Hydraulique fluviale

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v1.1.0 Morphologie fluviale et transport sédimentaire en cours d’eau naturel HYDRAULIQUE FLUVIALE Roland O. YONABA Doctorant, Assistant d’Enseignement de Recherche Département Génie Civil et Hydraulique (GCH) Laboratoire Hydrologie et Ressources en Eau (LEAH)/2iE Email : [email protected] / [email protected]

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Page 1: Hydraulique fluviale

v1.1.0

Morphologie fluviale et transport sédimentaire en cours d’eau naturel

HYDRAULIQUE FLUVIALE

Roland O. YONABADoctorant, Assistant d’Enseignement de RechercheDépartement Génie Civil et Hydraulique (GCH)Laboratoire Hydrologie et Ressources en Eau (LEAH)/2iEEmail: [email protected] / [email protected]

Page 2: Hydraulique fluviale

OBJECTIFS DE COURS

■ Notions de morphologie fluviale

■ Mécanismes modifiant la morphologie d’un cours d’eau naturel

■ Variables de contrôle, variables de réponse

■ Equilibre dynamique, tri granulométrique, pavage

■ Transport sédimentaire

■ Modes de transport des sédiments

■ Formules empiriques associées

■ Techniques de mesures du transport solide

■ Conséquences morphologiques de quelques aménagements

■ Développements hydrodynamiques

■ Equations de Saint-Venant & Exner

■ Calcul d’évolution de fond de lit de cours d’eau

04.09.16 2

Page 3: Hydraulique fluviale

INDICATIONS BIBLIOGRAPHIQUES

04.09.16 3

■ Belleudy, Philippe, ‘Le Transport Solide En Rivière: Lacunes de Connaissance et Besoins

Méthodologiques’ (Institut National Polytechnique de Grenoble, 2001)

■ Degoutte, Gérard, Diagnostic, Aménagement et Gestion Des Rivières: Hydraulique et

Morphologie Fluviales Appliquées (Ed. Tec & doc, 2012)

■ Einstein, Hans Albert, The Bed-Load Function for Sediment Transportation in Open

Channel Flows, 1026 (US Department of Agriculture, 1950)

■ Engelund, Frank et Eggert Hansen, A Monograph on Sediment Transport in Alluvial

Streams (TEKNISKFORLAG Skelbrekgade 4 Copenhagen V, Denmark., 1967)

■ Garde, R. J., History of Fluvial Hydraulics (New Age International, 1995)

■ Graf, Walter Hans et Mustafa Siddik Altinakar, ‘Hydraulique Fluviale, Traité de Génie Civil,

Vol. 16’, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2000

■ Meyer-Peter, Eugen et Robert Müller, ‘Formulas for Bed-Load Transport’ (IAHR, 1948)

■ ONEMA, Eléments de Connaissance Pour La Gestion Du Transport Solide En Rivière

(ONEMA)

■ Recking, Alain, Frédéric Liébault, Christophe Peteuil, et Thomas Jolimet, ‘Testing Bedload

Transport Equations with Consideration of Time Scales’, Earth Surface Processes and

Landforms, 37 (2012), 774–89

■ Shields, Albert, Application of Similarity Principles and Turbulence Research to Bed-Load

Movement (Soil Conservation Service, 1936)

Page 4: Hydraulique fluviale

SOMMAIRE

04.09.16 4

I. Morphologie Fluviale

Cours d’eau, morphologie fluviale, styles fluviaux

II. Transport de sédiments

Généralités, contrainte tractrice, formules de transport solide, vitesse

de début d’entrainement, géométrie d’équilibre, mesure du transport

solide

III. Conséquences morphologiques de quelques aménagements

Excavation en lit mineur, calibrage, ablation de végétation,

endiguement, rétrécissement de section, retenues d’eau, ouvrages

obliques

IV. Développements hydrodynamiques

Equations de Saint-Venant-Exner, calcul d’évolution de fond de lit

Page 5: Hydraulique fluviale

MORPHOLOGIE FLUVIALE

Chapitre I

Page 6: Hydraulique fluviale

01. COURS D’EAU

04.09.16

Définition et usages

6

■ Cours d’eau

■ Chemin naturel creusé par le passage habituel des eaux de

ruissellement, de manière permanente ou sporadique

■ Positionné naturellement au point bas d’une région, fond de vallée

■ Multiples usages

■ Support de transport et de navigation

■ Production électrique, force mortice,…

■ Pêche, chasse, culture, pâturage

■ Sédiments transportés et déposés

■ Ressource en eau (boisson, besoins

domestiques,…)

Page 7: Hydraulique fluviale

01. COURS D’EAU

04.09.16

Fonctions d’un cours d’eau

7

■ Fonction hydrologique

■ Ecoulement des débit liquides

■ Fonction hydraulique

■ Dissipation de l’énergie potentielle par frottement

■ Fonction sédimentologique

■ Production, transport et dépôt de débit solide

■ Fonction hydrogéologique

■ Drainage ou recharge de la nappe

■ Fonction écologique

■ Entretien des milieux aquatiques et humides

Page 8: Hydraulique fluviale

01. COURS D’EAU

04.09.16

Vocabulaire des cours d’eau (1/3)

8

Lit moyen : inondé pour les crues intermédiaires de

durée de retour de 1 à 5 ans

Lit majeur : pleine inondable occupé

par les crues exceptionnelles

Berge : talus incliné séparant le lit mineur du lit majeur

Rive : zone plate en crête des berges séparant le milieu

aquatique du milieu terrestre

Lit mineur : chenal occupé par

l’écoulement des crues courantes, sujet à une forte

dynamique

Page 9: Hydraulique fluviale

01. COURS D’EAU

04.09.16

Vocabulaire des cours d’eau (2/3)

9

Ripisylve : formation végétale

naturelle qui borde la rive d’un cours

d’eau. Peut également être une

véritable forêt alluviale. C'est un

milieu lié à la rivière, particulièrement

riche en terme de diversité

floristique.

La ripisylve influence et entretient :• la faune et la flore

• le paysage

• la température de l’eau

• l’écoulement des crues

• La stabilité des berges

Mais génère quelques inconvénients :• Alimentation de la rivière en bois arrachés

par les crues, susceptibles de créer des

embâcles, d’obstruer les ponts et

d’aggraver les crues localement

• Apport de matière organique dû à la

décomposition des feuilles

• Accessibilité difficile pour les promeneurs

ou les pêcheurs ;

• Consommation d’eau pouvant diminuer les

débits d’étiage

Page 10: Hydraulique fluviale

01. COURS D’EAU

04.09.16

Vocabulaire des cours d’eau (3/3)

10

Alluvions et substratum: la rivière coule sur ses alluvions (grains fins ou

grossiers alternativement déposés ou repris par le courant) qui recouvrent le

substratum rocheux formé d'une roche dure (ou plus ou moins tendre) (schistes,

grés, marnes…). Si les dépôts et la mise en suspension des alluvions s’alternent,

l’altération du substratum est quant à elle irréversible :

les alluvions assurent la protection du substratum.

Page 11: Hydraulique fluviale

02. MORPHOLOGIE FLUVIALE

04.09.16

Définition

11

Morphologie : ensemble décrivant les caractéristiques, la configuration et

l'évolution des formes d’un cours d’eau

Comment la rivière évolue t’elle ?

Elle est façonnée et entretenue naturellement

Ou elle est le résultat de l’action anthropique

Page 12: Hydraulique fluviale

02. MORPHOLOGIE FLUVIALE

04.09.16

Distribution des vitesses d’écoulement

12

Les vitesses maximales sont

mesurées légèrement en dessous

de la surface, en zone « libre »

proche des axes principaux

d’écoulement

Les vitesses minimales sont

mesurées près des parois

d’écoulement

Page 13: Hydraulique fluviale

02. MORPHOLOGIE FLUVIALE

04.09.16

Débit de crue et débit morphogène

13

■ Débit morphogène

■ Façonne le lit au gré du temps

■ Proche de la crue journalière de

durée de retour de 1 à 2 ans

■ Correspond généralement au débit

à plein bord (Wolman et Miller, 1960)

■ Suivant le type d’étude de transport

solide menée :

■ Evolution du lit à moyen et long

terme : débit morphogène

■ Sécurité d’ouvrage, zone à risque :

crues rares

Modèle de calcul quantité – fréquence pour le transport sédimentaire (Barry et al., 2008)

Les débits les plus fréquents ne

transportent pas de sédiments

Les débits extrêmes ne transportent pas de

sédiments

Le débit efficace est celui revenant en moyenne tous

les 1 à 2 ans

Page 14: Hydraulique fluviale

02. MORPHOLOGIE FLUVIALE

04.09.16

Variables de contrôle

14

Débit liquide Débit solide

Variables s’imposant au cours d’eau et qui contrôlent son évolution physique

Var

iab

les

Pri

nci

pal

esV

aria

ble

sse

con

dai

res

Page 15: Hydraulique fluviale

02. MORPHOLOGIE FLUVIALE

04.09.16

Variables de réponse

15

Variables permettant au cours d’eau de s’ajuster aux variables de contrôle

La sinuosité

Pente, profondeur, largeur du lit à plein bords

Pente

Largeur

Hauteur

Page 16: Hydraulique fluviale

02. MORPHOLOGIE FLUVIALE

04.09.16

Equilibre dynamique (1/2)

16

Balance de Lane (1955)

Tout cours d'eau oscille entre

érosion et dépôt

Lorsque le débit augmente, la

flèche se déplace vers l'érosion, ce

qui augmente le transport solide

Lorsque le débit diminue la flèche

pointe vers le dépôt et le débit

solide diminue jusqu'à retrouver

"l'équilibre".

Les rivières tendent vers une pente

d’équilibre

Emory Wilson Lane

(1891-1963)

Page 17: Hydraulique fluviale

02. MORPHOLOGIE FLUVIALE

04.09.16

Equilibre dynamique (2/2)

17

■ Les rivières tendent à établir une combinaison « dynamiquement stable »

■ Ajustement permanent entre variables de contrôle et de réponse

■ Ainsi, il est nécessaire d’identifier le seuil à partir duquel les oscillations et

modifications géométriques ne sont plus liées à l’équilibre mais deviennent

indicateurs de dysfonctionnement

■ Conséquences de modifications:

■ Faible ampleur : pas de changement dans le style fluvial

■ Lourde : métamorphose fluviale, évolution vers un nouvel équilibre

■ Lourde mais peu durable : évolution vers un nouveau style fluvial et

retour progressif au style antérieur

Page 18: Hydraulique fluviale

03. STYLES FLUVIAUX

04.09.16

Profil en long

18

■ Le profil en long du lit ordinaire et

celui du champ d’inondation sont très

grossièrement parallèles donc

assimilables sur des grandes

longueurs

■ Le profil en long du fond du fond du lit

ordinaire est accidenté par des points

hauts et des points bas qui se

succèdent assez rapidement d’amont

en aval

Points hauts :

seuils (ou radiers)

Points bas :

mouilles (ou pools)

Page 19: Hydraulique fluviale

03. STYLES FLUVIAUX

04.09.16

Lits calibrés naturellement

19

■ Se rencontrent d’ailleurs le plus

souvent dans les parties amont des

bassins versants où les fonds de

vallée sont très étroits et les pentes

relativement fortes.

■ Lits ordinaires très creux : rapport

b/h de l’ordre d’unités, de 3 à 8.

■ Géométrie peu différenciée, tracé

peu sinueux.

■ Débordent peu ou rarement avec

un champ d’inondation très limité

voire inexistant.

■ Tendance naturelle au

creusement.

Page 20: Hydraulique fluviale

03. STYLES FLUVIAUX

04.09.16

Lits à méandres (1/2)

20

■ Lits sinueux en courbes et contre-

courbes séparés par points d’inflexion

■ Rapport b/h de l’ordre de 20 à 60

■ Lits débordant tous les 2 à 5 ans

■ Aux points d’inflexions:

■ Bancs à l’intérieur

■ Mouilles à l’extérieur (érosion de

berges)

■ Profils en travers

■ Symétrie en inter-courbes

■ Dissymétrique en courbes

Page 21: Hydraulique fluviale

03. STYLES FLUVIAUX

04.09.16

Lits à méandres (2/2)

21

Sédiments arrachés puis

déposés

Coalescence de

méandre

Recoupement de

méandre en préparation

Déplacement de

méandre vers l’aval

Page 22: Hydraulique fluviale

03. STYLES FLUVIAUX

04.09.16

Lits à chenaux divagants

22

■ Lits très larges et peu

profonds : rapport b/h

entre 80 et 200

■ Profil en travers

irréguliers,

encombrés de bancs

■ Tracé rectiligne et peu

sinueux

■ Fond ponctué de

chenaux se déplaçant

après chaque crue

Page 23: Hydraulique fluviale

TRANSPORT DE SEDIMENTS

Chapitre II

Page 24: Hydraulique fluviale

01. GENERALITES

04.09.16

Hydraulique torrentielle et hydraulique fluviale (1/2)

24

■ Selon Bernard (1925), sur la base de la pente, nous pouvons distinguer :

■ les rivières : pente inférieure à 1% ;

■ les rivières torrentielles : pente comprise entre 1 et 6% ;

■ les torrents : pente supérieure à 6%

Rivière Rivière torrentielle Torrent

Page 25: Hydraulique fluviale

01. GENERALITES

04.09.16

Hydraulique torrentielle et hydraulique fluviale (2/2)

25

■ Hydraulique torrentielle : concerne les torrents

■ Caractérisée par des événements exceptionnels tels les laves

torrentielles, mélanges de boue et de pierres

■ transports solides très spectaculaires

■ Ne sera pas traité dans le cadre de ce cours

■ Hydraulique fluviale : concerne les rivières ou les rivières torrentielles.

■ Phénomène implicitement couplé

■ Mais peut être approché de manière découplée

■ En dissociant la phase liquide et la phase solide

■ En tenant compte de l’évolution du fond de lit

Page 26: Hydraulique fluviale

01. GENERALITES

04.09.16

Ecoulement d’un mélange

26

■ Pour l’écoulement gravitationnel d’un mélange eau-sédiment, Graf et Altinakar (2000) proposent la

classification suivante :

Mélange quasi-

newtonien :

Cs < 8%

Mélange eau-sédiment

de concentration

volumique Cs

Mélange non-

newtonien :

Cs > 8%

Mélange

newtonien :

Cs << 1%

Charriage et

suspension

Courant de

turbidité

Ecoulements

Débris-laveMustafa Siddik Altinakar

Water Hans Graf

(1936 - )

Page 27: Hydraulique fluviale

01. GENERALITES

04.09.16

Transport solide : définition et modes de transport

27

■ Le transport solide correspond au transport de matériaux granulaires

■ Les matériaux apportés à la rivière.

■ Les arbres arrachés aux berges ou au lit majeur.

Modes de transport en hydraulique fluviale (Degoutte, 2012)

Page 28: Hydraulique fluviale

01. GENERALITES

04.09.16

Diagramme de Hjulström

28

Henning Filip Hjulström

(1902-1982)

Diagramme

définissant l’état d’un

grain, en fonction de

sa taille et de la

vitesse de

l’écoulement.

Diagramme de Hjuström (1935)

Page 29: Hydraulique fluviale

01. GENERALITES

04.09.16

Tri granulométrique

29

■ Les pentes des rivières naturelles sont plus fortes en amont qu’en aval

■ Caractère torrentiel à l’amont et fluvial à l’aval

■ Les sédiments seront mobilisés en amont puis déposés en chemin d’écoulement :

■ Les particules les plus grosses se déposent initialement

■ Les fines étant emportées se déposent plus loin.

■ On assiste alors à un tri granulométrique d’amont en aval.

Page 30: Hydraulique fluviale

01. GENERALITES

04.09.16

Armure

30

■ Couche de surface

grossière, résultat de

l'exportation des

éléments fins pendant et

après chaque période de

mouvement de tout ou

d’une partie des grains

disponibles au transport (Bray et Church, 1980)

■ La rupture de l’armure

est fréquente, au moins

1 fois/an

Page 31: Hydraulique fluviale

01. GENERALITES

04.09.16

Pavage

31

■ Couche mise en place à la

suite du même processus

aboutissant aux armures,

mais elle est cependant

beaucoup plus solide et

pérenne.

■ les particules constituant la

surface des lits pavés ne sont

mises en mouvement que lors

d‘épisodes hydrologiques

exceptionnels (très fortes

crues (Bray et Church, 1980)

Vue d’un pavage (Degoutte, 2012)

Rôle protecteur de la couche de pavage

Page 32: Hydraulique fluviale

01. GENERALITES

04.09.16

Rivière à sable et rivière à graviers (1/2)

32

Rivière à graviersRivière à sable

Substrat constitué de particules

de petite taille (< 2 mm) et à

granulométrie dite uniforme

Le fond est tapissé

d’ondulations de fond de type

rides, dunes et antidunes

Substrat constitué d’éléments

grossiers (petits graviers à gros

graviers), la granulométrie est

dite étalée.

Présence en général d’un

pavage observé au fond du lit,

qui reste sans ondulations.

Page 33: Hydraulique fluviale

01. GENERALITES

04.09.16

Rivière à sable et rivière à graviers (2/2)

33

Caractéristiques principales des rivières à sable et à gravier

Page 34: Hydraulique fluviale

■ Le débit solide 𝑄𝑠 est le volume de matériaux granulaires transportés

par le courant par unité de temps.

■ L’énergie de l’écoulement définit une capacité de transport

■ L’écoulement cherche toujours à assurer la saturation en débit solide

pour peu que le matériau à transporter soit disponible

■ À chaque instant, l'écoulement est saturé en débit solide (charriage et

suspension)

■ Le bief de rivière considéré est donc en équilibre : 𝑄𝑠,𝑖𝑛 = 𝑄𝑠,𝑜𝑢𝑡

■ Saturation en débit solide : principe fondamental de la dynamique fluviale

■ Si 𝑄𝑠 > capacité de transport : dépôt au fond du lit

■ Si 𝑄𝑠 < capacité de transport : érosion du fond du lit et/ou des berges

01. GENERALITES

04.09.16

Débit solide et capacité de transport

34

Page 35: Hydraulique fluviale

■ Soit 𝑑𝑥 le diamètre de

grain correspondant à

𝑥% en poids de tamisât

■ Le coefficient de Hazen(1895) ou coefficient

d’uniformité 𝐶𝑈 permet

de classifier la

granulométrie

01. GENERALITES

04.09.16

Taille des grains et granulométrie

35

𝑪𝑼 =𝒅𝟔𝟎𝒅𝟏𝟎

Courbe granulométrique exprimée en % de passants(Degoutte, 2012)

𝑪𝑼 < 𝟑 : granulométrie uniforme

𝑪𝑼 > 𝟑 : granulométrie étalée

Allen Hazen

(1869-1930)

Page 36: Hydraulique fluviale

01. GENERALITES

04.09.16

Interpolation logarithmique

36

■ On souhaite interpoler un

diamètre 𝒅 au sein d’une

distribution granulométrique pour

laquelle l’on ne connait que deux

diamètres caractéristiques 𝑑𝑥 et

𝑑𝑦.

■ En admettant que 𝑝 correspond à un pourcentage en masse de passant

■ Cette interpolation reste en général valable entre les points d’inflexion de

la courbe granulométrique, soit le 𝑑10 et le 𝑑90

𝑝 = 𝑖 ln 𝑘𝑑𝑝 , ∀𝑖, 𝑘 = 𝐶𝑡𝑒 d’où :

𝒅 = 𝒂𝒆𝒃𝒑, ∀𝑎, 𝑏 = 𝐶𝑡𝑒𝒃 =

𝟏

𝒙 − 𝒚𝐥𝐧𝒅𝒙𝒅𝒚

𝒂 =𝒅𝒙𝒆𝒙𝒃

=𝒅𝒚

𝒆𝒚𝒃

Page 37: Hydraulique fluviale

■ La contrainte tractrice 𝜏0 est la force de frottement de l’eau contre les parois

de la section mouillée dans le sens tangentiel et par unité de surface

02. CONTRAINTE TRACTRICE

04.09.16

Définition

37

Contraintes appliquée par

l’eau sur les parois(Degoutte, 2012)

En écoulement non uniforme, on

démontre que :

𝝉𝟎 = 𝜸𝒘𝑹𝒉𝒋

Pour une section très large :

𝑦 ≪ 𝑏 ⇒ 𝑅ℎ ≈ 𝑦

𝝉𝟎 = 𝜸𝒘𝒚𝒋

Par ailleurs, pour l’écoulement

uniforme, 𝒊 = 𝒋

Il est à remarquer que le rapport 𝜏0/𝜌 a la dimension du

carré d’une vitesse, appelée vitesse de frottement et

notée 𝒖∗

𝒖∗𝟐 =

𝝉𝟎𝝆= 𝒈𝑹𝒉𝒋

Page 38: Hydraulique fluviale

02. CONTRAINTE TRACTRICE

04.09.16

Mise en mouvement d’un grain de diamètre d

38

Equilibre d’un grain posé au fond d’un chenal (Degoutte, 2012)

𝑃 = 𝜋𝛾𝑠𝑑3

6

𝑃𝑡 = 𝑃 sin 𝜂

𝑃′ = 𝜋𝛾𝑤𝑑3

6

𝑆 = 𝑐𝛾𝑤𝑑2𝑉2

2𝑔

𝑃𝑛 = 𝑃 cos 𝜂

𝐹 = 𝑃𝑛 − 𝑃′ tan𝜑

𝑬 = 𝑭 − 𝑷𝒕 = 𝒃𝝉𝟎𝒅𝟐

Page 39: Hydraulique fluviale

■ Au seuil de la mise en mouvement :

02. CONTRAINTE TRACTRICE

04.09.16

Paramètre de Shields (1/2)

39

𝐸 = 𝑏𝜏0𝑑2 = 𝐹 − 𝑃𝑡

𝜂 étant petit :

cos 𝜂 → 1 et sin 𝜂 → 0

⇒ 𝑃𝑡 = 𝑃 sin 𝜂 → 0

⇒ 𝑃𝑛 = 𝑃 cos 𝜂 → 𝑃

𝑏𝜏0𝑑2 = 𝐹 = 𝑃𝑛 − 𝑃′ tan𝜑

𝑏𝜏0𝑑2 = 𝜋

𝑑3

6tan𝜑 𝛾𝑠 − 𝛾𝑤

𝜏0𝛾𝑠 − 𝛾𝑤 𝑑

=𝜋

6𝑏tan𝜑

Shields (1936) définit alors le

paramètre adimensionnel :

𝝉∗ =𝝉𝟎

𝜸𝒔 − 𝜸𝒘 𝒅=

𝜸𝒘𝑹𝒉𝑱

𝜸𝒔 − 𝜸𝒘 𝒅

Le terme ( Τ𝜋 6𝑏) tan𝜑 est un

seuil critique constant lié au

sédiment.

La mise en mouvement du

grain de diamètre 𝑑 se produit

donc lorsque 𝜏∗ dépasse une

valeur critique

Page 40: Hydraulique fluviale

■ En résumé, la contrainte tractrice sur fond plat s’écrit :

■ Le paramètre de Shields (1936), forme adimensionnelle de la contrainte

tractrice sur fond plat, est définie par :

■ Sur une pente d’angle 𝛽 (cas des berges), la contrainte tractrice s’écrira

02. CONTRAINTE TRACTRICE

04.09.16

Paramètre de Shields (2/2)

40

𝝉𝟎 = 𝜸𝒘𝑹𝒉𝒋

Si l’écoulement est uniforme, 𝑖 = 𝑗 ⇒ 𝜏0 = 𝛾𝑤𝑅ℎ𝑖

𝝉∗ =𝝉𝟎

𝜸𝒔 − 𝜸𝒘 𝒅

𝝉𝜷 = 𝟏 −𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜷

𝐬𝐢𝐧𝟐𝝋𝝉𝟎

On donne :

• 𝛾𝑠 ≈ 26 à 27 𝑘𝑁/𝑚3

• 𝛾𝑤 ≈ 10 𝑘𝑁/𝑚3

Albert Frank Shields

(1908-1974)

Page 41: Hydraulique fluviale

Shields (1936) montre

expérimentalement, pour

la granulométrie uniforme,

l’existence de la relation :

02. CONTRAINTE TRACTRICE

04.09.16

Diagramme de Yalin-Shields (1972)

41

𝜏0 ≡ 𝑓(𝑅𝑒∗)

avec𝑅𝑒 =𝑢∗𝑑

𝜈

et 𝑢∗ = 𝜏0/𝜌 = 𝑔𝑅ℎ𝐼

Yalin (1972) met en relation le paramètre de Shields 𝜏∗

à un diamètre adimensionnel 𝑑∗ :

Diagramme de Yalin-Shields (1972)

Selim M. Yalin

(1925-2007)

𝑑∗ = 𝑑𝛾𝑠 − 𝛾𝑤𝛾𝑤

𝑔

𝜈2

Τ1 3

Page 42: Hydraulique fluviale

■ Ramette (1981) propose des valeurs seuils pour la granulométrie uniforme

02. CONTRAINTE TRACTRICE

04.09.16

Seuils de mise en mouvement (1/2)

42

On pourra toutefois retenir

les seuils suivants pour le

paramètre de Shields

Granulométrie Mise en

mouvement

Dépôt

Uniforme (rivière à

sable)

𝜏∗ ≥ 0,047 𝜏∗ ≤ 0,047

Etalée

(rivière à graviers)

𝜏𝑑50∗ ≥ 0,138 𝜏𝑑50

∗ ≤ 0,047

Page 43: Hydraulique fluviale

Le mode de transport est aussi donné par le

Nombre de Rouse, en admettant la

constante de Von Karmán 𝒦 = 0,41

Ferguson et Church (2006) proposent une

relation donnant la vitesse de sédimentation

𝑉𝑠𝑠 d’un grain

02. CONTRAINTE TRACTRICE

04.09.16

Seuils de mise en mouvement (2/2)

43

𝑽𝒔𝒔 =𝟏𝟔, 𝟏𝟕𝒅𝟐

𝟏, 𝟖. 𝟏𝟎−𝟓 + 𝟏𝟐, 𝟏𝟐𝟕𝟓𝒅𝟑 𝟎,𝟓

𝑷 =𝑽𝒔𝒔𝓚𝒖∗

Nombre de

Rouse

Mode de transport

P > 2,5 Charriage

1,2 < P < 2,5 Suspension à 50 %

0,8 < P < 1,2 Suspension à 100 %

P < 0,8 Charge flottante

De manière indicative, Graf (1971) propose

𝒖∗𝑽𝒔𝒔

> 𝟎, 𝟏: 𝒅é𝒃𝒖𝒕 𝒅𝒆 𝒄𝒉𝒂𝒓𝒓𝒊𝒂𝒈𝒆

𝒖∗𝑽𝒔𝒔

> 𝟎, 𝟒: 𝒅é𝒃𝒖𝒕 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒔𝒑𝒆𝒏𝒔𝒊𝒐𝒏

Hunter Rouse

(1906-1996)

Page 44: Hydraulique fluviale

■ La contrainte de frottement 𝜏0 résulte

de l’effet conjugué des cisaillement

générés par ondulations de fond de

lit et des grains

■ Pour une formulation de type Chézy

(1768) soit 𝜏0 = 𝜌𝑔𝑈2/𝐶2

■ Qui peut se traduire aussi en :

02. CONTRAINTE TRACTRICE

04.09.16

Notion de contrainte tractrice efficace (1/2)

44

𝝉𝟎 = 𝝉𝒈𝒓𝒂𝒊𝒏𝒔 + 𝝉𝒇𝒐𝒏𝒅

𝟏

𝑲𝒔𝟐=

𝟏

𝑲𝒈𝒓𝒂𝒊𝒏𝒔𝟐 +

𝟏

𝑲𝒇𝒐𝒏𝒅𝟐

𝟏

𝑪𝟐=

𝟏

𝑪𝒈𝒓𝒂𝒊𝒏𝒔𝟐 +

𝟏

𝑪𝒇𝒐𝒏𝒅𝟐

Page 45: Hydraulique fluviale

02. CONTRAINTE TRACTRICE

04.09.16

Notion de contrainte tractrice efficace (2/2)

45

𝜷 =𝑲𝒔

𝑲𝒈𝒓𝒂𝒊𝒏𝒔

Τ𝟑 𝟐

Selon Ramette (1981):

𝜷 =𝟎, 𝟎𝟔

𝝉∗+ 𝟎, 𝟒𝟏𝝉∗

Τ𝟏𝟓 𝟏𝟔

Notons toujours que :

𝟎, 𝟑𝟓 < 𝜷 < 𝟏

𝑲𝒔: Rugosité d’ensemble de section, dûe au fond et aux

grains

𝑲𝒈𝒓𝒂𝒊𝒏𝒔: Rugosité dûe au grains (rugosité de peau)

𝑲𝒈𝒓𝒂𝒊𝒏𝒔 ≈𝟐𝟏, 𝟏

𝒅𝟓𝟎Τ𝟏 𝟔

≈𝟐𝟔

𝒅𝟗𝟎Τ𝟏 𝟔

𝝉𝟎 = 𝜷𝝉𝟎 + 𝟏 − 𝜷 𝝉𝟎Contrainte

tractrice totale

Contrainte tractrice dûe

aux grains, dite tractrice

efficace

Contrainte

tractrice dûe aux

dunes

En l’absence d’ondulations du fond (c’est souvent le

cas en granulométrie étalée), on prendra 𝜷 = 𝟏

Page 46: Hydraulique fluviale

02. CONTRAINTE TRACTRICE

04.09.16

Rides, dunes et antidunes

46

Disparition des dunes et apparition

des antidunes pour 𝝉∗ > 𝟒, 𝟓 à 𝟓

Apparition des dunes pour 𝝉∗ = 𝟎, 𝟎𝟔𝟐,

qui deviennent maximales pour 𝜏∗ = 0,38et disparaissent pour 𝜏∗ = 2,5

Les rides deviennent prononcées pour 𝛽minimal, soit 𝝉∗ = 𝟎, 𝟑𝟖

Page 47: Hydraulique fluviale

■ Il existe plusieurs formules ou « modèles » d’évaluation du transport solide

■ Evaluent la capacité de transport et non le transport effectif !

■ Restent valables sous des conditions bien définies

■ Il existe essentiellement 3 types de formulations de transport solide :

■ Formules de type Du Boys, liées à la tension de frottement

■ Formules de type Schoklitsch, liées au débit liquide

■ Formules de type Einstein, liées à la portance du grain

■ Aucune formule n’existe pour la suspension intrinsèque!

■ Elle est estimée en déduisant le charriage du débit solide total

03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE

04.09.16

Typologie des formules de transport

47

Page 48: Hydraulique fluviale

■ Largeurs de bras vifs 𝐿 : dimension transversale du chenal sur laquelle les grains sont mobilisables. On estimera pour la suite que 𝑳 ≅ 𝒃

■ Nous définissons également les termes suivants :

■ Densité spécifique : 𝒔𝒔 = 𝜸𝒔/𝜸𝒘■ Débit liquide unitaire : 𝒒 = 𝑸/𝒃

■ Aussi, nous adopterons les notations suivantes de débit en [m3.s-1.m-1] :

■ 𝒒𝒔𝒃 : débit solide unitaire par charriage

■ 𝒒𝒔 : débit solide total

■ Ainsi, nous définirons définira donc les débits en [m3.s-1], 𝑄𝑠 et 𝑄𝑠■ 𝑸𝒔 = 𝒒𝒔𝑳 ≈ 𝒒𝒔𝒃 : débit solide total vides non compris

■ 𝑸𝒔 = Τ𝑸𝒔 𝟏 − 𝒏 : débit solide total, vides compris

03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE

04.09.16

Conventions et notations

48

Page 49: Hydraulique fluviale

03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE

04.09.16

Domaine de validité de quelques formules de transport

49

Domaines de validité des formules de transport (Belleudy, 2001)

Phillipe Belleudy(1951 - )

Page 50: Hydraulique fluviale

03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE

04.09.16

Formules de charriage (1/4)

50

■ En granulométrie uniforme:

■ 𝝉𝒄𝒓∗ = 𝟎, 𝟎𝟒𝟕 et 𝑑 = 𝑑𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛

■ En granulométrie étalée à fond sans ondulations (Parker, 1982):

■ 𝝉𝒄𝒓∗ = 𝟎, 𝟏𝟑𝟖, 𝛽 = 1 et 𝑑 = 𝑑50

𝒒𝒔𝒃 = 𝟖 𝒈 𝒔𝒔 − 𝟏 𝒅𝟑 𝜷𝝉∗ − 𝝉𝒄𝒓∗ Τ𝟑 𝟐

Conditions de validité

• Ecoulement uniforme• 0,01 𝑚 < 𝑦 < 1,20 [𝑚]• 0,04 % < 𝑖 < 2 %• 0,4 𝑚𝑚 < 𝑑 < 30 [𝑚𝑚]• Granulométrie uniforme• 𝜏∗ < 0,25 : charriage (Ramette, 1981)

Eugène Meyer-Peter(1883-1969)

Robert Müller(1908-1987)

Formule de Meyer-Peter et Müller (1948)

Page 51: Hydraulique fluviale

03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE

04.09.16

Formules de charriage (2/4)

51

■ Einstein (1937) introduit l’idée que le grain se déplace sur une distance proportionnelle à taille. Il en résulte que :

■ Cette relation complexe et nécessitant des abaques a été lissée par Brown (1950) sous la forme :

■ Le diamètre caractéristique est donné par :

■ 𝑑 = 𝑑𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 (uniforme) et 𝑑 = 𝑑50 (étalée)

𝒒𝒔𝒃 = 𝒈 𝒔𝒔 − 𝟏 𝒅𝟑𝟐

𝟑+

𝟑𝟔𝝂𝟐

𝒈 𝒔𝒔−𝟏 𝒅𝟑−

𝟑𝟔𝝂𝟐

𝒈 𝒔𝒔−𝟏 𝒅𝟑𝒇(𝝉∗)

Conditions de validité

0,3 𝑚𝑚 < 𝑑 < 29 [𝑚𝑚]

𝑞𝑠𝑏

𝑔 𝑠𝑠 − 1 𝑑= 𝑓

𝛾𝑠 − 𝛾𝑤𝜏0′ 𝑑

𝑓(𝜏∗) = ൝2,15𝑒−0,391/𝜏

∗𝑠𝑖 𝜏∗ < 0,182

40𝜏∗3 𝑠𝑖 𝜏∗ > 0,182

Formule de Brown-Einstein (1950)

Hans Albert Einstein(1904 - 1973)

Page 52: Hydraulique fluviale

03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE

04.09.16

Formules de charriage (3/4)

52

■ On définit un débit critique d’érosion 𝑞𝑐𝑟 :

■ Le charriage est alors donné par :

■ Le diamètre caractéristique est donné par :

■ Granulométrie uniforme : 𝑑 = 𝑑𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛

■ Granulométrie étalée : 𝑑 = 𝑑40 (Bathurst et. al, 1987)

𝒒𝒔𝒃 =𝟐, 𝟓

𝒔𝒔𝒒 − 𝒒𝒄𝒓 𝒊 Τ𝟑 𝟐

Conditions de validité

• 0,03 % < 𝑖 < 10 %• 0,3 𝑚𝑚 < 𝑑 < 7 [𝑚𝑚]

𝒒𝒄𝒓 = 𝟎, 𝟐𝟔 𝒔𝒔 − 𝟏 Τ𝟓 𝟑𝒅 Τ𝟑 𝟐

𝒊 Τ𝟕 𝟔

Formule de Schoklitsch (1962)

Armin Karl Kult Schoklitsch(1888-1969)

Page 53: Hydraulique fluviale

03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE

04.09.16

Formules de charriage (4/4)

53

■ Bathurst (1985) définit un débit critique 𝑞𝑐 :

■ Selon Rickenmann (1990), le charriage est alors donné par :

■ Le diamètre caractéristique pour 𝑞𝑐 est donné par :

■ 𝑑 = 𝑑𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 (uniforme) et 𝑑 = 𝑑50 (étalée)

𝒒𝒔𝒃 =𝟑,𝟏

𝑺𝒔−𝟏 𝟑/𝟐

𝒅𝟗𝟎

𝒅𝟑𝟎

𝟎,𝟐𝒒 − 𝒒𝒄 𝒊

𝟑/𝟐 si 𝒊 > 𝟑%

𝒒𝒔𝒃 =𝟏𝟐,𝟔

𝒔𝒔−𝟏𝟏,𝟔

𝒅𝟗𝟎

𝒅𝟑𝟎

𝟎,𝟐𝒒 − 𝒒𝒄 𝒊

𝟐 si 𝐢 < 𝟑%

Conditions de validité

• 0,3 % < 𝑖 < 20 %• 0,4 𝑚𝑚 < 𝑑 < 10 [𝑚𝑚]

𝒒𝒄 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟓 𝒔𝒔 − 𝟏 𝟏,𝟔𝟕𝒈𝟏/𝟐𝒅𝟑/𝟐𝒊−𝟏,𝟏𝟐

Si ൗ𝑑90𝑑30

inconnu,

prendre ൗ𝑑90𝑑30

= 1,05

Formule de Rickenmann (1990)

Dieter Rickenmann

Page 54: Hydraulique fluviale

03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE

04.09.16

Formules de transport solide total (1/3)

54

■ Engelund et Hansen (1967) établissent que :

■ Le diamètre caractéristique est donné par :

■ 𝑑 = 𝑑𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 (uniforme) et 𝑑 = 𝑑50 (étalée) Conditions de validité

• Pente faible (?)• 0,15 𝑚𝑚 < 𝑑 < 1,6 [𝑚𝑚]

𝒒𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟓 𝒈 𝒔𝒔 − 𝟏 𝒅𝟑𝑲𝒔𝟐𝑹𝒉

𝟏/𝟑

𝒈𝝉∗𝟓/𝟐

Formule de Engelund et Hansen (1967)

Frank Anker Engelund(1925 - 1983)

Karl Henry Eggert Hansen(1914 - 1999)

Page 55: Hydraulique fluviale

03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE

04.09.16

Formules de transport solide total (2/3)

55

■ Graf et Acaroglu (1968) définissent un paramètre d’intensité de frottement Ψ𝐴 comme critère de transport solide et mettent en évidence qu’il est lié à un paramètre de transport Φ𝐴

■ De manière expérimentale, ils établissent par suite que :

■ Le diamètre caractéristique est donné par :

■ 𝑑 = 𝑑𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 (uniforme) et 𝑑 = 𝑑50 (étalée)

Conditions de validité

• 0,3 𝑚𝑚 < 𝑑 < 1,7 [𝑚𝑚]

Ψ𝐴 = 𝜏∗ −1 =(𝑆𝑠−1)𝑑

𝑅ℎ𝑖Φ𝐴 =

Τ𝑞𝑠 𝑞 𝑈𝑅ℎ

𝑔 𝑠𝑠 − 1 𝑑3Φ𝐴 = 𝑓(Ψ𝐴)

Φ𝐴 = 𝑎Ψ𝐴−𝛽

= 10,39 Ψ𝐴−2,52 ⇒ 𝒒𝒔 = 𝟏𝟎, 𝟑𝟗𝒈𝟎,𝟓

𝒚𝑹𝒉𝟏,𝟓𝟐𝒊𝟐,𝟓𝟐

𝒔𝒔 − 𝟏 𝟐,𝟎𝟐𝒅𝟏,𝟎𝟐

Formule de Graf et Acaroglu (1968)

Walter Hans Graf(1936 - )

Page 56: Hydraulique fluviale

03. FORMULES DE TRANSPORT SOLIDE

04.09.16

Formules de transport solide total (3/3)

56

■ On définit le terme Fgr :

■ Le charriage est alors donné par :

■ Le diamètre caractéristique est donné par :

■ 𝑑 = 𝑑𝑚𝑜𝑦𝑒𝑛 (uniforme) et 𝑑 = 𝑑35 (étalée)

𝒒𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓𝒒𝒅

𝒚

𝑭𝒈𝒓

𝟎, 𝟏𝟕− 𝟏

𝟏,𝟓

Conditions de validité

• 𝐹𝑟 < 0,8 (Bathurst et al., 1987)

• 0,04 [𝑚𝑚] < 𝑑 < 4 [𝑚𝑚]

𝑭𝒈𝒓 =𝟏

𝒈 𝒔𝒔 − 𝟏 𝒅

𝑼

𝟑𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎𝒚𝒅

Formule de Ackers et White (1973)

P. Ackers

Page 57: Hydraulique fluviale

■ La vitesse provoquant le début de la mise en mouvement d’un grain de

diamètre 𝑑 est appelée vitesse de début d’entrainement 𝑈0

■ Elle est établie en injectant l’expression de la pente 𝑖 donnée par l’équation de Shields (1936) dans l’expression de Manning-Strickler pour la vitesse

04. VITESSE DE DEBUT D’ENTRAINEMENT

04.09.16

Vitesse 𝑈0 au début de la mise en mouvement

57

Or, de l’équation de Manning-Strickler (1891) :

𝑈 = 𝐾𝑠𝑅ℎΤ2 3 𝑖 ⇒ 𝑈2 = 𝐾𝑠

2𝑅ℎΤ4 3𝑖

Du paramètre de Shields (1936), on tire :

𝜏𝑐𝑟∗ =

𝛾𝑤𝑅ℎ𝑖

𝛾𝑠 − 𝛾𝑤 𝑑⇒ 𝑖 = (𝑠𝑠 − 1)

𝑑

𝑅ℎ𝜏𝑐𝑟∗

𝑼𝟎 = 𝒔𝒔 − 𝟏 𝟏/𝟐𝑲𝒔𝑹𝒉Τ𝟏 𝟔𝒅𝟏/𝟐𝝉𝒄𝒓

∗ Τ𝟏 𝟐

Page 58: Hydraulique fluviale

05. STABILITE D’UN PAVAGE

04.09.16

Prédiction de la stabilité d’une couche de pavage

58

𝝉∗𝒂,𝒄𝒓 = 𝝉∗𝒄𝒓 𝟎, 𝟒𝒅𝟓𝟎𝒅𝟓𝟎𝒂,

𝟏𝟐

+ 𝟎, 𝟔

𝟐

𝒖∗𝒂,𝒄𝒓 = 𝒈 𝒔𝒔 − 𝟏 𝒅𝟓𝟎𝒂,𝝉∗𝒂,𝒄𝒓𝟎,𝟓

Diagramme de Yalin-Shields (1972)

𝜏∗𝑐𝑟 est donné par le diagramme de Yalin-

Shields (1972), soit 𝝉∗𝒄𝒓 ≈ 𝟎, 𝟎𝟓

𝝉∗𝒄𝒓

Lors du développement d’un pavage, l’augmentation de la vitesse

de frottement 𝑢∗ emporte les particules les plus petites, laissant en

places les plus grosses. Le pavage devient instable et sera détruit

pour 𝑢∗ > 𝑢∗𝑎,𝑐𝑟 Arved Jaan Raudviki

Raudviki (1990) propose une relation empirique

pour la prédiction de la stabilité de la couche

de pavage de diamètre médian 𝑑50𝑎.

Page 59: Hydraulique fluviale

■ La profondeur maximale des fonds

perturbés (ou susceptible d’être affouillée) au

voisinage des rétrécissements locaux est donnée par Izard et Bradley (1958) :

■ Ce calcul est surtout important pour les

ouvrages (piles de pont) non fondés dans le

substratum rocheux

■ En présence de pavage, ce calcul n’a de

sens que pour les débits susceptibles de

rompre le pavage

06. GEOMETRIE D’EQUILIBRE

04.09.16

Profondeur des fonds perturbés

59

𝒇𝒑 = 𝟎, 𝟕𝟑𝒒 Τ𝟐 𝟑

𝒅𝟏/𝟔Principe d’affouillement d’une pile de pont

fp

Profondeur des fonds perturbés

Page 60: Hydraulique fluviale

■ Soit un bief de rivière en aval d’un point de piégeage des sédiments

transportés (seuil, barrage par exemple). Le débit liquide reste inchangé.

Supposons que les berges ne sont pas mobilisables.

■ La saturation en débit solide n’est plus assurée : une érosion

régressive se déclenche en aval

■ Le lit du cours d’eau évoluera à long terme vers une nouvelle pente

d’équilibre 𝐼𝑒𝑞 ou de non-transport 𝐼𝑁𝑇

■ Pour l’établir, on considère que pour le débit à plein bord, la contrainte

exercée sur le fond (équation de Manning-Strickler) coïncide avec la

contrainte critique de mise en mouvement (équation de Shields)

■ Le calcul est itératif

06. GEOMETRIE D’EQUILIBRE

04.09.16

Pente de non transport ou pente d’équilibre (1/2)

60

Page 61: Hydraulique fluviale

■ L’équation de Shields (1936) donne, à l’équilibre :

■ À partir de l’équation de Manning-Strickler (1891), on peut aussi écrire :

■ Ce qui permet de déduire l’expression suivante, non implicite en 𝑦 que l’on peut résoudre avec de manière itérative ou avec un solveur

■ Par suite, la valeur de 𝐼𝑒𝑞 sera calculée à partir de l’équation de Shields(1936) ou de Manning-Strickler (1891)

06. GEOMETRIE D’EQUILIBRE

04.09.16

Pente de non transport ou pente d’équilibre (2/2)

61

𝑅ℎ(𝑦)𝐼𝑒𝑞 = 𝑠𝑠 − 1 𝑑𝜏𝑐𝑟∗

𝑆(𝑦)2 𝑅ℎ(𝑦)

Τ4 3 𝐼𝑒𝑞 =𝑄2

𝐾𝑠2 ⇒ 𝑆(𝑦)

2 𝑅ℎ(𝑦)Τ1 3 (𝑅ℎ(𝑦)𝐼𝑒𝑞) =

𝑄2

𝐾𝑠2

𝑺(𝒚)𝟐 𝑹𝒉(𝒚)

Τ𝟏 𝟑 =𝑸𝟐

𝑺𝒔 − 𝟏 𝑲𝒔𝟐𝒅𝝉𝒄𝒓

Page 62: Hydraulique fluviale

07. MESURE DU TRANSPORT SOLIDE

04.09.16

Mesure du charriage

62

■ Principe : mesurer les dépôts dans un secteur

qui naturellement piège les sédiments charriés

■ Mesure des volumes de dépôts effectués par

suivi bathymétrique

■ Possibilité d’utiliser les structures existantes

■ Barrages ou anciennes fosses d’extraction

■ Alternativement, construire des fosses à piégeage

dans le lit mineur.

■ Risque d’érosion progressive : à implanter

donc dans une zone sans enjeux particuliers

■ Volume équivalent à 1~2 ans d’apports

solides, prédéterminé par les équations de

transport solide

■ Après chaque mesure, effectuer des curages

Barrage envasé

Trappe à sédiment

en lit mineur de

cours d’eau

Page 63: Hydraulique fluviale

■ Autres échantillonneurs :

■ Bedload Transport Meter Arnhem

(BTMA), développé aux Pays-Bas

■ Karolyi, développé en Hongrie

07. MESURE DU TRANSPORT SOLIDE

04.09.16

Equipements d’échantillonage

63

Karolyi

BTMA

■ Préleveur Helley-Smith :

■ Préleveur le plus connu et répandu

■ Modèles variant suivant la taille des

grains à échantillonner ainsi que la

vitesse de l’écoulement

Préleveur Helley-Smith

𝑞𝑠𝑏 = 𝑘𝑠𝑠 1 − 𝑝𝑉

𝑏𝑇

Page 64: Hydraulique fluviale

07. MESURE DU TRANSPORT SOLIDE

04.09.16

Equipements d’échantillonage

64

La bouteille de Delft sur chariot permet

la mesure de saltation et suspension à

différentes hauteurs d’eau entre 0,05 [m]

et 0,5 [m] au dessus du fond.

Il est adapté aux cours d’eau dont les

alluvions sont composés de sables et

graviers fins.

L’appareil est conçu de façon à ce que

l’écoulement – et le transport des

matériaux solides ne soient pas

perturbés : c’est une caractéristique

propre à cet équipement

Bouteille de Delft sur chariot

Page 65: Hydraulique fluviale

CONSEQUENCES MORPHOLOGIQUES DE QUELQUES AMENAGEMENTS

Chapitre III

Page 66: Hydraulique fluviale

■ Les aménagements portés sur le bassin versants sont susceptibles de modifier les formes naturelles des cours d’eau

■ Dans la recherche de l’équilibre dynamique, le cours d’eau peut mobiliser :

■ le lit : érosion sur le profil en long

■ les berges : érosion latérale ou érosion des berges

■ Le lit d’un cours d’eau :

■ peut se creuser au fil du temps : érosion ou incision

■ Peut se surélever dans le temps : exhaussement

■ Ces modifications peuvent se propager :

■ vers l’amont : érosion ou exhaussement régressifs

■ Vers l’aval : érosion ou exhaussement progressifs

01. AMENAGEMENTS DE COURS D’EAU

04.09.16

Conséquences morphologiques

66

Page 67: Hydraulique fluviale

02. PRELEVEMENT DE SEDIMENTS

04.09.16

Excavation dans un lit mineur pour exploitation de gisement alluvial

67

Conséquences de prélèvement dans un lit de cours d’eau (Degoutte, 2012)

Situation : le lit d’un cours

d’eau est excavé localement

pour son gisement alluvial

Abaissement de la

ligne d’eau à l’amont

de l’excavation

Augmentation de la

pente et de la

tractrice efficace

(1) Erosion régressive

vers l’amont(2) Piégeage des sédiments

dans l’excavation

(3) Erosion progressive

vers l’aval pour assurer la

saturation en débit solide

(1) Restauration de la

pente initiale si l’érosion

régressive rencontre un

point dur en amont (seuil

rocheux)(3) Etablissement de la

pente de non transport en

aval

Page 68: Hydraulique fluviale

03. CALIBRAGE DE LIT

04.09.16

Elargissement de lit sans modification des berges (1/2)

68

La ligne d’eau s’abaisse sur tout

le tronçon calibré, la tractrice

efficace diminue

(2) Mise en vitesse à l’entrée du

tronçon, ce qui déclenche une

érosion régressive vers l’amont(3) Erosion progressive vers l’aval

pour assurer la saturation en

débit solide

(1) La capacité de transport

solide a diminué dans le bief, ce

qui occasionne des dépôts

Situation : le lit d’un

cours d’eau est élargi sur

une grande longueur sans

stabilisation des berges

Observations à court terme

Calibrage de lit (Degoutte, 2012)

Page 69: Hydraulique fluviale

03. CALIBRAGE DE LIT

04.09.16

Elargissement de lit sans modification des berges (2/2)

69

Sur le long termeSur le long terme, le bief élargi modifie sa pente et

subséquemment, le tirant d’eau, de sorte à ajuster

sa capacité de transport solide à celui du bief

amont.

Du terme 𝑞𝑠2 nous pouvons extraire la valeur

d’une contrainte tractrice 𝜏2∗ qui permettra de

disposer d’une relation fonctionnelle entre les

connues 𝑦2 et 𝑖2

En outre, l’élargissement ne modifie pas le débit

liquide écoulé.

𝑞𝑠1𝑏1 = 𝑞𝑠2𝑏2 ⇒ 𝑞𝑠2 =𝑏1𝑏2𝑞𝑠1

Le tirant d’eau 𝑦2 est alors donné par :

Et si une approximation de type 𝑅ℎ ≈ 𝑦 est possible :

La pente 𝑖2 sera alors déduite de l’équation de Manning-Strickler (1981) ou de Shields (1936)

𝑅ℎ 𝑦2 𝑖2 = 𝑠𝑠 − 1 𝑑𝜏2∗

𝑆(𝑦2)𝑅ℎ(𝑦2)Τ2 3 𝑖2 =

𝐾𝑠1𝐾𝑠2

𝑆(𝑦1)𝑅ℎ(𝑦1)Τ2 3 𝑖1

𝑺(𝒚𝟐)𝟐 𝑹𝒉 𝒚𝟐

Τ𝟏 𝟑 =𝑲𝒔𝟏𝟐

𝑲𝒔𝟐𝟐

𝑺(𝒚𝟏)𝟐 𝑹𝒉(𝒚𝟏)

Τ𝟒 𝟑 𝒊𝟏

𝒔𝒔 − 𝟏 𝒅𝝉𝟐∗

𝒚𝟐 =𝑲𝒔𝟐𝟐

𝑲𝒔𝟐𝟏

𝒔𝒔 − 𝟏 𝒅𝝉𝟐∗

𝒚𝟏Τ𝟏𝟎 𝟑𝒊𝟏

−𝟑𝟕

Page 70: Hydraulique fluviale

04. ABLATION DE RIPISYLVE

04.09.16

Enlèvement important de la végétation des berges

70

L’enlèvement de végétation

entraine une augmentation de 𝐾𝑠et une diminution de 𝑦.

(2) L’augmentation de 𝐾𝑠 induite

entraine une augmentation de 𝛽et donc la tractrice efficace à

l’entrée, ce qui occasionne une

érosion régressive vers l’amont

(3) A l’aval, on retrouve l’ancienne

tractrice efficace, plus faible, ce

qui occasionne donc un dépôt

(1) l’augmentation de tractrice

efficace induit une hausse de la

capacité de transport solide. La

rivière mobile donc le fond, qui se

creuse

Situation : La ripisylve est

enlevée de manière

importante sur les berges,

qui sont supposées stables

Enlèvement de végétation des berges (Degoutte, 2012)

Page 71: Hydraulique fluviale

05. ENDIGUEMENTS

04.09.16

Enfoncement de lit à la suite d’un endiguement de lit

71

Pour des crues inférieures à

l’ancien débit à plein bords,

rien ne se produit

Situation : Les berges

d’un cours d’eau sont

inchangées et surélevées

par des digues latérales

Endiguements (Degoutte, 2012)

Pour des crues plus importantes

que l’ancien débit à plein bord, la

tractrice efficace augmente, ce

qui occasionne une érosion

régressive en amont et un dépôt

en aval

Le lit s’enfonce donc de

manière à assurer une pente

quasi-parallèle à l’ancienne.

Selon Ramette (1981), l’enfoncement vaut :

∆𝑯 =𝑸

𝑸𝒎

𝟐/𝟑

− 𝟏

Page 72: Hydraulique fluviale

06. RETRECISSEMENT LOCALISE

04.09.16

Ouvrages rétrécissant localement la section du lit mineur

72

Situation : Un ouvrage de

largeur 𝐿0 est implanté

dans un cours d’eau de

largeur 𝐿1 > 𝐿0

𝐻0: profondeur initiale

𝐻1: profondeur après affouillement

𝐻2: profondeur au droit des culées

Dans la section rétrécie, la hauteur d’eau augmente, ainsi que

la contrainte tractrice, ce qui génère un affouillement local du lit. Selon Ramette (1981), la profondeur 𝐻1 est donnée par :

Un affouillement localisé plus profond 𝐻2 se mettra en place

au droit d’une culée, que l’on peut approximer par la

profondeur des fonds perturbés :

Rétrécissement localisé(Degoutte, 2012)

𝑯𝟏 = 𝑯𝟎

𝑳𝟏𝑳𝟎

Τ𝟐 𝟑

𝑯𝟐 ≈ 𝒇𝒑 = 𝟎, 𝟕𝟑𝒒 Τ𝟐 𝟑𝒅−𝟏/𝟔

Page 73: Hydraulique fluviale

07. RETENUES D’EAU

04.09.16

Influence des barrages (1/2)

73

La retenue d’un barrage joue un rôle

décanteur : la charge solide est déposée

du fait du ralentissement de la vitesse,

suivant un tri granulométrique de l’entrée

de la retenue vers l’aval. Le comblement

progressif est irréversible

Influence d’un barrage sur la charge solide(Degoutte, 2012)

À l’aval, le lâcher d’eau claire crée un défit

en charge solide. Pour assurer la

saturation, l’écoulement prélève dans le

matériau en place, ce qui déclenche une

érosion progressive pouvant déchausser le

pied de la digue

Page 74: Hydraulique fluviale

07. RETENUES D’EAU

04.09.16

Influence des barrages (2/2)

74

Vörösmarty, Charles J, Michel Meybeck, Balázs Fekete, Keshav Sharma, Pamela Green,

and James PM Syvitski. 2003. “Anthropogenic Sediment Retention: Major Global Impact

from Registered River Impoundments.” Global and Planetary Change 39 (1): 169–90.

Efficience de piégeage de sédiments transportés à

l’échelle des grands bassins versants(Vörösmarty et al., 2003)

Page 75: Hydraulique fluviale

08. OUVRAGES OBLIQUES

04.09.16

Influence de l’implantation d’ouvrages obliques

75

L’implantation d’ouvrages obliques (épis, quais) peut avoir

divers types de conséquences

■ Tout ouvrage oblique vers l’aval provoque un rejet du

courant vers la berge, qui peut en aggraver les risques

d’affouillement et d’érosion

■ Tout ouvrage orienté vers l’amont favorisera le rejet du

courant vers l’axe de la rivière, avec un déplacement en

conséquent des risques d’affouillement si la tête fait

obstacle

Epis en rochersOuvrage orienté vers l’amontOuvrage orienté vers l’aval

Quai

Page 76: Hydraulique fluviale

DEVELOPPEMENTS HYDRODYNAMIQUES

Chapitre IV

Page 77: Hydraulique fluviale

■ Nous présenterons ici les développements hydrodynamiques caractérisant l’écoulement à surface libre sur un lit à fond mobile

■ Pour la simplification des expressions, nous supposeronsune section d’écoulement rectangulaire, de largeur au radier 𝑏

■ Les équations régissant les écoulements à surface libre sur fond fixe sont les équations de Saint-Venant (1871)

■ L’équation de continuité

■ L’équation de l’énergie

■ À ces relations s’ajoute l’équation d’Exner (1920) qui prend en compte le caractère mobile du fond du lit

01. EQUATIONS HYDRODYNAMIQUES

04.09.16

Equations fondamentales de l’écoulement à surface libre sur fond mobile

77

Adhémar Jean Claude Barré de

Saint-Venant (1797-1886)

Felix Maria Exner von Ewarten

(1876-1930)

Page 78: Hydraulique fluviale

Volume entrant par la section (1) :

𝑄𝑥𝑑𝑡

02. EQUATIONS DE SAINT-VENANT

04.09.16

Principe de conservation de masse

78

Volume sortant par la section (2) :

𝑄𝑥+𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝑄𝑥𝑑𝑡 +𝜕𝑄

𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑡

Variation de volume liée à l’élévation de la

surface libre (3) :

∆𝑆𝑑𝑥 =𝜕𝑆

𝜕𝑡𝑑𝑡 𝑑𝑥

On obtient l’équation de continuité en posant (3) = (1) - (2) :

𝜕𝑆

𝜕𝑡+𝜕𝑄

𝜕𝑥= 0 ⇒

𝜕𝑆

𝜕𝑡+ 𝑈

𝜕𝑆

𝜕𝑥+ 𝑆

𝜕𝑈

𝜕𝑥= 0

Pour un canal rectangulaire, en posant 𝑆 = 𝑆(𝑦) = 𝑏𝑦 et en

simplifiant par 𝑏, on obtient :

𝝏𝒚

𝝏𝒕+ 𝒚

𝝏𝑼

𝝏𝒙+ 𝑼

𝝏𝒚

𝝏𝒙= 𝟎

Page 79: Hydraulique fluviale

02. EQUATIONS DE SAINT-VENANT

04.09.16

Principe de conservation de l’énergie

79

La pente d’énergie 𝑗 est liée à 𝐻 par :

𝑗 = −𝑑𝐻

𝑑𝑥⇒ 𝑑𝐻 = −𝑗𝑑𝑥 ⇒ 𝑑

𝑈2

2𝑔+ 𝑧 + 𝑦 = −𝑗𝑑𝑥

Or :

𝑑𝑧 =𝜕𝑧

𝜕𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑦 =𝜕𝑦

𝜕𝑥𝑑𝑥

Et :

𝑑𝑈2

2𝑔=

1

2𝑔𝑑𝑈𝑡,𝑥

2 =1

2𝑔

𝜕𝑈2

𝜕𝑡𝑑𝑡 +

𝜕𝑈2

𝜕𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑈2

2𝑔=𝑈

𝑔

𝜕𝑈

𝜕𝑡𝑑𝑡 +

𝜕𝑈

𝜕𝑥𝑑𝑥

En simplifiant par 𝑑𝑥, sachant que Τ𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑈, il

vient que :

La pente 𝑗 est alors donnée par une loi de frottement:

𝝏𝑼

𝝏𝒕+ 𝑼

𝝏𝑼

𝝏𝒙+ 𝒈

𝝏𝒚

𝝏𝒙+ 𝒈

𝝏𝒛

𝝏𝒙= −𝒈𝒋

𝒋 = 𝒇(𝒚, 𝑼, ƒ)

Page 80: Hydraulique fluviale

Pour exprimer la continuité de la

phase solide (à l’image de l’équation

de continuité pour la phase liquide), Krishnappan (1981) propose :

𝜕𝑧

𝜕𝑡+

1

1 − 𝑝

𝜕𝑞𝑠𝜕𝑥

= 0

où le débit solide 𝑞𝑠 est une fonction

(à déterminer) du débit liquide et des

sédiments charriés :

𝑞𝑠 = 𝑓(𝑦, 𝑈, 𝑠é𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠)

03. EQUATIONS DE SAINT-VENANT-EXNER

04.09.16

Equations couplées de l’écoulement des phases liquide et solide

80

𝜕𝑦

𝜕𝑡+ 𝑦

𝜕𝑈

𝜕𝑥+ 𝑈

𝜕𝑦

𝜕𝑥= 0

𝜕𝑈

𝜕𝑡+ 𝑈

𝜕𝑈

𝜕𝑥+ 𝑔

𝜕𝑦

𝜕𝑥+ 𝑔

𝜕𝑧

𝜕𝑥= −𝑔𝑗

𝑗 = 𝑓(𝑦, 𝑈, 𝑘)

𝜕𝑧

𝜕𝑡+

1

1 − 𝑝

𝜕𝑞𝑠𝜕𝑥

= 0

𝑞𝑠 = 𝑓(𝑦, 𝑈, 𝑠é𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠)

Equations de Saint -

Venant, exprimant

l’écoulement de la phase

liquide sur fond mobile

Equations exprimant le

transport de la phase

solide

Equations de Saint-Venant-Exner

Bommanna

Krishnappan

Page 81: Hydraulique fluviale

03. EQUATIONS DE SAINT-VENANT-EXNER

04.09.16

Effort de résolution (1/3)

81

■ Les équations de Saint-Venant-Exner sont implicitement couplées. En

pratique, pour les résoudre il faudrait :

■ chercher une solution pour la phase liquide

■ puis une solution pour la phase solide, afin d’obtenir la variation 𝑧(𝑥,𝑡)

■ Pour les coupler de manière explicite, Krishnappan (1981) propose d’exprimer

la continuité pour la phase liquide :

■ Dès lors, les équations de Saint-Venant-Exner peuvent être résolues

■ De manière analytique pour des cas simples

■ De manière numérique pour des cas plus complexes

𝜕𝑦

𝜕𝑡+𝜕𝑧

𝜕𝑡+𝜕𝑞

𝜕𝑥= 0

Page 82: Hydraulique fluviale

03. EQUATIONS DE SAINT-VENANT-EXNER

04.09.16

Effort de résolution (2/3)

82

■ Les équations de Saint-Venant-Exner sont non linéaires et hyperboliques

■ Trouver des solutions analytiques est très complexe

■ Mais des approximations peuvent être faites

■ Hypothèse : écoulement à faible nombre de Froude : 𝑭𝒓 < 𝟎, 𝟔

■ Ecoulement quasi-stationnaire : Τ𝜕 𝜕𝑡 ≈ 0

■ Hypothèse valable car en pratique, 𝜕𝑞/𝜕𝑡 se produit sur un court terme

tandis que 𝜕𝑧/𝜕𝑡 se produit sur un long terme, lorsque 𝜕𝑞/𝜕𝑡 a déjà

disparu

■ Si l’on étudie donc 𝑧(𝑥, 𝑡) sur le long terme, alors 𝑞 = 𝐶𝑡𝑒 et Τ𝜕 𝜕𝑡 ≈ 0

■ On écrira donc pour équations de continuité et d’énergie :

𝒚𝝏𝑼

𝝏𝒙+ 𝑼

𝝏𝒚

𝝏𝒙= 𝟎 𝑼

𝝏𝑼

𝝏𝒙+ 𝒈

𝝏𝒚

𝝏𝒙+ 𝒈

𝝏𝒛

𝝏𝒙= −𝒈𝒋

Page 83: Hydraulique fluviale

03. EQUATIONS DE SAINT-VENANT-EXNER

04.09.16

Effort de résolution (3/3)

83

■ On peut coupler les équations de Saint-Venant en une seule équation en

multipliant l’équation de continuité par 𝑔/𝑈 et en l’éliminant avec l’équation

de l’énergie. Il vient alors que :

■ Associons à cette nouvelle équation celle de la continuité de la phase solide (Krishnappan, 1981) en réécrivant toutefois le terme 𝜕𝑞𝑠/𝜕𝑥

■ Ces équations étant non linéaires, seules des solutions numériques sont

envisageables.

𝜕𝑧

𝜕𝑡+

1

1 − 𝑝

𝜕𝑞𝑠𝜕𝑥

= 0 ⇒

𝝏𝑼

𝝏𝒙𝑼 − 𝒈

𝒚

𝑼+ 𝒈

𝝏𝒛

𝝏𝒙= −𝒈𝒋

(𝟏 − 𝒑)𝝏𝒛

𝝏𝒕+𝝏𝒒𝒔𝝏𝑼

𝝏𝑼

𝝏𝒙= 𝟎

Page 84: Hydraulique fluviale

03. EQUATIONS DE SAINT-VENANT-EXNER

04.09.16

Modèle parabolique (1/4)

84

Selon Vreugdenhil et de Vries (1973), la quasi-

stationnarité implique une quasi-uniformité

de l’écoulement, donc Τ𝜕𝑈 𝜕𝑥 ≈ 0. Il vient

alors que, pour l ’équation de l’énergie, en

supposant une loi de frottement de Chézy :

𝜕𝑧

𝜕𝑥= −𝑗 = −

𝑈2

𝐶2ℎ= −

𝑈3

𝐶2𝑞⇒

𝜕2𝑧

𝜕𝑥2= −

3𝑈2

𝐶2𝑞

𝜕𝑈

𝜕𝑥

D’où :

Dans l’équation de Krishnappan (1981), nous

pouvons réintroduire la nouvelle écriture du

terme 𝜕𝑈/𝜕𝑥. Il vient donc :

En définissant donc un coefficient de

diffusion 𝐾(𝑡):

Nous déduisons donc le modèle parabolique:

𝜕𝑧

𝜕𝑡−1

3

𝜕𝑞𝑠𝜕𝑈

1

1 − 𝑝

𝐶2ℎ

𝑈

𝜕2𝑧

𝜕𝑥2= 0

𝐾(𝑡) =1

3

𝜕𝑞𝑠𝜕𝑈

1

1 − 𝑝

𝐶2ℎ

𝑈

𝝏𝒛

𝝏𝒕− 𝑲

𝝏𝟐𝒛

𝝏𝒙𝟐= 𝟎

𝝏𝑼

𝝏𝒙= −

𝟏

𝟑

𝑪𝟐𝒉

𝑼

𝝏𝟐𝒛

𝝏𝒙𝟐

M. J. de Vries

C. B. Vreugdenhil

Page 85: Hydraulique fluviale

03. EQUATIONS DE SAINT-VENANT-EXNER

04.09.16

Modèle parabolique (2/4)

85

■ Le modèle parabolique reste valable pour les cas applicatifs suivants :

■ Ecoulement à faible nombre de Froude : 𝑭𝒓 < 𝟎, 𝟔

■ Calcul sur le long terme : 𝑥, 𝑡 assez grands et 𝑥 > 3𝑦/𝑗 (de Vries,

1973)

■ En outre, de Vries (1973) propose que la constante 𝐾 soit linéarisée en :

𝑲 =𝟏

𝟑𝒒𝒔𝒃𝒔

𝟏

𝟏 − 𝒑

𝟏

𝒋𝟎

𝝏𝒛

𝝏𝒕− 𝑲

𝝏𝟐𝒛

𝝏𝒙𝟐= 𝟎

𝒃𝒔 = 𝟐𝜷 = 𝟐 𝟐, 𝟓𝟐 ≈ 𝟓

cf. formule de Graf et Acaroglu (1968)

William Henry Froude

(1810-1879)

Page 86: Hydraulique fluviale

03. EQUATIONS DE SAINT-VENANT-EXNER

04.09.16

Modèle parabolique (3/4)

86

■ Posons des conditions aux limites et initiales pour le modèle parabolique

■ Vreugdenhil et de Vries (1973), en utilisant les transformées de Laplace,

définissent alors une solution analytique au modèle parabolique :

■ Où erfc fait référence à la fonction complémentaire d’erreur, définie par :

𝒛 𝒙, 𝒕 = ∆𝒉𝐞𝐫𝐟𝐜𝑿

𝟐 𝑲𝒕

𝑧 ∀𝑥, 𝑡 = 0 = 0 𝑧 𝑥 = 0, 𝑡 → ∞ = ∆ℎ 𝑧 𝑥 → ∞, 𝑡 = 0

𝐞𝐫𝐟𝐜 𝒀 =𝟐

𝝅න

𝒀

𝒆−𝝃𝟐𝒅𝝃

𝜕𝑧

𝜕𝑡− 𝐾

𝜕2𝑧

𝜕𝑥2= 0

Page 87: Hydraulique fluviale

03. EQUATIONS DE SAINT-VENANT-EXNER

04.09.16

Modèle parabolique (4/4)

87

Les valeurs de la fonction complémentaire

d’erreur :

■ sont disponibles dans les tables

mathématiques

■ Fournies par Microsoft Excel, en standard,

via la fonction ERFC

■ Implémentées en librairies/packages

standards pour divers langages et/ou

environnements de programmation

Abramowitz and Stegun (1964) proposent une

approximation polynomiale :Table de la fonction complémentaire d’erreur

- tiré de Graf et Altinakar (2000)

𝐞𝐫𝐟𝐜(𝒀) ≈ 𝟏 +

𝒊=𝟏

𝟔

𝒂𝒊𝒀𝒊

−𝟏𝟔

+ 𝝐(𝒀)

Où 𝝐 𝒀 ≤ 𝟑. 𝟏𝟎−𝟕

a1 = 0,0705230784a2 = 0,0422820123a3 = 0,0092705272

a4 = 0,0001520143a5 = 0,0002765672a6 = 0,0000430638

Milton Abramowitz

(1912-1958)

Irene Ann Stegun

(1912-2008)

Page 88: Hydraulique fluviale

04. CALCUL D’EVOLUTION DE LIT

04.09.16

Cas simples d’application du modèle parabolique

88

Schémas de dégradation ou d’aggradation

(Graf et Altinakar, 2000)

Le modèle parabolique reste pratique

pour décrire l’évolution du fond de lit

pour des simples de dégradation ou

d’aggradation

■ Cas de dégradation :

■ Débit solide interrompu en

amont

■ Augmentation de débit liquide

■ Baisse d’un point fixe en aval

■ Cas d’aggradation :

■ Augmentation de débit solide en

amont

■ Diminution de débit liquide

■ Montée d’un point fixe en aval

Page 89: Hydraulique fluviale

04. CALCUL D’EVOLUTION DE LIT

04.09.16

Application du modèle parabolique à un canal en dégradation

89

■ Soit un canal à fond mobile, véhiculant un débit unitaire 𝑞 uniforme et constant à

hauteur d’eau 𝑦0

■ À l’entrée dans un réservoir en aval, la hauteur d’eau imposée est telle que le tirant

d’eau s’abaisse de ∆ℎ, générant une érosion régressive vers l’amont.

■ Au temps 𝑡 = ∞, on observera un abaissement de fond partout dans le canal et

𝑦∞ ≡ 𝑦0

Dégradation par abaissement de fond(Graf et Altinakar, 2000)

Conditions initiales et aux

limites :

𝑧 ∀𝑥, 𝑡 = 0 = 0

𝑧 𝑥 = 0, 𝑡 → ∞ = ∆ℎ

𝑧 𝑥 → ∞, 𝑡 = 0

La solution de du modèle parabolique de Vreugdenhil et de Vries (1973)

est donc applicable !

Page 90: Hydraulique fluviale

04. CALCUL D’EVOLUTION DE LIT

04.09.16

Application du modèle parabolique à un canal en aggradation

90

■ Soit un canal à fond mobile, en équilibre, véhiculant un débit unitaire 𝑞 uniforme et

constant à hauteur d’eau 𝑦0

■ À une section particulière, il y a surcharge en débit solide (apport localisé). Une

aggradation du fond de lit commence et la côte du fond augmente de ∆ℎ ainsi que

celle de la surface libre

Aggradation par surcharge en débit solide (Graf et Altinakar, 2000)

Conditions initiales et aux

limites :

𝑧 ∀𝑥, 𝑡 = 0 = 0

𝑧 𝑥 = 0, 𝑡 → ∞ = ∆ℎ(𝑡)

𝑧 𝑥 → ∞, 𝑡 = 0

La solution de du modèle parabolique de Vreugdenhil et de Vries (1973)

est donc applicable !

Page 91: Hydraulique fluviale

04. CALCUL D’EVOLUTION DE LIT

04.09.16

Quelques problèmes typiques (1/2)

91

■ Problème : Après combien de temps, à une position 𝒙∆𝒑, la côte de fond aura-

t-elle baissé de ∆𝒑 ?

■ On pose alors que 𝑧 𝑥, 𝑡 = ∆𝑝. Il vient alors que :

■ Problème : Quelle est l’allure du fond du canal après une durée ∆𝒕 ?

■ On définit en premier lieu la profondeur affouillée ∆ℎ(𝑡) = 𝑧 0, 𝑡 = ∆𝑡 donnée

par Soni et al. (1980)

■ On calcule alors à diverses abscisses 𝑥𝑖 sur la longueur souhaitée les

profondeurs 𝑧(𝑥𝑖 , 𝑡 = ∆𝑡) par la solution au modèle parabolique

∆𝑝

∆ℎ= erfc

𝑥∆𝑝

2 𝐾𝑡∆𝑝⇒

∆𝒉(𝒕) =𝒒𝒔∆𝒕

𝟏, 𝟏𝟑 𝟏 − 𝒑 𝑲𝒕= ∆𝒉

𝒕∆𝒑 =𝒙∆𝒑

𝟐𝑲𝒆𝒓𝒇𝒄−𝟏∆𝒑∆𝒉

𝟐

Page 92: Hydraulique fluviale

04. CALCUL D’EVOLUTION DE LIT

04.09.16

Quelques problèmes typiques (2/2)

92

■ Problème : Quelle est la longueur 𝑳𝒂 d’aggradation après un temps ∆𝒕?

■ On pose alors qu’il s’agit de la longueur à partir de laquelle le ratio 𝑧/∆ℎdevient très faible. Il vient alors que :

■ En définitive, il l’emploi du modèle parabolique pour les calcul de dégradation et

d’aggradation ne convient que lorsque :

■ L’écoulement est quasi-stationnaire (variation du fond sur le long terme)

■ L’écoulement est quasi-uniforme et fluvial: 𝑭𝒓 < 𝟎, 𝟔

■ Le calcul est effectué sur de grandes longueurs : 𝒙 > 𝟑𝒚/𝒋

■ Dans le cas où ces conditions ne sont pas remplies, il convient de faire la

résolution des équations de Saint-Venant et Exner de façon numérique.

𝑧

∆ℎ≈ 0,01 ⇒ 𝒙 = 𝟐 𝑲∆𝒕 ≅ 𝟑, 𝟔𝟓 𝑲∆𝒕