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I - Introduction

Introduction à la biomécanique

Etienne-Jules Marey et Georges Demenÿ en France, Eadweard Muybridge aux Etats-Unis

ont été les premiers a avoir mis en place des outils d’évaluation du mouvement à la fin du

XIXème siècle.

I. Description du mouvement

Lancer franc

Vue de profil

Vue de dessus

Trajectoire de la balle après le lâcher ?


Lancer du marteau

1

2

3

Trajectoire après le lâcher ?

Vue de dessus

Flannagan, JO 1908

Sens de rotation


• Translation : le déplacement du centre de masse rend

compte de la trajectoire parabolique du sauteur


! Importance du choix du point : la trajectoire de

la main gauche ne rend pas bien compte du

mouvement global


• Rotation : le sauteur est vu comme l’ensemble

{haut du corps + bas du corps}

� analyse de l’angle aux hanches au cours du saut

II. Représentation du mouvement

Un mouvement humain se passe toujours dans les trois

dimensions de l’espace

La représentation de ce mouvement doit se faire dans

un repère bien défini

� Repère cartésien

ir j

r

kr

O

x

y

z


Repère exocentré : vision d’un observateur extérieur

O


Repère egocentré : vision que le sujet a de son propre

mouvement par rapport à lui-même

O


Repère allocentré : vision que le sujet a de son propre

mouvement par rapport à un élément extérieur (ici

l’aire de réception)

O


Modélisation du corps en segments rigides.

• Pour chaque solide du corps, on définit :- un repère mobile par rapport au repère Galiléen (fixe),

- un point proximal : centre articulaire "proche du corps",

- un point distal : centre articulaire "éloigné du corps".

Ce qui donne un segment de droite orienté du point proximal au point distal : un

vecteur

ir j

r

kr

O

x

y

z

P

D

PD

'O


• Exemple :

� Modèle de Winter

(1990) à 14 segments

II – Vitesse linéaire

I. Référentiels et coordonnées cartésiennes.

• En cinématique, nous utilisons deux types de référentiel

:

- Ro référentiel du monde, du labo lié à la terre pour analyser le mouvement de

l’athlète en général.

- R* référentiel barycentrique lié au corps humain, d’origine CG pour analyser les

mouvements des segments du corps les uns par rapport aux autres. Ces axes sont

I.1. Référentiel.

mouvements des segments du corps les uns par rapport aux autres. Ces axes sont

issus du CG et sont constamment parallèles à ceux de Ro.

(R0)

O

(R*)

G

(R*)

G

I.2. Coordonnées cartésiennes.

I. Référentiels et coordonnées cartésiennes.

Quelque soit le point M, il est repéré par rapport à un référentiel précis.

Ici, nous définissons le référentiel (O, , , ) avec pour origine O et ses 3 axes (x,y,z)

d’où

- les coordonnées cartésiennes du point M : r i

r j

r k

z

kc

jb

ia

Mr

r

r

Avec a, b et c des réels.

M

O

y

x

z

r i

r j

r k

II. Vitesse linéaire.

II.1. Position.

d

G G

5.0

2

0

1 =OG

5.0

5

0

2 =OG

t0 t1 t2

d


II.3. Vitesse de déplacement.

• Unité : [m.s-1]

- Vitesse moyenne :

Exemple :t : objet en A, OA = d

VM

=OM (t + ∆t) − OM (t)

∆t

t1 : objet en A, OA = d1

t2 : objet en B, OB = d2

t

d

tt

ddVm

∆

∆=

−

−=

12

12

m.s-1

m

s

xO A B

d1

d2

∆d


II.3. Vitesse de déplacement.

- Vitesse instantanée :

dt

tOMd

dt

tOMdttOMV

dti

)()()(lim

0=

−+=

→

• Direction tangente à la

trajectoire du mobile M,

• Sens du mouvement,

• Norme de la vitesse. M (t1)

M (t2)VM (t1)

VM (t2)


II.4. Mathématiquement.

dt

tOMdV

)(=

- La vitesse est la dérivée de la position :

z

y

x

OM

=

=

=

zdt

dz

ydt

dy

xdt

dx

V

&

&

&Dérivation


V1 =OM(t + dt) − OM(t)

dt

II.5. Trois méthodes de calcul numérique.

Ces trois méthodes sont toutes

justes !

V2 =OM(t + dt) − OM(t − dt)

2dt

V3

=OM(t) − OM(t − dt)

dt

justes !

III. Accélération linéaire.

III.1. Accélération moyenne.

• Unité : [m.s-2]

- L’accélération est la variation de vitesse entre deux

instants t1 et t2.

am

=V (t + ∆t) − V (t)

∆t

t

v

tt

vvam

∆

∆=

−

−=

12

12

m.s-2

m.s-1

s


III.2. Accélération instantanée.

dt

tVd

dt

tVdttVa

dti

)()()(lim

0=

−+=

→

- L’accélération est la dérivée de la vitesse :

2

2

dt

OMd

dt

vda ==

••

••

••

=

=

=

za

ya

xa

a

z

y

x

Dérivation

=

=

=

zdt

dz

ydt

dy

xdt

dx

V

&

&

&


III.4. Propriétés.

• Mouvement rectiligne uniforme : vitesse constante !

csteVV == 0 0)( r

===dt

ecstd

dt

Vda

V


III.4. Propriétés.

• Mouvement uniformément accéléré : accélération constante !

csteaa == 0 0VtaVdt

Vda +=⇒=

0Va

III – Angles articulaires

I. Angles Segmentaires.

• Un angle segmentaire est l’angle mesuré entre

l’horizontale et le segment.

θ

Application à la position de

repos :

t : troncθt

θc

θj

θ

p

θt=90°

θc=90°

θj=90° θp=180°

t : tronc

c : cuisse

j : jambe

p : pied

II. Angles intersegmentaires.

• Un angle intersegmentaire est l’angle articulaire c’est à

dire l’angle entre les deux segments de manière à former

un angle de 0° à la position neutre (rappel !).

Hanche θhan= θc - θtr

θhan

θgen

θche

Hanche

Genou

Cheville

θhan= θc - θtr

θgen= θj - θc

θche= θp - θj - 90°

III. Mesure des angles.

• Mesure � Goniomètre

• Principe : modification de

la résistance du circuit

• Comment en pratique calculer ou mesurer ces angles

lors d’un mouvement ?

la résistance du circuit

électrique proportionnelle à

l’angle

• Calcul possible à partir des positions des articulations :

Hypothèses :

• axe du genou fixe

• rotation parfaite autour d ’un axe

III. Produit scalaire et angles.

H G

C

GCHG

GCHG

×

•=θcos


• Définitions :Le produit scalaire est un produit de deux vecteurs dont le résultat est un scalaire

(nombre réel).

Il se symbolise par un point entre les deux vecteurs : "."

Vecteur . Vecteur = scalaire

θ

ar

br

y

x

a

aar

y

x

b

bbr

θcos⋅⋅=⋅

+=⋅

baba

bababa yyxx

rrrr

rr

• Propriétés :- commutativité :

-

-linéarité : avec k et l des scalaires :

abbarrrr

⋅=⋅

)( balkblakrrrr

⋅⋅=⋅


-linéarité : avec k et l des scalaires :

- distributivité :

-Si les deux vecteurs sont orthogonaux :

)( balkblak ⋅⋅=⋅

bcacbacrrrrrrr

⋅+⋅=+⋅ )(

0

0)cos(

2

=⋅⇒

=⇒

=

barr

θ

πθ

IV – Vitesse angulaire

• On s’intéresse au mouvement d’un point pour une trajectoire quelconque (� pas

forcément en ligne droite !)

• On étudie la relation entre la vitesse linéaire et la courbure

Principe.

I. Trajectoire curviligne.

Courbure faibleCourbure faible

Courbure

élevée

• Quelque soit l’objet (P) étudié lors de son déplacement, on peut exprimer saposition sur la trajectoire suivie soit :

I.1. Abscisse curviligne.


Une seule coordonnée !

- en donnant les 3 coordonnées cartésiennes,

- en donnant son abscisse curviligne S.

ir

jr

kr

O

x

y

z

'O

PUne seule coordonnée !

S

• Définition :L’abscisse curviligne est la distance algébrique parcourue par l’objet depuis l’origine.

Il faut pour cela :

- orienter la trajectoire

- choisir l’origine O’



ir

jr

kr

O

x

y

'O

P

S

L’abscisse curviligne est la position du point P sur

la courbe par rapport à O’

• Coordonnée curviligne :

• Abscisse curviligne positive ou négative

• Déplacement de A vers B noté :



POS '=

< 0O’

> 0

ABS =∆

< 0O’

ir

jr

kr

O

x

y

'O

BA

∆S

• Vitesse moyenne :


I.2. Vitesse curviligne.

Vm =∆r

∆t=

r' − r

t'−t=

OB − OA

t'−t=

AB

t '−t

ir

jr

kr

O

x

y

O′

BA

Vm

r r

′ r

∆r


I.3. Repère de Fresnet.

: Vecteur unitaire tangent à la trajectoire

: Vecteur unitaire normal à la trajectoire

• Dans le repère local défini par les vecteurs unitaires suivant :

uT

uN

A

La vitesse au point A est :

v = v ⋅ uT

uT

uN

v

La vitesse instantanée est toujours

tangentielle à la courbe


I.3. Accélération curviligne.

: l’accélération tangentielle, le long de la courbe.

• Dans ce même repère, l’accélération curviligne se décompose alors comme la

somme des deux parties suivantes :

: l’accélération normale, perpendiculaire à la courbe.aN

aT

A

: l’accélération normale, perpendiculaire à la courbe.aN

aN

aT

a

uT

uN

a = aT + aN

a = aT ⋅ uT + aN ⋅ uN


I.3. Accélération curviligne.

• Donc :

a =dv

dtuT +

v2

euN

a

aT =dv

dt

aN =v

2

e

- Quand la courbe est circulaire : e est le rayon du cercle.

- Quand la courbe tend vers une droite : e tend vers ± ∞ !

v2

e→ 0 soit 0→Na

aN =e

II. Mouvement circulaire.

Si un objet ponctuel est en mouvement sur la circonférence d’un cercle, sa

trajectoire est alors un cercle de rayon R dans le plan (O, x, y)

II.1. Repérage.

z • Position repérée par l’angle θ(t) :

θR

M

A

S

O

x

y

R

S=θ

N.B.: Cas particulier pour θ =2π alors 2π =circonférence / R

rad

m

m


La vitesse angulaire est noté

C’est la variation instantanée de la position angulaire θ associé au point M.

II.2. Vitesse angulaire.

z • Algébriquement :

Mω

ω

θM

O

x

y12

12)()(

)(tt

tdt

tdt

−

−===

θθθ

θω &

• Vectoriellement :

ω =dθ

dtk Avec le vecteur

normal au plan du

cercle

k

ωM

• Définition du produit vectoriel :Le produit vectoriel est un produit de deux vecteurs dont le résultat est un

troisième vecteur qui est perpendiculaire aux deux autres.

Il se symbolise par : " ∧ "

Les trois vecteurs forment un repère direct !!

Vecteur ∧ vecteur = vecteur


II.3. Lien entre la vitesse angulaire et la vitesse

linéaire.

bacrrr

∧=

• Deux calculs possibles du produit vectoriel :

br

cr

− abbabac

Produit en croix



linéaire.

ar

b

−

−

−

=

∧

=

yxyx

xzxz

zyzy

z

y

x

z

y

x

z

y

x

abba

abba

abba

b

b

b

a

a

a

c

c

c

Calcul algébrique

• Deux calculs possibles du produit vectoriel :

br

cr

θsinbacrrr

⋅=



linéaire.

θ

ar

bθsinbac ⋅=

cr

orthogonal au plan formé par et av

br

Calcul géométrique


Dans le cas général pour deux points mobiles A et B d’un même solide, on a

:


linéaire.

mm.s-1

ω∧+= ABvv BAm.s-1 rad.s-1

exprime la manière dont le solide tourne dans son ensemble !ω

• Pour repérer un point dans l’espace

� 3 paramètres de position x, y, z

• Pour repérer un solide dans l’espace


II.4. Mouvement d’un solide.

X

Y

Z

• Pour repérer un solide dans l’espace

� 3 paramètres de position x, y, z

� 3 paramètres d’orientation α, β, γ

X Y

Z

α

β

γ

α

β


II.4. Mouvement d’un solide.

• Exemple de paramètres d’orientation

� pour un avion: α : lacet β : tangage γ : roulis

βγ

! Importance de l’ordre des angles


Le rayon est le lien entre les déplacements linéaires et angulaires :

II.5. Accélération angulaire.

ω∧= Rv ),sin( ωω RRv ⋅=

θω &rRv ==

= 1

θM

O y

z

ωM

R

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