Groupes, anneaux, modules et repr esentations

Groupes, anneaux, modules et representations

David RenardCentre de Mathematiques

Laurent Schwartz

Ecole Polytechnique

7 aout 2020

Table des matieres

I Groupes et actions de groupes 3I.1 Un exemple fondamental et quelques definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.2 Exemples de groupes et d’actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.3 Intersection de sous-groupes. Sous-groupe engendre par une partie . . . . . . . . . . . . . 9I.4 Le groupe symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II Representations lineaires des groupes finis 15II.1 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

II.1.1 Unitarisabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15II.1.2 Sous-representations, representations irreductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17II.1.3 Operateurs d’entrelacement. Lemme de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

II.2 Operations sur les representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19II.2.1 Sommes directes (ou coproduits) et produits directs . . . . . . . . . . . . . . . . . 19II.2.2 Produits tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22II.2.3 Representation contragrediente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23II.2.4 Pull-back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II.3 Coefficients matriciels et relations de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24II.3.1 Une application du lemme de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24II.3.2 Coefficients matriciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II.4 L’algebre de convolution F(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25II.5 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.6 Theoreme de Peter-Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.7 L’algebre des fonctions centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32II.8 Application a la decomposition des representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36II.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II.10 Representations induites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

II.10.1 Construction des representations induites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43II.10.2 Reciprocite de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44II.10.3 Caracteres des representations induites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

II.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

III Modules sur un anneau 49III.1 Definitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49III.2 Operations sur les modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

III.2.1 Sous-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51III.2.2 Intersection de sous-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52III.2.3 Sous-module engendre par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52III.2.4 Somme de sous-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52III.2.5 Modules quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52III.2.6 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53III.2.7 Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53III.2.8 Sommes directes internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

III.3 Theoremes d’isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54III.4 Suites exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

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III.5 Ideal annulateur. Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56III.6 Familles generatrices, familles libres, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

III.6.1 Modules libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58III.6.2 Propriete universelle des modules libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58III.6.3 Modules projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59III.6.4 Modules cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

III.7 Produits tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60III.7.1 Produits tensoriels sur un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60III.7.2 Restriction/Extension des scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62III.7.3 Produits tensoriels sur un anneau non commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

IV Interlude culturel 65

V Modules noetheriens, artiniens 67V.1 Conditions de finitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67V.2 Modules indecomposables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69V.3 Module simple. Suites de Jordan-Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

V.3.1 Suites de composition et theoreme de Jordan-Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

VI Modules de type fini sur un anneau principal 77VI.1 Anneau principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77VI.2 Decomposition des modules de type fini I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79VI.3 Decomposition des modules de type fini II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

VI.3.1 Application I : classification des groupes abeliens de type fini . . . . . . . . . . . . 85VI.3.2 Application II : reduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

VII Representations des algebres semi-simples 87VII.1 Forme trace et radical d’une k-algebre de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87VII.2 Algebres semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88VII.3 Application a la theorie des representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

VIII Problemes corriges 93VIII.1 Groupes abeliens finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93VIII.2 Paires de Gelfand et fonctions spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95VIII.3 Representations du groupe diedral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101VIII.4 Representations d’une extension centrale d’un groupe abelien . . . . . . . . . . . . . . . . 104

IX Sujets d’examen 107

Bibliographie 119

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Introduction

Ce texte constitue le � support pedagogique � d’un enseignement d’algebre du programme d’appro-fondissement/ Master 1 de l’Ecole Polytechnique. Il s’agit d’un cours d’algebre generale (MAT556). Laspecificite de ce cours, qui ne pretend a aucune originalite, est d’adapter le contenu au contenant et aucontexte. Le contenant : neuf seances de quatre heures de cours/travaux diriges. Le contexte : on l’illustreen citant un texte d’un panneau du Musee de l’X.

� Comment enseigner les sciences ? L’alliance entre theorie et applications est au cœur de l’identitespecifique de l’Ecole Polytechnique.

Si la pluridisciplinarite est cultivee par un socle de connaissances theoriques transcendant les frontieresdisciplinaires, elle doit aussi s’appliquer a des domaines particuliers pour produire des innovations tech-nologiques ou conceptuelles.

La creation de l’Ecole en 1794 s’accompagne ainsi de l’enjeu de concevoir une methode d’educationqui allie savoir et savoir faire �

Je m’etonne que le � savoir-etre� ne soit pas mentionne, sans doute un oubli... Pour ne pas me mettreune pression excessive, je vais traduire cela par le fait de devoir choisir, parmi la multitude d’optionspossibles que recouvre le terme � algebre generale �, un programme coherent, ou d’une part on introduitun certain nombre de notions et de concept fondamentaux (dont l’utilite va bien au dela du contenude ce cours) et d’autre part, on les developpe suffisamment pour arriver a des resultats significatifs, enetablissant quelques theoremes emblematiques.

Il n’est en effet pas question dans un volume de cours aussi contraint de faire un expose systematiquedes bases de l’algebre : groupes et actions de groupes, anneaux, corps, modules, theorie des representations,algebre homologique... il existe pour cela des traites respectables [4], [3]. On adopte plutot une voietransverse, en se donnant quelques buts precis et en s’arretant en chemin lorsque le paysage est joli. Lespre-requis sont classiques : l’algebre lineaire (sur le corps de reels et celui des complexes), le minimumd’algebre bilineaire et sesquilineaire.

Le cours se divise en deux parties, d’esprit assez distinct. Dans la premiere, on etudie la la theorie desrepresentations des groupes finis (dans des espaces vectoriels sur le corps des nombres complexe). On adonc une theorie bien circonscrite, dont les premiers resultats sont tres faciles a obtenir : la demonstrationdu lemme de Schur et du theoreme de Maschke ne prennent que quelques lignes. De la, la theorie sederoule sans grande difficulte. Ce cadre assez restreint permet toutefois d’aborder de nombreuses notionsfondamentales. Certaines de ces notions (des constructions universelles comme les sommes ou produitsdirects, le produit tensoriel, l’induction) seront revues dans un contexte plus large, dans la deuxiemepartie. Nous articulons notre expose autour de la notion de transformation de Fourier, et ce pour plusieursraisons. La premiere, pedagogique, est de frapper l’esprit des etudiants avec une terminologie surprenantedans le contexte de la theorie des groupes, la theorie de Fourier etant traditionnellement enseignee commeune partie de l’analyse (series de Fourier, transformation de Fourier L2 sur R). On insiste ici sur le fait quela notion importante est celle de groupe (du cercle unite du plan complexe, ou bien de R), qui permet dedefinir la transformation de Fourier et la convolution de fonctions dans un cadre general. Dans le cas desgroupes finis, les difficultes analytiques sont absentes. La deuxieme raison est de presenter les resultatsde maniere concise et conceptuelle : la transformation de Fourier realise un isomorphisme isometrique(tout le travail consiste a definir les espaces entre lesquels cette transformation de Fourier est definie). Latroisieme raison enfin est que cette formulation se prete bien a la generalisation aux groupes compacts,abordee dans un autre cours (MAT563). Une section est consacre a l’induction de representations et ala reciprocite de Frobenius. En termes modernes, l’induction est un foncteur, adjoint a droite de celui de

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restriction.

La deuxieme partie du cours est consacree a la theorie des modules sur un anneau. Pour ne pas seperdre dans trop de generalites, on se fixe ici comme objectif les theoremes de structure des modules detype fini sur les anneaux principaux, et les applications frappantes que l’on en tire immediatement (clas-sification des groupes abeliens finis, reduction des endomorphisme d’un espace vectoriel de dimensionfinie). Plutot que de suivre la voie habituelle passant par l’etude des matrices equivalentes a coefficientdans l’anneau (voir [3]), on adopte une approche basee la decomposition d’un module par le theoreme deKrull-Schmidt. Ce resultat decrit un module, seulement soumis a des hypotheses assez faibles de finitude,comme somme directe de modules de base, dits indecomposables. En general, on ne dispose pas d’unebonne description des modules indecomposables, ce qui limite la portee du theoreme, mais pour les mo-dules de type fini sur un anneau principal, on obtient quelque chose de tres explicite. Conceptuellement,ceci permet d’etablir un lien avec la premiere partie, que l’on approfondit en introduisant aussi les notionsde module simple et semi-simple, et le theoreme de Jordan-Holder sur les suites de composition. Dansun petit chapitre sur les algebres semi-simples, on applique ces outils a la theorie des representations desgroupes finis via l’algebre du groupe, ce qui permet de retrouver certains resultats de la premiere partiecomme sous-produit de la theorie generale des modules. En chemin, on developpe une partie significativede cette theorie generale (noetherianite, modules libres, projectifs, produits tensoriels, etc) qui fait partiede la culture de base en mathematique.

Il nous semble aussi que ce cours est le lieu propice a l’introduction du vocabulaire et de certainsconcepts de la theorie des categories, de maniere informelle. Par exemple, nous montrons que l’iso-morphisme de reciprocite de Frobenius (qui comme nous l’avons mentionne ci-dessus est un enonced’adjonction de foncteurs) est � naturel �. Dans le meme esprit, les sommes directes, produits directs etproduits tensoriels sont presentes comme solutions de problemes universels.

Ce texte fait de larges emprunts a quelques sources qu’il convient de mentionner. L’expose de latheorie des representations des groupes finis via la transformation de Fourier est inspiree de [2]. La partiesur les anneaux et modules est reprise en grande partie du cours donnee les annees precedentes par AnnaCadoret, qui elle-meme cite comme source un cours de Pierre Baumann [1] a l’Universite de Strasbourg,auquel j’ai aussi fait quelques emprunts directs.

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Chapitre I

Groupes et actions de groupes

H. Weyl

� Un principe directeur des mathematiques modernes tient en cettelecon : lorsque vous avez affaire a une entite S munie d’une certaine struc-ture, essayez de determiner son groupe d’automorphismes, le groupe destransformations de ses elements qui preservent les relations structurales.Vous pouvez esperer gagner une profonde comprehension de la constitutionde S de cette maniere. � Hermann Weyl 1.

Le but de ce chapitre est de rappeler les definitions et les resultats de basede la theorie des groupes, supposes deja plus ou moins connus du lecteur,en profitant pour introduire la terminologie et les notations employees parla suite.

I.1 Un exemple fondamental et quelquesdefinitions

Soit X un ensemble. Notons Aut(X) l’ensemble des bijections de X danslui-meme. Cet ensemble est muni de la loi de composition des applications :

(I.1.1) µ : Aut(X)×Aut(X)→ Aut(X), (φ, ψ) 7→ φ ◦ ψ.

La loi de composition est associative, c’est-a-dire que quels que soient φ1, φ2 et φ3 dans Aut(X),

(I.1.2) µ(µ(φ1, φ2), φ3) = µ(φ1, µ(φ2, φ3)),

ou plus simplement (φ1 ◦ φ2) ◦ φ3 = φ1 ◦ (φ2 ◦ φ3).

D’autre part, cette loi admet un element neutre, l’identite de X, notee IdX :

(I.1.3) (∀φ ∈ Aut(X)), IdX ◦ φ = φ ◦ IdX = φ.

Enfin, tout element φ de Aut(X) admet un inverse, c’est-a-dire un element de Aut(X), note φ−1,verifiant

(I.1.4) φ ◦ φ−1 = φ−1 ◦ φ = IdX .

Le lecteur instruit reconnaıt la le fait que Aut(X) est muni d’une structure de groupe. Pour les autres,nous rappelons la definition d’un groupe ci-dessous, qui consiste a prendre comme axiomes ces proprietesde Aut(X), de µ et de IdX .

1. Traduit librement d’une traduction de l’allemand en anglais... j’espere que le sens general se sera conserve.

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Remarquons que nous disposons aussi d’une application canonique

(I.1.5) a : Aut(X)×X −→ X, (φ, x) 7→ φ(x).

L’application a verifie les proprietes suivantes : quels que soient φ1, φ2 dans Aut(X) et x dans X,

(I.1.6) a(µ(φ1, φ2), x) = a(φ1, a(φ2, x)),

et de plus

(I.1.7) a(IdX , x) = x.

Autrement dit l’application a definit une action du groupe Aut(X) sur X. Donnons maintenant lesdefinitions generales.

Definition I.1.1. Un groupe est un ensemble G, muni d’une loi

(I.1.8) µ : G×G→ G, (g, h) 7→ gh := µ(g, h),

appelee produit du groupe, et verifiant :

(i) (associativite) quels que soient g, h, k dans G,

µ(µ(g, h), k) = µ(g, µ(h, k)),

(ou encore, (gh)k = g(hk) ),

(ii) (element neutre) il existe un element e = eG de G, appele l’element neutre, tel que pour toutg ∈ G, µ(g, e) = µ(e, g) = g (ou encore ge = eg = g),

(iii) (inverse) quelque soit g ∈ G, il existe un element de G, note g−1, tel que µ(g, g−1) = µ(g−1, g) = e(ou encore gg−1 = g−1g = e).

Remarque I.1.2. On deduit facilement de ces axiomes l’unicite de l’element neutre et de l’inverse d’unelement donne.

Definition I.1.3. Soit G un groupe, et X un ensemble. Une action (a gauche) de G sur X est la donneed’une application

(I.1.9) a : G×X → X, (g, x) 7→ g · x

verifiant :

(I.1.10) (∀g, h ∈ G), (∀x ∈ X), a(µ(g, h), x) = a(g, a(h, x)).

(ou plus simplement (gh) · x = g · (h · x)), et,

(I.1.11) (∀x ∈ X), a(e, x) = e · x = x.

Remarque I.1.4. On peut exprimer les proprietes des applications µ et a ci-dessus sans faire referenceaux elements de G et de X, et sans utiliser de quantificateurs universels, simplement par des diagrammescommutatifs :

G×G×Gµ×IdG //

IdG×µ��

G×G

µ

��G×G

µ// G

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exprime l’associativite de la loi µ, et :

G×G×Xµ×IdX //

IdG×a��

G×X

a

��G×X

a// X

est une traduction du fait que a est une action. Nous laissons en exercice au lecteur le soin de traduireen terme de diagrammes commutatifs les proprietes de l’element neutre.

Definition I.1.5. Un sous-ensemble H d’un groupe G est un sous-groupe s’il contient l’element neutree et est stable par produits et passage aux inverses.

Definition I.1.6. On appelle G-ensemble un ensemble X muni d’une action de G. Un G-morphisme duG-ensemble X vers le G-ensemble Y est une application f : X → Y compatible avec les actions de G,c’est-a-dire

f(g · x) = g · f(x), (x ∈ X), (g ∈ G).

On peut penser aux G-ensembles X, Y , comme a des ensembles munis de � symetries �, et auxG-morphismes comme a des applications preservant ces symetries. Si f est un G-morphisme entre lesG-ensembles X et Y , on dit aussi que f est G-equivariant.

Un morphisme de groupes est une application d’un groupe vers un autre qui preserve la structure degroupe :

Definition I.1.7. Soient G et H deux groupes. Une application de f : G → H est un morphisme degroupes si quels que soient g, h dans G,

f(gh) = f(g)f(h).

Dans ce cas, l’ensemble des g ∈ G tels que f(g) = eH est appele noyau du morphisme f . C’est unsous-groupe de G. On le note ker f . L’image du morphisme f est un sous-groupe de H que l’on noteIm f .

Remarque I.1.8. La donnee d’une action a d’un groupe G sur un ensemble X est equivalente a ladonnee d’un morphisme de groupes

A : G→ Aut(X).

On passe de a a A et reciproquement par

A(g)(x) = a(g, x), (x ∈ X), (g ∈ G).

On obtient de nombreux exemples de groupes et d’actions de groupes a partir de l’exemple fondamen-tal (X,Aut(X)) ci-dessus, et en supposant que l’ensemble X est muni d’une structure supplementaire,clairement specifiee par le contexte. On redefinit alors Aut(X) comme l’ensemble des bijections de Xdans lui-meme qui preservent, ainsi que leurs inverses, la structure de X, si celle-ci est clairement indiqueepar le contexte. Sinon, on peut toujours preciser : AutEns(.) pour la structure d’ensemble, AutGr(.) pourcelle de groupe, etc. Les applications µ et a definies comme en (I.1.1) et (I.1.5) verifient encore (I.1.2),(I.1.3), (I.1.4), (I.1.6), (I.1.7). Lorsque X est muni d’une certaine structure, on supposera, souvent demaniere implicite, qu’une action d’un groupe G sur X preserve cette structure. Remarquons aussi que sil’on part d’un ensemble X muni d’une certaine structure et de son groupe d’automorphismes Aut1(X),et que l’on rajoute une structure supplementaire, l’ensemble des elements de Aut2(X) preservant de plus

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cette nouvelle structure est un sous-groupe Aut2(X) de Aut1(X). Ces considerations un peu abstraitesseront illustrees par des exemples dans la section suivante.

Une autre maniere d’obtenir des exemples de groupes a partir d’une action d’un groupe G sur unensemble X est de considerer, pour toute partie Y de X

FixG(Y ) = {g ∈ G | (∀y ∈ Y ), g · y = y},

StabG(Y ) = {g ∈ G | (∀y ∈ Y ), g · y ∈ Y, g−1 · y ∈ Y },

On verifie facilement que l’on obtient ainsi des sous-groupes du groupe G, appele respectivement lefixateur et le stabilisateur dans G de Y . Il est interessant de remarquer que tout sous-groupe d’ungroupe G peut s’obtenir ainsi.

Remarque I.1.9. La condition g−1 ·y ∈ Y dans la definition du stabilisateur est superflue si l’ensembleY est fini, mais indispensable en general pour assurer que StabG(Y ) est un sous-groupe de G.

Definition I.1.10. Soit G un groupe agissant sur un ensemble X. On appelle orbite d’un point x de Xsous l’action de G l’ensemble des points de la forme g · x, g decrivant le groupe G. Notons G · x l’orbited’un point x de X. On dit que l’action de G sur X est transitive s’il n’y a qu’une seule orbite, et qu’elleest fidele si le morphisme

A : G→ Aut(X)

defini par l’action est injectif. On dit que l’action est libre si tout element different de l’element neutreagit sans point fixe. Une action libre est fidele.

Proposition I.1.11. Soit G un groupe agissant sur un ensemble X. La relation binaire

x ∼ y si G · x = G · y

est une relation d’equivalence sur X. Les orbites de l’action de G forment donc une partition de l’ensembleX.

Nous laissons la verification de ce fait au lecteur.

On note G\X l’ensemble des orbites de l’action de G sur X. On appelle systeme de representants desorbites de G dans X un ensemble {xi} d’elements de X tel que

{xi} → G\X, xi 7→ G · xi

soit une bijection.

Exemple I.1.12. Soit G soit un groupe. Le groupe Aut(G) est l’ensemble des automorphismes degroupes de G dans lui-meme. Le groupe G agit sur lui-meme par

a : G×G→ G, (g, h) 7→ ghg−1.

On parle de l’action de G sur lui-meme par conjugaison, ou d’action adjointe. Le morphisme de groupesG→ Aut(G) associe a a par la remarque I.1.8 est note Ad :

Ad(g) ∈ Aut(G), Ad(g)(h) = ghg−1.

Les orbites de G dans lui-meme pour cette action s’appellent classes de conjugaison. Un groupe estabelien si et seulement si ses classes de conjugaison sont des singletons.

Exemple I.1.13. Soit G un groupe et soit X l’ensemble de ses sous-groupes. Alors G agit sur X parconjugaison : si H est un sous-groupe de G,

g ·H = {ghg−1 |h ∈ H}.

Si FixG({H}) = G, ou de maniere equivalente, si l’orbite de H sous G est reduite a {H}, alors on ditque le sous-groupe H est distingue, dans G.

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Exemple I.1.14. Le groupe G agit sur lui-meme par translation a gauche

l : G×G→ G, (g, h) 7→ gh.

Cette action ne preserve pas la structure de groupe de G. Notons Bij(G), pour le distinguer de Aut(G),le groupe des bijections de l’ensemble G dans lui meme. Le morphisme de groupes G→ Bij(G) associea l par la remarque I.1.8 est note L. On a L(g)(h) = gh.

On a aussi une action de G sur lui-meme par translation a droite

r : G×G→ G, (g, h) 7→ hg−1.

Le morphisme associe est note R. Remarquons le passage a l’inverse qui permet de replacer les elementsde G dans le bon ordre :

R(g1g2)(h) = h(g1g2)−1 = (hg−12 )g−1

1 = R(g1)(R(g2)(h))

= (R(g1) ◦R(g2))(h).

Ces actions sont transitives.

Exemple I.1.15. Soit H un sous-groupe de G. Alors H agit sur G par translation a gauche, parrestriction de l’action de l’exemple precedent. Les orbites s’appellent les classes a droite. On note Hgl’orbite de g ∈ G et H\G l’ensemble des classes a droite.

Bien sur, H agit aussi sur G par translation a droite, les orbites s’appellent les classes a gauche, onnote gH l’orbite de g ∈ G et G/H l’ensemble des classes a gauche.

Proposition I.1.16. Soit G un groupe agissant sur un ensemble X. Alors, pour tout x ∈ X, si l’onnote Gx = FixG({x}), l’application

G/Gx → G · x, gGx 7→ g · x

est bijective.

Demonstration. Cette application est bien definie, car si h ∈ Gx, (gh) · x = g · x. Elle est surjective pardefinition de l’orbite, et injective par definition de Gx.

Corollaire I.1.17 (Formule des classes). Soit G un groupe fini agissant sur un ensemble X fini et soit{xi} un systeme de representants des orbites de G dans X. Alors

|X| =∑O∈G\X

|O| =∑i

|G||Gxi |

Remarque I.1.18. Soit G un groupe agissant sur un ensemble X, l’action etant libre et transitive.Alors il decoule facilement des definitions que tout choix d’un point de base x ∈ X donne une bijectionX ' G. On dit alors que X est un espace homogene principal sur G. Par exemple, si G est un espacevectoriel sur un corps k, un espace homogene principal sur G est un espace affine.

L’action d’un groupe G sur un ensemble X muni d’une certaine structure, est un moyen puissantd’obtenir des informations sur la structure du groupe G, ou sur celle de l’espace X, selon la nature duprobleme considere.

I.2 Exemples de groupes et d’actions de groupes

Exemple I.2.1. Le groupe des bijections (on dit aussi permutations dans ce contexte) de l’ensemble{1, . . . , n} est note Sn.

7

Exemple I.2.2. Soit V un espace vectoriel sur un corps k. L’ensemble des applications lineaires bijectivesde V dans lui-meme est souvent note GL(V ) plutot que Aut(V ). On appelle ce groupe le groupe generallineaire.

Une action d’un groupe G dans un espace vectoriel V qui preserve la structure d’espace vectoriel (onparle aussi d’action lineaire) est donc equivalent a la donnee d’un morphisme de groupes :

A : G→ GL(V ).

De telles actions apparaissent dans de nombreux contextes en mathematiques (leur etude est l’objet dece cours), et l’importance de ce concept justifie une terminologie specifique. On dit que l’espace vectorielV , muni d’une action lineaire d’un groupe G, est une representation du groupe G. Lorsque V = kn, onutilise la notation GLn(k) pour GL(V ).

Exemple I.2.3. Soit G un groupe agissant sur un ensemble X, et soit F(X) l’espace vectoriel desfonctions sur X a valeurs complexes. Alors F(X) est lui aussi muni d’une action lineaire de G, donneepar

(g · f)(x) = f(g−1 · x), (g ∈ G), (f ∈ F(X)), (x ∈ X).

Cette nouvelle action, d’une certaine maniere, contient autant d’information que l’ancienne, maispresente l’avantage de pouvoir etre etudiee par les techniques d’algebre lineaire. C’est pourquoi cecours s’attache plus particulierement a l’etude des actions lineaires des groupes, c’est-a-dire, de leursrepresentations.

Exemple I.2.4. Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur C, muni d’une structure hilbertienne,c’est-a-dire d’un produit produit hermitien defini positif. Le sous-groupe de GL(V ) preservant ce produithermitien est note U(V ) et est appele groupe unitaire. Lorsque V = Cn, muni du produit hermitiencanonique, on le note U(n). Une action d’un groupe G dans V preservant la structure hilbertienne estequivalente a la donnee d’un morphisme de groupes :

A : G→ U(V ).

On dit alors que la representation de G dans V est unitaire.

Exemple I.2.5. Soit V un espace vectoriel sur R muni d’un produit scalaire. Le sous-groupe de GL(V )preservant ce produit scalaire est note O(V ) et est appele groupe orthogonal. Lorsque V = Rn, muni duproduit scalaire canonique, on le note O(n).

Si p+ q = n, munissons Rn de la forme bilineaire symetrique :

(x, y)p,q = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xpyp − xp+1yp+1 − · · ·xnyn,

ou x = (x1, . . . xn), y = (y1, . . . , yn) sont des vecteurs de Rn. Cette forme est non degeneree, de signature(p, q). Le sous-groupe de GLn(R) preservant la forme (. , .)p,q est note O(p, q). Si l’on note Jpq la matricediagonale formee de 1 puis de −1 avec pour multiplicites respectives p et q, on a

O(p, q) = {A ∈ GLn(R) | AJpq tA = Jpq}.

Le groupe O(3, 1) joue un role important comme groupe de symetrie en electromagnetisme et en theoriede la relativite. Il s’appelle le groupe de Lorentz.

Exemple I.2.6. Si V est un espace vectoriel de dimension finie sur le corps k, on note SL(V ) lesous-groupe de GL(V ) des elements de determinant 1. Ce groupe s’appelle le groupe special lineaire.Remarquons que

det : GL(V )→ k∗

est un morphisme de groupes, et donc SL(V ) est son noyau. L’intersection d’un sous-groupe H de GL(V )avec SL(V ) sera notee SH. En reprenant les exemples ci-dessus, on obtient SU(V ), SO(V ), SO(p, q)...

Exemple I.2.7. Considerons l’action naturelle de O(2) dans R2, et soit Y ⊂ R2 un polygone regulier an cotes (n ≤ 3), centre en 0. Le sous-groupe de O(2) laissant invariant Y est le groupe diedral Dn. Sonordre est 2n. Son intersection avec SO(2) est isomorphe a Z/nZ.

8

Exemple I.2.8. Si k est un corps, et si K est une extension de k (c’est-a-dire un autre corps contenantk), alors le groupe des automorphismes du corps K fixant tout element de k est note Autk(K). Lorsquel’extension K/k possede certaines proprietes (plus explicitement, etre separable et normale) le groupeAutk(K) s’appelle le groupe de Galois de l’extension K/k. On le note aussi Gal(K/k). Si P est unpolynome a coefficients dans k, Autk(K) agit sur l’ensemble des racines de P dans K.

Exemple I.2.9. Si X est un espace metrique, ou plus generalement topologique, Aut(X) est l’ensembledes homeomorphismes de X dans lui-meme. Si a est une action d’un groupe G sur X, on demandeque les applications a(g, .) : X → X soient continues. Dans le cas ou X est une variete differentiable,Aut(X) est l’ensemble des diffeomorphismes de X dans lui-meme. Les actions sur X sont alors supposeesdifferentiables.

I.3 Intersection de sous-groupes. Sous-groupe engendre par unepartie

Soit G un groupe et (Hi)i∈I une famille de sous-groupe de G. Il est clair que l’intersection ensemblisteH =

⋂i∈I Hi est un sous-groupe de G, car elle est stable par multiplication et passage a l’inverse, et

contient l’element neutre.

Definition I.3.1. Soit X une partie d’un groupe G. Le sous-groupe de G engendre par X est l’intersec-tion de tous les sous-groupe de G contenant X. C’est donc le plus petit sous-groupe de G contenant X.On le note 〈X〉.

Cette definition a l’avantage de ne pas utiliser la notation d’appartenance ensembliste ∈, mais demaniere concrete, on voit facilement que

〈X〉 =

{r∏i=1

gnii , gi ∈ X, ni ∈ Z

}

c’est-a-dire que les elements de 〈X〉 sont les produits finis de puissances (pouvant etre negatives))d’elements de X.

I.4 Le groupe symetrique

Nous rappelons rapidement dans cette section les notations et les principaux resultats concernant legroupe symetrique Sn, le groupe des permutations de l’ensemble {1, . . . , n}.

Nous adoptons les notations usuelles pour les elements de Sn. Ainsi, par exemple

σ =

(1 2 3 4 54 2 5 1 3

)est la bijection de l’ensemble {1, 2, 3, 4, 5} envoyant 1 sur 4, 2 sur 2, 3 sur 5, 4 sur 1 et 5 sur 3.

Ceci permet d’effectuer facilement les calculs de produits, si l’on n’oublie pas que dans une compositionde fonctions f ◦ g, c’est la fonction g qui agit avant f :(

1 2 3 4 53 4 2 5 1

)(1 2 3 4 54 2 5 1 3

)=

(1 2 3 4 55 4 1 3 2

)Soit σ ∈ Sn et k ∈ {1, . . . , n}. On appelle par abus de langage orbite de k sous σ l’orbite de k sous

l’action du sous-groupe 〈σ〉 de Sn (〈σ〉 est le sous-groupe engendre par σ).

Voyons maintenant certaines permutations particulieres. Si i et j sont deux elements differents de{1, . . . , n}, on appelle transposition de i et de j la permutation de Sn (notee τij) qui echange i et j etlaisse tous les autres elements fixes.

9

On appelle cycle une permutation dont toutes les orbites sauf au plus une sont des singletons. Onappelle longueur du cycle le cardinal de cette orbite particuliere, la longueur de l’identite etant 1. Ainsiune transposition est un cycle de longueur 2.

On appelle permutation circulaire de Sn une permutation n’ayant qu’une seule orbite. Les permuta-tions circulaires sont donc les cycles de longueur n.

On peut aussi noter les permutations selon leur decomposition en cycles, par exemple,

σ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 97 4 6 9 2 5 8 1 3

),

est aussi noteeσ = (178)(249365).

De meme, on note aussi (i, j) la transposition τij .

Remarquons qu’il n’y a pas d’unicite d’une telle ecriture :

σ = (178)(249365) = (817)(365249) ∈ S9,

mais, en dehors de ces ambiguıtes evidentes, la decomposition en cycles est essentiellement determinee.

On omet generalement les cycles de longueur 1 (les points fixes) d’une telle ecriture :

σ = (178)(2)(4536)(9) = (178)(4536).

Remarquons que dans cette derniere ecriture, il n’est plus apparent que σ soit un element de S9.

La decomposition de {1, . . . , n} en orbites sous σ est evidente dans une ecriture en cycles de σ.

Theoreme I.4.1. Les transpositions τi,i+1, i = 1, . . . n− 1, engendrent Sn.

Demonstration. (Esquisse). Par recurrence sur n, on montre que Sn est engendre par les transpositions.On montre ensuite qu’une transposition quelconque est produit de transpositions de la forme τi,i+1.

Ecrivons une permutation σ comme produit de transpositions. Bien sur, il n’y a pas unicite de cetteecriture, ni meme unicite du nombre de transpositions intervenant dans cette ecriture. En revanche, laparite de ce nombre de transpositions est determinee par σ, comme l’affirme le theoreme suivant :

Theoreme I.4.2. Soit σ ∈ Sn. Il y a egalite entre les nombres suivants :

(i) (−1)T ou T est le nombre de transpositions dans une ecriture de σ comme produit de transpositions.

(ii) (−1)D, D = n−m ou m est le nombre d’orbites de σ dans {1, . . . , n}.(iii) (−1)S ou S est le cardinal de l’ensemble des couples (i, j) ∈ {1, . . . , n}2 tels que i < j et

σ(i) > σ(j).

(iv)∏i<j

σ(i)−σ(j)i−j .

On appelle ce nombre la signature de σ et on le note sgn(σ). Si sgn(σ) = 1, on dit que σ est paire,et impaire si sgn(σ) = −1

Demonstration. l’egalite entre (iii) et (iv) est evidente car tous les facteurs (i − j), au signe pres,apparaissent une et une seule fois au numerateur et au denominateur. La valeur absolue de (iv) est donc1, et son signe est donne par le nombre de couples (i, j) tels que i < j et σ(i) > σ(j).

Montrons l’egalite entre (i) et (ii), ce qui montre au passage que (i) est bien defini, c’est-a-dire nedepend pas de l’ecriture de σ en un produit de transpositions. Notons ε(σ) la quantite definie en (ii).On montre d’abord que si τ = τij est une transposition ε(στ) = −ε(σ), en distinguant deux cas :

- si i et j sont dans la meme orbite sous σ, alors les orbites sous στ sont les memes que celles sous σ,sauf l’orbite contenant i et j qui se scinde en deux.

- si i et j ne sont pas sont dans la meme orbite sous σ, alors les orbites sous στ sont les memes quecelles sous σ, sauf celles contenant i et j qui n’en forment plus qu’une.

On raisonne alors par recurrence sur le nombre de transpositions dans une ecriture de σ commeproduit de celles-ci. Ceci montre au passage que la signature d’un cycle de longueur k est (−1)k−1.

10

Montrons maintenant que (i) = (iv). On a, quels que soient σ, τ ∈ Sn,∏i<j

στ(i)− στ(j)

i− j=∏i<j

στ(i)− στ(j)

τ(i)− τ(j)

∏i<j

τ(i)− τ(j)

i− j

=∏i<j

σ(i)− σ(j)

i− j∏i<j

τ(i)− τ(j)

i− j

par un changement de variables dans le premier produit. Si l’on note ε′(σ) la quantite definie en (iv), on adonc ε′(στ) = ε′(σ)ε′(τ). On conclut alors encore par recurrence sur le nombre de transpositions dans uneecriture de σ comme produit de celles-ci, en remarquant que ε′(τ) = −1 si τ est une transposition.

Corollaire I.4.3. L’applicationSn → {±1}, σ 7→ sgn(σ)

est un morphisme de groupes.

Le noyau du morphisme sgn, c’est-a-dire l’ensemble des permutations paires, est appele le groupealterne, et note An.

Exercice I.4.4. Montrer que le groupe alterne An est engendre par les 3-cycles. Montrer que si n ≥ 5,tous les 3-cycles sont conjugues dans An .

Le but de l’exercice est maintenant de montrer que An, n ≥ 5, est simple, c’est-a-dire qu’il n’admetpas de sous-groupe distingue autre que lui-meme et le sous-groupe trivial.

Soit H un sous-groupe distingue de An, non trivial. La question precedente montre qu’il s’agit devoir que H contient un 3-cycle. Soit σ ∈ H, σ 6= Id tel que le nombre de points fixes de σ soit maximal.On distingue deux cas :

- σ contient un cycle de longueur au moins egale a 3. A conjugaison pres, on peut supposer queσ = (123...).... Si σ est un 3-cycle, c’est gagne, sinon, il existe i, j /∈ {1, 2, 3} tels que i et j ne soient pasfixes par σ. En effet, la seule autre possibilite, σ de la forme (123j) est exclue car c’est une permutationimpaire. Posons τ = (1ij) et formons γ = τστ−1σ−1. Montrer que γ est dans H, non trivial, et a plusde points fixes que σ. Conclure.

- σ est un produit de transpositions disjointes. A conjugaison pres, σ = (12)(34).... Posons τ = (345),et γ = τστ−1σ−1. Conclure comme dans le cas precedent.

Nous allons decrire les classes de conjugaison dans le groupe symetrique Sn. Rappelons qu’unepartition de l’entier n est une collection d’entiers ≥ 1 (avec repetitions) {n1, . . . , nk} tel que

n = n1 + · · ·+ nk.

On note souvent une partition en ordonnant les ni dans l’ordre decroissant :

λ = (n1, . . . , nk)

avec n1 ≥ n2 ≥ · · · ≥ nk, n = n1 + · · · + nk. Une autre notation souvent utilisee pour une partition estd’indiquer, pour chaque entier 1, 2, . . . la multiplicite avec lequel celui-ci intervient dans la partition parun exposant (en omettant les entiers n’intervenant pas) . Par exemple, la notation

λ = (12, 22, 41)

designe la partition10 = 4 + 2 + 2 + 1 + 1.

A chaque element σ ∈ Sn, on associe une partition de n donnee par les longueurs des cycles dans ladecomposition en cycles de σ. Par exemple, σ = (178)(2)(4536)(9) donne la partition 9 = 4 + 3 + 1 + 1.

Theoreme I.4.5. Deux permutations σ et τ de Sn sont conjuguees si et seulement si les partitions den donnees par leur decomposition en cycles sont les memes.

La demonstration est laissee en exercice.

Exercice I.4.6. Calculer le cardinal de la classe de conjugaison de Sn correspondant a la partitionλ = (λα1

1 , . . . , λαrr ) de n.

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I.5 Exercices

Exercice I.5.1. Produit semi-direct

— 1. Le point de vue interne. Soient G un groupe et H et N deux sous-groupes de G verifiant :

(a) N est distingue dans G,

(b) H et N engendrent G, H ∩N = {e}.Montrer que tout element g ∈ G se decompose de maniere unique sous la forme g = nh, n ∈ N ,

h ∈ H. En deduire que l’on a une bijection

N ×H → G, (n, h) 7→ nh.

Montrer que la loi de groupe sur N ×H induite de celle de G par transport de structure est

(n, h)(n′, h′) = (n(hn′h−1), hh′).

— 2. Le point de vue externe. Soient H et N deux groupes, et supposons que H agisse sur N parautomorphismes de groupe, c’est-a-dire que l’on dispose d’un morphisme de groupes

φ : H → Aut(N),

et l’on pose h · n = φ(h)(n). On definit sur N ×H le produit

(n, h)(n′, h′) = (n (h · n′), hh′).

Montrer que N ×H muni de ce produit est un groupe, que l’on appelle le produit semi-direct de N etH, et que l’on note N oH. Verifier que les parties N × {eH} et {eN} ×H sont deux sous-groupes deN oH, respectivement isomorphes a N et H. On identifie ainsi N et H a deux sous-groupes de N oH.Montrer qu’ils verifient les hypotheses du 1.

— 3. Extensions. Une suite exacte de groupes est une suite de groupes Gi, et de morphismes φi :Gi → Gi+1,

· · ·Gi−1φi−1−→ Gi

φi−→ Gi+1φi+1−→ Gi+2

φi+2−→ · · ·telle que pour tout i, kerφi+1 = Imφi. Une suite exacte courte est une suite exacte de la forme

{e} → Nφ−→ G

ψ−→ H → {e}.

Le morphisme φ est injectif, et ψ est surjectif.

Supposons que soit donnee une suite exacte courte comme ci-dessus. Une section de cette suite exacteest un morphisme de groupes s : H → G tel que ψ ◦ s = IdH .

Montrer que s est injective. Montrer que φ(N) et s(H) sont deux sous-groupes verifiant les hypothesesdu 1. Faire le lien avec le point de vue externe.

— 4. Exemples. Montrer que le groupe diedral Dn est isomorphe au produit semi-direct Z/nZoZ/2Z.Determiner les classes de conjugaison de Dn. Montrer que le groupe E(2) des isometries affines du planest le produit semi-direct R2 oO(2). Chercher dans la litterature ou sur internet la definition du groupede Poincare.

Exercice I.5.2. Soit G un groupe fini, operant sur un ensemble S. Alors G opere naturellement sur leproduit cartesien Sn = S × . . .× S pour chaque entier n par

g · (s1, . . . , sn) = (g · s1, . . . , g · sn).

Definissons S(n) ⊂ Sn comme l’ensemble des n-uplets d’element distincts de S :

S(n) = {(s1, . . . sn) ∈ Sn|i 6= j ⇒ si 6= sj}.

Alors G opere sur S(n). On dit que l’action de G sur S est n-transitive si l’action de G sur S(n) esttransitive.

Montrer que l’action de An sur {1, 2, . . . , n} est n− 2-transitive.

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Exercice I.5.3. Soit G un groupe. Une presentation du groupe G est la donnee d’un ensemble G ={gi, i ∈ I} d’elements de G engendrant G, et d’un ensemble R de relations, une relation etant une egalitede la forme :

(I.5.1) h1h2 . . . hn = e, hj ∈ G ∪ G−1, j = 1, . . . , n.

de telle sorte que la propriete universelle suivante soit verifiee : pour tout groupe G′ admettant unsysteme de generateurs G′ = {g′i, i ∈ I} (c’est le meme I) verifiant les relations

h′1h′2 . . . h

′n = e, h′j ∈ G′ ∪ G′

−1, j = 1, . . . , n

des que h1h2 . . . hn = e est dans R, avec h′j = g′i si hj = gi et h′j = (g′i)−1 si hj = g−1

i , il existe un uniquemorphisme de groupes φ : G→ G′ tel que φ(gi) = g′i pour tout i ∈ I.

— 1. Montrer que G = {1}, R = {m1 = 0} est une presentation de Z/mZ (notation additive de laloi de groupe).

— 2. Soit G et G′ deux groupes admettant respectivement les presentations (G,R) et (G′,R′) etsupposons qu’il existe une bijection g 7→ g′ de G dans G′ qui identifie les relations de R et de R′. Montrerque G et G′ sont isomorphes.

— 3. Soit F un corps. Considerons les elements suivants de SL(2,F) :

t(y) =

(y 00 y−1

), y ∈ F×, n(z) =

(1 z0 1

), z ∈ F, w =

(0 1−1 0

).

PosonsG = {t(y), y ∈ F×, n(z), z ∈ F, w},

et soit R l’ensemble des relations suivantes :

t(y1)t(y2) = t(y1y2) n(z1)n(z2) = n(z1 + z2)

t(y)n(z)t(y)−1 = n(y2z) wt(y)w−1 = t(y−1)

n(z)wn(z−1)w−1n(z) = t(z)w, (z 6= 0).

Montrer que (G,R) est une presentation de SL(2,F).

Indication. Constater que(a bc d

)= n(a/c)t(−c−1)wn(d/c) si c 6= 0,

(a b0 d

)= t(a)n(b/a).

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Chapitre II

Representations lineaires desgroupes finis

G. Frobenius

� ...Organization is of the utmost importance for military affairs, as it is ... for otherdisciplines where the gathering process of practical knowledge exceeds the strength of anyindividual. In mathematics, however, organizing talent plays a most subordinate role. Hereweight is carried only by the individual. The slightest idea of a Riemann or a Weierstrass isworth more than all organisational endeavours. To be sure, such endeavours have pushedto take centre stage in recent years, but they are exclusively pursued by people whohave nothing, or nothing more, to offer in scientific matters. There is no royal road tomathematics. � G. Frobenius

Dans ce chapitre, les espaces vectoriels sont definis sur le corps des nombres complexes. Rappelons quesi V est un espace vectoriel, GL(V ) designe le groupe des isomorphismes lineaires de V dans lui-meme.Si V est de plus un espace de Hilbert pour le produit hermitien (. |.)V , U(V ) designe le sous-groupe deGL(V ) des applications lineaires u preservant le produit hermitien, c’est-a-dire

(u(v)|u(w))V = (v|w)V , (v, w ∈ V ).

II.1 Representations

II.1.1 Unitarisabilite

Definition II.1.1. Une representation (ρ, V ) du groupe G est la donnee d’un espace vectoriel V , appeleespace de la representation, et d’un morphisme de groupes

ρ : G→ GL(V ).

Si V est un espace de Hilbert pour le produit hermitien (. |.)V , la representation (ρ, V ) est dite unitairesi ρ est a valeurs dans U(V ), c’est-a dire si pour tout g ∈ G, pour tous v, w ∈ V ,

(ρ(g) · v|ρ(g) · w)V = (v|w)V .

La dimension de la representation (ρ, V ) est la dimension de V . On la note dρ.

15

La representation triviale de G est celle ou V = C et tout g ∈ G agit comme l’identite de C. On lanote TrivG.

L’espace vectoriel {0} est aussi un espace de representation pour tout groupe G (de maniere unique,puisque GL({0}) est le groupe a un element). Nous l’appellerons representation nulle de G.

Remarque II.1.2. Nous avons defini la representation triviale d’un groupe G. Elle est irreductible et dedimension un. On parle aussi d’une representation triviale dans un espace V (de dimension quelconque)lorsque tout element de G agit par l’identite de V .

Theoreme II.1.3. Soit (ρ, V ) une representation de dimension finie de G d’un groupe fini. On peutmunir V d’un produit hermitien (. |.)V qui rend la representation (ρ, V ) unitaire.

Demonstration. Munissons V d’un produit hermitien (. |.)0 quelconque. Definissons un nouveau produithermitien (. |.)1 par

(v, w)1 =1

|G|∑g∈G

(ρ(g) · v|ρ(g) · w)0, (v, w ∈ V ).

Ce nouveau produit verifie les proprietes de sesquilinearite requises et est positif, comme on peut le voirimmediatement. Il est defini car si

(v|v)1 =1

|G|∑g∈G

(ρ(g) · v|ρ(g) · v)0 = 0

alors tous les termes de la somme etant positifs, ils sont nuls. Pour g = e, ceci donne (v|v)0 = 0, et doncv = 0.

Verifions que ce nouveau produit hermitien est invariant par ρ. Pour tout h ∈ H :

(ρ(h) · v|ρ(h) · w)1 =1

|G|∑g∈G

(ρ(g) · ρ(h) · v|ρ(g) · ρ(h) · w)0

=1

|G|∑g∈G

(ρ(gh) · v|ρ(gh) · w)0 =1

|G|∑g∈G

(ρ(g) · v|ρ(g) · w)0 = (v|w)1

Le point crucial du calcul est donc juste un changement de variable dans la somme.

Remarquons que l’hypothese de la dimension finie ne sert qu’a s’assurer que V est bien un espace deHilbert. Si l’on suppose au depart que (V, (. |.)0) est un espace de Hilbert de dimension infinie, le memeprocede de moyenne donne un nouveau produit hermitien (. |.)1 invariant par G. Il est facile de voir quela topologie definie par ce nouveau produit hermitien est la meme que l’ancienne (les normes induitessont equivalentes), et donc que V est encore un espace de Hilbert pour (. |.)1.

Remarque II.1.4. Lorsque l’on etudie des groupes plus generaux que les groupes finis, il faut remplacerles arguments bases sur ce procede de moyenne par quelque chose de plus general, a savoir l’existence demesure de Haar sur les groupes (topologiques localement compacts). Nous ne definissons pas la notion demesure de Haar, mais nous remarquons simplement que l’on peut munir l’ensemble fini G de sa mesurede comptage normalisee µG. Plus explicitement, pour toute fonction f sur G∫

G

f(g) dµG(g) =1

|G|∑g∈G

f(g).

La propriete fondamentale de cette mesure est que quels que soient x, y dans G,∫G

(l(x)r(y) · f)(g) dµG(g) =

∫G

f(x−1gy) dµG(g) =

∫G

f(g) dµG(g),

c’est-a-dire que µG est invariante par translation a gauche et a droite.

Dans la suite de ce chapitre, les groupes finis sont toujours munis de leurs mesures de comptagenormalisee.

16

II.1.2 Sous-representations, representations irreductibles

Soit (ρ, V ) une representation du groupe G. Un sous-espace W de V est dit invariant par ρ si pourtout g ∈ G, ρ(g) ·W ⊂W . On peut alors parler de la restriction de ρ a W , que l’on note (ρ|W ,W ). Unetelle representation restreinte a un sous-espace invariant s’appelle une sous-representation de G.

Definition II.1.5. Une representation (ρ, V ) du groupe G est dite irreductible si elle est non nullen’admet aucun sous-espace autre que {0} et V invariant par ρ.

Proposition II.1.6. Une representation irreductible d’un groupe fini est de dimension finie.

Demonstration. Soit (ρ, V ) une representation irreductible du groupe fini G. Soit v ∈ V , non nul, etsoit W le sous-espace engendre par les vecteurs de la forme ρ(g) · v, g ∈ G. Ce sous-espace est donc dedimension finie, et il est immediat de verifier qu’il est invariant par ρ. On a donc V = W et V est dedimension finie.

Soit (ρ, V ) une representation du groupe G et supposons que l’espace V soit somme directe de sous-espaces Wi (non nuls), i = 1, . . . , r :

V =⊕

i=1,...,r

Wi

et que ces espaces Wi soient invariants par ρ. On dit alors que la representation (ρ, V ) se decompose ensomme directe des representations (ρ|Wi

,Wi) et l’on ecrit

(ρ, V ) =⊕

i=1,...,r

(ρ|Wi,Wi).

L’etude de la representation (ρ, V ) se ramene alors a celle des (ρ|Wi,Wi). Il parait raisonnable d’esperer

pouvoir decomposer toute representation en somme directe de representations, jusqu’a ce que toutescelles-ci soient irreductibles. Ceci n’est pourtant pas totalement evident, le probleme etant le suivant :si (ρ, V ) est une representation qui n’est pas irreductible, alors il existe un sous-espace W invariant parρ. Pour pouvoir decomposer (ρ, V ), il faudrait pouvoir exhiber un supplementaire de W dans V quisoit lui aussi invariant par ρ. Le theoreme ci-dessous affirme que pour les representations d’un groupefini, ceci est toujours possible. Pour des representations plus generales, ce n’est pas le cas. Il est doncutile d’introduire la terminologie representation indecomposable pour une representation qui ne peut pass’ecrire comme somme directe non triviale. Une representation irreductible est toujours indecomposable,l’inverse n’etant pas vrai en general (mais l’est pour les representations des groupes finis).

Theoreme II.1.7. Soient G un groupe fini et (ρ, V ) une representation de dimension finie de G. SoitW un sous-espace de V invariant par ρ. Alors W admet un supplementaire invariant W ′, de sorte quel’on peut decomposer (ρ, V ) en somme directe de (ρ|W ,W ) et (ρ|W ′ ,W

′).

Demonstration. D’apres le theoreme II.1.3, on peut munir V d’un produit hermitien invariant (. |.)V . Ilest alors immediat de voir que l’orthogonal W⊥ de W dans V pour ce produit hermitien est invariantpar ρ. Ceci fournit une decomposition

V = W ⊕W⊥

en somme directe de sous-espaces invariants.

Corollaire II.1.8. Toute representation de dimension finie (ρ, V ) d’un groupe fini G se decompose ensomme directe de representations irreductibles.

Demonstration. Ceci est facile a etablir par recurrence sur la dimension de la representation. Remarquonsque le fait que le groupe soit fini permet de montrer l’existence d’un supplementaire stable, et le fait quela representation soit de dimension finie permet la recurrence.

17

Definition II.1.9. Une representation est dite completement reductible, si elle peut s’ecrire commesomme directe de representations irreductibles. Elle est dite ou semi-simple si toute sous-representationadmet un supplementaire qui est aussi une sous-representation.

Le theoreme affirme que que toute representation de dimension finie d’un groupe fini est semi-simpleet le corollaire qu’elle est completement reductible. Ceci permet de reduire dans une certaine mesurel’etude des representations de dimension finie du groupe G a celle des representations irreductibles.

On peut montrer que la semi-simplicite et la complete reductibilite sont en fait des proprietesequivalentes dans un contexte tout-a-fait general (voir le lemme V.3.7).

II.1.3 Operateurs d’entrelacement. Lemme de Schur

Definition II.1.10. Soient (ρ, V ) et (τ,W ) deux representations du groupe G. Un operateur d’entrela-cement T : V →W est une application lineaire de V dans W verifiant

T (ρ(g) · v) = τ(g) · T (v), (g ∈ G), (v ∈ V )

Autrement dit, un operateur d’entrelacement est un G-morphisme lineaire (cf. Definition I.1.6). Ondit aussi que T est G-equivariant.

On note HomG(V,W ) ou parfois HomG(ρ, τ) l’ensemble des operateurs d’entrelacement entre (ρ, V )et (τ,W ). Il est clair que c’est un sous-espace vectoriel de l’espace des applications lineaires de V versW . On note aussi EndG(V ) = HomG(V, V ).

Il devient maintenant possible de definir la notion de representations equivalentes, ou isomorphes.

Definition II.1.11. Soient (ρ, V ) et (τ,W ) deux representations du groupe G. Elles sont equivalentes(ou isomorphes) s’il existe un operateur d’entrelacement inversible T : V →W .

Si T est un tel operateur d’entrelacement inversible, T−1 est bien sur aussi un operateur d’entrelace-ment et

τ(g) = T ◦ ρ(g) ◦ T−1, (g ∈ G)

L’equivalence dans le sens defini ci-dessus est une relation d’equivalence sur l’ensemble des representationsdu groupe G. Dans la pratique, comme souvent en mathematique, on a tendance a confondre equivalenceet egalite, c’est-a-dire a confondre une representation et sa classe d’equivalence, ou dans le sens contraire,une classe d’equivalence et l’un de ses representants. Il s’agit la d’abus de langage la plupart du tempsinoffensifs.

Definition II.1.12. Soit G un groupe fini. Le dual de G, note G, est l’ensemble des classes d’equivalencede representations irreductibles de G.

Lemme II.1.13. (i) Soient (ρ, V ) et (τ,W ) deux representations d’un groupe G et T : V → W unoperateur d’entrelacement. Alors kerT est un sous-espace de V invariant par ρ, et ImT est un sous-espace de W invariant par τ .

(ii) Soit (ρ, V ) une representation du groupe G, et T un operateur d’entrelacement de (ρ, V ) avecelle-meme. Alors tout sous-espace propre de T est invariant par ρ.

Demonstration. (i) Si v ∈ kerT , alors, pour tout g ∈ G,

T (ρ(g) · v) = τ(g) · T (v) = 0

donc ρ(g) · v ∈ kerT . Si w ∈ ImT , il existe v ∈ V tel que T (v) = w, et pour tout g ∈ G,

τ(g) · w = τ(g) · T (v) = T (ρ(g) · v)

18

donc τ(g) · w ∈ ImT .

(ii) Soit λ une valeur propre de T , et Vλ le sous-espace propre correspondant. Alors pour tout g ∈ G,pour tout v ∈ Vλ,

T (ρ(g) · v) = ρ(g) · T (v) = λρ(g) · v

et donc ρ(g) · v ∈ Vλ.

Le resultat qui suit est a la base de la theorie, on le promeut donc de son statut historique de lemmea celui de theoreme, pour service rendu (a la science).

Theoreme II.1.14 (Lemme de Schur). Soit T un operateur d’entrelacement entre deux representationsirreductibles (ρ1, V1) et (ρ2, V2) d’un groupe G. Alors

- si (ρ1, V1) et (ρ2, V2) ne sont pas equivalentes, T = 0,

- si (ρ1, V1) et (ρ2, V2) sont equivalentes et de dimension finie, HomG(V1, V2) est de dimension 1. Demaniere equivalente, HomG(V1, V1) est l’ensemble des multiples scalaires de l’identite de V1.

Demonstration. Ceci decoule facilement du lemme precedent. En effet, si (ρ1, V1) et (ρ2, V2) ne sont pasequivalentes, T n’est pas inversible. S’il n’est pas injectif, son noyau est non trivial. Mais (ρ1, V1) etantirreductible, ceci donne kerT = V1, et donc T = 0. De meme, s’il n’est pas surjectif, son image ImT estun sous-espace invariant de V2, et donc V2 etant irreductible, ImT = {0}, donc T = 0.

Pour le second point, soit T ∈ HomG(V1, V1), considerons une valeur propre λ de T , et soit Vλ le sous-espace de V1 correspondant (c’est ici qu’intervient l’hypothese de dimension finie, il faut pouvoir assurerl’existence d’un sous-espace propre non trivial). Il est non nul par hypothese, et donc par irreductibilitede (ρ1, V1), c’est V1 tout entier. Ceci montre que T = λIdV1 . L’equivalence entre les deux formulationsdu second point vient du fait que si S : V1 → V2 est un operateur d’entrelacement inversible realisantl’equivalence entre (ρ1, V1) et (ρ2, V2), il est clair que

HomG(V1, V1)→ HomG(V1, V2)

T 7→ S ◦ T

est un isomorphisme lineaire d’inverse donne par T 7→ S−1 ◦ T .

Remarque II.1.15. Soit (ρ, V ) une representation irreductible d’un groupe G. La demonstration ci-dessus montre que meme si V n’est pas de dimension finie, EndG(V ) = HomG(V, V ) est une C-algebredont tous les elements non nuls sont inversibles. On dit que EndG(V ) est une algebre a division (sur C).On peut montrer que la seule algebre a division de dimension finie sur C (a isomorphisme pres) est C, etl’on retrouve alors que dim(EndG(V )) = 1 si V est de dimension finie. En revanche, il existe des algebresa division de dimension infinie sur C (par exemple, le corps des fractions rationnelles a une variable acoefficients complexes C(X)).

II.2 Operations sur les representations

Dans ce qui suit, on ne fait pas d’hypotheses sur G, qui est un groupe quelconque. Les representationsde ce groupe ne sont pas non plus supposees de dimension finie.

II.2.1 Sommes directes (ou coproduits) et produits directs

Nous avons vu dans la section II.1.2 comment une representation (ρ, V ) d’un groupe G pouvait parfoisse decomposer en somme directe de sous-representations (point de vue interne). Voyons maintenantcomment former la somme directe de deux representations de G n’ayant a priori rien a voir l’une avecl’autre (point de vue externe). Soient donc (ρ1, V1) et (ρ2, V2) deux representations de G. La sommedirecte de V1 et V2 est un espace vectoriel V , muni de deux G-morphismes

ι1 : V1 → V, ι2 : V2 → V,

19

verifiant la propriete universelle suivante : pour toute representation (τ,W ) de G et toute paire de G-morphismes f1 : V1 →W , f2 : V2 →W , il existe un unique G-morphisme f : V →W tel que f1 = f ◦ ι1et f2 = f ◦ ι2. On note V = V1 ⊕ V2.

(II.2.1) V = V1 ⊕ V2

f

��

V1

ι1

66

f1

((

V2

ι2

hh

f2

vvW

Cette definition, un peu abstraite, appelle plusieurs remarques :

— Il y a unicite de la somme directe, a unique isomorphisme pres. En effet, soit (V, ι1, ι2) et (V ′, ι′1, ι′2)

deux sommes directes de V1 et V2. La propriete universelle de V appliquee a W = V ′ et f1 = iι1, f2 = iι2donne un unique G-morphisme f : V → V ′ tel que ι′1 = f ◦ ι1 et ι′2 = f ◦ ι2. En renversant les roles deV et V ′, on obtient de meme un unique G-morphisme f ′ : V ′ → V tel que ι1 = f ′ ◦ ι′1 et ι2 = f ′ ◦ ι′2.

Considerons maintenant f ′ ◦ f : V → V . Il verifie f ′ ◦ f ◦ ι1 = f ′ ◦ ι′1 = ι1 et f ′ ◦ f ◦ ι2 = f ′ ◦ ι′2 = i2.Or un autre G-morphisme de V dans V satisfait aux memes proprietes, il s’agit de l’identite de V . Lacondition d’unicite de la propriete universelle de V appliquee a W = V et f1 = ι1, f2 = ι2 nous donnealors f ′ ◦f = IdV . En renversant les roles de V et V ′, on obtient de meme f ◦f ′ = IdV ′ . Ceci montre queV et V ′ sont isomorphes, et que l’isomorphisme entre eux est determine de maniere unique, ce qui permetd’identifier ces deux objes de maniere non ambigue. et justifie l’abus de langage courant consistant aparler de � la � somme directe de V1 et V2.

— La somme directe existe : on prend le produit ensembliste usuel V1 × V2 de V1 et V2, muni de lastructure d’espace vectoriel produit et des injections

ι1 : V1 → V1 × V2, v1 7→ (v1, 0)

ι2 : V2 → V1 × V2, v1 7→ (0, v2).

L’action ρ de G sur V1 × V2 etant donne par

ρ(g) · (v1, v2) = (ρ1(g) · v1, ρ2(g) · v2).

On verifie aisement que cette construction donne bien un objet verifiant la propriete universelle voulue.

Remarque II.2.1. La terminologie � somme directe � est utilisee pour cette propriete universelle dansdes categories d’espaces vectoriels ou de modules sur un anneau. Ce n’est pas le cas dans d’autrescategories, comme celle des ensembles, comme le montre l’exercice ci-dessous. Le terme correct est celuide coproduit (la notion de produit est definie dans le paragraphe suivant, et le prefixe � co � signifieque l’on passe d’une notion a l’autre en inversant le sens des fleches dans les enonces).

Exercice II.2.2. Le but de cet exercice est de mettre en evidence ce qu’est le coproduit dans la categoriedes ensembles. Le coproduit de deux ensembles X et Y est un ensemble V muni de deux applicationsensemblistes ιX : X → V et ιY : Y → V verifiant la propriete universelle suivante pour tout ensembleZ et toutes applications f1 : X → Z, f2 : Y → Z, il existe une unique application f : V → Z telle quef1 = f ◦ ιX et f2 = f ◦ ιY . On note V = X

∐Y .

Montrer l’existence et l’unicite du coproduit de deux ensembles.

Le produit ensembliste usuel V = V1× V2 muni de la structure vectorielle produit, de la structure derepresentation de G donnee ci-dessus et des projections canoniques : p1 : V1×V2 → V1, p2 : V1×V2 → V2

verifie aussi une propriete universelle, a savoir que pour toute representation (τ,W ) de G et toute pairede G-morphismes f1 : W → V1, f2 : W → V2, il existe un unique G-morphisme f : W → V tel que

20

f1 = p1 ◦ f et f2 = p2 ◦ f .

(II.2.2) V = V1 × V2

p1

vvp2

((V1 V2

W

f1

hh

f2

66f

OO

Une representation (π, V ) de G verifiant cette propriete universelle est appele produit direct desrepresentations (π1, V1) et (π2, V2). De meme que pour la somme directe, deux espaces V et V ′ verifiantcette propriete universelle sont isomorphes, l’isomorphisme etant determine de maniere unique. Cecijustifie l’abus de langage consistant a parler � du � produit de V1 et V2.

Resumons la discussion ci-dessus : nous disposons de deux notions bien distinctes, celle de somme di-recte et celle de produit direct de deux representations (π1, V1) et(π2, V2) deG. Ce sont des representationsde G, verifiant chacune une propriete universelle differente (bien que proche : la seconde est obtenue dela premiere en inversant le sens des fleches dans le diagramme II.2.1). Le fait que l’on puisse construirela somme directe ou le produit de la meme facon (a partir du produit ensembliste usuel, comme expliqueci-dessus) ne doit pas masquer cette difference, et d’ailleurs, lorsqu’on generalise a une famille infiniede representations, les representations obtenues comme somme directe et produit direct ne sont plusisomorphes, comme nous allons le voir maintenant.

Soit (ρi, Vi) une famille quelconque de representations de G, i variant dans un ensemble d’indices I. Lasomme directe des (ρi, Vi)i∈I est une representation notee (ρ, V ) =

⊕i∈I(ρi, Vi) munie de G-morphismes

ιi : Vi → V verifiant la propriete universelle suivante :

pour toute representation (τ,W ) de G et toute famille de G-morphismes fi : Vi →W , i ∈ I, il existeun unique G-morphisme f : V →W tel que fi = f ◦ ιi pour tout i ∈ I.

Le produit direct des (ρi, Vi)i∈I est une representation notee (ρ, V ) =∏i∈I(ρi, Vi) munie de G-

morphismes pi : V → Vi verifiant la propriete universelle suivante :

pour toute representation (τ,W ) de G et toute famille de G-morphismes fi : W → Vi, i ∈ I, il existeun unique G-morphisme f : W → V tel que fi = pi ◦ f pour tout i ∈ I.

Comme precedemment, somme directe et produit direct sont uniques a unique isomorphisme pres, eton peut les construire ensemblistement de la maniere suivante : pour le produit direct, on prend pourV le produit direct ensembliste des Vi, i ∈ I, muni de sa structure d’espace vectoriel canonique et desprojections canoniques pi. L’action de G sur un element de V est donne par l’action de G sur chaquefacteur :

ρ(g) · (vi)i∈I = (ρi(g) · vi)i∈I .

Pour la somme directe, on prend pour V le sous-espace du produit ensembliste des Vi constitues desfamilles (vi)i∈I ou seul un nombre fini de vi sont non nuls. C’est un sous-espace vectoriel du produitensembliste des Vi, et meme une sous-representation de G, comme on le verifie facilement. Les morphismesιi sont les inclusions canoniques ιi : Vi → V .

Les proprietes universelles de la somme et du produit direct d’une famille de representations peuventse reecrire de la maniere suivante.

Theoreme II.2.3. Soit (ρi, Vi)i∈I une famille de representations du groupe G. Pour toute representation(τ,W ) de G, on a

(II.2.3) HomG(⊕i∈IVi,W ) '∏i∈I

HomG(Vi,W ), f 7→ (f ◦ ιi)i∈I .

(II.2.4) HomG(W,∏i∈I

Vi) '∏i∈I

HomG(W,Vi), f 7→ (pi ◦ f)i∈I .

21

II.2.2 Produits tensoriels

Dans le paragraphe precedent, nous avons muni l’ensemble des representations d’un groupe G d’unesomme :

((ρ1, V1), (ρ2, V2)) 7→ (ρ1 ⊕ ρ2, V1 ⊕ V2),

La terminologie et la notation � additive � se justifient par le fait que (ρ1 ⊕ ρ2, V1 ⊕ V2) est toujoursisomorphe a (ρ2 ⊕ ρ1, V2 ⊕ V1) et que

dim(V1 ⊕ V2) = dimV1 + dimV2,

lorsque V1 et V2 sont de dimension finie. La representation de G dans l’espace nul {0} est un � elementneutre � pour cette somme. Mais remarquons qu’une representation (ρ, V ) non nulle n’admet pas d’in-verse.

Nous voudrions maintenant construire une operation analogue a un produit :

((ρ1, V1), (ρ2, V2)) 7→ (ρ1 ⊗ ρ2, V1 ⊗ V2)

ayant de bonnes proprietes de distributivite par rapport a la somme definie precedemment, et verifiant

(II.2.5) dim(V1 ⊗ V2) = dimV1 × dimV2,

lorsque V1 et V2 sont de dimension finie.

Definition II.2.4. Soient V1 et V2 deux espaces vectoriels. Le produit tensoriel V1 ⊗ V2 est un espacevectoriel muni d’une application

ι : V1 × V2 → V1 ⊗ V2, (v1, v2) 7→ v1 ⊗ v2

verifiant :

(i) ι est bilineaire,

(ii) (propriete universelle) soit φ : V1×V2 →W une application bilineaire quelconque. Alors il existeune unique application lineaire

φ : V1 ⊗ V2 →W

tel que φ ◦ ι = φ.

Remarques II.2.5. Un tel espace existe et est determine a isomorphisme pres. La propriete (ii) entraınela formule (II.2.5) lorsque les espaces sont de dimension finie. L’espace V1⊗V2 verifie la propriete suivante :

(ii′) si (ei)i∈I est une base de V1 et si (fj)j∈J est une base de V2,

(ei ⊗ fj)i∈I,j∈J

est une base de V1 ⊗ V2.

La propriete (ii′) est equivalente a (ii). Comme dans le paragraphe precedent pour les sommes etproduits directs la propriete universelle garantit l’unicite du produit tensoriel a unique isomorphismepres, et justifie l’abus de langage consistant a parler � du � produit tensoriel. Nous ne donnons pas dedetails concernant la construction du produit tensoriel, mais celle-ci est, nous semble-t-il, claire si l’onconsidere la propriete (ii′), et que l’on se debarrasse de ses scrupules a utiliser l’axiome du choix.

Soient (ρ1, V1) une representation d’un groupe G1, et (ρ2, V2) une representation d’un groupe G2. Onpeut munir l’espace V1 ⊗ V2 d’une representation notee ρ1 � ρ2 de G1 ×G2. Une definition evidente estde poser

(II.2.6) (ρ1 � ρ2)(g1, g2) · (v1 ⊗ v2) = ρ1(g1) · v1 ⊗ ρ2(g2) · v2

(v1 ∈ V1), (v2 ∈ V2), (g1 ∈ G1), (g2 ∈ G2).

22

Comme V1 ⊗ V2 est engendre par les v1 ⊗ v2, v1 ∈ V1, v2 ∈ V2, par linearite, ces formules suffisent adefinir l’operateur (ρ1 �ρ2)(g1, g2) sur V1⊗V2, pour peu que l’on ait montre que si un vecteur de V1⊗V2

se decompose de deux manieres en tenseurs elementaires∑i

vi ⊗ wi =∑j

v′j ⊗ w′j

alors ∑i

ρ1(g1) · vi ⊗ ρ2(g2) · wi =∑j

ρ1(g1) · v′j ⊗ ρ1(g2) · w′j .

C’est en fait une consequence de la propriete universelle du produit tensoriel. En effet, consideronsl’application bilineaire :

V1 × V2, (v1, v2) 7→ ρ1(g1) · v1 ⊗ ρ2(g2) · v2.

D’apres la propriete universelle, il existe un endomorphisme (unique) de V1⊗V2 (c’est le (ρ1�ρ2)(g1, g2)que l’on cherche et c’est donc ainsi qu’on le note) verifiant (II.2.6).

On verifie ensuite facilement que (ρ1 � ρ2) est une representation de G1 ×G2 dans V1 ⊗ V2.

Lorsque G1 = G2 on obtient une representation de G, notee ρ1 ⊗ ρ2 definie par

(ρ1 ⊗ ρ2)(g) · (v1 ⊗ v2) = ρ1(g) · v1 ⊗ ρ2(g) · v2

(v1 ∈ V1), (v2 ∈ V2), (g ∈ G).

Exercice II.2.6. Il s’agit plus d’un sujet de reflexion que d’un exercice. On a defini le produit tensorieldans la categorie des espaces vectoriels, et lorsque les deux espaces en question sont des espaces derepresentations de G, on a muni le produit tensoriel d’une structure de representation. Aurait-on pudefinir directement le produit tensoriel de deux representations de G par une propriete universelle dansla categorie des representations de G ?

II.2.3 Representation contragrediente

Si V est un espace vectoriel, notons V ∗ son dual, c’est-a-dire l’espace des formes lineaires sur V . Ilest bien connu que

ev : V → (V ∗)∗, ev(v) : λ ∈ V ∗ 7→ λ(v)

est une application lineaire, injective. Si V est de dimension finie, par egalite des dimensions, cetteapplication est un isomorphisme.

Si (π, V ) est une representation d’un groupe G, on definit une representation π de G dans V ∗, appeleerepresentation contragrediente, par la formule suivante :

(π(g) · λ)(v) = λ(π(g)−1 · v), (λ ∈ V ∗), (v ∈ V ), (g ∈ g).

Il est clair que (˜π, (V ∗)∗) = (π, V ) lorsque V est de dimension finie et que (V ∗)∗ est identifie a V parla remarque ci-dessus.

Proposition II.2.7. Soit (π, V ) une representation d’un groupe fini G. Alors (π, V ) est irreductible siet seulement si (π, V ∗) est irreductible.

Demonstration. D’apres la remarque que (˜π, (V ∗)∗) = (π, V ) lorsque V est de dimension finie, il suffitde montrer une seule implication pour obtenir l’equivalence. Supposons (π, V ) irreductible, et soit W unsous-espace invariant de V ∗. Alors l’orthogonal dans V de W est aussi invariant, et donc ne peut-etreque {0} ou V . Ceci montre que W = {0} ou V ∗.

23

II.2.4 Pull-back

SoitG etH deux groupes et soit φ : H → G un morphisme de groupes. Si (π, V ) est une representationde G, il est clair que

π ◦ φ : H → GL(V )

definit une representation de H sur V . On la note (φ∗π, V ) et on l’appelle le pull-back (ou tire en arriere)

Nous avons deja utilise subrepticement cette notion : on a defini pour deux representations (ρ1, V1)et (ρ2, V2) d’un groupe G, le produit tensoriel (ρ1 � ρ2, V1⊗ V2) qui est une representation de G×G. Larepresentation notee (ρ1⊗ρ2, V1⊗V2) est elle une representation de G : c’est le pull-back de la precedentepar le morphisme � diagonal �

∆ : G −→ G×G, g 7→ (g, g).

Si H est un sous-groupe de G et si φ est l’inclusion de H dans G, on parlera simplement de restrictionde π a H.

II.3 Coefficients matriciels et relations de Schur

Dans toute cette section, G est un groupe fini.

II.3.1 Une application du lemme de Schur

Le resultat qui suit est une application du lemme de Schur qui nous servira par la suite.

Proposition II.3.1. Soient (ρ, V ) et (τ, E) deux representations irreductibles d’un groupe fini G et soitA : V → E une application lineaire. Alors

A◦ =

∫G

τ(g)Aρ(g)−1dµG(g)

est egal a 0 si τ n’est pas equivalente a ρ et egal aTrA

dimVIdV lorsque (τ, E) = (ρ, V ).

Demonstration. Comme on voit facilement que A◦ est G-equivariant, d’apres le lemme de Schur, A◦ = 0si τ n’est pas equivalent a ρ et A◦ = α IdV lorsque (τ, E) = (ρ, V ). Il reste a determiner α. On a

α dimV = TrA◦ =

∫G

Tr (ρ(g)Aρ(g−1)) dµG(g) = TrA.

II.3.2 Coefficients matriciels

Soit F(G) l’espace des fonctions a valeurs complexes sur G sur le groupe fini G. Nous allons introduirecertains elements de F(G), appeles coefficients matriciels des representations.

Soit (π, V ) une representation du groupe G. On appelle coefficient matriciel de π une fonction de G,a valeurs complexes, de la forme

φπv,λ : g 7→ λ(π(g) · v),

ou λ ∈ V ∗ et v ∈ V . La terminologie vient du temps (revolu) ou les mathematiciens aimaient choisir desbases de leur espaces vectoriels, et exprimer les applications lineaires sous forme de matrices. Si l’on faitceci pour l’espace V , et que l’on exprime π(g) comme une matrice π(g)ij , g 7→ π(g)ij est un coefficientmatriciel.

Introduisons la notation suivante. Pour toute fonction φ sur G, notons φ : g 7→ φ(g−1).

24

Lemme II.3.2 (Relations d’orthogonalite de Schur). (i) Soit (π, V ) une representation irreductible deG. Alors pour tous v1, v2 ∈ V , pour tous λ1, λ2 ∈ V ∗, on a :∫

G

φπv1,λ1(g) φπv2,λ2

(g) dµG(g) =λ1(v2)λ2(v1)

dπ.

ou dπ = dimV .

(ii) Soient (π1, V1), (π2, V2) deux representations irreductibles de G non equivalentes. Alors pour tousv1 ∈ V1, v2 ∈ V2, λ1 ∈ V ∗1 , λ2 ∈ V ∗2 ,∫

G

φπ1

v1,λ1(g) φπ2

v2,λ2(g) dµG(g) = 0.

Demonstration. Soient λ1 ∈ V ∗1 , v2 ∈ V2. Considerons l’application lineaire A : V1 → V2 definie par :

A(v) = λ1(v)v2.

Soient maintenant aussi λ2 ∈ V ∗2 et v1 ∈ V1. Alors, avec les notations de la proposition II.3.1,

λ2(A◦ · v1) = λ2

(∫G

π2(g)Aπ1(g)−1 · v1 dµG(g)

)= λ2

(∫G

π2(g) · (λ1(π1(g)−1 · v1)v2) dµG(g)

)= λ2

(∫G

λ1(π1(g)−1 · v1) π2(g) · v2 dµG(g)

)=

∫G

λ1(π1(g)−1 · v1) λ2(π2(g) · v2) dµG(g)

On effectue le changement de variable g 7→ g−1 dans l’integrale (qui n’est qu’une somme...) pour retrouverle membre de gauche des egalites dans (i) et (ii). On conclut alors grace a la proposition II.3.1 et au faitque TrA = λ1(v2) lorsque ρ1 = ρ2.

Corollaire II.3.3. Soient (πi, Vi), i = 1, . . . , r, des representations irreductibles de G, non equivalentesdeux a deux. Pour chaque i, choisissons vi ∈ Vi et λi ∈ V ∗i non nuls. Alors les coefficients matricielsφπivi,λi sont lineairement independants dans F(G).

Demonstration. Supposons que∑i ciφ

πivi,λi

= 0. Fixons j entre 1 et r, et choisissons λ′j ∈ V ∗j tel queλ′j(vj) = 1 et v′j ∈ Vj tel que λj(v

′j) = 1. Alors d’apres le lemme, on a

0 =

∫G

(∑i

ciφπivi,λi

)φπjv′j ,λ

′jdµG = cj

∫G

φπjvj ,λj

φπjv′j ,λ

′jdµG

= cj d−1πj .

Donc cj = 0.

Corollaire II.3.4. Le nombre de classes d’equivalence de representations irreductibles d’un groupe finiG est fini.

Demonstration. Les coefficients matriciels sont des elements de l’espace F(G), qui est de dimension finie.L’assertion decoule alors directement du corollaire precedent.

II.4 L’algebre de convolution F(G)

Dans cette section, le groupe G est fini. L’algebre de fonctions F(G) est munie d’un autre produit quecelui de la multiplication usuelle des fonctions. Il s’agit du produit de convolution. Avant de le definir,faisons quelques remarques.

— Pour tout element g de G, notons δg la fonction sur G valant |G| en g et 0 en h 6= g. Il est clairque (δg)g∈G est une base de F(G).

25

— Le groupe G agissant sur lui-meme par translation a gauche, il agit sur F(G). Notons cette actionL. Explicitement, quels que soient g ∈ G, f ∈ F(G), x ∈ G :

(L(g) · f)(x) = f(g−1x).

De meme, le groupe G agit sur lui-meme par translation a droite, et l’on en deduit une action, notee R,sur F(G) :

(R(g) · f)(x) = f(xg).

Ces deux actions commutent. Il s’ensuit que F(G) est muni d’une action de G×G, la premiere copie de Gagissant par L et la seconde par R. L’espace F(G) est donc un espace de representation du groupe G×G,la representation etant appelee representation reguliere du groupe G. On la note L×R. Explicitement,quels que soient g1, g2 ∈ G, f ∈ F(G), x ∈ G :

((L×R)(g1, g2) · f)(x) = f(g−11 xg2).

— Comme G est fini, toutes les fonctions sur G sont de carre integrable (pour la mesure de comptagenormalisee µG), et l’on peut introduire sur F(G) = L2(G,µG) le produit hermitien habituel : pour toutesfonctions f1 et f2 sur G,

(II.4.1) (f1|f2) =

∫G

f1(g)f2(g) dµG =1

|G|∑g∈G

f1(g)f2(g).

Ceci fait de F(G) un espace de Hilbert et l’on verifie immediatement que la representation regulierede G × G dans F(G) est unitaire pour ce produit scalaire. Ceci provient de l’invariance (a gauche et adroite) de µG.

Notons au passage le resultat suivant :

Proposition II.4.1. La representation reguliere gauche est fidele, c’est-a-dire que le morphisme

L : G→ GL(F(G))

est injectif. Il en est de meme de la representation reguliere droite R.

Demonstration. Supposons le contraire : il existe g ∈ G, g 6= e, tel que L(g) = IdF(G). Ceci veut dire quepour tout f ∈ F(G), et pour tout h ∈ G, (L(g) · f)(h) = f(h). Prenons h = e, et f telle que f(g) 6= f(e),et nous obtenons une contradiction.

Definition II.4.2. Soient f1 et f2 deux fonctions dans F(G). Leur produit de convolution f1 ∗ f2 estdefini par

f1 ∗ f2(g) =

∫G

f1(t)f2(t−1g) dµG(t).

Donnons les proprietes usuelles de la convolution :

Proposition II.4.3. (i) Le produit de convolution sur F(G) est associatif, d’element neutre δe.

(ii) Quels que soient g, h dans G, δh ∗ δg = δhg.

(iii) Quels que soient g1, g2 ∈ G, f ∈ F(G),

(L×R)(g1, g2) · f = δg1 ∗ f ∗ δg−12.

Demonstration. Tout ceci se verifie par des calculs ne presentant pas de difficultes.

Rappelons qu’une algebre A sur un corps k est un k-espace vectoriel (donc muni d’une addition) munid’un produit qui en fait aussi un anneau, les deux structures possedant les proprietes de compatibilitesuivantes :

(λa)b = a(λb) = λ(ab), (a, b ∈ A), (λ ∈ k)

26

L’espace vectoriel F(G), dont une base est donnee par les (δg)g∈G est muni d’un produit (le produitde convolution) qui etend (par linearite) le produit de G, et fait de F(G) une algebre sur C. Elle admetpour element neutre δe, ou e est l’element neutre de G.

Dans la base (δg)g∈G le produit de convolution est donne par la formule suivante∑g∈G

αg δg

∗(∑h∈G

βh δh

)=

∑(g,h)∈G×G

αgβh δgh.

Remarque II.4.4. On peut definir de facon formelle C[G], l’algebre du groupe G sur C comme etantun espace vectoriel sur C de base (eg)g∈G, et munie du produit∑

g∈Gαg eg

∗(∑h∈G

βh eh

)=

∑(g,h)∈G×G

αgβh egh.

Il est alors clair que l’application δg 7→ eg s’etend en un isomorphisme d’algebres entre F(G) et C[G].Dans tout ce qui precede, et tout ce qui suit, nous aurions donc pu employer C[G] a la place de F(G).

Soit (π, V ) une representation de G. Nous allons etendre l’action de G sur V en une action de F(G)sur V , c’est-a-dire que nous allons definir un morphisme d’algebres, encore note π,

π : F(G)→ End(V )

grace a la formule :

(II.4.2) π(f) · v =

∫G

f(g)π(g) · v dµG(g), (v ∈ V ), (f ∈ F(G)).

Il est clair que π(f) est lineaire. Il est aussi clair que π est lineaire.

Remarquons que End(V ) est naturellement muni d’une action de G×G, notee Endπ par

(II.4.3) ((Endπ)(g1, g2) ·A)(v) = π(g1) · (A(π(g2)−1 · v)),

(g1, g2 ∈ G), (v ∈ V ), A ∈ End(V ).

Proposition II.4.5. L’application π est un morphisme d’algebres de F(G) dans End(V ) verifiant

π(δg) = π(g)

pour tout g ∈ G. Le morphisme π entrelace la representation reguliere L × R de G ×G sur F(G) et larepresentation Endπ (II.4.3) dans End(V ).

Demonstration. Il s’agit de montrer que si f1, f2 sont dans F(G),

π(f1 ∗ f2) = π(f1)π(f2).

Dans le membre de droite, le produit est la composition des operateurs dans End(V ). Calculons

π(f1 ∗ f2) =

∫G

(f1 ∗ f2)(g)π(g) dµG(g) =

∫G

(∫G

f1(t)f2(t−1g) dµG(t)

)π(g) dµG(g)

=

∫G

∫G

f1(t)f2(g)π(tg) dµG(g) dµG(t) =

∫G

(∫G

f1(t)π(t)dµG(t)

)f2(g)π(g) dµG(g) = π(f1)π(f2)

27

L’egalite π(δg) = π(g) est immediate. Montrons que π est un operateur d’entrelacement. Soientx, y ∈ G, f ∈ F(G).

π((L×R)(x, y) · f) =

∫G

((L×R)(x, y) · f)(g)π(g) dµG(g) =

∫G

f(x−1gy)π(g) dµG(g)

=

∫G

f(g)π(xgy−1) dµG(g) = π(x)

(∫G

f(g)π(g) dµG(g)

)π(y−1) = π(x)π(f)π(y−1)

Corollaire II.4.6. On a pour toutes fonctions f, g, h ∈ F(G),

L(f) · (R(h) · g) = [R(h) · (L(f) · g) = f ∗ g ∗ h

II.5 Transformation de Fourier

Notons G l’ensemble des classes d’equivalence de representations irreductibles du groupe G. Pourchaque δ ∈ G, choisissons un representant (πδ, Vδ). Notons δ∗ la classe d’equivalence de la representationcontragrediente (πδ, V

∗δ ) et dδ la dimension de Vδ. On a bien sur dδ∗ = dδ. Soit f ∈ F(G). Sa transformee

de Fourier est un element du produit∏δ∈G End(Vδ) defini par :

Ff(δ) = πδ(f) =

∫G

f(g)πδ(g) dµG(g).

Lemme II.5.1. La transformation de Fourier possede les proprietes suivantes :

(i) quels que soient f1, f2 dans F(G), F(f1 ∗ f2) = F(f1)F(f2).

(ii) F est un G×G-morphisme de F(G) dans∏δ∈G End(Vδ)

Demonstration. Ceci decoule directement de la proposition II.4.5.

Definissons maintenant la transformation de Fourier inverse. Soit

F = (F (δ))δ∈G ∈∏δ∈G

End(Vδ).

Posons, pour tout g ∈ G,

FF (g) =∑δ∈G

dδ Tr (πδ(g) tF (δ∗)) =∑δ∈G

dδ Tr (πδ∗(g) tF (δ)).

On obtient une fonction sur G.

Theoreme II.5.2. Les applications F et F sont des isomorphismes d’algebres, inverses l’un de l’autre,entre F(G) et

∏δ∈G End(Vδ). Ce sont aussi des operateurs d’entrelacement entre la representation

reguliere L×R de G×G sur F(G) et la representation sur∏δ∈G End(Vδ).

La demonstration se fait en plusieurs etapes, en commencant par le resultat suivant, qui a pourconsequence immediate que F est surjective et F est injective.

Lemme II.5.3. Pour tout element F = (F (δ))δ∈G dans∏δ∈G End(Vδ), on a

FFF = F.

28

Demonstration. Rappelons que si V est un espace vectoriel de dimension finie, la forme bilineairesymetrique (A,B) 7→ Tr (AB) sur End(V ) est non degeneree. On a donc FFF = F si et seulement

si pour tout δ ∈ G et pour tout A ∈ End(Vδ), Tr ((FFF )(δ)A) = Tr (F (δ)A)). Calculons :

Tr ((FFF )(δ)A) =Tr

((∫G

(FF )(g)πδ(g) dµG(g)

)A

)

=Tr

∫G

∑ν∈G

dν Tr (πν∗(g) tF (ν))πδ(g) dµG(g)

A

=∑ν∈G

dν

∫G

Tr (πν∗(g)tF (ν))Tr (πδ(g)A) dµG(g).

Fixons ν ∈ G et une base (vi)i de Vν de base duale (v∗i )i. On a

Tr (πν∗(g)tF (ν)) =∑i

vi(πν∗(g)tF (ν) · v∗i ) =∑i

(πν(g)−1 · vi)(tF (ν) · v∗i )

=∑i

(πν(g)−1 · vi)(w∗i ) =∑i

w∗i (πν(g)−1 · vi) =∑i

φνvi,w∗i (g),

ou l’on a pose w∗i = tF (ν) · v∗i . De meme, en fixant une base (ej)j de Vδ de base duale (e∗j )j

Tr (πδ(g)A)) =∑j

e∗j (πδ(g)A · ej) =∑j

e∗j (πδ(g) · fj) =∑j

φδfj ,e∗j (g)

ou l’on a pose fj = A · ej En reportant dans le calcul precedent, ceci donne

Tr ((FFF )(δ)A) =∑ν∈G

∑i,j

dν

∫G

φδfj ,e∗j (g) φνvi,w∗i (g) dµG(g).

Les formules d’orthogonalite de Schur nous disent que les termes de cette somme sont nuls sauf si

ν = δ, auquel cas on a une contribution dee∗j (ei)w

∗i (fj)

dδpour chaque couple (i, j). Ainsi

Tr ((FFF )(δ)A) =∑i

w∗i (fi) =∑i

(tF (δ) · e∗i )(A · ei) =∑i

e∗i (F (δ)A · ei) = Tr (F (δ)A).

Ceci termine la demonstration du lemme.

Pour terminer la demonstration du theoreme, il suffit de montrer que F est injective.

Lemme II.5.4. La transformation de Fourier F est injective.

Demonstration. Soit f ∈ F(G) telle que Ff = 0, c’est-a-dire que pour tout δ ∈ G, πδ(f) = 0. Consideronsla representation (L,F(G)) de G : d’apres le corollaire II.1.8, elle est completement reductible. On peutdonc ecrire

(L,F(G)) =⊕i

(ρi,Wi),

ou les (ρi,Wi) sont des representations irreductibles de G. Chaque ρi est isomorphe a l’une des πδ, etdonc par hypothese, ρi(f) = 0 pour tout i, donc L(f) = 0. Or d’apres la proposition II.4.3, on a

L(f) · h = f ∗ h (h ∈ F(G)).

Prenons h = δe, l’element neutre pour la convolution. On obtient

0 = L(f) · δe = f ∗ δe = f.

29

Corollaire II.5.5 (Formule de Burnside). On a∑δ∈G dim(Vδ)

2 = dimF(G) = |G|.

Corollaire II.5.6. Soit f ∈ F(G). La formule d’inversion de Fourier f = FFf s’ecrit explicitement

f(g) =∑δ∈G

dδ Tr (πδ(f)πδ(g)−1) =∑δ∈G

dδ Tr (Ff(δ)πδ(g)−1).

Pour g = e, on obtient

f(e) =∑δ∈G

dδ Tr (Ff(δ)).

Demonstration. Il s’agit juste d’un calcul, ou nous allons, dans l’ordre, utiliser le fait que TrX = Tr tXpour tout operateur X, effectuer un changement de variable δ 7→ δ∗, et enfin utiliser le fait que pardefinition de la representation contragrediente, t(πδ∗(g)) = πδ(g)−1.

f(g) = (FFf)(g) =∑δ∈G

dδ Tr (πδ(g) t(Ff(δ∗))) =∑δ∈G

dδ Tr (Ff(δ∗) t(πδ(g)))

=∑δ∈G

dδ Tr (Ff(δ) t(πδ∗(g))) =∑δ∈G

dδ Tr (Ff(δ) πδ(g)−1) =∑δ∈G

dδ Tr (πδ(f)πδ(g)−1).

Corollaire II.5.7 (Formule de Plancherel). Soient f1, f2 ∈ F(G). Alors∫G

f1(g)f2(g−1) dµG(g) =∑δ∈G

dδ Tr (Ff1(δ)Ff2(δ))

Demonstration. Posons f = f1 ∗ f2. On a F(f) = (Ff1)(Ff2) et f(e) =∫Gf1(g)f2(g−1) dµG(g). On

utilise alors le corollaire precedent.

Nous avons vu que la representation reguliere de G × G dans F(G) est unitaire pour le produitscalaire (II.4.1). Interpretons le corollaire precedent, comme le fait que F est une isometrie. Il fait pourcela munir

∏δ∈G End(Vδ) d’un produit scalaire. Chaque Vδ est muni d’un produit scalaire G-invariant

(. | .)δ, et End(Vδ) est alors muni du produit scalaire (note de la meme maniere que celui de Vδ, attentionau risque de confusion)

(A|B)δ = dδ Tr (A∗B),

ou A∗ est l’adjoint de A (defini par la propriete que quels que soient v, w ∈ Vδ, (v|Aw)δ = (A∗v|w)δ).L’espace

∏δ∈G End(Vδ) est alors muni du produit hermitien

(II.5.1) (. |.) =∑δ∈G

(. |.)δ.

Remplacons f1 par f1 dans la formule du corollaire. Le terme de gauche est alors le produit scalairede f1 et f2 dans F(G). D’autre part, le changement de variable g 7→ g−1 montre que

(f1|f2) = (f1|f2).

Le terme de droite est ∑δ∈G

dδ Tr (F f1(δ)Ff2(δ)) =∑δ∈G

dδ Tr (πδ(f1)πδ(f2)).

Or quels que soient v, w ∈ Vδ,

(v|πδ(f1) · w)δ = (v|∫G

f1(g)πδ(g) · w dµG(g))δ =

∫G

f1(g)(v|πδ(g) · w)δ dµG(g)

=

∫G

f1(g)(πδ(g−1) · v|w)δ dµG(g) = (

∫G

f1(g)πδ(g−1) · v dµG(g)|w)δ = (

∫G

f1(g)πδ(g) · v dµG(g)|w)δ

= (πδ(f1) · v|w)δ.

Ceci montre que πδ(f1)∗ = πδ(f1). On a ainsi obtenu (f1|f2) = (Ff1|Ff2). Notons ceci :

30

Corollaire II.5.8. Soient f1, f2 ∈ F(G). Alors (f1|f2) = (Ff1|Ff2). Autrement dit, la transformationde Fourier est une isometrie de F(G) sur

∏δ∈G End(Vδ) pour les produits scalaires (II.4.1) et (II.5.1) .

Tirons encore quelques consequences du theoreme.

Corollaire II.5.9. Les representations irreductibles de G � separent les points �, c’est-a-dire que quelsque soient g1, g2 ∈ G, g1 6= g2, il existe une representation irreductible (π, V ) de G telle que π(g1) 6=π(g2).

Demonstration. En effet, choisissons une fonction f ∈ F(G) telle que f(g1) 6= f(g2). Ecrivons les formules

d’inversion de Fourier pour f(g1) et f(g2). Il existe alors necessairement δ ∈ G tel que πδ(g1) 6= πδ(g2).

Pour conclure cette section sur la transformee de Fourier, voyons ce que cette theorie donne lorsquele groupe G est abelien. On sait alors que les representations irreductibles de G sont toutes de dimension1 et que G a une structure de groupe (cf exercice II.9.1). Pour chaque δ ∈ G, fixons (πδ, Vδ) dans laclasse δ. Comme Vδ est de dimension 1, on peut ecrire pour tout g ∈ G et tout v ∈ V ,

πδ(g) · v = χδ(g)v

ou χδ est un morphisme de groupes de G dans C×. Ecrivons la formule d’inversion de Fourier, enremarquant qu’en dimension 1 on peut enlever les traces. Pour toute fonction f ∈ F(G) et pour toutg ∈ G, on a

πδ(f) =

∫G

f(x)πδ(x) dµG(x)

Posons

(II.5.2) f(δ) = χδ(f) =

∫G

f(x)χδ(x) dµG(x)

On a alors

(II.5.3) f(g) =∑δ∈G

f(δ)χδ(g−1) = |G|

∫G

f(δ)χδ(g−1) dµG.

Sous cette forme, cela commence a ressember aux formules connue pour R ou R/Z (que l’on identifie aucercle unite complexe U(1) par x 7→ e2iπx). Pour completer l’analogie, remarquons que (R,+) ou bienU(1) sont des groupes abeliens, mais qu’ils ne sont pas finis. En revanche, ils sont munis d’une topologie.Ce qui remplace les χδ, ce sont alors les caracteres continus unitaires χ : G→ U(1), avec G = R ou bienG = U(1). Remarquons au passage qu’un caracteres continu χ : G → C× est necessairement a valeursdans U(1) si G est compact, mais pour G = R, c’est une condition qu’il faut rajouter. Les caracteres χpour G = R sont de la forme

χλ : x 7→ e2iπλx

et l’on constate que χλχµ = χλ+µ, de sorte que R s’identifie a R comme groupe abelien. Les caracteres

de U(1) sont de la meme forme, mais avec λ ∈ Z, de sorte que U(1) s’identifie a Z. En (II.5.2), onremplace G par R ou U(1) et µG par la mesure de Lebesgue (invariante par translation), et en (II.5.3)

on remplace G par R ou Z, muni respectivement des mesures de Lebesgue ou de la mesure de comptage(non normalisee). Enfin la constante |G| est remplacee par 2π. On retrouve alors les formules usuelles.

II.6 Theoreme de Peter-Weyl

Pour δ ∈ G fixe, l’espace End(Vδ) se plonge canoniquement dans⊕ν∈G

End(Vν) '∏ν∈G

End(Vν). Nous

identifions End(Vδ) et son image dans∏ν∈G

End(Vν). Le theoreme de Peter-Weyl pour les groupes finis

identifie le sous-espace de F(G) qui lui correspond par transformation de Fourier.

31

Theoreme II.6.1 (Peter-Weyl). Soit δ ∈ G. Notons F(G)(δ) le sous-espace de F(G) engendre par lescoefficients matriciels φπδv,λ, v ∈ Vδ, λ ∈ V ∗δ . Alors F realise un isomorphisme isometrique entre F(G)(δ)et End(Vδ). Chaque sous-espace F(G)(δ) est stable pour la representation reguliere de G×G sur F(G).Ceci fournit une decomposition

F(G) =⊕δ∈G

F(G)(δ)

de la representation reguliere F(G) en somme de sous-representations.

Explicitons l’action de G×G sur un coefficient matriciel φπδv,λ. Soient g1, g2 et x dans G :

(L(g1)R(g2)φπδv,λ)(x) = φπδv,λ(g−11 xg2) = λ(πδ(g

−11 xg2) · v) = (πδ∗(g1) · λ)(πδ(x) · (πδ(g2) · v))(II.6.1)

= φπδπδ(g2)·v,πδ∗ (g1)·λ(x).

Demonstration. Soient v ∈ Vδ, λ ∈ V ∗δ . Definissons A ∈ End(Vδ) par

w 7→ A(w) = λ(w)v.

L’endomorphisme A est de rang 1, et tous les endomorphismes de rang 1 sont obtenus ainsi. Soit F ∈∏ν∈G End(Vν) defini par

F (ν) = 0 si ν 6= δ, F (δ) = A.

On a alors

FF (g) =∑ν∈G

dνTr (πν∗(g) tF (ν)) = dδTr (πδ∗(g) tA) = dδTr (Aπδ(g)−1)

On a utilise le fait que TrX = Tr tX et t(πδ∗(g)) = πδ(g)−1. Calculons maintenant

(Aπδ(g)−1)(w) = λ(πδ(g)−1 · w)v = (πδ∗(g) · λ)(w)v.

La trace de cet endomorphisme est

(πδ∗(g) · λ)(v) = λ(πδ(g)−1 · v) = φπδv,λ(g−1) = φπδv,λ(g).

Comme End(Vδ) est engendre par les endomorphismes de rang un, on voit que l’image de End(Vδ) parF est F(G)(δ). On a donc dimF(G)(δ) = d2

δ . Les F(G)(δ) sont en somme directe d’apres les relationsd’orthogonalite de Schur, et la formule de Burnside permet de conclure que

F(G) =⊕δ∈G

F(G)(δ).

II.7 L’algebre des fonctions centrales

Soit F(G)G le centre de l’algebre F(G), c’est-a-dire que f ∈ F(G)G si et seulement si

(∀k ∈ F(G)), f ∗ k = k ∗ f.

On appelle fonctions centrales les fonctions dans F(G)G. Le resultat qui suit donne une autre ca-racterisation des fonctions centrales.

Lemme II.7.1. Une fonction f ∈ F(G) est dans F(G)G si et seulement si elle est constante sur lesclasses de conjugaison de G.

32

Demonstration. Comme les δg, g ∈ G forment une base de F(G), pour que f soit centrale, il faut et ilsuffit que f commute a tous les δg. Cette condition s’ecrit

δg ∗ f = f ∗ δg,

ce qui peut se reecrire en utilisant la proposition II.4.3 (iii)

L(g) · f = R(g−1) · f

ou encoref(gx) = f(xg), (x, g ∈ G)

Soit Conj(G) l’ensemble des classes de conjugaison de G. Pour toute classe de conjugaison C de G,notons 1C la fonction caracteristique de C, c’est-a-dire 1C(g) = 1 si g ∈ C et 0 sinon. Il est clair graceau lemme que les 1C , C ∈ Conj(G) forment une base de F(G)G. En particulier, la dimension de F(G)G

est egale au nombre de classes de conjugaison dans G.

Un autre exemple fondamental de fonctions centrales est donne par les caracteres des representationsde G.

Definition II.7.2. Soit (π, V ) une representation de dimension finie de G. Son caractere Θπ est lafonction sur G definie par

Θπ(x) = Tr (π(x)).

CommeTr (π(xy)) = Tr (π(x)π(y)) = Tr (π(y)π(x)) = Tr (π(yx)),

on voit que Θπ(yxy−1) = Θπ(x), et donc Θπ est bien une fonction centrale.

Lemme II.7.3. Soient (π, V ) une representation de dimension finie de G et x ∈ G. On a alors

Θπ(x−1) = Θπ(x) = Θπ∗(x), Θπ(e) = dimV.

Demonstration. Θπ(x) = Trπ(x) est la somme des valeurs propres, comptees avec leur multiplicite,de l’operateur π(x) ∈ GL(V ). Comme le groupe G est fini, il existe n ∈ N tel que xn = e, et doncπ(x)n = IdV . Les valeurs propres de π(x) sont donc des racines n-ieme de l’unite, et donc leur inverse estegal a leur conjugue. D’autre part, λ est valeur propre de π(x) si et seulement si λ−1 est valeur proprede π(x)−1 avec meme multiplicite (resp. λ−1 est valeur propre de π(x) avec meme multiplicite). Commeπ(e) = IdV , Θπ(e) = dimV .

Une autre propriete importante des caracteres est la maniere dont ils se comportent par somme etproduit :

Proposition II.7.4. Soient (π1, V1) et (π2, V2) deux representations de dimension finie du groupe finiG. Alors, pour tout x ∈ G,

Θπ1⊕π2(x) = Θπ1(x) + Θπ2(x), Θπ1⊗π2(x) = Θπ1(x)Θπ2(x).

Demonstration. On exprime la trace en choisissant une base (ei)i de V1, de base duale (e∗i )i et une base(fj)j de V2, de base duale (f∗j )j :

Trπ1(x) =∑i

e∗i (π(x) · ei), Trπ2(x) =∑j

f∗j (π2(x) · fj)

Une base de V1 ⊕ V2 est obtenue en prenant la reunion des bases (ei)i et (fj)j , la base duale etant lareunion des (e∗i )i et des (f∗j )j , ce qui montre la premiere formule. Une base du produit tensoriel V1 ⊗ V2

est (ei ⊗ fj)i,j , de base duale (e∗i ⊗ f∗j )i,j , donc

Θπ1⊗π2(x) =

∑i,j

(e∗i ⊗ f∗j )((π1 ⊗ π2)(x) · (ei ⊗ fj))

=∑i,j

(e∗i ⊗ f∗j )((π1(x) · ei ⊗ π2(x) · fj) =∑i

e∗i (π(x) · ei)∑j

f∗j (π2(x) · fj).

33

Pour tout δ ∈ G, choisissons une representation irreductible (πδ, Vδ) dans la classe δ. On note alorssimplement Θδ le caractere de πδ (il ne depend pas du choix du representant (πδ, Vδ) car la trace estinvariante par changement de base).

Nous pouvons aussi exploiter l’isomorphisme d’algebres entre F(G) et∏δ∈G End(Vδ) pour etudier

le centre F(G)G. En effet, le centre d’un produit d’algebres est le produit des centres, et le centre dechaque End(Vδ) consiste en l’ensemble des operateurs scalaires de Vδ. Chaque facteur contribue donc

d’un espace de dimension 1, ce qui montre que le centre est de dimension |G|. On en conclut, ce quimerite d’etre note, le

Theoreme II.7.5. On a l’egalite

(II.7.1) |G| = |Conj(G)|.

D’autre part, une fonction f est centrale si et seulement si sa transformee de Fourier est centrale dans∏δ∈G End(Vδ), c’est-a-dire si pour tout δ ∈ G, il existe un scalaire cδ tel que

Ff(δ) = cδ IdVδ .

Notons Eν l’element de∏δ∈G End(Vδ) defini par Eν(δ) = 0 si δ 6= ν, Eν(ν) = IdVν . Les Eν , ν ∈ G,

forment une base du centre de l’algebre∏δ∈G End(Vδ). Leurs transformees de Fourier inverses vont donc

former une base de F(G)G. Posons

eν = FEν .

On calcule

eν(g) = FEν(g) =∑δ∈G

dδ Tr (πδ(g) tEν(δ∗)) = dν Tr (πν∗(g)) = dν Θν∗(g).(II.7.2)

En prenant la transformee de Fourier de cette egalite, on obtient

(II.7.3) FΘν =1

dνEν∗ .

Remarque II.7.6. Il est immediat que les Eν verifient les relations suivantes

EδEν = 0 si δ 6= ν, E2δ = Eδ,

∑δ∈G

Eδ = Id∏δ∈G Vδ

.

On en deduit que

eδ ∗ eν = 0 si δ 6= ν, eδ ∗ eδ = eδ,∑δ∈G

eδ = δe.

On dit que les eδ forment un systeme d’idempotents centraux de l’algebre F(G).

Rappelons que le produit hermitien sur F(G) est defini par

(f1|f2) =

∫G

f1(g)f2(g) dµG(g)

Theoreme II.7.7. (Orthogonalite des caracteres) Soient δ, ν dans G. Si δ 6= ν,

(Θδ|Θν) = 0

et (Θδ|Θδ) = 1.

34

Demonstration. Par definition

(Θδ|Θν) =

∫G

Θδ(g)Θν(g) dµG(g) =

∫G

Θδ(g−1)Θν(g) dµG(g).

On utilise alors le fait que la transformation de Fourier est une isometrie, puis le calcul des transformeesde Fourier des caracteres (II.7.3), et l’on obtient :

(Θδ|Θν) =∑µ∈G

dµ Tr ((FΘδ)(µ)∗(FΘν)(µ)) =∑µ∈G

dµ1

dδ

1

dνTr (Eδ∗(µ)∗Eν∗(µ))

Ceci est nul si δ 6= ν. Si δ = ν, on obtient

(Θδ|Θδ) = dδ1

d2δ

Tr (Eδ∗(δ∗)∗Eδ∗(δ

∗)) =1

dδTr (IdVδ∗ ) = 1.

Corollaire II.7.8. La famille (Θδ)δ∈G est une base orthonormale de F(G)G.

Demonstration. On vient de demontrer que cette famille est orthonormale. Comme elle a le bon cardinal,c’est-a-dire |G| = |Conj(G)| = dimF(G)G, c’est une base.

Toute fonction f de F(G)G se decompose dans cette base :

f =∑δ∈G

(Θδ|f) Θδ.

Posons

f(δ) = (Θδ|f) =

∫G

Θδ(g)f(g) dµG(g) =

∫G

Θδ∗(g)f(g) dµG(g).

On obtient la formule d’inversion de Fourier et la formule de Plancherel pour les fonctions centrales :

Theoreme II.7.9. Pour toute fonction f dans F(G)G,

f =∑δ∈G

f(δ)Θδ.

et pour toutes fonctions f1, f2 dans F(G)G

(f1|f2) =∑δ∈G

f1(δ)f2(δ).

On a aussi les relations d’orthogonalite duales :

Theoreme II.7.10. Soient C1 et C2 des classes de conjugaison de G. Alors si C1 6= C2,∑δ∈G

Θδ(C1)Θδ(C2) = 0

et si C1 = C2, ∑δ∈G

Θδ(C1)Θδ(C1) =|G||C1|

Demonstration. Calculons la transformee de Fourier de la fonction caracteristique de la classe de conju-gaison C1.

1C1(δ) =

∫G

Θδ∗(g)1C1(g) dµG

=|C1||G|

Θδ∗(C1).

35

Idem pour C2. On utilise maintenant le theoreme precedent :

(1C1 |1C2) =∑δ∈G

1C1(δ∗)1C1(δ)

=∑δ∈G

|C1||G|

Θδ(C1)|C2||G|

Θδ∗(C2)

Or (1C1|1C2

) = 0 si C1 6= C2 et (1C1|1C1

) = |C1||G| . On en deduit la formule du theoreme.

II.8 Application a la decomposition des representations

Nous allons utiliser les resultats obtenus dans la section precedente pour l’etude des representationsde dimension finie d’un groupe fini G. Soit (ρ, V ) une representation de G de dimension finie. D’apres lecorollaire II.1.8, elle est completement reductible, et peut donc s’ecrire :

(II.8.1) (ρ, V ) =

r⊕i=1

(τi,Wi)

ou les (τi,Wi) sont des representations irreductibles. Il est important de remarquer que cette decompositionn’est pas unique en general. Dans cette section, nous allons etudier ce probleme, en montrant que cer-tains aspects d’une telle decomposition sont eux uniquement determines. Nous allons pour cela utiliserla theorie des caracteres qui vient d’etre developpee. Une autre approche, purement � algebrique � estdonnee dans l’exercice II.9.12.

Commencons par le cas le plus simple. Soit (π, V ) une representation de dimension finie du groupefini G. Notons V G l’ensemble des vecteurs invariants sous l’action de G, c’est-a-dire

V G = {v ∈ V | (∀v ∈ V ), π(g) · v = v}.

Il est clair que V G est une somme directe de representations triviales de dimension 1 de G. D’autre part,on peut expliciter un operateur de projection G-equivariant, p ∈ HomG(V, V G) par :

(II.8.2) p(v) =

∫G

π(g) · v dµG(g).

Passons maintenant au cas general. Pour tout δ ∈ G, notons mδ(ρ) le nombre de (τi,Wi) apparaissantdans la decomposition ci-dessus qui sont dans la classe δ. On appelle mδ(ρ) la multiplicite de δ dans ladecomposition (II.8.1) de ρ. On peut, par abus de notations 1, reecrire la decomposition de (ρ, V ) sousla forme :

(ρ, V ) =⊕δ∈G

mδ(ρ)(πδ, Vδ),

ou plus simplement encore

ρ =⊕δ∈G

mδ(ρ)δ.

Theoreme II.8.1. Soit (ρ, V ) une representation de dimension finie de G. Pour tout δ ∈ G, soit mδ(ρ)la multiplicite de δ dans ρ. Alors

mδ(ρ) = (Θρ|Θδ)

et(Θρ|Θρ) =

∑δ∈G

m2δ .

En particulier, ρ est irreductible si et seulement si (Θρ|Θρ) = 1.

1. Comme souvent, l’abus consiste a confondre equivalence et egalite.

36

Demonstration. Comme ρ =⊕

δ∈Gmδ(ρ)δ, on a :

Θρ =∑δ∈G

mδ(ρ)Θδ,

d’ou, pour tout ν ∈ G, d’apres le theoreme d’orthogonalite des caracteres,

(Θρ|Θν) = (∑δ∈G

mδ(ρ)Θδ|Θν) =∑δ∈G

mδ(ρ)(Θδ|Θν) = mν(ρ).

La formule(Θρ|Θρ) =

∑δ∈G

m2δ .

est elle aussi consequence directe de l’orthogonalite des caracteres, et la caracterisation des representationsirreductibles s’en deduit immediatement.

Corollaire II.8.2. Les multiplicites mδ(ρ) ne dependent pas de la decomposition de (ρ, V ) donnee audepart.

— Deux representations (πi, Vi), i = 1, 2 de G sont isomorphes si et seulement si leurs caracteressont egaux.

La decomposition de (ρ, V ) en representations irreductibles n’est pas unique, comme nous l’avons re-marque. On peut trouver une decomposition de (ρ, V ) en somme directe moins fine qu’une decompositionen irreductibles, mais qui a l’avantage d’etre canonique.

Theoreme II.8.3. Soit (ρ, V ) =⊕r

i=1(τi,Wi) une decomposition de (ρ, V ) en irreductibles. Pour tout

δ ∈ G, notons V (δ) la somme directe de tous les (τi,Wi) appartenant a la classe δ. Alors V (δ) ne dependpas de la decomposition de depart. On appelle V (δ) la composante δ-isotypique de (ρ, V ). On obtientdonc la decomposition canonique :

(ρ, V ) =⊕δ∈G

V (δ).

L’operateur

Pδ =

∫G

dδ Θδ∗(g) ρ(g) dµG(g) = ρ(eδ)

est la projection sur la composante δ-isotypique de ρ. C’est un operateur G-equivariant (i.e. Pδ ∈HomG(V, V (δ))).

Demonstration. Il suffit de demontrer que Pδ est bien l’operateur de projection voulu, car il ne dependpas de la decomposition en irreductibles de depart. On a

Pδ =

∫G

dδΘδ∗(g) ρ(g) dµG(g) = dδρ(Θδ∗(g)) = ρ(eδ).

Or eδ est un idempotent, donc Pδ verifie aussi P 2δ = Pδ, et c’est donc une projection sur un sous-espace

de V . Considerons la restriction de ρ(eδ) au sous-espace Wi de V . Elle est egale a τi(eδ). Soit ν la classede τi. Alors

τi(eδ) =

{0 si ν 6= δ

IdWi si ν = δ.

Ceci vient du fait que F(eδ) = Eδ, et montre que Pδ est bien la projection sur la composante δ-isotypique.Comme δe =

∑ν∈G eν , on a :

ρ(δe) = IdV =∑ν∈G

ρ(eν) =∑ν∈G

Pν

L’espace V se decompose donc en somme directe de ses composantes isotypiques.

37

Exemple II.8.4. Considerons la representation (L,F(G)) de G. La decomposition

F(G) =⊕δ∈G

F(G)(δ)

du theoreme de Peter-Weyl est la decomposition en composantes isotypiques (les notations sont donccoherentes). Cette decomposition est aussi la decomposition en composantes isotypiques pour les representations(R,F(G)) de G et (L×R,F(G)) de G×G.

II.9 Exercices

Exercice II.9.1. Soit G un groupe fini abelien. Montrer que toutes les representations irreductiblesde G sont de dimension 1. Montrer que G est muni d’une structure de groupe. Montrer que G est

canoniquement isomorphe (comme groupe) aG.

Determiner toutes les representations irreductibles du groupe cyclique Zn = Z/nZ. Determiner Zn.

Exercice II.9.2. Calculer le caractere de la representation reguliere (L,F(G)) d’un groupe fini G.

Exercice II.9.3. Le groupe S3.

— 1. On note c la permutation circulaire (123) et t la transposition (23). Montrer que c et t engendrentS3, et que tc = c2t, ct = tc2. Determiner les classes de conjugaison de S3.

— 2. Trouver les representations de dimension 1 de S3.

— 3. Soit (e1, e2, e3) la base canonique de C3. Pour tout g ∈ S3, posons ρ(g) · ei = eg(i). Montrer quececi definit une representation de S3 dans C3. Montrer que

V = {(z1, z2, z3) ∈ C3 | z1 + z2 + z3 = 0}

est invariant.

— 4. Montrer qu’il existe une base (u1, u2) de V telle que

ρ(t) · u1 = u2, ρ(t) · u2 = u1, ρ(c) · u1 = j2u1, ρ(c) · u2 = ju2,

ou j = e2iπ3 . La representation ρ|V est-elle irreductible ?

— 5. Etablir la table des caracteres de S3.

— 6. Quelle est l’interpretation geometrique de ρ comme groupe de symetries ? Quelle est l’in-terpretation geometrique de ρ|V ?

Exercice II.9.4 (La representation standard de Sn). La representation (ρ, V ) de l’exercice precedentadmet un analogue pour tout n. En effet, soit Bn = (e1, . . . , en) la base canonique de Cn, sur laquelleSn agit naturellement par permutation des indices. On en deduit une representation ρ de Sn dans Cn.

— 1. Montrer que le caractere de ρ est donnee par :

Θρ(τ) = nombre de points fixes de τ, (τ ∈ Sn)

— 2. Montrer que Cn est somme directe de deux sous-espaces stables U et V sous l’action de Sn, ou

U = {ze1 + ze2 + . . .+ zen, (z ∈ C)}

V = {z1e1 + z2e2 + . . .+ znen |∑i

zi = 0}

38

Constater que (ρU , U) est la representation triviale de Sn. En deduire le caractere de (ρV , V ).

— 3. Nous allons maintenant montrer que (ρV , V ) est irreductible. En fait, la restriction de (ρV , V )a An est deja irreductible pour n ≥ 4. On rappelle que pour n ≥ 4, l’action de An sur {1, . . . , n} (ou surBn) est doublement transitive (voir exercice I.5.2), c’est-a-dire Bn × Bn admet deux orbites sous An :la diagonale ∆ et son complementaire. Determinons HomAn(ρ, ρ). Soit T un operateur d’entrelacementdans cet espace. Posons

T (ei) =∑j

K(ei, ej) ej .

Montrer que la propriete d’entrelacement equivaut a

K(eτ(i), eτ(j)) = K(ei, ej), (τ ∈ Sn).

En deduire quedim HomAn(ρ, ρ) = 2.

Conclure.

— 4. Expliciter les operateurs de projection sur U et V .

Exercice II.9.5. Le groupe S4. Determiner les classes de conjugaison de S4 et sa table de caracteres.Determiner la table de caracteres du groupe alterne A4. Quelles representations irreductibles de A4 sontles restrictions de representations irreductibles de S4 ? Quelles representations irreductibles de S4 ontune restriction reductible a A4 ?

Exercice II.9.6. Produits tensoriels.

— 1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie de base (e1, . . . , en). On note∧2

E (resp. S2(E)le sous-espace de E ⊗ E engendre par les vecteurs de la forme ei ⊗ ej − ej ⊗ ei (resp. ei ⊗ ej + ej ⊗ ei).Montrer que ceci ne depend pas de la base choisie. Montrer que si (ρ,E) est une representation du groupefini G,

E ⊗ E =∧2

E ⊕ S2(E),

comme representation de G. On note∧2

ρ et S2ρ ces deux representations de G. Calculer le caractere

de∧2

ρ et de S2ρ en fonction de celui de ρ. Si ρ est la representation irreductible de dimension 2 de S3,determiner ces deux caracteres. Decomposer ρ⊗ ρ en somme directe de representations irreductibles.

— 2. Soit V un espace vectoriel de dimension finie. Montrer que

End(V ) ' V ⊗ V ∗.

Si (ρ, V ) est une representation du groupe G, alors G × G agit sur V ⊗ V ∗ par ρ ⊗ ρ. Quelle est larepresentation dans End(V ) obtenue par transport de structure ?

Exercice II.9.7. Soit n un entier ≥ 2. On pose Zn = Z/nZ.

— 1. Soit χ1(k) = e2ikπn , k ∈ Zn. Montrer que les caracteres irreductibles de Zn sont les fonctions

k 7→ χq(k) = e2ikπqn , pour q = 0, 1, . . . , n− 1, autrement dit, que l’on a une identification Zn ' Zn.

— 2. Pour toute f ∈ C[Zn], on pose

f(q) =1

n

n−1∑k=0

f(k)χ−q(k).

Montrer que

f(k) =

n−1∑q=0

f(q)χq(k).

et que

1

n

n−1∑k=0

|f(k)|2 =

n−1∑q=0

|f(q)|2.

39

Exercice II.9.8. Sommes de Gauss

Soit ψ un caractere de Z×N . On le prolonge en une fonction sur ZN en posant ψ(k) = 0 lorsque(k,N) 6= 1. Si N1 divise N , un caractere de ZN1

donne par composition avec la surjection canoniqueZ×N → Z×N1

un caractere de Z×N . Lorsque ψ n’est pas obtenu de la sorte, on dit que ψ est un caractereprimitif (modulo N).

Le but de l’exercice est le calcul de la (valeur absolue de la) somme de Gauss

τ(ψ) =∑

q mod N

ψ(q)e2iπqN

lorsque ψ est un caractere primitif (modulo N).

— 1. Exprimer τ(ψ) en fonction de ψ(−1).

— 2. Montrer que ψ(−q) = ψ(q)τ(ψ)N .

— 3. En deduire grace a la formule de Plancherel que |τ(ψ)|2 = N .

Exercice II.9.9. Soit Fq le corps fini a q elements, q = pe, p premier. Il contient le corps fini Fp = Zp.Nous avons vu que les caracteres irreductibles de Zp sont les fonctions k 7→ χq(k), pour q = 0, 1, . . . , p−1,

et l’on a une identification Zp ' Zp.Pour tout a ∈ Fq, soit la : Fq → Fq, la(x) = ax la multiplication par l’element a dans Fq, vu comme

Fp-espace vectoriel. PosonsΨ1(a) = χ1(Tr (la)).

On dit que le caractere η de Fq est non trivial s’il existe x ∈ Fq tel que η(x) 6= 1. Soit u un elementnon nul de Fq et definissons

Ψu(x) = Ψ1(ux), (x ∈ Fq).

— 1. Montrer que Ψu(x) est un caractere non trivial de Fq.— 2. Montrer que si η est un caractere de Fq, alors il existe un unique u ∈ Fq tel que η = Ψu.

— 3. Exprimer les formules d’inversion de Fourier et de Plancherel pour le groupe (Fq,+).

Exercice II.9.10. Caracteres et caracteres...

Une representation de dimension 1 est souvent appelee un caractere. Cette terminologie entre en conflitavec celle de caractere d’une representation (qui est une fonction a valeurs complexe sur le groupe). Enquel sens une representation de dimension 1 s’identifie-t-elle a son caractere ?

Soit A une algebre sur C. Un caractere de l’algebre A est un morphisme d’algebres

χ : A→ C.

Soit G un groupe fini. Montrer que si δ ∈ G ,

χδ : f 7→ d−1δ f(δ)

definit un caractere de l’algebre F(G)G. Reciproquement, montrer que tout caractere de F(G)G provient,a un scalaire pres, d’une representation irreductible de G.

Exercice II.9.11. Une application du lemme de Schur Soit (π, V ) une representation irreductibled’un groupe fini G. Montrer que si 〈. , .〉1 et 〈. , .〉2 sont deux produits hermitiens invariants sur V , ilssont egaux a une constante multiplicative pres.

40

Exercice II.9.12. Decomposition canonique d’une representation.

Dans cet exercice, nous allons retrouver certains resultats de la section II.8. Soit (ρ, V ) une representation

de dimension finie du groupe fini G. Pour tout element δ ∈ G, soit V ′(δ) le sous-espace de V obtenucomme la somme de toutes les sous-representations irreductibles de G dans la classe δ. D’autre part,fixons une decomposition

V =⊕i

Wi

de V en somme directe de sous-representations irreductible. Soit V (δ) la somme (directe donc) de tousles Wj dans la classe δ. Il est donc clair que V (δ) ⊂ V ′(δ).

NotonsHδ = HomG(πδ, ρ).

—1. Montrer que dimHδ est la multiplicite de δ dans la decomposition V =⊕

iWi (c’est-a-dire lenombre de Wi dans la classe δ). En particulier, cette multiplicite ne depend pas de la decompositionchoisie.

—2. Montrer que le morphisme

Φδ : Hδ ⊗ Vδ → V, φ⊗ v 7→ φ(v)

realise un isomorphismeG equivariant entreHδ⊗Vδ et V ′(δ). (On montrera la surjectivite et on comparerales dimensions en utilisant la question precedente). En deduire aussi que V (δ) = V ′(δ) et que donc V (δ)ne depend pas de la decomposition choisie.

(l’action de G sur Hδ ⊗ Vδ est le produit tensoriel de l’action triviale de G sur Hδ et de l’action πδsur Vδ).

—3. Montrer que

Φ :⊕δ∈G

Hδ ⊗ Vδ → V, Φ =∑δ

Φδ

est un isomorphisme G-equivariant.

Exercice II.9.13. Soient (ρ, V ) et (τ, E) deux representations de dimension finie d’un groupe fini G.

Exprimer dim HomG(V,E) en fonction des multiplicites mδ(ρ) et mτ (ρ), δ ∈ G.

Exercice II.9.14. Soit (ρ, V ) une representation de dimension finie du groupe fini G, que l’on supposefidele, c’est-a-dire ρ(g) 6= IdV si g 6= e.

— 1. Montrer que ΘV (g) 6= dimV si g 6= e.

— 2. Soit W une representation irreductible de G. Montrer que la serie formelle

∞∑n=0

〈ΘW ,ΘnV 〉Xn

est une fraction rationnelle que l’on explicitera, mais n’est pas un polynome.

— 3. En deduire que W apparaıt dans une infinite de V ⊗n.

Exercice II.9.15. Dans cet exercice, nous allons montrer le resultat suivant : soit (τ, E) une representationirreductible du groupe fini G. Alors dimE divise |G|. Posons |G| = N et dimE = n. Quitte a remplacerG par G/ ker τ , on peut supposer que τ est fidele, ce que l’on fera dans la suite.

—1. Soit y =∑g∈G Θτ (g−1)τ(g) ∈ End(E). Montrer que y = N

n IdE .

Posons ζ = e2iπN . Notons

ZG = {a0ζ0 + a1ζ

1 + a2ζ2 + · · ·+ aN−1ζ

N−1, ai ∈ Z}

41

et notons ZG[G] les combinaisons lineaires a coefficients dans ZG d’elements τ(g), g ∈ G.

—2. Soit g ∈ G. Montrer que Θτ (g) ∈ ZG puis que y ∈ ZG[G].

—3. On note (γk)1≤k≤N2 les elements de End(E) de la forme ζiτ(g) (0 ≤ i ≤ N − 1, g ∈ G).Demontrer que pour tout k, 1 ≤ k ≤ N2 on peut trouver des coefficients aij dans Z, 1 ≤ i, j ≤ N tels

que yγk =∑N2

l=1 aklγl.

—4. On note A la matrice Nn IN2 − (akl)k,l dans MN2(C). Montrer que det(A) = 0.

—5. Demontrer que Nn est racine d’un polynome a coefficients entiers de degre N2 et de coefficient

dominant 1. En deduire que n divise N .

Exercice II.9.16. Le theoreme du bicommutant et le theoreme de Burnside.

Soit (ρ, V ) une representation d’un groupe G dans un espace vectoriel V de dimension finie n. On nesuppose pas G fini, mais l’on suppose que (ρ, V ) est semi-simple. Si A est une sous-algebre de End(V ),notons A′ son commutant, c’est-a-dire

A′ = {b ∈ End(V ) | ∀a ∈ A, ba = ab},

et A′′ son bicommutant, c’est-a-dire le commutant de A′ (il est clair que A′ est une sous-algebre deEnd(V )).

Le theoreme du bicommutant affirme que si A est la sous-algebre de End(V ) engendree par lesoperateurs ρ(g), g ∈ G, alors A′′ = A.

— 1. Montrer que A ⊂ A′′ et que A′ = EndG(V ) = HomG(V, V ).

— 2. Soit v ∈ V et soit W le sous-espace de V engendre par les vecteurs de la forme ρ(g) · v, g ∈ G(de sorte que W = A · v). Montrer qu’il existe un projecteur p de V sur W entrelacant l’action de G(c’est-a-dire p ∈ EndG(V ) = A′). En deduire que si u ∈ A′′, on a u(W ) ⊂ W , puis qu’il existe a ∈ A telque a(v) = u(v).

— 3. Soit V n = V ⊕ . . . ⊕ V (n facteurs), muni de la representation ρn = ρ ⊕ . . . ⊕ ρ de G. Cetterepresentation est semi-simple. Notons B la sous-algebre de End(V n) engendree par les operateurs ρn(g),g ∈ G, B′ son commutant et B′′ son bicommutant. Choisissons une base (e1, . . . , en) de V et identifionsB ⊂ End(V n) a des matrices diagonales par blocs, chaque bloc etant egal a un meme endomorphismedans A. A quoi s’identifie B′ ? Soit u ∈ A′′ et t = u ⊕ . . . ⊕ u. Verifier que t ∈ B′′ et en deduire qu’ilexiste b ∈ B tel que b(e1, . . . en) = t(e1, . . . en). Conclure.

Passons maintenant au theoreme de Burnside. Il affirme que si G est un groupe et (ρ, V ) est unerepresentation irreductible de G dans un espace vectoriel de dimension finie, alors la sous-algebre A deEnd(V ) engendree par les operateurs ρ(g), g ∈ G est egale a End(V ) toute entiere.

— 4. Deduire le theoreme de Burnside du theoreme du bicommutant et du theoreme de Schur.

Nous allons maintenant donner une application des resultats demontres ci-dessus. Soient G et H deuxgroupes, et (ρ, V ), (σ,W ) des representations irreductibles de G et H respectivement dans des espacesvectoriels de dimension finie. Alors

(ρ� σ, V ⊗W )

est une representation irreductible de G×H et toute representation irreductible de G×H est de cetteforme.

— 5. Montrons d’abord le sens direct. Quelle est la sous-algebre de End(V ⊗W ) engendree par lesoperateurs ρ� σ(g, h), g ∈ G, h ∈ H ? En deduire que V ⊗W est irreductible.

— 6. Soit (τ, U) une representation irreductible de G×H. Notons

τ1 : G→ GL(U), τ1(g) = τ(g, eH)

42

τ2 : H → GL(U), τ2(h) = τ(eG, h).

Soit V un sous-espace de U invariant et irreductible pour la representation τ1 de G et posons ρ = τ1|V .Montrer que pour tout h ∈ H, τ2(h)(V ) est aussi invariant et irreductible pour la representation τ1 de Get que la restriction de τ1 a τ2(h)(V ) est equivalente a (ρ, V ). Montrer que si V ′ est un sous-espace de Uinvariant par τ1 alors, pour tout h ∈ H, ou bien τ2(h)(V )∩ V ′ = {0}, ou bien τ2(h)(V )∩ V ′ = τ2(h)(V ).

— 7. Soient A l’algebre engendree par les operateurs τ(g, h), g ∈ G, h ∈ H et B l’algebre engendreepar les operateurs τ2(h), h ∈ H, Montrer que

U = B(V ).

En deduire qu’il existe h1, . . . hd dans H tels que

U =

d⊕j=1

τ2(hj)(V ),

puis qu’il existe un espace vectoriel W de dimension d et un isomorphisme de representations φ :(τ1, U)→ (ρ⊗ IdW , V ⊗W ).

— 8. Montrer que les operateurs φ ◦ τ2(h) ◦ φ−1, h ∈ H commutent avec tous les operateurs de laforme T ⊗ IdW dans End(V ⊗W ).

— 9. Soit S ∈ End(V ⊗W ) commutant a tous les operateurs de la forme T ⊗ IdW . Montrer qu’ilexiste Y ∈ End(W ) tel que S = IdV ⊗ Y .

— 10. Deduire de ce qui precede que τ2 ' IdV ⊗ σ pour une certaine representation σ de H dans W .Montrer que σ est irreductible.

II.10 Representations induites

Soient G un groupe et H un sous-groupe de celui-ci. Notre but dans cette section est de construire desrepresentations du groupeG a partir de celles deH, ceci de maniere � naturelle�, ou plutot pour employerun terme technique, � fonctorielle �. Ceci suppose d’etendre aussi les morphismes : a tout operateurd’entrelacement entre deux representations de H devra correspondre aussi un operateur d’entrelacemententre les deux representations de G obtenues. Cette operation, que nous allons definir ci-dessus, s’appellel’induction : si (ρ,W ) est une representation de H, on va noter IHH (ρ,W ) la representation de G obtenueet si φ un operateur d’entrelacement entre les representations (τ1,W1) et (τ2,W2) de H, on obtient unoperateur d’entrelacement IGH(φ) entre IGH(ρ1,W1) et IGH(ρ2,W2).

Remarquons qu’une telle construction dans l’autre sens, c’est-a-dire des representations de G vers lesrepresentations de H est evidente. En effet, une representation (π, V ) de G donne par restriction, unerepresentation de H. Notons rGH(π, V ) cette representation de H. Si φ est un operateur d’entrelacemententre deux representations (π1, V1) et (π2, V2) de G, il est trivial de constater que φ est encore unoperateur d’entrelacement entre rGH(π1, V1) et rGH(π2, V2). On le note rGH(φ) si on le considere ainsi.

Les deux � foncteurs �, IGH et rGH ne sont pas inverses l’un de l’autre, mais sont neanmoins lies parune relation tres forte, que l’on appelle dans un contexte general de theorie des categories, adjonction(formellement, elle resemble a la relation d’adjonction entre operateurs dans un espace de Hilbert). Dansle cas particulier qui nous occupe ici, cette relation est appelee reciprocite de Frobenius .

II.10.1 Construction des representations induites

Definition II.10.1. Soient G un groupe et H un sous-groupe et (ρ,W ) une representation de H. NotonsIGH(W ) l’espace des fonctions f : G→W verifiant

(II.10.1) f(hg) = ρ(h) · f(g).

Le groupe G agit par translation a droite sur l’espace IGH(W ). Notons IGH(ρ) cette action :

(IGH(ρ)(k) · f)(g) = f(gk) (k, g ∈ G).

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On appelle (IGH(ρ), IGH(W )) la representation induite de H a G de (ρ,W ).

Soit φ un operateur d’entrelacement entre les representations (τ1,W1) et (τ2,W2) de H. L’operateur

IGH(φ) : IGH(W1)→ IGH(W2), f 7→ φ ◦ f

est un operateur d’entrelacement entre IGH(ρ1,W1) et IGH(ρ2,W2).

Lorsque G est fini, on voit que IGH(W ) contient de maniere canonique un sous-espace isomorphe a W :c’est le sous-espace des fonctions f dans IGH(W ) dont le support est inclus dans le sous-groupe H. Eneffet une telle fonction est determinee par sa valeur en eG, et reciproquement, tout w ∈W determine unetelle fonction par f(eG) = w. Par abus de notation, identifions W et cet espace. L’espace IGH(ρ)(g−1)(W )est alors l’espace des fonctions f dans IGH(W ) de support Hg. L’espace IGH(W ) est la somme de tous cesespaces lorsque g decrit un systeme de representants des classes a droite H dans G :

(II.10.2) IGH(W ) =⊕

g∈H\G

IGH(ρ)(g−1)(W )

C’est une decomposition en somme directe de sous-espaces vectoriels, mais pas de sous-representationsde G.

La construction des representations induites peut se voir plus geometriquement de la facon suivante.La donnee de G,H et (ρ,W ) permet de construire un espace, note G×HW : le produit cartesien G×West muni d’une action de H,

h · (g, w) = (hg, ρ(h) · w), (g ∈ G, w ∈W, h ∈ H)

et G×H W est l’ensemble des orbites. Notons [g, w] l’orbite de (g, w) ∈ G×W pour cette action.

Comme G×W est aussi muni d’une action de G :

k · (g, w) = (gk−1, w), (g, k ∈ G, v ∈W )

qui commute avec celle de H, G ×H W herite d’une action de G. De plus, on dispose d’une projectionnaturelle p : G ×H W → H\G, dont la fibre au-dessus de chaque point est isomorphe a W : en effetp−1({Hg}) = {[hg,w], h ∈ H, w ∈ W} ' W . Remarquons que la projection p est un G-morphisme etque l’action de G sur H\G est transitive.

Exercice II.10.2. Montrer que l’espace IGH(W ) est isomorphe a l’espace Γ(H\G,G×HW ) des sectionsde p, c’est-a-dire aux fonctions s de H\G dans G×H W telles que p ◦ s = IdH\G. Quelle est la structured’espace vectoriel de Γ(H\G,G ×H W ) ? Comment agit G sur Γ(H\G,G ×H W ) pour faire de cetisomorphisme d’espace vectoriel un G-morphisme ?

Exemple II.10.3. Prenons H = {e}, et induisons la representation triviale de H. Il est clair queIGH(TrivH) est la representation reguliere droite de G.

II.10.2 Reciprocite de Frobenius

Les operations de restriction et d’induction sont reliees par la formule suivante, dite reciprocite deFrobenius :

Theoreme II.10.4. Soient G un groupe et H un sous-groupe, (π, V ) une representation de G et (ρ,W )une representation de H. Alors il existe un isomorphisme naturel :

HomG(π, IGH(ρ)) ' HomH(rGH(π), ρ).

Demonstration. Soit φ ∈ HomG(π, IGH(ρ)). Definissons

ψφ ∈ HomH(rGH(π), ρ)

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de la maniere suivante :ψφ(v) = φ(v)(e), (v ∈ V ).

Verifions que ψφ est bien un operateur d’entrelacement : pour tout h ∈ H, pour tout v ∈ V ,

ψφ(π(h) · v) = φ(π(h) · v)(e) = (IGH(ρ)(h) · φ(v))(e) = φ(v)(eh) = φ(v)(he) = ρ(h) · (φ(v)(e)) = ρ(h) · ψφ(v).

Il est clair que φ 7→ ψφ est lineaire. Soit ψ ∈ HomH(rGH(π), ρ). Definissons φψ ∈ HomG(π, IGH(ρ)) parla formule

φψ(v)(g) = ψ(π(g) · v),

pour tout v ∈ V , et tout g ∈ G. Verifions simultanement que φψ est un operateur d’entrelacement et queφψ(v) ∈ IGH(W ) pour tout v ∈ V . On a, pour tout g, k ∈ G, h ∈ H,

φψ(v)(hgk) = ψ(π(hgk) · v) = ρ(h) · ψ(π(g)π(k) · v) = ρ(h) · φψ(π(k) · v)(g).

Enfin, verifions que φψφ = φ et ψφψ = ψ :

φψφ(v)(g) = ψφ(π(g) · v) = φ(π(g) · v)(e) = (IGH(ρ)(g) · φ(v))(e) = φ(v)(g),

ψφψ (v) = φψ(v)(e) = ψ(π(e) · v) = ψ(v).

Disons quelques mots de la � naturalite � de cet isomorphisme. On peut donner un sens precis, tech-nique, a ce mot, mais cela necessite d’introduire des concepts qui depassent le cadre de ce cours (theoriedes categories). Disons simplement que les isomorphismes donnes par le theoreme, lorsque (π, V ) et (ρ,W )varient, se comportent convenablement par rapport aux operateurs d’entrelacement. Plus precisement,supposons que (π1, V1), (π2, V2) soient deux representations de G, que (ρ1,W1), (ρ2,W2) soient deuxrepresentations de H, et que φ ∈ HomG(π2, π1), ψ ∈ HomH(ρ1, ρ2) soient deux operateurs d’entrelace-ment. On en deduit des morphismes :

HomG(π1, IGH(ρ1))→ HomG(π2, I

GH(ρ2)),

f 7→ IGH(ψ) ◦ f ◦ φ,

HomH(rGH(π1), ρ1)→ HomH(rGH(π2), ρ2),

f 7→ ψ ◦ f ◦ rGH(φ).

Le diagramme suivant, ou les fleches horizontales sont les isomorphismes de reciprocite de Frobenius,et les fleches verticales les morphismes que nous venons de definir, est alors commutatif :

HomG(π1, IGH(ρ1)) //

��

HomH(rGH(π1), ρ1)

��HomG(π2, I

GH(ρ2)) // HomH(rGH(π2), ρ2)

Dans le meme ordre d’idee, le resultat suivant affirme que l’induction est transitive � a isomorphismepres �.

Proposition II.10.5. Soient H et K deux sous-groupes de G, K ⊂ H et soit (ρ,W ) une representationde K. Alors

IGH(IHK (ρ,W )) ' IGK(ρ,W )

Nous laissons au lecteur le soin de d’expliciter l’isomorphisme et de montrer qu’il est � naturel �. Unemaniere plus conceptuelle de demontrer ce resultat est de constater que la restriction est trivialementtransitive :

rHK ◦ rGH = rGK .

Il s’agit ici d’une vrai egalite, et non simplement d’un isomorphisme, mais peu importe. Ensuite, il s’agitde voir que IGH(ρ,W ) est caracterise a isomorphisme pres par le theoreme de reciprocite de Frobenius.Nous laissons encore une fois la verification des details au lecteur.

45

II.10.3 Caracteres des representations induites

Nous supposons que les groupes sont finis. Soient G un groupe, H un sous-groupe de G, (π, V )une representation de G et (ρ,W ) une representation de H. Le resultat suivant est un corollaire de lareciprocite de Frobenius :

Corollaire II.10.6. On a(Θπ,ΘIGH(ρ)) = (ΘrGH(π),Θρ).

Par linearite, il suffit de montrer ceci lorsque π et ρ sont irreductibles. On sait alors (Θπ,ΘIGH(ρ)) est

la multiplicite de π dans IGH(ρ), qui est aussi la dimension de HomG(π, IGH(ρ)). De meme (ΘrGH(π),Θρ)

est la multiplicite de ρ dans rGH(π), et est egal a la dimension de HomH(rGH(π), ρ).

Nous voulons maintenant calculer le caractere de IGH(ρ) en fonction de celui de ρ. Ceci est donne parla

Proposition II.10.7. Soit g ∈ G. On a alors

(II.10.3) ΘIGH(ρ)(g) =∑

s∈H\G,sgs−1∈H

Θρ(sgs−1).

Demonstration. Soit g ∈ G, nous voulons donc calculer la trace de l’operateur IGH(ρ)(g). Ceci est facileen utilisant (II.10.2) ; en effet g−1 permute les classes dans H\G, et les seules contributions a cettetrace proviennent donc des classes s ∈ H\G telles que sg−1 = s, c’est-a-dire sg−1s−1 ∈ H, ou encoresgs−1 ∈ H. L’action de g preserve alors le sous-espace des fonctions a support dans Hs :

IGH(ρ)(g) : IGH(ρ)(s−1)(W ) −→ IGH(ρ)(gs−1) ' IGH(ρ)(s−1)(W )

et, lorsqu’on identifie ces deux espaces a W (par evaluation en s), l’action de g est donnee par ρ(sgs−1).On a alors

(II.10.4) ΘIGH(ρ)(g) =∑

s∈H\G,sgs−1∈H

Θρ(sgs−1).

II.11 Exercices

Exercice II.11.1. Soient G un groupe fini, H un sous-groupe de G et (ρ,W ) une representation de H.Soit C une classe de conjugaison dans G, et ecrivons

C ∩H =∐i

Di

ou les Di sont des classes de conjugaison dans H. Montrer que (II.10.4) peut se reecrire

ΘIGH(ρ)(C) =|G||H|

∑i

|Di||C|

Θρ(Di).

Que cela donne-t-il lorsque ρ est la representation triviale de H ?

Exercice II.11.2. Considerons S2 comme sous-groupe de S3. Determiner la decomposition en representationsirreductibles de IS3

S2(sgn).

Exercice II.11.3. Considerons S3 comme sous-groupe de S4. Soit V la representation standard de S3

(c’est la representation de dimension 2 introduite dans l’exercice II.9.3). Calculer la decomposition enrepresentations irreductibles de IS4

S3(V ).

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Exercice II.11.4. Soient H et K deux sous-groupes de G, et (ρ,W ) une representation de H. Nousallons calculer

rGK(IGH(ρ,W )).

Rappelons que IGH(W ) est l’espace des fonctions f : G→W verifiant

f(hg) = ρ(h) · f(g)

Soit g ∈ G. Montrer que le sous-espace des fonctions f ∈ IGH(ρ) a support dans la double classe HgKest stable sous l’action de K. Notons Vg cet espace. Fixons un systeme de representants {gi} des doublesclasses dans H\G/K. En deduire que

IGH(W ) =⊕i

Vgi

est une decomposition de IGH(W ) en somme directe de representations de K.

— Si (τ, E) est une representation d’un sous-groupe Γ de G, on note, pour tout g ∈ G, (τg, E) larepresentation de gΓg−1 dans E donnee par

τg(gγg−1) = τ(γ).

Montrer que Vg est isomorphe en tant que representation de K a :

IKK∩g−1Hg(rHgKg−1∩H(ρ)g

−1

),

puis que

rGK(IGH(ρ,W )) =⊕i

IKK∩g−1

i Hgi(rHgiKg

−1i ∩H

(ρ)g−1i ).

On prend H = K, que l’on suppose de plus distingue dans G. Que donne la formule obtenue ? Endeduire une formule la dimension de HomG(IGH(ρ), IGH(ρ)) puis un critere d’irreductibilite pour IGH(ρ).

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Chapitre III

Modules sur un anneau

III.1 Definitions et exemples

Dans le chapitre I, nous avons presente les notions de groupe et d’action de groupes en partant d’unensemble X et du groupe de ses bijections Aut(X). De la meme maniere, on peut introduire les notionsd’anneau et de module sur un anneau en partant d’un groupe abelien (M,+). Soit EndZ(M) l’ensembledes endomorphismes de M pour la structure de groupe abelien. Cet ensemble herite de M d’une loid’addition, que l’on note encore +, et d’un element nul 0M , qui en font un groupe abelien. Si l’ony ajoute la loi de multiplication ◦ donnee par la composition des endomorphismes (non commutativeen general), et l’endomorphisme IdM (l’identite de M), on obtient sur EndZ(M) une structure d’an-neau unitaire. On peut alors prendre comme axiomes pour la definition des anneaux les proprietes de(EndZ(M),+, 0M , ◦, IdM ). Nous ne rappelons pas ici ces axiomes que nous supposons connus du lecteur.La loi d’addition sur un anneau A sera toujours notee +, et son element neutre 0A, ou simplement 0 sicela ne prete pas a confusion. La loi de multiplication sera simplement notee (a, b) 7→ ab et l’unite par1A (ou simplement 1) (nous ne considerons que des anneaux unitaires). Nous ne rappelons pas non plusla notion de morphisme d’anneaux, nous rappelons simplement qu’on demande a un tel morphisme depreserver les unites.

Nous rappelons neanmoins quelques definitions relatives a un anneau A.

- Un ideal a gauche I est un sous-groupe du groupe abelien (A,+) stable par multiplication a gauchepar les elements de A :

(∀a ∈ A, ∀x ∈ I, ax ∈ I).

- Un ideal a droite est defini de la meme facon en remplacant � gauche � par � droite �.

- Un ideal bilatere est un ideal a gauche qui est aussi un ideal a droite.

Si I est un ideal bilatere de A, le groupe quotient A/I est naturellement muni d’une structured’anneau.

- Un element a de A est dit inversible s’il existe b ∈ a tel que ab = ba = 1A. L’ensemble des elementinversible de A est note A×.

- Soient a et b deux elements de l’anneau A. On dit que a est un diviseur a gauche de b (ou que best un multiple a gauche de a s’il existe c ∈ A avec b = ac). On definit de meme diviseurs et multiples adroite, mais remarquons que nous n’utiliserons ces notions que pour des anneaux commutatifs.

- On dit que l’anneau A est integre si le produit de deux elements non nuls est non nul.

Exercice III.1.1. Montrer que tout anneau A est isomorphe a un sous-anneau d’un anneau EndZ(M)pour un certain groupe abelien M .

Considerons maintenant l’action naturelle de EndZ(M) sur M :

(III.1.1) a : EndZ(M)×M −→M, (φ,m) 7→ φ ·m = φ(m).

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C’est une action de groupe pour la structure de groupe abelien sur EndZ(M), c’est-a-dire que l’on a

(III.1.2) (φ1 + φ2) ·m = φ1 ·m+ φ2 ·m, (φ1, φ2 ∈ EndZ(M), m ∈M),

ce qui implique en particulier que

(III.1.3) 0M ·m = m, (m ∈M),

On a en plus une propriete de compatibilite avec la structure de groupe abelien de M car les elementsde EndZ(M) sont des morphismes de groupes abeliens :

(III.1.4) φ · (m1 +m2) = φ ·m1 + φ ·m2, (φ ∈ EndZ(M), m1,m2 ∈M).

Enfin, on a l’associativite de la composition :

(III.1.5) (φ1 ◦ φ2) ·m = φ1 · (φ2 ·m), (φ1, φ2 ∈ EndZ(M), m ∈M),

et par definition de IdM ,

(III.1.6) IdM ·m = m, (m ∈M).

On prend ces proprietes comme axiomes de la structure de A-module, ou A est un anneau.

Definition III.1.2. Soient A un anneau et (M,+) un groupe abelien. On dit que M est un A-module(a gauche) si l’on a une application

(III.1.7) a : A×M −→M, (a,m) 7→ a ·m

verifiant les proprietes suivantes :

(distributivite) (a1 + a2) ·m = a1 ·m+ a2 ·m, (a1, a2 ∈ A, m ∈M),(III.1.8)

(linearite) a · (m1 +m2) = a ·m1 + a ·m2, (a ∈ End(M), m1,m2 ∈M),(III.1.9)

(associativite) a1 · (a2 ·m) = (a1a2) ·m, (a1, a2 ∈ End(M), m ∈M),(III.1.10)

(element neutre) 1A ·m = m, (m ∈M).(III.1.11)

Nous laissons le lecteur degager de lui-meme la notion (non equivalente si l’anneau n’est pas commu-tatif) de module a droite. Lorsque l’on ne precise pas, A-module veut dire A-module a gauche.

De maniere equivalente, M est un A-module si et seulement si l’application

A −→ End(M), a 7→ (m 7→ a ·m)

est un morphisme d’anneaux.

Exemples III.1.3. Donnons quelques exemples importants.

1 - Tout groupe abelien M est naturellement un Z-module. La structure d’anneau de Z est tellementsimple qu’etre un Z-module n’apporte aucune information supplementaire au fait d’etre un groupe abelien

2 - Soit k un corps. Un k-module n’est rien d’autre qu’un k-espace vectoriel. La theorie des modulesest donc une generalisation de l’algebre lineaire, mais il faut prendre garde que certains resultats del’algebre lineaire ne se generalisent pas aux modules. Par exemple, les notions de famille libre et famillegeneratrice ont un sens pour les modules, mais ceux-ci n’admettent pas en general de base.

3 - L’anneau A est un A-module a gauche (A agit sur lui-meme par multiplication a gauche). Onappelle ce module le module regulier. Un sous-module du A-module regulier A est un ideal a gauche.

4 - Soit I un ensemble, et A un anneau. Alors AI (l’ensemble des familles indexees par I d’elementsde A, ou encore l’ensemble des application de I dans A) est naturellement un A-module.

5 - Le sous-ensemble A(I) de AI des suites (ai)i∈I a support fini, c’est-a-dire telles que tous les aisauf un nombre fini sont nuls, est un A-module. Le module A(I) s’appelle le A-module libre de base I(nous verrons plus loin le pourquoi de cette terminologie). Si I = {1, . . . , n}, on note alors simplementce module An.

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6 - Soient k un corps, V un espace vectoriel sur k, et u un endomorphisme de V . Alors V est munid’une structure de k[X]-module par

P · v = P (u)(v), (P ∈ k[X], v ∈ V ).

Reciproquement, si V est un k[X]-module, c’est en particulier un k-module, et donc un k-espace vectoriel,et v 7→ X · v definit un endomorphisme de V . Les deux notions sont donc equivalentes. Nous verronsque la theorie de la reduction des endomorphismes se deduit de theoremes generaux sur la structure desk[X]-modules.

7 - On peut generaliser l’exemple precedent : la donnee de n endomorphimes u1, . . . , un d’un k-espacevectoriel V qui commutent deux a deux est equivalente a la donnee d’une structure de k[X1, . . . , Xn]-module sur V (par Xi · v = ui(v)). La theorie de la reduction simultanee des endomorphismes u1, . . . , undecoule de la theorie generale des k[X1, . . . , Xn]-modules.

8- On peut encore generaliser. Si G est un groupe, et k un corps, on forme l’algebre k[G] dont leselements sont les combinaisons lineaires formelles

∑g∈G cg [g] (a support fini, seul un nombre fini de cg

sont non nuls). Le produit est defini par∑g∈G

cg [g]

∑g∈G

dh [h]

=∑g,h∈G

cgdh [gh].

Un k[G]-module V n’est alors rien d’autre qu’une representation de G dans le k-espace vectoriel V , lesdeux notions sont equivalentes.

Ayant definis les objets qui nous interessent (les A-modules), il s’agit maintenant de definir les mor-phismes entre les objets.

Definition III.1.4. Soient A un anneau et M , N , deux A-modules. Un morphisme de A-modules

f : M −→ N

est un morphisme de groupes abeliens verifiant de plus :

f(a ·m) = a · f(m), (a ∈ A, m ∈M, n ∈ N).

On note HomA(M,N) l’ensemble des morphismes de A-modules de M dans N . Il est muni d’unestructure evidente de groupe abelien. On note aussi EndA(M) = HomA(M,M) et AutA(M) le sous-groupe des inversibles de l’anneau EndA(M).

Exercice III.1.5. Soient k un corps et M , N deux k[X]-modules correspondants respectivement auxendomorphismes u et v des k-espaces vectoriels M et N (cf. Exemples III.1.3, 6.). Comment caracteriserles elements de Homk[X](M,N) ? Ceux de Autk[X](M)

III.2 Operations sur les modules

III.2.1 Sous-modules

Soit M un A-module. On dit que N ⊂ M est un sous A-module si N est un sous-groupe du groupeabelien M qui reste stable sous-l’action de A, c’est-a-dire que pour tout a ∈ A et tout n ∈ N , a ·n ∈ N .

Exemple III.2.1. Soit f : M1 →M2 un morphisme de A-modules. Alors

ker(f) = {m ∈M1 | f(m) = 0}

est un sous-A-module de M1, etIm (f) = {f(m)|m ∈M1}

est un sous-A-module de M2.

Si N1 est un sous-module de M1, f(N1) est un sous-module de M2, et si N2 est un sous-module deM2, f−1(N2) est un sous-module de M1.

Exemple III.2.2. Nous avons deja mentionne ci-dessus qu’un sous-A-module du module regulier (agauche) A s’appelle un ideal a gauche de A.

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III.2.2 Intersection de sous-modules

Soit M un A-module, et soit (Mi)i∈I une famille de sous-modules de M . Alors⋂i∈I

Mi ⊂M

est un sous-A-module de M .

III.2.3 Sous-module engendre par une partie

Soit M un A-module, et soit X une partie de M . On appelle sous-module engendre par X, et onnote 〈X〉 le plus petit sous-module de M contenant X, c’est-a-dire l’intersection de tous les sous-modulescontenant X :

〈X〉 =⋂

X⊂M ′⊂MM ′

Concretement, on a un morphisme de A-module :

A(X) −→M, (ax)x∈X 7→∑x∈X

ax · x

(la somme est a support fini) et 〈X〉 est l’image de ce morphisme.

III.2.4 Somme de sous-modules

Soient (Mi)i∈I une famille de sous-modules d’un A-module M . On appelle somme des Mi dans M lesous-module de M engendre par la reunion des Mi, et on le note

∑i∈IMi :∑

i∈IMi = 〈

⋃i∈I

Mi 〉 ⊂M.

III.2.5 Modules quotient

Soit M un A-module et soit N un sous-module de M . On munit le groupe quotient M/N d’unestructure de A-module par

a · m = a ·m, (m ∈M/N), (a ∈ A).

On verifie immediatement que la definition de cette action ne depend pas du representant choisi m ∈Mde m. La projection canonique π : M →M/N est un morphisme de A-modules.

Exemple III.2.3. Soit f : M1 →M2 un morphisme de A-modules. Alors

coker(f) = M2/Im (f)

est un module quotient de M2, appele conoyau de f et

coim(f) = M1/ ker(f)

est un module quotient de M1, appele coimage de f .

Exemple III.2.4. Soit M un A-module et soit I un ideal bilatere de A. On note IM le sous-moduleengendre par les elements de la forme a·m, a ∈ I, m ∈M . L’ideal I est inclus dans le noyau du morphismed’anneaux de A dans EndZ(M/IM), ce dernier se factorise donc en un morphisme d’anneaux de A/Idans EndZ(M/IM). Autrement dit M/IM est naturellement muni d’une structure de A/I-module.

En particulier, si I annule M , c’est-a-dire si a · m = 0 pour tout m ∈ M et tout a ∈ I, alors Mdevient naturellement un A/I-module.

52

III.2.6 Produits

Soit (Mi)i∈I une famille de A-modules. On munit le produit des groupes abeliens∏i∈IMi d’une

structure de A-module par

a · (mi)i∈I = (a ·mi)i∈I , (a ∈ A), (mi)i∈I ∈∏i∈I

Mi

Les projections pj :∏i∈IMi →Mj sont des morphismes de A-modules.

La propriete universelle du produit est : etant donne pour tout i ∈ I, un morphisme de A-modulesfi : N → Mi, il existe un unique morphisme f : N →

∏i∈IMi tel que fj = pj ◦ f , pour tout j ∈ I, ou

autrement dit

HomA(N,∏i∈I

Mi) '∏i∈I

HomA(N,Mi).

III.2.7 Sommes directes

Soit (Mi)i∈I une famille de A-modules. La somme directe des groupes abeliens⊕

i∈IMi est le sous-groupe du produit

∏i∈IMi dont les elements sont les familles (mi)i∈I dont seul un nombre fini d’elements

sont non nuls. On verifie facilement que⊕

i∈IMi est un sous-A-module de∏i∈IMi. Les injections

ιj : Mj →∏i∈IMi sont des morphismes de A-modules.

La propriete universelle de la somme directe est : etant donne pour tout i ∈ I, un morphisme deA-module fi : Mi → N , il existe un unique morphisme f :

⊕i∈IMi → N tel que fi = f ◦ ιj , pour tout

j ∈ I, ou autrement dit

HomA(⊕i∈I

Mi, N) '∏i∈I

HomA(Mi, N).

Remarque III.2.5. Les deux notions, produit et somme directe, sont proches mais non equivalentes :c’est evident lorsqu’on considere des sommes et produits infinis, mais meme lorsque l’ensemble d’indicesest fini et que l’on a

∏i∈IMi =

⊕i∈IMi, le produit vient avec les projections canoniques pi, tandis que

la somme vient avec les injections canonique ιi.

III.2.8 Sommes directes internes

On a vu plus haut la notion de somme d’une famille (Mi)i∈I de sous-modules d’un A-module M :c’est un sous-module que l’on a note

∑i∈IMi. C’est une notion interne au module M . On a aussi defini

la somme directe d’une famille (Mi)i∈I , qui ne suppose pas que les (Mi)i∈I soient des sous-modules d’unmodule commun. A posteriori, les Mi sont des sous-modules de leur somme directe

⊕i∈IMi.

Revenons au premier cas, ou les Mi sont des sous-modules d’un module M . On a une application⊕i∈I

Mi −→∑i∈I

Mi (⊂M), (mi)i∈I 7→∑i

mi

(seul un nombre fini de mi sont non nuls, ceci est bien defini). Ce morphisme est surjectif. S’il est aussiinjectif, c’est-un isomorphisme. On dit alors que les Mi sont en somme directe dans M , et l’on ecrit aussi⊕

i∈IMi pour le sous-module∑i∈IMi dans ce cas (somme directe interne).

Exercice III.2.6. (Pull-back). Soient g : M → N , g′ : M ′ → N deux morphismes de A-modules. Onveut construire un objet L (le pull-back de g, g′), muni de deux morphismes f : L → M , f ′ : L → M ′,verifiant la propriete universelle suivante :

- pour tout couple de morphisme h : X → M , h′ : X → M ′, tels que g′ ◦ h′ = g ◦ h, il existe un

53

unique morphisme φ : X → L rendant le diagramme suivant commutatif

X

φ''

h

**h′

��

L

f ′

��

f// M

g

��M ′

g′// N

1- Montrer l’existence et l’unicite d’un tel objet (deux tels objets sont isomorphes par un isomorphismeuniquement determine) .

2- Montrer que f ′ induit un isomorphisme de ker f sur ker g′ et que si g′ est injectif, alors f aussi.

Exercice III.2.7. (Push-out). Soient g : N → M , g′ : N → M ′ deux morphismes de A-modules. Onveut construire un objet L (le push-out de g, g′), munit de deux morphismes f : M → L, f ′ : M ′ → L,verifiant la propriete universelle suivante :

- pour tout couple de morphisme h : M → X, h′ : M ′ → X, tels que h′ ◦ g′ = h ◦ g, il existe ununique morphisme φ : L→ X rendant le diagramme suivant commutatif

N

g′

��

g// M

h

��

f

��M ′

h′

**

f ′ // Lφ

''X

1- Montrer l’existence et l’unicite d’un tel objet.

2 - Montrer que f induit un isomorphisme de cokerg sur cokerf ′ et que si g est surjectif, alors f ′

aussi.

III.3 Theoremes d’isomorphisme

Soit f ∈ HomA(M,M ′′) et soit M ′ un sous-module de M contenu dans ker f . Alors f est constantesur les classes de M ′ dans M et induit donc f : M/M ′ → M ′′. On verifie immediatement que f est unmorphisme de A-modules. On peut appliquer ceci a M ′ = ker f . On obtient

f : M/ ker f →M ′′,

ce morphisme f ayant maintenant la propriete d’etre injectif. On a evidemment Im (f) = Im (f), et l’onobtient le

Theoreme III.3.1 (premier theoreme d’isomorphisme). Soit f : M →M ′′ un morphisme de A-module.On a

coim(f) = M/ ker f ' Im (f)

l’isomorphisme etant realise par f .

Puisqu’il y a un premier theoreme d’isomorphisme, c’est qu’il y en a un deuxieme.

Theoreme III.3.2 (deuxieme theoreme d’isomorphisme). Soient M ′′ ⊂ M ′ deux sous-modules d’unA-module M . Alors M ′/M ′′ est un sous-module de M/M ′′ et l’on a un isomorphisme canonique

(M/M ′′) / (M ′/M ′′) 'M/M ′.

54

Demonstration. La projection canonique π : M → M/M ′, de noyau M ′, induit π : M/M ′′ → M/M ′,dont le noyau est M ′/M ′′. On applique le premier theoreme d’isomorphisme en remarquant que π etantsurjective, π aussi.

Remarque III.3.3. On a une bijection entre sous-modules de M contenus dans M ′′ et sous-modulesde M/M ′′, donnee par M ′ 7→M ′/M ′′.

Il y a aussi un troisieme theoreme d’isomorphisme :

Theoreme III.3.4 (troisieme theoreme d’isomorphisme). Soient M ′,M ′′ deux sous-modules d’un A-module M . Alors on a un isomorphisme canonique

M ′/(M ′ ∩M ′′) ' (M ′ +M ′′)/M ′′.

Demonstration. On considere le morphisme

M ′ −→M ′ +M ′′ −→M ′ +M ′′/M ′′.

Il est surjectif, de noyau M ′ ∩M ′′, et on applique le premier theoreme d’isomorphisme.

III.4 Suites exactes

On dit qu’une suite de morphisme de A-modules

M0f0−→M1

f1−→M2 −→ · · · −→Mnfn−→Mn+1

est exacte si et seulement si pour tout i = 0, . . . , n − 1, Im (fi) = ker(fi+1) Une suite exacte coute estune suite exacte de la forme

0 −→M ′f−→M

g−→M ′′ −→ 0

en particulier f est injective et g est surjective.

La notion de suite exacte est au coeur de l’etude des modules, la raison en etant qu’en un certain sens,le module M peut s’analyser en termes de son sous-module Im (f) isomorphe a M ′ et de son modulequotient M/ ker g isomorphe a M ′′.

Exercice III.4.1. Soit la suite exacte courte de A-modules :

0 −→M ′f−→M

g−→M ′′ −→ 0

Montrer que les conditions suivantes sont equivalentes :

(i) Il existe un morphisme de A-modules s : M ′′ →M tel que g ◦ s = IdM ′′ .

(ii) Il existe un morphisme de A-modules t : M →M ′ tel que t ◦ f = IdM ′ .

(iii) Il existe un isomorphisme de A-modules φ : M ' M ′ ⊕ M ′′ tels que, si ιM ′ est l’injectioncanonique de M ′ dans M ′ ⊕M ′′ et pM ′′ la projection canonique de M ′ ⊕M ′′ sur M ′′, ιM ′ = φ ◦ f etg = pM ′′ ◦ φ.

On dit qu’une suite exacte courte verifiant l’une de ces conditions est scindee. Une telle suite reduitl’etude du module M a celle d’une somme directe de deux modules � plus petits �. Si A = k est uncorps, une suite exacte courte de k-espaces vectoriels est toujours scindee (tout sous-espace admet unsupplementaire). Ce n’est pas le cas en general pour des A-modules.

Exercice III.4.2. Montrer que la suite exacte

0 −→ Z n×−→ Z −→ Z/nZ −→ 0

n’est pas scindee.

55

Exercice III.4.3. On munit Z2 de structures de Z[X]-modules par

(a) X · (a, b) = (b, a)

(b) X · (a, b) = (a+ b, b).

Dans le cas (a), quelles sont les structures de Z[X]-modules sur Z qui font de

0 −→ Z a7→(a,a)−→ Z2 −→ Z −→ 0

une suite exacte courte ? Est-elle alors scindee ?

Memes questions dans le cas (b) avec

0 −→ Z a 7→(a,0)−→ Z2 −→ Z −→ 0.

Exercice III.4.4. (Exactitude a gauche des foncteurs HomA) Soit N un A-module.

Soit 0 −→M ′u−→M

v−→M ′′ une suite exacte de A-modules. Montrer que l’on a la suite exacte

0 −→ HomA(N,M ′)u◦·−→ HomA(N,M)

v◦·−→ HomA(N,M ′′).

Soit M ′u−→M

v−→M ′′ −→ 0 une suite exacte courte de A-modules.

0 −→ HomA(M ′′, N)·◦v−→ HomA(M,N)

·◦u−→ HomA(M ′, N).

Exercice III.4.5. (Lemme des 5 court) On considere un diagramme commutatif de morphismes deA-modules de la forme suivante, ou les deux lignes forment des suites exactes :

0 // L //

f

��

M //

g

��

N

h��

// 0

0 // L′ // M ′ // N ′ // 0

Montrer que si, parmi les trois momorphismes f , g et h, deux sont des isomorphismes, alors le troisiemeest aussi un isomorphisme.

Exercice III.4.6. (Lemme du serpent) On considere un diagramme commutatif de morphismes deA-modules de la forme suivante, ou les deux lignes forment des suites exactes :

Lu //

f

��

Mv //

g

��

N

h��

// 0

0 // L′u′ // M ′

v′ // N ′

Montrer qu’il existe une suite exacte canonique

ker f → ker g → kerhδ→ cokerf → cokerg → cokerh.

(Indication : les deux premieres fleches sont induites par u et v ; les deux dernieres par u′ et v′. Soitx ∈ kerh ; on peut ecrire x = v(y), avec y ∈M ; il existe alors un unique z ∈ L′ tel que u′(z) = g(y). Onverifie que la classe z + Im f ne depend que de x et pas du choix de y, ce qui autorise a poser δ(x) = z.L’homomorphisme δ etant ainsi defini, il faut verifier que la suite obtenue est exacte. Note : δ est appelehomomorphisme de liaison.)

III.5 Ideal annulateur. Torsion

Soit M un A-module, et soit m ∈M . On pose

AnnA(m) = {a ∈ A| a ·m = 0}.

56

Plus generalement, pour toute partie E ⊂M , on pose

AnnA(E) = {a ∈ A| a ·m = 0, (∀m ∈ E)} =⋂m∈E

AnnA(m).

C’est un ideal (a gauche) de A, appele ideal annulateur de E. Remarquons que AnnA(M) est un idealbilatere de A.

Un element m ∈ M est dit de torsion si AnnA(m) 6= {0}. L’ensemble des elements de torsion de Mest note TorA(M).

Remarque III.5.1. La possibilite d’avoir des elements de torsion dans un module est un des faits quidistingue la theorie generale des modules de la theorie des espaces vectoriels.

L’ensemble TorA(M) n’est pas en general un sous-module de M . Par exemple, si M = A, les elementsde torsion sont les diviseurs (a droite) de zero, qui ne forment pas un ideal en general. Pour avoir cettepropriete, il faut des hypotheses supplementaires, par exemple :

Proposition III.5.2. Soit M un A-module, ou A est anneau commutatif, integre. Alors TorA(M) estun sous-module de M .

Demonstration. La stabilite par l’action de A est claire, grace a la commutativite de A. Si m1, m2 ∈TorA(M), il existe a1 et a2 dans A, non nuls, tels que a1 · m1 = 0 et a2 · m2 = 0, et l’on en deduitfacilement que (a1a2) · (m1 +m2) = 0. De plus a1a2 6= 0 car A est integre.

III.6 Familles generatrices, familles libres, bases

Definition III.6.1. SoitM un A-module et soit (xi)i∈I une famille (xi)i∈I d’elements deM . Consideronsle morphisme

(III.6.1) A(I) −→M, (ai)i∈I 7→∑i∈I

ai · xi

On dit que la famille (xi)i∈I est generatrice si ce morphisme est surjectif, c’est-a-dire que le sous-moduleengendre par les xi (voir section III.2.3) est M tout entier.

Les elements du noyau de ce morphisme s’appellent les relations entre les xi. On dit que la famille(xi)i∈I est libre si ce noyau est trivial.

Si le morphisme (III.6.1) est un isomorphisme, le famille (xi)i∈I est a la fois libre et generatrice, etl’on dit que c’est une base de M .

On dit que le module M est libre s’il admet une base, c’est-a-dire s’il est isomorphe a un A(I).

Exercice III.6.2. Quelles sont les bases du A-module A ?

Remarque III.6.3. Le vocabulaire ci-dessus est coherent avec le vocabulaire usuel de la theorie desespaces vectoriels, mais de nombreuses proprietes valides pour les espaces vectoriels ne sont plus vraiesen general.

1 - Un A-module M n’admet pas necessairement de base. Par exemple, si I est un ideal de A nonnul et non egal a A, alors tous les elements de A/I sont de torsion : Tor(A/I) = A/I et A/I n’admetaucune famille libre non vide.

2 - Si M est un module libre, un sous-module de M n’est pas necessairement libre. Par exemple, siI est un ideal de A non nul et non egal a A, alors deux elements de I sont lies, et les familles libres deI ont au plus un element. Les ideaux I ne sont libres que si si A est principal, et meme cette conditionn’est pas suffisante, il faut en plus supposer A integre.

3 - Une famille libre maximale n’est pas necessairement une base : dans le Z-module Z, la famille aun element (2) est libre et maximale (elle n’est strictement contenue dans aucune autre famille libre).

4 - Une famille generatrice minimale n’est pas necessairement une base : dans le Z-module Z, la famillea deux element (2, 3) est generatrice et minimale (elle ne contient aucune sous-famille generatrice), maisce n’est pas une base.

57

III.6.1 Modules libres

Theoreme III.6.4. Soit A un anneau commutatif, et soit M un A-module admettant une base finie(x1, . . . , xn) ayant n elements. Alors toute base de M est de cardinal n. De maniere equivalente, si An

et Am sont isomorphes, alors n = m. On appelle alors rang de M le cardinal d’une de ses bases.

Ce qui est surprenant dans cet enonce, c’est que la condition A commutatif est necessaire. En effetil existe un anneau non commutatif A tel que An et Am soient isomorphes, avec n 6= m, mais un telexemple est difficile a construire.

Demonstration. Nous esquissons deux demonstrations. La premiere est basee sur le theoreme de Krull(voir chapitre IV). Soit I un tel ideal maximal. Alors A/I est un corps. Supposons que l’on ait unisomorphisme f : An → Am. Soit (e1, . . . , en) la base canonique de An, et soit (i1, . . . , in) ∈ In. On af(i1, . . . , in) =

∑ni=1 iif(ei) ∈ Im car I est un ideal. Le morphisme f induit donc un morphisme

f : (An/In) ' (A/I)n −→ (Am/Im) ' (A/I)

m.

On verifie facilement que f reste un isomorphisme. On est donc ramene au cas des espaces vectoriels surun corps, que l’on suppose connu, et l’on obtient n = m.

La seconde demonstration utilise la theorie des matrices a coefficients dans A. On suppose que Madmet deux bases, la premiere (e1, . . . , en), et la seconde (f1, . . . , fm), avec m > n. On ecrit fi =∑nj=1 aijej , et ej =

∑mk=1 bjkfk, ce qui en substituant donne pour i = 1, . . . ,m

fi =

n∑j=1

aij

(m∑k=1

bjkfk

)=

m∑k=1

n∑j=1

aijbjk

fk

En terme matriciel, avec A = (aij) ∈ Mm,n(A) et B = (bk,`) ∈ Mn,m, ceci equivaut a AB = Im.

On complete les matrices rectangulaires A et B en des matrices carrees A, B dans Mn(A) en ajoutantm − n lignes nulles a B (en bas), et m − n colonnes nulles a A (a droite). On a encore AB = Im,et l’on peut montrer en utilisant la theorie des determinants, que A et B sont inversibles. En effet laformule det(M)In = A× tCom(A) (transposee de la comatrice) reste valable sur un anneau commutatif,et det(AB) = 1 = det(A) det(B), donc det(A), det(B) sont inversibles dans A, ce qui montre l’assertion.On a ainsi BA = Im, ce qui est en contradiction avec la forme de ces matrices.

III.6.2 Propriete universelle des modules libres

Nous avons vu dans l’exemple III.1.3,5 la definition du A-module libre de base I, note A(I). Lapropriete universelle satisfaite par ce module est la suivante. Pour deux ensembles X et Y , notonsHomEns(X,Y ) l’ensemble des applications de X dans Y . On peut voir un A-module N simplementcomme un ensemble. Pour tout module N , on a un isomorphisme � naturel � :

ΦI,N : HomEns(I,N) ' HomA(A(I), N).

En effet, la definition de cet isomorphisme est � naturelle �, dans le sens usuel de cet adjectif enfrancais : pour tout j ∈ I l’on note δj l’element de A(I) defini par δj(i) = 1A si i = j et 0A si-non. Si φ ∈ HomA(A(I), N), on definit un element de HomEns(I,N) par i 7→ φ(δi), et reciproquementf ∈ HomEns(I,N), on definit φ(δi) = f(i) et ceci s’etend de maniere unique par linearite en un morphismeφ ∈ HomA(A(I), N). Ces deux operations sont inverses l’une de l’autre et definissent l’isomorphisme (deZ-modules) cherche. La � naturalite � de cet isomorphisme a aussi un sens technique, que nous n’expli-citons pas totalement (c’est un concept de la theorie des categories). Disons simplement que tout elementg ∈ HomEns(I, J) definit par composition

g∗N : HomEns(J,N) −→ HomEns(I,N), f 7→ f ◦ g,

et aussi un morphisme de A-modules :

g(.) : A(I) −→ A(J), δi 7→ δg(i)

58

qui definit a son tour par composition

g∗M = HomA(A(J),M) −→ HomA(A(I),M), φ 7→ φ ◦ g(.).

De meme, tout morphisme de A-modules ψ ∈ HomA(M,N) definit

ψI∗ = HomA(A(I),M) −→ HomA(A(I), N), φ 7→ ψ ◦ φ,

etψI∗ : HomEns(I,M) −→ HomEns(I,N), f 7→ ψ ◦ f,

Remarquons que ψI∗ ◦ g∗M : HomA(A(J),M) −→ HomA(A(I), N) est egal a g∗N ◦ ψJ∗ , et de meme pour

ψI∗ ◦ g∗M , g∗N ◦ ψJ∗ : HomEns(J,M) −→ HomEns(I,N).

Notons simplement (g, ψ) ces morphismes. On a alors, pour tout g,ψ comme ci-dessus :

ΦI,N ◦ (g, ψ) = (g, ψ) ◦ ΦJ,N .

C’est cette propriete qui constitue la naturalite des isomorphismes ΦI,N .

Exercice III.6.5. Montrer que tout module est quotient d’un module libre.

III.6.3 Modules projectifs

Cette notion est presentee ici sous forme d’exercice.

Exercice III.6.6 (Modules projectifs). Nous avons vu dans l’exercice III.4.4 que si

0 −→M ′u−→M

v−→M ′′ −→ 0

est une suite exacte courte de A-modules, alors pour tout A-module N


v◦·−→ HomA(N,M ′′)

est exacte.

Le but de cet exercice est de caracteriser les modules N tels que l’on obtienne une suite exacte courtecomplete :


v◦·−→ HomA(N,M ′′)→ 0

Les modules verifiant cette propriete (P1) sont appeles modules projectifs.

1. Montrer que P est projectif si et seulement si :

(P2) pour tout morphisme Pf−→ M ′′ et pour tout morphisme M

f−→ M ′′ surjectif, il existe un

morphisme Ph−→M tel que f = g ◦ h. On illustre cela par le diagramme commutatif

P

h

}}f

��M

g // M ′′ // 0

2. Montrer qu’un module libre est projectif.

3. Montrer qu’un module est projectif si et seulement s’il verifie l’une des deux proprietes suivantes :

(P3) Toute suite exacte 0 −→M ′u−→M

v−→ P −→ 0 est scindee.

(P4) Il existe un A-module K et un module libre L tels que L = P ⊕K.

Remarque III.6.7. La notion duale de module injectif est etudiee dans le sujet d’examen de juin 2019(voir chapitre IX). On inverse le sens des fleches dans (P1), (P2), (P3).

59

III.6.4 Modules cycliques

Definition III.6.8. On dit qu’un A-module M est cyclique (ou monogene) s’il est engendre par un seulelement.

Soit x ∈M un element engendrant M , c’est-a-dire M = A · x. Le morphisme

A→M, a 7→ a · x

est surjectif, et son noyau est I = AnnA(x) qui est un ideal a gauche de A. On a donc M ' A/I, etreciproquement, si I est un ideal a gauche de A, A/I est un A-module cyclique.

Exercice III.6.9. On suppose A commutatif. Soit M un A-module monogene engendre par un elementx ∈M . Montrer que l’ideal annulateur I = AnnA(x) est en fait independant du generateur x choisi.

III.7 Produits tensoriels

III.7.1 Produits tensoriels sur un anneau commutatif

Dans cette section, les anneaux sont supposes commutatifs. On remarque que pour un anneau commu-tatif A, et deux modules N,M , HomA(M,N) est muni d’une structure de A-module (par multiplicationa la source ou au but).

Applications multilineaires. Soit A un anneau commutatif et soient M , M1, . . . ,Mr des A-modules. Notons

LA(M1, . . . ,Mr;M)

l’ensemble des applications de M1 × . . .×Mr dans M , lineaires en chacune des variables.

Definition par propriete universelle. On dit qu’un le A-module N muni de ι ∈ LA(M1, . . .Mr;N)est le produit tensoriel de M1, . . . ,Mr s’il verifie la propriete suivante : pour toute application multi-lineaire f ∈ LA(M1, . . . ,Mr;M), il existe un unique morphisme de A-module f : N → M tel quef ◦ ι = f .

Comme tous les objets definis par propriete universelle, on a unicite a un unique isomorphime pres.

Proposition III.7.1. Soient

ι1 ∈ LA(M1, . . . ,MrN1), ι2 ∈ LA(M1, . . . ,Mr, ;N2)

verifiant la propriete universelle ci-dessus. Alors N1 et N2 sont isomorphes, par un unique isomorphismeϕ : N1 ' N2 verifiant ϕ ◦ ι1 = ι2.

Demonstration. On applique la propriete universelle de ι1 a f = ι2 : on obtient un A-morphisme ι2 :N1 → N2, verifiant ι2 ◦ ι1 = ι2, et idem en echangeant les roles de 1 et 2.

On applique la propriete universelle de ι1 a f = ι1 ◦ ι2 : M1 × . . . × Mr → N1, On obtient un

morphisme ˜ι1 ◦ ι2 verifiant ˜ι1 ◦ ι2 ◦ ι1 = ι2 ◦ ι2. Mais ceci est aussi egal a ι1 ◦ ι2 ◦ ι1, et donc ˜ι1 ◦ ι2 = ι1 ◦ ι2par unicite du relevement. Comme d’autre part ι1 ◦ ι2 = ι1, on a encore par unicite ˜ι1 ◦ ι2 = IdN1 , cequi prouve que ι1 ◦ ι2 = IdN1

. De meme on obtient ι2 ◦ ι1 = IdN2. Les modules N1 et N2 sont donc

isomorphes, l’isomorphisme entre les deux etant ι2 d’inverse ι1.

L’unicite a isomorphisme pres justifie d’appeler N le produit tensoriel des Mi. On le note

M1 ⊗AM2 ⊗A . . .⊗AMr ou encore

r⊗i=1

Mi.

Il reste a montrer l’existence du produit tensoriel. On le realise comme quotient du module libreA(M1×···×Mr). Les elements de A(M1×···×Mr) sont les familles d’elements de A indexees par M1×· · ·×Mr

et a support fini, et une base de ce module libre est donnee par les (δ(m1,...,mr))(m1,...,mr)∈M1×···×Mr,

60

ou δ(m1,...,mr) est la famille valant 1A sur l’element (m1, . . . ,mr) et 0A sur tous les autres elements. On

considere le sous-module N0 de A(M1×···×Mr) engendre par les elements de la forme

δ(m1,...,mi−1,a·mi+a′·m′i,mi+1,...,mr)

− a · δ(m1,...,mi−1,mi,mi+1,...,mr)

− a′ · δ(m1,...,mi−1,m′i,mi+1,...,mr)

et l’on pose N = A(M1×···×Mr)/N0. L’application

ι : M1 × · · · ×Mr −→ N = A(M1×···×Mr)/N0,

(m1, . . . ,mr) 7→ δ(m1,...,mr) mod N0

est multilineaire. On note m1 ⊗ · · · ⊗mr l’element δ(m1,...,mr) mod N0 de N .

Soit f ∈ LA(M1, . . .Mr;M). On peut oublier que f est multilineaire, et la considerer comme uneapplication ensembliste, c’est-a-dire comme un element de HomEns(M1 × . . .×Mr;M). Par la propriete

universelle du module libre A(M1×···×Mr), il correspond a f un unique˜f dans HomA(A(M1×···×Mr);M).

La multilinearite de f se traduit sur˜f exactement par le fait que N0 est dans le noyau de

˜f , et ainsi

˜f

induit un morphisme de A-modules f : N →M . On verifie que f = f ◦ ι. L’unicite de f decoule de celle

de˜f .

On verifie de maniere formelle les proprietes suivantes du produit tensoriel.

Proposition III.7.2. 1. Soient M1, . . . ,Mr, M des A-modules. Alors on a un isomorphisme canonique

M ⊗

⊕i=1,...,r

Mi

' ⊕i=1,...,r

(M ⊗Mi), (m⊗ (m1, . . . ,mr) 7→ (m⊗m1, . . . ,m⊗mr)

2. Soient M , N , L des A-modules, alors on a un isomorphisme canonique

(M ⊗A N)⊗A L 'M ⊗A (N ⊗A L), (m⊗ n)⊗ ` 7→ m⊗ (n⊗ `).

3. Soient M , N des A-modules, alors on a un isomorphisme canonique

M ⊗A N ' N ⊗AM, (m⊗ n) 7→ n⊗m.

4. Soient M , N , L des A-modules, alors on a un isomorphisme canonique

HomA(L,HomA(M,N)) ' HomA(L⊗AM,N) ' LA(L×M ;N)

5. On a canoniquement A⊗AM 'M .

Corollaire III.7.3. Si A = k est un corps et si M1, . . . ,Mr sont des k-espaces vectoriels de dimensionfinie, alors M1 ⊗AM2 ⊗A . . .⊗AMr est de dimension finie egale a dimk(M1)× · · · × dimk(Mr).

Exercice III.7.4. Calculer (Z/2Z) ⊗Z (Z/3Z). Plus generalement, pour m,n entiers positifs, calculer(Z/nZ)⊗Z (Z/mZ).

Exercice III.7.5. Soient k un corps, M et N des k-espaces vectoriels et M∗, N∗ leur dual respectif.Etudier l’injectivite et la surjectivite des morphismes

M∗ ⊗k N −→ Homk(M,N), f ⊗ n 7→ (m 7→ f(m)n).

M∗ ⊗k N∗ −→ (M ⊗N)∗, f ⊗ g 7→ (m⊗ n 7→ f(m)⊗ g(n).

Endk(M)⊗k Endk(N) −→ Endk(M ⊗N), f ⊗ g 7→ (m⊗ n 7→ f(m)⊗ g(n).

61

Exercice III.7.6. Soit M un A-module. Supposons que l’on ait une suite exacte

N ′φ−→ N

ψ−→ N ′′ −→ 0.

Montrer que la suite

N ′ ⊗AMφ⊗IdM−→ N ⊗AM

ψ⊗IdM−→ N ′′ ⊗AM −→ 0

est exacte.

On pourra pour cela utiliser le critere suivant : supposons que

(∗) L′φ−→ L

ψ−→ L′′ −→ 0.

soit une suite de A-module, que l’on ne suppose pas exacte. Alors (∗) est exacte si et seulement si pourtout A-module K,

(∗∗) 0 −→ HomA(L′,K)φ−→ HomA(L,K)

ψ−→ HomA(L′′,K).

est exacte

III.7.2 Restriction/Extension des scalaires

Soit f : A→ B un morphisme d’anneaux commutatifs. L’application

A×B → B, (a, b) 7→ f(a)b

munit B d’une structure de A-module.

On peut donc, etant donne un A-module M , former le produit tensoriel B⊗AM pour cette structurede A-module sur B (f a disparu de la notation, ce qui est ambigu mais plus leger). On munit alorsB ⊗AM d’une structure de B-module par

B × (B ⊗AM) −→ B ⊗AM, (b, c⊗m) 7→ bc⊗M.

et on appelle ce B-module l’extension des scalaires de A a B de M .

Exemple III.7.7. Soit V un R espace vectoriel. On prend pour morphisme f l’inclusion de R dans C.La construction ci-dessus fournit un C-espace vectoriel VC = C⊗R V que l’on appelle la complexificationde l’espace vectoriel V . Si (ei)i∈I est une base du R espace vectoriel V , (1⊗ ei) est une base du C espacevectoriel VC.

Dans l’autre sens, toujours grace a f : A → B, on peut munir un B-module N d’une structure deA-module par

A×N −→ N, (a, n) 7→ f(a) · n

et l’on appelle ce A-module la restriction des scalaires de B a A du module N . On le note resBA(N) pourle plaisir d’etre lourd.

Proposition III.7.8. Soit M un A-module et N un B-module. On un un isomorphisme naturel

HomA(M, resBA(N)) ' HomB(B ⊗AM,N)

Demonstration. Si f ∈ HomA(M, resBA(N)), definissons F : B ×M → N par F (b,m) = b · f(m). C’estune application bilineaire, qui s’etend donc au produit tensoriel B ⊗A M . Il est immediat de voir quececi realise l’isomorphisme voulu.

Exercice III.7.9. Soient I, J ⊂ A deux ideaux de l’anneau commutatif A. Montrer que l’on a unisomorphisme de A-algebres

(A/I)⊗A (A/J) ' A/(I + J).

En deduire (Z/nZ)⊗Z (Z/mZ) pour tout couple d’entiers naturels non nuls (m,n).

62

Exercice III.7.10. Soient A → B et A → C des morphismes d’anneaux commutatifs. Montrer que leproduit tensoriel B ⊗A C est muni canoniquement d’une structure de A-algebre.

Exercice III.7.11. Soit φ : A → B un morphisme d’anneaux commutatifs et soit P ∈ A[X]. On noteencore φ : A[X] → B[X] le morphisme induit par φ en l’appliquant aux coefficients des polynomes.Montrer que l’on a un isomorphisme de B-algebres

B ⊗A (A[X]/(P )) ' B[X]/(φ(P )).

Calculer C⊗R C. Est-ce un corps ? Meme question avec Q(i)⊗Q Q(√

2).

Exercice III.7.12. Soient M un A-module et I un ideaal de l’anneau commutatif A. Montrer que

M/IM 'M ⊗A (A/I).

III.7.3 Produits tensoriels sur un anneau non commutatif

Le produit tensoriel sur un anneau non commutatif est plus delicat a definir. On y arrive tout dememe, au prix de quelques adaptations.

Definition III.7.13. Soient M un A-module a droite et N un A-module a gauche et Z un Z-module.On dit que f ∈ LZ(M ×N ;Z) est balancee si f(m · a, n) = f(m, a · n) quels que soient a ∈ A, m ∈M etn ∈ N .

On appelle produit tensoriel de M et N , et l’on note M ⊗A N un Z-module et une applicationι ∈ LZ(M × N ;M ⊗A N) bien balancee telle que toute application f ∈ LZ(M × N ;Z) se factorise enf ◦ ι pour un unique f ∈ HomZ(M ⊗A N,Z).

Comme dans le cas commutatif, et comme pour tout objet defini par une propriete universelle,M⊗ANest caracterise par cette propriete a isomorphisme pres. La construction de M⊗AN se fait comme dans lecas commutatif, en prenant le quotient de Z(M×N) par le sous-module engendre par les relations voulues.On passe les details.

Proposition III.7.14. Soient M un A-module a droite et N et L des A-modules a gauche. Le Z-moduleHomZ(N,L) est un A-module a droite par (f · a)(n) = f(a · n). On a un isomorphisme naturel deZ-modules

HomA(M,HomZ(N,L)) ' HomZ(M ⊗A N,L).

63

Chapitre IV

Interlude culturel : axiome du choix,lemme de Zorn, theoreme de Krull

Dans ce tres court chapitre, nous rappelons l’enonce de l’axiome du choix et nous donnons deuxenonces equivalents souvent utilise en algebre, le lemme de Zorn et le theoreme de Krull.

Axiome du choix. L’axiome du choix est un axiome de la theorie des ensembles. Voici quelquesformulations equivalentes.

(a) Pour tout ensemble X d’ensembles, il existe une fonction de choix f sur X, c’est-a-dire qu’a toutensemble E de X est associe un element f(E) de E.

(b) Pour toute ensemble E, il existe une fonction f sur P(E) (l’ensemble des parties de E) telle quepour tout A ∈ P(E), f(A) ∈ A.

(c) Pour toute relation d’equivalence sur un ensemble, il existe un ensemble de representants desclasses.

(d) Toute surjection p : X → Y possede une section, c’est-a-dire une application s : Y → X telleque p ◦ s = IdY .

(e) Le produit∏iXi d’une famille d’ensembles non vide est non vide.

Lemme de Zorn. Un ensemble partiellement ordonne E est dit inductif quand toute partie S de Etotalement ordonnee (ou chaıne) de E admet un majorant (c’est-a-dire un element M ∈ E tel que pourtout s ∈ S, s ≤M).

Le lemme de Zorn dit que tout ensemble inductif E admet un element maximal, c’est-a-dire unelement m ∈ E tel que si x ≥ m dans E, alors x = m.

Theoreme de Krull. Tout ideal propre d’un anneau commutatif est contenu dans un ideal maximal.

Dans un anneau non commutatif, on a des enonces similaires avec les ideaux a gauche, a droite, oubilateres.

Outre le theoreme de Krull, des enonces tres importants en algebre necessitent l’axiome du choix.

Theoreme de la base incomplete. Toute famille libre dans un espace vectoriel peut etre completeeen une base, et de toute famille generatrice, on peut extraire une base.

Cloture algebrique d’un corps. Tout corps admet une cloture algebrique.

65

Chapitre V

Modules noetheriens, artiniens.Theoremes de decomposition

E. Noether

� My methods are really methods of working and thinking ; this is whythey have crept in everywhere anonymously. � E. Noether

V.1 Conditions de finitude

Definition V.1.1. Soit M un A-module. Si M admet une famille generatrice finie, on dit que M est detype fini.

Exercice V.1.2. Le but de cet exercice est de donner une definition equivalente de module de type finiqui ne fasse pas appel aux notions ensemblistes (elements d’un ensemble) mais seulement aux notions� categorielles � (les A-modules et leur morphismes).

Montrer que M est un module de type fini si et seulement si la propriete suivante est verifiee.

(i) Soit (Mi)i∈I une famille de sous-modules de M telle que⋃i∈IMi = M . Alors il existe une partie

finie J ⊂ I telle que⋃i∈JMj = M .

On remarquera l’analogie de (i) avec la definition des compacts en topologie.

On appelle chaıne dans M une famille (Mi)i∈I de sous-modules totalement ordonnee pour l’inclusion(c’est-a-dire que pour i, j ∈ I, soit on a Mi ⊂Mj , soit Mj ⊂Mi). Considerons la propriete suivante :

(ii) Pour toute chaıne de sous-modules propres (Mi)i∈I ,⋃i∈IMi est encore un sous-module propre.

Montrer que si M est de type fini, M verifie (ii). La reciproque est vraie aussi, mais difficile (voir [5],§4.10, Thm 1).

Remarque V.1.3. Signalons une notion proche qui est celle de module de presentation finie, voir [4]ou [3].

Definition V.1.4. Un A-module M est dit noetherien si tout ensemble non vide U de sous-modules deM admet un element maximal, c’est-a-dire qu’il existe M0 ∈ U tel que si M1 ∈ U verifie M0 ⊂M1, alorsM0 = M1.

67

Voici d’autres definitions equivalentes de cette notion.

Proposition V.1.5. Le A-module M est noetherien si et seulement si l’une des deux conditions suivantesest vraie :

(i) tout sous-module de M est de type fini,

(ii) Toute suite croissanteM1 ⊂M2 ⊂ . . . ⊂Mn ⊂ . . .

de sous-modules de M est stationnaire a partir d’un certain rang.

Demonstration. Montrons que (ii) implique que M est noetherien, en supposant que (ii) est vrai etqu’il existe un ensemble U non vide de sous-modules de M qui ne contient pas d’element maximal pourl’inclusion. Prenons M1 ∈ U . Comme M1 n’est pas maximal pour l’inclusion, il existe M2 ∈ U tel queM1 ⊂ M2. Mais M2 n’est pas non plus maximal pour l’inclusion... On construit donc une suite infiniestrictement croissante de sous-modules de M , ce qui contredit (ii).

Supposons M noetherien et montrons (i) : Soit M ′ un sous-module de M . Considerons l’ensemble Ude tous les sous-module de type fini de M ′. Cet ensemble admet un element maximal, disons M0. Pourtout m ∈M ′, le sous-module M0 +A ·m (le module engendre par M0 et m) est de type fini, et donc parmaximalite de M0, on a M0 +A ·m = M0, c’est-a-dire m ∈M0, ce qui prouve que M0 = M ′, et M ′ estde type fini.

Supposons maintenant (i) et montrons (ii). Soit

M1 ⊂M2 ⊂ . . . ⊂Mn ⊂ . . .

une suite croissante de sous-modules. La reunion M∞ =⋃n∈N>0

Mn est un sous-module de M , donc de

type fini. Soit (m1, . . . ,mr) une famille finie generatrice de M∞, et pour chaque mi, soit Mni l’un dessous-module de la suite avec mi ∈ Mni . On a alors M∞ =

⋃i=1,...,rMni ce qui montre que la suite de

sous-modules est stationnaire a partir de maxi=1,...,r ni.

Si l’on remplace le mot � maximal � par � minimal � dans la definition d’un module noetherienci-dessus, on obtient la notion de module artinien. La caracterisation (ii) de la proposition se traduit enremplacant � suite croissante de sous-modules � par � suite decroissante �.

Definition V.1.6. Un A-module M est dit artinien si tout ensemble non vide U de sous-modules de Madmet un element minimal, c’est-a-dire qu’il existe M0 ∈ U tel que si M1 ∈ U verifie M1 ⊂ M0, alorsM0 = M1.

De maniere equivalente, un module est artinien si toute suite decroissante

M1 ⊃M2 ⊃ . . . ⊃Mn ⊃ . . .

de sous-modules de M est stationnaire a partir d’un certain rang.

L’equivalence se montre comme dans la proposition.

Exemples V.1.7. 1. Le Z-module Z est noetherien, mais pas artinien,

2. Le Z-module Q n’est ni noetherien, ni artinien.

3. Tout Z-module de cardinal fini est noetherien et artinien.

4. Soit k un corps et A une k-algebre. Tout A-module est aussi un k-espace vectoriel, et si M est unA-module de dimension finie comme k-espace vectoriel, alors M est noetherien et artinien.

Exercice V.1.8. 1. Montrer qu’un produit direct fini de A-modules noetheriens (resp. artiniens) estnoetherien (resp. artinien).

2. Soit 0 → M ′ → M → M ′′ → 0 une suite exacte courte de A-modules. Montrer que M estnoetherien (resp. artinien) si et seulement si M ′ et M ′′ sont noetheriens (resp. artiniens).

Definition V.1.9. Un anneau A est noetherien, s’il est noetherien en tant que A-module a gauche.Autrement dit, toute suite croissante d’ideaux a gauche de A est stationnaire.

68

Theoreme V.1.10. Tout module de type fini sur un anneau noetherien est noetherien.

Demonstration. Soit A un anneau noetherien, et soit M un A-module de type fini : Il existe r ∈ N>0 etun morphisme surjectif Ar →M . Le module M est donc isomorphe a un module quotient de Ar. Or Ar

est noetherien d’apres l’exercice V.1.8, (1) et donc M est noetherien d’apres le (2) du meme exercice.

Une classe importante d’anneau noetherien est celle des anneaux commutatifs principaux, c’est-a-diretel que tout ideal I de A est monogene (engendre par un seul element). C’est le cas de Z.

On a aussi le theoreme de la base de Hilbert, que nous ne demontrons pas ici, voir par exemple [4],§VI.2.

Theoreme V.1.11. Soit A un anneau commutatif noetherien. Alors l’anneau des polynomes A[X] estnoetherien.

Exercice V.1.12. Soit f : M →M un endomorphisme de A-modules.

(a) On suppose M noetherien. Montrer que si f est surjectif, alors c’est un isomorphisme.

(b) On suppose M artinien. Montrer que si f est injectif, alors c’est un isomorphisme.

(c) (Lemme de Fitting) On suppose M noetherien et artinien. Montrer qu’il existe une decomposition

M = M−∞ ⊕M∞de M en somme directe de deux sous-modules stables par f , tels que la restriction de f a M∞ soit unautomorphisme, et la restriction de f a M−∞ soit nilpotente.

Remarque V.1.13. On peut particulariser le lemme de Fitting au cas ou A = k est un corps et M = Vest un k-espace vectoriel de dimension finie. Pour tout endomorphisme f de V , il existe une decompositionde V en somme directe

V = V−∞ ⊕ V∞telle que la restriction de f a V−∞ soit nilpotente et la restriction a V∞ inversible.

V.2 Modules indecomposables

Definition V.2.1. Un A-module M est decomposable s’il peut s’ecrire comme somme directe M =M ′ ⊕ M ′′ de deux sous-modules non nuls. Un A-module M non nul qui n’est pas decomposable estdit indecomposable. Un A-module M est dit totalement decomposable s’il peut s’ecrire comme sommedirecte (eventuellement infinie) de sous-modules indecomposables.

Nous allons donner un critere pour qu’un module M soit indecomposable qui s’exprime par unepropriete de l’anneau EndA(M).

Definition V.2.2. Un anneau E est dit local si I = E \ E× est un ideal bilatere.

On voit facilement que I = E \E× contient tout ideal propre de E (un ideal propre ne contient pasd’inversible). Si I = E \ E× est un ideal bilatere, il est donc maximal, et c’est l’unique ideal maximalde E.

Theoreme V.2.3. Soit M un A-module noetherien ou artinien. Si EndA(M) est un anneau local, alorsM est indecomposable. Si l’on suppose M noetherien et artinien, la reciproque est vraie. Plus precisement,on a alors les equivalences suivantes :

(i) le module M est indecomposable.

(ii) l’anneau E = EndA(M) est local.

Demonstration. Supposons que M ne soit pas indecomposable, on va montrer que E = EndA(M) n’estpas local. On a par hypothese l’existence d’une decomposition non triviale M = M ′ ⊕M ′′. On a alorsune decomposition

E = EndA(M) =

(EndA(M ′) HomA(M ′,M ′′)

HomA(M ′′,M ′) EndA(M ′′)

)69

Posons e =

(IdM ′ 0

0 0

)(c’est l’operateur de projection sur M ′, il verifie e2 = e). Regardons l’ideal

bilatere de E engendre par e, c’est-a-dire EeE. Supposons EeE = E : il existe a, b ∈ E tel que 1E =IdM = aeb. On en deduit que a ∈ EndA(M) est surjectif, et b est injectif. On utilise l’exercice V.1.12, (a)ou (b) selon le cas ou on se trouve, pour deduire que soit a, soit b est un isomorphisme. Par exemple, si Mest noetherien, a est un isomorphisme, et 1E = eba, donc e surjectif, ce qui constitue une contradictionavec la non trivialite de la decomposition. Ainsi EeE 6= E. De meme E(1 − e)E 6= E. Si E est local,d’unique ideal bilatere M = E \ E×, on a alors e, 1E − e ∈ M et donc 1E = e + (1E − e) ∈ M :contradiction. Donc E n’est pas local. On a donc montre que (i) =⇒ (ii).

Supposons M noetherien, artinien et indecomposable. D’apres le lemme de Fitting, (exercice V.1.12),tout element non nul de E = EndA(M) est soit nilpotent, soit inversible, et ainsi l’ensemble M = E \E×est l’ensemble des nilpotents de E. Montrons que c’est un ideal bilatere : soit e ∈M et a ∈ E. Comme e estnilpotent, on a d’apres l’exercice V.1.12, ker(e) 6= {0} et Im (e) 6= E, d ou ker(ae) 6= {0} et Im (ea) 6= E.Ainsi ea et ae ne sont pas inversibles, ils sont donc nilpotents, et M est stable par multiplication a gaucheet a droite par un element de E. Il reste a montrer que M est un sous-groupe additif de E. Si e, e′ ∈Msont tels que e+ e′ est inversible, il existe c ∈ E avec ec = 1E − e′c, et comme ec′ ∈M, il est nilpotent,et donc 1− ec′ = ec est inversible (d’inverse

∑∞j=0(ec′)j) ce qui constitue une contradiction avec le fait

que e soit nilpotent.

On note Indec(A) l’ensemble des classes d’isomorphisme de A-modules indecomposables.

Theoreme V.2.4 (Krull-Schmidt). Soit M un A-module noetherien ou artinien. Alors il existe uneapplication a support fini

κ : Indec(A) −→ Z

tel que M soit isomorphe a la somme directe ⊕N∈Indec(A)

Nκ(N).

Si M est a la fois noetherien et artinien, cette application κ est unique. On la note alors κM , et κM (N)est la multiplicite du module indecomposable N dans M .

Demonstration. Montrons l’existence de la decomposition, par l’absurde. On suppose donc que Mn’est pas totalement decomposable. En particulier, il n’est pas indecomposable, et il existe donc unedecomposition

M = M(0)1 ⊕M (0)

2

ou M(0)1 et M

(0)2 ne sont pas tous les deux totalement decomposables, disons que M

(0)1 ne l’est pas... on

itere alors l’argument et l’on obtient des decompositions successives

M = M(1)1 ⊕M (1)

2 ⊕M (0)2

. . .

M = M(n+1)1 ⊕M (n+1)

2 ⊕M (n)2 ⊕ · · · ⊕M (1)

2 ⊕M (0)2

On obtient ainsi en particulier une suite strictement croissante de sous-modules

M(0)2 ⊂M (0)

2 ⊕M (1)2 ⊂ · · · ⊂M (0)

2 ⊕M (1)2 ⊕ · · · ⊕M (n)

2 ,

et une suite strictement decroissante de sous-modules

M(0)1 ⊃M (1)

1 ⊃ · · · ⊃M (n)1 ,

ce qui contredit l’hypothese faite sur M .

Supposons maintenant M noetherien et artinien, et montrons l’unicite de la decomposition.

Il suffit grace a une recurrence simple de montrer le resultat suivant : si M , M ′, N1, . . . , Nt sont desA-modules, avec M et les Ni indecomposables, et que l’on a un isomorphisme

M ⊕M ′ ' N = N1 ⊕ · · · ⊕Nt

70

alors il existe un indice s entre 1 et t tel que

M ' Ns et M ′ '⊕j 6=s

Nj .

Soit Φ = (φ, φ′) : M ⊕M ′ → N l’isomorphisme de l’enonce, ecrit sous forme matricelle, et Ψ =(ψψ′

): N → M ⊕M ′ son inverse. On note ιi l’injection canonique de Ni dans N et pi la projection

canonique de N sur Ni. On a

IdN = φ ◦ ψ + φ′ ◦ ψ′,(ψ ◦ φψ′ ◦ φ′

)=

(IdMIdM ′

)

IdM = ψ ◦ φ =

t∑i=1

ψ ◦ ιi ◦ pi ◦ φ

D’apres le theoreme V.2.3, E = EndA(M) est un anneau local, et donc E \ E× est un ideal bilatere.Ainsi au moins l’un des ψ ◦ ιi ◦ pi ◦ φ est inversible, disons χ = ψ ◦ ιs ◦ ps ◦ φ ∈ E×. On en deduitque ψ ◦ ιs est une surjection de Ns sur M et ps ◦ φ est une injection de M dans Ns. De plus Ns =Im (ps ◦φ)⊕ ker(ψ ◦ ιs). Comme Ns est indecomposable, on a donc Ns = Im (ps ◦φ) et ker(ψ ◦ ιs) = {0},ce qui fournit l’isomorphisme entre Ns et M .

On a χ−1 ◦ ψ ◦ ιs ◦ ps ◦ φ = IdM et ps ◦ φ ◦ χ−1 ◦ ψ ◦ ιs = IdNs . On definit pour j 6= s, ι′j : Nj →M ′

et p′j : M ′ → Nj par

ι′j = ψ′ ◦ ιj , p′j = pj ◦ (IdN − φ ◦ χ−1 ◦ ψ ◦ ιs ◦ ps) ◦ φ′.

On verifie que p′j ◦ i′j = IdNj :

p′j ◦ i′j = pj ◦ (IdN − φ ◦ χ−1 ◦ ψ ◦ ιs ◦ ps) ◦ φ′ ◦ ψ′ ◦ ιj .

On utilise φ′ ◦ ψ′ = IdN − φ ◦ ψ, ce qui donne

p′j ◦ i′j = pj ◦ (IdN − φ ◦ χ−1 ◦ ψ ◦ ιs ◦ ps) ◦ (IdN − φ ◦ ψ) ◦ ιj .

= pj ◦ ιj − pj ◦ φ ◦ ψ ◦ ιj − pj ◦ φ ◦ χ−1 ◦ ψ ◦ ιs ◦ ps ◦ ιj + pj ◦ φ ◦ χ−1 ◦ ψ ◦ ιs ◦ ps ◦ φ ◦ ψ ◦ ιjComme pj ◦ ιj = IdNj , ps ◦ ιj = 0, χ−1 ◦ ψ ◦ ιs ◦ ps ◦ φ = IdM , on obtient le resultat voulu. De meme onverifie que p′j ◦ ι′i = 0 si i 6= j. Enfin, on a ∑

j 6=s

ι′j ◦ p′j = IdM ′ ,

qui se verifie de meme en utilisant∑j 6=s ιj ◦ pj = IdN − ιs ◦ ps et ψ′ ◦ φ = 0. On en deduit aisement que

M ′ '⊕

j 6=sNj .

Ce theoreme presente un aspect satisfaisant : l’etude des A-modules se ramene a celle des modulesindecomposables. Ceux-ci sont les blocs de base grace auxquels tous les autres modules sont obtenus parsomme directe. L’aspect moins satisfaisant est que les modules indecomposables peuvent avoir une struc-ture interne compliquee, difficile a analyser. D’autre part, on ne connait une classification des modulesindecomposables que dans tres peu de cas, par exemple les anneaux semi-simples (voir exercice V.3.10),ou les anneaux de Dedekind, dont nous verrons un cas particulier, celui des anneaux principaux.

Exercice V.2.5. Soit F un corps fini, de cardinal disons q. On rappelle que pour chaque entier natureln, le groupe GLn(F ) est d’ordre

αn = (qn − 1)(qn − q) . . . (qn − qn−1).

(i) Soient k ≤ n deux entiers naturels. Montrer qu’il y a exactement αn/αkαn−k paires (X,Y ) formeesde deux sous-espaces vectoriels supplementaires de Fn, tels que dimX = k et dimY = n− k.

71

(ii) Pour chaque entier naturel n, on note βn le nombre de matrices nilpotentes dans Mn(F ) (onconvient que β0 = 1). Montrer que

n∑k=0

βk/αk = qn2

/αn.

Indication : regardons les elements de Mn(F ) comme des endomorphismes de l’espace vectoriel V =Fn. D’apres le lemme de Fitting, chaque element u ∈ Mn(F ) determine une unique decompositionV = V∞ ⊕ V−∞ en somme directe de deux sous-espaces, sur lesquels u agit de facon respectivementinversible et nilpotente. Ainsi on atteint chaque element u ∈ Mn(F ) une et une seule fois en prenantune decomposition V = X ⊕ Y , un endomorphisme nilpotent de X, et un element de GL(Y ).

(iii) En deduire que βn = qn(n−1).

Exercice V.2.6. [Lemme de Nakayama]

a) Soit A un anneau commutatif et I un ideal qui est inclus dans tous les ideaux maximaux de A.Soit M un A-module de type fini. Supposons que IM = M . Montrer que l’on a M = 0.

b) Soient A un anneau commutatif local, I son ideal maximal, M un A-module de type fini et Nun sous-module. Montrer que si M = N + I ·M , alors E = F . En deduire que si x1, . . . , xn sont deselements de M tels que x1, . . . , xn engendrent M/I ·M , alors x1, . . . , xn engendrent M .

c) Soient A un anneau commutatif local et M un A-module projectif de type fini. Montrer que Mest libre.

V.3 Module simple. Suites de Jordan-Holder

Definition V.3.1. On dit qu’un A-module M est simple s’il est non nul et si ses seuls sous-modulessont {0} et M . Notons A l’ensemble des classes d’isomorphisme de A-modules simples.

Les modules simples sont faciles a caracteriser en termes d’ideaux maximaux. En effet, soit M unmodule simple et soit 0 6= m ∈M . Considerons

p : A→M, a 7→ a ·m.

Ce morphisme doit etre surjectif, donc M est monogene, engendre par m. Si l’on pose M = ker(p), on aA/M 'M , et M est un ideal a gauche maximal de A.

Definition V.3.2. On dit qu’un anneau E est un anneau a division si tout element non nul est inversible(E \ {0} = E×).

Un anneau a division est en particulier local, {0} = A \A× etant son unique ideal bilatere maximal.

Lemme V.3.3 (Lemme de Schur). Si M et M ′ sont deux A-modules simples, alors on est dans l’unedes deux situations suivantes :

- M et M ′ ne sont pas isomorphes, et alors HomA(M,M ′) = {0}.- M et M ′ sont isomorphes : on fixe un isomorphisme φ : M 'M ′. Tout morphisme ψ ∈ HomA(M,M ′)

est alors de la forme ψ = χ ◦ φ avec χ ∈ EndA(M), ce qui fournit un isomorphisme de groupes abeliens

HomA(M,M ′) ' EndA(M).

De plus, E = EndA(M) est un anneau a division.

Si A est une k-algebre sur un corps k algebriquement clos et si M est un A-module simple avecdimkM finie, alors EndA(M) = {λ× IdM , λ ∈ k}.

Demonstration. L’image et le noyau d’un morphisme de A-module sont des sous-modules, et tout sededuit facilement de la. Pour le second point, on utilise le fait qu’un endomorphisme k-lineaire d’unespace vectoriel de dimension finie admet une valeur propre et un sous-espace propre non trivial si k estalgebriquement clos.

72

Exercice V.3.4. Montrer que si E est une k-algebre a division de k-dimension finie, k algebriquementclos, alors E = k.

Corollaire V.3.5. Soit M =⊕t

i=1M⊕nii un A-module somme directe de modules simples Mi deux a

deux non isomorphes. On a alors un isomorphisme canonique d’anneaux

EndA(M) 't∏i=1

Mni(EndA(Mi)).

On retiendra les implication suivantes :

M simple

��

+3 M indecomposableKS

EndA(M) anneau a division +3 EndA(M) anneau local

Proposition V.3.6. Soit M un A-module. Alors M admet deux sous-modules M1 ⊂ M2 tels que lequotient M2/M1 soit simple. Si M est de type fini, alors M admet un quotient simple.

Demonstration. Supposons M de type fini. Considerons l’ensemble S des sous-modules propres de M ,ordonne par inclusion. Pour pouvoir appliquer le lemme de Zorn, verifions que si

N1 ⊂ N2 ⊂ · · · ⊂ Ni ⊂ Ni+1 ⊂ · · ·

est une suite croissante de sous-modules propres, alors leur union ∪iNi est encore un sous-module propre.Supposons le contraire, c’est-a-dire M = ∪iNi. Comme M est de type fini, tout ses generateurs sontdans un certain Ni0 , et l’on a alors M = ∪iNi = Ni0 , ce qui contredit le fait que Ni0 est propre. Ainsi Sest inductif. Il admet un element maximal N . Le quotient M/N est alors simple.

Si M n’est pas de type fini, on considere un sous-module M2 de type fini de M , et l’on vient demontrer qu’il existe un sous-module M1 de M2 tel que M2/M1 est simple.

Lemme V.3.7. Soit M un A-module. Les conditions suivantes sont equivalentes :

(i) il existe des modules simples Mi, i ∈ I, tels que M =∑i∈IMi,

(ii) il existe des modules simples Mj, j ∈ J , tels que M =⊕

j∈JMj,

(iii) pour tout sous-module M ′ de M , il existe un sous-module M ′′ tel que M = M ′ ⊕M ′′.On dit alors que M est semi-simple ou completement reductible.

Demonstration. Il est clair que (ii) =⇒ (i). Supposons (i) et montrons (iii). Soit M ′ un sous-modulede M . On peut, d’apres l’hypothese, ecrire M comme une somme (mais pas directe) de sous-objets,

M =∑i∈I

Mi

pour un certain ensemble d’indices I. Prenons un sous-module de M de la forme∑j∈JMj , J ⊂ I,

maximal pour l’inclusion et tel que la somme F = M ′ +∑j∈JMj soit directe (l’existence d’un tel J est

assuree par le lemme de Zorn). Alors cette somme est egale a M . En effet, il suffit de voir que chaque Mi,i ∈ I, est dans F = M ′⊕(

⊕j∈JMj). Comme l’intersection de F avec Mi est un sous-module de Mi, cette

intersection est Mi ou 0 puisque Mi est simple. Si cette intersection etait nulle, on pourrait adjoindrei a J ce qui contredit la maximalite de J . Donc Mi ⊂ F . Montrons maintenant que (iii) implique (ii).Commencons par voir que M admet alors un sous-module simple. Soit M ′ un sous-module de M de typefini. Considerons l’ensemble S des sous-modules propres de M ′, ordonne par l’inclusion. Nous avons vudans la demonstration de la proposition V.3.6 que cet ensemble est inductif, et donc qu’il admet d’apresle lemme de Zorn un element maximal N . Cet N est un sous-module de M . D’apres l’hypothese, on peutecrire M = N ⊕ F , pour un certain sous-module F . On a alors

M ′ = N ⊕ (M ′ ∩ F ).

Comme N est maximal dans M ′, M ′ ∩F est simple. Ceci montre que M admet un sous-module simple.Soit maintenant M0 une somme directe maximale de sous-modules simples de M . Si M 6= M0, on ecritM = M0 ⊕ F . On applique maintenant la remarque precedente a F : il existe un sous-objet simple deF . Ceci contredit la definition de M0.

73

Corollaire V.3.8. Tout sous-quotient d’un module completement reductible est completement reductible.

Demonstration. Soit M un A-module completement reductible et soit N un sous-module. Soit L unsous-module de N . D’apres le lemme, L admet un supplementaire dans M , disons M = L ⊕ F , et ona alors N = L ⊕ (F ∩N). Ceci montre que tout sous-module de N admet un supplementaire, et par lelemme, on sait que N est alors completement reductible.

D’autre part l’image de tout module simple de M par la projection canonique p : M → M/N estsoit un module simple, soit 0. Comme M est completement reductible, on en deduit que M/N aussi.L’enonce general avec un sous-quotient est consequence immediate des enonces pour un sous-module etun module quotient.

Exercice V.3.9. Soit 0→M ′ →M →M ′′′ → 0 une suite exacte courte de A-modules. Montrer que siM est semi-simple, il en est de meme de M ′ et M ′′. La reciproque est-elle vraie ?

Exercice V.3.10. Montrer que les conditions suivantes sur l’anneau A sont equivalentes :

(a) tout A-module M est semi-simple,

(b) le A-module regulier A est semi-simple.

On dit alors que A est un anneau semi-simple.

Exercice V.3.11. Soit A un anneau a division. Montrer que le seul A-module simple est le moduleregulier A. En deduire que tout A-module est libre et semi-simple.

Exercice V.3.12 (Theoreme de Maschke). Soit G un groupe fini et k un corps dont la caracteristiquene divise pas |G|. Montrer que tout k[G]-module de k-dimension finie est semi-simple. Ceci reste-il vraisans l’hypothese sur la caracteristique de k ?

V.3.1 Suites de composition et theoreme de Jordan-Holder

Soit M un A-module. On appelle filtration de M une suite decroissante finie de sous-modules

M = F0(M) ⊃ F1(M) ⊃ · · · ⊃ Fn(M) ⊃ Fn+1(M).

Le gradue associe a cette filtration est le module :

GrF (M) =

n⊕i=1

Fi(M)/Fi+1(M).

On dit que la filtration F•(M) comme ci-dessus est une suite de composition de M si les quotientsFi(M)/Fi+1(M) sont simples. Le module gradue GrF (M) est alors semi-simple.

On associe a une telle suite de composition une fonction de multiplicite.

mF : A→ N

definie comme suit : on se rappelle que A est l’ensemble des classes d’isomorphisme de A-module simples.Si S ∈ A, mF (S) est le nombre de modules simples Fi(M)/Fi+1(M) dans le gradue qui sont dans laclasse S.

Theoreme V.3.13 (Jordan-Holder). Soit M un A-module noetherien et artinien. Alors M admet unesuite de composition. De plus, deux suites de composition F•(M) et F ′•(M) ont meme fonction demultiplicite : mF = mF ′ .

Puisque la fonction multiplicite mF et le gradue GrF (M) ne dependent pas de la suite de compositionchoisie, on les note plutot respectivementmM et Gr(M). La longueur de la suite de composition ne dependpas non plus de celle-ci, on dit que le module M est de longueur finie, cette longueur etant celle d’unede ses suites de composition, ou encore la somme des multiplicites des modules simples dans M .

Le theoreme dit que M est forme a partir des modules simples (avec leur multiplicite) dans une suitede composition, mais la structure de M est en general bien plus compliquee qu’une somme directe. On

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peut comparer le resultat avec le theoreme de Krull-Schmidt : dans ce theoreme nous avions obtenu unedecomposition dont la structure est transparente (une somme directe), mais les modules indecomposablespeuvent eux avoir une structure assez compliquee, en particulier ils peuvent etre assez gros et on nedispose que de peu de resultats de classification des indecomposables. En revanche, dans le theoremede Jordan-Holder, les modules simples (au sens mathematiques) sont des objets dont la structure estaccessible, mais la facon dont un module M est constitue de module simples peut etre subtile.

Exemple V.3.14. Considerons la k-algebre A des matrices triangulaires superieures dans Mn(k) (kest un corps), et pour M , prenons le module kn. Notons (e1, . . . , en) la base canonique de kn. On a unefiltration de kn donnee par Fn−i+1(kn) = 〈e1, . . . , ei〉, et les quotients successifs, etant de dimension 1,sont simples. C’est donc une suite de composition, dont le gradue associe est encore isomorphe a kn.Mais l’action d’une matrice de A sur un element du gradue ne se fait que par sa diagonale (le passageaux quotients successifs tue l’action des coefficients au dessus de la diagonale).

Remarque V.3.15. Les hypotheses du theoreme de Jordan-Holder sont importantes : le Z-module Zn’est pas artinien et il n’admet pas de suite de composition finie.

Lemme V.3.16 (du papillon). Soit M un A-module et soient M2 ⊂ M1 et N2 ⊂ N1 des sous-modulesde M . On a alors un isomorphisme canonique :

M2 + (M1 ∩N1)

M2 + (M1 ∩N2)' N2 + (N1 ∩M1)

N2 + (N1 ∩M2).

Demonstration. Considerons la restriction de la projection canonique

π : M −→ M

M2 + (M1 ∩N2)

a M1 ∩ N1. Le noyau est M1 ∩ N1 ∩ (M2 + (M1 ∩ N2)) = (M2 ∩ N1) + (M1 ∩ N2) et l’image estM2 + (M1 ∩N1)

M2 + (M1 ∩N2). On obtient donc par le premier theoreme d’isomorphisme

M1 ∩N1

(M2 ∩N1) + (N1 ∩M2)' M2 + (M1 ∩N1)

M2 + (M1 ∩N2).

On conclut en echangeant le role des Mi et des Ni qui est symetrique.

Le diagramme suivant explique le nom du lemme et montre que les mathematiciens sont parfois despoetes. Les doubles fleches indiquent les inclusions donnant des quotients isomorphes.

N1 ∩M2

�� ++

M1 ∩N2

��ssM2

��

(N1 ∩M2) + (M1 ∩N2)

ss ++��

N2

��M2 + (M1 ∩N2)

��

(M1 ∩N1)

ss ++

N2 + (N1 ∩M2)

��M2 + (M1 ∩N1)

��

N2 + (N1 ∩M1)

��M1 N1

On passe maintenant a la demonstration du theoreme.

Demonstration. Montrons l’existence d’une suite de composition. Notons S l’ensemble des sous A-modulesde M possedant une suite de composition. L’ensemble S est non-vide puisqu’il contient 0. Comme M estnoetherien, S possede donc un element M0, maximal pour l’inclusion. Supposons M0 6= M . L’ensemble

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S0 des sous A-modules de M contenant strictement M0 est non-vide puisqu’il contient M . Comme Mest artinien, S0 possede donc un element M00, minimal pour l’inclusion. Mais par construction M00/M0

est un A-module simple donc, comme M0 possede une suite de composition, M00 aussi : cela contreditla maximalite de M0.

Soient F•(M) et F ′•(M) deux suites de composition de M . Posons

Fi,j = (Fi(M) ∩ F ′j(M)) + Fi+1, F ′j,i = (F ′j(M) ∩ Fi(M)) + F ′j+1,

On a

· · · ⊃ Fi−1,n′+1 = Fi(M) = Fi,0 ⊃ Fi,1 ⊃ · · · ⊃ Fi,j ⊃ Fi,j+1 ⊃ . . . ⊃ Fi,n′+1 = Fi+1(M) = Fi+1,0 ⊃ · · ·

· · · ⊃ F ′j−1,n+1 = F ′j(M) = F ′j,0 ⊃ F ′j,1 ⊃ · · · ⊃ F ′j,i ⊃ F ′j,i+1 ⊃ . . . ⊃ F ′j,n+1 = F ′j+1(M) = F ′j+1,0 ⊃ · · ·

Comme Fi(M)/Fi+1(M) est simple, il existe un unique j = j(i) ∈ {0, . . . , n′} tel que Fi,j/Fi,j+1 =Fi(M)/Fi+1(M), les autres quotients etant nuls, et idem pour la seconde filtration, chaque j determineun unique i = i(j). On voit facilement que ceci determine deux bijections inverses l’une de l’autre entreles ensembles {0, , . . . , n} et {0, , . . . , n′} On a alors Fi(M) = Fi,j et Fi+1(M) = Fi,j+1. En outre, lelemme du papillon donne alors

Fi(M)/Fi+1(M) = Fi,j/Fi,j+1 = F ′j,i/F′j,i+1 = F ′j(M)/F ′,j+1(M).

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Chapitre VI

Modules de type fini sur un anneauprincipal

VI.1 Anneau principaux

Dans ce chapitre, on suppose que les anneaux sont commutatifs. Il n’est pas question de developperla theorie arithmetique des anneaux qui s’insere plus naturellement dans le cours de theorie algebriquedes nombres MAT552, nous introduisons le strict necessaire sur les anneaux principaux.

Commencons par quelques definitions :

Definition VI.1.1. Deux elements a, b de A sont dits associes s’il existe un inversible u ∈ A tel queb = ua. On verifie facilement que ceci defini une relation d’equivalence sur A.

Definition VI.1.2. Un anneau A est dit principal s’il est integre et si tout ideal de A est monogene,c’est-a-dire engendre par un element.

Si a1, . . . , ar sont des elements de A, on note (a1, . . . , ar) l’ideal qu’ils engendrent. Un ideal monogenes’ecrit donc I = (a) pour un certain a ∈ A. Si I = (a) = (b), on en deduit qu’il existe u, v ∈ A telque b = ua et a = vb, d’ou uv = 1 (la on utilise le fait que A est integre) et a et b sont donc associes.Reciproquement, si I = (a), alors I = (ua) pour tout inversible u.

Les anneaux Z et k[X] (anneau des polynomes a une variable sur un corps k) sont principaux. Onexploite l’existence d’une division euclidienne dans ces d anneaux. Par exemple soit I un ideal de k[X],on le suppose non nul, et l’on prend un element P de cet ideal, non nul et de degre minimal. Soit Q unautre element de I. On effectue la division euclidienne de Q par P en ecrivant Q = AP +B avec le degrede B strictement plus petit que celui de P (le degre du polynome nul est −∞). Comme Q et AP sontdans I, B aussi, et la minimalite du degre de P implique que B = 0. Ainsi Q est multiple de P , et cecimontre que I = (P ).

Exercice VI.1.3. Quelles sont les inversibles de k[X] ?

Remarque VI.1.4. Un anneau principal est noetherien.

Definition VI.1.5. L’anneau A est ici seulement suppose commutatif

Un ideal propre I de A est dit premier si l’anneau A/I est integre. De maniere equivalente, quels quesoient a, b ∈ A, ab ∈ I, implique a ∈ I ou b ∈ I.

Un ideal propre I de A est dit maximal si l’anneau A/I est un corps. De maniere equivalente, si Jest un ideal de A qui contient I, alors J = I ou bien J = A.

Un element p de A est dit premier s’il est non nul et non inversible et verifie la propriete suivante :si p divise ab, alors p divise a ou bien p divise b, ou de maniere equivalente, l’ideal (p) est premier.

Un element p de A est dit irreductible s’il est non inversible et si tout diviseur q de p est associe a p(c’est-a-dite (p) = (q)) ou bien inversible (c’est-a-dire (q) = A).

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Proposition VI.1.6. Soit A un anneau principal. Soit p ∈ A. On a les equivalences suivantes

(i) p est premier,

(ii) l’ideal (p) est premier,

(iii) p est irreductible,

(iv) l’ideal (p) est maximal.

Demonstration. On a vu l’equivalence entre (i) et (ii), et il est immediat que si (p) est maximal, alors pest irreductible. La reciproque est vraie dans un anneau principal : Supposons p irreductible, et soit Jun ideal contenant (p). On a J = (q) pour un certain q ∈ A, et q divise p, donc en fait (p) = (q) = J .ou bien (q) = A. Ainsi (iii) est equivalent a (iv). On a (iv) =⇒ (ii) car un corps est integre. Montronsque p premier implique p irreductible. Supposons p = qr. Comme p est premier, il divise soit q, soit r.Supposons qu’il divise q. Alors p et q sont associes, et r est un inversible.

On peut faire de l’arithmetique dans les anneaux principaux, tout se passe comme dans Z (ou k[X]),avec les concepts introduits ci-dessus. On va faire le minimum. Une propriete essentielle de Z ou de k[X]est celle de l’unicite de decomposition en facteurs irreductibles. Soyons plus precis. On suppose A integre.

Nous avons defini ci-dessus une relation d’equivalence sur A par la notion d’elements associes. Il estclair que cette relation d’equivalence preserve l’ensemble des elements irreductibles. Fixons une fois pourtoute un systeme de representants P(A) pour cette relation d’equivalence dans les irreductibles : toutelement p ∈P(A) est irreductible, et si q est un element irreductible de A, il existe un unique p ∈P(A)et un unique inversible v tels que q = pv.

Definition VI.1.7. Un anneau A est dit factoriel s’il est integre, et si tout element a ∈ A non nul admetune decomposition, unique a permutation des facteurs pres,

a = upn11 . . . pnrr

ou u est un inversible de A, p1, . . . , pr sont des irreductibles distincts dans le systeme de representantsfixe P(A) et les ni sont des entiers strictement positifs.

Theoreme VI.1.8. Un anneau principal est factoriel.

Ce theoreme est admis ici, il est demontre dans le cours MAT552. Remarquons seulement que lepoint delicat de la notion d’anneau factoriel est l’unicite de la decomposition en irreductible. L’existencen’est pas une propriete tres forte, par exemple il suffit que l’anneau soit noetherien pour avoir celle-ci.Resumons les relations entre ces diverses propriete des anneaux

A euclidien +3 A principal

��

+3 A factoriel

��A noetherien +3 existence d’une decomposition

Definition VI.1.9. Soit A un anneau principal. Soient a1, . . . , ar des elements de A. Soit I = (a1, . . . , ar)l’ideal qu’ils engendrent. C’est un ideal monogene. Un generateur de cet ideal s’appelle un plus grandcommun diviseur de a1, . . . , ar. Il est determine a un inversible pres.

Exercice VI.1.10. En quel sens un plus grand commun diviseur de a1, . . . , ar defini comme ci-dessusest-il bien un plus grand commun diviseur ? (qu’est-ce qu’un diviseur ? � plus grand � relativement aquel ordre ? Comment calcule-t-on le pgcd des ai a partir de leur decomposition en irreductibles ?...)

Soit A un anneau principal et a, b ∈ A, avec (a, b) = (d). On peut donc ecrire d = ua + vb pourcertains elements u, v de A. En particulier, si (a, b) = A = (1A), on ecrit 1A = ua+ bv (Bezout). On ditalors que a et b sont premiers entre eux.

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VI.2 Decomposition des modules de type fini I

Soit M un module de type fini sur l’anneau principal A. Rappelons que nous avons introduit en III.5le sous-module TorA(M) des elements de torsion de M . On a donc une suite exacte courte

(VI.2.1) 1 −→ TorA(M) −→M −→M/TorA(M) −→ 0

ou le module M/TorA(M) est sans torsion et de type fini.

Nous allons montrer que cette suite se scinde, et donne une decomposition

M = TorA(M)⊕ L

ou L ' M/TorA(M) est sans torsion. Nous montrerons aussi qu’un module sans torsion sur un anneauprincipal est libre. Ainsi M est somme directe d’un module libre et de son module de torsion. Dans lasection suivante, nous analyserons la structure de TorA(M).

Lemme VI.2.1. Soit A un anneau commutatif integre et soit M un module de type fini sans torsion.Alors M est sous-module d’un module libre.

Demonstration. Soit (m1, . . . ,mr) un systeme de generateur de M . Le morphisme

Ar −→M, (a1, . . . , ar) 7→r∑i=1

ai ·mi

est donc surjectif. Soit S l’ensemble des parties I ∈ {1, . . . , r} telles que le morphisme

A(I) →M, (ai)i∈I 7→∑i∈I

ai ·mi

soit injectif. Remarquons que S contient les singletons, puisque M est suppose sans torsion. Il existedonc un element maximal pour l’inclusion dans S, disons J . Soit N le sous-module engendre par les mj ,j ∈ J . Par construction N ' A(J) est libre. Si i /∈ J , il existe ai ∈ A \ {0} tel que ai ·mi ∈ N . En effet,si tel n’etait pas le cas, on pourrait rajouter i a l’ensemble J et contredire la maximalite de J dans S.On pose alors a =

∏i/∈J aj , et a est non nul car A est integre. Considerons

M →M, m 7→ a ·m

Ce morphisme est injectif car M est sans torsion. De plus il est a valeurs dans N . En effet on ecritm =

∑rk=1 bk ·mk =

∑k∈J bk ·mk +

∑k/∈J bk ·mk et

a ·m =∑k∈J

(abk) ·mk +∑k/∈J

(abk) ·mk

la premiere somme est dans le sous-module N , et chaque terme de la seconde aussi. Ainsi M s’injectedans le module libre N .

Theoreme VI.2.2. Soit A un anneau principal, et soit M un module libre de rang n sur A. Alors toutsous-module N de M est libre de rang plus petit ou egal a n.

Demonstration. Par convention, le module {0} est libre de rang 0. Si n = 0, le resultat est donc vrai. Onraisonne par recurrence sur n. On suppose donc n > 0 et le resultat vrai pour les modules libres de rang≤ n−1. Soit M libre de rang n, de base (e1, . . . , en). Soit M ′ le sous-module engendre par (e2, . . . , en) : ilest libre de rang n−1. Soit N un sous-module de M . Si N ⊂M ′, on applique l’hypothese de recurrence :N est libre de rang ≤ n− 1. Sinon, il existe y ∈ N , y /∈M ′. Soit I l’ensemble des b ∈ A tels qu’il existex ∈ M ′ avec be1 + x ∈ N . Il est clair que c’est un ideal de A et il est non nul. On a donc I = (d)pour un certain d ∈ A non nul et il existe f1 = de1 + x1 ∈ N avec x1 ∈ M ′. Considerons N ∩M ′ :c’est un sous-module de M ′, par hypothese de recurrence, il est libre, disons de base (f2, . . . , fm) avec

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m− 1 ≤ n− 1. Montrons que (f1, f2, . . . , fm) est une base de N . Tout element de N s’ecrit be1 + y avecb ∈ (d) et y ∈M ′. On ecrit b = kd. On a

(be1 + y)− kf1 = kde1 + y − k(de1 + x1) = y − kx1 ∈ (M ′ ∩N)

et donc (be1 +y)−kf1 est dans le sous-module engendre par (f2, . . . fm) et be1 +y est dans le sous-moduleengendre par (f1, . . . fm). Autrement dit (f1, . . . , fm) engendre N . Montrons que (f1, f2, . . . , fm) est unefamille libre : supposons

∑ni=1 kifi = 0 On a donc

k1de1 + k1x1 +

n∑i=2

kifi = 0

avec k1x1 +∑ni=2 kifi ∈M ′, donc une combinaison lineaire des e2, . . . , en. Ceci donne une relation entre

les ei, d’ou l’on deduit que k1d = 0, d’ou k1 = 0. On a alors∑ni=2 kifi = 0 et donc tous les ki sont

nuls.

Revenons a un module de type fini M sur l’anneau principal A. Les deux resultats precedent nousdisent que le module M/TorA(M) est libre, disons de rang r, donc isomorphe a Ar. Un module libreetant projectif (voir exercice III.6.6), la suite exacte courte (VI.2.1) est scindee, et ainsi on a bien

M ' TorA(M)⊕Ar.

Exercice VI.2.3. Soit A un anneau principal et soient M un module libre de type fini sur A, et N unsous-module. Montrer que N admet un supplementaire dans M si et seulement si M/N est sans torsion.

VI.3 Decomposition des modules de type fini II

Il reste a analyser le module TorA(M). Remarquons deux choses. Premierement, A est principal, doncnoetherien, et M est de type fini sur un anneau noetherien, donc noetherien (cf. Theoreme V.1.10), etle sous-module TorA(M) est de type fini. Pour la suite de l’etude, on peut donc supposer sans perdre degeneralite que M = TorA(M).

Proposition VI.3.1. Supposons M de type fini et de torsion sur l’anneau principal A, alors M estartinien.

Demonstration. En effet, soit (m1, . . . ,mn) une famille generatrice finie de M . Pour chaque i ∈ {1, . . . , n}il existe un element non-nul ai ∈ A tel que ai ·mi = 0. Alors a = a1 . . . an annule chaque mi, donc annuletous les elements de M . Le morphisme surjectif de A-modules

An →M, (a1, . . . , an) 7→n∑i=1

ai ·mi

se factorise par An/aAn. Nous allons voir juste apres que A/aA est artinien. Ainsi M est un quotientdu module artinien An/aAn ; c’est donc un module artinien (cf. exercice V.1.8).

Il reste a voir que A/aA est artinien. Les sous-modules de A/aA sont donnes par les ideaux bA de Acontenant aA, c’est-a-dire par les diviseurs de a. L’anneau A etant factoriel, il n’y a qu’un nombre finid’ideaux bA contenant aA.

Corollaire VI.3.2. Soit M un A-module de type fini et de torsion sur l’anneau principal A. Alors Madmet une decomposition en somme directe de modules indecomposables (et encore de torsion et de typefini).

Demonstration. Les hypotheses du theoreme de Krull-Schmidt sont en effet satisfaites. Un sous-moduled’un module de torsion est encore de torsion, ceci decoule immediatement de la definition, et A estprincipal donc noetherien, et tout sous-module est de type fini.

Les modules de type fini, de torsion indecomposables sur un anneau principal admettent une ca-racterisation explicite.

80

Proposition VI.3.3. Soit M un module de type fini, de torsion et indecomposable. Alors il existe ununique ideal premier non-nul p de A et un unique entier n ≥ 1 tels que M ' A/pn. Reciproquement, lesmodules de la forme A/pn avec p ideal premier sont de type fini, de torsion et indecomposables.

Demonstration. Rappelons que l’annulateur d’un A-module M est l’ideal Ann(M) = {a ∈ A | ∀m ∈M, a·m = 0} deA. Pour chaquem ∈M , notons µm un generateur de l’ideal Ann(m) = {a ∈ A | a·m = 0}.

Lemme VI.3.4. Il existe un element m ∈M tel que Ann(M) = (µm) = Ann(m).

Demonstration. Dans un anneau factoriel, on definit facilement grace a la decomposition en facteursirreductibles ce qu’est le plus petit commun multiple (PPCM) d’une famille finie d’elements a1, . . . ar. Ilest unique et defini a un inversible pres. En termes d’ideaux, un tel plus petit commun multiple est ungenerateur de l’ideal

⋂i=1,...,r(ai). On choisit un systeme de generateurs fini m1, . . .mr de notre module

M , et l’on a donc une famille finie µm1, . . . , µmr d’elements de A, et il est clair que

Ann(M) =⋂

i=1,...,r

Ann(mi) =⋂

i=1,...,r

(µmi) = PPCM((µmi)i=1,...r).

Il reste a montrer que l’on peut trouver un element m ∈M tel que µm soit un PPCM des µmi . Par unerecurrence evidente, il suffit de montrer que si m′, m′′ ∈ M , il existe m ∈ M tel que µm soit un PPCMde µm′ et µm′′ . Pour cela, on utilise la decomposition en produit d’elements irreductibles de µm′ et µm′′

pour trouver des factorisations µm′ = c′d′ et µm′′ = c′′d′′ de sorte que c′ et c′′ soient premiers entreeux et que leur produit soit un PPCM de µm′ et µm′′ . Ecrivons une egalite de Bezout b′c′ + b′′c′′ = 1et posons m = d′m′ + d′′m′′. Tout multiple commun de µm′ et µm′′ annule m. Reciproquement, si aannule m, alors ad′m′ = −ad′′m′′, et donc ad′m′ = (b′c′ + b′′c′′)ad′m′ = b′c′ad′m′ − b′′c′′ad′′m′′ =ab′µm′m

′ − ab′′µm′′m′′ = 0, ce qui montre que ad′ est un multiple de µm′ et que ad′′ est un multiplede µm′′ . Ainsi a est un multiple commun de c′et c′′, donc est un multiple de leur produit, lequel est unPPCM de µm′ et µm′′ par construction. Les elements de A annulant m sont donc les multiples communsde µm′ et de µm′′ : nous avons bien µm = PPCM(µm′ , µm′′).

Regardons maintenant l’homomorphisme A 7→ a · m du A-module a gauche regulier dans M . Sonimage est le sous-module A ·m engendre par m, son noyau est (µm) = Ann(M). Nous disposons ainsid’une suite exacte courte

0 −→ A/Ann(M) −→M −→M/A ·m −→ 0.

Appelons B l’anneau quotient A/Ann(M) et notons a 7→ a la projection canonique. Le A-module Mpeut etre vu comme un B-module, car l’homomorphisme de A dans EndZ(M) definissant la structurede A-module de M se factorise a travers B ; le sous-module de M engendre par m est le meme, que l’onregarde M comme un module sur A ou sur B et la suite exacte ci-dessus peut donc etre vue comme unesuite exacte de B-modules

(VI.3.1) 0 −→ B −→M −→M/B ·m −→ 0.

La suite exacte ci dessus est scindee, en effet, plus generalement, on a le resultat suivant :

Lemme VI.3.5. Soit A un anneau principal et B = A/I ou I est un ideal non nul de A, Alors toutesuite exacte de B-modules

0 −→ Bf−→M

g−→M ′′ −→ 0

est scindee.

Autrement dit, le B-module regulier B est injectif. Cette notion est duale de celle de module projectifetudiee en III.6.6.

Demonstration. Introduisons l’ensemble E des couples (u,N) ou N est un sous-B-module de M contenantm = f(1), et u est un morphisme de B-modules de N dans B tel que u(m) = 1. On munit E de larelation d’ordre definie par (u1, N1) ≤ (u2, N2) si N1 ⊂ N2 et si la restriction de u2 a N1 est egale a u1.Remarquons que E est non vide. En effet, le morphisme B → B ·m induit un isomorphisme v : B ' B ·m,et l’on a (v−1, B ·m) ∈ E . Par definition, E est un ensemble ordonne inductif, et d’apres le lemme de Zorn,

81

il contient un element maximal, disons (u0, N0). On raisonne par l’absurde en supposent que N0 6= M .On prend alors y ∈M \N0, et l’on etend u0 en

u1 : N0 +B · y → B

en fixant judicieusement la valeur de u1(y), ce qui contredira la maximalite de (u0, N0). On identifieB-modules et A-modules annules par I.

On introduit l’ideal

J = {b ∈ B| b · y ∈ N0}.

Soit µ ∈ A un generateur de l’ideal I, de sorte que B = A/(µ). On a donc J = (b0)/(µ), avec b0 diviseurde µ : il existe α ∈ A avec αb0 = µ. Comme b0 ·y ∈ N0, on pose u0(b0 ·y) = c ∈ B. On a u0(µ·y) = 0 = αc,et ainsi αc = qµ = qαb0 pour un certain q dans A. Comme A est integre, on a c = qb0. Posons alors

v0 : N0 ⊕B −→ B, (n, b) 7→ u0(n) + b · q

et

w : N0 ⊕B −→ N +B · y, (n, b) 7→ n+ b · y.

On a

kerw = {(−b · y, b), b ∈ J} = {(−a · y, a), a ∈ (b0)} = {(−βb0 · y, βb0)), β ∈ A}

et

v0((−βb0 · y, βb0)) = −u0(βb0 · y) + βb0q = −βc+ βc = 0.

Ainsi kerw ⊂ ker v0, et v0 se factorise par w, disons v0 = u1 ◦ w avec

u1 : N +B · y −→ B

qui prolonge u0 par u1(y) = q. Nous sommes parvenu a la contradiction voulue. On a donc N0 = Met l’existence du morphisme u0 : M → B avec u0(m) = 1 montre que la suite (VI.3.1) est scindee (cf.exercice III.4.1).

Revenons a la demonstration de la proposition. On a donc, en tant que B-modules, M ' B⊕ (M/B ·m), et en tant que A-module,

M ' A/Ann(M)⊕ (M/A ·m).

Cela montre que si M est un A-module indecomposable, alors M ' A/Ann(M). Nous avons ainsi montrequ’un A-module M de type fini, de torsion et indecomposable est necessairement isomorphe a un moduleA/I, ou I est un ideal non-nul de A. De plus, la donnee de M determine I, car I = Ann(M).

Lemme VI.3.6. Le module A/I est indecomposable si et seulement si I est une puissance strictementpositive d’un ideal premier.

Si a = upα11 . . . pαnn est la decomposition d’un element non-nul a ∈ A en produit d’un element

inversible u et de puissances pαii d’elements irreductibles distincts, alors il y a un isomorphisme deA-modules (lemme des restes chinois, ci-dessous)

A/(a) ' A/(pα11 )⊕ . . .⊕A/(pαnn ).

Pour que A/(a) soit un A-module indecomposable, il est donc necessaire que la decomposition de a enproduit de puissances d’elements irreductibles fasse intervenir exactement un facteur. La condition estaussi suffisante. De fait, soit (p) un ideal premier et n ≥ 1 un entier. Soit B l’anneau A/(pn). C’estun anneau local, car il possede un unique ideal maximal, a savoir (p)/(pn). Identifiant le A-moduleA/(pn) au B-module regulier, nous obtenons l’egalite EndA(A/(pn)) = EndB(B) ' B. L’anneau desendomorphismes du module A/(pn) est donc local : le module est indecomposable (cf. theoreme V.2.3).Ceci conclut la demonstration de la proposition.

Nous avons invoque dans la demonstration ci-dessus le resultat general suivant :

82

Lemme VI.3.7 (Lemme des restes chinois). Soit A un anneau commutatif et soient mi, i = 1, . . . , r desideaux de A tels que mi + mj = A si i 6= j. Le morphisme canonique

A/⋂

i=1,...,r

mi −→∏

i=1,...,r

A/mi

est un isomorphisme.

Demonstration. L’injectivite du morphisme est immediate. On demontre la surjectivite par recurrencesur r, le cas r = 1 etant trivial. Si r = 2, il s’agit, quels que soient a1, a2 ∈ A de trouver a ∈ A et µ1 ∈ m1,µ2 ∈ m2 tels que a + µ1 = a1, a + µ2 = a2. Comme par hypothese m1 + m2 = A, on prend µ1 ∈ m1,µ2 ∈ m2 tels que µ1 − µ2 = a1 − a2 et l’on pose a = a1 − µ1 = a2 − µ2, ce qui resout le probleme. Sir > 2, par hypothese de recurrence on a un isomorphisme

A/⋂

i=1,...,r−1

mi '∏

i=1,...,r−1

A/mi.

On applique le resultat pour r = 2 aux deux ideaux mr et⋂i=1,...,r−1 mi, ce qui permet de conclure,

mais il faut pour cela verifier que⋂i=1,...,r−1 mi + mr = A. Par hyothese, pour tout i = 1, . . . , r − 1, il

existe ar,i ∈ mr et ai in mi tels que ai + ar,i = 1. En multipliant ces r − 1 egalites, on obtient

1 ∈ a1 . . . ar−1 + mr ⊂⋂

i=1,...,r−1

mi + mr

ce qui etablit l’assertion.

Ceci conclut la demonstration de la proposition.

Corollaire VI.3.8. Soit M un A-module de type fini et de torsion. Alors il existe des ideaux premiersp1, . . . , ps de A et des entiers strictement positifs α1, . . . , αs tels que

M 's⊕i=1

A/pαii .

Si l’on prefere, on ecrit ceci en prenant des generateurs irreductibles pi des ideaux premiers pi et l’ona

M 's⊕i=1

A/(pαii ).

A permutation pres, la suite ((pi, αi)i=1,...s) est unique.

L’unicite provient du theoreme de Krull-Schmidt. On peut en utilisant le lemme des restes chinoismettre le resultat sous la forme suivante

Corollaire VI.3.9. Soit M un A-module de type fini. Alors il existe une suite unique d’ideaux propres

I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ Ik

de A tels que

M 's⊕i=1

A/Ik.

Si l’on prefere, on ecrit ceci en prenant des generateurs di ∈ A des ideaux pi et l’on a

M 's⊕i=1

A/(di),

avec di divisant di+1 pour tout i = 1, . . . , k − 1.

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La suite d’ideaux I1 = (d1) ⊃ · · · ⊃ Ik = (dk) s’appelle la suite des invariants du A-module M .Remarquons que nous n’avons pas suppose M de torsion. La partie libre de M est obtenue en prenantla somme des facteurs avec (di) = Ii = 0 apparaissant a la fin de la suite des invariants.

Demonstration. On peut supposer que M est de torsion et partir de la decomposition du corollaire VI.3.8.Notons P(M) l’ensemble des ideaux premiers p de A contribuant non trivialement a la decompositionde M . La composante p-primaire Mp de M est la somme

Mp '⊕j|pj=p

A/pαjj ⊂

s⊕i=1

A/pαii 'M

et M est somme directe de ses composantes p-primaire. Ecrivons la composante p-primaire sous la forme

Mp '⊕j≤rp

A/pβp,j

avec une suite finie (βp,j) decroissante d’entiers strictement positifs.

On pose alors J1 =⋂

p∈P(M) pβp,1 (c’est-a-dire que si pour chaque p ∈ P(M), on choisit un generateur

p ∈ A irreductible (p = (p)), J1 est l’ideal engendre par le PPCM des pβp,1 et comme ils sont premiersentre eux, ce PPCM est leur produit). On pose ensuite J2 =

⋂p∈P(M), rp≥2 p

βp,2 , et ainsi de suite,

J` =⋂

p∈P(M), rp≥` pβp,` , jusqu’a epuisement de tous les facteurs indecomposables. On obtient ainsi une

suite croissante d’ideauxJ1 ⊂ J2 ⊂ · · · ⊂ Js

avec

A 's⊕i=1

A/Jk,

et l’on pose Ii = Js−i+1. L’unicite vient de l’unicite dans le theoreme de Krull-Schmidt.

Exercice VI.3.10. Soit A un anneau commutatif principal. Soient (p1), . . . , (pr) des ideaux premiersdistincts et n1, . . . , nr des entiers strictement positifs. Montrer que A/(pn1

1 · · · pnrr ) est semi-simple si etseulement si tous les ni sont egaux a 1.

Exercice VI.3.11. Soit M un module de type fini et de torsion sur l’anneau principal A. Pour toutideal premier p = (p), notons Mp = {m ∈M | ∃n ∈ Z>0, p

n ·m = 0}. ‘ Montrer que Mp est la composantep-primaire de M definie dans la demonstration du corollaire VI.3.9 Montrer que M est somme directedes Mp lorsque p decrit tous les ideaux premiers (seuls un nombre fini de Mp sont non-nuls).

Exercice VI.3.12. (Theoreme de la base adaptee). Soit M un A-module libre de rang n (A principal).Soit N un sous-module. Le but est de montrer qu’il existe une unique suite d’ideaux I1 = (d1) ⊃ · · · ⊃Is = (ds), s ≤ n, de A et une base (m1, . . . ,mn) de M tels que (d1 ·m1, . . . , ds ·ms) soit une base de N .

1. Montrer l’unicite dans l’enonce ci-dessus (en admettant l’existence).

Nous allons montrer le resultat d’existence par recurrence sur n.

2. Traiter le cas n = 1. Traiter aussi le cas N = {0} pour n quelconque.

On suppose maintenant n > 1 et N 6= {0}.3. Notons E = {λ(N), λ ∈ HomA(M,A)}. Montrer que E admet un element I1 = (d1) maximal pour

l’inclusion, avec d1 non nul.

4. Fixons λ1 ∈ HomA(M,A) avec λ1(N) = I1 = (d1) et n1 in N avec λ1(n1) = d1. Montrer que pourtout µ ∈ HomA(M,A), µ(n1) ∈ I1 = λ1(N).

5. Fixons une base (ei)i de M et ecrivons n1 =∑i αi · ei. Montrer que tous les αi sont divisibles par

d1.

En deduire qu’il existe m1 ∈M avec d1 ·m1 = n1et λ1(m1) = 1. En deduire que M = A ·m1⊕ kerλ1

et N = A · d1 ·m1 ⊕ (kerλ1 ∩N).

6. Appliquer l’hypothese de recurrence a M ′ = kerλ1 et N ′ = M ′ ∩N , et conclure.

84

VI.3.1 Application I : classification des groupes abeliens de type fini

On prend ici A = Z, et on obtient :

Theoreme VI.3.13. Soit M un groupe abelien de type fini.

Il existe alors une suite (unique) d1| . . . |ds d’entiers strictement positifs et un entier r (unique) telsque M est isomorphe a

Zr ⊕

(s⊕i=1

Z/(di)

).

Il existe un ensemble fini (unique) de nombres premiers P(M) et pour chaque p ∈ P(M), une suitedecroisante finie (unique) d’entiers strictement positifs βp,1, . . . βp,rp tels que M est isomorphe a

Zr ⊕

⊕p∈P(M)

rp⊕i=1

Z/(pβi,p)

.

Exercice VI.3.14. Donner la liste des groupes abeliens de cardinal 6, 16, 18, 24, 36.

Exercice VI.3.15. Soit M = Z ⊕ (Z/3Z). Donner la liste de tous les suplementaires du facteur Z/3Zdans M .

Exercice VI.3.16. Soit M = Zr ⊕ (⊕s

i=1 Z/(di)). Quel est l’annulateur dans Z de M ?

VI.3.2 Application II : reduction des endomorphismes

Soit V un k-espace vectoriel de dimension finie, et u un endomorphisme de V . Nous avons vu que Vest alors muni d’une structure de k[X]-module. Or k[X] est principal et V est de type fini et de torsion,car de dimension finie sur k.

Theoreme VI.3.17. Soient V un k-espace vectoriel de dimension finie, et u un endomorphisme de V .Il existe alors une suite (unique) P1| . . . |Ps de polynomes unitaires tels que, comme k[X]−modules,

V '

(s⊕i=1

k[X]/(Pi)

).

On dit que les Pi sont les invariants de similitude de u.

Exercice VI.3.18. Quels sont les k[X]-modules cycliques ? indecomposables ? simples ? Si l’on voitun k[X]-module de k-dimension finie comme un un kespace vectoriel V muni d’un endomorphisme u,comment ces notions se traduisent sur u ?

Exercice VI.3.19. Soit V un k-espace vectoriel de dimension finie, et u un endomorphisme de V . soitP1| . . . |Ps la suite des invariants de similitude de u. Quels sont les polynomes caracteristiques et minimalde u ?

Montrer qu’il existe une base de V telle que la matrice de u dans cette base soit une matrice diagonalepar bloc, dont les blocs sont les matrices compagnons des Pi.

Exercice VI.3.20. Soit V un k-espace vectoriel de dimension finie, et soit u, v ∈ Endk(V ) deux endo-morphismes. Montrer que u et v sont conjugues (par un element de GL(V ) si et seulement si les suitesdes invariants de similitude associees respectivement aux k[X]-modules Vu et Vv sont les memes.

Exercice VI.3.21. Soit q une puissance d’un nombre premier et notons Fq le corps fini a q elements.Calculer le nombre de classes de conjugaison (sous GLn(Fq)) dans Mn(Fq) et dans GLn(Fq)).

Exercice VI.3.22. SoitA un anneau principal. Considerons l’action de GLn(A)×GLm(A) surMn,m(A)donne par (P,Q,M) 7→ PMQ−1. Montrer que l’ensemble des orbites est classifie par les suites

(d1) ⊃ (d2) ⊃ · · · ⊃ (dr)

d’ideaux de A. En deduire que lorsque A = k est un corps commutatif, on retrouve le theoreme declassification des classes d’equivalences par le rang.

85

Chapitre VII

Representations des algebressemi-simples

Une algebre a division sur k est une k-algebre avec unite dont tout element non nul est inversible. Sielle est commutative, c’est un corps (et donc une extension de k).

Nous avons vu dans le chapitre II que la donnee d’une representation (π, V ) d’un groupe fini G estequivalente a la donnee d’un morphisme de C-algebres

C[G]→ End(V ), f 7→ π(f),

ou C[G] est l’algebre du groupe sur le corps C, et V un C-espace vectoriel. De maniere equivalente, Vest un C[G]-module.

On peut generaliser en remplacant C par un corps quelconque, la donnee d’un morphisme d’algebres

k[G]→ End(V ), f 7→ π(f),

est equivalente a la donnee d’une representation de G dans un k-espace vectoriel V , ou encore d’unestructure de k[G]-module sur V .

La theorie des representations des groupes finis devient alors un sous-domaine de la theorie desmodules. Les algebres de groupes k[G], lorsque la caracteristique est nulle, ont la propriete d’etre semi-simple, c’est ce que nous allons exploiter pour retrouver des resultats du chapitre II, en etudiant plusprecisement la structure des algebres de dimension finie et leurs representations.

VII.1 Forme trace et radical d’une k-algebre de dimension finie

On travaille sur un corps k de caracteristique nulle quelconque. Le lecteur impressionne par tant degeneralite pourra considerer que k = C. Soit A une k-algebre de dimension finie avec unite. Pour touta ∈ A, notons

ma : A→ A, b 7→ ab

l’endomorphisme de A donnee par la multiplication a gauche par a. Il est clair que a 7→ ma definit unmorphisme lineaire injectif de A dans Endk(A). On peut alors munir A d’une forme bilineaire symetrique,la forme trace, definie par

(a, b) = Tr (mamb) = Tr (mab).

Cette forme bilineaire symetrique verifie de maniere evidente

(VII.1.1) (ax, b) = (a, xb), (a, b, x ∈ A).

87

Definition VII.1.1. On dit que l’algebre A est semi-simple lorsque la forme trace sur A est nondegeneree.

Un anneau A est dit simple s’il n’admet aucun ideal bilatere propre.

Il s’ensuit qu’une algebre A simple est semi-simple. Attention au fait que nous avons deux notions desemi-simplicite, celle definie ci-dessus pour des k-algebres de dimension finie, et celle de l’exercice V.3.10valide pour une anneau quelconque A : il est semi-simple si le module (a gauche) regulier A est semi-simple. Avec cette definition, remarquons qu’un anneau simple n’est pas necessairement semi-simple. Onpeut montrer qu’un anneau simple et artinien est semi-simple. Bien sur, une k-algebre de dimension finieest artinienne. Les deux notions de semi-simplicite coıncident pour les k-algebres de dimension finie (voirle theoreme VII.2.5 ci dessous pour une implication et exercice VII.2.6 pour la reciproque).

Exercice VII.1.2. Soit B = (ei)i=1,...,n une base de A. Montrer que A est semi-simple si et seulementsi le discriminant

∆B(A) = det((ei, ej)i,j)

est non nul.

En general, le radical J = J(A) de la forme trace, defini par

J(A) = {x ∈ A | ∀y ∈ A, (x, y) = 0}

est un ideal bilatere (grace a l’equation (VII.1.1)). Si a ∈ J(A), alors Tr (mna) = 0 pour tout n ∈ N∗, ce

qui implique par des arguments bien connus d’algebre lineaire que ma est un endomorphisme nilpotent.L’injectivite de a 7→ ma nous dit alors que a lui-meme est nilpotent dans A. Reciproquement, tout ideala gauche I de A constitue d’elements nilpotents est dans le radical J(A), puisque pour tout x ∈ A, pourtout a ∈ I, comme xa ∈ I, xa est nilpotent, et donc aussi mxa, ce qui montre que

(a, x) = (x, a) = Tr (mxma) = Tr (mxa) = 0.

On en deduit que J(A) est le plus grand ideal a gauche constitue d’elements nilpotents. On a ainsiJ(A/J(A)) = {0}.

Soit M un A-module simple (c’est-a-dire que M est non nul et n’admet pas de sous-module propre),et soit m un element non nul de M . Alors M = A ·m, et

A→M, a 7→ a ·m

est un morphisme de A-modules surjectif, dont le noyau, note Im, est un ideal a gauche maximal de A.On a alors J(A) ⊂ Im car sinon, comme Im est maximal, Im + J(A) = A, ce qui fait que l’on peut ecrire1 = x + y, x ∈ Im, y ∈ J(A). Alors x = 1 − y est inversible puisque y est nilpotent (exercice), ce quiconstitue une contradiction.

Resumons les resultats obtenus :

Theoreme VII.1.3. Le radical J(A) de la forme trace est le plus grand ideal a gauche constitued’elements nilpotents. Il annule tous les A-modules irreductibles. L’algebre A/J(A) est semi-simple.

VII.2 Algebres semi-simples

Supposons A semi-simple. Soit I un ideal bilatere non nul minimal dans A, et posons

I⊥ = {x ∈ a|∀a ∈ I, (a, x) = 0}.

Alors (VII.1.1) implique que I⊥ est aussi un ideal bilatere de A. Par minimalite de I, on a soit I ⊂ I⊥,soit I ∩ I⊥ = {0}. Dans le premier cas, on obtient Trm2

x = 0 pour tout x ∈ I, et ainsi I ⊂ J(A), ce qui

88

est en contradiction avec l’hypothese que A est semi-simple. On a donc I ∩ I⊥ = {0}. Par de l’algebrebilineaire elementaire, on obtient

A = I ⊕ I⊥, II⊥ = I⊥I = {0}.

En ecrivant1 = e+ e′, e ∈ I, e′ ∈ I⊥

on voit immediatement que e et e′ sont des idempotents centraux de A, qui agissent par multiplicationrespectivement sur I et I⊥ comme l’identite. Ainsi A = I ⊕ I⊥ est une somme directe d’algebres semi-simples. La minimalite de I entraıne que I est une algebre simple. En effet, si J ⊂ I est un ideal bilaterede I, on a J = eJ = Je, d’ou

AJ = A(eJ) = (Ae)J = IJ = J, JA = (Je)A = J(eA) = JI = J.

et donc J est un ideal bilatere de A contenu dans I, ce qui permet de conclure. Une recurrence montrealors que A est somme directe d’algebres simples.

Un idempotent central e dans A est dit decomposable s’il existe deux idempotents centraux e1 ete2 tels que e = e1 + e2, e1e2 = e2e1 = 0 et indecomposable s’il n’est pas decomposable. D’apres ce quiprecede, on voit que si {e1, . . . es} est l’ensemble des idempotents centraux indecomposables de A, alors{Ae1, . . . Aes} est l’ensemble des ideaux bilateres minimaux de A, 1 = e1 + . . .+ es et A =

⊕i=1,...,sAei.

Posons, avec les notations ci-dessus, Ii = Aei. Soit M un A-module ou 1 agit comme l’identite. Alorson a une decomposition de A-modules

(VII.2.1) M =⊕

i=1,...,s

ei ·M.

Si M est simple, ceci prouve que M = ei ·M pour un indice i et que ej ·M = {0} si j 6= i. En particulier,M = ei ·M est un Ii-module simple, et comme Ii est simple, l’annulateur dans Ii de M est nul, c’est-a-direque

{x ∈ Ii |x ·M = 0} = {0}.

Soit J un ideal a gauche minimal de Ii. Alors J ·M est un sous-module non nul de M . Soit m ∈Mtel que J ·m 6= {0}. On a alors J ·m = M et

x 7→ x ·m

est un morphisme non nul de Ii-modules entre les modules simples J et M , et c’est donc un isomorphisme.En particulier, la structure de Ii-module de J ne depend pas du choix de celui-ci, et Ii (donc toute algebresimple) n’admet a isomorphisme pres qu’un seul module simple. On a donc obtenu le

Theoreme VII.2.1. Soit A une algebre semi-simple et soit {e1, . . . es} l’ensemble des idempotents cen-traux indecomposables de A. Alors

{Ae1, . . . Aes}

est l’ensemble des ideaux bilateres minimaux de A, chaque Ii = Aei est une algebre simple d’elementunite ei, et A est la somme directe d’algebres

A =⊕

i=1,...,s

Aei.

D’autre part, si pour chaque i, on fixe un ideal a gauche minimal Ji de Ii, alors les Ji forment un systemede representants des classes d’isomorphismes de A-modules simples.

On peut en dire plus a propos des algebres simples.

Theoreme VII.2.2. Soient B une algebre simple, I un ideal a gauche et D = EndB(I). Alors l’appli-cation naturelle

(VII.2.2) B → EndD(I), b 7→ [mb : x 7→ bx]

est un isomorphisme.

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Precisons que D = EndB(I) est l’espace des endomorphismes de I commutant avec l’action de B etque EndD(I) est l’espace des endomorphismes de I commutant avec ceux de D.

Demonstration. Comme B est simple, B = IB. Il est clair que mb ∈ EndD(I). Pour tout x ∈ I, notonsdx : I → I la multiplication a droite par x. Alors dx ∈ D = EndB(I) car

(by)x = b(yx), (b ∈ B), (x, y ∈ I).

Ainsi, pour tout φ ∈ EndD(I), on a, pour tous x, y ∈ I, φ(yx) = φ(y)x, et donc, pour tout b ∈ b,

φ(ybx) = φ(y(bx)) = φ(y)(bx).

On fixe alors b, y, φ comme ci-dessus et l’on obtient

φ ◦myb = mφ(y)b.

Ceci montre que l’image de B = IB par (VII.2.2) est un ideal a gauche de EndD(I), mais cette imagecontient l’identite, et c’est donc EndD(I) tout entier. Comme B est simple, le noyau de (VII.2.2) esttrivial, ce qui finit la demonstration du theoreme.

Remarque VII.2.3. Si I est un ideal a gauche minimal de B, alors D est une algebre a division (c’est-a-dire que tout element non nul est inversible). En effet, si φ ∈ D est non nul, kerφ et Imφ sont desideaux a gauche de B, inclus dans I, et donc 1 kerφ = 0, Imφ = I.

Comme une algebre de dimension finie admet des ideaux minimaux, on obtient :

Corollaire VII.2.4. Soient B une k-algebre simple de dimension finie, I un ideal a gauche minimal deB et D = EndB(I). Alors D est une algebre a division de dimension finie sur k, et B est isomorphe al’algebre des matrices n× n a coefficients dans D, ou n = dimD(I).

Nous allons maintenant montrer le resultat suivant :

Theoreme VII.2.5. Soient A une k-algebre semi-simple de dimension finie. Alors tout A-module estcompletement reductible.

Demonstration. D’apres (VII.2.1), il suffit de demontrer le resultat pour une k-algebre B simple, etd’apres le corollaire precedent, on peut supposer que B = Mn(D), ou D est une k-algebre a division.D’apres l’exercice V.3.10, il suffit de montrer que B, vu comme module a gauche sur lui-meme, estcompletement reductible. Notons Ei la matrice deMn(D) ayant pour coefficients 1 en (i, i) et 0 partoutailleurs. Alors Bei est l’ideal a gauche des matrices dont seule la i-ieme colonne est non nulle. On adimD(Bei) = n = dimD(I), ce qui montre que Bei est un ideal a gauche minimal de B. De plus, on aclairement

B =Mn(D) =⊕i

Bei,

qui est une decomposition de B en B-modules simples.

Exercice VII.2.6. Montrer la reciproque du theoreme ci-dessus, a savoir que si A est une k-algebrede dimension finie, completement reductible en tant que module a gauche sur elle-meme, alors elle estsemi-simple au sens de la definition VII.1.1, c’est-a-dire que son radical est nul.

VII.3 Application a la theorie des representations

Nous avons montre dans le chapitre II que les representations d’un groupe fini G sont completementreductibles en utilisant l’existence d’un produit hermitien invariant. Nous voyons maintenant qu’il existeaussi une demonstration purement algebrique de ce fait, qui consiste a montrer que l’algebre du groupe

1. Cette observation est l’une des nombreuses versions du lemme de Schur

90

C[G] est semi-simple. Pour voir ceci, calculons la matrice de la forme trace dans la base des elements dugroupe. La trace de la multiplication a gauche dans C[G] par un element g ∈ G est

tr(mg) = 0 si g 6= e, tr(me) = |G|.

On voit que la matrice de la forme trace est egale a |G|P ou P est la matrice de la permutation g 7→ g−1.Elle est de determinant non nul, ce qui montre que la forme trace est non degeneree.

La theorie developpee dans la section precedente montre qu’alors, si {e1, . . . , es} sont les idempotentsminimaux de C[G], les Bi = C[G]ei sont les ideaux bilateres minimaux de C[G], et si Ii ⊂ Bi est un idealminimal a gauche de Bi, les Ii forment un systeme de representants des representations irreductibles deC[G] (donc de G). Notons Θi le caractere de Ii. Comme le corps des complexes est algebriquement clos,Di = EndBi(Ii) = C, et l’on obtient un isomorphisme d’algebres

Bi = End(Ii) 'Mni(C),

ou ni = Θi(e) est la dimension de Ii.

Soit L la representation reguliere deMn(C), agissant sur elle-meme par multiplication a gauche. Uncalcul dans la base canonique de Mn(C) montre facilement que

tr(L(X)) = n tr(X), (X ∈Mn(C)).

Notons aussi L la representation reguliere gauche de C[G] et definissons pour tout α ∈ C[G],

χi(α) = tr(L(α ∗ ei)).

Remarquons que χi(α) est la trace de la multiplication a gauche par α∗ei dans Bi 'Mni(C). On obtientdonc que :

(VII.3.1) χi(δg) = tr(L(δg ∗ ei)) = ni Θi(g), (g ∈ G).

Utilisons ceci pour exprimer les idempotents ei en fonction des caracteres Θi : Ecrivons la decompositionde ei dans la base {δx}x∈G de C[G] :

ei =∑x∈G

εi(x) δx

dans C[G]. Multiplions par δg, pour obtenir

(VII.3.2) δg ∗ ei =∑x∈G

εi(x) δg ∗ δx =∑x∈G

εi(x) δgx =∑x∈G

εi(g−1x)δx

En prenant tr(L), et en utilisant (VII.3.1), on obtient

tr(L(δg ∗ ei)) = ni Θi(g) =∑x∈G

εi(g−1x)tr(L(δx)) = |G|εi(g−1).

On obtient ainsi la formule donnant l’idempotent ei :

(VII.3.3) ei =ni|G|

∑g∈G

Θi(g−1) δg = ni Θi.

91

Chapitre VIII

Problemes corriges

Voici quelques problemes corriges sur les representations des groupes finis issus d’examens d’un coursdonne entre 2006 et 2010. On y trouvera

- une demonstration du theoreme de structure des groupes abeliens finis, utilisant un peu de theoriedes representations,

- un probleme sur les fonctions spheriques dans les paires de Gelfand,

- un probleme sur la theorie des representations du groupe diedral,

- un probleme sur les extensions centrales d’un groupe abelien par Z/2Z et leurs representations.

VIII.1 Groupes abeliens finis

a) Montrer qu’un groupe fini G est abelien si et seulement si toutes ses representations irreductibles

sont de dimension 1 et qu’alors |G| = |G|.b) Dans la suite G est abelien fini. Montrer que si g ∈ G, g 6= e, il existe χ ∈ G tel que χ(g) 6= 1. (On

pourra utiliser les relations d’orthogonalite duales.)

c) En deduire que le morphisme canonique d’evaluation G→ G est injectif, puis qu’il est bijectif.

d) Dans la suite, G est un groupe abelien fini d’ordre pα, ou p est un nombre premier, et α un entiernaturel. Quelles sont les valeurs possibles des caracteres de G ?

e) Soit x0 un element de G d’ordre maximal, disons pβ , avec β ≤ α. En utilisant b) montrer qu’ilexiste un caractere χ : G→ C∗ realisant un isomorphisme entre le sous-groupe H de G engendre par x0

et le groupe µ(pβ) des racines pβ-ieme de l’unite. (On pourra remarquer que x1 = xpβ−1

0 6= e.)

f) Montrer que H et kerχ engendrent G. En deduire que G est le produit direct de H et de kerχ.

g) Montrer que G est un produit direct de groupes cycliques.

h) On suppose maintenant que G est d’ordre mn, ou m et n sont premiers entre eux. Soit H l’ensembledes elements de G dont l’ordre divise n et K l’ensemble des elements de G dont l’ordre divise m. Montrerque H et K sont des sous-groupes de G, que H ∩ K = {e} et que HK = G. En deduire que G est leproduit direct de H et K.

i) Montrer que tout groupe abelien fini G est produit direct de groupes cycliques.

Corrige

a) On sait d’apres le cours que |G| est le nombre de classes de conjugaisons de G et que d’autre part|G| =

∑δ∈G dimV 2

δ . Un groupe est abelien si et seulement si les classes de conjugaison dans G sont dessingletons. Donc si G est abelien

|G| = |G| =∑δ∈G

dimV 2δ .

93

Comme pour tout δ ∈ G, dimV 2δ ≥ 1, on voit que necessairement dimVδ = 1.

Reciproquement, si pour tout δ ∈ G, dimV 2δ = 1, on obtient |G| = |G|, ce qui montre que chaque

classe de conjugaison est un singleton.

b) Les relations d’orthogonalite duales affirment que∑δ∈G

Θδ(C1)Θδ(C2) = 0

ou Θδ est le caractere de δ et C1, C2 sont des classes de conjugaison distinctes dans G. Dans le cas ouG est abelien, toutes les representations sont de dimension 1 et coıncident avec leur caracteres, de sorteque l’on obtient, en prenant C1 = {e} et C2 = {g}, pour tout g ∈ G, g 6= e,

0 =∑χ∈G

χ(e)χ(g) =∑χ∈G

χ(g).

Ceci montre qu’il existe χ tel que χ(g) 6= 1.

c) Remarquons tout d’abord que puisque l’on a egalite des cardinaux

|G| = |G| = | G|il suffit de montrer l’injectivite de

ev : G→ G

pour montrer sa surjectivite.

Le morphisme d’evaluation ev est un morphisme de groupes, donc pour montrer l’injectivite, il suffitde voir que son noyau est trivial. Soit g ∈ ker ev. On a alors

∀χ ∈ G, χ(g) = 1

et d’apres b), g = e.

d) Tout element g ∈ G verifie gpα

= e, d’ou pour tout χ ∈ G

1 = χ(e) = χ(gpα

) = χ(g)pα

ce qui montre que χ prend ses valeurs dans les racines pα-ieme de l’unite.

e) D’apres c), comme x1 6= e, il existe un caractere χ de G tel que χ(x1) 6= 1. On en deduit que χ(x0)est une racine primitive pβ-ieme de l’unite. On a donc deux groupes cycliques de meme ordre pβ : lesous-groupe H engendre par x0 dans G et le groupe des racines pβ-ieme de l’unite, et un morphisme, χqui envoie un generateur du premier de ces groupes sur un generateur du second : c’est un isomorphisme.

f) Soit y ∈ G. Il est d’ordre pγ , avec γ ≤ β. Donc χ(y) est une racine pγ-ieme de l’unite, donc enparticulier aussi une racine pβ-ieme. On peut donc trouver h ∈ H tel que χ(h) = χ(y). Ceci montre queχ(h−1y) = 1 et donc h−1y ∈ kerχ. On peut donc ecrire y = hk avec h ∈ H et k ∈ kerχ. Comme e)montre que kerχ ∩H = {e}, on en deduit que G est le produit direct de H et K.

g) On recommence avec K ce qu’on a fait avec G. En effet, K est un sous-groupe de G, il est d’ordrepα′

avec α′ < α. On reitere le procede jusqu’a obtenir G comme produit de groupes cycliques.

h) Soient x, y ∈ H, d’ordre respectifs k et l. Comme G est abelien, l’ordre de xy est r = ppcm(k, l).Comme k et l divisent n, r aussi, et donc H est un sous-groupe de G. Idem pour K. Un elementdans H ∩K est d’ordre divisant a la fois n et m, donc divisant pgcd(m,n) = 1, donc d’ordre 1. DoncH ∩K = {e}. Ceci montre que

H ×K → G, (h, k) 7→ hk

est un morphisme de groupes injectif.

Pour la surjectivite, on utilise le theoreme de Bezout : puisque m et n sont premiers entre eux, ilexiste des entiers u et v tels que um+ vn = 1 et donc tout element g ∈ G s’ecrit

g = gum+vn = gumgvn

avec (gum)n = (gu)mn = e, donc gum ∈ H et de meme gvn ∈ K.

i) On decompose |G| en produit de puissances de nombres premiers distincts et on applique lesresultats precedents.

94

VIII.2 Paires de Gelfand et fonctions spheriques

Le but du probleme est d’etudier la notion de paire de Gelfand et de fonction spherique relativementa une telle paire. Une paire de Gelfand (G,K) est constituee d’un groupe G et d’un sous-groupe K,tels que pour toute representation irreductible V de G, l’espace des points fixes de K soit de dimension0 ou 1. Une caracterisation des paires de Gelfand est que l’algebre de convolution des fonctions sur Gbi-invariantes par K est commutative.

Un certains nombres de faits evidents ou venant du cours sont rappeles dans l’enonce. Il n’est pasdemande de les redemontrer.

Soit G un groupe fini. On note 1 son element neutre, la notation e etant reservee a autre chose. Onnote A = F(G) l’algebre de convolution des fonctions sur G a valeurs complexes.

Soit K un sous-groupe fini de G. On note 1K la fonction caracteristique de K dans G :

1K(g) = 1 si g ∈ K, 0 sinon.

I.1. Calculer 1K ∗ 1K . En deduire une constante c telle que e = c1K soit un idempotent de A(c’est-a-dire e ∗ e = e).

II.2 Considerons le projecteur p : A → A, f 7→ f ∗ e et notons Ae son image. Deduire la dimensionde Ae en calculant la trace de p.

I.3. Montrer que pour tout k ∈ K, δk ∗ e = e ∗ δk = e. Soit g1, . . . , gp un systeme de representants desclasses dans G/K.

Montrer que (δgi ∗ e)i=1,...,p forme une base de Ae.

I.4. Montrer queAe = {f ∈ A| f(gk) = f(g), (∀g ∈ g,∀k ∈ K)}.

De meme, on pose q : A → A, f 7→ e ∗ f . On a les resultats (et les notations) analogues a ceuxci-dessus en echangeant gauche et droite. Ainsi

eA = {f ∈ A| f(kg) = f(g), (∀g ∈ g,∀k ∈ K)} = {e ∗ h, h ∈ A}.

Remarquons que f 7→ f , ou f(g) = f(g−1) permet d’echanger gauche et droite. Par exemple, (f ∗h) =h ∗ f . On a aussi que f 7→ f est un G-isomorphisme entre Ae et eA. Par ailleurs, eA = IndGK(1), ou 1 estla representation triviale de K. D’apres ce qui vient d’etre dit, Ae ' IndGK(1) par f 7→ f .

II.1. Posons eAe = {e ∗ f ∗ e, f ∈ A} = eAe = Ae ∩ eA. Montrer que eAe est une sous-algebre de Adont l’unite est e.

II.2. Le groupe G agit sur A par la representation reguliere gauche L. On rappelle que quels quesoient h, f ∈ A,

L(h) · f = h ∗ f.

Montrer que Ae est un sous-espace stable sous l’action de G. On note (L,Ae) cette sous-representation.

II.3. Considerons l’espace EndG(Ae) = HomG(Ae,Ae) l’espace des operateurs d’auto-entrelacementde la representation (L,Ae). Montrer que

Ψ : EndG(Ae)→ Ae, φ 7→ φ(e)

est a valeurs dans eAe et realise un isomorphisme entre EndG(Ae) et eAe. Montrer que Ψ(φ1 ◦ φ2) =Ψ(φ2) ∗Ψ(φ1).

II.4. Montrer que les conditions suivantes sont equivalentes :

(i) eAe est commutative.

95

(ii) IndGK(1) est sans multiplicite, c’est-a-dire que toute representation irreductible de G intervientdans la decomposition en irreductibles de IndGK(1) avec multiplicite 0 ou 1.

(On pourra montrer que si une representation irreductible apparait avec une multiplicite au moins 2dans IndGK(1), alors

EndG(Ae) ' EndG(IndGK(1))

contient une sous-algebre isomorphe a M2(C)).

Lorsque ces conditions sont realisees, on dit que (G,K) est une paire de Gelfand. Dans la suite, onsuppose que (G,K) est une paire de Gelfand. Ecrivons Ae =

∑si=1 Vi, ou les Vi sont des representations

irreductibles de G, deux a deux non isomorphes, et l’on note Θi le caractere de la representation de Gdans Vi.

III.1. On pose di = dimVi et ωi = Θi ∗ e. Montrer que

ωi(1) = 1, wi(x−1) = ωi(x).

(On pourra montrer que ωi(1) = (Θi|K ,1K)K ou (., .)K est le produit hermitien habituel de C[K] et lefait que 1K est le caractere de la representation triviale de K.)

III.2. Montrer que ωi ∈ eAe ∩ Vi puis que eAe ∩ Vi = V Ki , ou V Ki est l’ensemble des vecteurs de Vifixes par tous les elements de K. Pourquoi la dimension de V Ki est-elle 1 ?

III.3. Montrer que ωi∗ωj = δij1diωi (δij etant ici le symbole de Kronecker), puis que (ωi, ωj)G = δij

1di

,(., .)G etant le produit hermitien habituel de A. En deduire que les ωi, i = 1, . . . s forment une baseorthogonale de eAe.

III.4. Montrer que les morphismes d’algebres (unitaires) de eAe dans C sont donnes par

f 7→ ωi ∗ f(1), (f ∈ eAe)

On appelle les fonctions ωi les fonctions spheriques de la paire de Gelfand (G,K).

IV.1. Montrer que si pour tout x ∈ G, Kx−1K = KxK, alors (G,K) est une paire de Gelfand.

IV.2. Soit G un groupe fini et σ un automorphisme de G tel que σ2 = IdG. Posons

K = {g ∈ G|σ(g) = g}, P = {g ∈ G|σ(g) = g−1}.

Si G = KP (c’est-a-dire si tout g ∈ G se decompose en g = kp, k ∈ K, p ∈ P ), montrer que (G,K) estune paire de Gelfand.

V. Soit ω une fonction a valeurs complexe surG. Montrer que les conditions suivantes sont equivalentes :

(i) ω est une fonction spherique de la paire de Gelfand (G,K).

(ii) ω(1) = 1, ω ∈ eAe et pour tout f ∈ eAe, f ∗ ω = λf ω pour une certaine constante λf .

(iii) ω 6= 0 et

ω(x)ω(y) =1

|K|∑k∈K

ω(xky).

(Remarque : (ii)⇒ (iii) est un peu plus difficile que le reste : on introduira la fonction

ωy : x 7→ 1

|K|∑k∈K

ω(xky).

et l’on montrera queλfω(y) = f ∗ ωy(1) .)

96

Corrige

I.1. Calculons, en utilisant que 1K(kg) = 1K(g) pour tout k ∈ K :

1K ∗ 1K(g) =1

|G|∑t∈G

1K(t)1K(t−1g) =1

|G|∑t∈K

1K(t−1g)

=1

|G|∑t∈K

1K(g) =|K||G|

1K(g).

On a utilise 1K(kg) = 1K(g), pour tout k ∈ K et tout g ∈ G. Ceci resservira souvent.

On prendra donc c = |G||K| .

I.2. On a (propriete des projecteurs) dim Im p = Tr p. Calculons cette trace dans la base des δg. Ona p(δg) = δg ∗ e, et

δg ∗ e(y) =1

|G|∑t∈G

δg(t)e(t−1y) = e(g−1y) =

1

|K|∑x∈gK

δx(y).

Chaque element δg de la base contribue donc de 1|K| , et ainsi Tr p = |G|

|K| .

I.3. On a

δk ∗ e(g) =1

|G|∑t∈G

δk(t)e(t−1g) = c1K(k−1g) = c1K(g) = e(g).

idem pour l’autre.

Ae = Im p est l’espace engendre par les δg ∗ e. Or pour tout k ∈ K,

δgk ∗ e = δg ∗ δk ∗ e = δg ∗ e

donc Ae est engendre par les δgi ∗ e. Comme on a montre que dimAe = |G||K| , ce systeme de generateurs

est minimal, et forme donc une base de Ae.

I.4. Si f ∈ Ae, on a pour tout g ∈ G et tout k ∈ K,

f(gk) = (R(k) · f)(g) = f ∗ δk−1(g) = f ∗ e ∗ δk−1(g) = f ∗ e = f(g).

Reciproquement, si f(gk) = f(g) pour tout g ∈ G, et tout k ∈ K, on a

f ∗ e(g) =1

|G|∑t∈G

f(t)e(t−1g) =1

|G|∑t∈G

f(gt)e(t−1)

=1

|G|∑k∈G

f(gk)e(k−1) =1

|G|∑k∈G

f(gk)|G||K|

= f(g),

et donc f ∈ Ae.II.1. Si e ∗ f1 ∗ e et e ∗ f2 ∗ e sont dans eAe, on a (e ∗ f1 ∗ e) ∗ (e ∗ f2 ∗ e) = e ∗ f1 ∗ e ∗ f2 ∗ e ∈ eAe, et

donc eAe est une sous-algebre. Comme pour tout f ∈ eAe = eA ∩Ae, e ∗ f = f ∗ e = f , e est l’unite decette algebre.

II.2. Soit f ∈ Ae. On a pour tout k ∈ K :

(L(y) · f)(gk) = f(y−1gk) = f(y−1g) = (L(y) · f)(g)

et donc L(y) · f ∈ Ae.II.3 . Soit φ ∈ EndG(Ae). Alors

e ∗ φ(e) = L(e) · φ(e) = φ(L(e) · e) = φ(e ∗ e) = φ(e)

Donc φ(e) ∈ eAe.

97

Montrons que Ψ est injective. Comme cette application est lineaire, il suffit de voir que si φ(e) = 0,alors φ = 0. Or dans cette hypothese, on a pour tout f ∈ Ae,

φ(f) = φ(f ∗ e) = f ∗ φ(e) = 0,

ce qui montre le resultat voulu.

Montrons que Ψ est surjective. Si f ∈ eAe, definissons φ ∈ EndG(Ae) par

φ : h 7→ h ∗ f

Il est clair que h ∗ f est bien dans Ae, et que pour tout g ∈ G,

φ(L(g) · h) = φ(δg ∗ h) = δg ∗ h ∗ f = L(g) · (φ(h)),

ce qui montre que φ est bien un operateur d’entrelacement. De plus φ(e) = e ∗ f = f , ce qui montre queΨ est surjective.

Enfin, (φ1 ◦ φ2))(e) = φ1(φ2(e)) = φ1(φ2(e) ∗ e) = φ1(L(φ2(e)) · e) = L(φ2(e)) · φ1(e) = φ2(e) ∗ φ1(e).

II.4 . Remarquons que comme Ae ' IndGK1 en tant que representation de G, (ii) est equivalent a :Ae est sans multiplicite. Decomposons Ae en somme directe de sous-representations irreductibles de G :

Ae =

s⊕i=1

Vi.

Et donceAe ' EndG(Ae) ' HomG(⊕iVi,⊕jVj).

Cet isomorphisme etant un antiautomorphisme d’algebres, eAe est commutative si et seulement siEndG(Ae) l’est.

Or un G-endomorphisme preserve les composantes isotypiques. Donc si les multiplicites sont ≤ 1, ona

HomG(⊕i

Vi,⊕j

Vj) =⊕i

HomG(Vi, Vi) =⊕i

C

la derniere egalite etant le lemme de Schur. Remarquons au passage que dim eAe = s. Reciproquement,si une sous-representation irreductible apparait dans Ae avec multiplicite au moins 2, disons V1 ' V2 parexemple. Alors

HomG(⊕i

Vi,⊕j

Vj)

contient une sous-algebre isomorphe a M2(C) et n’est donc pas commutative : en effet, soit φ1 l’identitede V1 prolongee par 0 a tous les autres Vi, φ2 l’identite de V2 prolongee par 0 a tous les autres Vi, φ3

un G-isomorphisme entre V1 et V2, prolonge par 0 sur les autres Vi et φ4 l’inverse de φ3 entre V2 et V1,prolonge par 0 sur les autres Vi. On verifie que

φ1 7→(

1 00 0

), φ2 7→

(0 00 1

), φ3 7→

(0 01 0

), φ4 7→

(0 10 0

)donne l’isomorphisme voulu.

III.1. Calculons

ωi(1) = Θi ∗ e(1) =1

|G|∑t∈G

Θi(t)e(t−1) =

1

|K|∑t∈K

Θi(t) = (Θi|K ,1K)K .

Donc par reciprocite de Frobenius

ωi(1) = (Θi|K ,1K)K = (Θi, IndGK(1))G = 1

car Vi apparait avec multiplicite 1 dans IndGK(1).

Calculonsωi = (Θi ∗ e) = e ∗ Θi = e ∗Θi = Θi ∗ e = ωi.

98

— III.2 . Comme ωi = Θi ∗ e = e ∗ Θi, il est clair que ωi ∈ eAe = Ae ∩ eA. On sait (cours) que lacomposante isotypique de Ae de type Vi (c’est-a-dire Vi elle-meme a cause de la multiplicite 1) est

L(Θi) ·Ae = Θi ∗A ∗ e = A ∗Θi ∗ e = A ∗ ωi.

Donc ωi ∈ Vi.Soit f ∈ eAe ∩ Vi. Alors pour tout k ∈ K,

L(k) · f = δk ∗ f = δk ∗ e ∗ f = e ∗ f = f

donc f ∈ V Ki . Reciproquement, si f ∈ V Ki ⊂ Ae, alors e ∗ f = L(e) · f = f . Ainsi f est dans eA, doncdans eAe.

Comme la dimension de V Ki est la multiplicite de la representation triviale de K dans Vi, d’apres lareciprocite de Frobenius on a

dimV Ki = (ΘiK ,1K)K = (Θi,ΘindGK(1))G = 1.

— III.3. Les idempotents ei = diΘi verifient (cf. cours)

ei ∗ ej = δijei

On en deduit que

ωi ∗ ωj = (e ∗Θi) ∗ (Θj ∗ e) =δijdie ∗ ωi ∗ e =

δijdiωi

D’ou

(ωi, ωj)G = ωi ∗ ωj(1) =δijdiωi(1) =

δijdi.

Les ωi, i = 1, . . . , s forment un systeme orthogonal de eAe. Il suffit de montrer que dim(eAe) = spour conclure que c’est une base. Or ceci a ete deja etabli dans la preuve de 9.

— III.4. Dans l’exercice II.8.10 du poly, nous avons vu que les morphismes d’algebres de AG dansC× sont donnes par les

χδ : f 7→ d−1δ (Θδ, f), (δ ∈ G)

L’idee est la meme ici, eAe remplacant AG = F(G)G et les ωi jouant le role des χδ.

Soit donc χ : eAe→ C un morphisme d’algebres. On a

χ(ωi)χ(ωj) = χ(ωi ∗ ωj) =δijdiχ(ωi).

Ceci montre, comme χ n’est pas identiquement nul et que les ωi forment une base de eAe, qu’il existeun i tel que χ(ωi) = (di)

−1 et que χ(ωj) =δijdi

= wi ∗ wj(1). Par linearite

χ(f) = wi ∗ f(1), (f ∈ eAe).

La reciproque est claire, car par linearite, il suffit de verifier que

ωi ∗ (ωj ∗ ωk)(1) = ωi ∗ ωj(1) ωi ∗ ωk(1),

ce qui est immediat avec les formules ci-dessus.

IV.1. Si Kx−1K = KxK pour tout x ∈ G, alors f(x) = f(x−1) = f(x) pour tout f ∈ eAe. On aalors, pour f, h ∈ eAe :

f ∗ h(g) =1

|G|∑t∈G

f(t)h(t−1g) =1

|G|∑t∈G

f(t−1)h(g−1t)

=1

|G|∑t∈G

h(t)f(t−1g−1) = h ∗ f(g−1) = h ∗ f(g).

99

Plus conceptuellement f ∗ h = (f ∗ h) = h ∗ f = h ∗ f .

IV.2 Si x = kp, alors σ(x) = kp−1 = kx−1k, et donc

Kσ(x)K = Kx−1K, (∀x ∈ G).

L’argument est alors le meme que ci-dessus, en introduisant les σ a l’endroit voulu :

f ∗ h(g) =1

|G|∑t∈G

f(t)h(t−1g) =∑t∈G

f(σ(t)−1)h(σ(g−1t))

=∑t∈G

h(t)f(t−1σ(g)−1) = h ∗ f(σ(g−1)) = h ∗ f(g)

V. (i) ⇒ (ii). On a vu dans les questions precedentes que si ω est une fonction spherique, alorsω(1) = 1 et ω ∈ eAe. D’autre part, si f ∈ eAe, on voit en le decomposant dans la base des ωi

f =∑i

aiωi,

que f ∗ ωj = aj(dj)−1ωj .

(ii)⇒ (iii). On a bien sur ω 6= 0 puisque ω(1) = 1. Posons, pour y ∈ G,

ωy(x) =1

|K|∑k∈K

ω(xky).

Comme on suppose ω bi-invariante par K, on voit que ωy est aussi bi-invariante par K, c’est-a-direωy ∈ eAe. Pour tout f ∈ eAe et tout k ∈ K, on a

λfω(y) = λfω(ky) = f ∗ ω(ky) = 1

|G|∑x∈G

f(x−1)ω(xky).

En en moyennant sur k, on obtient

λfω(y) =1

|G|∑x∈G

1

|K|∑k∈K

f(x−1)ω(xky) =1

|G|∑x∈G

f(x−1)ωy(x) = f ∗ ωy(1).

D’autre part,λf = λfω(1) = f ∗ ω(1)

et donc(f ∗ ω)(1)ω(y) = (f ∗ ωy)(1),

ce que l’on reecrit(f ∗ (ω(y)ω − ωy))(1) = 0.

En prenant f = e, on obtient ωy = ω(y)ω, c’est-a-dire

ω(y)ω(x) =1

|K|∑k∈K

ω(xky).

(iii)⇒ (i). Si f, h ∈ eAe, on a

ω ∗ f ∗ h(1) =∑x,y∈G

ω(xy)f(y−1)h(x−1) =∑x,y∈G

ω(xky)f(y−1)h(x−1),

pour tout k ∈ K. En moyennant sur K, on obtient

ω ∗ f ∗ h(1) =∑x,y∈G

ω(x)ω(y)f(y−1)h(x−1) = (ω ∗ f)(1) (ω ∗ h)(1).

Ceci montre que f 7→ ω ∗ f(1) est un morphisme d’algebres de eAe dans C, et donc ω est une fonctionspherique d’apres 13.

100

VIII.3 Representations du groupe diedral

On donne, a toute fin utile, les formules suivantes : pour k ∈ N∗,

k−1∑x=0

cos2(παx

k) =

{k si α = 0 ou α = kk2 si α = 1, . . . , k − 1.

k∑x=0

cos2(2παx

2k + 1) =

{k + 1 si α = 02k+3

4 si α = 1, . . . , k − 1.

Soit G = Z/nZ× {±1} muni de la loi de groupe

(x, ε)(y, ε′) = (x+ εy, εε′),

et soit H le sous-groupe Z/nZ× {1} ' Z/nZ de G.

— 1. Rappeler quelles sont les representations irreductibles de H.

— 2. Montrer que si n est pair, n = 2k, il y a k+ 3 classes de conjugaison dans G, et si n est impair,n = 2k+ 1, il y en a k+ 2. Donner un representant de chacune de ces classes, et leur nombre d’elements.

—3. Soit χ une representation irreductible de H, et πχ = IndGHχ. Quelle est la dimension de πχ.Calculer le caractere de πχ (on pourra par exemple utiliser la formule pour le caractere des representationsinduites de l’exercice III.4.1). Etablir pour quels χ la representation πχ est irreductible, et parmi celles-ci,lesquelles sont equivalentes.

—4. Notons χ0 la representation triviale de H et π0 = IndGHχ0. Montrer que la representation trivialede G apparait avec multiplicite 1 dans π0 et que π0 est somme de la representation triviale de G et d’uneautre representation ρ1 dont on calculera le caractere.

—5. Montrer que G possede (a equivalence pres) k − 1 representations irreductibles de dimension 2et 4 representations de dimension 1 dans le cas n = 2k. Dans le cas n = 2k + 1, montrer qu’il y a krepresentations irreductibles de dimension 2 et 2 de dimension 1.

—6. Montrer que si n = 2k, la formule ρ2((x, ε)) = (−1)x definit une representation de dimension 1de G qui apparait avec multiplicite 1 dans une des representations reductibles πχ determinee au 3. Endeduire que πχ est somme de ρ2 et de ρ3 ou ρ3 est une representation irreductible de G dont on donnerale caractere.

—7. Conclure en donnant (a equivalence pres) la liste des representations irreductibles de G.

Corrige

—1. Les representations irreductibles de Z/nZ sont de dimension 1 et sont donnees par

χα(x) = e2iπαxn , (x ∈ Z/nZ),

avec α = 0, . . . , n− 1.

—2. Calculons

(x, ε)(y, ε′)(x, ε)−1 = (x, ε)(y, ε′)(−εx, ε)=(x+ εy, εε′)(−εx, ε) = (x+ εy − εε′εx, εε′ε)=(x+ εy − ε′x, ε′)

La classe de conjugaison de (y, 1) est donc l’ensemble des elements de la forme (εy, 1). Si n = 2kest pair (k, 1) = (−k, 1) et (0, 1) = (−0, 1), les classes de conjugaison de (k, 1) et (0, 1) sont donc dessingletons. Pour y ∈ Z/nZ, y 6= 0, k, la classe de conjugaison de (y, 1) est {(y, 1), (−y, 1)}. Si n = 2k + 1est impair, pour y ∈ Z/nZ, y 6= 0, la classe de conjugaison de (y, 1) est {(y, 1), (−y, 1)}.

101

La classe de conjugaison de (y,−1) est l’ensemble des elements de la forme (εy + 2x,−1). Si n = 2k,la parite d’un element de Z/nZ est bien definie car la parite d’un representant ne depend pas du choix decelui-ci. La parite de εy+2x est celle de y, et tous les elements de la forme (y′,−1) avec y′ de meme pariteque y sont dans la classe de (y,−1). On a donc dans ce cas deux classes de conjugaison : {(y′,−1), y′pair}et {(y′,−1), y′impair} toute deux de cardinal k. Si n = 2k + 1, tous les elements de la forme (y′,−1)sont dans la classe de (y,−1). On a dans ce cas une seule classe de cardinal n = 2k + 1.

Resumons, en donnant un representant de chaque classe de conjugaison, et le cardinal de la classe :

Cas n=2k : (0, 1), 1 element ; (k, 1), 1 element ; {(y, 1)}, 2 elements, y = 1, . . . , k − 1 ; (0,−1), kelements ; (1,−1), k elements.

Soit en tout k + 3 classes de conjugaison.

Cas n=2k+1 : (0, 1), 1 element ; (y, 1), 2 elements, y = 1, . . . , k ; (0,−1), 2k + 1 elements.

Soit en tout k + 2 classes de conjugaison.

—3. On induit une representation de dimension 1 d’un sous-groupe d’indice 2, donc la dimension deIndGH(χ) est 2. Pour χ = χα, posons πχ = πα et notons Θα le caractere de cette representation. Oncalcule Θα sur chaque representant des classes de conjugaison par la formule de l’exercice II.4.1.

Cas n=2k : Θα((0, 1)) = 2 ; Θα((k, 1)) = 2(eiπα) = 2(−1)α ;

Θα((x, 1)) = (e2iπαxn + e

2iπαxn ) = 2 cos 2παx

n , x = 1, . . . , k − 1 ;

Θα((x,−1)) = 0.

Cas n=2k+1 : Θα((0, 1)) = 2 ;

Θα((x, 1)) = (e2iπαxn + e

2iπαxn ) = 2 cos 2παx

n , x = 1, . . . , k ;

Θα((x,−1)) = 0.

On remarque qu’en fait la formule est toujours

Θα((x, 1)) = 2 cos(2παx

n), Θα((x,−1)) = 0, x = 0, . . . , n− 1.

On a Θα = Θn−α, donc les representations πα et πn−α sont equivalentes.

On calcule maintenant (Θα,Θα), α = 0, . . . , n :

Cas n=2k :

(Θα,Θα) =1

2n

(22 + 22 +

k−1∑x=1

2

(2 cos(

2παx

n)

)2)

=2

k

k−1∑x=0

cos2(2παx

n)

=

{2 si α = 0 ou α = k

1 sinon

Cas n=2k+1 :

(Θα,Θα) =1

2n

(22 +

k∑x=1

2

(2 cos(

2παx

n)

)2)

=4

n

((k∑x=0

cos2(2παx

n)

)− 1

2

)

=

{2 si α = 0

1 sinon

Ainsi, si n = 2k, les representations πα, α = 1, . . . k − 1 sont irreductibles, et inequivalentes puisqueleur caracteres sont differents. De meme pour les representations πα, α = 1, . . . k si n = 2k + 1.

—4. On a d’apres la reciprocite de Frobenius :

HomG(TrivG, π0) ' HomH(ResGH(TrivG), χ0) = HomH(χ0, χ0) ' C.

102

Ainsi, la multiplicite de la representation triviale de G dans π0 est 1. Comme π0 est reductible dedimension deux, on a

π0 = TrivG ⊕ ρ1

ou ρ1 est une representation de dimension 1 dont le caractere est donne par

Θρ1(x, ε) = Θ0(x, ε)−ΘTrivG(x, ε) =

{2− 1 = 1 si ε = 1

0− 1 = −1 si ε = −1

—5. Pour n = 2k, on doit avoir k+3 representations irreductibles, et l’on en a obtenu (k−1)+2 = k+1.Il en manque donc 2. D’autre part, leurs dimensions d1, d2 verifient

2n = 4k = (k − 1)22 + 1 + 1 + d21 + d2

2,

d’ou di = 1, i = 1, 2. Il nous manque donc 2 representations de dimension 1.

Pour n = 2k + 1, on doit avoir k + 2 representations irreductibles, et l’on en a obtenu k + 2.

—6. (−1)x est bien defini pour x ∈ Z/nZ car la parite d’un representant de x ne depend pas du choixde celui-ci (deux representants different d’un multipliple de n = 2k). De plus

ρ2((x, ε)(y, ε′)) = ρ2(x+ εy, εε′) = (−1)x+εy = (−1)x+y = ρ2((x, ε))ρ2((y, ε′)).

et donc ρ2 est bien une representation de dimension 1 de G.

On remarque que ResGHρ2 = χk, et donc par reciprocite de Frobenius

HomG(ρ2, πk) ' HomH(χk, χk) ' C.

Ainsi, la multiplicite de ρ2 dans πk est 1. Comme πk est reductible de dimension deux, on a

πk = ρ2 ⊕ ρ3

ou ρ3 est une representation de dimension 1 dont le caractere est donne par

Θρ3(x, ε) = Θk(x, ε)−Θρ2(x, ε) =

{2(−1)x − (−1)x = (−1)x si ε = 1

0− (−1)x = −(−1)x si ε = −1.

—7. Resumons : pour n = 2k, on a k − 1 representations de dimension 2, πα, 1 ≤ α ≤ k − 1 et 4representations de dimension 1, TrivG, ρ1, ρ2, ρ3.

Pour n = 2k + 1, on a k representations de dimension 2, πα, 1 ≤ α ≤ k et 2 representations dedimension 1, TrivG et ρ1.

103

VIII.4 Representations d’une extension centrale d’un groupeabelien

Si G est un groupe, on note eG son element neutre et Z(G) son centre.

Soit H un groupe fini abelien, et soit K un revetement d’ordre deux de H, c’est-a-dire qu’il existeune suite exacte :

1 −→ {±1} ι−→ Kp−→ H → 1.

Notons ε = ι(−1).

—1a. Montrer que ε est l’unique element de K verifiant ε 6= eK et p(ε) = eH , puis que ε ∈ Z(K).

—1b. Montrer que quels que soient x, y dans K, le commutateur xyx−1y−1 est dans {eK , ε}.

Une representation (π, V ) de dimension finie de K ou de Z(K) est dite specifique si l’on a π(ε) =−IdV .

—2. Soit (π, V ) une representation specifique de K. Montrer que son caractere Θπ est nul en dehorsde Z(K) (on pourra remarquer que si k ∈ K \ Z(K), il existe g ∈ K tel que gkg−1 6= k).

—3. En deduire qu’une representation irreductible specifique de K est determinee a isomorphismepres par sa restriction a Z(K). Montrer que cette restriction est de la forme

π(z) = χ(z) IdV , (z ∈ Z(K)),

ou χ est un caractere de Z(K) (un morphisme de groupes de Z(K) dans C×) verifiant χ(ε) = −1.

—4. Soit χ est un caractere de Z(K) verifiant χ(ε) = −1. Posons (τ,W ) = IndKZ(K)(χ). Montrerque pour tout z ∈ Z(K), τ(z) = χ(z)IdW . En deduire que (τ,W ) est somme directe de representationsirreductibles dont la restriction a Z(K) est χ.

—5. Deduire de ce qui precede qu’il existe une bijection entre l’ensemble des caracteres de Z(K)verifiant χ(ε) = −1 et l’ensemble des classes d’isomorphisme de representations irreductibles specifiquesde K.

—6. Quelle est la dimension d’une representation irreductible specifique de K (en fonction du cardi-nal N de K/Z(K)) ? Quelles sont les multiplicites des classes de representations irreductibles dans lesIndKZ(K)(χ) du 4 ? (Penser a utiliser la reciprocite de Frobenius).

Corrige

1a. Comme la suite est exacte, ε ∈ ker p = Im ι = {eK , ε}, ce qui montre la premiere assertion. Soitk ∈ K. On a

p(kεk−1) = p(k)p(ε)p(k)−1 = eH ,

d’ou kεk−1 = ε d’apres la premiere assertion, puisque kεk−1 ne peut etre egal a eK .

1b. On a p(xyx−1y−1) = p(x)p(y)p(x)−1p(y)−1 = eH car H est abelien. Donc xyx−1y−1 ∈ ker p ={eK , ε}.

2. Soit k ∈ K \ Z(K) : il existe g ∈ K tel que gkg−1 6= k. Comme H est abelien p(gkg−1) =p(g)p(k)p(g)−1 = p(k) et donc gkg−1 = εk.

Or Θπ(k) = Θπ(gkg−1) = Θπ(εk) = Tr (π(εk)) = Tr (−π(k)) = −Θπ(k), d’ou Θπ(k) = 0.

3. On sait que les caracteres des representations irreductibles deux a deux non isomorphes de Ksont lineairement independants comme fonctions sur K. D’apres la question precedente, les caracteresdes representations irreductibles deux a deux non isomorphes de K sont lineairement independantscomme fonctions sur Z(K). Elles sont donc determinees par leurs restrictions a Z(K). Soit (π, V ) unerepresentation irreductible specifique de K. D’apres le lemme de Schur, les elements du centre agissent pardes operateurs scalaires, c’est-a-dire que pour tout z ∈ Z(K), il existe χ(z) ∈ C× tel que π(z) = χ(z) Id etcomme π est un morphisme de groupes, il en est de meme de χ. Comme (π, V ) est specifique, χ(ε) = −1.

104

4. Soit z ∈ Z(K) et f ∈W . On a pour tout g ∈ K :

(τ(z) · f)(g) = f(gz) = f(zg) = χ(z)f(g),

et donc τ(z) = χ(z) IdW . Decomposons W en somme directe de representations irreductibles. Sur chacunede ces representations, un element z ∈ Z(K) agit par le scalaire χ(z).

5. Ce qui precede etablit une bijection entre l’ensemble des classes d’isomorphisme de representationsirreductibles specifiques de K et l’ensemble des caracteres de Z(K) prenant la valeur −1 en ε. En effet,d’apres la question 3, a toute representation irreductible specifique de K est attache un tel caractere,qui ne depend que de la classe de cette representation, mais deux representations non equivalentesdonnent des caracteres differents (ceci montre l’injectivite de la correspondence). La surjectivite decouledirectement de la question 4.

6. La dimension de IndKZ(K)(χ) est N . La reciprocite de Frobenius donne pour tout δ ∈ K,

dim HomK(Vδ, IndKZ(K)(χ)) = dim HomZ(K)(Vδ, χ).

On deduit de ce qui precede que toute les sous-representations irreductibles de IndKZ(K)(χ) sont dans une

meme classe d’equivalence. Notons-la δχ et notons mχ la multiplicite de δχ dans IndKZ(K)(χ). On a doncN = mχ dim δχ. D’autre part, la reciprocite de Frobenius donne aussi

dim HomK(IndKZ(K)χ, IndKZ(K)χ) = dim HomZ(K)(IndKZ(K)χ, χ).

La dimension du membre de droite est N et celle du membre de gauche est m2χ. On en deduit que

mχ = dim δχ = N12 .

105

Chapitre IX

Sujets d’examen

MAT556 2019

Examen du 16 decembre 2019

Les resultats du cours ou des exercices vus en travaux diriges peuvent etre utilises en donnant desreferences precises. Les reponses attendues sont en general breves (un peu de calcul en I.6.c et en IV.2.a.).Le corrige est plus court que l’enonce.

Exercice I

Dans cet exercice, k est le corps fini a p elements, autrement dit Z/pZ, p etant un nombre premier impair.On considere le sous-groupe suivant de GL(3, k) :

H =

M(x, y, z) =

1 x z0 1 y0 0 1

, x, y, z ∈ k

.

1. Expliciter la loi de groupe : M(x, y, z)M(x′, y′, z′) = M(?, ?, ?). Est-ce un groupe abelien ? Quelest l’inverse de M(x, y, z) ?

2. Quel est le centre Z de H (le sous-groupe des elements de H qui commutent avec tous lesautres) ?

3. Ecrire une suite exacte de la forme

{1} −→ kι−→H

π−→ k2 −→ {1}

en explicitant les morphismes ι et π, avec de plus la contrainte que l’image de ι soit dans Z . On prendragarde qu’il s’agit bien ici du groupe additif k, muni de la loi + (idem pour k2).

4. Determiner les classes de conjugaison de H . Donner pour chaque classe son cardinal et unrepresentant. Verifier que l’on retrouve bien en sommant le cardinal de H , a savoir p3.

5. Quelles sont les representations de dimension 1 du groupe k2 ? En deduire explicitement p2

representations de dimension 1 de H distinctes.

6a. Soit A = {M(x, 0, z), x, z ∈ k}. Verifier que c’est un sous-groupe abelien distingue de H , iso-morphe a k2. Deduire de la question 5 les representations de dimension 1 de A.

6b. Soit b ∈ k. Calculer∑x∈k e

2iπp bx.

6c. Soit χ l’une des representations de dimension 1 de A, Calculer le caractere de la representationinduite IndH

A (χ) en un element M(x, y, z) de H .

107

6d. En deduire que l’on peut trouver p − 1 representations χ de dimension 1 de A distinctes tellesque les induites IndH

A (χ) sont irreductibles et inequivalentes.

6e. Montrer que l’on a la liste complete des representations irreductibles de H , a equivalence pres.

Exercice II

Soit A une C-algebre de dimension finie sur C. On note 1A son unite, A× l’ensemble des elementsinversibles de A et pour tout a ∈ A,

Spec(a) = {λ ∈ C | a− λ1A /∈ A×},

le spectre de l’element a.

1. Soit a ∈ A. Le but de cette question est de montrer que Spec(a) est non vide. Comme on voitimmediatement que Spec(0) = {0}, on suppose a non nul.

1a. Supposons que a − λ1A soit inversible pour une infinite de valeurs de λ. Montrer qu’il existe unentier r ≥ 2, des nombres complexes λ1, . . . , λr distincts et des nombres complexes µ1, . . . µr non nulstels que a− λi1A soit inversible pour tout i = 1, . . . , r et

r∑i=1

µi(a− λi1A)−1 = 0.

1b. En deduire qu’il existe un polynome P ∈ C[X] de degre strictement positif tel que P (a) = 0.

1c. Montrer que l’une des racines du polynome P est dans Spec(a).

1d. Conclure que Spec(a) 6= ∅ dans tous les cas.

2. En deduire que si A est une algebre a division, alors A = C.

3a. On suppose que a ∈ A est nilpotent, c’est-a-dire qu’il existe N ∈ N tel que aN = 0. Montrer queSpec(a) = {0}.

3b. Reciproquement montrer que si Spec(a) = {0}, alors a est nilpotent (on pourra remarquer quel’on est sous les hypotheses de 1a).

4. Le but de cette question est de montrer qu’en dimension finie, les notions d’inverse, d’inverse agauche et d’inverse a droite sont equivalentes. On se contente ici de montrer qu’un inverse a gauche estun inverse. On suppose que a ∈ A admet un inverse a gauche, c’est-a-dire qu’il existe b ∈ A tel queba = 1A. En considerant l’application lineaire Ra : A→ A, c 7→ ca, montrer que ab = 1A.

5. Soit a ∈ A non nilpotent. Son spectre Spec(a) contient donc un element λ non nul d’apres lesquestions precedentes. Le but de cette question est de montrer qu’il existe un A-module simple S tel quea · S 6= 0.

5a. Montrer que le A-module N = A/A · (a− λ1A) est non nul, de type fini.

5b. On rappelle un resultat du cours : tout module de type fini admet un quotient simple. En deduirequ’il existe un A-module simple S tel que a · S 6= 0.

Exercice III

Soit M le groupe abelien Zr ⊕ (⊕s

i=1 Z/miZ) pour des mi ∈ Z non nuls et non inversibles. CalculerM ⊗Z Q.

Exercice IV

On rappelle les resultats suivants du cours ou vus en exercice, (i), (ii) (iii) (iv) et (v), que l’on utiliseraen les citant sans les redemontrer.

108

(i) Soit N un A-module. Pour toute suite exacte de A-modules 0→M ′u→M

v→M ′′, on a une suiteexacte

0 −→ HomA(N,M ′) −→ HomA(N,M) −→ HomA(N,M ′′),

(ii) et pour toute suite exacte M ′u−→M

v−→M ′′ −→ 0, on a une suite exacte

0 −→ HomA(M ′′, N) −→ HomA(M,N) −→ HomA(M ′, N).

On dit que P est un A-module projectif si pour toute suite exacte

0 −→M ′u−→M

v−→M ′′ −→ 0,

on a une suite exacte

0 −→ HomA(P,M ′) −→ HomA(P,M) −→ HomA(P,M ′′) −→ 0.

On dit que I est un A-module injectif si pour toute suite exacte

0 −→M ′u−→M

v−→M ′′ −→ 0,

on a une suite exacte :

0 −→ HomA(M ′′, I) −→ HomA(M, I) −→ HomA(M ′, I) −→ 0.

(iii) On suppose A commutatif, alors quels que soient les A-modules L,M et N , on a un isomorphismenaturel

HomA(L,HomA(M,N)) ' HomA(M,HomA(L,N)).

(iv) Un module libre est projectif.

(v) Tout A-module est quotient d’un module libre.

On deduit de (iv) et (v) que tout module est quotient d’un module projectif. Le but de l’exercice estde montrer l’enonce dual : tout module s’injecte dans un module injectif. On se place dans le cas A = Z.

1. Le Z-module Q/Z est-il de type fini ?

2. On dit qu’un Z-module T est divisible si pour tout t ∈ T et tout n ∈ Z non nul, il existe s ∈ T telque n · s = t. Par exemple, il est clair que Q/Z est divisible. Le but de cette question est de montrer lapropriete suivante des Z-modules divisibles :

Soit f0 : M0 → T un morphisme de Z-modules, ou M0 est un sous-module d’un Z-module M . Alorsf0 s’etend en un morphisme f : M → T (la restriction de f a M0 est f0). On suppose donc que M 6= M0,et soit x ∈M \M0. Soit

I = {k ∈ Z | k · x ∈M0}.

2a. Montrer que I est un ideal de Z. Notons a le generateur (positif ou nul) de cet ideal, on a donca · x ∈M0 et posons t = f0(a · x). Comment choisir f(x) pour etendre f0 au sous-module M0 + Z · x deM ? Donner une formule pour f(m+ k · x), pour m ∈M0 et k ∈ Z et verifier que c’est bien defini.

2b. Deduire de la question precedente que l’on peut effectivement etendre f0 en f : M → T . Onpourra introduire l’ensemble E des couples (M1, f1), ou M1 est un sous-module de M contenant M0 etf1 : M1 → T est un morphisme de Z-modules qui etend f0.

3. Pour tout Z-module M , on note M∗ = HomZ(M,Q/Z). C’est un Z-module que l’on appelle le dualde M .

3a. Montrer que pour tout m ∈M non nul, il existe φ ∈M∗ tel que φ(m) 6= 0.

3b. En deduire que le morphisme naturel

M −→ (M∗)∗, m 7→ [Em : M∗ = Hom(M,Q/Z)→ Q/Z, Em(φ) = φ(m)]

est injectif.

4. Montrer que Q/Z est un Z-module injectif.

5. Montrer que si P est un Z-module projectif, alors P ∗ est injectif.

6. Deduire des questions precedentes et des rappels que tout module M s’injecte dans un moduleinjectif.

109

Correction

Exercice I

1a.M(x, y, z)M(x′, y′, z′) = M(x+x′, y+y′, z+z′+xy′). Ce n’est pas un groupe abelienM(1, 0, 0)M(0, 1, 0) =M(1, 1, 1) 6= M(0, 1, 0)M(1, 0, 0) = M(1, 1, 0). M(x, y, z)−1 = M(−x,−y,−z + xy).

2. Le centre est Z = {M(0, 0, z), z ∈ k}, il est isomorphe a (k,+).

3. On pose ι(z) = M(0, 0, z) et π(M(x, y, z)) = (x, y). On verifie que ce sont bien des morphismes degroupes respectivement injectif et surjectif et kerπ = Im ι est immediat.

4. M(x, y, z)M(u, v, w)M(x, y, z)−1 = M(u, v, w + xv − uy). Si (u, v) 6= (0, 0), (x, y) 7→ xv − uy estsurjective de k2 dans k. On trouve donc

- p classes de conjugaison qui sont des singletons, les {M(0, 0, z)}, z ∈ k.

- (p2 − 1) classes de cardinal p, un ensemble de representants etant les M(u, v, 0) avec (u, v) 6= (0, 0).

On a bien p+ (p2 − 1)p = p3.

5. Ce sont les χa,b : (x, y) 7→ e2iπp (ax+by), avec (a, b) ∈ k2. On les compose avec la projection π de la

suite exacte du 2 pour obtenir des representations de dimension 1 de H, que l’on note encore χa,b. On a

donc de maniere explicite χa,b(M(x, y, z)) = e2iπp (ax+by).

6a. On verifie sans peine que A est un sous-groupe distingue de H isomorphe a k2. Ses representationsde dimension 1 sont les memes qu’en 5, ce sont les χa,b avec

χa,b(M(x, 0, z)) = e2iπp (ax+bz).

6b.∑x∈k e

2iπp bx = 0 si b 6= 0 et p si b = 0.

6c. On utilise la formule du caractere des induites du poly (Prop. II.9.7). Pour calculer ΘIndHA (χa,b)

en g = M(u, v, w), on doit sommer sur les s ∈ A\H tels que sgs−1 ∈ A. Or on a vu que A est distingue,donc si v 6= 0 (c’est-a-dire si M(u, v, w) /∈ A), on somme sur le vide, d’ou

ΘIndHA (χa,b)

(M(u, v, w)) = 0 si v 6= 0.

Si v = 0, on somme sur un systeme de representants de A\H , par exemple les s = M(0, y, 0), et l’on aM(0, y, 0)M(u, 0, w)M(0, y, 0)−1 = M(u, 0, w − uy), d’ou

ΘIndHA (χa,b)

(M(u, 0, w)) =∑y∈k

χa,b(u,w − uy) = e2iπp (au+bw)

∑y∈k

e−2iπp (byu).

D’apres 6b, ceci est nul sauf si bu = 0. Prenons b 6= 0, on a donc

ΘIndHA (χa,b)

(M(u, 0, w)) = 0 si u 6= 0, ΘIndHA (χa,b)

(M(0, 0, w)) = e2iπp bwp.

6d. On voit que la valeur de a n’importe pas, on prend donc les χ0,b avec b ∈ k×. On calcule

〈ΘIndHA (χ0,b)

,ΘIndHA (χ0,b′ )

〉H =1

p3

∑w∈k

e2iπp bwp× e−

2iπp b′wp =

1

p

∑w∈k

e2iπp (b−b′)w.

On trouve donc 0 si b 6= b′ et 1 si b = b′. Ceci montre que les IndHA (χ0,b) sont irreductibles et

inequivalentes. Elles sont de dimension |A\H | = p.

6e. On a obtenu p2 representations irreductibles de dimension 1 et p− 1 representations irreductiblesde dimension p. Or p+ (p− 1)p2 = p3, on les a donc toutes obtenues d’apres la formule de Burnside.

Exercice II

110

1a. On a une famille infinie d’elements (a− λ1A)−1 dans A de dimension finie : cette famille est liee, eton a donc une combinaison lineaire nulle

r∑i=1

µi(a− λi1A)−1 = 0.

comme dans l’enonce.

1b. On multiplie l’egalite ci-dessus par∏ri=1(a − λ1A), on obtient a gauche un polynome en a avec

P (a) = 0. Il est clair que P doit etre de degre strictement positif, car sinon, c’est une constante, qui doitalors etre nulle, et P est non nul (on ecrit la fraction rationnelle non nulle R(X) =

∑ri=1

µiX−λi sous la

forme P (X)Q(X) , donc P est non nul).

1c. On factorise le polynome P (sur C algebriquement clos) P = c∏di=1(X − αi) avec c ∈ C×. On a

alors c∏di=1(a− αi1A) = 0 et l’un des facteurs est donc non inversible.

1d. Sous les hypothese de 1a, on a montre que Spec(a) 6= ∅, le cas restant a etudier est donc celui oul’ensemble des λ ∈ C tels que a− λ1A soit inversible, c’est-a-dire le complementaire de Spec(a), est fini.Mais alors Spec(a) est aussi non vide, car infini. En fait ce cas ne se produit pas, en dimension finie, lespectre est fini, ce n’est pas difficile a voir (cf. question 4) mais on n’en a pas besoin ici.

2. Si A 6= C, il existe a ∈ A, a /∈ C, et ainsi a − λ1A est non nul, et donc inversible si A est unealgebre a division, et ceci quel que soit λ ∈ C. On a donc Spec(a) = ∅, ce qui contredit la question 1.

3a. Formellement, si λ 6= 0, on a :

(a− λ1A)−1 = −λ−1(1A − λ−1a)−1 = −λ−1∑n∈N

λ−na−n = −λ−1N−1∑n=0

λ−na−n

et ensuite, on verifie immediatement que l’on a bien

(a− λ1A)

(−λ−1

N−1∑n=0

λ−na−n

)=

(−λ−1

N−1∑n=0

λ−na−n

)(a− λ1A) = 1A

et ainsi, d’apres la question 1. le spectre de a ne peut etre que {0}.3b. Si Spec(a) = {0}, on est sous les hypotheses de 1a : d’apres 1b, il existe un polynome P de degre

strictement positif qui annule a et que l’on ecrit un peu differemment de ci-dessus, en particularisant lesracines nulles P = cXs

∏ti=1(X − αi) avec c et les αi non nuls. On a donc

cast∏i=1

(a− αi1A) = 0

et les facteurs a− αi1A sont inversibles donc finalement as = 0.

4. Ra est surjective car pour tout c ∈ A, cba = c. Elle est donc injective et donc (ab)a = a(ba) = ad’ou Ra(ab− 1A) = 0 d’ou ab = 1A.

5a. Il est clair que N est de type fini, c’est meme un module cyclique, engendre par l’image de 1A parla projection canonique de A sur N . Dire que N est non nul est equivalent au fait que A · (a−λ1A) 6= A,ou encore que l’application lineaire

A→ A, b 7→ b(a− λ1A)

n’est pas surjective. Or cette application lineaire est surjective si et seulement si 1A est dans son image,un antecedent de 1A est un inverse a gauche de a− λ1A, donc un inverse tout court d’apres la question4. Par hypothese, a− λ1A n’est pas inversible, donc N est non nul.

5b. Soit S = N/Q un quotient simple de N . Notons p la projection canonique de A sur N , etQ = p−1(Q). On a donc S = A/Q par un des theoremes d’isomorphisme de Noether, et A(a−λ1A) ⊂ Q.Si a · S = 0, alors aA ⊂ Q d’ou a ∈ Q, et comme (a − λ1A) ∈ Q, on a λ1A = a − (a − λ1A) ∈ Q d’ou1A ∈ Q d’ou Q = A ce qui contredit N 6= A.

111

Exercice III

D’apres les regles de calcul des produits tensoriels Z ⊗Z Q = Q et Zr ⊗Z Q = Qr. D’autre part, lapartie de torsion est tuee par le produit tensoriel : si m ∈M verifie d ·m = 0 pour un d ∈ Z non nul, ona pour tout q ∈ Q,

d · (m⊗ q) = d ·m⊗ q = 0 = m⊗ dq.

Or la multiplication par d est surjective dans Q donc on a m⊗ZQ = 0. On en deduit que TorZ(M)⊗ZQ ={0}. Finalement M ⊗Z Q = Qr.

Exercice IV

1. Supposons Q/Z de type fini, engendre par des elements q1, ..., qr, et soit m le p.p.c.m. des ordres desqi. Alors m annule tous les generateurs, donc annule tout Q/Z : contradiction car l’image de 1

m+1 dansQ/Z n’est pas annule par m.

2a. Il est clair que I est un ideal de Z car il est stable par somme et par multiplication par un elementde Z. Comme Z est principal, il existe a ∈ Z avec I = (a) et a · x ∈ M0 par definition de I. On poset = f0(a · x) ∈ T . Comme T est divisible, si a 6= 0, il existe s ∈ T tel que a · s = t et l’on a envie de poserf(x) = s et plus generalement f(m + k · x) = f0(m) + k · s pour tout k ∈ Z et tout m ∈ M0. Si a = 0,on choisit un s ∈ T quelconque et on definit f par la meme formule. Verifions que ceci est bien defini :si m1 + k1 · x = m2 + k2 · x avec k1, k2 ∈ Z et m1,m2 ∈M0, on a (k2 − k1) · x = m1 −m2 ∈M0 et donck2 − k1 ∈ I, d’ou k2 − k1 = ra pour un certain r ∈ Z. On a alors

f0(m2) + k2 · s = f0(m1 + (k1 − k2) · x) + k2 · s = f0(m1)− f0(ra · x) + k2 · s

= f0(m1)− r · f0(a · x) + k2 · s = f0(m1)− r · t+ k2 · s = f0(m1)− ra · s+ k2 · s = f0(m1) + k1 · s.

Donc f est bien defini et c’est clairement un morphisme de Z-modules.

2b. L’ensemble E est muni d’un ordre partiel pour lequel il est clairement inductif. D’apres le lemmede Zorn, il admet un element maximal (Mmax, fmax), et l’on veut montrer que Mmax = M . Sinon, ilexiste x ∈M \Mmax et on refait la construction de 2a. pour etendre fmax a Mmax + Z · x qui contientstrictement Mmax. Mais ceci contredit la maximalite de (Mmax, fmax) dans E .

3a. Q/Z est divisible, on peut donc lui appliquer les resultats de la question 2. On considere dansM le sous-module monogene M0 = Z · m. Soit J = (d) l’ideal annulateur de m dans Z. On a doncM0 ' Z/(d) et l’on choisit dans Q/Z un element q d’ordre d par exemple la classe de q = 1

d (si d = 0,on prend un element quelconque non nul de Q/Z). Il est clair que k ·m 7→ k · q est un morphisme deZ-modules bien defini de M0 dans Q/Z. Il se prolonge en un morphisme φ : M → Q/Z d’apres 2 quirepond a la question.

3b. On suppose Em = 0, ce qui veut dire que pour tout φ ∈ M∗, φ(m) = 0, et d’apres la questionprecedente, ceci implique que m = 0.

4. On considere une suite exacte

0 −→M ′u−→M

v−→M ′′ −→ 0,

on sait deja que

0 −→ HomZ(M ′′,Q/Z) −→ HomZ(M,Q/Z) −→ HomZ(M ′,Q/Z)

est exacte d’apres (ii) et il s’agit de montrer la surjectivite de la derniere fleche. Mais c’est exactementla propriete etablie en 2.

5. Soit P un Z-module projectif et soit

0 −→M ′u−→M

v−→M ′′ −→ 0

une suite exacte. On veut montrer que l’on a une suite exacte

0 −→ HomZ(M ′′, P ∗) −→ HomZ(M,P ∗) −→ HomZ(M ′, P ∗) −→ 0

112

en utilisant la definition de P ∗ = HomZ(P,Q/Z) et (iii), on voit qu’il suffit d’etablir que

0→ HomZ(P,HomZ(M ′′,Q/Z))→ HomZ(P,HomZ(M,Q/Z))→ HomZ(P,HomZ(M ′,Q/Z))→ 0

ce qui est le cas, car Q/Z est injectif et donc HomZ(•,Q/Z) preserve les suites exactes, et meme choseavec HomZ(P, •) car P est injectif.

6. D’apres (v), M∗ est quotient d’un module libre L, on a donc L → M∗ → 0. On dualise enappliquant HomZ(•,Q/Z) et on obtient 0→ (M∗)∗ → L∗. Le module libre L est projectif, donc son dualL∗ est injectif (question 5) et M s’injecte dans (M∗)∗ question 3. CQFD.

113

Index des notations

Mp, 841C , 33

An, 11AnnA, 57Aut(X), 3

Bij(G), 7

C[G], 27Conj(G) , 33

dρ, 15

EndG, 18

F(f), 28F(G), 25F(G)(δ) , 32F(G)G, 32Fix(Y ), 6

G, 18G, 28G\X, 6

Gx, 7

HomG, 18

IGH(ρ), 44IGH(W ), 44Im , 5Indec(A), 70

ker, 5

mδ(ρ) , 36

O(p, q), 8O(V ), 8

sgn, 10Sn, 7StabG(Y ), 6

TorA, 57

U(V ), 8

φπv,λ, 24Θπ, 33

115

Index terminologique

actionadjointe, 6de groupe, 4

algebre a division, 87algebre de groupe, 27anneau a division, 72annulateur, 57artinien, 68associe, 77axiome du choix, 65

Bezout (identite de), 78balancee (forme bilineaire), 63base, 57base adaptee (theoreme de la), 84

caractere (d’une representation), 33classe de conjugaison, 6coefficient matriciel, 24completement reductible, 73composante p-primaire, 84composante isotypique, 37contragregiente, 23convolution, 26cycle, 10cyclique, 60

decomposable, 69distingue, 6diviseur, 49dual (d’un groupe), 18

element neutre, 4equivariant, 5, 18espace homogene principal, 7extension des scalaires, 62

factoriel, 78fidele (action), 6filtration, 74Fitting (lemme de), 69fixateur, 6fonctions centrales, 32forme trace, 87formule de Burnside, 30formule de Plancherel, 30

formule des classes, 7

G-ensemble, 5G-morphisme, 5generatrice (famille), 57gradue, 74groupe, 4groupe

diedral, 8groupe alterne, 11

ideala droite, 49a gauche, 49bilatere, 49

idempotent central, 34indecomposable, 69integre (anneau), 49invariants de similitude, 85inverse, 4inversible, 49irreductible, 77

Jordan-Holder (theoreme de), 74

Krull (theoreme de), 65Krull-Schmidt (theoreme de), 70

Lemme des cinq, 56lemme du papillon, 75Lemme du serpent, 56libre (action), 6libre (famille), 57local (anneau), 69

Maschke (theoreme de), 74maximal (ideal), 77mesure

de comptage, 16de Haar, 16

module, 50monogene, 60multiple, 49

noetherien, 68noyau, 5

117

operateur d’entrelacement, 18orbite, 6orthogonalite des carateres, 34

partition, 11permutation circulaire, 10Peter-Weyl (theoreme de), 32plus grand commun diviseur, 78plus petit commun multiple, 81presentation, 13presentation finie, 67premier (ideal), 77principal (anneau), 77produit (de representations), 21produit semi-direct, 12produit tensoriel, 22, 60projectif, 59propriete universelle, 20pull-back, 24, 53push-out, 54

reciprocite de Frobenius, 44radical, 88relations d’orthogonalite de Schur, 25relations d’orthogonalite duales, 35representation, 8, 15

completement reductible, 18indecomposable, 17induite, 44irreductible, 17nulle, 16

semi-simple, 18triviale, 16unitaire, 15

representations equivalentes, 18restes chinois, 83restriction des scalaires, 62

Schur (lemme de), 19, 72section, 12, 44semi-simple, 73semi-simple (algebre), 88signature, 10simple (anneau), 88somme directe, 19sous-groupe, 5sous-module, 51sous-representation, 17stabilisateur, 6suite de composition, 74suite exacte, 12

torsion, 57totalement decomposable, 69transformation de Fourier, 28transformation de Fourier inverse, 28transitive (action), 6transposition, 9type fini, 67

Zorn (lemme de), 65

118

Bibliographie

[1] P. Baumann. Introduction a la theorie des representations. https ://irma.math.unistra.fr/ bau-mann/coursM2.pdf.

[2] R. Goodman and N. R. Wallach. Representations and invariants of the classical groups, volume 68of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

[3] N. Jacobson. Basic algebra. I. W. H. Freeman and Company, New York, second edition, 1985.

[4] S. Lang. Algebra, volume 211 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, thirdedition, 2002.

[5] B. Pareigis. Categories and functors. Translated from the German. Pure and Applied Mathematics,Vol. 39. Academic Press, New York-London, 1970.

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Groupes, anneaux, modules et repr esentations

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