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Grammaire formelle et hi´ erarchie de Chomsky ´ Edouard Bonnet F´ evrier 2013, S´ eminaire ´ Emeric M. Tourniaire ´ Edouard Bonnet Grammaire formelle et hi´ erarchie de Chomsky
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Grammaire formelle et hierarchie de Chomsky
Edouard Bonnet
Fevrier 2013, Seminaire Emeric M. Tourniaire
Edouard Bonnet Grammaire formelle et hierarchie de Chomsky
Grammaire formelle
Une grammaire G :
alphabet T : ensemble de terminauxalphabet N : ensemble de variablesR : ensemble de regles de transformation x → y avecx ∈ (T ∪ N)∗N(T ∪ N)∗ et y ∈ (T ∪ N)∗
S ∈ N : axiomeOn notera Σ = T ∪ N
Edouard Bonnet Grammaire formelle et hierarchie de Chomsky
Grammaire formelle
Une grammaire G :alphabet T : ensemble de terminaux
alphabet N : ensemble de variablesR : ensemble de regles de transformation x → y avecx ∈ (T ∪ N)∗N(T ∪ N)∗ et y ∈ (T ∪ N)∗
S ∈ N : axiomeOn notera Σ = T ∪ N
Edouard Bonnet Grammaire formelle et hierarchie de Chomsky
Grammaire formelle
Une grammaire G :alphabet T : ensemble de terminauxalphabet N : ensemble de variables
R : ensemble de regles de transformation x → y avecx ∈ (T ∪ N)∗N(T ∪ N)∗ et y ∈ (T ∪ N)∗
S ∈ N : axiomeOn notera Σ = T ∪ N
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Grammaire formelle
Une grammaire G :alphabet T : ensemble de terminauxalphabet N : ensemble de variablesR : ensemble de regles de transformation x → y avecx ∈ (T ∪ N)∗N(T ∪ N)∗ et y ∈ (T ∪ N)∗
S ∈ N : axiomeOn notera Σ = T ∪ N
Edouard Bonnet Grammaire formelle et hierarchie de Chomsky
Grammaire formelle
Une grammaire G :alphabet T : ensemble de terminauxalphabet N : ensemble de variablesR : ensemble de regles de transformation x → y avecx ∈ (T ∪ N)∗N(T ∪ N)∗ et y ∈ (T ∪ N)∗
S ∈ N : axiome
On notera Σ = T ∪ N
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Grammaire formelle
Une grammaire G :alphabet T : ensemble de terminauxalphabet N : ensemble de variablesR : ensemble de regles de transformation x → y avecx ∈ (T ∪ N)∗N(T ∪ N)∗ et y ∈ (T ∪ N)∗
S ∈ N : axiomeOn notera Σ = T ∪ N
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Derivations et langage d’une grammaire
Une derivation : S → . . .→ uxv → uyv → . . .→ wL(G) = {w ∈ T ∗ | S →∗ w}
Edouard Bonnet Grammaire formelle et hierarchie de Chomsky
Derivations et langage d’une grammaire
Une derivation : S → . . .→ uxv → uyv → . . .→ w
L(G) = {w ∈ T ∗ | S →∗ w}
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Derivations et langage d’une grammaire
Une derivation : S → . . .→ uxv → uyv → . . .→ wL(G) = {w ∈ T ∗ | S →∗ w}
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Un exemple
T = {(; )}N = {S}R = {S → (S)S; S → ε}
L(G) = ?
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Un exemple
T = {(; )}N = {S}R = {S → (S)S; S → ε}
L(G) = D1
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Langue naturelle
P → GsVsCP → GpVpCGp → Gt et GsGt → Gt , GsGt → GsGs → AmNmGs → Af NfAm → [un|le|ce]Af → [une|la|cette]Nm → [chat|chien|jardin]Nf → [niche]V → [mange|court]Vp → [mangent|courent]C → dans Gs
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Grammaire generale
Type 0 : langages recursivement enumerables
expressivite d’une machine de Turingretourner les regles : w →∗ S(q, a)→ (q′, b, ↑) devient qa→ q′b(q, a)→ (q′, b,→) devient qa→ bq′
(q, a)→ (q′, b,←) devient cqa→ q′cb pour tout c ∈ Σ.
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Grammaire generale
Type 0 : langages recursivement enumerablesexpressivite d’une machine de Turing
retourner les regles : w →∗ S(q, a)→ (q′, b, ↑) devient qa→ q′b(q, a)→ (q′, b,→) devient qa→ bq′
(q, a)→ (q′, b,←) devient cqa→ q′cb pour tout c ∈ Σ.
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Grammaire generale
Type 0 : langages recursivement enumerablesexpressivite d’une machine de Turingretourner les regles : w →∗ S
(q, a)→ (q′, b, ↑) devient qa→ q′b(q, a)→ (q′, b,→) devient qa→ bq′
(q, a)→ (q′, b,←) devient cqa→ q′cb pour tout c ∈ Σ.
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Grammaire generale
Type 0 : langages recursivement enumerablesexpressivite d’une machine de Turingretourner les regles : w →∗ S(q, a)→ (q′, b, ↑) devient qa→ q′b
(q, a)→ (q′, b,→) devient qa→ bq′
(q, a)→ (q′, b,←) devient cqa→ q′cb pour tout c ∈ Σ.
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Grammaire generale
Type 0 : langages recursivement enumerablesexpressivite d’une machine de Turingretourner les regles : w →∗ S(q, a)→ (q′, b, ↑) devient qa→ q′b(q, a)→ (q′, b,→) devient qa→ bq′
(q, a)→ (q′, b,←) devient cqa→ q′cb pour tout c ∈ Σ.
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Grammaire generale
Type 0 : langages recursivement enumerablesexpressivite d’une machine de Turingretourner les regles : w →∗ S(q, a)→ (q′, b, ↑) devient qa→ q′b(q, a)→ (q′, b,→) devient qa→ bq′
(q, a)→ (q′, b,←) devient cqa→ q′cb pour tout c ∈ Σ.
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Grammaire contextuelle
Seules les regles uXv → uwv sont autorisees, avec X ∈ N etu, v , w ∈ Σ∗
Type 1 : langages contextuelsexpressivite d’une machine de Turing a espace lineaireUne derivation ne fait qu’augmenter la taille du mot
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Grammaire contextuelle
Seules les regles uXv → uwv sont autorisees, avec X ∈ N etu, v , w ∈ Σ∗
Type 1 : langages contextuels
expressivite d’une machine de Turing a espace lineaireUne derivation ne fait qu’augmenter la taille du mot
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Grammaire contextuelle
Seules les regles uXv → uwv sont autorisees, avec X ∈ N etu, v , w ∈ Σ∗
Type 1 : langages contextuelsexpressivite d’une machine de Turing a espace lineaire
Une derivation ne fait qu’augmenter la taille du mot
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Grammaire contextuelle
Seules les regles uXv → uwv sont autorisees, avec X ∈ N etu, v , w ∈ Σ∗
Type 1 : langages contextuelsexpressivite d’une machine de Turing a espace lineaireUne derivation ne fait qu’augmenter la taille du mot
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Grammaire non contextuelle
Seules les regles X → w sont autorisees, avec X ∈ N etw ∈ Σ∗
Type 2 : langages algebriquesexpressivite d’un automate a pile{anbncn | n ∈ N} contextuel non algebrique
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Grammaire non contextuelle
Seules les regles X → w sont autorisees, avec X ∈ N etw ∈ Σ∗
Type 2 : langages algebriques
expressivite d’un automate a pile{anbncn | n ∈ N} contextuel non algebrique
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Grammaire non contextuelle
Seules les regles X → w sont autorisees, avec X ∈ N etw ∈ Σ∗
Type 2 : langages algebriquesexpressivite d’un automate a pile
{anbncn | n ∈ N} contextuel non algebrique
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Grammaire non contextuelle
Seules les regles X → w sont autorisees, avec X ∈ N etw ∈ Σ∗
Type 2 : langages algebriquesexpressivite d’un automate a pile{anbncn | n ∈ N} contextuel non algebrique
Edouard Bonnet Grammaire formelle et hierarchie de Chomsky
Automate
q0 q1
q2
a a
a
b bb
L = {w | |w |b ≡ 1[3]}
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Automate
q0 q1
q2
a a
a
b bb
L = {w | |w |b ≡ 1[3]}
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Automate a pile
q
ε; # : ε
a; : a
b; a : ε #
aaa
w=aaabbababb
L = {w | |w |a = |w |b ∧ ∀w ′ ∈ pref (w), |w ′|a > |w ′|b}
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Automate a pile
q
ε; # : ε
a; : a
b; a : ε #
a
aa
w=aaabbababb
L = {w | |w |a = |w |b ∧ ∀w ′ ∈ pref (w), |w ′|a > |w ′|b}
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Automate a pile
q
ε; # : ε
a; : a
b; a : ε #
aa
a
w=aaabbababb
L = {w | |w |a = |w |b ∧ ∀w ′ ∈ pref (w), |w ′|a > |w ′|b}
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Automate a pile
q
ε; # : ε
a; : a
b; a : ε #
aaa
w=aaabbababb
L = {w | |w |a = |w |b ∧ ∀w ′ ∈ pref (w), |w ′|a > |w ′|b}
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Automate a pile
q
ε; # : ε
a; : a
b; a : ε #
aa
a
w=aaabbababb
L = {w | |w |a = |w |b ∧ ∀w ′ ∈ pref (w), |w ′|a > |w ′|b}
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Automate a pile
q
ε; # : ε
a; : a
b; a : ε #
a
aa
w=aaabbababb
L = {w | |w |a = |w |b ∧ ∀w ′ ∈ pref (w), |w ′|a > |w ′|b}
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Automate a pile
q
ε; # : ε
a; : a
b; a : ε #
aa
a
w=aaabbababb
L = {w | |w |a = |w |b ∧ ∀w ′ ∈ pref (w), |w ′|a > |w ′|b}
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Automate a pile
q
ε; # : ε
a; : a
b; a : ε #
a
aa
w=aaabbababb
L = {w | |w |a = |w |b ∧ ∀w ′ ∈ pref (w), |w ′|a > |w ′|b}
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Automate a pile
q
ε; # : ε
a; : a
b; a : ε #
aa
a
w=aaabbababb
L = {w | |w |a = |w |b ∧ ∀w ′ ∈ pref (w), |w ′|a > |w ′|b}
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Automate a pile
q
ε; # : ε
a; : a
b; a : ε #
a
aa
w=aaabbababb
L = {w | |w |a = |w |b ∧ ∀w ′ ∈ pref (w), |w ′|a > |w ′|b}
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Automate a pile
q
ε; # : ε
a; : a
b; a : ε #
aaa
w=aaabbababb
L = {w | |w |a = |w |b ∧ ∀w ′ ∈ pref (w), |w ′|a > |w ′|b}
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Automate a pile
q
ε; # : ε
a; : a
b; a : ε
#
aaa
w=aaabbababb
L = {w | |w |a = |w |b ∧ ∀w ′ ∈ pref (w), |w ′|a > |w ′|b}
Edouard Bonnet Grammaire formelle et hierarchie de Chomsky
Automate a pile
q
ε; # : ε
a; : a
b; a : ε
#
aaa
w=aaabbababb
L = {w | |w |a = |w |b ∧ ∀w ′ ∈ pref (w), |w ′|a > |w ′|b}
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Grammaire reguliere
Seules les regles X → Ya sont autorisees, avec X , Y , Z ∈ Net a ∈ T
Type 3 : langages reguliersexpressivite d’un automateD1 algebrique non regulier
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Grammaire reguliere
Seules les regles X → Ya sont autorisees, avec X , Y , Z ∈ Net a ∈ TType 3 : langages reguliers
expressivite d’un automateD1 algebrique non regulier
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Grammaire reguliere
Seules les regles X → Ya sont autorisees, avec X , Y , Z ∈ Net a ∈ TType 3 : langages reguliersexpressivite d’un automate
D1 algebrique non regulier
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Grammaire reguliere
Seules les regles X → Ya sont autorisees, avec X , Y , Z ∈ Net a ∈ TType 3 : langages reguliersexpressivite d’un automateD1 algebrique non regulier
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Hierarchie de ChomskyType Restriction Machine Langages
0 aucune Machine de Turing recursivement enumerables1 uXv → uwv MdT a espace lineaire contextuels2 X → w automate a pile algebriques3 X → a, X → aY automate reguliers
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