INSTITUTION DE LA RECHERCHE ET DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR AGRICOLES

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ECOLE SUPERIEURE DES INGENIEURS

DE L’EQUIPEMENT RURAL MEDJEZ EL-BAB

HYDROLOGIE DE L’INGENIEUR (Cours polycopier) Classe : 1ère Année Ing. Filière H.A. Bergaoui Mohamed Juin 2001 N.B. Le cours est fourni sous forme de document polycopié aux étudiants de la 1ère Année H.A. dans le courant du troisième trimestre de chaque Année depuis 1995.

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SOMMAIRE PARTIE I : HYDROMETRIE I-1 Généralités: débit, relation hauteur-débit. 4 I-2 Mesure des hauteurs d'eau 10 I-3 Matériel de Jaugeages 17 I-4 Jaugeage on moulinet 23 I-5 Jaugeage chimique 30 I-6 Jaugeage chimique 38 I-7 Exercices 40

PARTIE II : HYDROLOGIE STATISTIQUE II-1 Rappels théoriques 52 II-2 Analyse fréquentielle 58 II-3 Méthode de gradex 66 II- 4 Exercices 69

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PREFACE : Ce cours est le résultat d’un important travail de rassemblement de documentation sur les pratiques hydrométriques dans les bassins versants ainsi que l’analyse et le traitement statistique des données hydro-météorologiques. Un travail de synthèse des documents a été fait. En effet, l’hydrologie est une science expérimentale qui nécessitera toujours des données mesurées sur terrain dans le but d’étudier et de comprendre les processus physiques du cycle de l’eau. Ce cours devrait pouvoir apporter une contribution significative pour l’élève ingénieur dans le domaine de l’hydrométrie (mesure des débits) l’analyse et le traitement des données.

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Intoduction :

Dans les études portant sur les bassins versants (figure n°1) où des variations rapides de l’écoulement de surface sont généralement observées ; la mesure en continue du débit est nécessaire. Généralement, on enregistre les variations du niveau d’eau dans une section du cours d’eau. Une station hydrométrique comprend :

• Une station limnimétrique (échelles, enregistreurs) • Une station de mesure, dispositif de contrôle du débit.

Pour chaque station hydrométrique, l’information de base se compose :

- De son identification : numéro et nom de la station, nom du cours d’eau, coordonnées géographiques, altitude, superficie du bassin versant,

- Des enregistrements limnigraphiques, - Des jaugeages.

Les enregistrements limnigraphiques feront, si possible, l’objet d’un traitement informatique, afin d’élaborer le fichier des cotes instantanées, constitué de couples temps -hauteur d’eau :

- Comme en pluviographie, les enregistrements graphiques doivent être numérisés entre

Réseau hydrographique

Limite du bassin

Bassin versant

Exutoire figure n° 1

Dans la station hydrométrique, on mesure les quantités d'eau qui passent.

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I Généralités : La connaissance des oueds est le but principal de l’hydrologue. Débit liquide par opposition au débit solide (transport des sels et matières en suspension), l’objectif de l’hydrologue est de connaître à chaque instant aux certains poins des oueds le débit. Ces points sont aménagés et équipés et constituent des stations hydrométriques. Il existe un certain nombre de méthodes techniques pour la mesure du débit et qui sont relativement compliquées. Il faut toujours faire appel à un observateur expérimenté. Il est impossible de faire des mesures continuelles pour connaître le débit de l’oued à tout instant. Ainsi, on doit choisir une relation entre le débit et la hauteur d’eau ; c’est à dire étalonner la station. C’est la base de l’organisation de travail sur le terrain. Elle exige deux opérations : la mesure des niveaux d’eau dans l’oued et la mesure du débit pour établir l’étalonnage. Le débit à travers une section ds est donnée par :

,débit à travers dssdvdq rr.=

0 //

=⇔⊥

α

rrrr vsv

dq = v.ds ∫ ∫=

svdsQ

Avec n Normale à la section

QUSdtdxS == .

a’ a

S b’ ⇒=tVQ est le volume d'eau

b qui traverse S pendant dtdx

Figure n°2 :

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Longueur (m)

,

Toutes Profondeur (m) d

∫=p

Q0

∫∫ ∫ ∫==p L l p

udpdludldpQ0 0 0 0

)(.

= ∫ ∫l p

dludp0 0

)(

En se plaçant toujours dans une section où la section, la mesure de Q se ramène à la mesure Cette section est dite section mouillée (figure n°Dans le cas de l’écoulement dans une conduitea des frottements au niveau des parois. Elles vitesses près des parois, on aurait alors des cosuivante (figure n°3):

Figure n°3 : Parabole des

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Section de la rivièreSection de la rivère

∫ ∫=s

dsvQ0

.

les ur sont entre elles et ⊥ à la surface

s = dp.dl ⇒

∫ udldp1

0.

à la surface

vitesse est perpendiculaire à la de la vitesse . ur

2). et si la fluide est visqueux, on

provoquent une diminution des urbes de vitesses de la forme

vitesses

axe

u u(m/s) S1 S1 S1#S2 S1≈S2 S2 S2 P(m) P(m)

Umax (à la surface du plan d’eau)

Figure n°3 : courbe des vitesses dans deux sections

∫=p

udpp

u0

1r

∫=⇔p

udpup0

r

on veut prévoir le ruissellement à partir de la pluie. RELATION : HAUTEUR- DEBIT

)(PfR = )()()(

2

3mh

mAmVR == , Généralement h est donnée en mm

R : ruissellement, P Pluie moyenne sur un bassin versant , V volume d’eau et A surface du BV. Faire la mesure de la vitesse : V revient à chercher la relation hauteur- débit. Il est établie que dans la plus part des cas que pour une hauteur donnée de la rivière, il correspond un débit et un seul Q = Q(H). Ce si est vraie à condition que la section ne change pas (conditions ne sont pas modifiées). Pour établir la relation Q(H) ; on doit :

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(1) suivre la variation des hauteurs en fonction du temps H = H(t) d'où la fonction H(t): Mesure des hauteurs d'eau. (2) Etablissement de la relation Q= Q(H) C'est l'étalonnage de la station qui se traduit par une courbe de Tarage (figure n°4). Courbe d'étalonnage de la station Le calcul des débits par la méthode correspondante au procédé de jaugeage employé peut être fait, en l’absence de moyens informatiques, à l’aide d’une calculatrice. Il s’agit là, d’une tâche prioritaire. Pour chaque station, sera établi un dossier d’étalonnage comprenant :

- Une fiche des jaugeages portant indication de la date, de la côte à échelle, du débit et des conditions de la mesure (moulinet, flotteur, crue, décrue, etc.).

- Un sou-dossier regroupant des éléments d’exploitation de l’étalonnage, généralement nécessaires pour les très hautes eaux qui ne peuvent que rarement être jaugées. Ce sont, essentiellement, les résultats d’opérations topographique : profils en travers du cours d’eau, jusqu’au-dessus du niveau des plus hautes eaux connues, au droit de la section de jaugeages et à quelques dizaines de mètres en amont et en aval, suivant la morphologie du cours d’eau ;profil en long de thalweg, sur quelques centaines de mètres, de part et d’autre de la section de jaugeage.

Le contrôle de la mobilité du lit exige que le profil au droit de la section soit levé en diverses périodes de l’année : avant la saison des pluies, après chaque forte crue, à la fin de la saison des pluies.

- Un sous-dossier contenant la courbe d’étalonnage, avec tous les calculs

d’extrapolation, ainsi que le barème de traduction des hauteurs d’eau en débits. Ce dernier, comme la courbe d’étalonnage, est généralement provisoire et doit porter mention de sa période de validité.

Si la station est équipée d’un dispositif de détermination directe du débit, la formule de calcul ou/et sa représentation graphique seront également jointes à ce sous-dossier.

Les observations effectuées concernent les niveaux d'eau et non les débits.

Pour une station donnée, il est donc nécessaire de connaître la relation hauteur -débit, dite courbe de jaugeage ou d'étalonnage de la station. Cette courbe s'établit en mesurant pour différentes hauteurs d'eau les débits correspondants, par l'une des méthodes suivantes: - jaugeage au moulinet - jaugeage par dilution (chimique).

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Ces jaugeages, effectués à des dates bien choisies pour obtenir une courbe Q = F(H) convenable, peuvent être faits dans la section de mesure des hauteurs ou à proximité (vérifier que les apports ou les pertes d'eau sont insignifiants). (Fréquence des jaugeages, détartrage de la station, extrapolation de la courbe,... Cf. chap. "Courbe de tarage"). Pour des cours d'eau petits on le niveau varie vite on utilise le limnigraphie. Q(m3/s) X point de jaugeage x Q1 x H(m)

H1 Figure n°4 : Courbe de tarage L’opération de chercher Q1 pour H1 est le jaugeage. Ayant H = H(t), on peut déduire Q = Q(t). On établit ainsi l'Hydrogramme (figure n°5).

Q(m3/s) Volume

t(s) t1 t2figure n°5 : Hydrogramme

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∫=2

1

3 )(t

t

QdtmV

entre deux instants t1 et t2 et pour un dt, il passe un volume V ==>

∫=2

1

t

t

QdtV

* Détarage de la courbe Conditions : si on n'a pas fait de faute dans la mesure de Hauteur d’eau et on observe : 1) un point de jaugeage qui sort de la courbe 2) Un autre point de jaugeage qui confirme le point sortant. Il faut tracer une nouvelle courbe et un nouveau Barème à établir. Causes: * Modification du lit de la rivière surtout par le dépôt de sédiments * Modification de l'état de végétation dans le lit Précisions hauteur ( ± 1 à ± 3 cm) débit ( ± 3% ==> 10 % ) II MESURE DES HAUTEURS D'EAU Cette mesure, effectuée sous forme graphique, analogique ou numérique, se fait dans une station limnimétrique. Une station limnimétrique est une station de mesure des niveaux d’eau dans un oued ; elle est constituée des éléments suivants: - section de contrôle - limnimètre ou échelle limnimétrique (cabines), etc.. - appareils enregistreurs, de télétransmission, etc.. :limigraphe et ouvrages de prise (puits), de protection des appareils - matériels de jaugeage 2.1 Section de contrôle L'emplacement est dicté par les buts visés et les qualités requises (type d'étude, contraintes, etc..). Les critères de choix sont les suivants: sensibilité, stabilité, accessibilité, risque d'envasement (station avec limnimètre à flotteurs), possibilité de jaugeage, submersion en cas de crue.

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Le choix est dicté par la recherche d'une station dans le lit naturel, sans

modifier les conditions d'écoulement dans la mesure du possible. Les seuils, les rétrécissements sont des sections à éviter.

Dans le cas de petites rivières instables où la courbe de tarage est très variable, il peut y avoir intérêt à contrôler artificiellement l'écoulement, par exemple au moyen d'un seuil déversant, d'un canal Venturi, etc.. 2.2 Les échelles limnimétriques La limnimétrie consiste en la mesure de la hauteur d'eau ou du niveau d'eau H en un

point de la rivière (station limnimétrique). La hauteur d'eau peut être mesurée en

discontinu (limnimètre) ou, si possible, en continu (limnigraphe). Le résultat est

représenté par une courbe appelée limnigramme.

L'échelle limnimétrique, figure n° 6, est une règle ou une tige graduée en métal (éventuellement en bois ou en pierre), placée verticalement ou inclinée, et permettant la lecture directe de la hauteur d'eau à la station. Si l'échelle est inclinée, la graduation est corrigée en fonction de l'angle d'inclinaison avec la verticale. Ces échelles sont des règles graduées qui sont placées sur les bords des oueds et qui permettent la mesure des hauteurs d’eau. Ces échelles sont généralement peintes ( rouge et blanc) et maillées.

figure n°6 : Echelle limnimétrique (EFPL)

Les limnigraphes fournissent un enregistrement continu des variations du niveau d'eau dans la rivière sur un support (enregistrement graphique sur bande papier, enregistrement magnétique sur cassette, etc). L’observation d’une échelle limnimétrique est une opération simple, qui ne demande aucune manipulation particulière, mais qui doit être faite avec beaucoup de soin et d’assiduité. Les différentes stations étant, dans la plupart des cas, équipées d’un

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appareil enregistreur, une seule observation quotidienne est suffisante en dehors d’événements exceptionnels. Afin d’éviter les erreurs de lecture (de parallaxe par exemple), l’observateur ne devra pas hésiter à s’approcher le plus près possible de la station, surtout s’il s’agit d’un réglet millimétrique, placé à l’amont d’un déversoir ou d’un appareil jaugeur. Il devra veiller à ce que la station se maintienne bien dégagée et chaque élément d’échelle, propre et lisible. C’est lui, également, qui viellera à ce que des perturbations d’origine humaine (extraction de sable, barrage à poissons, etc.) n’entravent pas le bon fonctionnement des installations. Le technicien chargé des travaux de terrain vérifiera périodiquement le nivellement des différentes mires limnimétriques, particulièrement après de fortes crues. Avant de fixer l’échelle, on doit : * commencer par faire une enquête sur le terrain afin de choisir l’emplacement et d’éviter les zones à risques( accessible facilement). Il faut que la lecture soit possible en tout temps. * choisir le point le plus bas de la rivière. Le zéro de l’échelle doit permettre une lecture lors des forts étiages. * placer les échelles (plaque en fer graduée en cm/cm où en mm/ mm). L’échelle placée verticalement, doit permettre une lecture de la hauteur d’eau. On ne modifie jamais le zéro de l'échelle. A partir du pt A qui est un point de repère fixe choisi de sorte qu'il soit loin des berges de l’oued et stable en cas de crue(figure 7). Dans le cas ou l’échelle est arrachée, on peut la remplacer sans problème( l’échelle est rattachée au point fixe). Tous les cours d'eau importants ont des échelles ==> Réseau d'échelles. Le zéro de l'échelle est un point de niveau Topographique. A Point de repère 3 élément d’ échelle H 2 section 1cm 0

Figure n°7 :fixation de l’échelle

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REMARQUE La hauteur d'eau peut s'enregistrer sur un appareil dont il y a toujours des éléments servant à la lecture. Quant il y a des eaux hautes, elles vont emporter avec elles des branches de feuilles. Une fois le niveau baisse ; on a dépôt de ces débris, appelés délaissés de crue ; à une distance donnée . On peut avoir une idée sur la hauteur d'eau qui va nous guider sur l’emplacement et des éléments d'échelle. Quelques principes: - lectures possibles en tout temps, facile et de façon précise (plan d'eau calme à proximité du limnimétre) ; - le zéro de l'échelle suffisamment bas pour permettre une lecture lors des forts étiages et même après affouillement (mettre le zéro 1 à 2 m sous le radier actuel si risque d'érosion) ; - rattacher le limnimétre à 1 ou 2 points fixes, distants de la rivière, et stables en cas de crue. Si l'échelle est arrachée, possibilité de la replacer facilement ; - le zéro du limnimétre peut être ou non rattaché au réseau de nivellement national ou régional. La graduation figurant sur l'échelle peut être en cote du nivellement national ou non. 2.3. LE LIMNIGRAPHE C’est un appareil permettant l'enregistrement permanent des variations du niveau d'eau dans la rivière sur un support (enregistrement graphique sur bande papier, magnétique sur cassette, perforation de bande papier, EPROM). Dans la même manière que les enregistrement pluviographiques, les enregistrements limnigraphiques peuvent être stockés sur diagramme ou sur mémoire informatique, avec les avantages et inconvénients déjà mentionnés pour chacun de ces systèmes. Les règles générales de gestion restent les mêmes pour tous les types de capteurs utilisés.

- Lors d’enregistrements sur mémoire informatique, bien noter les paramètres d’échantillonnage (intervalle de temps, seuil de sensibilité). Pour les enregistrements graphiques, la vitesse de défilement et l’échelle de réduction des hauteurs d’eau seront précisées.

- A chaque changement de support d’enregistrements (diagramme ou mémoire), noter le numéro et éventuellement le nom de la station, la cote lue à l’échelle, la date de pose et de retrait, toutes les anomalies constatées dans le fonctionnement du capteur ou l’enregistreur, toutes les interventions effectuées.

- Si un décalage est observé entre la hauteur d’eau lue à l’échelle et celle affichée par l’enregistreur, l’observateur pourra, en fonction de ses capacités, être habilité ou non à effectuer le rattrapage nécessaire.

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- Limnigraphe à flotteur: Il permet l’enregistrement, après démultiplication, des mouvements d'un flotteur (figure 8). C’ est un appareil qui maintient un flotteur à la surface de l'eau grâce à un contrepoids, par l'intermédiaire d'un câble et d'une poulie. Le flotteur suit les fluctuations du niveau d'eau, qui sont reportées sur un graphe solidaire d'un tambour rotatif (à raison d'un tour par 24h ou par semaine ou par mois). Il est composé de :

Organes transmetteurs: flotteur, câble, poulie

Organes récepteurs: stylet et tambour d'enregistrement ou système de codage et enregistrement

Les limnigraphes à flotteur nécessitent un génie civil important pour leur installation (puits d'accès, etc..) et de ce fait on leur préfère le limnigraphe à mesure de pression. Le flotteur est placé dans un puits en béton qu'on creuse et qui communique avec le fond de la rivière.

Figure 8 : Schéma du limnigraphe à flotteur. D'après Jaton J.-F. et al, Compte

rendu IGR No 163, EPFL, 1982

* Quand l'eau varie de 10 cm, le stylet marque une variation de 1 cm sur le cylindre. La courbe fournit les variations relatives du niveau d'eau. Pour avoir les variations absolues il suffit de lire la hauteur d'un point sur l'échelle. - limnigraphe à mesure de pression (pneumatique ou bulle à bulle).

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Par un manomètre à mercure (Neyrpic) ou à l'aide d'une balance de précision (Rittmeyer), on mesure une pression qui est égale à la hauteur d'eau ( H) au-dessus de la prise installée dans la rivière( figure 9). Lors des visites, on veillera à ce que l'enregistrement effectué corresponde à la valeur lue sur l'échelle limmétrique. Si nécessaire, effectuer la correction au moyen des vis de réglage. Le limnigraphe à pression mesure les variations de pression causées par les

changements de niveau d'eau. Cet appareil comprend une bonbonne de gaz comprimé,

un dispositif de contrôle de pression, un tube immergé relié à la bonbonne. Un débit

d'air constant sous pression est envoyé au fond de la rivière. Par un manomètre à

mercure ou à l'aide d'une balance de précision, on mesure la pression de l'air dans le

tube qui est égale à la hauteur d'eau au-dessus de la prise installée dans la rivière.

Figure 9 : Limnigraphe pneumatique (EFPL)

- Limnigraphe à ultrasons (peu répandu)

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Principe: Mesure d'une différence de durée de propagation entre l'onde réfléchie par le plan d'eau et l'onde réfléchie par une surface de référence. Les nouveaux matériels aujourd’hui disponibles se caractérisent par une mise en œuvre et une exploitation souvent plus aisées, et sans aucun doute plus rapides, que pour les divers systèmes décrits précédemment. S’agissant toutefois d’appareils faisant largement appel à l’électronique, ils demandent pour leur mise en œuvre, comme pour leur utilisation, un minimum d’expérience et de connaissances dans ce domaine. Centrale d’acquisition L’emploi de centrales d’acquisition électroniques est rendu nécessaire par le fait que les capteurs de mesure de la hauteur d’eau délivrent l’information sous forme analogique ou digitale. Cette information peut, comme dans les systèmes plus anciens, être enregistrée sur des supports « classiques » (diagrammes, par exemple), mais l’un des grands intérêts de ce matériel est de pouvoir stocker directement les données (non seulement les hauteurs d’eau, mais aussi le temps mesuré par une horloge à quartz sur mémoire informatique, de préférence statique. Les mémoires utilisées sont issues de différentes technologies :

- Des EPROM, pour les mémoires amovibles. Ce sont des mémoires mortes programmables électriquement et effaçables par ultraviolets. Elles conservent l’information sans alimentation électrique.

- Des RAM CMOS, pour les mémoires résidentes. Ce sont des mémoires vives statiques à accès aléatoire et technologie faible consommation. Au repos, les besoins en énergies sont très faibles.

- Des EEPROM qui sont des mémoires mortes programmables et effaçables électriquement. Elles allient une relative souplesse de procédure d’écriture et d’effacement, proche des RAM, avec une non-volatilité.

La collecte des mesures se fait par retrait de cassettes ou de cartouches

(mémoires amovibles) ou à l’aide de terminaux ou de micro-ordinateurs portables (mémoires résidentes fixes).

Parmi les capteurs actuellement disponibles, peuvent être mentionnés : - Les capteurs de pression, - Les capteurs à ultrasons, - Les systèmes spéciaux

Sur les cours d’eau pérennes ou sur les cours d’eau présentant des débits de tarissement non négligeables, un petit canal, éventuellement équipé d’un déversoir, sera aménagé pour mesurer, avec plus de précision, les faibles débits.

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I.3 .Matériels de Jaugeage Perche : la perche de jaugeage est constituée par une tige métallique creuse, graduée de section cylindrique. Généralement, on utilise la perche pour des profondeurs inférieures à quatre mètres. Moulinet : Pour l’hydrologue, une vitesse se mesure presque toujours avec un moulinet composé d’organe mobile qui détecte la vitesse du courant et transmet les indications à un contacteur. Le moulinet est utilisé avec un compteur. Il existe différents types de compteurs : compteur d’impulsion, électronique,… On distingue des moulinets à axe fixe et à axe mobile. Axe fixe : l’axe est fixé au corps de l’appareil et l’hélice tourne au tour de lui par l’intermédiaire de deux piliers à billes. La transmission au compteur du nombre de tours se fait par d’un Levet commandé par un téflon excentré à une roue d’entrée (voir figure ci-après : moulinet à axe fixe) Axe mobile l’hélice est solidaire de l’axe (voir annexe). A chaque moulinet correspond une courbe de targe. Elle est donnée sous forme d’équation, de table ou de graphique. Généralement, la relation de tarage est de la forme : V = a. n +b V : vitesse du courant (m/s), n : nombre de tours de l’hélice, a : pas réel de l’hélice et b : vitesse de frottement (m/s). Suivant le mode opératoire de jaugeage et l’importance de cours d’eau, on fait le choix du moulinet (micro-moulinet, moulinet) ainsi que sa fixation. Il peut être monté sur perche ou saumon. Saumon : Poids de lestage sur lequel est fixé un déflecteur, un câble électropoteur , un câble de fond et une ailettes de stabilisation. Il est utilisé pour fixer le moulinet . Pour manipuler le saumon pendant le jaugeage, on utilise des treuils munis d’organes de comptage, de mesure de profondeur, de mesure de largeur, etc… Treuil: Sert pour faire descendre le saumon. Il faut un treuil à descente très douce très précise avec les compteurs enregistreurs. Bateau: (Jaugeage au câble) Principe : Câble tendu gradué.

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Transporteur aérien (station téléphérique) - câble porteur - treuil qui fait déplacer l'attelage - treuil qui fait varier le profondeur. *********************************************************

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III JAUGEAGES Procédé de Jaugeages La fréquence de jaugeages de basses eaux dépend non seulement du régime climatique et du contexte hydrogéologique, mais aussi de la stabilité et de la sensibilité de la station ainsi que son équipement. En envisageant les pires conditions : cours d’eau à fond sableux avec un lit mineur très large, sans contrôle naturel ou artificiel, alimenté par un aquifère relativement important, les jaugeages devront être suffisamment nombreux pour suivre, de manière satisfaisante, la croissance du débit tout au long du tarissement. Les stations équipées de déversoirs, de seuils ou canaux jaugeur feront l’objet de jaugeages périodiques de contrôle, particulièrement sur les cours d’eau affectés, en saison sèche, par les variations non négligeables de débit en cours de journée. Ces oscillations peuvent être très supérieures à l’intervalle de précision recherché pour les mesures (5% au maximum). Si des jaugeages volants sont effectués en différents points d’un cours d’eau de ces affluents, ou même sur certaines sources, il sera important de noter la date et l’heure de chaque mesure. De telles observations peuvent s’avérer très intéressantes pour des bassins caractérisés par un contexte hydrogéologique hétérogène (système karstique, seuils imperméables, accident tectonique importants, etc.) Quelle que soit la méthode utilisée (moulinet, micro-moulinet, capacité calibrée) et malgré les précautions qui peuvent être prise, la mesure des débits de basses eaux est souvent plus imprécise que celle des débits de moyennes ou même hautes eaux. BASSES EAUX - Jaugeage à gué:;on dit aussi jaugeage à la perche. ce type de jaugeage se fait généralement dans un petit cour d'eau (facile à manipuler ) . Il faut faire l’aménagement de la section de mesure. La section est choisie en fonction des contraintes. Conditions : Vitesse perpendiculaire à la section. Il faut se mettre loin des coudes. Il faut que les filets d'eau soient // à la section ; ceci impose qu'on soit dans un bief rectiligne, la section étant perpendiculaire aux filets liquides. De même il faut éviter d'avoir 1 obstacle on une fosse juste avant le point de jaugeage. On peut niveler le fond l’oued. On doit : - entourer la section de grillage. - dégager la végétation tout autour. Il faut également faire la préparation pour les basses eaux (étiage) étiage: débit des basses eaux. Pour les basses eaux où les étiages on modifie le fond, section du lit de l’oued, en construisant un petit canal pour que toute l'eau y passe.

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* HAUTES EAUX : CRUES * On fait le jaugeage au câble; en bateau avec des perches (le câble sert à repérer la verticale). * Jaugeage sur passerelle. On se sert d'une perche assez longue avec un treuil. * Jaugeage à la potence : Dans ces derniers cas , on utilise le moulinet. * Jaugeage an cercle (grand fleuve) on fait un cercle hydrographique. On fixe 2 piquets ,A et B, alignés et on fait un cercle hydrographique. C E D A α β ε γ σ B G F DEGF sont des repères qu’on peut voir à l’œil. On se déplace de A vers B à l'aide d'un Bateau. Sur chaque point de AB on veut faire une mesure de vitesse. Le cercle hydrographique est un moyen qui sert à mesurer les angles sur lequel on voit deux points. Pour chaque mesure de la vitesse au niveau d’une section élémentaire dp * dl correspond un débit dQ donné par :

dldpdQ µ=

2⇒= ∫∫ dldpQ µ mesures de surface. Alors on mesure directement la vitesse moyenne le long d’une parabole.

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U1 U (m/s) I1

I I = I1 + I2 P1 I2 ū = u1 P(m)

Q = ū.s

* L'avantage de cette méthode est qu'on parcourt une seule fois la verticale. Donc c'est une méthode plus rapide et en plus de sa meilleure précision. * L'inconvénient est de se trouver en présence de 2 vitesses en réalités: vitesse de descente et vitesse du courant. Mais on peut y remédier en prenant V<< Vi courant. Un autre inconvénient: an cours de la descente il faut que l'ensemble de matériel reste ⊥ an courant ce qui n'est pas toujours vraie. 2 DEPOUILLEMENT DES JAUGEAGES Méthode des iso-tâches Section mouillée _ Pu = f(L)

L(m) Sm Pū P(m)

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La largeur de la section mouillée est L Sm profondeur moyenne ==> y

m =

____

L Vitesse max: parmi les vitesses mesurés on prend la plus grande. _ Q C'est la vitesse qui donne le même Q u =

______ l'écoulement est uniforme (même vitesse dans

Sm toutes les points) 1 Vitesse moyenne de surface Ūms = α ∫ u dl us 2 1.8 1.6 1.4

Courbe limitant les surfaces ayant même vitesse. en face de chaque point on marque la vitesse.

L Ums

L(m)

P(m)

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* JAUGEAGE AU MOULINET 1. Principe Exploration du champ des vitesses dans la section à travers laquelle on désire mesurer le débit. Le débit s'écoulant dans une section S d'une rivière peut être défini par Q(m

3/s) = Vmoyenne(m/s) * S(m²)

La méthode de mesure du débit au moyen d'un moulinet ( Figure 10) consiste à immerger le moulinet dans le cour d'eau et enregistré le nombre de tour effectuées par l'hélice durant ∆t. Suivant le mode opératoire adopté pour le jaugeage, le moulinet peut être monté sur

une perche rigide ( figure 10) (déplacement à la main) ou sur un lest profilé appelé

"saumon"(figure 11).

Figure 11 : moulinet monté sur le saumon(EFPL)

23

Figure 10 : moulinet( EFPL) monté sur une perche

On est obligé de faire plusieurs mesures car les vitesses varient d'un point à l'autre de la section de mesure. Procédé de Jaugeage au Moulinet (1) Dans la section de mesure: En fonction de la largeur de l’oued, il faut choisir un nombre de points( verticales) adéquat. En plus des deux verticales à prendre au niveau des deux rives ( gauche et droite) ; le reste de la largeur est généralement divisée en segment d’égale distance. Le nombre de verticales se situe entre 6 et 10 , suivant la largeur de la section de mesure. Il est souvent supérieur à 5. Pour déterminer le nombre de verticales ; on peut appliquer la règle des milieux ( ½, ¼, ¾, etc…). Pour une section de largeur L, on peut espacer les points de mesure de 0,1 L ou 0,2 L. (2) Pour chacune de ces verticales, on cherche les vitesses moyennes par l'une des 2 procédés a) Mesure des vitesses : Mesure des vitesses V

1, V

2,... V

n en des points de la verticale à différentes

profondeurs. Ces profondeurs et ces vitesses ponctuelles permettent de tracer le polygone des vitesses f ( méthode graphique (Fig. 12)) et d’en déduire la vitesse moyenne (Vm). Le débit du cours d’eau est donnée par :

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∫∫∫∫∫∫ ===σσσ

dpdxvdydxvdsvQ .....

∫ ∫=p

dxvdp0

1

0

)( Avec p : profondeur (m)

l : largeur du cours d’eau (m)

Soit ∫ ==p

vdpf0

polygone des vitesses (m2/s).

Ainsi, pour chaque point est tracée la courbe de variation de la vitesse en fonction de la profondeur d’eau. En portant sur le même graphique toutes les mesures effectuées aux différents points sélectionnés d’une même verticale.

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mvr Plan d’eau o 1vr

2vr

3vr 4vr

5vr

6vr lit du cours d’eau

Profondeur ( m) Figure 12 : Polygone des vitesses sur une verticale 3) la détermination du débit se fait en intégrant les débits unitaires sur toute la largeur de la section (figure 13)

∫=1

0

fdxQ

il faut - déterminer les surfaces f(m²/s) - opérer l'intégration Cette dernière opération peut se faire graphiquement. Dans un graphique ,on porte les valeurs de f en fonction des abscisses x.

26

F( m²/s) Q Total (m3/s)

Courbes des f f4 f5 f6 f7 f1 f2 f3 P1 P2 P3 P4 Surface Lit de l’oued

L(m) Figure 2 : Courbe des F et section en travers (méthode de double intégration graphique) Le débit total est la surface comprise entre l’abscisse X et l’ordonnée courbe des F. b)Jaugeage par intégration. C’est la détermination directe de Vm par le procédé d'intégration continue en déplaçant à vitesse constante le moulinet du plan d’eau jusqu’au fond de l’oued. Sur une verticale, on a F = Vm.P avec Vm : vitesse moyenne(m/s) et P profondeur (m). F (m²/s) est la surface du polygone des vitesses relatif à une verticale.

27

Les jaugeages reposent sur la mesure des vitesses à différents niveaux et à plusieurs verticales. Par intégration, la procédure repose sur l’hypothèse suivante : On fait descendre sur une verticale le moulinet à vitesse constante et on mesure le temps mis pour parcourir toute la profondeur ainsi que le nombre de tours effectués par l’hélice. Soient:

T: temps mis par le moulinet pour descendre depuis la surface jusqu’au fond.

V: vitesse de descente. Pendant dt, le moulinet descend de dp.

dtdpv = , b

dtdnau +=

Pendant dt le moulinet effectue dn tours

bdtdnau += , ⇔=

vdpdt

∫=⇒+=pudp

pubV

dpdnau

0

1

bdpadnVdpu +=

N : nombre de tours effectué par le moulinet (jusqu’au fond).

∫∫ +=pN

profondeurpbdpaVdnp

u00

:][1

baNVp

u +=1

⇒=TPV b

TaNu += on arrive à obtenir la vitesse moyenne le

long d’un verticale. C’est un jaugeage par intégration MESURE SUR TERRAIN a) Choix de la section - filets liquide parallèles entre eux - Parcours rectiligne entre les berges

28

- lit bien Calibré. b) Choix des verticales - nombre suffisant pour bien couvrir la section et estimer les vitesses, 5 à 15 verticales suivant l'irrégularité du fond. c) Choix des points par verticale En règle générale, il faut faire cinq mesures au minimum par verticale :mesure du fond, mesure de surface et mesures au milieu. Il n’existe pas de méthodes précise pour le choix des points par verticale. MODES OPERATOIRES Le moulinet à chaque moulinet correspond une courbe de tarage donnée sous forme d'une équation et d'une table. la relation générale est de la forme bnaV += . vitesse de frottement (m/s)

Vitesse du courant (m/s) pas réel de l’hélice (m) (hydraulique) Dispositif de mesure et d’Observations Le choix du dispositif de mesure du débit dépend principalement de :

• la gamme des débits à mesurer • caractéristique du lit du cours d’eau ( profondeur, largeur, etc…) • type d’écoulement ( permanent, fluvial, etc…) • régime hydrologique

29

JAUGEAGE PAR LA METHODE DE DILUTION ON JAUGEAGE CHIMIQUE 5.1 Principe Cette méthode s'applique à des torrents ou des rivières en forte pente où l'écoulement est turbulent ou pour lesquels on ne trouve pas de section se prêtant à des jaugeages au moulinet. Cette méthode consiste à injecter dans la rivière une solution concentrée de sel, puis à prélever des échantillons d'eau à l'aval et à déterminer dans quelle proportion la solution injectée à été diluée. On injecte à débit contant q, dans le cours d'eau à jauger, la solution concentrée d'un produit chimique. La dilution est fonction du débit du cours d'eau. Généralement, il existe une relation linéaire entre le débit de la rivière Q et le rapport des concentrations des solutions injectées (C

1 ) et prélevées (C

2 ).

Le principe général consiste à injecter dans la rivière une solution concentrée d’un

traceur (sel, colorant, ...) et à rechercher dans quelle proportion cette solution a été

diluée par la rivière, par prélèvements d'échantillons d'eau à l'aval du point d'injection

(figure 13). Cette dilution est notamment fonction du débit, supposé constant le long

du tronçon concerné et pendant la durée de la mesure.

On a la relation suivante:

Q = k * (C1 / C2)

Où

Q: débit du cours d'eau [l/s];

C1: concentration de la solution injectée dans le cours d'eau [g/l];

C2: concentration d'échantillons prélevés à l'aval du point d'injection dans le

cours d'eau [g/l];

k: coefficient caractéristique du procédé et du matériel utilisé.

Le rapport C1 / C2 représente la dilution. On distingue essentiellement deux procédés :

• la méthode par injection à débit constant

• la méthode par intégration (ou par injection instantanée).

30

Figure 13 : Principe du jaugeage par dilution; mode opératoire(EFPL°

a : Méthode de l'injection à débit constant

Cette méthode consiste à injecter dans le cours d'eau un débit constant connu q d'une

solution de traceur, à la concentration C1 (solution mère), pendant un temps déterminé

(figure 14). La quantité de traceur doit être dosée avec précision. La durée de

l'injection (environ 1 heure) doit être telle que la concentration C2 du traceur à la

section de prélèvement reste constante pendant un certain laps de temps, appelé

"palier".

31

Figure 14 : Principe de l'injection prolongée à débit constant. D'après Roche P. A.,

Guide de prévision des crues, Société Hydrotechnique de France.

Si l'on admet :

• que le débit Q du cours d'eau reste constant pendant la mesure (régime

permanent),

• que le débit q du traceur à la section de prélèvement est égal à celui de

l'injection (pas de pertes),

32

• que le mélange est homogène à la section de prélèvement, alors dans

l'hypothèse de la conservation de la masse de traceur,

on a :

q * C1 = (Q + q) * C2

q étant négligeable par rapport à Q, la relation peut s'écrire :

Q = q * C1 / C2

Figure 15 : Jaugeage à débit constant

Le débit constant d'injection est donné par une charge constante sur un orifice calibré( figure 15). On utilise un vase à niveau constant ou un vase de Mariotte.

33

2

1CCqQ =

2

1CCJ = Représente la dilution. La loi est vérifiée si un certain nombre de conditions

doivent être respecter. - réalisation d'un mélange homogène. - rivière à régime permanent (Q : constant). - C

2 doit être égale en tout point de la section de prélèvement.

- éviter les zones d'eau morte.

b :Méthode par intégration (injection instantanée)

Cette méthode consiste à injecter en un point du cours d'eau un volume V de traceur

en solution concentrée C1. Au terme d'un parcours avec l'eau de la rivière

suffisamment long pour que le mélange soit bon, des échantillons sont prélevés, et

cela pendant toute la durée T de passage du nuage de traceur. Les prélèvements sont

effectués en plusieurs points de la section d'échantillonnage de façon à fournir une

valeur moyenne de la concentration C2 qui évolue en fonction du temps et du point de

prélèvement.

L'intégration au cours du temps des différentes valeurs de concentration C2(t) donne

une valeur moyenne C2. Dans l'hypothèse de la conservation de la masse du traceur,

on peut exprimer le débit comme

Q: débit du cours d'eau [l/s ou m3/s];

M: masse de traceur injecté [g];

V: volume de la solution lâchée dans le cours d'eau [l ou m3];

C1: concentration de la solution lâchée dans le cours d'eau [g/l];

34

: concentration moyenne du traceur dans les échantillons, obtenue par

intégration [g/l];

C2(t): concentration de l'échantillon prélevé au temps t;

T: durée du prélèvement [s].

Les conditions suivantes sont nécessaires pour que la méthode par intégration puisse

être appliquée :

• le débit de la rivière doit rester à peu près constant pendant la mesure,

• le traceur doit passer dans sa totalité par l'emplacement de prélèvement des

échantillons,

• à la hauteur des prélèvements, le mélange doit être réalisé, c'est-à-dire qu'en

chaque point de la section du cours d'eau, doit passer la même quantité de

traceur.

On utilise différents traceurs minéraux ou organiques, tels que: le chlorure de sodium,

le bichromate de sodium, la fluorescéine, etc..

On emploie quelquefois des traceurs radioactifs. Ce sont des radio-isotopes, utilisés en forte concentration, que l'on détecte au compteur Geiger. Ceux-ci doivent avoir une très faible durée de vie. Le Tritium répond à cette condition. 2) Application de la méthode Le jaugeage chimique « J.Chi » est réalisé lorsqu'il est impossible de pratiquer un Jaugeage au Moulinet. On injecte dans la rivière à débit constant q une solution de sel à la concentration C

1,

pendant un temps suffisamment long pour obtenir dans la section de prélèvement une concentration homogène C

2.

On doit prélever plusieurs échantillons (une quinzaine) dans des flacons qui sont traités au labo (pour déterminer la concentration en sel des Echantillons). Les principales qualités d'un traceur

* La solution à injectée doit présenter les caractéristiques suivantes :

• grande solubilité dans l'eau,

• bonne stabilité chimique dans des eaux polluées,

• être absent dans les eaux naturelles,

• être bon marché,

• ne pas être toxique, ni pour l'homme ni pour la faune aux concentrations

utilisées,

être simple à titrer.

35

Conseils pratiques

a) Choix du tronçon de mesure b) un bon mélange doit être réalisé entre les sections d'injection et de

prélèvement. C'est le cas lorsque les concentrations des Echantillons ne différent pas de plus de 1% aux différents points de la section de prélèvement. La distance L entre les sections est estimée par des formules Empiriques. L = 9.5 nd n = 0,32 KR1/6

• K = coefficient STRICKLER • R = rayon hydraulique • d = profondeur TEMPS DE PROPAGATION DE L'INJECTION Il faut estimer le temps de propagation de la solution jetée. On se sert généralement de la FLUORESCEINE ou d'autres colorants tels que la Fuchsine, le bleu de méthylène, etc.... - une méthode approuvée consiste à introduire le colorant lorsque l'injection de la solution commence et à débuter les prélèvements dès que le colorant à disparu au point de prélèvement. La durée d'injection peut également être calculer comme suit :

2112 TTHHt ++−= (20 mn) Heure d’arrivée du colorant à durée de passage Du colorant la section de prélèvement Heure d’injection massive de la fluorescéine C) Quantité de bichromate à dissoudre.

36

Poids de bicro.à VUslqlsQP .)/(

)(= Volume total

de la dissoudre en grammes solution mère(l) débit de l’orifice de titre final à obtenir pour que l’appareil d’injection (l/s) le dosage soit possible en g/l. dépend du colorimètre. d) Dispositif d'injection Le débit constant est donné par une charge constante sur un orifice calibrié. e) Prélèvement des échantillons Caisse de 20 flacons numérotés (1, 2, ……..20) Flacons 1 et 2 pour la solution mère , le reste pour les échantillons de dilution C2 Il faut un opérateur qui effectue les prélèvements. Dépouillement du jaugeage chimique Basé sur la méthode calorimétrique les solutions finales étant incolores La méthode consiste à diluer la solution mère de manière à ramener son titre au voisinage de celui des prélèvements

2

1*CCqQ injecté=

37

JAUGEAGE AU MOYEN DE FLOTTEURS En cas de crue, il est dangereux voir impossible d'effectuer un jaugeage par Moulinet. Il se peut aussi que l'Hydrologue assiste à une crue sans qu'il ait avec lui son matériel de jauge. Il fait le jaugeage aux flotteurs. Cette méthode permet de se faire une idée sur les Q. Lorsque le jaugeage au moulinet ne peut pas être effectué en raison des vitesses et des

profondeurs excessives ou trop faibles, ou de la présence de matériaux en suspension,

il est possible de mesurer la vitesse d'écoulement au moyen de flotteurs. Ceux-ci

peuvent être soit artificiels soit naturels, et servent alors à la détermination des

vitesses en surface ou en profondeur. Le déplacement horizontal d'un flotteur de

surface durant un temps t permet de déterminer la vitesse de l'écoulement de surface.

Plusieurs mesures de vitesse du flotteur doivent être réalisées et la moyenne de ces

mesures doit être multipliée par un coefficient approprié pour obtenir la vitesse

moyenne de l'élément de section. En général, la vitesse moyenne dans la section est

de l'ordre de 0.4 à 0.9 fois la vitesse maximale de surface.

Principe Observation de la vitesse d'un flotteur dans le cours d'eau le long d'un bief. On observe une vitesse de surface Vo ; la vitesse moyenne dans le cours d'eau est déterminée en fonction de Vo par le rapport suivant(on utilise un chronomètre)

9,00401

−=VVm

tdV

VVm == 0

02 d : distance parcourue par le flotteur

t : temps (chronomètre) On mesure par le chronomètre le temps mis par le flotteur. On refait la mesure plusieurs fois et on détermine la vitesse moyenne.

SVQ m .= réductiondetCoéfficienVVm

0

38

Jaugeage par la Méthode de la pente de la ligne d'eau Dans le cas où les mesures par Moulinet ne sont pas possibles, on utilise une méthode spéciale faisant appel à des formules d'écoulements. On mesure dans ce cas la pente de la ligne d'eau sur les délaissés de crue s'ils sont suffisamment nets. V = K J1/2 R2/3 Q = V . S (section mouillé) La représentation des courbes de tarages et le tracé graphique - façon manuelle - à l'aide d'1 fonction Mathématique * Une fois le graphique est tracé il est commode d'établir le Barème de la station Q(H) (cm / cm). Jaugeage par capacité Ce procédé de jaugeage est essentiellement utilisé pour la mesure des étiages( basses eaux). Il consiste à receuillir l’eau dans un récipient à capacité connue et à mesurer le temps de remplissage.

39

Détermination du débit à l'aide d'ouvrages hydrauliques calibrés

La construction d'un déversoir (figure 16) ou d'un canal calibré pour la détermination

des débits d'un cours d'eau a en général pour but l'obtention d'une relation entre le

niveau de l'eau H et le débit Q aussi stable que possible, et en principe sans jaugeage

sur le terrain. Le débit est alors obtenu par des formules hydrauliques et par

étalonnage sur modèles. Les canaux jaugeurs et déversoirs sont notamment utilisés

dans le cas de petits cours d'eau aux lits étroits, instables, encombrés de blocs et à

faible tirant d'eau, pour lesquels l'installation de stations à échelles limnimétriques

n'est pas recommandée et l'exécution des jaugeages au moulinet n'est pas satisfaisante.

Leur principe est basé sur la loi de Bernouilli.

On peut distinguer trois types de dispositifs:

• les déversoirs en mince paroi,

les déversoirs à large crête,

Figure 16 : déversoir( EFPL)

40

Figure 17 : canal de Venturi(EFPL)

• les canaux jaugeurs (Venturi : figure 17), encore appelés jaugeurs à ressaut.

Ces dispositifs sont cités ici pour mémoire. Leur fonctionnement obéit aux lois de l'hydraulique.

BIBLIOGRAPHIE/

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41

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Roche M. 1987. Dictionnaire français d’hydrologie de surface. Paris, masson, 288p. MH 10894.

42

CALCUL DE DEBIT PAR LA METHODE DE DOUBLE INTEGRATION GRAPHIQUE

Données : - Profil en travers de la rivière (voir fig.1)

- Valeurs de f1,f2,f4,f5 (fig.2) - Résultats des mesures de la verticale no.3 (fig.3) - Etalonnage du moulinet (fig.4)

A faire : - Polygone des vitesses relatif à la verticale no.3

- Calcul de f3 (surface de polygone des vitesses) - Courbe des f (compléter la figure) - Calcul du débit Q (surface comprise entre l’abscisse x et

l’ordonnée courbe des f)

0.5 1.0 1.5 2.5 3.2 4.0 x(m) P1 P2 P3 P4 P5 0.5 0.8 1.0 p(m) Fig.1 Profil en travers et verticales f1 = 0.4 (m2/s) f2 = 1.0 (m2/s) f3 = ? (m2/s) Fig.2 Valeur des polygones des vitesses. f4 = 1.5 (m2/s) f5 = 0.9 (m2/s)

43

T V T V T V

…

….

….

….

….

….

5.6 2.14 9.3 1.29 12.6 0.95 5.7 2.10 9.4 1.28 12.7 0.95 5.8 2.07 9.5 1.26 12.8 0.94 5.9 2.03 9.6 1.25 12.9 0.93 6.0 2.00 9.7 1.24 13.0 0.92 6.1 1.97 9.8 1.23 13.1 0.92 6.2 1.93 9.9 1.21 13.2 0.92 6.3 1.90 10.0 1.20 13.3 0.91 6.4 1.87 10.1 1.19 13.4 0.90 6.5 1.85 10.2 1.18 13.5 0.90 6.6 1.82 10.3 1.17 13.6 0.89 6.7 1.79 10.4 1.15 13.7 0.88 6.8 1.76 10.5 1.14 13.8 0.87 6.9 1.74 10.6 1.13 13.9 0.87 7.0 1.71 10.7 1.12 14.0 0.86 7.1 1.70 …. …. …. …. 7.2 1.67 7.3 1.64 7.4 1.62 7.5 1.60 7.6 1.58 7.7 1.56 …

…

T : Nombre de secondes pour 40 tours d’hélice. V : Vitesse en m/s. Fig.4 Etalonnage du moulinet.

44

CORRIGECORRIGE s

V1=1.7 V2=2.0 V3=1.7 V4=1.2 V5=0.9

q

V(m/s)

- Polygone de- f3 = 1.76 (m

f(m2/s) p(m)

0

1.5

1.0

0.5

0.5 0.8 1.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

p1

1 q

P(m)

s vitess2/s) (=

0.5

0 0.5 1.0 1.5 2.0

p2 p3

2 q3 q4 q5 q6

es relatif à la verticale no.3 surface)

1.0 1.5 2.5 3.2 4.0 x(m)

45

p4 p5

- Courbe des f et de section en travers - Calcul du débit :

q1 = 0.1 (m3/s) q1 = 0.35 (m3/s) q1 = 0.69 (m3/s) q1 = 1.63 (m3/s) q1 = 0.84 (m3/s) q1 = 1.36 (m3/s) Qtot = 3.97 (m3/s)

Q tot = 4.0 (m3/s) -------------------------------------------------------------------------------------------------

CALCUL DE DEBIT PAR LA METHODE NUMERIQUE On demande de calculer le débit sur la base des données suivantes :

- formules de calcul des vitesses moyennes (fig. 1) - droite d’étalonnage du moulinet (fig. 2) - section en travers de la rivière (fig. 3) - tableau de mesures et de calcul du débit (fig. 4)

Méthode Position des points Calcul de la vitesse moyenne

1 pt.

0.6 H

V = V6

2 pts. 0.2 H et 0.8 H V = (V2 + V8) / 23 pts. 0.2 H, 0.6 H et 0.8 H V = (V2 + 2V6 + V8) / 4

Fig. 1 V(m/s)

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

46

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 N(tr/s)

47

Fig. 2 Etalonnage du moulinet.

0 1 2 3 4 5 6

0.6 m

0.8 m

1.0 m

0.8 m

0.6 m

0.6 m

0.8 m

1.0 m

0.7 m

0.5 m

Position des points de mesure

0.3 m

Fig. 3 Section en travers et points de mesure.

48

Caractéristiques des sous-sections

Verticale Nbre de pts demesure

Abscice dep. R.G. (m)

Prof. (m)

Cote moul. dep.Surf. (m)

Nbre de tours

Durée (s)

N (tr/s)

Vitesse (m/s)

Largeur (m)

Surf.=larg. x Prof. (m2)

Vitesse moy. (m/s)

Débit (m3/s)

0 - 0 - - 0 0 01 1 0.6 0.3 0.18 10 1002 2 1.4 0.8 0.16 10 50 0.64 5 503 3 2.4 1.0 0.20 15 50 0.60 20 50 0.80 10 504 2 3.20 0.7 0.14 20 50 0.56 10 505 1 3.80 0.5 0.30 10 1006 - 4.4 - - 0 0

Surface totale

Débit total

49

50

CORRIGE

Caractéristiques des sous-sections Verticale Nbre de

pts demesure

Abscice dep. R.G. (m)

Prof. (m)

Cote moul. dep.Surf. (m)

Nbre de tours

Durée (s)

N (tr/s)

Vitesse (m/s)

Largeur (m)

Surf.=larg. x Prof. (m2)

Vitesse moy. (m/s)

Débit (m3/s)

0 - 0 - - 0.3 0 0 01 1 0.6 0.3 0.18 10 100 0.1 0.2 0.7 0.21 0.2 0.042 2 1.4 0.8 0.16 10 50 0.2 0.4 0.9 0.72 0.3 0.22 0.64 5 50 0.1 0.2 - - - -3 3 2.4 1.0 0.20 15 50 0.3 0.6 0.9 0.9 0.65 0.59 0.60 20 50 0.4 0.8 - - - - 0.80 10 50 0.2 0.4 - - - -4 2 3.20 0.7 0.14 20 50 0.4 0.8 0.7 0.49 0.6 0.29 0.56 10 50 0.2 0.4 - - - -5 1 3.80 0.5 0.30 10 100 0.1 0.2 0.6 0.3 0.2 0.066 - 4.4 - - 0.3 0 0 0

Surface totale

2.62

Débit total

1.20

PARTIE II

************* P2 ******************* HYDROLOGIE STATISTIQUE

51

2-1 Rappels théoriques :

Série statistique : Ensemble des observations faites sur un caractère commun aux individus d'un échantillon. Ex : les pluies journalières. C'est la base du traitement statistique, L'échantillon doit être aléatoire et simple. * Aléatoire tous les individus de la population doivent avoir la même probabilité d'être prélevé * Simple: Le triage de l'individu n'influe pas le tirage ultérieur. Lorsque la qualité de la mesure varie au cours du temps, la série n'est pas homogène. Techniques pour tester l'Homogénéité - Test de la médiane - Test de wilcoxon - Test de la méthode du double cumul La méthode du double cumul consiste à comparer deux à deux les pluviométries cumulées des stations étudiées. Au niveau de deux stations A et B: avec n observation en A et p observations en B on prend la partie commune. Soient : A " " B X1 Y1 . . . . . . Xn Yn Le rapport des pluies inter - annuelles entre A et B :

2

2

21

21 ')(

)(')(

)('.....'')(.....

PP

tgBPAP

BPPPAPPP

i

i

n

n ===++++++

=∑∑ αα

52

La méthode de double cumul consiste à présenter les totaux annuels cumulés de A en fonction de celui de B en ne considérant que la période commune. Les points s'alignent normalement suivant une droite, si on trouve des cassures (plusieurs segments de droites.) avec des pentes différentes c'est un signe de défectuosité dans les données de l'une des stations. Pour détecter la station qui a causé ces erreurs, on utilise une station d'appareillage adéquat, de base qui est bien suivi, contrôlée et entretenue. On applique alors la méthode du double cumul entre cette station de base et chacune des autres stations. Le rapport α, pente, permet de nous donner quelques renseignement sur la nature deserreurs.

⇒==

31440027,1α

Erreur de lecture sur éprouvette. d'où, on corrige les valeurs par un coefficient multiplicatif α.Si α différent de 1,27 ou 0,78.

TEST DE LA MEDIANE Test utilisé pour des échantillons indépendants. Ex: Les modules pluviométriques annuels sont indépendants les uns des autres échantillons aléatoire et simple. Les débits journaliers sont dépendants. Test des médianes on MOD est un test de comparaison de deux populations à partir d'échantillons indépendants. Le principe est de déterminer la médiane de l'ensemble des observations et dénombrer pour chacun des 2 Echantillons les observations inférieures et les observations supérieures à cette médiane. On obtient un tableau à (2L,2C) à partir du quel on effectue un test X² d'indépendance. Ex: Comparaison de hauteurs des arbres de deux types de forêts E

1 ---> N

1 = 13

Xmod = 26,2 E

2< ---> N

2= 14

Les nombres d'observations < et > Xmod sont donnés par

53

Type1 Type2 Totaux

Xik<26,2Xik>26,2

58

86

1314

Totaux 13 14 27

X² . d'indépendance: Test de X2

ob = 0,94 d’où H.accepté

X20,98 = 3,84 identité de deux populations.

TEST D'AJUSTEMENT DE X² (KHI2) Soit un échantillon de n éléments qui peuvent être répartis en K classes (suivant les valeurs croissantes des x

i)

Soit nj, l'effectif de la jème

classe définie par [xj-1

, xj]

On a :

∑=

=k

jnnj

1l'effectif théorique est donné par n'

j = np

j où p

j = F(x

j)-F(x

j-1)

le test d'ajustement est fondé sur l'analyse des écarts nj - n'j = nj - np

j

La somme ∑ ∑ ∑= =

−=−k

j

k

jpjnnjnpjnj

1 1)( = n-n = 0

Donc ne peut pas servir. Pour étudier les écarts, On retient alors

∑=

−k

j npjnpjnj

1

2)( on montre que cette variable aléatoire suit une loi X² à k-1 degrés de

liberté.

54

Au seuil α, on détermine X²k-1(α) ( lue sur la table X²)

On calcule Snjp

njpnjk

j=

−∑=1

2)(

Si S<X2k-1(α) ⇒ H accepté, si non : H rejeté

TEST NON-PARAMETRIQUES DE COMPARAISON DE DEUX POPULATIONS. Le test des signes Ce test est relatif au cas de deux échantillons associés par paires. Il est basé sur l'étude des signes des différences observées entre les paires d'individus. L'Hypothèse nulle : Ho = P(+) = P(-) = ½ P(+): la probabilité d'observé une différence + P(-): " " " (-) Lorsque Ho est vrai pour n paires d'observations, le nombre de différence (+) ou (-) est une variable binomiale de paramètre P=½ et n. Le test des signes permet de comparer le nombre observé de signes (+) ou (-) et le nombre attendu n/2. Pour des échantillons d'effectifs réduits. La probabilité d'obtenir un nombre de signes est :

⇔ ∑=

=≤x

i

i

nn CxXP

0)2

1()(

X étant le plus petit des deux nombres de signe (+ ou -) Si cette probabilité est trop faible au niveau α, on rejette Ho

⇔ 2)( α=≤ xXP

Pour des échantillons d'effectifs plus élevés (comprenant au moins une vingtaine d'individus chacun). Il suffit de calculer (approximation normale)

55

)(

12

)4(

2nnx

oun

xnxUobs

−−−−=

Au niveau α, si Uobs ≥ U1 - α / 2 On rejette Ho

Conditions d'application : Echantillons aléatoires, simples, indépendants les uns des autres. Ex: Comparaison de 2 méthodes de mesure des hauteurs d'arbres Test des signes : - Soit 12 arbres mesurées sur pied puis abattus. - Existe 2 différences (+) et 10 différences (-)

a) CCCxP 2

12

1

12

0

12(12)2

1()2( ++=≤

= 0193,0]2

1112121)[21( =

×++

α / 2 = 0,025 pour (α = 5%)Donc P(X≤2) = 0,0193 < 0,025 d’où H0 est rejeté.

b) L’approximation normale

02,2)12(

1124=

−−=Uobs

U1 - α / 2 = U0,978 = 1,96Uobs = 2,02 > U0,978 = 1,96 donc H0 rejeté. Test des rangs: Proposé par WILCOXON, WHITE. Il est basé sur le classement de l'ensemble des observations par ordre croissant, la détermination du rang de chacune d'elles et le calcul de la somme des rangs relative à l'échantillon qui comporte le plus petit nombre d'observations.

56

Soit n1 ≤ n2 (effectifs des échantillons)Y1+Y2. Les sommes des rangs.Le total général des rangs des n1 + n2 observations est toujoursY1 + Y2 = (n1 + n2) (n1 + n2 + 1) / 2 Si les 2 échantillons proviennent d'une même population, on doit s'attendre à ce que les sommes Y

1 et Y

2 Soient prij aux n

1 et

n

2 les valeurs a H en dues de Y

1 et Y

2 sont donc :

n

1(n

1 + n

2 + 1) / 2

n2(n

1 + n

2 + 1) / 2

Si la valeur observée Y

1 s'écarte trop de la valeur attendue alors Ho est rejeté

Y1 < (n

1 + ni + 1) / 2 ⇔ Ho rejeté.

57

2-2 L'analyse fréquentielle Définition de l'analyse fréquentielle L'analyse fréquentielle est une méthode statistique de prédiction consistant à étudier les événements passés, caractéristiques d'un processus donné (hydrologique ou autre), afin d'en définir les probabilités d'apparition future. Elle consiste à choisir une loi de probabilité théorique qui caractérise de la meilleure façon possible le comportement de la variable étudiée dont on ne connaît que quelques réalisations qui constituent l’échantillon. Cette prédiction repose sur la définition et la mise en oeuvre d'un modèle fréquentiel, qui est une équation décrivant le comportement statistique d'un processus. Ces modèles décrivent la probabilité d'apparition d'un événement de valeur donnée. L'analyse fréquentielle fait appel à diverses techniques statistiques et constitue une filière complexe qu'il convient de traiter avec beaucoup de rigueur. Les données hydrologiques don’t on fait l’analyse fréquentielle doivent être indépendantes et relatives à une même population. Choix du modèle fréquentiel La validité des résultats d'une analyse fréquentielle dépend du choix du modèle fréquentiel et plus particulièrement de son type. Diverses pistes peuvent contribuer à faciliter ce choix, mais il n'existe malheureusement pas de méthode universelle et infaillible. Choisir une loi de probabilité théorique nécessite de vérifier ensuite que les fréquences empiriques convergent vers les probabilités théoriques. Les lois suivantes sont plus particulièrement appropriées aux variables hydrologiques. Loi normale La loi normale se justifie, théoriquement par le théorème central-limite, comme la loi d'une variable aléatoire formée de la somme d'un grand nombre de variables aléatoires. En hydrologie fréquentielle des valeurs extrêmes, les distributions ne sont cependant pas symétriques, ce qui constitue un obstacle à son utilisation. Cette loi s'applique toutefois généralement bien à l'étude des modules annuels des variables hydro-météorologiques en climat tempéré. Elle est utilisée dans le cas des précipitations annuelles.

L’expression analytique de la fonction densité de probabilité est donnée par :

f(x, α,β ) = (1/β*√2π) exp( -0.5* (x-α)/β)²).***********

α et β sont les paramètres de la loi.

La forme réduite est donnée par la transformation de type U = (x- α)/β)

Les raisons de son succès sont multiples. Je cite en particulier :

- sa simplicité d’utilisation

- son adaptation à des distributions non normales par simple transformation des variables

Loi log-normale ou de Galton ou de Gibrat

58

La loi log-normale est préconisée par certains hydrologues dont V.-T. Chow qui la justifient en argumentant que l'apparition d'un événement hydrologique résulte de l'action combinée d'un grand nombre de facteurs qui se multiplient. Dès lors la variable aléatoire suit une loi log-normale. En effet le produit de variables se ramène à la somme de logarithmes de celles-ci et le théorème central-limite permet d'affirmer la log-normalité de la variable aléatoire( précipitation annuelle, mensuelle et journalière).

Loi de Gumbel

E.-J. Gumbel postule que la loi double exponentielle, ou loi de Gumbel, est la forme limite de la distribution de la valeur maximale d'un échantillon de valeurs. Le maximum annuel d'une variable étant considéré comme le maximum de 365 valeurs journalières, cette loi doit ainsi être capable de décrire les séries de maxima annuels. Il est à remarquer que plus le nombre de paramètres d'une loi est grand, plus l'incertitude dans l'estimation est importante. Pratiquement il est par conséquent préférable d'éviter l'utilisation de lois à trois paramètres ou plus. La loi de Gumbel correspond à la formulation d’un des trois types de lois de valeurs extrêmes identifiés par FISHER(1928) et reformulés par JENKINSON(1955). Elle concerne la valeur maximale sur une période Dt d’une variable X ayant de nombreuses réalisations indépendantes sur cette période. AJUSTEMENT DES LOIS DE PROBABILITES STATISTIQUES A DES DONNEES HYDROLOGIQUES LOI GUMBUL ( ou distribution double exponentielle) L‘expression analytique de la fonction densité de probabilité est :

59

SxxeSxx eessxxf /)0(*)1(),0,( )0(

−−−−−= : fonction densité de probabilité

s et x0 sont les 2 paramètres de la loi

SxxeexF

/)0()(

−−= : Fonction de répartition ⇔ -Ln (Ln F) = + (x-x0) / s

⇔ sxxLnFLneLnF Sxx

/)0()(/)0(

−=−−=− −−

⇔ X = -s Ln(-Ln F) + X0

Soit U variable réduite de GUMBEL

YS

xxU =−

=0

x=s.y + x0 = paramètre de position

yeyey eyFeeyf−−−−− =⇒= )(.)(

))(( yLnFLnyU −−==

∫+∞

∞−

==== 577,0)()( δµ dyyyfyE

On pose 1/s = a ⇒ X = y / a + b = U / a+b

22

4

4

42

3

31

4

33

222

6,144,2])[(

6])[(

µµµ

µµ

µµ

πµµ

==

=

==−==−=

sgsg

yEyE

60

g1 est le coefficient de symétrie de Fisher. C’est le moment centré d’ordre 3. g1 est nul si la série statistique est symétrique. g2 est le coefficient d’aplatissement de Pearson ; celui de Fisher est b2 = g2-3 y = x - x0 X0 est le paramètre de position s 1/s paramètre d'échelle. si on pose 1/s = α : Pente, donc y = α (X-X0), soit X= y/α +x0 X0 est l'ordonnée à l'origine

⇒=−⇔

−=−=

−=−

=

577.0))((1

))((1)(1)(1

)(1)()(

0

00

00

xxEs

xxEs

xEs

xEs

xxEss

xxEyE

E(x) = s. 0,5777 + x0 = µ=X

⇔=⇔

==

6

6)(1)(

2

2

2

2

2

πσ

π

s

xVars

yVar

)6()(11

σπ

=s

sxx *5777.00 −=

aX

aUx 577.0

−+=

61

σetX Valeurs estimées sur l'échantillon

Pour les populations théoriques représentées par leur loi de probabilité. µ et σ² Valeurs caractéristique de la population, sont estimés à partir de ceux d'un Echantillon.

12

1

2

)2()1(

²)(1²........var

........

gnnng

snniance

Xmoyenne

−−=

=−

==

δδ

σµ

Si T(x) max désigne la période de retour de la valeur maximale de X sur la période ∇t , le pas de temps est une année. T(X) = 1/( 1- F(X)) années. Pour T(X) grand, on a X ~ s Log[T(x) max ]+ X0 La pente de cette droite qui est le paramètre s de la loi de Gumbel est appelée Gradex. CALCUL DES FREQUENCES : Méthodes empiriques : La formule de hazen recommandée par BRUNET Moret (1973)

.'

/)5.0)(()(1)(

)(

néchantilloldetaillelaestNclasséesérieladansxderangleestr

NxrxFN

xirxiF

−=+

=

La formule de Chegodayev (1978) , F(Xr) = (r- 0.3)/ (n+ 0.4) Les fréquences empiriques sont un guide pour juger de l’adéquation d’une loi théorique. Remarques:

62

Pe mentapplatissedtCoéfficien '*

a Gaussienneondistributiunepour22

24

µ

µβ =

r 32

31

µµβ =

S 32 =β o n assymétriedtCoéfficien '* symétrie⇒= 01β

FISHER 3

0,

44

2

133

1

−=

⇒==

δµ

σµ

gmentapplatisse

symétriqueondistributiggasymètrie

.02 Gaussdeondistributig ⇒= ESTIMATION DU RISQUE Le résultat d’un ajustement ne donne pas toujours une estimation directe du risque. Pour illuster la distance qui sépare le résultat d’un ajustement de l’estimation du risque, on veut associer à différentes valeurs de débit de pointe une période de retour exprimée en années. Soit P la période( jours, moi, année) sur laquelle est définie la variable. P est une période unique dans l’année. Cas 1 : on retient le débit maximum observé sur chaque période. La Probabilité de non-dépassement PND F(x) donnée par la loi ajustée est une probabilité sur la période P. La période de retour T associée à une valeur x du débit par : 1 T = -------------------- 1 - F(x) cas 2 : on retient tous les débits maximaux des crues indépendantes dépassant un seuil donné sur chaque période. La période de retour T associée à une valeur x du débit est obtenue à partir de F(x), fournie par la loi ajustée, en tenant compte du nombre moyen de dépassements du seuil sur la période P :

63

1 T = ------------------------- λ [1 - F(x)] cas C : On retient les k plus forts débits indépendants observés sur chaque période P. la valeur de F(x) donnée par la loi ajustée n’est pas une probabilité de non dépassement sur la période P ; c’est [F(x)]k

qui est approximativement une probabilité de non dépassement sur P. La période de retour associée à une valeur x du débit est alors donnée par : 1 T = ------------------------------- 1 - [F(x)]k

AJUSTEMENT D'UN SERIE STATISTIQUE A UNE LOI DE PROBABILITE THEORIQUE C'est la détermination des paramètres de la population théorique, que l'on traitera par la suite comme modèle du phénomène étudié. Probabilité pour que l'événement considéré (pluie, débit) soit ¾ à la valeur x

P(X≤x) = F(x) P.N.D. Probabilité de non dépassement

P(X>x) = 1 – F(x) = probabilité au dépassement

La période de retour, pour une série de valeurs annuelles, de l'évènement considéré est donnée par :

)(11

xFT

−=

Parmi les lois théoriques : Normale (P.moyenne annuelle...) LOG.Normale(Q.moy...) GUMBEL (Pjmax ,...)

64

AJUSTEMENT GRAPHIQUE Plusieurs lois à ajuster mais comment faire ?

21,)max()

)1)()(:)()

ggtscoéfficiendesetncevraisembledeimumdeoumomentdeméthodedispersiondeetdepositionparamètresdesCalculc

graphiquelefairebn

xirxiFxCalculFa+

=

d) Transformer l’axe des abscisses ⇒ tracer la droite d’ajustement (Ex : GUMBEL)e) Ajustement théorique

Relation entre a et b de la loi Gumbul et les deux premiers Moment

)()1(

.6

â

5771.0

nsn

axb

−=

−=

π

INTERVALLE DE CONFIANCE. GUMBEL: Intervalle = )1.14.11(

164.1 2kk

ns

++−

±

TxFqTGRVladeValeurU

UK

q

q

11)(/...:

)5772.0()6(

−==⇒

−=π

65

2-3 GRADEX Gradex : gradient de l'exponentiel Les données de bases pour l'analyse de la fréquence des crues. Les données de bases sont constituées par la série des observations des débits sur des périodes aussi longues que possible. Les données brutes doivent être d'abord examinées pour éliminer les données erronées et obtenir une série homogène. Suivant l'étude à réaliser on peut utiliser la totalité ou une partie des données. pour l'analyse des crue de faible fréquences, on utilise les séries suivantes: * Série annuelle: débit moyen journalier maximum observé chaque année * Série partielle tronquée: On extrait tous les débits supérieurs à un certain seuil(Q0) * Série partielle gonflée On extrait les n plus grandes valeurs de l'année. LOIX EXTREMES. Si le nombre des observations sont en très grand nombre et la période couverte par ces observations est largement plus longue que le temps de retour que l'on désire considérer, l'estimation du débit de crue est ces intervalles de confiances peuvent directement être obtenus à partir des données disponibles Malheureusement, les données ne sont jamais aussi nombreuses et pourtant on essaie d'ajuster une loi de probabilité à ces données. Plusieurs lois sont utilisées en hydrologie * log normale à 2 paramètres * log normale à 3 paramètres * loi des valeurs extrêmes TYPE I (Gumbel) * Gamma incomplète Plusieurs méthodes sont utilisées pour estimer les paramètres des lois : * Méthode graphique * Méthode de moindres carrées * Méthode des moments * Méthode du maximum de vraisemblance LA METHODE DU GRADEX Développée par MM Guillot et Duband(EDF) dès 1966, elle est particulièrement utile dans la mesure ou elle permet de faire des prévisions des débits moyens journaliers maxima à partir d'une série insuffisante de mesure du débit moyen journalier et d'une série de pluies maximales de bonne qualité. Elle est applicable aux bassins imperméables de quelques milliers de km². Elle repose sur l'hypothèse que les pluies extrêmes ainsi que les débits extrêmes suivent une répartition de comportement asymptotique à décroissance exponentielle(type Gumbel). On

66

admet qu'au fur et à mesure de la saturation du sol, la rétention d'eau tend vers une limite et le coefficient de ruissellement s'approche de l'unité pour des pluies de grande période de retour. La méthode suppose que pour des événements de période de retour au-delà d'une dizaine d'années, le sol arrive à l'état de saturation complète. Ainsi, tout accroissement de la pluie induit un accroissement identique du débit (toute la pluie ruisselle). APPLICATION DE LA METHODE * pluie et débit au même pas de temps *2/3 Tc < delta t < qq Tc *On fait l'ajustement des différentes lois aux pluies moyennes journalières maximales. *on fait l'ajustement des différentes lois aux débits moyens journaliers afin de déterminer les débits moyens journaliers correspondants à une période de retour de 10 ans. * calculer l'équivalent en lame d'eau(mm/j) pour ces débits à l'aide de l'expression :

)/(*995.1)/(

)/(10)()/(1000)/(86400)/()/(

3

2262

3

smQjmmQ

KmmKmAmmmjssmQjmmQ

=

=

* Une droite parallèle à la droite ajustée aux pluies est tracée à partir de ce point (Q10). * les lames d'eau des débits moyens journaliers correspondant aux périodes de retour désirées peuvent être lues sur cette droite. * reconvertir les valeurs lues en débit(m3/s) PASSAGE AUX DEBITS DE POINTE Pour passer aux débits de pointe Qpmax à partir des Q moy jmax calculer par la méthode de gradex, on fait appel à l'utilisation de Cp avec

max

max

moyj

pp Q

QC =

67

BIBLIOGRAPHIE : Cramer H. 1946. Mathematical methods of statistics. Princeton University Press, 368 p. Masson J.M, Lubes H. 1991. Méthode des moments de probabilité pondérés. Hydrol. Continent. 6(1), : 67 – 84. Masson J.M 1988. Hydrologie statistique. Document pédagogique, formation permanente, Université Montpellier II, LHM , 44p. Dagnélie P. 1984. Théorie et méthodes statistiques. 1. Presses Agronomiques de Gembloux, 378 p. Jenkinson A.F. , 1955. The frequency distribution of the annual maximum ( or minimum) values of meteorological elements. Quaterly journal of the Royal meteorological society 24: 180 – 190. Masson J.M. 1985. la loi de Gumbel. Document pédagogique, Université Montpellier II , LHM 40 p. WMO , 1969. Estimation of maximum floods. WMO, 233, TP 126, Tech.Note n° 98: 183 – 228.

68

MODELISATION DES ECOULEMENTS DE SURFACE SUR LES BASSINS VERSANTS EXERCICE AJUSTEMENT DES DEBITS DE CRUE DE LA VOLTA NOIRE A BOROMO A UNE LOI GUMBEL Considérons l’échantillon des 21 débits maxima annuels de la Volta Noire à Boromo (voir tableau 1 ci-dessous).

Q(m3/s) : 127 146 98 149 127 139 175 182 96 175 138 84 98 76 148 127 130 77 106 210 105

Tableau 1 S’agissant de valeurs extrêmes, nous envisageons à priori de choisir la loi de Gumbel par notre ajustement. 1ère méthode d’ajustement : la méthode graphique on demande : 1) De reporter sur un «papier de Gumbel » les valeurs observées. On calculera la probabilité

de non-dépassement empirique par la relation

xi étant l’observation de rang i parmi les n observations classées par ordre croissant

1] Xon [observati Prob

+=≤

nixi

2) De tracer la droite passant le mieux par n points.

69

2éme méthode : ajustement analytique On demande : a) De calculer les caractéristiques statistiques de l’échantillon à savoir :

11)(

:'222

−−

=−−

=∑∑

nxnx

nxx

typeécartL iiσ

∑ iXsommela :

nxXmoyennelan

ii /:

1∑=

=

b) De déterminer les paramètres de la loi de probabilité à partir des caractéristiques calculées sous a). On rappelle que la loi de Gumbel s’écrit :

sxx

eexXnobservatioobxF0

][Pr)(

−−

−=≤= x0 et s sont les paramètres dont on veut déterminer la valeur σα .0 nxx −=

σβ .ns =

Où nα et nβ sont des coefficients qui dépendent de la taille de l’échantillon (voir tableau 2) ?

n 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ∞ nα 0.521 0.493 0.482 0.477 0.472 0.470 0.468 0.466 0.465 0.464 0.450

nβ 1.053 0.941 0.899 0.876 0.861 0.851 0.844 0.838 0.833 0.829 0.780

70

Tableau 2

c) Calculer les quantiles pour les fréquences suivantes : 0.01 0.05 0.1 0.2 0.5 0.8 0.9 0.95 0.99

La variable réduite sxxu /)( 0−=Ou encore )/1( FLogLogu −= Se lit dans la table de la loi de Gumbel pour les différentes valeurs de F(x) ou bien se calcule par )/1( FLogLogu −= . On obtient ensuite x par relation

usxx .0 +=

][Pr 0xsuXob +≤

u loi Normale

u loi de Gumbel

][Pr 0xsuXob +≤

u loi Normale

u loi de Gumbel

0.001

-3.09

-1.93

0.999

3.09

6.91

0.002 -2.88 -1.83 0.998 2.88 6.21 0.005 -2.58 -1.67 0.995 2.58 5.30 0.010 -2.33 -1.53 0.990 2.33 4.60 0.020 -2.05 -1.36 0.98 2.05 3.90 0.050 -1.64 -1.10 0.95 1.64 2.97 0.10 -1.28 -0.83 0.90 1.28 2.25 0.15 -1.04 -0.64 0.85 1.04 1.82 0.20 -0.84 -1.48 0.80 0.84 1.50 0.25 -0.67 -0.33 0.75 0.67 1.25 0.30 -0.52 -0.19 0.70 0.52 1.03 0.35 -0.39 -0.05 0.65 0.39 0.84 0.40 -0.25 0.09 0.60 0.25 0.67 0.45 -0.13 0.23 0.55 0.13 0.51 0.50 -0.00 0.37 0.50 0.00 0.37

Tableau 3 : Variable réduite des lois normales et de Gumbel.

71

CORRIGE DE L’EXERCICE AJUSTEMENT DES DEBITS A BOROMO (LOI DE GUMBEL)

1) Méthode graphique

ang i

i

n+1

ang i

i

/n+1

R x

i/ R x 1

6

.045

2

30

.55 1

7 0 1 1 0

2 77 0.091 13 138 0.59 3 84 0.14 14 139 0.64 4 96 0.18 15 146 0.68 5 98 0.23 16 148 0.73 6 98 0.27 17 149 0.77 7 105 0.32 18 175 0.82 8 106 0.36 19 175 0.86 9 127 0.41 20 182 0.909 10 127 0.46 21 210 0.955 11 127 0.50 Tableau 1

) Le tableau 1 ci-dessus donne pour les différentes variables classées par ordre croissant la

) Les valeurs du tableau 1 reportée sur un «papier de Gumbel » permettant de tracer

2)

a

fréquence empirique calculée par i/n+1 variant de 1 à 21 et n=21.

bgraphiquement l’ajustement (voir annexe 1).

Méthode analytique

) Paramètres statistiques :

0.2713:

a =∑ Xsommela i

2.129: =Xmoyennela

72

4.36:' =σtypeécartL

b) Paramètres de la loi de probabilité :

x0 = 129.2 – 0.492 x36.4 x0 = 111.3 s = 0.937 x36.4 = 34.1

c) Calcul des quantiles : Fréquence 0.01 0.05 0.10 0.20 0.50 0.80 0.90 0.95 0.99 u -1.53 -1.10 -0.83 -0.48 0.37 1.50 2.25 2.97 4.60 x 59 74 83 95 123 162 188 212 268 ANALYSE DE VARIANCE L’analyse de variance permet de tester l’hypothèse nulle selon laquelle les moyennes de plus de deux populations sont égales lorsque ces populations sont normalement distribuées avec la même variance. Voici les étapes d’une telle analyse. Etape 1. Estimer la variance de la population d’après les écarts entre échantillons (écart quadratique moyen des moyennes, MQA dans le tableau 1) Etape 2. Estimer la variance de la population d’après les écarts internes des échantillons (moyenne des écarts quadratiques internes, MQR dans le tableau 1) Etape 3. Calculer le rapport F (MQA/MQR) dans le tableau 1

nséchantillodiancesdesmoyennenséchantillodmoyennesdesianceF

'var'var

=

Etape 4. Si le rapport F ainsi calculé est supérieur à la valeur tabulaire (d’après l’annexe), au seuil choisi de signification et pour le nombre de degrés de liberté considéré, l’hypothèse nulle, H0, suivant laquelle les moyennes des populations sont égales, est rejetée au profit de l’hypothèse alternative H1. Tableau 1 présente ces quatre étapes sous leur aspect formel. Tableau 1. Analyse de variance

Origine de la variation Somme quadratique Degrés de libérté

Moyenne quadratique

Rapport F

73

Inter-échatillons (expliquée par le facteur A)

2)( XXlSQA j −= ∑

c-1 1−

=cSQAMQA

MQRMQA

Inter-échantillons (résiduelle : inexpliquée ou due à une erreur)

∑∑ −= 2)( jij XXSQR

cl )1( −

clSQRMQR

)1( −=

___

Total

SQRSQAXXSQT jij +=−= ∑∑ 2) 1−lc ___ ___

Où

jX = Moyenne de l’échantillon J composé de r observations =( lXi ij /)∑

X = Moyenne globale des échantillons considérés = ∑ ∑i j ij lcX /)( SQA = Somme quadratique expliquée par le facteur A = ∑ − 2)( XXl j SQR = Somme quadratique résiduelle non expliquée par le facteur A = ∑∑ − 2)( jij XX SQT = Somme quadratique totale = =+ SQRSQA ∑∑ − 2)( XX ij

L’annexe donne les valeurs de F pour α = 0.05 (nombre sur la ligne supérieure) et α = 0.01 (nombre sur la ligne inférieure, en caractère gras), et cela pour chaque couple ),( 21 υυ de degrés de libérté: Numérateur 11 −= cυ nombre d’échantillons :cDénominateur )1(2 −= rcυ :r nombre d’observation dans chaque échantillon EXEMPLE Une société vend une même qualité de produit agroalimentaire sous trois emballages différents au mêmes prix. Le tableau 2 relève les ventes au cours de cinq mois. Ces données sont distribuées normalement avec une même variance. Tableau 2. Ventes de yaourt: ventilation sur cinq mois selon l’emballage

Emballage1 Emballage2 Emballage3 87 78 90 83 81 91 79 79 84 81 82 82 80 80 88 410 400 435

Pour tester, à un seuil de signification de 5%, si les ventes moyennes du produit ne dépendent pas de l’emballage, autrement dit pour tester l’hypothèse ]:[ 3210 µµµ ==H contre l’hypothèse 3211 ,,:[ µµµH ne sont pas égaux], la société fait procéder aux calculs suivants:

875

435805

400825

410321 ====== XXX

74

8335

435400410=

++=

xX

SQA = 5 [(82-83)2 + (80-83)2 + (87-83)2] = 130 SQR = (87-82)2 + (83-82)2 + (79-82)2 + (80-82)2 + (78-80)2 + (81-80)2 + (79-80)2 + (82-80)2

+ (80-80)2 + (90-87)2 + (91-87)2 + (84-87)2 + (82-87)2 + (88-87)2 = 110 SQT = (87-83)2 + (83-83)2 + ……… + (88-83)2 = SQA + SQR = 240 Les résultats précédents permettent de construire le tableau 3 d’analyse de variance (ANVA). Tableau 3. Table ANVA pour les emballages du produit

Variation Somme quadratique

Degrés de libérté

Moyenne quadratique

Rapport F

Expliquée par l’emballage *

130=SQA

c-1 = 2 65

2130

==MQA

Inexpliquée ou due à une erreur **

110=SQR

12)1( =− cl

17.912110

==MQR

Total

240=SQT 141

09.717.9

65==

MQRMQA

=−lc ___

* variation inter-échantillons (comme les écarts quadratiques des moyennes de colonnes) ** variation intra-échantillons (concerne les écarts quadratiques internes des colonnes) comme la valeur ainsi calculée F = 7.09 dépasse la valeur tabulaire fournie par l’annexe, F = 3.88 pour α= 0.05, 122 21 == υυ et , il faut rejeter H0 (identité des ventes moyennes quel que soit l’emballage) et accepter H1 (non-identité de ces ventes). La méthode qui vient d’être exposée convient à l’analyse de variance à une variable (ou un facteur). ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Méthode de Gradex Soit la série des pluies journalières maximum obsrvées durant une période de 32 ans. Année 1930 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 Pmm/24 h.

46 47 39 49 47 -- -- 54 40 38 66 31 49 69

Année 1944 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 Pmm/24 h.

54 65 55 36 36 29 65 47 33 51 73 46 58 37

75

Année 58 59 60 61 62 63 Pmm/24 h.

49 48 56 25 30 48

Le débit moyen journalier de temps de retour 10 ans est de 150 m3/s. Le coefficient de pointe est de 1.5 La surface du bassin est de 350 km². Questions : Faire l’ajustement de la loi de Gumbel sur les pluies. Faire la prédétermination du débit de crue de temps de retour 20, 50, 100 ans. Corrigé : La droite de Gumbel est : P = 41 + U/ 0.094 Le gradex ou pente de la droite est égale à : 10.6 mm Pour T = 10 ans, l’équivalent el mm d’eau durant 24 heures de la crue exprimée en débit vaut : (150 / ( 350)) * ( 86400* 1000/( 106)) = 43.2 mm/j A partir de ce point Q(10), on peut tracer la fonction de distribution des débits moyens journaliers maximaux. C’est la parallèle à la droite des pluies passant par le point ( 43.2 mm, F10). Sur le graphique, papier de Gumbel, on peut lire les valeurs des débits pour 20, 50 et 100 ans. Le passage au débit de crue se fait en appliquant le coefficient de pointe. T Qh mm/j Qh m3/s Qp m3/s 20 50.5 175.3 263 50 60.5 210 315 100 68.2 236.8 355 200 76 263.ç 396 Exemple : application de la méthode de gradex en utilisant la loi des valeurs extrêmes( type Gubel) pour calculer les pluies moyennes journalières correspondant aux différents temps de retour.

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