Http://christophe.genolini.free.frLicence Stat-infoCM5a : 1 ANOVA : introduction.

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ANOVA : introductionANOVA : introduction


DéfinitionDéfinition

• L’ ANOVA est l’analyse des variances. La comparaison des variances nous dira si les moyennes sont significativement différentes


ProblèmeProblème

• On cherche a détecter d’un phénomène particulier :– Flûtiste exceptionnelle ou moyenne

– Groupe de TD super bon

– Caillou dans la mer


FlûtisteFlûtiste

Silence Cécile seule

Cécile avec les autresLes autres sans Cécile


Quiz : je mélange…Quiz : je mélange…


Quiz : je mélange…Quiz : je mélange…

Trop facile :Cécile seule

Ultra facile :Silence

Heu…

Ben…


Pourquoi ?Pourquoi ?

La variance ici est nulle Ici, la variance est de 0,5

C’est une grosse différence.Elle EST significative

Ici, la variance ici est 17,43 Ici, la variance est de 17,93

Entre 17,43 et 17,93la différence N’EST

PAS significative


IntuitivementIntuitivement

• Vinter (Variance Inter) est la variance que l’on cherche à détecter.

• Vintra (Variance Intra) est le « bruit », la variabilité du au hasard (variabilité biologique)


IntuitivementIntuitivement

Vintra = 0Vinter = 0,5

Vintra = 17,43Vinter = 0,5

On détecte la flûte ou son absence

On détecte l’orchestre mais la flûte seule est impossible à entendre


Formulation du problèmeFormulation du problème

• On dispose de plusieurs groupes de donnée (ici, des bandes sonores). On cherche à détecter quelque chose (ici, la flûte)

• Pour le savoir, on calcule Vintra et Vinter– Vintra mesure la variabilité biologique (ici, le bruit)

– Vinter mesure ce que l’on cherche vraiment (ici, la flûte)

• Si Vinter est grand devant Vintra, on a détecté quelque chose.

• Si Vinter est petit devant Vintra, la variabilité biologique est trop forte, elle empêche toute détection.


La flûteLa flûte

Vintra = 0Vinter = 0,5

Vintra = 17,43Vinter = 0,5

On détecte la présence d’une flûte dans le groupe 2

On ne détecte pas la présence de la flûte dans le groupe 2


Décomposition en facteursDécomposition en facteurs


Autre approche : Mini QCMAutre approche : Mini QCM

La note de l’élève 2 groupe 1 (Yvon) est 19. Pourquoi ?

Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3Elève 1 16 16 11Elève 2 19 10 12Elève 3 13 11 5Elève 4 14 14 7Elève 5 17 15 12Elève 6 18 8 6Elève 7 13 10 13Elève 8 13 15 9Elève 9 12 9 6

Moyenne 15,00 12,00 9,00

Moyenne générale 12


Étude de la note d’YvonÉtude de la note d’Yvon

• La moyenne générale est de 12.– Yvon a +7 par rapport à la moyenne générale

• La moyenne de groupe 1 est de 15– Yvon a +4 par rapport à la moyenne du groupe 1

– Le groupe 1 a +3 par rapport à la moyenne générale


Étude de la note d’YvonÉtude de la note d’Yvon

• On peut donc « expliquer » la note d’Yvon comme

19 = 12 + 3 + 4Note d’Yvon

Moyenne générale(contrôle facile)

Effet du groupe 1(super prof)

Particularité d’Yvon(sa variabilité biologique :

Yvon est plutôt bon)


Étude de la note de JustinÉtude de la note de Justin

• Justin, élève 4 groupe 1 à 14

• On peut donc « expliquer » la note de Justin :

14 = 12 + 3 - 1Note de Justin


Effet du groupe 1(super prof)

Particularité de Justin


Étude de la note de GastonÉtude de la note de Gaston

• Gaston, élève 7 groupe 3 à 13

• On peut donc « expliquer » la note de Gaston :

13 = 12 - 3 + 4Note de Gaston


Effet du groupe 3(prof pas terrible)

Particularité de Gaston


FormalisationFormalisation

• On peut donc « expliquer » la note d’Yvon comme

19 = 12 + 3 + 4Note

Moyenne générale Variabilité entre les groupes

Variabilité personnelle, à l’intérieur du groupe


Que cherche-t-on ?Que cherche-t-on ?

• La variabilité personnelle dépend de nombreux facteurs– On ne peut pas l’expliquer.

• C’est la variabilité entre groupes qui nous intéresse ici– Si les groupes ont des moyennes significativement différentes, on

pourra ensuite examiner des causes éventuelles : différences entre les profs, meilleur matériel, meilleur emploi du temps…


FormellementFormellement


H0H0

• Hypothèse H0 : il n’y a pas de différence entre les groupes. Ils ont même moyenne et même variance

• On ne s’intéresse pas au groupe mais aux populations qu’ils représentent : on travaille avec


Calcul de VintraCalcul de Vintra

• Notations – k est le nombre de groupe (ici, k=3)– n est le nombre d’élève dans chaque groupe (n=9)– N est le nombre total d’élève (N=27) i

2 est la variance du groupe i (12=1,5)

– Xi est la moyenne du groupe i (X1=15)– X est la moyenne générale (X=12)


Moyenne 15,0 12,0 9,0Variance 1,5 3,0 2,5


Calcul de VintraCalcul de Vintra

• La variance d’un groupe représente son hétérogénéité ou sa variabilité biologique interne.

• Vintra est la variabilité biologique interne de tous les groupe (le « bruit » global). Pour l’évaluer, on prend simplement la moyenne des variances des groupes :

2,33

2,531,5kσ

Vintra2

i




Les clones sont parmi nous…Les clones sont parmi nous…

• Si on travaillait sur des « clones » (aucune différence entre les individus d’un groupe), il n’y aurait aucune variance à l’intérieur des groupes :

Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3Clone 1 15 12 9Clone 2 15 12 9Clone 3 15 12 9Clone 4 15 12 9Clone 5 15 12 9Clone 6 15 12 9Clone 7 15 12 9Clone 8 15 12 9Clone 9 15 12 9


03

000kσ

Vintra2

i


Calcul de VinterCalcul de Vinter

• La moyenne d’un groupe est une mesure du niveau moyen du groupe.

• Vinter est la variabilité entre les groupes. Pour l’évaluer, on prend simplement la variance des moyennes multipliés par l’effectif :

81

2

129121212159

1k

XXn Vinter

2222i




Calcul pratique (réveil !!!)Calcul pratique (réveil !!!)


Moyenne 15,0 12,0 9,0 Vinter = 9 x variance(B12:D12) = 81,0Variance 1,5 3,0 2,5 Vintra = Moyenne(B13:D13) = 2,3


Des clones partoutDes clones partoutG1 G2 G3

C1 12 12 12C2 12 12 12C3 12 12 12C4 12 12 12

Moy 12 12 12 Vinter 0Var 0 0 0 Vintra 0

G1 G2 G3C1 14 12 10C2 14 12 10C3 14 12 10C4 14 12 10


G1 G2 G3C1 17 14 18C2 13 17 12C3 11 5 6C4 7 12 12

Moy 12 12 12 Vinter 0Var 17,333 26 24 Vintra 22,4

G1 G2 G3C1 19 14 16C2 15 17 10C3 13 5 4C4 9 12 10


Les profs et les élèves sont des clones :Pas de variabilité du tout

Les profs sont des clones :Variabilité à l’intérieur des groupes,

mais pas entre les groupes

Les élèves sont des clones :Variabilité entre les groupes,

mais pas à l’intérieur

Situation réelle :Variabilité à l’intérieur des groupes

et également entre les groupes


Retour au problèmeRetour au problème

• Y a-t-il des différences entre les groupes ?




Vinter = 0

La réponse est trivialement non !




G1 G2 G3C1 12 12 12C2 12 12 12C3 12 12 12C4 12 12 12


Les profs et les élèves sont des clones :Pas de variabilité du tout

Vinter = 0

La réponse est trivialement non car Vinter=0 indiquel’égalité entre les moyennes des groupes

G1 G2 G3C1 17 14 18C2 13 17 12C3 11 5 6C4 7 12 12


Les profs sont des clones :Variabilité à l’intérieur des groupes,

mais pas entre les groupes




Vinter = 16 Vintra = 0

La réponse est oui car on détecte une différence entre les moyennes sans que des variations internes (bruit) gênent cette détection…




Vinter = 16 Vintra = 0

La réponse est oui car on détecte une différence entre les moyennes sans que des variations internes (bruit) gênent cette détection…

G1 G2 G3C1 14 12 10C2 14 12 10C3 14 12 10C4 14 12 10


Les élèves sont des clones :Variabilité entre les groupes,

mais pas à l’intérieurPas de bruit

Détection possible




Vinter = 16 Vintra = 22,4

La réponse est moins nette. Peut-être qu’une différence existe mais le bruit nous empêche de la détecter. On ne rejette pas H0




Vinter = 16 Vintra = 22,4

G1 G2 G3C1 19 14 16C2 15 17 10C3 13 5 4C4 9 12 10


Situation réelle :Variabilité à l’intérieur des groupes

et également entre les groupes

La réponse est moins nette. Peut-être qu’une différence existe mais le bruit nous empêche de la détecter. On ne rejette pas H0

Trop de bruitDétection impossible


Comment conclure ?Comment conclure ?

• Si Vinter=16 et Vintra=0 : on rejette H0

• Si Vinter=0 et Vintra=22,4 : on rejette H0

• Entre les deux, si Vinter=18 et Vintra=7 ?

On utilise le test pour comparer les variances :

le F de Fisher


F de FisherF de Fisher


F de Fisher : comme d’habF de Fisher : comme d’hab

• On calcule le F observé

• On calcule la probabilité de F

• Autre méthode : lecture du F théorique sur une table

– Si FObs > FTh, la différence est significative, on rejette H0

– Si FObs < FTh, la différence n’est pas significative, on ne rejette pas H0


Calcul du F observéCalcul du F observé

VintraVinterFObs

• Puis la probabilité d’obtenir un tel F si SEULEMENT la variabilité biologique est en jeu est :

Loi.F(Fobs,DDL dessous,DDL dessus)


Calcul des DDLCalcul des DDL

• V inter est une variance– Son DDL est de le nombre de groupe moins 1

– DDL inter=k-1

• Vintra est la moyenne des variances– Son DDL est la somme des DDL de chacun des groupes

– Chaque groupe a un DDL de n-1

– DDL intra = n-1 + n-1 + … + n-1 = N-k


ExempleExemple

• DDL inter = k-1 = 3-1 = 2

• DDL intra = N-k = 27 – 3 = 24


Moyenne 15,0 12,0 9,0 Vinter = 9 x variance(B12:D12) = 81,0Variance 1,5 3,0 2,5 Vintra = Moyenne(B13:D13) = 2,3

35,22,381

VintraVinterFObs


Lecture du F théoriqueLecture du F théorique

• Cette fois-ci, on lit le F sur la table 5% (parce ce que on doit tester Vinter/Vintra, mais pas Vintra/Vinter

• FTh=3,40

FObs étant plus grand que FTh, on peut rejeter H0 :

il existe une différence significative entre les moyennes

Risque 5%1 2 3 4 5 6

1 161,40 199,50 215,70 224,60 234,20 …2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 …3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 …

… … … … … … …24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 …

… … … … … … …

DDL de la variance du DESSUS

DDL de la variance du DESSOUS


Risque 5%Risque 5%

• On veut savoir si Vinter/Vintra est grand– On teste donc au risque 5%

• Pour la comparaison des variances, on voulait savoir si V1/V2 était grand OU si V2/V1 était grand.– On devait donc tester V1/V2 au risque 2,5% et V2/V1 au risque 2,5%

– Grâce a une astuce, on avait qu’un seul des deux tests à faire, mais ca ne changeait rien au seuil


Groupes de taille variableGroupes de taille variable


Vintra : Groupes de taille variableVintra : Groupes de taille variable

• Rappel : pour les groupes de même taille :

– Vintra = moyenne des variances =

• Pour des groupes de taille variable :

– Vintra = moyenne des variances PONDEREE par les DDL :

• Si les k groupes ont la même taille n, les formules coïncident

kσ 2

i

DDLi

σDDLiVintra

2i

kσ

knσn

nσn

DDLiσDDLi 2

i2

i2

i2

i


Vinter : Groupes de taille variableVinter : Groupes de taille variable

• Rappel : pour les groupes de même taille :

– Vinter = n x variances des moyennes =

• Pour des groupes de taille variable :– Vinter = variances des moyennes PONDEREE par les tailles :

• Si les groupes ont la même taille n, les formules coïncident

1k

XXn

1kXX

n

2i

2i

1k

XXnVinter

2ii

1kXX

n1k

XXn1k

XXn2

i2

i2

ii


Exemple : mini QCMExemple : mini QCMGr 1 Gr 2 Gr 320 20 2015 20 2015 20 2015 16,7 20

11,2 16,7 16,710 15 156,7 15 155 105 0

4,55

TotalMoyenne Xi 10,2 17,6 15,2 13,8Variance si 29,2 5,4 44,1Nombre ni 11 7 9 27DDLi 10 6 8 24

ni x (Xi-X)² 140,8 102,6 17,5 Vinter = somme[ni x (Xi-X)²] / (k-1) (140,8+102,6+17,5)/2= 130,5DDLi x si 292,2 32,5 352,5 Vintra = somme(DDLi x si) / somme(DDLi) (292,2+32,5+352,5)/(10+6+8)= 28,2

Fobs=Vinter/Vintra= 4,624Fth= 3,40


ConclusionConclusion

• L’hypothèse « toutes les moyennes sont les mêmes » est rejetée.

toutes les moyennes ne sont pas les mêmes MAIS on ne sait pas ou sont les différences


ConclusionConclusion

• Les moyennes sont 10,2 ; 15,2 et 17,6

• On sait qu’il existe au moins une différence significative.– Entre 10,2 et 15,2 ?

– Entre 10,6 et 17,6 ?

– Entre 15,2 et 17,6 ?


Pour le savoir : T de Student…Pour le savoir : T de Student…

• Rappel : pour comparer deux moyennes :

• Ici, au lieu de calculer la variance commune, on va utiliser Vintra

MSAPACom

MSAPA

N1

N1σ

XXT

2NN

)²(s1)(N)²(s1)(NσMSAPA

MSMSGAPAAPACom

G2G1

G2G1

N1

N1Vintra

XXT


Pour le savoir : T de Student…Pour le savoir : T de Student…

1,947

71

11128,2

15,210,2T

• DDL des 2 groupes = (11-1) + (7-1) = 16

• T th = 2,120

La différence entre 10,2 et 15,2 N’est PAS significative

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