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HAMOUDI Yassine

Lycée Champollion

Grenoble

Dossier TIPE

Classification des surfaces topologiques

Concours ENS, année 2012-2013

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Classification des surfaces topologiques

HAMOUDI Yassine

TIPE ENS

Table des matières

Introduction ..........................................................................................................................................2

1 Triangulation des surfaces .............................................................................................................2

1.1 Complexes cellulaires .....................................................................................................................2

1.2 Triangulation ..................................................................................................................................3

2 Formes normales des complexes ...................................................................................................3

2.1 Transformations permises ..............................................................................................................3

2.2 Formes normales ............................................................................................................................4

2.3 Classification préliminaire ..............................................................................................................5

3 Etude des invariants topologiques ................................................................................................5

3.1 Orientation d’un complexe .............................................................................................................5

3.2 Caractéristique d’Euler-Poincaré ....................................................................................................5

3.3 Classification des surfaces ..............................................................................................................6

Conclusion ............................................................................................................................................6

Bibliographie ........................................................................................................................................7

Figures ...................................................................................................................................................8

Démonstrations .................................................................................................................................10

Fiche synoptique ...............................................................................................................................19

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Introduction

On cherche à établir la classification à « homéomorphisme près » des surfaces

topologiques compactes. Les deux définitions suivantes introduisent cette étude :

Définition 1. Une variété topologique de dimension n est un espace topologique séparé V à

base dénombrable tel que tout point x de V admet un voisinage homéomorphe à un ouvert

de .

Définition 2. Une surface est une variété connexe de dimension 2.

Exemple 1. Le tore, la sphère, la bouteille de Klein sont des surfaces.

1 Triangulation des surfaces

1.1 Complexes cellulaires

Définition 3. Une cellule A est un polygone convexe du plan dont chaque arête a été orientée

et étiquetée avec une lettre.

Remarque 1. Après avoir choisi une orientation du plan, on peut représenter une

cellule A par une séquence cyclique de lettres, appelée bord de A (notée B(A)), indiquant la

succession des arêtes de la cellule. On notera aussi la cellule obtenue à partir de A en

inversant l’orientation de chaque arête. Plus généralement, si X est un ensemble d’éléments

orientés, on appellera où est l’élément obtenu en inversant

l’orientation de x.

Exemple 2. Soit A la cellule suivante (on considérera toujours que le plan est orienté

dans le sens trigonométrique) :

On a et

Définition 4. Un complexe cellulaire (ou complexe) est un triplet K=(F,E,B) où F est un

ensemble fini non vide de cellules, E un alphabet fini (toute lettre, ou « arête »,

), et une fonction de bord qui

associe à toute cellule une séquence cyclique d’arêtes orientées de

3

représentant le bord de A (si , on a ). K doit

aussi vérifier :

(A1) Une arête et son inverse figurent, en tout, exactement deux fois dans

l’ensemble des bords des cellules de F (soit a figure deux fois et aucune fois, soit a et

figurent une fois chacune, etc.)

(A2) K n’est pas l’union disjointe de deux complexes vérifiant (A1) (K est connexe).

1.2 Triangulation

Définition 5. La réalisation géométrique d’un complexe K=(F,E,B) est l’espace quotient

obtenu en recollant les cellules de F par identification des arêtes identiques.

Exemple 3. La réalisation géométrique du complexe représenté figure 1 est un tore.

Théorème de triangulation de Radò. Toute surface compacte S peut être obtenue comme la

réalisation géométrique d’un complexe K (on dira que « K représente S »).

Remarque 2. Soit S une surface représentée par le complexe K=(F,E,B). Il est possible

d’étiqueter les sommets des cellules de K, de sorte que deux sommets ont même dénomination

si et seulement si ils correspondent à un même point de S.

Exemple 4. Les quatre sommets du complexe représenté figure 1 ont même

dénomination car ils correspondent à un même point du tore.

2 Formes normales des complexes

2.1 Transformations permises

On cherche à manipuler les complexes sans modifier leur réalisation géométrique.

Définition 6. Soit K=(F,E,B) un complexe. On définit deux opérations sur K :

(P1) Soit , soit b et c deux arêtes ne figurant pas dans . On définit un

nouveau complexe K’=(F’,E’,B’) en remplaçant toute arête a dans K par la succession

d’arêtes bc, et toute arête par (notamment ).

(P2) Soit de bord . Soit d une arête non présente dans

K. On définit un nouveau complexe K’ en dédoublant la cellule A en deux cellules A’ et A’’

telles que et

On notera les opérations inverses.

Exemple 5. Ces opérations sont illustrées figures 2 et 3.

4

Définition 7. Deux complexes K et K’ sont dits équivalents si l’un s’obtient à partir de l’autre

par une succession de transformations (P1), (P2) et de leurs inverses. On définit ainsi une

relation d’équivalence sur l’ensemble des complexes.

Proposition 1. Deux complexes équivalents ont des réalisations géométriques identiques.

Démonstration : Cette proposition, ainsi que les suivantes, est démontrée en annexe.

Remarque 3. Soit K=(F,E,B) un complexe. On peut regrouper les cellules de K, grâce

à , de manière à définir un nouveau complexe K’=(F’,E’,B’) équivalent à K et ne

comportant qu’une seule cellule.

Exemple 6. On transforme, figure 4, un complexe à deux cellules représentant la

sphère, en un complexe à une seule cellule représentant toujours la sphère.

On va déterminer un représentant de chacune des classes d’équivalences pour la relation

d’équivalence établie définition 7.

2.2 Formes normales

On définit deux types de complexes remarquables, dits « sous forme normale ».

Définition 8. Un complexe sous forme normale de type I de genre g ( ) est un complexe

K=(F,E,B) où et (si

g=0, on note et K représente la sphère).

Définition 9. Un complexe sous forme normale de type II de genre g ( ) est un complexe

K=(F,E,B) où .

Proposition 2. Tout complexe est équivalent à un complexe sous forme normale.

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2.3 Classification préliminaire

Il reste à déterminer la réalisation géométrique des complexes sous forme normale.

Proposition 3. La réalisation géométrique d’un complexe sous forme normale de type I et de

genre g est une sphère (si g=0) ou la somme connexe de g tores.

Exemple 7 : la réalisation géométrique (tore ) du complexe de type I de genre 1 est

illustrée figure 1.

Proposition 4. La réalisation géométrique d’un complexe sous forme normale de type II et de

genre g est la somme connexe de g plans projectifs.

Exemple 8 : la réalisation géométrique (plan projectif ) du complexe de type II de

genre 1 est illustrée figure 5.

Proposition 5. Toute surface topologique compacte est homéomorphe à une sphère, à la

somme connexe de plusieurs tores ou à la somme connexe de plusieurs plans projectifs.

3 Etude des invariants topologiques

Il faut désormais s’assurer que les surfaces évoquées proposition 5 sont deux à deux non

homéomorphes. On utilise pour cela deux invariants topologiques.

3.1 Orientation d’un complexe

Définition 10. Soit K=(F,E,B) un complexe. On appelle orientation de K un ensemble

où pour toute cellule , . Une orientation de K

est dite cohérente si toute arête et son inverse figurent chacune exactement une fois

dans l’ensemble des bords des cellules de .

Proposition 6. Les transformations (P1), (P2) et leurs inverses ne modifient pas le

caractère orientable ou non d’un complexe. Une surface S sera ainsi dite orientable si et

seulement si il existe un complexe K orientable représentant S. Le caractère orientable ou non

d’une surface est un invariant topologique.

Proposition 7. Les complexes de type I sont orientables. Les complexes de type II ne sont pas

orientables.

3.2 Caractéristique d’Euler-Poincaré

Définition 11. Soit K=(F,E,B) un complexe. On étiquette les sommets des cellules de K (cf.

remarque 2). Soit f le cardinal de F (nombre de cellules), e le cardinal de E (nombre d’arêtes)

et v le nombre de sommet distincts. On appelle caractéristique d’Euler (-Poincaré) de K le

nombre .

Exemple 9 : la caractéristique d’Euler du complexe illustré figure 1 est X=1-2+1=0.

6

Proposition 8. Les transformations (P1), (P2) et leurs inverses ne modifient pas la

caractéristique d’Euler d’un complexe. La caractéristique d’Euler d’une surface S sera ainsi

définie comme la caractéristique d’Euler d’un des complexes représentant S. La

caractéristique d’Euler d’une surface est un invariant topologique.

Proposition 9. La caractéristique d’Euler d’un complexe sous forme normale de type I de

genre g est . La caractéristique d’Euler d’un complexe sous forme normale de type II

de genre g est .

3.2 Classification des surfaces

Proposition 10. Deux surfaces S et S’ homéomorphes ont même orientabilité et même

caractéristique d’Euler.

Proposition 11. Il n’existe aucun homéomorphisme entre deux des surfaces évoquées

proposition 5.

Sphère g-Tores g-Plans projectifs

Caractéristique

d’Euler 2 2-2g 2-g

Orientable oui oui non

On obtient ainsi le théorème de classification des surfaces topologiques compactes :

Théorème de classification des surfaces. Toute surface compacte est homéomorphe à

exactement une des surfaces suivantes :

(1) La sphère

(2) La somme connexe de g tores

(3) La somme connexe de g plans projectifs

Conclusion

Le résultat précédent établit la classification des surfaces topologiques compactes. Par

ailleurs, les deux invariants topologiques précédemment décrits permettent de classer

facilement une surface quelconque. En effet, si on considère une surface S et un complexe K

quelconque représentant S, il n’est pas nécessaire de transformer ce complexe pour aboutir à

une forme normale. Il suffit de déterminer directement son orientabilité et sa caractéristique

d’Euler. S est alors homéomorphe à l’unique surface ayant même orientabilité et

caractéristique d’Euler (cf. tableau proposition 11).

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Bibliographie

[1] Koch R., Classification of surfaces, document de l’université de l’Oregon, 2005.

Disponible à http://pages.uoregon.edu/koch/math431/Surfaces.pdf

[2] Kinsey L. C., Topology of surfaces, Springer, New York, 1991.

[3] Gallier J., Xu D., A guide to the classification theorem for compact surfaces, Springer,

Berlin, 2013.

[4] Gramain A., Topologie des surfaces, Presses Universitaires de France, Paris, 1992.

[5] Teo C. H. G., Classification of surfaces, document de l’université de Chicago, 2011.

Disponible à http://math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2011/REUPapers/Teo.pdf

8

Figures

FIG 1 – Réalisation géométrique d’un complexe représentant le tore (deux arêtes de même

couleur ont même dénomination).

1

FIG 2 – Transformation (P1) (de gauche à droite) et (de droite à gauche).

a

a

9

FIG 3 – Transformation (P2) (de gauche à droite) et (de droite à gauche).

FIG 4 – La réalisation géométrique des complexes de droite ou de gauche est une sphère.

FIG 5 – La réalisation géométrique (plan projectif) du complexe illustré à gauche s’obtient en

identifiant les points antipodaux du complexe (les arêtes sont courbées sur le schéma dans un

souci de clarté). La surface de Boy (représentée à droite - image Wikipédia) en est une

immersion dans .

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Démonstrations

Démonstration de la proposition 1

Par définition même de la réalisation géométrique d’un complexe, on constate que les

transformations (P1), (P2) et leurs inverses ne modifient pas la réalisation géométrique d’un

complexe.


Considérons un complexe K. On va effectuer une suite de transformations (P1), (P2) (et leurs

inverses) de manière à aboutir à un complexe sous forme normale.

On suppose que K possède une seule cellule (cf. remarque 3).

Etape 1 : Eliminer les paires d’arêtes adjacentes d’orientations opposées.

Si à l’issue de cette étape le bord de la cellule est , le complexe est de type I et représente la

sphère.

Etape 2 : Eliminer tous les sommets sauf un.

On attribue des noms aux sommets du complexe (cf remarque 2).

Les manipulations suivantes permettent d’éliminer un sommet Q au profit d’un sommet P.

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On répète cette opération jusqu’à ce que le complexe ne possède plus qu’un seul sommet.

Ceci montre en particulier que toute surface peut être représentée par un complexe ne

comportant qu’un seul sommet (les complexes sous forme normale ont un unique sommet).

Etape 3 : Rassembler les paires d’arêtes de même orientation.

Si, quelle que soit la paire d’arêtes considérée, les deux arêtes ont même orientation, on

obtient un complexe de type I à l’issue de cette étape. Sinon, on poursuit avec l’étape 4.

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Etape 4 : Rassembler les paires d’arêtes d’orientations opposées.

A l’issue de cette étape, soit le complexe est de type I, soit il contient des paires d’arêtes

identiques consécutives (issues de l’étape 3) et des groupements de quatre arêtes de la

forme , issus de l’étape 4. Dans ce deuxième cas, le complexe est transformable en

un complexe de type II à l’aide des transformations suivantes :

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Le résultat se démontre par récurrence. Comme illustré figure 1, le complexe de type I et de

genre 1 est un tore. La somme connexe de deux tores s’obtient alors de la manière suivante :

7

La somme connexe s’effectue en ajoutant deux arêtes e à deux complexes représentant deux

tores :

+ =

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Ainsi, le complexe de type I de genre 2 est la somme connexe de deux tores.


Le résultat se montre de même par récurrence en remarquant que :


D’après le théorème de triangulation de Radò, toute surface S peut être représentée par un

complexe. Or, d’après la proposition 2, tout complexe est équivalent à un complexe sous

forme normale. Donc, d’après la proposition 1, toute surface est homéomorphe à l’une des

surfaces représentées par un complexe sous forme normale.

+

+

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Transformation P1 / :

Soit K=(F,E,B) un complexe orientable. Soit A une cellule de F. Supposons que l’orientation

choisie pour A dans l’ensemble (décrit en définition 10) soit celle illustrée par la flèche

(intérieure à A) suivante :

Les choix suivants d’orientation assurent que tout complexe déduit de K à partir des

transformations P1/ est orientable :

A l’inverse, un complexe K non orientable ne peut donc pas être transformé en un complexe

orientable à l’aide des seules opérations P1 / . Les transformations P1 /

préservent donc l’orientabilité.


Il apparaît clairement que les transformations P2 / préservent aussi l’orientabilité.

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· Le choix suivant d’orientation de l’unique cellule d’un complexe de type I convient pour

démontrer que tout complexe de type I est orientable :

· Deux choix d’orientation sont possibles pour un complexe de type II :

Aucune de ces orientations n’est cohérente (soit chaque arête figure deux fois, et donc

aucune arête n’apparaît, soit l’inverse).



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1

Appelons K le complexe de gauche. Notons f, e, v respectivement son nombre de cellules, de

sommets et d’arêtes. Appelons K’ le complexe de droite. Notons f’, e’, v’ respectivement son

nombre de cellules, de sommets et d’arêtes.

On a f’=f+1, e’=e+1, v’=v. Donc

Les transformations P1 / préservent la caractéristique d’Euler.


Appelons K le complexe de gauche. Notons f, e, v respectivement son nombre de cellules, de

sommets et d’arêtes. Appelons K’ le complexe de droite. Notons f’, e’, v’ respectivement son

nombre de cellules, de sommets et d’arêtes.

On a f’=f, e’=e+1, v’=v+1. Donc

Les transformations P2 / préservent la caractéristique d’Euler.

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On calcule la caractéristique d’Euler des complexes sous forme normale :

Sphère g-Tores g-Plans projectifs

Cellules f 1 1 1

Arêtes e 1 2g g

Sommets v 2 1 1

Caractéristique

d’Euler 2 2-2g 2-g


Ce résultat découle directement des propositions 6 et 8.


Le tableau figurant sous la proposition 11 nous indique qu’aucune des surfaces de la

classification ne partage même orientabilité et même caractéristique d’Euler avec une autre

surface mentionnée dans le tableau. La proposition 10 nous garantit alors que ces surfaces

sont deux à deux non homéomorphes.

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