Grappe s

PrsentationGrappes de tailles gales

Grappes de tailles ingalesTirages de grappes PI

Tailles des grappes inconnues a prioriMise en oeuvre efficace

Sondage par grappes

Myriam Maumy1

1IRMA, Universit Louis PasteurStrasbourg, France

Master 2me Anne 27-11-2005

Myriam Maumy Sondage par grappes




Ce chapitre sappuie essentiellement sur :Mthodes statistiques des sondages,

de Jean-Marie Grosbras,Economica.





IntroductionDfinitionsNotations

Pour rsumer, on a vu que la mthode de base est le SAS PE,qui nintgre aucune connaissance a priori des phnomnestudis.Lapport de renseignements lis ces phnomnes et fournispar des variables auxiliaires est susceptible damliorer laprcision des rsultats. Les mthodes sont la stratification a priori ou a posteriori (Chapitre 3 et

Chapitre 5) les tirages probabilits ingales (Chapitre 4) les redressements par le quotient (Chapitre 6).

Le choix dpend de la nature des informations auxiliaires et deleur degr de disponibilit.






Ces mthodes supposent que la population des unitsconcernes est reprsente par une base de sondagecomplte et quon peut distinguer une unit des autres pouralimenter un chantillon. Dans la pratique, il arrive quil ny a pas de base desondage complte et disponible. Il arrive que les units soient groupes en paquets etquil soit plus conomique daccder ces donnes parpaquets, c--d par grappes.






Les N units de la population sont rparties en Msous-ensembles, appels grappes ou units primaires. La grappe ( = 1, . . . ,M) contient N units de lapopulation, appeles units secondaires. On prend un chantillon de m grappes. La grappe i(i = 1, . . . ,m) de lchantillon est explore compltement (onexamine tous les grains).






Il y a 2 niveaux dobservation :

le niveau primaire, c--d la grappe, indice par ( = 1, . . . ,M) dans la population, et par i (i = 1, . . . ,m)dans lchantillon

le niveau secondaire, c--d lunit statistique vise.






N = taille (nombre dunits secondaires) de la grappe .Y = valeur de la variable tudie pour lunit secondaire dela grappe .

Y =N=1

Y = total de la variable dans la grappe .

N = 1M

M=1

N = taille moyenne des grappes.

Y = 1M

M=1

Y = total moyen par grappe.

Y =1

N

N=1

Y =YN

= moyenne de la variable lintrieur

de la grappe .Myriam Maumy Sondage par grappes





La simple barre indique une moyenne par unit primaire.La double barre indique une moyenne au niveau unitsecondaire.Les relations avec les moyennes ou totaux densemble sont :

N =M=1

N;

Y =M=1

Y;

Y = 1N

M=1

N=1

Y =M=1

NN Y =

YN .





Estimation dune moyenneComparaison avec le SAS

Soit N0 la taille commune des grappes.Par consquent, on a

= 1, . . . ,M, N = N0 = N

etN = MN0.






On obtient alors :

Y =M=1

N0N Y

=1M

M=1

Y.

La moyenne gnrale est la moyenne arithmtique desmoyennes par grappe.Lestimation de Y est donc un problme destimation dans unSAS dont

la population de rfrence est constitue des Y,les chantillons sont constitus de quantits calcules Y i .






Supposons que les m grappes soient tires PESR, alors lesrsultats du Chapitre 2 montrent que lestimateur par grappes :

yG =1m

mi=1

Y i

estime sans biais la moyenne Y . Dautre part, on a

Var[

yG]

=M m

Mm1

M 1M=1

(Y Y )2

Var[

yG]

=M m

Mm1

m 1m

i=1(Y i yG)2.






Supposons que lon puisse raliser un chantillon de mmetaille n, sans tenir compte du groupement par grappes. On a

n =m

i=1Ni = mN0, puisque i ,Ni = N0.

La moyenne Y est alors estime par :

y = 1n

nj=1

yj .






La variance de y est gale :

Var[

y]=

N nNn S

2c ,

o

S2c =1

N 1M=1

N=1

(Y Y

)2.

Comme N = MN0 et n = mN0, on a alors :

Var[

y]=

1N0

M mMm S

2c .






On compare Var[

y]

Var[

yG].

Pour cela, on rappelle (slide 12) que

Var[

yG]' M mMm

1M

M=1

(Y Y

)2' M mMm

2S2c ,

o 2 est le rapport de corrlation inter-grappes

2 =

M=1

N0(

Y Y)2

M=1

N

(Y Y

)2 .






Par consquent

Var[

yG]< Var

[y] 2 < 1N0 .

Le sondage par grappes est meilleur que le SAS si le rapportde corrlation inter-grappes est infrieur 1/N0. La conclusion est double :

il est souhaitable que les moyennes des grappes Y soientle plus semblables possibleil nest pas souhaitable que la taille N0 des grappes soittrop leve.

Le sondage par grappes est intressant sil y a beaucoup depetites grappes, le plus ressemblantes possible.





Estimation dune moyenneRemarques

On rappelle (slide 11) que

Y =M=1

NN Y.

Dans ce paragraphe, on va maintenant considrer que

les tailles N ne sont plus gales,

comme lindique le titre du paragraphe !






CommeN = NM ,

on peut alors crire

Y = 1M

M=1

NN

Y.

On est encore ramen au problme de lestimation dunemoyenne simple, dlments de la forme N

NY.






Supposons que les m grappes soient tires PESR, alors lesrsultats du Chapitre 2 montrent que lestimateur par grappes :

yG =1m

mi=1

NiN

Y i

estime sans biais la moyenne Y . Dautre part, on a

Var[

yG]

=M m

Mm1

M 1M=1

(NN

Y Y)2

Var[

yG]

=M m

Mm1

m 1m

i=1

(NiN

Y i yG)2






Le nombre dunits statistiques de lchantillon est alatoire,car il dpend des grappes choisies. En effet, on a

n =m

i=1Ni .

Si on calcule lesprance mathmatique de n, on trouve que

E[n] = mN.






On pourrait comme dans le paragraphe prcdent, comparerle sondage par grappes de tailles ingales avec un SAS detaille mN.

La conclusion est la suivante :

Il est prfrable davoir beaucoup de grappes,dont la taille moyenne N soit faibleet dont les moyennes ne soient pas trop dissemblables.





Estimation dun totalEstimation dune moyenneProbabilits proportionnelles aux taillesRemarques

Considrons des tirages de m grappes PIAR. chaquetirage, la grappe est retenue avec la probabilit P, avec :

M=1

P = 1.

Daprs le chapitre 3, on rappelle que lestimateur du total Test gal :

T = 1m

mi=1

YiPi

.






La variance de lestimateur T est gale :

Var[

T]=

1m

M=1

P(

YP

Y)2

.

La variance estime de lestimateur T est gale :

Var[

T]=

1m(m 1)

mi=1

(YiPi Y

)2.






Remarque : Lestimateur dune moyenne sen dduit endivisant lestimateur du total T par N, et les variances par N2.

Par consquent, lestimateur de la moyenne est gal :

=1N

1m

mi=1

YiPi

.






La variance de lestimateur est gale :

Var [ ] =1

N21m

M=1

P(

YP

Y)2

.

La variance estime de lestimateur est gale :

Var [ ] =1

N21

m(m 1)m

i=1

(YiPi Y

)2.






Si les totaux des grappes sont corrls avec le nombredunits quelles contiennent, il est naturel de choisir lesprobabilits P proportionnelles aux N.Do :

= 1, . . . ,M P = NN .






En portant ces probabilits dans les formules du paragraphe6.1., il vient :

T = Nm

mi=1

YiNi

=Nm

mi=1

Y i

La variance de T est gale

Var[

T]=

N2m

M=1

NN

(Y Y

)2.

La variance estime de T est gale

Var[

T]=

N2m(m 1)

mi=1

(Y i yG

)2,

o yG = (1/m)m

i=1 y i .Myriam Maumy Sondage par grappes





Les variances thoriques et estimes de yG se dduisent deVar

[T]

et de Var[

T]

en les divisant par N2 :

Var[

yG]=

1m

M=1

NN

(Y Y

)2

Var[

yG]=

1m(m 1)

mi=1

(Yi yG

)2






Lexamen des variances montre que lestimation dun total oudune moyenne est dautant plus prcise que les grappes sontde tailles faibles et de moyennes semblables.

Le nombre dunits secondaires dans lchantillon estalatoire, puisque dependant des grappes retenues.





Taille globale N connueTaille globale N inconnue

Il est clair quon ne pourra connatre que les tailles des grappesretenues dans lchantillon.

A dfaut de renseignements complmentaires, les tirages degrappes se font PESR.






Il se peut que N soit connu, sans quon sache la rpartition desunits dans les grappes.Dans ce cas, la mthode est simple. Il suffit de se reporter lestimation dun total dans un sondage PESR (cf Chapitre 2). Rappel : Lestimateur du total est gal

T = Mm

mi=1

Yi = MY .






La variance et la variance estime de T sont galesrespectivement

Var[T]= M2 M mMm S

2c o S2c =

1M 1

M=1

(Y Y

)2et

Var[T]= M2 M mMm s

2c o s2c =

1m 1

m=1

(Yi Y

)2.

DoyG = T/N = T/N.






Le paragraphe prcdent montre comment estimer un total.Le problme dans lestimation dune moyenne est quil fautestimer la taille N de la population comme on vient de le voiravec la dernire formule du transparent prcdent.

Y = T/N yG = T/N.






Dune faon quivalente, si on considre le total moyen etleffectif moyen par grappe on a :

Y = Y/N yG = Y/N,

oY = 1

m

mi=1

Yi

et

N = 1m

mi=1

Ni .

On se retrouve donc dans la situation de lestimation dun ratio,telle que nous lavons tudie au paragraphe 8 du Chapitre 6.





Pour tous les modles tudis dans ce chapitre les conclusionssont convergentes : il faut des grappes de taille rduite, et demoyennes semblables.Il est clair que cette condition est trs forte et nest en gnralpas respecte dans la pratique.Par contre, elle peut-tre approximativement respecte pourdes sous-ensembles de grappes.Il est donc essentiel de rflchir avant tout une bonnestratification de grappes, c--d telle que dans chaque strateles grappes soient le plus homognes possible.


PrsentationIntroductionDfinitionsNotations

Grappes de tailles galesEstimation d'une moyenneComparaison avec le SAS

Grappes de tailles ingalesEstimation d'une moyenneRemarques

Tirages de grappes PIEstimation d'un totalEstimation d'une moyenneProbabilits proportionnelles aux taillesRemarques

Tailles des grappes inconnues a prioriTaille globale N connueTaille globale N inconnue

Mise en oeuvre efficace

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