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Analyse et conception des liaisons pivots

I - Liaison pivot parfaite : définition

II - Exemples : Classification des solutions technologiques

III- Liaison pivot lisse (et pivot glissant )

III.1 Caractéristiques géométriques - surfaces fonctionnelles III.2 Types de chargementIII.3 Répartition de pression pour le contact plan - chargement axialIII.4 Répartition de pression pour le contact cylindriqueIII.4 Répartition de pression pour le contact cylindrique

a) Chargement radial centré : pression diamétraleb) Chargement radial excentré dit en "porte à faux"c) Influence du type de chargement sur les dispositions constructives

III.5 Critères de dimensionnementIII.6 Les coussinets :

a) Description - caractéristiques c) Conditions de montage

III.7 Applications

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

Schématisation d'une liaison pivot

Torseur des efforts transmissibles de S2 sur S1 au point O dans le repère xyz

I - Liaison pivot parfaite : définition

F

X

Y

L

MO2 1

2 1

2 1

2 1

2 1→

:

/

/

/

/

2

1

Orz

ry

Liaison pivot parfaite

Torseur cinématique de S1 par rapport à S2 au point O dans le repère xyz

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

VOxyz

z Oxyz

1 2

1 2

0

0

0

0

0

/

/

:

Ω

F Y

Z

MOxyz

Oxyz

2 1 2 1

2 1

2 1

0

: /

/

/Liaison pivot parfaite- pas de frottement -

FP

Réaliser une liaison pivot

entre les pièces S1 et S2

FT1Positionner les deux pièces entre elles

FT2Permettre un mouvement relatif de rotation autour d’un axe

FT3 Transmettre les efforts

II - Exemples : Classification des solutions technologiques

Exemple 1: Exemple 2:

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

Liaison pivot lisse(contact direct entre S1 et S2)

Liaison pivot par éléments roulants S3entre S1 et S2

Guidage en rotation par

contact direct (liaison

directe)

Guidage en rotation par

interposition de bagues de

frottement ou coussinets

(liaison indirecte)

Guidage en rotation par

interposition d’éléments

roulants (liaison indirecte)

Analyse mécanique des deux solutions technologiques

Liaison pivot par éléments roulants S3entre S1 et S2

Liaison pivot lisse(contact direct entre S1 et S2)

•Surfaces de contact : plane et cylindrique(surfaces de contact importante)

• S1 glisse (frotte) sur S2

• Surface de contact : ponctuelle ou linéique• S3 roule sans glisser par rapport à S1 et à S2

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

•Pression de contact modérée•Usure importante essentiellement par

abrasion/ adhésion

• Pression de contact importante• Usure par fatigue au roulement• Inertie des éléments roulants

(limitation de la vitesse de rotation

Adaptée pour des charges importantes et des vitesses élevées

Adaptée pour des chargements et des vitesses modérés

III - Liaison pivot lisse

III.1 Caractéristiques géométriques - surfaces fonctionnelles

S1 : Matériau (E1, ν1, Padm1...)S2 : Matériau (E2, ν2, Padm2...)f : coefficient de frottement entre S1 et S2

S1Logement

Arbre

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

RiRe

l

S2

Surfaces fonctionnelles

III.1 Types de chargement classiques:

r

Fa 2 1/

l

1

2

Chargement axial : r

Fa1 2/

Chargement radial : r

F 2 1/

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

l

1

2

Chargement radial : r

Fr2 1/

aa = 0, chargement radial centré

a = 0, chargement radial excentréou en dit en "porte à faux"

O

Fr2 1/

III.2 Répartition de pression pour le contact plan - chargement axial

Re S2

S1

Rirz

ry

r

Fa 2 1/

O

ry

rx

Zone de contact S

O

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

r

Fa 2 1/ Force axiale du solide S2 sur le solide S1

Questions: Quelle est la relation entre la pression de contact et la force axiale?

Quel est le couple résistant généré par le frottement de S1 sur S2 ?

l

Définition de la force élémentaire (ou par unité de surface)

rz

ry

S2

S1

RiRe

dFa

r

2 1/M

dFt

r

2 1/

ry

rx

dSM

rΩ1 2/

θr

rer

reθ

O

Force axiale élémentaire en M de S2 sur S1

Force tangentielle élémentaire de S2 sur S1due au frottement qui s'oppose au mouvement de S1 par rapport à S2. (Loi de Coulomb)

Force élémentaire de S2 sur S1

O

zdSpFda

rr=

1/2

θθ edSpfedFfFdat

rrr==

1/21/2

ISAT/CM/année2/Pivots lisse2

dF dF dF pdS z f pdS ea t

r r r r r2 1 2 1 2 1/ / /= + = + θ

Relation entre la pression et les efforts extérieurs

rz

ry

S2

S1

RiRe

dFa

r

2 1/

M

dFt

r

2 1/

ry

rx

dSM

rΩ1 2/

θr

rer

reθ

O O

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

O

Force axiale de S2 sur S1

Couple résistant dû au frottement de S2 sur S1 :

Hypothèse: on suppose que la répartition de pression est uniforme et égale àp=pmax = constante

r r r r

r r r r

F dF p dS z p r dr d z

Cf OM dF r f p dS z r f p dr d z

a aS S S

S S S

2 1 2 1

2 1 2 12

/ /

/ /

= = =

=→

∧ = =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

θ

θ

(I)

(II)

O

Relation entre la pression et les efforts extérieurs : Résultats des calculs

r r rF F z p R R za a e i2 1 2 1

2 2/ / max ( )= = −π

)( 221/2

max

ie

a

RR

Fp

−=

π

r r rCf Cf z f p

R Rze i

2 1 2 1

3 3

23

/ / max= = −

π

33 RR −

Pression au contact en fonction de la géométrie et de l'effort axial

(I)

(II)

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

1/222

33

1/2 32

a

ie

ie FfRR

RRCf

−−

=

Intensité du couple résistant généré par le frottement de S2 sur S1 en fonction de la géométrie, de l'effort axial et du coefficient de frottement

Remarque: si alors R Re i→ CfR R

f F R f Fe ia moyen a2 1 2 1 2 1

2/ / /≈ +

III.3 Répartition de pression pour le contact cylindrique

a) Chargement radial centré : pression diamétrale

S1

l

ry

OS2 Ri

Rerx

ry A

S2

S1

rz

A-A

2/ExtrFr

Hypothèses: 1) Pas de jeu dans la liaison 2) La pression est constante p = pmax : - le long d'une génératrice

- le long d'une demi-circonférence

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

O

A

S2

l/2

r

Fr 2 1/

po

- Hypothèses très simplificatrices -

)2(1/2

maxi

r

Rl

Fp = Pression diamétrale

l Ri( )2 représente la surface projetée du contact

l

2 Ri

Relation entre la pression et les efforts extérieurs : Résultats

S2

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

2 Ri

Couple résistant généré par le frottement de S2 sur S1

1/21/2 2 riFfRCf

π=

Pression diamétraleModèle « fabricants de paliers »

Répartition en cos2

Modèle plus réaliste

ry

S1

A-A

2/ExtrFr

ry

S1

A-A

2/ExtrFr

rx

S2

rx

S2

)2(1/2

maxi

r

Rl

Fp =

)2(2

3 1/2max

i

r

Rl

Fp ⋅=

b) Chargement radial excentré dit en "porte à faux"

rz

S1

l

ry

OS2 Ri

Rerx

ry A

S2

S1

po

A-A

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

Hypothèses: 1) Pas de jeu dans la liaison 2) La pression est constante le long d'une demi-circonférence

La pression est linéaire suivant une génératrice3) Aucune influence de l'épaulement

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

- Hypothèses outrageusement simplificatrices -

1/2rFr

A

a

po

l/2

+=l

a

Rl

Frp

i

61

)2(1/2

max Pression maximale

Relation entre la pression et les efforts extérieurs : Résultats

Couple résistant généré par le frottement de S2 sur S1

pour a=0, pmax est égale à la pression diamétrale

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

Couple résistant généré par le frottement de S2 sur S1

)6

1(2 1/21/2 l

aFfRCf

ri+=π

Pour a=0, on retrouve le couple de frottementpour une charge centrée

c) Influence du type de chargement sur les dispositions constructivesmontage en "chape" et en "porte à faux"

l1

1

2

r

Fr2 1/

O

φ d1l2

1

2

r

Fr2 1/

O

φ d2

a

ISAT/CM/année2/Pivots lissesISAT/CM/année2/Pivots lisses

1Chargement radial centré Chargement radial en porte à faux

+=

222

1/2max

61

l

a

dl

Frp

11

1/2max dl

Fp r=

o Quelles sont les longueurs respectives de ces deux articulations afin d'avoir la même pression maximale et le même diamètre d1=d2 ? (avec a=l2)

o Quels sont les diamètres respectifs de ces deux articulations afin d'avoir la même pression maximale et la même longueur l1=l2 ? (avec a=l2)

l1

1

2

r

Fr2 1/

O

φ d1 l2

1

2

r

Fr2 1/

Oφ d2

a

o même p et même diamètre l = 7 l

ISAT/CM/année2/Pivots lissesISAT/CM/année2/Pivots lisses

o même pmax et même diamètre l2 = 7 l1

o même pmax et même longueur d2 = 7 d1

Conclusion:

Eviter si possible les liaisons en "porte à faux" car elles sont toujours nettement plus encombrantes. (7 fois dans les deux exemples précédents)

Solution afin d' avoir un chargement centré : Montage dit en "chape"

O

r

Fr2 1/

Axe 3

tenon 2r

Fr1 2

2

/

r

Fr1 2

2

/

Dispositions constructives

ISAT/CM/année2/Pivots lissesISAT/CM/année2/Pivots lisses

l/ 2

O

l l/ 2

chape 1

Exemple :

Remarques concernant l'usure:

Si l'usure peut se répartir de façon quelconque sur le tenon et la chape, l'axe est seulement immobilisé axialement(cf. exemple précédent)

Si l'usure doit se situer entre l'axe et le tenon alors l'axe sera en liaison

O Axe 3

chape 1

tenon 2

O Axe 3tenon 2

ISAT/CM/année2/Pivots lissesISAT/CM/année2/Pivots lisses

le tenon alors l'axe sera en liaison encastrement par rapport à la chape(Immobilisation en rotation : clavette,goupille...)

chape 1

Si l'usure doit se situer entre l'axe et la chape alors l'axe sera en liaison encastrement par rapport au tenon

O Axe 3

chape 1

tenon 2

Cotation fonctionnelle à reporter sur un dessin d'ensemble:

φ d

H8

f7

jeu bilimiteφ

d H

8 f7

φ d

H8

f7

Le choix effectif des ajustements dépend du contexte (mécanique, économique...) mais on doit choisir des ajustements avec jeu.

1 212

ISAT/CM/année2/Pivots lissesISAT/CM/année2/Pivots lisses

Chape 2

Tenon 1

Axe 3

III.5 Critères de dimensionnement

En statique : pmax < padm

pmax < padmEn dynamique:

(p V) max < (p V) adm

pression admissible

pression admissible

Critère thermique - puissancedissipée par frottement

Vmax < Vadmlimite en vitesse pour éviter une usure importante

(I)

(II)

(III)Vitesse linéaire

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

Vmax < Vadm une usure importante (III)

log(p)

log(V)

(I)

(II)

(III)

Zone de fonctionnementadmissible

Vitesse linéaire de l'arbre aucontact

pour un diamètre donné

En dynamique, le critère thermique est très restrictif

Solution :

Diminuer le frottement entre les surfaces de contact

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

Lubrifier les palierschoisir des matériaux permettant de diminuer l'usure et le coefficient de

frottement(revêtement anti-friction)

ET / OU

Exemple de solution : les coussinets et les rondelles d'appui

III.6 Les coussinets - rondelles d'appui:

a) Description- caractéristiques

En général : Bague mince en acier ou en bronze recouverte d'un matériau souple anti-friction (téflon, plomb, alliage plomb-étain... ) contenant des inclusions rigides (fibres, cuivre, bronze, céramique, carbure...) et éventuellement du lubrifiant (liquide ou solide)(exemple : palier Permaglide INA ...)

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

cas particulier des matériaux frittés: bague obtenue par compression à froid de poudres métalliques (bronze...) suivis d'un frittage. La porosité ouverte (10 à 15%) envolume est remplie sous vide par du lubrifiantsolide ou liquide.(ex : coussinet Metafram...)

Exemple 1: Coussinet Permaglide INA - bague Aciermatériau souple : téflon et plomb (0,01 à 0,03 mm)matériau souple + inclusion rigide (bronze) (0,2 à 0,35 mm)

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

Permaglide P10

Exemple2: Coussinet Permaglide INA - bague Aciermatériau souple : téflon et plomb (0,01 à 0,03 mm)matériau souple + inclusion rigide (bronze) (0,2 à 0,35 mm) + lubrifiant

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

Permaglide P20

Exemple3: Coussinet autolubrifiant Metafram BP25 et FP15 (fritté)matériaux : BP 25 - cuivre étain + lubrifiant FP 20 - fer- cuivre- plomb + lubrifiant

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

Exemple3: Coussinet autolubrifiant Metafram BP25 et FP15 (fritté)matériaux : BP 25 - cuivre étain + lubrifiant FP 20 - fer- cuivre- plomb + lubrifiant

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

b) Conditions de montage

Les coussinets sont montés à la presse dans l'alésage

d2 s

7

d1 F

7

φd2

H7

d1 f7

l

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

Important : les dimensions des coussinets sont généralement données par le fabricant et ne peuvent être modifiées.

φd2

s7

φd1

F7

φ φ

Montage des rondelles d'appui

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

III.7 Applications: meule à main

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

Compresseur d'air à piston

Le plan proposé représente un compresseur d'air à piston. L'arbre d'entrée (4) est relié à un moteur électrique , grâce à une poulie directement fixée sur l'arbre à l'aide d'une vis, et arrêté en rotation par une clavette (la poulie, la clavette et la vis ne sont pas représentées). Le piston 7 aspire de l'air par l'orifice 33 puis le refoule par l'orifice opposé. La pression maximale est de 7 bars. Le moteur électrique a une puissance de 1 kW et tourne à une vitesse de 1500 tr/min.

La translation du piston 7 est réalisée par un système bielle-manivelle (4 -6 -7-2). Les liaisons pivots bielle 6- piston 7 et bielle 6-vilebrequin 7 sont réalisées avec des coussinets autolubrifiants Metafram BP25 dont les dimensions préconisées par le constructeur du compresseur sont :

ISAT/CM/année2/Pivots lisses

compresseur sont :

bielle 6 - piston 7 : diamètre = 16 mmlongueur = 24 mm

bielle 6- vilebrequin 7 : diamètre = 20 mmlongueur = 30 mm

0

500

1000

1500

2000

0 45 90 135 180 225 270 315 360

Ω4 6/1770

1242

270Ω6 7/

tr/m

in

4

6

7

4

6

7

θ

θ0 45 90 135 180 225 270 315 360

en degré3 3

Vitesse de rotation relative en valeur absolue de 6/7 et 4/6 en fonction de θ

Questions: 1) Vérifier que les dimensions des coussinets proposées par le constructeur du compresseur sont admissibles.

2) Représenter les deux liaisons pivots et placer les cotes et jeux fonctionnels.

ISAT/CM/année2/Pivots lisses