GRANDEURS ET MESURES

LE NOMBRE AU CYCLE 2 (2008) – PARTIE 4

DOCUMENTS D’ACCOMPAGNEMENT DES PROGRAMMES 2002

Apporter un éclairage sur les relations entre nombres et mesure

Nécessité de construire d’abord la grandeur indépendamment du

mesurage et du recours au nombre

COMPARER , COMPTER, MESURER

Domaine de la mesure

Notions numériques

Notions géométriques

DEVELOPPEMENT DES CONCEPTS

Situations familières

(sources de problèmes)

Comparaison sans mesurage

Directe de 2 objets Indirecte avec un

objet intermédiaire

Avec mesurage

Fait correspondre un nombre à la

grandeur

Comparaison directe sans mesurer

Comparaison indirecte (avec un outil intermédiaire)

Comparaison indirecte (avec un outil intermédiaire)

Comparaison indirecte (avec un outil intermédiaire)

LES ACTIVITES DE COMPARAISON

• Elles sont essentielles

• Elles donnent accès à la notion de grandeur en considérant une ou plusieurs qualités de l’objet:

• Par exemple pour un ballon: sa masse, son volume, son diamètre…

COMPARAISON AVEC MESURAGE

• Le mesurage c’est:

• Utiliser un référent (étalon, grandeur unité)

• Sectionner, couper, transformer la grandeur à mesurer en petits morceaux tous égaux (l’unité)

• Compter, calculer, dénombrer

• Choisir des unités qui dépendent de l’objet, de sa grandeur pour communiquer avec des références communes

Reporter un étalon

DIFFICULTES RENCONTREES PAR LES ELEVES

Mesurage d’une grandeur discrète (ex :

billes)

→ ON COMPTE

Mesurage d’une grandeur continue

(ex : un segment)

→ ON MESURE

Difficultés rencontrées

Les « uns » se voient :

chaque bille

Les « uns » ne se voient pas :

un segment de 3 cm Liées à la perception des unités (cm)

Les « uns » sont entiers, ils ne fusionnent

pas

Les « uns » fusionnent (sans

chevauchement, sans espacement)

Liées au matériel : les bandes-unités

peuvent se chevaucher lors des

manipulations

Le « un » est associé au pointage Le « un » est associé à un intervalle L’E compte les graduations au lieu des

intervalles

On commence à compter par 1 On repère à partir de 0 Erreurs nombreuses

On trouve toujours un nombre entier

« ça ne tombe pas toujours juste » :

tolérance, incertitude… le nombre n’est

pas toujours entier

Difficulté à donner une mesure

approchée, non exacte (encadrement de

la mesure)

Accord entre cardinal et ordinal Cardinal « en retard » sur l’ordinal

Le nombre de graduations est > à celui

des intervalles (la graduation 12 =

l’entrée dans le 13e cm)

Il n’y a rien entre deux nombres Sur les instruments de mesure, rien entre

deux graduations-nombres

Il y a une infinité de longueurs dont la

mesure est comprise entre deux

nombres

Les unités ne se coupent pas Les unités peuvent se couper en sous-

multiples

Changement d’unités

Conversions

QUELQUES DIFFICULTES DANS LA CONSTRUCTION DU CONCEPT DE

GRANDEUR

De la grandeur perçue à la grandeur mesurée

• Estimation tributaire de ses perceptions et de ses affects => notions subjectives

• Il faut donc introduire un deuxième terme de comparaison

• Puis un objet unité

Les premiers outils de mesurage

• Le matériel peut faire apparaître des ambiguïtés: confusion entre longueur et aire de la bande mesure-étalon

• Dans une première approche de la longueur, ne pas avoir de graduations, mais des références à l’unité:

1 1 1 1 1 1

Le langage

• Lever les ambiguïtés de langage en associant contexte et lexique spécifique à chaque grandeur: long, court, avant, après concernent aussi bien les longueurs et les durées

Grandeur et vie courante

• On s’appuie sur une perception des situations de la vie courante.

• Il faut s’appuyer sur des repères « forts » de la vie courante

• Difficulté pour l’estimation d’une grandeur donnée (cf tableau suivant)

Type d’exercice présent aux évaluations CE1

Hauteur d’un immeuble 20 cm 20 m

Longueur d’un crayon 15 cm 15 m

Prix d’une bouteille de jus d’orange 3 € 3 centimes

Coût d’un vélo 100 centimes 100 €

Poids d’une vache 500 kg 500 g

Les élèves doivent mettre en relation leurs expériences de vie courante, leur connaissance des nombres et les unités en jeu, sans passage par le mesurage.

SITUATIONS ILLUSTRANT LES PROPRIETES DES NOMBRES ET LES RELATIONS ENTRE LES UNITES

Différenciation chiffre/nombre

Ex: pour avoir 453€, trouver le nombre de billets de 100, de 10 et de pièces de 1€

4,5 et 3 ont le statut de chiffres pour la position et de nombres pour le résultat des groupements (4 centaines)

Conversions m/cm cts/€ kg/g km/m

• De gauche à droite, chaque chiffre indique une unité 10 fois plus grande que celui de droite

• Cette propriété est une des base de la compréhension des techniques opératoires et constitue la cohérence entre nombre et unité

• Utilisation du mot chiffre pour nombre est source de confusion

Résolution de problèmes

• Articulation système décimal/unités de grandeurs

• Spontanément, les élèves ont du mal à utiliser leurs connaissances du système décimal pour résoudre des problèmes de grandeurs et de mesures. Tableau de correspondances:

Champ des nombres (934)

Champ des objets (grandeur discrète) (934 objets)

Champ des grandeurs (934 cm)

Désignation de position: le nom des chiffres

Centaine Dizaine Unité

idem idem

Désignation du nombre qui représente chacun des groupements lorsque tout est groupé

9 centaines 3 dizaines 4 unités

9 centaines d’objets, 3 dizaines d’objets, 4 unités d’objets 9c 3d 4u

9m 3 dm 4 cm

Désignation de la valeur

9 paquets de 100 3 paquets de 10 4 unités

9 paquets de 100 objets 3 paquets de 10 objets 4 objets

9 fois 100 cm 3 fois 10 cm 4 cm

Désignation dans une autre unité

93 est le nombre de dizaines lorsque l’unité est la dizaine

93 est le nombre de dizaines d’objets lorsque l’unité est la dizaine d’objet

93 est le nombre de dm si la mesure est exprimée en dm

Gestion de différents champs Les élèves présentent des difficultés à utiliser leurs

connaissances hors contexte c-à-d en changeant de champ

On veut couper une bande de 250m

de tissu en rubans de 10cm.

Combien aura-t-on de rubans ?

Combien de dizaines dans 250 ?

On veut couper une bande de 250m de

tissu en rubans de 10cm. Combien

aura-t-on de rubans ?

Combien de dizaines dans 250 ?

Le statut de la multiplication

L’addition est une opération interne

• L’addition agit sur des nombres de même statut pour donner un résultat de même statut:

• Billes+billes = billes

• Cm + cm = cm

La multiplication est interne sur les nombres mais pas sur les grandeurs

• Nbre x nbre = nbre

• Nbre x grandeur = grandeur

• Grandeur x grandeur = autre grandeur

• Ceci est un obstacle à la commutativité: 3X4m = 4X3m

RELATION ENTRE SYSTEME DECIMAL ET UNITES DE GRANDEURS: UN OUTIL DE REFERENCE POUR LES CYCLES

• Construire dans l’école un système de référence comme par exemple la tableau suivant:

Evolution des évaluations depuis 2005 dans le

domaine Grandeurs et Mesure

ACTIVITES POUR LE CYCLE 2 (ACTIVITES POUR LE CYCLE 2

(1) 1)

de la grandeur perçue…

distinguer la grandeur en question d’autres grandeurs ;

comprendre ce qu’est la grandeur choisie pour l’objet en question en appréhendant ses variations, notamment par comparaisons ;

percevoir dans certains cas la nécessité d’utiliser un outil intermédiaire

Percevoir la transitivité pour ordonner.

ACTIVITES POUR LE CYCLE 2 (ACTIVITES POUR LE CYCLE 2

(1) 1)

…à la grandeur mesurée utiliser une grandeur-étalon utiliser des outils de mesure construire et utiliser des instruments de mesure

dénombrer à partir d’une grandeur-étalon, introduire les nombres ;

réaliser la mesure par des calculs utiliser des unités usuelles pour que tout le monde "se

comprenne " être capable d’estimer une mesure faire quelques relations entre les unités usuelles

REPERES POUR UNE PROGRAMMATION D’ECOLE

REPERES BIBLIOGRAPHIQUES

• 50 activités pour mesurer les longueurs au cycle2 – N Hansel – CRDP de Lorraine - 2005

• Enseigner les mathématiques à l’école primaire: géométrie, grandeurs et mesures: formation initiale et continue des professeurs des écoles – A Noirfalise – Y Matheron – Vuibert 2009

• Travailler par cycles de la PS au CM2 en mathématiques – Ch Mettoudi, A Yaïche – Hachette Edition 1992

• Cheminement en maternelle – collection l’école au quotidien – G Meyer, D Larois, E l’Heritier- Hachette Edition – 1991

• Se former pour enseigner les Maths, tome 2,Grandeurs et Mesure, M Pauvert, M Fénichel, Bordas

• De la construction mathématique à sa représentation – GS - L Baron – Magnard 1995