Groupoïdes quantiques et logiques tensorielles

une introduction

Paul-André Melliès

Cours de l’Ecole Doctorale de Sciences Mathématiques

Paris, Juin 2008

1

Deux annonces

Mardi 9 Juin à 11h : en salle 6C01, au groupe de travail sémantique de PPS,

Tim Porter (Bangor)

Catégories enrichies et modèles des espaces évolutifs

mots clefs: topologie dirigée, S-cats, d.g. cats,construction cobar multipointée, espaces fibrés,cocycles tordus.

Vendredi 13 Juin à 14h : en salle 1C01, séance de questions autour du cours.

2

Plan de la séance

1 – Préludes logiques

2 – Préludes algébriques

3 – Point de jonction

3

Première partie

Préludes logiques

Logiques tensorielles et catégories de dialogue

4

Proof-knots

Objectif: définir une algèbre de ces noeuds logiques

5

La formule du buveur

Imaginez que vous entrez dans une buvette, et que A(x) signifie que le client x esten train de boire. La formule

∃y. (A(y) ⇒ ∀x.A(x))

affirme qu’il existe un client y (le buveur) tel que si y boit, alors tout le monde boit.

La formule est valide en logique classique, pas en logique intuitioniste.

6

Démonstration formelle de la formule du buveur

AxiomeA(x0) ` A(x0) AffaiblissementA(x0) ` ∀x.A(x) , A(x0) ⇒ droit` A(x0)⇒ ∀x.A(x) , A(x0) ∃ droit` ∃y.{A(y)⇒ ∀x.A(x)} , A(x0) ∀ droit` ∃y.{A(y)⇒ ∀x.A(x)} , ∀x.A(x)AffaiblissementA(y0) ` ∃y.{A(y)⇒ ∀x.A(x)} , ∀x.A(x) ⇒ droit` ∃y.{A(y)⇒ ∀x.A(x)} , A(y0)⇒ ∀x.A(x) ∃ droit` ∃y.{A(y)⇒ ∀x.A(x)} , ∃y.{A(y)⇒ ∀x.A(x)}

Contraction` ∃y.{A(y)⇒ ∀x.A(x)}

La logique formelle offre un «microscope» sur le raisonnement

7

Point de départ algébrique: la sémantique des jeux

Toute démonstration de la formule A initie un dialogue où

Joueur essaie de convaincre Opposant

Opposant cherche à réfuter Joueur

Une approche interactive de la logique et des langages de programmation

8

Illustration:

une démonstration interactive de la formule du buveur

La sémantique des jeux interprète la démonstration formelle précédente en unestratégie gagnante pour Joueur:

(1) Joueur choisit n’importe quel client y0 de la buvette,

(2a) Opposant perd s’il ne peut pas trouver de client x0 qui boit,

(2b) si Opposant trouve un client x0 en train de boire, il l’indique à Joueur,

(3) Joueur réagit immédiatement en remplaçant son témoin initial y0 par x0.

Saisit la «substantifique moëlle» de la démonstration formelle

9

Mais où se cache donc l’algèbre ?

10

Une brève histoire des jeux & des catégories

1977 André Joyal Une catégorie de jeux de Conway

1986 Jean-Yves Girard Logique linéaire

1992 Andreas Blass Une sémantique de la logique linéaire

1994 Martin Hyland Une catégorie de jeux et stratégies innocentesLuke Ong

1997 André Joyal Treillis libres et catégories bi-complètes

Un schisme apparent entre sémantique des jeux et logique linéaire

11

Dualité ludique

JoueurProgramme

joue le jeu

A

OpposantEnvironnement

joue le jeu

¬ A

La négation permute les rôles de Joueur et Opposant

12

Dualité ludique

OpponentEnvironment

joue le jeu

¬ A

JoueurProgramme

joue le jeu

A

La négation permute les rôles de Joueur et Opposant

13

La nature topologique de la négation

A l’interface entre topologie et algèbre

14

Catégories cartésiennes ferméesUne catégorie cartésienne C est fermée lorsqu’il existe un foncteur

⇒ : Cop × C −→ Cet une bijection naturelle

ϕA,B,C : C(A × B , C) � C(A , B ⇒ C)

CBA

× �

CBA

⇒

15

La catégorie cartésienne fermée libre

Les objets de la catégorie ccc-libre(C) sont les formules

A,B ::= X | A × B | A⇒ B | 1où X est un objet de la catégorie C.

Les morphismes sont les λ-termes simplement typés, modulo βη-conversion.

16

Le λ-calcul simplement typé

Variablex :X ` x :X

AbstractionΓ, x :A ` P :B

Γ ` λx.P :A⇒ B

ApplicationΓ ` P :A⇒ B ∆ ` Q :A

Γ,∆ ` PQ :B

Affaiblissement Γ ` P :BΓ, x :A ` P :B

ContractionΓ, x :A, y :A ` P :B

Γ, z :A ` P[x, y← z] :B

PermutationΓ, x :A, y :B,∆ ` P :CΓ, y :B, x :A,∆ ` P :C

17

Invariants de preuvesToute ccc D induit un invariant [[−]] des démonstrations modulo exécution.

ccc-libre(C)[[−]]

.. D

C

::[[

D’où le préjugé que la théorie de la preuve est intrinsèquement syntaxique...

18

Une similitude frappante avec les invariants de noeuds

Une catégorie de ruban est une catégorie monoïdale avec

B

B A

A A

A

A A∗

AA∗

tressage torsion unité de dualité counité de dualité

La catégorie de ruban libre est une catégorie de rubans ouverts

19

Invariants de noeuds

Toute catégorie ruban D induit un invariant de noeuds

ruban-libre(C)[[−]]

.. D

C

::\\

Un lien profond entre algèbre et topologie établi par Joyal et Street

20

Catégories de dialogueUne catégorie monoïdale symétrique C munie d’un foncteur

¬ : Cop −→ Cet d’une bijection naturelle

ϕA,B,C : C( A ⊗ B , ¬C ) � C( A , ¬ ( B ⊗ C ) )

¬

CBA

⊗ �

¬

CBA

⊗

satisfaisant une loi de cohérence.

21

La catégorie de dialogue libre

Les objets de la catégorie dialogue-libre(C) sont des jeux de dialoguecontruits par la grammaire

A,B ::= X | A ⊗ B | ¬A | 1où X est un objet de la catégorie C.

Les morphismes sont les stratégies innocentes et totales sur les jeux de dialogue.

Les preuves deviennent des variantes 3-dimensionnelles des noeuds...

22

Présentation de la logique par générateurs et relationsLa négation définit une paire de foncteurs adjoints

C

L

��⊥ Cop

R

]]

ainsi qu’en témoigne la série de bijections:

C(A,¬ B) � C(B,¬ A) � Cop(¬ A,B)

23

La topologie 2-dimensionnelle des adjonctionsL’unité et la counité de l’adjunction L a R sont dessinées comme suit:

η : Id −→ R ◦ L

L

Rη

ε : L ◦ R −→ Id

R

L

ε

Coup Opposant = foncteur R Coup Joueur = foncteur L

24

Une démonstration

L

L

L L

L

R

R

RR

R

Revèle la nature algébrique de la sémantique des jeux

25

Une élimination des coupures purement topologique

R

L

26

La dynamique 2-dimensionnelle de l’adjonction

ε

η

L

L

= LLη

εR

R

= RR

Reconstruit la manière usuelle de composer les stratégies en sémantique des jeux

27

Interlude: une observation combinatoire

Fait: il existe autant de preuves canoniques

2p︷ ︸︸ ︷R¬ · · · ¬ A `

2q︷ ︸︸ ︷R¬ · · · ¬ A

qu’il existe de fonctions croissantes

[p] −→ [q]entre les ordinaux [p] = {0 < 1 < · · · < p − 1} et [q].

Ce fragment de logique a la même combinatoire que les simplexes augmentés.

28

Les deux générateurs d’une monadeToute fonction croissante est la composée de faces et de dégénérences:

η : [0] ` [1]

µ : [2] ` [1]

De la même manière, toute démonstration est la composée des deux généra-teurs:

η : A ` ¬¬A

µ : ¬¬¬¬A ` ¬¬A

L’unité et la multiplication de la monade de double négation

29

Les deux générateurs en calcul des séquents

A ` A 2A , ¬A `1A ` ¬¬A

A ` A 6A , ¬A `5¬A ` ¬A 4¬A , ¬¬A `3¬A ` ¬¬¬A 2¬¬¬¬A , ¬A `1¬¬¬¬A ` ¬¬A

30

Les deux générateurs en diagrammes de cordeL’unité et la multiplication de la monade R ◦ L sont décrites ainsi:

η : Id −→ R ◦ L

L

Rη

µ : R ◦ L ◦ R ◦ L −→ R ◦ L

L

L L

R

RR

µ

31

Tenseur et négation

Une approche atomiste de la logique

32

Atomisme logique

Une démonstration π : A ` B est une chorégraphie linguistique où

Joueur essaie de convaincre Opposant

Opposant cherche à réfuter Joueur

que nous aimerions décomposer en particules logiques élémentaires.

La décomposition linéaire de la flèche intuitioniste

A ⇒ B = (!A) ( B

[1] une preuve de A( B utilise son hypothèse A une fois exactement,

[2] une preuve de !A est un sac contenant un nombre infini de preuves de A.

Andreas Blass découvrit cette décomposition en 1972...

34

Quatre composantes primitives de la logique

[1] la négation ¬

[2] la conjonction linéaire ⊗

[3] la modalité de répétition !

[4] la quantification existentielle ∃

Logique = Structure de données + Dualité

35

Quand un tenseur rencontre une négation...

Un fait bien connu: la monade de continuation est forte

(¬¬A) ⊗ B −→ ¬¬ (A ⊗ B)

Le point de départ de la théorie algébrique des effets de bord

36

Quand un tenseur rencontre une négation...

Les démonstrations sont engendrées par une force paramétrique

κX : ¬ (X ⊗ ¬A) ⊗ B −→ ¬ (X ⊗ ¬ (A ⊗ B))

qui étend la notion habituelle de monade forte:

κ : (¬¬A ) ⊗ B −→ ¬¬ (A ⊗ B)

37

Les démonstrations vues commediagrammes de cordes 3-dimensionnels

La démonstration «gauchère» de la formule

¬¬A ⊗ ¬¬B ` ¬¬(A ⊗ B)est dessinée ainsi

κ+κ+

ε

BA

R

A

B

R

RLL

L

38

Version catégorique de la traduction négative

Une reconstruction de la logique linéaire

39

Le point de vue algébrique (à la manière de Boole)

Les éléments niés d’une algèbre de Heytingforment une algèbre de Boole.

40

Le point de vue algébrique (à la manière de Frege)Une monade de double négation est commutative ssi elle est idempotente. Celasignifie que les équations topologiques suivantes sont vérifiées:

L L

R R

R R

= L L

R R

R R

R R

L L

L L

= R R

L L

L L

Dans ce cas, les objets niés forment une catégorie ∗-autonome.

41

Modalité de répétition

Un comonoïde au coeur de la logique linéaire

42

Comonoïdes

La modalité ! transporte tout objet A en un comonoïde commutatif:

!AdA−→ !A ⊗ !A !A eA−→ e

43

Répétition par démultiplication

Une démonstration du séquent

!A , !A ` Best interprété par un morphisme

!A ⊗ !A −→ BOn demande donc que !A soit un comonoïde, et on interprète la démonstration

!A ` Bpar le morphisme composé

!AdA−→ !A ⊗ !A −→ B

44

Sémantique catégorique de la modalité de répétitionUne adjonction monoïdale symétrique

M

L

!!⊥ L

M

bb

M cartésienne L symmétriquemonoidale fermée

! = L ◦M

45

Quantification existentielle

Un point de vue algébrique sur la quantification par Bill Lawvere

46

Fibrations au sens catégorique

E

F��

B

Tout élément X de la base B induit une catégorie FX appelée sa fibre. Ainsi, unefibration peut être vue comme un pseudo-foncteur

F : Bop −→ Cat.

Illustration: le foncteur fibre

F : Ensop −→ Cattransporte X ∈ Ens en l’ensemble des parties ℘(X) ordonné par inclusion.

47

Quantification existentielleTout morphisme de projection

X × Y −→ Xdans la base B induit un foncteur « variable fraiche »

newy : FX −→ FX×Y

Tout terme t de sorte Y induit un morphisme

X −→ X × Yet donc un foncteur « substitution »

[y := t] : FX×Y −→ FX

48

Une égalité élémentaire

= FX

FX

FX

new(y)

y := t

FX×Y

49

Quantification existentielleadjointe à gauche de la substitution

FX(∃y.P,Q) � FX×Y(P,newy.Q)

En particulier, la monade associée indique que

P `X×Y newy.∃y.Ppour tout prédicat dans la fibre FX×Y.

50

La loi d’introduction de la quantification existentielle

y := t

∃y

new(y)

∃y

y := t

FX×Y

FX

FX×Y

FX

Une analyse diagrammatique de la condition de Beck-Chevalley.

51

Deux logiques totémiques en héritage

Logique intuitionniste Logique classique

52

Ici, nous chercherons à dépasser cette dichotomie...

Logique intuitionniste Logique classique

53

afin de révéler...

54

afin de révéler...

les composants élémentaires de la logique !

55

Illustration: la formule du buveur

∃y

⇒vv

vvvv

v

HHHH

HHHH

A(y) ∀x

A(x)

valide en logique classique non démontrable en logique intuitionniste

qu’est-ce qui se cache derrière cette divergence ?

56

Transcription « classique » de la formule du buveur

¬!¬∃y

⊗vv

vvv

HHHH

HHH

A(y) ¬

∃xA(x)

La modalité de répétition ! autorise Joueur à revenir sur son choix initial.

57

Transcription « classique » de la formule du buveur

¬!¬∃y

⊗vv

vvv

HHHH

HHH

A(y) ¬

∃xA(x)

La formule décrit les règles exactes du jeu(et de l’espace d’interaction logique)

58

Transcription « classique » de la formule du buveur

¬!¬∃y

⊗vv

vvv

HHHH

HHH

A(y) ¬

∃xA(x)

La formule est valide en logique tensorielle.

59

Transcription « intuitionniste » de la formule du buveur

∃y

⊗ww

wwww

w

GGGG

GGGG

G

A(y) ¬

∃x

A(x)

Cette formule n’est pas valide en logique tensorielle, parce que Joueur ne peutpas revenir sur son choix de témoin y.

60

Seconde partie

Préludes algébriques

Groupoïdes quantiques et bicatégories de modules

61

Catégories monoïdalesUne catégorie monoïdale est une catégorie C équippée d’un foncteur:

⊗ : C × C −→ Cun objet:

Iet trois transformations naturelles:

(A ⊗ B) ⊗ C α−→ A ⊗ (B ⊗ C)

I ⊗ A λ−→ A A ⊗ I ρ−→ Aqui satisfont une série de propriétés de cohérence.

62

Le pentagone de MacLane

(A ⊗ B) ⊗ (C ⊗D)

α

''OOOOO

OOOOOO

OOOOOO

OOOOOO

OOOOOO

((A ⊗ B) ⊗ C) ⊗D

α

77ooooooooooooooooooooooooooooo

α⊗D

��

A ⊗ (B ⊗ (C ⊗D))

(A ⊗ (B ⊗ C)) ⊗D α // A ⊗ ((B ⊗ C) ⊗D)

A⊗α

OO

La paire critique de la règle d’associativité.

63

Identité triangulaire

(A ⊗ I) ⊗ B α //

ρ⊗B

��

A ⊗ (I ⊗ B)

A⊗λ

��

A ⊗ B = A ⊗ B

La paire critique des règles d’identité gauche et droite.

64

ExempleLa catégorie Ban dont les objets sont les espaces de Banach, et dont les mor-phismes

f : A −→ Bsont les applications linéaires telles que

∀a ∈ A, ‖ f (a)‖B ≤ ‖a‖A.La catégorie Ban est monoïdale, en prenant le produit tensoriel des espaces vec-toriels, puis en complétant la topologie.

La catégorie est monoïdale symétrique et fermée, avec

A( B = { f opérateur borné avec la norme usuelle. }

65

Diagrammes de corde

Une idée de Roger Penrose (1970)

Formalisée par André Joyal and Ross Street (depuis 1993)

66

Diagrammes de cordeUn morphisme f : A ⊗ B ⊗ C −→ D ⊗ E est dessiné ainsi

f

A B C

D E

67

Composition

Le morphisme Af−→ B g−→ C est dessiné ainsi

AA

C

g ◦ f =

g

f

A

C

B

Composition verticale

68

Produit tensoriel

Le morphisme (Af−→ B) ⊗ (C g−→ D) est dessiné ainsi

A⊗ C

B ⊗D

f ⊗ g = gf

A

B

C

D

Produit tensoriel horizontal

69

Exemple

f

A

B D

D

f ⊗ idD

70

Exemple

g

f

A

B

C

D

( f ⊗ idD) ◦ (idA ⊗ g)

71

Exemple

g

f

A

B

C

D

(idB ⊗ g) ◦ ( f ⊗ idC)

72

Sens préservé par déformation

g

f

A

B

C

D

=

g

f

A

B

C

D

( f ⊗ idD) ◦ (idA ⊗ g) = (idB ⊗ g) ◦ ( f ⊗ idC)

73

Groupes quantiques

Une brève introduction

74

Linéarisation d’un ensemble

Ens // Vect

X 7→ kXoù

Ens : la catégorie des ensembles et fonctions,Vect : la catégorie des espaces vectoriels sur un corps k

kX :={ ∑

x∈Xλx x | λx ∈ k presque partout nul.

}

75

Foncteur monoïdal

(Ens,×, 1) // (Vect,⊗, k)

k (X × Y) � kX ⊗ kY

k1 � k

Le foncteur est monoïdal et transporte donc

monoïdes 7→ algèbresgroupes 7→ algèbres de Hopf

76

Foncteur monoïdal

(Ens,×, 1) // (Vect,⊗, k)

k (X × Y) � kX ⊗ kY

k1 � k

Le foncteur est monoïdal et transporte donc

ensembles 7→ cogèbresmonoïdes 7→ bigèbresgroupes 7→ algèbres de Hopf

77

AlgèbresUne algèbre A est un espace vectoriel muni de deux applications linéaires

ke // A A ⊗ Amoo

tels que les diagrammes suivants commutent:

A ⊗ (A ⊗ A) α //

A⊗m

��

(A ⊗ A) ⊗ A m⊗A // A ⊗ A

m

��

A ⊗ A m // A

k ⊗ A e⊗A //

λ

��

A ⊗ A

m

��

A ⊗ kA⊗eoo

ρ

��

A A A

Un objet monoïde dans la catégorie (Vect,⊗, k).

78

CogèbresDualement: une cogèbre est un espace vectoriel C muni de deux applicationslinéaires:

k Cuoo d // C ⊗ C

tels que les diagrammes suivants commutent:

C

d

��

d // C ⊗ C

d⊗C��

C ⊗ C C⊗d // C ⊗ (C ⊗ C) α // (C ⊗ C) ⊗ C

k ⊗ C

λ

��

C ⊗ Cu⊗Coo C⊗u // C ⊗ kρ

��

C C

d

OO

C

79

BigèbresUne algèbre et une cogèbre, tel que les diagrammes

H ⊗H d⊗d //

m

��

H ⊗H ⊗H ⊗H

H⊗γ⊗H

��

H ⊗H ⊗H⊗

m⊗m

��

Hd // H ⊗H

H ⊗H

m

��

k ⊗H

d⊗H::vvvvvvvvvvvvvvvvvvv

� // H H ⊗ k

H⊗dddHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

�oo

k ⊗H H � //

d

��

�oo H ⊗ k

H ⊗Hu⊗H

ddHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH⊗u

::vvvvvvvvvvvvvvvvvvv

commutent.

80

Bigèbres

m

d

=d

mm

d=

d

mm

d

m

u

=u u

d

e

= e e

81

Algèbres de Hopf

Une bigèbre munie d’une application linéaire

S : H −→ Happelée l’antipode, telle que les deux applications linéaires

Hd−→ H ⊗H H⊗S−→ H ⊗H m−→ H

et

Hd−→ H ⊗H S⊗H−→ H ⊗H m−→ H

sont égales à

Hu−→ k e−→ H

82

Produit de convolution

Soit C une cogèbre et A une algèbre. Alors, l’espace vectoriel

Vect ( C , A )

est muni d’une structure d’algèbre, défini par le produit de convolution:

C d // C ⊗ C f⊗g // A ⊗ A m // A

C u // k e // A

83

Pourquoi produit de convolution?

Soit k(G) l’ensemble des fonctions G −→ k pour un groupe fini G.

k(G) d−→ k(G) ⊗ k(G)

g 7→∑

g1g2=g

g1 ⊗ g2

k(G) s−→ k(G)

g 7→ g−1

Produit de convolution sur Ens(G,A) � Vect(k(G),A) pour une algèbre (A, ·A)

f1 ∗ f2(x) =∑h∈G

f1(h) ·A f2(h−1x)

Exercice: exprimer en quel sens les algèbres de Hopf kG et k(G) sont duales.

84

Convolution et antipodeL’antipode S est l’inverse à droite et à gauche de l’identité

idH : H −→ H

En particulier, il n’existe qu’une antipode S au plus.

85

Algèbre de polynômes

Ens F // Vect S // AlgCom

X 7→ kX 7→ k[X]où

Ens : la catégorie des ensembles et fonctionsVect : la catégorie des espaces vectoriels

AlgCom : la catégorie des algèbres commutatives

k[X] :={ ∑

x∈Xn∈N

λx,n xn | λx,n ∈ k presque partout nul.}

k[X] est l’algèbre symétrique S(kX) associée à kX

86

Adjonctions

Ens AF

))⊥ AU

ii Vect AS

))⊥ AU

ii AlgCom

Ens(X,A) � Vect(kX,A) � AlgCom(k[X]},A)

• tout morphisme d’algèbre k[2] −→ A décrit un vecteur X =(

xy

)

• tout morphisme d’algèbre k[4] −→ A décrit une matrice M =(

a bc d

)Comment simuler le calcul de MX ?

87

La bigèbre M(2) des matrices 2 × 2

On tire de la définition habituelle de produit de matrice:(a bc d

)=

(a′a′′ + b′c′′ a′b′′ + b′d′′c′a′′ + d′c′′ c′b′′ + d′d′′

)=

(a′ b′c′ d′

) (a′′ b′′c′′ d′′

)la comultiplication de la bigèbre

d : k[a, b, c, d] −→ k[a′, b′, c′, d′] ⊗ k[a′′, b′′, c′′, d′′]

a 7→ a′ ⊗ a′′ + b′ ⊗ c′′b 7→ a′ ⊗ b′′ + b′ ⊗ d′′c 7→ c′ ⊗ a′′ + d′ ⊗ c′′d 7→ c′ ⊗ b′′ + d′ ⊗ d′′

tandis que la co-unité de la bigèbre M(2) provient de la matrice unité:

u : k[a, b, c, d] −→ k

a 7→ 1b 7→ 0c 7→ 0d 7→ 1

(a bc d

)=

(1 00 1

)

88

Co-action de la bigèbre M(2) sur l’algèbre k[x, y]

De nouveau, on part du calcul matriciel:(xy

)=

(ax′ + by′cx′ + dy′

)=

(a bc d

) (x′y′

)pour déduire une co-action:

k[x, y] −→ k[a, b, c, d] ⊗ k[x′, y′]

x 7→ a ⊗ x′ + b ⊗ y′y 7→ c ⊗ x′ + d ⊗ y′

Permet d’appliquer la « matrice »

M : k[a, b, c, d] −→ Aau « vecteur »

X : k[x, y] −→ Apar composition:

k[x, y] −→ k[a, b, c, d] ⊗ k[x, y] M⊗X−→ A ⊗ A −→ A.

89

Algèbre de polynômes non commutatifs

90

Algèbre de polynômes non commutatifs

Ens F // Vect T // Alg

X 7→ kX 7→ k〈X〉où

Ens : la catégorie des ensembles et fonctionsVect : la catégorie des espaces vectorielsAlg : la catégorie des algèbres

k〈X〉 :={ ∑

x1···xn∈X∗λx1···xn x1 · · · xn | λx1···xn ∈ k presque partout nul.

}

k〈X〉 est l’algèbre tensorielle T(kX) associée à kX

91

Algèbre de polynômes non commutatifs

Ens AF

))⊥ AU

ii Vect AT

))⊥ AU

ii Alg

Ens(X,A) � Vect(kX,A) � Alg(k〈X〉,A)

on appelle A-point de B tout morphisme d’algèbre B −→ A

Exemple: un A-point de k〈2〉 est un vecteur X =(

xy

)

92

Algèbre de polynômes non commutatifs

Ens AF

))⊥ AU

ii Vect AT

))⊥ AU

ii Alg

Ens(X,A) � Vect(kX,A) � Alg(k〈X〉,A)

on appelle A-point de B tout morphisme d’algèbre B −→ A

Exemple: un A-point de k〈4〉 est une matrice M =(

a bc d

)

93

Algèbre de polynômes non commutatifs

Ens AF

))⊥ AU

ii Vect AT

))⊥ AU

ii Alg

Ens(X,A) � Vect(kX,A) � Alg(k〈X〉,A)

on appelle A-point de B tout morphisme d’algèbre B −→ A

Comment généraliser le calcul de MX à ce cadre non commutatif ?

94

Plan quantique

Soit q un élément inversible du corps k, tel que q2 , −1.

On définit le plan quantique

kq[x, y] := k〈x, y〉 / Iq

où Iq est l’idéal bilatère engendré par yx − qxy.

Exemple: soit A l’algèbre des fonctions complexes sur C \ {0} et soit q , 0, 1. Alors

τq = f (qx) δq( f )(x) =f (qx) − f (x)

(qx − x)

définit un R-point de kq[x, y] pour R = End(A).

95

La bigèbre Mq(2) des matrices

La bigèbre des matrices 2 × 2 sur le plan quantique est définie parMq(2) := k〈a, b, c, d〉 / Jq

où Jq est l’idéal bilatère engendré par les relations:

bc = cbba = qab db = qbdca = qac dc = qcd

ad − da = 1 − qq bc.

Ces relations assurent que

(X′Y′

)=

(A BC D

) (XY

) (X′′Y′′

)=

(A CB D

) (XY

)

sont des R-points de kq[x, y] dès lors que(

XY

)est un R-point de kq[x, y].

96

Co-action de Mq(2) sur kq[x, y]

La bigèbre des matrices 2 × 2 sur le plan quantique est définie parMq(2) := k〈a, b, c, d〉 / Jq

où Jq est l’idéal bilatère engendré par les relations:

bc = cbba = qab db = qbdca = qac dc = qcd

ad − da = 1 − qq bc.

Ces relations assurent que

(X′Y′

)=

(A BC D

) (XY

) (X′′Y′′

)=

(A CB D

) (XY

)

sont des R-points de kq[x, y] dès lors que(

XY

)est un R-point de kq[x, y].

97

Co-action de la bigèbre Mq(2) sur l’algèbre kq[x, y]

On part des mêmes égalités matricielles:(xy

)=

(ax′ + by′cx′ + dy′

)=

(a bc d

) (x′y′

)pour déduire une co-action:

kq[x, y] −→ kq[a, b, c, d] ⊗ kq[x′, y′]

x 7→ a ⊗ x′ + b ⊗ y′y 7→ c ⊗ x′ + d ⊗ y′

Permet d’appliquer la « matrice »

M : kq[a, b, c, d] −→ Aà un « vecteur »

X : kq[x, y] −→ Apar composition – lorsque M et X commutent dans l’algèbre A:

kq[x, y] −→ kq[a, b, c, d] ⊗ kq[x, y] M⊗X−→ A ⊗ A −→ A.

98

Troisième partie

Point de convergence:

théorie de la représentation

Modules algébriques vs. modules catégoriques

99

Catégories de dialogueUne catégorie symétrique monoidale C muni d’un foncteur

¬ : Cop −→ Cet d’une bijection naturelle

ϕA,B,C : C(A ⊗ B , ¬C) � C(A , ¬ ( B ⊗ C ) )

¬

CBA

⊗ �

¬

CBA

⊗

100

Loi de cohérence

⊗

φCφB

D

¬

CBA

⊗

⊗

D

¬

CBA

⊗

D

¬

CBA

φB⊗C

101

Objets de FrobeniusUn objet de Frobenius F est un monoïde et un comonoïde tel que

m

d

=m

d=

m

d

une formulation possible du cobordisme de dimension 2

102

Objets de FrobeniusDéfinition équivalente: un objet de Frobenius F est un monoïde muni d’une forme

u : F −→ I

telle que le morphisme induit

m

u

=

soit l’évaluation d’une paire duale F a F.

103

Pseudo-objets de FrobeniusUn pseudo-objet de Frobenius dans une bicatégorie de modules catégoriques

m

d

�m

d�

m

d

est la même chose qu’une catégorie ∗-autonome... quand les deux modules met e sont des foncteurs.

Une observation par Brian Day et Ross Street (2003)

104

2-adjonctions laxes dans une catégorie de Gray

LL ⇒ε

η

L

L

η

εR

R

⇒ RR

105

satisfait deux propriétés de cohérence (a)

η

η

L

L

R

R

est la 3-cellule identité sur l’unité η de la 2-adjonction L a R,

106

satisfait deux propriétés de cohérence (b)

ε

ε

L

L

R

R

est la 3-cellule identité sur la counité ε de la 2-adjonction L a R,

107

Catégories de dialogue = modules de Frobenius laxesRelâchons l’équivalence d’auto-dualité

C � Cop

en une adjonction

C

L$$

⊥ Cop

R

cc

Théorie de la démonstration en interne

108

Modules algébriques vs. modules catégoriquesLa notion de quasi-coalgèbre de Hopf définie par Drinfeld coïncide avec unenotion de pseudo-monoïde autonome dans la bicatégorie des modules sur Vect.

Cette même notion décrit la notion de catégorie monoïdale autonome dans labicatégorie des modules sur Cat.

• Relecture de la construction double de Drinfeld,• Théorème fondamental des algèbres de Hopf,• Formule de Radford.

Evite les techniques de reconstruction.

Travaux de Day, Street, Lopez Franco – liés à ceux de Bruguières et Virelizier.

109

Théorème fondamental ds algèbres de Hopf

Toute quasi-bigèbre H définit un foncteur monoïdal:

Catégorie des H-comodulesà droite −→ Catégorie des H-Hopf modules

M 7→ H ⊗M

Ce foncteur est une équivalence lorsque H est une coquasi-algèbre de Hopf.

Cela caractérise l’existence d’une antipode lorsque H est de dimension finie.

110

Groupoïdes quantiquesUne adjonction monoidale dans la bicatégorie Comod ( k-Vect )

E ⊥

f∗

""

Vop ⊗ V

f ∗

bb

où les pseudomonoïdes E et Vop ⊗ V et les applications f sont ∗-autonomes.Vop a V a Vop

Une définition par Brian Day et Ross Street (2003)

(reconstruit une définition de bialgébroïde par Takeuchi)

111