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VIBRATIONS EN PETITES PERTUBATIONS DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

HERVÉ OUDIN

Table des matières I AVANT PROPOS ................................................................................................................................................. 5 II MISE EN ÉQUATIONS D’UN SYSTÈME MÉCANIQUE ................................................................................ 7

II-1 RAPPELS................................................................................................................................................................................................. 7 II-1.1 Les actions mécaniques ........................................................................................................................................................... 7 II-1.2 Le paramétrage.......................................................................................................................................................................... 8

II-2 PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS...................................................................................................................................................... 8 II-2.1 Énoncé du PTV.......................................................................................................................................................................... 8 II-2.2 Équivalence PTV - PFD ............................................................................................................................................................ 8 II-2.3 Le Théorème de l’énergie....................................................................................................................................................... 9

II-3 MISE EN ÉQUATIONS DES SYSTÈMES DISCRETS.................................................................................................................................... 9 II-3.1 Déplacements virtuels - définitions....................................................................................................................................... 9 II-3.2 Équations de Lagrange ........................................................................................................................................................... 10 II-3.3 Forme pratique des équations de Lagrange ...................................................................................................................... 11 II-3.4 Analyse d’un problème par les équations de Lagrange................................................................................................... 12

II-4 MISE EN ÉQUATIONS DES MILIEUX CONTINUS ................................................................................................................................. 19 II-4.1 Rappels de MMC..................................................................................................................................................................... 19 II-4.2 Écriture du PFD ...................................................................................................................................................................... 22 II-4.3 Écriture du PTV ...................................................................................................................................................................... 23

BIBLIOGRAPHIE .......................................................................................................................................................................................... 27 NOTES PERSONNELLES.............................................................................................................................................................................. 28

III OSCILLATEURS À UN DDL........................................................................................................................... 29 III-1 GÉNÉRALITÉS ..................................................................................................................................................................................... 29 III-2 FORME CANONIQUE DE L’ÉQUATION ............................................................................................................................................. 31

III-2.1 Définitions ............................................................................................................................................................................... 31 III-2.2 Analogie électrique................................................................................................................................................................ 32

III-3 RÉGIME LIBRE ..................................................................................................................................................................................... 32 III-2.1 Aspect analytique................................................................................................................................................................... 32 III-2.2 Aspect expérimental ............................................................................................................................................................. 34

III-4 RÉGIME PERMANENT ......................................................................................................................................................................... 35 III-4.1 excitation harmonique.......................................................................................................................................................... 35 III-4.2 excitation périodique............................................................................................................................................................ 42

III-5 SOLUTION GÉNÉRALE ....................................................................................................................................................................... 44 III-5.1 variation des constantes....................................................................................................................................................... 45 III-5.2 Réponse indicielle .................................................................................................................................................................. 46 III-5.3 Réponse impulsionnelle........................................................................................................................................................ 46 III-5.3 Utilisation des réponses indicielle et impulsionnelle...................................................................................................... 47

NOTES PERSONNELLES.............................................................................................................................................................................. 48 IV OSCILLATEURS À N DDL.............................................................................................................................. 49

IV-1 FORME LINÉAIRE DES ÉQUATIONS ................................................................................................................................................... 49 IV-2 ÉTUDE DU SYSTÈME CONSERVATIF .................................................................................................................................................. 51

IV-2.1 Fréquences et modes propres............................................................................................................................................ 51 IV-2.2 Orthogonalité des modes propres. ................................................................................................................................... 52 IV-2.3 Coordonnées généralisées.................................................................................................................................................. 53 IV-2.4 Régime permanent harmonique......................................................................................................................................... 55 IV-2.5 Calcul pratique des valeurs propres.................................................................................................................................. 56

IV-3 ÉTUDE DES SYSTÈMES DISSIPATIFS .................................................................................................................................................... 59 IV-3.1 Système dissipatif à amortissement proportionnel ........................................................................................................ 59 IV-3.1 Système dissipatif à amortissement quelconque............................................................................................................. 60

IV-4 TROIS EXERCICES DE SYNTHÈSE....................................................................................................................................................... 61 NOTES PERSONNELLES.............................................................................................................................................................................. 63

V VIBRATIONS DES MILIEUX CONTINUS ..................................................................................................... 65 V-1 RÉGIME LIBRE ...................................................................................................................................................................................... 65

V-1.1 Problème aux valeurs propres ............................................................................................................................................ 66 V-1.2 Théorème d’expansion ......................................................................................................................................................... 66 V-1.3 Réponse à des conditions initiales non nulles .................................................................................................................. 68

V-I1 RÉGIME FORCÉ PAR L’ANALYSE MODALE......................................................................................................................................... 68 V-III MÉTHODES D'APPROXIMATION....................................................................................................................................................... 70

V-III.1 Méthode des résidus pondérés. ......................................................................................................................................... 71 V-III.2 Méthode variationnelles discrétisées. ............................................................................................................................... 73

NOTES PERSONNELLES.............................................................................................................................................................................. 75

I Introduction

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I Avant propos Les vibrations mécaniques apparaissent dans toutes les structures, elles ont une influence considérable sur le fonctionnement et la durée de vie de ces structures. Les excitations dynamiques, qui sont la cause des vibrations, sont nombreuses. Elles proviennent, soit de l’environnement extérieur (sol, atmosphère, eau, contacts ou chocs avec d’autres structures), soit de dispositifs internes mobiles (machines intégrées à la structure). Le plus souvent ces vibrations sont néfastes pour les structures (usure, rupture ou ruine) comme pour les personnes (bruits, confort, fatigue) est peuvent conduire à un danger pour la santé. Ces problèmes couramment posés à l’ingénieur doivent être pris en compte aussi bien au niveau de la conception que de la vérification des structures. Ils sont complexes, phénomènes non linéaires et excitations souvent aléatoires.

Dans le cadre de ce cours nous nous limiterons à l’étude des vibrations linéaires des systèmes continus et discrets. Ces bases théoriques permettront d’aborder dans d’autres cours les phénomènes plus complexes cités précédemment.

Le premier chapitre de ce cours fait le lien avec le cours de mécanique de première année, où vous avez vue et mis en application le Principe Fondamental de la Dynamique « PFD » pour effectuer la mise en équations d’un système de solides rigides « système mécanique discret ». Nous présentons ici le « PTV » Principe des Travaux Virtuels qui nous permet d’obtenir de façon systématique les équations du mouvement du système. Nous apprendrons à « linéariser » ces équations dans le cadre des petits mouvements autour d’une position d’équilibre. Et nous verrons comment appliquer ces deux principes aux milieux continus.

Le second chapitre est consacré aux vibrations des systèmes à un degré de liberté « ddl », la connaissance du comportement de l’oscillateur simple est fondamental pour la suite, il permet d’appréhender les différents types de mouvement « oscillations libres », « oscillations forcées », réponse à une excitation harmonique puis périodique. Les principales propriétés de ces réponses nous permettrons de présenter les méthodes expérimentales permettant d’évaluer les caractéristiques mécanique de l’oscillateur : sa masse, sa raideur, son amortissement.

Le troisième chapitre est la généralisation de ce qui vient d’être vue aux systèmes discrets ayant un nombre fini de degré de liberté. Nous présentons la méthode d’analyse modale qui permet de décomposer la réponse linéaire d’un système à N degrés de liberté sur la réponse de N oscillateurs à un degré de liberté.

Dans le dernier chapitre nous aborderons l’étude des vibrations des milieux continus, nous montrerons comment résoudre analytiquement les modèles monodimensionnels (vibrations des barres et poutres) en généralisant la méthode d’analyse modale. Puis sur ces mêmes modèles nous mettrons en place la notion d’approximation qui permet de se ramener à un système discret.

A la fin du cours les bases indispensables à la compréhension de la « méthode des éléments finis » auront été abordées. La méthode des éléments finis est une des principales méthodes à l’heure actuelle pour calculer et dimensionner les structures, elle permet d’aborder des problèmes complexes et peut être appliquée à différents domaines de la physique. Vous utiliserez cette méthode en deuxième année à l’Ecole central de Nantes.

Principales abréviations utilisées dans ce cours :

DDL Degré de Liberté MEF Méthode des éléments finis MMC Mécanique des Milieux Continus PFD Principe Fondamental de la Dynamique PTV Principe des Travaux Virtuels

Principales abréviations utilisées dans ce cours :

,xA Ax∂

=∂

de même , yA Ay∂

=∂

et ,zA Az

∂=

∂ etc …

2

,2 uuA A

u∂

=∂

ou 2

2

2 ,u

A Au∂

=∂

de même 2

,uvA A

u v∂

=∂ ∂

etc ….

Vibrations des systèmes mécaniques

6

dA Adt

= de même 2

2

d A Adt

=

Notations matricielles :

[ ] Pour une matrice quelconque

{ } pour un vecteur colonne,

{ }T< >= pour un vecteur ligne.

Quelques mots clefs par chapitre:

Chap.II : PFD - Mécanique analytique - PTV – MMC.

Chap.III : Vibrations - Oscillateurs simples - Régime libre et forcé - Diagramme de Nyquist - Diagramme de Bode - Série de Fourier.

Chap.IV : Analyse modale – Coordonnées généralisées – Matrice modale – Matrice admittance – Quotient de Rayleigh – Condition de Caughey – Transformation de Duncan.

Chap.V : Fonctions admissibles – fonctions de comparaison – Problème auto-adjoint – Théorème d’expansion.

Site Web :

https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/vibra/vibra.htm

II Mise en équations d’un système mécanique

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Ce chapitre présente les deux principes qui permettent d’effectuer la mise en équations des systèmes mécanique. Nous nous attacherons à l’équivalence de ces principes, mais aussi à ce qui en fait la différence dans la mise en œuvre en fonction des objectifs de l’étude et des méthodes de résolution que l’on souhaite utiliser. Bien entendu nous restons dans le cadre de la mécanique classique admettant :

• que les propriétés du référentiel espace-temps sont identiques pour tout observateur, • qu'à tout corps matériel on peut associer une masse (nombre positif), • et que les actions mécaniques peuvent être modélisées par un champ de vecteurs liés.

Le Principe Fondamental de la Dynamique présenté dans le cours de mécanique nous fournit des relations vectorielles entre le torseur des efforts extérieurs appliqués au système et sa quantité d’accélération par rapport à un repère supposé galiléen.

PFD : { } { }/ / A

ext Rg ARg t F maΣ Σ∃ ∀Σ ∀ =

La principale difficulté d’application du PFD est de déterminer les systèmes et les directions privilégiés qui conduisent aux équations principales du problème. Pour un système matériel complexe il est difficile d’obtenir les équations du mouvement car il faut faire apparaître un nombre important d’inconnues secondaires correspondants aux efforts de liaison. La mécanique analytique, que nous allons aborder dans ce chapitre permet d’obtenir de façon systématique les équations principales du problème. Basée sur un Principes Variationnel ce principe utilise les grandeurs scalaires que sont l’énergie cinétique, l’énergie potentielle, et le travail virtuel des efforts appliqués au système.

II-1 Rappels

II-1.1 Les actions mécaniques Les actions mécaniques peuvent être classifiées en :

Efforts donnés : caractérisés par un torseur noté { }dF

On y trouve les champs de force (volume), ainsi que les pressions supposées connues pouvant s’exercer sur une partie de la frontière du domaine.

Efforts inconnus : caractérisés par un torseur noté { }iF

Ces efforts sont des inconnues du problème, ils correspondent aux liaisons mécaniques modélisées par des déplacements ou des vitesses imposées, ces liaisons sont appelées « liaisons cinématiques ».

Classification essentielle, elle conditionne notre analyse du problème mécanique.

Une seconde classification ‘‘théorique’’ vient s’y superposer qui correspond à la formulation du PFD. Nous devons donc pouvoir différentier les efforts intérieurs et extérieurs à un système matériel.

Efforts intérieurs : caractérisés par un torseur noté { }intF

Le torseur des efforts intérieurs qui caractérise toutes les actions mécaniques qui agissent entre les différents éléments matériels du système considéré.

Efforts extérieurs : caractérisés par un torseur noté { }extF

Le torseur des efforts extérieurs qui caractérise toutes les actions mécaniques qui proviennent d’éléments extérieurs au système matériel considéré.


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II-1.2 Le paramétrage La toute première phase d’analyse d’un problème mécanique consiste à pouvoir décrire les mouvements du système matériel par rapport à un espace d’observation donné. Cette analyse conduira au paramétrage des mouvements du système.

Pour un système matériel constitué d’un nombre fini de solides supposés indéformables, La position du système considéré dépend d’un nombre fini de paramètres, on parle de systèmes discrets.

( , )iP OP P q t∀ ∈Σ =

L’espace de configuration du système discret est l’ensemble des n valeurs des paramètres iq à un instant τ

Pour un milieu continu il faut prendre en compte sa déformation, la position actuelle des particules sera définie par rapport à sa position initiale, description Lagrangienne des mouvements. On parle de transformation du milieu continu.

( , )P x P X t∀ ∈Σ =

La transformation P est bijective elle définie complètement les mouvements du système matériel.

II-2 Principe des Travaux Virtuels

Dans la littérature vous trouverez deux présentations de la mécanique analytique

Principe de d’Alembert - Lagrange : c’est un principe variationnel, l’état du système à un instant donné est pris comme référence et on considère l’influence des variations des paramètres du mouvement.

Principe d’Hamilton : il repose sur une fonctionnelle, en mécanique l’énergie du système. C'est un principe intégral.

Dans ce cours nous présentons le Principe des travaux virtuels ou Principe de d’Alembert. Il faut savoir qu’il y a équivalence formelle entre les trois principes (Newton, d’Alembert, et Hamilton), ils conduisent aux mêmes équations, ce n’est que le point de vue (point de départ de la formulation) qui diffère.

Nous profiterons de ce chapitre pour revoir les notions d’énergie, de puissance, et de travail présentées l’an passé.

II-2.1 Énoncé du PTV Pour bien ancrer l’équivalence qui existe entre les principes, nous retenons une énoncée similaire à celle utilisée pour le principe fondamental de la dynamique.

PTV : ( ) ( / ) RgRg t q W Aδ δ δΣ Σ∃ ∀Σ ∀ ∀ =

« Il existe des référentiels privilégiés dits référentiels galiléens, tels que quelque soit le système matériel considéré, à tout instant et pour tout déplacement virtuel, le travail virtuel des efforts intérieurs et extérieurs appliqués à ce système est égal au travail virtuel des quantités d’accélération du système. »

Ce principe, posé comme point de départ, peut être appliqué à des solides, des liquides ou des gaz.

II-2.2 Équivalence PTV - PFD Cette équivalence est basée sur le théorème mathématique suivant :

0 . . P P A P B A B∀ ≠ = ⇔ =


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Partons du PFD appliqué à un élément de matière dmμ = centré en P subissant des actions

mécaniques de résultante ( )Pdf .

Le PFD ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . .g gP P P P Pdf dm a P P df P a dmδ δ δ= ⇔ ∀ =

Intégrons cette dernière relation sur le domaine occupé par la matière Nous obtenons :

( )

( ) ( / )( / )

( )

( )

.

.

DRg

Rg gD

P

P

W f P dv

P W A avecA a P dm

δ δ

δ δ δδ δ

Σ

Σ ΣΣ

⎧ =⎪⎪∀ = ⎨

=⎪⎪⎩

∫

∫

C’est le Théorème de d’Alembert ou Principe des Travaux Virtuels

II-2.3 Le Théorème de l’énergie Appliquons maintenant le PTV en prenant comme champ de déplacement virtuel particulier, le champ des vitesses réelles des points du système mécanique considéré.

Pour ( )g PP Vδ = le PTV ( ) ( ) ( ) ( ) . .g g gD D

P P P Pf V dv a V dm=∫ ∫

Soit ( ) ( ) .f g gD

P PP a V dm= ∫

( )( ) ( ) .gf g g

D

P Pd

P V V dmdt

= ∫

( ) ( )2( / )( )

12f g c Rg

D

Pd dP V dm Edt dt Σ

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠∫

Nous voyons ici le théorème de l’énergie comme un cas particulier du PTV.

II-3 Mise en équations des systèmes discrets

Les équations de Lagrange sont la traduction du Principe des Travaux Virtuels dans le cas d’un système discret. Précisons tout d’abord la notion de déplacement virtuel.

II-3.1 Déplacements virtuels - définitions Pour un système discret la position de tout point, dépend d’un nombre fini de paramètres.

( , )iP OP P q t∀ ∈Σ =

Le déplacement virtuel d’un point P est défini par : ii i

OPP qq

δ δ∂=

∂∑

Remarques :

Le terme OPt

∂∂

ne doit pas être calculé car le système matériel est considéré à tout instant.

Pour calculer des déplacements virtuels, vous pouvez faire l’analogie avec un calcul de vitesse.

Le système étant à masse conservative nous pouvons permuter l’intégration et la dérivation.


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Exemples :

La position d’un point A étant donné par : ( )cos( ) sin to oOA a t x b zω θ= +

Son déplacement virtuel sera : cos oA b zδ θ δθ=

Pour un solide repéré par les angles d’Euler, le vecteur rotation virtuelle du solide est définie par :

sincos

s o

v

z n zδθ

δθ δψ δθ δϕ δψ θδψ θ δϕ

⎧ ⎫⎪ ⎪= + + = ⎨ ⎬⎪ ⎪+⎩ ⎭

Champ virtuel rigidifiant

Un champ de déplacement virtuel est dit rigidifiant sur (S), s’il respecte la notion de solide rigide. Un champ virtuel rigidifiant est un torseur, nous avons :

( , ) ( ) sA B S A B BAδ δ δθ∀ ∈ = + Λ

En mécanique, nous utiliserons des champs rigidifiant par sous domaines, chaque sous domaine étant un solide du système mécanique

Conséquence :

Le travail virtuel des efforts intérieurs pour tout champ de déplacements virtuels rigidifiant est nul. En effet l’hypothèse de solide indéformable revient à négliger les déformations du solide, ce qui du point de vue énergétique revient à considérer qu’il n’y a pas d’énergie de déformation.

Champ virtuel cinématiquement admissible

Un champ de déplacement virtuel est dit compatible ou cinématiquement admissible s’il satisfait toutes les liaisons cinématiques telles quelles existent à l’instant τ.

Exemple :

Soit un déplacement imposé en A : ( ) cos( ) ou A a t xω=

Le champ de déplacement virtuel est cinématiquement admissible si ( ) 0u Aδ =

II-3.2 Équations de Lagrange

Pour un système discret le travail virtuel d’un champ de force )(Pf est défini par :

( ) ( )iD

avec . . P Pi iiiD

OPW f P dv q f dvq

δ δ φ δ φ ∂= = =

∂∑∫ ∫

Le PTV est alors équivalent à écrire :

(1, ) c ci

i i

E Edi ndt q q

φ⎛ ⎞∂ ∂

∀ ∈ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Ce sont les ‘‘n’’ équations de Lagrange du système matériel considéré.

Démonstration :

La démonstration est basée sur l’identité de Lagrange, qui consiste à exprimer le travail virtuel des quantités d’accélération en fonction de l’énergie cinétique du système.


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( / ) ( ) ( ). . iRg g g

iiD D

P PPA a P dm a q dmq

δ δ δΣ∂

= =∂∑∫ ∫

Soit : ( / ) ( ) . iRg i i g

ii D

PPA A q avec A a dmq

δ δΣ∂

= =∂∑ ∫

Pour chaque terme

( )( ) ( ) . . gi g g

i iD D

P PdP PA a dm V dm

q dt q∂ ∂

= =∂ ∂∫ ∫

( ) ( ) . . g gi g g

i iD D

P Pd dP PA V dm V dmdt q dt q

⎛ ⎞∂ ∂= − ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫

Or

( )( )( )

gg i

i i ii

g g

i i

PP

VP P PV qq t q q

d d PPdt q q dt

⎧ ∂∂ ∂ ∂⎪ = + ⇒ =∂ ∂ ∂ ∂⎪⎪

⎨⎛ ⎞⎛ ⎞⎪ ∂ ∂

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎠⎩

∑

Ce n’est pas aussi évident que cela alors prenez le temps de comprendre les dérivations partielles.

D’où ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) . . g gi g g

i iD D

P PP P

V VdA V dm V dmdt q q

∂ ∂= −

∂ ∂∫ ∫

( ) ( )2 2( ) ( )

1 1 2 2i g g

i iD D

P PdA V dm V dmdt q q

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∫ ∫

Soit ( / ) ( / ) c Rg c Rg

ii i

E EdAdt q q

Σ Σ∂ ∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

En écrivant ( / )RgA Wδ δΣ = nous obtenons les équations de Lagrange.

II-3.3 Forme pratique des équations de Lagrange De façon à faire apparaître explicitement les inconnues dans les équations, nous allons détailler le second terme qui correspond au travail virtuel des efforts (intérieurs et extérieurs). Regroupons les efforts, en donnés et inconnus (Les efforts inconnus sont associés aux liaisons cinématiques).

De plus pour simplifier les calculs, nous utilisons la notion d’énergie potentielle pour les efforts donnés dont on en connaît l’expression de l’énergie potentielle (poids, ressort).

On pose : d iW W Wδ δ δ= + avec

( )

( ) i

.

.

Pd d i iiiD

Pi i iiD

EpW f P dv D qq

W f P dv L q

δ δ δ

δ δ δ

⎧ ⎛ ⎞∂= = −⎪ ⎜ ⎟∂⎪ ⎝ ⎠⎨

⎪ = =⎪⎩

∑∫

∑∫

Rappels sur les énergies potentielles

Champ de pesanteur : ( ) . p mg oE Mg OG z Cte= +

Le système étant à masse conservative nous pouvons permuter l’intégration et la dérivation.


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Ressort (traction k - torsion C) : 2)(

2)( )(

21)(

21

oCpokp CEkE ααλλ −=−=

Travail virtuel des efforts appliqués à un solide rigide (S)

( )( ) ( ). . P P sS S

W f P dv f A AP dv A Sδ δ δ δθ= = + Λ ∀ ∈∫ ∫

( ) ( ) ( ). . . .P P As sf fS S

W A f dv AP f dv A R Mδ δ δθ δ δθ= + Λ = +∫ ∫

Le calcul pratique du travail virtuel se fait donc à partir des éléments de réduction des torseurs des efforts appliqués au solide.

Forme développée des équations de Lagrange :

c ci i

i i i

E Ed Epi D Ldt q q q⎛ ⎞∂ ∂ ∂

∀ − + = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

C’est cette forme qu’il faut connaître, et savoir utiliser pour cela il est bon de se rappeler l’origine de chaque terme.

Travail virtuel des efforts de liaison

Le travail virtuel des efforts de liaison entre deux solides S1 et S2 est défini par :

2/1 2 /11 2 1 2 1 2 ( ) . . S S S S S S AW F A Mδ δ δθ↔ → →= +

Le travail virtuel d’une liaison est indépendant du repère d’observation

Propriété

Si le champ des déplacements virtuels respecte une liaison géométrique supposée parfaite, alors le travail virtuel des efforts de liaison est nul.

Cette propriété est utilisée comme définition mathématique d’une liaison parfaite.

Conséquence :

Si le champ des déplacements virtuels respecte toutes les liaisons du système mécanique, et que ces liaisons sont supposées parfaites.

c ci

i i i

E Ed Epi Ddt q q q⎛ ⎞∂ ∂ ∂

∀ − + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Les ''n'' équations de Lagrange sont les ''n'' équations du mouvement.

Vous réalisez sûrement tout l’intérêt de cette conséquence du point de vue pratique, la méthode de Lagrange peut conduire directement aux équations du mouvement

Corollaire

Pour toute liaison non parfaite ou non respectée par le paramétrage, les équations de Lagrange font apparaître des inconnues supplémentaires (termes en Li) associées aux efforts de liaison.

Pour pouvoir résoudre, il faut associer à ces inconnues supplémentaires, soit les équations des liaisons non respectées, soit des lois permettant de modéliser le comportement non parfait de la liaison (exemple : les lois de frottement).

II-3.4 Analyse d’un problème par les équations de Lagrange Nous avons tous les éléments mathématiques permettant d'appliquer le Principe des Travaux Virtuel. Voyons maintenant la méthodologie à appliquer pour aborder un problème de mécanique industrielle. Avant tout, il faut que les objectifs de l’étude soient bien définis.

Prend en compte les actions de 1 2 et les actions de 2 1


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Lors de l’analyse, le choix du paramétrage défini le problème virtuel qui permettra d’obtenir de façon systématique les équations principales du problème par la méthode de Lagrange. Cas ou les liaisons sont toutes supposées parfaites :

a- pour obtenir les ‘’n’’ équations du mouvement • on utilise un paramétrage qui respecte toutes les liaisons.

« Le problème virtuel traité est équivalent au problème réel »

b- pour obtenir les ‘’n’’ équations du mouvement et ‘‘p’’ composantes d’efforts de liaison on utilise un paramétrage qui ne respecte pas les liaisons dans la directions des ‘‘p’’

composantes cherchées (forces ou moments). « On traite un problème virtuel différent du problème réel »

Aux ’’n+p’’ paramètres du problème virtuel, viennent s’ajouter ’’p’’ inconnues efforts de liaison. Pour ’’n+p’’ équations de Lagrange et ’’p’’ équations de liaison qu’il faudra respecter pour traiter le problème réel.

Si certaines liaisons ne sont pas parfaites :

Les ’’n’’ équations du mouvement feront apparaître des efforts de liaison inconnus qui seront associés à des modèles donnant un nombre identique de relations. Cependant pour résoudre de tels problèmes dans une approche de type Lagrange il est généralement nécessaire de faire apparaître dans les équations de Lagrange les composantes d’effort utiles à l’écriture de ces relations. Nous sommes donc ramené au cas b précédent.

« Application : problèmes de frottement »

Si certaines liaisons conduisent à un paramétrage trop complexe.

Pour l’étude de mécanismes possédant une ou plusieurs boucles fermées (chaînes cinématiques complexes) la prise en compte des liaisons cinématiques de fermeture peut rendre inextricable les calculs de cinématique et de cinétique. Il est alors intéressant de ne pas tenir compte de ces équations lors du paramétrage.

« On traite un problème virtuel différent du problème réel »

La méthode des multiplicateurs de Lagrange permet d’exprimer directement le travail virtuel de ces liaisons à partir des équations de fermeture sans faire apparaître de bilan d’efforts. Les équations de Lagrange et les équations de liaison fournissent un système dont on peut éliminer les inconnues « multiplicateurs » pour obtenir les équations du mouvement.

Méthodologie

1. Analyse : choix du paramétrage en fonction des objectifs du problème. ‘’Problème réel’’ ‘’n’’ équations du mouvement (toutes les liaisons sont respectées) ‘’Problème virtuel’’ ‘’n+p’’ équations de Lagrange pour ‘’n+2p’’ inconnues ‘’p’’ inconnues sont des multiplicateurs ou efforts de liaison

2. Calcul des Énergies (Ec et Ep) et du travail virtuel des autres efforts Prise en compte des actionneurs Prise en compte des ‘’p’’ inconnues associées aux liaisons non respectées Prise en compte des liaisons non parfaites

3. Écriture des équations de Lagrange

4. Mise en forme et résolution Écriture des ‘’p’’ équations de liaisons cinématiques Écriture des lois modélisant les liaisons non parfaites (frottement) Mise en forme et linéarisation dans le cadre des petits mouvements

Application en mécanique du solide

Sur un problème simple de mécanique nous allons mettre en œuvre le PTV pour différents types de problèmes, c'est-à-dire en modifiant les objectifs de chaque étude. Notre but est de montrer comment les équations de Lagrange correctement utilisées permettent d’obtenir directement les informations cherchées.


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Considérons un système mécanique constitué d'un cerceau de rayon a, de masse M et d'un point matériel P de masse m. La rotation du cerceau par rapport au repère suposé galiléen est assurée par un pivot parfait d'axe

),( ozO . Le point matériel se déplace sans frottement sur le cerceau (C) .

Le champ de pesanteur est défini par ozgg −=

Paramétrage

Mvt de (C) / Ro : liaison pivot ),( ozO

un paramètre oz/ψ

Mvt de P / (C) : liaison linéaire annulaire un paramètre n/θ

liée à C( )ooo zyxb ,,0

oz/ψ( )ozunn ,,

n/θ( )zvnv ,,

Définition des bases

Le mouvement du système dépend de deux paramètres indépendantsψ etθ .

C’est notre point de départ, Il est indispensable de bien paramétrer le problème réel

a

xo

zo

yo

(C)

(P)

A

O

z

C

g

Pb1 : L’objectif est d’obtenir les équations du mouvement

Dans ce problème nous supposerons qu’un couple moteur donné est appliqué sur le cerceau. Pour obtenir les équations du mouvement nous utilisons des déplacements virtuels compatibles avec les liaisons, le problème virtuel est donc équivalent au problème réel.

Nos inconnues principales sont : ,ψ θ

Calculs

Énergie cinétique de (Σ) = (P+C)

)(2 ),(.)/(2 Poococo VmCCJREc +ΩΩ=Σ

( )2222

) sin()(2

)/(2 ψθθψ aamMaREc o ++=Σ

D’où 222222

sin2

)/(2 θψθ mamaMaREc o +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=Σ

Énergie potentielle de (Σ) : ( ) . cosp oE Cte mg OP z mga cteθΣ = + = +

Travail virtuel des efforts

Efforts donné : le couple moteur .D M CTδ δθ δψ= Γ = Γ

Efforts de liaison : les liaisons sont supposées parfaites, et elles sont respectées par le paramétrage 0=LTδ

Équations de Lagrange : 2

2 2( sin )2

d Mal madtψ θ ψ⎛ ⎞

⇒ + = Γ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 0sincossin 222 =−−⇒ θψθθθθ mgamamal

Le couple moteur étant une donnée du problème ces équations sont les équations du mouvement du système. Nous avons répondu aux objectifs du problème.

Nous ne détaillons pas les calculs, reportez vous à votre cours de mécanique de l’an passé.

sin( )

0o

v

aV P a

ψ θθ

⎧ ⎫⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭


15

Bien entendu nous aurions pu obtenir ces équations par le PFD. Ce qui nécessitait de faire un bilan des efforts de liaisons, puis de justifier pour le système complet et pour le point matériel les deux équations suivantes. Que nous pouvons identifier :

( )

( , ).

. .o o

o oP

l O z

l m v mg z vψ

θ

δ

γ

⇔ Σ = Γ

⇔ = −

PB2 : Calcul d’une composante d’effort de liaison

Nous adoptons ici un point de vue ingénieur en fixant des objectifs précis à l’étude, pour cela précisons d’abord le torseur des efforts de liaison.

Les actions de liaison de la base sur C sont modélisées par un torseur : ( )

. 0

o

oO

R qcqM z⎧⎪⎨

=⎪⎩

Les actions de liaison de C sur P sont modélisées par une résultante : zNnTR PC +=→

Fixons maintenant nos objectifs

Nous cherchons les équations du mouvement (indispensable pour pouvoir résoudre) et la composante N des actions de liaison de C sur P.

Pour faire apparaître la composante d’effort cherchée, nous utilisons un déplacement virtuel qui écarte P de sa position réelle dans la direction z . Le problème virtuel est alors défini par le paramétrage suivant :

Les 2 paramètres ( ,ψ θ ) du problème réel

et ρ tel que CP zρ= Le problème virtuel est représenté ici sur la figure ci-contre, en pratique cette figure n’est pas nécessaire car seul le problème réel nous intéresse vraiment.

Notez que pour 0=δρ , la liaison a=ρ est respectée. (C)

z

C

δρ(P)

δρρ += a

Calculs

Énergie cinétique de (Σ) = (P+C)

( )22222

) sin()(2

)/(2 ρψθρθρψ +++=Σ mMaREc o

D’où 2

2 2 2 2 2 22 ( / ) sin2o

MaEc R m m mρ θ ψ ρ θ ρ⎛ ⎞

Σ = + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

Énergie potentielle de (Σ) : ctemgEp +=Σ θρ cos)(

Travail virtuel des efforts Efforts donné : le couple moteur DTδ δψ= Γ

Efforts de liaison : La liaison en O est supposée parfaite et elle est respectée par le paramétrage 0=LoTδ

En effet ( ). . Lo o oOT R O M zδ δ δψ= +

Or 0Oδ = et ( ) oOM z⊥ 0=LoTδ

La liaison C-P n'est pas respectée donc le travail virtuel est non nul

δρδρδδδδ NzRPRPRPRT PCCPPCCoCPPoPCPC ===+= →→→→↔ ....

Pivot parfait d'axe ( , )oO z

Pas de frottement entre C-P

Les calculs sont faits pour le problème virtuel c'est-

à-dire avec les 3 paramètres ( , ,ψ θ ρ )

(C)

PCCP RR →→ −=z

C

δρ(P)

PcR →

PC

PP


16

Pour ce calcul vous pouvez penser puissance de la liaison.

Remarques :

Le calcul précédent est basé sur une analyse physique qui consiste à modéliser la liaison par le torseur des efforts de liaison et à exprimer le travail virtuel de ces efforts.

L'analyse mathématique basée sur la méthode des multiplicateurs de Lagrange consiste à écrire : C PT Lδ λδ λδρ↔ = = le multiplicateur de Lagrange λ peut être identifié à N Cette méthode est souvent plus rapide à mettre en œuvre, car elle ne nécessite pas de faire l’analyse physique des liaisons.

Pour 0=δρ , on retrouve que toute liaison parfaite respectée est à travail virtuel nul 0=↔PCTδ .

Équations de Lagrange : 2

2 2( sin )2

d Mal mdtψ ρ θ ψ⎛ ⎞

⇒ + = Γ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )2 2 2sin cos sin 0dl m m mgdtθ ρ θ ρ θ θ ψ ρ θ⇒ − − =

( ) Nmgmmml =++−⇒ θψθρθρρρ cossin 222

Soit 3 équations pour 4 inconnues ( , , , Nψ θ ρ )

Pour résoudre il faut se ramener au problème réel en tenant compte de l'équation de liaison a=ρ .

Pour a=ρ on retrouve les équations du mouvement ( θψ ll , ),

et l'effort ( )222 sincos ψθθθ +−= mamgN

Nous répondons aux objectifs du problème, sans rencontrer de difficultés autres que les calculs.

Test :

Quels paramétrages utilisez vous pour :

a- Calculer la composante : .o oR z

b- Calculer l’effort : oR

c- Calculer la composante : .o oM n

Réponses : a ( , , Ozψ θ ) - b ( , , , ,O O Ox y zψ θ ) - c ( , ,cψ θ θ )

PB3 : La rotation du cerceau est imposée

Pour imposer la vitesse de rotation du cerceau il faut un moteur, et l’ingénieur cherchera à calculer la valeur du couple moteur permettant d’imposer les mouvements du système mécanique (robotique).

Pour obtenir le couple moteur nous traitons le problème virtuel à 2 paramètres ( θψ , )

La liaison dψ ψ= n’est pas respectée.

Le travail virtuel de cette liaison est non nul et vaut δψδ Γ=ΓT

Toutes les autres liaisons, supposées parfaites, sont respectées donc à travail virtuel nul, et les expressions des énergies sont celles calculées au PB1.

D'où 2

2 2( sin )2

d Mal madtψ θ ψ⎛ ⎞

⇒ + = Γ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 2 2sin cos sin 0l ma ma mgaθ θ θ θ ψ θ⇒ − − =

PFD :

( )2 2 2( ). sino P z aγ θ θψ= − +

Ici le couple moteur Γ est une inconnue du problème

2 équations pour 3 inconnues.


17

Dans le cas ou Cte==ωψ on trouve :

L’équation du mouvement : ( )2 2 2sin cos sin 0ma ma mgaθ θ θ ω θ− − =

Et le couple moteur θθθω cossin2 2ma=Γ Pour chacun des problèmes, l’analyse par les équations de Lagrange nous donne directement les résultats cherchés si le problème est correctement posé.

Application : Des exercices corrigés sont proposé dans le chapitre 7 du cours de mécanique sur le site : https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/meca/meca.htm . Ils vous permettront d’assimiler les notions présentées dans ce paragraphe sur les équations de Lagrange. Dans le cadre de ce cours les corrigés des exercices suivants sont sur le site : https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/Vibra/vibra.htm ces exercices sont plus axés sur la mise en équations des problèmes de vibrations.

Exercice 1I-1 : Machine d’Atwood La machine d’Atwood schématisée par la figure ci-contre est constituée de deux masses supposées ponctuelles m1 et m2 reliées entre elles par un fil parfait (fil sans masse et inextensible).

Le fil passe dans une poulie de rayon R, montée sur un pivot parfait d’axe ),( ozO , on note I le moment d’inertie de la poulie par rapport à l’axe

de rotation. Nous supposons que le contact entre le fil et la poulie à lieu sans glissement.

La masse m1 est rappelée vers sa position d’équilibre par un ressort de raideur K. Une force cosF tω est appliquée verticalement à la masse m2 les deux masses sont supposées guidées en translation. On choisira comme origine des déplacements la position à vide du ressort. Le champ de pesanteur est défini par og g y= −

cosF tω

xo

yo

O

g

(m2)

(m1)

A – Recherche des équations du mouvement • Justifier votre choix de paramétrage. • Exprimer les équations de Lagrange. • En déduire la position initiale du système

B – Tensions dans le fil On veut déterminer les tensions dans les deux brins du fil

• Justifier votre choix de paramétrage. • Exprimer les équations de Lagrange.

a. Utiliser un bilan d’effort pour exprimer le travail virtuel des liaisons. b. Utiliser les multiplicateurs de Lagrange, et analyser les expressions.

• En déduire les tensions dans le fils et retrouver l’équation du mouvement en θ

Annexe Retrouver en les identifiant ces équations à partir du Principe Fondamental de la Dynamique.


18

Exercice II-2 : Position d’équilibre, stabilité Considérons une tige de masse m de longueur a. Cette tige articulée en O, est reliée au bâtit par un ressort de torsion de raideur C non contraint pour 0θ = .

Déterminer la (les) position(s) d’équilibre, et les conditions de stabilité de ces positions.

θ

c

g

Cette même tige est maintenant reliée au bâtit par un ressort linéaire de raideur k de longueur à vide o .

A l’équilibre 0θ = la longueur du ressort est e

Écrivez l’équation des petits mouvements autour de cette position, en déduire la condition de stabilité de la position d’équilibre.

θ g

k

Exercice II-3 : Linéarisation avec vitesse de rotation importante Considérons un disque D tournant à une vitesse angulaire constante ω (arbre du rotor). Une des ailettes de la turbine est modélisée par une tige T de masse m de longueur 2a. Elle est ramenée vers sa position initiale par un ressort de torsion de raideur C (élasticité de la liaison).

Déterminez l’équation des petits mouvements de la tige.

O xo

gDωyo

θT

c

x1

Exercice II-4 : Oscillations libres dues à une perte de masse. Considérons le système ci contre constitué de deux tiges de longueurs 2a et a, et d’une charge en P de masse m. On négligera la masse des tiges devant celle de la charge.

Les liaisons en A et B sont des pivots parfaits auxquels sont adjoints des ressorts de torsion de raideur respective 3C et C.

Ces ressorts sont non contraints pour 1 2 0θ θ= = .

1- Effectuez la mise en équations dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvements, déterminer la position d’équilibre statique 1 2( , )e eθ θ

xo

A

B

2a

a

c

3c

θ1

m

θ2

yo

g

2- Donnez la condition à satisfaire pour vérifier l’hypothèse des petits mouvements. En déduire sous forme matricielle l’équation des petits mouvements.

3- La moitié de la masse m se détache brusquement alors que le système était à l’équilibre. Déterminez les nouvelles équations du mouvement.


19

II-4 Mise en équations des milieux continus

L’étude dynamique des structures déformables fait appel à la mécanique des milieux continus, les relations entre les quatre champs inconnus de la « MMC » peuvent être schématisées par la figure ci-dessous.

Relationsgéométriques

Relationsgéométriques ( )f uε =

T nσ=

( )E ε( )σΣ

( )F f ( )U u

< Lois de comportement >

< Principe de la dynamique >

( )Dσ ε=

Lois de comportementgénéralisée

Champs vectoriels Champs tensoriels

u : Déplacements

f : Forces ε : Déformations

σ : Contraintes

Nous allons débuter ce paragraphe par quelques rappels de Mécanique des Milieux Continus « MMC » pour redonner la forme générale des différentes relations évoquées par la figure précédente. Les exercices d’application consisteront à écrire ces relations dans le cas particulier des deux modèles simplifiés, barres et poutres. Ces deux modèles, importants en mécanique des structures, nous permettront dans le chapitre V d’établir des solutions analytiques pour des problèmes de vibrations, et de présenter sur des exemples simples les méthodes d’approximation basées sur la méthode des résidus pondérés.

II-4.1 Rappels de MMC Seules les notions indispensables à la lecture de ce cours seront abordées, pour compléter vos connaissances ou approfondir ces notions reportez vous à la bibliographie en fin de chapitre

Déformations

a - Description des mouvements

Soit oD le domaine occupé par le milieu à l’instant initial, et D le domaine occupé à l’instant.

Tout point de oD sera représenté par X : Coordonnées Lagrangiennes

Tout point de D sera représenté par x : Coordonnées Eulériennes

Les mouvements du milieu sont déterminés si l’on connaît l’application f qui met en correspondance biunivoque ces deux domaines.

On parle de transformation du milieu continu. : ( , )P D x f X t∀ ∈ = avec f bijective

oD

( , )x X t

Po

X

D

P( , )U X t

Référentiel

En pratique la notion de déplacement est souvent utilisée pour définir la transformation du milieu.

( , )P D x X U X t∀ ∈ = +


20

b - Description des déformations

L’application linéaire tangente dite gradient de la transformation fait correspondre au vecteur dX le vecteur dx après déformation

dx FdX= F est définie par ( , )( , ) x X tF X tX

∂=

∂ sa matrice Jacobienne.

Propriétés :

Le tenseur F permet de calculer la variation de volume det( ) odV F dV JdV= =

det( )J F= est le Jacobien de la transformation.

La conservation de la masse oJ

ρρ =

Exemple : en coordonnée cartésienne dans le plan

1 1

1 2

2 2

1 2

x xX X

Fx xX X

∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥=∂ ∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

Calculons maintenant la variation de distance de deux points voisins à l’instant initial

. .dx dx dX CdX= avec T

C F F= tenseur des dilatations de Cauchy - Green

Ce tenseur est symétrique défini positif, et si le milieu ne subit pas de déformations 1C =

Le tenseur des déformations de Green Lagrange E est défini par :

( )1 . . .2

dx dx dX dX dX EdX− = ( )1 11 12 2

TE C F F⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Si l’on utilise le champ de déplacement pour définir ce tenseur on obtient la relation suivante :

2 2

T TH H H HE +

= + avec ( , )( )X

U X tH grad UX

∂= =

∂

En petites perturbations :

Les composantes du tenseur gradient des déplacements H sont des termes du premier ordre. La forme linéarisée du tenseur des déformations est donc :

2

TH Hε +

=

Attention : Petit déplacement petite déformation, mais la réciproque est fausse

Propriétés en petites déformations :

Les composantes du tenseur des déformations de Green Lagrange peuvent s’interpréter physiquement, soit ( 1 2 3, ,e e e ) une base orthonormée directe, la matrice des déformations exprimée sur cette base est de la

forme

Forme pratique


21

11 12 13

12 22 23

13 23 33

ε ε εε ε ε ε

ε ε ε

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

iiε : variation de longueur de ie

2 ijε θ= : glissement de l’angle ( ,i je e )

Si 0iiε = ' 1i ie e= = si 0ijε = ' 'i je e⊥

f

Référentiel1e

2e

1'e

2'e

2π θ−

Contraintes

Il existe trois manières de présenter « d’introduire » la notion de contrainte. Nous retenons ici l’approche « physique » qui consiste à isoler par la pensée un petit élément de matière pour faire apparaître les efforts de cohésion dans la matière. En écrivant les équations d’équilibre déduites du Principe Fondamental de la Dynamique on montre que les tensions exercées sur les facettes de l’élément de matière peuvent s’exprimer en fonction d’un tenseur (matrice).

Le tenseur des contraintes de Cauchy Cσ est défini par :

n CT nσ=

T représente la tension sur l’élément de surface de normale n , c’est une pression. n

nT

Propriétés :

Le tenseur des contraintes est symétrique, il est défini sur l’état déformé, et est représenté sur une base orthonormée directe ( 1 2 3, ,e e e ) par une matrice.

11 12 13

12 22 23

13 23 33

C

σ σ σσ σ σ σ

σ σ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

La signification physique des coefficients de cette matrice est donnée par la figure ci-contre.

Le tenseur des contraintes peut s’exprimer sur l’état non déformé, Kσ est le tenseur des contraintes de

Kirchhoff, la transformation linéaire tangente relie ces deux tenseurs.

En petites perturbations ces deux tenseurs sont confondus, et on note : C Kσ σ σ≅ ≅

Lois de comportement

Les lois de comportement caractérisent le milieu matériel considéré, ce sont des relations entre le tenseur des contraintes et celui des déformations. L’étude générale de ces relations est très délicate, nous nous limiterons dans le cadre de ce cours à l’élasticité linéaire en petites perturbations, dans ce cadre le champ des contraintes dépend linéairement des déformations (et pas de la manière dont s’est effectuée la transformation).

( ) f Dσ ε ε= = Si le milieu est homogène : la loi de comportement est identique en tout point. Si le milieu est isotrope : les propriétés sont identiques dans toutes les directions.

Pour un milieu élastique homogène isotrope, le comportement est décrit par les deux coefficients scalaires ( ,λ μ ) de Lamé.

( ) 1 2Trσ λ ε με= + Loi de Hooke


22

Les coefficients de Lamé ( ,λ μ ) s’expriment en fonction du module d’Young et du coefficient de

poisson ( ,E ν ), qui sont obtenus expérimentalement à partir d’un essai de traction (normalisé) sur une éprouvette du matériau.

(1 )(1 2 )

2(1 )EE

λ ν ν νμ ν= + −= +

et réciproquement : (3 2 ) ( )2( )

E μ λ μ λ μν λ λ μ= + += +

L’inverse de la loi de Hooke est : 1 1( ) ( ) 1f TrE Eν νε σ σ σ− +

= = − +

Remarque :

Pour un matériau donné, la forme pratique de la loi de comportement peut différer en fonction des hypothèses simplificatrices du modèle que l’on utilise pour écrire cette loi. Ces incompatibilités correspondent à des incohérences dans les hypothèses du modèle.

Prenons le modèle de l’essai de traction.

H1 : ( , ) ( , ) ou M t u x t x= ,xx xu uxε ∂= =∂ la déformation est donc purement axiale (faux)

l’écriture de la loi de Hooke donne des contraintes non nulles yyσ et zzσ

H2 : xxF

Aσ = l’état de contrainte est uni axial (incompatible avec ce qui précède)

l’inverse de la loi de Hooke donne le tenseur

1xx

Eσε ν

ν

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦

La déformation n’est plus purement axiale (ce qui est vrai)

Pourtant l’ingénieur utilise couramment les hypothèses « 1 et 2 » pour calculer les structures de type treillis, c’est ce que vous avez fait en résistance des matériaux. Les résultats seront satisfaisants si l’on reste dans le cadre des petites perturbations et que l’on cherche des informations globales sur la résistance de la structure.

II-4.2 Écriture du PFD

d

Référentiel

P Tdsfdvsur chaque face

D

Isolons un petit élément de matière à l’intérieur du domaine. Les efforts agissant sur cet élément sont :

f les forces de volume (pesanteur)

T les forces de cohésion sur la frontière de l’élément

L’élément est soumis à une quantité d’accélération ( ) ( )P Pa dm

Le Principe Fondamental de la Dynamique appliqué à cet élément s’écrit :

( ) ( ) ( )P P P

d d d

a dm f dv Tds∂

= +∫ ∫ ∫ avec T nσ=

( ) ( ) ( ) ( )P P P

d d d

a dm f dv div dvσ= +∫ ∫ ∫

Soit ( )( ) ( ) 0P

d

a div f dvρ σ− − =∫

Ceci étant vrai pour tout élément de matière du domaine, nous obtenons en tout point l’équation locale déduite du PFD :

Th d’Ostrogradsky

( ) S V

A n ds div A dv=∫ ∫


23

( ) ( ) ( )( ) 0P P PP D a div fρ σ∀ ∈ − − =

Pour résoudre il faut utiliser :

2

TH Hε +

= avec ( )XH grad U=

( ) 1 2Trσ λ ε με= +

Nous obtenons une équation de la forme : ( )( ) ( ) Pu u f+ =M L

Cette équation est associée à des conditions aux limites :

surd u

surd

u u S

n T Sσσ

=⎧⎪⎨

=⎪⎩

Et des conditions initiales :( 0) 0

( 0) 0

t position initiale

t vitesse initiale

u uu u

=

=

=⎧⎨ =⎩

Il existe des problèmes simples pour lesquels nous pouvons résoudre analytiquement ces équations, ces applications sont présentées dans le dernier chapitre.

II-4.3 Écriture du PTV Pour un milieu déformable il faut introduire dans le Principe des Travaux Virtuels le travail virtuel des efforts intérieurs, c'est-à-dire le travail des contraintes dans des déformations virtuelles.

: intD

W dvδ σ δε= −∫

Pour les efforts de volume et de frontière

. . fD S

W f u dv T u dsδ δ δ= +∫ ∫

D’où le PTV : . : . . D D D S

u u u dv dv f u dv T u dsδ δ ρ σ δε δ δ∀ + = +∫ ∫ ∫ ∫

Pour obtenir l’équation du mouvement enu , il faut tenir compte des conditions aux limites cinématiques :

surd uu u S= 0 sur uu Sδ = Le terme : . 0uS

u dT sδ =∫

On parle d’un champ de déplacement virtuel cinématiquement admissible, il ne reste que des efforts donnés dans l’équation déduite du PTV.

De même que pour les systèmes de corps rigides, il y a équivalence entre le PFD et le PTV, ce sont deux écritures d’un même Principe de la mécanique. Dans le paragraphe II-2.2 nous étions partis du PFD pour obtenir le PTV, voyons la réciproque.

Travaillons sur le terme correspondant à l’énergie élémentaire de déformation : σ ε

( ) ( )2

Tgrad u grad uε +

= , ,

2i j j i

ij

u uε

+=

Or ( ), ,, ij i j ij i ij j iju u uσ σ σ= − soit : ( ) ( ) . ( )grad u div u u divσ σ σ= −

Comme σ est un tenseur symétrique : ( ) . ( )div u u divσ ε σ σ= −

Reportons ce résultat dans l’expression du PTV, en regroupant les termes en uδ

L’équation de moment en absence de couple

de masse donne : T

σ σ=

On obtient alors l’équation de Navier en 3D :

( )( ) ( ) Pu grad divu u fρ λ μ μ= + + Δ +

Cette opération consiste à multiplier terme à terme les deux matrices représentant les contraintes et les déformations.

Exemple en 2D : 11 11 22 22 12 122σ ε σ ε σ ε+ +


24

( ) ( ) . ( ) . D D S

u u div f u dv div u dv T u dsδ σ δ ρ σ δ δ∀ − − = − +∫ ∫ ∫

Appliquons le Th d’Ostrogradsky

( ) ( ) ( ) . . D S

u u div f u dv T n u dsδ σ δ ρ σ δ∀ − − = −∫ ∫

Nous venons de retrouver

L’équation locale : ( ) ( ) ( )( ) 0P P PP D a div fρ σ∀ ∈ − − = Et les conditions aux limites

sur Sσ : dn Tσ = ,

sur uS : in Tσ =

Application : Les exercices corrigés, proposés sur le site, vous permettront d’assimiler les notions présentées dans ce paragraphe. Vous effectuerez la mise en équations de structures de type barres et poutres en appliquant le PFD puis le PTV. Les hypothèses de l’ingénieur utilisées pour les barres et les poutres permettent de se ramener à des problèmes monodimensionnels pour lesquels la forme des équations est beaucoup plus simple.

Exercice II-5 : Modèle de l’ingénieur, poutre longue (modèle de Bernoulli).

yo

xo

fibre moyenne

zoétat initial

uG

1- Donnez la forme générale du champ des déplacements, supposés petits, correspondant à l’hypothèse de Bernoulli : «toute section droite reste droite et perpendiculaire à l’axe neutre».

2- En déduire l’expression du tenseur de la transformation linéaire tangente, et en petites déformations, l’expression linéarisée du tenseur de Green - Lagrange.

3- Justifiez physiquement que l’état des contraintes peut être supposé anti-plan. a - Pour un milieu homogène isotrope élastique, montrez que cette hypothèse conduit à des contradictions avec les hypothèses sur le champ des déplacements. Analysez ces résultats. b - En déduire la forme des lois de comportement simplifiées utilisées pour les poutres longues homogènes isotropes élastiques.

4- À partir de l’état de contrainte défini sur une section calculez le torseur des efforts de cohésion. En déduire les lois de comportement intégrées pour les problèmes de traction, flexion.


25

Exercice II-6 : Mise en équations d’un barreau en traction Les hypothèses sont celles des poutres longues en petites déformations et petits mouvements. Le matériau est supposé homogène isotrope élastique

1- Application du PFD.

a - Effectuez le bilan des efforts extérieurs exercés sur une tranche d’épaisseur dx . En déduire l’équation du mouvement, puis l’équation locale en tenant compte de la loi de comportement intégrée.

b - Donnez les différentes conditions aux limites homogènes possibles, puis celles correspondants aux trois figures ci-dessous.

xox =F

kxo0x =

xo

0x =

M

c - Donnez les équations du problème ci-contre, en déduire la solution particulière (problème. Statique).

(ρ, E, S) xo

g

2- Application du PTV.

a - Écrire l’équation intégrale déduite du PTV correspondant au modèle de traction pour les poutres longues.

b - Pour les deux problèmes représentés par les figures ci-dessous, donner l’expression du PTV correspondant à des champs de déplacements virtuels cinématiquement admissibles.

Pb1 :

k

xo0x =

g

x =

(ρ, E, S)

Pb2 :

k

xo0x =

g

x =

(ρ, E, S) F

3- Équivalence des principes.

Partez de la forme intégrale équivalente à l’équation locale pondérée sur le domaine. Effectuez une intégration par partie pour affaiblir l’ordre de dérivation du déplacement.

Cette intégration fait apparaître deux termes de frontière, que vous exprimerez en tenant compte des Conditions aux limites en force.

Analyser le résultat obtenu.


26

Exercice II-7 : Mise en équations d’une poutre en flexion plane Les hypothèses sont celles des poutres longues en petites déformations et petits mouvements. Le matériau est supposé homogène isotrope élastique

1- Application du PFD.

a - Effectuez le bilan des efforts extérieurs exercés sur une tranche d’épaisseur dx . En déduire l’équation du mouvement, puis l’équation locale en tenant compte de la loi de comportement intégrée.

b - Exprimer les 4 conditions aux limites homogènes suivantes :

extrémité libre

encastrée

appui simple

appui glissant

c - Exprimer les 3 conditions aux limites non homogènes suivantes :

F

k

M, I

d - Donnez le système d’équations correspondant au problème ci-dessous

A BPb de flexionMf

g

2- Application du PTV.

a - Écrire l’équation intégrale déduite du PTV correspondant au modèle de flexion pour les poutres longues.

b - Effectuez deux intégrations par parties du travail virtuel des efforts intérieurs. Montrer que la seconde forme intégrale ainsi obtenue permet de retrouver l’équation locale et les conditions aux limites du problème.

c - Pour le problème représenté par la figure ci-dessous, donner l’expression du PTV correspondant à des champs de déplacements virtuels cinématiquement admissibles.

gyo

xo

M

(ρ , E, I, S) tΓ


27

Bibliographie

Duc & Bellet « Mécanique des solides réels - élasticité», Sup Aéro, CEPADUES (1976).

Henry & Parsy « Cours d’élasticité», DUNOD U (1982).

Salençon « Mécanique des milieux continus», Ed de l’école Polytechnique (2005). Sur le Web http://fr.wikipedia.org/

Rechercher mécanique des milieux continus

Pour votre culture scientifique, vous pouvez aussi regarder la biographie de ces quelques savants qui ont marqué l’histoire des sciences concernant l’étude des milieux continus.

Hooke (1635-1703) Loi de Hooke (élasticité)

Bernoulli (1700-1782) Théorie des poutres avec Euler

Euler (1707-1783) Équations d’Euler pour les fluides non-visqueux

Young (1773-1829) Module d’Young en élasticité

Navier (1785-1836) Théorie générale de l’élasticité, lois de Navier-Stokes (fluides visqueux)

Cauchy (1789-1857) Théorème lois de Cauchy (contraintes)

Saint-Venant (1797-1886) Modèles de torsion, flexion, cisaillement.

Pour la mécanique générale vous connaissez déjà …. Galilée 1564-1642 Newton 1643-1727 D’Alembert 1717-1783 Lagrange 1736-1813


28

Notes personnelles

III – Oscillateurs à un degré de liberté

29

III Oscillateurs à un ddl L’étude des systèmes à un degré de liberté est fondamental pour pouvoir aborder ensuite le comportement vibratoire des systèmes discrets (n ddl) puis celui des milieux continus.

Nous allons présenter différents types de mouvement « oscillations libres », « oscillations forcées », réponse à une excitation harmonique puis périodique. Puis analyser les principales propriétés de ces réponses qui seront utilisées pour évaluer expérimentalement les caractéristiques mécaniques de l’oscillateur : sa masse, sa raideur, son amortissement.

III-1 Généralités

Le modèle mécanique élémentaire que nous allons étudier est constitué :

d’une masse m d’un ressort k (supposé linéaire) d’un amortisseur b (supposé visqueux)

xo

b

km ( )tF

Soumis à une excitation extérieure ( )f t , la masse se déplace par rapport à sa position d’équilibre statique dans

la direction ox

Dans le cadre de ce cours nous ne considérerons que des excitations déterministes1.

Du point de vue pratique ces signaux seront classés en deux grandes catégories, les signaux périodiques et les signaux transitoires.

A tout signal on peut associer deux représentations : Une représentation en temps : ( )f t

Une représentation en fréquence : ( )f ω

C’est la représentation en fréquence qui doit être caractérisée expérimentalement, cette analyse fait partie du cours sur le traitement du signal.

Signaux périodiques

Un signal en temps est périodique s’il conserve la même forme (il est invariant) pour une valeur T de temps donné.

[ ]0, ( ) ( )t T n f t nT f t∀ ∈ ∀ + = T période du signal [en s]

Les signaux harmoniques sont les plus simples, ils sont entièrement définis par une amplitude, une période, et une phase.

Exemple, le signal sinusoïdal : ( ) sin( )f t A tω ϕ= +

2Tπω = est la pulsation du signal (en rad/s)

La phase ϕ est définie par rapport à une origine de temps

1 Un signal déterministe est un signal dont l’évolution au cours du temps est prévisible. Il sera décrit par une fonction mathématique, alors qu’un signal aléatoire sera décrit en terme de probabilité.


30

Les signaux périodiques peuvent être représentés par un développement en série de Fourier.

Exemple, le signal représenté ci-contre est défini par :

2 2 2( ) sin sin 2 sin 3f t t t tT T Tπ π π

= + +

Un signal périodique quelconque de période T est représenté en fréquence par deux spectres discrets définis pour les pulsations n onω ω=

1( ) cos( ) sin( )

2o

n o n on

af t a n t b n tω ω∞

=

= + +∑

avec 2

o Tπω = et

2

2

2

2

2 ( ) cos( )

2 ( ) sin( )

T

T

T

T

n o

n o

a f t n t dtT

b f t n t dtT

ω

ω

−

−

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

∫

∫

En pratique la série sera tronquée à ses premiers termes.

Exemple, soit la fonction ( )3xf x = , définie sur [ -T/2 , T/2 ] (cf. figure 1 ci-dessous)

Les figures 2 à 12, permettent de voir la convergence de la série de Fourier vers la fonction périodique que nous avons représenté sur l’intervalle [ 0, 3T ].


31

Ces figures ont été obtenues avec le programme Matlab « fourier.m »1, Dans ce programme vous pouvez modifier la fonction et le nombre de termes, pour obtenir les coefficients de la série de Fourier.

Pour des fonctions périodiques deux grandeurs sont souvent utilisées :

La valeur moyenne : 2

2

1 ( ) 2

T

To

maA f t dt

T −= =∫

La valeur efficace : 2

2

21 ( ) T

TeffA f t dtT −

= ∫ relative à l’énergie du signal

Dans le cas particulier des signaux harmoniques, nous obtenons : 2

mAAπ

= et 2eff

AA =

Signaux transitoires

La notion de période n’a plus de sens. Pour lever cette difficulté on considérera les intégrales du signal sur un intervalle de temps T infini.

Un signal transitoire est caractérisé par la transformation de Fourier, le signal est représenté en fréquence par un spectre continu complexe

( )X ω défini par :

( ) ( ) i tX x t e dtωω∞

−∞

−= ∫ 1( ) ( )

2i tx t X e dtωω

π

∞

−∞

= ∫

III-2 Forme canonique de l’équation

La mise en équation du modèle mécanique élémentaire représenté ci-contre, conduit à une équation différentielle du second ordre à coefficients constants :

( )mx bx kx F t+ + =

III-2.1 Définitions

xo

b

km ( )tF

x

Posons :

2o

km

ω = oω est la pulsation propre du système conservatif (sans amortissement)

2 obm

εω = ε est le facteur d’amortissement (nombre sans dimension)

L’équation du mouvement se met sous sa forme canonique : 22 /o ox x x F mεω ω φ+ + = = [1]

2 2o o

o

fTπω π= = en (rad/s) of : fréquence propre et oT : période propre

La réponse dynamique d’un système décrit par l’équation [1] est la somme de la solution générale de problème homogène ( 0F = ) et d’une solution particulière.

Si, la force extérieure et les conditions initiales, sont données. La réponse dynamique du système peut être déterminée analytiquement.

1 Toutes les applications MATLAB développées dans le cadre de ce cours sont disponibles sur le serveur pédagogique.


32

Du point de vue expérimental deux méthodes ont longtemps été utilisées pour identifier les paramètres dynamiques ( , ,m b k ) du modèle :

Le régime libre : c’est la réponse du système à des conditions initiales non nulles, en absence de force extérieure. Il correspond à la solution générale du problème homogène.

Le régime permanent harmonique : il correspond à une solution particulière du système soumis à une force extérieure harmonique. Du point de vue expérimental, la réponse mesurée est identifiée avec la réponse forcée en régime permanent. Cela suppose que le temps d’attente avant d’effectuer les mesures est suffisant pour que la réponse transitoire qui est amortie devienne négligeable.

Attention de ne pas confondre réponse forcée et régime permanant.

La réponse forcée est la réponse dynamique du système soumis à une force extérieure. Cette réponse contient deux termes :

Régime transitoire c’est le régime libre d’un système ayant un amortissement non nul.

Régime Forcé qui correspond à une solution particulière du problème. Pour un système ayant un amortissement non nul, c’est la réponse au bout d’un temps infini. C’est ce terme qui pour des excitations périodiques est dit régime permanent.

III-2.2 Analogie électrique A l’oscillateur élémentaire mécanique précédent on peut faire correspondre un circuit électrique simple qui conduit à la même équation, c’est le circuit « RLC ».

i

1i2i3i

R LU C

La tension au borne de chaque élément est donnée par : 21 3

1 diU i dt L RiC dt

= = =∫

22

1 2

23

d ii LCdt

diLiR dt

⎧=⎪⎪

⎨⎪ =⎪⎩

Or la somme des courants est : 1 2 3i i i i= + + 2

2 222

d i diLLC i idt R dt

+ + =

Soit la même équation canonique avec :

2 1

12

o

o

LC

RC

ω

εω

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

et i

LCφ =

III-3 Régime libre

Nous allons étudier la réponse du système à des conditions initiales non nulles, en absence de force extérieure.

Soit résoudre : 22 0o ox x xεω ω+ + = avec les conditions initiales :( 0)

( 0)

t o

t o

x xx x

=

=

=⎧⎨ =⎩

III-2.1 Aspect analytique

Les solutions de l’équation homogène : 22 0o ox x xεω ω+ + = sont cherchées sous la forme rtx Ae=

r est solution de l’équation caractéristique : 2 22 0o or rεω ω+ + =

Le discriminent réduit de cette équation est 2 2( 1)oω εΔ = −


33

Trois cas se présentent :

sinusoïdal

111

εεε

>⎧⎪ =⎨⎪ <⎩

mouvement apériodique

mouvement apériodique critique

mouvement amorti

En mécanique nous auront presque toujours 1ε < , et dans la plus part des cas 1ε Le cas 0ε = correspond à l’oscillateur non amorti, ou système conservatif

a- 1ε > mouvement apériodique :

Les racines de l’équation sont : 21,2 1o or εω ω ε= − ± −

On pose 2 1oω εΩ = −

)(otx e A ch t B sh tεω−= Ω + Ω

Les constantes sont déterminées par les conditions initiales : o

o o

x Ax A Bεω=⎧

⎨ = − +Ω⎩

D’où )( o o oo

ot x xx e x ch t sh tεω εω− += Ω + Ω

Ω

b- 1ε = mouvement apériodique critique

L’équation admet une racine double 1,2 or ω= −

)(otx e A B tω−= +

Les conditions initiales ( )( )o o o ootx e x x x tω ω−= + +

Figure réalisée avec les mêmes données initiales

c- 1ε < mouvement sinusoïdal amorti

On pose 21oω εΩ = − pseudo pulsation propre

Les racines de l’équation sont : 1,2 or iεω= − ± Ω

cos sin )(otx e A t B tεω−= Ω + Ω

Les conditions initiales o

o o

x Ax A Bεω=⎧

⎨ = − +Ω⎩

D’où cos sin )( o o oo

ot x xx e x t tεω εω− += Ω + Ω

Ω

Toutes les courbes de réponse tendent vers zéro, c’est pourquoi ce régime sera dit régime transitoire.

Cas du système conservatif

Ce cas particulier est obtenu en négligeant l’amortissement 0ε = cette hypothèse est purement théorique pour les problèmes de mécanique.

L’équation : 2 0ox xω+ = cos sino ox A t B tω ω= +

La réponse n’est pas amortie, on ne pourra plus parler de régime transitoire.

Avec les conditions initiales : cos sinoo o o

o

xx x t tω ωω

= +


34

III-2.2 Aspect expérimental La méthode du lâché consiste à écarter le système de sa position d’équilibre et à le lâcher sans vitesse initiale. La réponse dynamique correspond alors au régime libre. Les deux grandeurs suivantes, temps d’amortissement et décrément logarithmique, sont caractéristiques du système étudié.

Le temps d’amortissement

C’est le temps 1T nécessaire pour que l’amplitude de la réponse diminue de moitié, soit :

( )12

t T to oAAe eεω εω− + −= 1

1 (2)o

T Lnεω

=

Après une durée de 110T la diminution d’amplitude est de 1024

Le décrément logarithmique

Il est défini par ( )

( )

1 t

t nT

xLnn x

δ+

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

avec T pseudo période du mouvement

Compte tenu de l’expression de la réponse ( )1o

n ToLn e Tn

εωδ εω= =

D’où 2

21εδ πε

=−

et 2δ πε≅

Principe des mesures

Considérons que nous pouvons mesurer l’amplitude des pics de déplacement successifs. Nous en déduisons une mesure de la pseudo période des oscillations T et du décrément logarithmiqueδ . Ces mesures nous permettent de déterminer le facteur d’amortissement ε et une relation entre k et m .

( )

2 ( )

121

t

t nT

xLnn x

επε +

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠−

et 2

22 2

4(1 )o

km T

πωε

= =−

Si 1ε ce qui est réaliste pour la plus part des structures

( )

( )

12

t

t nT

xLnn x

επ +

⎛ ⎞≅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

et 2

2

4km T

π≅

Il faut donc avant de procéder à la méthode du lâché, mesurer la masse ou la raideur de la structure

Application Exercice III-1: Détermination expérimentale des caractéristiques dynamiques d’un accéléromètre Nous nous proposons de déterminer expérimentalement les caractéristiques mécaniques ( , , )m b k de l’accéléromètre schématisé par la figure ci contre.

Suspendons une masse de 200 grammes à la masselotte de l’accéléromètre. Le système étant à l’équilibre, la surcharge est décrochée.

g

Nous observons un mouvement sinusoïdal amorti, les mesures effectuées donnent :

La pseudo période : 320 2 10T s−= ± L’amplitude initiale et celle du premier maximum de même signe :

1,25 0,01 oA mm= ± et 1 0,05 0,01 A mm= ±

Sachant que la masse de 200 grammes est connue à 0,1 gramme près. Calculer, en donnant la précision de chaque résultat, les caractéristiques suivantes :

• La pulsation propre oω


35

• Le coefficient d’amortissementε • La masse m et la raideur k

Seule la valeur de la raideur est estimée suffisamment précise. Nous la conservons pour la suite. Une force harmonique cosF tω est maintenant appliquée sur la masse de l’accéléromètre. Nous effectuons un balayage en fréquence, pour chaque mesure nous attendons d’être en régime permanent.

La résonance de phase a lieu pour 55,6 0,05 f Hz= ± .

L’amplitude correspondante est de 1,73 0,01 mm± .

De plus pourω tendant vers zéro, l’amplitude mesurée est de 1,61 0,05 mm± .

Déterminer à partir de ces mesures les nouvelles valeurs de la masse et du coefficient d’amortissement, donner la précision de chaque résultat.

III-4 Régime permanent

Rappelons que le régime permanent correspond à la réponse forcée du système au bout d’un temps infini, c'est-à-dire après la disparition des termes transitoires. Ce régime correspond à une solution particulière de l’équation du mouvement.

III-4.1 excitation harmonique

Pour une excitation harmonique, l’équation du mouvement est de la forme : cosmx bx kx F tω+ + =

Nous cherchons une solution particulière harmonique de la forme : cos sinx A t B tω ω= +

Par identification des termes en cosinus et sinus, nous obtenons : 2

2

( )( ) 0

A k m B b FA b k m B

ω ωω ω

⎧ − + =⎨− + − =⎩

D’où

2

2 2 2

2 2 2

( ) ( )

( ) ( )

k mA Fk m b

bB Fk m b

ωω ωω

ω ω

⎧ −=⎪ − +⎪

⎨⎪ =⎪ − +⎩

Cette solution peut se mettre sous la forme : cos( )x X tω ϕ= −

Avec

2 2

2 2 2

2

1( ) ( )

X A B Fk m b

B btgA k m

ω ωωϕω

⎧ = + =⎪⎪ − +⎨⎪ = =⎪ −⎩

Si l’on utilise la forme canonique de l’équation, les relations précédentes s’écrivent :

2 2 2 2

2 2

( ) (2 )2

o o

o

o

FXm

tg

ω ω εω ωεω ωϕ

ω ω

⎧ =⎪ − +⎪⎨⎪ =⎪ −⎩

Nous pouvons utiliser la construction de Fresnel qui est une représentation graphique basée sur des vecteurs tournants en tω

( )x t

X

A

B

tω

ϕ


36

Notons o

r ωω

= la pulsation réduite 2 2 2

2

(1 ) (2 )2

1

FXk r r

rtgr

εεϕ

⎧ =⎪⎪ − +⎨⎪ =⎪⎩ −

Réponse en fréquence - Diagramme de Bode

L’admittance DH est définie par le rapport XF

[en m/N] c’est l’inverse d’une rigidité

Le diagramme de Bode consiste à représenter l’amplitude de l’admittance et la phase ϕ en fonction de la pulsation réduite r

Analysons ces courbes d’amplitude

La dérivé de la fonction 2 2 2

1(1 ) (2 )r rε− +

s’annule pour 2 2( 1 2 ) 0r r ε− + =

Pour 0r = 1

DHk

=

Toutes les courbes sont issues de ce point (réponse statique) avec une tangente horizontale.

Pour 21 2r ε= − 2

12 1

DHkε ε

=−

Si 1 2 0.707ε < les courbes passent par un maximum. En pratique 1ε et la courbe d’admittance prend donc la forme d’un pic de résonance.

Pour r →∞ la réponse tend vers zéro, cela signifie que pour une excitation très rapide, de fréquence élevée, le système reste immobile. Notons cependant que cette partie de la courbe doit être interprétée avec prudence car le modèle à un degré de liberté ne rend pas compte des phénomènes physiques pouvant être observés à des fréquences élevées.

Compte tenu de l’allure des courbes d’amplitude de la figure précédente, on comprend aisément qu’au voisinage des résonances il sera nécessaire d’utiliser une échelle logarithmique pour tracer (mesurer) l’amplitude de la réponse si la structure n’est pas fortement amortie.

Représentation de

2 2 2

1(1 ) (2 )

DHk r rε

=− +

Pour différentes valeurs du coefficient d’amortissementε Ces figures et les suivantes ont été obtenues avec le programme MATLAB « bode.m »


37

De plus du fait de l’étendue de la bande de fréquence à étudier pour les systèmes à plusieurs degrés de liberté, il est pratique d’utiliser une échelle bi logarithmique, graduée en :

20 ( / )oLog A A dB : décibel pour l’amplitude

( )Log r pour la fréquence

Le comportement asymptotique de ces courbes dans cette représentation possède des propriétés intéressantes du point de vue pratique

r →∞ 1/DH k→

Droite horizontale graduée en raideur

r →∞ 21/DH mω→

Droite à -40dB/décade graduée en masse

Ces deux droites asymptotiques se coupent pour 1r = soit oω ω=

Analysons maintenant les courbes de phase. 12

2tan1

rrεϕ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Pour 0r = la réponse est en phase avec l’excitation 0ϕ =

Pour 1r = la réponse est en quadrature avec l’excitation / 2ϕ π= Pour r →∞ la réponse est en opposition de phase avec l’excitation ϕ π=

Nous notons dés à présent que la notion de fréquence de résonance d’un système mécanique réel ( 0ε ≠ ) est ambiguë, nous devrons donc préciser :

Résonance de phase pour 1r = oϕω ω=

Résonance d’amplitude pour 21 2r ε= − 21 2D oω ω ε= −

Représentation de 2

21

rtgrεϕ =−

Pour différentes valeurs du coefficient d’amortissementε

Comportement asymptotique des courbes


38

Application Exercice III-2: Régime forcé avec et sans amortissement Une tige (T) de masse m de longueur 2a est soumise à un déplacement imposé cos A ox E t xω= .

La liaison en A est un pivot parfait. On tiendra compte du champ de pesanteur g

Ag

xo

Tθ

Mise en équations : On se place dans le cadre des petits mouvements par rapport à la position d’équilibre. En déduire la pulsation propre en fonction de g et a

Déterminez une solution particulière de l’équation Tracer l’allure de la courbe de réponse en fonction de la pulsation réduite. ( / )oA f ω ω=

Tracer la même courbe sur un diagramme bi-logarithmique ( )log( )dBA f r= .

Calculez l’effort nécessaire pour imposer le mouvement.

L’ensemble est maintenant placé dans un milieu visqueux La force appliquée sur la tige est proportionnelle en module et de sens opposé à la vitesse, soit par unité de

longueur ( ) ( ) P PdF V dβ= − .

Comment est modifiée l’équation du mouvement

Déterminez une solution particulière forcée (régime permanent).

Tracer l’allure générale de la courbe ( )f ωθ

Diagramme de Nyquist Le Diagramme de Nyquist est basée sur la représentation dans le plan complexe de la réponse du système. La notation complexe historiquement utilisée pour représenter les signaux électriques, est plus efficace que la représentation de Fresnel, et est couramment utilisée pour effectuer les calculs.

Rappels : relations d’Euler

cos sini te t i tω ω ω= + ( )( )

cos Re

sin Im

i t

i t

t e

t e

ω

ω

ω

ω

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

Notons x le nombre complexe : i tx x e ω= 2

x i xx x

ωω

=⎧⎨ = −⎩

La forme complexe de l’équation du mouvement est 2 i tm x i bx k x f Fe ωω ω− + + = = dont on cherche la

solution correspondant à la partie réelle.

Soit : 2

fx

k m i bω ω=

− +

( )i tx Xe ω ϕ−= avec 2 2 2

2

1( ) ( )

X Fk m bbtg

k m

ω ωωϕω

⎧ =⎪⎪ − +⎨⎪ =⎪ −⎩

D’où l’admittance complexe 2

1/1 2D

kHr i rε

=− +

( ) ( )( ) ( )

2

2 2 2

2 2 2

1Re(1 ) (2 )

2Im(1 ) (2 )

D

D

rHk r r

rHk r r

ε

εε

⎧ −=⎪ − +⎪

⎨−⎪ =

⎪ − +⎩


39

Le diagramme de Nyquist consiste à représenter dans le plan complexe la partie réelle en fonction de la partie imaginaire. Cette courbe est paramétrée en fonction de la fréquence (pulsation réduite)

Nous donnons ci-dessous deux diagrammes de Nyquist obtenus pour un balayage en : 0 3r →

0.01ε = un pas en fréquence 0.01rΔ =

0.5ε = un pas en fréquence 0.02rΔ =

Ces deux simulations réalisées avec un script Matlab « Nyquist.m » montrent :

Que pour un amortissement faible le diagramme de Nyquist de l’admittance tend vers un cercle, cette propriété est utilisée expérimentalement pour déterminer les paramètres mécaniques à partir d’un lissage du cercle.

Que les incréments de fréquence à choisir dépendent directement de l’amortissement. Plus l’amortissement est faible plus l’incrément devra être petit, en contre partie la bande de fréquence à analyser au voisinage du pic de résonance sera plus étroite.

Aspects expérimentaux La démarche expérimentale suppose que :

La structure étudiée est assimilable à un système à un degré de liberté. L’on sache exciter la structure par un signal harmonique dont on peut faire varier la fréquence avec une résolution appropriée dans la bande des fréquences à étudier. L’on sache mesurer la fréquence, l’amplitude et la phase entre l’excitation et la réponse de la structure.

La figure ci-dessous représente le schéma de principe d’un dispositif expérimental d’analyse en fréquence d’une fonction de transfert. Ce dispositif permet d’identifier par la suite les paramètres dynamiques du modèle de la structure.

x

Capteur force

accéléromètres

Ampli

Ampli

Structure

Oscilloscopey

Analyseur

InterfaceNumérique

Excitation

Pot d'excitation

Ampli depuissance

Générateur defonction

Interfacegraphique

Mesures

Traitementdes données


40

Plusieurs grandeurs peuvent être utilisées pour identifier une fonction de transfert selon que l’on mesure le déplacement la vitesse ou l’accélération. L’admittance : DH rapport déplacement / force

La mobilité : VH rapport vitesse / force

L’inertance : AH rapport accélération / force

Nous avons bien entendu les relations suivantes : 2V D

A D

H i HH H

ωω

=⎧⎨ = −⎩

Actuellement les capteurs les plus utilisés sont des accéléromètres, et l’interface graphique ou numérique du dispositif d’acquisition permet de tracer la grandeur que l’on souhaite étudier. Notez cependant que si vous étudiez un système ayant un fort coefficient d’amortissement ( 1%ε > ) :

La résonance de vitesse aura lieu pour 1r = V oω ω=

La résonance d’accélération aura lieu pour 2

11 2

rε

=−

2

11 2A oω ω

ε=

−

Nous avons donc dans l’ordre : D V o Aϕω ω ω ω ω< = = <

Les fonctions de transferts inverses ont aussi leurs petits noms : La raideur dynamique : inverse de l’admittance, rapport force / déplacement L’impédance mécanique : inverse de la mobilité, rapport force / vitesse La masse apparente : inverse de l’inertance rapport, force / accélération Observations et mesures

L’oscilloscope permet de visualiser rapidement le passage d’une résonance, en observant la courbe de Lissajous le passage de la phase de 0 à π sera nettement visible sur l’inclinaison de l’ellipse.

Les courbes de Lissajous étant définies parcos( )cos

x A ty F t

ω ϕω

= −⎧⎨ =⎩

Nous observons :

Avant la résonance / 2ϕ π<

A la résonance de phase / 2ϕ π=

Après la résonance / 2ϕ π>

Connaissant oω nous avons une première relation entre k et m .

Nous pouvons obtenir une seconde relation s’il est possible de rajouter une surcharge mΔ connue dans le modèle, c’est à dire dans l’équation du mouvement.

Nous mesurons : 2o

km

ω = et 2'ok

m mω =

+ Δ

2

2 1'o

o

mm

ωω

Δ= +

2 2

2

''

o o

o

mm

ω ωω− Δ

=

Connaissant 2 2, ' ,o o mω ω Δ , il est possible de calculer m puis k

Utilisation du diagramme de Bode

Les mesures de l’amplitude et de la phase peuvent se faire à l’oscilloscope, mais le dispositif d’acquisition et de traitement des données sera de fait plus rapide et plus précis. Dans ce qui suit nous considérons que nous


41

avons obtenu expérimentalement les mesures de l’amplitude et de la phase. Le balayage en fréquence est réalisé en attendant, pour chaque fréquence mesurée, d’être en régime permanent.

A partir du relevé de l’amplitude des déplacements (courbe d’admittance) deux méthodes s’offrent à nous pour déterminer le coefficient d’amortissement

Première méthode (peu précise)

On relève les amplitudes de la réponse statique 1

SAk

= et celle du maximum2

12 1

MaxAkε ε

=−

Si le coefficient d’amortissement est supposé petit 2

S

Max

AA

ε ≅

Cette mesure manque de précision pour deux raisons. Il est difficile de mesurer la réponse statique avec un dispositif d’excitation dynamique, il faudra procéder par extrapolation pour obtenir cette valeur. D’autre part la mesure du pic nécessite une excellente résolution si l’amortissement est faible, l’erreur sur cette mesure peut donc être importante.

Seconde méthode (plus précise)

On relève l’amplitude de la réponse au voisinage du maximum de façon à pouvoir couper le pic par

une droite horizontale située à 2MaxA et mesurer la largeur du pic de résonance.

Les points d’intersection sont alors définis par : 2 2 2 2

1 1(1 ) (2 ) 2 2 1k r r kε ε ε

=− + −

Soit l’équation : ( ) ( )4 2 2 2 22 2 1 1 8 1 0r r ε ε ε+ − + − − =

Les racines de cette équation sont : 2 2 21,2 1 2 2 1r ε ε ε= − ± −

Pour 1ε 21,2 1 2r ε≅ ± 2 1

2r rε −

≅

Illustrons ces deux méthodes :

La courbe ci-dessous est une simulation numérique obtenue avec 33 points de mesure sur une bande de fréquence égale à 0.2 of centrée sur la fréquence de résonance.

Pour la simulation le coefficient d’amortissement utilisé est 0.01ε =

Première méthode : la réponse statique estimée est < à 5 la réponse Maximale est > 50 0.05ε ≅

Seconde méthode : la réponse Maximale est 52 2± l’incertitude sur rΔ est de 2%

( ) 21 0.02 10ε −= ±

Utilisation du diagramme de Nyquist

La fonction de transfert mobilité VH caractérisée par le rapport déplacement/vitesse, possède des propriétés intéressantes dans sa représentation de Nyquist


42

La mobilité complexe ( ) ( )

2 2 2

22 2 22 2

2 ( )1/ 1 2 2

o oV

o o o o

imH ii m

εω ω ω ω ωωω ω εωω ω ω εωω

+ −= =

− + − +

Posons ( ) ( )2 22 2 2o oD ω ω εωω= − +

( )

( )

2

2 2

2Re

( )Im

oV

oV

x HmD

y HmD

εω ω

ω ω ω

⎧= =⎪⎪

⎨−⎪ = =⎪⎩

Il est simple de vérifier que

2 221 1

4 4o o

x ym mεω εω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La fonction de transfert VH est donc représentée

par un cercle de rayon 1

4 omεω

centré sur l’axe réel et passant par l’origine.

L’identification expérimentale de ce cercle permet de mesurer ε de façon très précise.

Sur la figure ci-contre nous avons représenté la même simulation numérique que la courbe expérimentale précédente.

33 points de mesure sur une bande de fréquence égale à 0.2 of

centrée sur la fréquence de résonance

III-4.2 excitation périodique Un signal périodique de période T est caractérisé en fréquence par son développement en série de Fourier.

Série de Fourier

Cette représentation en fréquence est constituée de deux spectres discrets définis pour les valeurs

de pulsations 2

n n nTπω ω= =

1

( ) cos( ) sin( )2o

n nn

af t a n t b n tω ω∞

=

= + +∑ avec

2

2

2

2

2 ( ) cos( )

2 ( ) sin( )

T

T

T

T

n

n

a f t n t dtT

b f t n t dtT

ω

ω

−

−

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

∫

∫

On peut utiliser une forme équivalente :

1( ) cos( )

2o

n nn

af t A n tω ϕ∞

=

= + +∑ avec

2 2

( )

n n n

nn

n

A a bbtga

ϕ

⎧ = +⎪⎨

=⎪⎩

Remarques :

2oa

est la valeur moyenne sur une période 2

2

( )1 T

T tf dtT −∫

Si ( )tf est paire ( ) ( )t tf f− = 0nb =

Si ( )tf est impaire ( ) ( )t tf f− = − 0na =

Il est possible d’utiliser la notation complexe pour définir une série de Fourier.


43

Réponse forcée à une excitation périodique

La linéarité de l’équation permet d’obtenir la réponse par superposition des réponses élémentaires calculées pour chaque pulsation du spectre des raies.

Soit pour l’amplitude et la phase de chaque raie :

2 22 2

2

22

1 2

1 21

n

n

FXrkn r

n nrtg

n rn

ε

εϕ

⎧ =⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎨

⎪ =⎪ ⎛ ⎞−⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

On voit que l’amplitude décroit en 21 n et que le déphasage tend vers π En pratique la série sera tronquée à ses premiers termes.

Application Exercice III-3: Excitation périodique, série de Fourrier L’intérêt de l’exercice réside dans le calcul des termes de la série de Fourrier, qui permet de montrer que la convergence est très rapide si l’excitation est simple. Étudions les mouvements plans du système représenté par la figure ci-contre. La barre de masse 2m, de longueur 3a est munie d’une surcharge (supposée ponctuelle) de masse M reliée au bâti par un ressort linéaire de raideur k. La liaison pivot en O est supposée parfaite. Le champ de pesanteur est pris en compte, et nous nous plaçons dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvements. Une force F constante est appliquée verticalement en un point P tel que OP = u(t). La fonction donnant la position du point P est une fonction périodique de période T, d’amplitude a. Elle est représentée par la figure ci-contre. A l’instant initial, la barre est en équilibre dans la position horizontale 0θ = , le ressort est non contraint, et OP = a

Effectuez la mise en équations de ce problème

M gxo

θ

k

a2a

F

P

t

u(t)

3a/2

T

a

a/2

En déduire la pulsation propre des petites oscillations et la condition d’équilibre du système à l’instant initial.

Déterminez la solution particulière en régime forcé, vous utiliserez une décomposition en série de Fourrier du déplacement u(t).

Calculer l’amplitude des mouvements pour les premiers termes de la série. Les caractéristiques du système sont les suivantes :

2m = 60 Kg , F = 1000 N Le ressort se comprime de 2 cm, sous une charge de 100 Kg

En déduire la valeur de M pour g = 10 m/s2

u(t) est d’amplitude a = 1m , et de période T = 1,25 s

Donner la forme de la solution générale du problème (réponse complète). Phénomènes de battement

Ce phénomène correspond au cas particulier ou deux forces harmoniques de pulsations voisines excitent le système.

( )1 1 1

( )2 2 2

coscos

t

t

f F tf F t

ωω

=⎧⎨ =⎩

avec 1 2ω ω≅


44

La réponse en régime permanent est obtenue par la superposition des deux réponses élémentaires

1 1 1 2 2 2cos( ) cos( )x A t A tω ϕ ω ϕ= − + −

Soit :

( ) ( )1 2 1 21 1 2 2 1 1 2 2cos( ) cos( ) cos( ) cos( )

2 2A A A Ax t t t tω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ+ −

= − + − + − − −

( )1 2 1 2 1 21 2 2 1 1 2 2cos( ) cos( ) cos( ) cos( )

2 2 2A A A Ax t t t tω ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ+ + −⎛ ⎞= − + − + − − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

On pose :

1 2 1 2

1 2 1 2

2 2

2 2

ω ω ω ωω ω

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

+ −⎧ = Δ =⎪⎪⎨ + −⎪ = Δ =⎪⎩

On obtient :

( )( ) ( )( )1 2 1 2cos( ) cos( ) sin( )sin( )x A A t t A A t tω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ= + − Δ −Δ − − − Δ −Δ

Or ω ωΔ , la solution oscille donc avec une pulsation ω à l’intérieur d’une enveloppe sinusoïdale ayant une période d’oscillation beaucoup plus grande. L’amplitude varie entre 1 2A A+ et 1 2A A−

Figure avec 1 54Hzω = et 2 50Hzω =

1 2 1A A A= + = et 1 2 0.4A A AΔ = − =

Dans le cas particulier 1 2A A= , la forme de la

réponse est caractéristique.

1 2 0A A AΔ = − =

III-5 Solution générale

Deux méthodes permettent d’obtenir la solution complète de l’équation du mouvement

2 ( )2 o of tx x xm

εω ω+ + =

• Utilisation de la transformée de Laplace • Recherche d’une solution particulière à partir de la solution du problème homogène par la méthode

de Lagrange « variation des constantes ».

Nous ne présentons dans ce cours que la seconde méthode. Vous trouverez beaucoup d’ouvrages ou d’articles sur le Web présentant la transformée de Laplace.

cos cos 2cos cos2 2

a b a ba b + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

cos cos 2sin sin2 2

a b a ba b + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


45

III-5.1 variation des constantes

Cherchons 1 2( ) ( ) ( )x t x t x t= + avec 1

2

solution du problème homogèneune solution particulière

::

xx

⎧⎨⎩

1( )x t est de la forme 1 cos sin )(otx e A t B tεω−= Ω + Ω

Nous cherchons 2 ( )x t de la forme 2 ( ) cos ( ) sin )(otx e A t t B t tεω−= Ω + Ω

Posons cossin

C tS t= Ω⎧

⎨ = Ω⎩ ( )2

otx e AC BSεω−= +

( )2 ( ) ( )ootx e AC BS BC AS AC BSεω εω−= + +Ω − − +

Choisissons A et B telles que 0AC BS+ = (1) recherche d’une solution particulière

( )2 2 22 ( ) 2 ( ) ( )( )o o

otx e BC AS BC AS AC BSεω εω ε ω−= Ω − − Ω + + −Ω +

Reportons ces expressions dans l’équation du mouvement 2 ( )2 o of tx x xm

εω ω+ + =

Nous obtenons : ( ) otf tAS BC e

mεω− + =

Ω (2)

Le système d’équation (1), (2) donne :

( ) sin

( ) cos

o

o

t

t

f tA e tmf tB e tm

εω

εω

⎧ = − Ω⎪⎪ Ω⎨⎪ = + Ω⎪ Ω⎩

Pour intégrer nous pouvons choisir (0)

(0)

00

AB

=⎧⎨ =⎩

recherche d’une solution particulière

La solution particulière obtenue est de la forme : 20

( ) sin ( ) to

otex f e t d

m

εωεω ττ τ τ

−= Ω −

Ω ∫

Soit la solution générale

(

0

)( ) cos sin sin ( ) t

o o oo

oo tt x x fx e x t t e t dm

εω τεω εω τ τ τ−−− +⎛ ⎞= Ω + Ω + Ω −⎜ ⎟Ω Ω⎝ ⎠ ∫

Pour t grand le premier terme tend vers zéro c’est le régime transitoire.

Si (

0

)( )lim sin ( ) t

to tf e t d

mεω ττ τ τ−

→∞

− Ω −Ω∫ existe,

alors la solution obtenue pour t grand est appelée régime permanent.

Cette solution permet de calculer la réponse forcée du système. Il existe cependant trois cas particuliers d’excitations pour lesquels il sera plus rapide de chercher directement une solution particulière :

• Fonction harmonique réponse harmonique • Fonction échelon réponse indicielle • Fonction impulsion réponse impulsionnelle

Le cas de la réponse harmonique a déjà été traité, regardons les deux autres réponses.


46

III-5.2 Réponse indicielle

La fonction échelon est définie par :

( )tH : ( )

( ) :( )

0 01 0

tt

t

H si tH

H si t= <⎧

⎨ = >⎩

( )tH

t Nous cherchons donc la solution ( )x t

de 22 o ofx x xm

εω ω+ + = pour 0t > avec les conditions initiales :( 0)

( 0)

t o

t o

x xx x

=

=

=⎧⎨ =⎩

données.

Une solution particulière 2 ( )x t est de la forme 2fxk

=

D’où la solution générale cherchée : cos sin )(otfx e A t B tk

εω−= + Ω + Ω

Dans le cas particulier 00

o

o

xx=⎧

⎨ =⎩

//o

A f kB f kεω= −⎧

⎨ = − Ω⎩

Nous obtenons : 1 cos sin )( ootfx e t tk

εω εω−⎛ ⎞= − Ω + Ω⎜ ⎟Ω⎝ ⎠

III-5.3 Réponse impulsionnelle La fonction impulsion « dirac » est utilisée pour modéliser une force très grande agissant sur un temps très court (voir le chapitre sur les chocs en mécanique)

L’impulsion vérifie 0

0

lim ( ) 1t dtε

εδ

→=∫

( )tδ

tε

1/ε

Nous cherchons donc la solution ( )x t

de : 2 ( )2 o of tx x x

mδεω ω+ + = pour 0t > avec les conditions initiales :

00

o

o

xx=⎧

⎨ =⎩

Or

00

lim 0x dtε

ε→=∫

[ ]00 00

lim lim 0x dt xε

ε

ε ε→ →= =∫ Déplacement est continu à t = 0

[ ]00 00

lim lim ( )x dt x xε

ε

ε εε

→ →= =∫ Discontinuité de la vitesse à t = 0

Nous obtenons donc ( ) fxm

ε =

Tout se passe comme si l’on avait une discontinuité de la vitesse en fm

à l’instant initial.

La solution est celle du régime libre avec les conditions initiales :0

/o

o

xx f m=⎧

⎨ =⎩


47

sinotfx e tm

εω−= ΩΩ

III-5.3 Utilisation des réponses indicielle et impulsionnelle Notons ( )U t la réponse indicielle unitaire

1( ) 1 cos sin )( ootU t e t tk

εω εω−⎛ ⎞= − Ω + Ω⎜ ⎟Ω⎝ ⎠

Et ( )I t la réponse impulsionnelle unitaire

1( ) sinotI t e tm

εω−= ΩΩ

Il est possible d’utiliser ces réponses pour effectuer une intégration numérique dans le cas d’une excitation quelconque Décomposition indicielle

( ) ( ) (0) ( ) ( )t

f t f t H f H tτ

τ τ τ<

= + Δ − Δ∑

1τ t

of

( )f t

2τ Décomposition impulsionnelle

( ) ( ) (0) ( ) ( )t

f t f t f tτ

δ τ δ τ τ<

= + − Δ∑

t

of

( )f t

τΔ Pour des conditions initiales nulles, en passant à la limite on obtient :

La formule de Duhamel 0

( ) ( ) t dfx t U t d

dτ τ

τ= −∫

La formule de Vaschy 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) sin ( ) t to

otex t f I t d f e t d

m

εωεω ττ τ τ τ τ τ

−= − = Ω −

Ω∫ ∫

C’est la solution particulière obtenue par la méthode de Lagrange.


48

Notes personnelles

IV – Oscillateurs à N degrés de liberté

49

IV Oscillateurs à N ddl

Intéressons nous aux systèmes mécaniques comportant un nombre fini de degrés de liberté1.

( , )iP OP P q t∀ ∈Σ =

Les équations du mouvement s’obtiennent en écrivant les équations de Lagrange pour un champ de déplacement virtuel cinématiquement admissible.

[ ]1, ii i i

d Ec Ec Epi n Ddt q q q⎛ ⎞∂ ∂ ∂

∀ ∈ − + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Les liaisons sont supposées parfaites

Ces équations sont des équations différentielles non linéaires couplées. Il est possible de chercher une solution approchée de ces équations par des méthodes d’intégration numériques. Ce n’est pas l’objet de notre cours, nous nous intéressons à la solution de ces équations au voisinage d’une position d’équilibre stable.

IV-1 Forme linéaire des équations

Nous allons considérer que l’amplitude des mouvements reste faible pour pouvoir linéariser ces équations par rapport à une position d’équilibre supposé stable. Pour simplifier l’écriture des équations nous supposons cette position connue et nous la choisissons comme position de référence.

Si la position d’équilibre est une position d’équilibre absolu ( ) 0équilibreii q∀ =

La vitesse de tout point P du système doit être nulle pour 0iq =

Or la vitesse ( ) P ii i

OP OPV qq t

∂ ∂= +

∂ ∂∑ d’où équilibre absolu 0OPt

∂=

∂

Cela revient à considérer qu’il y a aucun déplacement imposé

L’énergie cinétique est alors une forme quadratique symétrique définie positive des iq

2 tEc q Hq= avec ( )H q matrice d’inertie du système

D’où Ec Hqq

∂=

∂ et

12

td Ec Ec HHq Hq q qdt q q q⎛ ⎞∂ ∂ ∂

− = + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Pour obtenir la forme linéarisée des équations de Lagrange il suffit donc de conserver les termes d’ordre zéro de la matrice H .

Remarques : • La matrice oH est une matrice symétrique définie positive dite abusivement matrice masse du système,

elle est notée M • La matrice masse M est obtenue directement en effectuant un développement limité à l’ordre 1

des vitesses Énergie cinétique à l’ordre 2 si aucun déplacement n’est imposé

Conséquence :

S’il existe des déplacements imposés (excitation) ou que l’on étudie les petites oscillations autour d’une position d’équilibre relatif (cas d’un arbre en rotation), on ne pourra plus se contenter d’un développement limité à l’ordre 1 des vitesses pour obtenir la forme linéarisée des équations du

1 Multi-corps de solides rigides ou milieu continu discrétisé


50

mouvement en effet

posons 1 2oV V V V= + + les termes d’ordre respectif (0,1,2) en iq ou iq de la vitesse

Il faut conserver les termes : 0 1V V , 21V , 0 2V V dans l'expression de l’énergie cinétique pour obtenir la

forme linéarisée des équations du mouvement.

La position d’équilibre est définie par ( ) 0équilibreii q∀ = , si c’est un équilibre absolu (statique) alors le terme

( )0

0statiqueqi

Ep Dq =

⎛ ⎞∂− =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Il ne reste dans les équations de Lagrange que les termes de la forme Ep Kqq

∂=

∂

Avec K matrice symétrique semi-définie positive (condition de stabilité), si la position d’équilibre est unique la matrice sera définie positive (pas de mouvement rigide de notre système).

Un mouvement rigide1 du système correspondrait à une énergie potentielle nulle pour un champ de déplacement non nul. Ce n’est possible que si aucun élément du système ne se déforme (les ressorts pour un système de multi-corps rigides) lors du mouvement.

Remarque :

La matrice K provient des termes quadratiques de l’énergie potentielle 2 tEp q Kq=

Dans le second membre de l’équation nous trouverons donc le travail virtuel des efforts dynamiques appliqués à la structure et des efforts non pris en compte dans le modèle « parfait ». Nous supposerons ici que tous ces efforts conduisent à des termes linéaires pour rester dans le cadre de ce cours.

Nous introduisons une matrice amortissement B d’origine visqueuse pour modéliser l’amortissement interne des matériaux, ou l’amortissement concentré au niveau des liaisons mécaniques (rivets, boulons, soudures, roulements, …), ou l’amortissement lié à l’action de l’environnement sur la structure (air, eau, etc…). Cette matrice est à priori quelconque.

Le dernier terme dit vecteur force généralisée ( )f t provient du développement limité à l’ordre 1 du travail virtuel des efforts dynamiques appliqués à la structure2 et des termes non quadratiques des énergies qui restent après développement limité à l’ordre 2.

La forme matricielle la plus générale des équations linéaires couplées que nous traitons ici est donc

( )Mx Bx Kx f t+ + = peu différent de ( )mx bx kx f t+ + = !

Pour éviter toute confusion, nous allons introduire une notation matricielle pour symboliser ce qui est : un vecteur ligne, un vecteur colonne, ou une matrice.

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }M x B x K x f+ + =

[ ] symbolise une matrice,

{ } symbolise une vecteur colonne,

{ } T = < > un vecteur ligne

1 A associer à la notion de mode rigide présentée un peu plus loin. 2 Nous ne considérons pas ici le cas des « forces suiveuses » qui peuvent ajouter un terme de « raideur » dans les équations du mouvement.


51

IV-2 Étude du système conservatif

Le système sera dit conservatif, si les termes d’amortissement sont négligés. Dans ces conditions (purement théoriques) l’équation matricielle des petits mouvements autour de la position d’équilibre est de la forme :

[ ]{ } [ ]{ } { }( )M x K x f t+ =

Ces « n » équations différentielles sont en général couplées (matrices non diagonales), la résolution numérique directe d’un tel système, si elle est envisageable, est lourde et ne sera envisagée que pour des problèmes non linéaires. Pour les problèmes linéaires nous cherchons la solution à partir des solutions élémentaires du problème homogène (théorème de superposition).

IV-2.1 Fréquences et modes propres

Soit le problème homogène conservatif : [ ]{ } [ ]{ } { }0M x K x+ =

Nous cherchons une solution de la forme { } { }( ) ( )x t Z q t= 1

Remarque : Cela suppose qu’il existe des mouvements particuliers, dit synchrones, tels que la forme du système ne change pas, seul l’amplitude varie au cours du mouvement (il n’y a pas de déphasage entre deux points du système, ce qui n’est vrai que pour les systèmes supposés conservatifs).

En reportant dans l’équation matricielle, nous obtenons « n » équations de la forme

1 1

[1, ] 0n n

ij j ij jj j

i n m z q k z q= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∀ ∈ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑

Au voisinage d’une position d’équilibre stable les énergies sont des formes bilinéaires définies positives, les deux coefficients de q et q sont donc strictement positifs, nous pouvons donc écrire

2q qω= − , la solution cherchée est harmonique

Remarque : Du point de vue physique cela revient à considérer que n’apportant pas d’énergie à un système conservatif, l’énergie totale déterminée par les conditions initiales se conserve indéfiniment. La solution est donc nécessairement harmonique.

Reportons ce résultat dans les équations du mouvement, nous obtenons le problème aux valeurs propres suivant :

[ ] [ ]( ){ } { }2 0K M Zω− =

Une solution non banale existe si [ ] [ ]( )2det 0K Mω− =

Cette équation caractéristique de degré « n » en 2ω admet « n » solutions réelles positives 2iω , les

vecteurs propres associés sont obtenus en résolvant les « n » systèmes homogènes suivants :

[ ] [ ]( ){ } { }2 0i iK M Zω− = { }iZ

Les iω sont les pulsations propres du système conservatif, et les { }iZ sont les modes propres.

Les modes représentent un champ de déplacement (déformée élémentaire) de la structure, ils sont définis à une constante multiplicative près. L’ensemble des modes est dite base modale du système mécanique, cette base sera normée (choix des constantes multiplicatives).

1 On démontre que M et K étant des matrices définies positives, les solutions de cette forme existent. Cette démonstration est basée sur la décomposition de CHOLESKY.


52

Pour étudier les vibrations d’un système mécanique, on classera les pulsations propres par ordre croissant. En effet l’analyse expérimentale montre qu’il est possible de tronquer la base modale en ne conservant que les plus bas modes, d’où la classification couramment utilisée.

1 2 ........ nω ω ω< < <

S’il existe des pulsations propres nulles 0iω = , les modes propres associés sont solutions du système

homogène :

[ ]{ } { }0K Z = { } [ ]{ } 0TZ K Z =

Ces modes sont donc des champs de déplacements non nuls à énergie de déformation nulle, on parle de modes rigides (mouvement d’ensemble de la structure). Ces modes correspondent à une singularité de

la matrice raideur « [ ]det 0K = »

Bilan :

[ ] [ ]( )2det 0K Mω− = iω pulsations propres à classer 1 2 ........ nω ω ω< < <

Puis [ ] [ ]( ){ } { }2 0i ii K M Zω∀ − = { }iZ modes propres base modale

si 0iω = mode rigide (mouvement d’ensemble de la structure)

si i jω ω= mode multiple ordre de multiplicité « p »

IV-2.2 Orthogonalité des modes propres. Considérons deux modes propres associés à deux pulsations propres

[ ] [ ]( ){ } { }[ ] [ ]( ){ } { }

2

2

0,

0

i i

j j

K M Zi j

K M Z

ω

ω

⎧ − =⎪∀ ⎨− =⎪⎩

En multipliant à gauche par les transposées respectives des deux modes, nous obtenons :

{ } [ ] [ ]( ){ }

{ } [ ] [ ]( ){ }

2

2

0,

0

T

j i i

Ti j j

Z K M Zi j

Z K M Z

ω

ω

⎧ − =⎪∀ ⎨− =⎪⎩

Transposons la première relation { } [ ] [ ]( ){ }2 0Ti i jZ K M Zω− = (symétrie des matrices)

Puis effectuons la différence des deux relations { } ( )[ ]{ }2 2 0Ti i j jZ M Zω ω− =

Cas ou les valeurs propres sont distinctes

i jω ω≠ { } [ ]{ } 0Ti jZ M Z = { } [ ]{ } 0T

i jZ K Z =

Les modes sont [ ]K et [ ]M orthogonaux

Cas d’une valeur propre multiple

Soit p l’ordre de multiplicité de la valeur propre, le sous espace propre associé est de dimension p.

Les p vecteurs propres définissant une base de ce sous espace sont définis à p constantes près (le rang du système matriciel est n-p), ils sont quelconques entre eux.

Ces p vecteurs du sous espace propres sont K et M orthogonaux aux n-p autres vecteurs propres.

Nous choisirons p-1 constantes, en écrivant les p-1 conditions de K (ou M) orthogonalités. Chaque vecteur est déterminé à une constante multiplicative près.


53

Pour fixer la constante multiplicative des modes, il est possible de se donner une norme, la plus utilisée est la « M norme »

{ } [ ]{ }Ti ii Z M Z m∀ =

IV-2.3 Coordonnées généralisées

Nous venons de voir que du point de vue pratique, nous construirons toujours une base K et M orthogonale.

Rappel : i j∀ ≠ { } [ ]{ } 0Ti jZ M Z = et { } [ ]{ } 0T

i jZ K Z =

A chaque mode nous pouvons donc associer une masse (respectivement raideur) généralisée définie par :

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }

0

0

Ti i i

Ti i i

m Z M Zi

k Z K Z

⎧ = >⎪∀ ⎨= ≥⎪⎩

et naturellement 2 ii

i

km

ω =

Car on est au voisinage d’une position d’équilibre stable du système.

Conséquence :

Les vecteurs propres forment une base K et M orthogonale complète. Tout champ de déplacement peut s’exprimer sur cette base pour obtenir un système de n équations découplées. Ce changement de base est le fondement de toutes les méthodes regroupées sous le nom d’analyse modale.

Le changement de base s’écrit :

{ } { }1

( ) ( )n

i ii

x t Z q t=

=∑ les ( )iq t sont les coordonnées généralisées

Soit sous forme matricielle{ } [ ]{ }( ) ( )x t Z q t= , avec [ ]Z matrice modale ou matrice des modes

Reportons ce changement de base dans les équations du mouvement du système conservatif

[ ]{ } [ ]{ } { }( )M x K x f t+ = [ ][ ]{ } [ ][ ]{ } { }( ) ( ) ( )M Z q t K Z q t f t+ =

Pour diagonaliser ce système d’équations, il faut multiplier à gauche par [ ]TZ

Soit [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] { }( ) ( ) ( )T T TZ M Z q t Z K Z q t Z f t+ =

Les équations sont alors découplées

{ } { }( )Ti i i i ii m q k q Z f t∀ + = ou 2

i i i iq qω ϕ+ = avec { } { }( )T

ii

i

Z f tm

ϕ =

On sait résoudre ces équations.

Les n équations différentielles obtenues, correspondent à n images « masse-ressort » associées chacune à un paramètre généralisé ( )iq t , qui n’est pas un paramètre physique.

Connaissant les n solutions ( )iq t , il est aisé de remonter au vecteur des déplacements « physique » par le

changement de base.

Appliquons ces résultats à la réponse en régime libre et au régime forcé

IV-2.3.1 Régime libre 0i i i ii m q k q∀ + =

cos sinioi io i i

i

qi q q t tω ωω

∀ = + puis { } { }1

n

i ii

x Z q=

=∑

Soit { } [ ]{ }( ) ( )x t Z q t=


54

Il faut exprimer les conditions initiales sur les coordonnées généralisées ( , )io ioq q en fonction des conditions

initiales données sur les variables physiques du problème ( , )o ox x

{ } [ ] { }{ } [ ] { }

1

1o o

o o

q Z x

q Z x

−

−

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

On ne calcule jamais directement l’inverse de la matrice modale, on utilise la M orthogonalité

[ ] [ ][ ] [ ]TiZ M Z diag m= [ ] [ ] [ ] [ ]1 1/T

iZ Z M diag m− =

C’est ici que la « M-norme » prend tout son intérêt, avec la « M-norme » [ ] [ ][ ] [ ]1TZ M Z m=

[ ] [ ] [ ]1 1 TZ Z Mm

− =

En reportant dans la solution { } [ ]{ } { }sincos ii o o

i

tq diag t q diag qωωω

⎡ ⎤= + ⎢ ⎥

⎣ ⎦avec { } [ ]{ }( ) ( )x t Z q t=

On obtient :

{ } [ ] [ ][ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }sin1( ) cos T Tii o o

i

tx t Z diag t Z M x diag Z M xm

ωωω

⎛ ⎞⎡ ⎤= +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

Si on n’utilise pas la « M-norme »

{ } [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }cos sin( )

T Ti io o

i i i

t tx t Z diag Z M x diag Z M xm mω ω

ω⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

IV-2.3.2 Régime forcé i i i i ii m q k q ϕ∀ + =

0

( )sin ( ) cos sint

io i ii io i i

i i

q ti q q t t dϕ τ ω τω ω τω ω

−∀ = + + ∫ puis { } { }

1

n

i ii

x Z q=

=∑

Les conditions initiales s’exprimant comme précédemment :

{ } [ ] [ ]{ }

{ } [ ] [ ]{ }

1

1

To o

To o

q Z M xm

q Z M xm

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

Avec la « M-norme »

Application Exercice IV-1: Base modale et pulsations propres Considérons le système constitué de trois pendules simples identiques de masse m , de longueur . Les masses sont reliées entre elles par des ressorts identiques de raideur k .

A l’équilibre les ressorts sont non contraints, et les trois pendules sont verticaux.

g

θi

kkmm m

Dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvements, déterminez les matrices masse et raideur.

Calculez les fréquences et les modes propres du système. Pour simplifier les calculs on posera : g α= et k mβ=

Donnez une représentation de chaque mode.

On donne au système une position initiale, et on lâche le système sans vitesse initiale. Quelle est sa réponse en oscillations libres.

Pour 1 2 3( , , ) (0, ,0)o oθ θ θ θ= , puis 1 2 3( , , ) ( ,0, )o o oθ θ θ θ θ= − Analysez les résultats.


55

IV-2.4 Régime permanent harmonique

Nous cherchons une solution particulière de l’équation : [ ]{ } [ ]{ } { }cosM x K x F tω+ =

Deux méthodes vont être envisagées pour obtenir cette réponse : La réponse directe L’analyse modale

IV-2.4.1 Recherche directe

Cherchons { } { }( ) cosx t X tω= [ ] [ ]( ){ } { }2K M X Fω− =

Sous condition d’existence de la solution, c'est-à-dire pour toute pulsation différente des iω , nous

pouvons écrire : { } [ ] [ ]( ) { }12X K M Fω−

= −

La matrice[ ] [ ] [ ]( ) 12( )A K Mω ω−

= − est appelée matrice admittance

Les coefficients de la matrice admittance peuvent être interprétés comme le déplacement ix créé par une

force unité jf . Du point de vue expérimental en plaçant un capteur en un point i de la structure et en excitant

en j, nous pouvons étudier le coefficient (i,j) de cette matrice. Si i=j on parle de l’admittance directe.

IV-2.3.2 Analyse modale

Partons du système d’équations découplées pour chercher la solution particulière

2i i i ii q qω ϕ∀ + = avec

{ } { }cosTi

ii

Z F tm

ωϕ =

Les solutions particulières sont de la forme cosiq tω { } { }

2 2( )

Ti

ii i

Z Fq

m ω ω=

−

Soit { } [ ]{ } [ ] [ ] { }2 2

1( ) cos( )

T

i i

x t Z q Z diag Z F tm

ωω ω

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥−⎣ ⎦

Nous obtenons l’expression analytique des coefficients de la matrice admittance en fonction de la pulsation :

{ } [ ]{ }( ) cosx t A F tω= avec [ ] { }{ }2 2

1 ( )

TNk k

k k k

Z ZA

m ω ω=

=−∑ 2 2

1 ( )

Nik jk

ijk k k

Z ZA

m ω ω=

=−∑

Remarque :

Les coefficients de cette matrice pourraient être obtenus en décomposant en éléments simples les

coefficients correspondants de la matrice [ ] [ ] [ ]( ) 12( )A K Mω ω−

= −

Les admittances directes :

2

2 21 ( )

Nik

iik k k

ZAm ω ω=

=−∑

Ce sont des fonctions croissante deω , dont l’allure est représentée sur la figure ci-contre.

Les kω sont les pulsations de résonance, la

réponse est théoriquement infinie, rappelons que nous sommes toujours sous l’hypothèse des petites perturbations !

( )iiA ω

ω

1ω 2ω 3ω

01ω 02ω


56

Les 0kω sont les pulsations d’antirésonances, la réponse est nulle.

Les pulsations de résonance et d’antirésonance se succèdent. Après réduction de la somme à un dénominateur commun les admittances directes peuvent s’écrire sous la forme :

12 2

1

2 2

1

n

okk

ii n

kk

Aω ω

ω ω

−

=

=

−=

−

∏

∏

Pour les admittances croisées la succession résonance antirésonance est quelconque, il est même possible de « perdre » passer une fréquence de résonance, il suffit que la réponse corresponde à un nœud de vibration du système. On entend par nœud de vibration un degré de liberté du système mécanique ayant une réponse nulle, à cette fréquence.

La représentation graphique des admittances utilise en général une échelle bi-logarithmique en décibel pour l’amplitude et log(r) pour la fréquence réduite.

Application Exercice IV-2: Diagramme de BODE Considérons le système constitué de trois pendules simples identiques de masse m , de longueur . Les masses sont reliées entre elles par des ressorts identiques de raideur k . L’appui A est animé d’un mouvement périodique de petite amplitude : ( ) costu a tω=

gkk

mm mk

u t a t( ) cos= ω

k

On considérera que les ressorts sont non contraints (position d’équilibre) lorsque les trois pendules sont verticaux et que ( ) 0tu = .

Effectuez la mise en équations dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvements.

Calculez les fréquences et les modes propres du système. Pour simplifier les calculs on posera g α= et k mβ=

Déterminez la solution particulière en régime forcé, puis tracer le diagramme asymptotique des courbes de

réponse de chaque pendule en fonction de la fréquence en ( ), log( )dB r

IV-2.5 Calcul pratique des valeurs propres A l’heure actuelle, de nombreuses méthodes efficaces et puissantes sont disponibles dans les bibliothèques informatiques scientifiques. L’étude des algorithmes de ces outils fait l’objet du cours d’analyse numérique ou de calcul numérique. Notre objectif ici est juste de donner un aperçu des premiers outils numériques utilisés pour déterminer les fréquences et modes propres d’un système K,M. Ce qui permet de comprendre les bases du calcul itératif des méthodes actuelles.

IV-2.5.1 Quotient de Rayleigh (1842)

Souvent utilisé pour obtenir une approximation de la fréquence du premier mode (dit fondamental) du système. Le quotient de Rayleigh fournit très rapidement un majorant de la fréquence fondamentale, mais il peut aussi être utilisé (rarement) pour les modes plus élevés.

Les pulsations propres d’un système mécanique sont données par { } [ ]{ }{ } [ ]{ }

2T

i ii T

i i

Z K ZZ M Z

ω =

Considérons maintenant un champ de déplacement de la structure défini par un vecteur { }u


57

Le quotient de Rayleigh ( )R u est défini par : { } [ ]{ }{ } [ ]{ }

( )T

T

u K uR u

u M u=

Exprimons ce vecteur{ }u sur la base propre « M-normée » supposée connue { } [ ]{ }u Z q=

Or [ ] [ ][ ] [ ]1TZ M Z = et [ ] [ ][ ] 2TiZ K Z diag ω⎡ ⎤= ⎣ ⎦

2 2

1

2

1

( )

n

i ii

n

ii

qR u

q

ω=

=

=∑

∑

Supposons maintenant que { }u soit peu différant du jème mode propre, les composantes du vecteur { }q

vérifieront : i ji j q q∀ ≠ ce que nous pouvons écrire i i ji j q qε∀ ≠ = avec iε petit

D’où

2 2 2

2 2 2 21

2 1

1

( )

1

n

j i i ni

j i i jni

ii

R uω ε ω

ω ε ω ωε

=

=

=

+= ≅ + ≅

+

∑∑

∑

Conclusion :

Si { }u est une approximation au premier ordre du jème mode propre, alors le quotient de Rayleigh ( )R u

est une approximation du second ordre de 2jω . En pratique cette propriété sera exploitée en cherchant

une approximation du mode fondamental de la structure

IV-2.3.2 Calcul itératif – méthode de Stodola (1859)

Cette méthode est à la base de nombreuses méthodes numériques de calcul itératif des pulsations et modes

propres du système [ ] [ ]2K Mω−

Partons du problème homogène [ ] [ ]( ){ } { }2 0K M Zω− = que nous multiplions par [ ] 1K − ou [ ] 1M −

Nous obtenons { } [ ]{ }Z D Zλ= avec [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

1 2

1 2

1/

soit

soit

D K M

D M K

λ ω

λ ω

−

−

⎧ = =⎪⎨

= =⎪⎩

Construisons maintenant une suite { } [ ]{ }1n nU D Uλ −=

Exprimons le premier terme de la suite sur la base modale { } [ ]{ } { }01

n

i ii

U Z q Z q=

= =∑

{ } [ ]{ } { }1 01

ni

ii i

qU D U Zλ λλ=

= = ∑

Puis { } [ ]{ } { }22 1 2

1

ni

ii i

qU D U Zλ λλ=

= = ∑

Etc… { } { }1

np i

p i pi i

qU Zλλ=

= ∑

Les valeurs propres étant classées par ordre croissant pour p grand nous avons :


58

{ } { }1 11

p

pU q Zλλ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

{ }{ }

1

1

limp

pp

U

Uλλ

+

→∞=

La suite converge vers la plus petite valeur deλ .

Lorsque le vecteur { }pU est proportionnel à une certaine précision au vecteur{ }1pU − , le processus itératif

est stoppé, le coefficient de proportionnalité donne la valeurλ .

Pour [ ] [ ] [ ]1D K M−= on obtient le mode fondamental et 2min 1λ ω=

Pour [ ] [ ] [ ]1D M K−= on obtient le mode le plus élevé et 2max nλ ω=

Ayant déterminé le premier mode{ }1Z , on effectue un changement de base de façon à travailler avec un

nouveau vecteur { }0U K et M orthogonal à{ }1Z . Le processus convergera alors vers { }2Z et ainsi de suite

pour les p premières valeurs propres que l’on souhaite calculer.

Application Exercice IV-3: Quotient de Rayleigh & méthode itérative Objectif : Illustration des propriétés du quotient de Rayleigh, et du principe de calcul des valeurs et vecteurs propres par une méthode itérative.

Effectuez la mise en équations du système masse ressort schématisé par la figure ci-contre (Amortisseur de FRAHM).

Déterminez la déformée statique, et la base modale du système.

Calculez une approximation de la première fréquence propre à partir du quotient de Rayleigh en adoptant le champ du déplacement statique.

Calculez par la méthode itérative la première fréquence et le mode associé.

g4k

12k

4m

m

Exercice IV-4: Mode rigide, élimination de la singularité de K Objectif : Traiter le cas d’une valeur propre nulle et mettre en œuvre le changement de variables qui permet d’éliminer cette singularité de la matrice raideur.

On s’intéresse aux vibrations de torsion d’un arbre supportant trois disques d’inertie. Les moments d’inertie par rapport à l’axe de rotation sont respectivement : I pour les disques (1) et (3), et 2I pour le disque (2). Les paramètres du mouvement sont les trois rotations iθ .

Chaque portion d’arbre est assimilée à un ressort de torsion de raideur C.

cc

II2I

(1) (3)(2)

Effectuez la mise en équations et déterminer les fréquences et modes propres du système.

La première fréquence propre est nulle. Pour éliminer la singularité de la matrice raideur associée à ce mode rigide, nous effectuons le changement de variables :

{ } { } { }1 1Z q Yθ = +

Tenez compte de la relation de M orthogonalité entre{ }1Z et{ }Y pour déterminez la première

composante de{ }Y en fonctions des deux autres.

En déduire la matrice de changement de base, puis les matrices (2,2) du sous système matriciel régulier.

Vérifiez que vous retrouvez bien les deux pulsations propres non nulles pour ce sous système.


59

IV-3 Étude des systèmes dissipatifs

Les équations du mouvement au voisinage d’une position d’équilibre sont de la forme :

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }M x B x K x f+ + =

La matrice B pouvant être quelconque, cela complique considérablement le problème. Nous envisageons deux méthodes de résolution selon la nature de la matrice amortissement.

Si les modes propres du système conservatif diagonalisent la matrice B, on parle d’amortissement proportionnel, les modes du système dissipatif sont réels. On peut résoudre simplement le système des n équations découplées.

Si les équations ne sont pas découplées par les modes du système conservatif, les modes sont complexes. Nous verrons alors qu’il est possible de reformuler les n équations différentielles du second ordre comme 2n équations différentielles du premier ordre en effectuant un simple changement de variables, c’est la transformation de Duncan.

IV-3.1 Système dissipatif à amortissement proportionnel

Soit [ ]Z la matrice modale du système conservatif.

Condition de Caughey

Si [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]1 1B M K K M B− −= alors la matrice [ ] [ ][ ]TZ B Z est diagonale.

Cette condition est nécessaire et suffisante pour que les modes propres du système conservatif diagonalisent la matrice amortissement. Elle n’a malheureusement pas de sens physique particulier, il est donc difficile de l’utiliser du point de vue pratique.

Une autre approche consiste à supposer que la matrice amortissement est directement proportionnelle soit à la répartition de masse soit à la répartition de raideur de la structure. C’est l’hypothèse de Rayleigh :

[ ] [ ] [ ]B K Mα β= +

Cette hypothèse satisfait bien entendu la condition de Caughey (simple à vérifier), mais elle offre l’avantage d’avoir un sens physique pour l’amortissement interne des matériaux. En effet l’amortissement s’il est introduit dans les lois de comportement conduira à généraliser l’hypothèse de Rayleigh :

[ ] [ ] [ ]P qB K Mα β= +

Par contre pour des amortissements localisés importants (amortisseurs), il ne sera plus possible de faire cette hypothèse.

Signalons enfin l’hypothèse de Basile qui constatant que les termes hors diagonaux de [ ] [ ][ ]TZ B Z étant

faibles, néglige l’influence de ces termes. Cette hypothèse est dangereuse (contestable) car des petits termes peuvent avoir une grande influence dans les résultats du calcul.

Quelque soit les hypothèses, si la matrice [ ] [ ][ ]TZ B Z est diagonale, nous obtenons un système de n

équations découplées que nous savons résoudre.

22 i i i i i iq q qεω ω ϕ+ + = avec { } { }( )T

ii

i

Z f tm

ϕ = puis { } [ ]{ }( ) ( )x t Z q t=


60

IV-3.1 Système dissipatif à amortissement quelconque

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }0M x B x K x+ + =

Sous la forme{ } { } tx e λϕ −= , des solutions non toutes nulles existe si ( )2det 0K M Bλ λ+ − =

Cette équation caractéristique d’ordre 2n en admet des solutions pouvant être réelles, imaginaires pures conjuguées, ou complexes conjuguées.

Les racines réelles sont positives (condition de stabilité des mouvements) et correspondent à des déplacements décroissants. Nous n’étudions pas ces solutions car elles ne présentent pas d’intérêt en vibrations (régime apériodique).

Les racines imaginaires pures conjuguées correspondent à des vibrations non amorties du système. Cette solution correspond à une matrice B antisymétrique. Physiquement c’est le cas pour les systèmes tournant, la matrice B provient des termes de couplage gyroscopique et n’est pas associée à un amortissement de la structure.

Nous n’étudions donc que le cas ou les racines sont complexes conjuguées deux à deux à partie réelle positive. Pour éviter la résolution du problème de valeurs propres dans l’espace complexes, nous allons transformer le système de n équations différentielles du second ordre en un système de 2n équations du premier ordre. Cette méthode développée par Duncan est appelée transformation de Duncan. Elle consiste à joindre aux équations du mouvement l’identité matricielle suivante :

[ ]{ } [ ]{ }M x M x=

D’où le système [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }[ ]{ } [ ]{ } { }0M x B x K x fM x M x

⎧ + + =⎪⎨ − =⎪⎩

Soit : [ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

{ }{ }

000 0

x x fM B Kx xM M

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Il est possible de permuter les variables pour obtenir un système de matrices symétriques

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

{ }{ }

000 0

x xB M Kx x fM M

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Nous sommes ramenés à un système de 2n équations différentielles du premier ordre de la forme

[ ]{ } [ ]{ } { }A Y C Y ϕ+ =

Montrons que [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]

11

1 1 1

0 MA

M M B M

−−

− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎣ ⎦

[ ]A étant symétrique [ ] 1A −est de la forme [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]1 0 b

Ab c

− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Avec [ ][ ] [ ]b M Id= et [ ][ ] [ ][ ] [ ]0b B c M+ =

Nous en déduisons [ ] [ ] 1b M −= et [ ] [ ] [ ][ ]1 1c M B M− −= −

Pour obtenir la réponse en régime libre nous avons donc les étapes suivantes :


61

Calculer les valeurs propres de [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]1

1 1

0 IdA C

M K M B−

− −

⎡ ⎤−= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

p p piδ λ ω= ±

D’où les 2n équations 0p p pq qδ+ =

Dont les solutions sont ptp pq Q e δ−=

Les pQ s’expriment en fonction des conditions initiales

Ayant les pq on peut remonter aux variables { }Y donc { }x … on ne le fera pas à la main.

IV-4 Trois exercices de synthèse

Exercice IV-5: Amortisseur de FRAHM Objectif : Détermination de la réponse impulsionnelle (analyse modale), et du régime permanent harmonique. Comparaison amortisseur libre et bloqué.

Ce dispositif (Amortisseur de FRAHM) permet d’atténuer l’amplitude des vibrations d’un système mécanique, dans une gamme de fréquences donnée. Le principe consiste à ajouter au dispositif principal (m1 ,k1) un dispositif secondaire (m2 ,k2).

g

k1

k2m2

m1

Effectuez la mise en équations, et déterminez la base modale du dispositif.

On prendra : 1 4m m= , 2m m= , 1 12k k= , 2 2k k=

Calculez la réponse complète du système à une percussion d’intensité P appliquée sur le dispositif principal. Comparez à la réponse obtenue amortisseur bloqué.

Déterminez la solution particulière en régime forcé harmonique pour une force cosF tω appliquée sur le dispositif principal. Comparez à la réponse obtenue amortisseur bloqué.

Annexe : Que donne la comparaison dans le cas d’un échelon (réponse indicielle).

Exercice IV-6: Double pendule Objectif : Comparaison des réponses linéarisée et non linéarisée (sous Matlab).

Le Double pendule est constitué de deux masses 1 2( , )m m soumises à leur poids

propre. Elles sont reliées par deux fils inextensibles de longueur respective 1 2( , ) .

Effectuez la mise en équations, sans linéarisation. Pour simplifier la programmation on prendra : 1 2m m m= = , et 1 2= =

Linéariser les équations et déterminez la réponse à des conditions initiales données.

Sous Matlab comparer les solutions linéarisée et non linéarisée.

θ1

θ2

yo

g

xo

1

2

1m

2m


62

Exercice IV-7: Plaque sur ressorts Objectif : Exercice complet : oscillations libres et solution particulière forcée.

Une plaque rectangulaire (2b, 2a) rigide de masse négligeable repose sur trois ressorts verticaux identiques de raideur k. A chaque sommet de la plaque est fixée une charge de masse m/4.

Un système de guidage parfait n’autorise que 3 mouvements : une translation verticale z , et deux rotations notéesα et β .

On pose{ }TX z a bα β=< > .

A l’équilibre dans le champ de pesanteur la plaque est horizontale.

g

k

k

k

F

xoα

yo

zo

2a

βz2b

Effectuez la mise en équations dans le cadre de l’hypothèse des petits mouvements, et calculez les précontraintes dans les ressorts à l’équilibre.

Oscillations libres : On posera 2 /o k mω = et 6o oV hω=

Calculez les pulsations et les modes propres du système.

Vous construirez une base normalisée telle que [ ] [ ][ ] [ ]1TZ M Z m= , avec [ ]1 matrice unité.

À l’instant initial la plaque passe par sa position d’équilibre, tous ses points ayant la même vitesse verticale dirigée vers le haut oV . Déterminez les oscillations libres de la plaque.

Réponse forcée :

Utilisez la base modale pour déterminer la solution particulière forcée de la plaque soumise à une force verticale d’intensité constante F, appliquée en un point P de la plaque qui décrit un cercle de centre G de rayon R avec une vitesse angulaire constante ω.


63

Notes personnelles


64

V – Vibrations des milieux continus

65

V Vibrations des milieux continus

Dans ce chapitre nous étudions la résolution formelle des problèmes de vibrations des milieux continus dont les mouvements sont régis par les équations différentielles de la forme suivantes :

( )( ) ( ) PP D u u f∀ ∈ + =M L 1

Si L est un opérateur d’ordre « p », nous aurons « p » conditions aux limites :

surd u

surd

u u S

n T Sσσ

=⎧⎪⎨

=⎪⎩

Et deux conditions initiales :( 0) 0

( 0) 0

t position initiale

t vitesse initiale

u uu u

=

=

=⎧⎨ =⎩

Nous allons retrouver les notions de fréquences et mode propres, d’orthogonalité, d’analyse modale que nous avons vu lors de l’étude des systèmes discrets. Ceci n’est pas surprenant car tout système continu peut être regardé comme un système discret à « n » paramètres. A la limite en affinant la discrétisation on peut espérer obtenir le système continu dont on a effectué la discrétisation.

Les problèmes pouvant être traité par les méthodes analytiques que nous allons présenter sont peu nombreux et restent toujours académiques. Ils sont cependant utiles à une bonne compréhension des phénomènes, et les solutions analytiques seront utilisées comme éléments de comparaison et de validation des méthodes numériques utilisées pour résoudre des problèmes industriels.

De même que pour l’étude des systèmes discrets, nous débuterons ce chapitre par l’étude du régime libre (résolution du problème homogène), puis nous utiliserons les solutions élémentaires obtenues (modes de vibration) comme base de projection pour construire la réponse complète (régime forcé).

Définitions :

Fonctions cinématiquement admissibles : Ces fonctions vérifient les conditions aux limites en déplacement et sont « p » fois différentiables sur le domaine.

Fonctions de comparaison : Ces fonctions vérifient toutes les conditions aux limites et sont « 2p » fois différentiables sur le domaine.

Fonctions propres (modes) : Sont les fonctions qui vérifient toutes les conditions aux limites et l’équation locale sur le domaine.

V-1 Régime libre

Intéressons nous à la résolution du problème homogène associé :

Équation locale : ( ) ( ) 0P D u u∀ ∈ + =M L

Associée aux « p » conditions aux limites homogènes : ( ) 0P D u∀ ∈∂ =iB

Les problèmes de mécanique que nous étudions sont dit auto-adjoint : c'est-à-dire que pour toute fonction de comparaison du problème homogène nous pouvons vérifier la symétrie des opérateurs L et M . Cette propriété est liée à l’existence de l’énergie cinétique et de l’énergie de déformation pour tout système mécanique. 1 L et M Sont des opérateurs différentielles linéaires, supposés homogènes, définis sur le domaine.


66

Propriété :

Un opérateur L est dit auto-adjoint, si pour toute fonction de comparaison ,u v on vérifie :

de comparaison, ( ) ( ) u v u v d v u d∀ =∫ ∫D D

L D L D

Pour un problème donné la démonstration de cette propriété ce fait de façon identique à la démonstration de l’équivalence PTV - PFD que nous avons faite dans le chapitre II-4.3. Cette démonstration consiste à transformer la forme intégrale en effectuant une intégration par parties pour faire apparaître les conditions aux limites du problème. Celles-ci étant satisfaites par les fonctions de comparaisons, il reste dans la forme intégrale une fonction symétrique en u et v. Cette forme peut être rapprochée à l’énergie de déformation du milieu.

Nous nous intéressons aux petits mouvements d’une structure par rapport à une position d’équilibre supposée stable, les opérateurs L et M sont donc définis positifs

Propriété :

Un opérateur L est défini positif, si pour toute fonction de comparaison u on vérifie :

de comparaison ( ) 0u u u d∀ >∫D

L D

V-1.1 Problème aux valeurs propres La solution du problème homogène (sans amortissement) est supposée séparable en espace et en temps, nous pouvons donc poser :

( , ) ( ) ( )P t P tu U f=

L’équation locale se met alors sous la forme : ( )( )

f Uf U= −

LM

Les opérateurs L et M étant supposés définis positifs, la solution en temps sera harmonique : 2f fω= −

Nous sommes ramenés à l’étude du problème aux valeurs propres suivant :

2( ) ( ) 0

( ) 0

P D U U

P D U

ω⎧∀ ∈ − =⎪⎨∀ ∈∂ =⎪⎩ i

L M

B

Les solutions ( )PZ de l’équation différentielle en espace dépendent de « p » constantes d’intégrations. Ces

constantes étant associées aux « p » conditions aux limites homogènes : ( ) 0U =iB

Ce système admet une solution non banale si le déterminant du système est nul. Cette équation dite équation caractéristique est une équation implicite en ω qui admet une infinité dénombrable de solutions iω qui sont

les pulsations propres du système étudié.

A chaque pulsation propre correspond au moins un mode propre ( )PiZ . Ces modes sont définis à une

constante multiplicative près (choix d’une norme). Ils caractérisent des déformées élémentaires de la structure à partir desquelles nous allons pouvoir construire une solution générale.

V-1.2 Théorème d’expansion Propriété :

Il existe au moins une base modale (ensemble des modes) L et M orthogonale


67

Soit deux vecteurs propres ,i jZ Z associés à deux pulsations propres distinctes, nous avons :

2

2

( ) ( ),

( ) ( )i i i

j j j

Z Zi j

Z Zωω

⎧ =⎪∀ ⎨ =⎪⎩

L ML M

Multiplions ces relations par ,j iZ Z et intégrons sur le domaine, nous obtenons par différence :

( ) ( )2 2( ) ( ) ( ) ( )j i i j i j i j i jD D

Z Z Z Z d Z Z Z Z dω ω− = −∫ ∫L L D M M D Multiplions ces relations par

Le problème aux valeurs propres étant auto-adjoint (symétrie pour des fonctions de comparaison) :

( )2 20 ( )i j j iD

Z Z dω ω= −∫ M D

Cas ou les valeurs propres sont distinctes i jω ω≠ ( ) 0j iD

Z Z d =∫ M D

Les modes sont L et M orthogonaux

Cas d’une valeur propre multiple, soit p’ l’ordre de multiplicité de la valeur propre, le sous espace propre associé est de dimension p’. Les p’ vecteurs propres définissant une base de ce sous espace sont définis à p’ constantes près (le rang du système matriciel est p-p’), ils sont quelconques entre eux. Ces p’ vecteurs du sous espace propres sont L et M orthogonaux aux n-p autres vecteurs propres. Nous choisirons p’-1 constantes, en écrivant les p’-1 conditions de L ou M orthogonalités. Chaque vecteur est alors déterminé à une constante multiplicative près.

En pratique on construira toujours une base L et M orthogonale

Théorème d’expansion :

Toute base modale constitue une base complète, c'est-à-dire que toute fonction de comparaison peut être représentée par une série uniformément convergente construite sur les modes propres du problème homogène associé soit :

( , ) de comparaison ( ) ( )1

P t P ti ii

u u Z q∞

=

∀ =∑

Ce théorème permet de chercher une solution du problème sous forme d’une combinaison linéaire des modes propres du problème homogène associé.

Application Exercice V-1: Pulsations propres et base modale Objectifs : Modes de vibrations et propriétés du problème aux valeurs propres

Oscillations libres.

1 Mise en équations Poser le système d’équations du problème représenté sur la figure ci-contre

Pb de flexion

2 Problème aux valeurs propres

Chercher les solutions harmoniques de la forme : ( , ) ( ) ( )v x t V x f t=

Montrez qu’il existe un mode rigide de translation (fréquence nulle)

Déterminer les pulsations et modes propres de vibrations de cette structure.

Vérifier que les modes sont « L et M » symétriques et orthogonaux


68

Utilisez la norme suivante : ( )i io

V M V dx m=∫ , m étant la masse de la poutre.

3 Oscillations libres

Déterminer la réponse de la structure aux conditions initiales suivantes : ( , ) ( )( , ) ( )

o

o

v x o v xv x o v x

=⎧⎨ =⎩

déplacement et vitesse initiales données.

V-1.3 Réponse à des conditions initiales non nulles Le problème posé est un problème d’oscillations libres.

Appliquons le Théorème d’expansion, les iZ satisfaisant toutes les conditions aux limites du problème,

nous sommes ramené à la résolution du problème en temps suivant :

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

0P t P ti i i ii i

P D Z q Z q∞ ∞

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∀ ∈ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑M L

Conditions initiales :

( ) ( 0) 01

( ) ( 0) 01

P t position initialei ii

P t vitesse initialei ii

Z q u

Z q u

∞

=

=

∞

=

=

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

∑

∑

Multiplions ces relations par jZ et intégrons sur le domaine, la L et M orthogonalité des modes permet de

découpler les équations. Ce qui nous conduit à un système ∞ d’équations à un degré de liberté.

[ [ 2( ) ( )1, 0t ti i ii q qω∀ ∈ ∞ + =


( ) ( )

( ) ( )0

0

( ) ( )

( ) ( )

io i i iD D

io i i iD D

q Z u d Z Z d

q Z u d Z Z d

⎧ =⎪⎪⎨

=⎪⎪⎩

∫ ∫

∫ ∫

M D M D

M D M D

La solution est donc : ( ) ( )

1

P ti ii

u Z q∞

=

=∑ avec cos sinioi io i i

i

qi q q t tω ωω

∀ = +

V-I1 Régime forcé par l’analyse modale

Nous présentons ici la solution générale du problème obtenue par analyse modale. Le problème à résoudre est de la forme :

Équation locale : ( , )( ) ( ) P tP D u u f∀ ∈ + =M L

Associée aux « p » conditions aux limites : ( , )( ) P tiP D u e∀ ∈∂ =iB

Et deux conditions initiales ( ) ( )0 0,P Pu u données

Pour pouvoir utiliser le Th d’expansion, il faut se ramener à un problème ayant des conditions aux limites homogènes, pour cela nous cherchons une solution de la forme :

( , ) ( , ) ( ) ( )1

p

P t P t P tj jj

u v g e=

= +∑


69

Les conditions aux limites s’écrivent alors :

[ ] ( )( ) ( ) ( , )

1

1, ( ) p

P t P tj j ij

i p v g e e=

∀ ∈ + =∑i iB B

Choisissons des fonctions ( )Pjg telles que [ ]1, ( ) 0i p v∀ ∈ =iB

C'est-à-dire satisfaisant les p relations suivantes : [ ] 11, ( )

0j

si i ji p g

si i j=⎧

∀ ∈ = ⎨ ≠⎩iB

Remarque :

Le choix des ( )Pjg n’est pas unique, mais les résultats obtenus en fin de calcul sont équivalents.

En reportant ce changement de variable dans les équations du problème, nous obtenons :

Équation locale : ( )( ) ( )

1

( ) ( ) ( ) + ( )p

t tj j j jj

P D v v f g e g e=

∀ ∈ + = −∑M L L M

Associée aux « p » conditions aux limites : [ ]1, ( ) 0i p P D v∀ ∈ ∀ ∈∂ =iB avec ( )j ijg δ=iB

Et deux conditions initiales

(0)0 01

(0)0 01

p

j jj

p

j jj

v u g e

v u g e

= −

=

= −

=

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∑

∑

Sur ce problème nous pouvons chercher une solution de la forme : ( , ) ( ) ( )1

P t P ti ii

v Z q∞

=

=∑

D’où le problème en temps :

( ) ( ) ( ) ( ) ( , )

1 1

'P t P t P ti i i ii i

Z q Z q f∞ ∞

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑M L


( ) ( 0) 01

( ) ( 0) 01

P ti ii

P ti ii

Z q v

Z q v

∞

=

=

∞

=

=

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

∑

∑

Multiplions ces relations par jZ et intégrons sur le domaine, la L et M orthogonalité des modes permet de

découpler les équations.

Posons ( )( )ii i iD

m Z Z d= ∫ M D

D’où le système ∞ d’équations à un degré de liberté.

[ [ 2( ) ( ) ( , )

11, 't t P ti i i iii D

i q q Z f dm

ω∀ ∈ ∞ + = ∫ D


( )

( )

0

0

1 ( )

1 ( )

io iii D

io iii D

q Z v dm

q Z v dm

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

∫

∫

M D

M D


70

La solution est donc : ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

p

P t P ti i j ji j

u Z q g e∞

= =

= +∑ ∑

avec 0

( )sin ( ) cos sint

io i ii io i i

i i

q ti q q t t dϕ τ ω τω ω τω ω

−∀ = + + ∫

ou ( , )1 ' P ti i

ii D

Z f dm

ϕ = ∫ D

En pratique :

• Il est souvent possible de transformer à vue les conditions aux limites non homogènes en conditions homogènes en introduisant les termes d’excitation dans l’équation locale via l’intermédiaire d’un Dirac. Cette opération évite d’effectuer le changement de variables.

• Pour des excitations simples (harmonique, ou échelon) il est plus rapide de chercher directement une solution particulière du problème sans passer par l’analyse modale. On peut ensuite chercher la solution complète (si nécessaire) sous la forme solution générale + solution particulière.

Application Exercice V-2 : Base modale et réponse forcée. Objectifs : Norme des modes de vibrations.

Solution particulière.

1 Mise en équations Poser le système d’équations du problème représenté sur la figure ci-contre

2 Problème aux valeurs propres

yo

xo

(ρ , E, I, S)tF

Déterminer les pulsations et modes propres de vibrations de cette structure. Montrez que pour ( ) cos sin cosh sinhV x A x B x C x D xλ λ λ λ= + + +

( )2 2 2 2 2( )2o

V dx A B C D= + + −∫

3 Réponse forcée Déterminer la solution particulière forcée pour une excitation harmonique cosF tω

a- directement b- par l’analyse modale

V-III Méthodes d'approximation

Toutes les méthodes d'approximation ont un même objectif, remplacer un problème mathématique défini sur un milieu continu (équations différentielles ou intégrales) par un problème mathématique discret (équation matricielle). Problème de dimension finie que l'on sait résoudre numériquement. La méthode des résidus pondérés (annulation d'erreur) utilise comme point de départ le système d’EDP (équations différentielles) défini par les équations locales et les conditions aux limites du problème.

Les Méthodes variationnelles : utilisent comme point de départ un principe variationnel qui est une formulation énergétique du problème qui conduit directement à une forme intégrale des équations. La figure suivante permet de distinguer la méthode en fonction de la démarche utilisée pour obtenir une forme intégrale du problème. La transformation puis la discrétisation de cette forme intégrale conduit à une équation matricielle que l’on saura résoudre analytiquement ou numériquement.


71

Mise en équations"Formulation mathématique

du problème (PFD)"

Système physiquecontinu

Formes différentielles

Formes intégrales

Formes matricielles

Méthodes desrésidus pondérés

Méthodesd'approximationDiscrétisation

Méthodesvariationelles

"Formulation mathématiquedu problème (PTV)"

Vue synthétique des méthodes d'approximation

V-III.1 Méthode des résidus pondérés. Le point de départ est un système d'équations différentielles (PFD)

Équation locale : ( , )( ) ( ) P tP D u u f∀ ∈ + =M L

Associée aux « p » conditions aux limites homogènes: ( ) 0P D u∀ ∈∂ =iB

Admettons que nous soyons capables de construire une approximation *u satisfaisant toutes les conditions aux limites homogènes du problème.

Soit sous forme matricielle, une approximation à n paramètres :

{ }( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

*n

M t M t M ti ii

u w q w q=

= =< >∑

Les n fonctions de forme ( )Miw devront satisfaire toutes les conditions aux limites du

problème ces fonctions sont dites fonctions de comparaison.

Le résidu ( *)R u est alors l'erreur commise en utilisant cette approximation pour écrire l'équation locale.

( , )( *) ( *) ( *) P tP D R u u u f∀ ∈ = + −M L

Annuler l'erreur pondérée sur le domaine, consiste à écrire la forme intégrale suivante :

( ) ( ) ( , ) ( * ) 0M M M ti iD

P P R u dV∀ =∫

Les fonctions Pi M( ) dites de fonctions de pondération (fonctions tests, poids) sont des fonctions quelconques définies sur le domaine D

Remarque : Du point de vue mathématique, au lieu de résoudre l’équation ( ) 0R u = on considère le problème

mathématiquement équivalent :∀ϕ . ( ) 0D

R u dVϕ =∫

L’équation { }( ) ( ) ( )( ) 0M M tiD

P R w q dV< > =∫ est une équation à n inconnues ( )tiq

Pour obtenir un système matriciel de n équations à n inconnues, nous nous limitons à n fonctions de pondération pour annuler l’erreur :

Deux méthodes sont souvent citées Galerkin choix P wCollocation choix P

i i

i M M i

:: ( )

==

⎧⎨⎩ −δ


72

Pour Galerkin, la forme matricielle des n équations { }( ) ( ) ( )( ) 0M M tiD

w R w q dV< > =∫ sera :

[ ]{ } [ ]{ } { }M q K q F+ = avec

[ ]

[ ]

{ }

( )

( )

T

D

T

D

T

D

M w w dV

K w w dV

F w f dV

⎧= < > < >⎪

⎪⎪ = < > < >⎨⎪⎪ = < >⎪⎩

∫

∫

∫

M

L

Exemple : Approximation pour l’étude dynamique d’une barre soumise à son poids propre

(ρ, E, S)x

o

g

(EDP) :

] [ ,

,

équation locale :

(0, )conditions aux limites

( , )

0, 0 0 0

xx

x

t

t

x Su ESu gSx ux ESu

ρ ρ⎧ ∀ ∈ − =⎪

= =⎧⎨⎨⎪ = =⎩⎩

L’approximation { }( , ) ( ) ( )x t x tu w q=< > avec 2( ) ( )ixiw x x= − est deux fois

dérivable est satisfait toutes les CL du problème, nous avons donc :

2

2

S

ESx

f gS

ρ

ρ

=⎧⎪ ∂⎪ =⎨ ∂⎪

=⎪⎩

M

L définie

[ ]

[ ]

{ }

,

T

o

Txx

o

T

o

M w S w dx

K w ES w dx

F w gSdx

ρ

ρ

⎧= < > < >⎪

⎪⎪⎪ = − < > < >⎨⎪⎪⎪ = < >⎪⎩

∫

∫

∫

Application Exercice V-3: Méthodes des résidus pondérés Thème : Mise en équations et méthodes d’approximation appliquées à une poutre, comparaison à la solution analytique. Nous nous intéressons aux oscillations verticales de la poutre représentée par la figure ci contre. Mise en équations - Solution analytique.

g

Écrivez le système d’équations différentielles régissant ce problème.

Déterminez les 3 premiers modes de vibrations de cette structure. Cette solution analytique servira de comparaison pour les modèles numériques (approximations).

Approximation polynomiale.

Nous cherchons deux fonctions de comparaison, c'est-à-dire deux fonctions de forme, satisfaisants toutes les conditions aux limites du problème.

Montrer que 2 ( )x x− est une fonction cinématiquement admissible.

Déterminer deux fonctions satisfaisant toutes les conditions aux limites du problème. On cherchera des fonctions de la forme :

2 ( ) ( )x x P x− avec ( )P x polynôme de degré 1 puis 2


73

Méthode de Galerkin.

Cette méthode consiste à utiliser les fonctions de forme comme fonctions tests dans la méthode des résidus pondérés.

Comparez les résultats obtenus avec la première fréquence propre pour chacun des polynômes précédents, (approximation à un paramètre).

Construisez le système matriciel correspondant à l’approximation à deux paramètres sur les deux polynômes précédents. Comparer l’approximation des deux premières fréquences propres à la solution analytique.

Réponse statique.

Déterminer la réponse statique, dans le cadre de l’approximation à deux paramètres, de la structure placée dans le champ de pesanteur.

Si les fonctions de forme ne satisfont pas les CL en force, il faudra effectuer une intégration par partie de la forme intégrale précédente pour faire apparaître et prendre en compte l’erreur sur ces conditions aux limites. Cette transformation conduit à la forme intégrale directement obtenue à partir de la formulation variationnelle du problème (PTV).

V-III.2 Méthode variationnelles discrétisées. Le point de départ est un principe Variationnel (PTV).

Le PTV : . : . . D D D S

u u u dv dv f u dv T u dsδ δ ρ σ δε δ δ∀ + = +∫ ∫ ∫ ∫

Pour un champ de déplacement virtuel cinématiquement admissible, il ne reste que des efforts donnés dans l’équation c’est l’équation des mouvement en u .

Discrétiser le principe consiste à utiliser une approximation cinématiquement admissible à n paramètres pour exprimer les déplacements, sous forme matricielle nous écrirons :

Champ des déplacements : { }( , ) ( ) ( )M t M tu w q=< >

Déplacements virtuels : { }( ) ( )M Mu w qδ δ=< > (On utilise les mêmes fonctions de formes)

Contraintes - déformations :{ } [ ]{ }σ ε= D (lois de comportement généralisée)

Déformations - déplacements :{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }L u L w q B qε = = < > = (relations géométriques)

D’où la forme matricielle du PTV : [ ]{ } [ ]{ } { }M q K q F+ =

Avec [ ] ( ) ( ) TM M

D

M w w dVρ= < > < >∫

[ ] [ ] [ ] [ ] T

D

K B D B dV= ∫ et { } ∫∫ ><+><=D

TM

D

M dSfwdVfwF∂

)()(

Exemple : reprenons le cas de la barre en traction-compression

(ρ, E, S)x

o

g

(PTV) : , , CA x xo o o

u uu Sdx u u ESdx u gSdxδ δ ρ δ δ ρ∀ + =∫ ∫ ∫

Avec 0ouδ = déplacements virtuels cinématiquement admissibles : .

L’approximation { }( , ) ( ) ( )x t x tu w q=< > avec ( )i

xiw x= est dérivable est

satisfait les CL cinématique du problème, nous avons donc :


74

[ ]

[ ]

{ }

, ,

T

o

Tx x

o

T

o

M w S w dx

K w ES w dx

F w gSdx

ρ

ρ

⎧= < > < >⎪

⎪⎪⎪ = < > < >⎨⎪⎪⎪ = < >⎪⎩

∫

∫

∫

Matrices symétriques définies positives

Les résultats obtenus avec cette approximation seront moins bons car l’approximation est moins riche, elle ne satisfait pas la condition de bord libre. Il faudra utiliser plus de termes dans la base polynomiale pour assurer la convergence numérique, par contre la construction de l’approximation est plus simple et pourra être rendue systématique (éléments finis)

Si on utilise l’approximation 2( ) ( )ixiw x x= − on retrouve les mêmes résultats que par la méthode des

résidus pondérés, les deux formulations sont équivalentes

Application Exercice V-4 : Formulation variationnelle « PTV » Thème : Formulation variationnelle « PTV » – Approche énergétique « Équations de Lagrange » et lien avec Galerkin. Nous reprenons la structure de l’exercice précédent.

Pour une approximation cinématiquement admissible de ce problème, nous allons construire le système matriciel des équations du mouvement à partir de la formulation variationnelle (ou énergétique) du problème.

g

Approximation

Soit les fonctions de forme : ( )1

sin sinn

n xn x ππ α+

+

Déterminer la condition sur nα pour obtenir des fonctions cinématiquement admissibles.

Donner l’expression matricielle d’une approximation à n paramètres du champ de déplacement ( , )x tv .

Formulation variationnelle PTV

Donner la forme intégrale générale du PTV pour ce problème.

Donner la forme matricielle associée pour une approximation cinématiquement admissible.

Calculer les différents termes de cette expression matricielle.

Exprimer l’équation matricielle pour une approximation à deux paramètres.

Formulation énergétique

Donner la forme matricielle associée aux énergies, cinétique et potentielle, dans le cadre d’une approximation.

En déduire les équations de Lagrange associées à l’approximation proposée ici.

Équivalence avec Galerkin.

A partir du PTV effectuez des intégrations par parties pour retrouver la formulation intégrale des résidus pondérés.

Justifier pourquoi les résultats sont identiques.


75

Notes personnelles

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