Cristallographie

I-1

I. CRISTALLOGRAPHIE

Introduction et Objectifs : - familiarisation avec les différents états de la matière - description de l’état cristallin - les structures des métaux et céramiques

Préparation au TP : « Introduction à la science des matériaux », eds. W. Kurz, J.-P. Mercier, G. Zambelli, 3e édition, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1999.

La connaissance des chapitres suivants est demandée :

Chap. 3 Structure et organisation des solides en particulier : 3.1, 3.2, 3.3 (savoir utiliser les indices de Miller)

Chap. 4 Structure des principaux matériaux en particulier : 4.1, 4.2, 4.3, 4.4

Manipulations : 1. Construire des modèles de sphères de diverses structures des matériaux (hc, cfc, cc,

NaCl).

2. Identifier les particularités des modèles étudiés.

3. Chaque équipe d’étudiants réalise et analyse 2 modèles et présente ses résultats et observations aux autres groupes.

4. Chaque étudiant répond à des questions spécifiques en relation avec les modèles étudiés par le groupe.

Matériel à disposition : - sphères (polystyrène expansé, PS, épingles, pâte à modeler) - assemblage de sphères par collage ou cure-dents

Rapport Il est souhaitable que le rapport soit organisé de façon suivante :

- Introduction (présentation du sujet, définir les objectifs)

- Description du modèle construit pendant le TP

- Description des modèles des autres groupes selon la démonstration faite devant tout le monde (moins détaillé que la présentation du modèle de votre groupe)

- Réponse aux questions sur la cristallographie en rapport avec la structure étudiée

- Conclusions

Cristallographie I-2

Crystallography: Miller Indices

Miller Indices are a symbolic vector representation for the orientation of an atomic plane in a crystal lattice and are defined as the reciprocals of the fractional intercepts which the plane makes with the crystallographic axes.

The method by which indices are determined is best shown by example. Recall, that there are three axes in crystallographic systems (*except sometimes in the hexagonal system adopts a convention where there are four axes). Miller indices are represented by a set of 3 integer numbers.

(111) plane :

If you want to describe the orientation of a crystal face or a plane of atoms within a crystal lattice, then there are series of steps that will lead you to its notation using Miller indices.

1. The first thing that must be ascertained are the fractional intercepts that the plane/face makes with the crystallographic axes. In other words, how far along the unit cell lengths does the plane intersect the axis. In the figure above, the plane intercepts each axis at exact one unit length.

2. Step two involves taking the reciprocal of the fractional intercept of each unit length for each axis. In the figure above, the values are all 1/1.

3. Finally the fractions are cleared (i.e., make 1 as the common denominator).

4. These integer numbers are then parenthetically enclosed and designate that specific crystallographic plane within the lattice. Since the unit cell repeats in space, the notation actually represents a family of planes, all with the same orientation. In the figure, the Miller indices for the plane are (111).

Cristallographie I-3 Why go through all of these operations?

(101) plane:

This becomes immediately apparent when we consider the case of the (101) plane. Here the plane intercepts the a and c axis at one unit length. The plane however, never intersects the b axis. In other words, it can be said that the intercept to the b axis is infinity. The intercepts are then designated as 1, ∞, 1. The reciprocals are then 1/1, 1/∞, 1/1. Knowing 1/∞ = 0 then the indices become (101).

(102) and (201) planes:

Cristallographie I-4

Notations for crystallographic indices Planes:

(hkl) designates a specific plane in the crystal lattice.

{hkl} denotes the set of all planes that are equivalent to (hkl) by the symmetry of the lattice. For example, in a cubic lattice {100} includes (100), (010), and (001) while in a triclinic lattice {100} only includes (100).

Directions:

[hkl] designates a specific direction in the lattice from the origin.

<hkl> denotes the set of of all directions that are equivalent to [hkl] by symmetry. d-spacing is defined as the distance between adjacent planes. When X-rays diffract due to interference amongst a family of similar atomic planes, then each diffraction plane may be reference by its index dhkl

 Miller  Bravais  Indices  for  hexagonal  crystals      

Since the hexagonal system has three "a" axes perpendicular to the "c" axis, both the parameters of a face and the Miller Index notation must be modified. The modified parameters and Miller Indices reflect the presence of an additional axis. This modified notation is referred to as Miller-Bravais Indices, with the general notation (hkil). To see how this works, let's look at the dark shaded face in the hexagonal crystal shown here. This face intersects the positive a1 axis at 1 unit length, the negative a3 axis at 1 unit length, and does not intersect the a2 or c axes. This face thus has the parameters: 1 a1, ∞ a2, -1 a3, ∞ c Inverting and clearing fractions gives the Miller-Bravais Index:

Since the new index i is not independent of the indices h and k we have the following relationship: h + k + i = 0

Cristallographie I-5

For a similar hexagonal crystal, this time with the shaded face cutting all three axes, we would find for the shaded face in the diagram that the parameters are: 1 a1, 1 a2, -1/2 a3, ∞ c

Inverting these intercepts gives: 1/1, 1/1, -2/1, 1/∞ Resulting in a Miller-Bravais Index of: Note how the "h + k + i = 0" rule applies here!

This four-index scheme for labelling planes in a hexagonal lattice makes permutation symmetries apparent. For example, the similarity between and is more obvious when the redundant index is shown. Thus planes in the same family are identified by permutations of the first three indices, as with Miller indices for the other systems:

 

Cristallographie I-6

Questions : cfc & hc 1. Etablir la relation entre le paramètre de maille a et le rayon des atomes R du système cfc. 2. Montrer la structure hexagonale dans le système cristallin cfc. 3. Quel est le plan ayant la plus forte densité de sphères pour les systèmes cristallins

étudiés ? 4. Quelle est la densité linéaire d’atomes dans la direction [111] pour le système cristallin de

l’aluminium : système cfc, paramètre de maille a = 0,404 nm ? 5. Décrire schématiquement quels sont les atomes du système cristallin cfc qui appartiennent

aux couches A,B,C de l’empilement compact. 6. Calculez le rapport entre le rayon maximum r de la sphère inscrite dans l’interstice

octaédrique et le rayon R de l’atome de la maille cfc. 7. Calculez la distance entre les plans adjacents (111) de l’or ayant un système cristallin cfc

avec un paramètre a = 0,4079 nm. 8. Quelles sont les coordonnées de tous les sites interstitiels tétraédriques de la structure

cristalline cfc ?

Cristallographie I-7

Questions : cc & NaCl

1. Calculez le changement théorique de volume qui accompagne une transformation

allotropique d’un métal passant du système cc au système cfc. 2. Calculez le rapport entre le rayon maximum r de la sphère inscrite dans l’interstice

octaédrique et le rayon de l’atome R. 3. Quelle est la fraction volumique occupée par les atomes de la maille cc ? 4. Un métal a une maille cristalline cubique de paramètre a = 0,5025 nm de rayon d’atome R

= 0,2176 nm. Quel est le type de structure cristalline cubique de ce métal ? 5. Quel est le nombre d’atomes en contact direct avec un ion de Cl- et un ion Na+ ? 6. Dans quel type d’interstice se place l’atome de Sodium dans la maille cristalline de

chlorure de sodium NaCl ? 7. Calculez la densité du chlorure de sodium NaCl. 8. Quelles sont les conditions nécessaires pour obtenir un cristal ionique tel que le chlorure

de sodium ?