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8/6/2019 graphesCOURS

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THEORIE DES GRAPHES

0) Introduction historiqueLa thorie des graphes permet de transcrire concrtement des faits en les modlisant l'aide d'objets mathmatiques, afinde rsoudre des problmes tels :

- Les problmes dordonnancement, qui ont pour but la recherche dun ordre optimal des tches pour une ralisationcomplexe : il sagit de trouver un ordre de ralisation des travaux, en minimisant le temps total et le cot total ;

- Les emplois du temps et la rpartition des salles ;- Les problmes daffectations (organiser des quipes de travail pour quelles soient le plus efficaces possibles) ; Les problmes de maintenance (minimiser les stocks de pices de rechange, ou les cots dus larrt des machines) ;- Les problmes de comptition et de concurrence ;- Les problmes de classification de produits, ou dindividus.

Le premier problme connu dutilisation dun graphe pour rsoudre un problme est celui des 7 ponts de Knigsbrsolu en 1735 par le mathmaticien suisse Leonhard Euler :

La ville de Knigsberg (Prusse orientale) comptait 7 ponts, disposs selon la figure ci-contre.Lhistoire veut que Lonard Euler, en visite dans cette ville, ait eu rsoudre le problme qui proccupait fortemehabitants : Est-il possible de trouver un circuit qui emprunte une fois et une seule chacun des sept ponts de la ville ?

Pour cela, lide est de commencer par traduire lnonc du problme par un schma :Chaque lieu de la ville est repr par sa position gographique : N pour le nord de la ville ; S pour le sud de la vipour louest et I pour le . Chaque pont sera alors reprsent par un trait reliant ces lieux entre eux.Cette modlisation sappelle un graphe : Quest-ce quun graphe ? Cest un ensemble de sommets et de liens entre2 sommets que lon appelle artes .

La traduction du problme de dpart en termes de proprits du graphe est alors : Peut-on circuler sur le graphe dun sommet en empruntant une fois et une seule chaque arte ?

Mais la thorie des graphes a rellement pris son dpart pendant la seconde guerre mondiale, plus prcismeAngleterre en 1940, sous le nom d Operation Research . Ltat Major alli, qui devait accrotre lefficacit doprations, en confia le travail au physicien Blackett. Il sagissait de rechercher la meilleure rotation des quipagesles avions1, limplantation optimale des radars, plus tard lorganisation des convois transatlantiques

1) Gnralits sur les graphes

Dfinition :Un Graphe est un ensemble de points (appelsSommets du graphe) ventuellement relis par un ou plusieurs segment(s)appelsArtes .

Exemples :Un grand nombre de configurations peut se prsenter :

Graphe 6 sommets, 5 artesLes sommets sont numrots de 1 6

Tous les sommets sont relis entre eux par une arte


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Plusieurs artes peuvent exister entre deux sommetsDans ce cas, il peut tre utile de nommer (ou numroter lesartes) :

Une arte peut avoir ces deux extrmits confondues. On ditalors quil sagit duneboucle .

Dfinitions :Lordre dun graphe est gal au nombre de ses sommetsLe degr dun sommet est le nombre dartes dont ce sommet est une extrmit.Si deux sommets sont relis par (au moins) une arte, on dit quils sontadjacents .Exemple :

Pour ce graphe les sommets A,B,C,D,E,F,G,H et I ont respectivement pour degr :Sommet A B C D E F G H IDegr 4 6 4 2 4 4 6 4 2

Dfinition :Un graphe dont les sommets sont deux deux adjacents est appelgraphe complet

Exemple :

Ce graphe est complet :

Alors que celui-ci ne lest pas :

(par exemple, les sommets 1 et 2 ne sont pas adjacents)Thorme :La somme des degrs des sommets dun graphe est gal au double du nombre de ces artes


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2) Chanes et cycles d'un graphe

Dfinition : Soit un graphe. Unechane de est unesuite alterne de sommets et dartes

Remarque : Deux sommets pouvant tre joints par plusieurs artes, ilest ncessaire mentionner les artes dans lnoncde la chane, afin quil ny ait pas dambigut.Si lorigine et lextrmit de la chane sont confondues, on dit que la chane estferme .

Exemple :Soit le graphe ci-contre :

Une chane reliant O I est par exemple O a1 N a3 I , mais bien sr O a1 N a2 I en est une autreEnfin O a1 N a2 I a3 N a1 O est une chane ferme

Remarque : Il nest pas ncessaire que toutes les artes soient parcourues, ni quelles ne le soient quune fois.Dans les deux chanes ci-dessus, toutes les artes ne sont pas parcourues, et on peut imaginer la chane O a1 N a2 I a7 O a1N a3 I qui parcourt donc deux fois l'arte a1 La notion de chane est la notion de chemin de base

Dfinition : Un graphe est ditconnexe si deux sommets quelconques peuvent toujours tres joints par (au moins) unechane. Le graphe ci-dessus est bien videmment connexe, mais pas complet (N et S ne sont pas adjacents)

Proprit : Tout graphe complet est connexe (par dfinition mme).La rciproque est fausse

Dfinition :On appelleCycle toute chane ferme dont les artes sont distinctesDans l'exemple ci-dessus, O a1 N a2 I a7 O est un cycle alors que O a1 N a2 I a3 N a1 ne l'tait pas (deux fois l'arte a1)

Encore une fois, il nest pas impos que les artes soient toutes parcourues

Dfinitions : On appellechane eulrienne toute chane empruntant chaque arte du graphe une unique fois.Si, de plus, cette chane est ferme, on parle decycle eulrien

Exemples :

La chane (C,c,D,h,Bf,E,g,C,b,B,a,A,e,E,d,D) est unechane eulrienne entre C et D, puisqu'elle permet de

parcourir une seule fois toutes les artes du graphe. Iln'existe pas, pour ce graphe, de cycle eulrien. Pour ce graphe (qui n'est autre que celui de gauche auquel on arajout un point et deux artes), il existe le cycle eulrien(C,c,D,h,Bf,E,g,C,b,B,a,A,e,E,d,D,i,F,j,C)


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Remarque :Pour un cycle eulrien ou une chane eulrienne, il est ncessaire que les artes soient distinctes, mais il est possible repasser plusieurs fois par un mme sommet

Pour rsumer les diffrents chemins possibles le long d'un graphe, utilisons cet organigramme

3) Thorme dEuler :

Problmatique :Existe-t-il une critre permettant de savoir si un graphe admet une chane ou un cycle eulrien ?La rponse est positive et rside dans le :

THEOREME

1) Un graphe connexe admet un cycle eulrien si et seulement si tous ses sommets sont de degr pair.2) Un graphe connexe admet une chane eulrienne si et seulement si tous ses sommets sont de degr pairsauf

ventuellement deux dentre eux . (En dautres termes le nombre de sommets de degr impair est gal 0 ou 2.

Application au problme des ponts de Knigsberg :

Le graphe ci-dessous, modlisant la situation gographique des ponts deKnigsberg (voir introduction), possdant 4sommets de degr impair, il n'existe pas de cycle eulrien rpondant au problme

I

N

O

S Fig 5

a

a 7

a 2a 3

a 5 a 4a 6

Remarque :Ce thorme fournit une condition d'existence d'une chane ou d'un cycle eulrien mais ne fournit pas (hlas!) de prde construction !


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4) Graphes et matrices

Dfinition :Un graphe n sommets n A A A A .....,,, 321 tant donn, on appelle matrice associe ce graphe la matrice carre dordren telle que le terme ija (situ lai

me ligne et la jme colonne) est gal au nombre dartes relianti A j A .

Exemples :

La matrice associe ce graphe (en classant les sommets parordre alphabtique) est la matrice carre7 7 :

0 1 0 0 0 1 11 0 1 0 0 1 00 1 0 1 1 0 00 0 1 0 1 0 00 0 1 1 0 1 11 1 0 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0 0

Remarques- Si le graphe ne contient pas de boucles, la diagonale de cette matrice est constitue de 0- Si le graphe nest pas orient, la matrice associe un graphe est symtrique- En revanche, si le graphe est orient comme ci-dessous,

la matrice associe ce graphe n'est plus symtrique. En effet, cette matrice est :

=

0110101010001010

M

Dfinition :La longueur dun chane est le nombre dartes composant cette chane

Thorme :Soit A la matrice associe un graphe dordrem de sommets m A A A A .....,,, 321 . Alors le terme ija (situ laime ligne etla jme colonne) de n A est gal au nombre de chanesde longueur n reliant i A j A .


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Exemple d'application :Un parcours de sant est amnag pour les sportifs dans le parc de la ville. Il estcompos de chemins sens unique, et de quatre points de repre tous distants de 500mtres, comme indiqu sur le schma ci-contre.Sur le schma du parcours de sant, S 1 dsigne lentre et S 4 la s ortie. On pourra

faire lhypothse que tout trajet commence en S 1 et se termine en S 4..Combien y a-t-il de trajets diffrents de 1,5 km ?

Le nombre de trajet de 1,5 km entreS1 et S4 est gal au nombre de chemins de longueur 3 entreS1 et S4 , soit au coefficient1,4a de la matrice M

3, o M est la matrice associe au graphe ci-dessus

Les calculs donnent : 2

0 1 1 10 1 1 00 1 1 1

0 1 0 2

M

=

, puis

Il y a donc deux chanes de longueur 3 reliant S 1 S 4

5) Coloration dun graphe

Dfinition :Colorer un graphe consiste affecter une couleur chacun de ses sommets, de sorte que 2 sommets adjacents ne ppas la mme couleur.On appelle nombre chromatique dun graphe le plus petit nombre de couleurs permettant de colorier ce graphe.

Remarque :Le nombre chromatique dun graphe complet dordren est gal n En effet, de part sa dfinition mme, tous les sommets de ce graphe sont adjacents les uns aux autres. Sils sont en ngal n, il faut doncn couleurs exactement pour le colorier

Remarque :Il nexiste pas de formule donnant le nombre chromatique dun graphe.On connat en gnral un encadrement de celui-ci et on essaye dexhiber une coloration (non unique en gnral) utun nombre minimum de couleurs.

Encadrement du nombre chromatique :

Proprit :Soit un graphe et le plus grand de tous les degrs des sommets. Alors le nombre chromatique de est infrieur ougal +1

Preuve :Pour chaque sommet, on peut tenir le raisonnement suivant : Ce sommet est adjacent sommets au plus, et le nombrede couleurs dj utilises pour colorer ces sommets est infrieurs ou gal (gal dans le pire des cas ou cessommets seraient tous adjacents entre eux). Il existe donc dans la palette des +1 couleurs disponibles, au moins unecouleur non utilise, avec laquelle nous pouvons colorer notre sommet.

Proprit :Le nombre chromatique dun graphe est suprieur ou gal celui de chacun de ses sous-graphes.En effet, pour colorer un graphe, il faut avoir ncessairement colorer tous ses sous-graphes.


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Algorithme de coloration de Welch et Powell (ou algorithme Glouton ) :Lalgorithme prsent ici permet dobtenirune coloration dun graphe en gnral assez bonne, mais pas ncessairemenoptimale (chaque situation tant un cas particulier, il peut tre lgrement adapt, et certains choix peuvent sameilleurs que dautres)

Etape 1 : Classer les sommets dans lordre dcroissant de leur degr

Etape 2 : En parcourant la liste dans lordre, attribuer une couleur non encore utilise au premier sommet non color, attribuer cette mme couleur chaque sommet non encore color, et non adjacent un sommet de cette couleur.

Etape 3 : Sil reste des sommets non encore colors dans le graphe, revenir ltape 2.

Exemple d'application :Soit colorier le graphe suivant :

Etape 1 : on classe les sommets dansl'ordre dcroissant de leur degrSommet DegrE 4

A 3B 3C 3F 3D 2G 2

Etape 2 :On affecte une couleur "1" au sommet Eainsi qu' chaque sommet non encorecolor, et non adjacent un sommet decette couleur. En pratique, cela signifieque l'on attribue une couleur E (couleurn1) ainsi qu' tous les sommets nonadjacents E et non adjacents entre eux.Par exemple ASommet Degr Couleur

AttribueE 4 1A 3 1B 3C 3F 3D 2G 2


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Il reste des sommets non colors, onretourne l'tape 2On affecte une couleur "2" au sommet Bainsi qu' chaque sommet non encorecolor, et non adjacent un sommet decette couleur. On affecte donc cettecouleur D et GSommet Degr Couleur

attribueE 4 1A 3 1B 3 2 C 3F 3D 2 2G 2 2

Il reste des sommets non colors, onretourne l'tape 2On affecte une couleur "3" au sommet Cainsi qu' chaque sommet non encorecolor, et non adjacent un sommet decette couleur. On affecte donc cettecouleur FSommet Degr Couleur

attribueE 4 1A 3 1B 3 2

C 3 3F 3 3D 2 2G 2 2

Les sommets tant tous colors, l'algorithme s'arrte, et on a ainsi utilis trois couleurs pour colorier le graphe

6) Graphes pondrs

Dfinitions :On appelle Graphe pondr un graphe dont les artes sont affects dun nombreappel poids.On appelle poids dune chane la somme des poids des artes qui la composent .

Une plus courte chane entre deux sommets est, parmi toutes les chanes qui lesrelient, une chane de poids minimum.Ainsi, pour se rendre de E B sur le graphe ci-dessous, on peut effectuer lechemin E-A-B, de poids gal 11+8=19 ou le chemin E-F-G-B de poids gal 2+9+6=17. Il semble donc que la chane la plus courte entre E et B soit de poidsgal 17.

Existe-t-il un moyen de dterminer la plus courte chane entre deux sommets d'un graphe ?


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La rponse est positive, sous la forme de :Algorithme de Dijkstra :Cet algorithme est valable lorsque les poids sont tous positifs (ce qui constitue la majorit des cas)Nous allons illustrer cet algorithme l'aide d'un exemple (tableaux et graphique), et en expliquer les tapes au fumesure (en bleu)Un voyageur souhaite se rendre de Marseille au Futuroscope en train.D'une carte du rseau TGV, il a extrait le schma ci-contre :

Les guides donnent par ailleurs les temps suivants :Marseille Lyon : 1h50 Lyon Paris : 2h15 St Pierre des corps Futuroscope : 30 'Marseille Paris :3h Lyon St Pierre des corps : 3h Futuroscope - Bordeaux : 2h10Marseille -Toulouse : 3h Paris St Pierre des corps : 1h Toulouse Bordeaux : 2h10

Il semble naturel de porter sur le schma prcdent les indications fournies par le tableau.(On crira M pour Marseille ; L pour Lyon ; P pour Paris ; Spour St Pierre des corps ; F pour Futuroscope ; B pourBordeaux, et T pour Toulouse).

On appelle l'ensemble dans lequel on met les sommets au fur et mesure de leur marquage dfinitif.Le voyageur, partant de Marseille, peut se rendre directement Paris (3h), Lyon (1h50), ou Toulouse (3h). Ilces indications sur son schma, en indiquant de plus pour chacune de ces villes linitiale de la ville de laquelle il vien

On attribue au sommet M le couple (0,M) A chaque sommet X on associe le couple : (dist(X), P(X)), dans lequel dist(X) reprsente la distance (provisoidfinitive) de M X, et P(X) le prdcesseur de X.On attribue aux autres sommets le couple (+ , ?)Ces trois villes seront dites provisoirement marques .

On place M dans . Une fois qu'un sommet est plac dans , on noircit le reste de la colonne le concernant

M L P S F B T

M-> (1h50,M) (3h,M) ( );? ( );? ( );? (3h,M) ={M}

Le temps le plus court inscrit cette tape est 1h50 (si lon excepte, bien entendu, 0 pour Marseille).Aucune autre ville ntant accessible depuis Marseille en un temps plus court, on peut assurerquaucun autre trajet,passant par une autre ville, ne relie Marseille Lyon en un temps plus court. 1h50 est le temps minimum dun trajetMarseille-Lyon.Ce temps sera appeldistance de Marseille Lyon , et notdist(L) . Lyon sera ditemarque dfinitivement.Notre voyageur peut alors considrer les villes accessibles depuis Lyon : pour chacune, trois cas peuvent se prsente- Cette ville X ntait pas provisoirement marque : on la marquera provisoirement du temps (dist(L)+poids de l

[LX]).- Cette ville tait dj provisoirement marque, mais le temps (dist(L)+poids de larte [LX]) est infrieur au tem

marquage provisoire : on le remplace.- Cette ville tait dj provisoirement marque, et le temps (dist(L)+poids de larte [LX]) est suprieur au tem

marquage provisoire : on garde le marquage provisoire.


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Autrement dit :Tant que tous les sommets ne sont pas dans , ou que le sommet F nest pas affect de la plus petite distance provisoire :- Choisir parmi les sommets nappartenant pas un de ceux dont la distance provisoire est minimale. Soit X ce

sommet.- Mettre X dans .- Pour chacun des sommets Yi qui lui sont adjacents et qui ne sont pas dans - Calculer s=distance de X + poids de larte [XYi]- Si s est infrieur la distance provisoire de Yi, attribuer Yi le couple (s, X)

Dans notre exemple, les temps pour Paris et Toulouse restent inchangs, et un temps pour Saint Pierre des Corps app

M L P S F B T M-> (1h50,M) (3h,M) ( );? ( );? ( );? (3h,M) ={M }

L-> (on recopie letemps au dessus)(3h,M)et on compare autemps en

provenance deLyon, c'est dired(L)+[LP]1h50+2h15= 4h05Puisque 4h05>3h,on garde (3h,M)

d(L)+[LS]=1h50+3h=4h50(marquageprovisoire)

( );? ( );? on recopie letemps audessus)(3h,M)Il reste

inchang car onne peut pasralier Lyon etToulouse

={M,L }

A ce stade, parmi les villes provisoirement marques, Paris et Toulouse ont les distances minimales (3h).Paris, par exemple, ne pourra donc pas tre relie Marseille en moins de 3 heures.Paris est donc marque dfinitivementLe mme raisonnement que prcdemment conduit modifier le temps de St Pierre des Corps, puisque dist(P)+polarte[PS]=4h, et que 4h


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M L P S F B T M-> (1h50,M) (3h,M) ( );? ( );? ( );? (3h,M) ={M}

L-> (3h,M) (4h50,L) (marquageprovisoire)

( );? ( );? (3h,M) ={M,L }

P-> Puisqued(P)+[PS]=3h+1h

=4h (1h50,M) (3h,M) ( );? ( );? ( );? (3h,M) ={M}

L-> (3h,M) (4h50,L) ( );? ( );? (3h,M) ={M,L }P-> (4h,P) ( );? ( );? (3h,M) ={M,L,P }

(4h,P) ( );? (5H10,T) T->

={M,L,P,T }

St Pierre des Corps est marque dfinitivement. Apparat un temps provisoires pour Le FuturoscopeM L P S F B T M-> (1h50,M) (3h,M) ( );? ( );? ( );? (3h,M) ={M}


(4h,P) ( );? (5H10,T) T-> ={M,L,P,T }S-> (4h30,S) (5H10,T) ={M,L,P,T,

S}

Le Futuroscope est marqu dfinitivement.M L P S F B T M-> (1h50,M) (3h,M) ( );? ( );? ( );? (3h,M) ={M}



S}F-> (5H10,T) ={M,L,P,T,

S,F }


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Le Futuroscope a t marqu (dfinitivement) avant Bordeaux : le temps pour atteindre Bordeaux tant suprieur mis pour atteindre Poitiers par un autre trajet, il est inutile denvisager de passer par Bordeaux.M L P S F B T M-> (1h50,M) (3h,M) ( );? ( );? ( );? (3h,M) ={M}



S}F-> (5H10,T) ={M,L,P,T,

S,F }

La longueur du plus court chemin de M F est la distance de F. La chane de poids minimum se lit " l'envers", de F chacun des prdcesseurs successifs.

Remarque : ici lalgorithme se termine alors quun des sommets na pas t marqu dfinitivement (Bordeaux). vient du fait que le temps trouv pour le Futuroscope (extrmit du chemin cherch) est infrieur aux temps eprovisoires restant (Bordeaux : 5h10). On peut alors tre certain que le passage par Bordeaux nest pas intressant, le chemin optimal ne passera pas par cette ville.La lecture inverse des prdcesseurs donne successivement : (4h30,S) ; (4h,P) ; (3h,M) .Le chemin optimal est donc Marseille- Paris-Saint-Pierre des Corps- Futuroscope

On dmontre que cet algorithme donne un chemin minimal


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7) Graphes probabilistes

Introduction :Lorsque lon rpte plusieurs fois une exprience nayant que deuxissues A et B, indpendantes ou non, on obtient unarbre de probabilits conditionnelles de la forme :

On voit vite les limites dune telle reprsentation, ds que les preuves se rptent plus de 4 fois !

Cependant, larbre de probabilit suivant :

peut tre vu comme un grapheorient et pondr , de sommets A et B, de la forme :

Remarque :Sur ce graphe ne figurent que les probabilits conditionnelles dun vnement sachant un autre, et napparaissent pprobabilits simples des vnements A et B.

Dfinition :Un graphe probabiliste est un graphe orient pondr, tel que les poids figurant sur chaque arte est un nombre rlintervalle [0;1] et tel la somme des poids des artes issues dun mme sommet vaut 1.On dit que A et B sont les diffrentstats du systme. Le poids des arte reprsente la probabilit de passer dun tat uautre.


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Dfinition :Si on note n A A A A .....,,, 321 les sommets de ce graphe (reprsentant donc des vnements), la matrice carrenn danslaquelle le coefficient ija (situ lai

me ligne et la jme colonne) reprsente le poids de larte oriente ji A A , donc laprobabilit conditionnelle ) j A A p i est appel matrice de transition du graphe probabiliste.

Exemple :Dans lexemple ci-dessus, la matrice de transition du systme (o on a ordonn les points suivant lordre alphabtiqu

donc

Consquence :Supposons quune exprience alatoire dissues possibles A et B se rpten fois successivement, et que les probabilitsde ralisation initiale des vnements A et B soient )(0 A p p = et o p A p B pq === 1)(1)(0 . Supposons enfin queles probabilits conditionnelles soient celles dfinies plus haut. On a donc :

La probabilit de ralisation de lvnement A la 1me tape, note 1 p sera donc gale :

00001 51

31)1(

51

31 q p p p p +=+= . De la mme manire la probabilit de ralisation de lvnement A l

1me tape, 1q sera gale : 001 54

32

q pq += .

En utilisant la notation matricielle, si on note( )00 q p les deux probabilits de ltat initial, et si on note( )11 q p la

probabilit la 1re tape, on aura( ) ( )

=

54

51

32

31

0011 q pq p .

Si on note nPPP ,.....,, 21 les matrices lignes( )nn q p correspondant aux probabilits lanme

tape, et M la matrice detransition, on aura donc : M PP = 01 , M PP = 12 , etc et de manire gnrale M PP nn =+1 .

On en dduit par rcurrence que pour tout entiern, nn M PP = 0

Thorme :Soit un graphe probabiliste dordre 2 dont la matrice de transition ne comporte pas de 0.Alors- ltat nP converge vers un tatP indpendant de ltat initial0P - P est lunique solution de lquation matricielle M X X =

Remarque : X est la matrice inconnue.La rsolution de lquation matricielle se traduira par celle dun systme.

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