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Graphes simples orientes Operations sur les matrices adjacentes Graphes values La methode PERT/MPM

Graphes et ordonnancement

Laurent Debize

BTS SIO

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Graphes simples orientesGraphes : definitionsPredecesseurs – successeursMatrice adjacenteNiveau des sommets d’un grapheArborescence

Operations sur les matrices adjacentesSomme, produit et puissance des matricesSomme, produit et puissance booleens des matricesFermeture transitive d’un graphe

Graphes valuesDefinitionsChemin minimal – chemin maximal

La methode PERT/MPMDefinitionExemple 1Exemple 2

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Graphes simples orientesGraphe - representation sagittaleOn considere l’ensemble S = {A,B,C ,D} ou A, B, C et D sont 4 pointsdu plan.L’ensemble G = {(A,A); (A,B); (A,C ); (A,D); (B,D); (D,C ); (C ,B)},forme par des couples d’elements de S , definit un graphe oriente sur S.

A B

DC

Les couples de G sont representes par des arcs orientes. Le schemaci-dessus est la representation sagittale de G (ou representation parpoints et fleches).

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Sommets – arcs – chemin – longueur d’un chemin – boucle– circuit – chemin hamiltonien

DefinitionsPour la representation sagittale precedente :

• Les quatre elements A, B, C , D de S representes par des points sontappeles sommets

• Les couples de G sont appeles arcs

• (A,D) est un chemin de longueur 1 qui va de A a D et(A,B,D,C ) est un chemin de longueur 3 qui va de A a C

• Le chemin (A,A) est appele une boucle

• Le chemin (B,D,C ,B) est un circuit

• (A,B,D,C ) est un chemin de longueur 3 qui passe par tous lessommets du graphe, et ne passe qu’une fois par chacun d’eux :(A,B,D,C ) est un chemin hamiltonien

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Exercice 1

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Predecesseurs – successeurs

DefinitionsSi (A,B) est un arc d’un graphe alors on dira que A est un predecesseurde B et que B est un successeur de A.

L’ensemble des predecesseurs d’un sommet A est note Γ−(A) etl’ensemble des successeurs d’un sommet A est note Γ+(A).

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Predecesseurs – successeursExemple

A B

DC

Sommets Successeurs Γ+ Predecesseurs Γ−

A A, B, C, D AB D A,CC B A,DD C A,B

Γ−(A) = {A} et Γ+(A) = {A,B,C ,D}7/66


Exercice 2

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Matrice adjacenteA un graphe oriente peut etre associe un tableau booleen ou l’on note 1si deux sommets sont relies par un arc, 0 sinon.Exemple :

A B

DC

PredecesseursSuccesseurs

A B C D

A 1 1 1 1B 0 0 0 1C 0 1 0 0D 0 0 1 0

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Matrice adjacenteOn appelle alors matrice adjacente M associee au graphe pour lessommets A, B, C et D dans cet ordre, la matrice booleenne :

M =

1 1 1 10 0 0 10 1 0 00 0 1 0

Rappel :


A B C D

A 1 1 1 1B 0 0 0 1C 0 1 0 0D 0 0 1 0

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Exercice 3

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Niveaux des sommets d’un graphe

DefinitionOn appelle graphe simple oriente un graphe oriente ne contenant pasde circuit (et donc pas de boucles).

Un graphe simple oriente peut etre ordonne par niveaux.

DefinitionOn appelle sommets de niveau 0 dans un graphe simple oriente, lessommets qui n’ont pas de predecesseur.

Si l’on note S l’ensemble des sommets du graphe et S0 l’ensemble dessommets de niveau 0, on appellera sommets de niveau 1, les sommetsqui n’ont pas de predecesseur dans l’ensemble S \ S0 et ainsi de suite.

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Niveaux des sommets d’un grapheSoit le graphe defini par le tableau suivant :


A B C D E

A 0 0 0 1 1B 0 0 1 0 0C 0 0 0 0 0D 0 1 0 0 0E 0 1 1 0 0

Quels sont les predecesseurs de chaque sommet ?

Sommets PredecesseursA aucunB D, EC B, ED AE A

Le sommet A n’a pas de predecesseur, il est donc de niveau 0 etS0 = {A}.

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On retire tous les sommets de niveau 0 (c’est-a-dire A). Le tableau despredecesseurs des sommets restants est :

Sommets PredecesseursB D, EC B, ED aucunE aucun

Les sommets D et E n’ont pas de predecesseur dans S \ S0, ils sont doncde niveau 1 et S1 = {D,E}.

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On recommence en retirant tous les sommets de niveau 0 (A) et deniveau 1 (D et E) :

Sommets PredecesseursB aucunC B

Le sommet B n’a pas de predecesseur dans S \ (S0 ∪ S1), il est donc deniveau 2 et S2 = {B}.

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Et enfin, on retire tous les sommets de niveau 0 (A), de niveau 1 (D etE) et de niveau 2 (B) :

Sommets PredecesseursC aucun

Le sommet C n’a pas de predecesseur dans S \ (S0 ∪ S1 ∪ S2), il est doncde niveau 3 et S3 = {C}.

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On peut reunir toutes ces demarches en seul tableau en placant dans unmeme niveau les sommets qui n’ont pas de predecesseur et en barrantsuccessivement les sommets de niveaux deja trouves.

Sommets Predecesseurs Niveau 0 Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3A aucun AB D, E BC B, E CD A DE A E

Le sommet C n’a pas de predecesseur dans S \ (S0 ∪ S1 ∪ S2), il est doncde niveau 3 et S3 = {C}.

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On obtient donc le graphe oriente suivant, organise par niveaux :

A

D

E

B C

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Exercice 4

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Arborescence

DefinitionSoient G un graphe defini sur un ensemble S et O un sommet de S . Si :

• O est un sommet de niveau 0

• tout sommet M, different de O, n’a qu’un seul predecesseurdifferent de M

• il existe un chemin allant de O a M

alors on dira que G est une arborescence.

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ArborescenceExemple

O B

E

C

D


0 B C D E

O 0 1 0 0 1B 0 0 1 1 0C 0 0 0 0 0D 0 0 0 0 0E 0 0 0 0 0

RemarqueUne arborescence ne peut comporter ni boucle ni circuit.21/66






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Somme, produit et puissance des matrices

DefinitionsLes operations somme, produit et puissance des matrices ont ete definiesdans le cours de 1re annee chapitre � Calcul matriciel �. On les noteA + B, A× B et An.

ProprieteSoit M la matrice adjacente associee a un graphe.

Le coefficient mij de la matrice Mn indique le nombre de chemins delongueur n reliant le i-ieme predecesseur au j-ieme successeur.

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A B

DC

Exemple

Soit M =

1 1 1 10 0 0 10 1 0 00 0 1 0

la matrice adjacente associee au graphe :

1 1 1 10 0 0 10 1 0 00 0 1 0

M2 =

1 1 1 10 0 0 10 1 0 00 0 1 0

1 2 2 20 0 1 00 0 0 10 1 0 0

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A B

DC

1 1 1 10 0 0 10 1 0 00 0 1 0

M2 =

1 1 1 10 0 0 10 1 0 00 0 1 0

1 2 2 20 0 1 00 0 0 10 1 0 0

• m11 = 1 indique

qu’il existe 1 chemin de longueur 2 reliant A a A.

• m12 = 2 indiquequ’il existe 2 chemins de longueur 2 reliant A a B.

• m21 = 0 indiquequ’il existe 0 chemin de longueur 2 reliant B a A...

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A B

DC

1 1 1 10 0 0 10 1 0 00 0 1 0

M2 =

1 1 1 10 0 0 10 1 0 00 0 1 0

1 2 2 20 0 1 00 0 0 10 1 0 0

En lisant les lignes de M2 il existe :

• 1+2+2+2 chemins de longueur 2 partant de A,

• 1 chemin de longueur 2 partant de B, etc.

• et au total 10 chemins de longueur 2.

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A B

DC

1 1 1 10 0 0 10 1 0 00 0 1 0

M2 =

1 1 1 10 0 0 10 1 0 00 0 1 0

1 2 2 20 0 1 00 0 0 10 1 0 0

En lisant les colonnes de M2, il existe :

• 1+0+0+0 chemins de longueur 2 arrivant en A,

• 2+0+0+1 chemins de longueur 2 arrivant en B.

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M3 =

1 2 2 20 0 1 00 0 0 10 1 0 0

×

1 1 1 10 0 0 10 1 0 00 0 1 0

=

1 3 3 30 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Il existe :

• 1+3+3+3 chemins de longueur 3 partant de A,

• 1 chemin de longueur 3 partant de B,

• et au total 13 chemins de longueur 3,

• 1 chemin de longueur 3 arrivant en A,

• 4 chemins de longueur 3 arrivant en B...

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Exercice 5

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DefinitionsSoient M et M ′ deux matrices booleennes. La somme booleenne desmatrices M et M ′, notee M ⊕M ′, est la matrice obtenue en effectuant lasomme booleenne des coefficients de M et M ′.

On definit de facon analogue le produit matriciel booleen M ⊗M ′ et lapuissance n-ieme booleenne d’une matrice M, notee M [n] :M [n] = M ⊗M ⊗ . . .⊗M (M est presente n fois).

RappelPour les constantes booleennes 0 et 1 :

0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 · 0 = 0 1 · 0 = 0 1 · 1 = 1

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Exemple

Soient M =

(1 11 0

)et M ′ =

(1 10 1

)alors :

M ⊕M ′ =

(1 11 0

)⊕(

1 10 1

)=

(1 11 1

)M ⊗M ′ =

(1 11 0

)⊗(

1 10 1

)=

(1 11 1

)M [2] =

(1 11 0

)⊗(

1 11 0

)=

(1 11 1

)

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RemarquesSoit M une matrice carree quelconque. Alors :

1. On note M [1] la matrice booleenne qui lui est associee (enconservant les 0 et en remplacant chaque nombre non nul par 1).

2. Pour determiner M [n] on pourra :• soit determiner Mn = M ×M × . . .×M (M etant presente n fois)

puis prendre la matrice booleenne M [n] associee,• soit determiner directement M [n] = M [1] ⊗M [1] ⊗ . . .⊗M [1] (M [1]

etant presente n fois).

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Exemples

• Si M =

(0 23 1

)alors M [1] =

(0 11 1

).

• Si M =

(0 23 0

)alors M2 =

(0 23 0

)×(

0 23 0

)=

(6 00 6

)d’ou M [2] =

(1 00 1

)ou alors M [2] = M [1] ⊗M [1] =

(0 11 0

)⊗(

0 11 0

)=

(1 00 1

)

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ProprieteUn coefficient non nul de M [n] indique qu’il existe au moins un chemin delongueur n reliant deux points du graphe (propriete admise).

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Exercice 6

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A B

DC

Exemple

Reprenons M =

1 1 1 10 0 0 10 1 0 00 0 1 0

On cherche l’existence de chemins de longueur 2 :

M [2] = M⊗M =

1 1 1 10 0 0 10 1 0 00 0 1 0

⊗

1 1 1 10 0 0 10 1 0 00 0 1 0

=

1 1 1 10 0 1 00 0 0 10 1 0 0

Il existe des chemins :

• allant de A vers A, B, C et D,

• allant de B vers C, etc.

• il y a au total 7 couples de pointsque l’on peut relier par des chemins de longueur 2.

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ExempleOn cherche l’existence de chemins de longueur 3 :

M [3] = M [2]⊗M =

1 1 1 10 0 1 00 0 0 10 1 0 0

⊗

1 1 1 10 0 0 10 1 0 00 0 1 0

=

1 1 1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Il n’existe pas de chemin de longueur 3 allant de B vers A, C et D, etc.

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Exercice 7

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Fermeture transitive d’un graphe

DefinitionSoit un graphe G . On appelle fermeture transitive du graphe G , et nonnote G? le graphe obtenu en completant G de la facon suivante :s’il existe un chemin allant d’un certain X a un certain Y , alors onrajoute l’arc (X ,Y ) a G.

Remarques

• On rappelle que : chemin 6= arc

• On a evidemment : G ⊂ G?

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Fermeture transitive d’un grapheExempleOn considere le grapheG = {(A,A); (A,B); (A,C ); (A,D); (B,D); (D,C ); (C ,B)} defini surl’ensemble S = {A,B,C ,D}. Il est dessine en fleches pleines.

• On remarque le chemin (B,D,C ) : on rajoute donc l’arc (B,C )• On remarque le chemin (B,D,C ,B) : on rajoute donc l’arc (B,B)• On remarque le chemin (D,C ,B) : on rajoute donc l’arc (D,B), etc.• On obtient ainsi la representation de G? (fleches pleines et pointillees) :

A B

DC

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Exercice 8

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ProprieteSi G est un graphe simple oriente a n sommets de matrice M alors G? apour matrice adjacente :

M? = M ⊕M [2] ⊕ . . .⊕M [n]

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ExempleReprenons la matrice adjacente de la fermeture transitive du graphe G vuprecedemment. Le graphe comportant n = 4 sommets on calcule :

M? = M ⊕M [2] ⊕M [3] ⊕M [4]

=

1 1 1 10 0 0 10 1 0 00 0 1 0

⊕

1 1 1 10 0 1 00 0 0 10 1 0 0

⊕

1 1 1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1

⊕

1 1 1 10 0 0 10 1 0 00 0 1 0

=

1 1 1 10 1 1 10 1 1 10 1 1 1

On verifiera sur la figure precedente que (B,A), (C ,A) et (D,A) 6∈ G? .

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Exercice 9

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Definitions

DefinitionOn appelle graphe value un graphe dans lequel chaque arc est affected’une valeur.On appelle valeur d’un chemin la somme des valeurs des arcs qui lecomposent.

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DefinitionsExempleLe graphe simple oriente et value ci-dessous, ordonne par niveaux,indique la duree des trajets entre cinq villes A, B, C , D et E .

A

D

E

B C

9

5

3

4 7

2

• Le chemin (A,D,B,C ) a pour longueur 3 et pour valeur 14.

• Le chemin (A,E ,C ) a pour longueur 2 et pour valeur 12.

• Pour un graphe dont tous les arcs ont la valeur 1, la longueur d’unchemin et sa valeur sont identiques.47/66


Chemin minimal – chemin maximal

DefinitionParmi tous les chemins menant d’un sommet A a un sommet B, onappelle :

• chemin minimal un chemin dont la valeur est minimale

• chemin maximal un chemin sans circuit dont la valeur est maximale

• chemin optimal tout chemin minimal ou maximal

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Chemin minimal – chemin maximalExemple

A

D

E

B C

9

5

3

4 7

2

Pour aller de A a C :

• le chemin (A,D,B,C ), de longueur 3 et de valeur 14, est un cheminmaximal

• le chemin (A,E ,B,C ), de longueur 3 et de valeur 11, est un cheminminimal

• le chemin (A,E ,C ), de longueur 2 et de valeur 12, n’est pas un cheminoptimal

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Chemin minimal – chemin maximal

ProprieteTout chemin optimal est compose de chemins eux-memes optimaux.

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La methode PERT en deux mots

• PERT = Program Evaluation and Review Technique

• Methode d’ordonnancement et d’optimisation pour la realisationde projets comportant un grand nombre de taches.

• Creee en 1958 a la demande de la marine americaine, pour sonprogramme de missiles balistiques nucleaires miniaturises Polaris

• Objectif rattraper le retard sur l’URSS (projet avec 9000sous-traitants, 250 fournisseurs). Delai initial : 7 ans. Grace auPERT : 4 ans

• Utile pour planifier des travaux de construction de maisons, denavires, d’avions

• Utilise les graphes orientes decrivant des taches et des etapes

• Une methode similaire a ete inventee la meme annee par le FrancaisBernard Roy sous le nom de MPM pour � Methode des PotentielsMetra � pour l’usine de fabrication de villebrequins Mavilor.

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La methode MPM

DefinitionsOn appelle tache ou etape le deroulement dans le temps d’uneoperation.

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La methode MPM

Exemple 1La construction de 2 immeubles doit etre realisee a partir des 2 projetschoisis parmi 3 concus simultanement. La planification des travauxnecessite les taches ci-dessous :

a : conception du projet 1 (duree : 3 mois)

b : conception du projet 2 (duree : 3 mois)

c : conception du projet 3 (duree : 3 mois)

d : analyse et choix des 2 projets (duree : 15 jours)

e : realisation de l’immeuble 1 (duree : 4 mois)

f : realisation de l’immeuble 2 (duree : 7 mois)

g : reception des travaux / reprise de finitions (duree : 1 mois)

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La methode MPM

Exemple 1Le graphe MPM correspondant, exprime en mois, est donne ci-dessous :

Debut b : 3

a : 3

c : 3

d : 0,5 e : 4

f : 7

g : 1 Fin

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La methode MPM

Remarques

• Une tache est representee par un rectangle dans lequel on indique lenom de la tache et la duree de realisation de celle-ci. Le positionnementdes taches doit respecter les niveaux du graphe.

• Les contraintes d’anteriorite sont representees par des fleches. Lesfleches sont de duree nulle.

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La methode MPMExemple 2Pour la conception et la realisation d’un nouveau produit une entrepriseestime qu’elle doit realiser les 10 taches a, b, c, d, e, f, g, h, j et k entenant compte de l’ordre et des durees indiquees ci-dessous :

Taches Duree des taches en jours Taches anterieuresa 1 -b 2 -c 6 dd 3 -e 4 af 1 bg 4 f, jh 5 g, cj 3 ak 6 e

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La methode MPMPour optimiser les temps de realisation, on procede par etapes.

Etape 1 : On ordonne les taches par niveaux

Taches Taches anterieures niveau 0 niveau 1 niveau 2 niveau 3a - ab - bc d cd - de a ef b fg f, j gh g, c hj a jk e k

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La methode MPMEtape 2 : On represente le graphe associeLes taches sont classees par niveaux.

Debut b : 2

a : 1

d : 3

j : 3

e : 4

f : 1

c : 6

k : 6

g : 4 h : 5 Fin

Les taches de niveau 0 doivent provenir d’une tache � Debut � de duree nulle.

Les taches finales doivent se rejoindre en une meme tache de duree nulle.

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La methode MPM

Etape 3 : dates au plus tot et au plus tardDate au plus tot : date de debut au plus tot de la tache.Date au plus tard : date de debut au plus tard de la tache.Ces dates sont indiquees sur chaque tache.

TacheDate au plustot

Date au plustard

Pour la tache � Debut � ces dates sont nulles.

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La methode MPMEtape 3.1 : Date de debut au plus tot d’une tache.Pour chaque etape c’est la longueur du plus long chemin pour y arriver.

Debut

0 | 0

b : 2

0 | . . .

a : 1

0 | . . .

d : 3

0 | . . .

j : 3

1 | . . .

e : 4

1 | . . .

f : 1

2 | . . .

c : 6

3 | . . .

k : 6

5 | . . .

g : 4

4 | . . .h : 5

9 | . . .Fin

14 | . . .

Le plus long chemin pour arriver a tache g est (a, j) : 4 = 1 + 3Le plus long chemin pour arriver a tache h est (d, c) : 9 = 3 + 6Le projet peut etre realise en 14 jours.

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La methode MPM

Etape 3.2 : Date de debut au plus tard d’une tacheC’est la date au-dela de laquelle le projet ne peut avoir que du retard.

• Pour l’etape terminale la date de debut au plus tard est egale a ladate de debut au plus tot.

• Pour les autres etapes les dates se calculent en partant de la fin dureseau, de la maniere suivante :Pour une tache quelconque i , le debut au plus tard est la difference :duree de tache terminale – (duree du plus long chemin pour aller dela tache i a tache finale).

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La methode MPMEtape 3.2 : Date de debut au plus tard d’une tacheOn obtient ainsi le graphe :

Debut

0 | 0

b : 2

0 | 2

a : 1

0 | 1

d : 3

0 | 0

j : 3

1 | 2

e : 4

1 | 4

f : 1

2 | 4

c : 6

3 | 3

k : 6

5 | 8

g : 4

4 | 5

h : 5

9 | 9

Fin

14 | 14

La duree du plus long chemin pour relier les taches a et Fin est 13 : 14− 13 = 1

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La methode MPMEtape 4 : determination du chemin critiqueLe chemin critique est le chemin pour lequel tout retard pris sur l’une des taches entraıneun retard dans la realisation du projet.

C’est le chemin sur lequel les dates de debut au plus tot sont egales aux dates de debut auplus tard (en rouge ci-dessous).

Debut

0 | 0

b : 2

0 | 2

a : 1

0 | 1

d : 3

0 | 0

j : 3

1 | 2

e : 4

1 | 4

f : 1

2 | 4

c : 6

3 | 3

k : 6

5 | 8

g : 4

4 | 5

h : 5

9 | 9

Fin

14 | 14

Le chemin critique est donc (d , c , h).

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La methode MPM

Etape 5 : determination des marges d’une tache

• On appelle marge totale d’une tache le retard maximal que cettetache peut prendre sans que le projet global ne soit retarde.Marge totale = date au plus tard - date au plus tot

Exemple : marge totale de la tache f : 4− 2 = 2 jours.

• On appelle marge libre d’une tache le retard maximal que cettetache peut prendre sans que les taches suivantes ne soientretardees.Marge libre = plus petite des dates au plus tot des tachesimmediatement suivantes - fin au plus tot de la tache consideree.Exemple : marge libre de la tache f : 4− (2 + 1) = 1 jour.

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Exercices

• Metropole 2015 : exercice 1

• Metropole 2014 : exercice 1

• Polynesie 2013 : exercice 2

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