Identification des syste`mes lineaires

PolytechTours Departement Productique

Novembre 2004

1 Introduction

Un syste`me lineaire a une fonction de transfert qui peut se calculer enetablissant les equations differentielles qui relient entree et sortie. Cesequations theoriques sont parfois difficiles a` ecrire car on na pas forcementtoute la connaissance du syste`me necessaire : valeurs numeriques, proces-sus mis en jeu, non linearite... Souvent, un mode`le dont le comportementressemble a` celui du syste`me a` etudier est suffisant pour elaborer une loi decommande adaptee.

Ce document presente differentes methodes pour obtenir un mode`le sousforme de fonction de transfert equivalente en terme de reponse a` un syste`medont on ne sait pas modeliser le comportement. Ces methodes NE donnentdonc PAS LA fonction de transfert du syste`me mais en donnent UNE dontla reponse ressemble a` celle du syste`me.

Toutes les courbes de ce polycopie ont ete obtenues avec Matlab. Lefichier (identif.m) qui permet de les tracer et qui contient toutes ces methodesprogrammees est disponible sur le site web de lautomatique : http://auto.polytech.univ-tours.fr/ dans la rubrique automatique continue, docu-ments du cours.

2 Identification en Boucle Ouverte

On identifie la reponse indicielle en BO du syste`me a` celle dun mode`ledont la forme est pre-definie avec certains parame`tres. La methode consistea` calculer les meilleurs parame`tres en fonction de la forme de la reponsereelle.

1

2.1 Methode de Strejc

2.1.1 Le mode`le

Cette methode peut sappliquer aux syste`mes dont la reponse indicielle nepresente pas de depassement. On identifie a` une fonction de la forme :

T (p) =K.er.p

(1 + .p)n

Les parame`tres a` identifier sont donc :

le gain statique K, le retard r, la constante de temps et lordre n.

La figure 1 represente les reponses indicielles pour plusieurs jeux de parame`tres.

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ordre2, tau=1ordre5, tau=1ordre2, tau=2

Figure 1: Reponses de mode`les de Strejc pour K = 1, r = 1

2.1.2 La methode

Pour identifier le syste`me, la methode peut se decomposer en :

Le gain statique est mesure directement par la valeur finale de la sortie.Celle-ci vaut K.E0 ou` E0 est lamplitude de lechelon dentree.

2

On trace la tangente au point dinflexion I pour determiner deuxvaleurs : T1 et T2. Voir figure 2 pour la mesure de ces deux temps.

Relever T1 et T2 en deduire lordre n en utilisant le tableau 1. Entredeux lignes du tableau, on choisit la valeur de n la plus petite.

Determiner la constante de temps a` partir de T2 du tableau. Determiner le retard r quand il existe a` partir de la difference entre lavaleur de T1 mesuree et celle donnee par la colonne T1T2 du tableau.

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

T1 T2

Figure 2: Methode pour obtenir T1 et T2

Table 1: Tableau pour estimer lordre, la constante de temps et le retard dumode`le de Strejc

n T1T2

T1T2

1 0 1 02 0,28 2,72 0,13 0,8 3,7 0,224 1,42 4,46 0,325 2,10 5,12 0,416 2,81 5,70 0,49

3

2.1.3 Exemple

Pour tester cette methode, nous partons dun syste`me dont la fonction detransfert est :

T (p) =100

(p+ 4)(p+ 5)(p+ 1)Sa reponse indicielle est sur la figure 3 en trait plein.

Le gain statique est mesure directement par la valeur finale de la sor-tie : K = 5

On trace la tangente au point dinflexion I et on mesure : T1 = 0, 27et T2 = 1, 76

Dapre`s le tableau, avec T1T2 = 0, 15, un ordre n = 2 semble convenir.

La constante de temps est evaluee a` partir de T2 = 2, 72 au tableau.Cela donne = 0, 65.

Dapre`s le tableau, T1 = 0, 28, ce qui donnerait une valeur de T1 =0, 18. Or on mesure T1 = 0, 27. On peut en deduire un retard r = 0, 09

La methode identifie la reponse indicielle comme etant proche de celle dusyste`me suivant :

T (p) =5.e0,09p

(1 + 0, 65p)2

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

reponse du systemepoint dinflexiontangente au pt dinflexionmodele de strejc

Figure 3: Reponses du syste`me de depart et du syste`me identifie

La reponse de ce syste`me est trace dans la figure 3 en trait pointille.On peut noter la grande ressemblance avec celle du syste`me de depart alorsquon a identifie un deuxie`me ordre avec retard au lieu dun troisie`me ordre.

4

2.2 Methode de Broda

Le mode`le propose pour approcher le comportement du syste`me est un pre-mier ordre avec un retard pur. Sa fonction de transfert est :

T (p) =K.er.p

1 + .p

Le principe nest pas de faire concider la tangente au point dinflexion(souvent imprecis) mais dajuster les parame`tres et r pour que les courbesde reponse du mode`le et du processus aient deux points communs judi-cieusement choisis. Les points communs C1 et C2 habituellement utilisescorrespondent respectivement a` 28% et 40% de la valeur finale. Le mode`lede Broda donne les points C1 et C2 pour les dates suivantes :

s(t)K.E0 = 0, 28 tr = 0, 328

s(t)K.E0 = 0, 40 tr = 0, 510La methode didentification sappuie sur les resultats precedents. Soient

t1 et t2 les temps au bout desquels la reponse experimentale atteint respec-tivement 28% et 40% de la valeur finale. On va simplement resoudre lesyste`me donne par :

t1 r

= 0, 328 t1 r = 0, 328t2 r

= 0, 510 t2 r = 0, 510

La resolution de ces equations donne :

= 5, 5(t2 t1) r = 2, 8t1 1, 8t2Le gain K est determine comme dans la methode de Strejc avec la valeur

finale de la sortie.Pour lexemple precedent, la methode de Broda donne le mode`le suiv-

ant :

T (p) =5.e0,375p

(1 + 1, 12p)

La figure 4 donne les courbes de reponse du syste`me reel et du mode`le deBroda. La concordance des deux points C1 et C2 est bien verifiee.

2.3 Processus integrateur

Les syste`mes contenant un integrateur ont une reponse indicielle en rampe,en regime permanent. Lasymptote de cette reponse est une droite dequationy = a(t t1) de pente a et qui coupe laxe des abscisses pour t = t1 (voirfigure 5).

5

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

reponse du systememodele de Broida

Figure 4: Courbe reelle approchee par un mode`le de Broda

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

35

.

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

rponse du systmemodle intgrateur+retard

Figure 5: Courbe reelle approchee par un integrateur retarde

On identifie la reponse du syste`me reel a` la reponse dun syste`me integrateurpur avec retard cest a` dire avec la fonction de transfert suivante :

T (p) =K.er.p

p

Les parame`tres de ce syste`me sont donnes par :

K =a

E0r = t1

ou` E0 est lamplitude de lechelon applique en entree.

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3 Identification en boucle fermee

Cette methode didentification sapplique aux processus stables, dordresuperieur a` 2 et sappuie sur une etude frequentielle du processus asservi.

3.1 Principe

Le syste`me a` identifier (de fonction de transfert K.G(p)) est asservi par uneboucle de regulation munie dun correcteur proportionnel de gain Kr (voirfigure 6).

Kr K.G(p)E(p)S(p)

processus

+

-

Figure 6: identification en BF avec un correcteur proportionnel

La fonction de transfert en BO de ce syste`me est :

T (p) = Kr.K.G(p)

Pour une certaine valeur du gain Kr = Ko, on peut mettre le syste`meen limite de stabilite. Cest a` dire que ce syste`me va osciller continumenttout seul. On appelle ceci le pompage. La pulsation de ces oscillations depompage o correspond a` la pulsation pour laquelle T (jo) = 1.

Ko.K.|G(jo)| = 1 (o) = pi

3.1.1 Mode`le de Strejc

Par commodite, on prend le mode`le de Strejc sans retard (r = 0).

K.G(p) =K

(1 + .p)n T (j) = Kr.K

(1 + j)n

En BF, on cherche le pompage (obtenu pour Kr = Ko) et on mesurea` partir de la periode des oscillations = o. Lidentification consiste a`resoudre le syste`me

Ko.K(1+2o .

2)n = 1

= n. arctan (o.)=piLe gain statique K est determine par une reponse indicielle en BO ou enBF. La resolution des equations donne lordre n par :

Ko.K =(

1cos(pi/n)

)n7

Et la constante de temps par :

=1o

. tan(pi/n)

3.1.2 Mode`le de Broda

Le mode`le de Broda est le suivant :

K.G(p) =K.er.p

1 + .p T (j) = Kr.K.e

jr

1 + j

Pour identifier ce mode`le, on doit determiner les parame`tres K, et r. EnBF, on cherche le pompage (obtenu pour Kr = Ko) et on mesure a` partirde la periode des oscillations = o. Lidentification consiste a` resoudre lesyste`me

Ko.K1+2o .

2= 1

= o.r arctan (o.)=piLe gain statique K est determine par une reponse indicielle en BO ou enBF. La resolution des equations donne la constante de temps par :

=1o

.(Ko.K)2 1

Le retard est calcule a` partir de :

r =1o

[pi arctan(

(Ko.K)2 1)

]

4 Methodes de Ziegler Nichols

Cest une methode empirique qui permet dajuster les parame`tres dunregulateur P.I.D. pour commander un processus a` partir de mesures sursa reponse indicielle.

4.1 Mesures sur la reponse en BO

La reponse a` un echelon damplitude Eo, sans oscillations, sera assimileea` celle dun premier ordre avec retard. On devra mesurer la pente de latangente au point dinflexion a, la valeur finale M et le retard r (voir figure7). La tangente au point dinflexion est assimilee a` la tangente a` loriginedu syste`me du premier ordre sans retard. Si est la constante de temps dupremier ordre, on a : a = M .

Ziegler Nichols propose des reglages de correcteur P, PI ou PID pouravoir une reponse en boucle fermee satisfaisante. Le crite`re utilise pour

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0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

reponse du systemepoint dinflexiontangente au pt dinflexionvaleur finaleretard

Figure 7: Identification pour Ziegler Nichols

savoir si une reponse est satisfaisante est que le rapport entre les deux pre-miers depassements (positifs) est de 0,25. Un correcteur PID a commefonction de transfert :

C(p) = Kr.(1 +1i.p

+ d.p)

Table 2: Reglage dun correcteur P, PI ou PID selon Ziegler Nichols en BO

Type de correcteur Gain Kr i d

Proportionnel Eoa.r =Eo.M.r

PI 0,9Eoa.r =0,9Eo.M.r 3, 3r

PID 1,2Eoa.r =1,2Eo.M.r 2r 0, 5r

Pour lexemple utilise pour la figure 7, les reponses corrigees sont enfigure 8. Dans cet exemple, on peut noter que le correcteur proportionnellaisse une erreur statique, que le correcteur PI est sans erreur statique maisest plus long a` stabiliser. Le correcteur PID rend le syste`me relativementstable et sans erreur statique.

4.2 Mesure sur la reponse en BF

Dans le cas ou` il est impossible douvrir la boucle de regulation pour obtenirla reponse indicielle, une seconde methode de Ziegler Nichols permet de

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0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

correcteur Pcorrecpeur PIcorrecteur PID

Figure 8: Comparaison des correcteurs de Ziegler Nichols

regler un correcteur a` partir dun essai en limite de pompage.Pour obtenir la limite de pompage, on place un correcteur proportionnel

dans la boucle fermee et on augmente doucement le gain de ce correcteurjusqua` obtenir des oscillations auto-entretenues (phenome`ne de pompage).On note le gain Ko qui a amene le syste`me en limite de stabilite et laperiode To des oscillations obtenues. Les parame`tres de regulation pour quela reponse du syste`me boucle soit satisfaisante sont donnes par le tableausuivant.

Table 3: Reglage dun correcteur P, PI ou PID selon Ziegler Nichols avec lesmesures en BF

Type de correcteur Gain Kr i dProportionnel 0, 5.Ko

PI 0, 45.Ko 0, 83.ToPID 0, 6.Ko 0, 5.To 0, 125To

Pour lexemple utilise precedemment, les reponses du syste`me corrigesont tre`s ressemblantes a` celles obtenues par la methode de Ziegler Nicholsen BO.

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