de Sutton et al. [87]. Il s’agit d’un

algorithme d’intégration des contraintes reposant sur le calcul du module tangent avec

l’hypothèse d’un retour radial et une correction de l’écoulement plastique négatif [22, 24,

87].

Il nous faut encore déterminer les paramètres de la loi de comportement à partir des

champs cinématiques mesurés, des efforts appliqués et des conditions aux limites (pro-

blème inverse). L’idée est toujours d’utiliser le PTV. En l’absence de la force de volume,

l’équation 3.5 devient :

−

∫

V

f ∗(ε) : ε∗dV +

∫

∂Vf

Tiu∗idS = 0 (3.9)

Ainsi pour chaque nouveau champ virtuel introduit, une équation impliquant les para-

mètres de la loi de comportement et les champs de déformation mesurés est créée, comme

en élasticité. Le problème est de construire un ensemble d’équations pertinentes en uti-

lisant plusieurs champs virtuels dans le but de calculer les paramètres recherchés. Il est

aussi nécessaire de déterminer le nombre et le type des champs virtuels pour qu’ils puissent

optimiser l’identifiabilité des paramètres recherchés. Pour adapter la MCV au cas non li-

néaire, l’idée proposée par Grédiac et Pierron [35] est de construire puis de minimiser une

fonction coût dépendant des paramètres à identifier, toujours en utilisant le PTV. Elle

est construite comme étant la somme des écarts quadratiques calculés à chaque étape de

chargement entre le travail virtuel intérieur et le travail virtuel extérieur.

Φ (paramètres identifiés) =N∑

n=1

[−

∫

S

σ(n) : ε∗(n)dS +1

b

∫

S

Tu∗(n)dS

]2

(3.10)

46 Chapitre 3

où N est nombre total d’étapes de mesure dans l’essai et le champ de contrainte est calculé

à partir de champ de déformation mesuré à l’étape n en utilisant les paramètres a priori.

Ensuite, cette fonction coût va être minimisée à l’aide de la fonction « fminsearch »

du logiciel Matlab afin de trouver les paramètres identifiés. L’algorithme utilisé est un

algorithme de recherche directe basé sur la méthode du simplex de Nelder-Mead [95]. Cet

algorithme n’utilise ni gradients numériques ni gradients analytiques.

Cette procédure d’identification a été appliquée numériquement par Grédiac [35] et ex-

périmentalement par Pannier [24, 94]. Toutefois, les champs virtuels ont été choisis em-

piriquement dans ces applications. Il n’y avait aucune procédure de sélection dans le cas

non linéaire. C’est une des raisons principales pour laquelle les résultats obtenus par Pan-

nier [24] présentaient des écarts importants.

3.2 MCV par morceaux

L’utilisation d’une base de fonctions polynomiales pour définir les champs virtuels [92]

présente des inconvénients dans la procédure d’identification. En fait, le choix des champs

virtuels spéciaux nécessite la détermination des coefficients des monômes selon les condi-

tions d’admissibilité et de continuité [92] ainsi que la minimisation de la sensibilité des

résultats à un bruit blanc selon la technique [93]. Dans le but de faciliter le choix des

champs virtuels, l’utilisation d’une base de fonctions linéaires par morceaux apporte un

intérêt pour exprimer les champs virtuels [22]. Cela permet entre autres de décrire fa-

cilement des champs virtuels discontinus pour, par exemple, écarter certaines zones de

l’échantillon.

Ce paragraphe est consacré à la mise en œuvre de la MCV par morceaux. Nous présentons

tout d’abord le principe de reconstruction des champs réels et de construction des champs

virtuels. Ensuite, la nouvelle formulation de la MCV par morceaux sera abordée ainsi que

son application en élasticité et plasticité.

3.2.1 Principe de reconstruction des champs réels et de construc-

tion des champs virtuels

A partir des données mesurées, l’objectif est de reconstituer un champ de déplacement

cinématiquement admissible. Cela permet de filtrer les données qui sont généralement

bruitées en raison de la numérisation et du bruit du capteur CCD. Le principe de base de

la reconstruction repose sur un maillage éléments finis. En effet, la surface de l’éprouvette


où des mesures de champs sont effectuées peut être maillée en éléments rectangulaires ou

triangulaires. Les triangles sont utilisés ici plutôt que tout autre élément parce qu’ils sont

simples et qu’ils s’adaptent facilement à n’importe quelle géométrie. On écrit le champ de

déplacements à partir des déplacements aux nœuds du maillage en utilisant les fonctions

de forme suivantes :

ux(x, y) = N1(x, y)ux(A1) +N2(x, y)ux(A2) +N3(x, y)ux(A3) = 〈N(x, y)〉Ue

x

uy(x, y) = N1(x, y)uy(A1) +N2(x, y)uy(A2) +N3(x, y)uy(A3) = 〈N(x, y)〉Uey

(3.11)

où :

– les ux(Ai) sont les valeurs des déplacements horizontaux respectivement aux nœuds

Ai(xi, yi) de l’élément triangulaire ;

– les uy(Ai) sont les valeurs des déplacements verticaux respectivement aux nœudsAi(xi, yi)

de l’élément triangulaire ;

– Uex, U

ey sont les vecteurs composés des déplacements nodaux d’un élément ;

– 〈N(x, y)〉 est le vecteur des valeurs prises par les fonctions de forme.

Les fonction de forme Ni(x, y) s’expriment de la manière suivante :

Ni(x, y) = (0, 5/S)(ai + bix+ ciy) (3.12)

où i = 1, 2, 3 ; S représente l’aire de l’élément triangulaire A1A2A3 et a1 = x2y3 − x3y2,

b1 = y2 − y3, c1 = x3 − x2 (les autres coefficients sont obtenus à partir de ces relations

par permutation circulaire des indices). On note que le déplacement varie linéairement

sur chaque côté du triangle. Ainsi, si l’on raccorde les déplacements nodaux entre deux

triangles adjacents, on assure la continuité des déplacements entre éléments ; l’élément est

dit « conforme ».

A partir de l’équation 3.11 on évalue les déplacements nodaux à partir des données expéri-

mentales ux(x, y), uy(x, y) par régression au sens des moindres carrés [35]. L’approximation

se fait en deux temps. Une première fois, toutes les données expérimentales sont utilisées.

La deuxième fois, on calcule la différence entre les données expérimentales et les données

approximatives puis l’écart-type de cette différence, noté γb. Les données expérimentales

s’éloignant trop (au-delà d’un seuil fixé, par exemple 2 ou 3 fois de plus de γb en fonction

de l’écart type du bruit de mesure) de l’approximation sont éliminées et la régression

au sens de moindres carrés est réalisée à nouveau avec les données restantes. Une fois

les déplacements nodaux obtenus, on reconstruit le champ de déplacement approché en

utilisant les fonctions de forme (voir l’équation 3.11).

48 Chapitre 3

On définit maintenant le champ des déformations sur chaque élément à partir des valeurs

nodales de déplacements obtenues et de l’opérateur gradient de l’équation 3.11 :

εxx =∂ux

∂x; εyy =

∂uy

∂y; εxy = 0, 5

(∂uy

∂x+∂ux

∂y

)(3.13)

En utilisant l’interpolation, on obtient :

εel = [B1 B2 B3]

= Bel Uel (3.14)

avec : Uel = [ux(A1); uy(A1); ux(A2); uy(A2); ux(A3); uy(A3)] ; εel =

εxx

εyy

2εxy

est le

vecteur des déformations sur un élément ; chaque matrice Bi(i = 1, 2, 3) qui contient les

gradients des fonctions de forme Ni sur élément est donnée par :

Bi =

∂Ni

∂x0

0 ∂Ni

∂y∂Ni

∂y∂Ni

∂x

(3.15)

On constate que l’interpolation Ni(x, y) est linéaire en x et y, ses dérivées sont constantes

sur le triangle. Les déformations et donc les contraintes sont constantes sur chaque élément.

Pour la reconstruction des champs de déformation, on peut aussi rendre les déformations

continues en reportant les déformations aux nœuds et en utilisant les fonctions de forme à

nouveau. En fait, les déformations au nœud j est la moyenne de celles de tous les éléments

qui contiennent ce nœud.

εjxx =

1

n

n∑

i

εixx ; εj

yy =1

n

n∑

i

εiyy ; εj

xy =1

n

n∑

i

εixy (3.16)

où n est le nombre total des éléments qui portent le nœud j.

L’utilisation d’une base de fonctions linéaires par morceaux, telles que présentées dans

l’équation 3.11, a pour intérêt d’exprimer les champs virtuels directement à partir du

maillage utilisé aussi pour reconstruire le champ réel. En effet, la surface de l’éprouvette

a déjà été maillée en éléments triangulaires pour l’approximation du champ expérimental.

Utiliser la même base afin de construire des champs virtuels est donc logique. On obtient

donc :


ε∗el = [B1 B2 B3] U∗el

= Bel U∗el (3.17)

avec : U∗el = [u∗x(A1); u

∗y(A1); u

∗x(A2); u

∗y(A2); u

∗x(A3); u

∗y(A3)] ; ε∗el =

ε∗xx

ε∗yy

2ε∗xy

est le

vecteur des déformations virtuelles sur un élément.

3.2.2 Nouvelle formulation de la méthode des champs virtuels

basée sur les champs par morceaux

L’écriture vectorielle des tenseurs des déformations permet d’une part de formuler ma-

triciellement la loi de comportement et d’autre part d’écrire simplement le principe des

travaux virtuels (voir l’équation 3.4). Pour cela on utilise les relations 3.15 et 3.17 pour

exprimer l’équation 3.4, le formalisme de PTV s’exprime alors comme suit :

−

m∑

i=1

Aielσ

iel[B

iel]U

i∗el +

1

bTVext = 0 (3.18)

où TVext est la partie de travail virtuel des efforts extérieurs ; m est le nombre total

d’éléments ; Aiel représente l’aire de l’élément i ; σi

el =

σi

xx

σiyy

σixy

est le vecteur composé

des contraintes de l’élément i ; b est l’épaisseur de l’éprouvette.

On constate que la nouvelle formulation de la MCV représentée par la formule 3.18 apporte

des avantages importants. En effet, elle donne plus de souplesse au choix des champs

virtuels tout en simplifiant la génération d’un point de vue informatique. Pour plus de

détails, on va étudier sa mise en œuvre en élasticité et plasticité.

3.2.2.1 Application à l’identification de paramètres élastiques

Dans ce cas, la relation contraintes-déformations est linéaire. On exprime σiel en fonction

de εiel via la relation suivante :

σiel = [Q] εi

el (3.19)

50 Chapitre 3

où [Q] est la matrice de rigidité, elle est constante pour tout l’élément. En utilisant des

équations 3.14 et 3.19, le formalisme 3.18 devient :

−m∑

i=1

U i∗el

T Aiel [Bi

el]T [M ][Bi

el]Uiel +

1

bTVext = 0 (3.20)

On factorise la matrice M de manière suivante :

M = Q1

1 0 0

0 0 0

0 0 0

+Q2

0 1 0

0 0 0

0 0 0

+ . . .+Qn

0 0 0

0 0 0

0 0 1

= Q1[M1] +Q2[M2] + . . .+Qn[Mn] (3.21)

On pose :

[Hnel] = U i∗

el T Ai

el [Biel]

T [Mn][Biel]U

iel (3.22)

Après assemblage en utilisant les formules 3.21 et 3.22, l’équation 3.20 devient :

Q1U∗T [H1]U +Q2U

∗T [H2]U + . . .+QnU∗T [Hn]U =

1

bTV ext (3.23)

où :

– U∗ est le vecteur composé des déplacements virtuels nodaux, ce champ doit satis-

faire des conditions aux limites cinématiques particulières, de manière à impliquer la

résultante des efforts extérieurs mais pas leur distribution, qui est inconnue.

– U est le vecteur composé des déplacements réels nodaux ;

– Q1, Q2 . . . Qn sont les paramètres élastiques indépendants à identifier, si l’un dépend de

l’autre, on doit faire une combinaison pour éviter que le système ne soit de déterminant

nul. Par exemple, on a quatre paramètres indépendant pour une loi de comportement

élastique linéaire orthotrope plane et seulement deux pour une loi de loi de comporte-

ment élastique linéaire isotrope.

– [H1], [H2] . . . [Hn] sont calculées et assemblées à partir des matrices élémentaires corres-

pondantes [Hnel].

– ·T désigne la transposée d’une matrice.

Il suffit alors d’écrire l’équation 3.23 avec n champs virtuels différents afin d’obtenir un

système linéaire de n équations à n inconnues. On constate que la MCV représentée par la

relation 3.23 apporte des avantages importants. En effet, elle permet de créer facilement

des équations afin d’obtenir des « champs spéciaux » [82] et de faciliter l’évaluation de la

fonction coût dans la minimisation de la sensibilité au bruit blanc (voir l’équation 3.25)

en appliquant l’algorithme proposé par S. Avril [93].


En fait, les inconnues seront identifiées à une constante multiplicative près. On va

choisir les champs virtuels de sorte que le travail virtuel des forces extérieures soit nul. Il

en résulte que le travail virtuel des forces intérieures est également nul. Si l’on décompose

ce travail en une partie associée à un paramètre fixé à 1, on peut exprimer le travail virtuel

des autres paramètres à partir de celui-là. Vu que le travail virtuel dépend linéairement

des paramètres en élasticité, les relations cherchées s’identifient directement. On connaît

donc tous les paramètres en fonction de l’un d’entre eux. Le paramètre fixé choisi est

celui dont l’on peut déterminer la valeur même à l’insu de celle des autres. En réalité,

la constante multiplicative près prend deux valeurs différentes : Qxx pour l’élasticité

linéaire isotrope et Qss pour l’élasticité linéaire orthotrope.

Tout d’abord, on choisit les n − 1 champs virtuels permettant de rendre la matrice du

système d’équations égale à la matrice d’identité [82], de minimiser le bruit blanc [93]

et d’annuler le travail virtuel des forces extérieures. Il ne reste plus qu’à déterminer la

valeur du coefficient multiplicatif en utilisant l’information de la résultante appliquée. En

effet, on va calculer la contrainte moyenne à partir de la force appliquée avec l’utilisation

d’un champ virtuel simple dans le PTV (voir l’équation 3.23) et celle moyenne à par-

tir des déformations approchées, et les comparer afin de trouver la valeur du coefficient

multiplicatif.

La minimisation de la sensibilité au bruit blanc contenu dans les mesures a été évoquée.

Celle-ci est très simple à mettre en œuvre. En effet, si l’on décompose le vecteur U

en deux vecteurs, le premier correspondant aux incréments de déplacements exacts et le

second à celui dû au bruit blanc :

U = Uexact + Ubruit (3.24)

on trouve l’erreur commise dans le calcul de l’équation 3.23 comme suit :

erreur = U∗T [Q1[H1] +Q2[H2] + . . .+Qn[Hn]]Ubruit (3.25)

3.2.2.2 Application à l’identification de paramètres plastiques

Avril en 2008 a appliqué la MCV par morceaux en plasticité [22]. Cette procédure d’iden-

tification est identique à celle réalisée par [35, 94]. Néanmoins, le travail d’Avril a apporté

deux améliorations importantes. En effet, la surface de l’éprouvette a déjà été maillée

en éléments triangulaires pour l’approximation du champ expérimental ce qui améliore

la qualité de traitement des mesures par rapport à l’approximation polynomiale réalisée

52 Chapitre 3

dans [94] (voir partie reconstruction des champs cinématiques 1.2.4 ). Utiliser la même

base donne plus de souplesse au choix des champs virtuels tout en simplifiant la génération

d’un point de vue informatique. Cela facilite la construction de la fonction coût dans la

procédure d’identification. Toutefois, le choix des champs virtuels reste à traiter.

3.3 Nouveaux développements apportés à la MCV en

élastoplasticité

La MCV est maintenant validée en élasticité et en plasticité [35]. Dans le cas du com-

portement élastique linéaire (isotrope ou anisotrope, en contraintes planes ou en flexion),

les développements théoriques ont conduit à la réalisation d’algorithmes robustes et ra-

pides [20]. Avec l’utilisation des champs virtuels optimisés spéciaux [93], on a montré que

la solution au maximum de vraisemblance du problème inverse peut être trouvée en deux

itérations, prouvant la robustesse de la méthode en élasticité. Par contre, en plasticité,

il n’y a pas encore de règle pour choisir des champs virtuels optimisés pour rendre la

méthode robuste. La plus grande difficulté rencontrée dans ce cas est d’évaluer et de mi-

nimiser l’effet du bruit blanc. Toutefois, l’utilisation de la MCV par morceaux précédente

apportera une base importante dans l’étude du choix des champs virtuels optimisés ainsi

que dans le développement de cette méthode en élastoplasticité.

Ce paragraphe présente donc nos nouveaux développements apportés à la MCV en plas-

ticité :

– procédure d’identification générale ;

– procédure de sélection des champs virtuels optimisés en plasticité ;

– procédure de minimisation de la fonction coût en utilisant l’algorithme de Newton-

Raphson ;

– procédure d’intégration pour le calcul des contraintes en utilisant une matrice tangente

(voir chapitre 2) ;

– extension aux lois de comportements élastoplastiques avec écrouissage cinématique en

considérant un chargement non monotone.

3.3.1 Procédure d’identification générale

3.3.1.1 Principe général

Le principe général est toujours d’utiliser le PTV. Toutefois, l’utilisation de la relation

incrémentale de base entre contraintes et déformations totales (voir équation 2.45), permet


de représenter le PTV (équation 3.9) sous la forme suivante :

−

∫

A

ε∗(x, y, tn)T

∫ tn

0

[MXP(x, y, t)]ε(x, y, t)dt

dxdy +

1

bW ∗

ext(tn) = 0 (3.26)

où :

– A est la surface de la zone d’étude ;

– W ∗ext(tn) est la partie de travail virtuel des efforts extérieurs à temps étudié tn ;

– XP désigne les paramètres de comportement élastoplastique du matériau ;

– MXP(x, y, t) est la matrice de rigidité en élasticité ou matrice tangente déterminée

selon l’équation 2.45 en plasticité et dépend non seulement du point étudié mais aussi

de paramètres XP ;

– ε(x, y, t) est la déformation mesurée temporelle à l’instant t en la supposant égale à zéro

à t = 0. Elle est calculée par la dérivation des champs de déplacements mesurés u(x, y, t)

par rapport à x et y (la partie symétrique de l’opérateur gradient du déplacement) ;

– ε∗(x, y, tn) est la déformation virtuelle au temps étudié tn.

En pratique, les données de déplacement sont mesurées en un grand nombre de points

sur la surface de l’éprouvette grâce aux méthodes optiques comme la corrélation d’images

(DIC) [81, 91, 96] ou la méthode de grille [34, 35]. Les déplacements mesurés sont gé-

néralement bruitées en raison de la numérisation et du bruit du capteur CCD. De plus,

les techniques de mesures fournissent seulement des matrices de données expérimentales

réparties densément sur la surface. Pour ces raisons, la reconstruction de champs ciné-

matiques est donc nécessaire afin de filtrer les données et de disposer du champ des

déplacements en tout point à partir de matrice des mesures (voir la partie 3.2.1).

Les mesures sont effectuées à différentes moments, distribuées tout au long de l’essai,

avant et après le début de la plasticité. La résultante de force appliquée, dénotée F (tn),

est également mesurée à ces moments donnés ce qui permet de calculer W ∗ext(tn). Le

nombre de mesures est noté N .

L’écriture vectorielle des tenseurs des déformations telle que présentée à la partie 3.2.2

permet d’écrire simplement le PTV (équation 3.26) comme suit au temps tn :

−I∑

i=1

Aeli U

∗eli (tn)T [Bel

i (tn)]T

∫ tn

0

[MXP(xi, yi, t)]ε(xi, yi, t)dt

+

1

bW ∗

ext(tn) = 0

⇒

I∑

i=1

Aeli U

∗eli (tn)T [Bel

i (tn)]T

∫ tn

0

[MXP(xi, yi, t)][B

eli (tn)]Uel

i (t)dt

=

1

bW ∗

ext(tn)

(3.27)

54 Chapitre 3

Finalement le PTV s’écrit :

I∑

i=1

∫ tn

0

U∗eli (tn)T Ael

i [Beli ]T [MXP

(xi, yi, t)][Beli ]︸︷︷︸

Keli (XP , t)

Ueli (t)dt =

1

bW ∗

ext(tn) (3.28)

où I est le nombre total des éléments ; U∗eli (tn) est le vecteur colonne composé des

déplacements virtuels nodaux utilisés sur l’élément i à l’étape n(tn) ; Ueli (t) est le vecteur

composé des déplacements temporels réels nodaux de l’élément i au moment t ; [Beli (tn)] =

[Beli ] est la matrice composée des gradients de fonction de forme de l’élément triangulaire ;

Aeli est la surface de l’élément i. Comme dans le calcul des éléments finis, la matrice de

rigidité élémentaire Keli (XP , t) est définie par l’équation 3.28. Elle dépend de la contrainte

au moment t et des paramètres de comportement à identifier.

3.3.1.2 Résolution de problème inverse

Pour résoudre le problème inverse par la MCV dans le cas non linéaire, l’idée proposée par

Grédiac et Pierron [35] est de construire puis de minimiser une fonction coût dépendant

des paramètres à identifier, toujours en utilisant le PTV. Elle est construite comme étant

la somme des écarts quadratiques calculés à chaque étape de chargement entre le travail

virtuel intérieur et le travail virtuel extérieur.

Φ(XP ) =

N∑

n=1

[Jn(X)]2 =

N∑

n=1

[−

I∑

i=1

∫ tn

0

U∗eli (tn)T [Kel

i (XP , t)]Ueli (t)dt+

1

bW ∗

ext(tn)

]2

(3.29)

Évidemment, Φ(XP ) doit être égale à zéro pour les paramètres réels du comportement du

matériau et pour n’importe quel champ virtuel cinématiquement admissible si les déplace-

ments réels sont connus de manière exacte. Par conséquent, la procédure d’identification

est effectuée en minimisant la fonction coût ci-dessus avec jeu de paramètres initiaux de

XP . La procédure de minimisation de la fonction coût est pilotée par l’algorithme de

Newton-Raphson (voir la suite).

Il faut remarquer ici que la procédure d’identification ci-dessus est seulement utilisée

pour identifier les paramètres plastiques. Quant aux paramètres élastiques, il s’agit d’un

problème linéaire. Il suffit alors d’écrire l’équation 3.29 avec n champs virtuels différents

afin d’obtenir un système linéaire de n équations à n inconnues élastiques. La procédure

d’identification des paramètres élastiques en utilisant des champs virtuels optimisés donne

de bons résultats [22]. Elle est utilisée dans cette étude.


3.3.2 Procédure de sélection des champs virtuels optimisés en

plasticité

Dans l’équation 3.29, les champs virtuels doivent être choisis et entrés dans le PTV pour

construire une fonction d’écart à l’équilibre global de l’éprouvette testée. Un grand travail

a été consacré récemment au choix des champs virtuels optimisés dans le cas de l’élasti-

cité [20]. Toutefois, cette procédure ne peut pas être appliquée dans le cas de la plasticité

en raison de la nature non linéaire des équations constitutives. Néanmoins, on peut utiliser

le même principe que celui présenté dans [93]. L’idée est d’estimer l’effet des bruits blancs

sur l’identification et d’utiliser les champs virtuels qui réduisent au minimum ces effets.

3.3.2.1 L’erreur sur la fonction coût en présence de bruit de mesure en élas-

toplasticité

A cause du bruit blanc présent dans les mesures, des erreurs apparaissent dans la pro-

cédure d’identification. En effet, on décompose le vecteur Ueli (t) en un vecteur des

incréments de déplacements exacts et un dû au bruit blanc comme suit :

Ueli (t) = ˜Uel

i (t) + δUeli (t) (3.30)

où ˜Ueli (t) est le vecteur composé des déplacements temporels exacts nodaux de l’élément

i au moment t ; δUeli (t) est le vecteur composé des déplacements temporels nodaux

parasite provenant du bruit expérimental de l’élément i au moment t. Par conséquent,

l’erreur dans l’équation 3.29 s’écrit comme suit :

δJn =

I∑

i=1

∫ tn

0

U∗eli (tn)T [Kel

i (XP , t)]δUeli (t) dt

=I∑

i=1

n∑

j=1

U∗eli (tn)T [Kel

i (XP , tj)]︸︷︷︸gij

δUeli (tj)︸︷︷︸

fij

=n∑

j=1

U∗(tn)T [K(XP , tj)]︸︷︷︸gj

δU(tj)︸︷︷︸fj

(3.31)

où : U∗(tn) est le vecteur colonne composé des déplacements virtuels nodaux au moment

tn ; δU(tj) est le vecteur composé des déplacements temporels nodaux, parasites dus au

bruit expérimental au moment tj .

56 Chapitre 3

On estime l’erreur commise dans le calcul de la fonction coût 3.29 en présence de bruit

blanc. En effet, cette erreur fait intervenir trois quantités distinctes ; la première provient

du choix du champ virtuel, la deuxième ne dépend que des propriétés du matériau et de

la géométrie de l’éprouvette, la dernière est la partie aléatoire due au bruit blanc. Cela

montre que le choix des champs virtuels doit permettre la minimisation des effets du

bruit blanc afin d’obtenir le résultat le plus robuste possible dans l’identification de lois

élastoplastiques.

Pour déterminer ce choix de champs virtuels, on va étudier la variance de l’erreur aléatoire

due au bruit blanc.

Ici, les vecteurs fj dans l’équation 3.31 sont des processus aléatoires supposés non

corrélés. Ils ont donc un vecteur espérance nul : E(fj) = 0 et une covariance sous

forme d’une matrice diagonale : Cov(fj) = γ2uD, D est la matrice identité ; γu est un

scalaire égal à la résolution de la méthode de mesure.

La variance de δJn s’écrit alors :

V (δJn) = E([δJn − E(δJn)]2) = E(δJn2)

= E

([n∑

j=1

gj · fj

]2)=

(n∑

j=1

E

(g2

j · f2j

)+ 2

n∑

j=1

n∑

k(6=j)

E(gj · gk · fj · fk)︸︷︷︸= 0

)

= γ2u

n∑

j=1

g2j

= γ2u

n∑

j=1

U∗(tn)T [K(XP , tj)][K(XP , tj)]U∗(tn)

(3.32)

Ici, le membre de droite ne dépend pas du bruit blanc mais du choix du champ virtuel,

de la géométrie et des propriétés mécaniques du matériau.

3.3.2.2 Choix des champs virtuels optimisés en élastoplasticité

La minimisation de l’erreur donnée dans l’équation 3.32 permet d’optimiser le choix des

champs virtuels, ce qui rend l’identification plus robuste. Pour cela, on cherche les champs

virtuels correspondant à la valeur minimum du terme droit de l’équation 3.32 comme suit :

Ψn =

n∑

j=1

g2j = U∗(tn)T

n∑

j=1

[K(XP , tj)][K(XP , tj)]U∗(tn) (3.33)


Cependant, en pratique, différents poids devraient être attribués à la contribution de

chaque élément fini avant de dériver l’équation 3.33. En effet, la solution du système

d’équation 3.33 minimise seulement les effets du bruit sur la variance. Mais, il y a un

autre effet du bruit qui n’est pas considéré dans cette formule : c’est le biais qui affecte

l’espérance quand le bruit est grand. Dans ce cas, E(fj) = 0 n’est plus respectée et

elle provoque un biais sur les paramètres identifiés (ceci sera détaillé dans l’annexe A).

Ainsi, il faut trouver un compromis entre minimiser la variance et réduire l’effet de biais.

Il peut être trouvé en utilisant encore l’équation 3.33 pour définir les champs virtuels,

mais avec les différents poids attribués à la contribution de chaque élément fini. L’idée

est d’introduire un coefficient de pondération pénalisant les éléments où les contraintes

équivalentes de Von-Mises sont élevées dans l’équation 3.33. En effet, ces éléments portent

de plus grandes erreurs qui influencent plus l’espérance. Par conséquent, ils contribuent

plus à l’effet de biais.

De plus, la minimisation de l’équation 3.33 minimise l’influence du bruit sur chaque élé-

ment. Elle permet également de minimiser sa contribution dans la fonction coût. Il est

clair que l’élément dont la contrainte équivalente est plus grande contribue plus dans la

fonction coût. Pour cette raison, les éléments qui atteignent très tôt l’état plastique à

cause du bruit, perturbent probablement l’identification. Ainsi, l’insertion du coefficient

de pondération précédent permet de réduire cette influence et d’obtenir aussi une fonction

coût équilibrée prenant en compte la contribution de tous les éléments ce qui rend l’iden-

tification la plus proche de la réponse mécanique globale. La pondération des éléments

finis concernés consiste à changer la matrice K de l’équation 3.33 en K• comme suit :

[K•(XP , tj)] =

I∑

i=1

σeqi (tj)[K

eli (XP , tj)] (3.34)

où σeqi (tj) est la contrainte équivalente de Von-Mises de l’élément i au moment tj .

On rappelle que l’ancienne a été définie comme suit :

[K(XP , tj)] =

I∑

i=1

[Keli (XP , tj)] (3.35)

Finalement, le champ virtuel optimisé qui minimise la variance et le biais dans la procédure

d’identification correspond à la valeur minimale de la fonction suivante :

Ψ•n =

n∑

j=1

g•2j = U∗(tn)Tn∑

j=1

[K•(XP , tj)][K•(XP , tj)]︸︷︷︸

Hn

U∗(tn) (3.36)

58 Chapitre 3

La minimisation de Ψ•n dans l’équation 3.36 est réalisée sous les contraintes suivantes :

U∗

x = 0; U∗y = 0 en bas

U∗x = 0; U∗

y = L en haut(3.37)

où L est longueur de la zone d’intérêt.

Les contraintes de l’équation 3.37 sont celles utilisées pour un essai de type traction ver-

ticale (voir figure 4.1). Pour les autres types d’essai, ces contraintes doivent être changées

de manière à permettre de calculer facilement les travaux virtuels extérieurs. En effet, le

champ recherché doit satisfaire des conditions aux limites cinématiques particulières, de

manière à impliquer la résultante des efforts extérieurs mais pas leur distribution, qui est

inconnue. La contrainte U∗y = L en haut implique également que le champ virtuel trouvé

est différent de zéro (solution triviale).

Alors, on cherche le champ virtuel optimal en cherchant un point correspondant à la valeur

minimale de l’expression Ψ•n donnée dans l’équation 3.37 sous les contraintes ci-dessus.

Pour traiter ce problème, on utilise la méthode des multiplicateurs de Lagrange . Cette

méthode consiste à introduire une inconnue scalaire supplémentaire appelée « multiplica-

teur de Lagrange » et notée λ . Le problème passe ainsi d’un problème d’optimisation sous

contrainte à un problème non contraint qui devient le système d’équations ci-dessous :

[[Hn] [Γ]T

[Γ] [0]

] U∗(tn)

λ

=

0

1

(3.38)

où [Γ] est la matrice qui contient les contraintes de l’équation 3.37.

La solution du système d’équations 3.38 fournit le champ virtuel qui minimise l’influence

du bruit sur la fonction coût initiale définie dans l’équation 3.29. Pour chaque étape tn,

l’équation 3.38 est mise à jour et un champ virtuel optimisé est déduit. Puis, à chaque étape

tn, ces champs virtuels optimisés sont introduits dans l’équation 3.29. Par conséquent,

l’influence du bruit de données sur la fonction coût globale est réduite au minimum.

L’identification la plus robuste est atteinte.

Il faut remarquer que résolution du système 3.38 permet de fournir les champs virtuels

optimisés pour déduire les paramètres constitutifs XP . Cependant, le problème est impli-

cite parce que l’expression de [Hn] dépend des paramètres constitutifs inconnus XP . Ce

problème est résolu par un algorithme itératif où les paramètres inconnus sont remplacés

par leurs valeurs identifiées. Un jeu de paramètres initiaux est choisi. Les tests ont montré

que cet algorithme converge après une dizaine d’itérations.


3.3.3 Implantation de la méthode de Newton-Raphson dans la

procédure de minimisation de la fonction coût

Les sections précédentes nous ont permis de formuler le problème inverse sous forme

d’un problème d’optimisation unique. Celui-ci consiste à minimiser une fonction coût ou

fonction objectif implicite, non linéaire dont dépendent les paramètres du comportement

à identifier. Pour résoudre ce problème non linéaire, on a donc recours à des méthodes

d’optimisation (ceci sera détaillé dans l’annexe B). Dans la littérature, on distingue les

méthodes d’optimisation qui exigent le calcul du gradient de la fonction à minimiser et les

méthodes d’exploration directe dites « méthodes d’ordre 0 » qui n’utilisent pas le calcul

du gradient.

Les techniques du gradient sont classiques en optimisation [97, 98]. Elles comprennent

principalement les techniques dérivant des techniques de résolution d’un système d’équa-

tions non-linéaires comme les techniques de la plus grande pente, du gradient conjugué, de

Newton-Raphson, de quasi-Newton ou encore de Gauss-Newton [Gavrus et al 1995, 1996].

Elles ont un taux de convergence significativement plus élevé que les méthodes d’ordre

zéro. Pour cette raison, l’algorithme de Newton-Raphson a été utilisé dans la procédure

de minimisation de la fonction coût.

Effectivement, la fonction coût définie à l’équation 3.29 correspond à l’écart quadratique

entre le travail virtuel intérieur et le travail virtuel extérieur. On la reformule ainsi :

Φ(XP ) = Φ(x1, x2 . . . xp) =N∑

n=1

[−

I∑

i=1

Aeli σ

eli (tn)[Bel

i ]U∗eli (tn) +

1

bW ∗

ext(tn)

︸︷︷︸ψ(tn)

]2

(3.39)

où N est le nombre total d’étapes de mesure dans l’essai, x1, x2 . . . xp sont des paramètres

à identifier et W ∗ext(tn) est le travail virtuel des efforts extérieurs à l’étape tn dans l’essai.

Pour chaque étape tn, on utilise un champ virtuel U∗(tn) correspondant à la solution

du système d’équation 3.28.

On va minimiser la fonction coût en cherchant le point critique XP = a. En XP = a, le

gradient de Φ doit être égal à zéro : ∇Φ(a) = 0. On a donc les équations suivantes :

60 Chapitre 3

∂Φ

∂x1(a) =

N∑

n=1

[ψ(tn)]

m∑

i=1

Aeli

∂σel

i (tn)

∂x1

[Bel

i ]σeli (tn) = 0

∂Φ

∂x2(a) =

N∑

n=1

[ψ(tn)]

m∑

i=1

Aeli

∂σel

i (tn)

∂x2

[Bel

i ]σeli (tn) = 0

. . . . . . . . ....

...... . . . . . . . . . = 0

∂Φ

∂xn(a) =

N∑

n=1

[ψ(tn)]

m∑

i=1

Aeli

∂σel

i (tn)

∂xn

[Bel

i ]σeli (tn) = 0

(3.40)

Pour résoudre ce système d’équations 3.40 on utilise la méthode de Newton-Raphson.

On choisit une valeur initiale estimée des paramètres qu’on ne connaît pas. On remplace

alors la courbe par sa tangente et on calcule le zéro de l’approximation affine associée à

la tangente. Ce zéro de la tangente sera généralement plus proche du zéro de la fonction,

et la méthode est réitérée. Il en découle :

x∗1x∗2...

x∗p

=

x1

x2

...

xp

−

∂2Φ∂x2

1

∂2Φ∂x1∂x2

. . . ∂2Φ∂x1∂xk

∂2Φ∂x2∂x1

∂2Φ∂x2

2

. . . ∂2Φ∂x2∂xk

... . . .. . . . . .

∂2Φ∂xk∂x1

∂2Φ∂xk∂x2

. . . ∂2Φ∂x2

k

−1

︸︷︷︸matrice Hessiennede fonction Φ

∂Φ∂x1

∂Φ∂x2

...∂Φ∂xk

(3.41)

où x∗1, x∗2, . . . x

∗p sont les solutions de l’équation 3.40. Le calcul est itératif jusqu’au moment

où les valeurs de x∗1, x∗2, . . . x

∗p n’évoluent plus. Les dérivées partielles du second ordre de

la fonction coût Φ sont données par l’expression suivante :

∂2Φ

∂xk1∂xk2

(a) =N∑

n=1

[I∑

i=1

Aeli

∂σel

i (tn)

∂xk1

[Bel

i ]U∗eli (tn)

][m∑

i=1

Aeli

∂σel

i (tn)

∂xk2

[Bel

i ]U∗eli (tn)

]

+

N∑

n=1

[ψ(tn)]∂

∂xk2

([m∑

i=1

Aeli

∂σel

i (tn)

∂xk1

[Bel

i ]U∗eli (tn)

])

︸︷︷︸(∗)

∼=

N∑

n=1

[I∑

i=1

Aeli

∂σel

i (tn)

∂xk1

[Bel

i ]U∗eli (tn)

][m∑

i=1

Aeli

∂σel

i (tn)

∂xk2

[Bel

i ]U∗eli (tn)

]

(3.42)

avec k1, k2 = 1, 2 . . . p


En effet, le terme (*) est négligé pour la minimisation des problèmes de moindres carrés

(voir annexe B). Ceci a été également bien vérifié avec les résultats obtenus prenant en

compte ce terme (*). On constate que la matrice Hessienne de la fonction Φ est une

matrice symétrique réelle définie positive. Ainsi Φ a un minimum unique.

L’intérêt de l’implantation de la méthode de Newton-Raphson dans la procédure de mi-

nimisation de la fonction coût est double. Tout d’abord, il permet de réduire le temps de

calcul. Ensuite, il permet d’estimer les sensibilités de la fonction coût à chacun des pa-

ramètres identifiés en utilisant les dérivées partielles du second ordre fournies par l’équa-

tion 3.42.

3.3.4 Procédure d’intégration pour le calcul des contraintes en

plasticité

Cette section présente la nouvelle procédure utilisée pour calculer les contraintes planes à

partir des champs de déformations mesurées et de la loi de comportement élastoplastiques

étudiée.

Soit (xi¸yi) indiquant le centre de gravité de chaque élément triangulaire. La valeur de

contrainte de chaque élément à chaque l’instant t est calculé à partir la l’équation 2.45 qui

présente une relation incrémentale de base entre contraintes et déformations totales. Un

grand nombre des mesures est réalisé tout au long des essais avec un incrément du temps

constant. Par conséquent, pour calculer la valeur de contrainte d’un élément triangulaire

à un moment donné tj+1, il faut tout d’abord calculer ses valeurs de contraintes à toutes

les étapes précédentes. La valeur de contrainte initiale à l’instant t1 est choisie égale à

zéro (chargement nul).

L’algorithme d’intégration des contraintes est basé sur un calcul incrémental tiré des tra-

vaux de Sutton et al. [87]. Il s’agit d’un calcul du module tangent avec l’hypothèse d’un

retour radial. Dans cet algorithme, la dérivée temporelle de contrainte et la dérivée tem-

porelle de déformation totale sont supposées constantes entre deux mesures consécutives.

Cette hypothèse est justifiée car l’incrément de déformation est inférieur à 5 · 10−4 entre

deux mesures consécutives.

Dès l’apparition de la plasticité, le calcul d’un nouvel état de contrainte σ(xi¸yi, tj+1)

en chaque point de mesure G(xi¸yi) à un instant donné, tj+1 dépend de l’état précédent

(σ(xi¸yi, tj), ε(xi¸yi, tj), σs(xi¸yi, tj)). Quatre cas doivent alors être distingués. Selon le

cas, l’incrément de contrainte sera calculé de manière directe ou incrémentale. Il faut

avant tout faire un calcul préliminaire pour savoir quel cas considérer. L’incrément de

déformation est supposé être entièrement élastique. Le nouvel état de contrainte s’écrit :

62 Chapitre 3

σT (xi¸yi, tj+1) = σ(xi¸yi, tj) + ∆σT (3.43)

où σT est l’état de contrainte test, ∆σT = Q∆ε est l’incrément de contrainte test, Q est

la matrice de rigidité en élasticité (voir équation 2.29). Cet état de contrainte fictif est

injecté dans l’expression du critère de plasticité 2.3. Les différents cas rencontrés sont les

suivants :

1. Cas élastique : la surface de charge n’est pas atteinte à l’instant tj+1 (voir fi-

gure 3.2(a)) :

f(σT (xi, yi, tj+1), σs(xi, yi, tj)) ≤ 0

et l’état de contrainte précédent était élastique :

f(σ(xi, yi, tj), σs(xi, yi, tj)) ≤ 0

L’incrément de déformation est purement élastique et le calcul des contraintes se

fait de manière directe :

σ(xi, yi, tj+1) = σT (xi, yi, tj+1)

2. Décharge élastique : la surface de charge n’est pas atteinte à l’instant tj+1 :

f(σT (xi, yi, tj+1), σs(xi, yi, tj)) ≤ 0

et l’état de contrainte précédent se situait sur la surface de charge :

f(σ(xi, yi, tj), σs(xi, yi, tj)) = 0

L’incrément de déformation est purement élastique et le calcul des contraintes se

fait de manière directe :

σ(xi, yi, tj+1) = σT (xi, yi, tj+1)

3. Cas plastique : l’état de contrainte fictif vérifie le critère de plasticité à l’instant tj+1 :

f(σT (xi, yi, tj+1), σs(xi, yi, tj)) = 0

et l’état de contrainte précédent se situait sur la surface de charge :

f(σ(xi, yi, tj), σs(xi, yi, tj)) = 0

A ce stade, deux possibilités se présentent. Soit l’incrément de contrainte se dirige

vers l’extérieur de la surface de charge (voir figure 3.2(b)), soit il repasse à l’intérieur


de la surface de charge pour ressortir à un autre endroit (voir figure 3.2(c)). Dans ce

dernier cas, il est nécessaire de déterminer pour quel état de contrainte σc le contact

avec la surface de charge a lieu. Pour déterminer le sens de l’incrément de contrainte,

le signe de l’expression suivante est calculé :

∂f

∂σT (xi, yi, tj+1): dσT (xi, yi, tj+1) (3.44)

a) Si le signe est positif, c’est que l’incrément de contrainte se dirige vers l’extérieur

de la surface de charge (voir figure 3.2(b)), le calcul de l’incrément de contrainte

plastique se fait à partir de l’expression 2.45. Chaque estimation successive de l’état

de contrainte final σN = σ(xi, yi, tj+1) et de la matrice tangente [M ] est calculée à

partir de l’état de contrainte précédent. Pour chaque itération, la surface de charge

est réévaluée et la répartition des déformations élastiques et plastiques est réalisée.

Si la valeur de σN est exacte, elle doit coïncider avec la surface de charge, c’est-à-

dire que f(σN , σs) = 0. Cependant, dans la plupart des cas, un écart subsiste. Pour

corriger cet écart, une méthode inspirée du retour radial est utilisée. Elle consiste

à réajuster l’état de contrainte estimé σN de manière proportionnelle. Pour cela,

un paramètre β tel que σ(t + ∆t) = βσN est calculé afin de vérifier l’équation

f(βσN , σs) = 0.

b) Si le signe de l’expression 3.44 est négatif, l’incrément de contrainte se dirige vers

l’intérieur de la surface de charge, donc une partie de l’incrément de déformation se

réduit à une décharge élastique (voir figure 3.2(c)). En supposant que cette décharge

élastique est proportionnelle à l’incrément de contrainte test ∆σT , la détermination

du point de contact σc = σ(xi, yi, tj) + r∆σT avec la surface de charge peut être

effectuée en trouvant le nombre r vérifiant cette équation :

f(σ(xi, yi, tj) + r∆σT , σs(xi, yi, tj)) = 0 (3.45)

Le nouvel état de contrainte σc est alors considéré comme l’état de contrainte initial

pour le reste de la procédure et le reste de l’incrément de déformation ∆εb = (1 − r) ∆ε

est traité comme précédemment (cas 3a).

4. Charge élastique puis plasticité : l’état de contrainte fictif vérifie le critère de plasti-

cité à l’instant tj+1 (voir figure 3.2(d)) :

f(σT (xi, yi, tj+1), σs(xi, yi, tj)) = 0

et l’état de contrainte précédent se situait à l’intérieur de la surface de charge :

f(σ(xi, yi, tj), σs(xi, yi, tj)) < 0

64 Chapitre 3

Dans ce cas, une partie de l’incrément de déformation est purement élastique tandis

que le reste est composé à la fois d’une partie élastique et d’une partie plastique.

Ce cas est très proche du précédent (cas 3(b)) car il est également nécessaire de

déterminer le point de contact σc avec la surface de charge. Si l’on suppose également

que la charge élastique est proportionnelle à l’incrément de contrainte test ∆σT , la

détermination du point de contact σc = σ(xi, yi, tj)+r∆σT avec la surface de charge

est réalisée en trouvant le nombre r vérifiant l’équation 3.45. Ensuite, le reste de

l’incrément de déformation ∆εb = (1− r)∆ε est traité avec le processus incrémental

décrit précédemment (cas 3(a)).

domaine élastique

surface de charge initiale

T=Q

(G,tj )( G,tj+1 )= T

O

(a) Cas élastique

(G,tj )

( G,tj+1 )

O

(c) Décharge élastique puis plasticité

domaine élastique surface de charge initiale

surface de charge finale

T(G,tj+1)

(G,tj )= c

( G,tj+1 )

O

(b) Plastique pur

domaine élastique surface de charge initiale

surface de charge finale

T(G,tj+1)

c

(G,tj )

( G,tj+1 )

O

(d) Charge élastique puis plasticité

domaine élastiquesurface de charge initiale

surface de charge finaleT(G,tj+1)

c

Figure 3.2: Schéma de l’évolution de la surface de charge.


3.3.5 Extension aux lois de comportements élastoplastiques avec

écrouissage cinématique et chargements non monotones

L’écrouissage isotrope avec chargement monotone a été étudié dans la thèse de Yannick

Pannier [24] où l’acier doux a été utilisé comme matériau expérimental. Comme l’objectif

de ce travail est d’étendre le domaine d’application de la MCV en élastoplasticité, il est

nécessaire d’incorporer modèles d’écrouissages cinématiques dans la procédure d’identi-

fication. Pour cela, l’étude d’essais uniaxiaux de traction-compression est nécessaire afin

d’activer l’effet Bauschinger (voir chapitre 5). De tels modèles d’écrouissage cinématique

ont été présentés au chapitre 2. Ces modèles peuvent être combinés avec les modèles

d’écrouissage isotrope utilisés dans les travaux de Pannier et Avril [22, 24]. Il s’agit de

superposer à l’écrouissage cinématique un écrouissage isotrope et vice-versa. Alors, le

domaine d’élasticité se modifie par translation et aussi par dilatation. L’objectif est d’ex-

ploiter les avantages de chacun des deux modèles pour représenter plus fidèlement les

réponses observées expérimentalement.

3.3.6 Conclusion sur la MCV en élastoplasticité

Dans ce chapitre, la MCV en élastoplasticité a été présentée. Elle est le fruit d’un travail

de recherche de plusieurs années [22, 24, 35]. Dans l’objectif de rendre la méthode la plus

robuste et d’étendre la méthode aux modèles plus complexes, cette étude a apporté donc

les développements suivants :

– procédure d’intégration pour le calcul des contraintes en utilisant une matrice tangente

au lieu du multiplicateur plastique ;

– procédure de sélection des champs virtuels optimisés au lieu de choix a priori ;

– procédure de minimisation de fonction coût en utilisant l’algorithme de Newton-Raphson

au lieu du simplex de Nelder-Mead ;

– extension aux lois de comportements élastoplastiques avec écrouissage cinématique en

considérant des chargements non monotones et combinaison d’écrouisage cinématique

et isotrope au lieu de seulement écrouissage isotrope avec chargement monotone.

Les nouveaux développements permettent d’utiliser désormais une nouvelle procédure

d’identification en élastoplasticité pour la MCV (voir figure 3.3). Cette procédure doit dé-

sormais être validée numériquement puis expérimentalement (voir les chapitres suivants).

66 Chapitre 3

Loi de comportement

avec paramètres

a priori

- Entrée des cordonnées des éléments

finis ;

- Type d’essai et mode de chargement.

Calcul des contraintes moyennes au

centre de gravité des éléments à

travers une matrice tangente.

Oui

Choix des champs

virtuels optimisés.

Non

Paramètres

finaux

Réajustement des paramètres

- Calcul et minimisation de la

fonction coût par l’algorithme de

Newton-Rhapson.

- Test de convergence

Effort

- Entrée des déplacements plans mesurés ;

- Maillage des éléments finis selon la forme de l’éprouvette ;

- Reconstruction des champs cinématiques par approche

éléments finis ;

- Calcul des gradients de déplacement aux centres de gravité

des éléments.

Essai

Figure 3.3: Diagramme de la nouvelle procédure d’identification.

Chapitre 4

Validation numérique des nouveaux

développements apportés à la MCV en

plasticité

4.1 Présentation de l’essai modélisé

Dans le but de valider des nouveaux développements théoriques concernant la procédure

d’intégration pour le calcul de contraintes, le choix de champs virtuels optimisés, le nouvel

algorithme de Newton-Raphson dans la procédure de minimisation de la fonction coût ou

encore l’extension de la MCV à l’écrouissage cinématique, un essai produisant un état de

contrainte hétérogène a été imaginé. Cet essai doit permettre d’observer progressivement

la propagation de la plasticité afin de faire intervenir tous les paramètres de la loi de

comportement dans la réponse mécanique.

Plusieurs géométries basées sur des essais de traction ont déjà été étudiés dans la littéra-

ture [34, 38, 99]. La géométrie choisie dans notre étude est celle d’une éprouvette plane

de traction bi-entaillée [24], dont les entailles circulaires sont placées symétriquement par

rapport à l’axe de traction afin de maximiser l’étendue de la plasticité. La figure 4.1

présente les dimensions de cette éprouvette.

Le travail d’Avril et al. [22] a montré qu’un modèle d’écrouissage isotrope linéaire était

identifié expérimentalement avec succès grâce à l’utilisation de cette éprouvette. La recons-

truction des champs de contraintes a confirmé clairement un état de contrainte hétérogène.

67

68 Chapitre 4

Figure 4.1: Géométrie de l’éprouvette de traction plane bi-entaillée de 2 mm d’épaisseur.

Les dimensions sont en mm.

Pour cette raison, elle a été retenue pour cette étude. Toutefois, cette éprouvette doit être

également validée pour le nouveau cas d’étude : l’écrouissage cinématique avec chargement

non monotone.

4.2 Simulation de l’essai

Dans le cadre d’une étude de faisabilité, la simulation préalable de l’essai facilite sa mise

au point. Pour cette raison, une simulation par éléments finis de l’essai a été réalisée

à l’aide de logiciel ANSYS afin de simuler des champs de déplacement expérimentaux.

Plusieurs lois de comportement ont été testées dans ce travail : le modèle élastoplastique

isotrope avec écrouissage isotrope linéaire ou avec écrouissage exponentiel de Voce, le

modèle d’écrouissage cinématique non linéaire ou encore la combinaison des deux modèles

d’écrouissage isotrope et cinématique (voir chapitre 2). Ici, seul le modèle d’écrouissage

isotrope linéaire (voir équation 2.8) combiné avec écrouissage cinématique linéaire (voir

équation 2.12) est présenté en détail :

σs(p) = σ0 +H · p

X(εp) = C · εp(4.1)

Les paramètres élastiques utilisés sont : E = 210 GPa ; ν = 0, 3. Les paramètres plastiques

utilisés sont : σ0 = 183, 2 MPa ; H = 2, 46 GPa ; C = 1 GPa. Les éléments finis utilisés

Validation numérique de la MCV 69

sont du type PLANE182 dans le logiciel ANSYS. Il s’agit d’éléments plans à quatre nœuds

ayant deux degrés de liberté par nœud et des fonctions de forme linéaires. Ils sont utilisés

ici en contrainte plane et plasticité incompressible. La figure 4.2 présente le maillage du

modèle éléments finis. L’éprouvette est maillée entièrement entre les mors, mais seule la

zone entre les entailles dont l’état de contrainte est hétérogène est utilisée pour l’identifi-

cation. La taille des éléments varie donc de manière à obtenir un grand nombre d’éléments

dans la zone d’étude afin de faciliter le post traitement des données. Comme indiqué sur la

figure 4.2, les nœuds du bord en bas sont encastrés tandis que les nœuds du bord en haut

sont bloqués horizontalement. Le schéma de chargement est présenté sur la figure 4.3. Un

déplacement vertical total de 0,25 mm est imposé aux nœuds du bord en haut par pas

de 0,005 mm pour la première phase de chargement (traction monotone, OA). Ensuite, le

déchargement (deuxième phase, AB) et la compression (troisième phase, BC) sont réalisés

en imposant un même déplacement vertical total de 0,25 mm par le même pas de 0,005

mm mais dans le sens opposé. Enfin, le déchargement (quatrième phase, CD) est réalisé à

nouveau grâce à un déplacement imposé avec le même pas de 0,005 mm en sens opposé au

sens de la compression. Le déchargement total a été atteint avec un déplacement imposé

total de 0,035 mm correspondant à 7 étapes de mesure. Le nombre total des étapes de

mesure simulées au cours de l’essai est de 107. La résultante appliquée à chaque étape est

calculée en sommant les efforts sur les nœuds du bord en haut. Tout d’abord, les valeurs

des déplacements dans la zone d’étude ainsi que la résultante verticale des efforts sont

exportées à chaque étape (pas) dans un fichier de format *.txt. Ensuite, elles sont conver-

ties au format *.mat pour pouvoir être traitées lors des étapes suivantes de la procédure

d’identification. Finalement, la zone d’étude utilisée pour l’identification comporte 7200

éléments (voir figure 4.2). On souhaite la considérer comme similaire à une zone d’étude

de l’éprouvette réelle munie d’une grille de pas 0,1 mm (ou 0,2mm), en termes de densité

des points de mesure. Pour cela, les valeurs aux nœuds sont ensuite projetées par approxi-

mation linéaire sur une grille régulière de pas 0,1 mm à l’aide de la fonction « griddata »

du logiciel Matlab. On va donc étudier les deux cas de pas de grille : 0,2 et 0,1 mm. Dans

le but de simuler des données expérimentales, on ajoute également un bruit blanc aux

données simulées à l’aide de la fonction « randn » du logiciel Matlab.

4.3 Validation de la nouvelle approche de calcul des

contraintes

Les champs de contraintes planes calculées à partir de la formule directe entre incrément de

contrainte et incrément de déformation totale en élastoplasticité, donnée à l’équation 2.45,

70 Chapitre 4

Figure 4.2: Modèle éléments finis de l’essai de traction sur éprouvette bi-entaillée (éléments

PLANE182). La zone d’étude utilisée pour l’identification comporte 7200 éléments.


Force

TempsO

A

B

C

D

Figure 4.3: Schéma de chargement.

sont comparés avec ceux obtenus par éléments finis directement. On obtient un très bon

accord entre les deux (voir figure 4.4) ce qui valide la nouvelle méthode de calcul des

contraintes. Les écarts observés sont inférieurs à 0,1 % en valeurs relatives

4.4 Vérification de la faisabilité de la géométrie de l’éprou-

vette pour l’identification des paramètres d’écrouis-

sage cinématique combiné à l’écrouissage isotrope

Le schéma de chargement total est présenté sur la figure 4.3. On va étudier les 4 cas de

chargement pour l’identification comme suit :

– Chargement 1 : Seule la phase de traction est utilisée (OA).

– Chargement 2 : Traction-décharge (OAB).

– Chargement 3 : Traction-décharge-compression (OABC).

– Chargement 4 : Traction-décharge-compression-décharge (OABCD).

Les résultats identifiés en fonction du cas de chargement sont reportés sur le tableau 4.1.

Ils montrent que le paramètre de la limite d’élasticité initiale σ0 est bien identifié pour les

4 cas. C’est normal car ce paramètre pilote l’apparition de la plasticité. Il est donc activé

pour les 4 cas de chargement. Au contraire, les paramètres H et C sont mal identifiés

pour les deux premiers cas. Ce n’est pas une surprise parce que ces paramètres pilotent

le développement de la plasticité et l’écrouissage. La simple traction ou traction-décharge

ne permet pas de séparer la contribution de l’écrouissage cinématique et de l’écrouissage

isotrope. Les chargements 3 et 4 présentent une traction-décharge suivie d’une compres-

sion ce qui permet d’activer l’effet Bauschinger. Cela permet de séparer la contribution

72 Chapitre 4

σxx

Ansys à F = 8,6 kN

35

68

102

σxx

calculée à F = 8,6 kN

35

68

102

δσxx

à F = 8,6 kN

−0.63

−0.06

0.51

σyy

Ansys à F = 8,6 kN

132

196

260

σyy


132

196

260

δσyy

à F = 8,6 kN

−0.57

−0.006

0.56

σxy

Ansys à F = 8,6 kN

−37

24

85

σxy


−37

24

85

δσxy

à F = 8,6 kN

−0.18

−0.07

0.31

σxx

Ansys à F = −9,5 kN

−79

−44

−10

σxx

calculée à F = −9,5 kN

−79

−44

−10

δσxx

à F = −9,5 kN

−0.005

−0.35

0.91

σyy


−241

−163

−85

σyy


−240

−162

−84

δσyy

à F = −9,5 kN

0.13

0.9

2

σxy


−41

27

95

σxy


−41

27

95

δσxy

à F = −9,5 kN

−0.2

−0.16

0.41

Figure 4.4: Comparaison entre les contraintes calculées par la nouvelle approche de calcul

des contraintes à partir des déformations directement issues du calcul par Ansys avec les

contraintes directement issues d’Ansys.


de l’écrouissage cinématique. Pour cette raison, les deux paramètres H et C ont été bien

identifiés pour ces deux cas. L’observation de la fonction coût autour des valeurs de ré-

férence pour ces deux paramètres confirme clairement que la fonction coût donnée par le

chargement 3 tend vers un minimum unique (voir figure 4.5(b)), tandis que la fonction

coût donnée par le chargement 1 présente une grande vallée avec plusieurs minimas (voir

figure 4.5(a)).

Réf Chargement 1 Chargement 2 Chargement 3 Chargement 4

ν 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3

E(GPa) 210 209,8 209,8 209,8 209,8

σ0(MPa) 183,2 183,6 183,6 183,5 183,4

H(GPa) 2,46 3,02 2,07 2,47 2,47

C(GPa) 1 0,61 4,24 0,99 0,993

Tableau 4.1: Paramètres identifiés pour les différents cas de chargement.

4.5 Validation de l’algorithme de Newton-Raphson pour

minimiser la fonction coût

Pour valider cet algorithme, la fonction coût va être minimisée à l’aide à la fois de l’algo-

rithme de Newton-Raphson et à l’aide de la fonction fminsearch du logiciel Matlab afin

de trouver les paramètres à identifier. L’algorithme utilisé dans la fonction fminsearch

est celui de recherche directe basé sur la méthode du simplex de Nelder-Mead [95]. Cet

algorithme n’utilise ni gradients numériques ni gradients analytiques. Ensuite, on com-

pare les résultats obtenus avec les deux algorithmes. Le tableau 4.2 présente les points

de départ utilisés pour l’identification en utilisant les données simulées dans le modèle

élastoplastique avec écrouissage isotrope linéaire combiné avec écrouissage cinématique

linéaire. L’espacement utilisé entre deux nœuds du maillage éléments finis est de 0,5 mm.

Réf Jeu 1 Jeu 2 Jeu 3 Jeu 4 Jeu 5 Jeu 6 Jeu 7 Jeu 8

σ0 (MPa) 183,2 100 500 500 600 15 15 15 1000

H(GPa) 2,46 4 0,005 10 0,005 0,01 0,01 10 0,001

C(GPa) 1 3 3 0,005 5 10 2 2 20

Tableau 4.2: Étude de convergence de l’identification en fonction des points de départ.

Les résultats identifiés sont : σ0 = 183, 3 MPa ; H = 2, 47 GPa ; H = 0, 993 GPa. On a

constaté que les résultats obtenus par l’algorithme de Newton-Raphson coïncident exacte-

74 Chapitre 4

0,5

1

1,5

1.52

2.53

0

2

4

6

8

x 108

C (GPa)

(a)

H (GPa)

Val

eur

de fo

nctio

n co

ût

0,5

1

1,5

1.52

2.53

0

1

2

3

4

x 109

C (GPa)

(b)

H (GPa)

Val

eur

de fo

nctio

n co

ût

C (GPa)

H (

GP

a)

(a)

0,5 1 1,5 0,5 1 1,5 0,51,5

2

2,5

3

1,5

2

2,5

3

1,5

2

C (GPa)

H (

GP

a)

(b)

0,5 1 1,5 0,5 1 1,5 0,51,5

2

2,5

3

1,5

2

2,5

3

1,5

2

Figure 4.5: Courbes de niveaux de la fonction coût autour des valeurs de référence avec

les chargements 1 et 3.


ment avec ceux de fminsearch pour l’utilisation des jeux 1, 2, 3. L’algorithme de Newton-

Raphson seul a ensuite été testé avec les jeux 4 à 8. Le même résultat, correspondant

encore au minimum global précédent, a systématiquement été obtenu (moins de 0,05 %

de différence), sauf pour le cas 8 vraiment très éloigné de la solution. Cette étude valide

donc l’algorithme de Newton-Raphson pour cette application. De plus, la minimisation

de la fonction coût converge rapidement en utilisant l’algorithme de Newton-Raphson.

Seulement 6 itérations au lieu de 60 pour fminsearch. Cette nouvelle approche permet

donc de réduire considérablement le temps de calcul dans la procédure d’identification.

4.6 Validation du choix des champs virtuels optimaux

en plasticité

4.6.1 Validation du choix des champs virtuels optimaux avec les

données numériques sans bruit

La procédure d’identification a d’abord été testée avec les déplacements sans bruit en

utilisant les champs virtuels optimisés (CVOP1) ou les champs virtuels choisis a priori

(voir tableau 4.3). Pour cela, on évalue les déplacements nodaux à partir des données

simulées par régression au sens des moindres carrés [35] en utilisant les fonctions de forme

de l’équation 3.11. Une fois les déplacements nodaux obtenus, on peut calculer les gradients

de déplacement aux centres de gravité des éléments. Cette procédure d’identification est

appliquée en utilisant le logiciel CAMFIT comme présenté à l’annexe C.

CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5

Ux Eq 3.38 0 0 x1/27 | sin(y(y − L)) | x1/27y1/27 | sin(y(y − L)) |

Uy Eq 3.38 y 1 − ey/L sin

(yπ

2L

)y1/2

Tableau 4.3: Les différents champs virtuels ont été testés pour l’identification (axes x et

y présentés dans la figure 4.1 .

Les paramètres élastiques identifiés en utilisant les champs virtuels optimisés présentés

dans l’article d’Avril et al. [22], sont reportés sur le tableau 4.4. Ils seront considérés comme

connus pour l’identification des paramètres plastiques. Quant aux paramètres plastiques,

ils sont présentés sur la figure 4.6. On voit que les champs virtuels CVC2 et CVC3 ont la

même tendance, plus le maillage est grossier plus les résultats se dégradent. Par contre,

76 Chapitre 4

CVOP1 donne des résultats cohérents et stables avec les résultats de référence selon la

taille du maillage.

Taille du maillage (mm)

Réf 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7

ν 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,293 0,29

E(GPa) 210 209,8 209,7 209,4 209 209 208,2 208,4

Tableau 4.4: Paramètres élastiques identifiés par la MCV en fonction de la taille du

maillage.

4.6.2 Validation du choix des champs virtuels optimaux avec les

données numériques bruitées

L’écart-type du bruit est noté γu, appelé résolution de la technique de mesure [100]. En

réalité, le bruit γu est de 100 à 1000 fois plus petit que le pas de la grille (P). Si on utilise

un pas de grille de 0,2 à 0,1 mm, le bruit varie donc dans l’intervalle de 0,1 à 1 µm. C’est

pourquoi, les trois cas de bruit suivants ont été étudiés dans cette étude : 0,2 ; 0,5 et 1

µm.

4.6.2.1 Pas de grille simulée de 0,2 mm

L’identification a été réalisée avec 30 tirages successifs de bruits blancs d’écart type 0,2 µm

(P/1000) en fonction de la taille du maillage. On constate que les écarts des paramètres

plastiques identifiés sont très grands pour les tailles de maillage petites : de 0,5 à 0,9 mm

(voir tableau 4.5). Avec ces tailles, les écarts commis peuvent atteindre 100 %, surtout

pour le paramètre C. Ceci n’est pas une surprise car l’effet de lissage dépend de la taille

du maillage. En effet, l’écart-type des déplacements reconstruits est proportionnel à γu/I.

alors que l’écart-type des déformations reconstruites est proportionnel à γu/(I2pu) [20].

Ici, pu est la distance séparant deux points de mesures voisins et I le nombre moyen de

pixels séparant deux nœuds voisins du maillage considéré.

L’effet de lissage est donc particulièrement important pour les déformations puisque la

résolution peut être améliorée simplement en réduisant le pouvoir de résolution spatiale.

Pour cette raison, avec les tailles de maillage de 1,1 à 1,3 ; on obtient les résultats cohérents

avec ceux de référence (voir tableau 4.6 et 4.7). Ce tableau montre également que le résultat

obtenu par les champs virtuels optimisés CVOP1 est le meilleur en fonction à la fois

du coefficient de variation et du coefficient d’écart par rapport à la valeur de référence.


Ecart de 0 en fonction de la taille du maillage

0,0

0,3

0,6

0,9

1,2

1,5

0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7


(%

)CVOP1

CVC2

CVC3

CVC4

CVC5

Ecart de H en fonction de la taille du maillage

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7


(%

)

CVOP1

CVC2

CVC3

CVC4

CVC5

Ecart de C en fonction de la taille du maillage

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7


(%)

CVOP1

CVC2

CVC3

CVC4

CVC5

Figure 4.6: Comparaison des paramètres plastiques identifiés par les différents champs

virtuels en fonction de la taille du maillage (sans bruit).

78 Chapitre 4

Toutefois, l’écart commis pour le paramètre identifié H est de 8 % ce qui est grand

compte tenu du bruit d’écart-type 0,2 µm. Ce bruit est très petit, seulement de l’ordre de

1/1000 du pas de la grille. Cela signifie qu’il n’est pas possible d’identifier correctement

les paramètres du comportement en utilisant une grille de pas 0,2 µm. L’utilisation d’une

grille de pas plus petit que 0,2 mm est donc nécessaire car le bruit expérimental peut être

plus grand que 0,2 µm.

Coefficient de variation (%) Écart (%)

CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5 CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5

σ0 (MPa) 0,33 0,28 0,42 16,2 17,4 12,4 16,4 15,8 19,5 20,1

H(GPa) 5,66 6,23 6,1 21,5 35,2 30,5 31,1 32 53,1 49,6

C(GPa) 6,84 7,76 8,2 20,3 28,5 456,8 590 595 667,3 653

Tableau 4.5: Comparaison des résultats obtenus entre les différents champs virtuels avec

bruit d’écart-type 0,2 µm et taille de maillage 0,5 mm (pas de grille 0,2 mm).



σ0 (MPa) 0,21 0,23 0,28 0,63 0,49 0,9 1,69 1,5 0,63 1,02

H(GPa) 1,54 2,18 2,05 4,01 3,27 8,5 10,4 9,14 8,95 8,4

C(GPa) 4,75 6,82 7,16 7,08 6,9 13,4 19,6 10,2 23,3 25,12





σ0 (MPa) 0,18 0,20 0,23 0,38 0,36 1,02 1,74 2 0,99 0,65

H(GPa) 1,25 1,62 1,69 2,21 2,38 7,8 10,6 10,2 8,5 9,5

C(GPa) 4,90 6,04 7,44 6,01 6,45 1,01 2,3 3,8 14,6 12,5



4.6.2.2 Pas de grille simulée de 0,1 mm

L’identification a continué à être réalisée avec 30 tirages successifs de bruits d’écart-type

0,5 et 1 µm, en fonction de la taille du maillage.

1. Bruits blancs d’écart type 0,5 µm

Comme pour le cas de pas de grille 0,2 mm précédent, les écarts des paramètres

plastiques identifiés sont très grands pour les faibles tailles de maillage, par exemple,


0,7 mm (voir tableau 4.8). Avec ces tailles, les écarts commis peuvent atteindre de

100 %, surtout pour le paramètre C. Si on compare seulement les écarts des résultats

obtenus entre les différents champs virtuels, on constate clairement que le choix

des champs virtuels optimisés permet d’améliorer considérablement les résultats

identifiés.

Toutefois, comme expliqué précédemment, l’effet du lissage joue également un rôle

important pour l’identification. Pour cette raison, l’augmentation de la taille du

maillage (de 1,1 à 1,7 mm) améliore beaucoup les résultats identifiés. Par exemple,

la taille du maillage 1,3 mm a permis de réduire les écarts jusqu’à quelques pourcents

(voir tableau 4.9). La comparaison des résultats obtenus en fonction de la taille du

maillage est présentée sur la figure 4.7. Elle montre globalement que les résultats

obtenus avec CVOP1 sont stables et proches des valeurs de référence au niveau à

la fois des coefficients de variation et des écarts (biais) pour les trois paramètres du

comportement.



σ0 (MPa) 0,36 0,31 0,36 1,38 2,09 4,52 7,47 7,60 6,28 6,66

H(GPa) 4,59 5,94 6,64 18,18 33,75 5,26 26,45 25,99 28,37 30,55

C(GPa) 13,67 11,23 11,87 14,64 24,25 122,51 178,20 175,97 214,22 219,07


bruits d’écart-type 0,5 µm et taille de maillage 0,7 mm (pas de grille 0,1 mm).



σ0 (MPa) 0,36 0,23 0,25 0,56 1,03 0,88 1,61 1,64 0,99 0,45

H(GPa) 1,93 1,76 2 3,63 7,46 3,6 7,32 6,97 5,67 4,6

C(GPa) 6,53 10,05 10,43 10,2 14,3 2,83 2,72 2,43 9,64 12,7


bruits d’écart-type 0,5 µm et taille de maillage 1,3 mm (pas de grille 0,1 mm).

2. Bruits blancs d’écart type 1 µm

Il s’agit d’un bruit d’écart-type environ 1/100 le pas de la grille considérée. Lorsque

la taille du maillage petite (de 0,5 à 1,1 mm), l’effet du lissage est faible. Les résul-

tats obtenus par les champs virtuels varient dans un intervalle très large, peuvent

atteindre un écart de quelques centaines de %, surtout le paramètre C. Quand la

taille du maillage augmente (de 1,3 à 1,7), l’effet du lissage améliore les résultats

identifiés (voir tableau 4.10 et 4.11). Mais, on voit bien que le résultat obtenu par

80 Chapitre 4

Coefficient de variation de 0 en fonction de la taille du

maillage

0,0

1,0

2,0

3,0

1,1 1,3 1,5 1,7


(%

)

CVOP1

CVC2

CVC3

CVC4

CVC5


0,0

1,0

2,0

3,0

1,1 1,3 1,5 1,7


(%

)

CVOP1

CVC2

CVC3

CVC4

CVC5

Coefficient de variation de H en fonction de la taille du

maillage

0,0

3,0

6,0

9,0

12,0

1,1 1,3 1,5 1,7


(%)

CVOP1

CVC2

CVC3

CVC4

CVC5


0,0

3,0

6,0

9,0

12,0

1,1 1,3 1,5 1,7


(%)

CVOP1

CVC2

CVC3

CVC4

CVC5

Coefficient de variation de C en fonction de la taille du

maillage

0,0

6,0

12,0

18,0

24,0

1,1 1,3 1,5 1,7


(%)

CVOP1

CVC2

CVC3

CVC4

CVC5


0,0

6,0

12,0

18,0

24,0

1,1 1,3 1,5 1,7


(%)

CVOP1

CVC2

CVC3

CVC4

CVC5


virtuels en fonction de la taille du maillage avec bruits d’écart-type 0,5 µm.


le CVOP1 est meilleur que les autres. On trouve que les erreurs obtenues par les

champs virtuels CVC2, CVC3, CVC4 et CVC5 sont très grandes, surtout les er-

reurs sur H et C (voir figure 4.8). Ainsi, quand l’écart type est grand, l’amélioration

apportée par le CVOP1 est nettement mise en évidence.



σ0 (MPa) 0,55 0,47 0,55 1,02 1,94 0,09 3,95 4,1 3,2 3,2

H(GPa) 4 6,87 7,76 11,2 23,8 1,56 19,3 19,2 18,4 19,7

C(GPa) 14,4 17,3 18,3 18,7 29,5 38,3 63,4 64,1 79,6 88,5


bruit d’écart-type 1 µm et taille de maillage 1,3 mm.



σ0 (MPa) 0,50 0,30 0,38 0,88 1,51 1,12 2,68 2,97 2,24 2,93

H(GPa) 2,55 2,93 3,61 6,34 12,63 4,04 11,69 12,10 11,98 12,67

C(GPa) 13,29 14,49 15,25 13,24 20,11 1,29 11,37 9,65 20,74 11,98


bruit d’écart-type 1 µm et taille de maillage 1,7 mm.

4.7 Conclusions du chapitre

Ce chapitre nous a permis tout d’abord de valider numériquement les nouveaux dévelop-

pements présentés au chapitre 3. Il a été montré que le choix des champs virtuels optimaux

et l’utilisation de l’algorithme de Newton-Raphson rendent la MCV plus robuste et effi-

cace. Quant à l’extension de la MCV en élastoplasticité à l’écrouissage cinématique, les

résultats numériques montrent la nécessité de l’utilisation d’un chargement non monotone

pour que les paramètres d’écrouissage cinématique soient bien identifiés.

Ensuite, les simulations numériques ont fourni une taille optimale de maillage pour lisser

les déplacements ainsi que pour la procédure d’identification des paramètres. Cette taille

est de 1,1 à 1,5 mm (11 à 15 pixels). Le choix dans cet intervalle sera affiné au chapitre

suivants.

Enfin, ici, la taille du champ à mesurer est de quelques centimètres carrés. Avec cette taille,

la nécessité de l’utilisation d’une grille de pas de 0,1 mm s’impose pour diminuer l’influence

du bruit blanc dans l’identification des paramètres du comportement du matériau par la

MCV.

82 Chapitre 4

Coefficient de variation de 0 en fonction de la taille du

maillage

0,0

1,0

2,0

1,1 1,3 1,5 1,7


(%)

CVOP1

CVC2

CVC3

CVC4

CVC5


0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

1,1 1,3 1,5 1,7


(%

)

CVOP1

CVC2

CVC3

CVC4

CVC5

Coefficient de variation de H en fonction de la taille du

maillage

0,0

10,0

20,0

30,0

1,1 1,3 1,5 1,7


(%)

CVOP1

CVC2

CVC3

CVC4

CVC5


0,0

10,0

20,0

30,0

1,1 1,3 1,5 1,7


(%)

CVOP1

CVC2

CVC3

CVC4

CVC5

Coefficient de variation de C en fonction de la taille du

maillage

0,0

10,0

20,0

30,0

1,1 1,3 1,5 1,7


(%)

CVOP1

CVC2

CVC3

CVC4

CVC5


0,0

50,0

100,0

150,0

1,1 1,3 1,5 1,7


(%

)

CVOP1

CVC2

CVC3

CVC4

CVC5


virtuels en fonction de la taille du maillage avec bruit d’écart-type 1 µm.

Chapitre 5

Validation expérimentale de la MCV

appliquée à l’identification de lois de

comportement élastoplastiques

Introduction

Ce chapitre est consacré à la mise en œuvre expérimentale de la nouvelle procédure d’iden-

tification par la MCV décrite dans le chapitre 3 et validée numériquement dans le cha-

pitre 4. La technique retenue pour la mesure de champs de déformation est la méthode

de la grille.

La mise en œuvre du dispositif expérimental ainsi que le principe de la méthode de la grille

utilisée dans notre étude seront présentés. Une fois les mesures cinématiques obtenues, on

peut utiliser la MCV pour identifier des paramètres du comportement élastoplastique du

matériau.

Au préalable, les caractéristiques du matériau testé sont déterminées à l’aide de méthodes

classiques et considérées comme valeurs de référence.

83

84 Chapitre 5

5.1 Présentation du matériau testé pour la validation

expérimentale

L’écrouissage isotrope avec chargement monotone a été étudié dans la thèse de Yannick

Pannier [24] où l’acier doux a été utilisé comme matériau expérimental. Comme l’objectif

de ce travail est d’étendre le domaine d’application de la MCV en élastoplasticité, un autre

matériau a été utilisé pour présenter un effet d’écrouissage cinématique lors des essais de

traction-compression uniaxiaux.

Le matériau choisi est l’acier inoxydable 316L. Il a été utilisé comme un matériau standard

pour des études d’écrouissage cinématique avec chargements cycliques [4]. Plus récemment,

ce matériau a été utilisé dans l’étude de l’effet Bauchinger par Choteau [25] en réalisant

une traction uni-axiale suivie d’une compression uni-axiale. Les éprouvettes étaient de

type cylindrique à têtes lisses, avec une partie utile de diamètre 12 mm et de longueur

15 mm permettant l’utilisation d’un extensomètre à lames et de jauges de déformation de

base de mesure de 12,5 mm. Les paramètres des modèles ont été identifiés à partir des

courbes expérimentales fournies par les jauges de déformation.

5.1.1 Tôle d’acier inoxydable austénitique X2CrNiMo17-12-2 (316L)

Les aciers inoxydables sont classés en 4 grandes familles en fonction de leur composition et

de leur structure cristallographique. On distingue les aciers ferritiques, les aciers marten-

sitiques, les aciers austéno-ferritiques et les aciers austénitiques. Le matériau utilisé dans

ce travail est une tôle d’acier inoxydable austénitique X2CrNiMo17-12-2. Le tableau 5.1

résume les principaux composants chimiques de la tôle.

Elément C Cr Mo Ni Autres

Composition (%) < 0, 03 16,5-18,5 2,0-2,5 10-13,0 Ti, N, Cu

Tableau 5.1: Composition chimique (hormis le fer) de la tôle 316L.

La tôle est laminée à froid puis elle subit un traitement thermique. En fait, après le

laminage, la tôle subit une hypertrempe qui consiste à la maintenir à une température

comprise entre 1020 − 1100C, puis à la refroidir subitement à l’eau et à l’air pulsé. Le

maintien à haute température est destiné à mettre tous les éléments d’alliage en solution

solide dans la matrice austéno-ferritique, de manière à éviter les phases intermétalliques

et les précipités.

Validation expérimentale de la MCV 85

(a) (b)

(c)

y

x

z

40 m

40 m 40 m

x

z

y

Figure 5.1: Microstructure d’un échantillon de tôle. La photo (a) ne montre pas d’orien-

tation privilégiée des grains dans le plan de la tôle, tandis que dans l’épaisseur (b) et (c),

les grains sont légèrement écrasés en raison du procédé de laminage. (x est la direction de

laminage ; y est la direction perpendiculaire à la direction de laminage ; z est l’épaisseur

de la tôle).

86 Chapitre 5

5.1.2 Caractérisation de la réponse mécanique en traction et com-

pression uni-axiale par essai normalisé

Les essais classiques de caractérisation du comportement élastoplastique de tôles minces

se font essentiellement en traction ou en traction-compression simples, à température

ambiante constante. L’éprouvette est soumise à une sollicitation axiale qui engendre un

état de contrainte uniforme dans toute la surface utile située loin des mors (selon normes

française AFNOR NF EN 10002-1 à 10002-5, américaine ASTM E8M-96, ou internationale

ISO 6892). Cet essai permet de déterminer les paramètres élastiques et les paramètres

d’écrouissage. Il faut pour cela mesurer les déformations axiale et transverse. La mesure des

déformations est faite par une technique de mesure extensométrique. Elle permet, à partir

d’un capteur appelé « jauge de déformation » de déterminer les valeurs d’allongement

relatif en surface d’une structure.

Dans cette étude, les jauges de déformation sont collées au centre de l’éprouvette. Lorsque

l’éprouvette est soumise au chargement, sa déformation est transmise à travers la colle et

le support à la jauge. Un changement proportionnel de la résistance en résulte. La difficulté

rencontrée dans cette mesure est l’éventuelle présence d’un moment de flexion parasite

due au mauvais alignement de l’éprouvette. De ce fait, les deux côtés de l’éprouvette ne

subissent pas le même allongement. Pour éviter cette influence, il convient alors de faire

la moyenne des différents allongements mesurés sur les deux faces de l’éprouvette.

La figure 5.2 présente la forme des éprouvettes utilisées dans ce travail qui ont été réali-

sées selon la norme [NF-A-03-151]. De plus, l’épaisseur de l’éprouvette doit être suffisam-

ment petite par rapport aux autres dimensions de l’éprouvette pour que l’hypothèse de

contrainte plane et uniforme soit satisfaite. Enfin, cette épaisseur doit être suffisamment

grande afin d’éviter l’apparition du flambement lors de la phase de compression. Une vé-

rification simple du flambement a été réalisée grâce à la formule d’Euler. Finalement, une

tôle de 3 mm d’épaisseur a été choisie. Les éprouvettes sont usinées en utilisant une tech-

nique de découpage au jet d’eau, ce qui assure une grande précision ainsi qu’une bonne

planéité des éprouvettes.

La machine de traction-compression utilisée est une machine hydraulique Instron. Sa rigi-

dité importante, associée à l’utilisation de mors hydrauliques, permet de rendre négligeable

les mouvements hors-plan des mors au cours des essais. Cette machine est aussi équipée

d’une rotule de réglage d’alignement des mors. On peut ainsi régler l’angle et la position

du mors supérieur. Ces réglages permettent également de minimiser la flexion résiduelle

(jusqu’à quelques %) afin de se rapprocher au mieux du cas de traction-compression pur.

La mesure de la charge se fait à l’aide d’une cellule placée en série sous la partie supérieure


Figure 5.2: Dimensions des éprouvettes des essais normalisés (en mm).

du bâti. La cellule fonctionne dans une gamme de charge allant de 0 à 100 kN. Le signal

est numérisé puis synchronisé avec les données mesurées par les jauges. Les éprouvettes

sont chargées à vitesse de chargement constante égale à 2 kN par minute. Il a été vérifié

que les éventuelles variations de la vitesse de déplacement de la traverse au cours de l’essai

n’ont pas d’influence sur les réponses.

Six éprouvettes ont été usinées dans la direction de laminage (dénoté DL par la suite) et

six autres dans la direction perpendiculaire (DP). Les essais effectués consistaient à pré-

déformer plastiquement le matériau en traction jusqu’à une prédéformation totale donnée

(variant de 1,5% à 2,5% et correspondant respectivement à des résultantes maximales

d’efforts de 20,5 à 22 kN pour la DP et de 19,5 à 21 kN pour la DL) puis à effectuer une

compression jusqu’à ce que l’opposée de la contrainte maximale lors du premier charge-

ment soit dépassée. Malgré l’épaisseur relativement grande de l’éprouvette, le flambement

a eu lieu assez tôt en compression. Les résultantes maximales en compression variaient

de 16,5 à 17,5 kN pour la DP et de 15 à 15,5 kN pour la DL en valeur absolue. On ne

peut donc pas atteindre les forces de compression souhaitées. L’apparition du flambement

peut être reconnue facilement en trouvant une grande différence de valeur de déformations

fournies par les deux jauges sur les deux surfaces de l’éprouvette, puis ensuite par le décol-

lement des jauges. Ainsi, l’identification des paramètres plastiques se fait avec les données

enregistrées avant l’apparition du flambement dans la gamme de contraintes disponible.

Les courbes contrainte-déformation longitudinale issues des essais de traction suivie d’une

compression dans les deux directions de la tôle sont présentées dans la figure 5.3. Le

comportement dans les deux directions de la tôle est différent. Les courbes ont la même

allure mais sont décalées d’une dizaine de méga-pascals.

Les paramètres élastiques (le module d’Young et le coefficient de Poisson) ont été identi-

88 Chapitre 5

fiés à partir des parties linéaires des courbes contrainte-déformation axiale et transverse.

Il s’agit d’un problème de régression linéaire à deux inconnues seulement. On peut établir

un système de 2n équations à partir de la relation contrainte-déformation en élasticité.

Ici n est le nombre de mesures réalisées dans la partie linéaire. Les paramètres élastiques

sont donc identifiés au sens des moindres carrés, en utilisant la fonction « polyfit » du

logiciel Matlab. Les paramètres élastiques identifiés sont présentés dans le tableau 5.2.

Ils sont supposés les mêmes quels que soient le sens de chargement. Quant aux para-

mètres plastiques, il nous faut d’abord choisir un modèle de comportement permettant de

reproduire la réponse en traction-compression uniaxiale. Puis les paramètres plastiques

du modèle choisi sont identifiés sur l’ensemble de la courbe contrainte-déformation axiale

par minimisation au sens des moindres carrés, en réutilisant les paramètres élastiques

identifiés.

Compte tenu des écarts modérés entre les courbes contrainte-déformation dans les deux di-

rections de la tôle, le matériau est considéré comme isotrope. La direction perpendiculaire

au laminage de la tôle a été choisie dans cette étude comme direction de découpage des

éprouvettes pour les essais hétérogènes. Les paramètres plastiques des essais normalisés

seront aussi identifiés dans cette direction (voir au paragraphe suivant) et seront utilisées

comme paramètres de référence par la suite.

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 −300

−200

−100

0

100

200

300

400

ε

σ (M

Pa)

DPDL

Figure 5.3: Courbes contrainte-déformation issues des essais normalisés dans les deux

directions de la tôle.


E(GPa) ν

DP 199 ± 7 0, 299 ± 0, 012

C.V.(%) 2 2

DL 183 ± 6 0, 277 ± 0, 019

C.V.(%) 2 3

Tableau 5.2: Paramètres élastiques identifiés à partir des courbes contrainte-déformation

issues des essais normalisés (coefficient de variation noté C.V.)

5.1.3 Choix d’un modèle de comportement permettant de repro-

duire la réponse mécanique en traction et compression uni-

axiale

Dans ce paragraphe, plusieurs modèles de comportement en élastoplasticité sont présentés.

Ces modèles ont été introduits au chapitre 2. L’objectif est de trouver un modèle adéquat

reproduisant le plus fidèlement possible la réponse mécanique mesurée lors des essais

normalisés.

5.1.3.1 Ecrouissage isotrope linéaire

Un modèle d’écrouissage isotrope linéaire dénoté EIL (voir l’équation 2.20) a été testé. La

figure 5.4a présente la comparaison de la réponse entre un essai et le modèle. On observe

que la courbe calculée par le modèle présente un point de rupture de pente au delà de la

limite d’élasticité. Après le point de rupture, la courbe de traction calculée par le modèle

EIL tend vers une asymptote horizontale, coïncidant avec l’observation expérimentale sauf

en début de plasticité. Toutefois, il y a un grand décalage entre la courbe modèle et la

courbe expérimentale en compression. La limite d’élasticité calculée en compression est

très éloignée de celle obtenue expérimentalement.

En conclusion, le modèle EIL est un modèle d’écrouissage isotrope très simple avec seule-

ment deux paramètres plastiques permettant de rendre relativement bien compte de la

courbe de traction. En revanche, il rend mal compte de la réponse en décharge et en

compression.

5.1.3.2 Ecrouissage isotrope exponentiel

Un modèle d’écrouissage isotrope exponentiel, dit de Voce [Voce, 1955] et dénoté EIE

(voir l’équation 2.21), a été testé. La courbe obtenue par mise en œuvre du modèle est

90 Chapitre 5

0 0.005 0.01 0.015 0.02−400

−200

0

200

400

ε

σ (M

Pa)

modélisée par EILexpérimentale

(a)

0 0,005 0,01 0,015 0,02 −400

−200

0

200

400

ε

σ (M

Pa)

modélisée par EIEexpérimentale

(b)

0 0,005 0,01 0,015 0,02 −400

−200

0

200

400

ε

σ (M

Pa)

modélisée par ECLexpérimentale

(c)

0 0,005 0,01 0,015 0,02 −400

−200

0

200

400

ε

σ (M

Pa)

modélisée par ECNL1expérimentale

(d)

0 0,005 0,01 0,015 0,02 −400

−200

0

200

400

ε

σ (M

Pa)


(e)

0 0,005 0,01 0,015 0,02 −400

−200

0

200

400

ε

σ (M

Pa)


(f)

0 0,005 0,01 0,015 0,02 −400

−200

0

200

400

ε

σ (M

Pa)


(g)

0 0,005 0,01 0,015 0,02 −400

−200

0

200

400

ε

σ (M

Pa)


(h)

Figure 5.4: Comparaison entre réponses expérimentales et réponses prévues par différents

modèles : (a) modèle EIL, (b) modèle EIE, (c) modèle ECL, (d) modèle ECNL1, (e)

modèle ECNL2, (f) modèle ECNL3, (g) modèle ECNL4, (h) modèle ECNL5.


comparée à la courbe expérimentale sur la figure 5.4b. On constate que comme pour le

modèle précédent, il y a toujours un grand décalage entre la courbe de compression calculée

et la courbe expérimentale. La limite d’élasticité calculée en compression est très loin de

celle obtenue expérimentalement. Par contre, ce modèle présente un bon accord pour la

réponse en traction. Le terme [1−exp(−bp)] permet de retarder l’apparition de l’asymptote

lors du premier chargement. Ainsi la courbe de traction calculée par ce modèle est très

proche de la courbe expérimentale. C’est la raison pour laquelle ce modèle a été utilisé

pour étudier seulement la traction. L’objectif de l’étude de la traction sans compression

est de montrer que les améliorations apportées à la MCV dans cette thèse sont notables

aussi pour traiter les chargements monotones. Ainsi, les paramètres identifiés et reportés

dans le tableau 5.3 pour le modèle EIE seront utilisés comme paramètres de référence

lors des études des essais hétérogènes en chargement monotone avec identification par la

MCV.

σ0(MPa) R0(GPa) Rinf(MPa) b(×103)

DP 179, 8 ± 28 31, 7 ± 0, 8 120, 4 ± 29 2, 44 ± 0, 83

C.V.(%) 8 12 12 17

Tableau 5.3: Paramètres plastiques identifiés pour le modèle de Voce à partir des courbes

contrainte-déformation issues des essais normalisés selon la DP.

5.1.3.3 Ecrouissage cinématique linéaire

Un modèle d’écrouissage cinématique linéaire de Prager dénoté ECL a été étudié (voir

l’équation 2.24). La courbe de réponse obtenue pour ce modèle est comparée à la courbe

expérimentale sur la figure 5.4c. On trouve qu’il n’y a plus de décalage entre la courbe

de compression calculée et la courbe expérimentale. Cependant, la transition progressive

entre les deux parties linéaires de la courbe a disparu en traction. Finalement, ce modèle

n’a pas été retenu dans cette étude.

5.1.3.4 Ecrouissage cinématique non linéaire

L’inconvénient de la linéarité du modèle ECL précédent est levé par l’utilisation du modèle

cinématique non linéaire dénoté ECNL1 ( voir l’équation 2.25). En fait, le terme de rappel

γXdp introduisant un effet de mémoire évanescente du trajet de déformation permet de

rendre compte de la non-linéarité de l’écrouissage cinématique. La courbe de réponse

obtenue par ce modèle est comparée à la courbe expérimentale sur la figure 5.4d. La

courbe calculée par le modèle ECNL1 présente une plus grande courbure que la courbe

92 Chapitre 5

expérimentale avant de tendre vers une asymptote horizontale. Quant aux parties des

courbes en compression, elles sont très proches.

De plus, on constate que la réponse non linéaire en début de plasticité est différente en

traction et compression sur la courbe expérimentale ce qui traduit un effet de Rochet [4]

qui serait mis en évidence après plusieurs cycles.

En conclusion, le modèle ECNL1 reproduit mieux à la fois les courbes de traction et de

compression par rapport aux modèles précédents. Malgré cela, le début de la plasticité en

traction reste problématique. Toutefois, ce problème disparaîtrait avec des chargements

cycliques [4]. De plus, la simplicité du modèle ECNL1 présente l’avantage de rendre les

algorithmes de calculs numériques plus stables et moins coûteux. Le tableau 5.4 présente

les paramètres plastiques identifiés pour le modèle ECNL1, issus des six essais normalisés.

Ils seront considérés comme résultats de référence pour la suite.

σ0(MPa) C(GPa) γ

DP 198, 1 ± 7 30, 7 ± 6 292 ± 52

C.V.(%) 2 10 9

Tableau 5.4: Paramètres plastiques identifiés pour le modèle cinématique non linéaire

ECNL1 à partir des courbes contrainte-déformation issues des essais normalisés.

5.1.3.5 Améliorations du modèle d’écrouissage cinématique non linéaire

L’idée est maintenant d’examiner des enrichissements du modèle ECNL1 afin de mieux

décrire la transition élastique-plastique lors de la charge.

a) Ecrouissage cinématique non linéaire avec le terme φ(p) (ECNL2)

Le terme φ(p) introduit par Marquis (voir l’équation 2.26) permet de retarder l’apparition

de l’asymptote horizontale en traction. Cependant, il n’améliore pas beaucoup la partie

du début de plasticité par rapport au modèle ECNL1 (voir figure 5.4e).

b) Ecrouissage cinématique non linéaire combiné avec isotrope linéaire (ECNL3)

Dans le but de vérifier aussi l’influence de l’écrouissage isotrope, le modèle d’écrouissage

cinématique non linéaire (ECLN1) combiné avec écrouissage isotrope linéaire a été testé.

La figure 5.4f présente la comparaison de la réponse entre l’essai homogène et le modèle. Le

modèle ECNL3 semble assez proche de ECNL1 et ECNL2. Il rend un peu mieux compte


de la limite d’élasticité en compression. Cependant, la valeur du paramètre d’écrouissage

isotrope H prend un signe négatif et une valeur très petite devant la valeur du paramètre

d’écrouissage cinématique C, ce qui signifie que l’influence de l’écrouissage isotrope n’est

pas significative.

c) Ecrouissage cinématique non linéaire en utilisant le terme φ(p) combiné avec

écrouissage isotrope linéaire (ECNL4)

Ce modèle est la combinaison des deux modèles ECNL2 et ECNL3. Il permet de repro-

duire très fidèlement la réponse mécanique. En effet, la courbe calculée par ce modèle et

l’expérimentale sont très proches (figure 5.4g). Elles ne présentent pas nettement de point

de rupture de pente au niveau de la limite d’élasticité. La courbe calculée possède des

courbures en traction et en compression très légèrement différentes de celles de la courbe

expérimentale. La pente de la partie plastique dans le domaine de traction quasi linéaire

est très légèrement supérieure à la pente expérimentale. Les paramètres plastiques iden-

tifiés à partir des 6 essais et reportés dans le tableau 5.5 montrent une grande variation

pour les paramètres φ∞ et ω . Cela signifie que ce modèle est assez difficile à identifier

pour des questions de faible sensibilité à certains paramètres.

σ0(MPa) H(GPa) C(GPa) γ φ∞ ω

DP 215, 3 ± 13 −3, 1 ± 2 54, 8 ± 19 740 ± 200 −0, 84 ± 1, 9 21, 7 ± 40

C.V.(%) 3 33 17 14 112 91

Tableau 5.5: Paramètres plastiques identifiés pour le modèle ECNL4 à partir des courbes

contrainte-déformation issues des essais normalisés.

d) Ecrouissage cinématique non linéaire combiné avec isotrope non linéaire

(ECNL5)

Ce modèle est la combinaison du modèle ECNL1 avec un modèle d’écrouissage isotrope

non linéaire (voir équation 2.23). Comme le modèle ECNL4, ce modèle rend très bien

compte à la fois de la courbe en traction et compression. Il rend également bien compte

des limites d’élasticité (figure 5.4h). Le tableau 5.6 présente les paramètres plastiques pour

ce modèle. Ils sont assez stables et seront utilisés comme des résultats de référence pour

la suite.

94 Chapitre 5

σ0(MPa) B Q(MPa) C(GPa) γ

DP 217 ± 20 166 ± 45 −66 ± 20 54, 1 ± 10 433 ± 104

C.V.(%) 4 14 15 9 12

Tableau 5.6: Paramètres plastiques identifiés pour le modèle ECNL5 à partir des courbes

contrainte-déformation issues des essais normalisés.

5.1.3.6 Conclusion

Des modèles d’écrouissage appliqués aux essais normalisés ont été présentés, prenant en

compte un écrouissage isotrope ou un écrouissage cinématique, ou encore la combinaison

des deux. On trouve que :

– en chargement monotone (traction), le modèle d’écrouissage isotrope exponentiel (de

Voce) s’avère convenable. Comme on l’a expliqué au paragraphe 5.1.3.2, ce modèle sera

étudié dans les essais hétérogènes en chargement monotone pour la validation de la

MCV. L’objectif sera de comparer les résultats obtenus dans cette étude à ceux obtenus

précédemment afin de montrer les améliorations apportées, car aucun résultat n’a été

présenté avec la MCV pour ce modèle dans les études précédentes [22].

– en chargement de traction-compression, il est clair que les modèles d’écrouissage pu-

rement isotrope ne sont pas convenables vis-à-vis de l’observation expérimentale. Le

modèle d’écrouissage cinématique non linéaire ECNL1 avec seulement trois paramètres

plastiques a été choisi pour valider expérimentalement la MCV, car il s’agit d’un bon

compromis entre nombre de paramètres et bonne reproduction de la réponse. Quant

aux modèles ECNL4 et ECNL5, ils sont les meilleurs parmi les modèles envisagés pour

reproduire la réponse expérimentale. Par contre, ils exigent un plus grand nombre de

paramètres plastiques (6 pour ECNL4, 5 pour ECNL5). Cela rend les algorithmes de

calculs numériques moins stables et plus coûteux lors des études des essais hétérogènes.

Ainsi, les deux modèles ECNL4 et ECNL5 n’ont pas été retenus pour valider expéri-

mentalement la MCV, même si des tentatives seront présentées pour ECNL5. De plus,

les résultats obtenus pour le modèle ECNL4 varient dans un intervalle très large pour

les paramètres φ∞ et ω. Cela montre une faible sensibilité au terme φ(p). Il sera certai-

nement plus difficile de les identifier pour l’étude des essais hétérogènes par MCV car

la plasticité va apparaître de manière localisée. Pour cette raison, le modèle ECNL4 a

été totalement écarté.


5.2 Description des essais hétérogènes et méthodes de

mesure

5.2.1 Forme des éprouvettes

Comme expliqué au chapitre 5, on souhaite un essai produisant un état de contrainte hé-

térogène et non uni-axial. La géométrie choisie dans cette étude est celle d’une éprouvette

plane de traction bi-entaillée utilisée déjà par [22, 24]. Cette géométrie d’éprouvette a

été validée numériquement pour vérifier qu’elle permet d’identifier par la MCV les para-

mètres d’écrouissage cinématique combiné à l’écrouissage isotrope. La figure 5.5 présente

les dimensions de cette éprouvette.

Figure 5.5: Géométrie de l’éprouvette de traction plane bi-entaillée de 3 mm d’épaisseur

(dimensions en mm).

Les dimensions de cette éprouvette ont été changées par rapport au chapitre 5. Les rap-

ports entre les dimensions des entailles circulaires et la largeur d’éprouvette ont été gardés.

Le changement de dimensions a pour seul but de faciliter la mise en place de cette éprou-

vette dans les mors, afin de l’aligner en évitant toute excentricité lors du chargement.

5.2.2 Montage mécanique

La machine de chargement utilisée est la même que pour les essais normalisés (partie 5.1.2).

Il s’agit d’une machine INSTRON. Elle dispose d’une surface de référence permettant

de mesurer un alignement entre les axes d’amarrage de l’éprouvette, ce qui assure un

alignement rigoureux de l’éprouvette avec les axes des mors. La résultante des efforts de

traction ou de compression est mesurée par une cellule de charge de capacité 100 kN. Les

éprouvettes sont chargées à vitesse de chargement constante égale à 2 kN par minute.

96 Chapitre 5

Six éprouvettes ont été testées dans la direction transverse au laminage de la tôle. Les

essais effectués consistaient à prédéformer plastiquement le matériau en traction jusqu’à

une prédéformation totale donnée (première étape de chargement). La résultante verticale

des efforts varie de 19,5 à 23 kN à la fin de la traction selon les essais. Ensuite, on effectue

une compression jusqu’à ce que le flambement apparaisse (deuxième étape de chargement).

La résultante maximale en compression est de 18 à 19,5 kN en valeur absolue dans nos

essais. On ne peut pas atteindre une compression plus forte car l’apparition du flambage

l’empêche. Le flambement peut être facilement identifié par une grande différence de valeur

de déformation entre les deux faces de l’éprouvette (une face avec méthode de grille, l’autre

avec jauge).

5.2.3 Méthode de mesure de champs cinématiques

Introduction

Comme il a été justifié à la partie 1.2.3, la méthode de grille est choisie comme méthode

de mesure pour les essais. Ce paragraphe est donc consacré au principe de cette méthode

et à sa mise en œuvre expérimentale dans notre étude.

5.2.3.1 Principe de la méthode de la grille

Le principe fondamental de la méthode de la grille est basé sur l’hypothèse que la grille

suit fidèlement les déplacements et les déformations du substrat sur lequel elle est déposée

et que la grille ne vient pas perturber le comportement de ce substrat. Le principe de

la méthode est basé sur l’observation de la grille collée sur la surface de l’éprouvette à

analyser.

Mesure de champ de déplacements plans

Considérons un point du capteur CCD de la caméra notée M0. A chaque instant, il reçoit

l’intensité lumineuse provenant d’un point matériel donné sur la grille de référence. A

l’état initial (avant chargement), M0 reçoit la lumière du point matériel M caractérisé par

son vecteur position−→R (X, Y ) dans le repère cartésien (O,

−→i ,

−→j ) dans la configuration

initiale non déformée. A l’état final (après chargement), M0 reçoit la lumière d’un autre

point matériel de la grille, noté M ′. La position de M ′ dans la configuration initiale non

déformée est caractérisée par le vecteur position−→R

′

(X, Y ) dans le repère (O,−→i ,

−→j ) .


A l’état initial, la lumière reçue par M0 est la lumière réfléchie par le point matériel M .

L’intensité reçue de M0 s’écrit selon l’équation suivante [96] :

I(−→R ) = I0

1 + γfrgn[2π

−→Fx ·

−→R ]frgn[2π

−→Fy ·

−→R ]

(5.1)

où I0 est l’intensité moyenne et γ est le contraste (ou la visibilité) ; la fonction frgn est

2π -périodique et représente le profil des franges ;−→F x et

−→F y sont les vecteurs fréquence

spatiale dans le repère (O,−→i ,

−→j ) correspondant respectivement aux traits verticaux et

horizontaux.

A l’état final, la lumière reçue par M0 est remplacée par la lumière du point M ′ de la

grille de référence. La nouvelle intensité lumineuse reçue par M0 est alors :

I(−→R ) = I0

1 + γfrgn[2π

−→Fx ·

−→R′]frgn[2π

−→Fy ·

−→R′]

(5.2)

La phase de l’intensité lumineuse acquise au point M0 varie de 2π−→Fx · (

−→R′ −

−→R ) entre

l’état initial et l’état final dans la direction horizontale et de 2π−→Fy · (

−→R′ −

−→R ) dans la

direction verticale. L’utilisation d’une grille bidirectionnelle permet donc de caractériser

entièrement le vecteur−−−→MM ′ . La mesure du vecteur

−−−→MM ′ sur toute la surface étudiée

permet la mesure d’un champ de déplacements plans. A partir de la variation de phase de

la fonction frgn, les déplacements verticaux et horizontaux peuvent être exprimés par :

xMM ′ =p

2πϕx ; yMM ′ =

p

2πϕy (5.3)

où ϕx et ϕy sont respectivement les déphasages dans la direction verticale ou horizontale.

Détection de la phase par décalage de phase

Comme on vient de le montrer, le premier paramètre à extraire de l’image est la phase

de la porteuse. Le traitement des franges est le processus permettant de passer du champ

d’intensité décrit par les équations 5.1 et 5.2 au champ de phase correspondant. Cette

première étape ne donne que la phase modulo 2π, il faudra ensuite continuer le traite-

ment par un dépliement de phase visant à rétablir la continuité du champ de phase en

supprimant les sauts de 2π.

Dans l’équation 5.1 et 5.2 l’intensité moyenne I0 et le contraste γ sont inconnus ainsi que

les phases ϕx et ϕy. Donc, l’enregistrement d’un seul champ ne permet pas de remonter

98 Chapitre 5

aux phases (quatre inconnues pour une seule équation). Il est par conséquent nécessaire

d’avoir au moins autant d’équations que d’inconnues pour résoudre le problème. Les autres

informations sont à chercher au voisinage du pixel où l’on cherche à évaluer la phase

(approche spatiale), soit au niveau du même pixel mais sur des enregistrements différents

(approche temporelle). L’une des méthodes les plus efficaces est le décalage de phase.

Le principe général du décalage de phase consiste à disposer de plusieurs échantillons

Ik, k = 0, 1, . . . ,M − 1, séparés par un déphasage constant [101] :

Ik = I(ϕ+ kδ) (5.4)

M est le nombre total des images d’intensité utilisées. Il existe deux types de décalage de

phase : temporel et spatial.

Décalage de phase temporel

Cette technique utilise M valeurs de l’intensité pour évaluer la phase en chaque pixel

en décalant chaque fois la phase de δ entre les images adjacentes. Ce décalage peut être

réalisé par exemple en déplaçant la caméra dans la direction voulue sur une distance cor-

respondant au décalage recherché sans faire bouger l’éprouvette et changer le chargement.

L’incertitude sur le décalage influence directement la résolution atteinte sur la mesure de

phase. Cette technique offre la meilleure résolution spatiale possible. Par contre, elle a

besoin du temps nécessaire pour enregistrer plusieurs images.

Décalage de phase spatial

Le décalage de phase spatial nécessite une seule image de grille pour évaluer la phase. En

effet, si la grille est échantillonnée par un nombre entier M de pixels par période et que

le déplacement est supposé constant sur cette période, la phase détectée par chaque pixel

adjacent est décalée d’une fraction de période δk = 2π/M . La phase est évaluée à partir

des M intensités enregistrées par les pixels adjacents. L’inconvénient de cette technique

est que la résolution spatiale ne peut être inférieure à une période de la grille.

La formule générale permettant de passer de l’ensemble des intensités Ik à la phase est :

ϕ = arctan

[M−1∑

k=0

bkIk

M−1∑

k=0

akIk

](5.5)


où ϕ est la phase mesurée, dans l’intervalle [−π, π].

De nombreux algorithmes de décalage de phase existent dans la littérature [101]. L’un des

algorithmes les plus utilisés est équivalent à une transformée de Fourier discrète fenêtrée

par une fonction triangle (TFD-F). Cet algorithme minimise la sensibilité aux erreurs de

calibrage du décalage de phase. Il s’écrit comme suit :

ϕ = arctan

(−

N−1∑

k=1

k(Ik−1 − I2N−k−1)sin(2πk/N)

NIN−1 +N−1∑

k=1

k(Ik−1 + I2N−k−1)cos(2πk/N)

)(5.6)

Cet algorithme correspond en fait au calcul de l’argument du deuxième coefficient de la

transformée de Fourier discrète du jeu des valeurs Ik. Le nombre total d’échantillons requis

par cet algorithme pour un décalage de δk = 2π/N est M = 2N − 1 pixels (soit quasi-

ment deux périodes de grille). Le choix du nombre N dépend du nombre d’harmoniques

présentes dans le signal, autrement dit du profil des traits. Dans ce travail, N = 5 s’avère

être suffisant pour éliminer les harmoniques gênantes si les réglages ont été correctement

effectués [101].

Dépliement de phase

Une fois la phase détectée, il faut procéder au dépliement de la phase pour représenter le

champ de déplacement plan. Déplier la phase signifie supprimer les sauts de 2π présents,

en ajoutant ou supprimant localement le multiple de 2π adéquat. Ceux-ci ont lieu à

chaque fois que le déplacement vaut p/2 + kp. Une procédure rudimentaire peut être

utilisée : déplier la phase complètement suivant la verticale de l’image. Ensuite, déplier la

phase suivant la direction horizontale. Cette procédure présente des difficultés. Une des

principales est que certaines fois, il n’y a pas suffisamment d’information dans l’image

pour réaliser le dépliement de phase. C’est le cas lorsque quelques zones de l’images sont

déconnectées, c’est à dire séparées par une zone de pixels invalides (où n’apparaît aucune

frange, et donc où la phase n’est pas calculable). Il n’y a donc pas de chemin vertical

ou horizontal qui relie les zones, et donc aucun moyen de connaître le multiple de 2π à

introduire dans une zone par rapport à l’autre. Un autre cas est celui où le niveau de bruit

sur les cartes de phase est important (un saut de 2π n’est pas détecté ou à l’inverse un

saut est détecté alors qu’il n’a pas lieu d’être).

Deux stratégies existent pour des dépliements de phase plus élaborés : spatial et tempo-

rel [102–106]. La vitesse de chargement et la fréquence d’acquisition des images dans les

100 Chapitre 5

essais réalisés assurent des incréments de déplacements inférieurs à 100 µm. Cela permet

d’appliquer un dépliement temporel [107] des cartes de phase et évite d’avoir à mettre

en œuvre un algorithme de dépliement spatial.

5.2.3.2 Mise en œuvre de la méthode de grille

a) Obtention des grilles

Plusieurs techniques existent pour réaliser une grille sur la surface d’un objet [41]. On peut

citer entre autre le marquage laser, la lithographie, la micro érosion, la photo électrodépo-

sition et enfin l’impression sur transparent. Le choix de l’une ou l’autre de ces techniques

pour réaliser des grilles dépend du matériau sur lequel la grille doit être déposée ainsi

que du pas souhaité de grille. Celui-ci est fonction de la taille du champ à observer et du

pouvoir de résolution du capteur CCD. Dans cette étude, la taille du champ à mesurer est

de quelques centimètres carrés. Avec cette taille, comme on l’a montré au chapitre 5, la

nécessité de l’utilisation d’une grille de pas de 100µm s’impose pour diminuer l’influence

du bruit blanc dans l’identification des paramètres du comportement du matériau par la

MCV.

L’impression sur transparent a été utilisée ici. Cette technique permet de réaliser à moindres

frais des grilles avec des fréquences pouvant atteindre une dizaine de traits par mm (10

traits par mm équivalent à un pas de 100µm choisi dans ce travail). Elle utilise deux

éléments, une colle époxyde et un film photosensible transparent sur lequel sont flashées

les grilles. Le film photosensible est constitué d’un support polyester et d’une émulsion

de gélatine et de sels d’argent. La colle utilisée pour coller les grilles est commercialisée

sous la dénomination E 504 par la société Epotechny (92300, Levallois-Perret). Il s’agit

d’une résine époxyde à deux composants : durcisseur et résine blanche. Elle présente donc

l’avantage d’éviter de coller des grilles avec une colle transparente sur une peinture blanche

pour réaliser le contraste optique avec les traits noirs.

La technique du transfert de grille consiste dans un premier temps à coller une grille sur

la surface de l’éprouvette testée. Il faut respecter le rapport 5/1 entre respectivement la

résine et le durcisseur ; néanmoins la part de durcisseur peut varier de plus ou moins 10%

autour de cette valeur. La procédure de collage du film transparent se fait comme pour

une jauge de déformation [41]. Les étapes sont les suivantes :

– le corps de l’éprouvette doit être dégraissé à l’alcool, voir à l’acétone pour des métaux

comme dans ce travail ;

– délimiter avec un ruban adhésif la zone sur laquelle la grille sera transférée ;


– positionner le film transparent sur la surface étudiée de l’éprouvette puis fixer une de

ses extrémités avec un ruban adhésif ;

– déposer la colle en quantité suffisante à la base de cette extrémité en tenant le film sous

un angle de 30 ;

– à l’aide d’un objet à angle droit, refouler progressivement la colle sous le transparent,

sans trop appuyer ;

– enlever tout surplus de colle qui pourrait gêner le retrait du film après polymérisation ;

– recouvrir de caoutchouc siliconé et appliquer sur celui-ci une masse morte pour qu’une

pression maximale d’environ 0, 1 kg/cm2 s’exerce pendant la polymérisation ;

– réaliser une polymérisation de la colle (41 heures à 35C ici) ;

– juste après la polymérisation, retirer le transparent, délicatement, lentement et de façon

régulière. Protéger la surface de la grille jusqu’à son utilisation.

b) Montage optique

Les images ont été prises en utilisant une caméra Jai (8bits, monochrome) possédant un

capteur CCD de 1376x1024 pixels et équipée d’un objectif Nikkon de 60 mm de focale

f/2,8G ED. La distance entre l’objectif et la surface mesurée était de 200 ±5 mm.

Figure 5.6: Dispositif expérimental : éprouvette en traction-compression (distance entre

les mors égale à 60 mm) munie d’une grille de pas 100 µm.

c) Réglage et acquisition des images

On peut procède à la mesure de champs cinématiques en respectant les étapes suivantes :

102 Chapitre 5

– Le plan du capteur CCD de la caméra et le plan de la grille doivent être parallèles. Pour

un travail très soigné, on utilise un faisceau laser placé dans l’axe de la caméra. Il se

réfléchit sur le plan de la grille. Le réglage est correct si le faisceau réfléchi revient bien

dans l’axe de la caméra ;

– acquisition de la première image : quelques manipulations préliminaires sont nécessaires

afin d’améliorer la qualité de l’image (luminosité, contraste,. . . ). L’image doit être la

plus contrastée possible, sans toutefois présenter de saturation. Le réglage de la répar-

tition de l’éclairage est fait en vérifiant l’histogramme du niveau de gris. Il convient

d’être prudent si des valeurs d’intensité sont proches de 0 ou 255 pour la caméra 8 bits.

Ce réglage a pour but d’éviter une saturation du signal d’intensité au niveau des deux

extrémités qui se traduira ensuite par la présence d’harmoniques, et donc de franges

parasites sur les champs de phases [96] ;

– réglage du grossissement de manière à échantillonner une période de la grille avec le

nombre de pixels demandé. Ce nombre, noté N , dépend de l’algorithme de décalage de

phase (voir la partie 5.2.3.1). Dans ce travail un nombre N = 5 s’avère être convenable,

ce qui correspond à 275×205 traits. Une fois la qualité de la première image assurée,

on peut commencer les mesures ;

– acquisition des images : on recommande tout d’abord de faire un test pour une charge

non endommageante de manière à contrôler qu’aucun effet de jeux mécaniques n’appa-

raît. Ainsi, une première image d’intensité de la grille correspondant à l’état initial est

enregistrée. Puis, l’éprouvette est chargée jusqu’à 5 kN, ce qui permet à l’éprouvette de

rester encore dans le domaine élastique. Quelques images de l’intensité de la grille sont

enregistrées dans ce domaine, et un premier traitement est effectué sur les premières

images enregistrées. Ce premier traitement a pour but de vérifier le bon déroulement de

la mesure (pas de déplacements hors-plan, résultats cohérents d’identification des para-

mètres élastiques) sans endommager ni plastifier l’éprouvette. Une fois cette opération

réalisée, on peut effectuer les mesures avec les chargements demandés (voir partie 5.2.2).

d) Analyse des images

L’algorithme TFD-F (l’équation 5.6) a été utilisé pour le décalage de phase. Cinq pixels

ont été utilisés pour échantillonner chaque période de grille de 100 µm, le grandissement

vaut donc 0, 05 pixel · µm−1. La figure 6.12 présente quelques champs de déplacement

mesurés correspondants aux chargements réalisés. Pour évaluer la qualité de la mesure, la

résolution et la résolution spatiale [100], qui sont les deux paramètres essentiels, doivent

être estimées. Par ailleurs, l’influence négligeable des déplacements hors-plan doit être

également vérifiée.


Résolution

C’est la plus petite valeur de déplacement qui pourra être détectée en un point. Autrement

dit, on peut la considérer comme le bruit blanc sur le champ de déplacement mesuré s’il

n’y a pas d’autres sources d’incertitude. Pour caractériser ce bruit, la méthode utilisée

en pratique est la suivante : prendre deux mesures successives avec un chargement nul,

puis faire la différence entre deux champs de déplacement obtenus et calculer ensuite

l’écart-type de cette différence.

La résolution finalement atteinte en déplacement est estimée à environ 0,35 µm (voir

figure 5.8), soit environ p/300 ou encore un 60ème de pixel.

Résolution spatiale

C’est la distance minimale entre deux points indépendants. Elle correspond au nombre de

points utilisés pour le décalage de phase spatial. Le nombre total d’échantillons requis par

l’algorithme TFD-F pour un décalage de 2π/N est M = 2N−1 pixels. Donc, la résolution

spatiale est de 180 µm.

Déplacement hors-plan

Comme il a été expliqué dans [24], les mesures réalisées par la plupart des méthodes

optiques dont la méthode de grille, peuvent être faussées si la distance entre la surface

de l’éprouvette et la caméra change en cours d’essai. Pour remédier à cette erreur, il est

conseillé de travailler à de faibles rapports de grandissement, avec des objectifs de focale

assez longue et de mesurer les champs de déplacement sur les deux faces de l’éprouvette.

Dans le travail de Yannick Pannier [24], deux systèmes d’acquisition identiques ont donc

été utilisés. En effet, pour des déplacements hors plan assez faibles, les déformations

apparentes vues par les deux caméras sont égales et de signes opposés. En moyennant

les déformations mesurées sur les deux faces, les effets des déplacements hors-plan ont

été éliminés. Il faut noter ici que la mesure de deux surfaces n’était pas facile à réaliser

pour les raisons suivantes : il fallait coller une grille sur les deux surfaces ; la taille des

pixels du capteur CCD et la focale de l’objectif photographique devaient être les mêmes ;

en particulier, les caméras devaient alors être placées en vis à vis et à la même distance

de chaque côté de l’éprouvette ; enfin, le traitement des images prenait deux fois plus de

temps.

La raison principale des effets de déplacements hors-plan dans le travail de Yannick Pan-

nier était le des mouvement hors-plan des mors de la machine utilisée. Il s’agissait d’une

104 Chapitre 5

machine dont les mors étaient fixés par liaison pivot, ce qui provoquait des mouvements

hors-plan. Par contre, une nouvelle machine hydraulique plus performante a été utilisée

ici. Sa rigidité importante, associée à l’utilisation de mors hydrauliques, permet de rendre

négligeable les mouvements hors plan des mors au cours des essais. De plus, ils peuvent

être réglés en assurant un bon alignement entre l’éprouvette et les axes des mors à l’aide

d’une rotule de réglage d’alignement des mors. C’est pourquoi, il a été décidé de mesurer

seulement les déplacements sur une surface en vérifiant l’influence des déplacements hors-

plan et la flexion résiduelle par l’utilisation d’une jauge de déformation sur l’autre côté

de l’éprouvette.

Les courbes des différences de déformation longitudinale moyenne dans la zone du centre

de l’éprouvette (zone couverte par jauge), entre la déformation obtenue par la jauge et

celle obtenue par la méthode de grille, sont présentées sur la figure 5.7. Elles montrent que

l’influence des déplacements hors-plan peut être négligée (il n’a pas de flexion résiduelle

non plus). Toutefois, on voit toujours un léger décalage entre les deux courbes au début

de la plasticité (environ 10 %). Il y a, enfin une grande différence vers la fin de la courbe.

Cette différence vient de l’apparition du flambement. L’avantage de l’utilisation de la

jauge sur l’autre face est donc double. Tout d’abord, elle vérifie a posteriori l’influence

éventuelle d’effets hors-plan. Ensuite, elle permet de détecter l’apparition du flambement

qui manque la fin de l’essai car il n’est plus possible d’identifier les paramètres plastiques

dans l’hypothèse d’uniformité des déformations dans l’épaisseur.

5.2.4 Reconstruction par une approximation éléments finis du

champ des déplacements et du champ des déformations à

partir des déplacements mesurés

La résolution brute obtenue par l’algorithme TFD-F peut être améliorée en traitant les

mesures afin de diminuer le bruit. Une technique de reconstruction basée sur les éléments

finis (voir partie 3.2.1) a été appliquée.

À partir des données mesurées, l’objectif est de reconstituer un champ de déplacement

cinématiquement admissible. En effet, la surface de l’éprouvette où des mesures de champs

sont effectuées peut être maillée en éléments triangulaires. On écrit le champ de dépla-

cement à partir des déplacements aux nœuds du maillage en utilisant les fonctions de

forme linéaires de ces éléments triangulaires. A partir de ces fonctions de forme on peut

évaluer les déplacements nodaux à partir des données expérimentales par régression au

sens des moindres carrés. Une fois les déplacements nodaux obtenus, on peut reconstruire

le champ de déplacement approché en utilisant encore une fois les fonctions de forme (voir


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−4

−2

0

2

4

6

8

10

12

14

16x 10

−3

Etape

Déf

orm

atio

n

Méthode de grille

Jauge

Flambement→

Figure 5.7: Comparaison entre la déformation longitudinale fournie par la jauge sur une

surface et celle fournie par la mesure de champ sur l’autre face.

partie 3.2.1).

Amélioration apportée par la reconstruction des champs cinématiques

La résolution atteinte après reconstruction par approximation éléments finis est estimée

à partir de l’analyse de la distribution des écarts de deux mesures successives d’un char-

gement nul.

Soit γu la résolution de la technique de mesure (qui est l’écart type de la mesure), pu la

distance séparant deux points de mesures voisins et Np le nombre moyen de pixels séparant

deux nœuds voisins du maillage considéré (taille de maille en pixels). La résolution spatiale

après reconstruction est donc égale à la taille de maille, c’est-à-dire à Nppu [20]. Quant

à la résolution en déplacements reconstruits, elle est proportionnelle à γu/Np. Il en dé-

coule que la résolution en déformations reconstruites est proportionnelle à γu/(N2ppu) [20].

La résolution en déformation peut être donc améliorée d’un facteur 100 simplement en

réduisant d’un facteur 10 le pouvoir de résolution spatiale. Un bon compromis entre la

résolution et la résolution spatiale doit être trouvé selon chaque cas. La taille de maille

utilisée ici est de 13 pixels. Elle a été validée numériquement (voir chapitre 4).

La résolution atteinte en déplacement après reconstruction avec maillage de taille 13

106 Chapitre 5

pixels à partir de deux mesures successives pour une charge nulle est de 0,025 µm (voir

figure 5.8). Toutefois, la distribution n’est pas aléatoire. Cela provient probablement des

effets suivants :

– des variations d’indice de l’air entre la caméra et l’éprouvette. Ceci est possible, s’il y

a une source de chaleur pas loin, ou une source de perturbation quelconque (groupe

hydraulique pour la machine etc. . . ) ;

– des différences de contrastes. Ceci est liés à l’éclairage, ou à des variations éventuelles

du pas de la grille, par exemple en raison de la non planéité de l’éprouvette (épaisseur

de colle etc. . . ).

L’ordre de grandeur des maxima et des minima observés est de 5.10−5 en déformation

reconstruite. Il est calculé à partir d’écarts lissés par éléments finis entre deux mesures

successives pour une charge nulle (figure 5.9). C’est le résultat prépondérant. En effet,

même si la distribution n’est pas aléatoire comme attendu, on trouve des déformations

très faibles entre les deux états mesurés. La valeur 5.10−5 est donc l’incertitude de la

mesure de déformation après reconstruction.

Ecarts bruts ux

−1

0

1

x 10−3 Ecarts bruts u

x lissés

−202468

x 10−4 Différences

−2−101

x 10−3

Ecarts bruts uy

−2

−1

0

1x 10

−3 Ecarts bruts uy lissés

−4−202

x 10−4 Différences

−2

0

2x 10

−3

Figure 5.8: Distributions d’écarts entre deux mesures successives pour une charge nulle,

lissage par éléments finis avec un maillage de taille 13 pixels, et différences entre les deux.

Présentation des champs de déformation

Les champs de déplacement mesurés, présentés sur la figure 5.10, sont symétriques jusqu’au

moment de l’apparition du flambement. Les champs de déformation reconstruits sur les

figures 5.11 et 5.12 montrent la propagation progressive des déformations à partir des

deux entailles circulaires vers le centre de l’éprouvette. Ce type de répartition a permis de


εxx

−5

0

5x 10

−5 εyy

−5

0

5x 10

−5 εxy

−2024

x 10−5

Figure 5.9: Reconstruction de la déformation à partir des écarts de la figure 5.8 lissés afin

d’estimer la résolution en déformation.

réaliser un état de contrainte plane étendu et équilibré dans les deux directions du champ

de mesure.

5.3 Résultats et discussion

Une fois les champs de déplacements plans obtenus par la méthode de grille, l’identification

des paramètres du comportement de l’inox 316L s’effectue selon la procédure comme

présentée au chapitre 3. Les étapes réalisées automatiquement sur le logiciel Camfit (voir

annexe C) sont les suivantes :

– traitement des mesures : construction d’un maillage éléments finis en fonction de la

forme de l’éprouvette, reconstruction éléments finis des champs de déplacements à partir

des mesures ;

– calcul des gradients de déplacement aux centres de gravité des éléments ;

– entrée de la loi comportement avec les paramètres a priori ;

– entrée du type d’essai et du mode de chargement ;

– calcul des contraintes moyennes au centre de gravité des éléments ;

– choix des champs virtuels utilisés dans la fonction coût ;

– calcul et minimisation de la fonction coût. La procédure s’arrête lorsque la fonction coût

et les paramètres recherchés ne varient plus au delà d’un seuil de variation de 0,05%

entre deux itérations.

Tout d’abord, on va étudier le chargement monotone en utilisant le modèle d’écrouissage

isotrope de Voce. Ensuite, le chargement complet (traction-compression) sera étudié avec

l’écrouissage cinématique ou encore l’écrouissage cinématique combiné avec isotrope.

108 Chapitre 5

ux mesuré (µm) avec F = 5,92 kN

−2

−1

0

1

uy mesuré (µm) avec F = 5,92 kN

10

20

30

40


−10

0

10


50

100


−50

0

50


100

200

300


−50

0

50


0

100

200

ux mesuré (µm) avec F = −12,59 kN

−50

0

50

uy mesuré (µm) avec F = −12,59 kN

−50

0

50

ux mesuré (µm) avec F = −19,73 kN

Flambement−40

−20

0

uy mesuré (µm) avec F = −19,73 kN

Flambement−140

−120

−100

−80

Figure 5.10: Champs de déplacement mesurés en fonction du niveau de charge.


εxx

avec F = 5,92 kN

−2

0

2x 10

−4 εyy

avec F = 5,92 kN

02468

x 10−4 ε

xy avec F = 5,92 kN

−202

x 10−4

εxx

avec F = 16,46 kN

−15−10−505

x 10−4 ε

yy avec F = 16,46 kN

2

4x 10

−3 εxy

avec F = 16,46 kN

−101

x 10−3

εxx

avec F = 20,46 kN

−10

−5

0x 10

−3 εyy

avec F = 20,46 kN

0,0050,010,0150,020,025

εxy

avec F = 20,46 kN

−505

x 10−3

εxx

avec F = 5,68 kN

−10

−5

0x 10

−3 εyy

avec F = 5,68 kN

0

0,01

0,02

εxy

avec F = 5,68 kN

−5

0

5x 10

−3

εxx

avec F = −12,59 kN

−8−6−4−20

x 10−3 ε

yy avec F = −12,59 kN

051015

x 10−3 ε

xy avec F = −12,59 kN

−4−2024

x 10−3

εxx

avec F = −17,13 kN

−6−4−20

x 10−3 ε


0

5

10x 10

−3 εxy

avec F = −17,13 kN

−202

x 10−3

Figure 5.11: Champs de déformation reconstruits à partir de la mesure en fonction du

niveau de charge.

110 Chapitre 5

εxx

avec F = 5,92 kN

−4−202

x 10−4 ε

yy avec F = 5,92 kN

02468

x 10−4 ε

xy avec F = 5,92 kN

−2024

x 10−4

εxx

avec F = 16,46 kN

−15−10−505

x 10−4 ε

yy avec F = 16,46 kN

0

2

4x 10

−3 εxy

avec F = 16,46 kN

−101

x 10−3

εxx

avec F = 20,46 kN

−10

−5

0x 10

−3 εyy

avec F = 20,46 kN

0

0,01

0,02

εxy

avec F = 20,46 kN

−5

0

5

x 10−3

εxx

avec F = 5,68 kN

−10

−5

0x 10

−3 εyy

avec F = 5,68 kN

0

0,01

0,02

εxy

avec F = 5,68 kN

−5

0

5x 10

−3

εxx

avec F = −12,59 kN

−8−6−4−20

x 10−3 ε


051015

x 10−3 ε

xy avec F = −12,59 kN

−4−2024

x 10−3

εxx

avec F = −17,13 kN

−4−20

x 10−3 ε


0

5

10x 10

−3 εxy

avec F = −17,13 kN

−202

x 10−3

Figure 5.12: Champs de déformation continus reconstruits à partir de la mesure en fonction

du niveau de charge.


5.3.1 Identification des paramètres élastoplastiques pour la pre-

mière phase de chargement (traction monotone)

Ce paragraphe est consacré à l’étude d’un modèle d’écrouissage isotrope à quatre para-

mètres plastiques. Il faut rappeler que c’était le modèle utilisé dans la thèse de Pannier [24].

C’est un modèle difficile à identifier lors d’un essai hétérogène en traction avec des éprou-

vettes entaillées. En effet, les résultats obtenus dans le travail de Pannier montrent des

écarts importants entre les paramètres identifiés et ceux de référence. La limite d’élasticité

initiale σ0 est très inférieure au seuil identifié lors des essais uniaxiaux. Au contraire, le

paramètre Rinf est largement surestimé. Quand au paramètre b, il est largement sures-

timé ce qui entraîne la quasi disparition de la transition progressive entre les deux parties

linéaires de comportement du matériau étudié. Ces écarts disparaissent en utilisant un

modèle simple d’écrouissage isotrope linéaire à deux paramètres [22]. Toutefois, le modèle

isotrope linéaire ne permet pas de représenter correctement la transition progressive entre

les deux parties linéaires de comportement du matériau étudié et ne permet donc pas de

déterminer exactement la limite d’élasticité initiale.

Les objectifs ici sont d’utiliser encore le modèle de Voce pour démontrer la robustesse de

la nouvelle procédure d’identification et pour valider expérimentalement cette procédure

dans le cas d’un chargement monotone.

5.3.1.1 Identification des paramètres élastiques en traction

Les paramètres élastiques sont identifiés à partir des étapes élastiques. Il s’agit ici du mo-

dule d’Young et du coefficient de Poisson. On a besoin de deux champs virtuels différents

afin d’obtenir un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues. On choisit le premier

champ dit champ optimisé (voir figure 5.14) de sorte que le travail virtuel des forces exté-

rieures soit nul et que l’influence du bruit blanc soit minimisée [93]. Cela permet d’identifier

le coefficient de Poisson. Il ne reste plus qu’à déterminer le module d’Young en utilisant

l’information portée par la résultante appliquée. En effet, on va calculer la contrainte

moyenne à partir de la force appliquée avec l’utilisation d’un champ virtuel simple, noté

CVC2 (voir tableau 4.3). Cette contrainte moyenne est comparée à la contrainte moyenne

calculée à partir des déformations expérimentales, et l’écart entre les deux est minimisé

afin de trouver la valeur du module d’Young [20]. Pour cela, on base toujours sur la

fonction coût 3.26 en utilisant seulement le champ virtuel simple CVC2.

Le problème posé ici est de distinguer les étapes élastiques des suivantes. Pour cela, on

peut tracer la courbe de la contrainte moyenne obtenue à partir de la résultante d’effort

mesurée en fonction de la déformation moyenne sur toute la surface de l’éprouvette. La

112 Chapitre 5

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,0120

50

100

150

200

250

300

350

Déformation moyenne

Con

trai

nte

moy

enne

(M

Pa)

← Vintgtième étape

Figure 5.13: Courbe contrainte moyenne en fonction de la déformation moyenne au cours

d’un des essais réalisés.

figure 5.13 présente cette courbe pour un des essais réalisés. Elle montre que l’apparition

de la plasticité a lieu à partir de la vingtième étape environ. Le nombre d’étapes utilisé

dans la fonction de coût, noté n, doit donc être inférieur à 20.

Figure 5.14: (a) Maillage utilisé dans la mesure à l’état initial. (b) Champ virtuel optimisé

pour l’identification du coefficient de Poisson.

Les simulations numériques ont permis de fournir une taille optimale de maillage pour

lisser les déplacements ainsi que pour la procédure d’identification des paramètres. Cette

taille est de 11 à 15 pixels (1,1 à 1,5 mm). Les résultats obtenus à partir de six essais

hétérogènes en utilisant ces tailles sont présentés sur le tableau 5.7. Ils coïncident avec les

valeurs de référence obtenus lors des essais normalisés. Les rigidités élastiques maintenant

seront considérés comme connus pour l’identification des paramètres plastiques.


Référence Taille 1,1 mm Taille 1,3 mm Taille 1,5 mm

Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ

E(GPa) 199 ± 7 197, 6 ± 7 196, 8 ± 8 196, 2 ± 9

ν 0, 299 ± 0, 012 0, 307 ± 0, 018 0, 309 ± 0, 022 0, 302 ± 0, 02

Tableau 5.7: Paramètres élastiques identifiés par la MCV en fonction de la taille du

maillage.

5.3.1.2 Identification des paramètres plastiques dans la phase de traction

Dès l’apparition de la plasticité, la relation contrainte déformation devient non linéaire.

Considérons le modèle de Voce : σs(p) = σ0 +R0 ·p+Rinf [1−exp(−bp)] [85] pour calculer

les contraintes à partir des déformations issues de la mesure.

Comme la variable εp dépend de l’histoire du chargement et n’est pas accessible direc-

tement à la mesure, une procédure itérative de calcul des contraintes est mise en œuvre

(voir partie 3.3.4). Le calcul de contraintes est réalisé avec l’ensemble des cartes mesurées

jusqu’à la fin de la phase de traction. On étudie les six essais effectués jusqu’à une résul-

tante totale donnée. La résultante verticale des efforts variait de 19,5 à 23 kN à la fin de

la phase de traction selon l’essai, le nombre de cartes varie donc de 90 à 130 pour chaque

essai. La déformation longitudinale maximale obtenue est de 2 à 5 %.

L’identification est menée avec la MCV itérative. L’ensemble de la procédure d’identifi-

cation des paramètres plastiques par la MCV est décrit en détails dans la section 3.3.

Les paramètres élastiques identifiés précédemment ainsi qu’un jeu initial de quatre para-

mètres d’écrouissage ont été utilisés pour calculer les contraintes et évaluer les équations

d’équilibre écrites pour chaque pas de chargement. Ces paramètres ont été réévalués afin

de minimiser l’écart à l’équilibre donné par la fonction coût globale. Le calcul est itératif

jusqu’au moment où les valeurs de ces paramètres n’évoluent plus (un seuil de variation

< 0, 05 %). Le nombre d’itérations est environ une dizaine en utilisant l’algorithme de

Newton-Raphson au lieu de 80 pour un algorithme de recherche direct basé sur la mé-

thode du simplexe. Cela permet d’atteindre des performances record en temps de calcul.

Par exemple, pour un ordinateur (Intel (R) Pentium (R) 4CPU 2,8 GHz, 500 Mo de

RAM) on a besoin d’environ 5 minutes pour la procédure d’identification du modèle de

4 paramètres plastiques de Voce. C’est le temps qu’il faut sur le même ordinateur pour

faire un seul calcul direct avec la même géométrie et le même comportement.

114 Chapitre 5

Résultats obtenus

Le tableau 5.8 présente les résultats obtenus avec utilisation des champs virtuels optimisés.

Les tailles de maillage de 11 à 15 pixels conduisent à des valeurs cohérentes par rapport

aux valeurs de référence données par les essais normalisés. Ces résultats sont assez proches

entre eux, ce qui indique une bonne stabilité en fonction des tailles de maillage. Le tracé

de la réponse issue du modèle identifié par la MCV et des réponses enregistrées lors des

essais normalisés montre une bonne concordance de la courbe identifiée avec le faisceau

de courbes de référence (figure 5.15). La trace du travail virtuel intérieur et travail virtuel

extérieur au cours de l’essai hétérogène montre une bonne minimisation de la fonction coût

globale d’écart au PTV ce qui confirme également un bon résultat pour les paramètres

plastiques identifiés (figure 5.16).



σ0(MPa) 179, 8 ± 28 183, 2 ± 55 181, 7 ± 50 178, 6 ± 59

R0(GPa) 3, 17 ± 0, 8 3, 29 ± 1, 5 3, 18 ± 1, 2 3, 43 ± 1, 6

Rinf(MPa) 120, 4 ± 29 120, 8 ± 49 123 ± 47 126, 7 ± 48

b(×103) 2, 44 ± 0, 83 2, 23 ± 1 2, 1 ± 1, 1 2, 55 ± 1, 4

Tableau 5.8: Paramètres plastiques du modèle de Voce identifiés par la MCV en fonction

de la taille du maillage.

5.3.1.3 Discussion des résultats identifiés en traction

1. Sensibilité des paramètres identifiés

La sensibilité de la fonction coût aux différents paramètres identifiés a été calculée autour

des valeurs identifiées. Pour chacun des paramètres, les trois autres sont fixés à leur valeur

d’identification, alors que l’on calcule la dérivée partielle du second ordre de la fonction

coût par rapport à ce paramètre. Pour obtenir une sensibilité sans dimension qui puisse

être comparée pour les différents paramètres, la dérivée partielle du second ordre de la

fonction coût pour chacun paramètre est divisée par la valeur de cette fonction coût

atteinte à partir des paramètres identifiés. Les résultats obtenus pour un des essais réalisés

sont les suivants :


0 0,005 0,01 0,015 0,02 0

50

100

150

200

250

300

350

ε

σ (M

Pa)

Essais normalisés

MCV avec CVOP1

Figure 5.15: Superposition du faisceau de courbes uniaxiales issues des essais homogènes

et des courbes calculées à partir de la moyenne des paramètres identifiés sur six essais

hétérogènes.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

2

4

6

8

10

12

x 105

(N)

Etape

Travail virtuel intérieur

Travail virtuel extérieur

Figure 5.16: Comparaison entre le travail virtuel intérieur et le travail virtuel extérieur le

long de l’essai (travail par unité d’épaisseur).

116 Chapitre 5

Φ′′ =

∂2Φ∂σ2

0

= 0, 0337 ∂2Φ∂σ0∂R0

= 0, 00014 ∂2Φ∂σ0∂Rinf

= 0, 029 ∂2Φ∂σ0∂b

= 0, 00014∂2Φ

∂R0∂σ0

= 0, 00014 ∂2Φ∂R2

0

= 0, 000001 ∂2Φ∂R0∂Rinf

= 0, 00014 ∂2Φ∂R0∂b

= 0, 0000009∂2Φ

∂Rinf ∂σ0

= 0, 029 ∂2Φ∂Rinf ∂R0

= 0, 00014 ∂2Φ∂R2

inf

= 0, 0263 ∂2Φ∂Rinf ∂b

= 0, 0001

∂2Φ∂b∂σ0

= 0, 00014 ∂2Φ∂b∂R0

= 0, 0000009 ∂2Φ∂b∂Rinf

= 0, 0001 ∂2Φ∂b2

= 0, 0000009

Les résultats montrent que le paramètre le plus sensible (et donc celui qui doit être le mieux

identifié) est la limite d’élasticité initiale σ0. Vient ensuite Rinf qui couplé à σ0 correspond

à l’intersection de l’asymptote horizontale avec l’axe des ordonnées sur le graphe σ/εp.

Vient ensuite la pente de l’asymptote horizontale R0 et finalement le paramètre b qui prend

la valeur la plus petite. Ce n’est pas une surprise. En fait, les paramètres Rinf et σ0 pilotent

l’apparition de la plasticité. Les deux autres pilotent le développement de la plasticité

et l’écrouissage. Comme le paramètre b ne décrit que la courbure de la petite zone de

transition après l’apparition de la plasticité et comme la pente de l’asymptote horizontale

est plus faible que celle de la partie linéaire (écrouissage faible), les influences de b et R0

sont donc petites sur la fonction coût. On voit aussi sur les dérivées partielles croisées que

∂2Φ/(∂σ∂Rinf ) = 0, 029 est très élevé, c’est-à-dire qu’il y a une dépendance entre les deux

paramètres σ0 et Rinf sur la fonction coût. Cela signifie qu’il est difficile de séparer les

deux paramètres dans la procédure de minimisation. Néanmoins, la suppression d’environ

une dizaine d’étapes (au début) dans la fonction coût a permis d’améliorer l’identification

de ces deux paramètres. Ceci est dû peut-être au fait que la plasticité localise très tôt et

de manière anormale (non physique), probalement à cause du bruit blanc qui perturbe

le calcul des contraintes. Enfin, il faut signaler que ces deux paramètres ne dépendent

pas beaucoup des deux autres. L’observation de la fonction coût (voir figure 5.17) montre

successivement ces relations entre les deux paramètres. En effet, il semble que la fonction

coût présente un minimum pour σ0 et Rinf . Elle présente une vallée pour R0 et b. Cela

confirme également que les paramètres moins sensibles sont R0 et b.

2 Influence des paramètres initiaux

Pour une fonction coût non convexe on n’a pas la certitude de descendre vers le minimum

absolu (voir annexe B). La solution est donc sensible aux valeurs initiales choisies pour

lancer la procédure de minimisation. Les méthodes d’optimisation à direction de descente

comme l’algorithme de Newton-Raphson utilisé dans notre procédure de minimisation

nécessitent au moins le calcul du gradient de la fonction coût. Le calcul de ce terme peut

être relativement complexe et coûteux en temps de calcul. Cette étape, appelée analyse


de sensibilité, peut prendre du temps. De plus, ces techniques ne permettent d’atteindre

que des minima locaux.

Cependant, on connaît normalement les caractères généraux du matériau étudié. Les va-

leurs de départ des paramètres ont été donc choisies de manière à ne pas être trop éloignées

du sens physique. De tels jeux de paramètres initiaux ont été testés (voir tableau 5.9).

Chacun conduit au même résultat (moins de 0,05 % de différence). Cela montre l’unicité

de la solution dans le cas présent dans l’intervalle assez large de valeurs initiales.

L’observation de la fonction coût (voir figure 5.17) montre clairement une vallée pour les

quatre paramètres autour de la valeur identifiée. C’est à cause des différences de sensibilité

des paramètres dans la fonction coût. Mais il existe quand même un minimum unique non

visible sur les courbes de niveaux à cause des diférences de sensibilité trop grandes.

Référence Jeu 1 Jeu 2 Jeu 3 Jeu 4 Jeu 5

Moy

σ0(MPa) 179, 8 10 300 120 50 300

R0(GPa) 3, 17 6 0, 1 0,5 6 0,5

Rinf (MPa) 120, 4 200 50 100 250 10

b(×103) 2, 44 1 10 0,5 8 0,5

Tableau 5.9: Jeux de paramètres ayant servi à initier la procédure d’optimisation.

3 Influence du choix des champs virtuels

Comme cela a été expliqué (voir 3.3.2.1), à cause du bruit présent dans les mesures, des

erreurs apparaissent dans la procédure d’identification. Le choix des champs virtuels peut

influencer la qualité de l’identification. Un bon choix permet de minimiser l’influence du

bruit sur la fonction coût, rendant l’identification plus robuste. Dans cet objectif, d’autres

champs virtuels (voir tableau 4.3) ont été testés en comparant les résultats obtenus avec

ceux des champs virtuels optimisés précédents.

Les résultats reportés dans le tableau 5.10 montrent que le résultat obtenu par les champs

virtuels optimisés CVOP1 est le meilleur, très proche de la référence. Viennent ensuite

les résultats obtenus avec les champs virtuels CVC2 et CVC3. Pour les champs CVC2 et

CVC3 la pente de l’asymptote horizontale R0 est un peu grande par rapport à la valeur

de référence. Cela indique un décalage entre les courbes de contrainte-déformation issues

des essais homogènes et celles issues des paramètres identifiés par la MCV. Quant au

paramètre b, il est largement surestimé ce qui entraine que la courbure de la zone de

transition n’est pas décrite progressivement entre les deux parties linéaires de la courbe.

118 Chapitre 5

Ro (MPa)

σ o (M

Pa)

2000 3000 4000 5000100

150

200

250

300

σ o (M

Pa)

Rinf

(MPa)50 100 150

100

150

200

250

300

σ o (M

Pa)

b2000 4000 6000 8000

100

150

200

250

300

Rinf

(MPa)

Ro (

MP

a)

50 100 1502000

3000

4000

5000

Rinf

(MPa)

b

50 100 150

2000

4000

6000

8000

Ro (MPa)

b

2000 3000 4000 5000

2000

4000

6000

8000

Figure 5.17: Courbes de niveaux de la fonction coût autour des valeurs de références pour

un essai avec CVOP1.


Pour le champ CVC4, les résultats ne sont pas cohérents avec ceux de référence. Le champ

CVC5 n’a pas donné de résultats. L’observation de la fonction coût montre clairement qu’il

n’y aucun minima autour de la valeur de référence (voir figure 5.18)

Référence CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5

Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ

σ0(MPa) 179, 8 ± 28 181, 7 ± 50 171, 1 ± 74 186, 7 ± 48 78 ± 135 Pas résultat

R0(GPa) 3, 17 ± 0, 8 3, 18 ± 1, 2 4, 3 ± 2 4, 1 ± 2, 1 3, 2 ± 1, 8 Pas résultat

Rinf (MPa) 120, 4 ± 29 123 ± 47 121, 8 ± 62 112, 3 ± 46 169, 4± 140 Pas résultat

b(×103) 2, 44 ± 0, 83 2, 1 ± 1, 1 5, 3 ± 6, 4 4, 6 ± 7 2 × 1012 ± 1012 Pas résultat

Tableau 5.10: Comparaison des résultats obtenus avec différents champs virtuels (taille de

maillage de 1,3 mm).

4 Influence du choix du nombre d’étapes dans la fonction coût

Le choix du nombre d’étapes influence l’identification des paramètres. Il semble que la

fonction coût composée de toutes les étapes ne peut pas bien séparer les deux paramètres

σ0 et Rinf (voir le tableau 5.11). La limite d’élasticité σ0 est très inférieure au seuil identifié

lors des essais normalisés. Au contraire, le paramètre Rinf est largement surestimé ce qui

entraîne globalement que la somme σ0 + Rinf est proche de la valeur de référence. Ceci

est dû peut-être au fait que la plasticité localise très tôt et anormalement à cause du bruit.

La figure 5.21 montre clairement cet effet. En effet, il y a des points qui plastifient très

tôt, même à F = 5.92 kN (chargement élastique a priori) ou encore des points « bizarres »

(voir partie suivante 6.3.1.3.5). Ce bruit perturbe l’identification de la limite d’élasticité

initiale. C’est pourquoi la fonction coût composée des étapes au-delà de la quinzième peut

mieux séparer les contributions de σ0 et Rinf et conduire à des valeurs très proches de

celles de référence.

Référence Nombre d’étapes : Nombre d’étapes :

Moy ±2σ de la 1re à la fin de la 15ime à la fin

σ0(MPa) 179, 8 ± 28 119,6 181,7

R0(GPa) 3, 17 ± 0, 8 3,94 3,18

Rinf (MPa) 120, 4 ± 29 179,4 123

b(×103) 2, 44 ± 0, 83 4,06 2,1

Tableau 5.11: Paramètres plastiques du modèle de Voce identifiés par la MCV en fonction

du nombre d’étapes choisi dans la fonction coût.

120 Chapitre 5

Ro (MPa)

σ o (M

Pa)

2000 3000 4000 5000100

150

200

250

300

σ o (M

Pa)

Rinf

(MPa)50 100 150

100

150

200

250

300

σ o (M

Pa)

b2000 4000 6000 8000

100

150

200

250

300

Rinf

(MPa)

Ro (

MP

a)

50 100 1502000

3000

4000

5000

Rinf

(MPa)

b

50 100 150

2000

4000

6000

8000

Ro (MPa)

b

2000 3000 4000 5000

2000

4000

6000

8000


un essai avec CVC5.


5 Reconstruction des champs de contraintes

A partir des paramètres identifiés par la MCV, il est également possible de reconstruire

les composantes du tenseur des contraintes et de présenter leur distribution tout au long

de l’essai (figure 5.19). Il est plus intéressant de présenter la distribution de la contrainte

équivalente de Von Mises et la distribution des contraintes principales (figure 5.20). Les

contraintes principales obtenues en utilisant les formules de changement de repère sont

calculées comme suit :

σI,II =(σxx + σyy)

2±

1

2

√(σxx − σyy)2 + 4σxy

2 (5.7)

L’analyse des contraintes principales permet de donner un éclairage sur l’écoulement plas-

tique au sein de l’éprouvette en fonction du niveau de charge. On observe sur la figure 5.21

que l’écoulement correspond principalement à de la traction uni-axiale au début de l’es-

sai (F = 5,92 kN) car la deuxième contrainte principale est faible (σI >> σII). Ensuite,

l’écoulement se transforme en traction bi-axiale (F = 16,46). À la fin de la phase de trac-

tion (F = 20,46 kN) la plupart des points de l’éprouvette sont en-dehors de la surface de

charge initiale. Cela signifie que la plasticité s’est produite presque partout dans la zone

observée.

Une quarantaine de points nécessitent un commentaire. Ces points ont le même état de

contrainte équivalente qui dessine une courbe parallèle à l’ellipse initiale. Ils se situent

aux quatre coins de l’éprouvette (voir figure 5.19). En effet, on voit sur le champ σI

à F = 20,46 kN que ces points « anormaux » ont des valeurs très faibles (de 0 à 100

MPa) devant tous les points autres de l’éprouvette (de 300 à 400 MPa). Ces valeurs sont

largement inférieures à la contrainte moyenne calculée à partir de la résultante. Quant au

champ σII à F = 20,46 kN, ces points « anormaux » prennent un signe négatif (-200 MPa),

opposé au signe positif des points restants (de 0 à 200 MPa). Cela signifie que ces points

sont marginaux en comparaison avec les autres. La raison principale de la présence de

ces points « anormaux » provient probablement du bruit. La présence du bruit influence

certainement la mesure puis surtout le calcul de contraintes. De plus, ces points sont situés

dans une zone où la valeur de la contrainte réelle est faible a priori. Ainsi, l’influence du

bruit sur ces points est nettement marquée. La deuxième raison provient peut être du

problème du bord. En effet, le calcul de la phase près des bords de la zone de mesure

est également problématique car la grille est probablement incomplète. C’est là qu’on a

le moins de lissage lors de la reconstruction de champ cinématique par approximation

éléments finis. Cela influence également la mesure ainsi que le calcul de contraintes, et

provoque des écarts. Quelle que soit l’origine des erreurs, on retrouve en tous cas le même

122 Chapitre 5

problème que celui responsable précédemment des erreurs d’identification de σ0 et Rinf

(partie 6.3.1.3.4). Les contraintes calculées pour de faibles déformations plastiques sont

plus affectées par les sources d’erreur. Cet effet est ici visible localement, alors il est filtré

globalement pendant l’identification grâce au choix de champs virtuels optimisés.

.

σxx

avec F = 5,92 kN

−100−50050

σyy

avec F = 5,92 kN

−50050100150

σxy

avec F = 5,92 kN

−20

0

20

σxx

avec F = 16,46 kN

−200

0

200

σyy

avec F = 16,46 kN

−1000100200300

σxy

avec F = 16,46 kN

−50050

σxx

avec F = 20,46 kN

−2000200

σyy

avec F = 20,46 kN

0

200

400

σxy

avec F = 20,46 kN

−50050

Figure 5.19: Champs de contrainte reconstruits en fonction du niveau de charge.

5.3.1.4 Conclusions des résultats obtenus pour la première phase de charge-

ment (traction)

Un modèle d’écrouissage isotrope à quatre paramètres (modèle de Voce) a été testé sur

l’acier inoxydable 316L lors des essais hétérogènes. Les résultats obtenus par la MCV avec

les champs virtuels optimisés coïncident avec les valeurs de référence, ce qui montre une

amélioration très significative par rapport aux études précédentes [22, 24]. Cette première

étape permet de valider expérimentalement la nouvelle procédure d’identification dans le

cas d’un chargement monotone.

La comparaison des résultats obtenus pour différents champs virtuels montre clairement

que le choix des champs virtuels est une étape déterminante dans le succès de l’identifi-


σeq

avec F = 5,92 kN

50100150

σI avec F = 5,92 kN

−50050100150

σII avec F = 5,92 kN

−100−50050

σeq

avec F = 16,46 kN

100

200

300


0100200300


−200−1000100

σeq

avec F = 20,46 kN

100200300


0

200

400


−200

0

200

Figure 5.20: Champs de contrainte équivalente de Von Mises et champs de contraintes

principales reconstruits, représentés en fonction du niveau de charge.

cation des paramètres. Un mauvais choix peut entraîner des résultats très éloignés de la

valeur réelle. Ceci justifie pleinement les développements des champs virtuels optimisés

pour l’élastoplasticité.

5.3.2 Identification des paramètres élastoplastiques en traction

suivie d’une compression

Ce paragraphe a pour but d’appliquer la nouvelle procédure d’identification au cas d’une

traction suivie d’une compression ainsi que l’extension de la MCV au nouveau modèle.

On continue à étudier les six essais précédents jusqu’à la fin de la deuxième phase de char-

gement où le flambement apparaît. Tout d’abord, l’étude d’un modèle simple d’écrouissage

cinématique non linéaire (ECNL1) avec seulement trois paramètres est présenté. Ce mo-

dèle a été choisi car il présente d’un bon compromis entre le nombre de paramètres et la

fidilité de la reproduction de la réponse expérimentale pour valider expérimentalement les

enrichissements apportés à la MCV. Ensuite, un modèle plus riche sera étudié (ECNL5)

pour tenter d’améliorer les résultats obtenus avec ECNL1.

124 Chapitre 5

−300 −200 −100 0 100 200 300 400 500−400

−300

−200

−100

0

100

200

300

surface de charge initiale

F = 5,92 (kN)

F = 16,46 (kN)

F = 20,46 (kN)

σI (MPa)

σ II (

MP

a)

Figure 5.21: Positionnement des points matériels de l’éprouvette dans l’espace des

contraintes principales en fonction du niveau de charge.

5.3.2.1 Identification des paramètres élastiques

Les paramètres utilisés ici sont ceux obtenus lors de l’étude de la première phase de

chargement précédent (voir tableau 5.7). Ils sont supposés les mêmes quels que soit le sens

de chargement (traction ou compression). Cette hypothèse a été bien vérifiée en affichant

la courbe entre la contrainte moyenne obtenue à partir de la résultante d’effort mesuré et

la déformation moyenne pour un des essais réalisés (voir figure 5.22). On observe que la

partie de décharge de la courbe reste parallèle avec la partie linéaire lors de la traction.

De plus, l’identification des paramètres élastiques en décharge donne le même résultat par

rapport à la première phase de chargement avec une différence de ±3 %. Les paramètres

élastiques maintenant seront considérés comme connus pour l’identification des paramètres

plastiques.


0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012−300

−200

−100

0

100

200

300

Déformation moyenne

Con

trai

nte

moy

enne

(M

Pa)

Figure 5.22: Courbe contrainte moyenne en fonction de déformation moyenne tout au long

d’un des essais réalisés.

5.3.2.2 Identification des paramètres plastiques pour le modèle ECNL1

Dans ce modèle on se limite à l’emploi du critère de Von Mises (voir équation 2.16). Le

centre de la surface de charge X est déterminé selon le modèle d’écrouissage cinématique

non linéaire ECNL1 présenté à l’équation 2.25.

On continue à étudier les six essais effectués jusqu’à la fin de la deuxième phase de char-

gement où le flambement apparaît. La résultante maximale en compression est de 18 à

19,5 kN en valeur absolue. Cela ne permet que de faire diminuer d’environ de 1% la défor-

mation longitudinale à la fin de la compression par rapport à la prédéformation obtenue

lors de la traction. On ne peut pas atteindre une compression supérieure permettant d’ob-

tenir l’opposée de la contrainte maximale atteinte en traction. Cela ne permet donc pas

d’observer la partie linéaire du comportement plastique lors de la phase de compression.

L’apparition du flambement est facilement identifié par une grande différence de déforma-

tion longitudinale moyenne dans la zone du centre de l’éprouvette, entre la déformation

obtenue par la jauge sur une surface et celle obtenue par la méthode de grille sur l’autre

surface (voir figure 5.7). On peut aussi la repérer en regardant les cartes mesurées. En

fait, on observe une dissymétrie des champs mesurés lors de l’apparition du flambement

126 Chapitre 5

(voir figure 5.10). Ainsi, l’identification des paramètres plastiques se fait avec les mesures

enregistrées avant l’apparition du flambement. Le nombre de cartes mesurées varie donc

de 160 à 220 selon l’essai.

La procédure d’identification des paramètres plastiques se fait identiquement au cas de la

traction.

Résultats obtenus

Après environ 8 itérations pour la minimisation de la fonction coût à l’aide l’algorithme

de Newton-Raphson, on obtient les résultats présentés dans le tableau 5.12. Les tailles de

maillage de 11 à 15 pixels conduisent à des valeurs respectant l’intervalle de confiance ±2σ

autour des valeurs de référence données par les essais normalisés. Ces résultats sont assez

proches entre eux, ce qui indique une bonne stabilité en fonction des tailles de maillage.

Le tracé de la réponse identifiée par la MCV et des réponses données par les jauges

lors des essais normalisés montre globalement une assez bonne concordance de la courbe

identifiée avec le faisceau de courbes de référence (figure 5.23). Le début de la plasticité

reste problématique. En revanche, le reste de la courbe montre un bon accord entre la

réponse calculée et la réponse expérimentale. On constate que la limite d’élasticité en

compression est plus faible que celle obtenue à la fin de la phase de traction. Cela montre

qualitativement l’effet Bauschinger (voir figure 5.23).



σ0(MPa) 198, 1 ± 7 203, 6 ± 13 203 ± 10 199, 8 ± 9

C(GPa) 30, 7 ± 6 29, 6 ± 3 29, 3 ± 4 30, 5 ± 2

γ 292 ± 52 262, 4 ± 53 271 ± 60 265, 7 ± 70

Tableau 5.12: Paramètres plastiques du modèle CNL1 identifiés par la MCV en fonction

de la taille du maillage.

Il faut également souligner ici que lors des essais homogènes pour lesquels la mesure

des déformations est locale, l’apparition de la plasticité n’est détectée qu’à travers une

moyenne des contraintes. En effet, la plasticité peut localiser et entraîner une diminution

de la contrainte moyenne alors même que la surface couverte par la jauge n’aura pas

atteint la limite d’élasticité. Au contraire, dans l’approche par la MCV, tous les points

dans la zone mesurée sont pris en compte et contribuent à la réponse identifiée. Il faut alors

considérer avec précaution les essais homogènes avec jauges comme référence appropriée

au niveau de l’apparition de la plasticité. Mais, le tracé du travail virtuel interne et travail


0 0,005 0,01 0,015 0,02 −300

−200

−100

0

100

200

300

400

ε

σ (M

Pa)

Essais normalisésMCV avec CVOP1


et des courbes calculées à partir de la moyenne des paramètres identifiés par la MCV.

virtuel externe tout au long de l’essai hétérogène montre globalement que l’on obtient

une bonne minimisation de la fonction coût. Il y a juste un petit décalage dans la partie

correspondante au début de la plasticité en traction ce qui explique également le moins bon

accord avec la réponse expérimentale dans cette partie (figure 5.24). Ceci est cohérent avec

ce que l’on a observé lors de la modélisation de l’essai homogène par le modèle ECNL1,

ce qui confirme également que le modèle ECLNL1 ne peut pas reproduire parfaitement la

réponse mécanique du matériau 316L en traction.

5.3.2.3 Discussion des résultats identifiés

1 Sensibilité des paramètres identifiés

La sensibilité de la fonction coût aux différents paramètres identifiés pour un des essais

réalisés est :

128 Chapitre 5

0 20 40 60 80 100 120 140 160−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5x 10

6

(N)

Etape

Travail virtuel intérieur

Travail virtuel extérieur

← Décalage au début de la plasticité

Figure 5.24: Comparaison entre le travail virtuel intérieur et le travail virtuel extérieur le

long de l’essai (travail par unité d’épaisseur).

Φ′′ =

∂2Φ∂σ2

0

= 0, 295 ∂2Φ∂σ0∂C

= 0, 0007 ∂2Φ∂σ0∂γ

= 0, 027∂2Φ

∂C∂σ0

= 0, 0007 ∂2Φ∂C2 = 0, 000004 ∂2Φ

∂C∂γ= 0, 0003

∂2Φ∂γ∂σ0

= 0, 027 ∂2Φ∂γ∂C

= 0, 0003 ∂2Φ∂γ2 = 0, 029

Les résultats montrent que le paramètre σ0 qui pilote l’apparition de la plasticité est celui

qui a le plus d’influence sur la fonction coût. Vient ensuite γ et finalement C qui présentent

le développement de la plasticité et l’écrouissage. On voit aussi sur les dérivées partielles

croisées que la limite d’élasticité initiale σ0 ne dépend pas beaucoup des deux autres. Par

contre, C dépend de σ0 et γ . L’observation de la fonction coût (voir figure 5.25) montre

ces relations entre les deux paramètres. En effet, il semble que la fonction coût présente

un minimum pour σ0 (voir figure 5.25(a,c)). Elle présente une vallée pour C et γ. Cela

confirme également que le paramètre le plus sensible est σ0.

2 Influence des paramètres initiaux

Les valeurs de départ des paramètres ont été choisies de manière à ne pas être trop

éloignées du sens physique. Plusieurs jeux de paramètres initiaux ont été testés (voir

tableau 5.13). Chacun conduit au même résultat de paramètres identifiés (moins de 0,05

% de différence). Cela montre l’unicité de la solution dans le cas présent dans un intervalle


C (MPa)

σ o (M

Pa)

CVOP1 (a)

1 2 3 4 5

x 104

100

150

200

250

300

C (MPa)

σ o (M

Pa)

CVC5 (b)

1 2 3 4 5

x 104

100

150

200

250

300

γ

σ o (M

Pa)

CVOP1 (c)

150 200 250 300 350 400 450100

150

200

250

300

γ

σ o (M

Pa)

CVC5 (d)

150 200 250 300 350 400 450100

150

200

250

300

γ

C (

MP

a)

CVOP1 (e)

150 200 250 300 350 400 4501

2

3

4

5x 10

4

γ

C (

MP

a)

CVC5 (f)

150 200 250 300 350 400 4501

2

3

4

5x 10

4


un des essais réalisés avec CVOP1 et CVC5.

130 Chapitre 5

assez large de valeurs initiales (pour CVOP1).

Référence Jeu1 Jeu2 Jeu3 Jeu4 Jeu5

Moy

σ0(MPa) 198,1 90 450 90 200 150

C(GPa) 30,7 10 7 100 100 30

γ 292 50 50 10 800 500

Tableau 5.13: Jeux de paramètres ayant servi à initier la procédure d’optimisation pour

le modèle ECNL1.

L’observation de la fonction coût (voir figure 5.25) montre une vallée pour les trois para-

mètres autour de la valeur identifiée. Cela signifie qu’il y a des différences de sensibilité

entre les paramètres dans la fonction coût.

3 Influence du choix des champs virtuels

Différents champs virtuels (voir tableau 4.3) ont été testés en comparant les résultats

obtenus avec ceux résultants des champs virtuels optimisés précédents. La figure 5.27 pré-

sente les champs virtuels optimisés CVOP1 en fonction du niveau du chargement. Cela

signifie que pour chaque étape n, on utilise un champ virtuel correspondant à la solution

du système d’équation 3.38. Cela permet de minimiser l’effet du bruit tout au long des

étapes utilisées dans la minimisation de la fonction coût, rendant l’identification la plus

robuste possible. Les résultats (voir tableau 5.14) montrent que les valeurs obtenues avec

les champs virtuels optimisés CVOP1 ainsi que avec CVC2 et CVC3, sont dans l’inter-

valle de confiance ±2σ autour des valeurs de référence données par les essais normalisés.

Néanmoins, le tracé des réponses calculées par ces trois champs virtuels et d’une réponse

donnée enregistrée lors d’un essai normalisé montre globalement que la réponse calculée

par CVOP1 est légèrement plus proche de la réponse expérimentale que celles calculées

par CVC2 et CVC3 (voir figure 5.26). Quant aux résultats obtenus avec les champs vir-

tuels CVC4 et CVC5, ils sont très éloignés des valeurs de référence. L’observation de la

fonction coût correspondant au champ CVC5 (voir figure 5.25(b,d,f)) montre qu’il n’y a

pas de minimum autour des valeurs de références.

4 Influence de la valeur de déformation atteinte à la fin de phase de traction

L’étude de la phase de traction avec le modèle de Voce a montré l’influence du nombre

d’étapes dans la fonction coût sur la séparation des deux paramètres σ0 et Rinf . En effet,

ces deux paramètres pilotent l’apparition de plasticité ainsi que la plupart de calculs de


Référence CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5

Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ

σ0(MPa) 198, 1 ± 7 203 ± 10 195 ± 14 200 ± 20 159 ± 86 Pas de résultat

C(GPa) 30, 7 ± 6 29, 3 ± 4 32, 2 ± 5, 2 31, 1 ± 9 24, 6 ± 25 Pas de résultat

γ 292 ± 52 271 ± 60 260 ± 45 260 ± 90 139 ± 124 Pas de résultat

Tableau 5.14: Paramètres plastiques du modèle ECNL1 identifiés par la MCV en fonction

du champ virtuel utilisé avec taille de maillage 1,3 mm.

0 0,005 0,01 0,015 0,02 −300

−200

−100

0

100

200

300

400

ε

σ (M

Pa)

Essais normalisésCVOP1CVC2CVC3

Figure 5.26: Comparaison entre les courbes σ/ε calculées à partir des valeurs de paramètres

identifiés avec les champs virtuels CVOP1, CVC2 et CVC3, et la réponse expérimentale

d’un des essais normalisés.

132 Chapitre 5

Maillage initialCVOP1 à F = 5,92 kN

CVOP1 à F = 5,92 kNCVOP1 à F = 20,46 kN

CVOP1 à F = 20,46 kNCVOP1 à F = 5,68 kN (déchargement)

CVOP1 à F = 5,68 kNCVOP1 à F = −17,13 kN

Figure 5.27: Champs virtuels optimisés CVOP1 en fonction du niveau de charge.

contraintes utilisées dans la fonction coût. Par contre, seul le paramètre σ0 joue ce rôle

dans le modèle ECNL1. C’est pourquoi l’influence du nombre d’étapes est négligeable. La

fonction coût utilisée comporte donc toutes les étapes de l’essai. Toutefois, une nouvelle

influence doit être étudiée. Il s’agit de l’influence de la valeur de prédéformation totale

atteinte à la fin de la phase de traction.

En fait, les essais effectués consistaient à prédéformer plastiquement le matériau en trac-

tion jusqu’à une déformation totale (première phase de chargement). La résultante verti-

cale des efforts variait de 19,5 à 23 kN à la fin de la traction selon chaque essai. La défor-

mation maximale longitudinale obtenue variait donc de 2 à 5%. Les résultats obtenus sur

le tableau 5.15 montre une bonne concordance des valeurs des paramètres identifiés pour

des prédéformations longitudinales totales inférieures à 2,5%. Par contre, cette concor-

dance se dégrade lorsque la valeur de prédéformation longitudinale totale est supérieure à

4%. Il semble que la partie plastique linéaire de la phase de traction contribue plus dans

la fonction coût que la partie de compression pour les prédéformations supérieures à 4%.


Ceci influence peut être l’identification de γ. De plus, les résultats donnés par les essais

normalisés ont été identifiés avec une prédéformation inférieure à 2,5%. Le comportement

au-delà de 2,5% n’est donc pas pris en compte dans les essais normalisés, ce qui peut

expliquer ces différences.

Référence ǫmaxyy =2,5% ǫmax

yy =4%

σ0(MPa) 198,1 204 198

C(GPa) 30,7 30,9 29,7

γ 292 300 249

Tableau 5.15: Influence de la valeur de prédéformation totale à la fin de la première phase

de chargement (traction) pour l’identification des paramètres du modèle ECNL1.

5 Reconstruction des champs de contrainte

Comme l’étude en traction avec le modèle de Voce, on peut reconstruire les champs de

contrainte à partir des paramètres identifiés par la MCV et les présenter tout au long de

l’essai. L’objectif est de fournir les résultats sous forme d’images. Cela nous permet de voir

le développement des contraintes et l’apparition de la plasticité ainsi que sa propagation

au cours de l’essai.

La figure 5.28 présente les champs de contrainte continus. On les obtient facilement à

partir des champs de déformation continus reconstruits (voir 5.12) en se basant toujours

sur l’algorithme de calcul de contrainte. Les composantes de contrainte obtenues montrent

clairement un état de contrainte plane étendu et assez équilibré dans les deux directions

du champ de mesure.

Il est très intéressant de présenter la distribution de la contrainte équivalente de Von Mises

et la distribution des contraintes principales. En fait, l’affichage de la distribution de la

contrainte équivalente de Von Mises permet de savoir quels sont les points qui dépassent

la valeur de limite d’élasticité initiale. La figure 5.29 montre que tous les points à F =

5,92 kN sont en-dessous de la limite d’élasticité initiale, signifiant qu’ils restent encore

à l’état élastique. Ensuite, plusieurs points commencent à plastifier à F = 16,46 kN. La

propagation de l’écoulement a tendance à se développer près des deux entailles circulaires

au centre de l’éprouvette. Puis, la plupart des points dépassent la limite d’élasticité initiale

à la fin de la phase de traction (F = 20,46 kN). Cela signifie que la plasticité s’est produite

presque partout dans l’éprouvette.

On passe maintenant à la deuxième phase de chargement. Pendant le déchargement, la

contrainte équivalente de Von Mises des points diminuent, presque tous les points re-

134 Chapitre 5

viennent à l’état élastique à F = 5,68 kN (déchargement pas encore fini). La contrainte

équivalente recommence à augmenter lors de l’augmentation de la compression. La moitié

des points dépassent à nouveau la limite d’élasticité initiale à F = -12,59 kN, montrant

à nouveau l’existence d’un écoulement plastique. A la fin de la phase de compression, à

F = -17,13 kN, la plasticité s’est produite presque partout dans l’éprouvette (sauf quelques

points situés à côté de la frontière haute et basse où la contrainte équivalente est en-dessous

de la limite d’élasticité).

Le développement de la plasticité au cours de l’essai est représenté graphiquement dans

l’espace des contraintes principales sur la figure 5.30. La surface de charge initiale a la

forme d’une ellipse. Il semble que l’écoulement plastique en traction soit symétrique par

rapport à celui en compression vis-à-vis du deuxième axe de l’ellipse. En effet, tous les

points repassent à l’intérieur de la surface de charge lors du déchargement, puis ressortent

à un autre endroit lors de la compression. De plus, on observe que l’écoulement suit

principalement la première composante de la contrainte principale lors de la phase de

traction (σI > σII). Par contre, il suit principalement la deuxième composante lors de la

phase de compression (σII > σI). En effet, σII < 0 ce qui explique qu’un autre quadrant

de l’espace soit occupé par les points matériels.

Comme le cas de traction précédent, en raison de la présence du bruit ou encore des

problèmes de bord, il y a une quarantaine de points « anormaux » sur la figure 5.30(a).

Ces points dessinent une courbe parallèle à la surface de charge initiale (voir la partie 5

de la première phase de chargement 5.3.1.3 pour plus de détails). De plus, la comparaison

du graphe des trajets de chargement dans l’espace des contraintes principales calculés à la

fois à partir des deux modèles d’écrouissage isotrope et cinématique montre que le trajet

individuel des points matériels de l’éprouvette est légèrement différent (voir figure 5.21 et

5.30). Cela provient de la nature du modèle utilisé. Il influence le calcul de contraintes. En

effet, le domaine d’élasticité se modifie par dilatation pour l’écrouissage isotrope et par

translation pour l’écrouissage cinématique. Toutefois, le trajet global est identique pour

les deux modèles.

Il est également intéressant de comparer les champs de contrainte obtenus avec le modèle

ECNL1 en traction et les champs de contrainte obtenus avec le modèle de Voce précédent.

En effet, le modèle de Voce a permis de reproduire parfaitement la réponse mécanique en

traction. La comparaison des deux modèles nous permet donc d’estimer l’erreur commise

avec le modèle ECNL1. Les différences entre les deux modèles sont présentées sur la

figure 5.31. Au début du chargement à F = 5,92 kN, les différences sont presque nulles

car la plupart des points restent encore à l’état élastique. Une fois la plasticité apparue

sur environ la moitié de l’éprouvette (F = 16,46 kN), on trouve une différence maximale


égale à 10 % pour σyy. Toutefois, cette différence a tendance à diminuer vers la fin de la

phase de traction. Elle est seulement de quelques pourcents sur la plupart des points de

l’éprouvette à F = 20,46 kN. Cela confirme clairement que le modèle ECNL1 est surtout

problématique pour la réponse mécanique au début de la plasticité. Néanmoins, la réponse

mécanique globale est bien traduite.

5.3.2.4 Conclusions des résultats obtenus du modèle ECNL1

Les trois paramètres plastiques du modèle cinématique non linéaire ECNL1 ont été bien

identifiés par la MCV, coïncidant avec les résultats de référence donnés par des essais

homogènes. Ceci permet de valider expérimentalement l’extension de la MCV aux char-

gements de traction suivie d’une compression.

Cependant, le début de la plasticité en traction présente des défauts de reproduction. Mais

il faut noter ici qu’on rencontrait ce problème même dans le cas des essais normalisés. Cela

signifie que le modèle à trois paramètres ECNL1 ne suffit pas à reproduire parfaitement la

réponse mécanique des essais étudiés. Pour améliorer cette situation, on essaie d’utiliser

les modèles plus riches présentés à la partie 5.3.3.

5.3.3 Tentative d’amélioration du modèle d’écrouissage cinéma-

tique non linéaire ECNL1

Comme on l’a étudié lors du choix du modèle de comportement pour les essais normalisés

(voir partie 5.1.3.5), les modèles ECNL4 et ECNL5 sont les meilleurs parmi les modèles

envisagés pour reproduire l’observation expérimentale. Le modèle ECNL4 comporte un

grand nombre de paramètres plastiques (6). Il est très sensible au bruit pour identifier

les paramètres φ∞ et ω . Ceci rend les résultats inexploitables dans le cas des essais

hétérogènes. Le modèle ECNL5 est moins riche (5 paramètres). Il a été choisi pour tenter

d’améliorer les résultats obtenus précédemment avec le modèle ECNL1.

Néanmoins, les résultats identifiés sont très éloignés des valeurs de référence (voire non

convergés). Pour expliquer ce problème, deux causes possibles ont été imaginées : soit c’est

un problème numérique lié à l’algorithme de Newton-Raphson, soit c’est un problème des

sensibilités entre les paramètres. Tout d’abord, l’algorithme de Nelder-Mead a été utilisé.

Les résultats obtenus sont les mêmes, signifiant que la première cause est éliminée. Il

reste à vérifier la deuxième cause. En effet, la sensibilité de la fonction coût aux différents

paramètres identifiés pour un des essais réalisés est la suivante : ∂2Φ∂σ2

0

= 0, 039 ; ∂2Φ∂B2 =

0, 00033 ; ∂2Φ∂Q2 = 0, 018 ; ∂2Φ

∂C2 = 0, 000000014 ; ∂2Φ∂γ2 = 0, 0016. Il est clair que le paramètre

136 Chapitre 5

σxx

avec F = 5,92 kN

−100−50050

σyy

avec F = 5,92 kN

−50050100150

σxy

avec F = 5,92 kN

−20

0

20

σxx

avec F = 16,46 kN

−200

0

200

σyy

avec F = 16,46 kN

−1000100200300

σxy

avec F = 16,46 kN

−50

0

50

σxx

avec F = 20,46 kN

−200

0

200

σyy

avec F = 20,46 kN

0

200

400

σxy

avec F = 20,46 kN

−50050

σxx

avec F = 5,68 kN

−1000100

σyy

avec F = 5,68 kN

0100200

σxy

avec F = 5,68 kN

−40−20020

σxx

avec F = −12,59 kN

−150−100−500

σyy

avec F = −12,59 kN

−300−200−1000

σxy

avec F = −12,59 kN

−50

0

50

σxx

avec F = −17,13 kN

−200−1000100

σyy

avec F = −17,13 kN

−300−200−100

σxy

avec F = −17,13 kN

−50

0

50

Figure 5.28: Champs de contrainte reconstruits en fonction du niveau de charge.


σeq

avec F = 5,92 kN

50100150


−50050100150


−100−50050

σeq

avec F = 16,46 kN

100150200250


0100200300


−200−1000100

σeq

avec F = 20,46 kN

100

200

300


0

200

400


−200−1000100

σep

avec F = 5,68 kN

50100150200


0

100

200


−100

0

100

σeq

avec F = −12,59 kN

100

200

300

σI avec F = −12,59 kN

−100−50050

σII avec F = −12,59 kN

−300

−200

−100

σeq

avec F = −17,13 kN

100

200

300

σI avec F = −17,13 kN

−100

0

100

σII avec F = −17,13 kN

−300−200−100

Figure 5.29: Champs de contrainte équivalente de Von Mises et champs de contraintes

principales reconstruits, représentés en fonction du niveau de charge.

138 Chapitre 5

−200 −100 0 100 200 300 400−400

−300

−200

−100

0

100

200

surface de charge initialeF = 5,92 (kN)F = 16,46 (kN)F = 20,46 (kN)

σI (MPa)

σ II (

MP

a)

(a)

−200 −100 0 100 200 300 400−400

−300

−200

−100

0

100

200

surface de charge initialeF = 5,68 (kN)F = −12,59 (kN)F = −17,13 (kN)

σI (MPa)

σ II (

MP

a)

(b)

Figure 5.30: Positionnement des points matériels de l’éprouvette dans l’espace des

contraintes principales en fonction du niveau de charge. (a) : première phase de char-

gement ; (b) : deuxième phase de chargement


δσxx

avec F = 5,92 kN

−0,02

−0,01

0

δσyy

avec F = 5,92 kN

−0,02

0

0,02

δσxy

avec F = 5,92 kN

−0,02

0

0,02

δσxx

avec F = 16,46 kN

−8−6−4−202

δσyy

avec F = 16,46 kN

−30−20−100

δσxy

avec F = 16,46 kN

−5

0

5

δσxx

avec F = 20,46 kN

−1001020

δσyy

avec F = 20,46 kN

−20

−10

0

δσxy

avec F = 20,46 kN

−5

0

5

Figure 5.31: Comparaison des champs de contrainte obtenus avec le modèle ECNL1 en

traction et des champs de contrainte obtenus avec le modèle de Voce.

le plus insensible est le module d’écrouissage cinématique C. Il prend une valeur très

inférieure aux autres. Il sera donc difficile d’identifier ce paramètre ainsi que d’identifier

les 5 paramètres dans le même temps. Pour cette raison, un paramètre parmi cinq est

considéré comme connu. Ce paramètre prend la valeur du paramètre de référence donné

par les essais normalisés. Par exemple, B égale à 166 pour identifier les quatre autres. Les

résultats reportés dans le tableau 5.16 sont proches des valeurs de référence. Le tracé de

la réponse identifiée par la MCV et des réponses données par les jauges lors des essais

normalisés montre globalement une assez bonne concordance de la courbe identifiée avec le

faisceau des courbes de référence (voir la figure 5.32). Il est évident que le modèle ECNL5

reproduit mieux la réponse expérimentale que le modèle ECNL1. Toutefois, il est plus

instable à cause des différences de sensibilité trop grandes entre les paramètres, avec la

localisation de la plasticité au début.

5.3.4 Conclusions du chapitre

L’essai de traction suivie d’une compression sur éprouvette plane bi-entaillée a permis

de produire un état de contrainte hétérogène et non uniaxial. La mesure des champs de

déformation de membrane a été réalisée avec la méthode de grille (pas 100µm).

140 Chapitre 5

σ0(MPa) B Q(MPa) C(GPa) γ

Référence 217 ± 20 166 ± 45 −66 ± 20 54, 1 ± 10 433 ± 104

CVOP1 218 ± 10 connu −62 ± 15 50, 4 ± 17 382 ± 113

Tableau 5.16: Paramètres plastiques identifiés pour le modèle ECNL5 avec hypothèse de

connaissance apriori du paramètre B.

0 0,005 0,01 0,015 0,02 −300

−200

−100

0

100

200

300

400

ε

σ (M

Pa)

JaugesMCV avec CVOP1


et des courbes calculées à partir de la moyenne des paramètres identifiés pour le modèle

ECNL5 sur six essais hétérogènes (avec hypothèse d’un paramètre connu).


D’abord, le chargement monotone en utilisant le modèle d’écrouissage isotrope de Voce

a été étudié. Les six paramètres de la loi de comportement du matériau 316L ont été

identifiés avec succès par la MCV. Cela permet de valider expérimentalement la nouvelle

procédure d’identification dans le cas d’un chargement monotone et de l’appliquer à l’iden-

tification de modèles plus complexes que ceux traités précédemment dans la littérature

par le même type d’approche [22, 24].

Ensuite, un chargement de traction-compression a été étudié. Un modèle cinématique

simple ECNL1 à cinq paramètres a été identifié. Bien que le début de la plasticité en trac-

tion reste problématique, les résultats obtenus montrent globalement une bonne concor-

dance avec la référence. Cela valide expérimentalement la nouvelle procédure d’identifica-

tion dans le cas de chargements alternés.

Finalement, la comparaison des résultats obtenus pour différents champs virtuels montre

clairement que le choix des champs virtuels est une étape déterminante dans le succès de

l’identification des paramètres. Ceci justifie pleinement les développements des champs

virtuels optimisés pour l’élastoplasticité.

142 Chapitre 5

Chapitre 6

Conclusion générale

Le travail présenté dans ce manuscrit a pour but d’étudier de façon approfondie l’identifi-

cation du comportement des matériaux métalliques au-delà de leur limite d’élasticité par

la MCV. Il se base sur des travaux antérieurs [22–24]. Le principe consiste à construire

puis à minimiser une fonction coût dépendant des paramètres à identifier, en utilisant

le principe des travaux virtuels. Ce travail a permis d’apporter à la MCV de nouveaux

développements afin de rendre cette méthode plus robuste.

Les nouveaux développements présentés dans ce manuscrit sont les suivants. Tout d’abord,

une procédure d’intégration pour le calcul des contraintes en utilisant une relation incré-

mentale directe entre contraintes et déformations totales, via une matrice dite « Matrice

tangente » (voir équation 2.45) a été appliquée. L’utilisation de cette nouvelle procédure

d’intégration associée à la MCV par morceaux [22] permet d’évaluer l’effet du bruit dans

le calcul de la fonction coût lors de la procédure d’identification dans le problème élastique

ainsi que dans le problème plastique. La minimisation de cet effet permet d’optimiser le

choix des champs virtuels dans le cas de lois élastoplastiques. De tels champs virtuels

sont dits « champs virtuels optimisés », rendant l’identification plus robuste. Ensuite, la

procédure d’optimisation de la fonction coût a été programmée en utilisant l’algorithme

de Newton-Raphson. Il s’agit d’un algorithme basé sur le calcul du gradient de la fonction

coût. Cette nouvelle approche permet de réduire considérablement le temps de calcul dans

la procédure d’identification.

Ce travail a également apporté de nouvelles applications à la MCV, en l’étendant à des

lois de comportements élastoplastiques avec écrouissage cinématique ou encore écrouis-

sage cinématique combiné avec écrouissage isotrope. Cette extension permet d’étudier un

chargement non monotone (traction suivie d’une compression) ainsi que d’exploiter les

143

144 Chapitre 6

avantages de chacun des deux modèles d’écrouissage pour représenter plus fidèlement les

réponses observées expérimentalement.

Les développements ci-dessus sont programmés dans un logiciel, appelé « Camfit », ren-

dant automatique leur application dans la MCV. Il faut remarquer ici que « Camfit »

est l’intégration de différentes routines existantes. C’est le fruit d’un travail de recherche

riche de plus de quinze ans [19].

Les nouveaux développements ont été validés numériquement, avec succès, en utilisant les

données fournies par logiciel Ansys. Quant à la partie expérimentale, le matériau choisi

pour cette étude est une tôle d’acier inoxydable austénitique X2CrNiMo17-12-2 (316L).

Des essais de traction suivie d’une compression sur éprouvette plane à section constante

ont permis d’obtenir les courbes contrainte-déformation dans les deux directions de la

tôle. Compte tenu des écarts modérés entre les courbes contrainte-déformation dans les

deux directions, le matériau est considéré comme étant isotrope. La direction perpendicu-

laire au laminage de la tôle a été choisie arbitrairement dans ce travail comme direction

longitudinale . Les éprouvettes utilisées dans les essais hétérogènes pour valider la MCV

sont donc usinées dans ce sens de la tôle. Les paramètres plastiques des essais normalisés

sont identifiés dans cette direction et sont utilisées comme paramètres de référence par la

validation de la MCV.

Comme la MCV nécessite un champ de mesure, la méthode de la grille a été choisie

en raison de sa robustesse, de sa facilité d’implémentation et de sa bonne résolution

spatiale [39]. La mesure des déplacements a été effectuée sur une seule face de l’éprouvette

en vérifiant l’influence des déplacements hors-plan, de la flexion résiduelle et de l’apparition

du flambement par l’utilisation d’une jauge de déformation sur l’autre face.

La MCV a été appliquée expérimentalement sur les champs de déplacement issus de plu-

sieurs essais de traction suivie d’une compression sur une type d’éprouvette plane avec

deux entailles circulaires réalisant un état de contrainte plane hétérogène. Dans un pre-

mier temps, le chargement monotone en utilisant le modèle d’écrouissage exponentiel de

Voce avec six paramètres a été étudié. Les résultats obtenus avec la MCV coïncident avec

les valeurs de référence données par les essais normalisés. Cela valide expérimentalement

la nouvelle procédure d’identification dans le cas d’un chargement monotone et de l’appli-

quer à l’identification de modèles plus complexes que ceux traités précédemment dans la

littérature par le même type d’approche [22, 24]. Dans un deuxième temps, un chargement

de traction-compression a été également étudié. Un modèle cinématique simple ECNL1 à

cinq paramètres a été identifié. Bien que le début de la plasticité en traction reste pro-

blématique, les résultats obtenus montrent globalement une bonne concordance avec la

référence. Cela a montré qualitativement l’effet Bauschinger sur le matériau 316L et de va-

Conclusion générale 145

lider expérimentalement la nouvelle procédure d’identification dans le cas de chargements

alternés.

La procédure d’identification a été réalisée à la fois avec les champs virtuels optimisés et

avec les différents champs virtuels constants choisis a priori. La comparaison des résultats

obtenus montre clairement que les champs virtuels optimisés permettant de minimiser

l’influence du bruit sur la fonction coût, rendant l’identification plus robuste. Par contre,

un mauvais choix peut entraîner des résultats éloignés de la valeur réelle. Le choix des

champs virtuels est donc une étape déterminante dans le succès de l’identification des

paramètres du comportement plastique du matériau par la MCV, même si c’est moins

critique qu’en élasticité.

Il est intéressant de remarquer ici que le temps de calcul nécessaire à la nouvelle procédure

d’identification est relativement faible. Par exemple, on a besoin d’environ 5 minutes

pour la procédure d’identification du modèle à 4 paramètres plastiques de Voce ( pour

un ordinateur (Intel (R) Pentium (R) 4CPU 2,8 GHz, 500 Mo de RAM). Cela permet

d’atteindre des performances record en temps de calcul, comparé par exemple aux 23

heures de temps de calcul pour la méthode du recalage par éléments finis en plasticité,

mentionné dans [38]. Ainsi, la MCV constitue une alternative très efficace aux procédures

de recalage par éléments finis dans le cas plastique.

Perspectives

Plusieurs points dans le développement de la MCV en plasticité nécessitent encore d’être

approfondis.

En premier lieu, sur le plan numérique, on constate qu’il y a des erreurs locales qui sub-

sistent au niveau du calcul des contraintes pour des petites valeurs de déformations (début

de la plasticité). Ces erreurs sont dues au bruit blanc ou d’autres sources d’erreurs qui

font localiser la plasticité anormalement tôt dans les essais. Cela perturbe l’identification

pour les cartes mesurées en début de plasticité (début de plasticité d’ailleurs mal repro-

duit par les différents modèles identifiés). Il est donc nécessaire d’améliorer le calcul des

contraintes à l’avenir. On peut envisager de rajouter des pénalités sur les contraintes qui

dépassent localement le seuil d’écoulement, ou lisser à un moment donné les contraintes

pendant la phase élastique avec un calcul direct par éléments finis. En effet, la surface

de l’éprouvette où les mesures de champs sont effectuées a été maillée en éléments finis.

On reconstruit les champs réels (déplacements nodaux) en utilisant l’approximation élé-

ments finis. L’utilisation du même maillage, mais à l’état initial, avec les conditions aux

limites (les déplacements nodaux obtenus précédemment) permet de réaliser un calcul

146 Chapitre 6

direct afin de reconstruire les champs de contrainte réel avant l’apparition de la plasticité

en éliminant ces erreurs locales.

La MCV peut être étendue à la viscoplasticité (cela a été réalisé par [108]), pour des ma-

tériaux chargés dans des conditions dynamiques, la contrainte d’écoulement dépendant de

la vitesse de déformation. La formulation est similaire à celle de la plasticité indépendante

du temps, mais cette fois la relation incrémentale directe entre contraintes et déformations

totales est explicite [4]. La démarche générale est identique à celle utilisée dans ce travail.

Toutefois, comme la vitesse de déformation est grande ceci exige une caméra CCD plus

rapide en termes de fréquence d’acquisition lors de la mesure des champs cinématiques.

Les algorithmes d’identifications présentés dans ce travail peuvent également s’appliquer

à la plasticité hétérogène (par exemple dans le cas de joints soudés ce qui a déjà été initié

dans [109]), mais il faut tout d’abord discrétiser le solide en un nombre fini de zones et

supposer une répartition uniforme des propriétés dans chaque zone. Si N est le nombre

de portions de la partition, le problème revient à résoudre N problèmes d’identification

similaire au problème résolu dans ce travail. Toutefois, c’est plus compliqué car il faut as-

surer la continuité entre les différentes zones. De plus, la résolution de plusieurs problèmes

à la fois va évidemment poser des problèmes d’instabilité, sachant que la sensibilité au

bruit de mesure ou d’autres sources d’erreurs influençait déjà l’identification en début de

plasticité. Des questions de régularisation vont alors se poser.

Enfin, la MCV peut être également étendue aux critères d’écoulement anisotropes en

grande déformations (déformation >10%, jusqu’à plus de 100%) pour se rapprocher des

conditions réelles des procédés de formage. Pour résoudre le problème en grande déforma-

tions, il est important de rappeler que toute loi de comportement développée en petites

déformations peut s’étendre en grandes déformations en utilisant les mêmes fonctions

constitutives, de même que le principe des travaux virtuels peut être écrit en utilisant

le tenseur des déformations de Green Lagrange et le tenseur des contraintes de Piola

Kirchhoff. Les difficultés rencontrées seront concentrées dans l’intégration du calcul des

contraintes sur de longs trajets de chargement. De plus, un essai plus complexe sera néces-

saire pour activer tous les paramètres du comportement des matériaux concernés (traction

bi-axiale etc). Cela constitue des perspectives très intéressantes dont la résolution pourra

s’inspirer de la démarche adoptée dans ce travail.

Annexe A

Annexe

A.1 Biais dû au bruit

Pour simplifier l’étude de biais dû au bruit, on étudie le cas simple avec écrouissage

isotrope. Ainsi, la matrice tangente en élastoplasticité (équation 2.45) devient :

σxx

σyy

σxy

=

[[Q]−1 +

S.ST

∂σs

∂p

]

︸︷︷︸matrice tangente [M]

εxx

εyy

2εxy

(A.1)

On note :

s le déviateur des contraintes (sij = σij − σij/3 en tensoriel)

S est le déviateur normalisé : S = 3s2σeq

Si on écrit :

εij = εexactij + εbruit

ij

σij = σexactij + σbruit

ij

sij = sexactij + sbruit

ij (A.2)

147

148 Annexe A

On fait les développement limités jusqu’à l’ordre 2 pour σeq :

σeq =

√3

2(sexact

kl + sbruitkl )(sexact

kl + sbruitkl )

=

√3

2sexact

kl · sexactkl + 3 sexact

kl · sbruitkl +

3

2sbruit

kl · sbruitkl

= σexacteq

√1 + 2

sexactkl · sbruit

kl

sexactkl · sexact

kl

+sbruit

kl · sbruitkl

sexactkl · sexact

kl

= σexacteq

(1 +

sexactkl · sbruit

kl

sexactkl · sexact

kl

+1

2

sbruitkl · sbruit

kl

sexactkl · sexact

kl

+ . . .

)

= σexacteq + σbruit

eq +3

4

sbruitkl · sbruit

kl

σexacteq

+ . . . (A.3)

On a bien E(σbruiteq ) = 0. Normalement, le terme 3

4

sbruitkl

·sbruitkl

σexacteq

et la suite sont négligeables

au premier ordre. Mais lorque le bruit est important, on ne peut plus les négliger et ils

ajoutent un biais.

De manière identique pour S, on a :

S =3

2

sexact + sbruit

σexacteq + σbruit

eq + 34

sbruitkl

·sbruitkl

σexacteq

+ . . .

= Sexact +sbruit

σexacteq

− Sexactσbruiteq

︸︷︷︸Sbruit

+Sbiais (A.4)

avec E(Sbruit) = 0. Mais on a aussi un biais sur S si le bruit de départ est important.

Ensuite, on a également un biais sur matrice tangente [M ] :

En fait, si le bruit est petit, on a simplement :

[M ] = [M ]exact − [M ]bruit avecE([M ]bruit) = 0

Mais dès que le bruit est un peu plus grand et qu’on ne peut plus faire les approximations

d’ordre 1, on a :

[M ] = [M ]eb − [M ]bruit + [M ]biais

avec :

[M ]eb =

[[Q]−1 +

(Sexact + Sbiais) · (Sexact + Sbiais)∂σs

∂p

]−1

Biais dû au bruit 149

Ainsi, l’espérance de [M ] n’est pas [M ]exact mais un truc biaisé égal à [M ]eb + [M ]biais qui

tend vers [M ]exact lorsque le bruit a une norme qui tend vers 0.

A.2 Conclusion

Si le bruit est faible, toutes les espérances des bruits qui s’ajoutent seront nulles et il n’y

aura jamais de biais. Toutefois, le bruit n’est pas faible en réalité et d’ailleurs on n’a pas

vraiment de moyen d’estimer quelle est l’ordre de grandeur qui délimite les bruits très

très faibles. Dans ce cas, on est obligé de faire les développements limités jusqu’à l’ordre

2. On sait que E(xbruit.xbruit) 6= 0 pour n’importe quelle variable aléatoire, ce qui génère

des biais, d’abord sur σeq, puis par ricochet sur S, puis par ricochet sur matrice tangente

[M ], puis par ricochet sur toutes les contraintes σ calculées, et ainsi donc sur la fonction

coût, et donc finalement sur les valeurs qu’on va identifier avec la minimisation de cette

fonction coût.

Une idée est d’éliminer ce biais en corrigeant les contraintes avec un calcul direct par élé-

ments finis. En effet, la surface de l’éprouvette où les mesures de champs sont effectuées a

été maillée en éléments finis. On peut reconstruire les champs réels (déplacements nodaux)

en utilisant l’approximation éléments finis. L’utilisation du même maillage, mais à l’état

initial, avec les conditions aux limites (les déplacements nodaux obtenus précédemment)

permettent de réaliser un calcul direct. Ce calcul permet donc de reconstruire les champs

de contrainte réel avant l’apparition de la plasticité en éliminant ces erreurs locales.

150 Annexe A

Annexe B

Annexe

Revue des méthodes d’optimisation

Le paragraphe1.3.1 nous a permis de formuler le problème inverse sous forme d’un pro-

blème d’optimisation unique. Celui-ci à minimiser une fonction coût ou fonction objectif

implicite, non linéaire dont dépendent les paramètres du comportement à identifier. Pour

résoudre ce problème non linéaire (PNL), nous avons donc recours à des méthodes d’op-

timisation. Dans la littérature, nous distinguons les méthodes d’optimisation qui exigent

le calcul du gradient de la fonction à minimiser et les méthodes d’exploration directe dit

« méthodes d’ordre 0 » qui n’utilisent pas le calcul du gradient.

Les méthodes du gradient sont classique en optimisation [97, 98]. Elles comprennent prin-

cipalement les méthodes dérivant des méthodes de résolution d’un système d’équations

non-linéaires comme les méthodes de la plus grande de pente, les méthodes de gradient

conjugué, la méthode de Newton-Raphson, les méthodes de quasi-Newton [110] ou encore

les méthodes de Gauss-Newton, etc.

Quant aux méthodes d’ordre 0, on peut citer : les méthodes de Monte-Carlo [111–113],

les méthodes du simplexe [114, 115] et les méthodes génétiques [116–118], etc.

Nous allons donc ci-après présenter les deux catégories.

151

152 Annexe B

B.1 Méthodes à direction de descente classiques

La résolution d’un PNL est une tâche souvent très compliquée et nécessite normalement

l’utilisation d’une méthode numérique. Plusieurs aspects sont à prendre en compte dans

l’élaboration d’une méthode numérique pour la résolution d’un PNL :

– Existences d’éventuelles contraintes pour le PNL

– Eventuelle non convexité. C’est à dire, existence de plusieurs points stationnaires de

différente nature, donc nécessité de reconnaître les minimas, absolus ou locaux.

– Continuité et dérivabilité des fonctions

On va étudier un PNL standard sans contraintes :

min f(x); x ∈ Rn (B.1)

Stratégie générale de descente

L’idée fondamentale est de :

– démarrer d’un point faisable x0

– se déplacer itérativement vers des points faisables xk où la fonction Objectif prend de

valeurs plus petites

– arriver ainsi au minimum

La stratégie s’articule toujours en deux phases distinctes :

– recherche de la direction de descente dk, on cherche la direction dans laquelle on va

chercher le nouveau point. xk+1 = xk + tkdk

– recherche du pas d’arrête tkL’idée est de déterminer tk comme la valeur de t dans R qui minimise la valeur de f(x)

sur la direction dk par xk, on détermine donc tk comme la résolution du PNL.

minh(t) = f(xk + tkdk) (B.2)

Les différentes méthodes à direction de descente diffèrent donc par le choix de la recherche

linéaire et par le choix de la direction de descente . Quelques unes sont décrites dans les

paragraphes qui suivent.

B.1.1 Méthodes de recherche du pas d’arrête tk

Pour rechercher le pas tk , on peut utiliser parfois la méthode analytique, mais souvent les

méthodes numériques : itération à pas variable, interpolation quadratique, méthode de la

section d’or, méthode de Fibonacci, etc.

Méthodes d’optimisation 153

B.1.1.1 Méthode des itérations à pas variable

– on choisit un pas t > 0 et on pose

tk+1 = tk + t

– on continue jusqu’à ce que

h(ti+1) ≥ h(ti)

– on change de signe en réduisant la valeur de t et on continue ainsi.

– on s’arrête lorsque |ti+1 − ti| ≤ ε(ε choisi, ε > 0)

B.1.1.2 Méthode d’interpolation

L’idée est d’approcher localement h(t) par une fonction quadratique de t dont on trouve

facilement le minimum.

On prend trois points de h(t), de sorte à ce que h(t2) < h(t1), h(t2) < h(t3) avec t1 < t2 <

t3

Le min t∗ de la quadratique approche le min de h(t). t∗ = g(t1, t2, t3) (interpolation)

Des itérations sont possibles pour améliorer la précision, t∗ remplace l’un des trois points,

de manière à respecter toujours les conditions ci-dessus.

On s’arrête lorsque |t∗i+1 − t∗i | ≤ ε (ε choisi, ε > 0)

B.1.2 Méthodes du gradient pour la recherche de la direction de

descente dk

Ces méthodes utilisent les informations données par le gradient de f(x) pour la recherche

de dk. L’idée commune à toutes ces méthodes est celle de direction de descente.

Direction de descente : un vecteur d dans Rn est une direction de descente pour une

fonction f(x) : Rn → R, au moins C1, en x ∈ Rn si ∇f(x)Td < 0.

En fait, h(t) = f(x+ td), on a h′(t) = ∇f(x)Td.

Donc si d est une direction de descente, h(t) décroît en partant de x dans la direction d.

En fonction de la façon de choisir d, on a plusieurs méthodes de gradient : méthode de la

plus grande de pente (steepest descent method), méthodes de gradient conjugué, méthode

de Newton-Raphson, méthodes quasi-Newton ou encore méthode de Gauss-Newton.

154 Annexe B

B.1.2.1 Méthode de la plus grande de pente

Principe [119] : cette méthode est la plus simple des méthodes de descente. Celle-ci

consiste à choisir comme direction de descente "dk", celle présentant la plus grande pente,

c’est à dire l’opposé du vecteur gradient au point considéré xk.

dk = −∇f(xk) (B.3)

Le recherche linéaire (on détermine donc tk comme la résolution de l’équation B.2 per-

met alors de minimiser la fonction objectif selon cette direction de descente. La nouvelle

approximation des paramètres optimaux sera alors obtenue selon l’actualisation suivante :

xk+1 = xk + tkdk (B.4)

On calcule alors le vecteur gradient en ce nouveau point, afin de calculer une nouvelle

direction de descente.

Propriétés principales : la méthode de la plus grande est une méthode à convergence

garantie, mais lente. On constate en effet qu’elle converge rapidement loin de l’optimum

et qu’elle devient très lente dans le voisinage de celui-ci. C’est une bonne méthode locale,

mais pas globale. En fait, on peut démontrer que dans cette méthode il est :

dTk dk+1 = 0 (B.5)

Les directions de recherche consécutives sont donc orthogonales entre elles, et chaque

dk est orthogonal à la ligne de niveau de f(x) par xk et tangent à celle par xk+1. Il

s’ensuit que la méthode de la plus grande pente progresse avec des directions successives

perpendiculaires, ce qui limite fortement la vitesse de convergence dans des cas où la

fonction objectif présente une forme assez allongée.

B.1.2.2 Méthodes de gradient conjugué

Principe : ces méthodes se basent sur le concept de direction conjuguée : un ensemble de

vecteurs pi, i = 1, . . . , n est un ensemble de directions conjuguées pour f(x) si A étant

une matrice définie positive.

pTi Apj = 0 i 6= j

pTi Api = γi i = 1, . . . , n (B.6)


On constate que pi, i = 1, . . . , n forme une base de Rn (ces n directions de descente

successives sont linéairement indépendantes). On peut démontrer que si l’on utilise un

ensemble de directions conjuguées comme directions de recherche, on trouve le min de

f(x) en exactement n pas, n étant la dimension du PNL.

Propriétés principales : la méthode du gradient conjugué est une méthode classique

et efficace dans les problèmes simples, tels que les problèmes d’optimisation convexes.

Dans les problèmes inverses , celle-ci nécessite cependant un temps de calcul assez élevé

à chaque itération. En effet, le calcul de la direction de descente est assez peu coûteux,

mais la recherche linéaire requiert en général une dizaine d’itérations, nécessitant lors de

chacune d’elle une nouvelle évaluation de la fonction objectif et de sa dérivée directionnelle.

Cette propriété est malheureusement inhérente à toutes les méthodes de descente utilisant

une technique de recherche linéaire.

La méthode du gradient conjugué est très stable car, comme avec toutes les méthodes

de descente, le processus de convergence s’apparente à un parcours continu, linéaire par

morceau, sur l’hypersurface de la fonction objectif en direction de l’optimum recherche. Il

s’ensuit une variation assez continue et stable des valeurs des paramètres. Ceci a également

pour effet de rendre la méthode très sensible aux minima locaux. Celle-ci aura tendance

à converger vers le premier minimum, local ou global, qui se présentera au cours de la

convergence.

B.1.2.3 Méthodes Newton-Raphson

Principe : Si la matrice Hessienne de f(x) est symétrique définie positive, on prend

comme direction de descente :

dk = −[∇2f(xk)]−1∇f(xk) avec ∇2f(xk) matrice hessienne de f (B.7)

Pour le cas de la matrice Hessienne, si x0 est un point quelconque, le développement de

Taylor limité au deuxième ordre de chacune des composantes de f(x) s’écrit :

f(x) − f(x0) ∼= ∇f(x0)(x− x0) +1

2(x− x0)

T∇2f(x0)(x− x0) ⇒

par dérivation ∇f(x) = ∇f(x0) + ∇2f(x0)(x− x0) (B.8)

Si x est point de min :

∇f(x) = 0 ⇒ x = x0 − [∇2f(x0)]−1∇f(x0) (B.9)

156 Annexe B

Le calcul est itératif jusqu’au moment où les valeurs de x n’évoluent plus. Ainsi, la fonction

objectif a un minimum unique en x.

Propriétés principales : Cette méthode, contrairement aux méthodes du premier ordre,

sera plus efficace près de l’optimum que loin de celui-ci. On peut démontrer qu’elle converge

quadratiquement dans un voisinage de l’optimum [120].

B.1.2.4 Méthodes quasi-Newton

Principe : Les méthodes quasi-Newton sont dérivées de celle de Newton-Raphson ci-

dessus. Comme la détermination de la matrice Jacobienne et la matrice Hessienne, notée

H , de la fonction objectif f(x) n’est pas toujours facile à inverser, pour cette raison, on

utilise une approche numérique afin de déterminer la matrice Hessienne [98].

Soit Algorithme de Davidon-Fletcher-Powell (DFP) :

Hk+1 = Hk + tkdkd

Tk

dkqk−Hkqkq

Tk Hk

qTk Hkqk

(B.10)

Soit Algorithme de Broyden- Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) :

Hk+1 = tkdkd

Tk

dkqk+

(I −

dkqTk

qkdk

)Hk

(I −

qkdTk

qkdk

)(B.11)

Propriétés principales : Les méthodes BFGS et DFP sont très proches d’une méthode

de la plus grande pente (réputée rapide loin de l’optimum) et se rapproche de la méthode de

Newton au cours des itérations (réputée rapide près de l’optimum). Malgré ces propriétés

très intéressantes, cette méthode peut s’avérer assez lente pour des problèmes mal posés,

et nécessiter l’ajout de paramètres de stabilisation [110].

B.1.2.5 Méthode de Gauss-Newton

Principe : Celle-ci peut également être vue comme résultant de l’utilisation d’une mé-

thode de quasi-Newton sans recherche linéaire où la matrice Hessienne, est approximée, à

chaque itération, selon la relation B.1.

En effet, dans le cas d’une fonction objectif au sens des moindres carrés du type :

f(x) =1

2

Npst∑

i=1

[Pi(x) − P i]2 (B.12)


Où : Npst nombre de point de mesure ; Pi grandeur calculée au point i ; P i grandeur

mesurée au point i. On a :

∇2f(x) =

Npst∑

i=1

∇Pi(x)T∇Pi(x) +

Npst∑

i=1

∇2Pi(x)[Pi(x) − P i]

︸︷︷︸(∗)

(B.13)

Dans la méthode de Gauss-Newton, le terme (*) est négligé. La matrice Hessienne H est

alors donnée par :

H ∼=

Npst∑

i=1

∇Pi(x)T∇Pi(x) (B.14)

Propriétés principales : Cette méthode d’optimisation est très souvent employée en

identification de paramètres. Elle est spécifique à la minimisation des problèmes de moindres

carrés. Toutefois, [120] a démontré que dans le cas où la méthode de Gauss-Newton est uti-

lisée sans méthode de recherche linéaire, si le modèle direct est linéaire dans un voisinage

du jeu de paramètre optimal ou bien si le problème de moindres carrés est un problème

à faible résidu (c’est à dire que les erreurs de modélisation numérique et expérimentales

sont faible), alors la méthode de Gauss-Newton se comporte comme la méthode de New-

ton et converge quadratiquement. Par contre, dans le cas d’un problème fortement non

linéaire et à fort résidu, la méthode de Gauss-Newton peut ne pas converger. Il est alors

indispensable d’utiliser un algorithme de recherche linéaire afin de forcer la convergence

de la méthode.

B.1.3 Méthodes de descente classiques pour PNL avec contraintes

On s’intéresse à la solution d’un PNL standard (avec contraintes) :

min f(x) pour x ∈ Rn

avec g(x) ≤ 0; h(x) = 0 (B.15)

Il y a essentiellement deux stratégies numériques pour ce type de problèmes [97, 98] :

– ne pas faire appel aux multiplicateurs et donc aux informations données par les condi-

tions d’optimalité ; il s’agit de techniques connues sous le nom de méthodes de pénali-

sation et des barrières.

158 Annexe B

– utiliser les multiplicateurs, et les informations qui donnent ; appartiennent à cette stra-

tégie les méthodes duales et du lagrangien augmenté.

Dans tous les cas, on se ramène à la solution d’un PNL sans contraintes, et donc on peut

utiliser les algorithmes déjà présentés précédemment.

B.2 Méthodes d’ordre 0

Les méthodes classiques pour la résolution des PNL sont les meilleures en cas de convexité

Toutefois, elles ne sont pas indiquées (quoi-que utilisées) pour les PNL non convexes.

La dépendance de la solution finale du point de départ et l’impossibilité de savoir si le

minimum trouvé est global ou local sont des défauts intrinsèques aux approches classiques.

En outre, ces méthodes, qui s’appuient sur le calcul du gradient, sont difficilement appli-

cables aux PNL avec des fonctions objectif non régulières (discontinues ou avec gradient

discontinu) et à ceux qui dépendent de variables discrètes, comme c’est souvent le cas pour

les structures. L’avènement d’ordinateurs de puissance suffisante a rendu possible la mise

au point de méthodes complètement nouvelles, appelées souvent métaheuristiques.

Une métaheuristique est une méthode d’optimisation globale pour PNL non convexes et

qui est guidée dans sa stratégie de recherche par l’usage organisé d’une ou plusieurs règles

empiriques, qui s’inspirent d’un quelconque phénomène en le reproduisant synthétique-

ment.

– Généralement, les métaheuristiques sont des approches stochastiques, qui se basent

sur la génération d’une grande quantité de nombres aléatoires et sur des manipulations

probabilistes.

– D’habitude, elles ne nécessitent pas le calcul du gradient et traitent de façon identique

et sans difficulté tout genre de variables : continues, discrètes, groupées.

– Plus que de méthodes d’optimisation, il faut voir les métaheuristiques comme des mé-

thodes d’exploration du domaine de faisabilité

– Dans cette exploration le hasard joue un rôle important, mais normalement l’exploration

n’est pas aveugle : elle se base sur une auto-organisation du système dans la gestion

des informations qu’il est capable de tirer de l’exploration même

– Cette auto-organisation traite l’information et guide l’exploration en l’absence d’une

autorité centrale : c’est une forme d’intelligence artificielle.

Un grand nombre de métaheuristiques, avec plusieurs variantes, ont été mises au point

jusqu’aujourd’hui, citons par exemple : les méthodes de Monte-Carlo, les méthodes du

simplexe et les méthodes génétiques. . .


B.2.1 Méthodes de Monte-Carlo

Principe : Les méthodes de Monte-Carlo sont des méthodes très brutales [111–113]. Ils se

basent sur l’aide d’un générateur de nombre aléatoires on génère une suite de nombre au

hasard, qui sont autant de composantes de vecteurs faisables pour le NLPP. La distribution

de probabilité des variables peut être gérée (souvent il s’agit de distributions uniformes

sur un intervalle donné). On teste chaque vecteur faisable ainsi obtenu et on retient le

meilleur. Si le nombre de tirages aléatoires est suffisamment élevé on a l’espoir (mais pas la

certitude) de couvrir convenablement l’espace de recherche et donc de trouver une bonne

approximation du minimum.

Les algorithmes de tirage aléatoire doivent être bien conçus, pour éviter des problèmes

de boucles de tirage. Il est aussi indispensable d’établir a priori quel type de distribution

statistique utiliser (uniforme, normale, log-normale etc.).Des algorithmes de génération

aléatoire bien connus sont la méthode Lehmer généralisée pour la distribution uniforme

entre 0 et 1, la méthode de Box et Müller pour la distribution normale N(0, 1) etc. Il est

possible et recommandé d’utiliser des bibliothèques informatiques propres aux différents

langages de programmation, mais il faut toujours contrôler l’efficacité de l’algorithme de

génération de nombres aléatoires

Propriétés

– L’efficacité de l’exploration dépend fortement du problème, notamment de la fonction

objectif et du nombre de variables (elle décroît rapidement avec l’augmentation de la

taille du problème).

– Il s’agit d’une méthode totalement aléatoire : aucune indication des calculs précédents

n’est retenue dans la poursuite du calcul pour le guider vers des zone du domaines de fai-

sabilité susceptibles de contenir le minimum ; c’est une exploration sans intelligence,

mais rapide.

– Une variante de cette approche est celle de tirer aléatoirement les points de départ d’une

méthode classique de descente ; il s’agit donc d’une approche hybride.

Applications : On peut trouver des méthodes de Monte-Carlo appliquées dans les do-

maines les plus divers : identification d’endommagement des structures [111], identifica-

tion de langage [112], modèles chimiques [113] ou l’identification de l’endommagement

en dynamique rapide [121]. Dans le dernier cas, elle a été combinée avec celle de des-

cente de Levenberg-Marquardt. L’idée est de réaliser une recherche grossière, au début

de l’identification par un algorithme de Monte-Carlo puis un affinement de recherche par

l’algorithme de Levenberg-Marquardt. L’objectif a été d’exploiter les avantages de chacun

des algorithmes : la capacité du premier permet de ramener dans le voisinage du minimum

global et la vitesse de convergence du deuxième pour obtenir la valeur souhaitée de l’écart

160 Annexe B

expérience-calcul.

B.2.2 Méthodes du simplexe

Principe : [114, 115] Un simplexe est une forme géométrique non dégénérée, construite de

n+ 1 sommets dans l’espace des paramètres et ceci pour résoudre un problème d’optimi-

sation de n variables indépendants. Par exemple, en cas simple le nombre de paramètres

à optimiser est deux, le simplexe aura la forme d’un triangle. Une fois le simplexe initial

est construit à partir des valeurs initiales. On a : x0, x1, x2, . . . , xn sont les sommets du

simplexe, les valeurs de la fonction objective aux sommets du simplexe sont calculées et

rangées de telle sorte que : f(x0) ≤ f(x1) . . . ≤ f(xn). Parmi tous les sommets, la fonc-

tion objective prend la plus grande valeur f(xn) au sommet xn. On remplace xn par un

nouveau point où la valeur la valeur de la fonction objective en ce point est inférieure à

f(xn). Pour cela, on effectue une réflexion de ce point par rapport au centre de gravité

des n sommets restant. Cette étape de réflexion permet au Simplexe de s’éloigner vis à vis

de la région des grandes valeurs de fonction objective. Parmi les méthodes du Simplexe,

l’algorithme de Nelder-Mead est le plus utilisé par la facilité d’implantation.

Propriétés principales : Il existe de nombreuses variantes de la méthode du simplexe

qui ont pour but d’augmenter le taux de convergence de cet algorithme. Néanmoins, pour

un nombre important de paramètres, le cardinal des simplexes augmente, et la méthode

devient moins intéressante que les méthodes à direction de descente. De plus, il est à noter

que, même si généralement l’algorithme fonctionne bien, il existe des cas où la méthode

ne converge pas.

Applications Cet algorithme de Nelder-Mead apparaît dans "Optimization tool box" du

logiciel Matlab sous la fonction. Plus récemment, il s’est appliqué dans l’identification des

lois de comportement élastoplastique [24, 122].

B.2.3 Méthodes génétiques

Principe : Les méthodes génétiques sont des méthodes d’optimisation d’ordre zéro, qui

n’ont pas besoin de calculer des dérivées, mais uniquement des évaluations de fonction

objectif en différents points [116–118]. Ces alrorithmes génétiques travaillent sur une po-

pulation d’individus, representés par un code, et visent à l’amélioration de la population

entière plutôt quà celle d’un seul individu. La figure AAA présente le fonctionnement

général d’un algorithme génétique (AG) standard. Il se compose des étapes suivantes :


1. Entrée : Une solution potentielle au problème est représentée par un ensemble de

paramètres (les gènes) qui sont les variables de fonction objectif à minimiser. Ceux-

ci sont regroupés pour former une chaîne de valeurs (les chromosomes). Chaque

individu (une solution) est caractérisé par son chromosome.

2. Opérateur d’adaptation : Il s’agit de choix de la fonction de fitness f qui mésure

l’adaptation d’un individu par rapport au critère choisi (elle évalue la qualité d’un

individu comme solution potentielle d’un problème donné). En fonction du résultat,

ils se voient attribuer un "coefficient de convenance" qui déterminera la probabilité

de voir cet individu sélectionné pour être l’un des parents de la génération sui-

vante.Le choix de f n’est pas unique. Toutefois, f doit être une mesure de mérite

positive. Normalement f prend de valeur dans l’intervale [0, 1].

f = 0 : individu le moins adapté

f = 1 : individu le mieux adapté.

3. Opérateur de sélection : Sur la base des valeurs de fitness des individus, n/2

couples d’individus sont choisis pour la reproduction. Cette sélection peut se faire

de plusieurs façons, mais le concept est que les individus les mieux adaptés (ceux

avec f plus grande) ont une probabilité accrue de se reproduire par rapport aux

autres. En Nature, ceci correspond au fait que les individus plus "forts" (les mieux

adaptés) ont une probabilité majeure de vivre plus longtemps que les autres et donc

ils ont plus de temps pour se reproduire ; la sélection naturelle s’opère donc sur

la base de l’adaptation et de la probabilité de survie, qui lui est, statistiquement,

proportionnelle. Types de séléction plus employés : par tournement, par elitisme

n/2, par roue de loterie biaisée

4. Opérateur de croisement : Les chromosomes de deux individus sont coupés en

deux à une position aléatoire de la chaîne. Les "têtes" et les "queues" sont croisées

pour créer de nouveaux individus contenant un mélange des gènes des parents. Cette

technique est le croisement simple. Le croisement n’est pas obligatoirement fait sur

tous les individus d’une génération. Les individus non concernés par le croisement

sont simplement dupliqués. Ceci permet de transmettre à la génération suivante des

individus sans changement de leur chromosome.

5. Opérateur de mutation : la mutation est appliquée à tous les individus après

la phase de croisement. Elle altère de façon aléatoire chaque gène avec une faible

probabilité sa position est choisie au hasard. Le rôle de la mutation est celui de

"créer de la biodiversité" pour contraster la convergence prematurée.

6. Critère d’arrête : Si l’algorithme génétique est correctement construit, la popu-

lation évolue à travers les générations successives vers une population qui contient

162 Annexe B

de plus en plus de bons individus. On considère qu’un gène a convergé quand il a

la même valeur dans au moins 95% des individus. La population a convergé quand

tous les gènes ont convergé. Cependant, en imposant un nombre maximum de géné-

rations, on peut obtenir une population finale dont les individus sont différents et

ainsi choisir parmi eux l’individu le mieux adapté au problème.

Propriétés : Il s’agit d’algorithmes capables d’accumuler de l’information sur un espace

de recherche inconnu et de l’exploiter pour guider la recherche sur des sous-espaces pro-

metteurs. La recherche se fait par echange et recombinaison d’informations elementaires

(les schèmes ou motifs de similarité ; théoreme du parallelisme implicite), ce qui est plus

efficace d’une recherche totalement aléatoire, basée seulement sur la mutation → utilité du

sexe en biologie. Ce mécanisme est implicite : il emerge des propriétés d’auto-organisation

de l’information induite par sélectionnisme. La méthode de recherche n’est pas locale, mais

globale et distribuée sur l’entier espace de recherche → le problème de la non-convexité est

contourné à la base. Manipulation d’entités arbitraires codées → possibilité de traiter de

la même façon des variables de nature differente. Utilisation d’un minimum d’informations

sur les données (méthodes d’ordre 0) : on a besoin seulement d’une mesure d’adaptation

f . Les AG sont des algorithmes à impostation libre et en partie, auto-correcteurs.

Applications : AG a été utilisé pour l’identification de lois de comportement élastique

et viscoélastique de panneaux structuraux à base de bois par [13], pour le choix optimal

des stations d’appoint de chlore sur les réseaux d’eau potable [123]. et pour le dévelop-

pement "modular architectures" par [124], ou encore pour l’optimisation d’un dispositif

électromagnétique [125].

B.3 Conclusion sur les méthodes abordées

B.3.1 Méthodes à direction de descente

Emploi : Les méthodes de descente s’appliquent de préférence aux PNL : fonctions

continues, dérivables de variables continus, convexes (p. ex. fonctions quadratiques) et

sans contraintes. Avec des modifications ils s’appliquent aussi aux PNL : convexes avec

contraintes (avec méthodes de pénalisation ou barrières), non convexes (avec tirage aléa-

toire des points de départ) et non convexes avec contraintes.

Avantages : Elles ont un taux de convergence significativement plus élevé que les mé-

thodes d’ordre zéro.

Inconvénients : La solution est sensible par rapport au point de départ des itérations.

Pour les PNL non convexes on n’a pas la certitude de descendre vers le minimum absolu.


Difficulté à traiter les contraintes imposées au PNL. En fait, il faut empêcher à l’algorithme

de poursuivre son chemin de recherche au delà de la frontière du domaine de faisabilité,

mais avec prise en compte d’éventuels minima sur les bords.

Les méthodes à direction de descente nécessitent au moins le calcul du gradient de la fonc-

tion coût. Le calcul de ce terme peut être relativement complexe et coûteux en temps de

calcul. Cette étape, appelée analyse de sensibilité, est nécessaire à l’utilisation de méthodes

à direction de descente et peut prendre du temps. De plus, ces techniques ne permettent

d’atteindre que des minima locaux.

B.3.2 Méthodes d’ordre 0

Emploi : L’utilisation d’une méthode d’ordre zéro semble adéquate dans le cas où l’on veut

utiliser le modèle direct lorsque le modèle direct n’est pas différentiable. Elles réussissent

mieux que les méthodes classiques dans le traitement des problèmes de grande taille (même

des milliers de variables).

Avantages : Elles peuvent permettre d’atteindre des minima globaux. Un autre avantage

les méthodes c’est que normalement elles sont de programmation simple et à schéma rela-

tivement libre. Elles ne nécessitent pas le calcul du gradient et traitent de façon identique

et sans difficulté tout genre de variables : continues, discrètes, groupées. Inconvénients

Leur taux de convergence étant assez faible, il est à noter que, même si généralement

l’algorithme fonctionne bien, il existe des cas où la méthode ne converge pas.

B.3.3 Méthodes hybrides

Enfin, on peut citer l’existence de méthodes hybrides, combinant des algorithmes d’ordre

0 avec des algorithmes d’ordre un. Par exemple, Ghouati et Gelin [126] ont utilisé un al-

gorithme génétique pour initialiser une méthode de Levenberg-Marquardt. Cette méthode

permet de détecter les minima globaux et de s’affranchir du choix du jeu de paramètres

initial mais demeure tout de même relativement coûteuse en temps de calcul zéro. Plus

récemment, Nistor [121] a combiné la méthode Monte-Carlo avec celle de Levenberg-

Marquardt. L’objectif a été d’exploiter les avantages de chacun des algorithmes : la capa-

cité du premier permet de ramener dans le voisinage du minimum global et la vitesse de

convergence du deuxième pour obtenir la valeur souhaité de l’écart entre expérience-calcul.

164 Annexe B

Annexe C

Annexe

C.1 Développement du logiciel Camfit

L’avènement des mesures optiques de champ a ouvert la voie à l’utilisation d’essais mé-

caniques plus complexes (essais statiquement indéterminés) menant à des champs ciné-

matiques hétérogènes qui contiennent beaucoup plus d’informations que les essais clas-

siques (essais statiquement déterminés). Ces mesures permettent de développer des essais

statiquement indéterminés qui engendrent des champs de contraintes hétérogènes mul-

tidirectionnels dans la structure étudiée. Cela permet alors d’impliquer dans la réponse

mécanique un maximum de paramètres constitutifs de la loi de comportement du ma-

tériau. La mesure des champs cinématiques rend possible l’identification de l’ensemble

de ces paramètres à partir d’un essai unique [11, 35, 127]. Néanmoins, le traitement des

données doit recourir à une identification inverse puisque le champ de contrainte n’est pas

connu a priori. La méthode de champs virtuels (MCV) est un outil consacré à la résolution

de ce type de problème inverse qui permet d’identifier des paramètres de comportement à

partir de champs mesurés. Cette méthode est le fruit d’un travail de recherche riche d’au

moins quinze ans d’études [19].

Elle est maintenant validée en élasticité et en plasticité [20, 30, 35, 92, 94]. Un des pro-

blèmes principaux aujourd’hui entravant la diffusion de la méthode est que les chercheurs

qui souhaitent l’appliquer doivent fournir un important travail de programmation pour la

rendre opérationnelle. Il faut avoir un logiciel spécifique permettant aux utilisateurs de

manipuler sans devoir entrer complètement dans la théorie, dans le même esprit qu’un

code de calcul par éléments finis. Ce logiciel peut être utilisé sans avoir besoin de pro-

165

166 Annexe C

grammer la routine entière. C’est la raison pour laquelle ce logiciel a été développé, appelé

CamFit. Il est implanté sur MATLABr et utilise une interface graphique rendant son uti-

lisation conviviale. L’ambition du LMPF est de proposer ce logiciel au public (site web :

www.camfit.fr).

C.2 Présentation du logiciel Camfit

Le logiciel Camfit est l’intégration de différentes routines existantes présentées dans [20,

30, 35, 92, 94], ainsi que les nouveaux développements présentés au chapitre 3. L’interface

graphique utilisateur de CamFit est un ensemble d’éléments graphiques programmés sous

MATLABr qui permettent l’interaction entre des (parties de) programmes et l’utilisateur

en affichant différentes informations (textes, graphiques, images, . . . ) et en déclenchant

des actions (callbacks) à la suite d’évènements : clic de souris, déplacement de souris,

entrée au clavier, . . . ). Les fonctions du logiciel de CamFit sont les suivantes.

C.2.1 Préprocesseur

L’interface du « Préprocesseur » est présentée sur la figure C.1. Elle permet de lire

des données brutes fournies par des techniques expérimentales telles que la corrélation

d’image [19], l’interférométrie de speckle [127] ou la méthode de grille [30]. « Données

brutes » signifie : des matrices de données portant les valeurs de déplacement fournies

par ces techniques. Les matrices sont tridimensionnelles : deux directions sont affectées

à la couverture spatiale de la zone d’intérêt et la troisième direction est affectée aux dif-

férents temps auxquels des mesures sont réalisées tout au long d’un essai. Une fois lues,

les données brutes sont converties dans un format qui peut être reconnu par les fonc-

tions suivantes. Les paramètres constants concernant la géométrie, telles que l’épaisseur

de l’éprouvette et la taille du pixel, sont aussi sauvegardés.

Cette routine est associée au bouton « Preprocessor » de l’interface graphique. Une fois

qu’on clique sur ce bouton, cette routine est lancée automatiquement. Ce sous-programme

sert à ouvrir le fichier de données de format *.mat, et à charger les données que l’on va

traiter, puis à mettre ces données dans un format standard de vecteur colonne, afin de les

enregistrer sous un fichier de format *.pre. Le fichier *.pre contient les données suivantes :

– UX, UY, qui sont des vecteurs les déplacements mesurés en chaque point de mesure

selon la direction horizontale et verticale ;

– X, qui est le vecteur des abscisses de l’ensemble des points de mesure ;

– Y, qui est le vecteur des ordonnées de l’ensemble des points de mesure ;

Logiciel Camfit 167

– Load, qui est un vecteur de deux colonnes ; la première colonne donne la valeur de

la force appliquée à chaque étape de chargement, la deuxième donne la longueur des

vecteurs UX ou UY à chaque étape ;

– d’autres paramètres tels que la taille du pixel, le nombre de trous dans l’éprouvette,

l’angle d’orientation des fibres si le matériau étudié est un composite unidirectionnel,

etc.

C.2.2 Fitting

Le sous-programme « Fitting » (voir figure C.2) sert à préparer les données nécessaires

avant d’identifier les paramètres de comportement du matériau étudié à partir du fichier

*.pre. Il se compose des sous-routines suivantes :

Contour

L’utilisateur doit définir la frontière de la zone d’intérêt sur la première carte des champs

de déplacement en cliquant sur « Contour », la fonction « gen-contour » s’exécute pour

détecter le contour selon le choix de l’utilisateur, la fonction « gen-contour » est codée

dans le fichier « gen-contour.m ».

Meshing

On peut utiliser « Meshing » pour faire le maillage en éléments finis triangulaires en

fonction de la forme d’éprouvette. En déclenchant la fonction « gen-maillage », un maillage

en triangles sera créé, avec une taille de maille choisie par l’utilisateur. Les triangles sont

utilisés plutôt que tout autre élément parce qu’ils sont simples et qu’ils peuvent s’adapter

facilement à n’importe quelle géométrie.

Reconstruction

Une fois qu’on choisit la fonction « Reconstruction », une reconstruction approximative

des champs de déplacements est réalisée à partir des mesures. La fonction est basée sur

les moindres carrés linéaires (comme expliqué au chapitre 3).

L’effet de filtrage de cette approche est très significatif, car des résolutions de déformation

de l’ordre de 10−5 peuvent être atteintes [34].

Une fois les fonctions « Meshing » et « Reconstruction » appliquées, les données sont alors

enregistrées dans un fichier avec le même nom que le fichier *.pre du début mais sous le

format *.post. Finalement, le fichier *.post contient les données suivantes :

– X1, qui est le vecteur des abscisses de l’ensemble des nœuds ;

– Y1, qui est le vecteur des ordonnées de l’ensemble des nœuds ;

168 Annexe C

– TRI, qui est une matrice composée d’autant de lignes qu’il y a d’éléments ; chaque ligne

contient le numéro des trois nœuds composant l’élément triangle concerné ;

– UXnodal, qui est le vecteur déplacement horizontal de l’ensemble des nœuds pour le

maillage défini précédemment ;

– UYnodal, qui est le vecteur déplacement vertical de l’ensemble des nœuds pour le

maillage défini précédemment ;

– UXXG est vecteur gradient suivant la direction horizontale du déplacement horizontal

sur chaque élément du maillage ;

– UYYG est vecteur gradient suivant la direction verticale du déplacement vertical sur

chaque élément du maillage ;

– UXYG est vecteur gradient suivant la direction verticale du déplacement horizontal sur


– UYXG est vecteur gradient suivant la direction horizontale du déplacement vertical sur


C.2.3 Identification

Il s’agit d’une routine permettant l’identification des paramètres du comportement des

matériaux étudiés (figure C.3). Différentes lois de comportement peuvent être considérées :

l’élasticité linéaire [23], l’élastoplasticité ou l’elasto-visco-plasticité [34]. Plusieurs modes

de chargement peuvent aussi être traités.

Globalement, le principe est le suivant : une matrice de rigidité est construite, corres-

pondant au maillage de la géométrie de l’éprouvette défini précédemment. Cette matrice

de rigidité, notée [K], dépend de paramètres constitutifs inconnus (notés p). L’équation

suivante devrait être satisfaite à tous les nœuds :

[K(p)] U = F (C.1)

où F est le vecteur des forces nodales déduites à partir de conditions de frontière

connues. Les paramètres pilotant la loi de comportement p sont récupérés en annulant

(dans le cas de l’élasticité linéaire) ou en minimisant (pour les équations constitutives

non-linéaires comme la plasticité) l’écart par rapport aux équations du type suivant :

U∗t [K(p)] U = U∗t F (C.2)

où U∗ est un champ virtuel de déplacement, ces champs virtuels doivent satisfaire des

conditions aux limites cinématiques particulières, de manière à impliquer la résultante des

Logiciel Camfit 169

efforts extérieurs mais pas leur distribution, qui est inconnue. De plus, ils sont également

choisis pour minimiser l’effet des bruits blancs sur l’identification. Il s’agit des champs

virtuels optimisés en élasticité [93] ou en plasticité (voir chapitre 3).

Les lois de comportement suivantes peuvent être considérée en vue d’une identification

dans le logiciel : l’élasticité linéaire isotrope [20, 94], l’élasticité avec endommagement par-

fait [30], l’élasticité linéaire orthotrope [20, 92], la viscoplasticité de type Perzyna [128], la

plasticité avec écrouissage isotrope, écrouissage cinématique, ou encore la combinaison des

deux (voir partie 2.AA). Les résultats de l’identification sont ajoutés au fichier d’extension

*.post.

C.2.4 PostProcessor

L’exécution de ce sous-programme permet d’afficher des informations choisies (résultats,

textes, graphiques, images) à partir du fichier d’extension *.post. Dans le « PostProces-

sor », l’utilisateur dispose des choix d’affichage suivants :

– Affichage du déplacement horizontal brut mesuré.

– Affichage du déplacement vertical brut mesuré.

– Affichage du déplacement horizontal reconstruit.

– Affichage du déplacement vertical reconstruit.

– Affichage de la déformation εxx reconstruite.

– Affichage de la déformation εyy reconstruite.

– Affichage de la déformation εxy reconstruite.

– Affichage du maillage utilisé.

– Affichage des résultats d’identification.

C.3 Conclusion

Le développement des interfaces a été fait pendant cette thèse. Cela a permis de réaliser

les validations numériques et expérimentales de manière automatique.

170 Annexe C

Figure C.1: Interface graphique de la routine « Preprocessor ».

Figure C.2: Interface graphique de la routine « Fitting ».

Logiciel Camfit 171

Figure C.3: Interface graphique de la routine « Identification ».

172 Annexe C

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Étude approfondie de l’identification du comportement des matériaux métal-liques au de là de leur limite d’élasticité par la méthode des champs virtuels

Résumé Ce travail a apporté une nouvelle procédure d’identification à la méthode deschamps virtuels (MCV) en élastoplasticité. Pour cela, plusieurs verrous scientifiques ontété levés, particulièrement concernant la formulation du choix des champs virtuels etleur optimisation grâce à l’algorithme de Newton-Raphson pour une loi de comportementnon linéaire. Les développements ont été tout d’abord validés avec succès en utilisantles données simulées par éléments finis. Ensuite, un acier inoxydable 316L a été choisipour la validation expérimentale. Des essais de traction suivie d’une compression sur deséprouvettes planes avec deux entailles réalisant un état de contrainte plane hétérogèneont été effectués. Les champs cinématiques ont été mesurés à l’aide de la méthode degrille. Dans un premier temps, un chargement monotone a été considéré avec utilisationdu modèle d’écrouissage exponentiel de Voce (6 paramètres). Les résultats obtenus avecla MCV coïncident avec les valeurs de référence données par les essais normalisés. Dansun deuxième temps, un chargement de traction-compression a été considéré. Un modèlecinématique non linéaire simple à cinq paramètres a été identifié. Bien que le début dela plasticité en traction reste problématique, les résultats obtenus montrent globalementune bonne concordance avec la référence. Il est clair qu’il y a des erreurs locales qui sontdues au bruit blanc ou d’autres sources d’erreurs. Ces ereurs font localiser la plasticitéanormalement tôt dans les essais. Cela perturbe l’identification dans la zone de début deplasticité. Il est nécessaire d’améliorer le calcul des contraintes à l’avenir.

Mots-clés : méthode des champs virtuels, champs virtuels optimisés, mesure de champ,élastoplasticité, écrouissage isotrope, écrouissage cinématique, chargement non monotone,problème inverse.

Thorough study to identify elasto-plastic constitutive parameters of metallicmaterials by the virtual fields method

Abstract This work brought a new identification procedure to the virtual fields method(VFM) in elasto-plasticity. The advances concerned in particular the formulation of thechoice of the virtual fields and their optimization thanks to the algorithm of Newton-Raphson for a nonlinear behaviour law. Firstly, the developments were validated success-fully by using finite element simulated data. Then, a 316L steel was selected for the ex-perimental validation. The traction-compression tests on plane double-notched specimenswere carried out. The kinematic fields were measured using the grid method. Initially, amonotonic loading was considered with use of the exponential work hardening Voce model(6 parameters). The results obtained with the VFM coincided with the reference valuesgiven by the standard tests. Then, a traction-compression loading was also considered. Asimple five parameters nonlinear kinematic hardening model was identified. Although thebeginning of plasticity in traction remains problematic, the results obtained show globallya good agreement with the reference. It is clear that there are errors due to the noisydata or other sources. These errors result in abnormal early plasticity detection in thetests. This disturbs the identification in the early stages of plasticity. It is necessary inthe future to improve the calculation of the stresses.

Key-words : virtual fields method, optimized virtual fields , full-fields measurement,elasto-plastic behaviour, isotropic hardening, kinematic hardening, heterogeneous tests,nonmonotonic loading, inverse problem.

identification simultan©e des param¨tres de rigidit©s et d'amortissements des plaques isotropes

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