Hyperfrequences 1 Hyperfr Quences Cours 27-02-10

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1

Hyperfréquences chap 1 1

Hyperfréquences

Chapitre 1:

Guides d’ondes électromagnétiques

H. TOUIR

Académie Internationale Mohammed VI de l’Aviation Civile

Année 2008- 2009


Plan du chapitre

Introduction

Propagation guidée dans un tube métallique creux Propagation guidée dans un guide rectangulaire

Étude des modes Transverse Électrique (TE)

Étude des modes Transverse Magnétique (TM )

Propagation guidée dans un guide cylindrique Étude des modes TE

Étude des modes TM

Cavité résonante

Fentes rayonnantes



2


IntroductionDe la même manière que les lignes de transmission, les guides d ’ondes sont

utiliser pour transférer de l’énergie électromagnétique d ’un point à un autre.Néanmoins, on peut noter les principaux caractéristiques:

Les lignes de transmission sont utilisées souvent pour transférer de l’énergieélectromagnétique en mode TEM (Transverse Électrique Magnétique) dans unelarge gamme d’ondes (du kilométrique au centimétrique (Hyperfréquence)).


Introduction

Pour des fréquences jusqu’à 3 GHz, on utilise principalement le câble coaxial. Au

delà de cette fréquence les pertes sont considérables. Cependant de spécialcourt câble coaxial peuvent être utiliser jusqu’à 50 GHz. Quant à la ligne microruban, il sont utilisés dans les circuits intégrés miro-ondes .

Les guides d ’ondes rectangulaires ou cylindriques, sont utilisées souvent pour transférer de l’énergie électromagnétique en modes TE (Transverse Électrique) ou

TEM (Transverse Magnétique) pour des fréquences de l’ordre et supérieures à la

dizaine de GHz (hyperfréquences), pour lesquelles on trouve essentiellement desapplications radar ou des télécommunications spatiales.

Les guides d ’ondes électromagnétiques peuvent en effet transporter de fortes

puissances micro-ondes (propagation dans l’air), ce qui est particulièrementimportant pour les radars de puissance et des télécommunications spatiales.



3


IntroductionSupposant que le guide d'ondes est orienté avec son axe le long du z-axe

(direction de la propagation d’onde), le régime de propagation le plus généralqui peut exister dans un guide d’onde est formé des 5 composantes des champs.On distingue deux types d ’ondes :

Guide cylindrique

(1) modes Transverse Électriques (TE) le champ électrique est transversalà la direction de la propagation (aucun composant longitudinal dechamp électrique) tandis que le champ magnétique a les composants

transversaux et longitudinaux [Ez = 0, Hz≠0](2) modes Transversal Magnétiques (TM) - le champ magnétique esttransversal à la direction de la propagation (aucun composantlongitudinal de champ magnétique) tandis que le champ électrique ales composants transversaux et longitudinaux [Hz = 0, Ez ≠ 0]

z

x

y


Introduction

Avantages des guides d’ondes:

o La possibilité de transporter de fortes puissances micro-ondes (propagationdans l’air), ce qui est particulièrement important pour les radars de puissanceet des télécommunications spatiales;

o L’absence de rayonnement due à sa structure complètement close;

o Les modes principaux ont une polarisation rectiligne et sont donc faciles àexciter et à détecter;

On peut classifier les modes de propagation dans le guide d'ondes selon lesquels

les composants de champ sont présents ou non dans l’onde.

Les composants de champ dans la direction de la propagation de l’onde sont

définis en tant que composants longitudinaux tandis que les composantsperpendiculaires à la direction de la propagation sont définies en tant que

composants transversaux.



4


IntroductionA l’opposition des lignes de transmission, où leurs analyses se fait par les

équations de courants et de tension induits par le champ électromagnétisme, lesguides d ’ondes sont analysés directement par le champ électromagnétique. Eneffet, l’analyse par le champ électromagnétisme est plus facile que celle par les

équations de courants et de tension car les expressions du champ

électromagnétique sont assez complexe

Relation entre le champ E et la tension V:

VA(VB) est le potentiel du point A (B)dl est la distance élémentaire de la courbe ABdl= dl t, t est la tangente à dl On choisit le sens positif du parcours de C

ld)r (EVVVB

A

BA

r

r

r

∫=−=

dlE

A

B


IntroductionRelation entre le champ H et le courant I:

Théorème d’Ampère

est la somme algébrique des courants traversant le contour C

Le signe + est associé aux courants sud-nord et le signe - est associé auxcourants nord-sud

Puissance transportée :

* désigne le conjuguée

IIldHn

nC== ∑

∫r r

∑nnI

Cdl

In

( ) ( )∫ ∧=S

**HERe

2

1V.IRe

2

1 r v

H



5


Guide rectangulaireÉtudions une structure représentée sur la figure ci-dessousLes parois sont considérées comme étant des conducteurs parfaits,l’intérieur est rempli d’un isolant de permittivité ε et de perméabilité µ 0 (le coté a est supposé plus grand que le coté b -convention-)

o Modes TE (Transverse Electrique) :pour ces modes Ez = 0 et Hz≠ 0. Il n’existe que descomposantes E x=E x(x,y) et Ey=Ey(x,y)

o Modes TM (Transverse Magnétique) :pour ces modes Hz = 0 et Ez≠ 0le champ magnétique ne possèdeque des composantes transverses à la direction de

propagation (H x=H x (x,y) et Hy=Hy (x,y) )


Guide rectangulaireÉtude des modes TE

Pour ces modes on a : Ez = 0, Hz ≠ 0

L’équation d’onde dans un milieu pour une onde de variation temporelle de

type s’écrit:

(1)

Posons:

Ou encore le nombre d’onde dans unmilieu illimité

Projections la composante transversale sur les directions x et y:

Utilisons la méthode des séparations des variables:

Hεµ

t

HεµH 2

0

2

02

2

r

r

r v

ω −=

∂

∂=∇

z)k -t-j( zeω

z

2

0z

2

HεµH ω −=∇

v

(y)(x).f f y)(x,H yxz =

z

2

02

z

2

2

z

2

2

z

2

Hωεµz

H

y

H

x

H−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

2

z

2

0

2 k ωεµk −=

2

y

2

x

2 k k k +=

2z

2y

2x

2z

20

220 k k k k k εµωk ++=+==

( ) 0Hk ωεµy

H

x

Hz

2

z

2

02

z

2

2

z

2

=−+∂

∂+

∂

∂



6



L’équation (1) devient donc:

Les équations entre parenthèses étant indépendantes, elles doivent être vérifiéesséparément, ce qui donne la solution générale suivante:

où A, B, C et D sont des constantes à déterminer par les conditions aux limites.

On peut montrer que:

0k y

f

f

1k

x

f

f

1 2

y2

y

2

y

2

x2

x

2

x

=

+

∂

∂+

+

∂

∂

x)B.cos(k x)A.sin(k f xxx += y)D.cos(k y)C.sin(k f yyy +=

0 b)(x,E(x,0)Exx

== 0y)(a,Ey)(0,E yy ==

y

H

k E z

2

0x

∂

∂=

µ -jω

x

H

k E z

2

0y

∂

∂=

µ jω



Ce qui conduit à:

Les conditions aux limites conduisent donc à:

( )( )y)D.sin(k y)C.cos(k .x)B.cos(k x)Asin(k k k

E yyxxy2

0x −+=

µ -jω

( )( )y)D.cos(k y)C.sin(k .x)B.sin(k x)A.cos(k k

k

E yyxxx20

y +−=µ jω

0A 0y)(0,Ey =→=

)0,1,2,....(m mΠak 0y)(a,E xy ==→=

0C 0(x,0)Ex =→=

)0,1,2,....(n nΠ bk 0 b)(x,E yx ==→=



7



La composante Hz s’écrit donc

avec B.D = H0

Remarque: pour m=n=0, Hz est constant et par conséquent les champstransverses (E x, Ey) sont nuls, ce qui exclut ce mode.

Les expressions complètes des composantes transverses des champs sont:

Kc étant le vecteur d ’onde de coupure.

) b

yn)sin(

a

xmcos(H

k

k jωE 02

c

y

0x

ΠΠ= µ

)

b

yn)cos(

a

xmsin(H

k

k jk H 02

c

xzx

ΠΠ=

) b

yn)cos(

a

xmsin(H

k

k jωE 02

c

x0y

ΠΠ−= µ

)

b

yn)sin(

a

xmcos(H

k

k jk H 02

c

y

zy

ΠΠ=

) b

yn)cos(

a

xmcos(HH 0z

ΠΠ=

)zk -t j(-

0zz)e

b

yn)cos(

a

xmcos(HH ω ΠΠ

=



Ces relations permettent de se faire une représentation schématique des

lignes de champ électrique pour les premiers modes TE;

Modes de propagation:

Pour chaque couple (m, n) on associé un mode de propagation TEmn

Relation de dispersion:

Pulsation de coupure:

La pulsation de coupure ωc correspond à kz=0, soit:

22

0

c b

n

a

m

εµ

1ω

Π+

Π=

2

z

22

2

0 k b

n

a

mωεµ +

Π+

Π=



8



De la relation de dispersion on déduit le vecteur d’onde k z de propagation:

Pour ω<ωc, kz est imaginaire pure. Le mode est atténué (pas de propagation).L ’onde est dans ce cas est évanescente.

Pour ω>ωc, kz est purement réel. Le mode se propage.

Longueur d ’onde guidée

Lors de la propagation d’une onde dans un guide, on doit alors retrouver la

même phase tous les λg . C’est à dire que kz λg = 2 π et donc :

; le vecteur

d ’onde dans un milieu illimité

( )220z ω..k cω ε µ −=

2

20

0

2

20z

g

11

1

εµ

2

k

2

c

c

λ

λ

λ

ω

ω ω λ

−

=

−

Π=

Π=

00

εµ

2

ω λ

Π=



Vitesse de propagation:

Où v0 est la vitesse de propagation dans un milieu illimité.

Impédance de l ’onde TE:

Où Z0 est l’impédance dans un milieu illimité.

ZTE est appelé aussi l’impédance caractéristique de l ’onde TEmn.

2

2

02

2

0

1

ω1v

ω1

.

1v cc z

z

k

k

ω ω

ε µ ω

ω −=−=

∂

∂=

∂

∂=

−

0

2/122

2

0

0

2/1

2

2

00

x

y

y

x

T

T

TE Z b

n

a

m

εµ

11Z1Z

H

E

H

E

H

EZ >

Π+

Π−=

−==−===

−−

ω ω

ω ωµ c

z k r

v

r

v

r

v



9



Interprétation géométrique

Dans le mode mode TE10 le champ Hz ( )

se met sous la forme de deux termes:

On voit que le champ peut être considéré comme la somme de deux champs

qui se propagent dans des directions symétriques par rapport à la direction oz

et obliquement dans le plan -x, z et x, z.

Introduisons les vecteurs d ’onde:

( )zk -t j-0z

z)ea

xcos(HH

ω Π=

( )

+=

+=

+

Π−−−

+

Π−ΠΠ zk

a

xtzk

a

x-t

0zk -t j-a

x-

a

x

0z

zzz ee

2

Heee

2

HH

ω ω ω

j j j j

z x eer r

r

z1 k a

k +Π

+= z x eer r

r

z2 k a

k +Π

−=



de même norme: (relation de dispersion)

Regardant maintenant ce qui se passe à l ’interface diélectrique paroi

métallique pour une fréquence inférieure à la fréquence de coupure. L’onde

réfléchie est une onde évanescente. En effet, le champ électrique E est

atténuée en exp(-αz) avec α=(µ0ε (ωc2 - ω2))1/2 en absence du phénomène

dissipatif.

2/1

2z

2

0 k k

+

Π=

a

z

x

k1

k2

θ−−−−θ

a

zz

y

Ey(x)y

z

x

Ey(x,z)



10



Interprétation géométrique de la propagation du guide des modes TEm0 et TE0n

Interprétation géométrique de la propagation du guide des modes TEmn

x

y

z

x

y

z


Guide rectangulaireÉtude des modes TM

Le champ magnétique est purement transverse (Hz = 0). En suivant exactement

la même démarche que celle des modes TE, on trouve les expressionscomplètes des composantes des champs:

Ces relations permettent de se faire une représentation schématique des lignesde champ électrique pour les premiers modes TM.

y) b

nx)sin(

a

msin(EE 0z

ΠΠ=

) b

yn)sin(

a

xmcos(E

k

k jk E

02

c

zxx

ΠΠ−=

) b

yn)cos(

a

xmsin(E

k

k jk E 02

c

zy

y

ΠΠ−=

) b

yn)cos(

a

xmsin(E

k

k jH 02

c

y

x

ΠΠ=

ωε

) b

yn)sin(a

xmcos(Ek

k j-H02

c

xy

ΠΠ= ωε



11


Guide rectangulaireÉtude des modes TM

Remarques:

o pour m=0 ou n=0, Ez =0 ce qui exclut ce modeo pour les modes TM, la relation de dispersion, la pulsation de coupure,La longueur d ’onde guidée et la vitesse de propagation sont identiques

que celles des modes TE.

Impédance de l’onde

ZTM est appelé l’impédance de l ’onde TMmn.

Remarque :

Plus a augmente plus ZTM augmente et plus ZTE diminue. Dans le cas

limite (a-->∝) ZTM et ZTE tendent vers Z0

0

2/122

2

0

02

2

0

x

y

y

x

T

T

TM Z b

n

a

m

εµ

11Z1Z

H

E

H

E

H

EZ <

Π+

Π−=−==−===

ω ω

ω

ωε c z k

r

v

r

v

r

v

2

0TETM ZZZ = impédanceZ0ZTM ZTE


Guide rectangulaireExemple

Cherchons les fréquences de coupure des premiers modes d’un guide standard(désignation WR90) et traçons le diagramme de dispersion k = f (ω). Lesdimensions sont a = 22,9 mm et b = 10,2 mm . La relation de dispersion donnepour les cinq premiers modes, par ordre de fréquence croissante les valeursindiquées dans le tableau suivant :

Mode Fréquence de coupure (GHz)TE10 6,56TE20 13,10TE01 14,76TE11 16,16TM11 16,16

Exprimons la relation de dispersion en fonction de ω (avec εr = 1 dans l’air):

22

2

z

ωk

−

=

cc

cω 2

z 1ω

k

−=

ω

ω c

c



12


Guide rectangulaireLe mode dominant TE10

Le diagramme de dispersion kz = f(ω) est représenté ci-dessous :

Fonctionnementmono mode

Fonctionnementmulti mode

kz

o Dans la bande fréquencescomprise entre 6,56 GHz et13,10 GHz, seul le mode TE10peut se propager : le guideest monomode. C’estl’utilisation habituelle d’unguide d’onde

o Par contre, en utilisant labande de fréquencescomprises entre 14,76 GHZ et16,16 GHz , les trois modesTE10, TE20 et TE01 peuvent sepropager simultanément. Leguide est multi mode.



Expressions et répartition des champs :

Les composantes des champs du mode TE10 dans l’air (εr = 1), sont données pour m = 1 et n= 0. En exprimant tous les champs par rapport à l’amplitude Eo de lacomposante Ey, et en revenant aux expressions physiques, on trouve:

Noter le déphasage de π/2 de la composante Hz par rapport aux autreschamps.

)zk ωt(02

c

x0y z)a

xsin(Hk

k E

−−Π−=

j

e jωµ

z)k -t j(-0z

z)ea

xcos(HH

ω Π= 0EHE

xyz ===

z)k -t j(-02

c

xzx z)ea

xsin(Hk

k jk H

ω Π=



13



La figure suivante indique l’allure des variations des composantes des champsau temps t = 0

o La figure de gauche montre la variation sinusoïdale du champ électrique enfonction de x (le champs est nul sur les parois verticales en x=0 et x=a)

o La figure de droite montre les variations du champ magnétique dans un plany quelconque (ses composantes ne dépendent pas de y) : On retrouve lesboucles caractéristiques du champ magnétique

λ G = 2π/k est la longueur d’onde de guide



Champ électrique et courant de déplacement

La répartition du champ Ey dans le guide, toujours au temps t = 0. Lapropagation de ce champ vers les z croissants (terme cos( ωt – k z z)), induit uncourant de déplacement proportionnel au taux de variation du champélectrique ( Jd=ε dE/dt ).

o En z = 0 et z = λ G/2, le champ Ey passe par un extremum ainsi que Jdo En z = λ G/4, dEy/dt > 0 : le courant est positif de valeur maximum Jdmaxo En z = 3/4λ G, dEy/dt < 0 : le courant est négatif, de valeur Jdmin



14



Champ magnétique et courant de conduction

o Les lignes de champ magnétique tournent autour des lignes de courant dedéplacement Jd. Elles forment des boucles fermées, centrées en x = a/2 et z =λ

g/4, z = 3/4λ

g, … etc (au temps t = 0).

o Le courant superficiel Is, (Is = n×Hs), n étant la normale sortante de la surface)induit par la composante tangentielle du champ magnétique en surface Hs,s’écoule sur la face interne des parois du guide



La voleur moyenne dans le temps de la densité de puissance est donné par levecteur de Poynting:

La composante transverse est nulle parce qu ’elle est purement imaginaire.

)H~

E~

Re(2

1)r (

*r r

r r

×=Π

Π+

Π×

Π−= −−

z x y

jeeee jr r r z)k -t j(*

0

z)k -t j(*

02c

x

z

)zk ωt(

02c

x

0

zzz )ea

xcos(H)e

a

xsin(H

k

k jk -)

a

xsin(H

k

k Re

2

1 ω ω ωµ

)a

x(sinH

k

k 0

0

2

1

)a

x(sinH

k

k 0

)a

xcos()

a

xsin(H

k

k

Re2

1

2202

x

z0

2202

x

z0

202

c

x0

Π=

Π

ΠΠ−

=

ωµ ωµ

ωµ j



15



Le flux de ce vecteur à travers à une section droite du guide donne la puissancemoyenne véhiculée par l’OEM du guide.

Cette puissance est souvent exprimée en fonction de l ’amplitude maximum deE0 du champ électrique. La relation entre E0 et H0 est donnée par:

Pour a=2,29 cm, b=1,02 cm, E0=3 MV/m, εr =1(air) , f=10 GHz, on trouve P≅1MW

a.bHk

k

4)dx

a

Πx(sindyH

k

k

2dxdy)r (P 2

02x

z0 b

0

a

0

2202

x

z0 ωµ ωµ ==Π= ∫ ∫∫

r r

0x

00 H

k E

ωµ =


Guide cylindriqueLes propriétés du guide cylindrique sont très voisines de cellesdu guide rectangulaire.

Étudions une structure représentée sur la figure ci-dessous. Les parois sontconsidérées comme étant des conducteurs parfaits, l’intérieur est rempli d’unisolant de permittivité ε et de perméabilité µ 0

Modes TE (Transverse Electrique) :pour ces modes Ez = 0 et Hz ≠ 0 . Il n’existe que descomposantes Er =Er (r,φ) et Eφ=Eφ(r,φ)

Modes TM (Transverse Magnétique) :pour ces modes Hz = 0 et Ez ≠ 0 . Il n’existe que descomposantes Hr =Hr (r,φ) et Hφ=Hφ(r,φ)

En désignant par g l’une des composantes longitudinales Ez ou Hz, l’équation depropagation pour une onde de variation temporelle de types’écrit:

gεµεµg2

02

2

0

2 ω −=∂

∂=∇

t

g v

z)k -t-j( zeω



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Guide cylindriqueExprimons le Laplacien en coordonnées cylindriques:

L’équation d’onde s’écrit, compte tenu du terme de propagation en exp(jk zz)

Posons:

Ou encore k0 étant le nombre d’onde dans un milieu illimité

Utilisons la méthode des séparations des variables:

L’équation devient donc:

2

2

2

2

2

2 ),(g),(g1

r

)r,(gr

r r

1 g

z

r r

r ∂

∂+

Φ∂

Φ∂+

∂

∂

∂

∂=∇

φ φ v

( ) 0),(gk ωεµ),(g1

r

)r,(gr

r r

1 2

z

2

02

2

2=Φ−+

Φ∂

Φ∂+

∂

∂

∂

∂r

r

r

φ

2

z

2

0

2

z

2

0

2 k k k ε.ωµk −=−=

)R(r)F()g(r, Φ=φ

0F1

k r r

R r

R

r 2

222 =

∂

∂

Φ+

+

∂

∂

∂

∂

φ r

2

z

22

0

2

0 k k ωεµk +==


Guide cylindriqueLe premier terme n’est fonction que de r, alors que le second n’est fonction quede Φ. La somme ne peut être identiquement nulle que si chaque fonction estégale à une constante.

Fonction angulaireLa fonction F doit être périodique, car les champs doivent retrouver la mêmevaleur pour F et pour F+ 2π. Nous obtiendrons une solution périodique enposant :

La solution générale de cette équation s’écrit :

et doit satisfaire à la condition :

Cette condition est satisfaite si ν est un entier de valeur ν = m = 0, 1, 2, 3..

2

2

2

-F1

ν φ

=∂

∂

Φ

( ) ( ) ( )Φ+Φ= νsinD νcosCΦF

( ) ( ) ( ) ( )ν ν Π+Π=→Π= 2sinD2cosCC2F0F



17


Guide cylindriqueFonction radialePar conséquent l’équation de propagation devient (équation de Bessel):

La solution générale de cette équation, pour n entier, s’écrit :

Où Jm(kr) est la fonction de Bessel de première espèce d’ordre m (m = 0, 1, 2, …)Nm(kr) est la fonction de Bessel de deuxième espèce d’ordre m (ou fonction deNeuman)

La figure ci-dessous montre les variations de Jm(x) (m = 0 à 3) en fonction de x(x=kr) au voisinage de l’origine et le xmn le nième zéro de la fonction de Bessel depremière espèce d’ordre m

( ) 0R mk r r

R r r 222 =−+

∂

∂

∂

∂

r

(kr) NB(kr)JAR(kr) mm +=


Guide cylindrique

Ces fonctions sont oscillatoires et gardent une valeur finie au voisinage de x = 0(c’est-à-dire au centre du guide) pour toutes les valeurs de n

Par contre les fonctions Nm(x) (figure ci-dessous) tendent vers l’infini au voisinagede l’origine, comme le montre la figure ci-dessous.

x02 x01 x03 x13 x12

x22 x23



18


Guide cylindrique

Le champ ne pouvant pas diverger au centre du guide, nous poserons doncB = 0. La composante longitudinale du champ s’écrit finalement :

( ) ( )( )Φ+Φ= msinDmcosC(kr)JA)g(r, mφ


Guide cylindriqueRemarque 1: Si un autre conducteur métallique est placé proche de l’axe, il fautalors tenir compte des fonctions du deuxième ordre. Dans ce cas il s’agit d’uncâble coaxial. Le câble coaxial autorise la propagation des modes TE, TM et TEM.Cependant il est souvent utilisé seulement en modes TEM.

Remarque 2: Les solutions angulaires en cos (mΦ ) et en sin (mΦ ) représentent en

fait une même configuration des champs, mais décalée angulairement de π/2m.Cette indétermination provient du choix arbitraire de l’orientation de l’axe Ox.Nous ne retiendrons que la solution en cosinus qui ne s’annule pas pour m = 0.

x

yr

φ



19


Guide cylindriqueLa solution générale de la composante longitudinale du champ est donc :

o La variation radiale est une fonction de Bessel de première espèce.o La variation angulaire est une fonction trigonométrique.

Pour terminer l’étude de l’équation de propagation nous devons maintenantprendre en compte les conditions aux limites sur les parois du guide. Il faut alorsmaintenant décomposer notre étude en deux parties (mode TE et mode TM) car les conditions aux limites sont différentes pour ces deux modes

( )Φ= mcos (kr)JCA)g(r, mφ


Guide cylindriqueÉtude des modes TM

Pour ces modes on a: Hz = 0 et Ez ≠ 0

La composante axiale du champ électrique Ez est donnée par:

avec E0=AC

Sur la surface du guide on a :

Les solutions pour les modes TM correspondent alors aux zéros de lafonction de Bessel de première espèce Jm(kr ) en r= a

En r= a on a alors Jm (ka) = 0 et donc on trouve que :

avec xmn qui est le nième zéro de la fonction de Bessel de première espèced’ordre m

( ) ( ) z zk -t j-m0z emcos (kr)JE)(r,E

ω φ Φ=

0)(a,Ez =Φ

a

xk k mn

TM ==



20



La composante Ez du mode TMmn s’écrit donc :


Pulsation de coupure, qui correspond à kz = 0, vaut :


a

x

εµ

1ω mn

0

c =

2

z

2

mn0

2 k a

xεµω +

=

( ) ( ) z zk -t j-mnm0z emcos r)

a

x(JE)(r,E

ω φ Φ=

( )22

0z ω..k cω ε µ −=



Pour ω<ωc, kz est imaginaire pure. Le mode est atténué (pas de propagation).Pour ω>ωc, kz est purement réel. Le mode se propage.

On donne dans le tableau suivant les valeurs précises des n = 4, premières racines xmn, de Jm, pour m≤0: 3

n 1 2 3 4m0 2,405 5,520 8,654 11,7921 3,832 7,016 10,173 13,3242 5,136 8,417 11,620 14,7963 6,380 9,761 13,015 16,223

On notera que la plus faible racine vaut x01 = 2,405, ce qui fait que le mode TM01possède la plus faible fréquence de coupure de tous les modes TM.



21






; le vecteur



Où v0 est la vitesse de propagation dans un milieu illimité

2

20

0

2

20z

g

11

1

εµ

2

k

2

c

c

λ

λ

λ

ω

ω ω λ

−

=

−

Π=

Π=

00

εµ

2

ω λ

Π=

2

2

02

2

0

1

ω

1v

ω

1

.

1v cc z

z

k

k

ω ω

ε µ ω

ω −=−=

∂

∂=

∂

∂=

−



En suivant la même démarche du guide rectangulaire, on trouve les expressions

complètes des composantes des champs sont :

Jm’ désigne la dérivéeRemarquons que ces composantes ont : une variation radiale de type Bessel de

première espèce et une variation angulaire de type trigonométrique.

)sin()r k (JEr

m

k

jk E mnc,m02

mnc,

zΦ Φ= m

( ) )cos(r k J'Ek

jk E mnc,m0

mnc,

zr Φ

−= m

)cos()r k ('JEk

j-H mnc,m0

mnc,

Φ=Φ mε ω

( ) )sin(r k JEr

m

k

j-H mnc,m02

mnc,

r Φ= mε ω

) )cos(r k JEE mnc,m0z Φ= m



22



Ces relations permettent de se faire une représentation schématique des lignes

de champ électrique pour les premiers modes TM.

Impédance de l ’onde TM:


0

2/12

20

02

2

0

r

r

T

TTM Z

aεµ

11Z1Z

H

E

H

E

H

EZ <

−=−==−===

Φ

Φ

mnc z xk

ω ω

ω

ωε r

v

r

v

r

v


Guide cylindriqueÉtude des modes TE

Pour ces modes on a: Ez = 0 et Hz ≠ 0

La composante axiale du champ électrique Hz est donnée par:

avec H0=AC

Sur la surface du guide on a :

On peut montrer que:

Ce qui conduit à:

En r = a on a alors Jn’(ka)=0 et donc on trouve que :

( ) ( ) z zk -t j-m0z emcos (kr)JH)(r,H ω φ Φ=

0)(a,EΦ =Φ

r

H

k

jωE

20

Φ∂

∂= z µ

a

xk k

'mn

TE ==

( ) ).cos(mkr)(Jr

Hk

jωE m02

0Φ Φ

∂

∂=

µ



23



avec x’m,n qui est le nième racine de la fonction de Bessel de première espècedérivée d’ordre m

La composante Hz du mode TEmn s’écrit donc :


Pulsation de coupure, qui correspond à kz = 0, vaut :


a

x

εµ

1

ω

'

nm

0

c =

( ) ( ) z zk -t j-'mn

m0z emcos r)a

x(JH)(r,H

ω φ Φ=

2z

2'mn

02 k

a

xεµω +

=

( )22

0zω..k cω ε µ −=



Pour ω<ωc, kz est imaginaire pure. Le mode est atténué (pas de propagation).Pour ω>ωc, kz est purement réel. Le mode se propage.

On trouve dans le tableau suivant les premières valeurs de x ′ mn

n 1 2 3 4m

0 3,832 7,016 10,173 13,3241 1,841 5,331 8,536 11,7062 3,054 6,076 9,969 13,170

3 4,201 8,015 11,346 14,585

On note que le mode TE11, qui présente la plus basse fréquence de coupure (x’11

=1,841) de tous les modes TE ou TM, est le mode dominant. Pour les modes TM la

fréquence la plus basse est celle du mode TM01 ( x01 = 2,405)

Les valeurs de cette ligne(m=0) sont identiques à cellede la ligne m=1 des modes TM



24






; le vecteur



Où v0 est la vitesse de propagation dans un milieu illimité

2

20

0

2

20z

g

11

1

εµ

2

k

2

c

c

λ

λ

λ

ω

ω ω λ

−

=

−

Π=

Π=

00

εµ

2

ω λ

Π=

2

2

02

2

0

1

ω

1v

ω

1

.

1v cc z

z

k

k

ω ω

ε µ ω

ω −=−=

∂

∂=

∂

∂=

−



Impédance de l ’onde TE:


ZTE est appelé aussi l’impédance caractéristique de l ’onde TEmn.

De la même manière que le guide rectangulaire on a la propriété:

Plus a augmente plus ZTM augmente et plus ZTE diminue. Dans le cas

limite (a-->∝) ZTM et ZTE tendent vers Z0

0

2/12

mn

2

0

0

2/1

2

2

00

r

r

T

T

TE Za

x'

εµ

11Z1Z

H

E

H

E

H

EZ >

−=

−==−===

−−

Φ

Φω ω

ω ωµ c

z k r

v

r

v

r

v

2

0TETM ZZZ = impédanceZ0ZTM ZTE



25



Remarques :

o Les valeurs des constantes de propagation sont différentes pour les modesTEmn et TMmn et donc leurs fréquences de coupures sont différentes ainsique leurs caractéristiques de dispersion. Les modes TEm,n sont en généralnon dégénérés sauf dans le cas où x’0n = x 1n (les modes TE0n et TM1n sontdégénérés)

o Si m ≠ 0 alors x’mn < x mn Les modes TE apparaissent alors plus tôt(fréquence plus basse) que les modes TM et ils ont des caractéristiques depropagation différentes.



Les expressions complètes des composantes des champs sont :

Remarquons que ces composantes ont : une variation radiale de type Bessel depremière espèce et une variation angulaire de type trigonométrique.

Jm’ désigne la dérivée

Ces relations permettent de se faire une représentation schématique des lignesde champ électrique pour les premiers modes TE

) )cos(r k JHH'

mnc,m0z Φ= m

)sin()r k (JHr

m

k

jk -

H

'

mnc,m02mnc,

'

z

Φ Φ= m

( ) )cos(r k J'Hk

jk H '

mnc,m0'mnc,

zr Φ

−= m

)cos()r k ('JHk

jE '

mnc,m0'mnc,

0 Φ=Φ m µ ω

( ) )sin(r k JHr

m

k

jE '

mnc,m02mnc,

'

0r Φ= m

µ



26



La répartition des lignes du champ électrique transverse des modes TE11, TE01 etTE21 est indiquée sur les figures suivantes :

Le mode dominant TE11 présente une répartition des lignes de champ électrique

qui rappelle celle du mode TE10 du guide rectangulaire. Pour cette raison, il estcourant d’exciter ce mode du guide cylindrique à partir d’un guiderectangulairePour le TE01 (m = 0), le champ est indépendant de Φ. Pour les autres modes, lapériodicité est égale à π/m.


Guide cylindriqueMode dominant TE11

Expressions et répartition des champs :

Les composantes des champs du mode TE11 dans l’air (εr = 1), sont données pour m = 1, n = 1 et x'11 =1,841:

)cos(r

a

1,841JHH 10z Φ

=

( )

Φ+Φ

−= Φe)cos()r

a

1,841('J

a

1,842e)sin(r

a

1,841J

r

1H

1,841

ak j-E 1r 102

2z0

TE

r r

r µ ω

( )

Φ+Φ

−= Φ1r 102

2z

TE e)sin()r a

1,841(J

r

1)cos(r

a

1,841J'

a

1,841H

1,841

a jk H

r r

r

e



27


Guide cylindriqueMode dominant TE11

Lignes de champ du mode TE11


Guides d’ondePertes dans un guide

Jusqu’as présent, nous avons supposés des guide sans pertes. En effet un guideréel présente des pertes qui ont deux origines:

o Pertes électriques au niveau des parois qui ne sont pas parfaitementconductrices

o Pertes diélectriques au niveau du milieu remplissant le guide.

Il en résulte une atténuation supposée exponentielles des ondes qui sepropagent:

Où P(0) étant la puissance transmise par la source à l’entrée du guide et α est lecœfficient d’amortissement linéique.

))(2exp().0(P)(P z z −=



28


Guides d’ondePertes dans un guide

Le plus souvent, on évalue l’atténuation par:

en dB/m

Dans le cas typique où α=5.10-3, à 100 MHz, l’atténuation vaut 0,043 dB/m

))(P

)0(Plg(

10A

z z =

)(696,8).(.2.3,2

10)

)(P

)0(Pln(

.3,2

10A ω α ω α === z

z z z


Cavité résonanteCas du guide rectangulaire

En hyperfréquence, la cavité résonante peut être utilisée dans de nombreusesapplications: filtrage, mesure des fréquences des OEM, stabilisation desoscillateurs, chauffage (fours micro-onde)Une cavité résonance rectangulaire ou cylindrique est obtenue à partir d’unguide d’ondes délimité par des parois parfaitement conductrices (cas du guiderectangulaire figure ci-dessous). L’addition des parois aux extrémités (en z=0 etz=d introduit) la réflexion de l’OEM dans la direction z.

Cas des modes TM pour un guide rectangulaireLa composante E x est donnée par:

Où le terme en -kzz (resp. kzz ) est l’onde incidente(resp. réfléchit) d’amplitude complexe A+

(resp. d’amplitude complexe A-)

( )z jk -

z jk -02

y2x

zxx

zz eAeA) b

yn)sin(

a

xmcos(E

k k

k . jk E +

ΠΠ

+

−= +



29



La condition aux limites E x(z=0)=0 impose A+=-A-, soit:

La condition aux limites E x(z=d)= 0 conduit à:

Ce qui conduit à:

Dans la cavité résonante les modes TM sont donc caractérisés par les entiersm, n et p (TM mnp)

Remarque: p peut prendre la valeur 0 (Ez ≠ 0); le mode TM nm0 est autoriséLa relation de dispersion pour une cavité résonante devient:

0d)k sin() b

yn)sin(

a

xmcos(EA2

k k

k .k -E z02

y2x

zxx =

ΠΠ

+= +

)0,1,2,....(p d

pΠk pΠdk zz ==→=

z)k sin() b

yn)sin(

a

xmcos(EA2

k k

k .k -E z02

y2x

zxx

ΠΠ

+= +

2222

0d

p

b

n

a

mωεµ

Π+

Π+

Π=



Remarque: dans le cas des modes TE on obtient la même équation dedispersion que celle des modes TM

Pour un choix donnée de n, m et p on a une seule valeur de ω qui satisfait larelation de dispersion ci-dessus. C’est la pulsation de résonance de la cavité et àcette pulsation seulement qu’on a des oscillations libres des champs E et B

(interférences constructifs). Pour une pulsation différente à la pulsation derésonance les champs E et B interfèrent destructivement. La pulsation derésonance est donnée par:

Remarque: Le même résultats peut être obtenu par l’analyse des modes TE. Maisle mode le mode TE nm0 n’est pas autorisé

222

0mnp

d

p

b

n

a

m

εµ

1ω

Π+

Π+

Π=



30



Exemple 1:

Pour a>b>d, la pulsation la plus faible des modes TE est celle du mode TE101. Elleest donnée par :

La représentation schématique des champs est donnée ci-dessous:

On remarque que:Ey≠0,Hz ≠ 0, H x ≠ 0,Ez=Hy=0

Configuration des champs dans une cavité, attaquée par une onde TE10

22

0101

daεµ

1ω

Π+

Π=

yx

z



Exemple 2:

Pour a>b>d, la pulsation la plus faible est celle du mode TM110. Dans ce cason a:

et Ez ≠ 0,H x ≠ 0, Hy ≠ 0, E x=Ey=0

La représentation schématique des champs est donnée ci-dessous:

22

0110

baεµ

1ω

Π+

Π=



31



La décomposition de ces champs est montrée ci-dessous.

Pour a = 2 cm, b=1 cm et d=0,5 cm ,le mode résonnant TM110 est égale:

Hz 5210

10.3

)10(4

510.32

2

8

22

28

110 −−=

Π=Π f

GHz 8,16110 = f



L’antenne patch peut être assimilée à une cavité résonnante rectangulaire. Ces

cavités fonctionnent sur des modes TMmnp (p=0 pour une hauteur de substratdiélectrique négligeable devant la longueur d’onde λ ). Pour le mode TM110 on a:

et Ez ≠ 0,H x ≠ 0, Hy ≠ 0, E x=Ey=0

Avec c la célérité de la lumière dans le vide et εr le permittivité relative du

substrat diélectrique

h

substrat diélectrique

plan métallique

couche rayonnante

Figure schématique

d’une antenne imprimée

avec couche rayonnanterectangulaire

22

r 110

baεω

Π+

Π=

c

yx

z



32


Cavité résonanteCas du guide cylindrique

On peut montrer que la pulsation de résonance est donnée par:

Pour les modes TM

Pour les modes TE

Le mode dominant pour les modes TM est TM110Le mode dominant pour les modes TE est TE111

22mn

0mnp

d

p

a

x

εµ

1ω

Π+

=

a

z

d22

mn

0mnp

d

p

a

x'

εµ

1ω

Π+

=


Fentes rayonnantesLe prélèvement d ’une partie du signal des guides d’ondes présentent despetites ouvertures sur les parois

Illustration du champs électrique équivalent

au niveau de l ’ouverture d ’un guide d ’ondespour un champ électrique normale à la paroi

Le champ électrique envoyé par l ’ouverture est équivalent à celui d ’un dipôleélectrique Pe normale à la paroi (sans ouverture).

E



33


Fentes rayonnantes

Illustration du champs magnétique équivalentau niveau de l ’ouverture d ’un guide d ’ondespour un champ magnétique tangentiel à la paroi

Le champ magnétique envoyé par l ’ouverture est équivalent à celui d ’undipôle magnétique Pm tangentiel à la paroi (sans ouverture).

B

Hyperfrequences 1 Hyperfr Quences Cours 27-02-10

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