I. Types d’ondes et leur description I.1. fonction d’onde ... · une phase donné à l'endroit...

E2 / Physique / Ondes 1

Stefan Stankowski BFH / HES BE TI Biel / Bienne

I. Types d’ondes et leur description

I.1. fonction d’onde, paramètres de propagation On décrit les ondes par des fonctions d’ondes (des solutions d’une équation d’onde). Ici, ces équations et fonctions ne seront pas dérivées de façon mathématique, mais nous utilisons plutôt un raisonnement physique. Nous nous limitons au cas le plus simple, l’onde harmonique. L'idée fondamentale est la suivante: Lors de la propagation d'une onde l'oscillateur individuel exécute une oscillation harmonique dans le temps (à l'endroit x donné) l'ensemble des oscillateurs donne lieu à une oscillation harmonique dans l'espace, en considérant une "prise flash" instantanée (à un temps t donné).

+ j ω t + j β z à l'endroit x: y = A e au temps t: y = A e ω = 2 π / T β = 2 π / λ ω = période temporelle λ = période spatiale La grandeur β est le "nombre d'onde". Elle est souvent aussi désigné « k » (surtout en

optique). Elle détermine la fréquence spatiale de la même manière que ω définit la fréquence temporelle.

peut aussi être défini en tant que vecteur dont la direction coïncide avec celle de propaga-

tion de l'onde. Dans un référentiel dont la direction des axes ne se confond pas avec la

direction de propagation de l'onde, on écrira alors au lieu de β z .

En spectroscopie infrarouge, on a l'habitude de désigner comme "nombre d'onde" la

quantité 1/ λ , au lieu de 2π / λ . 1/ λ en cm-1 y est l'abscisse usuelle des spectres.

Une fonction d'onde doit représenter les deux aspects: oscillation harmonique temporelle et spatiale. On peut réaliser une telle fonction en combinant les deux fonctions exponentielles (dans l'argument,

on pourra ajouter un terme Φ0 afin de fixer la phase par rapport à l'instant t = 0, ce qui n'est pas écrit ici pour simplifier la notation):

+ j ω t + j β z + j (ω t + β z)

y(z , t) = A e e = A e dont les combinaisons les plus importantes:

+ j (ω t - β z + Φ0) y(z , t) = A e onde qui propage en direction des x positifs

+ j (ω t + β z + Φ0) y(z , t) = A e onde qui propage en direction des x négatifs

y(z,t) = A cos (ω t + Φ1) cos (β z + Φ2 ) ou

y(z,t) = A sin (ω t + Φ1) sin (β z + Φ2) "onde stationnaire".

y(z) y(t)

t z



Quelle est la signification de ces expressions mathématiques? Considérons d'abord l'onde progressive: chemin parcouru pendant une vibration λ vitesse de propagation c = ------------------------------------------------------ = ------ = λ f temps mis pour une oscillation T ω ω c = λ --- = --- 2 π β Avec cela, l'argument de l'exponentiel peut s'écrire, pour l'onde progressive:

ω t - β z = ω (t - z / c) où z / c est le décalage temporel avec lequel l'excitation arrive au point z. Si l'oscillation se fait avec une phase donné à l'endroit z = 0, elle se fait avec une phase décalée par le temps de propagation, z / c, à l'endroit z .

Notez que le signe global de l'argument ne joue aucun rôle. Certains auteurs préfèrent écrire (β z - ω t)

au lieu de (ω t - β z). Puisqu’il faudra prendre la partie réelle de l'exponentiel (le cosinus), et que le signe du cosinus ne dépend pas du signe de l'argument, cette différence n'a aucune importance.

Dans certaines applications on sépare la partie temporelle:

- j β z j ω t y (z, t) = ( A e ) e et considère l’expression en parenthèse comme « fonction amplitude complexe » dépendant de z

Dans le cas où l’onde subit aussi des absorptions (voir détails plus bas), l’amplitude décroît exponentiellement et la fonction d’amplitude devient:

- α z - j β z - (α + j β) z A (z) = A e e = A e

Onde stationnaire: Il existe une solution particulière de l'équation d'onde, correspondant à une séparation des fonctions réelles du temps et de l'espace. Dans ce cas, à un endroit z donné, il y a toujours la même oscillation

(décrite par cos( ωt + Φ1) ) avec une amplitude dépendant de la position,

A cos(β z + Φ2). De telles ondes "stationnaires" se forment, pour certaines longueurs d'onde particulières, sur des cordes tendues (violon, guitare etc.) des colonnes d'air dans des tuyaux (instruments à vent), mais aussi avec des ondes électromagnétiques entre deux réflecteurs. Les conditions exactes pour la formation d'ondes stationnaires seront discutées plus bas (paragraphe B5) dans le contexte des réflexions sur les interfaces. Les propriétés de réflexion déterminent les conditions aux limites suivantes:

• points de fixation: noeuds de l'onde stationnaire

• extrémités libres: ventres de l'onde stationnaire Ces conditions limitent les ondes stationnaires à certaines fréquences particulières. Les longueurs d'onde correspondantes sont "adaptées" à la géométrie donnée (cf. manip de laboratoire). Mathématiquement parlé, les ondes stationnaires sont les vibrations normales du système de propagation.



I.2. Vibrations longitudinales et transversales Une vibration excitée peut se propager dans n'importe quelle direction de l'espace. Si les particules oscillantes se meuvent le long de l'axe de propagation, l'onde est dite longitudinale, si elles oscillent perpendiculairement à l'axe de propagation, l'onde est dite transversale. A l'intérieur des fluides (liquides et gaz) ne se forment que des ondes longitudinales (son). A la surface de l'eau, la tension superficielle permet la formation d'ondes transversales (les ondes typiques à la surface des lacs et de la mer). Les corps solides sont capables de transmettre aussi bien des ondes longitudinales (de pression) que transversales (de cisaillement). Lors des tremblements de terre, les deux types se produisent simultanément. Leur vitesse de propagation étant différente, le décalage temporel de leur arrivée au sismomètre permet de tirer des conclusions sur la distance de l'épicentre. son - onde longitudinale onde électromagn. - onde transversale Les ondes électromagnétiques libres sont transversales. Le vecteur du champ magnétique vibre perpendiculairement au vecteur du champ électrique. La direction de ce dernier est toujours choisie pour désigner la direction de polarisation (direction de vibration de l'onde). Dans les guides d'ondes (résonateur laser, cavité micro-ondes) on peut trouver également des composantes longitudinales du champ électromagnétique. Les ondes longitudinales sont aussi représentées par une fonction d'onde y(z,t), les directions y et z étant maintenant identiques. z désigne la position d'équilibre de la particule oscillante, y sa déviation de l'équilibre lors de l'oscillation. La table ci-jointe donne les vitesses de différents types d'ondes dans différents milieux.

A noter particulièrement est le facteur κ qui apparaît lors de la propagation du son dans les gaz. Il dépend de la nature du

gaz en question et vaut κ = 1.4 dans l'air et dans les autres

gaz diatomiques. (κ = 1.67 dans les gaz monoatomiques tels que les gaz nobles; voir valeurs tabulées pour les autres gaz sous le mot-clé d' "exposant isentropique" ou "exposant adia- batique"). Ce facteur est lié au fait que les compressions et dépressions dans le gaz aviennent avec une vitesse telle de ne pas permettre l'échange de chaleur avec l'environnement assez rapide que des états d'équilibre puissent s’établir (processus adiabatiques ou isentropiques).

Notez que le quotient p / ρ d'un gaz ne dépend que de la température T ! Vérifiez-le vous-même!

Toutes ces expressions comportent un numérateur lié à la force et un dénominateur lié à la masse (ou densité). Rappelez-vous qu’il vaut pour un oscillateur électrique que l’inverse de la capacité,

1/C (lié à 1/ε0), représente la constante du ressort

(lié à la force) et l’inductivité, L (liée à µ0), représente l’inertie (la masse).

onde vitesse de propagation

onde longitudinale dans un gaz

c2 = κ p / ρ

onde longitudinale dans un liquide

c2 = K / ρ

onde longitudinale dans une barre

c2 = E / ρ

onde de torsion, barre cylindrique

c2 = G / ρ

onde sur une corde

c2 = σ / ρ

onde électromagn. dans le vide

c2 = 1/ε0µ0

onde électromagn. dans la matière

c2 = 1/εε0µµ0

κ = exponentiel isentropique

p = pression

ρ = densité

K = module de compression

E = module d’élasticité

G = module de glissement

σ = F / A = tension



I.3. Intensité Les ondes transportent de l'énergie. L'énergie transportée par unité de temps et de section

(perpendiculaire à la direction de propagation) s'appelle intensité (ou densité du flux énergétique):

Ι = P / A = η c P = puissance, η = densité énergétique = énergie / volume (quand l'onde traverse un élément de section dA, on a

η = dE / dV = dE / (dz dA) et donc

η c = (dE / (dz dA)) (dz / dt) = dE / (dA dt) = Ι ).

Ondes mécaniques: E = ½ m vmax

2 = ½ m A2 ω2 Pour l'élément de masse, dm = ρ dV, on a donc dE = ½ ρ A

2 ω

2 dV et

� η = ½ ρ A2 ω2 Ι = ½ ρ c A2 ω2 Ondes électromagnétiques: η = ε ε0 E

2 = µ µ0 H2

E et H désignant les vecteurs du champ électrique et magnétique, respectivement. L'intensité, Ι = ε ε0 E

2 c varie continuellement dans le temps et dans l'espace, sa moyenne est Ι = ½ ε ε0 Emax

2 c La vitesse de la lumière (et des ondes électromagnétiques en général) s'écrit ________

c = 1 / √√√√ε εε εε εε ε0000 µ µ µ µ µ µ µ µ0000 et avec cela:

Il s'ensuit le résultat important et général que pour toute sorte d'onde l'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude (en notation complexe: proportionnelle à y y* ):

Ι ∼ A2

Il faut remarquer que le coefficient de proportionnalité dépend encore des propriétés du milieu. Pour les ondes électromagnétiques, on a:

Ι ∼ n E2 (n = indice de réfraction du milieu, E = intensité du champ électrique)

• Onde plane: A constante, Ι constante, propagation rectiligne dans une direction

• Onde sphérique: A ∼ 1/r , Ι ∼ 1 / r2 propagation dans toutes les directions.



II. Interférence

II.1. Addition des fonctions d’onde, interféromètre Les fonctions d'onde se superposent de la même manière qu'on avait discutée pour les vibrations. Les ondes peuvent donc s'annuler (totalement ou partiellement) si leurs phases sont décalées l'une par rapport à l'autre. Détermination de la longueur d'onde en utilisant le phénomène d'interférence:

De façon mathématique: Lors de la superposition d’ondes, les fonctions d’onde correspondants sont additionnées. Si l’interférence est totalement positive, l’intensité peut alors doubler :

y1 + y2 = A exp j(ωt – βz) + A exp j(ωt – βz) = 2A exp j(ωt – βz)

Ι1 ∼ |y1|2 = A

2 , Ι2 ∼ |y2|

2 = A

2 , Ι 1+2 ∼ |y1 + y2|

2 = 4 A

2 = 2 (Ι1 + Ι2) !!

Dans la réalité physique, cependant, il n’existe jamais de telles ondes isolées, mais uniquement des champs d’ondes d’une certaine étendue, tes qu’on trouve toujours interférence positive (amplification) accompagnée d’interférence négative (élimination) à un autre endroit. En moyenne, l’énergie du champs d’ondes reste donc conservée, malgré les fluctuations locales.

En pratique: Existent 2 types de problèmes: a) superposition de 2 ondes y1(z,t) et y2(z,t) à un certain endroit et à un instant défini: y(z,t) = y1(z,t) + y2(z,t) b) Amplitude d’une superposition à l’endroit z (à un temps quelconque): A = |y(z,t)| = |y1(z,t) + y2(z,t)|

= {A12 + A2

2 + 2 A1 A2 cos ∆Φ} ½

Interféromètres Les interféromètres sont des instruments permettant des mesures extrêmement précises des longueurs, des vitesses et des variations de l'indice de réfraction, à l'aide des interférences de la lumière. Typiquement, un faisceau est divisé un 2 faisceaux partiels qui parcourent des trajets différents avant d’être recombinés . En recombinant, ils intrefèrent. L'appareil le plus fameux est l'interféromètre de Michelson à l'aide duquel on a démontré que la vitesse de la lumière reste identique dans tous les repères en mouvement relatif uniforme (relativité restreinte). L'appendice vous donne des exemples d'interféromètres et d'effets qu’on mesure avec. (L’interféromètre de Fabry-Pérot ne sera expliqué qu’au chapitre suivant)



II.2. Transition entre milieux

Réflexion et transmission, saut de phase Lors du passage d'une onde dans un milieu avec une vitesse de propagation changée

• la longueur d'onde change, la fréquence reste invariée,

• de manière générale une partie de l'onde est réfléchie, le reste pénétrant dans le nouveau milieu (onde transmise ou réfractée, cf. optique géométrique, réfraction).

Saut de phase: Lors du passage dans un milieu (optiquement) plus dense (indice de réfraction plus élevé),

l'onde réfléchie subit un saut de phase de π (1/2 phase, changement de signe). La vibration réfléchie se fait donc dans la direction opposée à celle de la vibration transmise. Cet effet ne se produit pas lors du passage vers le milieu (optiquement) moins dense.

L'onde arrivant en incidence perpendiculaire à l'interface entre milieux, les amplitudes réfléchie, A r , et transmise, A t , se calculent comme suit, à partir de l'amplitude incidente, A 0:

A t 2 c2 2 n1 coefficient de transmission d'amplitude: t = ----- = ----------- = ------------ A 0 c1 + c2 n1 + n2 A r c2 - c1 n1 - n2 coefficient de réflection d'amplitude: r = ----- = ----------- = ------------ A 0 c1 + c2 n1 + n2 Les coefficients correspondants pour les intensités, T et R, s'en déduisent aisément, en se rappelant que

Ι ∼ n A2

Attention: Lors du passage du milieu plus dense au milieu moins dense l'amplitude de l'onde transmise peut augmenter. Cependant, l'intensité (et, donc, la puissance) transmise est toujours plus petite que l'intensité incidente, dû aux pertes de réflexion. Le signe moins qui apparaît dans le coefficient de réflexion conduit formellement à une amplitude négative lorsque c2 < c1 (passage au milieu plus dense). Cela correspond au saut de phase discuté toute à l'heure. Ici nous ne discutons qu'un cas particulier. Pour un traitement plus général, il faut, dans les formules

ci-dessus, remplacer l'indice de réfraction par l'impédance ondulaire, Z (cf. cours de télécommunication et annexe). A incidence non-perpendiculaire, les coefficients de réflexion et de transmission dépendent de la

polarisation de l'onde (formules de Fresnel).



Ondes stationnaires: Les ondes stationnaires, mentionnées plus haut, sont à considérer sous un nouvel aspect: Aux transitions entre milieux différents, les ondes sont (partiellement) réfléchies. Une onde stationnaire est formée si la longueur du milieu de propagation est choisie de manière que les ondes incidente et réfléchie vibrent de façon synchrone, en produisant une superposition maximale. Au point de passage au milieu plus dense, où la

phase saute, il ne peut alors exister qu'un noeud. Au point de transition au milieu moins dense (pas

de saut de phase) il ne peut exister qu'un ventre.

II.3. Interférences sur les couches minces

Cohérence de la lumière. Les effets d'interférence sur la lumière ont tardé relativement longtemps a être découverts. C'est dû au fait que la lumière "ordinaire" se compose d'une multitude de "paquets d'onde" dont les phases ne sont pratiquement pas reliées entr'elles.

La lumière de phase bien définie est appelée "cohérente", la lumière dont la phase n'est pas définie est "incohérente". La lumière produite par les sources conventionnelles est largement incohérente, tandis que la lumière des lasers est hautement cohérente (l'émission stimulée produit des paquets d'onde qui vibrent de manière synchronisée). Pour observer des effets d'interférence avec de la lumière ordinaire, il faut diviser un faisceau en deux parties (p.ex. sur un miroir semi-transparent). Lorsqu'on réunit les deux sous-faisceaux, on observe l'interférence. Cependant, la "mémoire" des faisceaux est limitée. Si l'un des sous-faisceaux traverse une distance trop longue par rapport à l'autre avant d'être réuni, la "correlation" des phases est perturbée et l'interférence ne se produit plus. La différence de chemin maximale des deux sous-faisceaux avec laquelle l'interférence peut encore

être observée, s'appelle "longueur de cohérence" et constitue une mesure du degré de cohérence de la lumière utilisée.

La lumière d'une ampoule a une longueur de cohérence de l'ordre de µm, une lampe spectrale de l'ordre de 10 cm, un bon laser de l'ordre de 100 m jusqu'aux km. On observe pourtant des effets d'interférence avec de la lumière ordinaire, à condition qu’il s’agisse

des effets sur les couches minces, où les différences de distance de passage sont de l'ordre des µm. De telles couches sont données p.ex. par des films d'huile, des fentes d'air entre plaques en verre, des feuilles minces etc.



A incidence perpendiculaire sur une couche mince plano-parallèle d'épaisseur D, la différence de chemin

optique, ∆, entre les rayons réfléchis aux interfaces supérieure et inférieure, respectivement, est:

∆ = 2 n D S'il y a un saut de phase pour une seule de ces réflexions,

il faut ajouter une différence de chemin λ / 2 supplémentaire:

∆ = 2 n D + λ / 2 _________

Pour un angle d'incidence α : ∆ = 2 D √ n2 - sin2 α (+ λ / 2)

Attention au saut de phase pour la réflexion au milieu plus dense! Selon l'angle d'observation on verra une bande claire (∆ = multiple de λ ) ou sombre

(∆ = λ/2 , 3 λ/2, 5 λ/2 etc.).

La réflexion sur les feuilles très minces (D � 0, avec terme de λ / 2), donne une bande sombre. La lumière transmise montre une disposition complémentaire des bandes d'interférence

(bande sombre si ∆ = multiple de λ, bande claire pour D � 0).

Sur les couches plano-parallèles, les bandes d'interférence apparaissent aux angles de vue égaux. Pour les couches en forme de coin ou les lentilles convexes reposant sur un support plan, les bandes d'interférence se produisent aux endroits d'égale épaisseur (anneaux de Newton). L'analyse des bandes d'interférence permet d'examiner les surfaces avec une précision aux fractions d'un micromètre.

Problème d'adaptation, traitement antireflet des lentilles, filtres à interférence En déposant sur une lentille une couche mince d'épaisseur D telle que D = λ / 4ns (ou un multiple approprié - réfléchissez vous-même quels multiples seront appropriés!, ns = indice de réfraction de la couche), les rayons réfléchis sont annullés par interférence.. Pourque les rayons qui interfèrent aient la même intensité, il faut encore que:

________

ns = √√√√ nair nlentille

L'élimination de la réflexion augmente l'intensité de la lumière transmise (et vice-versa). Ce problème d'adaptation est analogue à celui de la technique des hautes fréquences. On y désire d'éliminer les réflexions qui se produisent lors du passage des ondes électro-magnétiques d'un milieu à un autre. On y arrive en entreposant des éléments anti-reflet dont l'impédance ondulaire Zs doit obéir à la condition _____

Zs = √√√√ Z1 Z2 , Z1 et Z2 étant les impédances des guides d'ondes à

relier.

On utilise le même principe pour la construction de miroirs et filtres d'interférence permettant la réflexion ou le passage, sans perte d'énergie, de la lumière d'une longueur d'onde bien définie.

L'étalon Fabry-Pérot qui fonctionne sur le même principe, est un outil important de la technologie des lasers (cf. annexe sur les interféromètres).



II.4. Diffraction Théorème de Huygens: Tout point touché par une onde progressive peut être considéré comme centre d'une onde sphérique. L'enveloppe des ondes sphériques donne alors le front d'onde. Si tous les points situés sur un plan produisent des ondes sphériques, la superposition en donne une onde plane. Cependant, si le plan est limité par un diaphragme, la superposition devient impossible sur les côtés, il s'y produisent des phénomènes de diffraction. Dans la suite nous nous limitons à la diffraction produite par une onde plane à incidence perpendiculaire au plan du diaphragme ("diffraction de Fraunhofer").

Diffraction sur une fente rectangulaire: D'après le théorème d’ Huygens l'onde propage dans toutes les directions après avoir passé la fente.

Considérons la direction sous l'angle α. Deux rayons, un de la partie supérieure, l' autre de la partie inférieure de la fente, ont une différence de chemin

∆ = ½ b sin α (b = épaisseur de la fente)

Si cette différence vaut λ / 2, les rayons de la partie supérieure et de la partie inférieure de la fente s'éliminent mutuellement. En raisonnant de manière analogue, on trouve qu'il y a élimination là où

b sin α = m λ (m chiffre entier). L'interférence positive se fait à peu près au milieu entre ces points. Le calcul exacte donne une

intensité qui varie avec α selon

Ι = Ιmax (sin x / x)2 où x = π (b / λ) sin α

L'intensité maximale vers l'avant est désignée "ordre nul" tandis que les maxima suivants sont appelés "1

er, 2

e … ordre".

Diffraction sur plusieurs fentes (réseau): De manière analogue, interfèrent les rayons provenant de fentes voisines, de distance mutuelle g. La différence du chemin optique vaut alors

∆ = g sin α (g = distance des fentes) La figure de diffraction engendrée est superposée par celle de la fente individuelle (cf. figures sur la page suivante). Dans le cas des multiples fentes les interférences entre fentes plus écartées tendent à supprimer des maxima intermédiaires. Les ordres de diffraction apparaissent alors plus écartés. Etant donné que la position des maxima de diffraction dépend de la longueur d'onde, les réseaux de diffraction offrent une séparation excellente des différentes longueurs d'onde (monochromateur = instrument qui sélectionne une longueur d'onde particulière, surtout en spectroscopie).



Diaphragme circulaire : La figure de diffraction est formé par un système d’anneaux clairs

et sombres. La première bande claire apparaît sous l’angle α qui obéit à :

sin α = 1.22 λ / D (D = diamètre du diaphragme)

Théorème de Babinet : La figure de diffraction est identique pour des structures complé- mentaires où les parties transparentes et intransparentes à la lumière sont interchangées, p. ex. pour une fente mince et un fil mince.

Optique de Fourier : En se limitant aux petits angles, de manière à pouvoir poser sin α = α , on trouve que les amplitudes de la figure de diffraction sont juste les transformées de Fourier de la structure spatiale qui engendre la diffraction (p.ex. une série de diaphragmes ou fentes). Le phénomène de la diffraction permet donc de réaliser expérimentalement des transformations de Fourier (applications dans le traitement d’images). La diffraction de rayons x sur des cristaux produit des figures de diffraction permettant d’en déduire la structure atomique. Là aussi, la structure spatiale est reliée à la figure de diffraction par intermédiaire d’une transformation de Fourier.

(g / λ) sin α

(g / λ) sin α

(b / λ) sin α

(b / λ) sin α

fente 1 fente 2



II.5. Pouvoir de résolution, divergence des faisceaux laser Le pouvoir de résolution d'un instrument optique (p.ex. d'un microscope) est défini par la distance mutuelle de deux points dont les images peuvent être vues séparément sans coïncider. La résolution est limitée par les effets de diffraction (théorie du microscope d'Abbe). Soient deux points dont on voudrait former l'image. Ces deux points diffractent la lumière. On considère que leurs images sont visibles séparément, si les maxima d'ordre zéro appa-

raissent sous un angle, δ, qui vaut au moins moitié de l'angle sous lequel apparaît le premier minimum. La formule pour fentes circulaires (voir page précédente) donne alors:

sin δ = 1.22 λ / d d étant la distance mutuelle des deux points. S'il n'y a pas de l'air mais de la matière entre

les points et l'objectif, on remplacera sin δ par

(n sin δ) = NA (ouverture numérique). Une autre application concerne la divergence des faisceaux laser. D'après la formule de diffraction on conclut : Plus qu'on limite l'épaisseur du faisceau (p.ex. par un diaphragme ou une lentille, de

diamètre D), plus il diverge (angle de divergence, Θ).

Puisqu'il s'agit d'angles très faibles, on remplace sin Θ

par Θ (en rad) et on trouve:

Θ = 0.64 λ / D

(le facteur 0.64 = 2 / π résulte en tenant compte du fait que l'intensité du faisceau laser n'est pas répartie de manière continue sur toute sa section). Si on veut que le faisceau laser passe sur de grandes distances, il faut d'abord élargir son diamètre afin de minimiser sa divergence.

III. Absorption Au passage de la matière il peut arriver que l'énergie ondulaire (son, lumière etc.) y est absorbée. Normalement le degré d'absorption est une fonction de la longueur d'onde (= de la fréquence, de l'énergie quantique de vibration).

L'intensité dΙ perdue en passant une couche d'épaisseur dz, est proportionnelle à l'intensité incidente,

Ι :

dΙ ∼ Ι dz

En intégrant sur une épaisseur finie, z :

Ι = Ι0 exp (- γ z)

pour l'amplitude A: A = A0 exp (- ½ γ z) = A0 exp (- α z) Ι0 étant l'intensité incidente et Ι l'intensité après parcours de la distance z.

La constante γγγγ (ou aussi, αααα) dépend de la concentration du matériau absorbant. L'amplitude étant proportionnelle à la racine de l'intensité, l'exponentiel s'y trouve divisé par deux.

z

I0 I



Le plus souvent l'atténuation de l'intensité, Ι, ou de la puissance, P, est donnée en déciBel:

atténuation en dB = 10 log (Ι 0 / Ι) = 10 log (P0 / P) = 20 log (A 0 / A)

L'unité logarithmique comporte l'avantage d'être proportionnelle à la distance parcourue.

Relation entre le coefficient γ et l'atténuation en dB:

γ z = ln (Ι 0 / Ι) = 2.303 log (Ι 0 / Ι) = 0.2303 dB

En utilisant P0 = 1 mW on obtient une mesure absolue (en dBm) pour les ondes électromagnétiques.

Avec Ι0 = 10 -12

W/m2 (seuil d'écoute à 1000 Hz) --> mesure absolue pour les ondes acoustiques.

[Indice complexe de réfraction Les milieux totalement transparents pour une onde (tels que le verre pour la lumière visible) ou alors totalement absorbants (pénétration négligeable, tels que les métaux pour la lumière) représentent des cas extrêmes que la nature ne réalise que de manière approximative. Dans le cas où la transmission est accompagnée d’absorption, l’exponentiel spatial de la fonction d’onde comporte une partie réelle et une partie imaginaire :

exp -(α + j β) z (partie réelle: absorption, partie imaginaire: transmission) En optique, on introduit pour cela un indice de réfraction complexe :

n = n' - j κ = √ ε

La partie réelle, n', décrit la propagation dans le milieu, de façon habituelle (c milieu = c0 / n' ), tandis

que κ décrit l'absorption.

Avec β 0 = nombre d’onde dans le vide, l’exponentiel spatial devient : exp – n j β0 z = exp – (κ+ j

n’) β 0 z

transmission : β = n’ β 0 absorption : α = κ β 0

n' et κ sont à déterminer par l'expérience (tables). Il y a aussi des approches théoriques partant d'un modèle d'oscillateurs forcés.

Dans les régions de forte absorption, n' diminue de façon caractéristique (dispersion anomale) tandis qu'il croît avec la fréquence dans les autres régions du spectre (dispersion normale).

Dans les métaux, on introduit la

"fréquence du plasma", ωp :

n2 = 1 - (ωp / ω)

2

Pour les petites fréquences, ω < ωp, n devient imaginaire: il y a absorption forte.

Pour les grandes fréquences, ω > ωp, n devient réel, le milieu devient transparent.

Pour le cuivre, ωp = 1.6 ⋅10 16

s - 1

, correspondant à λ = 120 nm. Pour les longueurs d'onde plus petites

(rayons x), le cuivre devient transparent.

Evanescent wave, effet tunnel Lorsqu’une onde arrive sur un milieu où elle ne peut pas propager, elle n’y disparaît pas soudaine-ment, mais son intensité est atténuée de manière exponentielle. Cela se produit non seulement dans les milieux absorptifs mais également lors de la réflexion totale. A incidence sur une interface avec un



angle α plus grand que l’angle limite de la réflexion totale, l’onde pénètre un peu dans le milieu « défendu », avec atténuation exponentielle. La profondeur caractéristique de pénétration est :

δ = (n2 m β 0) - 1

= λ0 / (2 π n2 m)

n2 étant l’indice du milieu défendu et m = √ 1 – sin2 α .

Après cette distance l’amplitude a diminuée de 1/e.

La pénétration de l'onde est accompagnée d'un déplacement du faisceau (shift de Goos-Hänchen) et d'un décalage de phase subi par le faisceau lors de la réflexion totale.

Importance pratique: 1. L'onde évanescente est sensible aux variations de l'indice dans la région de la gaine ce qui influe aussi sur l'indice effectif dans le coeur. On en profite pour des applications dans le domaine des capteurs (détection d'absorption de matériel sur la surface d'un guide d'ondes). 2. Lorsqu'il existe du matériau absorbant dans la région de la gaine, l'onde évanescente est atténuée et avec elle aussi l'onde progressive dans le guide d'ondes. Cet effet permet d'analyser des couches extrêmement minces déposées en surface du guide d'onde (ATR = Attenuated Total Reflection, FTR = Frustrated Total Reflection). De même, de la matière fluorescente déposée dans la région de la gaine, peut être excité par l'onde évanescente à émettre de la lumière (détection de l'adsorption de molécules fluorescentes en surface d'un guide d'ondes). 3. En rapprochant deux guides d'ondes au point où leurs ondes évanescentes se superposent, l'onde peut passer d'un guide à l'autre. On en profite pour faire passer de la lumière d'un guide à un autre,

pour le multiplexing etc. C’est comme cela qu’on couple aussi l’amplification optique sur les longues lignes de transmission en fibre optique. 4. La transmission d’une onde à travers une petite distance en milieu « défendu » par intermédiaire de l’onde évanescente apparaît aussi en théorie quantique. On l’appelle alors « effet tunnel ». Cet effet

est à la base p.ex. de la diode tunnel et du microscope électronique tunnel à balayage. ]

IV. Effet Doppler Si une source sonore, S, et l'observateur, O, se rapprochent lors de l'émission du son, les ondes apparaissent comprimées (longueur d'onde réduite ou fréquence élevée). Si la source et l'observateur s'éloignent l'une de l'autre, les ondes apparaissent étendues (longueur d'onde augmentée, fréquence réduite). Cet effet (appelé effet Doppler d'après le chercheur qui le découvrit, et bien connu du passage d'une voiture qui klaxonne) apparaît avec toute sorte d'ondes, même celles électromagnétiques. Il est à la base des mesures radar des vitesses. Les galaxies lointaines nous montrent un spectre décalé vers le rouge (d'autant plus que la galaxie est éloignée) ce qui prouve la dilatation de l'univers.

La relation entre la fréquence, f, émise par la source et la fréquence f ' observée par l'obser-vateur, est donnée par: c - vO f ' = --------- f c + vS c étant la vitesse de propagation de l'onde et vO, vS les vitesses de l'observateur et de la source, respectivement (à compter positives pour la séparation, négatives pour le rapprochement mutuels).



Il est intéressant que les formules ne sont pas identiques aux cas où c’est l’observateur ou la source qui bougent. Cependant, dans le cas ordinaire où v << c, il vaut l’approximation suivante, soit pour le mouvement de l’observateur soit pour celui de la source : v f ‘ = f ( 1 - --- ) c Si v > c (p.ex. ultrason), les ondes ne se propagent qu’à l’intérieur d’un cône

d’angle d’ouverture α où sin α = c / v. Pour la lumière, on applique une formule légèrement différente (satisfaisant à la théorie relativiste qui ne permettrait pas de distinguer qui bouge):

v = vitesse relative entre source et observateur, indépendamment de la question qui bouge (< 0 pour le rapprochement, > 0 pour l'éloignement). Pourvu que la vitesse entre observateur et source soit petite devant c, l’approximation donnée ci-dessus est également valable.

V. Vitesses de phase et de groupe La vitesse de propagation d'une onde harmonique est

c = f λ = ω / β (vitesse de phase) Si on veut transmettre des signaux, les ondes harmoniques ne conviennent pas, il faut plutôt un "paquet d'onde". En effet, les ondes émises pendant une période limitée représentent des paquets (d'une durée plus ou moins longue). L'analyse de Fourier démontre que les paquets d'onde comprennent toujours des contributions de fréquences différentes. Pourvu que toutes ces fréquences soient propagées avec la même vitesse (telles que les ondes électromagnétiques dans le vide), le paquet d'onde se propage avec la vitesse de phase, donnée ci-dessus. Dans la plupart des milieux, cependant, il y a dispersion, c.-à-d. la vitesse de phase varie légèrement en fonction de la fréquence. Par cela, les différentes contributions fréquen- tielles d'une onde sont propagées avec des vitesses différentes, le paquet est déformé et la vitesse de transmission du signal n'est plus égale à la vitesse de phase, c, mais à la "vitesse des groupes", cgr:

cgr = dωωωω / dββββ = - λλλλ2 (df / dλλλλ) = c - λ λ λ λ (dc / dλλλλ)



VI. Acoustique Nous nous limitons ici à définir certaines grandeurs fréquemment utilisées en acoustique. Pour le reste, ce chapitre a déjà démontré l'analogie étroite entre les différents types d'ondes apparaissant dans les domaines tels que l'optique, l'acoustique, la technique hf etc.). La plupart des résultats sont donc directement applicables également à l'acoustique. Dans l'annexe, vous trouverez en plus quelques tables liées à l'acoustique. Pour une introduction à l'acoustique dans le contexte de la construction et de l'atténuation des bruits, voir p.ex. Hering, Martin, Stohrer, Physik für Ingenieure, VDI-Verlag, ch. 7.4 (en allemand). L'ultrason trouve des applications techniques très variées. La puissance d'une onde sonore

augmentant avec ω2 (à amplitude donnée), les hautes fréquences permettent de produire des

puissances élevées, p.ex. pour couper et perforer. On utilise aussi l'ultrason pour le nettoyage. L'ultrason de haute fréquence est adapté à l'analyse d'objets par radiographie (mesure de l'épaisseur, détection de défauts en technique, diagnostique en médecine). Ultrason = son au-dessus de 20 kHz. Infrason = son au-dessous de 20 Hz.

Quelques notions de base (autres notions, voir plus haut):

alternance = amplitude de vitesse de la particule oscillante: u = A ω

densité d'énergie: η = ½ ρ u2

A absorption totale du son, la densité d'énergie se confond avec la pression de radiation.

pression acoustique = amplitude de pression: ∆p = ρ c u (u = vitesse maximale de la particule oscillante, c = vitesse de propagation du son)

intensité du son: Ι = η c = ½ ∆p u La densité d'énergie étant proportionnelle au carré de u et donc le carré de la fréquence, les hautes fréquences (ultrason) permettent de produire du son d'une intensité très élevée. L'ultrason est aussi facile à focusser, la diffraction étant relativement faible à cause de la longueur d'onde courte. La sensibilté de l'oreille humaine est logarithmique. En technique, ce fait est reproduit en mesurant l'intensité du son sur une échelle logarithmique (déciBel):

niveau sonore relatif D = 10 log Ι2 / Ι1 = 20 log ∆p2 / ∆p1 en déciBel La sensibilité de l'oreille est mesurée en phon:

intensité sonore = 20 log ∆p / ∆p0 ∆p0 = 2 10 -5

Pa

ou aussi = 10 log Ι / Ι 0 Ι0 = 10 -12

W/m2

Les définitions de ∆p0 et de Ι0 ne coïncident pas parfaitement, la petite différence est considérée comme tolerable. A 1 000 Hz (proche de la sensibilité maximale de l'oreille), l'intensité sonore coïncide avec la mesure du phon. Pour les autres fréquences , le phon est à pondérer selon la courbe de sensitivité de l'oreille. Valeurs typiques: chuchotement: 10 phon bruit de la rue: 90 phon limite douleur: 130 phon



VII. Polarisation En principe, les ondes transversales sont toujours polarisées, c.-à-d. elle vibrent dans une direction donnée. Cela vaut également pour les quanta de la lumière. Si la vibration se fait toujours dans le

même plan, on parle de polarisation linéaire. Cependant, la lumière naturelle se compose d'une multitude de quanta avec des directions de polarisation arbitraires. Dans ces conditions il n'est plus possible de mesurer une polarisation définie. On parle alors de lumière "non polarisée". La lumière non polarisée se polarise partiellement ou totalement suite à la réflexion ou au passage d’ un filtre de polarisation. Le degré de polarisation se manifeste lors du passage d’un deuxième polariseur ("analyseur"). En tournant l'analyseur, l'intensité passante ne changera point si la lumière n'est pas polarisée. Par contre, si elle est totalement polarisée, l'intensité devient maximale pour une certaine orientation de l'analyseur et nulle pour l'orientation perpendiculaire. Si la lumière est partiellement polarisée, l'intensité devient maximale (Imax) pour une certaine

orientation de l'analyseur et minimale (Ιmin), mais non nulle, pour l'orientation perpendiculaire.

Ιmax - Ιmin Degré de polarisation: P = --------------

Ιmax + Ιmin P = 0 : lumière non polarisée, P = 1 : lumière totalement polarisée.

Décomposition vectorielle Si on excite des vibrations simultanément dans deux directions différentes, le résultat en sera une vibration effective déterminée par la somme vectorielle des deux excitations. De même, toute vibration donnée peut se décomposer en deux composantes d'excitation. Ainsi, la superposition de deux vibrations linéairement polarisées, perpendiculaires et de même fréquence donne lieu à:

• une polarisation lineaire si les deux composantes sont de même phase (direction de polarisation à 45

o si les amplitudes

sont égales)

• une polarisation circulaire lors d'un déphasage de 90

o des deux composantes

(direction de polarisation tourne dans le temps)

• de la lumière de polarisation elliptique pour les autres relations de phases et amplitudes Cette méthode de décomposition permet aussi de déterminer l'amplitude qui passe à travers l'analyseur. Si l'orientation de l'analyseur forme un angle?? par rapport à la direction de polarisation de l'onde

• l'amplitude passante est diminuée de cos α

• l'intensité passante est diminuée de cos2 α



Production et application de la lumière polarisée

Polarisation de réflexion

Lors de la réflexion sur des surfaces non-métalliques (diélectriques) la composante vibrant dans le plan d'incidence (défini par le rayon incident et la normale d'incidence) est réfléchie plus faiblement que la composante vibrant perpendiculairement à ce plan. On trouvera les formules détaillées dans l'annexe (formules de Fresnel). Cet effet dépend de l'angle d'incidence. Pour l'angle de Brewster, où le rayon réfléchi est perpendiculaire sur le rayon réfracté, la composante vibrant dans le plan d'incidence est totalement supprimé en réflexion. L'effet est utilisé pour la construction de filtres polariseurs.

Biréfringence Certains cristaux (calcite, quartz...) ont une symétrie particulière. Lors de la réfraction ces cristaux produisent, à part le rayon "ordinaire", un deuxième rayon "extraordinaire" dont la direction de propagation (le long d'un axe particulier du cristal) et la vitesse diffèrent de celles du rayon ordinaire. Les rayons ordinaire et extraordinaire sont polarisés, l'un perpendiculaire à l'autre. En coupant et en combinant deux prismes de manière particulière (qui respecte l'orientation des axes cristallins) on réussit à éliminer l'un des deux rayons et à obtenir de la lumière parfaitement polarisée

(polariseur de Nicol, polariseur de Glan).

Activité optique Certains cristaux ou molécules propagent la lumière polarisée circulaire différemment selon le sens de rotation de la polarisation. Ces matériaux sont appelés optiquement actifs. Au passage de la lumière le plan de polarisation est tourné.



Applications techniques La biréfringence et l'activité optique se prêtent à la modulation de la polarisation de la lumière.

Plaques λλλλ/4: Ce sont des plaques minces en matériau biréfringent. Les rayons ordinaire et extraordinaire ayant des vitesses de propagation différentes, on fabrique ces plaques de manière que

les deux rayons soient décalés de λ/4 l'un par rapport à l'autre, à la sortie de la plaque. D'après les règles de superposition (voir p. 12) la polarisation linéaire se transforme en polarisation circulaire et vice-versa.

Plaque λλλλ/2: ces plaques produisent, de manière analogue, de la lumière de polarisation linéaire dont le plan de polarisation est tourné.

Biréfringence par compression: Les tensions internes dans les matériaux de construction produisent des changements de symétrie des structures cristallines ce qui en- traîne souvent des effets de biréfringence. En observant du matériau transparent entre deux polariseurs, on décerne les régions de tensions internes qui se manifestent par l'apparence de lignes claires ou sombres. On étudie donc le comportement des matériaux sous tension en modelant des éléments en plexiglas et en enregistrant les lignes de tension sous la lumière polarisée. Les cristaux dont les propriétés optiques varient suite à une intervention extérieure présentent un intérêt particulier:

Cellule de Pockels, cellule de Kerr: Biréfringence produite par l'application d'un champ électrique (p.ex. dans certains cristaux de diphosphates, ADP, KDP, ou du niobate de lithium). (Il existe même des cristaux dont les propriétés réfractives peuvent être modifiées au passage d'un rayon lumineux intensif de réglage).

Effet élasto-optique: Biréfringence produite lors du passage d'une onde sonore à travers un cristal.

Cristaux liquides: changement d'activité optique sous l'effet d'un voltage. On utilise ces techniques afin de varier la polarisation de la lumière à volonté. La modulation de la polarisation est souvent le moyen de choix pour moduler l'intensité: il suffit de faire passer la lumière à travers un analyseur qui en laissera passer une intensité plus ou moins grande, en fonction de la direction de polarisation.

Exemple: Affichage à cristaux liquides (LCD)

I. Types d’ondes et leur description I.1. fonction d’onde ... · une phase donné à l'endroit...

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