Groupes

16
* !" !" ! * ! # * $ % & ’ ! * ( ) * ! ! ’ # * ( " +,+! = * = * = * = * * * = * * ) % -# . * ’ ! !/ , $ ( . ! * $ ! # * ( 0 12 + " ( + ( × " ( × " 3 × ( , { } = 4 ! ! ’ ! 5 6 = = - ! 1 78 9 . !" * ( & ’ ! 4" 2 !/ , ! ! !"( . # : !2 ( : : = * = : ; !2 6 ! ! * ( touscours.net

Transcript of Groupes

Page 1: Groupes

����������� ��������������� ������ ��������

���������������������� �

�� �� ��� ��� �� � ���� �� ∗� � ������� !"�� �������� � �� !"��� � � !�

� �� ���� ��������∗ ����!�� ���#��� �∗ ������ �����$� %�&�'�!�������������������� ��∗ ( )�* ���������!���!������'�����#��� ����� �∗ (�"���+,+!����

���������

�������

����������

=∗=∗∈∃∈∀=∗=∗∈∀

∗∗=∗∗∈∀

���)

��%

� � ����

-����#���

.� �� ∗� ������� ������'��������!������� !�/,$������������������(

.�!�����∗ ���� �������$�� �!��#�� �� ∗� ������� ���� ��������(

0�12������

�� +• � �"���������� ���(

�� +• � ������� ���(

�� ו � �"���������� ���(

�� ו � �"���������� �������� �3� � �������(

• ��� ������ ���,�� ���������� { }���� ��=

4 �♥ !����������������!��'���� ��! ����� ��♥ �

����

����

����

����

� 5

6�� ���� ������������������� ��� ���� ����� =♥=♥

��-�����!��������1�� ���� �7��8����9

. �����������������!"���� �∗ � ��������� ���(

• &�'�!����������������������������4"�2����������!�/,! ���������!������� �!"���� ���(

.��� � ��#�� :��� � ��!��2�������(

�� �� :: ���� =∗= ���������������� :� ���������;!��2����������������

6�����! ��������������!��� ��� �� ∗� (

� �������� ��������

touscours.net

Page 2: Groupes

����������� ��������������� ������ ����%����

• * ����������!���!��������������'�����#�����∗ �4"�2����������� �/ ���! ���������!������� �!"���� ���(

.��� � ��#�� ::�: �� � ��!��2�'�����#���!��(

�� �� ::::::�: �:: ::: ������������ =∗=∗∗=∗∗=∗=

6�� ��!������ ������������ � ���'�����#��!��(

• � ��� �� ���� =∈ � �

����� =∗=∗

� �������'�����#��!� � (

• � ��� �� ������� ∗=∗∈ �� �

������������������ =∗=∗∗=∗∗∗=∗∗∗=∗∗∗ <=<�= �< =� �

1� ������������������ =∗=∗∗=∗∗∗=∗∗∗=∗∗∗ <=�< =<�= � �

� �� ���� ∗=∗

• -����#���

6���� ��� �� � � ��� ���������� ∗∗=∗∗∈ (

6�����! ����� �������������>�� ��� ∗∗

• 7-�� ���� �!"�#���� ��9�

� ��� �� ���� ∈�� �

������

������

∗=⇔=∗∗=⇔=∗

�%

��� ������� �!� ��

.� ��� =∗ ��� �� ����� ∗=∗∗ � (

6�� ��������� =∗=∗∗=∗∗ � � (� �� ��� ∗=

.� ��� ∗= ��� �� ����������� =∗=∗∗=∗∗=∗ � �

4�!�� ������� �������?��� �� %�@

• -���������

� ��� �� ���� ∈�� � ���

������

������

=�∗=∗=�∗=∗

�%

4����������������� ��� ��$���������������$�!��������� ������� �!� ��

.� ���� ∗=∗ ��� �� ������ ∗∗=∗∗ � �

. �� � � ������ ∗∗=∗∗ �! �� ���� ∗=∗ �:���+,+!��� �� =

4�!�� ������� ������� �����?��� �� %�(

� ���#������ !��� ��� ����� !��'���� �� !"�� �� ������� �� ∗� � � ��

$ ��/�����!��2� �����?���������!�������?�������� ����� �� � �����

.� ��� =∗ �� ������ =∗=∗ %% � �� �� %% �������� ∗=∗∗=∗ �

� �� %% A ���� == (

• &����!"����������

. �� ��∈ (6�� �� !������ �����������������������

%B��� =∗ � )B� ������� =∗∗=∗∗

������� �����������

6�!�������� ��� �� �∈� � ��B ���������������� �����

������

��

∗=+∈∀−=−

�B �B �

CB

touscours.net

Page 3: Groupes

����������� ��������������� ������ ����)����

�� �� �� ��������� ����������� ,�������!"�������#���� �� � �� �∈��� �

�B �B �B ������� ∗=+ �� �B �BB ������ ×=

• &����7��� �����������!�� ��9�

. �� ��∈ � �∈� (

6�� �� ���� B�B =−

�� �� ���� B�B =−

4�������������!�������������������,�(

%�1�� ���� �7������������$�9 �����������

�������� ��� �� � �$������ ���� �����$������

+ 4������� � �����������������������

+ 4��'�����#��!� ��∈ ���� �� −� ��������������$����!��(

+ 4"������� ������ �� �� (

+ 4��'�� ��× ���� �$��� ���� ��× ���� ������� �� (

4�������������!�����! ������

����

����

���

��

��

�����

����

����

��

������

������

������

������

����

��

×

+

−−−

+

−−−

−−

==∈∀

==∈∀=∈∀

=

=•=�==�=•

=⇔==⇔=•

=•=•

��

� � �

C

)�1�� ���� �7�!!���$�9 �����$����2�� ����� ����������

�������� ��� �� +� ��$������ ���� �����$������

+ 4������� �C ����������"����������!��

+ 4��'�����#��!� ��∈ ���� �� �− ������������ �� ��!��(

+ 4"������� ������ �� ��( ��� (

+ 6����� ��!�����#������ ��� �� +� ���� ����������:���+,+!����

������� +=+∈∀ ��

4��������! ������� ���

�� =−−• �

touscours.net

Page 4: Groupes

����������� ��������������� ������ ����D����

� � � � � ������ −+−=−+−=+−•

� � �������� −+=⇔=+=+• ; � �� −+ ���� ������� �� −

������

��

������

+=+∈∀==•

=�+=+•

(�( �

(

C(C

�( �( �( � ������� −=−=−∈∀ � �� ������� ��(−

������

���������

� �((

�( ((��

×=+=+∈∀ �

���������2������!��� ���+-��������� ����!�� ������

�3� ��3� ��3� ��� ��� ��� ��� ×××++++ �������

+�� ����!���������� ��

. �� �� �������� � � $�!� #���� �#��( 6� � �� � � �"�������� !��

��������� ����� ��������!����/���� ��!� !��� �(�� ��� � ����������� �!�� �� ���� � ������� ��� � � � �� ��� � � ��� �� �� ���� ������ �� ��� !��

��������� ��!� (���� ������� �� ��������!��#�� ���� ����� ����������(��� ������� ��+ 6������ �� ���!��2��/���� ��!� !��� ��� � �����������/���� �!�

!��� (+ 4�� �� ������ �����$��

������ ��� ���� � � �� �� =∈∀ �

��� ����!���������������������������������� �������/���� ���

+ E������ � &! �∈

+ * �� � � �∈ ����'�����#��� ��� �,��$ �� −� (

� �� ��� � � ������� ���(

F ��� ��#���� ������������ !�����!� �� ����������� ��� � � �"������

� ���������. ����������� ����������!� !��������(

. ���� �� →�� !�������������

{ } { }��

��

=∈∀==

��

��

=∈∀==

����� �

���

���

����� �

���

���

� ��5

� ��5

�� �� � �� � � �� !��� � � � ����#�� �� � �� !�� ��������� �� !� !��� ��

��$��������!"��$���������+�?��� ������ ����$ ����$���(

1� ���� �� ���� �� ≠ �

���������

���������

======

� �� ��

� �� ��

touscours.net

Page 5: Groupes

����������� ��������������� ������ ����G����

12�������

+ 6� � �� �� �� �� ��� ��� � � � ��#�� { }� �(((�)�%�= ( ������ �� ��� ��

�� �������!����!���� H� (

• *����!��'���� ��!� %� �

{ }τ�&!% =� � I�

{ } { }���

%�%��&! →

{ } { }%�%�� →τ !��������� �% ;%� == ττ

*������! ����� �� � �

&!

&!&!

&!5

ττττ�

• *����!��'���� ��!� )� �

{ }:�����&! �))�%%�) �� τττ=� � I�

{ } { }���

)�%�)�%��&! →

{ } { })�%�)�%��� →��τ !�������� ������ ������ === � ;� ;� ��� τττ ��� �(

{ } { })�%�)�%�� →� !��������� �) ;)�% ;%� === ���

{ } { })�%�)�%��: →� !��������� %�) :;�% :;)� : === ��� (

*������! ����� �� � �

���

���

��

��

��

��

���

&!::

&!:

&!:

:&!

:&!

:&!&!

:&!5

)�%�)�%

%�)�%)�

%�)�)�%)�%

)�%%�)�)�

)�)�%%�%�

)�%)�%�

)�%)�%�

ττττττ

ττττττττττττ

ττττττ

+ ���� ⊗��� � I�

����#���� �#����� �� � ������� �����$���

⊗ !���������

� � ���� �

�������������

∗→⊗∈∀�

1��������!"�#��$������� !�� �(

. �� %� ≥∈ �� � (

6�!������������������ ��≡ ����

� ��� �� �� ��������

∈−⇔≡∈ ��

����������� ��"��������������� �!�� ��������� !�� �(

6�� ������J� ��� � !≡ ���� �� <=��� ≡

touscours.net

Page 6: Groupes

����������� ��������������� ������ ���������

����������� ������������� �!"�#��$�������

� ����≡∈∀ �� ����#�� ���� ∈=− C

%�� ��� �� �∈��� ��� ���≡ �� �� ���� ∈− ! �� ���� ∈− � �� ��

�≡

)� . ���� �∈��� �� ( .� ���≡ �� ��

�≡ � �� �� �� − �"����� ���� =− I �∈� �

�� �� − �"����� :���� =− I �∈:� ( � �� ����������� ∈+=−+−=− �: � � (

� �� ���≡ (

� ���≡ ��������2�$� ���'�����#�� %����'�����#�� )���"���! ����������� �

!"�#��$������(����������� ����� ���������$��K�

� ��� �� �∈:��:� ���� �

.� :�: ������≡≡ ��� ���

���� ∈− : � ���� ∈− : ! �� ������ ∈−+− :: � �� ������ ∈+−+ � �:: � �:���+

,+!��� :: �����

+≡+ (

� �� � �� �∈� � � ������� ������ !"�#��$������ � !�� �� �� � � �� �� �

�"��������!����������!�� � �����,�� !�� �( ������� �� ��� ���� ��"��!�#�����#�" ����$������ !�� ��(6���� ���"�#��$�������

<�= �� ������� ≡⇔=∈∀ ��� (

1�������

. ���� �∈���

.� �� �� = (��/,� �� �∈ ����≡ ��������2�$����"���,!��� �� �∈ �! �� <=��� ≡ (

.� <=��� ≡ ( . �� �� �∈ ( �� �� <=��� ≡ ( � �� <=��� ≡ ����≡ ��� ��������$��(

� �� �� �∈ (� �� �� �� ⊂ (���?��� �� �� ⊂ (� �� �� �� = (

�" I�"�#��$�������� ��� �� �∈��� (

6�� �� �� �A �"��������!���������!"�#��$�������� !�� �(

������ { }��� ∈= ��� �A � (

�� � ���� ��!������� ��

�� �A ����������!����!�����(

� ��� �� �∈��� � �� �� ������� +=⊕ (

�� �� ⊕ !������ ��� � � !� � �� ���� � ������� ��� �� �A � �� ��A ⊕�� � ��� ��

�� ���� ��������(��� ������� ��

• . �� �∈� (

�� �����2���� [ ]�C −∈ �� ���#�� �� �� = ��:���+,+!������#�� <=��� ≡ (

1�������

1�������� ���� −= � I [ ]��� = � ���� ���

+<≤ ���� � ! �� ������ +<≤ � � �� ���� <−≤C � �:���+,+!��� C −≤≤ �� �

!" I�"�2�������(

� �� [ ] ����� �� =−∈∃∈∀ ��C��

touscours.net

Page 7: Groupes

����������� ��������������� ������ ����L����

� �� �� �A � ������ �� ���� � ��������� , ��$ �� ��� [ ]�C� −∈ ���� ( 6� ! ��

! ������������� �����#��� �������������� ��!��������(

. ���� [ ]�C� −∈ ��� ����� � ��#�� �� �� = ��:���+,+!���#�� <=��� ≡ (

&��2����! �� �∈� ���#�� ���� =− (

�� �� ���� += (6���

C −≤≤ �� (� �� � +<−+≤≤ ��������

� �� +<≤ ���

� �� [ ]�

�� = (6�� C −≤≤ �� (� �� C <−≤≤

��

� �� [ ] C==�

�� (� �� ����� =+= (

� �� [ ] ������� =�=−∈∀ ����C�

. ������� ����� ���� [ ] ������� �� ≠�≠−∈∀ ��C� (

� �� �� �A � ��������� �������������,��$ ����� [ ]�C� −∈ ����

� �� �� �A ��������!����!�����(

• F ��� �� !�/, #�� �� � � ⊕ ��� ���� !������� �:���+,+!��� #�� � �� � ��

�∈��� � ���+ ��!����!#��!� �� + ���� ����!����!����

.� :� ������#�� �� �� =: ��� :� ���#�� �� �� =: ��� �� ���≡: �� ��

�≡: �� �� ����

�+≡+ ::

! �� ::

����

�� +=+ (

��/,�⊕ ����$�!���������� �!�� �� ���� ����������� �� �A

⊕ ������ �����$����������� ��� �� �∈��� �� � ���

� ������������������ ����

���

��

��� ⊕⊕=+⊕=++=++=⊕+=⊕⊕

� ��� �� �∈� � ���

����� ����

��� ⊕=+==+=⊕ C

CC

C

� �� �� �A �!������������������� ��⊕ �,��$ ��C� (

. �� �∈� �� � �� �� −= ������ �∈� �(6���� ���

������������ �������

�� ⊕=+=+−==−+=+=⊕ � C�

� ��� ���������!� �� �A �!������'�����#��� ��⊕ (

1�����⊕ ���� �������$��� ��� �� �∈��� � ���

�������� ����

�� ⊕=+=+=⊕

� �� ��A ⊕�� � ����������� ���� ��������( �� ��������J�K� ��⊕ �

�������������������������������������������� �

. �� �� � ���� ���(

. ������������!��(

6�!��#���� ���������� ��+�� ���!� �� � � ��#���

� �� ∈

%� �������������× � ������ ∈×∈∀ ��

)� ��������������������,�"��$����� ���� ∈∈∀ −�

touscours.net

Page 8: Groupes

����������� ��������������� ������ ����M����

�� � ���� ��

.�������� ��+�� ���!� �� ×� ��� ��× � ����������� �!�� �� ���� ��������

������� �� � ������� ���(

+ ��/,�× ����������� �!�� �� ���� ������������!"����� %�+ 4"��� �����$����"���������!�������������� �(

+ E�������"��� � #�����!����!"����� �

+ 12�������!"����$����� ��� ���!��!"����� )�(

0�12������

+ 3� ��� �� � ��+�� ��� !� �3� � � 3� !� �3� � �� ����� !� �3� � ��

{ }�∈�� �% �{ }�− � 3+� � ��!��� ��+�� ����!� �3� ×�

������� ��+�� ���!� �3� ×� { }� =∈= �� �� �

�� ������ ��+�� ���!� �� ×� { }� =∈= �

� �� �� �

+���� ��+�� ����!� �� +� � ��� { } { }<=� ���3�C��� πα=∈∪ �� ����

4�!������������!� ���!������ ����2�������������

+� �� �∈� � �� ������ ��+�� ���!��(

+.� �� � ��� �� �� ���� �� ��{ }� ��� � �� !�� � ��+�� ���� !�� ��� ������

� ��+�� ����� ������������� ��+�� ������ ����!���

+ { }:��&! �� ��� �� � ��+�� ��� � ��������� !� { }:�����&! �))�%%�) �� τττ=� #��

�"������� ��������(

. �� 3�∈� �����������!�{ }��(((�%� � �$�!�(

. �� { }��� � ⊂∈= � �σσ � � �:���+,+!���#��� ��� �"�������� !�� ��������� ��

#�� �������� ������� �����#��� �� ��∈σ � � ���σ ��� ��/����$�� � �σ � �� �?��

���!����#����! �� ���� =⇔⊂ � � σσ �

�� ��������� ��+�� ���!� �� ��� �

+ �∈&!

+������������� � ��� �� ⊂� σ � �� ⊂� :σ ��� �� �� ⊂� :σσ �

+�����������������������'�����#����� �� ⊂� σ ��� �� �� ⊂− � σ

1�������

.��� � ��#�� �� ⊂� σ (�� �� �� =� σ

. �� ��∈ (� �� � �� σ∈ (

&��2����! ���!�������#�� � �� σ= ��$�� ��∈

� �� �� =− � σ �! �� �� ∈− � σ

�" I�"������� � �� ⊂− � σ ���?���"�����������#�� −σ �����/����$��

+���� ��+�� ����!� ���� +��� �

• 4"��������!��� ���� ��� �'� ������

• { }�∈λλ �� I���������������2�!� �� ��� (

• { }C�C ��� =∈ �� ���

• �� ���� I �∈� � �� ��

�� I �∈�

• 1�������!��� ���� ���+���� !�#��� ,���2��

• 1�������!��� ���� ���+��������8����� ,���2��

touscours.net

Page 9: Groupes

����������� ��������������� ������ ����N����

• 1�������!��� ���� ������ �������� �������

• 1�������!��� ���� �����������������@

+. ��+�� ����!� �� �A �

� �� �=� �

{ }{ } { }{ }�����

������������

�� ������ ����+� ��

)�C�D�%�C�G�D�)�%��C�C

� �����!�� �� �A �G� �����(

%� �� D� �����!����{ }D�%�C ��� (

)� �����!��{ })�C �� (

6�!��#��� ������������!" �!���� %� �� D� !" �!��)�)� !" �!��%(

��4��� ��+�� ����!� �� +� (

��/,���� �� � I �∈� �� ��!��� ��+�� ����!��(O���+�+��!"������P

. ������ ��+�� ���!�������#��{ }C (

&� � ������ ! �� ��������� � � ��� !� �� �� � � �� �� �"��!"��2����� �� ��

!��� 3� �(� ���"�������� 3�∩� ���� �$�!���������������!��(���!���! ��

�������������������!�� �� ≥� (�� �� ��� = (1�������

��/,������������������!�� ����#�� ���� ∈∈∀ �� ������ �������������

����������,�"��$����� ���� ∈∈∀ �� �! �� �� ⊂�

4"������������ ������������

. �� ��∈ (4�!�$��� ������!�����!������! ����

���� += � I �∈� �� [ ]�C −∈ �� (

� �� � ����

�������

∈∈

−+=−= � (

� �� ��∈ (� �������������������������!� 3�∩� � ����������������

C=� ��� �� < �

� �� ���∈

���������� ��+�� ����!��� ���2����������� �� � I �∈� (

������������������ �� �!�����!��� ��+�� ����

�� � ���� ��

. �� �� � ���� ��������������!��(

�� ��������� ��+�� ���!����

∈∈∀∈

⇔× − ������

��

��

��

��� ������� ��4������������������ �����$�!����(� ���"������

.��� � ��#�����

∈∈∀∈

− ������

��

��

touscours.net

Page 10: Groupes

����������� ��������������� ������ ����C����

�� ��!�/, �� ∈ @

1���������� = ��� ���� ��� �� ��∈ � �� ∈− (

� ��� �� ��� ∈� � �� ∈− �! �� ��� ∈−− � �:���+,+!��� ���∈

1�&��������� ��!�� ��+�� ����

*�� �����

. �� �� � ���� ���(

�� ��� ������������� �!�� ��+�� ����!�������� ��+�� ���!��(

��� ������� ��

. ������ ∈� ����������!�� ��+�� ����!����!�2������(E � ��

��

���∈

=

��/,� �� ∈ �����#���� ��� ∈∈∀ � (

. ���� ��� ∈� (�� ���� ��� �� ��∈ � ���∈ � ���∈ ! �� ���� ∈− (

� �� ��� ∈− (

� ��������� ��+�� ���!� �� � (

Q�. ��+�� ��������!��������������

. �� �� � ���� ���(

. ������������!��(6��������� ��+�� ��������!������������������ ��+�� ���!��� ��������(

&�'��������������#��!�/,�� �������(� ���"��������ε !��� ��+�� ����!��� ���������"������$�!�(

� ���!�� ���� ��ε∈�

� (�"������ ��+�� ���!��� �� � ������������� �����

!���� ��� ��+�� ���!��� ��������(

6�� ���� �� ε∈

=�

��

���������������

�� � ��+�� ��� �����!�������������� �{ }� ��� � �� � ��� ������!�� ��+

�� ��������!������"��������(12�������

+���� �� �A �

{ }D�%�C% ���� =

{ })�C) ��� =

�� �AG =� �!��#��G� ���������������!� �� �A �

{ } �� �A)�% =�� { })�% �� �����������������������!� �� �A �

+���� �� +� � �ππ %% =

+���� { }:�����&! �))�%%�) �� τττ=� �

{ }:��&! ��� = ; { }:��&!: ��� = ; { }%�%� �&! ττ = ; )�� �=��� τ

touscours.net

Page 11: Groupes

����������� ��������������� ������ ��������

���� ���� � ������������ ��

. �� �� � ���� ���(

6� !�� #��� ��� � � ���� � ��#�"�� �!��� �� ����������� �:���+,+!��� � ��#�"��

�2���� ��∈ ���#�� �� = ��:���+,+!���� ���� =∈∃ �

-����#���

{ }�∈= ��� � �

1�������+. ��� �� � ��+�� ��� !�� � ������� �( �� ��� � ���� ��� ������ ���× ��

�������,�"��$�������������������$�!����� ����#�"�� ���� ������{ }�∈�� � � (

+4"��������{ }�∈�� � � ����������$�������� ��+�� ���!��� ����������

&�� ������ C �� = (

&�������������× �����#��� ��� �� { }�∈∈ ���� � �� ���"����� ��� = �� �"�����:��� = I �∈:��� ��� { }�∈∈== + ������� ����� �::

&� ��� ������ ��� ������� , �"��$���� ����#�� � �� � �� { }�∈∈ ��� � � � � �"�������� = I �∈� ��� { }�∈∈== −−− ����� ��� �� (

�"���! ����� ��+�� ���!������������� �����������#�� �� = (

� ��{ }�∈�� � � ������ ��+�� ���!��#��� �����������"��������������(

-����#���

����������������� � ����"��������!���� !����!�����������!"��������!��(

�������� ������ �������!���'���#��� ��#�"������ � ����������(12�������

+ �� +� ���� � ����������� { } �( =∈= �� �� ������� ��� ���� ��!!���$��

* ������ ��+�� ����!��� ��� � ����� ��������� { } ����� =∈= �� �(

+ ��A +�� � ����'���#��������!������ #���"�������������������������

+ �� ×�� ���������'���#��� { } ωω =∈= �� ��

� � I ��

�π%

(

�������� ���������������� F ��������������� � ��!�� � � ��������

���������� � ��� ���� �7��8����9�

. ���� �R� � �� �� ♥� !��2�� ����(

��� �������!� �R� � $��� �� ♥� ��������������� � �� →�ϕ �����#���

� � �R �� ������� ϕϕϕ ♥=∈∀

12�������

�2�• ������ �������!� �� +� $��� �3� ×�

touscours.net

Page 12: Groupes

����������� ��������������� ������ ����%����

���• !� ��3 ×+� $��� �3� ×� �$��� ��3 ×+� ������

����• !� �� +� $��� �� +� θθ ���• !� �3� +� $��� �3� ×�

• 4"�������� �� ���� !�� ������ ������� � �$�������� ��� �� � ��+�� ��� !�

�� +�� �� �"��������� � ���� � ��� �� � ������� !� ���� +���� $���

�� +� (

0��� ������� � ���� �������������$��

�� � ���� ��

. ��ϕ ��� �������!"���� ��� �� ×� $������� ��� �� ×� (

�� ���

��

��

�����

����

�������

�� � ��

�� � �

� � � ��

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

=∈∀∈∀•=∈∀•

=•=∈∀•

−−

��� ������� ��

• �"�����!������� �(

• � � � � ����� ϕϕϕϕ ×=×= (

4"������� � �� ϕ= !��$������! �� ��� =× (� �� ���� =×= −

• . �� ��∈ (�� �� ������ � � � � === −− ϕϕϕϕ

���?��� ��� � � =−ϕϕ

� �� �� � −− = �� ϕϕ

• . �� ��∈ (F ��� ���������������#�� �� ��� �� � � ϕϕ =∈∀ � �

� �� C=� � CC �� � � �� �� ϕϕϕ ===

. �� �∈� ����� � ��#�� �� �� �� � ϕϕ = (

�� �� �� � �� � � � � ++ ==== ����� �������� ϕϕϕϕϕϕϕ

6��������2����������$����� ��������!���(

��E '���������!"��� �������

�������� ���� � ���� ��

. ��ϕ ��� �������!"���� ��� �� ×� $������� ��� �� ×� (

4"�����!�ϕ �� ��� ϕ&� ��"��� � �ϕ ��:���+,+!���{ }��� ∈�� ϕ

�� �� ϕ&� ������ ��+�� ���!��(

��� ������� ��

+ ϕ&� � ������ � ��� � �� ϕ=

+ ϕ&� ������������× �

. ���� ϕ&�� ∈� (�� ���"����� � �ϕ I ��∈ ���"����� � �ϕ I ��∈ (

� �� ϕϕϕϕ &�� � � ∈=×=× �����

touscours.net

Page 13: Groupes

����������� ��������������� ������ ����)����

+ ϕ&� �������������������,�"��$�����

. �� ϕ&�∈ (�� ���"����� � �ϕ I ��∈ (

1�� ϕϕϕ &�� �� ∈== −−− ��

�������� ��

. ��ϕ ��� �������!"���� ��� �� ×� $������� ��� �� ×� (

4�� '��!�ϕ �� �� ϕS�� ������!������� ��

{ }���� � �S�� =∈= ϕϕ

�� � ���� ��

ϕS�� ������ ��+�� ���!��(

��� ������� ��

+ ϕS�� ∈����

�� � =ϕ (

+� ��� �� ϕS��� ∈�� � �� ������� � � � =×=×= ϕϕϕ ! �� ϕS��∈�� (

+� ��� �� ϕS��∈� � ���� � �� � === −−− ϕϕ ! �� ϕS�� ∈−� (

*�� �����

. ��ϕ ��� �������!"���� ��� �� ×� $������� ��� �� ×� (�� ���

� � ��� �� ��� ∈� � ϕϕϕ S��� � ∈⇔= −����

%� ϕ �����/����$� { }�S�� =⇔ ϕ

��� ������� �� � 6������#��$��������

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

S��

� � � �� � � �

∈⇔

=⇔=⇔=⇔=−

−−−

��

�������� ���

%� .��� � ��ϕ ��/����$��

. �� ϕS��∈� (�� �� � � ��� ϕϕ == (

� ���� ���ϕ �����/����$�� �� = (� �� { }�S�� ⊂ϕ

������� ϕS�� ������ ��+�� ���!���! �� ϕS�� ∈� �! ��{ } ϕS�� ⊂� (

�" I�"�������(

-����� #����������� � ��#�� { }�S�� =ϕ �

. ������ �� ��� ∈� (.��� � ��#�� � � �� ϕϕ = (

�� �� ϕS�� ∈−�� (� �� ��� =− (� �� �� = (

� ��ϕ �����/����$�(

12������

4"��������� �θθ

ϕ���3� �� → ��� �� � ������� !� �� +� $��� �3� ×� !� � '��

�π% ��!"����� �

��� �� ���� �

�� � ���� ��4� � �� ���� #���! ���� ��� !������� !� !��2 � �������� !� �� ���� ��� ��

� �������!��� ����(

touscours.net

Page 14: Groupes

����������� ��������������� ������ ����D����

��� ������� ��

. ���� �� ��R� ��� ♥∗ ��� �� ���� ����(

. ���� ���� →�ϕ �� ���� →�ϕ !��2� ��������(

�� �� ���� ϕϕ � �������!���������$�!� �� ∗� !��� �� ♥� (

. ���� ��� ∈� (6���

�� ��

�� ��

�� �R

�� �

��

��

��

����

��������

��������

������

��������

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕ

��

♥=♥=

=∗=∗

1�&� � �������

�� � ���� ��!������� ��

. ��ϕ ��� ���������/����� !� �� ×� $��� �� ×� ( �� �� −ϕ ��� ��� �������

��/������!� �� ×� $��� �� ×� (6�!��#��ϕ ������� � �������(

4 ��#�"���2�������� � ������������!��2�� ����� �!��#�����!��2�� ����� ���� � �����(

��� ������� ��

. ��ϕ ��� ���������/�����!� �� ×� $��� �� ×� (

. ���� ��� ∈� (

. ���� �� ∈� ����#�� ��� == � �� ϕϕ ( �:���+,+!��� � �� ��� −− == ϕϕ �(

�� �� � � �� �� � � ������� −−−−− ×=×==×=× ϕϕϕϕϕϕϕϕ

� �� −ϕ ������ �������!� �� ×� $��� �� ×� (

12�������

�=�� <%%

∗−• ππ �� �� +� � ���� � ������ I∗ ������ �!����������

������ ���������� =��<�%%

+=∗−∈∀ ππ

�:���+,+!��� ���� ���������=��<�%%

������ +=∗−∈∀ ππ

������ � � � =��<�%%

������ ϕϕϕππ +=∗−∈∀ � I ���=ϕ � #�� ������� ���� ���

��/���� �!� =�<%%ππ− !�����

���

���

π%�

��� →• ��� �� � ������� ���/����� !� �� +� $��� �� ×�� ���� � �

��/�����(. �� '����� �� �

��/,��"������ ������������#��� ��� �� �∈��� � ���

� � � %%� %

���������� �

��

���

���

===++ πππ

(

�������/����$�����#��� ��������� �� �∈ �"����� ���

�π%

I �∈� (

F�����"��������/����$��� ��� �� �∈� � ������#��$��������

��� ��������

�� ∈⇔∈⇔∈⇔=⇔∈ ππ %� S�� %

� ����� '��!����� �� �! ����"��������/����$�(

���

�π

ϕ%

A�

��� → I�������#�� � =� ���� ���������/�����(

touscours.net

Page 15: Groupes

����������� ��������������� ������ ����G����

��� ������� ��

��/,�������� �����#����!������� �!�ϕ ���� ���������:���+,+!���#�� ���

π%

��

!����!#��!� �� ��� ����!��(

.�!��2�������� �∈:��� � ������#�� :�� �� = � ���� ���

���� ∈− : (� �� ��� S��:∈− (� �� �: � ���� = ������� ���� ��!!���$��

� �� ���

���

��ππ :%%

= (�"������ ��������

� ��� �� �� � A:� ∈ �"����$��� � �= �� :: � �= I �∈:��� �

�: � �: :%%�: %

��� ���

���

���

ϕϕϕπππ

===++

(

ϕ ������/����$������#��� ����������� �∈ �"����� �

��

�π%

I �∈� (

ϕ ����������/����$��

. �� ϕS��∈ (�� ���"����� �� I �∈� (

�� �� � %

== ���

�π

ϕ (� �� ��� ∈ (� �� C�� == � (� �� { }CS�� �⊂ϕ (

� ��� ϕS�� ��� �� � ��+�� ��� !� �� � � � ����� �"����� ������� � �� ! ��

�"�������(� ��ϕ �����/����$�(

� ��ϕ �����/����$�(� �� �� ×�� �� ��A +�� � � ���� � �����(

-����#���4������� �7?����� � ����,9������������ �!"�#��$����������"��������!��

�� �����+1�����������2�$� �"�!������������� � �������!"���� ����$�����+1�������'�����#�� �������� � ����,���� �������� � ����,��+1��������������$� ��� �� ���!�!��2�� � ��������������� � ��������

Q�T ��������� ��������+��� �������!��$������������������� � � �������!��$����(+���� � �������!��$���������� ���������/�����!��$����(+����! � �������!�������� �������!��$����(+����� � �������!�������� ���������/�����!��$������+�?��( �� � �������!��$������+�?��( ��! � ���������/�����!��(

���������� ����������� ����������

. �� �� � ���� ���(

*�� �����!������� ��

. ���� 3� �∈∈ ��� (�� ������� ����������� �����$������ ���#��$��������

� � ���������!����!�����(

%� &��2���� 3�∈� ���#���

�� = ������������������!������������(

)� 4"��������{ }���� � =∈ � �"��������!���,{ }C ��"����?�� �� (

4 ��#�� �"��� !�� ��� ��������� �� �� ! �� ��� �� ��� ��� $����� � !�� #�� � ��� ���������!" �!������!�������,�(

touscours.net

Page 16: Groupes

����������� ��������������� ������ ���������

��� ������� ��

� ���!�� ������

�→��ϕ (�� ��ϕ ������ �������!� �� +� $��� �� ×� (

1������� ::�:� ���� ����� =∈∀ +� (

6���

{ } ���� =∈= ��&�ϕ

ϕS�� ������ ���� ���!� �� +� ! ��!��'�� � I �∈ (

+ .� C= � { }CS�� =ϕ ! ��ϕ ��� ��/����$�( � ��ϕ ������� ��� ��/���� � !� � ���

�=ϕ&� (� �� � ���������(

+ .� ≥ � { }C �(((� −= ���� (1�������

������������������ ��{ } ���� ⊂−C �(((� ���!�/,�$�!����(

. ������������ ��∈ (

�� ����"����� �� I �∈� (4�!�$��� ������!�����!����� C≠ �! ����

� �� += �$�� [ ]�C −∈ � (

� �� { }C

S�����

�(((�� −

=∈=

+ ∈=== ��

� � � ��������

���

ϕ�

�!" I�"������������ �����"�������(

������� � =� ���! ����"�2������� !�� !��������!��� [ ]�C − ����#�� !� �� = ���

�� ��� �2����� C −≤<≤ !� � �� �� � �$��� !� �� = � ������� �

!�� =− ��#�� �� �� ����

������ C −≤−< !� ! �� � �! ∉− (

�$����������������������������!�� �����#�� � �% � �� �� � �) � �� �

.��� � �� �(

�� ��������!������� ���� �������!������ � = (

� �� � ��� ���� �� ���� ����� !�� 3�∈� ���� #�� �

�� = � ��� �

� = ��

[ ]�

�� � �� ≠−∈∀ ����#�� �� C = �� ��� ����#����� [ ]�C� −∈ ��� � ��!���������

1�!"����������"��������!�� �∈� ����#�� �

�� = ������� �� �"��� ϕS�� �

� �� �% � � �� �) � � (

.��� � ������������ )��6������ ��!������������ � ≥= � ��� { }CS�� ≠ϕ �

� ����� ��+�� ��������!���������!����!�����(

���?��� � �% � (

12�������

���� ���A +�� �

%� ���!" �!��)� { }D�%�C% ���� = !����!����)

�����/���������� �� C%%%%() ����� =++= �� CD%(%�C%%( ������ ≠=≠=

)� ���!" �!��%�� ��G� � ��!" �!����C� ���!" �!��(

���� �� +� �C���!" �!���� ������������ ��!" �!��������(

���� �� M �� �

E ���� � !��� �� ������������� � ((( �� ���� ��������������� ��

M)%

M)%

����

(

���� ������2����� ��

�=�MD%LG)

ML�GD)%σ (�� ��σ ���!" �!���������� M�∈σ �� M�

���!����!�������� � ��������σ ���!" �!�������!�����,��$ ��G�

touscours.net