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Electricité 3

Régimes transitoires

I. Qu'est-ce qu'un régime transitoire ?

I.1. Différents régimes de fonctionnement

Soit un circuit comportant des dipôles passifs, linéaires ou non et des sources commandées ou non de tension et de courant. A l'instant où l'on ferme le circuit, on produit une discontinuité. Autrement dit, tout système est dépendant du temps, au moins parce qu'il a un début.

La question est de savoir comment le système évolue dans le temps à partir de ce début.

Pour tout système on rencontrera donc plusieurs phases ou régimes successifs :

• Un régime transitoire, de durée plus ou moins longue, au cours duquel le système passe de son état antérieur à l'état que lui impose la perturbation subie à la date t = 0.

• Un régime établi au cours duquel l'évolution du système ne dépend pratiquement plus des conditions initiales : on parle alors de régime permanent même si les grandeurs sont dépendantes du temps comme par exemple en régime sinusoïdal.

Remarque préliminaire : les lois de Kirchhoff restent vraies à chaque instant dans l'hypothèse de l'AEQS (voir chapitre 1) il en est de même de tout ce qui en découle, en particulier les équations u = f(i) et i = f(u) des caractéristiques des divers dipôles (voir chapitre 2) qui deviennent u(t) = f(i(t)) et i(t) = f(u(t))

I.2. Fermeture d'un interrupteur

Soit le circuit quelconque ci-dessous où D est un dipôle passif linéaire. A t < 0, l'interrupteur K est ouvert donc i(t < 0) = 0. A t = 0 on ferme K et on regarde l'évolution de u(t).

Supposons dans un premier temps que e(t) soit une constante E.

• Si D est une résistance pure : i(0-) = 0 → u(0-) = 0 et immédiatement

après la fermeture du circuit donc pour tout t ≥ 0, i(t) =

€

ER

et u(t > 0) = E.

On peut modéliser i(t) et u(t) à toute date par les fonctions i(t) = Iα(t) et u(t) = Uα(t) où α(t) est la fonction d'échelon définie par : α(t < 0) = 0 et α(t ≥ 0) = 1.

⇒ Pour une résistance pure, fermer un interrupteur revient à lui appliquer un échelon de tension ou de courant.

• Si D est une inductance pure : i(0-) = 0 → u(0-) = 0. Immédiatement après la fermeture du circuit, u(t) ≠ 0 mais le courant dans une bobine ne peut pas subir de discontinuité donc i(0+) = 0 par continuité.

⇒ Donc fermer un interrupteur pour une inductance revient à lui appliquer un échelon de tension.

• Si D est un condensateur parfait : i(0-) = 0 mais u(0-) =

€

q0

C dépend de la charge initiale q0 du

condensateur et ne peut pas subir de discontinuité. Donc immédiatement après la fermeture du circuit,

i(t) ≠ 0 et u(0+) =

€

q0

C par continuité.

⇒ Donc fermer un interrupteur pour un condensateur revient à lui appliquer un échelon de courant.

I.3. Ouverture du circuit

L'ouverture d'un circuit revient à un échelon "à l'envers" : à t < 0, e(t) ≠ 0 et à t ≥ 0, e(t) = 0.

Autrement dit seules les conditions initiales, qui fixent l'énergie du circuit, ont une influence sur l'évolution du système. Ce circuit est alors en régime "libre" ou régime "propre". C'est ce que l'on observe quand les sources libres (non commandées) sont éteintes.

I.4. Réponse à une excitation

Reprenons le cas général où e(t) peut être quelconque. e(t) représente toujours une excitation, et l'on cherche la réponse du circuit à cette excitation.

La méthode consiste à effectuer la mise en équation du circuit en utilisant les lois générales à un instant t. et les relations u = f(i) équations des caractéristiques des dipôles.

u(t)

i(t)i(t)

e(t)

D

K

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Nous n'utiliserons que des dipôles linéaires supposés parfaits.

La loi des mailles e(t) =

€

k∑ uk(t) est une équation différentielle s'il y a des bobines et/ou des

condensateurs. C'est une équation à second membre e(t) éventuellement variable, dont la solution est somme de la solution de l'équation à second membre nul et d'une solution particulière de l'équation complète. Les constantes d'intégration sont déterminées par les conditions initiales, en tenant compte du fait que la tension aux bornes d'un condensateur ou le courant dans une bobine restent continus (au sens mathématique).

La solution générale de l'équation à second membre nul constitue le régime libre.

II. Dipôle RL en régime transitoire

II.1. Mise en équation

e(t) = uR(t) + uL(t) = Ri + L

€

didt

devient

€

didt

+

€

RL

i =

€

e t( )L

On pose

€

LR

= τ temps de relaxation du circuit

⇒ On dit que le circuit RL est un circuit linéaire du premier ordre de

constante de temps τ =

€

LR

donc régi par l'équation du premier ordre :

€

didt

+

€

iτ

=

€

e t( )L

Le régime libre est donc la solution de l'équation à second membre nul

€

didt

+

€

iτ

= 0

II.2. Réponse à un échelon de tension

II.2.1. Etablissement du régime continu : e(t < 0) = 0 et e(t > 0) = E constante.

i(t) = A

€

e−

tτ +

€

ER

où A est une constante (homogène à une intensité) que l'on détermine par

continuité i(0+) = i(0-) = i0. Ici i(0) = 0 = A +

€

ER

→ A = -

€

ER

et i(t) =

€

ER

(1 –

€

e−

tτ ) → i(∞) =

€

ER

La tension aux bornes de la bobine est uL(t) = L

€

didt

=

€

L ⋅Eτ ⋅R

€

e−

tτ = E

€

e−

tτ et uL(0+) = E.

Or u(0-) = 0. La tension aux bornes de la bobine subit une discontinuité.

e(t) uR uL

t

II.2.2. Ouverture du circuit

Autres conditions initiales : e(t < 0) = E constante donc la bobine parfaite est équivalente à un

interrupteur fermé et i = i0 =

€

ER

constant. A t = 0 on ouvre le circuit ce qui revient à faire e(t ≥ 0 ) = 0.

D'où l'équation différentielle

€

didt

+

€

RL

i = 0 dont la solution est i(t) = A

€

e−

tτ avec i(0) = A = i0.

La tension aux bornes de la bobine devient uL(t) = - L

€

RL

i0

€

e−

tτ avec uL(0) = - Ri0 = - E.

uR(t) i(t)

e(t)

L

R

uL(t)

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II.3. Aspect énergétique

A l'ouverture du circuit et pendant toute la durée de ce régime transitoire, l'énergie dissipée dans la

résistance est Wjoule =

€

0

∞∫ Ri2dt =

€

0

∞∫ Ri0

2

€

e−2⋅tτ dt =

€

12Rτi0

2 =

€

12Li0

2.

Autrement dit, l'énergie qui était stockée dans la bobine à t ≤ 0 est dissipée par effet Joule dans la résistance pendant le régime transitoire qui suit l'ouverture du circuit.

III. Dipôle RC en régime transitoire

III.1. Régime libre

Soit le circuit ci-dessous où les composants sont supposés parfaits. A t ≤ 0 le condensateur porte la charge Q0 et le circuit ouvert donc i(t < 0) = 0 . A t = 0 on ferme le circuit.

Pour t < 0 : le condensateur est chargé → uC =

€

Q0C

et i(t) = 0 donc uR(t) = 0.

A t ≥ 0 : uC(t) + Ri(t) = 0 avec i(t) =

€

dqdt

où q = CuC(t) est la charge du

condensateur → uC(t) + RC

€

du Cdt

= 0.

RC a les dimensions d'une durée : c'est la constante de temps τ du circuit.

uC(t) est donc la solution de l'équation différentielle

€

du Cdt

+

€

uCτ

= 0 équation du premier ordre à

coefficients constants à second membre nul.

Solution pour t ≥ 0 : uC(t) = U0

€

e−

tτ où U0 est fixée par continuité : uC(0+) = uC(0-) =

€

Q0C

→

U0 =

€

Q0C

→ uC(t) =

€

Q0C

€

e−

tτ . On en tire q(t) = Q0

€

e−

tτ .

De i(t) =

€

dqdt

= -

€

Q0R ⋅C

€

e−

tτ on tire i(0+) = -

€

Q0R ⋅C

≠ i(0-) = 0 → seule la tension aux bornes du

condensateur est continue.

III.2. Aspect énergétique

Pour toute la durée de ce régime transitoire :

Wjoule =

€

0

∞∫ Ri2dt =

€

0

∞∫ R

€

Q0R ⋅C⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

€

e−2⋅tτ dt =

€

12Rτ

€

Q0R ⋅C⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

soit avec τ = RC, Ejoule =

€

12

€

Q02

C.

L'énergie emmagasinée initialement dans le condensateur est totalement dissipée par effet Joule pendant ce régime transitoire.

t

€

Q0C

-

€

Q0R⋅C

i(t)

CR u(t)

K

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IV. Dipôle RLC série en régime transitoire

IV.1. Mise en équation

Soit le circuit ci-contre dans lequel tous les composants sont supposés parfaits.

A t ≤ 0 le condensateur porte la charge q0 et le circuit est ouvert.

A t = 0 on ferme l'interrupteur.

Soit q(t) charge portée par l'armature d'entrée du condensateur :

q(t) = CuC(t) et i (t) =

€

dqdt

= C

€

du Cdt

→

€

didt

= C

€

d 2uC

dt 2 .

Loi des mailles :uR(t) + uL(t) + uC(t) = uC(t) + Ri(t) + L

€

didt

= uC(t) + RC

€

du Cdt

+ LC

€

d 2uC

dt 2 = E

On obtient cette fois l'équation différentielle

€

d 2uC

dt 2 +

€

RL

€

du Cdt

+

€

1L ⋅C

uC(t) = E du second ordre que

l'on met sous forme canonique en posant :

€

ω02 =

€

1L ⋅C

où ω0 est la pulsation propre

Et

€

RL

= 2λ =

€

2τ

=

€

ω0Q

où Q =

€

1R⋅

LC

est le facteur de qualité du circuit

→

€

d 2uC

dt 2 + 2λ

€

du Cdt

+

€

ω02 uC(t) =

€

ω02 E ou

€

d 2uC

dt 2 +

€

ω0Q

€

du Cdt

+

€

ω02 uC(t) =

€

ω02 E

IV.2. Deux cas

IV.2.1. Régime libre

Si E = 0 autrement dit si on n'a pas mis de source de tension dans le circuit, l'équation différentielle

devient :

€

d 2uC

dt 2 + 2λ

€

du Cdt

+

€

ω02 uC(t) = 0.

Le système ne peut évoluer que s'il possède une énergie au départ, donc si le condensateur est chargé.

C'est le régime libre.

IV.2.2. Réponse à un échelon de tension

Si E = constante on a imposé au dipôle RLC un échelon de tension. La charge initiale q0 du

condensateur peut alors être nulle ou non nulle, le système va évoluer en réponse à cette perturbation.

La solution de l'équation différentielle

€

d 2uC

dt 2 + 2λ

€

du Cdt

+

€

ω02 uC(t) =

€

ω02 E est la somme de la

solution générale de l'équation

€

d 2uC

dt 2 + 2λ

€

du Cdt

+

€

ω02 uC(t) = 0 et d'une solution particulière de

l'équation complète.

La solution particulière uc = E constante est évidente. Elle est indépendante du temps donc

correspond au régime établi.

La réponse du dipôle RLC à un échelon de tension est, à une constante près, identique à son régime libre. Nous allons donc d'abord nous intéresser au régime libre.

IV.3. Différents régimes libres

Equation caractéristique r2 + 2λr +

€

ω02 uC(t) = 0 de discriminent réduit : ∆' = λ2 –

€

ω02 .

ou r2 +

€

ω0Q

r +

€

ω02 uC(t) = 0 de discriminent : ∆ =

€

ω02

€

1Q2 −4⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

Selon le signe de ∆' ou ∆ on trouve trois régimes.

R

uR(t)

uL(t)

uC(t)

q(t)L C

i(t) K

E

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IV.3.1. Régime apériodique

Si ∆' > 0 soit R > 2

€

LC

ou Q <

€

12

, l'équation caractéristique a deux racines réelles : r12 = - λ ±

€

Δ'

Posons

€

Δ' = ω → r12 = - λ ± ω =

€

12

€

RL

€

1 ± 1−4 ⋅L

R2 ⋅C

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

La solution de l'équation différentielle est du type uC(t) = Aer1t + B er2t où A et B sont les constantes

d'intégration.

Soit uC = Ae-(λ - ω)t + B e-(λ +ω)t = e-λt(Ae ωt + B e-ωt) =

€

e−

tτ (Ae ωt + B e-ωt)

→ i = C

€

du Cdt

= - λCuC(t) + ωC[e-λt(Ae ωt - B e-ωt)]

Compte tenu des conditions initiales : uC(0) =

€

q0

C = A + B et i(0) = 0 = - λq0 + ωC(A – B)

→ A =

€

q0

2 ⋅C⋅ 1 +

λω

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ et B =

€

q0

2 ⋅C⋅ 1−

λω

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Finalement uC =

€

q0

2 ⋅Ce-λt

€

1 +λω

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⋅e ω⋅t + 1−

λω

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⋅e −ω⋅t⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ =

€

q0

2 ⋅Ce-λt[(e ωt + e-ωt) +

€

λω(e ωt - e-ωt)]

Où l'on voit que

si t → ∞ alors uC → 0 : la solution est évanescente et correspond comme prévu à un régime

transitoire.

e-λt est l'équivalent du

€

e−

tτ des circuits RL et RC donc la constante de temps du circuit RLC est

τ =

€

1λ

=

€

2 ⋅LR

et l'on aurait pu écrire l'équation différentielle

€

d 2uC

dt 2 +

€

2τ

€

du Cdt

+

€

ω02 uC(t) =

€

ω02 E

IV.3.2. Régime pseudopériodique

Si ∆' < 0 soit R < 2

€

LC

ou Q >

€

12

, l'équation caractéristique a deux racines : r12 = - λ ± j

€

−Δ'

complexes.

On pose

€

−Δ' = ωn "pulsation naturelle" à ne pas confondre avec la pulsation propre ω0 :

€

ωn2 =

€

ω02 - λ2.

→ r12 = - λ ± jωn =

€

12

€

RL

€

1 ± j ⋅4 ⋅L

R2 ⋅C−1

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

La solution de l'équation différentielle est toujours du type uC(t) = Aer1t + B er2t où A et B sont les

constantes d'intégration.

Soit uC = Ae-(λ - jωn)t + B e-(λ + jωn)t = e-λt(Ae jωnt + B e-jωnt)

→ i = C

€

du Cdt

= - λCuC(t) + jωnC[e-λt(Ae jωnt - B e- jωnt)]

Compte tenu des conditions initiales : uC(0) =

€

q0

C = A + B et i(0) = 0 = - λq0 + jωnC(A – B)

→ A =

€

q0

2 ⋅C⋅ 1 + j ⋅

λωn

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ et B =

€

q0

2 ⋅C⋅ 1− j ⋅

λωn

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Finalement uC =

€

q0

2 ⋅Ce-λt[(e jωnt + e-jωnt) + j

€

λωn

(e jωnt - e-jωnt)]

Ce qui peut également s'écrire uC(t) =

€

q0

Ce-λt[cos ωnt +

€

λωn

sin ωnt]

Où l'on voit que si t → ∞ alors uC → 0 : la solution est évanescente et correspond comme prévu à un

régime transitoire.

Le terme [cos ωnt +

€

λωn

sin ωnt] admet des minima (et des maxima) relatifs séparés par la durée

Tn =

€

2πωn

appelée pseudo période. Donc ici uc(t) est une fonction pseudo périodique du temps.

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A la date t : uC(t) =

€

q0

Ce-λt[cos ωnt +

€

λωn

sin ωnt]

et à la date t + Tn : uC(t + Tn) =

€

q0

Ce-λ(t+Tn)[cos (ωnt + 2π)+

€

λωn

sin (ωnt + 2π)] donc le

rapport de deux maxima successifs est :

€

u t +Tn( )u t( )

= e-λTn = eδ où δ = λTn << 1 est appelé décrément

logarithmique.

Noter que les mesures, sur un enregistrement de uC(t), de la pseudo période Tn et des valeurs u1 et

u2 correspondant à deux maxima successifs permettent de déterminer toutes les caractéristiques du circuit.

IV.3.3. Régime critique

C'est le cas particulier qui fait la limite entre les deux régime précédents : Si ∆' = 0 soit R = 2

€

LC

ou

Q =

€

12

, l'équation caractéristique a une racine double r = - λ = -

€

R2 ⋅L

Dans ce cas la solution de l'équation différentielle est du type uC = (A + Bt)e-λt

donc i = - λCuC + BCe-λt

Compte tenu des conditions initiales : uC(0) =

€

q0

C = A et i(0) = 0 = - λq0 + BC → B =

€

λ⋅q0

C

Finalement uC =

€

q0

C(λt + 1)e-λt qui tend vers zéro si t → ∞ comme prévu pour un régime transitoire.

IV.4. Aspect énergétique

On multiplie l'équation de maille uC(t) + Ri(t) + L

€

didt

= E par i(t) = C

€

du Cdt

on trouve la

puissance du générateur : Pg = Ei = C

€

du Cdt

uC + Ri2 + L

€

didt

i

Pg = = Ri2 +

€

d12⋅C ⋅u 2 +

12⋅L ⋅i 2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

dt soit :

€

d12⋅C ⋅u 2 +

12⋅L ⋅i 2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

dt = Pg - Ri2w

Or W =

€

12Cu2 +

€

12Li2 est l'énergie emmagasinée à la date t dans le condensateur et dans la

bobine.

IV.4.1. En régime libre

Pas de générateur → Pg = 0 donc toute l'énergie emmagasinée initialement dans le condensateur va

être dissipée par effet Joule jusqu'au retour à l'équilibre uC = 0.

En régime pseudo périodique uC(Tn) =

€

q0

Ce-λTn [cos ωnTn +

€

λωn

sin ωnTn] avec ωnTn = 2π et

λTn = δ → uC(Tn) =

€

q0

Ce-δ et uC(2Tn) =

€

q0

Ce-2δ et i(Tn) = i(2Tn) = 0

Donc W(Tn) - W(2Tn) =

€

12

€

q02

Ce-2δ(1 – e-2δ) →

€

W Tn( )−W 2 ⋅Tn( )W Tn( )

= 1 – e-2δ

Pour un système peu amorti δ << 1 et Tn ≈ T0 →

€

W Tn( )−W 2 ⋅Tn( )W Tn( )

≈ 2δ =

€

ω0Q

Tn ≈

€

2 ⋅ πQ

⇒ Le facteur de qualité est une mesure de la diminution relative de l'énergie du circuit pendant une pseudo période. Plus Q est grand et plus la perte d'énergie est lente.

IV.4.2. Réponse à un échelon

En présence d'un générateur l'énergie du circuit augmente de ce qu'elle reçoit de la source, et diminue à cause de l'effet Joule, jusqu'au régime établi où uC = E et i = 0 (fin de l'effet Joule).