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IAE Plaques

Georges Cailletaud

Centre des MatériauxEcole des Mines de Paris/CNRS

Plan

1 Cinématique, plaque épaisse de Reissner–Mindlin

2 Application du théorème des travaux virtuelsEfforts intérieursEfforts extérieursEquilibre et conditions aux limites

3 Loi de comportement

4 Plaque de Kirchhoff–Love

5 ExemplesMatériau isotropeMatériau anisotropeCalcul des contraintes

Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques 22 mai 2006 2 / 46

Plan






Cinématique, plaque épaisse de Reissner–Mindlin

Cinématique d’une plaque épaisse (Reissner–Mindlin)

Plaque définie dans le plan (x1–x2) ; normale à la plaque x3, épaisseur h.

Déplacement défini par 3 translations, U1, U2, W , et deux angles, θ1 et θ2, qui sontfonctions de x1–x2 uniquement.

1θ

2θ

1x

2x

3x

u1(x1,x2,x3) = U1 +θ2x3

u2(x1,x2,x3) = U2−θ1x3

u3(x1,x2,x3) = W

u = U+ x3Φ

U = U +W e3 =

U1

U2

0

+

00W

Φ =

Φ1

Φ2

0

=

θ2

−θ1

0



Calcul du tenseur de déformationA partir de :

u1 = U1 +θ2x3

u2 = U2−θ1x3

u3 = W

Il vient :

ε11 = U1,1 +θ2,1x3

ε22 = U2,2−θ1,2x3

ε33 = 0

2ε12 = U1,2 +θ2,2x3 +U2,1−θ1,1x3

2ε23 =−θ1 +W,2

2ε31 = θ2 +W,1



Structure du tenseur de déformation

ε∼ = d∼ + x3K∼ +b∼

Tenseur déformation de membrane (partie symétrique du gradient de U)

d∼ =

(U1,1 (U1,2 +U2,1)/2

(U2,1 +U1,2)/2 U2,2

)Tenseur de courbure (partie symétrique du gradient de Φ)

K∼ =

(θ2,1 (θ2,2−θ1,1)/2

(θ2,2−θ1,1)/2 −θ1,2

)Cisaillement (vecteur cisaillement)

b∼ =

0 0 θ2 +W,1

0 0 −θ1 +W,2

θ2 +W,1 −θ1 +W,2 0

b = Φ+gradW =

(θ2 +W,1

−θ1 +W,2

)


Plan






Application du théorème des travaux virtuels Efforts intérieurs

Puissance virtuelle

−δWint =Z

VσijεijdV

=Z

V

(σαβεαβ +2σα3εα3

)dV

=Z

SδWhdS

avec

δWh = U1,1

Zh

σ11dx3 +θ2,1

Zh

σ11x3dx3 +U2,2

Zh

σ22dx3−θ1,2

Zh

σ22x3dx3

+(U1,2 +U2,1)Z

hσ12dx3 +(θ2,2−θ1,1)

Zh

σ12x3dx3

+(−θ1 +W,2)Z

hσ23dx3 +(θ2 +W,1)

Zh

σ31dx3



Définition des efforts intérieurs

Variable associée définition :

U1,1 N11 =Z

hσ11dx3

θ2,1 M11 =Z

hσ11x3dx3

U2,2 N22 =Z

hσ22dx3

−θ1,2 M22 =Z

hσ22x3dx3

(U1,2 +U2,1)/2 N12 =Z

hσ12dx3

(θ2,2−θ1,1)/2 M12 =Z

hσ12x3dx3

(−θ1 +W,2)/2 T2 =Z

hσ23dx3

(θ2 +W,1)/2 T1 =Z

hσ31dx3



Définitions

Tenseur des efforts de membrane :

N∼ =

(N11 N12

N21 N22

)Nαβ =

Zh

σαβdx3

Tenseur des moments :

M∼ =

(M11 M12

M21 M22

)Mαβ =

Zh

x3σαβdx3

Vecteur des cisaillements transverses :

Tα =Z

hσα3dx3



Traitement des efforts intérieurs

−δWint =−δW Mint −δW F

int −δW Sint

=Z

SNαβUαβdS +

ZS

MαβKαβdS +Z

STαbαdS

Membrane :

−δW Mint =

ZS(N11U1,1 +N22U2,2 +N12(U1,2 +U2,1))dS

Flexion :

−δW Fint =

ZS(M11θ2,1−M22θ1,2 +M12(θ2,2−θ1,1))dS

Cisaillement :

−δW Sint =

ZS(T1(θ2 +W,1)+T2(−θ1 +W,2))dS



Intégration par partie, membrane

ZS

N11U1,1dS =Z

S((N11U1),1−N11,1U1)dSZ

SN22U2,2dS =

ZS((N22U2),2−N22,2U2)dSZ

SN12U1,2dS =

ZS((N12U1),2−N12,2U1)dSZ

SN21U2,1dS =

ZS((N21U2),1−N21,2U2)dS

−δW Mint =

ZΓ[(N11n1 +N12n2)U1 +(N21n1 +N22n2)U2]ds

−Z

S[(N11,1 +N12,2)U1 +(N21,1 +N22,2)U2]dS

=Z

Γ(N∼ .n).Uds−

ZS

divN∼ .UdS



Intégration par partie, flexion

ZS

M11θ2,1dS =Z

S((M11θ2),1−M11,1θ2)dS

−Z

SM22θ1,2dS =−

ZS((M22θ1),2−M22,2θ1)dSZ

SM12θ2,2dS =

ZS((M12θ2),2−M12,2θ2)dS

−Z

SM21θ1,1dS =−

ZS((M21θ1),1−M21,1θ1)dS

−δW Fint =

ZΓ[(M11n1 +M12n2)θ2− (M21n1 +M22n2)θ1]ds

−Z

S[−(M11,1 +M12,2)θ2 +(M21,1 +M22,2)θ1]dS

=Z

Γ(M∼ .n).Φds−

ZS

divM∼ .ΦdS



Intégration par partie, cisaillement

ZS

T1W,1dS =Z

S((T1W ),1−T1,1W )dSZ

ST2W,2dS =

ZS((T2W ),2−T2,2W )dS

−δW Sint =

ZΓ(T1n1 +T2n2)Wds−

ZS(T1,1 +T2,2)WdS

+Z

S(T1θ2−T2θ1)dS (provient de la rotation)

=Z

Γ(T .n)Wds−

ZS(divT W +T .Φ)dS


Plan






Application du théorème des travaux virtuels Efforts extérieurs

Travail virtuel des efforts extérieurs, force de volume

δW Vext =

ZV

f V .udV =Z

Vf V .(U +W e3 + x3Φ)dV

=Z

S(Uα

Zh

f Vα dx3 +W

Zh

f V3 dx3 +Φα

Zh

x3f Vα dx3)dS

=Z

S(Uαtα +Wp3 +Φαmα)dS

Densité surfacique d’effort de membrane : tα =Z

hf Vα dx3

Densité surfacique d’effort normal au plan de la plaque : p3 =Z

hf V3 dx3

Couple surfacique (en général nul) : mα =Z

hx3f V

α dx3


Application du théorème des travaux virtuels Efforts extérieurs

Travail virtuel des efforts extérieurs, frontière de la plaque

δW Sext =

Z∂V

f S.u dΣ =Z

∂Vf S.(U +W e3 + x3Φ))dΣ

=Z

Γ(Uα

Zh

f Sα dx3 +W

Zh

f S3 dx3 +Φα

Zh

x3f Sα dx3)ds

=Z

Γ(UαFα +WP3 +ΦαCα)ds

Densité linéique d’effort de membrane : Fα =Z

hf sαdx3

Densité linéique d’effort normal au plan de la plaque : P3 =Z

hf s3 dx3

Couple surfacique : Cα =Z

hx3f s

αdx3


Plan






Application du théorème des travaux virtuels Equilibre et conditions aux limites

Application du principe des travaux virtuels, termes sur S

On obtient les équations d’équilibre.

−δWint =Z

S(divN∼ .U +divM∼ .Φ+divT W −T .Φ)dS

δWext =Z

S(t.U +Wp3 +Φ.m)dS

MembranedivN∼ + t = 0

MomentsdivM∼ −T +m = 0

Cisaillement transversedivT +p3 = 0



Application du principe des travaux virtuels, termes sur Γ

On obtient les conditions aux limites.

δWint =Z

Γ(N∼ .n).U +(M∼ .n).Φ+(T .n)Wds

δWext =Z

Γ(F .n +WP3 +Φ.C)ds

MembraneN∼ .n = F

MomentsM∼ .n = C

Cisaillement transverseT .n = P3



Comparaison avec la théorie des poutres (1)

Théorie des plaques épaisses Théorie des poutresReissner–Mindlin Timoshenko

Equilibre EffortMembrane divN∼ + t = 0 N,1 + t = 0 longitudinal

Equilibre Equilibredes moments divM∼ −T = 0 M,1−T = 0 du moment

Cisaillement Cisaillementtransverse divT +p3 = 0 T,1 +p3 = 0 transverse

Les deux théories supposent que la structure supporte lecisaillement dans son épaisseur


Plan






Loi de comportement

Etablissement de la loi de comportementOn considérera deux cas :

Matériau isotrope (E , ν)σ11

σ22

σ12

=E

1−ν2

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

ε11

ε22

ε12

σα3 =

E

1+νεα3

Matériau anisotropeσ11

σ22

σ12

=E

1−ν2

Q11 Q12 Q16

Q21 Q22 Q26

Q61 Q62 Q66

ε11

ε22

2ε12

On négligera les cisaillements dans ce dernier cas (plaque mince)

Q11 = c4En + s4Et +2c2s2(νtnEn +2µnt )

Q22 = s4En + c4Et +2c2s2(νtnEn +2µnt )

Q66 = c2s2(En +Et −2νtnEn)+(c2 − s2)2µnt

Q12 = c2s2(En +Et −4µnt )+(c4 + s4)νtnEn

Q16 =−cs(

c2En − s2Et − (c2 − s2)(νtnEn +2µnt ))

Q26 =−cs(

s2En − c2Et +(c2 − s2)(νtnEn +2µnt ))

avec En = En/(1−νnt νtn) Et = Et /(1−νnt νtn)


Loi de comportement

Comportement de membrane, matériau isotrope

Par exemple :

N11 =Z

hσ11dx3 =

E

1−ν2

Zh(ε11 +νε22)dx3

=E

1−ν2

Zh[(U1,1 + x3θ2,1)+ν(U2,2− x3θ1,2)]dx3

=Eh

1−ν2(U1,1 +νU2,2)

(On a utiliséZ

hx3dx3 = 0)

On a donc : N11

N22

N12

=Eh

1−ν2

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

U1,1

U2,2

(U1,2 +U2,1)/2


Loi de comportement

Comportement en flexion, matériau isotrope

Par exemple :

M11 =Z

hx3σ11dx3 =

E

1−ν2

Zh(x3ε11 +νx3ε22)dx3

=E

1−ν2

Zh

[(x3U1,1 + x2

3 θ2,1)+ν(x3U2,− x23 θ1,2)

]dx3

=Eh3

12(1−ν2)(θ2,1−νθ1,2) car

Zh

x3dx3 = 0

(On a utiliséZ

hx3dx3 = 0 et

Zh

x23 dx3 =

Z h/2

−h/2x2

3 dx3 =h3

12)

On a donc : M11

M22

M12

=Eh3

12(1−ν2)

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

θ2,1

−θ1,2

(θ2,2−θ1,1)/2


Loi de comportement

Comportement en cisaillement transverse, matériau isotrope

Par exemple :

T1 =Z

hσ13dx3 =

E

1+ν

Zh

ε13dx3

=E

1+ν

Zh(W,1 +θ2,1)dx3

=Eh

1+ν(W,1 +θ2,1)

On a donc :

T =Eh

1+ν(grad W +Φ)


Loi de comportement

Comparaison avec la théorie des poutres (calcul de laflèche)

Plaque (ép. h) Poutre b×hReissner–Mindlin Timoshenko

Cisaillement Cisaillementtransverse divT +p3 = 0 T,1 +p3 = 0 transverse

Equilibre Equilibredes moments divM∼ −T = 0 M,1−T = 0 du moment

Angle M∼ = [D]Φ M = EIθ,1 =Ebh3

12θ,1 Angle

Flèche T =Eh

1+ν(grad W +Φ) T = µS(V,1 +θ) Flèche

avec [D] =Eh3

12(1−ν2)

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν


Plan






Plaque de Kirchhoff–Love

Hypothèse de plaque mince (Kirchhoff–Love)Une normale à la surface de la plaque reste normale pendant la déformation, ce quiimplique, dans

u = U +W e3 + x3Φ

que grad W +Φ = 0 . Les cisaillements 23 et 31 sont donc nuls.

Condition cinématique :

−θ1 +W,2 = 0 θ2 +W,1 = 0

On ne considère plus les contraintes de cisaillement transverse :

T1 = 0 T2 = 0

Tenseur de courbure :

K∼ =

(θ2,1 (θ2,2−θ1,1)/2

(θ2,2−θ1,1)/2 −θ1,2

)=

(−W,11 −W,12

−W,21 −W,22

)Kαβ =−W,αβ



Définition des efforts intérieurs (plaque mince)

Variable associée définition :

U1,1 N11 =Z

hσ11dx3

−W,11 M11 =Z

hσ11x3dx3

U2,2 N22 =Z

hσ22dx3

W,22 M22 =Z

hσ22x3dx3

(U1,2 +U2,1)/2 N12 =Z

hσ12dx3

−W,12 M12 =Z

hσ12x3dx3

N11 et N12 efforts normaux, N12 cisaillement dans le plan de la plaque

M11 et M22 moments de flexion, M12 moment de torsion



Nouvelles équations d’équilibre pour les moments

T1,1 +T2,2 +p3 =0

M11,1 +M12,2−T1 =0

M21,1 +M22,2−T2 =0

donne :M11,11 +2M12,2 +M22,22 +p3 = 0

soit :div divM∼ +p3 = 0

Mαβ,αβ +p3 = 0



Nouvelle expression des conditions aux limitesIl faut reprendre le principe des travaux virtuels, avec la seule variable W.Changement uniquement pour la flexion :

−δW Fint =

ZS

MαβKαβdS =−Z

SMαβW,αβdS

On intègre par partie, deux fois ; ainsi :

M11W,11 = (M11W,1),1−M11,1W,1 = (M11W,1),1− (M11,1W ),1 +M11,11W

On a donc :des termes du genre M11,11, qui restent sur S et fournissent la condition d’équilibredes termes du genre M11W,1, qui vont sur Γ, et fournissent une condition à la limiteen couple (flexion seulement)

n.M∼ .n = n.C = CF

des termes du genre M11,1W , qui vont sur Γ, et fournissent une condition à la limiteen force :

P3 =d

ds(Mαβnατβ)+Mαβ,βnα



Nouvelle expression du comportement en flexion, matériauisotropeA partir de : M11

M22

M12

=Eh3

12(1−ν2)

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

−W,11

−W,22

−W,12

On a :

Mαβ =− Eh3

12(1−ν2)

(νW,γγδαβ +(1−ν)W,αβ

)D’où :

Mαβ,αβ =− Eh3

12(1−ν2)W,αβαβ

Equation à résoudre pour W :

D∆∆W −p3 = 0 avec D =Eh3

12(1−ν2)


Plan






Exemples Matériau isotrope

Plaque rectangulaire (a×b) simplement supportéeChargement sinusoïdal

p3 = P0 sin(πx1

a)sin(

πx2

b)

W =p0a2b2

π4Dsin(

πx2

b)

Solution de Navier

p3 =∞

∑m=1

∞

∑n=1

amn sin(mπx1

a)sin(

nπx2

b)

W =a4b4

π4D

∞

∑m=1

∞

∑n=1

amn

(m2b2 +n2a2)2sin(

mπx1

a)sin(

nπx2

b)

Plaque carrée sous pression uniforme p0

Wmax =4p0a4

π4D


Exemples Matériau isotrope

Plaque circulaire de rayon R en flexion

Chargement uniforme p0

Expression du Laplacien en cylindrique :

∆W =1

r

d

dr

(r

dW

dr

)La solution est de la forme :

W (r) =p0r3

64D+ar2 ln r +br2 + c ln r +d

Cas d’une plaque pleine encastrée :

W (r) =p0

64D(R2− r2)2

Flèche maximale au centre :

Wmax =p0R4

64D


Plan






Exemples Matériau anisotrope

Etablissement de la loi de comportement (matériauanisotrope)

termes de type «membrane» :

N11 =Z

hσ11dx3

=Z

h(Q11ε11 +Q12ε22 +Q16ε12)dx3

=Z

h(Q11(U1,1 +θ2,1x3)+Q12(U2,2−θ1,2x3)

+Q16(U1,2 +θ2,2x3 +U2,1−θ1,1x3))dx3

N11 =Z

h(Q11U1,1−Q11x3W,11)dx3

+Z

h(Q12U2,2−Q12x3W,22)dx3

+Z

h(Q16(U1,2 +U2,1)−2Q16x3W,12)dx3



Etablissement de la loi de comportement (suite)termes de type «flexion» :

M11 =Z

hσ11x3dx3

=Z

h(Q11ε11 +Q12ε22 +Q16ε12)x3dx3

=Z

h(Q11(U1,1x3 +θ2,1x2

3 )+Q12(U2,2x3−θ1,2x23 )

+Q16(U1,2x3 +θ2,2x23 +U2,1x3−θ1,1x2

3 ))dx3

M11 =Z

h(Q11x3U1,1−Q11x2

3 W,11)dx3

+Z

h(Q12x3U2,2−Q12x2

3 W,22)dx3

+Z

h(Q16x3(U1,2 +U2,1)−2Q16x2

3 W,12)dx3



Forme matricielle de la loi de comportement

N11

N12

N12

M11

M22

M12

=

Q11 Q12 Q16 Q11x3 Q12x3 Q16x3

Q12 Q22 Q26 Q12x3 Q22x3 Q26x3

Q16 Q26 Q66 Q16x3 Q26x3 Q66x3

Q11x3 Q12x3 Q16x3 Q11x23 Q12x2

3 Q16x23

Q12x3 Q22x3 Q26x3 Q12x23 Q22x2

3 Q26x23

Q16x3 Q26x3 Q66x3 Q16x23 Q26x2

3 Q66x23

U,1V ,2

V ,1+U,2−W,11

−W,22

−2W,12

Pour une meilleure lecture, on a omis l’intégrale. Il faut lire en fait :Zh

Q11dx3 etc...

Les termes linéaires en x3 produisent du couplage membrane–flexion. Ils sontnuls pour les plaques symétriques

La rigidité en flexion dépend de la séquence d’empilement



Structure de la matrice de comportement

Unités dans la loi de comportementN/m____

N

=

N/m | N____ __ ____

N | N.m

−____m−1

Ridigité en traction, et en flexion : termes Q11 et Q22

Rigidité en cisaillement dans le plan et en torsion : terme Q66



-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Qij (

MPa

)

angle (deg.)

Q11 Q22 Q66 Q12 Q16 Q26

Fibres à 0◦et à 90◦pour une bonne ridigité en traction et en flexion

Fibres à 45◦pour une bonne rigidité en cisaillement dans le plan et en torsion


Plan






Exemples Calcul des contraintes

Champ de contraintes approchées

Contraintes approchées dans chaque couche (i), d’épaisseur ei , en considérantl’effort de membrane et le moment

Effort normal (h−i et h+i cotes min et max de la couche) :

N iαβ =

Z h+i

h−i

σαβdx3

Moment (hi cote moyenne de la couche) :

M iαβ =

Z h+i

h−i

σαβ(x3−hi)dx3

Composantes 11, 22, 12 :

σαβ =N i

αβ

ei+

12

e2i

M iαβ

x3−hi

ei


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